PROBLEMA 1.1

EL PUNTO

GEOMETRIA DESCRIPTIVA-MODULO II

Proyecciones de un puntoLas proyecciones sirven para representar cualquier objeto en un plano de proyeccin donde se proyecta la imagen de ste mediante rectas imaginarias que parten de un observador y se extienden hasta el objetoDefiniciones fundamentales sobre proyeccin

Ejemplo 1.1Sea un punto A en el espacio que no se encuentra contenido en el plano P.

Si en el punto A se dispone el ojo de un observador y delante del plano P se coloca un objeto B entonces el rayo que parte del observador fija una imagen BP en el plano; a dicha imagen se llama imagen proyectada de B.

La distancia desde el punto objeto a sus proyecciones en los planos H, F, P respectivamente se les denomina:Cota, alejamiento, apartamiento

CotaEs la distancia perpendicular del punto objeto al plano horizontal (H)

AlejamientoEs la distancia perpendicular del punto objeto al plano frontal (F)

ApartamientoEs la distancia perpendicular del punto objeto al plano perfil (P)DENOMINACIONDISTANCIA PERPENDICULAR DEL PUNTO OBJETO AL PLANOSE PUEDE MEDIR EN LA VISTACotaHorizontal (H)FAlejamientoFrontal (F)HApartamientoPerfil o LD (P)PABATIMIENTO DE PLANOS DE PROYECCINConsiste en girar 90 los planos horizontal, lateral (tomando la proyeccin frontal como fija) alrededor de la unin de los planos H-F y F-P.

FLDHFHLDABATIMIENTO DE LOS PLANOS REGULARES

FHLDFHLDFHLDConsiste en eliminar todos los trazaos innecesarios en los planos abatidos.

HFAFAHPROYECCION HORIZONTAL DEL PUNTO APROYECCION FRONTAL DEL PUNTO AL.P.L.r.DEPURADO:

Planos de proyeccin contiguos separados por una lnea de pliegue. El plano H es adyacente al plano LD.Planos que se hallan separados de otro por un plano adyacente. El plano LD es anexo al plano H.

PLANOS ADYACENTESPLANOSANEXOSH-FF-LDF-LIH-LDH-LILI-LDLIFLDHPLANOS ANEXOSPLANOS ADYACENTESEs la lnea de trazo grueso que une dos planos de proyeccin. Acta como bisagra a lo largo de los planos o pliegues de proyeccin cuando estos son abatidos.LNEA DE PLIEGUE(L.P)Es la lnea de trazo fino que une las proyecciones adyacentes de un punto a travs de una lnea de pliegue comn, perpendiculares a las respectivas lneas de pliegue.

LNEA DE REFERENCIA(L.R)

Conocida la posicin de un punto A, se puede determinar la posicin de otro punto B en relacin con el primero.EN EL PLANOPOSICION DEL PUNTOHAtrs, izquierdaadelante, derechaFArriba, izquierdaAbajo, derechaL.D.Atrs, arribaAdelante, abajoPOSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PUNTOSDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

ABAJOABAJOARRIBAARRIBAABAJOARRIBADELANTEDELANTEATRSIZQ.DER.IZQ.DER.IZQ.DER.IZQ.DER.DELAN.ATR.HFHFATRSPosicin de orientacin La orientacin necesariamente debe estar encuadrada en las siguientes soluciones. El ngulo se toma con relacin al eje N - S. ALTERNATIVA DE ORIENTACIN

Ejemplo 1.2 El punto B se halla en una direccin 45 al Nor-Este del punto A, cuya notacin es :N 45E

Conocida la posicin de un punto A, se puede determinar la posicin de otro punto B en relacin con el primero.EN EL PLANOPOSICION DEL PUNTOHAtrs, izquierdaadelante, derechaFArriba, izquierdaAbajo, derechaL.D.Atrs, arribaAdelante, abajoPOSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PUNTOSDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

ABAJOABAJOARRIBAARRIBAABAJOARRIBADELANTEDELANTEATRSIZQ.DER.IZQ.DER.IZQ.DER.IZQ.DER.DELAN.ATR.HFHFATRSPara la graficacin de un punto se hace uso de las coordenadas cartesianas o de las coordenadas mltiples.UBICACIN DE UN PUNTO POR COORDENADASALINEADAS AL EJE

Tambin se pueden dar de la siguiente forma:AF(X,Y); AH(X,Z)

Ejem. : Graficar los puntos: CF(1,3), CH(1,4)

01234561234XZYCFCHEs el sistema que posee tres coordenadas A(X,Y,Z) Donde: AF(X,Y) y AH(X,Z) Ejem. : graficar los puntos A(4,2,6) ; B(8,0,5); C(12,5,5)

01234567123456789101213CHCFAFAHBHBFCOORDENADAS MLTIPLES

EJEM: A(3,4,7) y B(7,2,9)Con relacin al punto A, B se encuentra:

4 unidades a la derecha de A (7-3)

2 unidades debajo de A (4-2)

2 unidades detrs de A (9-7)01234567891012346785AFAHBHBFPLANOS AUXILIARESSe llama planos auxiliarles de proyeccin a los que no ocupan la posicin de los 6 planos principales.

Dos planos adyacentes de proyeccin sean principales y/o auxiliares en el espacio son PERPENCICULARES. Tambin los objetos en los planos auxiliares de proyeccin se proyectan perpendicularmente.PLANOS AUXILIARES PRIMARIOSSe llama plano auxiliar primario a los planos que se toman en relacin perpendicular a un plano de proyeccin principal.Son los planos que guardan una relacin de perpendicularidad con el plano horizontal, muestran la altura verdadera del objeto y tienen igual cota. Todos estos planos son de elevacin.A. Planos auxiliares al plano horizontal:

FH1FH1FH1COTACOTACOTACOTACOTACOTACOTAAHAFA1AH Plano auxiliar al plano horizontal La cota del punto A del plano frontal es igual a la cota del plano auxiliar 1AFAFAHAHA1A1HHSon los planos que guardan una relacin de perpendicularidad con el plano frontal(tienen igual alejamiento).

F1HP1PFH1B. Planos auxiliares al plano frontal:Son los planos que guardan una relacin de perpendicularidad con el plano perfil(tienen igual apartamiento).

F1H1FPPHPB. Planos auxiliares al plano de perfil:PLANOS AUXILIARES SECUNDARIOSA un plano auxiliar respecto a otro auxiliar, en forma general se les denominan planos auxiliares de proyeccin secundarios y tambin son perpendiculares entre s.

FHAFHHFH1H1AHAFA1A22AFA1AHAFA1AHXXXXPLANO AUXILIAR PRIMARIO 1 HLa orientacin de B con respecto a A es: N a E

PROBLEMA 1.1Realice la interpretacin de las siguientes vistas, disponiendo una tercera proyeccin y esboza un croquis espacial para cada uno.

FHFH11H22112AFAFAHA2AFAHA1A2AFAHA1A2A1PLANO AUXILIAR SECUNDARIO 2H1

a)SOLUCIN:

PASO 1:Traza los planos de pliegue H,F y P.

PASO 2: Ubica las vistas en cada plano.

PASO 3: Esboza un croquis, en este caso ser un cilindro por ser un circulo la vista Horizontal.

PASO 4: Para obtener un tringulo en la vista Frontal, traza el dimetro de la circunferencia en la vista Horizontal de forma vertical, tambin se trazar en el croquis.

PASO 5: Traza en la vista de Perfil una parbola dentro del cuadrado y luego en el croquis.

b)

SOLUCIN:

PASO 1:Traza los planos de pliegue H,F y P.

PASO 2: Ubica las vistas en cada plano.

PASO 3: Esboza un croquis, en este caso ser un cubo por ser un cuadrado la vista Horizontal y Frontal.

PASO 4: Traza en la vista de Perfil un cuadrado y su diagonal, luego en el croquis

PASO 5: Traza un cuadrado menor en la vista P, luego en el croquis.

c)

SOLUCIN:

PASO 1:Traza los planos de pliegue H,F y P.

PASO 2: Ubica las vistas en cada plano.

PASO 3: Esboza un croquis, en este caso ser un cubo.

PASO 4: Traza en la vista Horizontal un cuadrado y se completa las lneas tanto en la vista H como en el croquis.

PASO 5: Traza lneas en la vista H para obtener la vista P.

d)

SOLUCIN:

PASO 1:Traza los planos de pliegue H,F y P.

PASO 2: Ubica las vistas en cada plano.

PASO 3: Esboza un croquis, en este caso ser un cubo.

PASO 4: Traza en la vista Horizontal un cuadrado y completa las lneas tanto en la vista H como en el croquis.

e)

SOLUCIN:

PASO 1:Traza los planos de pliegue H,F y P.

PASO 2: Ubica las vistas en cada plano.

PASO 3: Esboza un croquis, en este caso ser un cilindro.

PASO 4: Traza en el croquis lneas de acuerdo a las vistas dadas.

PASO 5: Completa la vista de Perfil de acuerdo al croquis espacial.

SOLUCIN:

PASO 1:Traza los planos de pliegue H,F y P.f)

PASO 2: Ubica las vistas en cada plano.

PASO 3: Esboza un croquis, en este caso ser un cilindro.

PASO 4: Traza la vista de Perfil, en este caso es un crculo.

PASO 5: Completa el croquis espacial de acuerdo a las vistas H y F, luego traza las lneas no visibles en el plano P.

PROBLEMA 1.2Proyectar un slido en los planos H, F y P de tal modo que este slido en diferentes posiciones pueda leerse tres letras diferentes. Dibujar el respectivo isomtrico. Ejem: las que corresponda a las iniciales de C, L, D.Al alumno: Trabajar con las iniciales de nombres y apellidos que conozca.SOLUCIN: Se proyecta con las medidas a adoptarse las proyecciones en H, F y P considerando los alejamientos. apartamientos y cotas del slido. Puede a manera de ayuda levantar primero el isomtrico del slido.

PROBLEMA 1.3Dados las vistas H y F, hallar la vista de perfil y laproyeccin isomtrica del slido dado.

SOLUCIN:PASO 1: Esboza un croquis espacial y completa con las vistas Horizontal y Frontal.

PASO 2: Completa en la vista de Perfil.

PROBLEMA 1.4Dadas las proyecciones de un slido, dibujar superspectiva isomtrica.

SOLUCIN: Dadas las proyecciones del slido en los planos H, F y P, para dibujar su perspectiva isomtrica se sigue el mismo mtodo que para los slidos anteriores. El slido que se logra, es la perspectiva isomtrica de las proyecciones dadas.

PROBLEMA 1.5Dibujar el isomtrico del slido, dadas las vistas H, F y P.

SOLUCIN: Se sigue el mismo mtodo que para los problemas anteriores.

PROBLEMA 1.6Dadas las vistas F y P, hallar la vista horizontal y el dibujo isomtrico reducido a la mitad

SOLUCIN:PASO 1: Sigue los pasos del problema anterior; desde F-P, tomamos las medidas de alejamiento en el plano P. Esboza el slido.

PASO 2: Completa la proyeccin Horizontal del slido.

PROBLEMA 1.7Dibujar el polgono abierto ABCDE, sabiendo que: B, est a 3km al norte y 500 metros arriba de A; C, est a 5km al este, 1km al sur y 500 metros arriba de B; D, est 2km, hacia adelante, 3km a la derecha y dos 2km abajo de C; E, esta a 5km , al oeste, 2 km al sur y 1500 m debajo de D.Escala: 1/100000

EXPLICACINSiempre que se mencione las coordenadas Norte, Sur, Este u Oeste se ubica en el plano HorizontalSiempre que se mencione Arriba, Abajo, Derecha o Izquierda se ubica en el plano vertical.PASO 1: Se ubica B con respecto al punto A y a las posiciones dadas

HF

HF

PASO 2: Se ubica C con respecto al punto B y las posiciones dadas.

HF

PASO 3: Se ubica D con respecto al punto C y las posiciones dadas.

HF

PASO 4: Se ubica E con respecto al punto D y las posiciones dadas

HF

PASO 5: Se colocan las cotas de cada uno de los segmentos hechos

HF

PROBLEMA 1.8Hallar las vistas H, F, P y 1 del slido cuya proyeccin isomtrica se muestra.

SOLUCIN:

PASO 1: Halla las vistas del slido.

PASO 2: Para hallar la vista 1, primero coloca letras a cada vrtice del slido, luego en las vistas H, F y P.

PASO 3: Completa la vista 1 con la ayuda de las letras colocadas en cada vrtice, las lneas sernno visibles si estn lejos de la lnea de pliegue H-1(a partir de la mitad de la vista H), excepto los contornos.

PROBLEMA 1.9Hallar las proyecciones Frontal y la proyeccin auxiliar del slido. Visibilidad.

SOLUCIN:

PASO 1: Halla el slido y la vista Frontal.

PASO 2: Para hallar la vista 1, primero coloca letras a cada vrtice del slido, luego en las vistas H, F y P.

PASO 3: Completa la vista 1 con la ayuda de las letras colocadas en cada vrtice, las lneas sernno visibles si estn lejos de la lnea de pliegue H-1(a partir de la mitad de la vista H), excepto los contornos.

PROBLEMA 1.10Dadas las proyecciones H y F de un slido. Hallar las proyecciones 1 y 2.

PASO 1: En las proyecciones de los planos H y F se numeran los vrtices que se ofrecen.

PASO 2: Luego a travs de las lneas de referencia y aprovechando su alejamiento respecto a H-F en el plano H, se proyectan dichos puntos al plano 1 uniendo 35, 34, 42, 51, 12.Tomando en cuenta ciertos criterios se determina la visibilidad de las aristas.

PASO 3: Por ultimo se completa la proyeccin en el plano 2.106

Hallar las proyecciones que faltan de A y B. Adems hallar el pliegue 2-3.PROBLEMA 1.11

PASO 1: En la lnea de referencia del punto A que viene del plano 4 perpendicular a 3-4 se toma un punto r cualquiera trazando una lnea paralela a la lnea de referencia que une las proyecciones de B en los planos 2 y 3.PASO 2: Desde r se toma una distancia de cota d y se marca s, y desde s una distancia a que corresponde a la proyeccin de A en el plano 4, marcando t. Desde t y s se trazan paralelas a rA4, la primera interseca a la lnea de referencia de A que viene del plano H y nos ubica A2; de A2 paralelo a tr, nos ubica A3 y perpendicular A2A3 la lnea de pliegue 2-3 en el punto de interseccin con la lnea paralela que viene de s. La determinacin de las proyecciones del punto Bqueda ubicado.

El punto A se encuentra 3 cm. a la derecha de X y su cota es a su alejamiento como 3 es a 4. el punto B se encuentra en el plano principal horizontal y est 2 cm. al Este y 0.5 cm. al norte de A. Hallar: AH, AF, B1, B2, y las lneas de pliegue H-F y 1-2. Escala: 3/2PROBLEMA 1.12

PASO 1: Se ubica la lnea de referencia del Xf paralelamente a la orientacin N-S dada.

PASO 2: A partir de Xf se mide 3cm. (escala:3/2) a la derecha, la que nos da la posicin de la lnea de referencia de Af A1 al plano H nos determina la ubicacin de AH.

PASO 3: En el plano 1, aplicando el Teorema de Thales, se establece que la cota c del punto A es a su alejamiento a como 8 es a 4.Con estas medidas se ubica primero H-F y luego Af.PASO 4: Se ubica B en el plano H, 2cm al este y 0.5 cm al norte de A. Como B se halla contenido en el plano H entonces Bf se halla en H-F y B1 en H-1

PASO 5: Con el centro en B1 se traza un arco de radio e (e es la distancia de B3 a 2-3 que debe ser la misma de B1 a 1-2) y un arco de radio e+d interceptado este ultimo con la lnea de referencia de B se determina B2. El pliegue 1-2 se ubica tangente al arco de radio e en su punto de interseccin con la lnea de referencia de B.

RESULTADO

PROBLEMA 1.13Completar la vista de perfil y hallar las vistas pedidas del slido dado. Visibilidad completa.

PASO 1: Se enumeran las proyecciones de las aristas que tienen igual cota.

PASO 2: Se proyecta en el plano P al slido aprovechando las lneas de referencia y sus medidas de alejamiento del plano H.

PASO 3: Se proyecta al slido en los planos 1 y 2 tomando las medidas de los planos F y P respecto a FP y P1 respectivamente.Para analizar la visibilidad tomamos en cuenta algunos vrtices:

En el plano P, R es visible y por estar en el interior del slido las aristas que parten de ese punto sern visibles; en el mismo plano la arista 76 en el plano F esta mas cerca y visible.En el plano 1, vrtice 6, en el plano P esta mas cerca de P1 luego sern visibles todas las aristas que parten de l.PASO 4: Segn los criterios devisibilidad mencionados se colocan como punteadas (invisibles) las siguientes lneas:

De esta manera: Se tiene la vista de perfilSe hallan las vistas pedidasVisibilidad completaEl punto V es el vrtice y AB es una arista de la base cuadrada de una pirmide de 3cm. De altura. Si CD est hacia la derecha de AB, completar las proyecciones H y F de la pirmide as como todas las usadas. Visibilidad.PROBLEMA: 1.14

PASO 1: Se proyecta la arista AB de la base a un plano 1 en VM. Y luego en el plano de proyeccin 2 de punta

PASO 2: En este plano, la base ABCD se vera de canto y la altura de 3cm. Trazada desde V se ver en VM. Con centro en V2 se traza una circunferencia de radio 3cm. 128128

PASO 3: Trazada desde V se ver en VM. Con centro en V2 se traza una circunferencia de radio 3cm. Y desde A2B2 (que se vera como un punto), se traza una tangente a sta circunferencia ubicando C2D2

PASO 4: Desde A2B2 (que se vera como un punto),se traza una tangente a sta circunferencia ubicando C2D2. esta en VM Completando las proyecciones en 1, H y F con su respectiva visibilidad.