I. E. P. “SAN DIMAS”

MATEMÁTICA 5

Matemática para Quinto Grado de Educación Secundaria asistida con Software Libre

ROBERT IPANAQUÉ CHERO

01/04/2013

Estas notas corresponden a las clases de curso de Matemática para el quinto año de educación secundaria impartidas por el autor en la I. E. P. “SAN DIMAS” del distrito de Catacaos (Piura, PERÚ) en el año 2013.

PrólogoLos matemáticos, en cooperación con los maestros, son los llamados a ofrecerse para elaborar material destinado a la enseñanza – aprendizaje de la matemática; como ocurre ya en muchas instituciones educativas de nuestro país. Esto ha sido una motivación para recoger una serie de experiencias y plasmarlas en estas notas que se espera sean de utilidad para los lectores interesados.

Para el desarrollo de los capítulos se ha tenido en cuenta el esquema ofrecido por el Ministerio de Educación y se ha intentado innovar presentando, hasta donde ha sido posible, los conceptos en mapas conceptuales. Los gráficos, relacionados con ángulos, se han elaborado con el software libre Geogebra v. 4.2.4.01, el cual se puede descargar desde

http://www.geogebra.org/

Ciertos cálculos y gráficos de funciones se han realizado con asistencia del software libre Maxima v. 5.28.0-22, el cual se puede descargar desde

http://maxima.sourceforge.net/es/

En el Maxima se han implementado una serie de funciones con la finalidad que sirvan como herramienta para la verificación de algunos cálculos.

El desarrollo de las tablas de verdad se ha hecho con el software libre TruthTableConstructor v. 3.0.7, el cual puede descargarse desde

http://www.brian-borowski.com/Software/Truth/

Un gran referente para la elaboración de estas notas ha sido el libro Matemática Quinto Año de Educación Secundaria de Manuel Coveñas Naquiche (Editorial Naquiche), un autor muy consultado por maestros y alumnos de nuestro país. Además, es imposible dejar de mencionar el libro Problemas de Trigonometría y Cómo Resolverlos de Félix Aucallanchi Velásquez (Racso Editores), autor muy consultado por maestros y estudiantes de preparatoria.

R. Ipanaqué

Catacaos, Piura, PERÚ

1 Un manual recomendado del GeoGebra puede hallarse en http://www.geogebra.es/cvg/index.html2 Un manual recomendado del Maxima puede hallarse en http://www.eumed.net

Tabla de contenido

CAP. I SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR................................................................................................................... 4

1 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO.................................................................................................................................. 4

1.1 PRACTIQUEMOS.........................................................................................................................................................5

2 VUELTAS O REVOLUCIONES................................................................................................................................... 7

2.1 PRACTIQUEMOS.........................................................................................................................................................7

3 SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR........................................................................................................................... 8

3.1 RELACIÓN ENTRES LOS TRES SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR...............................................................................................83.2 CONSECUENCIAS IMPORTANTES.....................................................................................................................................93.3 HERRAMIENTA INFORMÁTICA......................................................................................................................................103.4 PRACTIQUEMOS.......................................................................................................................................................113.5 ÁNGULOS COTERMINALES..........................................................................................................................................113.6 HERRAMIENTA INFORMÁTICA......................................................................................................................................143.7 PRACTIQUEMOS.......................................................................................................................................................16

Ángulo trigonométrico

El que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo, llamado origen, desde una posición inicial hasta

una posición final.

es

Posición inicial se llama lado inicial.

Posición final se llama lado final.

la

el

Medida es la amplitud de la rotación y toma cualquier valor real.

su

es

se

Negativo cuando la rotación es en sentido

horario.

Positivo cuando la rotación es en sentido

antihorario.

Designa, por lo general, mediante las letras griegas: , , , , , así como las

latinas: , , .

Origen se llama vértice.

CAP. I Sistemas de medida angular

1 Ángulo trigonométrico

Prestemos atención a las siguientes

representaciones

Ángulos negativos

NOTA: Por convención al ángulo nulo se le considera ángulo trigonométrico, a pesar que no se genera de una rotación.

1.1 Practiquemos

1. ¿Qué signos les corresponden a los ángulos α , β y θ, respectivamente?

a.

b.

c.

d.

e.

2. Grafique todos los siguientes ángulos en sentido antihorario (efectúe un cambio de signo de ser necesario).

a.

Ángulos positivos

b.

c.

d.

3. Grafique todos los ángulos del ejercicio 2 en sentido horario (efectúe un cambio de signo de ser necesario).

4. Exprese x como la suma algebraica de los otros ángulos.

a.

b.

c.

d.

e.

se

Designan, en general, con números positivos.

Genera cada vez que el lado inicial rota hasta volver a

ubicarse sobre su posición inicial.

Representa gráficamente mediante una circunferencia.

Una vuelta o revolución

5. De la figura mostrada determine x+ y.

2 Vueltas o revoluciones

Ojo a las ilustraciones.

NOTA: Por convención se asigna el valor cero para indicar la ausencia de revolución.

2.1 Practiquemos

1. Indique el número de vueltas de los ángulos que aparecen en las siguientes figuras

a.

b.

3 Sistemas de medida angular

Sistemas de medida angular

son

Sistema sexagesimal (inglés).

Sistema centesimal (francés).

Sistema radial (circular).

La unidad de medida es el grado sexagesimal (°), igual a la

parte de 1 vuelta.

La unidad de medida es el grado centesimal (g), igual a la

parte de 1 vuelta.

La unidad de medida es el radián (rad), que se genera cuando un

rayo recorre un arco de longitud igual a la de éste.

3.1 Relación entres los tres sistemas de medida angularS°360°

= C g

400g= Rrad2π rad

S180

= C200

=Rπ

3.2 Consecuencias importantes

1.S9= C10

2. C>S>R>03. Para evitar las divisiones al convertir A°B ' C ' ' a grados centesimales puede usarse la fórmula:

C=109 (A+ 60⋅B+C

3600 )y efectuar las respectivas simplificaciones.

4. Para evitar las divisiones al convertir A°B ' C ' ' a radianes puede usarse la fórmula:

R= π180 (A+ 60 ⋅B+C

3600 )y efectuar las respectivas simplificaciones.

5. Para evitar las divisiones al convertir AgBmC s a radianes puede usarse la fórmula:

R= π200 (A+ 100 ⋅B+C

10000 )y efectuar las respectivas simplificaciones.

Para convertir 84 ° 30 ' 36 ' ' al sistema centesimal puede usarse la tercera consecuencia:

C=109 (84+ 60 ⋅30+363600 )=19 ( 845110 )=93910 =93,9

C=93g90m.

Para convertir 61 °52 ' 30 ' ' al sistema radial puede usarse la cuarta consecuencia:

R= π180 (61+ 60 ⋅52+303600 )= π

180 (61+ 105120 )= π180 ( 4958 )

R=11 π32

rad.

Para convertir 12g50m al sistema radial puede usarse la quinta consecuencia:

R= π200 (12+ 100 ⋅50+010000 )= π

200 (12+ 100 ⋅5010000 )= π200 ( 252 )

Prestemos atención a los siguientes

R= π16

rad.

3.3 Herramienta informática

El lector interesado puede verificar los resultados de las conversiones que realice usando el paquete de comandos amsystems, implementado en el software matemático Maxima. Este paquete incluye, entre otras, las funciones identificadoras deg (para expresar medidas de ángulos en el sistema sexagesimal), grad (para expresar medidas de ángulos en el sistema centesimal) y rad (para expresar medidas de ángulos en el sistema radial); así como las funciones to_deg (para convertir medidas de ángulos al sistema sexagesimal), to_grad (para convertir medidas de ángulos al sistema centesimal) y to_rad (para convertir medidas de ángulos al sistema radial). Para usar esta herramienta primero se inicializa el paquete:

(%i1) load(amsystems)$

A continuación, verificamos los resultados obtenidos en los ejemplos de la sección previa:

(%i2) deg(84,30,36),to_grad;(%o) grad(93,90)(%i3) deg(84,30,36),to_grad;

(%o) r ad ( 11 π32 )(%i4) grad(12,50),to_rad;

(%o) r ad ( π16 )Como se aprecia, los resultados obtenidos en los ejemplos de la sección previa son consistentes con los que acabamos de obtener usando el paquete.

El lector debe tener en cuenta que la constante matemática: π , se expresa como: %pi, en el Maxima. Así por

ejemplo para convertir π4

rad a grados sexagesimales debe digitarse:

(%i5) rad(%pi/4),to_deg;(%o) deg(45)

Es preciso señalar que con las funciones mencionadas se pueden realizar conversiones de grados, minutos y segundos a grados, y viceversa (en los sistemas sexagesimal y centesimal). Por ejemplo, para convertir 84 ° 30 ' 45 ' ' a grados, se usa:

(%i6) deg(84,30,45),to_deg;(%o) deg(84.5125)

Ahora si lo que se quiere es convertir 84.5125 ° a grados, minutos y segundos, usamos:

(%i7) deg(84.5125);

(%o) deg(84,30,45)Algo similar, aunque con grad y to_grad, se usará cuando las medidas de los ángulos estén dadas en el sistema centesimal.

3.4 Practiquemos

1. Convertir al sistema sexagesimal los siguientes ángulos

a. 180g

b. 123g54m85s

c.3π10

rad

d.5π32

rad

2. Si 42g50m≡ A °B ' ', calcular 2 A−5 B.

3. Si 7π64rad ≡ A°B ' C ' ' , calcular

A+BC

.

4. Convertir al sistema centesimal los siguientes ángulos

a. 261 °b. 78 ° 42' 45 ' '

c.3π14

rad

d.7π20

rad

5. Si 46 ° 21 ' ≡ AgBm, calcular A−B.

6. Si 9π16rad ≡ AgBm calcular A−2B.

7. Convertir al sistema radial los ángulosa. 100 °b. 61 °52 ' 30 ' 'c. 600g

d. 12g50m

8. Si 33 ° 45 ' ≡abrad calcular √a2+b.

9. Si 2g50m≡

abrad calcular √a+b.

3.5 Ángulos coterminales

Se denominan ángulos coterminales aquellos ángulos que tienen el

mismo lado inicial y el mismo lado

De acuerdo con las figuras 1 y 2, en general, los ángulos:

β=x+i (360 ° ) , i=0,1,2 ,… (1)

y

γ=x+ j (−360 ° ) , j=1,2 ,… (2)

son coterminales con 0<x<360 °. Pero, los ángulos β son coterminales con los ángulos γ , además

β−γ= (i+ j ) (360 ° )=n (360 ° ) , n=1,2 ,… (3)

Por ejemplo, los ángulos β=30 °+7 (360 ° )=2250 ° y γ=30 °+10 (−360 ° )=−3750 ° son coterminales y cumplen con β−γ=17 (360 °).

Por otra parte, de acuerdo con las figuras 3 y 4, en general, los ángulos:

θ= y+r (360° )=( y+360 ° )+ (r−1 )(360 °) ,r=1,2 ,… (4)

y

φ= y+s (−360 ° )=( y+360 ° )+(s+1 )(−360 ° ), s=0,1,2 ,… (5)

son coterminales con −360 °< y<0. Pero, en virtud de los terceros miembros de las igualdades de (4) y (5) se tiene que

θ=X+K (360 ° ) , K=0,1,2 ,…

y

φ=X+R (−360 ° ) ,R=1,2 ,…

son coterminales con 0<X<360 °. Dado que (4) y (5) se reducen a estructuras similares a las de (1) y (2), entonces para (4) y (5) son válidos los resultados de los análisis hechos, y por hacer, para (1) y (2).

Ahora, si se toman dos ángulos coterminales, diferentes, de los tipos β y los restamos, veremos que se obtiene algo similar a (3). Por ejemplo, para β=45°+5 (360 °) y β '=45 °+11(360 °) se cumple:

β−β '=6 (360 ° ) .

Algo similar ocurre si se toman ángulos coterminales, diferentes, de los tipos γ , θ y φ, respectivamente.

Todo lo anterior, generalizado a cualquiera de los tres sistemas de medida angular estudiados, nos permite concluir que dados los ángulos coterminales Θ y Φ, tales que Θ>Φ, se cumple

Θ−Φ=m⋅ p , p=1,2 ,… (6)

donde m es la medida del ángulo de una vuelta en el sistema común a Θ y Φ.

Finalmente, teniendo presente la relación que cumplen los términos de una división, es decir

D=dq+r , (7)

se advierte, que los ángulos coterminales poseen un residuo común al dividirse entre la medida de un ángulo de una vuelta (medido en la dirección del ángulo dado).

Por ejemplo, los ángulos −660 °, 420 ° y 60 ° son coterminales, puesto que:

−660 °=2 (−360 ° )+60 ° ,

420 °=1 (360 ° )+60 ° ,

60 °=0 (360 ° )+60 ° .

En la práctica, se toma el valor absoluto del ángulo dado y se divide entre la medida del ángulo de una vuelta. A continuación, para escribir el resultado en la forma (7), si el ángulo dado es negativo al cociente obtenido se le suma una unidad y el residuo obtenido se resta de la medida del ángulo de una vuelta; si es positivo se toman iguales.

Por ejemplo, supongamos que se quiere expresar el ángulo −1410 ° en la forma (7). Primero se divide el valor absoluto de −1410 ° entre la medida del ángulo de una vuelta:

1410 °=3 (360 ° )+330 °

Lo siguiente es un proceso explicativo:

1410=3 (360 ° )+(360 °−30 ° )

1410 °=[3(360 ° )+1(360 °) ]−30°

1410 °=4 (360 ° )−30 ° .

Y, multiplicando ambos miembros de esta última igualdad por (−1), se obtiene la expresión buscada:

−1410 °=4 (−360 ° )+30° .

)

Así pues, para verificar que los ángulos 46110 °, −16890 ° y 9750 ° son coterminales, se tiene:

46110 °=128 (360 ° )+30° ,

−16890 °=47 (−360 ° )+30 ° ,

9750 °=27 (360 ° )+30 ° .

He aquí otro tipo de problema relacionado con los ángulos coterminales. Dos ángulos coterminales, en el sistema sexagesimal, son entre sí como 4 es 7. Hallar la medida del mayor de dichos ángulos, si el menor se encuentra comprendido entre 400 ° y 500 °.

Sean x, y lo ángulos, tales que x< y, entonces

xy=47

(8)

Por el hecho de ser coterminales deben cumplir con (10), esto es

y−x=360 p , p=1,2 ,… (9)

La otra condición del problema indica que 400 °<x<500 °; por lo que debe expresarse (10) en términos de x. Para ello se despeja y de (8) y se obtiene

y=74x (10)

A continuación se sustituye (10) en (9) y se obtiene

74x−x=360 ° p , p=1,2 ,…

x=480° p , p=1,2…

Pero 400 °<x<500 °, por lo que p=1. De modo que x=480° y de (10) y=840° .

3.6 Herramienta informática

El lector interesado puede verificar sus resultados usando el paquete amsystems; que incluye, entre otras, las funciones coterminal_form (para expresar ángulos en la forma de la igualdad (7)(10)) y

solve_angles (para solucionar sistemas lineales relacionadas con ángulos coterminales). Para usar el paquete primero se inicializa (vea (%i1)).

A continuación, verificamos los resultados obtenidos en los ejemplos de la sección previa:

(%i8) coterminal_form(Deg(-660),Deg(420),Deg(60));

(%o) [Deg (−660 )=2Deg (360 )+Deg(30)Deg (420 )=1Deg (−360 )+Deg(30)Deg (60 )=0Deg (360 )+Deg(30) ]

(%i9) coterminal_form(Deg(-1410));(%o9) [Deg (9870 )=4 Deg (−360 )+Deg (30)]

(%i10) coterminal_form(Deg(46110),Deg(-16890),Deg(9750));

(%o10) [Deg (46110 )=118Deg (360 )+Deg(30)Deg (−16890 )=47Deg (−360 )+Deg(30)Deg (9750 )=27Deg (360 )+Deg(30) ]

Como se aprecia, todos los resultados obtenidos con la función coterminal_form son consistentes con los que se obtuvieron en la sección previa.

Recalcamos que, los ángulos coterminales no son exclusividad del sistema sexagesimal. Por ejemplo, a continuación en (%i11) se analizan ángulos en el sistema centesimal, y, el resultado obtenido indica que son coterminales. En (%i12) se hace algo similar, pero esta vez en el sistema radial.

(%i11) coterminal_form(Grad(3240),Grad(-2760),Grad(-4360));

(%o11) [Grad (3240 )=8Grad (400 )+Grad(40)Grad (−2760 )=7Grad (−400 )+Grad (40)Grad (−4360 )=11Grad (−400 )+Grad (40)]

(%i12) coterminal_form(Rad(13*%pi/3),Rad(-17/3*%pi),Rad(31*%pi/3));

(%o12) [Rad(13 π3 )=2Rad (2π )+Rad ( π3 )

Rad(−17 π3 )=3Rad (−2π )+Rad( π3 )Rad( 31π3 )=5Rad (2 π )+Rad ( π3 ) ]

El caso del ejemplo de los ángulos coterminales, en el sistema sexagesimal, que son entre si como 4 es a 7 y tales que el menor está comprendio entre 400 ° y 500 ° se verifica en (%i13) usando la función solve_angles. Esta función acepta como entradas:

1. las ecuaciones originadas a partir de las condiciones y agrupadas entre corchetes,

2. las inecuaciones que limitan a uno de los ángulos3, y3. las variables involucradas separadas por comas4.

Así pues, tendremos:

(%i13) solve_angles([x/y=4/7,y-x=360*p],[400<x,x<500],x,y,p>0);(%o) [ p=1 x=480 y=840 ]

Veamos un ejemplo adicional. Supongamos que las medidas de dos ángulos estan dadas en el sistema centesimal, que éstos son entre si como 11 es a 21 y que el menor se encuentra comprendido entre 800g y

900g. La solución obtenida con ayuda de la herramienta es:

(%i14) solve_angles([x/y=11/21,y-x=400*p],[800<x,x<900],x,y,p>0);(%o) [ p=2 x=880 y=1680 ]

Esta claro que, en este caso, el ángulo menor mide 880g y el mayor, 1680g.

3.7 Practiquemos

1. Calcular el valor de x.

2. Calcular el valor positivo que toma x.

3. Indicar qué relación existe entre entre α , β y θ.

4. Indique si los ángulos 510 °, 870 ° y 1230 ° son coterminales.

5. Dos ángulos coterminales son entre sí como 3 es a 8. Hallar la medida del mayor dedichos ángulos, si el menor se encuentra comprendido entre 200 ° y 240 °.

6. Determine x en términos de α .

3 Tenga presente que el Maxima no acepta expresiones como [a<x<b ], por ello en (%i13) y (%i14) se usa la forma [a< x , x<b¿ .4 La variable entera, en (%i13) y (%i14) p, se indentifica mediante p>0.

7. Expresar x en términos de θ.

8. Determinar x.

9. Encuentre x.

10. Indique si los ángulos 13π3

rad, −17π3

rad y

31π3

rad son coterminales.

11. Calcular los valores de x.

12. Indicar qué relación cumplen los ángulos α , β y θ.

13. Calcular el valor de x.

14. Calcular el valor de y .

15. A partir del gráfico, hallar am

+ bn+ cp

.

16. La suma de dos ángulos coterminales es igual a 540 °. Hallar la medida del menor de ellos, si el mayor está comprendido entre 500 ° y 800 °.

17. Hallar x en términos de α , β y θ.

18. Expresar θ en términos de α .

19. Calcular el valor que toma x.

20. Se tienen 3 ángulos coterminales tal que el menor de ellos es un ángulo agudo. Hallar la medida del mayor si se sabe que dichos ángulos son proporcionales a los números 1, 7 y 13.

21. Sean α=(7 x2+1 ) ° y β=(1−3x2 ) ° ángulos coterminales, tal que x∈ R+¿¿. Hallar el mínimo valor que

puede tomar α .22. La suma de dos ángulos coterminales es 600 °. Hallar la medida del menor de ellos, si el mayor está

comprendido entre 400 ° y 500 °.23.