Trabajo Colaborativo Fase 2

Por:

Wilson Alberto Suarez

CC: 80.433.966

Claudia Patricia Lizcano

CC: 1.094.269.546

Laura Lizet Ros

CC: 1095815889

Mara Alejandra Crdenas

CC: 1.098.778.756

Erley Fernndez Crdenas

CC: 1091133327

Presentado a:

Roberto Beltrn Tobar

Ecuaciones Diferenciales _102

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

Escuela de Ciencias Bsicas, Tecnologa e Ingeniera

Bucaramanga 18 de Octubre de 2015

INTRODUCCION

Una ecuacin diferencial de orden superior que tiene la forma:

En donde

si ( ) la ecuacin diferencial se denomina homognea, pero si ( ) entonces la ecuacin diferencial se denomina no homognea.

El presente trabajo resuelve algunos problemas que permiten identificar si una ecuacin es

homognea o no y, segn sea el caso o la complejidad del mismo, se exploran alternativas

de solucin por diversos mtodos: ecuacin auxiliar, variacin de parmetros, ecuacin de

Cauchy-Euler, coeficientes indeterminados y operador diferencial de anulacin.

En una segunda parte se estudia un ejercicio propuesto en la gua de actividades para

trabajo grupal y se resalta en letra roja aquello en lo que se est en desacuerdo con lo

propuesto en la misma. Se trata de un ejercicio que permite reafirmar conceptos e

identificar cada caso y la manera correcta de notarlo en la ecuacin general, lo mismo que

el encontrar soluciones particulares para cada aparte del ejercicio.

OBJETIVO GENERAL

Identificar de manera clara los mtodos a utilizar para la solucin de ecuaciones

diferenciales de orden superior.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Resolver ejercicios haciendo uso de la ecuacin auxiliar.

Encontrar los operadores de anulacin para ecuaciones diferenciales

Reconocer y aplicar el mtodo de variacin de parmetros como un modo prctico de solucin de ecuaciones diferenciales de orden superior.

DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

TEMATICA: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

1. Indique cules de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales

homogneas con coeficientes constantes y cules son diferenciales lineales no

homogneas y resulvalas.

A.

Si es ecuacin lineal, homognea y con coeficientes constantes

Solucin:

Por factorizacin queda

( )( )

( )

( )

Para la primera solucin

( )

( )

( )

Reemplazamos

( ) ( )

Luego se cumple para ese valor de la funcin.

( )

( )

( )

( )

Luego se cumple para ese valor de la funcin.

Entonces la solucin es:

( )

B.

( ) ( )

Ecuacin auxiliar

( )

Solucin general

Es una ecuacin de segundo orden, con coeficientes constantes y M(x)=0. Por tanto esta es

una ecuacin diferencial homognea con coeficiente constante, es un caso de soluciones

igual y reales.

C.

Se reemplaza por:

Sacando factor comn

( ) a=1

b=2

( ) ( )

Como tenemos condiciones Iniciales

( ) ( )

( )

Derivando la solucin general:

( ) ( )

( ) ( )

( )

Como tenemos dos Ecuaciones con dos incognitas se soluciona

D. Es una ecuacin diferencial lineal homognea con

coeficiente constante.

-Se remplaza

Sacando factor comn

( )

Obteniendo las races por calculadora

La solucin ser:

Solucin general

(

)

2. Demostrar que y | | son soluciones linealmente independientes de la siguiente

ecuacin diferencial:

en el intervalo

Tambin podemos escribirla as:

Resolvemos por medio de la ecuacin de Cauchy-Euler, para lo cual tenemos:

( )

Reemplazamos en la ecuacin inicial:

[ ( ) ] ( )

( )

Dividimos todo entre

( )

( )( )

Entonces

Entonces la solucin sera:

Dado que todo valor elevado a una potencia impar vara de acuerdo a que su signo sea

positivo o negativo, la primera solucin independiente debe tener valor absoluto, teniendo

en cuenta los valores negativos y otra puede ser sin valor absoluto para valores de x

positivos, luego se demuestra que y | | son soluciones linealmente independientes de

la ecuacin

, en el intervalo . La otra

solucin es .

3. Resolver la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de variacin de parmetros

Usamos la ecuacin auxiliar

( )

( )

( )

( )

Entonces debemos en principio resolver una matriz para hallar

[

]

[

] ( )

Entonces reemplazamos:

| |

( | |)

( | |)

( | |)

4. Resolver la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de coeficientes

indeterminados

Primero trabajamos la parte de la solucin homognea

( )( )

Pasamos a la particular teniendo en cuenta que partimos de la ecuacin ,

para poder hallar los valores correspondientes a la solucin. Para ello es necesario hallar

primera y segunda derivada para luego reemplazar en la ecuacin diferencial inicial:

Reemplazamos

( ) ( )

Separamos semejantes para proceder a hallar valores para A, B y C y as poder armar la

solucin particular

( ) ( ) ( )

( )

( ) (

)

(

)

Entonces nos queda

5. Encontrar el operador diferencial que anule a:

a)

Encontramos el operador de cada uno de los sumandos y los multiplicamos:

Operador de x es , donde n es un grado mayor que la potencia que tenga x, es decir 2,

entonces el operador es .

Operador de es ( ) , donde es el coeficiente de la x en la potencia de y

es un grado mayor que la potencia que tenga x, entonces . El

operador sera ( )

Luego el operador que anula a es ( )

b) ( )( )

Resolviendo el producto tenemos

El operador es , donde n es un grado mayor que la potencia que tenga x (el mayor), es

decir 6, entonces el operador que anula a( )( ) .

c)

El operador es ( ) , donde es el coeficiente de la x en la potencia de y es un

grado mayor que la potencia que tenga x, entonces .

El operador que anula a ( )

6. Resolver la siguiente ecuacin diferencial:

Resolvemos por medio de la ecuacin de Cauchy-Euler, para lo cual tenemos:

( )

Reemplazamos en la ecuacin inicial:

[ ( ) ] ( )

( )

Dividimos todo entre

( )

( )( )

Entonces

Entonces la solucin para este caso de races imaginarias sera:

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

( ) ( )

SITUACION PROBLEMA

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le

aplica una velocidad de pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas de

amortiguacin o externas que puedan estar presentes, determine la ecuacin de movimiento

de la masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. Cunto tiempo transcurre

desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posicin de equilibrio?

Como estamos en el caso de una vibracin simple no amortiguada, tenemos la ecuacin:

Cuya solucin general es:

( ) (

) (

)

Para encontrar k observamos que la masa de 4 libras estira el resorte 3 pulgadas o pie.

Empleando la ley de Hooke, se tiene:

Lo que implica k= 16lb/pie. Como g= 32pie/seg2, se tiene que m= 4/32=1/8 slug y por lo

tanto:

Luego:

( ) ( ) ( )

Imponiendo nuestras condiciones iniciales son x(0)=6 pulgadas=1/2 pie y x(0)=

tenemos:

( )

( )

Lo que implica

Por consiguiente, la ecuacin del movimiento de la masa

es:

( )

( )

( )

Para expresar la solucin en forma senoidal hacemos:

( )

Entonces:

( )

( )

Con ( )

Finalmente el tiempo t que transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la

posicin de equilibrio verifica , por lo que implica

Situacin y solucin planteada:

Enunciado: El movimiento de un sistema masa-resorte con amortiguacin est regido por la

ecuacin diferencial:

En donde, x (0) 1, x'(0) 0. Encuentre la

ecuacin del movimiento para los siguientes casos:

Caso 1: Movimiento subamortiguado: b 6.

Caso 2: Movimiento crticamente amortiguado: b 10.

Caso 3: Movimiento sobre amortiguado: b 14.

1er caso:

( ) ( )

( )

( )

Reemplazamos valores

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

Luego la solucin particular es

( ) (

)

2do caso:

( )

( )

( )

Reemplazamos valores

Luego la solucin particular es

( )

( ) ( )

3er Caso:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Reemplazamos valores

( ) ( )

( ) ( )

Sumamos las dos ecuaciones

( )

( )

( )

CONCLUSIONES

Una ecuacin diferencial de orden superior es una expresin que relaciona una

variable dependiente (y) y sus derivadas de cualquier orden con respecto a una

variable independiente x.

Se dice que las funciones son linealmente dependientes en el intervalo, si la combinacin lineal se anula para alguna constante diferente de cero.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Campos, B., Chiralt, C. (2011). Ecuaciones diferenciales. Departamento de Matemticas Universidad Jaume I. Castelln de la Plana: Publicacions de la

Universitat Jaume I.Leer pginas 115 a 118 ISBN: 978-84-693-9777-

0 Recuperado de: http://www.etnassoft.com/biblioteca/fundamentos-matematicos-

de-la-ingenieria/

Escobar, J. (2004). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple. Leer

pginas 81 a 100. Texto completo en http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/

(2012, 01). ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

MICROE. Obtenido 10, 2015, de

http://microe.udea.edu.co/~alince/recursos/ecuaciones/libro/Ecuaciones-Cap2.pdf