puntos de lagrange - sistema sol - tierra
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Obtención de los puntos de Lagrange en el sistema Sol -Tierra. Estudio de su estabilidad.TRANSCRIPT
EL SISTEMA SOL - TIERRALos Puntos de Lagrange y su estabilidad
Julio Rodríguez GarcíaCálculo Computacional
5º CC. FísicasUAM
El problema de los tres cuerpos
Consiste en determinar las posiciones y velocidades de tres cuerpos sometidos a su atracción gravitacional mutua.
Tendrá 18 coordenadas: las velocidades y las posiciones de los tres cuerpos.
¡NO TIENE SOLUCIÓN ANALÍTICA!
El problema de Euler
Consideramos que la masa de unos de los cuerpos es despreciable con respecto a los otros dos.
Además, en otra particularización, consideramos que las órbitas son circulares, y no elípticas.
Tanto Lagrange en el s. XVII como Poincaré en el XIX estudiaron este problema.
Obtuvieron 5 puntos de equilibrio (estable o inestable) como soluciones estacionarias:
Los Puntos de Lagrange.
Problema de los tres cuerpos restringido
Sistema de referencia
De aquí en adelante utilizaremos un sistema de referencia no inercial.
El centro estará en el Sol, pero girará a la misma velocidad que la Tierra.
Tendremos que considerar la fuerza centrífuga, y eventualmente la fuerza de Coriolis.
Los puntos L1 y L2
Según la Tercera Ley de Kepler:
Más proximidad al Sol implica menor periodo, y más velocidad orbital.
Nociones
Los puntos L1 y L2
Si la fuerza del Sol se ve disminuida (por la fuerza terrestre) la velocidad orbital necesaria para mantener la órbita disminuye.
En el punto L1 esta velocidad es igual a la de la Tierra, acompañándola toda la órbita.
Es el punto en la línea Sol-Tierra en el que la fuerza de atracción del Sol se contrarresta con la fuerza de atracción de la Tierra y la fuerza centrífuga.
Nociones
Los puntos L1 y L2
La esfera de Hill es la esfera de influencia gravitacional de un cuerpo celeste sometido a la gravedad de otro cuerpo de más masa alrededor del cual orbita. Su radio máximo para la Tierra será:
Los puntos L1 y L2 se encuentran en el límite de esta esfera, en la línea Sol – Tierra, donde la influencia del Sol y de la Tierra se cancelan.
La esfera de Hill
RL1 ≈ 1.4810 · 1011 m ≈ 0.99 UA RL2 ≈ 1.5109 · 1011 m ≈ 1.01 UA
El punto L3
Se sitúa en la misma línea Sol-Tierra que los puntos L1 y L2, pero al otro lado del Sol.
El principio es el mismo que para el punto L2, por lo que se encuentra a algo más de 1 UA.
Se utiliza en la ciencia ficción para colocar una anti-Tierra.
La fuerza de los demás planetas puede superar la de la Tierra (Venus pasa a 0.3 UA cada 20 meses).
Nociones
RL3 ≈ 1 UA ≈ 1.495·1011 m
Los puntos L4 y L5
Considerando que tanto el Sol como la Tierra como el tercer cuerpo giran en torno a su centro de masas:
Descomponemos las fuerzas en sus componentes radiales y angulares.
Las componentes radiales de la fuerza solar y terrestre se anulan con la fuerza centrífuga.
Las componentes angulares de las fuerzas gravitatorias se anulan entre si.
Nociones
¡Esto ocurre si los tres cuerpos se sitúan en los vértices de un triángulo equilátero! Dr. David P. Stern
http://www.phy6.org/stargaze/Mlagrng2.htm
Estabilidad
Linealizamos la ecuación de movimiento alrededor de cada punto de equilibrio.
Introducimos pequeñas perturbaciones en cada punto.
Las segundas derivadas se calculan en cada punto lagrangiano.
Resolvemos las ecuaciones numéricamente, mediante MATLAB.
Obtenemos posición y velocidad a lo largo del tiempo.
Resolución matemática
Las ecuaciones a resolver serán:
Neil J. Cornishhttp://map.gsfc.nasa.gov/ContentMedia/lagrange.pdf
Los puntos L1 y L2
Escribo una función para calcular la fuerza en función de la distancia al Sol, y otra para calcular el potencial en el mismo rango.
Considero solo la recta Sol – Tierra, ya que debido a la distribución de fuerzas, la estabilidad en el plano perpendicular es trivial.
Considero el momento angular constante en el entorno de los puntos lagrangianos por simplicidad.
Calculo L1 y L2 por separado debido a la aproximación.
Potencial y Fuerza de Gravitación
1.45 1.455 1.46 1.465 1.47 1.475 1.48 1.485 1.49 1.495 1.5
x 1011
-2.3116
-2.3114
-2.3112
-2.311
-2.3108
-2.3106
-2.3104
-2.3102x 10
11 L1
Posición (m)
Ener
gía
(J)
1.45 1.455 1.46 1.465 1.47 1.475 1.48 1.485 1.49 1.495 1.5
x 1011
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6L1
Posición (m)
Fuer
za (N
)
1.49 1.5 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55
x 1011
-2.1338
-2.1336
-2.1334
-2.1332
-2.133
-2.1328x 10
11 L2
Posición (m)
Ener
gía
(J)
1.49 1.5 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55
x 1011
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1L2
Posición (m)
Fuer
za (N
)
Los puntos L1 y L2
Por los diagramas de potencial observamos que ambos puntos tienen equilibrio inestable.
La fuerza máxima ejercida por la Luna es aproximadamente 4·10-6 N.
La distancia al Sol no coincide exactamente con la calculada mediante la esfera de Hill, debido a las aproximaciones (órbita circular, radio medio, redondeo del programa).
Se estima un tiempo máximo de estabilidad de 23 días.
Potencial y Fuerza de Gravitación
Estabilidad Punto L1 – 115 días
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 106
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2x 10
6
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L1 – 174 días
0 5 10 15
x 106
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5x 10
7
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L1 – 578 días
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 107
-10
-8
-6
-4
-2
0
2x 10
11
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L1 – 174 días
0 5 10 15
x 106
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
7
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L2 – 115 días
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 106
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
8
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L2 – 578 días
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 107
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
16
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
El Punto L3
Estará sometido a perturbaciones causadas por los demás planetas (no consideradas en este estudio).
Las ecuaciones predicen un periodo de estabilidad de unos 150 años.
Las perturbaciones no consideradas podrían reducir este tiempo, quizá incluso hasta los 2 años.
Potencial y Fuerza de Gravitación
El diagrama de potencial muestra un punto de inflexión en L3.
Estabilidad Punto L3 – 115 días
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 106
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
6
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L3 – 1157 días
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 107
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
6
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L3 – 32 años
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 108
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
6
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L3 – 158 años
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 109
-4
-3
-2
-1
0
1
2x 10
6
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L3 – 317 años
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 109
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2x 10
6
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L3 – 1585 años
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 1010
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5x 10
10
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Los puntos L4 y L5
Tengo en cuenta la Fuerza de Coriolis, ya que no es despreciable en este contexto:
Al tener forma de máximos en el diagrama de potencial, se presuponen inestables.
La Fuerza de Coriolis, a medida que se gana velocidad, mantiene una órbita estable alrededor del punto lagrangiano.
Resolución Numérica
Debido a la distribución de fuerzas, aquí no hay un plano de estabilidad (sí una recta, perpendicular al plano del movimiento).
Estabilidad Punto L4 – 115 días
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 106
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
9
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L4 – 1157 días
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 107
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6x 10
9
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L4 – 32 años
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 108
-10
-5
0
5x 10
10
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L4 – 317 años
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 109
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
11
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L4 – 3170 años
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 1010
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
11
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Estabilidad Punto L4 – 31709 años
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 1011
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
11
Tiempo (s)
Posic
ión (
m)
x
y
Ocupación de los Puntos de Lagrange
ACE
Punto L1SOHO
Punto L2PlankWMAP