¿quiénes fracasan en matemáticas?

¿Quiénes Fracasan en matemáticas? CENESPE-CREAR 1

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¿Quiénes fracasarán

en matemáticas? Apuntes críticos para un debate pedagógico

R. Yuder Solís Fernández1 Publicado en la Revista Momento Pedagógico Nº 2

Julio-septiembre. México DF. ,1991

Cuando se habla de fracaso escolar en Matemáticas comúnmente se piensa en quienes por una u otra razón no lograron la adquisición de un determinado contenido; quedando frente a esta dificultad, como quien se encuentra ante el portón de una ciudad amurallada cuyo acceso se vuelve imposible. Sin embargo, habría que reflexionar también en aquellas personas que sitien no se les niega la posibilidad del uso de ciertos rudimentos matemáticos, no encuentran sentido sobre el mismo y viven en una total aberración a todo lo que les puede evocar relación con ello; resultando al final, algo similar a lo anterior, pues mientras los primeros no hallaban acceso a nuestra imaginaria ciudad, los segundos huirían aterrados por sus insufribles y fastidiosas deambulaciones. Si lo común de la mayoría de quienes fracasan, reprueban o desertan, así como quienes logran y aprueban, es la ausencia de vínculo entre los elementos que se presentan en este campo y su uso cotidiano; entres las mecanizaciones y las razones de producción de dichos elementos matemáticos; entre las estrategias técnico-escolares (cuento del lápiz y papel) y las personales-prácticas (conteos, aproximaciones y demás); entonces sería válido preguntarnos si no ocurre que el concepto de “fracaso” que manejamos aquí es extensible para ambos grupos de sujetos. Nosotros así lo creemos. ¿Cuántos de los no profesionistas no consiguieron serlo por dificultades en este sentido y cuántos de los que lo son siguieron el camino que más les alejara de aquello que tenía que ver con matemáticas? Ahora cabrían otras preguntas. ¿Cuáles son los motivos de dicho fracaso?, ¿Se podría reducir el problema a una causa o a una multiplicidad de factores concurrentes, o ninguna de ambas estrictamente, sino que se jurarían a veces unas, u otras, dándose una infinita gama de posibilidades ¡una combinatoria! Según la especificidad de cada “fracaso”, de tal manera que la problemática frecuentemente es lábil respecto la solución? ¿Problemáticas y soluciones no

1Profesor- investigador. Universidad Autónoma metropolitana- Xochimilco. Egresado del Doctorado en Clínica

Psicoanalítica. Profesor de educación Primaria. Actualmente dirige el Centro de Estudios en Psicología y Pedagogía, A.C. (Cenespe).



estarían determinadas por la óptica de quien las elaborase? ¿Qué tan generalizable puede ser la alternativa construida en un contexto? ¿Habría que buscar permanentemente soluciones o construir problemáticas a resolver? Como se observa como la situación no resulta sencilla. Muy por el contrario se abren nuevos ejes de problematización (por ejemplo como la relación “dificultades existentes” a nivel de los contextos escolares que representan un contenido” potencialmente observable y las posibilidades de su conceptualización dentro del nivel teórico pedagógico que den cuenta de las mismas). Estas primeras líneas bien pudieran ser desarrolladas en otro momento, pues desbordar el modesto objetivo planeado en este artículo, que es el de señalar loa peligros que trae consigo reducir las problemáticas presentes en la enseñanza de las matemáticas, a un solo elemento o a barios de manera indiscriminada, sin tomar en cuenta la especificidad de los que se trate y del objetivo-problema a construir. Para ello abordaremos a continuación algunos supuestos que se implican en tales reduccionismos.

I. La estructura de las matemáticas y la naturaleza lógica del pensamiento ¿Un problema del lenguaje o de la reconstrucción del conocimiento?

Un primer escollo se ubica cuando el pedagogo o matemático, esforzándose fervientemente para que el educando le sea accesible ciertos contenidos o conceptos matemáticos, se centran predominantemente del lado de las matemáticas, preocupados de la manera en que el lenguaje cifrado de las mismas no pierda valor ni consistencia, cuando su empeño es mostrarlas lo más “sencillo posible”.

Suponer que es un problema de lenguaje y de significado conceptual al cual “hay que enseñar con precisión”, implica olvidar que todo elemento teórico tiene historia y que está remite a momentos previos (preconceptuales); que el estado en el que se presentan no es más que un equilibrio entre exigencias y necesidades teórico-prácticas; que al cabo de un tiempo hay que cuestionarnos su estatus de certeza para generar algo nuevo; y que si todo esto es así, resulta fundamental pensar en la relación de ésta –las matemáticas- con la naturaleza del pensamiento del sujeto, ubicándose en el otro polo, buscando saber lo característico de cada cual y orientar adecuadamente el proceso de diseño correspondiente a la dimensión de su enseñanza.



Ha sido la Psicología Genética fundada por Jean Piaget (1896-1980), quien mostró con mayor rigor que lo común tanto de las matemáticas como del pensamiento lógico, es la de compartir una disposición

organizativa compuesta por estructuras (Piaget, 1949, 1974)2

La tesis piagetiana según la cual “los procesos de formación del pensamiento lógico”, y el “desarrollo de operaciones en el campo de las matemáticas” existe la condición común de estar “compuestos por estructuras” es una afirmación en la que coincidente otras disciplinas.

Un ejemplo de la coincidencia de este planteamiento lo hayamos en la Neuropsicología3 por ejemplo, “la organización funcional del cerebro puede concebirse como una combinación dinámica de

sistemas complejos, a manera de estructuras o áreas cerebrales que tienen fines específicos e inespecíficos” los cuales mantienen entre ellos “interconexiones múltiples” (Alfredo Ardila y Feggy Ostrosky-Solís, 1991)

Para Piaget, estás “estructuras”, se organizan de manera progresiva yendo de un nivel más simple a otro más complejo, a través de pasar por “estados de mayor equilibración”4.

De ahí que sea “necesario basar la didáctica matemática en la organización progresiva de las estructuras operatorias de la inteligencia”5.

2El desarrollo de esta afirmación se basó en dos publicaciones: Jean Piaget (1949) “El pensamiento

matemático”, en, Introducción a la epistemología Genética 1: El pensamiento matemático, Paidós, 1987, pp. 63-65; Jean Piaget (1974) “Las estructuras psicológicas”, en, El estructuralismo, Oikos-Tau, Barcelona, 1980, pp. 7-9 y 63-73.

3La historia de la Neuropsicología se remonta a los trabajos de investigación durante el siglo XIX de la escuela

francesa y alemana en el campo de la Neurología. Para la primera, el entendimiento de la relación entre las funciones fisiológicas y mentales, estaba determinado nuevos hechos clínico en independencia de los procesos anatómicos y fisiológicos. Para los autores alemanes como Emil kraepelin (1856-1926), la comprensión profunda de dicho vínculo estaría determinado por los aspectos anatómicos. Un autor importante que realizará una síntesis de estos puntos de vista contrapuestos, será Sigmund Freud, quien en 1891 publicará “La Afasia”, donde afirmará que las facultades psicológicas no son destruidas por lesiones localizadas en el cerebro. Más bien se produce una serie de distorsiones y cambios en dichas facultades por la interdependencia dinámicas de estas. Posteriormente durante el siglo XX, serán los trabajos de Alexander Romanovich Luria (1902-1977), un médico, psicoanalista y neurólogo ruso a quien se le reconocerá como el autor fundador de la Neuropsicología, para quien el objeto de estudio de esta nueva disciplina es conocer “las reacciones entre la función cerebral y la conducta humana” con lo cual podrían darse las bases de una “Psicología Unificada”. (Luria, 1976, La Neuropsicología de la memoria. Alteraciones de la memoria en la clínica de las afecciones locales del

cerebro; H. Blume; Madrid, 1980. Esta es una nota agregada de forma posterior a la publicación del presente

artículo

4Piaget (1975) “Las estructuras lógico matemáticas”, en “La equilibración de las estructuras cognitivas.

Problema central del desarrollo” siglo XXI: España: 1978

5Jean Piaget, “Las estructuras matemáticas y las estructuras operatorias de la inteligencia”, en Piaget et al. La

enseñanza de las matemáticas, Ed. Aguilar, Madrid, 1971, pp. 24-28.



Las implicaciones de lo arriba señalado lleva a realizar un desplazamiento de la pura preocupación sobre el lenguaje hacia lo que se involucra en el proceso de conocimiento, que desde esta perspectiva no es otra cosa que la reconstrucción del objetivo mismo del conocimiento, dado que el sujeto no es permeable a un saber producido desde afuera, pues todo nuevo elemento a conocer pasa por esquemas de asimilación, los cuales se pueden considerar como especies de “filtros” a través de los cuales se tamiza todo elemento de información.

Ahora bien, podría pensarse que si se realiza el cambio de óptica del problema del lenguaje hacia el de la “reconstrucción del conocimiento” la situación ya está resuelta. Pero esto no es tan fácil, pues apenas se estaría en la línea inicial de trabajo, quedando por delante la enorme tarea de diseño y elaboración de experiencias didácticas correspondientes a contextos específicos, los cuales son temas de la siguiente línea a desarrollar.

II. El diseño de situaciones didácticas en la enseñanza de las matemáticas: ¿Modelos de laboratorio o de contextos escolares?

Los esfuerzos para resolver las dificultades en la enseñanza de las matemáticas han sido enormes pero insuficientes.6 Quizá uno de los que en contexto internacional tuvo un trabajo casi pionero fue el húngaro Zoltan Paul Dienes (nacido en 1916), quien a partir de 1930 a pasar a Inglaterra empieza a dar frutos sus primeras investigaciones. Más adelante al dar origen al Grupo Internacional de Estudio de Aprendizaje Matemático -con sede en Canadá- se consolida enormemente. Dienes señala la “necesidad de poner el acento en las estructuras matemáticas”, bajo la hipótesis de que “el aprendizaje se da por categorización de esas mismas estructuras”. La tarea didáctica para él consiste en “colocar a los niños en presencia de concretizaciones múltiples de estructuras fundamentales”. Se trata de diseñar situaciones y materiales variados que lleven a los escolares “a la manipulación de material estructurado” para luego intentar construir por isomorfismo esas mismas estructuras”, que se quiere enseñar, así bajo la “necesidad de partir de concretizaciones numerosas y variadas” se llega “gradualmente a la abstracción de los más importantes conceptos y estructuras matemáticas”7.

6A nivel internacional, por ejemplo a partir de los cincuentas apareció la Comisión Internacional para el Estudio y

Mejoramiento de la Enseñanza de las Matemáticas. En México a partir de mediados de los setentas tanto el Departamento de Psicomatemáticas como el de Matemática Educativa trabajan al respecto y paradójicamente, mucho de lo investigado se conoce más en el extranjero que aquí.

7 Zoltan P. Dienes, “La concepción de la mathemátique sous-jacente au programe” y “L abstracción d’ un concet.

Le principe des concretisatión múltiples”, en Mathématique vivante. Commentaire genéraux, Ed. Hurtubi, Montreal, Canadá, 1973, pp. 3-19.



Las ideas anteriores se puede esquematizar de la siguiente manera: Para Dienes, la enseñanza de las matemáticas requiere tomar en cuenta dos principios y tres momentos de organización didáctica. Los principios son:

A) Principio de “estructuración sucesivas de nociones”: Cualquier noción matemática (la de

número, la suma-resta, por ejemplo) se desarrolla a manera de una estructura. El pensamiento humano, igual que el de las personas con alguna discapacidad, se construye por categorizaciones sucesivas de estas mismas estructuras

B) Principio de “concretizaciones múltiples de estructuras fundamentales”. Esto implica la

necesidad didáctica de usar materiales numerosos y variados, a través de los cuales se llegue “gradualmente a la abstracción de los aspectos más importantes de cualquier noción” al presentar dichas nociones con material concreto. Ejemplo: Si lo que se quiere enseñarle al niño es el manejo de la suma y de la resta, entonces se procederá a trabajar dos cuestiones: Por un lado la noción agrupación y desagrupación usando el material de base dos, tres, cuatro o diez. Por otro, la noción “máquinas” tanto “no aritméticas” como “aritméticas”.

Los momentos de organización de la enseñanza de las matemáticas son:

1. Momento derivado de la experiencia física y conocimiento directo. Este primer contacto

de trabajo consiste, en proporcionarle a los alumnos materiales concretos susceptible de manipulación. Esto se introduce de mediante el “juego reglado”. Se trata de un tipo de actividad lúdica en la que se emplea un material destinado para que el niño conozca mediante una situación análoga (isomorfismo), nociones las cuales posteriormente pasaran al segundo momento del aprendizaje de las matemáticas.

Un ejemplo lo podemos encontrar en juegos de “agrupación y desagrupación”, en los cuales se

pueden emplean material concreto de base dos, tres, cuatro8.

Ilustración 1:

8Para una ampliación de la importancia de los juegos de base para el manejo de la noción del Sistema Numérico Decimal, consultar: DIANES, Zoltan P. (1965) La matemática moderna en la enseñanza primaria. Teide, Barcelona: 1976.



2. Momento de representación o conocimiento reflexivo. Luego de haber hecho una manipulación a través del “juego reglado” o de la presentación de una situación específica, como el uso de máquinas no aritméticas, se llevará a los alumnos a la necesidad de representación gráfica, para identificar propiedades de ciertas nociones, registrar la secuencia de actividades manipulativas o resolver problemas presentados. Adicionalmente, se puede pedir a los alumnos registren sus ideas a través de dibujos e intercambien mensajes entre ellos para comentar en grupo sus opiniones. Ejemplo del “Registro de máquinas no aritméticas”

Ilustración 2. Fany, una niña de 5 años 3 meses. Inventa una máquina no-aritmética “que pone flores a las masetas”

3. Momento de introducción de las reglas convencionales o geneneralización de

conceptos. Cuando los alumnos han trabajado con material estructurado susceptible de manipulación, en el cual se describen nociones que mantienen una relación estrecha con la estructura fundamental que se va a introducir, y se han realizado registros espontáneos inventados por los alumnos; a través de los cuales están interiorizando por asimilación la noción que se desea desarrollar, entonces se establecen los pasos necesarios para adquirir las pautas y principios convencionales que se desean introducir con los alumnos.

Como se observará, Dienes construye el correlato de lo hipotetizado por Piaget en 1964 cuando dijo que “el aprendizaje es posible si se basan estructuras más compleja en estructuras más simples”9. Sin embargo, nuevamente encontramos enormes dificultades por resolver, sobre todo si se piensa que algo característico del aprendizaje escolarizado es el factor de contexto y la dinámica de intercambios grupales, aquí es donde las problematizaciones de Guy Brousseau abren nuevas perspectivas. Veamos ligeramente algunas de sus propuestas. 9 Jean Piaget, Desarrollo y aprendizaje, material mimeografiado de una conferencia impartida en Comell

(inédito).



Para Brousseau las situaciones de enseñanza de las matemáticas así como de otras situaciones de aprendizaje –comportan en el ámbito escolar “una dinámica de intercambios singulares entre los alumnos, el maestro y el medio”, susceptible de analizarse y recuperarse a través del “enfoque de sistemas”. La tarea según el autor es romper con el “contrato didáctico (conjunto de normas implícitas que regulan la interacción maestro- alumno)” para abrir “una puerta al análisis… de las reglas de interacción… en la medida en que constituyen fenómenos estables, presentes en las situaciones didácticas”.10 En ese sentido visualiza y define cuatro momentos fundamentales en las situaciones didácticas: acción, formulación, validación e institucionalización.11 Sin desarrollar esto, marquemos que dentro de las situaciones didácticas de enseñanza la dimensión de los grupal, del contexto y de la dinámica de interacción, juega un papel fundamental que, ignorándose puede llevar a prácticas y diseños de “laboratorio”. Pasemos pues a la última de las temáticas.

III. El involucramiento del sujeto en los procesos escolares: ¿Racionalidad o subjetividad?

En las líneas anteriores se tocaron dos planos básicos: el primero apuntó hacia el marco teórico-epistemológico del proceso pedagógico, al enunciar que la enseñanza está atravesada por la problemática de la construcción de conocimientos y no por un simple problema del lenguaje. El segundo, en cambio, se dirigió al ámbito del diseño didáctico, haciendo énfasis en la importancia que guarda lo grupal en tanto a la dinámica de interacciones que cruza esa misma construcción de conocimiento. Ahora nuestra interacción es aproximarnos al plano individual, al del educando en una doble dimensión: por un lado, lo tocante al nivel consciente de la realidad y, por otro, al registro de los procesamientos inconscientes del mismo sujeto. Está empresa enormemente espinosa no se desarrollará sino de manera sesgada y delimitada alrededor de algunos elementales comentarios sobre un trabajo de aproximación hecho por Emilia Ferreiro (discípula de Piaget) y Carlos Volnovich (psicoanalista) en un artículo titulado “Supuestos cognitivos en psicoterapia psicoanalítica de niños”. Ahí los autores concluían que”… no es la ausencia de conflicto lo que caracteriza al desarrollo cognitivo. Pero tampoco es un conflicto derivado del conflicto afectivo. La aproximación entre ambos tipos de conflictos no puede obtenerse mágicamente por la identificación semántica común. Pero a partir de esta confluencia básica es posible identificar ciertos conflictos afectivos expresados a través de la lógica propia a la resolución de los conflictos cognitivos de un periodo de desarrollo determinado…”12

10 G. Borosseau, Estudio local de procesos de adquisición en situaciones escolares, y Escuela de Verano 1984

(nota de Gesia Galvez), DIESINVESTAV-IPN, mimeo.

11 David Block y Papucostas Alcibíades, “Didáctica constructiva y matemáticas: una introducción”, en Cero en

conducta, No. 4, marzo-abril, 1986, pp.13-23.

12 René Diatkine, Emilia Ferreiro, et. al., Problemas de la interpretación en psicoanálisis de niños, Ed. Gedisa,

Barcelona, 1981, p. 99. El subrayado es nuestro.



Como lo señalan estos autores, existe una especificidad entre el conflicto cognitivo y el conflicto afectivo: el primero apunta hacia las posibilidades de “equilibración de estructuras cognitivas”, teniendo como función el paso de un menor a un mayor nivel de organización “de una pauta evolutiva normal”.13 El segundo, es “la resonancia emocional de una experiencia”14 que entra en oposición (a nivel consciente) con los deseos manifiestos del sujeto, desencadenando una situación sintomática. Cada uno de estos conflictos son independientes, lo que no excluye que puedan entrar en una relación dinámica, de tal manera que lo reprimido (lo evitado o desalojado de la conciencia) busque encontrar “por vía de la simbolización… y los giros lingüísticos para (su expresar inconsciente)”.15

En este sentido, en el plano pedagógico, lo que no es válido es reducir mecánicamente un conflicto a otro, olvidando que en ciertas ocasiones se producen “trastornos de aprendizaje derivados por las metodologías” que muchas veces van al sentido opuesto al proceso espontáneo del conocimiento del niño16 y no derivan precisamente en un conflicto afectivo. Lo que en última instancia es recomendable en el plano de la práctica escolar, es ser sensible al escuchar de todo mensaje manifiesto o latente que el niño promueva a través de sus múltiples conflictivas diarias, sin que precisamente uno se vea obligado a resolver –la resolución corre por cuenta de la familia y del propio sujeto; el maestro es sólo un canal de incomunicaciones entre ellos.

13

Ibid., p. 97-98.

14 .J Laplanche, J. B. Pantalis, Diccionario de psicoanálisis, Ed. Labor, Barcelona, 1987, p. 12.

15 S. Freud, Obras completas, Ed. Amorrortu, Bs. As, 1980, Vol. 2, p. 188.

16 E. Ferreiro, Transtornos de aprendizaje producidos por la escuela, conferencia 12/09/75, mimeo.



IV: Conclusiones. Lo tratado aquí sirva para pensar cuán compleja son las relaciones entre diseño didáctico y proceso pedagógico; entre el conocimiento matemático y el trabajo de su apropiación; entre los conflictos derivados de las metodologías de enseñanza, de los avatares cognitivos del sujeto tendientes a la reconstrucción de conocimientos y los decantados por los anudamientos afectivos en la historia del mismo. Pensamos que el problemática de la enseñanza matemática no existe si la pensamos como algún tipo de mal endémico que hay que eliminar. Por el contrario, hipotetizamos que las problemáticas se construyen así como los objetos teóricos y por lo mismo al ser tan diversos no se trata de encontrar soluciones en abstracto, sino de producir varias posibilidades de abordaje al respecto. Finalmente, lo planteado aquí merecería seguramente nuevas reflexiones y profundizaciones que vayan más allá de los simples balbuceos vertidos en éstas líneas.

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