Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

¿Que es un embaldosado?

Marıa Isabel Cortez

Departamento de Matematica y Ciencia de la ComputacionUniversidad de Santiago.

3 de octubre 2006

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Piso de casa cubierto de baldosas.

I Las baldosas cubren todoel piso (no dejan espaciossin cubrir).

I Las baldosas no sesuperponen ( solo se tocanen los bordes).

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Piso de casa cubierto de baldosas.

I Las baldosas cubren todoel piso (no dejan espaciossin cubrir).

I Las baldosas no sesuperponen ( solo se tocanen los bordes).

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Piso de casa cubierto de baldosas.

I Las baldosas cubren todoel piso (no dejan espaciossin cubrir).

I Las baldosas no sesuperponen ( solo se tocanen los bordes).

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosado.

I En lugar del piso, un grancuadrado en el plano.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosado.

I En lugar del piso, un grancuadrado en el plano.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Embaldosado.

I En lugar del piso, un grancuadrado en el plano.

I En lugar de las baldosasdel piso, tomamospolıgonos en E verificandolo siguiente:

I su reunion es igual a E .

I solo se intersectan en losbordes.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Embaldosado.

I En lugar del piso, un grancuadrado en el plano.

I En lugar de las baldosasdel piso, tomamospolıgonos en E verificandolo siguiente:

I su reunion es igual a E .

I solo se intersectan en losbordes.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Embaldosado.

I En lugar del piso, un grancuadrado en el plano.

I En lugar de las baldosasdel piso, tomamospolıgonos en E verificandolo siguiente:

I su reunion es igual a E .

I solo se intersectan en losbordes.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosado.

I En lugar del piso, un grancuadrado en el plano.

I En lugar de las baldosasdel piso, tomamospolıgonos en E verificandolo siguiente:

I su reunion es igual a E .

I solo se intersectan en losbordes.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosado.

I En lugar del piso, un grancuadrado en el plano.

I En lugar de las baldosasdel piso, tomamospolıgonos en E verificandolo siguiente:

I su reunion es igual a E .

I solo se intersectan en losbordes.

I pueden tener una marcao color.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Embaldosado.

I En lugar del piso, un grancuadrado en el plano.

I En lugar de las baldosasdel piso, tomamospolıgonos en E verificandolo siguiente:

I su reunion es igual a E .

I solo se intersectan en losbordes.

I pueden tener una marcao color.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Embaldosado.

I En lugar del piso, un grancuadrado en el plano.

I En lugar de las baldosasdel piso, tomamospolıgonos en E verificandolo siguiente:

I su reunion es igual a E .

I solo se intersectan en losbordes.

I pueden tener una marcao color.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Embaldosado.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Embaldosado de la silla

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Embaldosado de Penrose.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Embaldosado de Pinwheel.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

I El cuadrado E (la superficie a embaldosar) se puede tomartan grande como uno quiera.

I Cuando el cuadrado E es tan grande como el plano, decimosque el embaldosado es un embaldosado del plano.

I Los embaldosados del plano no se pueden dibujar completos.

I Se pueden dibujar pedazos de un embaldosado del plano.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

I El cuadrado E (la superficie a embaldosar) se puede tomartan grande como uno quiera.

I Cuando el cuadrado E es tan grande como el plano, decimosque el embaldosado es un embaldosado del plano.

I Los embaldosados del plano no se pueden dibujar completos.

I Se pueden dibujar pedazos de un embaldosado del plano.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

I El cuadrado E (la superficie a embaldosar) se puede tomartan grande como uno quiera.

I Cuando el cuadrado E es tan grande como el plano, decimosque el embaldosado es un embaldosado del plano.

I Los embaldosados del plano no se pueden dibujar completos.

I Se pueden dibujar pedazos de un embaldosado del plano.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

I El cuadrado E (la superficie a embaldosar) se puede tomartan grande como uno quiera.

I Cuando el cuadrado E es tan grande como el plano, decimosque el embaldosado es un embaldosado del plano.

I Los embaldosados del plano no se pueden dibujar completos.

I Se pueden dibujar pedazos de un embaldosado del plano.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosados del plano periodicos.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosados del plano periodicos.

I Si se traslada esteembaldosado del planodesde uno de los puntosmarcados al otro, elembaldosado del planoresultante es el mismo.

I Los embaldosados delplano con esta propiedadse llaman periodicos.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosados del plano periodicos.

I Si se traslada esteembaldosado del planodesde uno de los puntosmarcados al otro, elembaldosado del planoresultante es el mismo.

I Los embaldosados delplano con esta propiedadse llaman periodicos.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosados del plano periodicos.

I Si se traslada esteembaldosado del planodesde uno de los puntosmarcados al otro, elembaldosado del planoresultante es el mismo.

I Los embaldosados delplano con esta propiedadse llaman periodicos.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosados del plano no periodicos.

I Este embaldosado delplano no es periodico.

I Los embaldosados delplano que no sonperiodicos se llaman noperiodicos.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosados del plano no periodicos.

I Este embaldosado delplano no es periodico.

I Los embaldosados delplano que no sonperiodicos se llaman noperiodicos.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosados del plano no periodicos.

I Este embaldosado delplano no es periodico.

I Los embaldosados delplano que no sonperiodicos se llaman noperiodicos.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosados del plano repetitivos.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosados del plano repetitivos.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosados del plano repetitivos.

I Cualquier dibujo de esteembaldosado del plano serepite a traves de todo elembaldosado, y lo hace demanera que no hayanespacios muy grandes entreuna copia y otra del dibujo.

I Los embaldosados delplano que tienen estapropiedad se llamanrepetitivos.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosados del plano repetitivos.

I Cualquier dibujo de esteembaldosado del plano serepite a traves de todo elembaldosado, y lo hace demanera que no hayanespacios muy grandes entreuna copia y otra del dibujo.

I Los embaldosados delplano que tienen estapropiedad se llamanrepetitivos.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Embaldosados del plano repetitivos.

I Cualquier dibujo de esteembaldosado del plano serepite a traves de todo elembaldosado, y lo hace demanera que no hayanespacios muy grandes entreuna copia y otra del dibujo.

I Los embaldosados delplano que tienen estapropiedad se llamanrepetitivos.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Embaldosado no repetitivo.

I El cuadrado azul no serepite.

I Este embaldosado no esrepetitivo.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Embaldosado no repetitivo.

I El cuadrado azul no serepite.

I Este embaldosado no esrepetitivo.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Embaldosado no repetitivo.

I El cuadrado azul no serepite.

I Este embaldosado no esrepetitivo.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

I Todos los embaldosados del plano que son periodicos sonrepetitivos.

I Hay embaldosados del plano que no son periodicos pero queson repetitivos.

I Hasta los anos 60 se creıa que no habıan embaldosados delplano que fueran no periodicos y repetitivos.

I Berger, a finales de los 60, fue el primero que construyo unembaldosado del plano no periodico y repetitivo. Esteembaldosado tenıa mas de 20.000 tipos diferentes de baldosas.

I Penrose, a comienzos de los 70, construyo un embaldosadodel plano no periodico y repetitivo ocupando solo 2 tiposdiferentes de baldosas. Este embaldosado es el famosoembaldosado de Penrose.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

I Todos los embaldosados del plano que son periodicos sonrepetitivos.

I Hay embaldosados del plano que no son periodicos pero queson repetitivos.

I Hasta los anos 60 se creıa que no habıan embaldosados delplano que fueran no periodicos y repetitivos.

I Berger, a finales de los 60, fue el primero que construyo unembaldosado del plano no periodico y repetitivo. Esteembaldosado tenıa mas de 20.000 tipos diferentes de baldosas.

I Penrose, a comienzos de los 70, construyo un embaldosadodel plano no periodico y repetitivo ocupando solo 2 tiposdiferentes de baldosas. Este embaldosado es el famosoembaldosado de Penrose.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

I Todos los embaldosados del plano que son periodicos sonrepetitivos.

I Hay embaldosados del plano que no son periodicos pero queson repetitivos.

I Hasta los anos 60 se creıa que no habıan embaldosados delplano que fueran no periodicos y repetitivos.

I Berger, a finales de los 60, fue el primero que construyo unembaldosado del plano no periodico y repetitivo. Esteembaldosado tenıa mas de 20.000 tipos diferentes de baldosas.

I Penrose, a comienzos de los 70, construyo un embaldosadodel plano no periodico y repetitivo ocupando solo 2 tiposdiferentes de baldosas. Este embaldosado es el famosoembaldosado de Penrose.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

I Todos los embaldosados del plano que son periodicos sonrepetitivos.

I Hay embaldosados del plano que no son periodicos pero queson repetitivos.

I Hasta los anos 60 se creıa que no habıan embaldosados delplano que fueran no periodicos y repetitivos.

I Berger, a finales de los 60, fue el primero que construyo unembaldosado del plano no periodico y repetitivo. Esteembaldosado tenıa mas de 20.000 tipos diferentes de baldosas.

I Penrose, a comienzos de los 70, construyo un embaldosadodel plano no periodico y repetitivo ocupando solo 2 tiposdiferentes de baldosas. Este embaldosado es el famosoembaldosado de Penrose.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

I Todos los embaldosados del plano que son periodicos sonrepetitivos.

I Hay embaldosados del plano que no son periodicos pero queson repetitivos.

I Hasta los anos 60 se creıa que no habıan embaldosados delplano que fueran no periodicos y repetitivos.

I Berger, a finales de los 60, fue el primero que construyo unembaldosado del plano no periodico y repetitivo. Esteembaldosado tenıa mas de 20.000 tipos diferentes de baldosas.

I Penrose, a comienzos de los 70, construyo un embaldosadodel plano no periodico y repetitivo ocupando solo 2 tiposdiferentes de baldosas. Este embaldosado es el famosoembaldosado de Penrose.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

Embaldosado de Penrose.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

I A principios de los 80, un grupo de fısicos descubrio loscuasicristales. Un tipo de material cuya estructura atomicaes como un embaldosado no periodico y repetitivo.

I Desde finales de los 80 y hasta hoy, se estudian muchosproblemas relacionados con embaldosados del plano. Porejemplo, en el area de los sistemas dinamicos, se hadesarrollado toda una lınea que tiene que ver conembaldosados del plano.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

I A principios de los 80, un grupo de fısicos descubrio loscuasicristales. Un tipo de material cuya estructura atomicaes como un embaldosado no periodico y repetitivo.

I Desde finales de los 80 y hasta hoy, se estudian muchosproblemas relacionados con embaldosados del plano. Porejemplo, en el area de los sistemas dinamicos, se hadesarrollado toda una lınea que tiene que ver conembaldosados del plano.

Introduccion.Embaldosados.

Embaldosados del planoClasificacion de los embaldosados del plano

Embaldosados autosimilares

I Los embaldosados del plano repetitivos y no periodicos nosiempre son faciles de describir.

I Hay un tipo especial de estos embaldosados que si son facilesde describir. Estos son los embaldosados autosimilares.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

I Los embaldosados del plano repetitivos y no periodicos nosiempre son faciles de describir.

I Hay un tipo especial de estos embaldosados que si son facilesde describir. Estos son los embaldosados autosimilares.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Embaldosado de la silla

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Tipos de baldosas del embaldosado de la silla

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Paso 1.

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Embaldosados autosimilares

Paso1.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Paso1.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Paso 2.

Introduccion.Embaldosados.

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Embaldosados autosimilares

Paso2.

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Embaldosados autosimilares

Paso 2.

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Embaldosados autosimilares

Paso n, con n muy grande.