¿qué es la demostración matemática?

7/28/2019 Qu es la demostracin matemtica?

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Qu es la demostracin matemtica?

Juan Carlos Ponce Campuzano

[email protected]

UQ

5 de febrero de 2015

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https://www.uq.edu.au/https://www.uq.edu.au/


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La demostracin es un dolo ante el cual el matem-

tico se tortura a s mismo.

Sir Arthur Stanley Eddington

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Contenido

1. La necesidad de demostrar 7

2. Demostracin matemtica 8

3. El mtodo axiomtico 11

4. Conjeturas 12

4.1. Conjetura de Golbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2. Conjetura de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5. Tipos de demostracin 15

5.1. Demostracin por contradiccin o reduccin al absurdo . . . . . . . . 15

5.2. Demostracin por induccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.3. Demostracin con ejemplos y contra-ejemplos . . . . . . . . . . . . . . 17

6. Fundamentacin de la matemtica a travs de la demostracin 19

7. Comentarios finales 24

Apndice 26

A. Demostracin Euclidiana 28

Referencias 33

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1. La necesidad de demostrar

Observa los siguientes tringulos:

Figura 1:

Para cada tringulo se ha realizado la medicin de sus ngulos internos con un

instrumento de gran precisin, en este caso un programa llamado GeoGebra. Como

puedes observar, en el tringulo ABCtenemos que

= 47.33 = 67.79 y = 64.89

Al sumar los ngulos obtenemos

++= 47.33+67.79+64.89=180.01

Por otra parte, al sumar los ngulos =98.8, =42.54 y =38.67 del tringulo

DFE, obtenemos

++=98.8+42.54+38.67=180.01

Si trazamos otro tringulo diferente y medimos sus ngulos internos, el resultado

de la suma de estos ser cercano a 180 salvo algunas dcimas de diferencia. Con

base en esto, podramos afirmar que:La suma de los ngulos internos de un tringulo

cualquiera es180, ms o menos una pequea diferencia en los decimales.

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Es posible trazar ms tringulos con la finalidad de medir los ngulos internos y

verificar que se cumple la afirmacin anterior. Sin embargo, es suficiente hacer una

cantidad finita de casos para convencernos. De hecho, podemos establecer la siguien-

teConjetura:

La suma de los ngulos internos de un tringulo cualquiera es igual a180.

La conjetura anterior se puede sustentar por la evidencia emprica que se obtiene al

medir los ngulos internos y, posteriormente, sumarlos. Esta es una estrategia para

justificar la conjetura y difcilmente encontraremos un ejemplo que la contradiga. En

este punto surge la pregunta:

Tendramos que verificar esta Conjetura para todos y cada

uno de los posibles tringulos que se pueden dibujar?

La respuesta es no. En matemticas es posible realizar una comprobacin que no

dependa de la evidencia emprica. Este tipo de comprobacin la podemos llamar

demostracin matemticao formalo simplementedemostracin.

2. Demostracin matemtica

En la antigedad, la evidencia emprica era suficiente para demostrar un hecho.

Podemos utilizar la palabraJustificacinpara referirnos a una comprobacin con base

en la evidencia emprica. Actualmente, la justificacin sigue siendo parte de la vidacotidiana en las pequeas o grandes sociedades, sin embargo, con el desarrollo de

las ciencias y en particular de las matemticas, la justificacin de algn hecho ha

evolucionado en trminos de la comprobacin axiomtica que ha dado lugar a la

Demostracin matemtica. Como ejemplo, veamos a continuacin una demostracin

del siguiente:

Teorema 2.1.La suma de los ngulos internos de un tringulo es igual a 180.

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Sea ABCun tringulo cualquiera con ngulos internos , y , como se muestra en

la Figura:

Figura 2:

Tracemos una rectal que pase por el vrtice B, paralela al lado AC, y prolonguemos

los lados de los tringulos (Figura3).

Figura 3:

Consideremos los ngulos y como se muestra en la Figura 3, que junto con

el ngulo forman un ngulo llano, es decir, un ngulo de 180. De esta manera,

tenemos que

++= 180

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Ahora, dado que la recta l es paralela al lado AC, entonces los ngulos y son

iguales, por ser ngulos alternos internos. Lo mismo sucede con los ngulos y

(Figura3). En otras palabras = y = .

De lo anterior podemos deducir que

++= 180

Por lo tanto, hemos demostrado que la suma de los ngulos internos de un tringulo

cualquiera es igual a 180.

Este tipo de demostracin se debe principalmente a los griegos (siglo VII a. C.) y su

mayor expositor es el famoso Euclides con su libro Los Elementos1 [6].

Los griegos consideraron a las matemticas como un cuerpo de conocimiento abso-

luto en donde los hechos matemticos se establecan para cada caso sin excepcin.

La verdad de un hecho matemtico deba establecerse, o comprobarse, no slo por

medio de la observacin precisa o por la evidencia emprica. Los griegos tenan que

evitar una situacin en la que la validez de los resultados dependa de la experien-

cia, la intuicin o suposiciones implcitas de cualquier individuo. La Geometra, por

ejemplo, deba basarse en un nmero relativamente pequeo de los proposiciones

fundamentales (conocidos como axiomas) que pueden ser fcilmente aceptados y

todas las dems proposiciones deben ser demostradas a partir de estos axiomas me-

diante la aplicacin de las leyes del razonamiento lgico.

El enfoque axiomtico de Euclides no slo es de importancia histrica. Se convirti

en la idea central de las matemticas que se desarrollaron posteriormente e incluso

en las matemticas actuales. Las estructuras matemticas modernas se describen a

menudo a travs del mtodo axiomtico.

1Para ver otro ejemplo de demostracin Euclidiana, ver Apndice A.

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3. El mtodo axiomtico

El mtodo axiomtico, en su forma actual, consiste en realizar ciertas afirmaciones

bsicas acerca de un grupo de conceptos matemticos, usando algunos trminostcnicos indefinidos o conceptos primitivos y algunos trminos de la lgica clsica.

Por regla general no se describen las significaciones de los trminos lgicos, ni se

formulan reglas acerca de su uso, ni los mtodos disponibles para demostrar los

teoremas.

Las afirmaciones bsicas se llaman axiomas o postulados, stos describen relaciones

entre las entidades indefinidas y las propiedades que las caracterizan. Los postuladoso axiomas son proposiciones no definitorias ni demostradas.

Dentro de un sistema axiomtico se supone que pueden emplearse las reglas de la

lgica clsica sobre la contradiccin y el Principio del tercero excluido2 para demostrar

teoremas a partir de los axiomas.

Una vez que se han establecido los trminos tcnicos indefinidos y los postulados,

la teora entera se encuentra determinada; en el sentido de que toda ella se puedederivar de los postulados, es decir, todo trmino de la teora es definible a partir

de los trminos indefinidos, y toda proposicin de la teora es deducible, mediante

argumentos lgicos, de los postulados.

Lo anterior significa que una vez formulados los postulados de una teora, cualquier

otra proposicin de la teora tiene que demostrarse exclusivamente por deduccin

lgica a partir de los postulados.El carcter deductivo de la demostracin matemtica es la base de la certeza matem-

tica, la demostracin rigurosa de un teorema establece una comprensin condicional

de que la proposicin es verdadera siempre que sean verdaderos los postulados; la

demostracin de una proposicin matemtica significa que la proposicin se deriva

2Elprincipio del tercero excluido, propuesto y formalizado por Aristteles, tambin llamado principio del tercero excluso

o en latnprincipium tertii exclusi, es un principio de lgica clsica segn el cual la disyuncin de una proposicin y su

negacin es siempre verdadera.

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lgicamente de los postulados de la teora. Una verdad matemtica es irrefutable-

mente cierta porque carece de contenido emprico o factual.

Una vez formulado un sistema de axiomas y de conceptos indefinidos, se procede a

observar qu afirmaciones quedan implicadas, o pueden demostrarse o deducirse a

partir del sistema.

Una caracterstica necesaria de un sistema axiomtico es su consistencia, es decir,

que los axiomas de un mismo sistema no se contradigan unos a otros. Tambin es

importante, pero no necesario, que los axiomas sean independientes, esto es, que un

postulado de un sistema axiomtico no pueda deducirse del resto de los postulados

del sistema. Jean Cavaills menciona adems otra caracterstica de un sistema axio-mtico, esta es, la saturacin: un sistema es saturado si la adjuncin de todo nuevo

axioma, independiente de los precedentes, hace que el sistema sea contradictorio [4,

p. 80].

4. Conjeturas

A pesar de que la demostracin ha formado parte esencial en el desarrollo de las

matemticas, los matemticos algunas veces suelen tomar por verdadera una pro-

posicin (o afirmacin) que no ha sido demostrada. Cuando una proposicin no ha

sido demostrada formalmente, se le denomina comnmenteConjetura.

Las conjeturas a menudo desempean un papel importante en el desarrollo de las

matemticas. Pueden surgir de la experimentacin y observacin que realizan losmatemticos en distintos contextos, tal y como lo hacen otros cientficos. En ese caso,

la conjetura forma parte de la naturaleza de una generalizacin. Los matemticos

pueden considerar una afirmacin como verdadera para todos los casos porque han

visto que es consistente para muchos casos y nunca han encontrado un caso para el

cual no es cierto.

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Las conjeturas a veces resultan ser ciertas y otras veces se ha demostrado su falsedad.

Pero hay algunas conjeturas bien conocidas que se han resistido a los esfuerzos de los

matemticos para demostrarlas o incluso no se ha encontrado un argumento lgico

formal para refutarlas. Un ejemplo de ello es la famosa conjetura de Goldbach.

4.1. Conjetura de Golbach

En 1742 el matemtico prusiano Christian Goldbach (1690-1764) escribi una carta

al matemtico suizo Leonhard Euler (1707-1783), comentando que todo entero n

mayor que 2 es la suma de dos nmeros primos. Euler estaba convencido de la

veracidad de esta afirmacin, aunque no fue capaz de demostrarla.

Conjetura de Golbach:Todo nmero par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos

nmeros primos.

Algunos ejemplos de la anterior conjetura son: 2+2 = 4, 5+3 = 8, 11+3 = 14,

7+3= 10.

Han pasado ya poco ms de 270 aos y nadie ha resulto esta conjetura. No se ha

podido demostrar su validez ni su falsedad. Aunque existen algunas esperanzas pues

actualmente existen matemticos profesionales enfocados en demostrar la conjetura,

tal es el caso del peruano Harald Andrs Helfgott quien, recientemente, hizo pblica3

una demostracin de la conjetura dbil de Goldbach a mediados de Mayo 2013:

Conjetura dbil de Golbach: Todo nmero impar mayor que 5 puede expresarse comosuma de tres nmeros primos.

Se puede tener acceso a la demostracin de Helfgott en el sitio arXiv4. Actualmente

se encuentra en revisin por expertos matemticos.

3Para mayores detalles al respecto consultar:[10,11].4Sitio auspiciado por la Universidad Cornell y por la National Science Foundation. Bsicamente, es un archivo para

borradores electrnicos de artculos cientficos en el campo de las matemticas, fsica, informtica, biologa cuantitativa,

entre otros temas: http://arxiv.org/

13
http://arxiv.org/http://arxiv.org/


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4.2. Conjetura de Fermat

En 1637, Pierre de Fermat (1601-1665) conjetur que:

Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos

bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado,

en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostracin

realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeo para poner-

la.

Se puede parafrasear lo anterior en lenguaje matemtico moderno:

Sines un nmero entero mayor que 2, entonces no existen nmeros enteros

x,y y z, tales que se cumpla la igualdad:

xn +yn +zn.

Actualmente ha dejado de ser una conjetura porque, en 1995, el matemtico ingls

Andrew Wiles demostr que efectivamente era cierto lo que Fermat haba conjetura-do. Hoy en da se le conoce como el ltimo Teorema de Fermat, oTeorema de Fermat-

Wiles, y es uno de los teoremas ms famosos en la historia de la matemtica.

Wiles, en un artculo de 98 pginas publicado enAnnals of mathematics5, demostr el

caso semiestable del Teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente una conjetura,

que engarza las formas modulares y las curvas elpticas. De este trabajo, combina-

do con las ideas del matemtico alemn Gerhard Frey y con el Teorema de Ribet, sedesprende la demostracin delltimo Teorema de Fermat6 [14].

5Actualmente se puede consultar en lnea el trabajo de Wiles: http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf

6Consultar [1]para una resea histrica y anlisis de la demostracin de Wiles.

14
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdfhttp://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf


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5. Tipos de demostracin

Hay tcnicas bien establecidas para la construccin de una demostracin. La ms

comn es un argumento directo que comienza con una lista de hechos e hiptesisaceptadas para proseguir despus con el uso de la regla lgica conocida comomodus

ponenspara llegar a la conclusin deseada. Sin embargo, hay otros tipos que son de

uso frecuente.

5.1. Demostracin por contradiccin o reduccin al absurdo

Este tipo de argumento, a menudo llamadoindirectose basa en la regla lgicamodus

tollens oreductio ad absurdum. Supongamos que queremos demostrar que A implica

B. Comenzamos la discusin al afirmar queBno es cierto y luego vamos a mostrar

queA o alguna otra hiptesis conocida debe fallar. Un ejemplo clsico es el siguiente:

Ejemplo:

2es irracional.

Como bien sabemos existen diferentes tipos de nmeros o conjuntos de nmeros.

Tenemos por ejemplo, los nmeros naturales N, enteros Z, racionales Q, irracionales

I. Todos los anteriores, en conjunto, se denominan nmeros reales y se expresan con

el smbolo R.

En particular, un nmero irracional es un nmero que no puede ser expresado como

una fraccin ab , dondeaybson enteros, conbdiferente de cero, y donde esta fraccin

es irreducible. Algunos ejemplos de este tipo de nmeros son:

Las races cuadradas de nmeros primos:

2,

3,

5, etc.

La razn entre la longitud de una circunferencia y su dimetro: 3.1415....

La constante de Euler:e 2.7182...

Regresando a nuestro ejemplo, la proposicin que deseamos demostrar es la siguien-

te:

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Proposicin.

2es irracional.7

Como podemos apreciar, la proposicin anterior no tiene la formaA implicaB(A B), pero es posible establecerla de esta manera. Esto es,

Proposicin.Si x es un nmero real tal que x2 =2, entonces x= 2es irracional.Demostracin.Para demostrar quex =

2 es irracional, procederemos de tal mane-

ra que en el proceso encontraremos alguna contradiccin.

Supongamos que x =

2 no es irracional. Es decir, x =

2 es racional. Entonces

supongamos quex =

2 puede ser escrito como una fraccin irreducible, es decir,

se puede escribir de la siguiente forma x =

2 = p

q

, donde p yq son enteros cuyo

mximo comn divisor es 1. De aqu deducimos lo siguiente

2 =

pq

2

2q2 = p2

Entonces, dado que 2q2 = p2, se tiene que p yq deben ser pares, lo cual contradice

nuestra suposicin del mximo comn divisor entrepyq.

5.2. Demostracin por induccin

Para demostrar que algunos resultados son vlidos para todo conjunto de nmeros

naturalesn, en una demostracin por induccin se verifica primero el resultado para

el valor ms pequeo den. Posteriormente, a partir de un valor fijon, se demuestra

su verdad para el valor superior inmediato. Esto se puede comparar con subir una

escalera peldao a peldao. En primer lugar, uno se debe asegurar que se encuen-

tra en el escaln ms bajo, y luego comprobar que no importa qu peldao hemos

alcanzado, siempre se puede llegar al siguiente.

7Otra forma equivalente es: 2 no es racional.

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Ejemplo:

Proposicin.Para cada n natural se cumple que

1+3+. . .+ (2n+1) =n2.

Demostracin.Dado que 12 =1, el resultado se cumple claramente por el valor ms

pequeo den, el cual es 1. Si aceptamos este resultado para n= m, entonces, cuando

n=m+1, el lado izquierdo se convierte en

1+3+. . .+ (2m

1) + (2(m+1)

1) =m2 + (2m+1) = (m+1)2,

lo cual da el resultado deseado cuandon se remplaza porm+1.

5.3. Demostracin con ejemplos y contra-ejemplos

Por lo general, los matemticos hacen conjeturas y tratan de demostrar si son ciertas

o falsas. La comprobacin de conjeturas puede ser por medio de casos concretos, por

ejemplo, consideremos la siguiente frmula

P(n) =n2 +n+41 (1)

Si sustituimos valores enteros positivos en la frmula, podemos observar que obtene-

mos nmeros primos. Los nmeros primos paran = 0, 1, 2, 3 . . . son 41, 43, 47, 53 . . .

Entonces, podramos conjeturar que:

Conjetura.Para todo nmero entero positivo, la frmula (1) produce un nmero primo.

Sin embargo, la frmula (1) funciona solo para valores den desde 0, 1, 2, . . . hasta

39. En el caso den = 40 se produce un nmero cuadrado. Es decir

P(40) =402 +40+41= 1681= 412

De esta manera, con un ejemplo especfico hemos demostrado que la frmula (1) no

da un nmero primo para todon. Por lo tanto, nuestra conjetura es falsa.

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De hecho, se sabe que no existe una funcin polinmica no constante f(n)que evale

nmeros primos para todos los enteros positivosn. Esto se puede establecer como

un teorema:

Teorema 5.1([9], p. 186).No existe un polinomio f(n)no constante, con coeficientes ente-

ros, tal que tome valores primos para todos los enteros positivos n.

Demostracin.Supongamos que existe dicho polinomio. Sea

f(n) =aknk +ak1nk1 +. . .+a1n+a0

un polinomio tal que ak= 0 para todo k = 0, 1, 2, 3, . . . el cual toma valores primospara todos los enteros positivosn.

Entonces f(0) =a0es un nmero primo y f(ta0)tambin lo es para todos los valores

posibles det = 1, 2, 3, . . . Pero

f(ta0) =aktkak0+ak1tk1ak10 +. . .+a1ta0+a0

De aqu podemos deducir que a0 divide a f(ta0) para toda t. Dado que f(ta0) esprimo, necesariamente

f(ta0) =a0

para todat = 1, 2, 3, . . .

De esta manera, el polinomio f(n)toma el valora0infinitas veces y por lo tanto f(n)

debe ser constante. Esto es un contradiccin. Por lo tanto, no existe un polinomio

f(n) no constante, con coeficientes enteros, tal que tome valores primos para todoslos enteros positivosn.8

Consideremos ahora la siguiente:

Conjetura.Cada fraccin 4n , donde n es un entero positivo mayor que 2, se puede escribir

como la suma de tres enteros recprocos y distintos 1a+ 1b +

1c , donde a y b y c son enteros

positivos diferentes entre s.

8Este es otro ejemplo de demostracin por contradiccin.

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Un ejemplo en particular de la conjetura anterior es

1

8+

1

20+

1

40=

1

5.

Este ejemplo valida la conjetura para el caso de n = 5. Es posible comprobar unacantidad muy grande de casos especficos, pero en este caso nadie ha encontrado un

argumento general que aplique a todos los casos de n. Para demostrar que es falsa

esta conjetura, solamente se debe encontrar un caso en particular den en el cual una

representacin que deseamos es imposible (Podras encontrar un ejemplo para el

cual no se cumpla la conjetura?).

Como ltimo ejemplo, observemos que los nmeros 31, 331, 3331 son primos y po-dramos conjeturar que cualquier nmero, que se forman por dgitos de 3 con excep-

cin del ltimo, son primos. Sin embargo, para demostrar que esto es falso podemos

usar el ejemplo 333333331, el cual es un nmero compuesto pues

333333331 = 17 19607843.

6. Fundamentacin de la matemtica a travs de la demostracin

Claramente, la demostracin es el proceso central en un sistema axiomtico y es cen-

tral en las diferentes teoras matemticas, e incluso en la prctica. El enfoque axio-

mtico fue adoptado por Euclides y se ha convertido en un paradigma fundamental

de las matemticas.

Sin embargo, la demostracin no slo es un proceso para validar una nueva verdad

matemtica en general, incluso va ms all de los confines de un sistema axiomtico.

Debido a que es un procedimiento y no un resultado, una demostracin puede ser

vlida en s misma, incluso si se parte de premisas falsas o invlidas. Normalmente,

por supuesto, una demostracin comienza con proposiciones verdaderas conocidas

verdaderas y culmina con una nueva proposicin que, una vez demostrada, se con-

vierte en un teorema y representa nuevos conocimientos matemticos.

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Es necesario demostrar formalmente cualquier hecho matemtico?

La respuesta es no. Es cierto que la demostracin es esencial en matemticas, pero

incluso algunos matemticos profesionales aceptan hechos matemticos sin demos-trar [3]. Han existido diversos intentos por sistematizar las matemticas y las leyes

que las gobiernan. Uno de los primeros en realizar esta labor fue Euclides, el cual,

como ya se mencion antes, intent derivar todas las reglas de la geometra a partir

de axiomas bsicos. Posteriormente, filsofos y matemticos como Ren Descartes,

Immanuel Kant, Frank Boole, Gottlob Frege y Giuseppe Peano intentaron hacer lo

mismo con otras ramas de las matemticas.

Los matemticos ingleses Bertrand Russell y Albert North Withehead trabajaron con-

juntamente para tratar de re-elaborar todas las matemticas a partir de unos cuantos

principios bsicos, tal como haba hecho Euclides dos mil aos atrs, en lo que ellos

denominaron teora de los tipos. Como resultado de este mtodo publicaron, entre

1903 y 1910, un tratado monumental, tituladoPrincipia Mathematica (Principios Ma-

temticos). Desafortunadamente, la obra era tan vasta y compleja que nadie qued

convencido de que a partir de sus postulados podran derivarse todas las demostra-

ciones posibles sin caer jams en contradicciones (Figura4).

Todo el esfuerzo intelectual de filsofos y matemticos por establecer que era posi-

ble demostrar formalmente cualquier hecho matemtico se vio mermado cuando, en

1931, apareci un personaje que acabara con los sueos de aquellos que considera-

ban a las matemticas como un cuerpo de conocimientos absoluto e infalible.

El matemtico austriaco Kurt Gdel demostr que no era posible demostrarlo to-

do en matemticas. En contra de lo que pensaban la mayora de los especialistas:

Las matemticas son incompletas. Para ser ms precisos, Gdel demostr que en

los Principia Mathematica poda existir una proposicin que al mismo tiempo fue-

se verdadera e indemostrable. Esto ocurrira con cualquier sistema axiomtico, con

cualquier tipo de matemticas existente ahora o que pudiera existir en el futuro.

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Figura 4: Principia Mathematica: Suma aritmtica de cardinales, pgina 77.

Godl, en 1931, public un artculo tituladober formal unentscheidbare Stze der Prin-

cipia Mathematica und verwandter Systeme. (Una traduccin al espaol sera:Acerca de

la proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relaciona-

dos) en la revista alemanaMonatshefte fr Mathematik und Physik. El teorema principal

de dicho artculo es el siguiente:

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Teorema de Gdel [7]:

A cada clase k w-consistente y recursiva de formulae corresponden signos de clase

r recursivos, de modo que ni v Genr niNeg(v Genr) pertenecen aFlg(k) (donde

v es la variante libre de r).

Cabe mencionar que Gdel public su teorema originalmente en alemn y quiz

parece que sigue estando en ese idioma. Una versin ms inteligible es la siguiente:

Toda formulacin axiomtica de teora de los nmeros incluye proposiciones indecidibles.

Bsicamente, Gdel estableci que en cualquier sistema (en cualquier ciencia, encualquier lengua, en cualquier mente) existen aseveraciones que son ciertas pero

que no pueden ser comprobadas dentro de ese sistema. Incluso si un teorema es

cierto, resultara matemticamente imposible demostrarlo. La mente humana, la cual

existe dentro de un universo limitado, no puede percibir una entidad inmensa que

se extienda ms all de los confines de un sistema.

El teorema de Gdel est relacionado de alguna manera con el teorema de George

Cantor (1845-1918) acerca de la no existencia de un nmero cardinal mayor que cual-

quier otro. Esto es, Cantor demostr que dado cualquier conjunto (por muy grande

que este sea, finito o infinito), existe un conjunto ms grande: el conjunto de todos

los subconjuntos del conjunto dado. Dado cualquier sistema infinito, existe siempre

un sistema infinito ms grande, uno cuya carnalidad es mayor. Dentro de cualquier

sistema limitado, existen entidades que no pueden ser percibidas o alcanzadas o

demostradas, por lo cual necesitaramos movernos a un sistema mayor para com-

prender esas entidades, pero cuando hacemos eso, nos encontramos con sistemas

ms grandes y entidades que se encuentran ms all de stos.

Podemos hacer una analoga con el sistema operativo de una computadora para

ejemplificar como es que un sistema es incompleto con respecto a algunos teoremas.

Supn que ests trabajando en un documento de algn programa en tu computado-

ra (por ejemplo un procesador de texto), el cual puedes ver en tu pantalla. Puedes

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hacer diferentes cosas en el documento: escribir, mover texto, insertar fotos, mover

fotos, cortar y pegar informacin, entre muchas otras cosas. Sin embargo, no es po-

sible borrar el documento en el cual ests trabajando dentro del documento mismo.

Para hacer esto, necesitas salir del documento y realizar la operacin dentro de otrosistema mayor.

El teorema de Gdel es de gran importancia para los matemticos, y tambin para los

filsofos, pues nos ensea que algunos teoremas nunca se pueden demostrar. Esta es

una idea perturbadora por muchas razones. El principal objetivo de las matemticas

es construir una estructura de verdades: teoremas, lemas y corolarios, todos cons-

truidos paso a paso a partir de un conjunto bsico de principios llamados axiomas,usando las leyes de la lgica. La demostracin de Gdel del teorema de incompleti-

tud demostr que no importa que tan cuidadosos sean los matemticos para disear

un sistema lgico de principios iniciales sobre los cuales se construya la aritmtica,

el lgebra, el anlisis y todo el resto de las matemticas, tal sistema nunca podr

ser completo. En cual cualquier sistema, siempre habr preguntas que no pueden ser

contestadas. El sistema siempre contendr cuestiones indecidibles (no demostrables),

sin importar si estas son ciertas o no.

7. Comentarios finales

La demostracin en matemticas es esencial para la construccin del conocimiento

matemtico. Bsicamente, ha permitido establecer hechos generales que trascienden

la experiencia y percepcin humana. Las demostraciones matemticas pueden con-

siderarse como portadores de conocimiento [13], las cuales permiten el desarrollo

ulterior de ideas, conceptos e incluso teoras.

En la actualidad, la tecnologa computacional es una componente que no puede pasar

inadvertida. Con el desarrollo de las computadoras, la demostracin en matemticas

ha sufrido cambios drsticos. La ventaja con las computadoras es que son capaces de

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realizar una cantidad extensa de operaciones en un tiempo considerablemente corto.

As que, para el caso de problemas matemticos donde se pueden utilizar mtodos

discretos, es posible establecer demostraciones en este contexto. Ser posible que

una computadora pueda realizar una demostracin matemtica como lo hace unmatemtico experto? Si eso es posible, sern aceptables dichas demostraciones en

el futuro? Sin duda, la naturaleza de la demostracin seguir evolucionando, pues

existe una componente social que interviene sobremanera su desarrollo.

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Apndice

Proofs rather than the statement-form of theorems

are the bearers of mathematical knowledge.

Yehuda Rav [13]

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A. Demostracin Euclidiana

Proposicin 11, Libro I: Trazar una lnea recta que forme ngulos rectos con una recta

dada, desde un punto dado en ella.Antes de proceder con la demostracin de Euclides, mencionar algunos de los re-

sultados previos que l utiliza:

Definicin 10:Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ngulos adyacen-

tes iguales entre s, cada uno de los ngulos es recto y la recta levantada se llama

perpendicular a aquella sobre la que est.

Proposicin 1, Libro I:Construir un tringulo equiltero sobre una recta finita dada.

Proposicin 3, Libro I:Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la

menor.

Proposicin 8, Libro I:Si dos tringulos tienen dos lados del uno iguales respectivamente

a dos lados del otro y tienen tambin iguales sus bases respectivas, tambin tendrn iguales

los ngulos comprendidos por las rectas iguales.

Con base en lo anterior, podemos proceder con la demostracin de Euclides.

Demostracin.

Sea AB la recta dada y sea C un punto cualquiera en AB. As pues, hay que trazar

una lnea recta que forme ngulos rectos con la recta AB desde C.

Figura 5:

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Tmese un puntoD al azar entreACy hagamosCEigual aCD[Proposicin 3, Libro

I].

Figura 6:

SobreDE, construir un tringulo equilteroDFE [Proposicin 1, Libro I] y finalmente

tracemosCF.

Figura 7:

Euclides afirma queCF es perpendicular a AB. Y lo demuestra de la siguiente ma-

nera:

Consideremos los tringulosDCFyECF. Por hiptesis,DCes igual aCEy adems

CFes un lado comn. Por lo tanto, los ngulosDCFyECFson iguales [Proposicin

8, Libro I]; y adems son adyacentes.

Cuando la recta CF se levanta sobre otra recta (AB) y hace los ngulos adyacentes

iguales entre s, entonces cada uno de los ngulos es recto [Definicin 10]. Por lo

tanto, cada uno de los ngulos DCFyECFes recto.

Por consiguiente, ha sido trazada la lnea CF que forma ngulos rectos con la recta

dada AB, desde el puntoC en ella.

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Figura 8:

Comentarios

La demostracin de Euclides es suficiente para sus propsitos. Es posible extender el

resultado de tal manera que el puntoCest en cualquier parte de la rectaAB(aunque

para ser ms precisos, sta recta es un segmento) y el punto D no necesariamente

est entreAy C.

La idea principal es realizar una extensin del segmento AB para que se considere

una recta cualquiera que pase por los puntos AyB. Sobre esta recta se puede cons-

truir un tringulo equiltero cualquiera, cuyos vrtices estn definidos sobre la rectadefinida por los puntos Ay B (Figura9).

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Figura 9:

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¿qué es la demostración matemática?

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