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JM.

AÑADE ESP PAÑAGOBIERNO

DE EDUCMINISTERIO

CIÓN,ACRIO

B-II

INDICE

Prólogo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Texto 1. Título: ¿Quién inventó la geometría? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Cuestionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Para saber más. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Texto 2. Título: El triángulo soy yo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Cuestionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Para saber más. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Texto 3. Título abierto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Cuestionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Para saber más . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

SIGNIFICADO DE LOS ICONOS:Identificación de materias por colores:

Ciencias Naturales Cultura Clásica y Latín Historia Matemáticas

Identificación por niveles:

1.º de E.S.O. 2.º de E.S.O. 3.º de E.S.O. 4.º de E.S.O.

1.º Bachillerato 2.º Bachillerato

Otros iconos:

Actividades

B-I

1

¡Que entren todos los que quieran aprender geometría!

PRÓLOGO

El filósofo griego Platón colocó en la fachada de su Academia un cartel que decía

GEWMETRHTOS MHDEIS ESTW

Traducción: “prohibida la entrada a los ignorantes en geometría”.

Con este cartel, Platón no pretendía asustar a la clientela. Más bien se propo-nía dar la imagen de que allí dentro se accedía a un conocimiento misterioso acercade los secretos del Universo. Y la clave del misterio estaba en la geometría.

Te invitamos a adentrarte por los caminos de la geometría. Por eso, hemosquerido que el título de este cuaderno de lectura recuerde al famoso cartel de Platón,pero dándole la vuelta al eslogan y poniéndolo en positivo. No es una señal de pro-hibición, sino de invitación. Si deseas aprender geometría, aquí tienes una oportu-nidad de oro para entrar en materia, a través de las lecturas y actividades que te pro-ponemos.

Nos remontaremos al nacimiento de la geometría, y veremos cómo surge el es-tudio del triángulo, la figura más simple pero, a la vez, la más interesante. Hablare-mos de Pitágoras y su teorema y de otros personajes históricos...

La propuesta quedará abierta al estudio de nuevas figuras y propiedades geo-métricas. Pero ese camino tal vez puedas hacerlo ya por tu cuenta. ¡Ánimo!

INSTRUCCIONES PARA EL USO DE ESTE CUADERNO

En este cuaderno se incluyen unos textos y preguntas o actividades sobre ellosque tendrás que ir resolviendo. Las respuestas no siempre las hallarás en los textosque te ofrecemos. También tendrás que buscarla en libros y en internet.

Cuando estés en la biblioteca, recuerda que la información que necesitas lapuedes encontrar en libros de ciencias, en el número 5 de la CDU (en concreto, el51 corresponde a Matemáticas y el 511 a la parte de geometría), o en libros sobrebiografías, en el número 929.

Si utilizas un libro, una enciclopedia, el artículo de una revista o una direc-ción de internet no te olvides de indicar su reseña bibliográfica. Hazlo de la siguien-te manera: (normas aconsejadas por CEDRO)

Libro APELLIDO DEL AUTOR. Inicial/es del nombre. (año de publicación)Título. Lugar de publicación: EditorialBALBUENA. L. (2008). Cuentos del cero. Tres Cantos Madrid: Nivola

Artículo de una enciclopedia Título del artículo. Título de la enciclopedia. Lugar de publicación: Editorial,año de publicación, volumen de la enciclopedia, número de la primera pági-na del artículo-número de la última página del artículo.Teorema. Diccionario Anaya de la lengua. Madrid: Anaya, 2002. pág. 1069

Artículo de una revistaAPELLIDO DEL AUTOR. Inicial/es del nombre. (año de publicación)“Título del artículo”. Título de la revista, número de la revista, número de laprimera página del artículo- número de la última página del artículo.ALVAREZ F. (1992) “Cálculos divertidos” Cuadernos de Pedagogía, 166, págs.13-16

Dirección de internetDirección de internet. Consulta: fechahttp://www.divulgamat.net. Consulta: 27 de marzo de 2009.

MATEMÁTICASI.E.S. CANADA DE LAS ERAS

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TEXTO 1

Como ya sabrás, la Geometría es una de las partes en que se subdividen lasmatemáticas. Te proponemos que leas el siguiente texto, para conocer los orígenese importancia de esta ciencia. Las preguntas que siguen a la lectura te orientarán entu aproximación a las figuras geométricas con las que tendrás que familiarizarte a lolargo de este curso.

¿Quién inventó la geometría?“Proclo, filósofo griego del siglo V d.C., en su libro Comentario de Euclides

escribe lo siguiente:“Muchos autores informan que los egipcios fueron los inventores de la geo-

metría, y que nació de la necesidad de medir la tierra cuando las frecuentes crecidasdel Nilo borraban el límite entre las propiedades”.

Esto sucedía 3.000 años antes de nuestra era. El Nilo inundaba todos losaños las tierras de sus orillas, tapando con su limo* las separaciones entre las distin-tas parcelas. Después de la inundación, bajo la geométrica vigilancia de las pirámi-des, un grupo de hombres (los agrimensores) acudían a aquellas tierras, donde aúncoleteaban los peces, y, tras mediciones con cuerdas, y cálculos cuidadosos, devolví-an a cada labrador su campo. Con estas labores los egipcios inventaban la geome-tría. Por esta razón, la palabra geometría significa medida de las tierras.

Está formada por dos palabras griegas: ge, que significa tierra (...), y metron,que significa medida.

Quizá te preguntes: entonces, si la geometría la inventaron los egipcios, ¿porqué tiene un nombre griego?

La razón es muy sencilla: los egipcios conocían ciertas técnicas para trazarun ángulo recto, para medir el área de triángulos, rectángulos y trapecios, el volu-men de prismas y pirámides, pero eran reglas aisladas, nacidas para resolver proble-mas reales muy concretos, y no constituían un saber ordenado, general y lógico, esdecir, una ciencia. Fueron los griegos, a partir del siglo VI a.C., quienes se despega-ron de lo utilitario* y práctico, de lo concreto y aislado, para edificar un bello edi-ficio de conocimientos generales, justificados todos ellos por la razón, al que llama-ron, y llamamos, Geometría.

Cuando la física, la química, la biología y la geología aún no habían naci-do, la geometría era ya una verdadera ciencia. Sólo la astronomía, tan necesaria enla navegación, estaba suficientemente desarrollada, y eso porque, en esencia, erapura geometría.

Un autor actual, Lucio Lombardo Radice, ha escrito lo siguiente en su libroLas matemáticas de Pitágoras a Newton (ed. Laia):

“Los griegos consideraron la geometría como una ciencia formativa, esdecir, como una ciencia que acostumbra al hombre a razonar, que afina la inteligen-cia. Incluso decían que no había que estudiarla con fines prácticos, sino para elhonor de la mente humana. Platón, el gran filósofo discípulo de Sócrates, en su

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MATEMÁTICASi.e.s. cañada de las eras

Limo: lodo, barroblando en sitioshúmedos.

Utilitario: que busca,ante todo, la utilidad,el provecho o benefi-cio de una cosa.

escuela (La Academia) donde se discutían los más difíciles problemas de la lógica,de la política, del arte, de la vida y de la muerte, había mandado escribir encima dela puerta: No entre aquí el que no sepa geometría.

Este culto a la geometría como ciencia soberana, que es la clave para la com-prensión de todo el universo, estaba aún muy vivo en el gran Galileo Galilei (1564-1642). He aquí lo que escribía Galilei: Este grandísimo libro que continuamente tene-mos abierto ante los ojos (hablo del universo) no se puede entender si antes no se apren-de a entender la lengua y a conocer los caracteres en que está escrito. Está escrito en len-gua matemática y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas.

En efecto, si te fijas un poco, observarás que las figuras geométricas están entodas las obras de la naturaleza y del hombre.”

Texto e ilustraciones en GRUPO GAUSS (1985). Geometría Activa. Salamanca: ICE Universidad deSalamanca. Págs 13-14.

MATEMÁTICASI.E.S. CANADA DE LAS ERAS

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CUESTIONARIO

PREGUNTA 1.A partir de la lectura del texto, ¿cuál de las siguientes afirmaciones te parece correcta?:

A) La geometría fue una idea que tuvieron los egipcios para construir las pirámides.

B) En sus inicios, la geometría consistía en reglas prácticas que usaban los griegos para

trazar ángulos y medir áreas de figuras.

C)Aunque la geometría la usaron los egipcios para medir tierras, ya la habían inventa-

do antes los griegos.

D)Si bien la palabra geometría proviene del griego, fueron los egipcios quienes emplea-

ron técnicas geométricas por primera vez en la Historia.

PREGUNTA 2.¿Qué significa la palabra agrimensor? Señala por qué fueron importantes en la historia delas matemáticas.

PREGUNTA 3.Explica el significado etimológico(*) (*Etimológico: relativo al origen de una palabra) de lapalabra geometría.

PREGUNTA 4.Según dice el texto, la geometría griega era verdaderamente una ciencia. ¿Cuáles de lassiguientes características no corresponden al saber científico?:

A) Es un saber ordenado.

B) Con ella sólo se resuelven problemas prácticos muy concretos y aislados

C)Sirve para establecer conocimientos generales.

D)Sus resultados se justifican mediante el razonamiento lógico.

PREGUNTA 5.¿Qué otras ciencias, aparte de la geometría, se mencionan en el texto?

PREGUNTA 6.Expresa en un par de líneas por qué la geometría era importante para los griegos (porejemplo, para el filósofo griego Platón).

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PREGUNTA 7.El texto contiene una cita de Galileo. Resume en dos líneas la opinión que tiene este cien-tífico acerca de la geometría.

PREGUNTA 8.¿Qué tipo de texto es éste que acabas de leer? Señala la opción correcta:

A) Historieta de humor y pasatiempos.

B) Relato de ficción histórica.

C)Fábula con moraleja.

D)Artículo instructivo.

PREGUNTA 9.Las viñetas que aparecen al final del texto, expresan de manera humorística el importantepapel que tuvieron los conocimientos geométricos en los avances tecnológicos de laAntigüedad. ¿En qué invento está pensando el joven personaje del comic? ¿Tiene éxito?¿Cuál es la forma geométrica que le habría sido realmente útil?

PREGUNTA 10.Enumera por lo menos cuatro figuras o formas geométricas que se mencionen en el texto.Al lado de cada una de ellas, traza un dibujo esquemático que la represente, e indica unobjeto de la naturaleza o inventado por el hombre que tenga esa forma. Puedes organizartu respuesta en un cuadro como el siguiente:

PREGUNTA 11.Añade a la enumeración anterior otras cuatro figuras geométricas que tú conozcas, peroque no aparezcan en el texto.

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Nombre de la forma Dibujo Ejemplo de objeto con esa forma

PARA SABER MÁS

ACTIVIDAD 1: Platón: filósofo y geómetra.

El texto contiene una breve referencia al filósofo Platón. Busca más información sobre este importante personaje histórico, en libros de la biblio-teca o en internet. Contrasta la información de al menos dos fuentes distintas.Redacta un resumen de tu investigación, de extensión no superior a treinta líneas, desta-cando algún aspecto interesante de su vida y, sobre todo, sus contribuciones al desarrollode la geometría. Puedes incluir en tu trabajo alguna ilustración de sus ideas geométricas.Es importante que cites tus fuentes.

ACTIVIDAD 2:El universo geométrico de Galileo.

También se nombra en el texto a Galileo Galilei. ¿Quién era este personaje? ¿Qué descubrimientos hizo? Busca la información en al menosdos fuentes distintas ya sea en libros ya en internet.Presenta tu investigación en un resumen de extensión no superior a treinta líneas, comen-tando algún hecho destacable de su biografía y, especialmente, sus descubrimientos rela-cionados con el campo de la geometría. Enumera las ciencias a las que Galileo se dedicóaplicando conocimientos geométricos. No olvides citar tus fuentes.

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TEXTO 2

Retransmiten un partido de futbol; el comentarista se lamenta del juego desu equipo: ¡si es que no saben que el futbol consiste en mover el esférico y triangular eljuego! ... Después del partido, llega la telenovela cuyo argumento se basa, natural-mente, en un triángulo amoroso. Otra vez el triángulo... Se diría que esta figura geo-métrica surge donde menos se espera. Triángulos en las señales de tráfico, en lastorres de alta tensión, en los andamios... Y, por supuesto, ese triángulo omnipresen-te* en los libros de matemáticas y de otras disciplinas científicas...

El texto que te proponemos a continuación desarrolla estas ideas sobre laimportancia del triángulo. Léelo y disfruta. Luego tendrás ocasión de responder aun cuestionario relativo al texto; y, para completar tus conocimientos, podrás reali-zar alguna de las actividades de ampliación.

El triángulo soy yo“¡Hola! Cuando te diga quién soy, sé que vas a decir que me conoces de casi

toda la vida, que me has tratado en muchas ocasiones. Pero yo no estoy tan segurode que realmente sepas mucho sobre mí, aunque te pueda dar esa impresión. Soy eltriángulo; sí, en efecto, esa figura plana de tres lados que entró en tu vida hacemuchos años... Primero me conociste “de vista” pues jugabas conmigo cuando eraspequeño, pero no supiste mi nombre hasta que fuiste a la escuela y allí te lo dijeron.¿O quizá fueron tus padres?

¿Te has preguntado alguna vez por qué me dedican tanto espacio en loslibros? Haz un poco de memoria y recuerda que de las demás figuras casi no se decíanada y sin embargo de mí había páginas y páginas. Eso quiere decir, sencillamente,que soy importante, pero ¿tú sabes por qué?

Por si acaso no lo sabes, trataré de explicártelo dándote algunos datos de mivida. No te los daré todos porque no deseo cansarte con mis cosas, aunque quieroque sepas que mi vida es larga en el tiempo y que está llena de muchos episodios,tantos que si algún día me decido a escribir mis memorias tendré para una largaobra. Quiero que compruebes si lo que te voy a contar ya lo sabías o sólo tenías algu-na vaga idea.

Mi partida de nacimiento no existe porque cuando nací no se hacía este tipode registros, y además la época es tan remota que dudo mucho que el dato se hayaconservado hasta hoy.

De mi infancia más tierna conservo algunos recuerdos. Así, por ejemplo, enel Egipto de los faraones conocí a un escriba que se llamaba Ahmes (o Ahmosis, norecuerdo bien). Era un tipo realmente curioso. Le gustaba hablar con los mayores alos que escuchaba con respeto. Precisamente de uno de ellos recibió unas enseñan-zas que a su vez había oído a sus antecesores. Ahmes, en los ratos libres que le deja-ba su trabajo como agrimensor del faraón, fue pasando aquellas ideas a un papiro.Como sabes, éste era un material sobre el que se escribía en Egipto. No era malo yademás éste del que te hablo ha llegado hasta hoy y se le conoce como el papiro de

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Omnipresente: En todos lados.

Rhind, y se conserva en el Museo Británico. En él verás que Ahmes me hizo variosretratos, muy buenos, por cierto, lo cual no es de extrañar teniendo en cuenta locurioso que era.

Como bien conoces, dispongo de una gama infinita de trajes. A mí me gus-tan todos por igual pero reconozco que hay modelos que algunos prefieren por enci-ma de otros.

En una ocasión me vi sorprendido porque nadamenos que Dios me escogió vestido de equilátero, puso suojo dentro y me utilizó a partir de entonces como uno de sussímbolos. Desde luego es un traje que me queda muy bien.Resulta equilibrado con los tres ángulos y los tres lados igua-les. Con este traje me puedes ver en la bandera de Nicaragua.

También debes saber que soy de lospocos polígonos regulares que teselamos el suelo,es decir, que utilizándome de forma reiterada soycapaz de recubrir cualquier superficie porque,como mi ángulo vale 60º, si nos reunimos seisconseguimos los 360º y no dejamos huecoslibres. Esto lo pueden hacer también el cuadra-do y el hexágono regular. Pero ningún polígonomás de los llamados regulares.

Conocido traje mío es el rectángulo. Nocreo que haya estudiante, por flojo que sea, queno me conozca con este modelo. Y es que estoyrelacionado con el, posiblemente, más popularde los teoremas; el teorema de Pitágoras quedice aquello de: “En todo triángulo rectángulo, elcuadrado de la hipotenusa es igual a la suma delos cuadrados de los catetos”. Ten cuidado, por-que algunos dicen “es igual a la suma de los cate-tos al cuadrado”, y esto es otra cosa, ¿no?

Uno de los mayores éxitos de mi vida loobtuve cuando alguien –nunca he podido saberquién fue- se dio cuenta de que soy el polígono más estable. Meexplico. Si con algún tipo de varilla construyes un polígono cual-quiera que no sea como yo, podrás comprobar con facilidad que esuna forma endeble. Si empujas un poco por algún vértice se defor-ma. Sin embargo, conmigo eso no ocurre porque mi estructura esfirme como un roble. Tengo tanta personalidad que para cambiar-me tienen que destruirme. Por esta razón, cuando a un cuadrado oa cualquier otra estructura se le quiere hacer fuerte y segura, acu-den a mí para conseguirlo. Fíjate por ejemplo en los torreones dela luz. Son una auténtica sinfonía de triángulos.

Si a partir de ahora de fijas un poco, me verás en casi todaspartes.

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Pero, donde realmente se nota mi valía, es en la medida de la superficie delas áreas poligonales. Todo empezó cuando en la antigua Grecia un hombre, querecuerdo bien y al que nunca podré agradecer suficientemente su descubrimiento,obtuvo una fórmula que permite conocer el valor de mi área sabiendo cuánto midenmis lados. La fórmula lleva el nombre de ese ilustre griego: Herón. Es muy sencilla,sobre todo hoy, con la ayuda de las calculadoras. Te la voy a explicar:

Si mis lados miden a, b y c, y unidades, sabes que entonces mi perímetro esP = a+b+c. Pues bien, la mitad de P es mi semiperímetro, p = (a+b+c)/2 y la fórmu-la de Herón establece que mi área es:

así que todo se reduce a sencillas operaciones.

Fíjate ahora qué aplicaciones más interesantes e importantes se logran coneso. Considerando un polígono cualquiera, te puedes colocar en un vértice M ydesde allí divides el polígono en triángulos (es lo que se llama proceso de triangula-ción) y basta con ir midiendo las longitudes de los distintos lados de los triángulosque resulten y aplicar la fórmula de Herón para calcular su área en cada caso.Cuando las sumes todas tendrás el valor más o menos exacto (depende de lo que tehayas esmerado) del área del polígono.

Ten en cuenta que prácticamente todos los terrenos, solares, fincas, parce-las... tienen formas poligonales con lo que ya puedes percatarte de mi importanciapara estos negocios inmobiliarios...

Claro que tal vez tú conozcas otra fórmula para calcular mi área: aquella debase por altura partido por dos.

Es la que se suele explicar a los estudiantes. Surge de los hechos siguientes:

1. El área de un paralelogramo cualquiera es base por altura.

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At = p(p " a)(p " b)(p " c)

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2. Un triángulo es siempre la mitad de un paralelogramo. Esta segunda pro-piedad es muy fácil de comprobar.

Teniendo en cuenta las dos propiedades, surge esta popular fórmula:

De todos modos, conviene que sepas que la de Herón es más útil y noentiendo bien por qué ya casi ni aparece en los libros de matemáticas.

En fin, si quieres saber algo más de mi vida puedes preguntar a tu profesoro profesora de matemáticas. Seguro que gustosamente te contará muchas más cosassobre mí.

Un fuerte abrazo, El TriΔngulo

Texto e ilustraciones de

BALBUENA, L. (2008). Cuentos del cero. Madrid: Nivola. págs. 53–59.

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CUESTIONARIO

PREGUNTA 1.

En relación con el tipo de texto que acabas de leer, ¿cuál de estas afirmaciones es verda-

dera y cuál es falsa?:

Es un relato epistolar, que utiliza un recurso literario consistente en

personificar a un concepto abstracto. V F

Es un texto académico, y su finalidad es explicar conceptos y procedimientos

geométricos básicos. V F

Es un artículo que posiblemente provenga de una consulta del término

triángulo en un diccionario o enciclopedia. V F

El autor pretende poner de relieve las razones por las que considera

importante el estudio del triángulo. V F

El estilo en que está escrito refleja la intención de su autor de instruir

sobre matemáticas de forma amena. V F

PREGUNTA 2.

Escribe al menos tres razones por las que el triángulo tiene mucha importancia, según el

autor de este texto. Añade alguna otra razón por la que tú lo consideres importante.

PREGUNTA 3.

Señala el párrafo referido a los orígenes históricos de la geometría, y contrasta lo que se

dice con las conclusiones que sacaste de la lectura del texto 1 (fíjate especialmente en las

respuestas dadas a las dos primeras preguntas del cuestionario).

PREGUNTA 4.

Ahmes tenía dos profesiones: escriba y agrimensor. Explica en un par de líneas en qué con-

sistían estos oficios.

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PREGUNTA 5.

Completa el siguiente cuadro sobre propiedades y conceptos matemáticos que debes

tener claros para una buena comprensión del texto:

PREGUNTA 6.

Completa este otro cuadro sobre procedimientos geométricos que aparecen en el texto:

PREGUNTA 7.-

Escribe una definición de polígono regular.

PREGUNTA 8.

¿Con cuál de estos polígonos regulares NO es posible teselar el plano?:

A) El hexágono.

B) El pentágono.

C)El cuadrado.

D)El triángulo.

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MATEMÁTICASI.E.S. CAÑADA DE LAS ERAS

Concepto Definición Propiedad de sus ángulos

Triángulo

Triángulo equilátero

Triángulo rectángulo

Hipotenusa

Catetos

Paralelogramo

Nombre del procedimiento Significado

Recubrir una superficie mediante polígonos

sin dejar huecosPROCESO DE TRIANGULACIÓN DE

UN POLÍGONO

PREGUNTA 9.

¿Qué dice el teorema de Pitágoras? Elige la opción correcta (puede haber varias):

A) En un triángulo rectángulo, si elevo al cuadrado cada cateto, y sumo los resultados,

dará lo mismo que si elevo al cuadrado la hipotenusa.

B) Dado un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa da lo mismo que si

sumo los catetos y elevo esa suma al cuadrado.

C)En un triángulo rectángulo, el cuadrado que se levanta sobre la hipotenusa ocupa lo

mismo que si se juntan los cuadrados que se levantan sobre los catetos.

D)Quien no conozca a Pitágoras y lo que significa la palabra hipotenusa, o es un cabe-

za cuadrada o es un auténtico cateto.

PREGUNTA 10.

Una de las figuras que acompañan al texto ilustra la aplicación del teorema de Pitágoras a

un caso concreto. Efectúa los siguientes cálculos para verificar que se cumple el citado teo-

rema:

Medida del cateto más pequeño: _____ unidades Su cuadrado vale _____

Medida del cateto más grande: _____ unidades Su cuadrado vale _____

Sumando estos resultados obtengo: _____ (1)

Medida de la hipotenusa: ____ unidades Su cuadrado vale: _____ (2)

¿El resultado (1) coincide con el resultado (2)?

SI NO

PREGUNTA 11.

En el texto aparecen dos fórmulas para obtener áreas de triángulos. Señala cuál de las

siguientes frases expresa mejor lo que se entiende por fórmula matemática:

A) Es una ecuación, en la que se tiene que descubrir una letra llamada incógnita.

B) Son operaciones indicadas, para que alguien saque el resultado utilizando la calcula-

dora.

C)Es una expresión que, además de números y operaciones, contiene letras que repre-

sentan cantidades variables.

D)Es como una receta que te indica, paso a paso, lo que debes hacer para resolver cier-

tos problemas.

PREGUNTA 12.

Escribe la fórmula más conocida en los libros actuales para hallar el área del triángulo. ¿Por

qué crees que el autor prefiere la otra fórmula menos conocida?

MATEMÁTICASI.E.S. CANADA DE LAS ERAS

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PREGUNTA 13.

Para demostrar la fórmula del área del triángulo, el autor se basa en dos premisas*. Escribe

dichas premisas. ¿Cómo justificarías que la primera premisa* es verdad?

PARA SABER MÁS.

ACTIVIDAD 1: Más cosas que se cuentan sobre la vida del triángulo.

Siguiendo la sugerencia del final de la carta, puedes preguntar a tu profesor o profesora

más cosas sobre el triángulo. Pero no te conformes con lo que te diga; busca más infor-

mación procedente de otras fuentes. Pregunta a los amigos, y los vecinos, acude a la biblio-

teca, navega por internet...

Debes hallar al menos tres nuevos conceptos, propiedades, teoremas o fórmulas relacio-

nadas con los triángulos que no aparecían en el relato.

QUINO (1980). Mafalda 9. Barcelona. Lumen.

De paso, podrías ayudar a Felipe a hacer sus deberes de geometría. Explica qué clase de

triángulo sostiene en la mano.

Recoge los resultados de tus investigaciones, junto con tus comentarios al chiste, en una

cartulina mural.

Es importante que cites tus fuentes.

ACTIVIDAD 2: Teselaciones.

Te proponemos profundizar un poco más acerca de las teselaciones y confeccionar una

cartulina-mural que recoja las explicaciones del texto sobre los polígonos que pueden

teselar el plano.

Ayúdate del siguiente guión:

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MATEMÁTICASI.E.S. CAÑADA DE LAS ERAS

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Premisa: cada una delas proposiciones deun razonamiento,necesarias paraobte.ner una conclu-sión

a) El triángulo equilátero recubre el plano sin dejar huecos. Completa la siguiente frase,

expresando el razonamiento del autor para demostrar este hecho:

Cada ángulo del triángulo equilátero tiene _______ grados. Juntando _______ (número) trián-

gulos equiláteros haremos un total de _______ grados. Eso es un giro completo, sin que falte ni

sobre nada.

b) Un argumento similar demuestra que el cuadrado también serviría para recubrir el

plano. Completa esta frase:

Cada ángulo del cuadrado vale _______ grados. Necesitamos exactamente _______ cuadrados

para hacer el giro completo de _______ grados.

c) Escribe el razonamiento que demuestra que también se pueden utilizar hexágonos regu-

lares para recubrir el plano:

Como el ángulo del hexágono vale _______, entonces necesito _______ para conseguir un giro

completo.

Investiga por qué el procedimiento de teselación no funciona empleando otros polígonos

regulares como pentágonos u octógonos. Completa tu informe incluyendo las conclusio-

nes de tu investigación.

Ilustra todas estas explicaciones con dibujos.

Si has tenido que consultar bibliografía o internet, cita tus fuentes.

ACTIVIDAD 3: Homenaje al griego Herón.

En el texto aparece la fórmula de Herón. Te proponemos realizar un pequeño trabajo ins-

pirado en este matemático griego.

Dedica un párrafo (inferior a cinco líneas) a comentar algún aspecto relevante de su vida

y época. Consulta, al menos, dos fuentes distintas (bibliográficas, internet...), que, por

supuesto, debes citar.

A continuación escribe la fórmula de Herón, bien resaltada. Vas a incluir en tu trabajo dos

ejemplos de aplicación de esta fórmula. Las indicaciones siguientes te ayudarán.

a) Observa que, junto al párrafo del texto que explica las aplicaciones de la fórmula de

Herón, se representa un polígono sobre el que se ha realizado un proceso de triangula-

ción. Ese mismo polígono te va a servir como primer ejemplo en tu trabajo.

b) Utilizando una regla, mide los lados de todos esos triángulos.

c) Para cada triángulo:

Anota lo que miden sus lados a, b y c (el orden da igual)

Calcula su perímetro P.

Después haces la mitad y obtienes el semiperímetro p.

Usando la fórmula de Herón, y con la ayuda de la calculadora, efectúa el cálculo del área

de ese triángulo.

d) Cuando tengas las áreas de todos los triángulos, no tienes más que sumarlas y obten-

drás el área del polígono.

e) Como segundo ejemplo, dibuja un polígono irregular de tu invención (por ejemplo un

hexágono). Triangúlalo, y aplica el mismo procedimiento para hallar su área.

Presenta tu trabajo, incluyendo dibujos y cálculos realizados, mediante una cartulina-mural.

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TEXTO 3

En el texto anterior, se citaba el teorema de Pitágoras como el más popularde los teoremas matemáticos.

Para entender mejor su significado, te proponemos leer otro texto queforma parte de un cuento, ambientado en el Islam, que narra las aventuras de unviajero persa llamado Beremiz que asombra a príncipes y consejeros con sus habili-dades matemáticas. En el capítulo XVIII, el protagonista dialoga con el príncipe yun poeta sobre los descubrimientos geométricos de los sabios de la India.

Tras la lectura del texto, te plantearemos una serie de preguntas, algunas delas cuales te obligarán a consultar la información contenida en los textos anterioresde este cuaderno.

Título abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

“(...) - Nueve o diez siglos antes de Mahoma, vivió en la India un brah-mán (*) (* Brahmán: sacerdote hindú, perteneciente a la 1ª de las cuatro castas dela India) ilustre que se llamaba Apastamba. Con la intención de ilustrar a lossacerdotes sobre los sistemas de construcción de altares y sobre la orientación delos templos, este sabio escribió una obra llamada “Suba-sutra” que contienenumerosas enseñanzas matemáticas. Es muy poco probable que esta obra hayarecibido influencia de los pitagóricos, porque la geometría del sacerdote hindú nosigue el método de los investigadores griegos. Se encuentran, sin embargo, en laspáginas de “Suba-sutra” varios teoremas de Matemáticas y pequeñas reglas sobreconstrucción de figuras. Para enseñar la transformación conveniente de un altar,el sabio Apastamba propone la construcción de un triángulo rectángulo cuyoslados miden respectivamente 39, 36 y 15 pulgadas*. Para la solución de estecurioso problema, el brahmán aplicaba un principio que era atribuido al griegoPitágoras:

EL AREA DEL CUADRADO CONTRUIDO SOBRE LA HIPOTENUSAES EQUIVALENTE A LA SUMA DE LAS ÁREAS DE LOS CUADRADOSCONSTRUIDOS SOBRE LOS CATETOS.

Beremiz miró hacia donde estaba el jeque* Iezid, que escuchaba con muchaatención, y habló así:

- Sería más práctico explicar por medio de figuras esta proposición famosaque todos deben conocer.

El jeque Iezid llamó a sus auxiliares. Al cabo de un momento dos esclavostrajeron al salón una gran caja de arena. Sobre la superficie lisa podría Beremiz tra-zar figuras y esbozar cálculos y problemas a fin de aclarar sus problemas al príncipede Lahore.

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Pulgada: aproximada-mente 25 milímetros.

Jeque: gobernador deun territorio musul-mán.

- Aquí tenemos –explicó Beremiz trazando en la arena las figuras con ayudade una vara de bambú-, un triángulo rectángulo. Su lado mayor se llama hipotenu-sa y los otros dos catetos.

Dibujemos ahora, sobre cada uno de los lados de este triángulo, un cuadra-do; uno sobre la hipotenusa, otro sobre el primer cateto y el tercero sobre el segun-do cateto. Será fácil probar que el cuadrado mayor, construido sobre la hipotenusa,tiene un área exactamente igual a la suma de las áreas de los otros dos cuadradosconstruidos sobre los catetos.

Así queda demostrada la veracidad del principio enunciado por Pitágoras.Entonces preguntó el principe si aquella relación era válida para todos los

triángulos.Beremiz respondió:- Es válida y constante para todos los triángulos rectángulos. Afirmo, sin

miedo a equivocarme, que la ley de Pitágoras expresa una verdad eterna. Inclusoantes de brillar el sol que nos ilumina, antes de existir el aire que respiramos, ya elcuadrado construido sobre la hipotenusa era igual a la suma de los cuadrados cons-truidos sobre los catetos.

El príncipe estaba muy interesado en las explicaciones que escuchaba aBeremiz. Dijo con simpatía al poeta Iezid:

- ¡Cuestión maravillosa es, oh amigo mío, la Geometría! ¡Qué ciencia tannotable! Percibimos en sus enseñanzas dos aspectos que encantan al hombre másrudo o más despreocupado de las cosas del pensamiento: claridad y sencillez.

Colocó su mano izquierda en el hombro de Beremiz, y preguntó al calcula-dor con naturalidad:

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Demostración gráfica del Teorema de Pitágoras. Los lados del triángulo miden respec-tivamente tres, cuatro y cinco centímetros. La relación pitagórica se verifica con laigualdad.

5 2= 4

2+ 3

2

25 = 16 + 9 Taha

n, H

. (20

03).

El h

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pág.

133

- ¿Esta proposición que los griegos estudiaron aparece ya en el libro “Suba-sutra” del viejo brahmán Apastamba?.

Beremiz respondió:- ¡Así es, oh príncipe! El llamado Teorema de Pitágoras puede leerse en las

hojas del “Suba-sutra” en forma apenas diferente(...).”

Texto e ilustraciones de TAHAN, M. (2003). El hombre que calculaba. Buenos Aires: Pluma y

Papel, ed. de Goldfinger S.A. páginas 132-134.

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CUESTIONARIO

PREGUNTA 1.

Señala cuál de las siguientes aseveraciones te parece correcta como resumen de las ense-

ñanzas del texto:

A) Un sabio hindú seguía el método del griego Pitágoras para construir templos.

B) El griego Pitágoras y el hindú Apastamba llegaron a las mismos conocimientos geo-

métricos por caminos distintos.

C)En sus escritos, el hindú Apastamba copió un teorema inventado por un griego.

PREGUNTA 2.

Con el término teorema nos referimos a las afirmaciones que en matemáticas se conside-

ran verdaderas, como el enunciado de Pitágoras del que versa el diálogo. Hay otros térmi-

nos, que también aparecen en el texto, referidos a las verdades matemáticas. Señala, al

menos dos de esos términos. Busca en el diccionario su significado preciso.

PREGUNTA 3.

¿Cuáles eran las medidas del triángulo rectángulo que Apastamba construía en su libro?

Ilustra tu respuesta dibujando un modelo de dicho triángulo.

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PREGUNTA 4.

Comprueba que el triángulo de Apastamba verifica el Teorema de Pitágoras.

PREGUNTA 5.

Recuerda las características que, según el texto 1 de este cuaderno, debía tener un saber

científico. Señala una característica que venga remarcada en este nuevo texto ¿Qué cuali-

dades aprecian Beremiz y el jeque en la ciencia geométrica?

PREGUNTA 6.

Pon título a este texto.

PREGUNTA 7.

Te proponemos un juego, para el que deberás consultar información de los demás textos

de este cuaderno. Consiste en emparejar cada cuadro de la izquierda con una de las fra-

ses de la derecha, trazando una línea. Debajo de cada personaje, indica el siglo en que vivió.

PITÁGORAS Descubre una fórmula para hallar áreas de triángulos

GALILEO Funda La Academia, donde se ensalza la geometría

APASTAMBA Demuestra un teorema sobre el triángulo rectángulo

HERÓN Construye templos empleando un teorema atribuido a

los griegos

AGRIMENSORES

EGIPCIOS Destaca la geometría como esencial para conocer

el universo

PLATÓN Inventan técnicas geométricas útiles para su trabajo.

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PARA SABER MÁS:

ACTIVIDAD 1: Los descubrimientos geométricos de Pitágoras.

Recaba más información acerca de Pitágoras. Consulta al menos dos fuentes distintas

(libros en la biblioteca, internet, etc.).

Te pedimos que, a partir de tu investigación, escribas una redacción de estilo libre inspira-

da en Pitágoras, su vida y descubrimientos matemáticos, incluyendo referencias a, por lo

menos, dos descubrimientos de este personaje relacionados con la geometría.

Vipond J. M. basada en AA.VV. (1988). Pensar matemáticamente. Madrid: Centro publicaciones. MEC y Lábor.

Puedes incorporar al relato alguna escena relacionada con esta viñeta, y con las figuras geo-

métricas que en ella aparecen.

La extensión no debe superar las cincuenta líneas. Puedes incluir ilustraciones.

No te olvides de citar tus fuentes al pie de tu relato.

ACTIVIDAD 2: Pasaje geométrico a la India.

Consulta otras fuentes (biblioteca, internet...) para ampliar tus conocimientos acerca de los

matemáticos de la India y sus progresos en el campo de la geometría.

Ten en cuenta que la época de Apastamba es conocida por la mayoría de los historiadores

como el periodo de las matemáticas védicas o matemáticas sutras, y que los libros referidos

en este texto como “Suba-Sutra” suelen denominarse Sulbasutras en los estudios académi-

cos.

Redacta un breve informe (unas 30 líneas) con los resultados de tu investigación.

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Notas:

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Notas:

Bibliocañada, la aventura continúa.Materiales para la lectura y el uso de la biblioteca escolar

Fernando Botía LópezRemedios de los Reyes García-CandelBasilisa López GarcíaConcepción Martínez PalazónMaría Ortuño MuñozCristina Sánchez MartínezJosé Miguel Vipond

Depósito Legal: MU-264/2009

Estos materiales se han realizado gracias a la subvención del Ministerio de Educación, Política Social y Deporte (Orden ECI754/2008, de 10 de marzo,por la que se conceden ayudas para la elaboración de materiales para facilitar la lectura en las diferentes áreas y materias del currículo y para la realiza-ción de estudios sobre la lectura y las bibliotecas escolares, convocadas por Orden ECI/2.687/2007, de 6 de septiembre).

BIBLIOCAÑADA

aprender geometría!

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