puno

i

NDICE

I. RESUMEN ...................................................................................................... vi II. INTRODUCCIN ............................................................................................ 1

2.1. Hiptesis ......................................................................................................................................... 2

2.1.1. Hiptesis general 2

2.1.2. Hiptesis especficas 2

2.2. Objetivos del estudio ...................................................................................................................... 2

2.2.1. Objetivo general 2

2.2.2. Objetivos especficos 3

III. REVISIN DE LITERATURA .................................................................... 4 3.1. Estimacin de las precipitaciones mximas .................................................................................... 4

3.2. Relaciones intensidad duracin frecuencia .............................................................................. 7

3.3. Anlisis de informacin hidrolgica ................................................................................................ 7

3.4. Funciones de distribucin de probabilidad usadas en hidrologa .................................................. 7

3.4.1. Distribucin Log-normal 8

3.4.2. Distribucin de Gumbel y Log Gumbel 8

3.4.3. Distribucin Pearson III y Log Pearson III 9

3.5. Regionalizacin hidrolgica .......................................................................................................... 10

3.6. Proceso de regionalizacin ........................................................................................................... 10

3.6.1. Hiptesis de partida 10

3.6.2. Distribucin regional de las lluvias mximas 11

3.7. Regresin lineal mltiple .............................................................................................................. 11

3.8. El error estndar de la regresin mltiple (Sxy) ............................................................................. 12

3.9. El coeficiente de determinacin r2 ................................................................................................ 12

3.10. Sistema hidrolgico ..................................................................................................................... 13

3.11. Modelo del sistema hidrolgico ................................................................................................. 13

3.12. Modelos ...................................................................................................................................... 13

3.13. Modelos estocsticos .................................................................................................................. 13

3.14. Modelo determinstico ............................................................................................................... 14

IV. METODOLOGA ......................................................................................... 15 4.1. Extensin y Ubicacin ................................................................................................................... 15

4.2. Geologa ........................................................................................................................................ 16

ii

4.3. Topografa ..................................................................................................................................... 16

4.4. Climatologa .................................................................................................................................. 17

4.5. Materiales ..................................................................................................................................... 18

4.5.1. Informacin Meteorolgica 18

4.5.2. Informacin Cartogrfica 18

4.5.3. Equipos 18

4.6. Mtodos ........................................................................................................................................ 18

4.6.1. Diseo Estadstico 18

4.6.2. Calibracin de la relacin 19

4.6.3. Validacin de la relacin 19

4.6.4. Anlisis de Variancia 19

4.6.5. Estimacin de parmetros 19

V. RESULTADOS Y DISCUSIN .................................................................... 21 4.1. Prueba de bondad de ajuste de precipitacin mxima a distribuciones de probabilidad ........... 21

4.2. Influencia de los factores climticos en la regionalizacin de precipitaciones mximas ............. 23

4.2.1. Modelo regional de frecuencia de precipitacin mxima para las estaciones 23

4.2.2. La prueba de normalidad de Anderson Darling y estadstica descriptiva 23

4.2.2. Determinacin grupos homogneos de estaciones a travs del anlisis clster 27

4.3. Influencia de los elementos climticos en la regionalizacin de precipitaciones mximas ......... 37

4.3.1. Influencia de la oscilacin de temperatura media y humedad relativa 37

4.3.2. Modelo de Regresin no lineal entre factores, elementos climticos y precipitacin mxima

38

4.3.3. Modelo de Regresin no lineal 1 entre factores, elementos climticos y precipitacin mxima

39

4.3.4. Modelo de Regresin no lineal 2 entre elementos climticos y precipitacin mxima 40

4.3.5. Modelo de Regresin no lineal 3 entre elementos climticos y precipitacin mxima 41

4.4. Discusin de resultados ................................................................................................................ 41

4.4.1. Influencia de los factores climticos en la regionalizacin de precipitacin mxima 41

4.4.2. Influencia de los elementos climticos en la regionalizacin de precipitacin mxima 42

4.4.3. Modelos empricos de precipitacin mxima en funcin de factores y elementos climticos

43

VI. CONCLUSIONES ........................................................................................ 44 VII. RECOMENDACIONES ............................................................................. 45 VIII. BIBLIOGRAFA O REFERENCIAS ..................................................... 46

iii

ANEXOS .............................................................................................................. 48

iv

LISTA DE TABLAS

Tabla 1. Ubicaciones geogrficas de las estaciones meteorolgicas estudiadas ......................................... 15 Tabla 2. Resultados de la prueba de bondad de ajuste a las distribuciones ................................................ 22 Tabla 3. La prueba de normalidad de Anderson Darling y estadstica descriptiva .................................... 23 Tabla 4. Coeficiente de asimetra de las variables originales ..................................................................... 24

Tabla 5. Transformaciones realizadas de las variables ............................................................................... 24

Tabla 6. Coeficiente de asimetra de las variables transformadas ............................................................. 25

Tabla 7. Resultados del modelo regresin lineal mltiple .......................................................................... 25

Tabla 8. Anlisis de variancia de la regression de valores transformados ................................................. 25

Tabla 9. Estaciones meteorolgicas con variables para la aplicacin del anlisis clster .......................... 27

Tabla 10. Grupos homogneos de estaciones por anlisis clster ............................................................. 28

Tabla 11. Transformaciones de precipitacin mxima y periodo de retorno ............................................ 29

Tabla 12. Anlisis de regresin del modelo para la regin I ....................................................................... 29

Tabla 13. Anlisis de variancia del modelo para la region I ........................................................................ 29

Tabla 14. Transformaciones realizadas ....................................................................................................... 30

Tabla 15. Resultados del anlisis de regresin del modelo para la regin II .............................................. 31

Tabla 16. Anlisis de varianza de regresin del modelo para la regin II ................................................... 31


Tabla 18. Resultados del anlisis de regresin del modelo para la regin III ............................................. 33

Tabla 19. Anlisis de varianza de regresin del modelo para la regin III .................................................. 33


Tabla 21. Resultados del anlisis de regresin del modelo para la regin IV ............................................. 35

Tabla 22. Anlisis de varianza de regresin del modelo para la regin IV.................................................. 35

Tabla 23. Modelo de Regresin Lineal entre factores y elementos climticos con precipitacin mxima 38

Tabla 24. Modelo de Regresin no lineal entre factores y elementos climticos y precipitacin mxima 39

Tabla 25. Modelo de Regresin no lineal entre factores y elementos climticos y precipitacin mxima 39

Tabla 26. Modelo de Regresin no lineal entre elementos climticos y precipitacin mxima ................. 40 Tabla 27. Modelo de Regresin no lineal entre elementos climticos y precipitacin mxima ................ 41

v

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Grficos de anlisis de los residuales de regresin ...................................................................... 26

Figura 2. Dendograma del anlisis clster .................................................................................................. 28





Figura 7. Ajuste del modelo potencial en la estacin Isla Taquile .............................................................. 37

LISTA DE ABREVIATURAS

IDF = Intensidad duracin frecuencia

T = tiempo de retorno

TDPS = sistema hidrogrfico Titicaca Desaguadero Poop Salar de Coipasa

SENAMHI = Servicio nacional de meteorologa e hidrologa

Alt = altitud (msnm)

Lat = latitud sur

Long = longitud oeste

Osc = oscilacin media de temperatura (C)

HR = humedad relativa (%)

vi

I. RESUMEN

El presente trabajo de regionalizacin de precipitaciones mximas se ha efectuado dentro de la vertiente del lago Titicaca en el lado peruano, donde existe una carencia de datos pluviogrficos que permitan confeccionar las relaciones IDF, por lo que se recurre al uso de alturas de precipitacin mxima de 24 horas a fin de cubrir estos vacos de informacin, basndose en la hiptesis de la similitud estadstica regional. El objetivo del trabajo es determinar la influencia de factores y elementos climticos en la regionalizacin de las precipitaciones mximas de 24 horas. La metodologa se basa en el uso de informacin pluviomtrica de las estaciones, su ajuste a distribuciones de probabilidad, anlisis de frecuencia, anlisis clster y aplicacin de regresin lineal y no lineal mltiple. Se han considerado como factores climticos: latitud, longitud, altitud; y como elementos se han considerado: oscilacin de la temperatura, humedad relativa y tiempo de retorno; realizado el modelamiento con variable dependiente la precipitacin mxima y las variables independientes los factores y elementos climticos, se ha seleccionado variables en base a las probabilidades p < 0.05 de los coeficientes de los predictores que explican mejor la precipitacin mxima, adems se utiliz el anlisis clster para agrupar las estaciones meteorolgicas con datos similares en 05 grupos. En los modelos generados en base a factores climticos se obtuvieron parmetros estadsticos poco significativos; sin embargo, en los modelos generados en base de elementos climticos se han obtenido parmetros estadsticos altamente significativos (p

vii

ABSTRACT

This paper of regionalization of maximum precipitation was carried out within the watershed of Lake Titicaca on the Peruvian side, where there is a lack of data to make IDF pluviographic relationships, so is used of heigths of maximum precipitation of 24 hours to cover these gaps, based on the hypothesis of regional statistical similarity. The aim of the study was to determine the influence of climatic factors and elements in the regionalization of the maximum rainfall of the 24-hour. The methodology is based on the use of rainfall information of the stations, the probability distributions adjustment, frequency analysis, cluster analysis and application of non-linear regression and multiple. Have been considered climatic factors: latitude, longitude, altitude, and like climatic elements have been considered: temperature oscillation, humidity and time of return, conducted the modeling with the maximum precipitation as dependent variable and the independent variables the factors and climatic elements has been selected variables based on p < 0.05 of the coefficients of predictors that best explain the maximum precipitation, also was used cluster analysis to group the meteorological stations with similar data in 05 groups. In the generated models based on climatic factors insignificant statistical parameters were obtained, but in the generated models based on climatic elements were obtained statistical parameters highly significant (p < 0.05). The influence of climatic elements such as the oscillation of annual average temperature and average relative humidity, together with climatic factors on the maximum rainfall in a nonlinear model type potential obtained an: r2 = 47.98 %, r2adj. = 45.00 %, standard error of regression of 12.55 and Durbin-Watson statistic of 0.64, indicating that the independent variables influence the variation of maximum precipitation of 24 hours and that the regression is not spurious. The most suitable model is obtained as equation: Pmax = 193.9512 (T)0.1586(Osc)-0.6508 where: Pmax = maximum precipitation of 24-hour (mm ), T = return period (years), Osc = average temperature oscillation (C), this model has statistically significant coefficients at 95 % confidence, r2 = 50 % and Durbin- Watson statistic of 0.52 indicating that the regression is not spurious.

Keywords: regionalization, high rainfall, watershed of Lake Titicaca, cluster analysis

1

II. INTRODUCCIN En obras hidrulicas en las que se requiere de un diseo hidrolgico, se recurre al uso de curvas intensidad duracin - frecuencia (IDF) para estimar una tormenta asociada a un tiempo de recurrencia y calcular el caudal pico mediante simulacin del proceso lluvia-escorrenta.

Sin embargo, en muchas regiones del altiplano existe una carencia de datos pluviogrficos que permitan confeccionar las relaciones IDF. Por lo que se recurre a la regionalizacin a fin de cubrir estos vacos de informacin, basndose en la hiptesis de la similitud estadstica regional.

Unos de los mtodos de extrapolacin de curvas IDF es el denominado de relacin entre duraciones cuya principal hiptesis considera que los eventos de lluvias de gran intensidad y corta duracin obedecen a procesos atmosfricos similares, que aparentemente son independientes de la regin de estudio. Para ello utiliza datos pluviomtricos de distintas estaciones en la zona, que son relativamente ms fciles de obtener que los pluviogrficos (Faras & Olmos, 2007).

Uno de los problema fundamentales que se observa a nivel de la vertiente del lago Titicaca, es la ocurrencia de eventos mximos de precipitacin, los cuales causan problemas, como inundaciones dentro de las partes bajas de la cuenca, destruccin de obras hidrulicas y los deterioros de los suelos agrcolas por la accin de erosin hdrica, entre otros.

Sin embargo el conocimiento del anlisis de mximas avenidas es de mucha importancia, ya que los Ingenieros de estructuras hidrulicas aplican el tema de dimensionamiento de obras hidrulicas ya sea para sistemas de riego, aprovechamiento de la energa hidrulica, carreteras, sistemas de drenaje agrcola, evacuacin de aguas pluviales en las zonas urbanas, entre otras. Pero es necesario e importante indicar que, los estudios hidrolgicos constituyen una herramienta bsica para establecer hasta qu punto es factible y seguro un proyecto de desarrollo hidrulico, dentro de una cuenca hidrogrfica. Uno de los problemas hidrolgicos que presenta la vertiente del lago Titicaca es la ocurrencia de mximas avenidas que causan inundaciones, riesgo de vida til de las obras de canalizacin, erosin y transporte de sedimentos, debido al exceso de lluvias en los meses de Enero, Febrero, y Marzo.

Los daos que causan las avenidas, son notorios en el aspecto econmico y social en las comunidades de la vertiente, con mayor incidencia en las actividades agrcolas, pecuarias y urbanas de la zona en estudio. Por otro lado, la seleccin correcta de una avenida de proyecto constituye un aporte esencial de los estudios de ingeniera, para prevenir y controlar los problemas mencionados, es importante tener un criterio tcnico muy amplio en el estudio hidrolgico del potencial de avenidas. Para ello, es necesario disponer de informacin de series de precipitaciones mximas de mayor longitud de registro, esta nos permitir interpretar el comportamiento hidrolgico de un evento, con el propsito de predecir el riesgo que puede sufrir los proyectos de mayor envergadura y garantizar la vida econmica de estructuras hidrulicas.

2

La razn fundamental de la presente investigacin es realizar el estudio del efecto de las variables geogrficas en las precipitaciones mximas de la vertiente, con de propsito de establecer un modelo regional que permita determinar la precipitacin en cualquier punto dentro de la vertiente.

Por otra parte, los mtodos estadsticos se apoyan en la existencia de series de datos de caudales en el lugar de inters, las cuales son sometidas a un anlisis de frecuencias usando tcnicas tradicionales de estudio. Esto implica que la curva de frecuencia definida para un determinado lugar es vlida rigurosamente para ese lugar; cuando generalmente la informacin que se requiere es en un lugar diferente, donde no existen datos medidos; la regionalizacin de datos permite combinar informaciones de diversos lugares en la cuenca o regin, para producir por ejemplo, una curva regional de frecuencias, vlida en toda la regin y lugares sin informacin; este recurso entre tanto, est limitado a descargas de hasta 100 aos de perodo de retorno. Los resultados podran ser confiables siempre que existan suficientes datos disponibles y no hayan ocurrido modificaciones importantes en el rgimen del curso de agua durante el perodo de registro, o despus; se acepta entonces, la condicin de que el comportamiento del sistema continuar siendo el mismo durante el perodo de clculo (en el futuro).

En el presente proyecto nos planteamos las siguientes interrogantes:

Cmo es la influencia de factores climticos en la regionalizacin de precipitaciones mximas en la vertiente del lago Titicaca?

2.1. Hiptesis

2.1.1. Hiptesis general Existe influencia directa de los factores climticos en la regionalizacin de precipitaciones mximas en la vertiente del lago Titicaca.

2.1.2. Hiptesis especficas Los factores climticos tienen influencia directa en la regionalizacin de precipitaciones mximas en la vertiente del lago Titicaca.

Los elementos climticos influyen directamente en la regionalizacin de precipitaciones mximas en la vertiente del lago Titicaca.

2.2. Objetivos del estudio

2.2.1. Objetivo general Determinar la influencia de factores climticos en la regionalizacin de precipitaciones mximas en la vertiente del lago Titicaca

3

2.2.2. Objetivos especficos Determinar la influencia de la latitud, longitud y altitud en la regionalizacin de precipitaciones mximas

en la vertiente del lago Titicaca.

Determinar la influencia de los elementos climticos en la regionalizacin de precipitaciones mximas en la vertiente del lago Titicaca.

4

III. REVISIN DE LITERATURA 3.1. Estimacin de las precipitaciones mximas

En un trabajo abordaron un mtodo simple de estimacin de las precipitaciones mximas en 24 horas, ellos proponen una relacin entre las alturas mensuales de precipitacin y su valor mximo en 24 horas del tipo potencial, esto es (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005):

Dnde: P(i) corresponde a la precipitacin media mensual, a y b son constantes a determinar Ellos (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005) consideraron la frecuencia de precipitaciones media mensual como una combinacin lineal del lugar de presin mxima en Chile o lpm (Saavedra, Mller, & Foppiano, 2002), de tal forma que la ecuacin que los relaciona es del tipo:

Dnde: Lat = representa a la latitud del lugar considerado y lpm(i)= es el lugar de presin mxima en Chile para el mes i. Los coeficientes a y b dependen de la latitud (Lat) y longitud (lon) y estn dados por:

0.987 0.6850 0.1910 ) 3.483 0.0862 0.0221 )

Donde el coeficiente de determinacin muestra que las relaciones explican el 87,9% de la variabilidad, adems p < 0,01, lo que indica que las variables estn relacionadas significativamente con un 99% de confianza.

Ellos calcularon la precipitacin mxima en 24 horas a partir de la relacin (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005)

21.359495-../ Su modelo explica el 67.2% de la variabilidad, adems p < 0.01, indica que los valores de precipitacin mxima en 24 horas y los montos medios mensuales estn relacionados significativamente con un 99% de confianza.

As mismo en un trabajo realizaron el siguiente procedimiento en su estudio de anlisis estadstico y regionalizacin de las precipitaciones utilizando alturas de precipitacin anual, diarias e intensidades (Nouvelot, Le Goulven, Alemn, & Pourrut, 1995): - Determinacin de la altura pluviomtrica promedio anual 0, ya sea utilizando una estacin de referencia o

por interpolacin en el mapa de isoyetas. - Estimacin de las alturas anuales para diversas frecuencias, ya sea a partir de ecuaciones generales

derivadas de las leyes estadsticas o mediante las relaciones del tipo

-.1 2/0, -./ 2-.1; -.-/ 2.-./ Dnde:

5

P0.5, P0.1, P0.01 = alturas de precipitacin anual para una probabilidad de 0.5, 0.1 y 0.01 respectivamente (perodo de retorno de 2, 10 y 100 aos).

- Determinacin de la precisin de los resultados en funcin del nmero de aos de observaciones disponible.

- Estimacin de las alturas pluviomtricas diarias H para diversos perodos de retorno, a partir de las leyes estadsticas o mediante las relaciones:

5-.1 2/56,5-./ 25-.1;5-.-/ 2.5-./ - Estimacin de diversas frecuencias de las intensidades I ( o de las lminas precipitadas h)

correspondientes a diferentes intervalos de tiempo t, a partir de las lluvias diarias de igual frecuencia F:

78 , 58 Bell con las extrapolaciones realizadas por el USBW para los perodos de retorno de 50 y 100 aos lleg a la siguiente ecuacin (Bell, 1969):

:;:/- 0.21 ln> 0.522 ? > ? 100 Dnde: T = perodo de retorno (aos), t = duracin (min), :/- = altura de lluvia para una duracin de t y 10 aos de perodo de retorno, en mm, :; = altura de lluvia para la duracin t y un perodo de retorno T, en mm.

Para representar la relacin matemtica lluvia-duracin, Bell encontr que la siguiente ecuacin es la ms conveniente (Bell, 1969)

:;@-; 0.54-.1 0.505 ? ? 120 Dnde:

@-; = altura de lluvia para 60 minutos y un perodo de retorno T Realizando la combinacin de las ecuaciones anteriores obtenidas por Bell se obtiene (Bell, 1969)

:; 0.21 ln> 0.520.54-.1 0.50@-; Si 2 T 100 en aos y 5 t 120 en minutos. Con la ecuacin anterior se pueden estimar la lluvia para cualquier duracin entre 5 minutos y 2 horas, siempre y cuando no se pierda de vista que es una ecuacin emprica y se respeten los rangos indicados; la nica desventaja que se tiene en este caso es que se necesita el valor de la precipitacin con duracin de una hora y el perodo de 10 aos, por lo cual se requiere de contar con datos pluviogrficos. Cheng (1983) propone la ecuacin siguiente con la cual se puede calcular la precipitacin para cualquier duracin y perodo de retorno.

6

:; ///- log10C>C/ D E 60F Vlida para T 1ao y 5min t 24h Dnde:

:; = precipitacin, en milmetros para una duracin t y un perodo de retorno T, T = perodo de retorno (aos), t= duracin (min).

G :/--:/- Los valores de a, b y c = Parmetros de la tormenta que pueden variar segn el factor de convectividad

H /;; Cheng presenta un nomograma en el cual grfica los parmetros de tormenta contra R (Cheng, 1983). La desventaja de esta ltima frmula es que requiere dos valores ms que la propuesta por Bell, pero tambin se toma en cuenta que tiene menos suposiciones (Bell, 1969). Segn Cheng las suposiciones de Bell no responden a las variaciones geogrficas que toma en

cuenta la relacin H IJKILMK , ni aquellas medidas por la relacin G INJOOINJO (Cheng, 1983). Si, tomando en cuenta las consideraciones que realizo Bell, para las relaciones de duracin y

perodo de retorno se supone un IJKILMK 40% y G INJOOINJO 1.48 la ecuacin se reduce a (Bell, 1969): :; 22.57//- log10-.1>-.Q 7.48-.R.Q E 60F

De esta manera slo se requiere el valor de //-, los valores de a1 = 22.57, b1 = 7.48 y c1 = 0.738 se obtienen de acuerdo a la relacin de IJKILMK 40% , segn el nomograma de Cheng (Cheng, 1983).

De acuerdo con los resultados anteriores, se pueden usar varias opciones: si slo se tienen el valor

de //- , se emplear la ecuacin de Bell, aunque es ms fcil tener valores de /- y mediante un anlisis regional se puede obtener el valor de H /;/; , para deducir //-. Por otra parte, si se tiene un buen registro de aos en 24 h, se puede obtener directamente el valor de x, en caso contrario, se puede utilizar el valor de 1.48 propuesto por Bell (Bell, 1969).

7

3.2. Relaciones intensidad duracin frecuencia En muchos proyectos de diseo hidrolgico, como el diseo de un drenaje urbano, es la determinacin del evento o los eventos de lluvia que deben usarse. La forma ms comn de hacerlo es utilizar una tormenta de diseo o un evento que involucre una relacin entre la intensidad de lluvia, la duracin y las frecuencias o perodos de retorno apropiados para la obra y el sitio. En muchos casos existen curvas estndar de intensidad-duracin-frecuencia (IDF) disponibles para el sitio, luego no hay que llevar a cabo este anlisis. Sin embargo es conveniente entender el procedimiento utilizado para desarrollar estas relaciones. Usualmente los datos se presentan en forma grfica, con la duracin en el eje horizontal y la intensidad en el eje vertical, mostrando una serie de curvas, para cada uno de los perodos de retorno de diseo (Chow, Maidment, & Mays, 1994).

3.3. Anlisis de informacin hidrolgica Los datos hidrolgicos en general, estn constituidos por una larga secuencia de observaciones de alguna fase del ciclo hidrolgico obtenidas para un determinado lugar. No obstante que un registro largo sea lo deseable, se debe reconocer que cuanto ms largo es el perodo de registro, mayor ser la posibilidad de error. Una serie generada en esas condiciones, si los errores o cambios fueran apreciables, es inconsistente, o carece de homogeneidad.

Para verificar ste tipo de inconsistencia, se usa el mtodo de la curva de doble masa, basado en el hecho de que un grfico de una cantidad acumulada ploteada contra otra cantidad acumulada durante el mismo perodo, debe ser una lnea recta siempre que las cantidades sean proporcionales, la inclinacin de la recta representa la constante de proporcionalidad. Una alteracin en la pendiente de la recta, indicar que ocurri un cambio en la constante de proporcionalidad entre las dos variables o que tal vez la proporcionalidad no es constante en todos los niveles de acumulacin (Mejia, 2001).

La consistencia en la determinacin de caudales de diseo por transformacin lluvia-caudal y anlisis de frecuencia es de vital importancia para el diseo de obras hidrulicas. En la ingeniera prctica, el dimensionamiento de distintos tipos de obras requiere el clculo de la crecida de diseo para lo cual es necesario asociar una magnitud de crecida con la probabilidad anual de ser superada, con lo que se presenta el riesgo hidrolgico del evento (Paoli, Caick y Morreci, 2002).

3.4. Funciones de distribucin de probabilidad usadas en hidrologa En la estadstica existe decenas de funciones de distribucin de probabilidad tericas; De hecho, existen tantas como se quiera, y obviamente no es posible probarlas todas para un problema particular. Por lo tanto, es necesario escoger, de esas funciones, las que se adapten mejor al problema bajo anlisis. Entre las funciones de distribucin de probabilidad usadas en hidrologa, se estudiarn las siguientes:

Normal, Lognormal, Pearson III y Gumbel.

8

Las funciones anteriores, aun cuando son las ms comnmente usadas en la hidrologa aplicada, no son todas, pues el enfoque no es exhaustivo.

3.4.1. Distribucin Log-normal Es una distribucin para una variable aleatoria cuyos logaritmos siguen una distribucin normal, con parmetros y . Los datos hidrolgicos, a veces, tienen una distribucin fuertemente asimtrica y en general en esos casos una transformacin logartmica la convierte en una distribucin normal.

As la funcin de densidad y la funcin de distribucin acumulada de probabilidad son:

2

21

21)(

=

pi

Y

eYf

dYeYFYYPY Y

dado

==<

pi21

21)()(

Dnde:

Y = ln Q o PP para precipitacin; = media poblacional. Promedio de Y.; y = desviacin estndar de Y (Sy).

La distribucin Log Normal es de gran utilidad porque abre el amplio campo terico de aplicacin de la distribucin Normal. Como ambas distribuciones, Normal y Log-Normal son de dos parmetros, basta calcular la media y la desviacin estndar de los caudales o las precipitaciones y de sus respectivos logaritmos. El grado de ajuste de una serie de datos puede, como en los dems casos, ser examinado a travs del uso del papel de probabilidades Log Normal, donde debe resultar una recta.

3.4.2. Distribucin de Gumbel y Log Gumbel Los valores extremos en cuestin seran las descargas o precipitaciones diarias mximas anuales, ya que cada una es la mxima entre los 365 valores del ao. Para aplicar esa ley, se debe tener en cuenta que existen muestras, cada una constituida de 365 elementos, del universo de la poblacin infinita de la variable aleatoria que es el caudal o precipitacin diaria. De acuerdo con la ley de los extremos, la ley de distribucin de la serie de n trminos constituidos por los mayores valores de cada muestra tiende asintticamente para una ley simple de probabilidades, que es independiente de la que rige la variable aleatoria a las diferentes muestras y en el propio universo de la poblacin infinita.

Esa es la base del mtodo de Gumbel (o distribucin de valores extremos Tipo I), en el cual se calcula P por la siguiente relacin:

reeP

= 1

9

( )QQQY 45.07997.01

+=

Dnde:

Q = la media de los n caudales o precipitaciones mximas; P= es la probabilidad de que un mximo caudal o precipitacin media diaria de un ao cualquiera sea mayor o igual a Q, y Q= la desviacin estndar de los n caudales mximos.

La expresin de Y muestra que existe una relacin lineal entre l y el valor de Q; esa recta puede ser

diseada conocindose: ( )

1

2

==

n

QQSy

n

QQ Q

El eje donde estn marcados los valores de Y puede ser graduado en tiempos de retorno a travs de la

relacin P

T 1= y de esta manera, a cada caudal le corresponde un perodo de retorno; conocindose a este

como Papel de Distribucin Gumbel.

El mtodo de Gumbel es de fcil aplicacin y se basa slo en dos parmetros, la media y la desviacin estndar, mientras que otros mtodos incluyen el coeficiente de asimetra.

Cuando la asimetra es grande, se toma QY ln= y se procede al anlisis como en el caso anterior, constituyndose una distribucin Log-Gumbel; el grfico establecido corresponde a una recta en el papel de probabilidades correspondiente, si el ajuste es adecuado.

3.4.3. Distribucin Pearson III y Log Pearson III La distribucin Pearson III posee las caractersticas de ser asimtrica y no negativa, lo que la hace adecuada para describir los caudales mximos; es una distribucin de tres parmetros. La media, desviacin estndar y el coeficiente de asimetra, son definidos por las siguientes relaciones:

( )1

2

==

n

QQS

n

QQ Q

( )( )

( )( ) ( )3

323

2

3

)2)(1(23

2 QQQ Snnn

QnQQnQnQQS

QQc

+=

=

La funcin de densidad de y la funcin de probabilidad acumulada estn dadas por:

10

)()()(

1

=

Q

eQQf

==

puno

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