7/24/2019 Puntos 1y 2 Aporte Individual Momento 3

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1. Resolver el problema de valor inicial a travs del mtodo de series de

Taylor:dy

dx=ex

2

; y(0 )=1

Solucin:

La solucin por el mtodo de Taylor viene dada por:

y(x )=n=0

y(n) (x0 )n !

(xx0 )n

Segn el mtodo de Taylor la solucin de la ecuacin diferencial se puede

expresar de la siguiente manera:

y(x )=1+0

x

et2

dt

omo la integral no se puede resolver por un mtodo elemental nos toca

recurrir a un mtodo de aproximacin para poder acercarnos a la solucin

de esta.

!tilicemos el mtodo de Taylor" iniciando con el c#lculo de derivadas

sucesivas y evalu#ndolas enx=0 .

y'=ex

2

y' '=2xex

2

; y' '(0 )=0

y'' '=2ex

2

+4x2 ex2

; y'' '(0 )=2

yiv=4xex

2

+8x ex2

8x3 ex2

yiv=12x ex

2

8x3ex2

; yiv(0)=0

yv=12ex

2

24x2 ex2

24x2 ex2

+16x4 ex2

yv

=12ex2

48x2

ex2

+16x4

ex2

; yv

(0)=12

Sustituyendo los valores de las derivadas en la ecuacin siguiente

y(x )=n=0

y(n) (x0 )n !

(xx0 )n

$ara% n=0 $ara% n=3

y(0) (0 )0!

(x0 )0

=1y

(3 ) (0 )3 !

(x0 )3

=26

x3=

x3

3

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$ara% n=1 $ara% n=4

y(1)(0 )1!

(x0 )1=x y

(4 )(0 )4 !

(x0)4=0

$ara%n=2 $ara% n=5

y(2) (0 )2!

(x0 )2=0y

(5) (0 )5 !

(x0 )5=12

120x

5=x

5

10

Se tiene:

y(x )=1+xx

3

3+

x5

10

2. REVISAR LA CONVERGENCIA DE LAS SIGUIENTES SERIES

& n=1

e

nn !

n

Solucin:

&plicando la ra'n se obtiene:

limn |

cn+1

cn |

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,allemos el l*mite del cociente

Cn+1

Cn

limn |

(x3 )n+1

(n+1 )3

(x3 )n

n3|