RAÍCES DE ECUACIONES NO

LINEALESSESION Nº 03

En la práctica de la ingeniería y ciencias, es muy frecuente él tener que

resolver ecuaciones del tipo f(x)=0. En estas ecuaciones se requiere

conocer el valor ó valores que hacen cero la ecuación. El procedimiento

común a seguir es intentar despejar la variable x. Desafortunadamente, en

la mayoría de los casos prácticos esto es virtualmente imposible.

Los valores que hacen que una función y=f(x) sea 0, se conocen con el

nombre de raíces ó ceros de la ecuación.

Existen tres tipos de métodos para resolver este tipo de ecuaciones.

◦ Método analítico._ Consiste en despejar la variable x en función de y.

◦ Método gráfico._ Busca trazar la gráfica de y=f(x)

◦ Método numérico._ Genera una sucesión de valores, que se aproxima a la solución,

en este caso a la raíz.

ECUACIONES NO LINEALES

Si en un intervalo cerrado [a,b], la función f(x) es continua y además f(a) tiene signo opuesto al de f(b), es decir, existe un cambio de signo (CS), entonces por lo menos existe una raíz en [a,b].

Ejemplo: Grafique y encuentre los valores que cumplan el Teorema del Cambio de Signo.

◦

TEOREMA DEL CAMBIO DE SIGNO

•. •.

•. •.

•. •.

Este método es de los más antiguos. También se le denomina método de Bolzano, quien fue el primero en proponerlo. Para poder aplicarlo se requieren las siguientes condiciones:

◦ Conocer un intervalo [x0,x1] que cumpla el TCS.◦ La raíz debe de ser única.Proceso.-

1. Desarrollamos y0=f(x0) y y1=f(x1).

2. Hallamos el punto medio: 3. Evaluamos y2=f(x2). Entonces se tendrá los intervalos [x0,x2] y

[x2,x1], para seleccionar al que cumpla con el TCS. (Supongamos [x0,x2])

4. Luego, buscaremos el siguiente punto medio x3 y así repetiremos el mismo procedimiento hasta que f(xn)=0 o hasta llegar a un punto de tolerancia según el criterio de convergencia.

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

Aplicación del Método de la Bisección

Para el intervalo [1,2]: f(1)= -7 y f(2)= 16

◦ Punto Medio (1+2)/2=1.5, luego f(1.5)=2.875

◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [1,1.5]

◦ cc1 = no existe en la primera iteración.

Para el intervalo [1,1.5]: f(1)= -7 y f(1.5)= 2.875

◦ Punto Medio (1+1.5)/2=1.25, luego f(1.25)=-2.421875

◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [1.25,1.5]

◦ cc2 = no cumple con la tolerancia.

Para el intervalo [1.25,1.5]: f(1.25)= -2.421875 y f(1.5)= 2.875

◦ Punto Medio (1.25+1.5)/2=1.375, luego f(1.375)=0.130859375

◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [1.25,1.375]

◦ cc3 = no cumple con la tolerancia.

RESULTADOS DE LA APLICACION

Requiere un intervalo que cumpla los mismos supuestos que el

método de Bisección. En lugar de obtener el punto medio en cada

iteración, el método busca reemplazar la función original por otra a

la cual sea más simple localizar su raíz.

Proceso.-

1. Desarrollamos y0=f(x0) y y1=f(x1).

2. Hallamos siguiente punto convergente:

3. Evaluamos y2=f(x2). Entonces se tendrá los intervalos [x0,x2] y [x2,x1], para

seleccionar al que cumpla con el TCS. (Supongamos [x0,x2]).

4. Luego, buscaremos el siguiente punto convergente x3 y así repetiremos el

mismo procedimiento hasta que f(xn)=0 o hasta llegar a un punto de

tolerancia según el criterio de convergencia.

MÉTODO DE LA REGLA FALSA

Para el intervalo [1,2]: f(1)= -7 y f(2)= 16

◦ Nuevo x = luego f(1.304347826) = -1.3347579518

◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [1.304347826,2]

◦ cc1 = no existe en la primera iteración.

Para el intervalo [1.304347826,2] : f(1.304347826)= -1.3347579518 y

f(2)= 16

◦ Nuevo x = , luego f(1.35791)= -2.22913

◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [1.35791230465787,2]

◦ cc2 = no cumple.

Luego repetimos (iteraciones) el mismo procedimiento hasta que f(x) = 0 ó

hasta que cumpla con la tolerancia solicitada. El siguiente cuadro nos

muestra los resultados de tales iteraciones.

Aplicación del Método de la Regla Falsa

RESULTADOS DE LA APLICACION

La idea de este método es similar a la del método de Regula

Falsi. Este método emplea también una línea recta para

aproximarse a la raíz. En vez de usar un intervalo que

cumpla el TCS.

Para esto evaluamos la función en x2 obtendremos y2=f(x2).

En vez de considerar intervalos, simplemente despreciamos

el punto (x0,y0) y utilizamos el intervalo [x1,x2].

MÉTODO DE LA SECANTE

Nuevamente usaremos la ecuación de Leonardo. Consideremos como puntos

iniciales, el intervalo [1,2]. Iniciando con los puntos (1,-7), (2,16)

Obtenemos 1.30434782608696 con y=-1.33475795183693. Como no se

cumple el criterio de convergencia realizamos otra iteración.

Se emplean los puntos (2,16) y (1.30434782608696,-1.33475795183693) y se

obtiene 1.35791230466 con y= -.22913572958733. Como no se cumple el

criterio de convergencia realizamos otra iteración.

Se emplean los puntos (1.30434782608696,-1.33475795183693) y

(1.35791230466, ) y se obtiene 1.36901332599257 con y =

4.32956831210518E-3.

El procedimiento se repite hasta alcanzar la convergencia

Aplicación del Método de la Secante

RESULTADOS DE LA APLICACION