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PUENTES Con AASHTO-LRFD 2007 Por MC Ing. Arturo Rodríguez Serquén [email protected]

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PUENTES

Con AASHTO-LRFD 2007

Por

MC Ing. Arturo Rodríguez Serquén

[email protected]

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PUENTES

MC Ing. Arturo Rodríguez Serquén E-mail: [email protected] Derechos Reservados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier método,

total o parcialmente, sin permiso expreso del autor.

Perú- Febrero 2011

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Contenido

1 Consideraciones Generales

2 Cargas

3 Superestructuras de Puentes

4 Dispositivos de Apoyo

5 Estribos

6 Pilares

7 Líneas de Influencia

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I-1

CAP I:CAP I:CAP I:CAP I: CONSIDERACIONES GENERALESCONSIDERACIONES GENERALESCONSIDERACIONES GENERALESCONSIDERACIONES GENERALES 1. DEFINICIÓN1. DEFINICIÓN1. DEFINICIÓN1. DEFINICIÓN

Un puente es una obra que se construye para salvar un obstáculo dando así continuidad a una vía. Suele sustentar un camino, una carretera o una vía férrea, pero también puede transportar tuberías y líneas de distribución de energía.

Los puentes que soportan un canal o conductos de agua se llaman acueductos. Aquellos construidos sobre terreno seco o en un valle, viaductos. Los que cruzan autopistas y vías de tren se llaman pasos elevados.

Constan fundamentalmente de dos partes: a) La superestructura conformada por: tablero que soporta directamente las

cargas; vigas, armaduras, cables, bóvedas, arcos, quienes transmiten las cargas del tablero a los apoyos.

b) La infraestructura conformada por: pilares (apoyos centrales); estribos (apoyos extremos) que soportan directamente la superestructura; y cimientos, encargados de transmitir al terreno los esfuerzos.

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I-2

2. CLASIFICACIÓN2. CLASIFICACIÓN2. CLASIFICACIÓN2. CLASIFICACIÓN A los puentes podemos clasificarlos: a) Según su función:

− Peatonales − Carreteros − Ferroviarios

b) Por los materiales de construcción − Madera − Mampostería − Acero Estructural − Sección Compuesta − Concreto Armado − Concreto Presforzado

c) Por el tipo de estructura − Simplemente apoyados − Continuos − Simples de tramos múltiples − Cantilever (brazos voladizos) − En Arco − Atirantado (utilizan cables rectos que atirantan el tablero) − Colgantes − Levadizos (basculantes) − Pontones (puentes flotantes permanentes)

3. UBICACIÓN Y ELECCIÓN DEL TIPO DE PUENTE3. UBICACIÓN Y ELECCIÓN DEL TIPO DE PUENTE3. UBICACIÓN Y ELECCIÓN DEL TIPO DE PUENTE3. UBICACIÓN Y ELECCIÓN DEL TIPO DE PUENTE

Los puentes son obras que requieren para su proyecto definitivo estudiar los siguientes aspectos: a. Localización de la estructura o ubicación en cuanto a sitio, alineamiento,

pendiente y rasante. b. Tipo de puente que resulte más adecuado para el sitio escogido, teniendo en

cuenta su estética, economía, seguridad y funcionalidad. c. Forma geométrica y dimensiones, analizando sus accesos, superestructura,

infraestructura, cauce de la corriente y fundaciones. d. Obras complementarias tales como: barandas, drenaje de la calzada y de los

accesos, protección de las márgenes y rectificación del cauce, si fuera necesario forestación de taludes e iluminación.

e. En caso de obras especiales conviene recomendar sistemas constructivos, equipos, etapas de construcción y todo aquello que se considere necesario para la buena ejecución y estabilidad de la obra.

4. ESTUDIOS BÁSICOS DE INGENIERÍA PARA EL DISEÑO DE PUENTES4. ESTUDIOS BÁSICOS DE INGENIERÍA PARA EL DISEÑO DE PUENTES4. ESTUDIOS BÁSICOS DE INGENIERÍA PARA EL DISEÑO DE PUENTES4. ESTUDIOS BÁSICOS DE INGENIERÍA PARA EL DISEÑO DE PUENTES

a.a.a.a. Estudios topográficosEstudios topográficosEstudios topográficosEstudios topográficos

Posibilitan la definición precisa de la ubicación y dimensiones de los elementos estructurales, así como información básica para los otros estudios.

b.b.b.b. Estudios de hidrología e hidráulicosEstudios de hidrología e hidráulicosEstudios de hidrología e hidráulicosEstudios de hidrología e hidráulicos Establecen las características hidrológicas de los regímenes de avenidas máximas y extraordinarias y los factores hidráulicos que conllevan a una real apreciación del comportamiento hidráulico del río.

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I-3

c.c.c.c. Estudios geológicos y geotécnicosEstudios geológicos y geotécnicosEstudios geológicos y geotécnicosEstudios geológicos y geotécnicos Establecen las características geológicas, tanto locales como generales de las diferentes formaciones geológicas que se encuentran, identificando tanto su distribución como sus características geotécnicas correspondientes.

d.d.d.d. Estudios de riesgo sísmicoEstudios de riesgo sísmicoEstudios de riesgo sísmicoEstudios de riesgo sísmico Tienen como finalidad determinar los espectros de diseño que definen las componentes horizontal y vertical del sismo a nivel de la cota de cimentación.

e.e.e.e. Estudios de impacto ambientalEstudios de impacto ambientalEstudios de impacto ambientalEstudios de impacto ambiental Identifican el problema ambiental, para diseñar proyectos con mejoras ambientales y evitar, atenuar o compensar los impactos adversos.

f.f.f.f. Estudios de tráficoEstudios de tráficoEstudios de tráficoEstudios de tráfico Cuando la magnitud de la obra lo requiera, será necesario efectuar los estudios de tráfico correspondiente a volumen y clasificación de tránsito en puntos establecidos, para determinar las características de la infraestructura vial y la superestructura del puente.

g.g.g.g. Estudios complementariosEstudios complementariosEstudios complementariosEstudios complementarios Son estudios complementarios a los estudios básicos como: instalaciones eléctricas, instalaciones sanitarias, señalización, coordinación con terceros y cualquier otro que sea necesario al proyecto.

h.h.h.h. Estudios de trazo y diseño vial de los accesosEstudios de trazo y diseño vial de los accesosEstudios de trazo y diseño vial de los accesosEstudios de trazo y diseño vial de los accesos Definen las características geométricas y técnicas del tramo de carretera que enlaza el puente en su nueva ubicación con la carretera existente.

i.i.i.i. Estudio de alternativas a nivel de anteproyectoEstudio de alternativas a nivel de anteproyectoEstudio de alternativas a nivel de anteproyectoEstudio de alternativas a nivel de anteproyecto Propuesta de diversas soluciones técnicamente factibles, para luego de una evaluación técnica-económica, elegir la solución más conveniente.

5. GEOMETRÍA5. GEOMETRÍA5. GEOMETRÍA5. GEOMETRÍA a.a.a.a. Sección transversalSección transversalSección transversalSección transversal

El ancho de la sección transversal de un puente no será menor que el ancho del acceso, y podrá contener: vías de tráfico, vías de seguridad (bermas), veredas, ciclovía, barreras y barandas, elementos de drenaje.

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I-4

b.b.b.b. Ancho de vía (calzada)Ancho de vía (calzada)Ancho de vía (calzada)Ancho de vía (calzada) Siempre que sea posible, los puentes se deben construir de manera de poder acomodar el carril de diseño estándar y las bermas adecuadas. El número de carriles de diseño se determina tomando la parte entera de la relación w/3.6, siendo w el ancho libre de calzada (m). Los anchos de calzada entre 6.00 y 7.20 m tendrán dos carriles de diseño, cada uno de ellos de ancho igual a la mitad del ancho de calzada.

c.c.c.c. BermasBermasBermasBermas Una berma es la porción contigua al carril que sirve de apoyo a los vehículos que se estacionan por emergencias. Su ancho varía desde un mínimo de 0.60 m en carreteras rurales menores, siendo preferible 1.8 a 2.4 m, hasta al menos 3.0 m, y preferentemente 3.6 m, en carreteras mayores. Sin embargo debe tenerse en cuenta que anchos superiores a 3.0 m predisponen a su uso no autorizado como vía de tráfico.

d.d.d.d. VeredasVeredasVeredasVeredas Utilizadas con fines de flujo peatonal o mantenimiento. Están separadas de la calzada adyacente mediante un cordón barrera, una barrera (baranda para tráfico vehicular) o una baranda combinada. El ancho mínimo de las veredas es 0.75 m.

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I-5

e.e.e.e. Cordón barreraCordón barreraCordón barreraCordón barrera Tiene entre otros propósitos el control del drenaje y delinear el borde de la vía de tráfico. Su altura varía en el rango de 15 a 20 cm, y no son adecuados para prevenir que un vehículo deje el carril.

f.f.f.f. BarandasBarandasBarandasBarandas Se instalan a lo largo del borde de las estructuras de puente cuando existen pases peatonales, o en puentes peatonales, para protección de los usuarios. La altura de las barandas será no menor que 1.10 m, en ciclovías será no menor que 1.40 m. Una baranda puede ser diseñada para usos múltiples (caso de barandas combinadas para peatones y vehículos) y resistir al choque con o sin la acera. Sin embargo su uso se debe limitar a carreteras donde la velocidad máxima permitida es 70 km/h. Para velocidades mayores o iguales a 80 km/h, para proteger a los peatones es preferible utilizar una barrera.

g.g.g.g. Barreras de concreto (o barandas para tráfico vehicular)Barreras de concreto (o barandas para tráfico vehicular)Barreras de concreto (o barandas para tráfico vehicular)Barreras de concreto (o barandas para tráfico vehicular) Su propósito principal es contener y corregir la dirección de desplazamiento de los vehículos desviados que utilizan la estructura, por lo que deben estructural y geométricamente resistir al choque. Brindan además seguridad al tráfico peatonal, ciclista y bienes situados en las carreteras y otras áreas debajo de la estructura. Deben ubicarse como mínimo a 0.60 m del borde de una vía y como máximo a 1.20 m. En puentes de dos vías de tráfico puede disponerse de una barrera como elemento separador entre las vías. No debe colocarse barandas peatonales (excepto barandas diseñadas para usos múltiples) en lugar de las barreras, pues tienen diferente función. Mientras las barandas evitan que los peatones caigan del puente, las barreras contienen y protegen el tránsito vehicular.

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h.h.h.h. PavimentoPavimentoPavimentoPavimento Puede ser rígido o flexible y se dispone en la superficie superior del puente y accesos. El espesor del pavimento se define en función al tráfico esperado en la vía.

i.i.i.i. Losas de transiciónLosas de transiciónLosas de transiciónLosas de transición Son losas de transición con la vía o carretera, apoyadas en el terraplén de acceso. Se diseñan con un espesor mínimo de 0.20 m.

j.j.j.j. DrenajeDrenajeDrenajeDrenaje La pendiente de drenaje longitudinal debe ser la mayor posible, recomendándose un mínimo de 0.5%. La pendiente de drenaje transversal mínima es de 2% para las superficies de rodadura. En caso de rasante horizontal, se utilizan también sumideros o lloraderos, de diámetro suficiente y número adecuado. Son típicos drenes de material anticorrosivo, ∅ 0.10 m cada 0.40 m, sobresaliendo debajo de la placa 0.05 m como mínimo. El agua drenada no debe caer sobre las partes de la estructura.

k.k.k.k. GálibosGálibosGálibosGálibos Los gálibos horizontal y vertical para puentes urbanos serán el ancho y la altura necesarios para el paso del tráfico vehicular. El gálibo vertical no será menor que 5.00 m. En zonas rurales, el gálibo vertical sobre autopistas principales será al menos de 5.50 m. En zonas altamente desarrolladas puede reducirse, previa justificación técnica. Los gálibos especificados pueden ser incrementados si el asentamiento pre-calculado de la superestructura excede los 2.5 cm.

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En puentes sobre cursos de agua, se debe considerar como mínimo una altura libre de 1.50 m a 2.50 m sobre el nivel máximo de las aguas. Los puentes construidos sobre vías navegables deben considerar los gálibos de navegación de esas vías; a falta de información precisa, el gálibo horizontal podrá ser, por lo menos, dos veces el ancho máximo de las embarcaciones, más un metro.

l.l.l.l. Juntas de dilataciónJuntas de dilataciónJuntas de dilataciónJuntas de dilatación Para permitir la expansión o la contracción de la estructura por efecto de los cambios de temperatura, se colocan juntas en sus extremos y otras secciones intermedias en que se requieran. Las juntas deben sellarse con materiales flexibles, capaces de tomar las expansiones y contracciones que se produzcan y ser impermeables.

6. NORMATIVIDAD6. NORMATIVIDAD6. NORMATIVIDAD6. NORMATIVIDAD

• AASHTO LRFD Bridge Design Specifications, American Association of State Highway and Transportation Officials, Washington, D.C., 2007.

• Manual de Diseño de Puentes, Dirección General de Caminos y Ferrocarriles, Ministerio de Transportes y Comunicaciones, Lima, Perú, 2003.

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APÉNDICE IAPÉNDICE IAPÉNDICE IAPÉNDICE I----AAAA

EQUIVALENCIA DE UNIDADESEQUIVALENCIA DE UNIDADESEQUIVALENCIA DE UNIDADESEQUIVALENCIA DE UNIDADES

1 kgf = 9.807 N 1 N = 0.10197 kgf 1 N-mm = 1.0197 x 10-2 kgf-cm 1 kgf-cm = 98.07 N-mm 1 N/mm = 1.0197 x 102 kgf/m 1 kgf/m = 9.807 x 10-3 N/mm 1 kgf/cm2 = 0.09807 MPa 1 MPa = 10.197 kgf/cm2 = 1.0197 x 105 kgf/m2

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CAP II:CAP II:CAP II:CAP II: CARGASCARGASCARGASCARGAS 1. CARGAS PERMANENTES (DC, DW y EV)1. CARGAS PERMANENTES (DC, DW y EV)1. CARGAS PERMANENTES (DC, DW y EV)1. CARGAS PERMANENTES (DC, DW y EV)

DC= Peso propio de los componentes estructurales y accesorios no estructurales

DW= Peso propio de las superficies de rodamiento e instalaciones para servicios públicos

EV= Presión vertical del peso propio del suelo de relleno

Tabla 3.5.1Tabla 3.5.1Tabla 3.5.1Tabla 3.5.1----1 1 1 1 DensidadesDensidadesDensidadesDensidades MaterialMaterialMaterialMaterial Densidad (kg/mDensidad (kg/mDensidad (kg/mDensidad (kg/m3333))))

Concreto Agregados de baja densidad y arena Normal, con f’c ≤ 357 kg/cm2 Normal, con 357 < f’c ≤ 1071 kg/cm2 Armado

1925 2320

2240+2.29f’c Densidad Concreto Simple+ 72 kg/m3

Superficies de rodamiento bituminosas 2250 Acero 7850 Hierro fundido 7200 Aleaciones de aluminio 2800 Arena, limo o arcilla compactados Arena, limo o grava sueltos Arcilla blanda Grava, macadan o balasto compactado a rodillo

1925 1600 1600 2250

Madera dura Madera blanda

960 800

Rieles para tránsito, durmientes y fijadores por vía 300 kg/m 2. SOBRECARGAS VIVAS (LL y PL)2. SOBRECARGAS VIVAS (LL y PL)2. SOBRECARGAS VIVAS (LL y PL)2. SOBRECARGAS VIVAS (LL y PL) (Art. 3.6.1.2)

LL= sobrecarga vehicular PL= sobrecarga peatonal

Carga HLCarga HLCarga HLCarga HL----93:93:93:93:

1.-Camión de diseño:

La distancia entre los dos ejes más pesados se toma como aquella que, estando entre los límites de 4.30m y 9.00m., resulta en los mayores efectos.

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0.96 T/m 3.0 m

CARGA DE CARRIL

2.-Tandem de diseño: 3.-Carga de carril de diseño:

NOTAS a) La sobrecarga vehicular de diseño es considerada como una combinación de:

Camión de diseño o tandem de diseño + Carga de carril de diseño. b) Para momento negativo entre puntos de contraflexión bajo carga uniforme,

así como en la reacción de pilares interiores se considera: 90 por ciento de la solicitación debida a dos camiones de diseño separados como mínimo 15 m entre el eje delantero de un camión y el eje trasero del otro, combinada con 90 por ciento de la solicitación debida a la carga del carril de diseño.

Presencia de Múltiples Sobrecargas (Art. 3.6.1.1.2)

La solicitación extrema correspondiente a sobrecargas se determinará considerando las posibles combinaciones de carriles cargados, multiplicando por un factor de presencia múltiple. No es aplicable al estado límite de fatiga.

Tabla 3.6.1.Tabla 3.6.1.Tabla 3.6.1.Tabla 3.6.1.1.21.21.21.2----1 1 1 1 Factor de Presencia MúltipleFactor de Presencia MúltipleFactor de Presencia MúltipleFactor de Presencia Múltiple Número de carriles

cargados Factor de presencia

múltiple, m 1 1.20 2 1.00 3 0.85 >3 0.65

Para el estado de Fatiga, se utiliza un camión de diseño, y las solicitaciones de los Art. 4.6.2.2 y 4.6.2.3 se deberán dividir por 1.20 Incremento por Carga Dinámica: IM (Art. 3.6.2)

Los efectos estáticos del camión o tandem de diseño, a excepción de las fuerzas centrífugas y de frenado, se deberán mayorar en los siguientes porcentajes:

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Tabla 3.6.2.1Tabla 3.6.2.1Tabla 3.6.2.1Tabla 3.6.2.1----1 Incremento por 1 Incremento por 1 Incremento por 1 Incremento por Carga Dinámica, IMCarga Dinámica, IMCarga Dinámica, IMCarga Dinámica, IM ComponenteComponenteComponenteComponente IMIMIMIM

Juntas del tablero – Todos los Estados Límites 75% Todos los demás componentes Estado Límite de fatiga y fractura Todos los demás Estados Límites

15% 33%

Nota.- No se aplica a cargas peatonales ni a cargas de carril de diseño. Tampoco en muros de sostenimiento no solicitados por reacciones verticales de la superestructura ni en componentes de fundaciones que estén completamente por debajo del nivel del terreno.

En caso de componentes enterrados como en el caso de alcantarillas, el porcentaje se deberá tomar como:

IM = 33(1.0 – 4.1DE) � 0%

Siendo DE = profundidad mínima de la cubierta de tierra sobre la estructura (m).

3. FUERZAS CENTRÍFUGAS: CE3. FUERZAS CENTRÍFUGAS: CE3. FUERZAS CENTRÍFUGAS: CE3. FUERZAS CENTRÍFUGAS: CE (Art. 3.6.3)

Se toman como el producto entre los pesos por eje del camión o tandem de diseño y el factor C, dado por:

RV

0.0105C2

= (3.6.3-1)

Siendo: V = velocidad de diseño de la carretera (km/h) R = radio de curvatura del carril de circulación (m)

Las fuerzas centrífugas se aplican horizontalmente a una distancia de 1.80 m sobre la calzada. Se deben aplicar además los factores de presencia múltiple.

4. FUERZA DE FRENADO: BR4. FUERZA DE FRENADO: BR4. FUERZA DE FRENADO: BR4. FUERZA DE FRENADO: BR (Art. 3.6.4)

Se toma como el mayor valor de: • 25 por ciento de los pesos por eje del camión o tandem de diseño • 5 por ciento del camión o tandem de diseño más la carga de carril

La fuerza de frenado se debe ubicar en todos los carriles de diseño que se

consideren cargados y que transporten tráfico en la misma dirección. Se aplicarán los factores de presencia múltiple. Se asumirá que estas fuerzas actúan horizontalmente a una distancia de 1.80 m sobre la superficie de la calzada.

5. CARGA SOBRE VEREDAS, BARANDAS Y SARDINELES5. CARGA SOBRE VEREDAS, BARANDAS Y SARDINELES5. CARGA SOBRE VEREDAS, BARANDAS Y SARDINELES5. CARGA SOBRE VEREDAS, BARANDAS Y SARDINELES

Sobrecargas en Veredas (Art. 3.6.1.6) Se deberá aplicar una carga peatonal de 367 kg/m2 en todas las aceras de más de 0.60m de ancho, y esta carga se deberá considerar simultáneamente con la sobrecarga vehicular de diseño. Cuando la condición de carga incluya cargas peatonales combinadas con uno o más carriles con sobrecarga vehicular, las cargas peatonales se pueden considerar como un carril cargado (Art. 3.6.1.1.2). Los puentes peatonales se diseñarán para una sobrecarga de 418 kg/m2.

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Nota.Nota.Nota.Nota.---- El Manual de Diseño de Puentes – Perú (Art. 2.4.3.7), señala al respecto que los puentes para uso peatonal y para el tráfico de bicicletas se diseñan para una carga viva de 510 kg/m². Así mismo, refiere: Fuerzas sobre Sardineles (Art. 2.4.3.6.2) Los sardineles se diseñarán para resistir una fuerza lateral no menor que 760 kg por metro de sardinel, aplicada en el tope del sardinel o a una elevación de 0.25 m sobre el tablero si el sardinel tuviera mayor altura. Fuerza sobre Barandas (Art. 2.4.3.6.3)

PL-1 Primer nivel de importancia Usado en estructuras cortas y de bajo nivel sobre puentes rurales y áreas donde el número de vehículos pesados es pequeño y las velocidades son reducidas. PL-2 Segundo nivel de importancia Usado en estructuras grandes y velocidades importantes en puentes urbanos y en áreas donde hay variedad de vehículos pesados y las velocidades son las máximas tolerables. PL-3 Tercer nivel de importancia Usado para autopistas con radios de curvatura reducidos, pendientes variables fuertes, un volumen alto de vehículos pesados y con velocidades máximas tolerables. Justificación específica de este tipo de lugar será hecho para usar este nivel de importancia.

Fuerzas de Diseño para BarandasFuerzas de Diseño para BarandasFuerzas de Diseño para BarandasFuerzas de Diseño para Barandas (Tabla 2.4.3.6.3(Tabla 2.4.3.6.3(Tabla 2.4.3.6.3(Tabla 2.4.3.6.3----1, Manual de Diseño de Puentes1, Manual de Diseño de Puentes1, Manual de Diseño de Puentes1, Manual de Diseño de Puentes---- Perú)Perú)Perú)Perú)

Designación de Fuerzas y Designaciones

Por niveles de importancia de Puentes PL-1 PL-2 PL-3

Ft transversal (t) 12.3 24.5 52.6 Fl longitudinal (t) 4.1 8.2 17.6 Fv vertical abajo (t) 2.05 8.2 22.64 Lt y Ll (m) 1.22 1.07 2.44 Lv (m) 5.50 5.50 12.2 He mín (m) 0.51 0.81 1.02 Mínima altura del pasamano (m) 0.51 0.81 1.02

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6. FUERZA DE COLISIÓN 6. FUERZA DE COLISIÓN 6. FUERZA DE COLISIÓN 6. FUERZA DE COLISIÓN DE UN VEHÍCULO: CTDE UN VEHÍCULO: CTDE UN VEHÍCULO: CTDE UN VEHÍCULO: CT (Art. 3.6.5)

Los estribos y pilas de puentes ubicados a 9.0 m o menos del borde de la calzada, o a 15.0 m o menos de la línea de centro de una vía ferroviaria, se deberán diseñar para una fuerza estática equivalente de 183.5 t, la cual se asume actúa en cualquier dirección en un plano horizontal, a una altura de 1.2 m sobre el nivel del terreno. No es necesario aplicar esta fuerza, en el caso de estructuras protegidas por terraplenes o barreras antichoques.

7. CARGAS HIDRÁULICAS: WA7. CARGAS HIDRÁULICAS: WA7. CARGAS HIDRÁULICAS: WA7. CARGAS HIDRÁULICAS: WA (Art. 3.7)

Presión HidrostáticaPresión HidrostáticaPresión HidrostáticaPresión Hidrostática....---- Actúa de forma perpendicular a la superficie, y se calcula como el producto entre la altura de la columna de agua sobre el punto considerado, la densidad del agua y g (aceleración de la gravedad). FlotabilidadFlotabilidadFlotabilidadFlotabilidad....---- Fuerza de levantamiento tomada como la sumatoria de las componentes verticales de las presiones hidrostáticas. Actúa sobre todos los componentes debajo del nivel de agua. Presión de FlujoPresión de FlujoPresión de FlujoPresión de Flujo....---- La presión de flujo de agua, actuando en la dirección longitudinal de las subestructuras, se tomará como:

p = 52.4CDV2 (3.7.3.1-1)

Donde: p = presión del agua (kg/m2) v = velocidad del agua para la inundación de diseño (resistencia y servicio) y

para la inundación de control (evento extremo), en m/s CD = coeficiente de arrastre para pilas

Tabla 3.7.3.1Tabla 3.7.3.1Tabla 3.7.3.1Tabla 3.7.3.1----1 1 1 1 Coeficiente de ArrastreCoeficiente de ArrastreCoeficiente de ArrastreCoeficiente de Arrastre Tipo CD

Pila con borde de ataque semicircular 0.7 Pila de extremo cuadrado 1.4 Arrastres acumulados contra la pila 1.4 Pila con borde de ataque en forma de cuña, ángulo del borde de ataque ≤ 90°

0.8

La fuerza de arrastre longitudinal será el producto entre la presión de flujo longitudinal y la proyección de la superficie expuesta a dicha presión. Carga LateralCarga LateralCarga LateralCarga Lateral....---- La presión lateral uniformemente distribuida que actúa sobre una subestructura debido a un caudal de agua que fluye formando un ángulo θ respecto del eje longitudinal de la pila será:

p = 52.4CLV2 (3.7.3.2-1)

Donde: p = presión lateral (kg/m2) CL = coeficiente de arrastre lateral

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Tabla 3.7.3.2Tabla 3.7.3.2Tabla 3.7.3.2Tabla 3.7.3.2----1 1 1 1 Coeficiente de Arrastre LateCoeficiente de Arrastre LateCoeficiente de Arrastre LateCoeficiente de Arrastre Lateralralralral Ángulo θ CL

0° 0 5° 0.5 10° 0.7 20° 0.9 � 30° 1.0

Carga del OleajeCarga del OleajeCarga del OleajeCarga del Oleaje....---- Se deberá considerar si se anticipa que se pueden desarrollar fuerzas de oleaje significativas. SocavaciónSocavaciónSocavaciónSocavación....---- Se deberá considerar en los estados límites de resistencia y servicio.

8. CARGA DE VIENTO: WL y WS8. CARGA DE VIENTO: WL y WS8. CARGA DE VIENTO: WL y WS8. CARGA DE VIENTO: WL y WS (Art. 3.8)

Presión Horizontal del VientoPresión Horizontal del VientoPresión Horizontal del VientoPresión Horizontal del Viento....---- La carga de viento se asume está uniformemente distribuida sobre el área expuesta al viento. Para puentes a más de 10 m sobre el nivel del terreno o del agua, la velocidad de viento de diseño se deberá ajustar con:

)ZZ

ln()V

V(V5.2=V

0B

100DZ (3.8.1.1-1)

Donde: VDZ = velocidad del viento de diseño a la altura de diseño Z (km/h) V0 = velocidad friccional (km/h) V10 = velocidad del viento a 10 m sobre el nivel del terreno o agua de diseño

(km/h). En ausencia de datos V10 = VB =160 km/h VB = velocidad básica del viento igual a 160 km/h a una altura de 10 m Z0 = longitud de fricción del fetch o campo de viento aguas arriba (m) Z = altura de la estructura > 10 m

Tabla 3.Tabla 3.Tabla 3.Tabla 3.8.1.18.1.18.1.18.1.1----1 1 1 1 Valores de VValores de VValores de VValores de V0000 y Zy Zy Zy Z0000 CONDICIÓN TERRENO

ABIERTO ÁREA

SUBURBANA ÁREA

URBANA V0 (km/h) 13.2 17.6 19.3 Z0 (m) 0.07 1.00 2.50

Presión de Viento sobre las Estructuras: WSPresión de Viento sobre las Estructuras: WSPresión de Viento sobre las Estructuras: WSPresión de Viento sobre las Estructuras: WS

)25600V

(P=)VV(P=P

2DZ

B2

B

DZBD (3.8.1.2.1-1)

PD = presión del viento de diseño PB = presión básica del viento

Tabla 3.8.1.2.1-1 Presiones básicas PB correspondientes a VB = 160 km/h COMPONENTE DE

LA SUPERESTRUCTURA CARGA A

BARLOVENTO (kg/m2)

CARGA A SOTAVENTO (kg/m2)

Reticulados, columnas y arcos 245 122 Vigas 245 No Aplicable Grandes superficies planas 194 No Aplicable

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II-7

La carga de viento total no se deberá tomar menor que 449 kg/m en el plano de un cordón a barlovento ni 224 kg/m en el plano de un cordón a sotavento de un componente reticulado o en arco, ni se deberá tomar menor que 449 kg/m en componentes de vigas o vigas cajón. Cargas de las SuperestructurasCargas de las SuperestructurasCargas de las SuperestructurasCargas de las Superestructuras....---- Si el viento no se considera normal a la estructura, la presión básica del viento PB para diferentes ángulos de dirección del viento se puede tomar según la Tabla. El ángulo de oblicuidad se deberá medir a partir de una perpendicular al eje longitudinal. Las presiones transversal y longitudinal se deberán aplicar simultáneamente.

Tabla 3.8.1.2.2-1 PB para diferentes ángulos de ataque (VB = 160 km/h) Ángulo de oblicuidad del viento

(°)

Reticulados, columnas y arcos

Vigas

Carga lateral Kg/m2

Carga longitudinal Kg/m2

Carga lateral Kg/m2

Carga longitudinal Kg/m2

0 367 0 245 0 15 347 61 214 31 30 316 133 204 61 45 235 204 163 82 60 112 245 82 92

Fuerzas Aplicadas DireFuerzas Aplicadas DireFuerzas Aplicadas DireFuerzas Aplicadas Directamente a la Subestructuractamente a la Subestructuractamente a la Subestructuractamente a la Subestructura....---- Las fuerzas transversales y longitudinales a aplicar directamente a la subestructura se deberán calcular en base a una presión básica del viento supuesta de 194 Kg/m2. Para direcciones del viento oblicuas respecto de la estructura, esta fuerza se deberá resolver en componentes perpendiculares a las elevaciones posterior y frontal de la subestructura. Presión de Viento sobre los Vehículos: WLPresión de Viento sobre los Vehículos: WLPresión de Viento sobre los Vehículos: WLPresión de Viento sobre los Vehículos: WL Si hay vehículos presentes, la presión del viento de diseño se aplicará tanto a la estructura como a los vehículos. La presión del viento sobre los vehículos se debe representar como una fuerza interrumpible y móvil de 150 kg/m actuando normal a la calzada y 1.80m sobre la misma, y se deberá transmitir a la estructura. Si el viento sobre los vehículos no es normal a la estructura, las componentes de fuerza normal y paralela aplicadas a la sobrecarga viva se pueden tomar como:

Tabla 3.8.1.3-1 Componentes del viento sobre la sobrecarga viva Ángulo de oblicuidad respecto a la normal a la superficie (°)

Componente normal (kg/m)

Componente Paralela (kg/m)

0 149 0 15 131 18 30 122 36 45 98 48 60 51 56

Presión Vertical del VientoPresión Vertical del VientoPresión Vertical del VientoPresión Vertical del Viento....---- En el diseño de puentes y componentes estructurales que pueden ser sensibles al viento, se debe considerar una fuerza de viento vertical ascendente de 100 kg/m2 por el ancho del tablero, incluyendo los parapetos y aceras, como una carga lineal longitudinal. Se debe aplicar sólo para los estados

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II-8

límites que no involucran viento actuando sobre la sobrecarga, y sólo cuando la dirección del viento se toma perpendicular al eje longitudinal del puente. Se aplicará en el punto correspondiente a un cuarto del ancho de tablero a barlovento juntamente con las cargas de viento horizontales especificadas. Inestabilidad AeroelInestabilidad AeroelInestabilidad AeroelInestabilidad Aeroelásticaásticaásticaástica....---- Todos los puentes y componentes estructurales de ello, cuya relación longitud de tramo / ancho o profundidad sea superior a 30, se deberán considerar sensibles al viento, y por lo tanto deberán considerar en su diseño, solicitaciones aeroelásticas. Nota.Nota.Nota.Nota.---- El Manual de Diseño de Puentes – Perú (Art. 2.4.3.10), refiere que para puentes con una altura de 10m o menos, medida desde el nivel del agua o desde la parte más baja del terreno, se supondrá velocidad del viento constante. Para alturas mayores se determina con:

10o

10z Vzz

LnVCV ≥

=

donde: VZ = velocidad del viento a la altura z (km/h) V10 = velocidad de referencia, correspondiente a z=10m. z = altura por encima del nivel del terreno o del agua (m). C, z0= constantes dadas en la Tabla 2.4.3.10.1

Tabla Tabla Tabla Tabla 2222....4444....3333.1.1.1.10.10.10.10.1----1 Valores de 1 Valores de 1 Valores de 1 Valores de las constantes C,las constantes C,las constantes C,las constantes C, zzzz0000 CONDICIÓN PUEBLOS

ABIERTOS SUBURBANOS CIUDAD

C (km/h) 0.330 0.380 0.485 z0 (m) 0.070 0.300 0.800

La presión de viento se calcula con:

2DZBD )100

V(PP =

donde: P = presión del viento (kg/m²) Vz = velocidad de viento (km/h) a la altura z PB = presión básica correspondiente a una velocidad de 100 km/h, dada en la Tabla 2.4.3.10.2

Tabla 2.4.3.10.2Tabla 2.4.3.10.2Tabla 2.4.3.10.2Tabla 2.4.3.10.2----1 Presiones básicas correspondientes a una velocidad de 1 Presiones básicas correspondientes a una velocidad de 1 Presiones básicas correspondientes a una velocidad de 1 Presiones básicas correspondientes a una velocidad de 100km/h100km/h100km/h100km/h

Componente Componente Componente Componente EstructuralEstructuralEstructuralEstructural

Presión por Presión por Presión por Presión por Barlovento Barlovento Barlovento Barlovento (kg/m(kg/m(kg/m(kg/m2222))))

Presión por Presión por Presión por Presión por Sotavento (kg/mSotavento (kg/mSotavento (kg/mSotavento (kg/m2222))))

Armaduras, columnas y arcos 153 76.5 Vigas 153 No Aplicable Superficies de pisos largos 122 No Aplicable

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II-9

9. EFECTOS SÍSMICOS: EQ9. EFECTOS SÍSMICOS: EQ9. EFECTOS SÍSMICOS: EQ9. EFECTOS SÍSMICOS: EQ (Art. 3.10)

Las fuerzas sísmicas serán evaluadas por cualquier procedimiento racional de análisis. Se supondrá que las acciones sísmicas horizontales actúan en cualquier dirección. Cuando sólo se analiza en dos direcciones ortogonales , los efectos máximos serán estimados como la suma de los valores absolutos obtenidos para el 100% de la fuerza sísmica en una dirección y 30% de la fuerza sísmica en dirección perpendicular. Coeficiente de AceleraciónCoeficiente de AceleraciónCoeficiente de AceleraciónCoeficiente de Aceleración....---- El coeficiente A se determina en base a los mapas de iso-aceleración con un 10% de nivel de excedencia para 50 años de vida útil. Categorización de las EstructurasCategorización de las EstructurasCategorización de las EstructurasCategorización de las Estructuras....---- Los puentes se clasifican en tres categorías de importancia: • Puentes críticos: deben quedar operativos después de la ocurrencia de un gran

sismo • Puentes esenciales: deben quedar operativos después de la ocurrencia de un

sismo • Otros puentes

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II-10

Zonas de Comportamiento SísmicoZonas de Comportamiento SísmicoZonas de Comportamiento SísmicoZonas de Comportamiento Sísmico....---- Tabla 3.10.4Tabla 3.10.4Tabla 3.10.4Tabla 3.10.4----1 Zonas Sísmicas1 Zonas Sísmicas1 Zonas Sísmicas1 Zonas Sísmicas

Coeficiente de Aceleración

Zona Sísmica

A ≤ 0.09 1 0.09 < A ≤ 0.19 2 0.19 < A ≤ 0.29 3

0.29 < A 4 Condiciones LocalesCondiciones LocalesCondiciones LocalesCondiciones Locales....----

Tabla 3.10.5.1Tabla 3.10.5.1Tabla 3.10.5.1Tabla 3.10.5.1----1 Coeficientes de Sitio1 Coeficientes de Sitio1 Coeficientes de Sitio1 Coeficientes de Sitio Coeficiente de Sitio Tipo de Perfil de Suelo

I II III IV S 1.0 1.2 1.5 2.0

Suelo Perfil Tipo ISuelo Perfil Tipo ISuelo Perfil Tipo ISuelo Perfil Tipo I Roca de cualquier característica, o arcilla esquistosa o cristalizada en estado natural. Condiciones de suelo rígido donde la profundidad del suelo es menor a 60 m y los tipos de suelos sobre la roca son depósitos estables de arenas, gravas o arcillas rígidas.

Suelo Perfil Tipo IISuelo Perfil Tipo IISuelo Perfil Tipo IISuelo Perfil Tipo II Es un perfil compuesto de arcilla rígida o estratos profundos de suelos no cohesivos donde la altura del suelo excede los 60 m, y los suelos sobre las rocas son depósitos estables de arenas, gravas o arcillas rígidas.

Suelo Perfil Tipo IIISuelo Perfil Tipo IIISuelo Perfil Tipo IIISuelo Perfil Tipo III Es un perfil con arcillas blandas a medianamente rígidas y arenas, caracterizado por 9 m o más de arcillas blandas o medianamente rígidas con o sin capas intermedias de arena u otros suelos cohesivos.

Suelo Perfil Tipo IVSuelo Perfil Tipo IVSuelo Perfil Tipo IVSuelo Perfil Tipo IV Es un perfil con arcillas blandas o limos cuya profundidad es mayor a los 12 m.

Coeficiente de Respuesta Sísmica ECoeficiente de Respuesta Sísmica ECoeficiente de Respuesta Sísmica ECoeficiente de Respuesta Sísmica Elástica Clástica Clástica Clástica Csnsnsnsn

3/2n

sn TAS2.1

=C ≤ 2.5A (3.10.6-1)

Tn = periodo de vibración del enésimo modo A = coeficiente de aceleración S = coeficiente de sitio Para puentes sobre perfiles de suelo tipo III o IV y en áreas donde el coeficiente A es mayor o igual a 0.30, Csn debe ser menor o igual a 2.0A. Para suelos tipo III y IV, y para otros modos distintos al modo fundamental el cual tenga periodos menores a 0.3s, Csn deberá tomarse como:

Csn = A(0.8 + 4.0 Tn ) (3.10.6.2-1)

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II-11

Si el periodo de vibración para cualquier modo excede 4.0s, el valor de Csn para ese modo deberá tomarse como:

Csn = 3AS Tn 0.75 (3.10.6.2-2)

Factor de Modificación de RespuestaFactor de Modificación de RespuestaFactor de Modificación de RespuestaFactor de Modificación de Respuesta Las fuerzas de diseño sísmico para sub-estructuras y las conexiones entre las partes de la estructura, se determinarán dividiendo las fuerzas resultantes de un análisis elástico por el factor de modificación de respuesta R apropiado. Si un método de análisis tiempo-historia inelástico es usado, el factor de modificación de respuesta R será tomado como 1.0 para toda la sub-estructura y conexiones.

Tabla 3.10.7.1-1 Factores de Modificación de Respuesta R – Subestructura SUB-ESTRUCTURA IMPORTANCIA

CRÍTICA ESENCIAL OTROS Pilar tipo placa de gran dimensión 1.5 1.5 2.0 Pilotes de concreto armado • Sólo pilotes verticales • Grupo de pilotes incluyendo pilotes inclinados

1.5 1.5

2.0 1.5

3.0 2.0

Columnas individuales 1.5 2.0 3.0 Pilotes de acero o acero compuesto con concreto • Sólo pilotes verticales • Grupo de pilotes incluyendo pilotes inclinados

1.5 1.5

3.5 2.0

5.0 3.0

Columnas múltiples 1.5 3.5 5.0

Tabla 3.10.7.1-2 Factores de Modificación de Respuesta R – Conexiones

CONEXIONES PARA TODAS LAS CATEGORÍAS DE IMPORTANCIA

Superestructura a estribo 0.8 Juntas de expansión dentro de la superestructura

0.8

Columnas, pilares o pilotes a las vigas cabezal o superestructura

1.0

Columnas o pilares a la cimentación 1.0 10. VARIACIONES DE TEMPERATURA: TU10. VARIACIONES DE TEMPERATURA: TU10. VARIACIONES DE TEMPERATURA: TU10. VARIACIONES DE TEMPERATURA: TU, TG, TG, TG, TG (Art. 2.4.3.9 Manual de Diseño de Puentes - Perú)

TU: temperatura uniforme TG: gradiente de temperatura

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II-12

Tabla 2.4.3.9.1-1 (Manual de Diseño de Puentes – Perú) Rangos de Temperatura (°C)

Material Costa Sierra Selva

Concreto armado o presforzado

10° a 40°C -10° a +35°C 10° a 50°C

Acero 5° a 50°C -20° a +50°C 10° a 60°C Madera 10° a 40°C -10° a +35°C 10° a 50°C

La temperatura de referencia será la temperatura ambiente promedio durante las 48 horas antes del vaciado del concreto o antes de la colocación de aquellos elementos que determinan la hiperestaticidad de la estructura. Gradiente de Temperatura En superestructuras de concreto o de acero con tablero de concreto, se supondrá un gradiente de temperatura, adicionalmente a los cambios de temperatura especificados. Las diferencias de temperatura T1 y T2 corresponderán a los valores positivos dados en la tabla, o a valores negativos obtenidos multiplicando aquellos de la Tabla por –0.5.

(Tabla 2.4.3.9.2-1 (Manual de Diseño de Puentes – Perú) Temperaturas que definen los Gradientes (°C)

Región Sin Asfalto 5 cm Asfalto 10 cm Asfalto T1 T2 T1 T2 T1 T2

Costa 40 15 35 15 30 15 Sierra 40 5 35 5 30 5 Selva 50 20 45 20 40 20

11. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD11. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD11. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD11. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD (Art. 3.11)

EH: Empuje horizontal del suelo ES: sobrecarga de suelo LS: sobrecarga viva DD: fricción negativa (Se trata con más detalle en el CAPV: ESTRIBOS).

Debida consideración se tomará también por las siguientes solicitaciones sobre la

estructura de puente, en caso de ocurrencia: 12. CARGAS DE HIELO: IC12. CARGAS DE HIELO: IC12. CARGAS DE HIELO: IC12. CARGAS DE HIELO: IC 13. SOLICITACIONES PROVOCADAS POR DEFORMACIONES SUPERPUESTAS: 13. SOLICITACIONES PROVOCADAS POR DEFORMACIONES SUPERPUESTAS: 13. SOLICITACIONES PROVOCADAS POR DEFORMACIONES SUPERPUESTAS: 13. SOLICITACIONES PROVOCADAS POR DEFORMACIONES SUPERPUESTAS:

SHSHSHSH, CR, SE, CR, SE, CR, SE, CR, SE SH: contracción CR: fluencia lenta SE: asentamiento 14. FUERZAS FRICCI0NALES: FR14. FUERZAS FRICCI0NALES: FR14. FUERZAS FRICCI0NALES: FR14. FUERZAS FRICCI0NALES: FR 15. COLISIÓN DE EMBARCACIONES: CV15. COLISIÓN DE EMBARCACIONES: CV15. COLISIÓN DE EMBARCACIONES: CV15. COLISIÓN DE EMBARCACIONES: CV

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II-13

FACTORES DE CARGA Y COMBINACIONES DE FACTORES DE CARGA Y COMBINACIONES DE FACTORES DE CARGA Y COMBINACIONES DE FACTORES DE CARGA Y COMBINACIONES DE CARGASCARGASCARGASCARGAS (Art. 3.4)

La solicitación mayorada total se tomará como:

iii QnQ γΣ= (3.4.1-1)

ηi = modificador de las cargas Qi = solicitación γii = factor de carga Estados Límites:Estados Límites:Estados Límites:Estados Límites: • RESISTENCIA I – Combinación básica de cargas que representa el uso vehicular

normal del puente, sin viento. • RESISTENCIA II – Combinación de cargas que representa el uso del puente por

parte de vehículos de diseño especiales especificados por el propietario, vehículos de circulación restringida, o ambos, sin viento.

• RESISTENCIA III – Combinación de cargas que representa el puente expuesto a vientos de velocidades superiores a 90 km/h.

• RESISTENCIA IV – Combinación de cargas que representa relaciones muy elevadas entre las solicitaciones provocadas por las cargas permanentes y las provocadas por las sobrecargas.

• RESISTENCIA V – Combinación de cargas que representa el uso del puente por parte de vehículos normales con una velocidad del viento de 90 km/h.

• EVENTO EXTREMO I – Combinación de cargas que incluye sismos. • EVENTO EXTREMO II – Combinación de cargas que incluye carga de hielo, colisión

de embarcaciones y vehículos, y ciertos eventos hidráulicos con una sobrecarga reducida diferente a la que forma parte de la carga de colisión de vehículos, CT.

• SERVICIO I – Combinación de cargas que representa la operación normal del puente con un viento de 90 km/h, tomando todas las cargas a sus valores normales.

• SERVICIO II – Combinación de cargas cuya intención es controlar la fluencia de las estructuras de acero y el resbalamiento que provoca la sobrecarga vehicular en las conexiones de resbalamiento crítico.

• SERVICIO III – Combinación de cargas relacionada exclusivamente con la tracción en superestructuras de hormigón pretensado, cuyo objetivo es controlar la fisuración.

• SERVICIO IV – Combinación de cargas relacionada exclusivamente con la tracción en subestructuras de hormigón pretensado, cuyo objetivo es controlar la fisuración.

• FATIGA – Combinación de cargas de fatiga y fractura que se relacionan con la sobrecarga gravitatoria vehicular respectiva y las respuestas dinámicas bajo un único camión de diseño.

El Diseño por Factores de Carga y Resistencia (LRFD) requiere satisfacer la siguiente ecuación:

ΣηγiQi � φRn = Rr Para cargas para las cuales un valor máximo de γi es apropiado:

η = ηD ηR ηI � 0.95

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II-14

Para cargas para las cuales un valor mínimo de γi es apropiado:

IRD

1=

ηηηη ≤ 1.0

siendo: γi = factor de carga φ = factor de resistencia η = factor de modificación de las cargas ηD = factor relacionado con la ductilidad ηR = factor relacionado con la redundancia ηI = factor relacionado con la importancia operativa Qi = solicitación Rn = resistencia nominal Rr = resistencia mayorada = φRn Ductilidad.Ductilidad.Ductilidad.Ductilidad.----

El sistema estructural de un puente se debe dimensionar y detallar de manera de asegurar el desarrollo de deformaciones inelásticas significativas y visibles en los estados límites de resistencia y correspondientes a eventos extremos antes de la falla.

Para el estado límite de resistencia: nD � 1.05 para elementos y conexiones no dúctiles = 1.00 para diseños y detalles convencionales

� 0.95 para elementos y conexiones para los cuales se han especificado medidas adicionales para mejorar la ductilidad más allá de lo requerido por las Especificaciones. Para todos los demás estados límites: nD = 1.00

Redundancia.Redundancia.Redundancia.Redundancia.---- A menos que existan motivos justificados para evitarlas se deben usar

estructuras continuas y con múltiples recorridos de cargas. Los principales elementos y componentes cuya falla se anticipa provocará el

colapso del puente se deben diseñar como elementos de falla crítica y el sistema estructural asociado como sistema no redundante.

Los elementos y componentes cuya falla se anticipa no provocará el colapso del puente se deben diseñar como elementos de falla no crítica y el sistema estructural asociado como sistema redundante.

Para el estado límite de resistencia: nR � 1.05 para elementos no redundantes = 1.00 para niveles convencionales de redundancia � 0.95 para niveles excepcionales de redundancia

Para todos los demás estados límites: nR = 1.00

Importancia Operativa.Importancia Operativa.Importancia Operativa.Importancia Operativa.---- Aplicable exclusivamente a los estados límites de resistencia y correspondientes

a eventos extremos. Para el estado límite de resistencia:

nI � 1.05 para puentes importantes = 1.00 para puentes típicos � 0.95 para puentes de relativamente poca importancia

Para todos los demás estados límites: nI = 1.00

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II-15

Notas.- - El mayor de los dos valores especificados para los factores de carga a aplicar a

TU, CR y SH se deberá utilizar para las deformaciones, y el menor valor se deberá utilizar para todas las demás solicitaciones.

- El factor de carga para sobrecarga EQγ en la combinación de Evento Extremo I se deberá determinar en base a las características específicas de cada proyecto. En ediciones anteriores de AASHTO se usaba 0EQ =γ , y aunque este tema no ha sido resuelto, se debería considerar la posibilidad de sobrecarga parcial con

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II-16

sismos, es decir 0.1EQ <γ , siendo razonable 5.0EQ =γ para un amplio rango de valores de tráfico.

- Los factores de carga TGγ y SEγ se deben adoptar en base a las características

específicas de cada proyecto. TGγ se puede tomar si no hay información: 0.0 en estados límites de resistencia y evento extremo, 1.0 en estado límite de servicio cuando no se considera la sobrecarga, y 0.50 en el estado límite de servicio cuando se considera la sobrecarga.

Denominación de las CargasDenominación de las CargasDenominación de las CargasDenominación de las Cargas Cargas Permanentes:Cargas Permanentes:Cargas Permanentes:Cargas Permanentes: DD = fricción negativa (downdrag) DC = peso propio de los componentes estructurales y accesorios no estructurales DW= peso propio de las superficies de rodamiento e instalaciones para servicios

públicos EH = empuje horizontal del suelo EL = tensiones residuales acumuladas resultantes del proceso constructivo,

incluyendo las fuerzas secundarias del postensado ES = sobrecarga de suelo EV = presión vertical del peso propio del suelo de relleno

Cargas Transitorias:Cargas Transitorias:Cargas Transitorias:Cargas Transitorias: BR = fuerza de frenado de los vehículos CE = fuerza centrífuga de los vehículos CR = fluencia lenta CT = fuerza de colisión de un vehículo CV = fuerza de colisión de una embarcación EQ = sismo FR = fricción IC = carga de hielo IM = incremento por carga vehicular dinámica LL = sobrecarga vehicular LS = sobrecarga de la carga viva PL = sobrecarga peatonal SE = asentamiento SH = contracción TG = gradiente de temperatura TU = temperatura uniforme WA = carga hidráulica y presión del flujo de agua WL = viento sobre la sobrecarga WS = viento sobre la estructura

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II-17

P

x

L

AR R(L-x-e) L e (L-x-e)=

A B

R= P

P1 2P

3P

1b b

2

P54

= e/2R R(L-x-e) LA x=(L-e)/2

P4 5P

2bb

1

P3

P21P

R= P

BA

L

e/2

x=(L-e)/2

Mmáx

L/2 L/2

APÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE II----AAAA

MÁMÁMÁMÁXIMO MOMENTO DE FLEXIÓN EN UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA PARA UN XIMO MOMENTO DE FLEXIÓN EN UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA PARA UN XIMO MOMENTO DE FLEXIÓN EN UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA PARA UN XIMO MOMENTO DE FLEXIÓN EN UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA PARA UN TREN DE CARGAS (Teorema de Barré)TREN DE CARGAS (Teorema de Barré)TREN DE CARGAS (Teorema de Barré)TREN DE CARGAS (Teorema de Barré)

Bisecando la distancia entre la resultante de un tren de cargas y la carga más próxima a ella, por un eje que pasa por el centro de luz, el máximo momento de flexión en una viga simplemente apoyada se encuentra casi siempre bajo la carga más próxima a la resultante. En caso de igualdad de distancias, se ubica bajo la carga más pesada.

En efecto, en el tren de cargas mostrado, tomando momentos en el punto donde incide la carga P3 tenemos:

222113P bP)b+b(PxL

)exL(R=M

Para 0dxdM

,máxM 3P3P ==

[ ] 0=)exL(+)x(1LR

2eL

=x

Es decir:

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II-18

APÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE II----BBBB

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II-19

APÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE II----CCCC

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II-20

m

E A B

L

F

0.4L

L

G

L

C

n

D

APÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE II----DDDD

LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS CONTINUAS DE TRES TRAMOS IGUALESLÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS CONTINUAS DE TRES TRAMOS IGUALESLÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS CONTINUAS DE TRES TRAMOS IGUALESLÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS CONTINUAS DE TRES TRAMOS IGUALES

)0xm(EATramo ≤≤− x154

MB −=

)Lx0(ABTramo ≤≤ x154

xL15

4M 3

2B −=

)L2xL(BCTramo ≤≤ 5

L8x

1546

xL59

xL3

1M 23

2B +−+−=

)L3xL2(CDTramo ≤≤ 5

L8x

1526

xL53

xL15

1M 23

2B −+−=

)nL3xL3(DGTramo +≤≤ 5L

x151

MB +−=

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II-21

)0xm(EATramo ≤≤− x7537

MF =

)L4.0x0(AFTramo ≤≤ x7537

xL75

8M 3

2F +=

)LxL4.0(FBTramo ≤≤ 5L2

x7538

xL75

8M 3

2F +−=

)L2xL(BCTramo ≤≤ 75

L48x

7592

xL75

54x

L15

2M 23

2F +−+−=

)L3xL2(CDTramo ≤≤ 75

L48x

7552

xL25

6x

L75

2M 23

2F −+−=

)nL3xL3(DGTramo +≤≤ 75

L6x

752

MF +−=

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II-22

)0xm(EATramo ≤≤− xL58

R B =

)Lx0(ABTramo ≤≤ xL58

xL5

3R 3

3B +−=

)L2xL(BCTramo ≤≤ 58

xL532

xL5

24x

L

1R 2

23

3B −+−=

)L3xL2(CDTramo ≤≤ 548

xL552

xL5

18x

L5

2R 2

23

3B +−+−=

)nL3xL3(DGTramo +≤≤ 56

xL52

R B −=

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II-23

APÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE IIAPÉNDICE II----EEEE

VEHÍCULOS VEHÍCULOS VEHÍCULOS VEHÍCULOS DE CIRDE CIRDE CIRDE CIRCULACICULACICULACICULACIÓÓÓÓN N N N NACIONAL NACIONAL NACIONAL NACIONAL ---- PESOS Y MEDIDAS MÁXIMAS PERMITIDASPESOS Y MEDIDAS MÁXIMAS PERMITIDASPESOS Y MEDIDAS MÁXIMAS PERMITIDASPESOS Y MEDIDAS MÁXIMAS PERMITIDAS

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II-31

LC

C.L.LI de M

5.65m

12.5 m

A

12.5 m

B

11.2 T11.2 T

1.20

6.25m

4.304.30

3.6 T 14.8 T 14.8 T

B

12.5 m

A

=6.25m

12.5 m

4.10m4.10m

25m12.5m x12.5m

LI de MC.L.

CL

PROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMAS PROBLEMA II.1PROBLEMA II.1PROBLEMA II.1PROBLEMA II.1 Utilizando la carga HLUtilizando la carga HLUtilizando la carga HLUtilizando la carga HL----93 calcular en un puente simplemente apoyado 93 calcular en un puente simplemente apoyado 93 calcular en un puente simplemente apoyado 93 calcular en un puente simplemente apoyado de 25.0 m de longitud para el estado limite de Resistencia:de 25.0 m de longitud para el estado limite de Resistencia:de 25.0 m de longitud para el estado limite de Resistencia:de 25.0 m de longitud para el estado limite de Resistencia: 1) el momen1) el momen1) el momen1) el momento por to por to por to por sobrecarga que ocurre en el centro de luz; 2) el momento máximo por sobrecarga.sobrecarga que ocurre en el centro de luz; 2) el momento máximo por sobrecarga.sobrecarga que ocurre en el centro de luz; 2) el momento máximo por sobrecarga.sobrecarga que ocurre en el centro de luz; 2) el momento máximo por sobrecarga. Solución.Solución.Solución.Solución.---- 1)1)1)1) Momento por sobrecarga que ocurre en el centro de luzMomento por sobrecarga que ocurre en el centro de luzMomento por sobrecarga que ocurre en el centro de luzMomento por sobrecarga que ocurre en el centro de luz 1.A) Camión de Diseño

Utilizando la línea de influencia de momento flector para la sección central del puente, posicionamos el camión HL-93 de manera que se generen los máximos valores como se muestra:

El momento flector por camión en el centro de luz es:

mT94.167)m10.4(T8.14)m25.6(T8.14)m10.4(T6.3M .L.C −=++= 1.B) Tandem de Diseño

De modo similar se tiene para el tándem:

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II-32

14.8 T

R=33.2 T

14.8 T4.30 4.30

3.6 T

1.45 Z=2.85

6.25m

12.5 m 12.5 m

LI de MC.L.

CLB

960 kg/mA

mT28.133)m65.5(T2.11)m25.6(T2.11M .L.C −=+=

1.C) Carga de carril

En este caso hallamos el momento en el centro de luz multiplicando el valor de la carga distribuida por el área respectiva en la línea de influencia:

mT75)m25.6xm25x(½m/T96.0M .L.C −== Debemos combinar ahora el camión o tándem de diseño con la carga de carril. En este caso escogemos, por ser crítica, la combinación: camión de diseño con carga de carril considerando además el incremento por carga dinámica del 33% para la carga de camión.

Mmáx(LL+IM) = 167.94T-m(1.33)+75 T-m= 298.298.298.298.36363636 TTTT----mmmm � 2)2)2)2) Momento máximo por sobrecargaMomento máximo por sobrecargaMomento máximo por sobrecargaMomento máximo por sobrecarga

2.A) Camión de Diseño

Ubicamos en el camión HL-93 la posición de la resultante tomando momentos en el tercer eje:

Z(33.32T)= 4.30m(14.8T)+8.60m(3.6T) Z= 2.85m

Luego, la distancia de 1.45m se dispone en partes iguales con respecto al centro de luz.

Se tendrá la siguiente disposición de cargas:

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II-33

12.5 m12.5 m

A

MmáxR=22.4 T

.60

Lc11.2 T 11.2 T

B0.30

0.30

R=10.93 TA

B

12.5 m

A

AR=15.64 T

12.5 m

cL

0.725 0.725

MmáxX=11.775 m R

4.304.30

3.6 T 14.8 T 14.8 T

Mcarril

A0.96 T/m B

R=12 TA

12.5 m 12.5 m

X=11.775 m

El momento máximo ocurre bajo la carga más cercana a la resultante, a x=11.775m del apoyo izquierdo:

)m30.4(T6.3)m775.11(T64.15Mmáx −= = 168.68 T-m 2.B) Tandem de Diseño

Se muestra la posición de momento máximo:

)m30.0m5.12(T93.10Mmáx = = 133.35 T-m 2.C) Carga de carril

Debemos combinar ahora el camión o tándem de diseño con la carga de carril. En este caso escogemos, por ser crítica, la combinación: camión de diseño con carga de carril, en la posición X= 11.775m del apoyo izquierdo:

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II-34

R=29.42 TA

A

25 m

B

14.8 T 14.8 T 3.6 T4.30 4.30

25 m

A

1.20

11.2 T 11.2 T

B

R=21.86 TA

A960 kg/m

B

25 m

R=12 TA

2)m775.11(m/T96.0

)m775.11(T12M2

carril −=

Mcarril = 74.75 t-m

Considerando el incremento por carga dinámica para la carga de camión tenemos:

Mmáx(LL+IM) = 168.68(1.33)+74.75 = 299.03 T299.03 T299.03 T299.03 T----mmmm �

(En el Apéndice II-B, para L=25.00 m se obtiene Mmáx(LL+IM) = 299.299.299.299.05050505 TTTT----mmmm �, en X=11.78m )

PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.2222 Calcular en el problema anterior, la reacción máxima por sobrecarga Calcular en el problema anterior, la reacción máxima por sobrecarga Calcular en el problema anterior, la reacción máxima por sobrecarga Calcular en el problema anterior, la reacción máxima por sobrecarga provocprovocprovocprovocada por una carga HLada por una carga HLada por una carga HLada por una carga HL----93939393 Solución.Solución.Solución.Solución.---- A) Camión de Diseño B) Tandem de Diseño C) Carga de carril Luego RA máx (LL+IM) = 29.42(1.33)+12 = 51.13 T51.13 T51.13 T51.13 T----mmmm � (En el Apéndice II-B, para L=25.00 m se obtiene RA máx (LL+IM) = 51.1251.1251.1251.12 TTTT----mmmm � )

Page 46: Puentes LRFD

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II-35

R=50 T

3.50 1.20

7 T4.25 1.20 1.20

9 T 9 T 8.33 T 8.33 T8.33 T

11.35 m

PROBLEMA II.3PROBLEMA II.3PROBLEMA II.3PROBLEMA II.3 Comparar en un puente simplemente apoyado de 14 m. de Comparar en un puente simplemente apoyado de 14 m. de Comparar en un puente simplemente apoyado de 14 m. de Comparar en un puente simplemente apoyado de 14 m. de longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por el longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por el longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por el longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por el vehículo T3S3 y por la carga HLvehículo T3S3 y por la carga HLvehículo T3S3 y por la carga HLvehículo T3S3 y por la carga HL----93.93.93.93. Solución.Solución.Solución.Solución.---- a)a)a)a) Momento por sobrecargaMomento por sobrecargaMomento por sobrecargaMomento por sobrecarga

a.1) a.1) a.1) a.1) Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3 Determinamos primero la ubicación de la resultante del tren de cargas: Tomando momentos en el último eje, tenemos:

50T(X) = 8.33T(1.2m)+8.33T(2.4m)+9T(6.65m)+9T(7.85m)+7T(11.35m) Con lo que la resultante se ubica en:

m80.4T50

Tm94.239X ==

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II-36

8.33 T8.33 T8.33 T9 T9 T

1.201.204.25

2.401.85

7 T1.203.50

R=50 T

A B

AR=21.70 T

0.925

CL

Mmáx

7.00 7.00

1.2751.375

0.925

X = 4.80 m

Para localizar el punto de momento máximo, bisecamos la distancia que hay entre la resultante y el eje más cercano a ella, por el eje central de la viga:

El momento por sobrecarga máximo será:

Ms/c = 21.70T(6.075m) - 7T(4.70m) - 9T(1.2m)

Ms/c = 88.106 T-m

Considerando el incremento por carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, tenemos:

Ms/c+IM = 88.106 T-m x 1.33 = 111111117.17.17.17.18888 TTTT----mmmm

a.a.a.a.2222) ) ) ) Carga HLCarga HLCarga HLCarga HL----93939393 De la Tabla del Apéndice II-B, para L=14.00 m:

MS/C+IM = 121212126666....87878787 TTTT----mmmm

En este caso el momento provocado por la carga HL-93, es mayor que el producido por el vehículo T3S3.

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II-37

14.00R=32.85 TA

A

3.501.20

7 T4.251.20 1.20

9 T 9 T8.33 T 8.33 T8.33 T

B

2.65

b)b)b)b) Reacción máxima por sobrecargaReacción máxima por sobrecargaReacción máxima por sobrecargaReacción máxima por sobrecarga bbbb.1) .1) .1) .1) Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3 La máxima reacción ocurre posicionando el vehículo de la siguiente manera:

Luego, RA máx = 32.85 T32.85 T32.85 T32.85 T

a.a.a.a.2222) ) ) ) Carga HLCarga HLCarga HLCarga HL----93939393 De la Tabla del Apéndice II-B, para L=14.00 m:

RA máx = 41.8941.8941.8941.89 TTTT

En este caso la reacción provocada por la carga HL-93, es mayor que la producida por el vehículo T3S3.

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II-38

8.33 T8.33 T8.33 T9 T9 T

1.201.204.25

7 T1.203.50

R=57 T

7 T9.00

20.35

PROBLEPROBLEPROBLEPROBLEMA II.MA II.MA II.MA II.4444 Comparar en un puente simplemente apoyado de 25 m. de Comparar en un puente simplemente apoyado de 25 m. de Comparar en un puente simplemente apoyado de 25 m. de Comparar en un puente simplemente apoyado de 25 m. de longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por dos longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por dos longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por dos longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por dos vehículos T3S3 distanciados 9.00m como se muestra, y por la carga HLvehículos T3S3 distanciados 9.00m como se muestra, y por la carga HLvehículos T3S3 distanciados 9.00m como se muestra, y por la carga HLvehículos T3S3 distanciados 9.00m como se muestra, y por la carga HL----93.93.93.93. Solución.Solución.Solución.Solución.---- a)a)a)a) Momento por sobrecargaMomento por sobrecargaMomento por sobrecargaMomento por sobrecarga

a.1) a.1) a.1) a.1) Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3 Determinamos primero la ubicación de la resultante del tren de cargas que puede posicionarse en la longitud de 25 m.: Tomando momentos en el último eje, tenemos:

57T(X) = 8.33T(9.0m)+8.33T(10.20m)+8.33T(11.40m)+9T(15.65m)+ 9T(16.85m) + 7T(20.35m)

Con lo que la resultante se ubica en:

m10.12T57

Tm85.689X ==

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II-39

3.90 0.75

12.5012.50

máxM

LC

R=29.30 TA

BA

9.007 T

R=57 T

3.50 1.27 T

4.25 1.2 1.29 T 9 T 8.33 T 8.33 T

8.33 T

.35 .35

Para localizar el punto de momento máximo, bisecamos la distancia que hay entre la resultante y el eje más cercano a ella, por el eje central de la viga:

El momento por sobrecarga máximo será:

Ms/c = 29.30T(12.85m) - 9T(4.25m) - 9T(5.45m) – 7T(8.95m)

Ms/c = 226.56 T-m

Considerando el incremento por carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, tenemos:

Ms/c+IM = 226.56 T-m x 1.33 = 301301301301....32323232 TTTT----mmmm

a.a.a.a.2222) ) ) ) Carga HLCarga HLCarga HLCarga HL----93939393 De la Tabla del Apéndice II-B, para L=25.00 m:

MS/C+IM = 222299999999....00005555 TTTT----mmmm En este caso el momento provocado por el vehículo T3S3, es mayor que el producido por la carga HL-93.

b)b)b)b) Reacción máxima por sobrecargaReacción máxima por sobrecargaReacción máxima por sobrecargaReacción máxima por sobrecarga

bbbb.1) .1) .1) .1) Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3Vehículo T3S3 La máxima reacción ocurre posicionando el vehículo de la siguiente manera:

Page 51: Puentes LRFD

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II-40

2.25

B

8.33 T8.33 T8.33 T 9 T9 T

1.201.20 4.25

7 T1.20 3.50

A

AR=43.84 T

25.00

8.33 T9.00 1.20

8.33 T8.33 T

1.20

Luego, RA máx = 43.8443.8443.8443.84 TTTT

bbbb....2222) ) ) ) Carga HLCarga HLCarga HLCarga HL----93939393 De la Tabla del Apéndice II-B, para L=25.00 m:

RA máx = 41.8941.8941.8941.89 TTTT

En este caso la reacción provocada por el vehículo T3S3, es mayor que la producida por la carga HL-93.

Page 52: Puentes LRFD

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II-41

10 m

B CA

10 m

PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.5555 En un puente continuo de dos tramos iguales de 10 m. de En un puente continuo de dos tramos iguales de 10 m. de En un puente continuo de dos tramos iguales de 10 m. de En un puente continuo de dos tramos iguales de 10 m. de longitud cada uno, calcular el máximo momento longitud cada uno, calcular el máximo momento longitud cada uno, calcular el máximo momento longitud cada uno, calcular el máximo momento positivo positivo positivo positivo y negativo por y negativo por y negativo por y negativo por sobrecsobrecsobrecsobrecarga provocados por la carga HLarga provocados por la carga HLarga provocados por la carga HLarga provocados por la carga HL----93.93.93.93. Solución.Solución.Solución.Solución.---- a)a)a)a) Máximo momento positivoMáximo momento positivoMáximo momento positivoMáximo momento positivo

Observando los gráficos del Apéndice II-C determinamos que el máximo momento positivo en todo el puente ocurre a 0.4L de un apoyo exterior. Utilizando tal línea de influencia se puede comprobar que la combinación crítica es de tándem y sobrecarga distribuida. Buscando provocar el máximo esfuerzo, posicionamos el tándem como se muestra en la figura. La sobrecarga distribuida la aplicamos sólo en el área positiva del gráfico. La combinación de camión y sobrecarga distribuida, por provocar esfuerzos menores, no es considerada.

El momento por tándem de diseño es:

(+)Mtándem = 11.2T(2.064m) + 11.2T(1.541m) = 40.38 T-m El momento por la sobrecarga distribuida en el primer tramo es: (+)Ms/c distrib = 0.96 T/m (9.525 m²) = 9.14 T-m

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II-42

El momento positivo por sobrecarga máximo, considerando el incremento por carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es:

(+)Ms/c+IM = 40.38 T-m x 1.33 + 9.14 T-m = 62.85 T62.85 T62.85 T62.85 T----mmmm

b)b)b)b) Máximo momento negativoMáximo momento negativoMáximo momento negativoMáximo momento negativo

El máximo momento negativo en todo el puente ocurre en el apoyo central. Utilizando la línea de influencia para momento en dicho apoyo se comprueba que la combinación crítica es de camión y sobrecarga distribuida. Buscando provocar el máximo esfuerzo, posicionamos el camión de diseño con los ejes posteriores en las ordenadas máximas, tal como se muestra en la figura. Quedarán estos ejes separados 8.452 m. La sobrecarga distribuida la aplicamos en ambos tramos. La combinación de tándem y sobrecarga distribuida, por provocar esfuerzos menores, no es considerada.

El momento por camión de diseño es:

(-) Mcamión= 3.6T(-0.360m)+14.8T(-0.962m) +14.8T(-0.962m) = -29.77 T-m El momento por sobrecarga distribuida es:

(-)Ms/c distrib = 0.96 T/m (-12.375 m²) = -11.88 T-m

El momento negativo por sobrecarga máximo, considerando el incremento por carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es:

(-)Ms/c+IM = -29.77 T-m x 1.33 – 11.88 T-m = ----51.47 T51.47 T51.47 T51.47 T----mmmm

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II-43

NOTA.NOTA.NOTA.NOTA.---- Utilizando el programa de cómputo QConBridgeQConBridgeQConBridgeQConBridge, se obtiene la envolvente de momentos por carga viva de manera gráfica y tabularmente. Como se aprecia, dividiendo cada tramo en diez secciones, el máximo momento positivo por carga viva ocurre en la sección x= 0.4 L, con un valor de +616.289x10³ N+616.289x10³ N+616.289x10³ N+616.289x10³ N----mmmm (+62.82 T(+62.82 T(+62.82 T(+62.82 T----mmmm). El máximo momento negativo ocurre en el apoyo central, con un valor de ----504.489x10³ 504.489x10³ 504.489x10³ 504.489x10³ NNNN----mmmm ((((----51.43 T51.43 T51.43 T51.43 T----mmmm). Los resultados son similares a +62.85 T+62.85 T+62.85 T+62.85 T----mmmm y ----51.47 T51.47 T51.47 T51.47 T----mmmm, valores obtenidos analíticamente.

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II-44

20 m

DA B C

20 m 20 m

PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.6666 En un puente continuo de tres tramos iguales de 20 m. de En un puente continuo de tres tramos iguales de 20 m. de En un puente continuo de tres tramos iguales de 20 m. de En un puente continuo de tres tramos iguales de 20 m. de longitud cada uno, calcular en un apoyo interior los momentos de diseño por longitud cada uno, calcular en un apoyo interior los momentos de diseño por longitud cada uno, calcular en un apoyo interior los momentos de diseño por longitud cada uno, calcular en un apoyo interior los momentos de diseño por sobrecarga provocados por la carga HLsobrecarga provocados por la carga HLsobrecarga provocados por la carga HLsobrecarga provocados por la carga HL----93.93.93.93. SoluciSoluciSoluciSolución.ón.ón.ón.---- a)a)a)a) Línea de Influencia de momento flector en Línea de Influencia de momento flector en Línea de Influencia de momento flector en Línea de Influencia de momento flector en BBBB Graficamos la línea de influencia (ver APÉNDICE II-D) haciendo uso de las siguientes expresiones:

)20x0(ABTramo ≤≤

( )x400x15001

y 3 −=

)40x20(BCTramo ≤≤

( )40038x3680x108x12001

y 23 +−+−=

)60x40(CDTramo ≤≤

( )000192x40010x180x60001

y 23 −+−=

b)b)b)b) Máximo momento negativoMáximo momento negativoMáximo momento negativoMáximo momento negativo Utilizando tal línea de influencia, después de realizar las combinaciones de carga viva aplicables, encontramos que el máximo momento negativo ocurre con el posicionamiento de dos camiones* y la sobrecarga distribuida tal como se muestra, considerando de acuerdo a las especificaciones el 90 por ciento de dicha solicitación. Los dos camiones en este caso están distanciados 15 m entre el eje delantero de un camión y el eje posterior del otro.

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II-45

El momento por dos camiones de diseño es:

(-)M2 camiones = 3.6T(-0.880m) + 14.8T(-1.749m-2.048m) +3.6T(-1.593m) + 14.8T(-1.368m-0.709m)

= -95.838 T-m El momento por la sobrecarga distribuida es: (-)Ms/c distrib = 0.96 T/m (-46.2 m²) = -44.35 T-m

El momento máximo negativo por sobrecarga, considerando el incremento por carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es:

(-)Ms/c+IM = 0.90 [(-95.838 T-m ) x 1.33 + (-44.35 T-m)] = ----154.63 T154.63 T154.63 T154.63 T----mmmm

NOTANOTANOTANOTA....---- * La utilización del 90 por ciento de la solicitación de dos camiones y la carga de carril se emplea en el caso de momentos negativos entre puntos de contraflexión debido a una carga uniforme en todos los tramos (Artículo 3.6.1.3.1). En este caso como se aprecia en el gráfico, el apoyo interior B se encuentra en el tramo de contraflexión de 9.53m, ámbito para el cual es aplicable lo indicado. Los puntos de contraflexión para una viga contínua de tres tramos iguales quedan definidos por: .m20Lcon,m94.8L4472.0L,m53.9L4764.0L,m16L8.0L 321 ======= c)c)c)c) Máximo momento positivoMáximo momento positivoMáximo momento positivoMáximo momento positivo

El máximo momento positivo, después de realizar las combinaciones de carga viva aplicables, se encuentra posicionando en la línea de influencia el camión de diseño con un eje posterior en la ordenada máxima, tal como se muestra en la figura. La sobrecarga distribuida la aplicamos únicamente en el área positiva.

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II-46

El momento por camión de diseño es:

(+) Mcamión= 3.6T(0.365m)+14.8T(0.512m) +14.8T(0.437m) = 15.36 T-m El momento por sobrecarga distribuida es:

(+)Ms/c distrib = 0.96 T/m (6.60 m²) = 6.34 T-m

El momento positivo máximo por sobrecarga, considerando el incremento por carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es:

(+)Ms/c+IM = 15.36 T-m x 1.33 + 6.34 T-m = 26.77 T26.77 T26.77 T26.77 T----mmmm

NOTANOTANOTANOTA 1111....---- Utilizando el programa de cómputo QConBridgeQConBridgeQConBridgeQConBridge, se obtiene la envolvente de momentos por carga viva de manera gráfica y tabularmente. Como se aprecia dividiendo cada tramo en diez secciones, en el apoyo 2 el máximo momento negativo es ----1111....513513513513 x10x10x10x106666 NNNN----mmmm ((((----111155554444....28282828 TTTT----mmmm)))) y el máximo momento positivo es ++++263263263263....533533533533x10³ Nx10³ Nx10³ Nx10³ N----mmmm (+2(+2(+2(+26666.8.8.8.87777 TTTT----mmmm)))). Los resultados son similares a ----154.63154.63154.63154.63 TTTT----mmmm y +26+26+26+26....77777 T7 T7 T7 T----mmmm, valores obtenidos analíticamente.

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II-47

NOTANOTANOTANOTA 2222....---- Tal como se señala en C3.6.1.3.1 AASHTO-LRFD, las cargas ideales de diseño están basadas en la información descrita en C3.6.1.2.1 AASHTO-LRFD que contiene datos sobre vehículos de tipo “low boy” con pesos de hasta 50 T. Si se considera probable que haya múltiples carriles con versiones más pesadas de este tipo de vehículo, se debe investigar el momento negativo y las reacciones en los apoyos interiores para pares de tandems de diseño separados entre 8.00 m y 12.00 m, en combinación con la carga de carril. Se debe usar el 100 por ciento de tal solicitación.

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II-48

30 m

A

30 m

B C

F = 16.6 TBR

1.80 m

30 m

B CA

30 m

PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.7777 Calcular la fuerza de frenado y la fuerza de viento que actúan Calcular la fuerza de frenado y la fuerza de viento que actúan Calcular la fuerza de frenado y la fuerza de viento que actúan Calcular la fuerza de frenado y la fuerza de viento que actúan sobre el pilar central del puente mostrado, de dos vías. El viento incide sobre el pilar central del puente mostrado, de dos vías. El viento incide sobre el pilar central del puente mostrado, de dos vías. El viento incide sobre el pilar central del puente mostrado, de dos vías. El viento incide perpendicularmente al eje longitudinal del puente.perpendicularmente al eje longitudinal del puente.perpendicularmente al eje longitudinal del puente.perpendicularmente al eje longitudinal del puente. Utilizar vehículo HLUtilizar vehículo HLUtilizar vehículo HLUtilizar vehículo HL----93 y 93 y 93 y 93 y Especificaciones AASHTO LRFD.Especificaciones AASHTO LRFD.Especificaciones AASHTO LRFD.Especificaciones AASHTO LRFD. Solución.Solución.Solución.Solución.---- a)a)a)a) Fuerza de FrenadoFuerza de FrenadoFuerza de FrenadoFuerza de Frenado

De acuerdo con las Especificaciones, la fuerza de frenado será la mayor de:

- 25% de los pesos por eje de camión o tandem de diseño - 5% del camión o tandem de diseño más la carga de carril

En este caso el peso del vehículo HL-93 es 33.2 T, peso del tandem: 22.4 T, carga de carril: 0.96 T/m. La fuerza de frenado se calcula con los carriles que transportan tráfico en la misma dirección. Asumiendo que a futuro los dos carriles transportan tráfico en la misma dirección y considerando el factor de presencia múltiple m=1.00, tendremos:

BR1 = 0.25 x 33.2 T x 2vías x 1.00 / 1 apoyo = 16.60 T BR2 = 0.25 x 22.4 T x 2 x 1.00 = 11.20 T BR3 = 0.05 [33.2 T+(30m + 30m) 0.96 T/m]x2x1.0 = 9.08 T BR4 = 0.05 [22.4 T+(30m + 30m) 0.96 T/m]x2x1.0 = 8.00 T

Luego, la fuerza de frenado será: 16.60 T, aplicada a 1.80 m sobre la superficie de calzada. NOTA.NOTA.NOTA.NOTA.---- Un vehículo T3S3 circulando por dicho puente a una velocidad de 60 km/h, que al frenar tarda en detenerse 10 segundos, provocará según las leyes de la física una fuerza de frenado igual a:

F = m.a

Page 60: Puentes LRFD

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II-49

donde: F = fuerza

m

segT10.5

seg/m8.9

T50

gW

masam2

2

−====

2seg/m67.1

seg10

seg/m67.16

seg10

h/km60

tv

aceleraca =====

Luego:

T52.8seg/m67.1xm

segT10.5F 2

2

=

−=

En 2 vías se tendrá:

F = 2x8.52T = 17.04 T Comparar este resultado con el valor obtenido para la carga HL-93 de las normas AASHTO LRFD. b)b)b)b) Carga de VientoCarga de VientoCarga de VientoCarga de Viento

b.1) b.1) b.1) b.1) Sobre la superestructuraSobre la superestructuraSobre la superestructuraSobre la superestructura

La carga de viento se asume actúa uniformemente sobre el área expuesta al viento. El área expuesta se toma perpendicular a la dirección del viento. La velocidad del viento básica varía según la localidad y se tomará como VB = 160 km/h

=

=

25600

VP

V

VPP

2DZ

B

2

B

DZBD (3.8.1.2.1-1)

Donde: PB = presión básica del viento = 245 kg/m

2 (Tabla 3.8.1.2.1-1) PD = presión del viento de diseño VDZ = velocidad del viento a la altura de diseño z Asumiendo que la altura de los componentes del puente son menores a 10 m sobre la línea de tierra (z � 10 m), VDZ =VB = V10 =160 km/h.

222

B

DZBD m/kg245

160160

245V

VPP =

=

=

La carga será: FW Sup = 245 kg/m

2 x 3 m x (30m + 30m) / 2 = 22.05 T

Page 61: Puentes LRFD

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II-50

1.20 m

1.20 m

1.00 m

2.50 m

F = 0.97 TW Sub 2

F = 0.28 TW Sub 1

2.50 m

3.00 m

1.50 m

W SupF = 22.05 T

1.50 m

1.80 m

F = 4.50 TWL

b.2) b.2) b.2) b.2) Sobre la subestructuraSobre la subestructuraSobre la subestructuraSobre la subestructura Se calcula en base a una presión del viento de 194 kg/m2 (Tabla 3.8.1.2.1-1): FW Sub1 = 194 kg/m

2 x 1.20m x 1.20m = 0.28 T FW Sub2 = 194 kg/m

2 x 1.00m x 5.00m = 0.97 T

b.3) b.3) b.3) b.3) Sobre la carga vivaSobre la carga vivaSobre la carga vivaSobre la carga viva La presión del viento sobre los vehículos se representa como un fuerza interrumpible y móvil de 150 kg/m (Tabla 3.8.1.3-1) actuando normal a la calzada y a 1.80 m sobre la misma.

FW L = 150 kg/m (30m + 30m) / 2 = 4.50 T

Page 62: Puentes LRFD

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II-51

0.50 m

Nivel Freatico

4.00 m

B

PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.PROBLEMA II.8888 Determinar el empuje por flotación por la presencia del nivel Determinar el empuje por flotación por la presencia del nivel Determinar el empuje por flotación por la presencia del nivel Determinar el empuje por flotación por la presencia del nivel freático en la zapata de la columna mostrada que corresponde al pilar de un freático en la zapata de la columna mostrada que corresponde al pilar de un freático en la zapata de la columna mostrada que corresponde al pilar de un freático en la zapata de la columna mostrada que corresponde al pilar de un puente. La zapata tiene como dipuente. La zapata tiene como dipuente. La zapata tiene como dipuente. La zapata tiene como dimensiones en planta 4.00m x 4.00m.mensiones en planta 4.00m x 4.00m.mensiones en planta 4.00m x 4.00m.mensiones en planta 4.00m x 4.00m. Solución.Solución.Solución.Solución.---- La fuerza de empuje por flotación B es:

B = γV = 1 T/m³ (4m x 4m x 0.50m) B = 8 T

donde: V = volumen de agua que desplaza la zapata γ = peso específico del agua

Page 63: Puentes LRFD

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III-1

CAP III:CAP III:CAP III:CAP III: SUPERESTRUCTURAS DE PUENTESSUPERESTRUCTURAS DE PUENTESSUPERESTRUCTURAS DE PUENTESSUPERESTRUCTURAS DE PUENTES 1. 1. 1. 1. GENERALIDADESGENERALIDADESGENERALIDADESGENERALIDADES

1.1) Puentes de Concreto Armado Los puentes de concreto armado tipo losa de un tramo resultan económicos en tramos cortos, cuando las luces no exceden 12m. Los puentes losa cuando son continuos con tramos extremos de hasta 10.5m, son mejor proporcionados cuando la relación de tramo interior a tramo exterior es 1.26 para cargas y esfuerzos usuales; cuando el tramo exterior va de 10.5m a 15m, la relación adecuada es 1.31. Los puentes de vigas T simplemente apoyados en cambio se usan en luces de hasta 24m. Los puentes de vigas continuas son mejor proporcionados cuando los tramos interiores presentan una longitud 1.3 a 1.4 veces la longitud de los tramos extremos En puentes viga, con tramos exteriores de 10.5m a más, la relación sugerida es de 1.37 a 1.40. En un puente de vigas continuas bien diseñado, el peralte de las secciones sigue de cerca las necesidades de momento, variando desde un mínimo en el centro hasta un máximo en los apoyos. En tales casos, el efecto de la carga muerta en el diseño se reduce favorablemente. Los puentes de sección en cajón son especialmente recomendados en alineamientos curvos dada su alta resistencia torsional y la posibilidad de mantener la sección transversal constante. A continuación, luces de puentes de concreto construidos: SIMPLEMENTE APOYADOS LUZ(m)

Losa 6 a 12 Vigas T 12 a 24 Placa sólida en arco 12 Vigas curvadas en arco 18

CONTINUOS LUZ(m) Losa, 2 tramos 9-9

12-12 Losa, 3 tramos 8-8-8 Pórtico sólido 12 Aporticado de vigas T 16 Vigas T, 2 tramos 15-15

21-21 Vigas T, 3 tramos 12-15-12 a

15-21-15 Cajón, 3 tramos 18-24-18 a

23-27-23

1.2) Concreto Presforzado Los puentes de concreto presforzado (pretensado y postensado) permiten con el empleo de materiales de resistencia elevada, reducir las dimensiones de la sección transversal y lograr consiguiente economía en peso. A continuación, algunas luces de puentes presforzados construidos:

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III-2

SIMPLEMENTE APOYADOS LUZ(m) Losa 9 a 12 Losa con alveolos 9 a 15 Doble Tee 12 a 18 Cajón cerrado vaceado en el lugar

38

Viga AASHTO 15 a 30 Vigas I 18 a 36 Vigas Cajón 24 a 36

CONTINUOS LUZ(m) Losa 10-10 a 12-15-12 Losa con alveolos 15-21-15 a 32-32 Vigas AASHTO 25 a 33 Vigas AASHTO postensada

30-30

Cajón 19.8-19.8 a 61-61 18.3-24.4-18.3 a 23.2-27.4-23.2

1.3) Puentes de Acero Los puentes de acero de sección compuesta de un solo tramo que utilizan vigas metálicas, logran luces de hasta 55m. Los puentes metálicos de armadura alcanzan los 120m. Con el diseño en arco se llega hasta 150m. A continuación, luces de puentes de acero ya construidos:

SIMPLEMENTE APOYADO LUZ(m) Vigas laminadas, no compuestos

12 a 25

Vigas laminadas, compuestos 15 a 25 Vigas armadas, no compuestos 30 a 45 Vigas Armadas, compuestos 30 a 55 Vigas cajón 30 a 55 Armaduras sobre y bajo la calzada

90 a 120

Armaduras bajo la calzada 60 a 120 Armaduras no conectadas sobre la calzada

45

Arco 90 a 150 Arcos enlazados 90 a 180

CONTINUOS LUZ(m) Vigas laminadas 15-20-15

a 25-30-25

Vigas armadas 30-36-30 Vigas cajón 30-36-30

a 90-120-90

Vigas laminadas 15-20-15 a

25-30-25 Vigas armadas 30-36-30

1.4) Madera Los puentes de madera se utilizan eficientemente con luces de hasta 20m en caminos de poca circulación con vehículos livianos. A continuación, luces de puentes de madera ya construidos:

SIMPLEMENTE APOYADOS LUZ(m) Madera serradiza 5.5 Vigas de madera laminada – clavada 14.9-15.2-14.9 Armadura 15.2-30.5-30.5-14.9 De plataforma - clavada 9.8-9.8-9.8 De plataforma - transversalmente presforzada

13.4

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III-3

2. 2. 2. 2. PERALTES MÍNIMOS EN SUPERESTRUCTURAS DE PUENTESPERALTES MÍNIMOS EN SUPERESTRUCTURAS DE PUENTESPERALTES MÍNIMOS EN SUPERESTRUCTURAS DE PUENTESPERALTES MÍNIMOS EN SUPERESTRUCTURAS DE PUENTES 2.12.12.12.1 Profundidades mínimas para superestructuras de profundidad constante

S= Luz del tramo de losa (mm) L = Luz del tramo de puente (mm)

2.22.22.22.2 Tableros de Concreto Apoyados en Elementos Longitudinales (Art. 9.7.1.1) La altura de un tablero de concreto deberá ser mayor o igual que 17.5 cm

2.3 2.3 2.3 2.3 Mínimo espesor de los tableros de concreto en voladizo (Art. 13.7.3.1.2) - Cuando soportan un sistema de postes montados en el tablero: 0.20m - Para sistemas de postes montados lateralmente: 0.30m - Cuando soportan paramentos o barreras de concreto: 0.20m

3333. RESISTENCIA A LA FLEXIÓN. RESISTENCIA A LA FLEXIÓN. RESISTENCIA A LA FLEXIÓN. RESISTENCIA A LA FLEXIÓN

Resistencia a la flexión mayorada Mr :

Mr = Ø Mn (5.7.3.2.1-1) donde: Mn = resistencia nominal Ø = factor de resistencia especificado en el Art. 5.5.4.2 Resistencia nominal a la flexión Mn:

)2

h

2a(h)bb(f85.0)

2a

d(fA)2a

d(fA)2a

d(fAM ff1w

'c

's

'y

'ssysppspsn −β−+−−−+−=

(5.7.3.2.2-1)

Page 66: Puentes LRFD

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III-4

Distancia c entre el eje neutro y la cara comprimida:

Para comportamiento de sección Te:

p

pupsw1

'c

fw'c1

'y

'syspups

d

fkAbf85.0

h)bb(f85.0fAfAfAc

−β−−+= (5.7.3.1.1-3)

Para comportamiento de sección rectangular:

p

pups1

'c

'y

'syspups

d

fkAbf85.0

fAfAfAc

−+= (5.7.3.1.1-4)

Donde:

)f

f04.1(2k

pu

py−=

Aps = área de acero del pretensado As = área de la armadura de tracción no pretensada A’s = área de la armadura de compresión a = c ß1; altura del diagrama de tensiones equivalente b = ancho de la cara comprimida del elemento bw = ancho del alma o diámetro de una sección circular c = distancia entre el eje neutro y la cara comprmida dp = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de los tendones

de pretensado dp = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de los tendones

de pretensado ds = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de la armadura

de tracción no pretensada d’s = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de la armadura

de compresión fps = tensión media en el acero de pretensado a la resistencia nominal a la flexión fpu = resistencia a la tracción especificada del acero de pretensado fpy = tensión de fluencia del acero de pretensado fy = tensión de fluencia especificada de las barras de armadura f’y = tensión de fluencia especificada de la armadura de compresión f’c = resistencia a la compresión especificada del hormigón a 28 días hf = altura del ala comprimida de un elemento de sección Te o doble Te ß1 = factor para el diagrama de tensiones, especificado en Art. 5.7.2.2

4444. ANCHOS DE FAJA EQUIVALENTE PARA PUENTES TIPO LOSA CON . ANCHOS DE FAJA EQUIVALENTE PARA PUENTES TIPO LOSA CON . ANCHOS DE FAJA EQUIVALENTE PARA PUENTES TIPO LOSA CON . ANCHOS DE FAJA EQUIVALENTE PARA PUENTES TIPO LOSA CON

ARARARARMADURA PRINCIPAL PARALELO AL TRÁFICOMADURA PRINCIPAL PARALELO AL TRÁFICOMADURA PRINCIPAL PARALELO AL TRÁFICOMADURA PRINCIPAL PARALELO AL TRÁFICO

El ancho equivalente de las fajas longitudinales tanto para corte como para momento con un carril cargado, es decir dos líneas de ruedas, incluyendo el efecto de presencia múltiple, es:

11WL42.0+250=E (4.6.2.3-1)

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III-5

El ancho equivalente de las fajas longitudinales por carril tanto para corte como para momento con más de un carril cargado, es:

11WL12.0+2100=E ≤ LNW (4.6.2.3-2)

Donde: E = ancho equivalente (mm) L1 = menor valor (mm) entre longitud real y 18m W1 = menor valor (mm) entre ancho real y 18m para carga en múltiples carriles ó

9m para carga en un solo carril W = ancho físico entre los bordes del puente (mm) NL = número de carriles de diseño

Para obtener la carga por unidad de ancho de la faja equivalente, se divide la carga total en un único carril de diseño por el ancho de faja calculado.

5555. ANCHOS DE FAJA EQUIVALENTE INTERIORES PARA TABLEROS CON . ANCHOS DE FAJA EQUIVALENTE INTERIORES PARA TABLEROS CON . ANCHOS DE FAJA EQUIVALENTE INTERIORES PARA TABLEROS CON . ANCHOS DE FAJA EQUIVALENTE INTERIORES PARA TABLEROS CON

ARMADURA PRINCIPAL PERPENDICULAR AL TRÁFICOARMADURA PRINCIPAL PERPENDICULAR AL TRÁFICOARMADURA PRINCIPAL PERPENDICULAR AL TRÁFICOARMADURA PRINCIPAL PERPENDICULAR AL TRÁFICO Se pueden tomar como se especifica en la Tabla siguiente:

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III-6

Donde: S = separación de los elementos de apoyo (mm) H = altura del tablero (mm) L = longitud del tramo del tablero (mm) P = carga de eje (N) Sb = separación de las barras del emparrillado (mm) +M= momento positivo - M= momento negativo X = distancia entre la carga y el punto de apoyo (mm)

6666. DISEÑO DE LOSAS DE TABLERO. DISEÑO DE LOSAS DE TABLERO. DISEÑO DE LOSAS DE TABLERO. DISEÑO DE LOSAS DE TABLERO

Para determinar los máximos momentos por sobrecarga de diseño en losas de tablero, se puede utilizar la Tabla A4-1. Los momentos son aplicables para tableros apoyados como mínimo en tres vigas y cuyo ancho entre los ejes de las vigas exteriores sea por lo menos 4.20 m. Los valores tabulados incluyen los factores de presencia múltiple y el incremento por carga dinámica. Para distancias diferentes a las listadas, es posible interpolar.

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III-7

7777. MÉTODO DE LOS FACTORES DE DISTRIBUCIÓN PARA MOMENTO Y CORTE . MÉTODO DE LOS FACTORES DE DISTRIBUCIÓN PARA MOMENTO Y CORTE . MÉTODO DE LOS FACTORES DE DISTRIBUCIÓN PARA MOMENTO Y CORTE . MÉTODO DE LOS FACTORES DE DISTRIBUCIÓN PARA MOMENTO Y CORTE EN VIGASEN VIGASEN VIGASEN VIGAS (Art. 4.6.2.2.2)

Simbología a utilizar:

S = separación entre vigas o almas (mm) L = longitud de tramo de la viga (mm)

Kg= )AeI(n 2gviga + = parámetro de rigidez longitudinal (mm4)

tablero

viga

E

En =

MPaen,f043.0E 'c

5.1cc γ= (5.4.2.4-1)

2'cc cm/kgen,f344,15E = , 3

c m/kg320,2con =γ

A = área de la viga (mm2) I = Iviga = momento de inercia de la viga (mm

4) de = distancia entre el alma exterior de una viga exterior y el borde interior de un

cordón o barrera para el tráfico (mm) eg = distancia entre los centros de gravedad de la viga de base y el tablero (mm) ts = profundidad de la losa de hormigón (mm) Nc = número de células de una viga cajón de hormigón Nb = número de vigas o largueros We= un medio de la separación entre almas, más el vuelo total (mm) b = ancho de la viga (mm) d = profundidad de la viga o larguero (mm) e = factor de corrección g = factor de distribución K = constante para diferentes tipos de construcción J = constante torsional de St. Venant (mm4) NL = número de carriles de diseño Nb = número de vigas o largueros D = ancho de distribución por carril (mm) C = parámetro de rigidez µ = coeficiente de Poisson tg= profundidad de un emparrillado de acero o plancha de acero corrugado,

incluyendo la sobrecapa de hormigón o componente de hormigón estructural integral, menos una tolerancia para considerar los efectos del pulido, ranurado o desgaste (mm)

El momento flector y corte por sobrecarga en vigas con tableros de hormigón se puede determinar aplicando la fracción por carril especificada “g” en las Tablas que se proporcionan.

Además, las cargas permanentes del tablero y las que actúan sobre el mismo se pueden distribuir uniformemente entre las vigas y/o largueros (Art. 4.6.2.2.1).

Para el cálculo en el estado limite de fatiga, deberá utilizarse el camión de diseño y las solicitaciones dividirse por 1.20 (Art. 3.6.1.1.2).

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III-8

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III-9

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III-10

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III-11

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III-12

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III-13

Caso de Vigas ExterioresCaso de Vigas ExterioresCaso de Vigas ExterioresCaso de Vigas Exteriores (Art. 4.6.2.2.2d y Art. 4.6.2.2.3b)

El momento flector y cortante por sobrecarga se pueden determinar aplicando la fracción por carril g especificada. La distancia de se tomara como positiva si el alma exterior esta hacia dentro de la cara interior de la barrera para el tráfico, negativa si esta hacia fuera.

En puentes de viga y losa con diafragmas o marcos transversales, el factor de distribución no se deberá tomar menor que el que se obtendría suponiendo que la sección transversal se deforma y gira como una sección transversal rígida.

El procedimiento delineado es a través de la aproximación convencional:

∑+=

bN2

NL

ext

b

L

x

eX

N

NR (C4.6.2.2.2d-1)

Donde: R = reacción sobre la viga exterior en términos de los carriles NL = número de carriles cargados considerado Nb = número de vigas e = excentricidad de un camión de diseño o una carga de carril de diseño respecto

del centro de gravedad del conjunto de vigas Xext= distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de vigas hasta la

viga exterior x = distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de vigas hasta

cada viga Momentos Flectores y Corte en Vigas de Tablero TransversalesMomentos Flectores y Corte en Vigas de Tablero TransversalesMomentos Flectores y Corte en Vigas de Tablero TransversalesMomentos Flectores y Corte en Vigas de Tablero Transversales

Si el tablero es soportado directamente por vigas de tablero transversales, las vigas de tablero se pueden diseñar para cargas determinadas de acuerdo con la Tabla:

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III-14

8888. ARMADURA DE DISTRIBUCIÓN. ARMADURA DE DISTRIBUCIÓN. ARMADURA DE DISTRIBUCIÓN. ARMADURA DE DISTRIBUCIÓN (Art. 9.7.3.2 AASHTO LRFD) En la parte inferior de las losas se dispondrá armadura en la dirección

secundaria; esta armadura se deberá calcular como un porcentaje de la armadura principal para momento positivo:

Si la armadura principal es paralela al tráfico : S

1750 ≤ 50%

Si la armadura principal es perpendicular al tráfico : S

3840 ≤ 67%

Donde:

S= longitud de tramo efectiva (mm). Distancia entre cara y cara, para losas construidas en forma monolítica con muros o vigas. Para losas apoyadas sobre vigas de concreto o metálicas: distancia entre las puntas de las alas, más el vuelo de las alas, considerado como la distancia desde la punta del ala extrema hasta la cara del alma, despreciando los chaflanes.

9999. ARMADURA DE CONTRACCIÓN Y TEMPERATURA. ARMADURA DE CONTRACCIÓN Y TEMPERATURA. ARMADURA DE CONTRACCIÓN Y TEMPERATURA. ARMADURA DE CONTRACCIÓN Y TEMPERATURA (Art. 5.10.8 AASHTO LRFD)

En componentes de espesor menor que 1.20 m: As ≥ 0.756 Ag/fy (5.10.8.2-1)

donde: Ag = área bruta de la sección (mm

2) fy = tensión de fluencia de las barras de armadura (MPa)

El acero se distribuirá uniformemente en ambas caras; sin embargo, en elementos de 0.15m de espesor o menos, se puede colocar en una sola capa.

La separación de la armadura no será mayor que 3 veces el espesor del componente ó 0.45m

En zapatas y tabiques macizos de hormigón estructural, la separación de la armadura no será mayor de 0.30m en cada dirección en todas las caras y no es necesario sea mayor que 0.0015Ag

Elementos de espesor mayor que 1.20m:

El tamaño mínimo de barra será N° 19, y la separación de las barras no será mayor que 0.45m. En cada dirección, la armadura mínima de temperatura y contracción, igualmente distribuida en ambas caras, deberá satisfacer:

ΣAb ≥ 100

)d+d2(s bc (5.10.8.3-1)

Donde: Ab= mínima área de las barras (mm

2) s = separación de las barras (mm) dc= profundidad del recubrimiento medida desde la fibra extrema hasta el centro

de la barra más próximo a la misma (mm) db= diámetro de la barra (mm)

No es necesario que (2dc+db) sea mayor que 0.075m.

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III-15

10101010. LIMITACIÓN DE LA FISURACIÓN MEDIANTE DISTRIBUCIÓN DE LA . LIMITACIÓN DE LA FISURACIÓN MEDIANTE DISTRIBUCIÓN DE LA . LIMITACIÓN DE LA FISURACIÓN MEDIANTE DISTRIBUCIÓN DE LA . LIMITACIÓN DE LA FISURACIÓN MEDIANTE DISTRIBUCIÓN DE LA ARMADURA ARMADURA ARMADURA ARMADURA (Art. 5.7.3.4)

Todos los elementos de hormigón, excepto losas de tablero diseñadas de

acuerdo con el Art. 9.7.2, deben dimensionarse de manera que en estado límite de servicio la tensión de tracción en las armaduras de acero no pretensado no sea mayor que fsa:

y3/1c

sa f6.0)Ad(Z

f ≤= (5.7.3.4-1)

Donde:

dc = altura de hormigón medida desde la fibra extrema comprimida hasta el

centro de la barra o alambre ubicado más próximo a la misma; el espesor del recubrimiento libre para calcular dc no se deberá tomar mayor que 50 mm.

A = área de hormigón que tiene el mismo baricentro que la armadura principal de tracción y limitada por las superficies de la sección transversal y una recta paralela al eje neutro , dividida por el número de barras o alambres; el espesor del recubrimiento libre para calcular A no se deberá tomar mayor que 50 mm.

Z = parámetro relacionado con el ancho de fisura ≤ 30,000 N/mm para elementos en condiciones de exposición moderada ≤ 23,000 N/mm para elementos en condiciones de exposición severa ≤ 17,500 N/mm para estructuras enterradas ≤ 23,000 N/mm para el diseño transversal de las vigas cajón de hormigón

por segmentos para cualquier carga aplicada antes que el hormigón alcance la totalidad de su resistencia nominal. Para alcantarillas de sección rectangular voladas in situ, el valor de Z no deberá satisfacer la condición Z ≤ 27000 / β , siendo β = [1+ dc / 0.7d]

d = distancia entre la cara comprimida y el baricentro de la armadura de tracción

Si en el estado límite de servicio las alas de las vigas Te o vigas cajón están traccionadas, la armadura de tracción por flexión se deberá distribuir en una distancia igual al menor de: el ancho de ala efectivo (Art. 4.6.2.6) o un ancho igual a 1/10 del promedio de los tramos adyacentes entre apoyos.

Si el ancho de ala efectivo es mayor que 1/10 de la longitud del tramo, en las porciones exteriores del ala se deberá disponer armadura longitudinal adicional con un área no menor que 0.4% del área de losa en exceso.

Si la profundida efectiva de de un elemento de hormigón no pretensado o parcialmente pretensado es mayor que 90 cm, se deberá distribuir uniformemente armadura superficial en ambas caras del elemento en una distancia d/2 más próxima de la armadura de tracción por flexión. En cada cara lateral el área de armadura superficial Ask, en mm

2/mm de altura, deberá satisfacer la siguiente condición:

Armadura de contracción y temperatura en caras laterales (Art. 5.10.8)

1200

AA)760d(001.0A pss

esk

+≤−≥ (5.7.3.4-4)

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III-16

Donde: Aps = área de acero del pretensado (mm

2) As = área de la armadura de tracción no pretensada (mm

2)

No es necesario que el área total de armadura superficial longitudinal (por cara) sea mayor que un cuarto de la armadura de tracción por flexión requerida As+ Aps

La máxima separación de la armadura superficial no deberá ser mayor que d/6 o 300 mm.

11111111. LÍ. LÍ. LÍ. LÍMITES PARA EL REFUERZOMITES PARA EL REFUERZOMITES PARA EL REFUERZOMITES PARA EL REFUERZO

Refuerzo Máximo (Art. 5.7.3.3.1) La cantidad máxima de refuerzo pretensado y no pretensado será tal que:

42.0dc

e

≤ (5.7.3.3.1-1)

Si dicha ecuación no es satisfecha, la sección será considerada sobrereforzada.

Donde:

yspsps

sysppspse fAfA

dfAdfAd

+

+=

c = distancia desde la fibra extrema en compresión al eje neutro de= profundidad efectiva correspondiente desde la fibra extrema en compresión

al centroide de la fuerza en tensión en el refuerzo a tensión Aps= área de acero pretensado fps = tensión media en el acero de pretensado a la flexión dp = distancia entre la fibra extrema comprimida y el centroide de los tendones de

pretensado As = área de la armadura de tracción no pretensada fy = fluencia de las barras de refuerzo ds = distancia entre la fibra extrema comprimida y el centroide de la armadura de

tracción no pretensada Refuerzo Mínimo (Art. 5.7.3.3.2 AASHTO LRFD)

La cantidad de rerfuerzo de pretensado y no pretensado será adecuado para desarrollar una resistencia a flexión factorada Mr superior o igual al menor valor de:

a) 1.2 veces la resistencia de rotura determinada en base a una distribución

de esfuerzos elásticos y el módulo de ruptura fr del concreto

( 'cr f63.0f = , en MPa, para concreto de peso normal), y

b) 1.33 veces el momento factorado requerido por las combinaciones de carga para el estado límite de resistencia aplicable.

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III-17

11112222. FACTORES DE RESISTENCIA . FACTORES DE RESISTENCIA . FACTORES DE RESISTENCIA . FACTORES DE RESISTENCIA (Art. 5.5.4.2 AASHTO LRFD)

CASOCASOCASOCASO ∅∅∅∅ Flexión y tracción del hormigón armado 0.90 Flexión y tracción del hormigón pretensado 1.00 Corte y Torsión: Hormigón de densidad normal Hormigón de baja densidad

0.90 0.70

Compresión axial con espirales o zunchos (excepto Art. 5.10.11.4.1b para Zonas Sísmicas 3 y 4, estado límite de Evento Extremo)

0.75 Apoyo sobre hormigón 0.70 Compresión en modelos de bielas y tirantes 0.70 Compresión en zonas de anclaje: Hormigón de densidad normal Hormigón de baja densidad

0.80 0.65

Tracción en el acero en las zonas de anclaje 1.00 Resistencia durante el hincado de pilotes 1.00

NOTAS.NOTAS.NOTAS.NOTAS.---- - Para los elementos comprimidos con flexión, el valor de Ø se puede incrementar linealmente hasta llegar al valor correspondiente a flexión a medida que la resistencia a la carga axial de diseño, ØPn, disminuye desde 0.10f’cAg hasta 0. - Para los estados límites de Resistencia y correspondientes a Eventos Extremos Ø=1.0, excepto para bulones y columnas de hormigón en Zonas Sísmicas 3 y 4 (Art. 1.3.2.1).

11113333. RECUBRIMIENTOS. RECUBRIMIENTOS. RECUBRIMIENTOS. RECUBRIMIENTOS

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III-18

0.1f

f58.0

ct

'c ≥

14. 14. 14. 14. ANCLAJE DE LAS ARMADURAANCLAJE DE LAS ARMADURAANCLAJE DE LAS ARMADURAANCLAJE DE LAS ARMADURASSSS (5.11.2)

BARRAS Y ALAMBRES CORRUGADOS EN TRACCIÓNBARRAS Y ALAMBRES CORRUGADOS EN TRACCIÓNBARRAS Y ALAMBRES CORRUGADOS EN TRACCIÓNBARRAS Y ALAMBRES CORRUGADOS EN TRACCIÓN (5.11.2.1) La longitud de anclaje en tracción ld se toma como el producto entra la

longitud básica de anclaje en tracción ldb y el factor o factores de modificación especificados. La longitud de anclaje en tracción no deberá ser menor que 300mm, excepto para empalmes solapados y anclajes de la armadura de corte. La longitud básica de anclaje ldb en mm se toma como:

• Para barras #36 (Ø36mm) y menores: 'c

yb

f

fA02.0pero no menor que

yb fd06.0

• Para barras #43 (Ø43mm) y menores: 'c

y

f

f25

• Para barras #57 (Ø57mm) y menores: 'c

y

f

f34

• Para alambre corrugado: 'c

yb

f

fd36.0

donde: Ab = sección de la barra o alambre, mm db = diámetro de la barra, mm fy = tensión de fluencia, MPa f’c = resistencia a la compresión especificada del hormigón, MPa fct= resistencia media a la tracción por compresión diametral del hormigón de agregados de baja densidad, MPa

Factores de modificación que aumentan ld:

La longitud básica de anclaje ldb se deberá multiplicar por el siguiente factor o factores: • Para armadura superior horizontal o casi horizontal colocada de manera que haya más de 300mm de hormigón debajo de la armadura: 1.41.41.41.4

• Para hormigón de agregados de baja densidad para el cual se especifica fct: • Para hormigón de baja densidad para el cual no se especifica fct: 1.31.31.31.3 • Para hormigón de agregados livianos y arena para el cual no se especifica fct: 1.21.21.21.2

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III-19

provistaArequeridaA

s

s

Si se utiliza arena para reemplazar sólo parte del agregado, se puede interpolar linealmente entre los requisitos para hormigón de baja densidad y aquellos para hormigón de agregados livianos y arena. • Para barras recubiertas con resina epoxi en las cuales el recubrimiento de hormigón es menor que 3db o la separación libre entre las barras es menor que 6db: 1.51.51.51.5

• Para barras recubiertas con resina epoxi no cubiertas por el ítem anterior: 1.21.21.21.2 No es necesario que el producto entre el factor correspondiente a armadura superior y el factor aplicable en el caso de barras recubiertas con resina epoxi sea mayor que 1.7. Factores de modificación que disminuyen ld

La longitud básica de anclaje ldb se deberá multiplicar por el siguiente factor o factores: • Si la armadura que se está anclando en la longitud considerada tiene una separación lateral entre centros de al menos 150mm y tiene un recubrimiento libre medido en la dirección de la separación no menor que 75mm: 0000.8.8.8.8

• Si no se requiere anclaje o desarrollo para la totalidad de la tensión de fluencia de la armadura, o si en un elemento flexionado hay más armadura que la requerida por el análisis:

• Si la armadura está encerrada por una espiral formada por una barra de no menos de 6mm de diámetro y con un paso de no más de 100mm: 0.750.750.750.75

BARRAS CORRUGADOS EN COMPRESIÓNBARRAS CORRUGADOS EN COMPRESIÓNBARRAS CORRUGADOS EN COMPRESIÓNBARRAS CORRUGADOS EN COMPRESIÓN (5.11.2.2) La longitud de anclaje en compresión ld no será menor que el producto

entra la longitud básica de anclaje en compresión ldb y los factores de modificación especificados, ni menor que 200mm. La longitud básica de anclaje en compresión ldb en mm se toma como:

ó,f

fd24.0

'c

ybdb ≥l (5.11.2.2.1-1)

ybdb fd044.0≥l (5.11.2.2.1-2)

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III-20

Factores de modificación La longitud básica de anclaje ldb se puede multiplicar por los siguientes factores: • Si no se requiere anclaje o desarrollo para la totalidad de la tensión de fluencia de la armadura, o si hay más armadura que la requerida por el

análisis: provistaA

requeridaA

s

s

• Si la armadura está encerrada por una espiral formada por una barra de no menos de 6mm de diámetro y con un paso de no más de 100mm: 0.750.750.750.75

PAQUETES DE BARRASPAQUETES DE BARRASPAQUETES DE BARRASPAQUETES DE BARRAS (5.11.2.3) La longitud de anclaje de las barras individuales que forman parte de un paquete, en tracción o compresión, deberá ser la correspondiente a la barra individual aumentada un 20 por ciento en el caso de paquetes de tres barras o 33 por ciento en el caso de paquetes de cuatro barras. Para determinar los factores especificados, un paquete de barras se deberá tratar como una única barra cuyo diámetro se deberá determinar a partir del área total equivalente.

GANCHOS NORMALES EN TRACCIÓNGANCHOS NORMALES EN TRACCIÓNGANCHOS NORMALES EN TRACCIÓNGANCHOS NORMALES EN TRACCIÓN (5.11.2.4)

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III-21

provistaArequeridaA

s

s

Longitud básica de anclaje de un gancho La longitud de anclaje ldh en mm, para las barras corrugadas en tracción que terminan en un gancho normal, no deberá ser menor que: • El producto entre la longitud básica de anclaje lhb, según (5.11.2.4.1-1), y el factor o los factores de modificación aplicables.

• 8.0 diámetros de barra, ó • 150mm. La longitud básica de anclaje lhb con fluencia menor ó igual que 420MPa se deberá tomar como:

'c

bhb

f

d100=l (5.11.2.4.1-1)

Factores de modificación La longitud básica de anclaje lhb se deberá multiplicar por el siguiente factor o factores según corresponda:

• Si la tensión de fluencia de la armadura es superior a 420MPa: 420

fy

• Si el recubrimiento lateral para barras #36 (Ø36mm) o menores, perpendicular al plano del gancho, es mayor o igual que 64mm, y para ganchos a 90°, el recubrimiento sobre la prolongación de la barra más allá del gancho no es menor que 50mm: 0.70.70.70.7

• Si los ganchos para barras #36 (Ø36mm) y menores están encerrados vertical u horizontalmente dentro de estribos o estribos cerrados en toda la longitud de anclaje, ldh, y la separación de estos estribos no es mayor que 3db: 0.80.80.80.8

• Si no se requiere anclaje o desarrollo para la totalidad de la tensión de fluencia, ó si hay más armadura que la requerida por el análisis:

• Si se utiliza hormigón de agregados livianos: 1.31.31.31.3 • Si se usa armadura recubierta con resina epoxi: 1.21.21.21.2

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III-22

11115555. SEPARACIÓN DE LAS BARRAS DE ARMADURA. SEPARACIÓN DE LAS BARRAS DE ARMADURA. SEPARACIÓN DE LAS BARRAS DE ARMADURA. SEPARACIÓN DE LAS BARRAS DE ARMADURA Separación Mínima (Art. 5.10.3 AASHTO LRFD)

Para el hormigón colado in situ, la distancia libre entre barras paralelas ubicadas en una capa no deberá ser menor que 1.5 veces el diámetro nominal de las barras, 1.5 veces el tamaño máximo del agregado grueso, o 3.8 cm

Para el hormigón prefabricado en planta bajo condiciones controladas, la distancia libre entre barras paralelas ubicadas en una capa no deberá ser menor que el diámetro nominal de las barras, 1.33 veces el tamaño máximo del agregado grueso o 2.5 cm

Múltiples capas de Armadura: Excepto en los tableros en los cuales se coloca armadura paralela en dos o más capas, con una distancia libre entre capas no mayor que 15 cm, las barras de las capas superiores se deberán ubicar directamente sobre las de la capa inferior, y la distancia libre entre capas deberá ser mayor o igual que 2.5 cm o el diámetro nominal de las barras.

Paquetes de Barras: El número de barras paralelas dispuestas en un paquete de manera que actúen como una unidad no deberá ser mayor que cuatro, excepto que en los elementos flexionados en ningún paquete el número de barras mayores que Nª 36 deberá ser mayor que dos.

Los paquetes de barras deberán estar encerrados por estribos o zunchos. Cada una de las barras individuales de un paquete que se interrumpe dentro

de un tramo deberá terminar en secciones diferentes, separadas como míniomo 40 diámetros de barra. Si las limitaciones de separación entre barras se basan en el tamaño de las barras, un paquete de barras se deberá tratar como una barra individual cuyo diámetro se obtiene a partir de la sección equivalente total.

Separación Máxima (Art. 5.10.3.2 AASHTO LRFD)

La separación de la armadura en tabiques y losas no deberá ser mayor que 1.5 veces el espesor del elemento ó 45 cm.

11116666. ARMADURA TRANSVERSAL. ARMADURA TRANSVERSAL. ARMADURA TRANSVERSAL. ARMADURA TRANSVERSAL

Regiones que requieren EstribosRegiones que requieren EstribosRegiones que requieren EstribosRegiones que requieren Estribos Excepto en losas, zapatas y alcantarillas, se deberá proveer armadura transversal si: Vu > 0.5∅(Vc+Vp) (5.8.2.4-1)

ó Tu > 0.25∅ Tcr (5.8.2.1-3) Donde: Vu = fuerza de corte mayorada Vc = resistencia nominal al corte del hormigón Vp = componente de la fuerza de pretensado en la dirección de la fuerza de

corte ∅ = factor de resistencia Tu = momento torsor mayorado Tcr = momento de fisuración por torsión

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III-23

Mínima Armadura Transversal Mínima Armadura Transversal Mínima Armadura Transversal Mínima Armadura Transversal (Art. 5.8.2.5 AASHTO LRFD)

y

vc'v f

sbf083.0A ≥ (5.8.2.5-1)

Donde: Av = área de la armadura transversal en una distancia s (mm

2) bv = ancho del alma (mm) s = separación de la armadura transversal (mm) fy = tensión de fluencia de la armadura transversal (MPa) Máxima Separación de la Armadura TransversalMáxima Separación de la Armadura TransversalMáxima Separación de la Armadura TransversalMáxima Separación de la Armadura Transversal La separación de la armadura transversal no deberá ser mayor que: Si vu < 0.125f’c smáx= 0.8dv ≤ 60 cm (5.8.2.7-1) Si vu ≥ 0.125f’c smáx= 0.4dv ≤ 30 cm (5.8.2.7-2) Donde: vu = tensión de corte (MPa) dv= = = = altura de corte efectiva tomada como la distancia medida de forma

perpendicular al eje neutro, entre las resultantes de las fuerzas de tracción y compresión debidas a flexión; no es necesario tomarla menor que el mayor valor entre 0.9de o 0.72h (mm)

de = altura hasta el centroide del acero pretensado (mm)

Tensión de Corte en el HormigTensión de Corte en el HormigTensión de Corte en el HormigTensión de Corte en el Hormigónónónón Se determina como:

vv

puu db

VVV

φ

φ−= (5.8.2.9-1)

Donde: bv = ancho del alma efectivo tomado como el mínimo ancho del alma, medido en

forma paralela al eje neutro (mm) dv = altura de corte efectiva, como lo ya definido (mm) ∅ = factor de resistencia para corte

Resistencia al Corte Mayorada VResistencia al Corte Mayorada VResistencia al Corte Mayorada VResistencia al Corte Mayorada Vrrrr Se toma como:

Vr = ØVnr (5.8.2.1-2) Resistencia Nominal al Corte VResistencia Nominal al Corte VResistencia Nominal al Corte VResistencia Nominal al Corte Vnnnn

Se deberá determinar como el menor valor entre:

Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1) Vn = 0.25f’cbvdv + Vp (5.8.3.3-2)

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III-24

Siendo:

vv'cc dbf083.0V β= (5.8.3.3-3)

s

sen)cot(cotdfAV vyvs

ααθ += (5.8.3.3-4)

Si α = 90°, ésta última ecuación se reduce a:

s

cotdfAV vyvs

θ= (C5.8.3.3-1)

Donde:

bv = ancho del alma efectivo tomado como el mínimo ancho del alma dentro de la altura dv (mm)

dv = altura de corte efectiva (mm) s = separación de los estribos (mm) β = factor que indica la capacidad del hormigón fisurado diagonalmente de

transmitir tracción � = ángulo de inclinación de las tensiones de compresión diagonal (°) α = ángulo de inclinación de la armadura transversal respecto al eje longitudinal (°) Av = área de la armadura de corte en una distancia s (mm

2) Vp= componente de la fuerza de pretensado efectiva en la dirección del corte

aplicado; positiva si se opone al corte aplicado (N) Procedimiento simplicado para determinación Procedimiento simplicado para determinación Procedimiento simplicado para determinación Procedimiento simplicado para determinación ββββ y y y y ���� en secciones no pretensadasen secciones no pretensadasen secciones no pretensadasen secciones no pretensadas

Para zapatas de hormigón armado en las cuales la distancia entre el punto de corte nulo y la cara de la columna, pilar o tabique es menor que 3dy con o sin armadura transversal, y para otras secciones de hormigón no pretensado no solicitadas a tracción axial y que contienen al menos lo especificado por el Art. 5.8.2.5, o que tienen una altura total menor que 40 cm, se pueden utilizar: β = 2.0, �= 45°

11117777. FATIGA. FATIGA. FATIGA. FATIGA

Carga de FatigaCarga de FatigaCarga de FatigaCarga de Fatiga (Art. 3.6.1.4) La carga de fatiga será un camión de diseño como lo especificado, pero con una separación constante de 9.0 m entre los ejes de 14.8 T. A la carga de fatiga se le deberá aplicar el respectivo incremento por carga dinámica. Estado Limite de FatigaEstado Limite de FatigaEstado Limite de FatigaEstado Limite de Fatiga (Art. 5.5.3) Se usará la sección fisurada cuando la sumatoria de las tensiones debidas a las cargas permanentes no mayoradas y tensiones de pretensado, más 1.5 veces la

carga de fatiga, de por resultado una tensión de tracción mayor que 'cf25.0 .

El rango de tensión en las armaduras rectas que resulta de la combinación de cargas correspondiente a fatiga, deberá satisfacer:

)hr(55f33.0145f minf +−≤ (5.5.3.2-1)

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Donde: ff = rango de tensión (MPa) fmin = mínima tensión por sobrecarga resultante de la combinación de cargas

correspondiente a la fatiga, combinada con la tensión más severa debida ya sea a las cargas permanentes o a las cargas permanentes más las cargas externas inducidas por contracción y fluencia lenta; la tracción se considera positiva, la compresión negativa (MPa)

r/h = relación entre el radio de base y la altura de las deformaciones transversales; si se desconoce el valor real se puede utilizar r/h = 0.3

En losas de tablero de hormigón en aplicaciones multiviga no es necesario investigar la fatiga.

11118888. BARRERAS DE CONCRETO. BARRERAS DE CONCRETO. BARRERAS DE CONCRETO. BARRERAS DE CONCRETO

El propósito de una barrera de concreto en el caso de una colisión vehicular es redirigir el vehículo de una manera controlada. La barrera debe ser adecuada para resistir el impacto inicial de la colisión y seguir siendo eficaz en la reorientación del vehículo, debiendo por ello cumplir requisitos de resistencia y geometría. Secciones de barreras junto a cuantías de acero que pueden controlar colisiones se han desarrollado a lo largo de los años y se ha demostrado su eficacia por pruebas de choque. Los requisitos de resistencia dependen del volumen de camiones y la velocidad del tráfico previsto. Las fuerzas de diseño y su ubicación en relación con la losa de puente están dadas en seis niveles según la Tabla AASHTO A13.2-1. Cabe destacar que un sistema de barreras y su conexión a la cubierta sólo se autoriza después de demostrar que es satisfactorio a través de pruebas de choque en barreras a escala natural para el nivel de prueba deseado [A13.7.3.1]. Si se realizan modificaciones menores a modelos ya probados, que no afectan su resistencia, pueden utilizarse sin las pruebas de impacto requeridas. Así mismo es importante detallar el acero que se extiende de la barrera a la losa y analizar la resistencia del voladizo para la transferencia de la carga de choque.

Número de lados aptos para el impactoNúmero de lados aptos para el impactoNúmero de lados aptos para el impactoNúmero de lados aptos para el impacto En función de su número de lados, las barreras se clasifican en simples y dobles. Las simples tienen una sección transversal que presenta un solo lado apto para el impacto. Las dobles, en cambio, cuentan una sección transversal con ambos lados aptos para el impacto. La barrera simple es un elemento longitudinal y asimétrico que se utiliza como barrera lateral, al lado derecho de la calzada o en pares opuestos como separador central. Se ubica a los lados de una vía frente a terraplenes, depresiones o estructuras que signifiquen posibilidad de colisión. Sirven también como protección de los muros de contención, revestimiento de túneles y barandas de puentes. Las barreras dobles son elementos longitudinales simétricos que se utilizan como separador central entre calzadas en vías con doble sentido de circulación, al mismo nivel o escalonadas. Están destinadas a resistir los

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choques frontales, que son los causantes del mayor número de accidentes mortales.

Barreras dobles ancladas en calzadas

Barreras dobles ancladas en puentes

Criterios de capacidad de contenciónCriterios de capacidad de contenciónCriterios de capacidad de contenciónCriterios de capacidad de contención En función del tipo de vehículos que son capaces de contener, las barreras se pueden clasificar en normales y especiales. Estas últimas son barreras cuyo comportamiento frente al impacto ha sido mejorado, con el fin de garantizar su eficacia ante el impacto de vehículos pesados. En el caso de las colisiones severas, es importante definir los daños que producen en el conductor y los pasajeros, por efecto de la desaceleración que se produce, asumiendo diferentes direcciones. Este factor ha sido estudiado en pruebas desarrolladas en estaciones experimentales, con diferentes tipos de vehículos y maniquíes en los que se instalan distintos sensores. En condiciones de tráfico simuladas en estaciones experimentales, el comportamiento de los vehículos se registra dentro de un valor conocido

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como índice de severidad, cuyo límite máximo es la unidad, que representa la posibilidad de que los ocupantes no sufran daños. La regulación define las pruebas de choque a las cuales debe estar sujeta la barrera. Basadas en las características de desempeño, han sido definidas pruebas caracterizadas por la masa y la velocidad del vehículo colisionador, y por el ángulo (estándar) correspondiente al impacto vehículo-barrera. La regulación requerida para definir el emplazamiento y el carácter de las barreras en el sistema vial debe comprender: a) las diferentes magnitudes de índice de severidad, que pueden ser homologadas de la experiencia internacional; b) el tipo de tráfico de acuerdo con el porcentaje de vehículos pesados que se prevén para la vía; y c) el tipo de vía según la norma oficial que las caracteriza, considerando vías extraurbanas y vías urbanas.

LA BARRERA TIPO NEW JERSEYLA BARRERA TIPO NEW JERSEYLA BARRERA TIPO NEW JERSEYLA BARRERA TIPO NEW JERSEY

Perfil geométricoPerfil geométricoPerfil geométricoPerfil geométrico La Norma Técnica Peruana 339.222:2008 Sistemas Viales de Contención de Vehículos, adopta tres perfiles basados en la barrera New Jersey: el tradicional, el perfil F y el perfil mejorado. El perfil de la barrera New Jersey, que se aprecia en la figura 1, está compuesto por tres tramos, cada uno de los cuales tiene una función específica en su comportamiento. El tramo inferior: Es un plano vertical con una altura de 75 ± 10 mm, medidos a partir del nivel de la rasante (pavimento). Posteriormente a la colocación de una sobrecapa en la vía, este tramo inferior puede incrementarse hasta una altura de 150 mm, sin que por ello modifique el comportamiento de los vehículos que chocan contra la barrera. Sin embargo, hay que tener en cuenta que cualquier reducción de la altura de este tramo por debajo de 65 mm puede alterar negativamente su comportamiento. Tramo intermedio: Es un plano de transición localizado inmediatamente sobre el tramo vertical. Tiene una inclinación de 55° con respecto a la horizontal, y unas proyecciones de 250 mm sobre la vertical y de 175 mm sobre la horizontal. Es conveniente que esté unido al tramo interior mediante una transición circular de 200 mm de radio. Tramo superior: Es un plano que tiene una inclinación de 840 con respecto a la horizontal y se prolonga hasta completar los 800 mm de altura de la barrera sobre el nivel de la rasante. También resulta conveniente que esté unido al anterior mediante una transición circular de 200 mm de radio.

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Perfil New Jersey Perfil F

New Jersey recrecido

Comportamiento de las barreras New JerComportamiento de las barreras New JerComportamiento de las barreras New JerComportamiento de las barreras New Jerseyseyseysey Al momento del choque, la rueda frontal del vehículo se pone en contacto con la parte vertical, de 7,5 cm de altura, que tiende a frenar y enderezar el vehículo. La rueda asciende por la cara inclinada 55°, y una o ambas ruedas y el costado del vehículo son levantados hasta 26 cm por encima de la calzada. Esta elevación absorbe la energía del impacto y, equilibra el momento de vuelco mediante la compresión de la suspensión del vehículo. Con pequeños ángulos de impacto, esto sucede sin que la carrocería golpee la barrera. Si la velocidad del vehículo y el ángulo de impacto son suficientemente altos, la rueda continúa ascendiendo por encima del talud de 55° y se pone en contacto con la parte superior casi vertical de la barrera. Esto completa el frenado y el encauzamiento del vehículo, redirigiéndolo al carril contiguo a la barrera, paralelamente a ésta. De acuerdo con el esquema de interacción vehículo-barrera, una barrera con perfil New Jersey que sea adecuada en términos estructurales absorberá la energía producida durante el impacto y posteriormente

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encauzará el vehículo. Sin embargo, para que esto se realice de manera satisfactoria, los parámetros de la trayectoria del vehículo y la disipación de energía deben estar dentro de los límites permisibles para sus ocupantes.

Mecanismo de absorción de la energía cinéticaMecanismo de absorción de la energía cinéticaMecanismo de absorción de la energía cinéticaMecanismo de absorción de la energía cinética Las fuerzas involucradas en el impacto contra una barrera producen una cantidad de energía cinética relativamente grande, y para que el encauzamiento del vehículo sea eficiente, se requiere disipar esa energía producida haciendo que este absorba la menor cantidad posible, lo que depende del peso, el ángulo de incidencia y la velocidad del vehículo. Esta última se puede determinar calculando los componentes en las direcciones paralela y perpendicular a la barrera. Suponiendo que durante la colisión no se aplicaran los frenos, en un encausamiento satisfactorio la disipación de la energía paralela a la barrera se efectúa a través de la fuerza de fricción que se desarrolla por el contacto del vehículo con la barrera y de las llantas con el pavimento. En la mayoría de 1os diseños de barreras, la carrocería del vehículo que choca estará en contacto con la barrera hasta el momento en que éste sea encauzado. Sin embargo, para la barrera de concreto y en ángulos de incidencia pequeños, el único contacto del vehículo durante la colisión puede ser el de la llanta delantera del lado correspondiente. Así, la fuerza de fricción entre el vehículo y la barrera se origina en la llanta a medida que ésta sube y cambia de dirección debido a la menor pendiente del tramo de transición. El componente de la energía total perpendicular a la barrera debe ser absorbido en la retención del vehículo. Esto se lleva a cabo a través de la deformación elástica y plástica de la barrera, del vehículo o de ambos. En un sistema rígido, si la barrera no falla, una cantidad mínima de energía es absorbida por esta; y otra muy pequeña, por el suelo. Por lo tanto, en estas condiciones, el vehículo debe absorber o disipar casi toda esta energía.

ESPECIFICACIONES DE DISEÑO PARA BARRERAS DE CONCRETOESPECIFICACIONES DE DISEÑO PARA BARRERAS DE CONCRETOESPECIFICACIONES DE DISEÑO PARA BARRERAS DE CONCRETOESPECIFICACIONES DE DISEÑO PARA BARRERAS DE CONCRETO Fuerzas de diseño para las barreras para tráfico vehicularFuerzas de diseño para las barreras para tráfico vehicularFuerzas de diseño para las barreras para tráfico vehicularFuerzas de diseño para las barreras para tráfico vehicular (A13.2) La referida Especificación AASHTO señala:

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Criterios para Seleccionar el Nivel de Ensayo • TL-1 − Nivel de Ensayo Uno: Generalmente aceptable para las zonas de trabajo en las cuales las velocidades permitidas son bajas y para las calles locales de muy bajo volumen y baja velocidad; • TL-2 − Nivel de Ensayo Dos: Generalmente aceptable para las zonas de trabajo y la mayor parte de las calles locales y colectoras en las cuales las condiciones del sitio de emplazamiento son favorables; también donde se anticipa la presencia de un pequeño número de vehículos pesados y las velocidades permitidas son reducidas; • TL-3 − Nivel de Ensayo Tres: Generalmente aceptable para un amplio rango de carreteras principales de alta velocidad en las cuales la presencia de vehículos pesados es muy reducida y las condiciones del sitio de emplazamiento son favorables; • TL-4 − Nivel de Ensayo Cuatro: Generalmente aceptable para la mayoría de las aplicaciones en carreteras de alta velocidad, autovías, autopistas y carreteras interestatales en las cuales el tráfico incluye camiones y vehículos pesados; • TL-5 − Nivel de Ensayo Cinco: Generalmente aceptable para las mismas aplicaciones que el TL-4 y también cuando el tráfico medio diario contiene una proporción significativa de grandes camiones o cuando las condiciones desfavorables del sitio de emplazamiento justifican un mayor nivel de resistencia de las barandas; y • TL-6 − Nivel de Ensayo Seis: Generalmente aceptable para aplicaciones en las cuales se anticipa la presencia de camiones tipo tanque o cisterna u otros vehículos similares de centro de gravedad elevado, particularmente cuando este tráfico se combina con condiciones desfavorables del sitio de emplazamiento. Barandas de HormigónBarandas de HormigónBarandas de HormigónBarandas de Hormigón (A13.3.1) Para las barreras o parapetos de hormigón armado y pretensado se pueden utilizar análisis por líneas de fluencia y diseño por resistencia. La resistencia nominal de la baranda frente a la carga transversal, Rw, se puede determinar utilizando un enfoque por líneas de fluencia de la siguiente manera: • Para impactos dentro de un segmento de muro:

++

−=

H

LMM8M8

LL22

R2cc

wbtc

w (A13.3.1-1)

La longitud crítica de muro en la cual se produce el mecanismo de la línea de fluencia, Lc, se deberá tomar como:

c

wb2

ttc M

)MM(H8

2

L

2

LL

++

+= (A13.3.1-2)

Page 94: Puentes LRFD

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III-32

• Para impactos en el extremo de un muro o en una junta:

++

−=

H

LMMM

LL22

R2cc

wbtc

w (A13.3.1-3)

c

wb2

ttc M

)MM(H

2

L

2

LL

++

+= (A13.3.1-4)

donde:

Ft = fuerza transversal especificada en la Tabla A13.2-1que se supone

actuando en la parte superior de un muro de hormigón (N) H = altura del muro (mm) Lc = longitud crítica del patrón de falla por líneas de fluencia (mm) Lt = longitud de distribución longitudinal de la fuerza de impacto Ft (mm) Rw= resistencia transversal total de la baranda (N) Mb= resistencia flexional adicional de la viga acumulativa con Mw, si

corresponde, en la parte superior del muro (N-mm) Mc= resistencia flexional de los muros en voladizo respecto de un eje

paralelo al eje longitudinal del puente (N-mm/mm) Mw= resistencia flexional del muro respecto de su eje vertical (N-mm/mm)

Para poder ser utilizados en las expresiones anteriores, Mc y Mw no deberían variar significativamente con la altura del muro. En otros casos se debería realizar un análisis riguroso mediante líneas de fluencia. Diseño de los vuelos del tableroDiseño de los vuelos del tableroDiseño de los vuelos del tableroDiseño de los vuelos del tablero (A13.4) Los vuelos del tablero de un puente se deben diseñar considerando separadamente los siguientes casos de diseño:

Caso de Diseño 1: fuerzas transversales y longitudinales especificadas en

el Artículo A13.2 − Estado Límite Correspondiente a Evento Extremo

Caso de Diseño 2: fuerzas verticales especificadas en el Artículo A13.2 − Estado Límite Correspondiente a Evento Extremo

Caso de Diseño 3: cargas que ocupan el vuelo, especificadas en el Artículo 3.6.1 − Estado Límite de Resistencia

Tableros que soportan parapetos de hormigónTableros que soportan parapetos de hormigónTableros que soportan parapetos de hormigónTableros que soportan parapetos de hormigón Para el Caso de Diseño 1, el tablero del puente se puede diseñar para proveer una resistencia flexional, Ms, en Nmm/mm, que actuando conjuntamente con la fuerza de tracción T en N/mm aquí especificada sea mayor que la Mc del parapeto en su base. La fuerza de tracción axial, T, se puede tomar de la siguiente manera:

H2L

RT

c += (A13.4.2-1)

Page 95: Puentes LRFD

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III-33

donde:

Rw= resistencia del parapeto especificada en el Artículo A13.3.1 (N) Lc = longitud crítica del patrón de falla por líneas de fluencia (mm) H = altura del muro (mm) T = fuerza de tracción por unidad de longitud del tablero (N/mm)

El diseño del vuelo del tablero para las fuerzas verticales especificadas en el Caso de Diseño 2 se deberá basar en la porción del tablero en voladizo.

Transferencia de Corte en las Interfases − Corte por FricciónTransferencia de Corte en las Interfases − Corte por FricciónTransferencia de Corte en las Interfases − Corte por FricciónTransferencia de Corte en las Interfases − Corte por Fricción (Art. 5.8.4) Se debe considerar la transferencia de corte en la interfase en un plano dado por: una fisura existente o potencial, una interfase entre diferentes materiales, o una interfase entre dos hormigones colados en diferentes momentos. La resistencia nominal al corte del plano de interfase se debe tomar como:

[ ]cyvfcvn PfAcAV +µ+= (5.8.4.1-1)

La resistencia nominal al corte utilizada en el diseño no deberá ser mayor que el menor valor entre los siguientes:

cv'cn Af2.0V ≤ (5.8.4.1-2)

ó bien

cvn A5.5V ≤ (5.8.4.1-3) donde: Vn = resistencia nominal al corte (N) Acv = área del hormigón que participa de la transferencia de corte (mm

2) Avf = área de la armadura de corte que atraviesa el plano de corte (mm

2) fy = tensión de fluencia de la armadura (MPa) c = factor de cohesión especificado en el Artículo 5.8.4.2 (MPa) µ = coeficiente de fricción especificado en el Artículo 5.8.4.2 Pc = fuerza de compresión permanente neta normal al plano de corte; si la

fuerza es de tracción Pc = 0,0 (N) f'c = resistencia especificada del hormigón más débil a 28 días (MPa)

La armadura para el corte en las interfases entre hormigones de losas y vigas puede consistir en barras individuales, estribos de múltiples ramas o las ramas verticales de una malla de alambre soldada. El área de la sección transversal Avf de la armadura por unidad de longitud de viga debería satisfacer ya sea el área requerida por la Ecuación 1 o bien:

Page 96: Puentes LRFD

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III-34

y

vvf f

b35.0A ≥ (5.8.4.1-4)

donde: bv = ancho de la interfase (mm) La mínima armadura requerida Avf se puede obviar si Vn/Acv es menor que 0.70 MPa.

En el caso de las vigas, la separación longitudinal entre filas de barras de armadura no deberá ser mayor que 600mm. Si hay una fuerza neta de tracción a través del plano de corte, ésta deberá ser resistida por armadura adicional a la requerida para corte. La armadura de corte por fricción se deberá anclar mediante una longitud embebida, ganchos o soldadura de manera de poder desarrollar la tensión de fluencia especificada a ambos lados del plano de corte. Las barras se deberán anclar tanto en la viga como en la losa.

Cohesión y FricciCohesión y FricciCohesión y FricciCohesión y Fricciónónónón (Art. 5.8.4.2) Para el coeficiente de cohesión, c, y el coeficiente de fricción, µ, se deberán tomar los siguientes valores: • Para el hormigón colocado de forma monolítica:

c = 1,0 MPa µ = 1,4λ

• Para el hormigón colocado contra una superficie limpia de hormigón endurecido a la cual se le ha introducido una rugosidad intencional de 6 mm de amplitud:

c = 0,70 MPa µ = 1,0λ

• Para hormigón colocado contra una superficie de hormigón endurecido limpia y libre de nata, pero a la cual no se le ha introducido una rugosidad intencional:

c = 0,52 MPa µ = 0,6λ

• Para el hormigón anclado a acero estructural sin tratamiento térmico mediante pernos con cabeza o mediante barras de armadura, si todo el acero en contacto con el hormigón está limpio y libre de pintura:

c = 0,17 MPa µ = 0,7λ

Para λ se deberán tomar los siguientes valores:

• Para hormigón de densidad normal 1.00 • Para hormigón de agregados livianos y arena 0.85 • Para todos los demás hormigones de baja densidad 0.75

Page 97: Puentes LRFD

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III-35

Para las ménsulas, cartelas y resaltos horizontales tipo viga, el factor de cohesión, c, se deberá tomar igual a 0,0. Si se utiliza arena para reemplazar parcialmente el agregado, los valores de λ se pueden interpolar linealmente.

Page 98: Puentes LRFD

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III-36

A B

Luz = 8.00 m

8.40 m

Asfalto 2"

SECCIÓN TRANSVERSAL

t

7.60.40 .40

barreraP = 600 kg/m P = 600 kg/m

barrera

t

PPPPROBLEMASROBLEMASROBLEMASROBLEMAS PROBLEMA III.1PROBLEMA III.1PROBLEMA III.1PROBLEMA III.1 Diseñar unDiseñar unDiseñar unDiseñar unaaaa losalosalosalosa de puente de puente de puente de puente simplemente apoyadsimplemente apoyadsimplemente apoyadsimplemente apoyadaaaa de 8.0 m de de 8.0 m de de 8.0 m de de 8.0 m de longitud, con armadura longitud, con armadura longitud, con armadura longitud, con armadura principal principal principal principal paralela al tráficoparalela al tráficoparalela al tráficoparalela al tráfico y la sección transversal que se y la sección transversal que se y la sección transversal que se y la sección transversal que se mumumumuestraestraestraestra. Utilizar concreto f’. Utilizar concreto f’. Utilizar concreto f’. Utilizar concreto f’cccc= = = = 315315315315 kg/cmkg/cmkg/cmkg/cm2222 y fy fy fy fyyyy= 4200 kg/cm= 4200 kg/cm= 4200 kg/cm= 4200 kg/cm2222. . . . La carga viva a utilizar La carga viva a utilizar La carga viva a utilizar La carga viva a utilizar eseseses HLHLHLHL----93. 93. 93. 93. Solución.Solución.Solución.Solución.---- A) A) A) A) PrePrePrePre----dimensionamientodimensionamientodimensionamientodimensionamiento

30

)3000+S(2.1=tmín (Tabla 2.5.2.6.3-1)

m44.030

)30008000(2.1=

+=

Tomamos t = 0.45 m

B) B) B) B) Diseño de franja interiorDiseño de franja interiorDiseño de franja interiorDiseño de franja interior (1.0m de ancho)(1.0m de ancho)(1.0m de ancho)(1.0m de ancho) B.1) Momentos de flexión por cargas

Carga muerta (DC):

wlosa = 0.45m x 1.0m x 2.4 T/m3 = 1.08 T/m

===8

)8(08.18

LwM

22losa

DC 8.64 T-m

Page 99: Puentes LRFD

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III-37

Carga por superficie de rodadura (DW):

wasf 2” = 0.05m x 1.0m x 2.25T/m³ = 0.113T/m

=8

)8(131.0=

8

Lw=M

22"2asf

DW 0.90 T-m

Carga viva (LL):

De la Tabla APÉNDICE II-B, para vehículo HL-93, y con la consideración de carga dinámica (33%) en estado límite de Resistencia I:

MLL+IM = 58.62 T-m Siendo la luz del puente L=8m > 4.6m, el ancho de faja E para carga viva es aplicable (Art. 4.6.2.1.2). El momento se distribuye en un ancho de faja para carga viva E:

Caso de 2 ó más vías cargadas:

11WL12.02100E += ≤ LNW (Art. 4.6.2.3-2)

siendo: L1= el menor de 8m y 18m = 8m= 8000mm W1= el menor de 8.4m y 18m= 8.4m= 8400mm (2 ó más vías) W1= el menor de 8.4m y 9m = 8.4m= 8400mm (para 1 vía) W = ancho total = 8.4m NL= número de vías; en general la parte entera de la relación

w/3.6, siendo w el ancho libre de la calzada (Art. 3.6.1.1.1) = 7.6/3.6 = 2

8400x800012.02100E += ≤ 24.8m

E = 3.08m ≤ 4.20m

Caso de una vía cargada: (incluye el factor de presencia múltiple, C4.6.2.3):

11WL42.0+250=E (Art. 4.6.2.3-2)

8400x800042.0+250=E E = 3.69m

El ancho de faja crítico es E= 3.08m

03.19m08.3

mT62.58M IMLL =

−=+ T-m/m

Page 100: Puentes LRFD

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III-38

0.45 md

z

B.2) Resumen de momentos flectores y criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1)

MOMENTOSMOMENTOSMOMENTOSMOMENTOS POSITIVOSPOSITIVOSPOSITIVOSPOSITIVOS POR CARGASPOR CARGASPOR CARGASPOR CARGAS (FRANJA INTERIOR)(FRANJA INTERIOR)(FRANJA INTERIOR)(FRANJA INTERIOR) CargaCargaCargaCarga M(+) TM(+) TM(+) TM(+) T----mmmm γγγγ

Resistencia I Servicio I Fatiga DC 8.64 1.25 1.0 0 DW 0.90 1.50 1.0 0 LL+IM 19.03 1.75 1.0 0.75

Resistencia I: U = n[1.25DC+1.50DW+1.75(LL+IM)]

Servicio I: U = n[1.0DC+1.0DW+1.0(LL+IM)] Fatiga: U = n[0.75(LL+IM)]

B.3) Cálculo del Acero Para el Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(8.64) + 1.50(0.90) + 1.75(19.03) = 45.45 T-m As principal paralelo al tráfico

Utilizando As ∅1” y recubrimiento r= 2.5cm (Tabla 5.12.3-1)

cm77.3254.2

5.2z =+=

d= 45cm – 3.77cm = 41.23cm

)2a

d(f9.0

M=As

y

u )

2a

23.41(4200x9.0

10x45.45 5

-

= = 30.98 cm2

As157.0100x315x85.0

4200Asxa == = 4.86 cm

La separación será: m16.098.3010.5

s ==

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅1” @ 0.11” @ 0.11” @ 0.11” @ 0.16666mmmm

As máximo (Art. 5.7.3.3.1)

Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42

Como 825.0,cm/kg280fpara70

280f05.085.0 1

2'c

'c

1 =β>

−−=β

c = a / β1 = 4.86 / 0.825 = 5.89 cm de = 41.23 cm

Page 101: Puentes LRFD

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III-39

c /de = 0.14 ≤ 0.42 OK! As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(35.67 kg/cm

2)(33,750 cm3) = 14.45 T-m Siendo:

22'c

'cr cm/kg67.3531501.2cm/kgf01.2MPaf63.0f ====

S = bh2/6 = 100(45)2/6 = 33,750 cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(45.45 T-m) = 60.45 T-m El menor valor es 14.45 T-m y la cantidad de acero calculada (30.98 cm2) resiste Mu=45.45 T-m > 14.45 T-m OK!

As de distribución

S

1750=% ≤ 50% (Art. 9.7.3.2)

%57.19=8000

1750=%

As repart = 0.1957(30.98 cm

2) = 6.06 cm2

Utilizando varillas ∅5/8”, la separación será: m33.006.62

s ==

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅5/8” @ 0.33 m5/8” @ 0.33 m5/8” @ 0.33 m5/8” @ 0.33 m

As de temperatura

]SI[F

A756.0A

y

gtemps = (5.10.8.2-1)

]cm/kg4200fcon,MKS[A0018.0A 2ygtemps ==

2

temps cm1.8)100x45(0018.0A ==

capa/cm05.42/cm1.8A 22temps ==

Utilizando varillas ∅1/2”, la separación será: m32.005.429.1

s ==

smáx = 3t = 3(0.45)= 1.35m (Art.5.10.8) smáx = 0.45m OK! (Art.5.10.8)

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅1/2” @ 0.31/2” @ 0.31/2” @ 0.31/2” @ 0.32222 mmmm

Page 102: Puentes LRFD

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III-40

45 cm

16 cm

b

ddcc1Ø1"@0.16

Nota.- El acero de temperatura se colocará, por no contar con ningún tipo de acero, en la parte superior de la losa, en ambos sentidos.

B.4) Revisión de fisuración por distribución de armadura (Art. 5.7.3.4) Esfuerzo máximo del acero:

y3/1c

sa f6.0)Ad(Z

f ≤= (5.7.3.4-1)

Para el acero principal positivo (dirección paralela al tráfico):

ntorecubrimied)4.3.7.5.Art(cm5

c +=≤

44 344 21

cm254.2

cm5.2dc +=

dc = 3.77cm b = espac. del acero = 16 cm nv = número de varillas = 1

2

v

c cm64.1201

)cm16)(cm77.3x2(n

b)d2(A === (Art. 5.7.3.4)

Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) (Art. 5.7.3.4) = 30,591 Kg/cm

Luego:

23/12sa cm/kg978,3

)cm64.120xcm77.3(

cm/kg591,30f ==

22sa cm/kg520,2)cm/kg4200(6.0f =≤

2

sa cm/kg520,2f =

Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio

nIcM

f ss =

Para el Diseño por Estado Límite de Servicio I, con n= nDnRnI=1:

)M0.1M0.1M0.1(nM IMLLDWDCs +++= (Tabla 3.4.1-1)

Ms = 1.0(1.0x8.64+1.0x0.90+1.0x19.03) Ms = 28.57 T-m/m

Page 103: Puentes LRFD

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III-41

1Ø1"@0.16Ast=7x5.10cm²=35.7cm²

45 cm

16 cm

(+)

(-)

(fs/n)

y

41.23

3.77

c

Para un ancho tributario de 0.16m: Ms = (28.57 T-m/m) (0.16 m) = 4.57 T-m Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm

2 (5.4.3.2) 'cc f344,15E = (5.4.2.4-1)

2c cm/kg329,272315344,15E ==

7cm/kg329,272

cm/kg400,039'2

E

En

2

2

c

s ===

Área de acero transformada: Ast = relación modular x área de acero Ast = 7(5.10 cm

2) = 35.7 cm2 Momentos respecto del eje neutro para determinar y:

16y (y/2) = 35.7(41.23-y)

y = 11.52cm, c=41.23cm-y = 29.71cm Inercia respecto del eje neutro de sección transformada:

3by

cAI3

2st +=

3

)52.11(16)71.29(7.35

32 +=

=39,666cm4 Luego:

25

ss cm/kg396,27x

666,39

71.29x10x57.4n

I

cMf ===

!OKcm/kg520,2fcm/kg396,2f 2sa

2s =<=

Page 104: Puentes LRFD

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III-42

.45

.40 .30 1.80

.77

E=1.47mborde

3.00

0.5P 0.5P(camión ó tandem)

(carga de vía)

CCCC) ) ) ) Diseño de franja Diseño de franja Diseño de franja Diseño de franja de bordede bordede bordede borde

C.1) Ancho de franja para bordes longitudinales de losa Según el Art. 4.6.2.1.4b, el ancho efectivo Eborde en bordes longitudinales se toma como la sumatoria de la distancia entre el borde del tablero y la cara interna de la barrera, mas 0.30m, mas la mitad del ancho de faja E ya especificado. Eborde no deberá ser mayor que E, ni 1.80m. Con E=3.08m tenemos:

m80.1ó)2/m08.3(2

)2/m08.3(m30.0m40.0Eborde ≤++=

m54.1m47.1Eborde ≤=

m47.1Eborde =

C.2) Momentos de flexión por cargas (franja de 1.0m de ancho)

Carga muerta (DC): wlosa = 0.45m x 1.0m x 2.4 T/m

3 = 1.08 T/m El peso de la barrera se asume distribuido en Eborde: wbarrera = 0.600T / 1.47m = 0.41T/m wDC = 1.08T/m + 0.41T/m = 1.49T/m

===8

)8(49.1

8

LwM

22DC

DC 11.92T-m

Carga por superficie de rodadura (DW): wasf 2” = 113 kg/m(1.47m - 0.40m) /1.47m = 82kg/m

===8

)8(082.08

LwM

22"2asf

DW 0.66T-m

Page 105: Puentes LRFD

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III-43

0.45 md

z

Carga viva (LL): Para una línea de ruedas de tándem (crítico) y una porción tributaria de la carga de vía de 3.00m de ancho, de la Tabla APÉNDICE II-B con la consideración de carga dinámica (33%) en estado límite de Resistencia I:

m47.1/m00.3

m77.0m30.0Tm64.733.1xTm33.38x5.0M IMLL

++=+

MLL+IM = 19.19 T-m

C.3) Resumen de momentos flectores y criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1) MOMENTOSMOMENTOSMOMENTOSMOMENTOS POSITIVOSPOSITIVOSPOSITIVOSPOSITIVOS POR CARGASPOR CARGASPOR CARGASPOR CARGAS (FRANJA DE BORDE)(FRANJA DE BORDE)(FRANJA DE BORDE)(FRANJA DE BORDE)

CargaCargaCargaCarga M(+) TM(+) TM(+) TM(+) T----mmmm γγγγ Resistencia I Servicio I Fatiga

DC 11.92 1.25 1.0 0 DW 0.66 1.50 1.0 0 LL+IM 19.19 1.75 1.0 0.75

Resistencia I: U = n[1.25DC+1.50DW+1.75(LL+IM)] Servicio I: U = n[1.0DC+1.0DW+1.0(LL+IM)] Fatiga: U = n[0.75(LL+IM)]

C.4) Cálculo del Acero Para el Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(11.92Tm) + 1.50(0.66Tm) + 1.75(19.19Tm) = 49.47 T-m As principal paralelo al tráfico

Utilizando As ∅1” y recubrimiento r= 2.5cm (Tabla 5.12.3-1)

cm77.3254.2

5.2z =+=

d= 45cm – 3.77cm = 41.23cm

)2a

d(f9.0

M=As

y

u )

2a

23.41(4200x9.0

10x47.49 5

-

= = 33.94cm2

As157.0100x315x85.0

4200Asxa == = 5.33cm

Page 106: Puentes LRFD

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III-44

La separación será: m15.094.3310.5

s ==

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅1” @ 0.11” @ 0.11” @ 0.11” @ 0.15555mmmm

As máximo (Art. 5.7.3.3.1)

Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42

Como 825.0,cm/kg280fpara70

280f05.085.0 1

2'c

'c

1 =β>

−−=β

c = a / β1 = 5.33cm/0.825 = 6.46cm de = 41.23 cm

c /de = 0.16 ≤ 0.42 OK!

As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(35.67kg/cm

2)(33,750cm3) = 14.45T-m Siendo:

22'c

'cr cm/kg67.3531501.2cm/kgf01.2MPaf63.0f ====

S = bh2/6 = 100(45)2/6 = 33,750 cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(49.47T-m) = 65.80T-m El menor valor es 14.45 T-m y la cantidad de acero calculada (33.94 cm2) resiste Mu=49.47 T-m > 14.45 T-m OK!

As de distribución

S1750

=% ≤ 50% (Art. 9.7.3.2)

%57.19=80001750

=%

As repart = 0.1957(33.94 cm

2) = 6.64 cm2

Utilizando varillas ∅5/8”, la separación será: m30.064.62

s ==

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅5/8” @ 0.5/8” @ 0.5/8” @ 0.5/8” @ 0.30303030 mmmm

Nota.- Por facilidad en el colocado se uniformizará este resultado con el obtenido para la franja interior (1Ø5/8”@0.33m), adoptándose 1∅5/8” @ 0.30 m.

Page 107: Puentes LRFD

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III-45

cd

15 cm

c

1Ø1"@0.15

b

d

45 cm

C.5) Revisión de fisuración por distribución de armadura (Art. 5.7.3.4)

Esfuerzo máximo del acero:

y3/1c

sa f6.0)Ad(Z

f ≤= (5.7.3.4-1)

Para el acero principal positivo (dirección paralela al tráfico):

ntorecubrimied)4.3.7.5.Art(cm5

c +=≤

44 344 21

cm254.2

cm5.2dc +=

dc = 3.77cm b = espac. del acero = 15 cm nv = número de varillas = 1

2

v

c cm1.1131

)cm15)(cm77.3x2(n

b)d2(A === (Art. 5.7.3.4)

Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) (Art. 5.7.3.4) = 30,591 Kg/cm Luego:

23/12sa cm/kg064,4

)cm1.113xcm77.3(

cm/kg591,30f ==

22sa cm/kg520,2)cm/kg4200(6.0f =≤

2

sa cm/kg520,2f =

Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio

nIcM

f ss =

Para el Diseño por Estado Límite de Servicio I, con n= nDnRnI=1:

)M0.1M0.1M0.1(nM IMLLDWDCs +++= (Tabla 3.4.1-1)

Ms = 1.0(1.0x11.92Tm+1.0x0.66Tm+1.0x19.19Tm) Ms = 31.77 T-m/m Para un ancho tributario de 0.15m:

Page 108: Puentes LRFD

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III-46

1Ø1"@0.15Ast=7x5.10cm²=35.7cm²

45 cm

y

c

3.77

41.23

15 cm

(-)

(+)

(fs/n)

Ms = (31.77 T-m/m) (0.15 m) = 4.77 T-m Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm

2 (5.4.3.2) 'cc f344,15E = (5.4.2.4-1)

2c cm/kg329,272315344,15E ==

7cm/kg329,272

cm/kg400,039'2

E

En

2

2

c

s ===

Área de acero transformada: Ast = relación modular x área de acero Ast = 7(5.10 cm

2) = 35.7 cm2 Momentos respecto del eje neutro para determinar y:

15y (y/2) = 35.7 (41.23-y)

y = 11.83 cm, c=41.23cm - y = 29.40cm

Inercia respecto del eje neutro de sección transformada:

3by

cAI3

2st +=

3

)83.11(15)40.29(7.35

32 +=

= 39,136 cm4

Luego:

25

ss cm/kg508,27x

136,39

40.29x10x77.4n

I

cMf ===

!OKcm/kg520,2fcm/kg508,2f 2sa

2s =<=

Page 109: Puentes LRFD

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III-47

A

4.0 m

Mmáx

cL3.6 T

4.0 m

B

14.8 T 14.8 T

9.0 m 4.3 m

DDDD) Fatiga) Fatiga) Fatiga) Fatiga

D.1) Carga de Fatiga Se calcula con un camión de diseño, con una separación constante de 9.0 m entre los ejes de 14.8T (Art. 3.6.1.4.1). No se aplica el factor de presencia múltiple (Art. 3.6.1.1.2).

mT6.294

)m0.8(T8.14

4PL

MLL −===

Para el Diseño por Fatiga, con n= nDnRnI=1:

)M75.0(nM IMLLfat += (Tabla 3.4.1-1)

Considerando el ancho efectivo para una sola vía cargada, y IM=0.15 (Tabla 3.6.2.1-1): Mfat = 1.0(0.75x1.15x29.6 T-m) / E Mfat = 25.53 T-m/ 3.69 m = 6.92 T-m/m

D.2) Sección fisurada Se utiliza la sección fisurada si la suma de esfuerzos debido a cargas permanentes no mayoradas más 1.5 veces la carga de fatiga, da por resultado una tensión de tracción

mayor que 'cf25.0 (Art. 5.5.3):

222'

c'ctracc cm/kg20.14cm/kg31580.0cm/kgf80.0MPaf25.0f ====

Esfuerzo debido a cargas permanentes no mayoradas más 1.5 veces la carga de fatiga en una franja interior:

M’fat = 1.0MDC+1.0MDW+1.5Mfat

M’fat = 1.0x8.64+1.0x0.90+1.5x6.92 = 19.92 T-m

Page 110: Puentes LRFD

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III-48

23

5'fat

fat cm/kg02.59cm750,33

cmkg10x92.19

SM

f =−

==

Como ffat = 59.02 kg/cm

2 > 14.20 kg/cm2 , se usará sección agrietada.

D.3) Verificación de esfuerzos Esfuerzo en el refuerzo debido a la carga viva (b= 100 cm)

44ag cm913,247

cm16

cm100xcm666,39I ==

25

ag

fat cm/kg93.82913,247

71.29x10x92.6

I

cMf ===

Como nffnf

f ss =→=

fLL = fs = 7(82.93 kg/cm

2) = 581 kg/cm2 Rango máximo de esfuerzo El esfuerzo mínimo es el esfuerzo por carga viva mínimo combinado con el esfuerzo por carga permanente.

El momento por carga muerta para una franja interior es:

MDL = MDC + MDW = 8.64 T-m + 0.90 T-m = 9.54 T-m El esfuerzo por carga permanente es:

25

ag

DLDL cm/kg800

913,247

71.29x)10x54.9(7

I

cnMf ===

Por ser la losa simplemente apoyada, el esfuerzo por carga viva mínimo es cero. Luego, el esfuerzo mínimo es:

fmín = 0 + 800 kg/cm

2 = 800 kg/cm2 = 78.5 MPa El esfuerzo máximo es el esfuerzo por carga viva máximo combinado con el esfuerzo por cargas permanentes: fmáx = 581kg/cm

2 + 800 kg/cm2 = 1381 kg/cm2 El rango de esfuerzos es: f = fmáx – fmín = 581 kg/cm

2

Page 111: Puentes LRFD

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III-49

A

Luz = 8.00 m

BAs princ: 1" @ 0.16 mAs distrib.

5/8" @ 0.30 m

As temp 1/2" @ 0.32 m

0.45 m

(en bordes: 1" @ 0.15 m)

El rango límite es:

)hr(55f33.0145f min +−≤ (5.5.3.2-1)

Con r/h = 0.3: (Art. 5.5.3)

MPa6.135)3.0(55)5.78(33.0145fmáx =+−= fmáx = 1383 kg/cm

2 > f = 581 kg/cm2 OK!

DISTRIBUCIÓN DE ACERO EN LOSA

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III-50

Luz = 12.00 m

A B

_x=.13

bDiafragma b=.25

.15

Cartelas 9"x6"

S=2% S=2% Asfalto 2"

t

3.603.60

.15.15

.30

.375

0.8252.102.10S'=2.100.825

7.95m

C.G.

PROBLEMA III.2PROBLEMA III.2PROBLEMA III.2PROBLEMA III.2 Diseñar un puente viga simplemente apoyado de 12.00 m de Diseñar un puente viga simplemente apoyado de 12.00 m de Diseñar un puente viga simplemente apoyado de 12.00 m de Diseñar un puente viga simplemente apoyado de 12.00 m de longitud, dos vías. Utilizar concreto f’c= 280 kg/cmlongitud, dos vías. Utilizar concreto f’c= 280 kg/cmlongitud, dos vías. Utilizar concreto f’c= 280 kg/cmlongitud, dos vías. Utilizar concreto f’c= 280 kg/cm2222 y fy= 4200 kg/cmy fy= 4200 kg/cmy fy= 4200 kg/cmy fy= 4200 kg/cm2222. El vehículo . El vehículo . El vehículo . El vehículo usuario es HLusuario es HLusuario es HLusuario es HL----93. 93. 93. 93. Solución.Solución.Solución.Solución.---- Se propone la siguiente sección transversal, constituida por una losa apoyada sobre cuatro vigas, distancia entre ejes de vigas S’= 2.10m, voladizos de aproximadamente 0.4S’=0.84m≈0.825m, y barreras de concreto con perfil tipo New Jersey con un área en su sección transversal= 2028.75cm² (C.G. a 0.13m de la cara vertical): I) DISEÑO DE LA LOSAI) DISEÑO DE LA LOSAI) DISEÑO DE LA LOSAI) DISEÑO DE LA LOSA (As principal perpendicular al tráfico) A) Pre-dimensionamiento de losa Ancho de la viga Siendo: S’ = espaciamiento entre ejes de vigas = 2.10m L = luz del puente = 12m

L'S0157.0b = (Continuos Concrete Bridges, PORTLAND CEMENT ASSOCIATION)

m27.012x10.20157.0b == . Adoptamos b = 0.30 m Espesor de losa

• En tableros de concreto apoyados en elementos longitudinales: tmín= 0.175m (Art. 9.7.1.1)

Page 113: Puentes LRFD

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III-51

0.825 L=2.10 2.10 2.10 0.825

.375

.30

.15

.15

3.60 3.60

t

Asfalto 2"S=2%S=2%

Cartelas 9"x6"

.15 Diafragma b=.25b

x=.13_

A BF

0.4L

C D

Pbarrera barreraP

_x=.13

E G

• Aunque el acero principal es perpendicular al tráfico es posible tomar como en versiones anteriores del AASHTO, la expresión:

mm16530

3000Stmin ≥

+= (Tabla 2.5.2.6.3-1)

mm165mm16030

30001800tmin ≥=

+=

tmín= 0.165m Siendo: S = luz libre de losa = 1800mm

• En voladizos de concreto que soportan barreras de concreto, el espesor mínimo de losa es: tmín= 0.20m (Art. 13.7.3.1.2)

• Teniendo en cuenta las disposiciones sobre el espesor de la losa uniformizamos con t = 0.20mt = 0.20mt = 0.20mt = 0.20m.

B) Criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1) Resistencia I: U = n[(1.25 ó 0.9)DC+(1.50 ó 0.65)DW+1.75(LL+IM)] Servicio I: U = n[1.0DC+1.0DW+1.0(LL+IM)] Conforme al Art. 9.5.3, no es necesario investigar el estado de fatiga en tableros de concreto en vigas múltiples.

C) Momentos de flexión por cargas

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III-52

C.1) Momento NC.1) Momento NC.1) Momento NC.1) Momento Negativoegativoegativoegativo de Diseñode Diseñode Diseñode Diseño Sabiendo que la carga que determina el diseño es la carga viva (LL+IM), antes que las cargas DC y DW significativamente menores, calcularemos el momento negativo en el apoyo interior B para franjas de losa de 1m. El cálculo del momento negativo en los apoyos externos se realizará posteriormente al calcular el volado. 1. Carga Muerta (DC):1. Carga Muerta (DC):1. Carga Muerta (DC):1. Carga Muerta (DC):

Resolviendo la losa continua sobre cuatro apoyos (programa SAP2000) se tiene:

Peso propio de losa: wlosa = 0.20m x 1.0m x 2400 kg/m³ = 480 kg/m

El Art. 4.6.2.1.6 especifica que para momento negativo en construcciones monolíticas de concreto se puede tomar la sección de diseño en la cara del apoyo. Tomamos entonces con respecto al apoyo B, los siguientes resultados del diagrama de momentos:

MDC1 = -178.98 kg-m = -0.18 T-m (en el eje B) MDC1,izq = -117.38 kg-m = -0.12 T-m (cara izq. de B) MDC1,der = -120.66 kg-m = -0.12 T-m (cara der. de B)

Peso de barreras: Pbarrera = 0.202875 m² x 1.0m x 2400 kg/m³ = 487 kg (aplicado en m13.0x = )

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III-53

Tomamos del diagrama de momentos:

MDC2 = +66.84 kg-m = +0.07 Tm (en el eje B) MDC2,izq = +37.89 kg-m = +0.04 Tm (cara izq. de B) MDC2,der = +66.84 kg-m = +0.07 Tm (cara der. de B)

En la mayoración de cargas para el estado límite de Resistencia I, los valores positivos de momento serán multiplicados por γ = 0.9 para obtener en la combinación de cargas el máximo momento negativo.

2. Carga por superficie de rodadura (DW):2. Carga por superficie de rodadura (DW):2. Carga por superficie de rodadura (DW):2. Carga por superficie de rodadura (DW):

Asfalto: wasf 2” = 0.05m x 1.0m x 2250kg/m³ = 113 kg/m

Tomamos del diagrama de momentos:

MDW = -47.47 kg-m = -0.05 T-m (en el eje B) MDW,izq = -30.66 kg-m = -0.03 T-m (cara izq. de B) MDW,der = -33.74 kg-m = -0.03 T-m (cara der. de B)

3. Carga Viva y efecto de Carga Dinámica (LL+IM):3. Carga Viva y efecto de Carga Dinámica (LL+IM):3. Carga Viva y efecto de Carga Dinámica (LL+IM):3. Carga Viva y efecto de Carga Dinámica (LL+IM): MÉTODO A: Proceso AnalíticoMÉTODO A: Proceso AnalíticoMÉTODO A: Proceso AnalíticoMÉTODO A: Proceso Analítico

Haciendo uso de la línea de influencia para momento flector en el apoyo B (ver APÉNDICE II-D) calculamos el momento por carga viva en la sección de máximo momento negativo (apoyo B) colocando los ejes de carga de camión en posiciones críticas:

Page 116: Puentes LRFD

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III-54

)0xm825.0(EATramo ≤≤− x154

MB −=

)m10.2x0(ABTramo ≤≤ x154

x132380

M 3B −=

)m20.4xm10.2(BCTramo ≤≤ 2584

x1546

x76

x1323100

M 23B +−+−=

)m30.6xm20.4(CDTramo ≤≤ 2584

x1526

x216

x132320

M 23B −+−=

)m125.7xm30.6(DGTramo ≤≤ 5021

15x

MB +−=

Para un carril cargado, y afectado del factor de presencia múltiple m (Art. 3.6.1.1.2):

M(-) = [7.4T(-0.215m)+7.4T(-0.164m)]1.2= -2.80 Tm x 1.2 = -3.36T-m

Para dos carriles cargados: M(-)=[7.4T(-0.215m)+7.4T(-0.164m)+7.4(+0.008m)+7.4(0.016m)]1.0 = -2.63 Tm

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III-55

El ancho de franja en que se distribuye es: E(-) = 1220+0.25 S’ (Tabla 4.6.2.1.3-1)

= 1220+0.25(2100)= 1745mm = 1.75m Entonces, el momento negativo crítico en B, incluido el efecto de carga dinámica y el ancho de franja es:

MB(-)LL+IM= - =33.1x75.136.3

-2.55 T-m

Conociendo la posición de cargas que genera el máximo momento negativo en B, calculamos también los momentos en la cara de la viga a la izquierda y derecha resolviendo la losa hiperestática apoyada sobre las cuatro vigas:

De donde se obtiene:

M(-)LL+IM = Tm54.275.1

33.1x2.1x79.2 −=− (en el eje B, similar al valor -2.55Tm

que se obtuvo usando la línea de influencia MB)

M(-)LL+IM, izq = Tm75.175.1

33.1x2.1x92.1 −=− (cara izq. de B)

M(-)LL+IM, der= Tm86.175.1

33.1x2.1x04.2 −=− (cara der. de B)

MÉTODO B: Uso de la TabMÉTODO B: Uso de la TabMÉTODO B: Uso de la TabMÉTODO B: Uso de la Tabla A4la A4la A4la A4----1(AASHTO LRFD)1(AASHTO LRFD)1(AASHTO LRFD)1(AASHTO LRFD) Para S= 2.10 m:

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III-56

En el eje del apoyo B: M(-)LL+IM = mm

mmN780,26

mTm

73.2−=

En cara de viga (a 0.15m): M(-)LL+IM = mm

mmN580,19

mTm

00.2−=

MÉTODO C: De momentos MÉTODO C: De momentos MÉTODO C: De momentos MÉTODO C: De momentos corregidocorregidocorregidocorregidos (ver Apéndice IIIs (ver Apéndice IIIs (ver Apéndice IIIs (ver Apéndice III----A)A)A)A) Utilizamos la línea de influencia de la reacción en el apoyo B (Ver APÉNDICE II-D, para su construcción):

)0xm825.0(EATramo ≤≤− x2116

RB =

)m10.2x0(ABTramo ≤≤ x2116

x3087

200R 3B +−=

)m20.4xm10.2(BCTramo ≤≤ 58

x2164

x147160

x92611000

R 23B −+−=

)m30.6xm20.4(CDTramo ≤≤ 548

x21104

x4940

x9261400

R 23B +−+−=

)m125.7xm30.6(DGTramo ≤≤ 56

x214

RB −=

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III-57

Usando respectivamente las líneas de influencia de momento flector y reacción en el apoyo B, y la Ecuación 2 del Apéndice III-A, determinamos el momento en la cara del apoyo con:

8

RBMM NOLL += (Ecuación 2, Apéndice II-A)

Para un carril cargado: ML = momento negativo de diseño ajustado para carga viva MOL= momento negativo en el apoyo usando cargas de rueda concentradas

= 7.4T(-0.215m)+7.4T(-0.164m) = -2.80 T-m R = reacción del apoyo debido a cargas de rueda concentradas = 7.4T(0.830)+7.4T(0.628) = 10.79T BN = dos veces la distancia desde el eje del apoyo a la sección de diseño negativa = 2(0.15m) = 0.30m

8

)m30.0(T79.10Tm80.2ML +−= =-2.40 T-m

Incluyendo el factor de presencia múltiple m (Art. 3.6.1.1.2) se tendrá:

M(-)=(-2.40 Tm)1.2= -2.88 T-m Para dos carriles cargados: MOL= 7.4T(-0.215m)+7.4T(-0.164m)+7.4T(+0.008m)+7.4T(+0.016m) = -2.63 Tm R = 7.4T(0.830)+7.4T(0.628)+7.4T(-0.022)+7.4T(-0.045) = 10.29T BN = 2(0.15m) = 0.30m

8

)m30.0(T29.10Tm63.2ML +−= =-2.24 T-m

Incluyendo el factor de presencia múltiple m (Art. 3.6.1.1.2) se tiene: M(-)=(-2.24 Tm)1.0= -2.24 T-m

Entonces en la cara de viga, el momento negativo crítico afectado del efecto de carga dinámica y el ancho de franja es:

M(-)LL+IM= - =33.1x75.188.2

-2.19 T m (en cara de viga)

Y en el eje del apoyo B el momento es:

M(-)LL+IM= - =75.133.1

x2.1x80.2 -2.55 T m

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III-58

Resultados: M(M(M(M(----))))LL+IMLL+IMLL+IMLL+IM en en en en B, unidades: TB, unidades: TB, unidades: TB, unidades: T----mmmm

COMPARACIÓN M( - )LL+IM, izq M( - )LL+IM, eje B M( - )LL+IM, der MÉTODO A -1.75 -2.54 -1.86 MÉTODO B -2.00 -2.73 -2.00 MÉTODO C -2.19 -2.55 -2.19

Optaremos por la solución que ofrece el Método A, aunque es posible optar por cualquiera de los otros métodos. Observar que los resultados del Método C son una aproximación a lo encontrado con detalle por el Método A y que el Método B siendo más conservador, simplifica considerablemente el proceso de diseño.

RESUMEN DE MOMENTOSRESUMEN DE MOMENTOSRESUMEN DE MOMENTOSRESUMEN DE MOMENTOS NEGATIVOS NEGATIVOS NEGATIVOS NEGATIVOS POR CARGASPOR CARGASPOR CARGASPOR CARGAS EN BEN BEN BEN B Carga Tipo M(-) izq

T-m M(-) eje T-m

M(-) der T-m

γ(Resistencia I)

Losa DC1 -0.12 -0.18 -0.12 1.25 Barrera DC2 +0.04 +0.07 +0.07 0.9 Asfalto DW -0.03 -0.04 -0.03 1.5 Carga viva LL+IM -1.75 -2.54 -1.86 1.75 Para el Diseño por Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[(1.25 ó 0.9)MDC+(1.50 ó 0.65)MDW+1.75M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) En el eje B: Mu = 1.25(-0.18)+0.9(0.07)+1.50(-0.05)+1.75(-2.54)= -4.68 T-m En cara de viga izquierda:

Mu = 1.25(-0.12)+0.9(0.04)+1.50(-0.03)+1.75(-1.75)= -3.22 T-m En cara de viga derecha:

Mu = 1.25(-0.12)+0.9(0.07)+1.50(-0.03)+1.75(-1.86)= -3.39 T-m El acero negativo será diseñado con este último valor de momento que es el mayor de las dos caras de viga.

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III-59

C.2) Momento PC.2) Momento PC.2) Momento PC.2) Momento Positivoositivoositivoositivo de Diseñode Diseñode Diseñode Diseño La carga que determina el diseño es la carga viva (LL+IM), antes que las cargas DC y DW significativamente menores. El máximo momento positivo por carga viva ocurre en los tramos CDóAB , a 0.4L de un apoyo exterior (L es la longitud de tramos), en una sección tal como F. En base a esa sección se realizará el diseño para momento positivo en franjas de losa de 1m. Las expresiones para la línea de influencia del momento flector en la sección F (ver APÉNDICE II-D) son:

)0xm825.0(EATramo ≤≤− x7537

MF =

)m84.0x0(AFTramo ≤≤ x7537

x132332

M 3F +=

)m10.2xm84.0(FBTramo ≤≤ 2521

x7538

x132332

M 3F +−=

)m20.4xm10.2(BCTramo ≤≤ 125168

x7592

x3512

x132340

M 23F +−+−=

)m30.6xm20.4(CDTramo ≤≤ 125168

x7552

x10512

x13238

M 23F −+−=

)m125.7xm30.6(DGTramo ≤≤ 12521

x752

MF +−=

Con la línea de influencia y las cargas que actúan en la losa, calculamos los momentos en la sección de máximo momento positivo (a 0.4L): 1. Carga Muerta (DC):1. Carga Muerta (DC):1. Carga Muerta (DC):1. Carga Muerta (DC):

Del diagrama de momentos en losa por peso propio, en la sección F (x = 0.4L):

MDC1 = 84.42 kg-m = 0.08 T-m Igualmente para las barreras:

MDC2 = -176.34 kg-m = -0.18 T-m

En la mayoración de cargas para el estado límite de Resistencia I, a este último valor por ser negativo lo multiplicaremos por γ = 0.9, para obtener en la combinación de cargas el máximo momento positivo.

2. Carga por superficie de rodadura (DW):2. Carga por superficie de rodadura (DW):2. Carga por superficie de rodadura (DW):2. Carga por superficie de rodadura (DW):

Del diagrama de momentos en losa por carga de asfalto, en la sección F (x = 0.4L):

MDW = 33.95kg-m = 0.03T-m

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III-60

3. Carga Viva y efect3. Carga Viva y efect3. Carga Viva y efect3. Carga Viva y efecto de Carga Dinámica (LL+IM):o de Carga Dinámica (LL+IM):o de Carga Dinámica (LL+IM):o de Carga Dinámica (LL+IM): MÉTODO A: Proceso analíticoMÉTODO A: Proceso analíticoMÉTODO A: Proceso analíticoMÉTODO A: Proceso analítico

Para un carril cargado, y con el factor de presencia múltiple m (Art. 3.6.1.1.2):

M(+)= [7.4T(0.429m)+7.4T(-0.061m)]1.2= 2.723T-m x 1.2=3.27 T-m

Para dos carriles cargados:

M(+)=[7.4T(0.429m)+7.4T(-0.061m)+7.4(0.007m)+7.4(0.004)]1.0 = 2.80 T-m

El ancho de franja en que se distribuye es:

E(+)= 660+0.55 S’ (Tabla 4.6.2.1.3-1)

= 660+0.55(2100)= 1815 mm = 1.82 m Entonces, el momento positivo crítico considerando el efecto de carga dinámica (33% para el Estado Límite de Resistencia) y el ancho de franja, es:

M(+)LL+IM= Tm39.233.1x82.127.3

=

Page 123: Puentes LRFD

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III-61

MÉTODO B: Uso de la Tabla A4MÉTODO B: Uso de la Tabla A4MÉTODO B: Uso de la Tabla A4MÉTODO B: Uso de la Tabla A4----1(AASHTO LRFD)1(AASHTO LRFD)1(AASHTO LRFD)1(AASHTO LRFD) Para S= 2.10 m:

M(+)LL+IM= mm

mmN23380 =

m

mT38.2

MÉTODO C: De momentos corregidos (Ver Apéndice IIIMÉTODO C: De momentos corregidos (Ver Apéndice IIIMÉTODO C: De momentos corregidos (Ver Apéndice IIIMÉTODO C: De momentos corregidos (Ver Apéndice III----A)A)A)A) Para un carril cargado: Usando la línea de influencia de momento flector en x=0.4L, y la Ecuación 1 del Apéndice III-A, se puede reducir el momento para el eje vehicular que coincide con la ordenada máxima (en x = 0.4L) extendiendo la carga de rueda en un ancho de 0.51m más el grosor de la losa (Art. 4.6.2.1.6) con:

8

PBMM POLL −= (Ecuación 1, Apéndice III-A)

Donde: ML = momento positivo de diseño ajustado por carga viva para un eje MOL= momento positivo usando cargas de rueda concentradas = 7.4T(0.429) = 3.17 T-m P = carga de rueda concentrada en el punto de interés = 7.4T BP = longitud de base de la carga de rueda extendida (0.51m más el peralte de la losa) = 0.51m + 0.20m = 0.71m

8

)m71.0(T4.7Tm17.3ML −= =2.51T-m

Para el otro eje vehicular la modificación es despreciable, por lo que incluyendo el factor de presencia múltiple m (Art. 3.6.1.1.2) se tendrá: M(+)= [2.51Tm+7.4T(-0.061m)]1.2= 2.47T-m

Para dos carriles cargados:

M(+)= [2.51Tm+7.4T(-0.061m)+7.4T(0.007m)+7.4T(0.004)]1.0 = 2.14 T-m

Entonces el momento positivo crítico, afectado del efecto de carga dinámica (33% para el Estado Límite de Resistencia) y el ancho de franja, es:

M(+)LL+IM= mT81.133.1x82.147.2

−=

Page 124: Puentes LRFD

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III-62

d 0.20 m

z

Resultados: M(M(M(M(++++))))LL+IMLL+IMLL+IMLL+IM en en en en F, unidades: TF, unidades: TF, unidades: TF, unidades: T----mmmm COMPARACIÓN M(+)LL+IM MÉTODO A +2.39 MÉTODO B +2.38 MÉTODO C +1.81

Optaremos en este caso conservadoramente por los resultados del Método A. Notar que el Método C en este caso logra menores valores al tratar las cargas de eje como cargas extendidas antes que puntuales, situación permitida por el Reglamento AASHTO (Art. 4.6.2.1.6).

RESUMEN DE MOMENTOSRESUMEN DE MOMENTOSRESUMEN DE MOMENTOSRESUMEN DE MOMENTOS POSITIVOSPOSITIVOSPOSITIVOSPOSITIVOS POR CARGASPOR CARGASPOR CARGASPOR CARGAS EN FEN FEN FEN F Carga Tipo M(+) T-m γ(Resistencia I)

Losa DC1 0.08 1.25 Barrera DC2 -0.18 0.9 Asfalto DW 0.03 1.5 Carga viva LL+IM 2.39 1.75 Para el Diseño por Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[(1.25 ó 0.9)MDC+(1.50 ó 0.65)MDW+1.75M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(0.08)+0.9(-0.18)+1.50(0.03)+1.75(2.39)= +4.17 T-m

D) Cálculo del Acero

D.1) Acero Negativo (perpendicular al tráfico) Mu =-3.39 T-m Utilizando As ∅ ½” y recubrimiento r= 5.0 cm (Tabla 5.12.3-1)

cm64.5227.1

0.5z =+=

d= 20cm – 5.64cm = 14.36cm

25

s cm50.6)

2a

36.14(4200x9.0

10x39.3)(A =

=−

cm14.1100x280x85.0

4200Asxa ==

Utilizando varillas ∅1/2”, la separación será: m20.050.629.1

s ==

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅1/2” @ 0.20m1/2” @ 0.20m1/2” @ 0.20m1/2” @ 0.20m

As máximo (Art. 5.7.3.3.1)

Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42

Page 125: Puentes LRFD

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III-63

d

z0.20 m

Como: c = a / β1 = 1.14 / 0.85 = 1.34 cm de = 14.36cm

c /de = 0.09 ≤ 0.42 OK!

As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2(fr S) = 1.2(33.63 kg/cm

2)(6,667 cm3) = 2.69 T-m Siendo:

22'c

'cr cm/kg63.3328001.2cm/kgf01.2MPaf63.0f ====

S = bh2/6 = 100(20)2/6 = 6,667cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(3.39T-m) = 4.51T-m

El menor valor es 2.69T-m y la cantidad de acero calculada (6.50cm2) resiste: Mu=3.39T-m > 2.69T-m OK!

D.2) Acero Positivo (perpendicular al tráfico)

Mu =+4.17 T-m Utilizando As ∅ ½” y recubrimiento r= 2.5 cm (Tabla 5.12.3-1)

cm14.3227.1

5.2z =+=

d= 20cm – 3.14cm = 16.86cm

25

s cm78.6)

2a

86.16(4200x9.0

10x17.4)(A =

=+

cm19.1100x280x85.0

4200Asxa ==

Utilizando varillas ∅1/2”, la separación será: m19.078.629.1

s ==

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅1/2” @ 0.19 m1/2” @ 0.19 m1/2” @ 0.19 m1/2” @ 0.19 m

As máximo (Art. 5.7.3.3.1)

Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42

Page 126: Puentes LRFD

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III-64

Como: c = a / β1 = 1.19 / 0.85 = 1.40 cm de = 16.86 cm

c /de = 0.08 ≤ 0.42 OK!

As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2(fr S) = 1.2(33.63 kg/cm

2)(6,667 cm3) = 2.69 T-m Siendo:

22'c

'cr cm/kg63.3328001.2cm/kgf01.2MPaf63.0f ====

S = bh2/6 = 100(20)2/6 = 6,667 cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(4.17T-m) = 5.55T-m

El menor valor es 2.69T-m y la cantidad de acero calculada (6.78cm2) resiste: Mu=4.17T-m > 2.69T-m OK!

D.3) As de temperatura

]SI[F

A756.0A

y

gtemps = (5.10.8.2-1)

]cm/kg4200fcon,MKS[A0018.0A 2ygtemps ==

2

temps cm60.3100x20x0018.0A ==

En dos capas se colocará: capa/cm80.12

cm60.3 22

=

Utilizando varillas ∅3/8”, la separación será: m39.080.171.0

s ==

smáx = 3t = 3(0.20)= 0.60m (Art.5.10.8)

smáx = 0.45m (Art.5.10.8)

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅3/8” @ 0.39 m3/8” @ 0.39 m3/8” @ 0.39 m3/8” @ 0.39 m

Nota.- El acero de temperatura se colocará, por no contar con ningún tipo de acero, en la parte superior de la losa, en el sentido del tráfico.

Page 127: Puentes LRFD

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III-65

-As princ. 1/2" @ 0.20m

0.20 m

As temp 3/8" @ 0.39m

As distrib. 1/2" @ 0.28m

SECCIÓN DE LOSA APOYADA EN VIGAS

+As princ 1/2" @ 0.19m

D.4) As de distribución En la parte inferior de las losas se coloca armadura en la dirección secundaria en un porcentaje del acero positivo igual a:

S

3840% = ≤ 67% (Art. 9.7.3.2)

S = distancia entre cara de vigas = 1.80m = 1800mm

67.0%%67%51.901800

3840% =∴>==

As repart = 0.67(6.78cm

2) = 4.54cm2

Utilizando varillas ∅1/2”, la separación será: m28.054.429.1

s ==

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅1/1/1/1/2” @ 0.28m2” @ 0.28m2” @ 0.28m2” @ 0.28m

Nota.- El C4.6.2.1.6, establece: “anteriormente ha sido una práctica no chequear el cortante en tableros típicos…No es la intención exigir que se investigue el corte en todos los tableros”. El Art. 5.14.4.1 señala que las losas y los puentes de losa diseñados para momento de acuerdo con el Art. 4.6.2.3 se pueden considerar satisfactorios desde el punto de vista del corte. Por tales consideraciones no efectuamos en este caso la revisión por corte.

E) Revisión de fisuración por distribución de armadura (Art. 5.7.3.4) E.1) Acero negativo

Esfuerzo máximo del acero:

y3/1c

sa f6.0)Ad(Z

f ≤= (5.7.3.4-1)

Page 128: Puentes LRFD

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III-66

20 cm

d

20 cm

dcc

1Ø1/2"@0.20

ntorecubrimied)4.3.7.5.Art(cm5

c +=≤

44 344 21

cm227.1

cm5dc +=

dc = 5.64cm b = espac. del acero = 20cm nv = número de varillas = 1

2

v

c cm60.2251

)cm20)(cm64.5x2(n

b)d2(A === (Art. 5.7.3.4)

Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) (Art. 5.7.3.4) = 30,591 Kg/cm Luego:

23/12sa cm/kg823,2

)cm60.225xcm64.5(

cm/kg591,30f ==

22sa cm/kg520,2)cm/kg4200(6.0f =≤

2sa cm/kg520,2f =

Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio

nI

cMf ss =

Para el Diseño por Estado Límite de Servicio I, con n= nDnRnI=1:

)M0.1M0.1M0.1(nM IMLLDWDCs +++= (Tabla 3.4.1-1)

Ms = 1.0[1.0x(-0.12+0.07)+1.0x(-0.03)+1.0x(-1.86)] Ms = -1.94 T-m, para un metro de franja. Luego: Ms = (-1.94T-m/m) (0.20m) =-0.39T-m Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm

2 (5.4.3.2)

'cc f344,15E = (5.4.2.4-1)

2c cm/kg754,256280344,15E ==

8cm/kg754,256

cm/kg400,039'2

EE

n 2

2

c

s ===

Page 129: Puentes LRFD

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III-67

c=14.36-y

y

1Ø12" = 1.29cm (Ast=8x1.29=10.32cm )

E.N.14.36 20 cm

5.64

2

(fs/n)

20 cm

2

19 cm

cd

20 cm

cd

1Ø1/2"@0.19

b

Área de acero transformada: Ast = relación modular x área de acero Ast = 8(1.29 cm

2) = 10.32 cm2 Momentos respecto del eje neutro para determinar y:

20y (y/2) = 10.32(14.36-y) y = 3.37cm, c= 10.99cm

Inercia respecto del eje neutro de sección transformada:

3by

cAI3

2st +=

3

)37.3(20)99.10(32.10

32 +=

= 1,502 cm4

Luego:

25

ss cm/kg283,28x

1502

99.10x10x39.0n

I

cMf ===

!OKcm/kg520,2fcm/kg283,2f 2

sa2

s =<= E.2) Acero positivo:

Esfuerzo máximo del acero:

y3/1c

sa f6.0)Ad(Z

f ≤= (5.7.3.4-1)

ntorecubrimied)4.3.7.5.Art(cm5

c +=≤

44 344 21

cm227.1

cm5.2dc +=

dc = 3.14cm

Page 130: Puentes LRFD

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III-68

b = espac. del acero = 19cm nv = número de varillas = 1

2

v

c cm32.1191

)cm19)(cm14.3x2(

n

b)d2(A === (Art. 5.7.3.4)

Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) (Art. 5.7.3.4) = 30,591 Kg/cm

Luego: 23/12sa cm/kg243,4

)cm32.119xcm14.3(

cm/kg591,30f ==

22sa cm/kg520,2)cm/kg4200(6.0f =≤

2sa cm/kg520,2f =

Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio

nI

cMf ss =

Para el Diseño por Estado Límite de Servicio I, con n= nDnRnI=1:

)M0.1M0.1M0.1(nM IMLLDWDCs +++= (Tabla 3.4.1-1)

Ms = 1.0[1.0x(0.08-0.18)+1.0x(0.03)+1.0x(2.39)] Ms = 2.32T-m, para un metro de franja.

Luego: Ms = (2.32T-m/m) (0.19m) =0.44T-m Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm

2 (5.4.3.2)

'cc f344,15E = (5.4.2.4-1)

2

c cm/kg754,256280344,15E ==

8cm/kg754,256

cm/kg400,039'2

EE

n 2

2

c

s ===

Page 131: Puentes LRFD

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III-69

1Ø1/2"@0.19Ast=8x1.29cm²=10.32cm²

c=16.86-y

(-)

19 cm

3.14

16.86

y

20 cm

(fs/n)

(+)

Área de acero transformada: Ast = relación modular x área de acero Ast = 8(1.29 cm

2) = 10.32 cm2 Momentos respecto del eje neutro para determinar y:

19y (y/2) = 10.32(16.86-y) y = 3.77cm, c= 13.09cm

Inercia respecto del eje neutro de sección transformada:

3by

cAI3

2st +=

3

)77.3(19)09.13(32.10

32 +=

= 2,108cm4 Luego:

25

ss cm/kg186,28x

108,2

09.13x10x44.0n

I

cMf ===

!OKcm/kg520,2fcm/kg186,2f 2

sa2

s =<=

Page 132: Puentes LRFD

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III-70

.15Diafragma b=0.25

2.10 m

0.30

h= 0.85.23

.15.20

Asfalto 2"

II) DISEÑO DE VIGA PRINCIPAL INTERIORII) DISEÑO DE VIGA PRINCIPAL INTERIORII) DISEÑO DE VIGA PRINCIPAL INTERIORII) DISEÑO DE VIGA PRINCIPAL INTERIOR A) Pre-dimensionamiento hmin = 0.070L (Tabla 2.5.2.6.3-1) hmin = 0.070(12)= 0.84m Tomamos h = 0.85m B) Momentos de flexión por cargas (viga interior)

Considerando vigas diafragmas en apoyos y en el centro de luz, tenemos: Carga muerta (DC):

Cargas distribuidas wlosa = 0.20 x 2.10 x 2400 = 1008 kg/m wviga = 0.65 x 0.30 x 2400 = 468 kg/m wcartelas= 2(0.5 x 0.15 x 0.23)x2400 = 83 kg/m

wDC = 1559 kg/m

===8

)12(559.18

LwM

22DC

1DC 28.06T-m

Cargas puntuales Colocando tres diafragmas a lo largo de toda la viga, dos en apoyos y uno en el centro de luz, se tiene: Pdiaf = (0.85-0.20-0.15)(2.10-0.30)(0.25)(2400)=540 kg

mT62.14

)m12(T54.0

4

LPM diaf

2DC −===

Luego MDC = MDC1+ MDC2 = 28.06+1.62 =29.68 T-m

Carga por superficie de rodadura (DW):

wasf 2” = 0.05 x 2250 x 2.10 = 236 kg/m

===8

)12(236.08

LwM

22DW

DW 4.25 T-m

Carga viva y efecto de carga dinámica (LL+IM): De la Tabla APÉNDICE II-B, para vehículo HL-93, y con la consideración de carga

dinámica en estado límite de resistencia:

MLL+IM = 98.83 T-m

Page 133: Puentes LRFD

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III-71

0.30

2.10 m

c

0.85

.20

.65e=0.425g

El % de momento g que se distribuye a una viga interior es: Caso de un carril cargado:Caso de un carril cargado:Caso de un carril cargado:Caso de un carril cargado:

1.0

3s

g3.04.0

Lt

K

LS

4300S

06.0g

+= (Tabla 4.6.2.2.2b-1)

Cálculo de

1.0

3s

g

Lt

K

:

0.1E

En

losa

viga==

43

viga cm563,68612

)65(30I ==

2viga cm1950)65(30A ==

cm5.42eg =

422

gvigavigag cm751,208'4])5.42(1950563,686[1)eAI(nK =+=+=

Luego: 921.0)cm20(cm1200

cm175,208'4

Lt

K1.0

3

41.0

3s

g=

=

470.0)921.0(200012100

43002100

06.0g3.04.0

=

+=

Caso de dos carriles cargados:Caso de dos carriles cargados:Caso de dos carriles cargados:Caso de dos carriles cargados:

1.0

3s

g2.06.0

Lt

K

LS

2900S

075.0g

+= (Tabla 4.6.2.2b-1)

( ) 611.0921.0120002100

29002100

075.0g2.06.0

=

+= (CRÍTICO)

MLL+IM= 0.611(98.83 T-m) = 60.39 T-m

C) Resumen de momentos flectores y criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1)

RESUMEN DE MOMENTOSRESUMEN DE MOMENTOSRESUMEN DE MOMENTOSRESUMEN DE MOMENTOS POSITIVOSPOSITIVOSPOSITIVOSPOSITIVOS POR CARGASPOR CARGASPOR CARGASPOR CARGAS CargaCargaCargaCarga M(+) TM(+) TM(+) TM(+) T----mmmm γγγγ

Resistencia I Servicio I Fatiga DC 29.68 1.25 1.0 0 DW 4.25 1.50 1.0 0 LL+IM 60.39 1.75 1.0 0.75

Resistencia I: U = n[1.25DC+1.50DW+1.75(LL+IM)]

Servicio I: U = n[1.0DC+1.0DW+1.0(LL+IM)] Fatiga: U = n[0.75(LL+IM)]

Page 134: Puentes LRFD

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III-72

2" 2"

0.30 m

3.5"0.5"

z

1.5"1.0"1.0"0.5"2"

3.5"

b=2.10 m

b=0.30

h= 0.85

.20c

z

D) Cálculo del Acero Principal (Diseño como viga T, ver APÉNDICE III-A) Para el Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(29.68) + 1.50(4.25) + 1.75(60.39) = 149.16 T-m

Según el procedimiento de diseño para vigas T señalado en el Apéndice III-B, se tiene:

Ancho efectivo de viga T (Art. 4.6.2.6), el menor valor de:

� L/4= 12/4 = 3.00m � 12tf+ tw= 12(0.20)+0.30= 2.70m � S= 2.10m

Luego b= 2.10m

Suponiendo c= t= 0.20m a= 0.85c= 0.85(20)= 17cm

Utilizando As=12∅1” con la distribución mostrada, estribos ∅ 1/2” y recubrimiento r= 5.0 cm (2”) (Tabla 5.12.3-1) Cálculo de “z” : Tomando momentos en la base de la viga, siendo A=5.10 cm2: (12A) z = (4A)(3.5”)+(4A)(7”)+(2A)(3”)+(2A)(6.5”)

z= 5.083” =12.91 cm d= 85cm – 12.91cm = 72cm

)2a

d(f9.0

M=As

y

u 25

cm14.62)

217

72(4200x9.0

10x16.149=

=

00411.0)72(210

14.62bd

As ===ρ

Page 135: Puentes LRFD

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III-73

cm20cm16.6280x85.0

72x4200x00411.0x18.1

f85.0

df18.1c

'c

y<===

ρ

∴Se diseñará como viga rectangular

25

cm68.56)

2a

72(4200x9.0

10x16.149As =

= (Con 12∅1” As=61.2cm2)

cm76.4210x280x85.0

4200Asxa ==

As máximo (Art. 5.7.3.3.1) Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42 Como: c = a / β1 = 4.76 / 0.85 = 5.60 cm de = 72 cm

c /de = 0.08 < 0.42 OK! As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(33.63 kg/cm

2)(252,875cm3) = 102.05T-m Siendo:

222'c

'cr cm/kg63.33cm/kg28001.2cm/kgf01.2MPaf63.0f ====

S = bh2/6 = 210(85)2/6 = 252,875cm3

b) 1.33 Mu= 1.33(149.16T-m) = 198.38T-m El menor valor es 102.05T-m y la cantidad de acero calculada (56.68cm2) resiste Mu=149.16T-m > 102.05T-m OK!

USAR 12USAR 12USAR 12USAR 12∅∅∅∅1”1”1”1”

Armadura de contracción y temperatura en caras laterales (Art. 5.10.8) En el alma de la viga T:

]SI[F

A756.0A

y

gtemps = (5.10.8.2-1)

]cm/kg4200fcon,MKS[A0018.0A 2ygtemps ==

2

temps cm51.3)2085(x30x0018.0A =−=

Page 136: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

III-74

As=12Ø1"

2Ø 5/8"

0.30

0.85

.20

12.91dccd

6.646.27

12Ø1"

b=30 cm

b=210 cm

85 cm

20

cara/cm76.1A 2

temps =

Usaremos por cara: 1 Ø 5/8” (2.00cm2), con la consideración:

cm45sycm90)30(3t3s máxmáx ==== OK!

E) Revisión de fisuración por distribución de armadura (Art. 5.7.3.4) Esfuerzo máximo del acero:

y3/1c

sa f6.0)Ad(Z

f ≤= (5.7.3.4-1)

Para el acero positivo:

Øestriborecubd)4.3.7.5.Art(cm5

c ++=≤

444 3444 21

cm64.6cm27.1cm5dcm5

c ++=≤

44 344 21

dc = 5cm + 6.64cm = 11.64cm bw = ancho del alma = 30 cm nv = número de varillas = 12

2

v

wc cm20.5812

)cm30)(cm64.11x2(

n

b)d2(A === (Art. 5.7.3.4)

Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) (Art. 5.7.3.4) = 30,591 Kg/cm Luego:

23/12sa cm/kg483,3

)cm20.58xcm64.11(

cm/kg591,30f ==

22sa cm/kg520,2)cm/kg4200(6.0f =≤

2sa cm/kg520,2f =

Page 137: Puentes LRFD

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III-75

b=30 cm

b=210 cm

20

Ast=8x61.2 cm² =489.6 cm²

c=72-y 72

E.N. y

(+)

(fs/n)

Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio

nI

cMf ss =

Para el Diseño por Estado Límite de Servicio I, con n= nDnRnI=1:

)M0.1M0.1M0.1(nM IMLLDWDCs +++= (Tabla 3.4.1-1)

Ms = 1.0(1.0x29.68+1.0x4.25+1.0x60.39) Ms = 94.32T-m Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm

2 (5.4.3.2) 'cc f344,15E = (5.4.2.4-1)

2c cm/kg754,256280344,15E ==

8cm/kg754,256

cm/kg400,039'2

EE

n 2

2

c

s ===

Área de acero transformada: Ast = relación modular x área de acero = 8(61.20 cm2) = 489.6 cm2 Momentos respecto del eje neutro para determinar y:

210y (y/2) = 489.6 (72-y) y = 16.14cm, c= 72-y = 55.86cm

Inercia respecto del eje neutro de sección transformada:

3by

cAI3

2st +=

3

)14.16(210)86.55(6.489

32 +=

= 1’822,031cm4

Page 138: Puentes LRFD

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III-76

A

6.0 m

Mmáx

cL3.6 T

6.0 m

B

14.8 T 14.8 T

9.0 m 4.3 m

R=18.4 T

.42.42

R=8.56 TA

R=9.84 TB

Luego:

25

ss cm/kg313,28x

031,822'1

86.55x10x32.94n

I

cMf ===

!OKcm/kg520,2fcm/kg313,2f 2

sa2

s =<=

F) Fatiga

F.1) Carga de Fatiga Para el Diseño por Fatiga, con n= nDnRnI=1:

)M75.0(nM IMLLfat += (Tabla 3.4.1-1)

Se calcula con un camión de diseño, con una separación constante de 9.0 m entre los ejes de 14.8T (Art. 3.6.1.4.1). No se aplica el factor de presencia múltiple (Art. 3.6.1.1.2).

mT76.47)m42.0m6(T56.8MLL −=−=

Considerando la distribución g de sobrecarga para un solo carril, y eliminando el factor de presencia múltiple de 1.2 (Art. 3.6.1.1.2), se tiene:

392.02.1/470.0gfat == MLL = 47.76 T-m x 0.392 = 18.72 T-m Luego, para el diseño por fatiga con IM=0.15 (Tabla 3.6.2.1-1): Mfat = 1.0(0.75x1.15x18.72 T-m) Mfat = 16.15 T-m

Page 139: Puentes LRFD

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III-77

F.2) Sección fisurada Se utiliza la sección fisurada si la suma de esfuerzos debido a cargas permanentes no mayoradas más 1.5 veces la carga de fatiga, da por resultado una tensión de tracción

mayor que 'cf25.0 (Art. 5.5.3):

Esfuerzo debido a cargas permanentes no mayoradas más 1.5 veces la carga de fatiga en una viga interior:

M’fat = 1.0MDC+1.0MDW+1.5Mfat

M’fat = 1.0x29.68Tm+1.0x4.25Tm+1.5x16.15Tm = 58.16 T-m

222'c

'ctracc cm/kg39.13cm/kg28080.0cm/kgf80.0MPaf25.0f ====

23

5'fat

fat cm/kg00.23cm875,252

cmkg10x16.58

S

Mf =

−==

Como ffat = 23.00 kg/cm

2 > 13.39 kg/cm2, se usará sección agrietada.

F.3) Verificación de esfuerzos Esfuerzo en el refuerzo debido a la carga viva Con c= 55.86cm y 4

ag cm031,822'1I = (ver revisión de fisuración):

25

ag

fat cm/kg51.49031,822'1

86.55x10x15.16

I

cMf ===

Como nffn

ff s

s =→=

fLL = fs = 8(49.51kg/cm

2) = 396kg/cm2 Rango máximo de esfuerzo El esfuerzo mínimo es el esfuerzo por carga viva mínimo combinado con el esfuerzo por carga permanente.

El momento por carga muerta para la viga interior es:

MDL = MDC + MDW = 29.68T-m + 4.25T-m = 33.93T-m El esfuerzo por carga permanente es:

25

ag

DLDL cm/kg832

031,822'1

86.55x)10x93.33(8

I

cnMf ===

Por ser viga simplemente apoyada, el esfuerzo por carga viva mínimo es cero.

Page 140: Puentes LRFD

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III-78

seccion critica por cortante

v

Eje del apoyo

.12 .1255

L=12m

Dispositivo de apoyo

el mayor de0.5d ctgv

d

Luego, el esfuerzo mínimo es:

fmín = 0 + 832kg/cm2 = 832kg/cm2 = 81.6MPa

El esfuerzo máximo es el esfuerzo por carga viva máximo combinado con el esfuerzo por cargas permanentes: fmáx = 396kg/cm

2 + 832kg/cm2 = 1228kg/cm2 El rango de esfuerzos es: f = fmáx – fmín = 396kg/cm

2 El rango límite es:

)hr(55f33.0145f min +−≤ (5.5.3.2-1)

Con r/h = 0.3: (Art. 5.5.3)

2máx cm/kg1373MPa6.134)3.0(55)6.81(33.0145f ==+−≤

Como el rango de esfuerzos f = 396 kg/cm2 < 1373kg/cm2 OK!

G) Diseño por Corte (viga interior) Sección crítica por corte cerca al apoyo extremo De acuerdo al Art. 5.8.3.2, cuando la reacción en dirección del cortante aplicado introduce compresión en la región extrema, la sección crítica por corte se localiza con el mayor valor de 0.5dvcot� o dv, desde la cara interna del apoyo.

Determinación del peralte efectivo por corte (Art. 5.8.2.9)

� = 45° (procedimiento simplificado, Art. 5.8.3.4)

cm62.69276.4

722a

defectivocortedeperalted ev =−=−==

no menor que el 0.90de= 0.90(72 cm) = 64.8 cm OK! mayor valor de 0.72h = 0.72(85 cm) = 61.2 cm

La sección crítica por corte se ubica desde el eje del apoyo en:

Page 141: Puentes LRFD

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III-79

R=23.05 TA

A

12 m

B

14.8 T 14.8 T 3.6 T4.30 4.300.82 2.58

1.20

11.2 T 11.2 T

B

12 m

R=19.75 T

A

0.82

A

R=5.00 TA

12 m

0.82

A0.960 T/m

B

Posicion de cortante maximo a 0.82m del eje de apoyo

´´

10,164 kg

12 m

0.82

A

w = 1559 kg/m

B

DC

540 kg 540 kg 540 kg

1416 kg

12 m

A B

w =236 kg/m0.82DW

0.125m+0.6962m = 0.82 m

A la distancia 0.82m: Carga muerta (DC) Con wDC=1559kg/m y Pdiaf = 540kg

)m/kg1559(m82.0kg)540164,10(VDC −−=

= 8,346kg Superficie de rodadura (DW) Con wDW= 236kg/m

)m/kg236(m82.0kg1416VDW −=

= 1,222kg Carga viva (LL): a)Camión de Diseño V=23.05 T

b)Tandem V=19.75 T c) Carga de carril V= 5.00 T Luego VLL+IM= 23.05T(1.33)+5.00T= 35.66 T

Page 142: Puentes LRFD

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III-80

s

dfAV vyvs =

Distribución en viga interior: Caso de un carril cargado:

7600S

36.0g += (Tabla 4.6.2.2.3a-1)

636.076002100

36.0g =+=

Caso de dos carriles cargados:

2

10700S

3600S

2.0g

−+= (Tabla 4.6.2.2.3a-1)

745.0107002100

36002100

2.0g2

=

−+= (CRÍTICO)

VLL+IM= 0.745(35.66T) = 26.57T= 26.570kg Para el Diseño por Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1:

Vu = n[1.25 VDC + 1.50 VDW + 1.75 V(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) Vu = 1.25(8,346)+1.50(1,222)+1.75(26,570) = 58,763kg

Cortante actuante : Vu = 58,763kg

Cortante resistente : Vr = Ø Vn (5.8.2.1-2)

Ø = 0.9 (5.5.4.2)

Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1) siendo Vn el menor de:

Vn = 0.25f’cbvdv + Vp (5.8.3.3-2) Donde:

Cortante resistente concreto ]N[dbf083.0V vv'cc β= (5.8.3.3-3)

para β=2 (Art. 5.8.3.4): ]kg[dbf53.0V vv'cc =

Cortante resistente acero: s

sen)cot(cotdfAV vyvs

ααθ += (5.8.3.3-4)

con � = 45° (Art. 5.8.3.4)

α = 90° (ángulo de inclinación del estribo) Cortante resistente concreto (Vc)

)62.69x30(28053.0]kg[dbf53.0]N[dbf083.0V vv'cvv

'cc ==β=

Vc = 18,523kg siendo bv = ancho del alma= 30 cm

Page 143: Puentes LRFD

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III-81

Cortante resistente del acero (Vs) Se propone estribos Ø1/2” espaciados cada 15 cm. Luego:

kg293,500.15

)62.69)(4200(58.2s

dfA

s

sen)cot(cotdfAV vyvvyvs ===

+=

ααθ

donde: s = 15.0 cm (espaciamiento asumido de estribos) Av = 2 x 1.29 cm² = 2.58 cm² (asumiendo 2 ramas Ø 1/2”) Componente fuerza pretensado Vp=0 Cortante nominal resistente El menor valor de Vn = 18,523kg + 50,293kg + 0 = 68,816kg Vn = 0.25 x 280 x 30 x 69.62 + 0 = 146,202kg Luego Vn = 68,816kg Cortante resistente total Vr = ØVn = 0.9(68,816 kg) = 61,934kg > 58,763Kg OK!

Refuerzo transversal mínimo

]SI[f

sbf083.0A

y

v'cv ≥ (5.8.2.5-1)

]MKS[f

sbf27.0A

y

v'cv ≥=

2v cm

4200)15(30

28027.0A ≥

!OK²cm58.2²cm48.0A mínv <=

Espaciamiento máximo del refuerzo transversal (Art. 5.8.2.7)

vv

puu db

VVv

φ

φ−= (5.8.2.9-1)

²cm/kg26.31)62.69)(30(9.0

763,58db

Vv

vv

uu ==

φ=

También:

si vu < 0.125f’c smáx= 0.8dv ≤ 60 cm (5.8.2.7-1) si vu ≥ 0.125f’c smáx= 0.4dv ≤ 30 cm (5.8.2.7-2)

Page 144: Puentes LRFD

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III-82

As=12Ø1"

0.85

.20

0.30 Estribos Ø1/2"@0.15 (a una distancia 0.82m del eje de apoyo)

As proceso constructivo

2Ø 5/8"

Como vu = 31.26kg/cm² < 0.125(280kg/cm²) = 35kg/cm² smáx= 0.8dv = 0.8(69.62cm)= 55.70cm smáx= 60 cm

Luego s = 15.00cm < smáx= 55.70cm OK! Luego, a una distancia 0.82 del apoyo (sección crítica por cortante) usar estribos ∅1/2”@ 0.15

Page 145: Puentes LRFD

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III-83

0.65

Diafragma b=0.25 m

.15

.23

.15

Asfalto 2"

2Area=2028.75 cm

0.20

0.825 1.05

.375.30

.15.15

270 kg

DC

Bw = 1938 kg/m

A

12 m

270 kg 270 kg

CL

w = 169 kg/mDW

IIIIII) DISEÑO DE VIGA PRINCIPAL II) DISEÑO DE VIGA PRINCIPAL II) DISEÑO DE VIGA PRINCIPAL II) DISEÑO DE VIGA PRINCIPAL EXEXEXEXTERIORTERIORTERIORTERIOR A) Momentos de flexión por cargas

Carga muerta (DC):

Cargas distribuidas wlosa = 0.20 x 1.875 x 2400 = 900 kg/m wviga = 0.65 x 0.30 x 2400 = 468 kg/m wcartelas= 2(0.5 x 0.15 x 0.23)x2400 = 83 kg/m * wbarrera = 0.202875 x 2400 = 487 kg/m

wDC = 1938 kg/m ****Nota.Nota.Nota.Nota.---- Según el Art. 4.6.2.2.1, las cargas permanentes del tablero como es el caso del peso de las barreras, se pueden distribuir uniformemente entre todas las vigas; sin embargo en este caso asumiremos que las barreras son soportadas íntegramente por las vigas exteriores.

===8

)12(94.18

LwM

22DC

1DC 34.92T-m

Cargas puntuales Considerando vigas diafragmas en apoyos y en el centro de luz, tenemos: Pdiaf = (0.85-0.20-0.15)(1.05-0.15)(0.25)(2400)=270kg

mT81.04

)m12(T27.0

4

LPM diaf

2DC −===

Luego MDC = MDC1+ MDC2 = 34.92+0.81=35.7335.7335.7335.73 TTTT----mmmm

Carga por superficie de rodadura (DW):

wasf 2” = 0.05 x 1.50 x 2250 = 169kg/m

Page 146: Puentes LRFD

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III-84

(Minimo) Suponerarticulacion en apoyo

A R = gP

P/2P/2.150.60 1.80

e .45d .375

2.100.825

===8

)12(169.08

LwM

22DW

DW 3.04T-m

Carga viva (LL):

De la Tabla APÉNDICE II-B, para vehículo HL-93, y con la consideración de carga dinámica en estado límite de resistencia:

MLL+IM = 98.83 T-m El % de momento g que se distribuye a una viga exterior es: a) Tabla 4.6.2.2.2d-1: Ley de Momentos (regla de la palanca), caso un carril de diseño cargado

P500.02P

10.215.0

10.295.1

R A =

+=

Luego g=0.500, factor a ser usado en el diseño por Fatiga al no estar afectado por el factor de presencia múltiple. Para los estados límites de Resistencia y Servicio, incluimos el factor de presencia múltiple m=1.2:

g = 0.g = 0.g = 0.g = 0.500500500500(1.2) = 0.(1.2) = 0.(1.2) = 0.(1.2) = 0.600600600600

b) Tabla 4.6.2.2.2d-1: Caso dos o más carriles de diseño cargados

)g(eg int=

Donde:

de= distancia desde el eje central de la viga exterior a la cara interior de la barrera = 450mm

2800

d77.0e e+= (Tabla 4.6.2.2.2d-1)

931.02800450

77.0e =+=

Page 147: Puentes LRFD

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III-85

21

0.60

R21R e=1.50

1.80P/2 P/2

ext.15

.30

.375

x=3.15

0.8252.102.102.100.825

(Minimo)

P/2P/2

1.200.60 1.80

e=2.10

X =3.15

x=1.05

R1

x=1.05

X =3.15

e=2.10

1.800.60 .15P/2 P/2

(Minimo)

2.10 2.10 2.10 0.825

x=3.15

.375 .15ext

0.825

.30

gint= 0.611 (ver diseño de viga interior) Luego: g = 0.g = 0.g = 0.g = 0.931931931931(0.6(0.6(0.6(0.611111111) = 0.5) = 0.5) = 0.5) = 0.569696969

c) Art. 4.6.2.2.2d: Caso puentes de viga y losa con diafragmas rígidamente conectados (ver también Apéndice III-C)

2ext

b

L

x

eX

N

NR

Σ

Σ+= (C4.6.2.2.2d-1)

c.1) Un carril cargado:

Con: R = reacción sobre la viga exterior en términos de carril NL = número de carriles cargados = 1 Nb = número de vigas = 4 e = excentricidad del camión de diseño o carga de carril respecto del

centro de gravedad del conjunto de vigas = 2.10m Xext= distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de

vigas hasta la viga exterior = 3.15m x = distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de

vigas hasta cada viga

550.0])m05.1()m15.3[(2

)m1.2(m15.3

41

R22

=+

+=

Con el factor de presencia múltiple, m=1.2:

gggg = R = 1.2(0.550) = 0.60.60.60.660606060 c.2) Dos carriles cargados:

Page 148: Puentes LRFD

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III-86

DW0.82 w =169 kg/m

BA

12 m

1014 kg

12,033 kg

270 kg

DC

Bw = 1938 kg/m

A

0.82

12 m

270 kg 270 kg

CL

586.0])m05.1()m15.3[(2

)m50.1m10.2(m15.3

42

R22

=+

−+=

Con el factor de presencia múltiple m=1.0:

g = R = 1.0(0.586) = 0.586

El factor de distribución crítico es, g= 0.g= 0.g= 0.g= 0.660660660660

d) De los casos a), b), y c), seleccionamos para el estado limite de resistencia el

factor de distribución de momento, g= 0.g= 0.g= 0.g= 0.660660660660

MLL+IM= 0.660(98.83 T-m) = 65.23T-m

B) Momento de Diseño, Estado Límite de Resistencia I Con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(35.73) + 1.50(3.04) + 1.75(65.23) = 163.38T-m

Se sugiere al interesado y a manera de práctica, realizar el cálculo del acero correspondiente.

C) Diseño por Corte

La sección crítica por corte por simplicidad la tomaremos al igual que en el caso de la viga interior, a una distancia 0.82m del eje del apoyo. Carga muerta (DC) Con wDC=1,938kg/m

)m/kg1938(m82.0kg)270033,12(VDC −−=

= 10,174kg Superficie de rodadura (DW) Con wDW= 169kg/m

)m/kg169(m82.0kg1014VDW −=

= 875kg

Page 149: Puentes LRFD

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III-87

R=23.05 TA

A

12 m

B

14.8 T 14.8 T 3.6 T4.30 4.300.82 2.58

1.20

11.2 T 11.2 T

B

12 m

R=19.75 T

A

0.82

A

Posicion de cortante maximo a 0.82m del eje de apoyo

´´

R=5.00 TA

12 m

0.82

A0.960 T/m

B

(Minimo) Suponerarticulacion en apoyo

A R = gP

P/2P/2.150.60 1.80

e .45d .375

2.100.825

Carga viva: a)Camión de Diseño V=23.05 T

b)Tandem V=19.75 T c) Carga de carril V= 5.00 T Luego VLL+IM= 23.05T(1.33)+5.00T= 35.66 T El % de cortante g que se distribuye a una viga exterior es: a) Tabla 4.6.2.2.3b-1: Ley de Momentos (regla de la palanca), para el caso de un carril cargado

P500.02P

10.215.0

10.295.1

R A =

+=

Page 150: Puentes LRFD

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III-88

R1

x=1.05

X =3.15

e=2.10

1.800.60 .15P/2 P/2

(Minimo)

2.10 2.10 2.10 0.825

x=3.15

.375 .15ext

0.825

.30

Luego g=0.500, factor a ser usado en el diseño por Fatiga al no estar afectado por el factor de presencia múltiple. Para los estados límites de Resistencia y Servicio, incluimos el factor de presencia múltiple m=1.2:

g = 0.g = 0.g = 0.g = 0.500500500500(1.2) = 0.(1.2) = 0.(1.2) = 0.(1.2) = 0.600600600600

b) Tabla 4.6.2.2.3b-1, caso dos o más carriles cargados:

)g(eg int=

Donde: de= distancia desde el eje central de la viga exterior a la cara

interior de la barrera de= 450 mm

3000

d60.0e e+= (Tabla 4.6.2.2.3b-1)

75.03000450

60.0e =+=

gint= 0.745 (ver diseño de viga interior)

Luego: g = 0.g = 0.g = 0.g = 0.75757575(0.(0.(0.(0.747474745555) = 0.5) = 0.5) = 0.5) = 0.559595959

c) Art. 4.6.2.2.3b: Caso puentes de viga y losa con diafragmas rígidamente conectados (ver también Apéndice III-C)

2ext

b

L

x

eX

N

NR

Σ

Σ+= (C4.6.2.2.2d-1)

c.1) Un carril cargado:

Con: R = reacción sobre la viga exterior en términos de carril NL = número de carriles cargados = 1 Nb = número de vigas = 4

Page 151: Puentes LRFD

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III-89

21

0.60

R21R e=1.50

1.80P/2 P/2

ext.15

.30

.375

x=3.15

0.8252.102.102.100.825

(Minimo)

P/2P/2

1.200.60 1.80

e=2.10

X =3.15

x=1.05

e = excentricidad del camión de diseño o carga de carril respecto del centro de gravedad del conjunto de vigas = 2.10m

Xext= distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de vigas hasta la viga exterior = 3.15m

x = distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de vigas hasta cada viga

550.0])m05.1()m15.3[(2

)m1.2(m15.3

41

R22

=+

+=

Con el factor de presencia múltiple, m=1.2:

gggg = R = 1.2(0.550) = 0.60.60.60.660606060 c.2) Dos carriles cargados:

586.0])m05.1()m15.3[(2

)m50.1m10.2(m15.3

42

R22

=+

−+=

Con el factor de presencia múltiple m=1.0:

g = R = 1.0(0.586) = 0.586

El factor de distribución crítico es, g= 0.g= 0.g= 0.g= 0.660660660660

d) De los casos a), b), y c), seleccionamos para el estado limite de resistencia el factor de distribución de cortante, g= 0.6g= 0.6g= 0.6g= 0.660606060

VLL+IM= 0.660(35.66T) = 23.54T

Page 152: Puentes LRFD

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III-90

D) Cortante de Diseño, Estado Límite de Resistencia I Con n= nDnRnI=1: Vu = n[1.25 VDC + 1.50 VDW + 1.75 V(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(10.17) + 1.50(0.88) + 1.75(23.54) = 55.23T Se sugiere al interesado y a manera de práctica, realizar el cálculo del acero por corte correspondiente.

Page 153: Puentes LRFD

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III-91

13

25

47

d

4Ø38"

1

2d

d3

d4

1A

A2

3A

150517.5

47

25cm

13

17.505

15

z17.9

7.50

19.75

19.75

Asfalto 2".05

7Ø38"

Ø12"@0.17

Losa .20

.08

.25

.47

.175

.05

.15

0.85

0.375

IVIVIVIV) DISEÑO DE ) DISEÑO DE ) DISEÑO DE ) DISEÑO DE BARRERAS DE CONCRETOBARRERAS DE CONCRETOBARRERAS DE CONCRETOBARRERAS DE CONCRETO

Se propone en este caso un modelo de barrera de concreto con perfil basado en la barrera de New Jersey. Cabe destacar que un sistema de barreras y su conexión a la cubierta sólo se autoriza después de demostrar que es satisfactorio a través de pruebas de choque en barreras a escala natural para el nivel de prueba deseado [A13.7.3.1]. Si se realizan modificaciones menores a modelos ya probados, que no afectan su resistencia, pueden utilizarse sin las pruebas de impacto requeridas. A) A) A) A) Resistencia en flexión alrededor de un eje verticaResistencia en flexión alrededor de un eje verticaResistencia en flexión alrededor de un eje verticaResistencia en flexión alrededor de un eje vertical a la barrera (Ml a la barrera (Ml a la barrera (Ml a la barrera (Mwwww)))) La resistencia a los momentos positivo y negativo que actúan alrededor de un eje vertical se determina tomando como base el mecanismo de falla en este tipo de barreras; se determina así el refuerzo horizontal en la cara vertical de la barrera (en este caso 4Ø3/8”). Para determinar el momento resistente se dividirá la sección de barrera en tres partes: A1, A2 y A3, tal como se observa en el gráfico.

Page 154: Puentes LRFD

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III-92

Con 2'c cm/kg280f = , 2

y cm/kg4200f = , se tiene:

Sección A1 z = recub + Ø + Ø/2 = 2” + ½” + (3/8”)/2 = 2.6875” = 6.83cm

cm5.7cm2/15d1 == cm07.11cm83.6cm90.17d2 =−=

cm17.13cm83.6cm20d3 =−=

cm58.103

cm17.13cm07.11cm5.7

3

dddd 321 =

++=

++=

22

s cm78.1)cm71.0(5.2"8/3Ø)5.02(A ==+=

cm67.0)47)(280(85.0

)4200(78.1

bf85.0

fAa

'c

ys===

Ø = 1.0 (Caso de eventos extremos, AASHTO 1.3.2.1)

)267.0

58.10)(4200)(78.1(0.1)2a

d(fØAM ysu −=−=

mT77.0cmkg592,76Mu −=−= Sección A2

cm17.13cm83.6cm20d3 =−= cm67.30cm83.6cm5.37d4 =−=

cm92.212

cm67.30cm17.13

2

ddd 43 =

+=

+=

2

s cm71.0"8/3Ø)5.05.0(A =+=

cm50.0)25)(280(85.0)4200(71.0

bf85.0

fAa

'c

ys===

mT65.0cmkg620,64Mu −=−=

Sección A3

cm67.30dd 4 == 2

s cm36.0²)cm71.0(5.0"8/3Ø5.0A ===

cm49.0)13)(280(85.0)4200(36.0

bf85.0

fAa

'c

ys===

)250.0

92.21)(4200)(71.0(0.1)2a

d(fØAM ysu −=−=

Page 155: Puentes LRFD

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III-93

4Ø38"

23.87cm

d 85cmz

mT46.0cmkg003,46Mu −=−=

Luego, el total es:

Mw = Mu = 0.77 T-m + 0.65 T-m + 0.46 T-m

MMMMwwww = 1.88 T= 1.88 T= 1.88 T= 1.88 T----mmmm Modo alternativoModo alternativoModo alternativoModo alternativo De manera simplificada, si trabajamos con un área rectangular equivalente, tenemos:

21 cm50.822A =

22 cm75.718A =

23 cm50.487A =

2T cm75.2028A =

Para una altura de barrera de 0.85m, se tendrá un grosor de:

cm87.23cm85

cm75.2028h

2

==

z = recub + Øv+Ø/2 = 2” + ½” + (3/8”)/2 = 2.6875” = 6.83cm d = 23.87cm – 6.83cm = 17.04 cm As = 4Ø3/8” = 4(0.71cm²) = 2.84cm²

cm59.0)85)(280(85.0)4200(84.2

bf85.0

fAa

'c

ys===

mT00.2cmkg734,199Mu −=−= MMMMwwww= = = = MMMMuuuu= 2= 2= 2= 2....00000000 TTTT----mmmm , valor semejante al obtenido en el paso anterior.

)249.0

67.30)(4200)(36.0(0.1)2a

d(fØAM ysu −=−=

)259.0

04.17)(4200)(84.2(0.1)2a

d(fØAM ysu −=−=

Page 156: Puentes LRFD

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III-94

Ø12"@0.17d z

Mc

15cm

20cm

47cm

cM

d

.20Ø12"@0.17

.25

.13

.375

d

B)B)B)B) Resistencia en flexión alrededor de un eje parResistencia en flexión alrededor de un eje parResistencia en flexión alrededor de un eje parResistencia en flexión alrededor de un eje paralelo al eje longitudinal del puente alelo al eje longitudinal del puente alelo al eje longitudinal del puente alelo al eje longitudinal del puente (M(M(M(Mcccc)))) Se calcula de acuerdo a las líneas de rotura con el momento de flexión negativo. Éste produce esfuerzos de tensión en la cara inclinada de la barrera, determinando el refuerzo de la barrera para esa cara. Utilizando 1Ø1/2”@0.17m (As = 1.29cm²/0.17m = 7.59 cm²/m), considerando fajas de 1m de ancho: Sección A1 z = recub. + Ø/2 = 2”+(1/2”)/2=2.25” = 5.72cm

cm18.1272.59.17zhd =−=−=

cm34.1)100)(280(85.0

)4200(59.7

bf85.0

fAa

'c

ys===

mT67.3M I,c −=

Sección A2

cm03.2372.52

5.3720d =−

+=

mT13.7M II,c −=

Sección A3 d = 37.5cm – 5.72cm = 31.78cm

mT92.9M III,c −=

El momento promedio es:

mT64.585.0

)13.0(92.9)25.0(13.7)47.0(67.3Mc −=

++=

)234.1

18.12)(4200)(59.7(0.1)2a

d(fØAM ysI,c −=−=

)234.1

03.23)(4200)(59.7(0.1)2a

d(fØAM ysII,c −=−=

)234.1

78.31)(4200)(59.7(0.1)2a

d(fØAM ysIII,c −=−=

Page 157: Puentes LRFD

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III-95

C) C) C) C) Longitud crítica de la línea de rotura (Lc) según el patrón de fallaLongitud crítica de la línea de rotura (Lc) según el patrón de fallaLongitud crítica de la línea de rotura (Lc) según el patrón de fallaLongitud crítica de la línea de rotura (Lc) según el patrón de falla

(A13.3.1-2)

Siendo: Lt = longitud de distribución longitudinal de la fuerza de impacto Ft = 1.07m, para el nivel TL-4 (Tabla A13.2-1) H = altura de la barrera = 0.85m Mb= resistencia flexional adicional en la parte superior del muro = 0 Mw= resistencia flexional del muro respecto de su eje vertical = 1.88 T-m Mc= resistencia flexional de los muros en voladizo respecto de un eje paralelo al eje

longitudinal del puente = 5.64 T-m Lc = longitud crítica de la línea de rotura en el patrón de falla

D) D) D) D) Resistencia nominal a la carga transversal RResistencia nominal a la carga transversal RResistencia nominal a la carga transversal RResistencia nominal a la carga transversal Rwwww

(A13.3.1-1)

Siendo: Ft = 240,000N para el nivel TL-4 = 24.47T (Tabla A13.2-1) Rw = resistencia del parapeto

OK!

c

wb2

ttc M

)MM(H8

2

L

2

LL

++

+=

m13.264.5

)88.10)(85.0(8207.1

207.1

L2

c =+

+

+=

++

−=

H

LMM8M8

LL22

R2cc

wbtc

w

++

−=

85.0)13.2(64.5

)88.1(8)0(807.113.2x2

2R

2

w

T47.24FT30.28R tw =>=

Page 158: Puentes LRFD

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III-96

.85

0.375

Rw

ctV

Ø1/2"@0.17

E) E) E) E) Transferencia de cortante entre la barrera y Transferencia de cortante entre la barrera y Transferencia de cortante entre la barrera y Transferencia de cortante entre la barrera y la losala losala losala losa Cortante actuante:

(A13.4.2-1)

Cortante resistente: Para dos concretos colados en diferentes momentos:

(5.8.4.1-1)

Donde: Acv = área de corte en contacto = 37.5cm x 100cm = 3750cm² Avf = área del dowel en el plano de corte= 1Ø1/2”@0.17 (en razón de que sólo una pata está anclada) =1.29cm²/0.17m = 7.59cm²/m c = factor de cohesión (5.8.4.2) = 0.52MPa = 5.3kg/cm² (Caso 3) µ = 0.6l = 0.6(1.0) = 0.6 (Caso 3)

2'c cm/kg280f =

2y cm/kg4200f =

Pc = fuerza de compresión permanente perpendicular al plano de corte = peso de la baranda = 0.202875m² x 2400kg/m² = 487kg En 1m de ancho de barrera: Vn = 5.3kg/cm²(3750cm²) + 0.6(7.59cm² x 4200kg/cm² + 487kg) = 39,294 kg ≤0.2(280kg/cm²)(3750cm²) ó 5.5(375,000mm²)N x 0.10197 kg = 39.29T ≤ 210T ó 210.3T = 39.29T/m > Vct=7.39T/m OK!

F) F) F) F) Chequeo del DowelChequeo del DowelChequeo del DowelChequeo del Dowel La armadura por corte debe satisfacer en interfases entre hormigón de losas y vigas, por unidad de longitud de viga:

(5.8.4.1-4)

H2L

RV

c

wct

+=

m/T39.7m85.0x2m13.2

T30.28Vct =

+=

cvcv'ccyvfcvn A5.5óAf2.0)PfA(cAV ≤+µ+=

y

vvf f

b35.0A ≥

Page 159: Puentes LRFD

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III-97

dhl

dhl Losa.20

recub=2"

Siendo: bv = ancho de la interfase = 375mm fy = 4200 kg/cm² = 412MPa

Proveído: 1Ø1/2”@0.17 = 7.59cm²/m > 3.19cm²/m OK!

GGGG) ) ) ) Longitud de anclajeLongitud de anclajeLongitud de anclajeLongitud de anclaje La longitud básica de anclaje (lhb) para una barra terminada en gancho es:

(5.11.2.4.1-1)

Siendo: db =1/2” = 12.7mm f’c= 280kg/cm² = 27.46MPa

Considerando que el recubrimiento lateral perpendicular al plano del gancho es mayor o igual que 64mm, la longitud básica de anclaje se afectará por el factor 0.7 (5.11.2.4.2). Luego:

La longitud de anclaje no debe ser menor que 8db ó 15cm (5.11.2.4.1)

Se dispone para la longitud de desarrollo sólo de 15 cm, lo cual no es satisfactorio. Sin embargo, considerando que cuando hay más armadura que la requerida la longitud básica de desarrollo disminuye según la relación

hbs

s xprovistaA

requeridaAl

, tendremos:

²cm70.61715

x²cm59.71715

xprovistaArequeridaA ss =

=

=

m/²cm19.3m/²mm6.318mm1000mm1000

xMPa412

mm375x35.0A vf ==≥

'c

bhb

f

d100=l

cm2.24mm242MPa46.27

)mm7.12(100hb ===l

cm17cm2.24x7.07.0 hbdh === ll

cm15ycm16.10d8cm17 bdh =≥=l

Page 160: Puentes LRFD

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III-98

4d12d b

b

21cm

Usaremos esta área de acero para re-calcular la capacidad de la barrera:

cm18.1)100)(280(85.0

)4200(70.6

bf85.0

fAa

'c

ys===

m/mT31.6)218.1

03.23)(4200)(70.6(0.1M II,c −=−=

m/mT78.8)218.1

78.31)(4200)(70.6(0.1M III,c −=−=

Luego: m/mT00.585.0

)13(.78.8)25(.31.6)47(.26.3MC −=

++=

(A13.3.1-2)

(A13.3.1-1)

OK!

Con lo que la longitud de desarrollo ldh=15cm, es adecuada. Las barras terminadas en gancho deben además extenderse 12db+4db=16(1.27)=21cm (C5.11.2.4.1)

m/mT26.3)218.1

18.12)(4200)(70.6(0.1)2a

d(fØAM ysI,c −=−=−=

c

wb2

ttc M

)MM(H8

2L

2L

L+

+

+=

m22.200.5

)88.10)(85.0(8207.1

207.1

L2

c =+

+

+=

++

−=

H

LMM8M8

LL22

R2cc

wbtc

w

++

−=

85.0)22.2(00.5

)88.1(8)0(807.122.2x2

2R

2

w

T47.24FT13.26R tw =>=

Page 161: Puentes LRFD

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III-99

37.5

Asfalto 2"

85

13

25cm

47

17.505

15

A = 2028.75cmbarrera

x=13

2

_

P = 487kg/mbarrera

x

barreraP = 487kg/m

_x=.13

7.4T

0.375 0.30 .15 .15

cara de viga

0.20

Asfalto 2"

0.30 (mínimo)

V) V) V) V) DISEÑO DE LOSA EN VOLADIZODISEÑO DE LOSA EN VOLADIZODISEÑO DE LOSA EN VOLADIZODISEÑO DE LOSA EN VOLADIZO

A) Criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1) Resistencia I: U = n[1.25DC+1.50DW+1.75(LL+IM)] Evento Extremo II: U = n[1.0DC+1.0DW+1.0(LL+IM)]

B) Momentos de flexión por cargas (franja de 1.0m de ancho)

Considerando el momento flector en la cara de viga se tiene: Carga muerta (DC): wlosa = 0.20m x 1.0m x 2,400kg/m

3 = 480kg/m

===2

)675.0(4802

LwM

22losa

1,DC 109kg-m

El peso de la barrera es: Pb = 0.202875m² x 1.0m x 2400kg/m³ = 487kg

mkg265)m13.0m675.0(kg487)xL(PM b2,DC −=−=−=

Luego: mkg374mkg265mkg109MDC −=−+−=

Carga por superficie de rodadura (DW): wasf 2” = 0.05m x 1.00m x 2250kg/m³ = 113 kg/m

Page 162: Puentes LRFD

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III-100

wR =26.13T

H=0.85

MCT

L +2H= 2.22m+2x0.85m C = 3.92m

mkg52

)30.0(113M

2

DW −==

Carga viva (LL): El ancho de franja en que se distribuye el eje de rueda es:

E= 1140+0.833X (Tabla 4.6.2.1.3-1)

Donde: X = distancia entre la carga y el punto de apoyo (mm) = 0.15m =150mm Luego:

E= 1140+0.833(150) = 1265mm = 1.27m

El momento del eje de rueda vehicular distribuido en un ancho E=1.27m, afectado por el factor de presencia múltiple (m=1.2), y el incremento por carga dinámica (I=0.33) es:

mkg0)0.(m27.1

)33.1)(2.1(T4.7M IMLL −=

=+

Colisión vehicular (CT):

mT67.5)m85.0(m92.3

T13.26)H(

H2L

RM

c

wCT −==

+=

C) Cálculo del Acero Para el Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(374) + 1.50(5) + 1.75(0) = 475kg-m = 0.48T-m

Page 163: Puentes LRFD

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III-101

H2L

RT

c

w

+=

T0.20 TCTM

0.20

z

d

2Ø1/2"@0.20

1Ø1/2"@0.19

Para el Estado Límite de Evento Extremo II, con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.00 MCT ] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(374) + 1.50(5) + 1.00(5670) = 6145kg-m = 6.15T-m

Siendo este último momento el que rige, probaremos a usar 2∅ ½”@ 0.20m: Mu= 6.15T-m As(-)= 2.58cm² / 0.20m = 12.9 cm²/m r = recubrimiento = 5.0cm (Tabla 5.12.3-1)

cm64.5227.1

0.5z =+=

d= 20cm – 5.64cm = 14.36cm Ø = 1.0 (Caso de Eventos Extremos, AASHTO 1.3.2.1)

cm28.2100x280x85.0

4200x90.12

bf85.0

fAa

'c

ys===

mT16.7)228.2

36.14)(4200)(90.12(0.1)2a

d(fØAØM ysn −=−=−=

Este momento debe reducirse por la fuerza de tensión axial ejercida por la colisión en el volado, :

Page 164: Puentes LRFD

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III-102

'c

bhb

f

d100=l

cm2.24mm242MPa46.27

)mm7.12(100hb ===l

0.20

MCT

ldh

2Ø1/2"@0.20

m/T67.6)m85.0(222.2

T13.26T =

+=

Resolviendo como un caso de momento de flexión y tensión combinados:

0.1ØM

M

ØP

P

n

u

n

u ≤+

Luego, la capacidad es:

−=

n

unu ØP

P1ØMM

Siendo: Ast = As(-) + As(+) = 2.58cm²/0.20m + 1.29cm²/0.19m = 19.69 cm²/m Pu = T = 6.67T/m ØPn = ØAstfy = 1.0(19.69cm²)(4200kg/cm²) = 82,698kg = 82.70T ØMn= 7.16 T-m

!OKmT15.6mT58.670.8267.6

116.7Mu −>−=

−=

Usar Usar Usar Usar 2222Ø1/2”@0.Ø1/2”@0.Ø1/2”@0.Ø1/2”@0.20202020

D) Longitud de Desarrollo El refuerzo negativo en el volado, inmediatamente debajo de la barrera, debe resistir MCT = 5.67T-m. Luego, se chequeará la longitud de desarrollo en esa zona:

(5.11.2.4.1)

Siendo la longitud básica de desarrollo:

(5.11.2.4.1-1)

ificaciónmoddefactor.hbdh ll =

Page 165: Puentes LRFD

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III-103

1.40m

x

M =-(1.40-x)5.67CT,x 1.40

2.10m

(-)

(+)

M =-5.67T-mCT

A B

+2.835T-m

Considerando que mT58.6mT67.5

proveidoM

requeridoM

proveidoA

requeridoA

u

u

s

s

−=≈ y que el

recubrimiento lateral perpendicular al plano del gancho es mayor que 64mm (factor 0.7), la longitud de anclaje es:

(5.11.2.4.2)

Se dispone de: 37.5cm-2(5.64cm)=26.22cm OK!

E) Longitud de las barras adicionales del volado Las barras de Ø1/2” adicionales colocadas en la parte superior de la losa deben extenderse más allá del eje central de la viga T exterior hacia el primer tramo interior de la losa. Para determinar la longitud de esta extensión es necesario encontrar la distancia donde las barras adicionales Ø1/2” ya no son requeridas. Esta distancia teórica ocurre donde el momento debido a la colisión más la carga muerta, iguala al momento negativo resistente de las barras 1Ø1/[email protected].

Siendo: recubrimiento = 5cm (Tabla 5.12.3-1) Ø = 0.90 d = 20cm - 5cm - 1.27cm/2 = 14.37cm As= 1.29cm²/0.20m = 6.45 cm²/m

cm14.1100x280x85.0

4200x45.6

bf85.0

fAa

'c

ys===

La resistencia del momento negativo en la losa es:

mT36.3)214.1

37.14)(4200)(45.6(90.0)2a

d(fØAM ysu −=−=−=

Para el estado límite de Evento Extremo II, el momento negativo con Ø=1.0 se incrementa a:

mT73.39.00.1

x36.3Mu −==

Asumiendo un factor de transporte de 0.5, y ninguna otra posterior distribución de momento, el diagrama de momento por la colisión en el primer tramo interior de la losa es:

cm60.1458.667.5

)7.0(cm2.24dh =

=l

Page 166: Puentes LRFD

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III-104

x

x

CARGA DE BARANDAS Y REACCIONES EN APOYOS

CARGA DE LOSA Y REACCIONES EN APOYOS

0.130.13barreraP =0.487T

barreraP =0.487T

R =0.68T

0.825 2.10 2.10 2.10 0.825R =0.68TA B

R =0.19T CR =0.19T D

R =0.89TDR =1.02T

CR =1.02TBA

R =0.89T0.8252.102.102.100.825

losaw =0.48 T /m

GE

DCBA

AB C D

EG

En el primer tramo interior de la losa se tienen las siguientes expresiones de momento flector:

Carga Muerta (DC):Carga Muerta (DC):Carga Muerta (DC):Carga Muerta (DC):

Losa : x89.02

)x825.0(48.0M

2

x ++

−=

Barrera: Mx = -0.487(0.695+x) + 0.68x Carga por superficie de rodadura (DW):Carga por superficie de rodadura (DW):Carga por superficie de rodadura (DW):Carga por superficie de rodadura (DW):

Se despreciará por ser muy pequeña. Carga Carga Carga Carga por colisión vehicular por colisión vehicular por colisión vehicular por colisión vehicular ((((CTCTCTCT):):):):

)x40.1(40.167.5

MCT −−=

La distancia x se encuentra igualando Mu = 3.73T-m, con el momento correspondiente al Evento Extremo II:

]M0.1M25.1[0.173.3 x,CTx,DC +=−

−−+

++−+

+−=− )x40.1(

40.167.5

0.1x68.0)x695.0(487.0x89.02

)x825.0(48.025.173.3

2

Resolviendo, x = 0.54m.

Se agregará además (5.11.1.2) la longitud de 15db=15(1.27cm)=0.19m

Page 167: Puentes LRFD

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III-105

yb'c

ybdb fd06.0

f

fA02.0≥=l

)412)(70.12(06.046.27

)412)(129(02.0db ≥=l

mm94.313mm85.202db ≥=l

cm31cm39.31dbdh ≈== ll

1Ø1/2"@0.20 (adicional)

0.20

.15 .15

0.73m

l =.31dh

.46

Se tiene un total de: 0.54m + 0.19m = 0.73m Esta longitud total de 0.73m más allá del eje de la viga externa se compara con la longitud de desarrollo desde la cara de la viga, para seleccionar la mayor longitud. La longitud de desarrollo básica en tensión es: (5.11.2.1.1) Donde: Ab = 1.29cm² = 129mm

2 fy = 4200kg/cm² = 412MPa f’c = 280kg/cm² = 27.46MPa db = 1.27cm = 12.70mm La longitud de desarrollo será: El acero 1Ø1/2”@0.20m adicional al acero negativo del primer tramo interior de la losa (Ø1/2”@0.20m) se extiende entonces del siguiente modo:

Page 168: Puentes LRFD

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III-106

SECCION TRANSVERSAL

.70

.25

.85

L=2.10 2.10 2.10.15 .15

Asfalto 2"

.15Viga Diafragma b=.25.30

.15.30

0.825

.375.15

P

PP

barrera

losacartela

0.13

0.20

Eje A

VVVVIIII) DISEÑO DE ) DISEÑO DE ) DISEÑO DE ) DISEÑO DE VIVIVIVIGAS DIAFRAGMAGAS DIAFRAGMAGAS DIAFRAGMAGAS DIAFRAGMA Las vigas diafragmas son vigas transversales que se usan como riostras en los extremos de las vigas T, en apoyos, y en puntos intermedios para mantener la geometría de la sección y así mismo resistir fuerzas laterales. En este caso la ubicación de los diafragmas obedece a disposiciones anteriores del AASHTO que sugerían se les coloque en intervalos que no excedan 12.19m (40’). Se ha optado por ello colocar diafragmas en los extremos de la superestructura y en el centro. El Art. 9.7.1.4 de las Especificaciones LRFD requiere además que los tableros en las líneas de discontinuidad, caso de bordes, sean reforzados por una viga u otro elemento, la cual debe estar integrada o actuar de forma compuesta con el tablero. Las vigas de borde se pueden diseñar como vigas con ancho para la distribución de la carga viva similar al ancho efectivo del tablero especificado en el Artículo 4.6.2.1.4. Para el presente caso de modo conservador se distribuye la carga viva exclusivamente sobre el ancho del diafragma, lo cual es aceptable. A) Cálculo del acero principal negativo Se hará sobre la base del máximo momento negativo que ocurre en cualquiera de los apoyos internos (en este caso optaremos por B).

Momento de flexión en B por cargas Carga muerta (DC): Cargas en el eje A debido al volado: Pbarrera = 487kg/m x 0.25m = 122kg Plosa = 0.20m x 0.675m x 0.25m x 2400 kg/m

3 = 81kg Pcartela = ½ x 0.15m x 0.23m x 0.25m x 2400kg/m

3= 10kg Ptotal = 213kg Momento en el eje A debido al volado: Mbarrera = 122kg x (0.825-0.13)m = 85kg-m Mlosa = 81kg x (0.825-0.675/2)m = 39kg-m Mcartela = 10kg x (0.23/3+0.15)m = 2kg-m Mtotal = 126kg-m

Page 169: Puentes LRFD

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III-107

Carga distribuida por peso propio del diafragma: wpp = 0.25m x 0.70m x 2400kg/m

3 = 420 kg/m Resolviendo la viga hiperestática tenemos: Carga por superficie de rodadura (DW): Se despreciará por ser muy pequeña. Carga viva y efecto de carga dinámica (LL+IM): Con el momento por carga viva encontrado en el cálculo de la losa (Método A) y la consideración de los factores de presencia múltiple y carga dinámica en estado límite de resistencia, considerando que la viga diafragma toma toda la carga viva tenemos para la cara derecha de la viga en B:

mT26.333.1x2.1xmT04.2M IMLL −−=−−=+

Combinación crítica:

Para el Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1, cara derecha de la viga en B:

Mu = n[1.25 MDC + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(-0.106) + 1.75(-3.260) = -5.84 T-m Cálculo del acero negativo: Utilizando acero principal 2∅5/8” (As=4.0cm2) colocado debajo del acero de la losa (Ø1/2”), estribos ∅ 3/8” y recubrimiento r= 5.0 cm (Tabla 5.12.3-1):

Page 170: Puentes LRFD

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III-108

cm02.8cm2587.1

cm953.0cm270.1cm52

recubz estlosa,As =+++=φ

+φ+φ+=

d= 70cm – 8.02cm = 62cm

cm82.225x280x85.0

4200x00.4

bf85.0

fAa

'c

ys===

mT16.900.4x)282.2

62(4200x9.0A)2a

d(f9.0M syu −=−=−= >5.84 T-m OK!

As máximo (Art. 5.7.3.3.1) Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42 Como: c = a / β1 = 2.82 / 0.85 = 3.32 cm de = 63 cm

c /de = 0.05 ≤ 0.42 OK! As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(33.63 kg/cm

2)(20417 cm3) = 8.24 T-m Siendo:

222'c

'cr cm/kg63.33cm/kg28001.2cm/kgf01.2MPaf63.0f ====

S = bh2/6 = 25(70)2/6 = 20,417 cm3

b) 1.33 Mu= 1.33(5.84 T-m) = 7.77 T-m El menor valor es 7.78T-m y la cantidad de acero calculada (4.0cm2) resiste Mu=9.16T-m > 7.78T-m OK!

USAR 2USAR 2USAR 2USAR 2∅∅∅∅5/8”5/8”5/8”5/8”

B) Momentos de flexión positivo por cargas Se hará sobre la base del máximo momento positivo que ocurre en los tramos AB ó CD, a 0.4L de un apoyo exterior (L es la longitud de tramos), en una sección tal como F:

Carga muerta (DC): Del diagrama de momentos en diafragma por peso propio, en F: MDC = 83.08 kg-m = 0.083 T-m

Page 171: Puentes LRFD

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III-109

.20

As=2Ø5/8"

.70 2Ø1/2"

.25

As=2Ø5/8"

Carga por superficie de rodadura (DW): Se despreciará por ser muy pequeña. Carga viva y efecto de carga dinámica (LL+IM): Con el momento por carga viva encontrado en el cálculo de la losa (Método A) y la consideración de los factores de presencia múltiple y carga dinámica en estado límite de resistencia, considerando que la viga diafragma toma toda la carga viva tenemos en F:

mT35.433.1x2.1xmT723.2M IMLL −=−=+ Combinación crítica:

Para el Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.25 MDC + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) = 1.25(0.083) + 1.75(4.350) = 7.72 T-m

Cálculo del acero positivo:

Habiendo utilizado para el acero negativo 2Ø5/8” con capacidad Mu =9.16 T-m, utilizaremos la misma cantidad de acero principal para el acero positivo donde el momento actuante: Mu =7.72 T-m es menor.

USAR 2USAR 2USAR 2USAR 2∅∅∅∅5/8”5/8”5/8”5/8”

C) Armadura de contracción y temperatura en caras laterales (Art. 5.10.8) En el alma de la viga diafragma:

]SI[F

A756.0A

y

gmíns = (5.10.8.2-1)

]cm/kg4200fcon,MKS[A0018.0A 2ygmíns ==

2

míns cm25.2)]2070(25[x0018.0A =−=

cara/cm13.1A 2

míns =

Usaremos por cara: 1 Ø 1/2” (1.29 cm2) , con la consideración:

cm45sycm75)25(3t3s máxmáx ==== OK!

Page 172: Puentes LRFD

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III-110

.70

v

0.76

vd0.5d ctg

el mayor de

´ ´Seccion critica por corte

DCBA

.30 .15.15

2.102.102.10

H

1.34

Viga Diafragma b=.25

D) Diseño por Corte Sección crítica por corte cerca al apoyo extremo De acuerdo al Art. 5.8.3.2, la sección crítica por cortante se ubica con el mayor valor de 0.5dvcot� o dv, desde la cara interna del apoyo, donde dv es el peralte efectivo por corte del elemento. El mayor cortante ocurre en el tramo exterior, cerca al apoyo interior, por lo que utilizaremos tal línea de influencia.

Determinación del peralte efectivo por corte (Art. 5.8.2.9)

� = 45° (procedimiento simplificado, Art. 5.8.3.4)

cm59.60282.2

622a

defectivocortedeperalted ev =−=−==

no menor que el 0.90de= 0.90(62 cm) = 55.8 cm OK! mayor valor de 0.72h = 0.72(70 cm) = 50.4 cm

La sección crítica por corte se ubica desde el eje del apoyo en: 0.15m+0.6059m = 0.76 m

Page 173: Puentes LRFD

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III-111

A la distancia 0.76m del eje del apoyo (sección H): Carga muerta (DC)

kg138VDC += Superficie de rodadura (DW) Se despreciará por ser muy pequeña.

Carga viva y efecto de carga dinámica (LL+IM):

Page 174: Puentes LRFD

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III-112

s

dfAV vyvs =

Con la posición del camión de diseño mostrada: VLL=7.4T(-0.739)+7.4T(-0.075) = -6.02 T Con el factor de carga dinámica IM=0.33 y el factor de presencia múltiple m=1.2, considerando que la viga diafragma toma toda la carga viva: VLL+IM= -6.02T(1.33)(1.2) = -9.61 T Combinación crítica, Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Vu = n[(1.25 ó 0.9)VDC + 1.75 V(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1) Vu = 0.9(+138kg)+ 1.75(-9,610kg) = -16,693 kg

Diseño de estribos: Cortante actuante : Vu = 16,693 kg

Cortante resistente : Vr = Ø Vn (5.8.2.1-2)

Ø = 0.9 (5.5.4.2)

Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1) siendo Vn el menor de:

Vn = 0.25f’cbvdv + Vp (5.8.3.3-2) Donde:

Cortante resistente concreto ]N[dbf083.0V vv'cc β= (5.8.3.3-3)

para β=2 (Art. 5.8.3.4): ]kg[dbf53.0V vv'cc =

Cortante resistente acero: s

sen)cot(cotdfAV vyvs

ααθ += (5.8.3.3-4)

con � = 45° (Art. 5.8.3.4) α = 90° (ángulo de inclinación del estribo)

Cortante resistente concreto (Vc)

)59.60x25(28053.0]kg[dbf53.0]N[dbf083.0V vv'cvv

'cc ==β=

Vc = 13,434 kg siendo bv = ancho del alma= 25 cm

Page 175: Puentes LRFD

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III-113

Cortante resistente del acero (Vs) Se propone estribos Ø3/8” espaciados cada 45 cm. Luego:

kg030,845

)59.60)(4200(42.1s

dfA

s

sen)cot(cotdfAV

vyvvyvs ===

+=

ααθ

donde: s = 45 cm (espaciamiento asumido de estribos) Av = 2 x 0.71 cm² = 1.42 cm² (asumiendo 2 ramas Ø 3/8”) Componente fuerza pretensado Vp=0 Cortante nominal resistente El menor valor de Vn = 13,434 kg + 8,030 kg + 0 = 21,464 kg Vn = 0.25 x 280 x 25 x 60.59 + 0 = 106,033 kg Luego Vn = 21,464 kg Cortante resistente total Vr = ØVn = 0.9(21,464 kg) = 19,318 kg > 16,693 Kg OK!

Refuerzo transversal mínimo

]mm[f

sbf083.0A 2

y

v'cv ≥ (5.8.2.5-1)

]cm[f

sbf27.0A 2

y

v'cv ≥

2v cm

4200)45(25

28027.0A ≥

!OK²cm42.1²cm21.1A mínv <=

Espaciamiento máximo del refuerzo transversal (Art. 5.8.2.7)

vv

puu db

VVv

φ

φ−= (5.8.2.9-1)

²cm/kg24.12)59.60)(25(9.0

693,16

db

Vv

vv

uu ==

φ=

También:

si vu < 0.125f’c smáx= 0.8dv ≤ 60 cm (5.8.2.7-1) si vu ≥ 0.125f’c smáx= 0.4dv ≤ 30 cm (5.8.2.7-2)

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III-114

Estribos Ø38"@0.45(a una distancia 0.76m del

eje del apoyo B)

.20

As=2Ø5/8"

.70 2Ø1/2"

.25

As=2Ø5/8"

Como vu = 12.24 kg/cm² < 0.125(280 kg/cm²) = 35 kg/cm² smáx= 0.8dv = 0.8(60.59 cm)= 48.47 cm smáx= 60 cm

Luego s = 45.0 cm < smáx= 48.47 cm OK! Luego, a una distancia 0.76 del eje del apoyo (sección crítica por cortante) usar estribos ∅3/8”@ 0.45

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III-115

h

SECCIÓN TRANSVERSAL

bDuctos para cables

Eje de cables

11113333. PUENTES DE VIGAS PRESFORZADAS. PUENTES DE VIGAS PRESFORZADAS. PUENTES DE VIGAS PRESFORZADAS. PUENTES DE VIGAS PRESFORZADAS

El presforzado es una técnica de pre-cargar el concreto en forma tal que se eliminen o reduzcan los esfuerzos de tensión que son inducidos por las cargas de gravedad.

El anclaje en el extremo donde se tensa es llamado anclaje vivo o de tensado; el otro extremo donde no se tensa se llama anclaje muerto o fijo.

La fuerza de presforzado externa es generalmente aplicada por el alargamiento de tendones: cables (strands), alambres o varillas de acero, contra la sección de concreto, la cual se comprime.

Los tendones pueden estar esforzados primero, antes del fraguado del concreto (pre-tensado), o después que el concreto ha fraguado (pos-tensado).

En el pre-tensado los cables están esforzados contra anclajes externos (bancos de tensado) y el concreto es fraguado en contacto directo con los tendones, permitiendo así desarrollar el afianzamiento.

En el pos-tensado cuando el concreto ha ganado suficiente resistencia, los tendones son esforzados directamente contra el concreto y son mecánicamente asegurados en anclajes empotrados en la fragua en cada extremo.

Los puentes de vigas pre-tensadas o pos-tensadas requieren peraltes menores, siendo entonces menos pesados, logrando mayores luces. Utilizan acero y concreto de alta resistencia, y requieren de equipo y mano de obra especializados. Es importante en estas estructuras controlar agrietamientos y deflexiones.

13.1) 13.1) 13.1) 13.1) PREPREPREPRE----DIMENSIONAMIENTO DE VIGASDIMENSIONAMIENTO DE VIGASDIMENSIONAMIENTO DE VIGASDIMENSIONAMIENTO DE VIGAS

- Johannes Johannson (Diseño y Cálculo de Estructuras Pretensadas), propone para las construcciones presforzadas:

Vigas simplemente apoyadas: 20L

a15L

h =

Vigas continuas, sin cartelas: 25L

a20L

h =

Page 178: Puentes LRFD

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III-116

Vigas acarteladas, altura en el centro del tramo 50L

h =

- Guyon sugiere en vigas de puentes simplemente apoyados, m36Lm18 ≤≤ :

cm1025L

h +≥ , cm1025h

b +≥

- Para luces que excedan los 45 m, los claros continuos son preferibles a claros

simples, aunque el límite de claro económico entre los tipos simple y continuo, varía con las condiciones locales.

Módulos de Sección mínimos requeridos

tics

o)d(mìn1 Rff

M)R1(MS

+−

−+=

+l

tsci

o)d(mìn2 fRf

M)R1(MS

+−

−+=

+l

Donde: S1= módulo de sección referido a la fibra superior S2= módulo de sección referido a la fibra inferior Mo= momento flector durante la transferencia Mt = momento flector en condiciones finales fci = esfuerzo permisible de compresión en la fibra inferior inmediatamente después de

la transferencia fti = esfuerzo permisible de tracción en la fibra superior inmediatamente después de la

transferencia fts = esfuerzo permisible de tracción en la fibra inferior bajo cargas de servicio,

después de las perdidas fcs = esfuerzo permisible de compresión en la fibra superior bajo cargas de servicio,

después de las perdidas R = % de fuerza inicial después de las pérdidas 13.2) 13.2) 13.2) 13.2) ESFUERZOS PERMISIBLES SEGÚN AASHTO LRFDESFUERZOS PERMISIBLES SEGÚN AASHTO LRFDESFUERZOS PERMISIBLES SEGÚN AASHTO LRFDESFUERZOS PERMISIBLES SEGÚN AASHTO LRFD Límites para la Tensión en los Tendones de Pretensado La tensión en los tendones debida al pretensado o en el estado límite de servicio no deberá ser mayor que los valores recomendados por el fabricante de los tendones o anclajes, y los valores especificados en la Tabla 5.9.3-1 En los estados límites de resistencia y evento extremo, no deberá ser mayor que el límite de resistencia a la tracción especificado en la Tabla 5.9.3-1

Page 179: Puentes LRFD

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III-117

Límites para la Tensión en el HormigónLímites para la Tensión en el HormigónLímites para la Tensión en el HormigónLímites para la Tensión en el Hormigón

Antes de las pérdidas:

Compresión en puentes pretensados o postensados: 'cif60.0

Tracción: Aplicar los límites indicados en la Tabla 5.9.4.1.2-1

Page 180: Puentes LRFD

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III-118

En estado límite de servicio, después de las pérdidas: Compresión: Para el estado límite de Servicio I, según la Tabla 5.9.4.2.1-1. El factor de reducción wφ se deberá tomar igual a 1.0 si las relaciones de esbeltez

de las almas y alas, calculadas de acuerdo con el Art. 5.7.4.7.1, son menores o iguales que 15. Si son mayores que 15, deberá calcularse de acuerdo al Art. 5.7.4.7.2.

Tracción: Según los límites indicados en la Tabla 5.9.4.2.2-1

Page 181: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

III-119

13.3) 13.3) 13.3) 13.3) RESISTERESISTERESISTERESISTENNNNCIA DE CIA DE CIA DE CIA DE ELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓNELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓNELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓNELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓN (Art. 5.7.3) Elementos con tendones adherentes Para secciones rectangulares o con alas para las cuales pupe f5.0f ≥ , la tensión media

en el acero de pretensado fps se puede tomar como:

−=

ppups d

ck1ff (5.7.3.1.1-1)

siendo:

−=

pu

py

f

f041.2k (5.7.3.1.1-2)

Tabla C5.7.3.1.1Tabla C5.7.3.1.1Tabla C5.7.3.1.1Tabla C5.7.3.1.1----1111 Valores de kValores de kValores de kValores de k

Tipo de tendón pupy f/f Valor de k

Cables de baja relajación 0.90 0.28 Cables aliviados de tensiones y barras de alta resistencia Tipo 1

0.85 0.38

Barras de alta resistencia Tipo 2 0.80 0.48 Para comportamiento de sección T:

p

pupsw1

'c

fw'c1

'y

'syspups

d

fkAbf85.0

h)bb(f85.0fAfAfAc

−β−−+= (5.7.3.1.1-3)

Para comportamiento de sección rectangular:

p

pups1

'c

'y

'syspups

d

fkAbf85.0

fAfAfAc

−+= (5.7.3.1.1-4)

donde: Aps = área del acero de pretensado fpu = resistencia a la tracción especificada del acero de pretensado fpy = tensión de fluencia del acero depretensado As = área de la armadura de tracción de acero no pretensado A’s = área de la armadura de compresión fy = tensión de fluencia de la armadura de tracción f’y = tensión de fluencia de la armadura de compresión b = ancho del ala comprimida bw = ancho del alma hf = altura del ala comprimida dp = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de los tendones de pretensado

Page 182: Puentes LRFD

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III-120

c = distancia entre el eje neutro y la cara comprimida β1 = factor para el diagrama de tensiones, ver Art. 5.7.2.2 Se deberá investigar el nivel de tensión en la armadura de compresión y, si la armadura de compresión no ha entrado en fluencia, en la Ecuación 3 en lugar de f’y se deberá utilizar la tensión real. Componentes con tendones no adheridos Para las secciones rectangulares o con alas, la tensión media en el acero de pretensado no adherido se puede tomar como:

pye

ppeps f

cd6300ff ≤

−+=

l (5.7.3.1.2-1)

Siendo:

+=

s

ie N2

2ll (5.7.3.1.2-2)

Para comportamiento de sección T:

w1'c

fw'c1

'y

'syspsps

bf85.0

h)bb(f85.0fAfAfAc

β

−β−−+= (5.7.3.1.2-3)

Para comportamiento de sección rectangular:

bf85.0

fAfAfAc

1'c

'y

'syspsps

β

−+= (5.7.3.1.2-4)

donde: c = distancia entre la fibra extrema comprimida y el eje neutro asumiendo que el tendón de pretensado ha entrado en fluencia le = longitud de tendón efectiva

li = longitud de tendón entre anclajes

Ns = número de articulaciones de apoyo cruzadas por el tendón entre anclajes o entre puntos de adherencia discretos fpy = tensión de fluencia del acero de pretensado fpe = tensión efectiva en el acero de pretensado en la sección considerada luego de todas las pérdidas Se deberá investigar el nivel de tensión en la armadura de compresión y, si la armadura de compresión no ha entrado en fluencia, en la Ecuación 3 en lugar de f’y se deberá utilizar la tensión real.

Page 183: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

III-121

Resistencia a la flexión Se deberá tomar como:

Mr = ØMn (5.7.3.2.1-1)

donde: Mn = resistencia nominal Ø = factor de resistencia especificado en el Art. 5.5.4.2 Para secciones con alas cuando los tendones son adheridos, si la altura del ala comprimida es menor que c:

−β−+

−−

−+

−=

2

h

2a

h)bb(f85.02a

dfA2a

dfA2a

dfAM ff1w

'c

's

'y

'ssysppspsn

(5.7.3.2.2-1)

13.4) 13.4) 13.4) 13.4) PÉRDIDAS EN LA FUERZA DE PRESFORZADOPÉRDIDAS EN LA FUERZA DE PRESFORZADOPÉRDIDAS EN LA FUERZA DE PRESFORZADOPÉRDIDAS EN LA FUERZA DE PRESFORZADO

La magnitud de la fuerza de presforzado de un miembro de concreto no es constante sino que toma diferentes valores durante la vida del miembro. Algunos de los cambios son instantáneos o casi instantáneos, otros dependen del tiempo, y otros mas suceden en función de la carga superpuesta. Deben considerarse todos estos cambios en el diseño.

Las pérdidas en la fuerza de presforzado se pueden agrupar en dos categorías: aquellas que ocurren inmediatamente durante la construcción del miembro, y aquellas que ocurren a través de un extenso periodo de tiempo. La fuerza de preesfuerzo del gato (Pj ) puede reducirse inmediatamente debido a las pérdidas por fricción, deslizamiento del anclaje, y el acortamiento elástico del concreto comprimido.

La fuerza de preesfuerzo después de ocurridas estas pérdidas se denomina fuerza de preesfuerzo inicial Pi.

A medida que transcurre el tiempo, la fuerza se reduce más, gradualmente, primero rápidamente y luego más lentamente, debido a los cambios de longitud provenientes de la contracción y el flujo plástico del concreto y debido al relajamiento del acero altamente esforzado.

Después de un periodo de muchos meses, o aún años, los cambios posteriores en los esfuerzos llegan a ser insignificantes, y se alcanza una fuerza de preesfuerzo casi constante. Esto se define como la fuerza de preesfuerzo efectiva P. Habiendo ocurrido las pérdidas, P =R Pi , siendo R=1-(% pérdidas), la eficiencia en la fuerza de presforzado. 13.13.13.13.5555) ) ) ) INECUACIONES BÁSICASINECUACIONES BÁSICASINECUACIONES BÁSICASINECUACIONES BÁSICAS En condiciones iniciales:

ti1

o

1

ii fS

M

S

eP

A

P≤−+− (1) fibra superior

Page 184: Puentes LRFD

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III-122

máx teórico

e

1 / P

máx real

Zona de combinaciones aceptables de P y e

(4)

(2)

e

(3)

(1)

k =-r²/c = -S /A1 2 2 1

k =-r²/c = -S /A2 1

e

ci2

o

2

ii fS

M

S

eP

A

P≥+−− (2) fibra inferior

En condiciones finales:

ts2

t

2

ii fS

M

S

ePR

A

PR≤+−− (3) fibra inferior

cs1

t

1

ii fS

M

S

ePR

A

PR≥−+− (4) fibra superior

Donde: Pi = fuerza pre-tensora inicial P = fuerza pre-tensora final (P=RPi) A = área de la viga E = excentricidad del cable resultante S1 = módulo de sección referido a la fibra superior S2 = módulo de sección referido a la fibra inferior Diagramas de Magnel Las inecuaciones anteriores también pueden expresarse como:

1tio

2

i SfM

ke

P1

+

−≥ (1)

2cio

1

i SfM

ke

P1

+≥ (2)

2tst

1

i SfM

)ke(R

P1

+≤ (3)

1cst

2

i SfM

)ke(R

P1

+

−≤ (4)

Donde:

k1= distancia de núcleo =2

22

cr

AS

−=−

k2= distancia de núcleo =1

21

cr

AS

−=−

Page 185: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

III-123

30 cm

18 cm

E.N.

y =114.86

y = 55.14

15

15

232

1h= 170 cm

200 cm

t=25 cm

Eje 1

A B

Luz = 30.00 m

3.60 3.60

Asfalto 2"

SECCIÓN TRANSVERSAL

2.00 2.00

.15

1.70 .30

b

t

Cartelas 9"x6"

2% 2%

h

2.00

Viga Diafragmab=0.25

PROBLEMA III.PROBLEMA III.PROBLEMA III.PROBLEMA III.3333 Diseñar la viga interior de un puente de vigas pDiseñar la viga interior de un puente de vigas pDiseñar la viga interior de un puente de vigas pDiseñar la viga interior de un puente de vigas presforzresforzresforzresforzadas adas adas adas simplemente apoyado de 30.00 m desimplemente apoyado de 30.00 m desimplemente apoyado de 30.00 m desimplemente apoyado de 30.00 m de longitud, dos vías, según lo mostrado. Utilizar longitud, dos vías, según lo mostrado. Utilizar longitud, dos vías, según lo mostrado. Utilizar longitud, dos vías, según lo mostrado. Utilizar concreto f’concreto f’concreto f’concreto f’cccc= 350 kg/cm= 350 kg/cm= 350 kg/cm= 350 kg/cm2222 , f’, f’, f’, f’cicicici= 280 kg/cm= 280 kg/cm= 280 kg/cm= 280 kg/cm2222 , strands , strands , strands , strands ∅∅∅∅ ½” (0.987 cm½” (0.987 cm½” (0.987 cm½” (0.987 cm2222) , f) , f) , f) , fpupupupu= = = = 18,984 kg/cm18,984 kg/cm18,984 kg/cm18,984 kg/cm2222 (270 ksi), y pérdidas 15% (R= 85%). El vehículo usuario es HL(270 ksi), y pérdidas 15% (R= 85%). El vehículo usuario es HL(270 ksi), y pérdidas 15% (R= 85%). El vehículo usuario es HL(270 ksi), y pérdidas 15% (R= 85%). El vehículo usuario es HL----93. 93. 93. 93. Solución.Solución.Solución.Solución.---- A) PRE-DIMENSIONAMIENTO

20L

a15L

h ≈ (Johannes Johannson, Diseño y Cálculo de Estructuras Pretensadas)

m5.1am0.2h ≈

Adoptamos h = 1.70 m, b = 0.30 m

B) PROPIEDADES DE LA SECCIÓN

Tomando como referencia para el cálculo de y el borde superior del patín (Eje 1):

SECCIÓN AREA (cm2) y (cm) Ay (cm3) Ay 2 (cm4) CGI (cm4)

I 18X200=3600 9 32,400 291,600 97,200 II 152X30 =4560 94 428,640 40’292,160 8’779,520 III 2(0.5x15x23)=345 23 7,935 182,505 2(23x153/36)=4313 ∑ 8505 468,975 40’766,265 8’881,033

Page 186: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

III-124

Centro de gravedad:

cm14.55505,8975,468

A

Ayy ==

∑=

Luego: y1 = 55.14 cm, y2 = 170 - 55.14= 114.86 cm

Inercia:

42CG1 cm298,647'49265,766'40033,881'8AyII =+=∑+∑=

422

1CG cm529,788'23)8505()14.55(298,647'49AyII =−=−= Módulos de Sección:

3

1

CG1 cm421,431

14.55

529,788'23

y

IS ===

3

2

CG2 cm109,207

86.114

529,788'23

y

IS ===

Distancias de Núcleo:

cm35.24505,8

109,207

A

Sk 21 ===

cm73.50505,8

421,431

A

Sk 12 ===

C) MÓDULOS DE SECCIÓN MÍNIMOS

tics

o)d(mìn1 Rff

M)R1(MS

+−

−+=

+l

tsci

o)d(mìn2 fRf

M)R1(MS

+−

−+=

+l

Donde:

Cargas iniciales:

Peso propio: wpp = 0.8505m

2 x 2.4 T/m3 = 2.04 T/m

mT64.2298

)30(04.2M

2

máx −==

Page 187: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

III-125

Luz = 30.00 m

A B

1.397 T

10

1.397 T 1.397 T1.397 T

10 10

2.794 T 2.794 T

0.30

2.00 m

1.70

.18

1.52e=0.85g

Diafragmas, ubicándolos a10 m uno de otro: Pdiaf = 1.70m x 1.37m x 0.25m x 2.4 T/m

3 = 1.397 T Mmáx = (2.794-1.397)(15) – 1.397(5) = 13.97 T-m Luego:

Mo = 229.64 T-m + 13.97 T-m = 243.61 T-m

Cargas aplicadas:

Asfalto: Wasf 2” = 0.05m x 2.00m x 2.25 T/m

3 = 0.225 T/m

mT31.258

)30(225.0M

2

máx −==

Carga viva HL-93: MLL+IM = 387.09 T-m (Ver Tabla APÉNDICE II-B) Distribución g en viga interior:

- Dos carriles cargados:

1.03s

g2.06.0 )Lt

k()

LS()

2900S

(075.0g += (Tabla 4.6.2.2b-1)

Con:

1E

En

tablero

viga==

A = 30 x 152 = 4560 cm2

43

cm520,779'812

)152(30I ==

eg = 85 cm

Page 188: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

III-126

[ ] [ ] 422gg cm520,725'41)85(4560520,779'81AeInk =+=+=

09.1)18(3000

520,725'41

Lt

k 1.0

3

1.0

3s

g=

=

58.0)09.1()300002000

()29002000(075.0g 2.06.0 =+=

- Un carril cargado:

1.03s

g3.04.0 )Lt

k()

LS()

4300S

(06.0g += (Tabla 4.6.2.2.2b-1)

42.0)09.1()300002000

()43002000(06.0g 3.04.0 =+=

Luego: MLL+IM = 0.58 (387.09 T-m)= 224.51 T-m

Entonces: mT82.24951.22431.25Md −=+=+l

Resumen:

Cargas iniciales: Mo = 243.61 T- m Cargas de servicio: mT82.249Md −=+l

Mt = 493.43 T- m

Esfuerzos Permisibles

Iniciales (transferencia)

Fibra superior:

[ ]SIMPa38.1f25.0f 'citi ≤= (Tabla 5.9.4.1.2-1)

[ ]MKScm/kg14f80.0 2'ci ≤=

22 cm/kg14cm/kg39.1328080.0 ≤== Fibra inferior:

'cici f60.0f −= (Art. 5.9.4.1.1)

2cm/kg168)280(60.0 −=−=

Page 189: Puentes LRFD

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III-127

Aplicados (en servicio) Fibra superior:

CASO I: carga total

'c

'cwcs f60.0f60.0f −=φ−= (Tabla 5.9.4.2.1-1)

2cm/kg210)350)(1(60.0 −=−=

CASO II: sobrecarga y semisuma de presforzado+cargas permanentes

'ccs f40.0f −= (Tabla 5.9.4.2.1-1)

2cs cm/kg140)350(40.0f −=−=

Fibra inferior:

0fts = (Tabla 5.9.4.2.2-1)

Módulos de Sección requeridos

355

tics

o)d(mìn1 cm355,129

)39.13(85.0)210()10x61.243)(15.0(10x82.249

Rff

M)R1(MS =

+−−

+=

+−

−+=

+l

355

tsci

o)d(mìn2 cm535,200

0)168(85.0)10x61.243)(15.0(10x82.249

fRf

M)R1(MS =

+−−

+=

+−

−+=

+l

Como S1= 431,421 cm

3 > S1 mín= 129,355cm3 y

S2 = 207,109 cm3 > S2 mín= 200,535 cm

3, la sección es adecuada. D) CÁLCULO DE LA EXCENTRICIDAD DE LOS CABLES Y FUERZA INICIAL EN EL

CENTRO DE LUZ Inicialmente:

1tio

2

i SfM

ke

P1

+

−≥ (1)

243,136'3073.50e

)421,431(39.1310x61.243

73.50eP1

5i

−=

+

−≥

2cio

1

i SfM

ke

P1

+≥ (2)

Page 190: Puentes LRFD

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III-128

Zona de combinaciones aceptables de P y e

k =-24.35 cm1

(4)

1 / P

k = 50.73 cm

e =99.86 cm

2

máx teórico

máx real

e = 131.78 cm

(2)

(1)

(3)

emíne =

16.54 cm

e

15 cm114.86 cm

E.N.

Ducto para cables

máx real

55.14 cm170 cm

312,155'5935.24e

)109,207)(168(10x61.24335.24e

P1

5i

+=

−−

+≥

Finalmente:

2tst

1

i SfM

)ke(R

P1

+≤ (3)

847,050'5835.24e

010x43.493

)35.24e(85.0P1

5i

+=

+≤

1cst

2

i SfM

)ke(R

P1

+

−≤ (4)

518,535'4873.50e

)421,431)(210(10x43.493

)73.50e(85.0P1

5i −

−=

−+

−≤

Gráfica de las inecuaciones de Magnel:

De la gráfica: emáx = 131.78 cm y emín = 16.54cm

La distancia entre el eje de cables y la fibra extrema la aproximaremos a un valor entre el 5%h á 15%h.

Luego z ≈ 10%(170cm) ≈15cm

Page 191: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

III-129

Se tomará: emáx real = 114.86cm -15cm = 99.99.99.99.86cm86cm86cm86cm De la inecuación (3), en el centro de luz:

Con e = 99.86 cm, 16

i

kg10x139.2P1 −−= ,

PPPPiiii = 467.= 467.= 467.= 467.36363636 T T T T

E) ESTADOS LÍMITES APLICABLES (Tabla 3.4.1-1)

Servicio I: U=n[1.00(DC+DW) + 1.00(LL+IM)] Servicio III: U=n[1.00(DC+DW) + 0.80(LL+IM)] Resistencia I: U=n[1.25(DC) + 1.50(DW) + 1.75(LL+IM)]

Se hará uso de n= nDnRnI=1

F) COMPROBACIÓN DE ESFUERZOS EN CENTRO DE LUZ

F.1) ESTADO DE SERVICIO I

En condiciones iniciales:

Fibra superior (ecuación 1)

421,43110x61.243

421,431)86.99(360,467

8505360,467

S

M

S

eP

A

Pf

5

1

o

1

iiti −+−=−+−=

fti = -3.24 kg/cm

2 (comp) < admitido: fti = +13.39 kg/cm2 (tracción) OK!

Fibra inferior (ecuación 2)

109,20710x61.243

109,207)86.99(360,467

8505360,467

S

M

S

eP

A

Pf

5

2

o

2

iici +−−=+−−=

fci = -162.67 kg/cm

2 (comp) < admitido: fci = -168 kg/cm2 (comp) OK!

En condiciones finales:

Con P = R Pi = 0.85(467.360 T) = 397.256 T

Fibra superior (ecuación 4)

CASO I (carga total)

1

t

1

iics S

M

S

ePR

A

PRf −+−=

Page 192: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

III-130

++−+−=

421,43110x51.224

421,43110x31.25

421,43110x61.243

421,431

)86.99(256,397

8505

256,397f

555

cs

04.5287.547.5695.9171.46fcs −−−+−=

fcs = -69.13 kg/cm

2 (comp) < admitido: fcs = -210 kg/cm2 (comp) OK!

CASO II (sobrecarga y semisuma de presforzado+cargas permanentes)

−+−+−=

+

1

asfpp

1

ii

1cs S

M

S

ePR

A

PR

21

S

Mf l

−−+−+−=

421,43110x31.25

421,43110x61.243

421,431

)86.99(256,397

8505

256,397

21

421,43110x51.224

f555

cs

[ ]87.547.5695.9171.4621

04.52fcs −−+−+−=

fcs = -60.59 kg/cm

2 (comp) < admitido: fcs = -140 kg/cm2 (comp) OK!

Fibra inferior (ecuación 3)

109,20710x43.493

109,207

)86.99(256,397

8505

256,397

S

M

S

ePR

A

PRf

5

2

t

2

iits +−−=+−−=

fts =0 kg/cm

2 admitido: fts = 0 kg/cm2 (no tracciones) OK!

F.2) ESTADO DE SERVICIO III

En condiciones iniciales: Fibra superior (ecuación 1)

421,43110x61.243

421,431)86.99(360,467

8505360,467

S

M

S

eP

A

Pf

5

1

o

1

iiti −+−=−+−=

fti = -3.24 kg/cm

2 (comp) < admitido: fti = +13.39 kg/cm2 (tracción) OK!

Fibra inferior (ecuación 2)

109,20710x61.243

109,207)86.99(360,467

8505360,467

S

M

S

eP

A

Pf

5

2

o

2

iici +−−=+−−=

fci = -162.67 kg/cm

2 (comp) < admitido: fci = -168 kg/cm2 (comp) OK!

Page 193: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

III-131

En condiciones finales:

Fibra superior (ecuación 4)

CASO I (carga total)

1

do

1

iics S

M80.0)MM(

S

ePR

A

PRf l++

−+−=

+−+−=

421,43110x31.25

421,43110x61.243

421,431

)86.99(256,397

8505

256,397f

55

cs

421,43110x51.224x80.0 5

63.4187.547.5695.9171.46fcs −−−+−=

fcs = -58.72 kg/cm

2 (comp) < admitido: fci = -210 kg/cm2 (comp) OK!

CASO II (sobrecarga y semisuma de presforzado+cargas permanentes)

−+−+−=

+

1

asfpp

1

ii

1cs S

M

S

ePR

A

PR

21

S

Mf l

421,43110x61.243

421,431

)86.99(256,397

8505

256,397(

21

421,43110x51.224x80.0

f55

cs −+−+−=

421,43110x31.25 5

− )

( )87.547.5695.9171.4621

63.41fcs −−+−+−=

fcs = -50.18 kg/cm

2 (comp) < admitido: fci = -140 kg/cm2 (comp) OK!

Fibra inferior (ecuación 3)

2

do

2

iits S

M80.0)MM(

S

ePR

A

PRf l++

+−−=

109,20710x)31.2561.243(

109,207

)86.99(380,397

8505

380,397f

5

ts+

+−−=

109,207

)10x66.224(80.0 5

+

fts = - 21.68 kg/cm

2 (comp), admitido: fts = 0 kg/cm2 (no tracción) OK!

Page 194: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

III-132

G) NÚMERO DE STRANDS REQUERIDO POR VIGA

Con strands Ø1/2” (A = 0.153 in2 = 0.987 cm2 )

fpu = 270 ksi = 18,984 kg/cm2

Luego fpi = 0.70 fpu = 13,289 kg/cm

2 (Tabla 5.9.3-1) Capacidad de 1 strand Ø1/2”: 0.987 cm2 (13,289 kg/cm2) = 13,116 kg Con Pi = 467.36 T (centro de luz), después de las perdidas P=RPi P = 0.85(467.36T) = 397.256T

"2/1strands31116,13

256,397strandsdeºN φ==

H) VERIFICACIÓN POR ESTADO LÍMITE DE RESISTENCIA I

Momento aplicado: Mu = 1.25MDC + 1.50MDW + 1.75MLL+IM

Mu = 1.25(243.61) + 1.5(25.31) + 1.75(224.51) = 735.37 Tm

Momento resistente de la viga:

Esfuerzo promedio en el acero de presfuerzo cuando fpe ≥ 0.5fpu :

−=

ppups d

ck1ff (5.7.3.1.1-1)

donde:

fpe = tensión en el acero de presforzado debido al presforzado, luego de las

pérdidas = P/A = 397,380kg / (31x0.987cm²) = 12,988 kg/cm² ≥ 0.5(18,984 kg/cm²) fpu = resistencia a la tensión especificada del acero de presfuerzo = 18,984 kg/cm2 (270 ksi) fps = esfuerzo promedio en el acero de presfuerzo

−=

pu

py

f

f04.12k (5.7.3.1.1-2)

= 0.28 para cables de baja relajación (Tabla C5.7.3.1.1-1) dp = distancia desde la fibra extrema en compresión al centroide del tendón de

presfuerzo

Page 195: Puentes LRFD

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III-133

= 170cm – 15cm = 155cm c = distancia desde el eje neutro a la cara en compresión

Para calcular c (C5.7.3.2.2) asumimos un comportamiento rectangular de la sección y luego comprobamos si la profundidad del bloque de esfuerzos de compresión equivalente, c, es menor o igual que el espesor de la losa: hf =18 cm. Donde: a = β1c

p

pups1

'c

'y

'syspups

d

fkAbf85.0

fAfAfAc

−+=

Aps = área del acero de presfuerzo = 31(0.987cm²)=30.60cm² As = área del refuerzo de tensión del acero no presforzado = 0 A’s = área del refuerzo de compresión = 0 f’c = resistencia cilíndrica del concreto = 350 kg/cm² fy = resistencia de fluencia del refuerzo no presforzado de tensión f’y = resistencia de fluencia del refuerzo no presforzado de compresión β1 = 0.85 para f’c ≤ 280 kg/cm²

2'c

'c cm/kg280fpara65.070

)280f(05.085.0 >≥

−−=

80.070

)280350(05.085.0 =

−−=

b = ancho efectivo del patín de compresión = 200cm

cm18hcm94.11)155/984,18)(60.30(28.0)200)(80.0)(350(85.0

)984,18(60.30c f =<=

+= OK!

Por lo tanto, el comportamiento de sección rectangular asumido es válido. El esfuerzo promedio en el acero de presfuerzo es:

2

ppups cm/kg575,18

15594.11

28.01984,18dc

k1ff =

−=

−=

Resistencia nominal a la flexión:

)2a

d(fAM ppspsn −= (5.7.3.2.2-1)

(La ecuación anterior es una simplificación de la ecuación 5.7.3.2.2-1, cuando no existe acero no presforzado) a = β1c = 0.80(11.94cm) = 9.55cm

Page 196: Puentes LRFD

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III-134

mT87.853)255.9

155)(575,18(60.30Mn −=−=

Momento resistente de la viga:

Mu = ØMn (5.7.3.2.1-1) Donde Ø = 1.00 para flexión y tensión en concreto presforzado (Art. 5.5.4.2.1) Luego:

Mu = 853.87T-m > 735.37 T-m OK!

Page 197: Puentes LRFD

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III-135

APÉNDICE IIIAPÉNDICE IIIAPÉNDICE IIIAPÉNDICE III----AAAA

MÉTODO C: MOMENTOS REDUCIDOS EN TABLEROS POR CONSIDERACION DE MÉTODO C: MOMENTOS REDUCIDOS EN TABLEROS POR CONSIDERACION DE MÉTODO C: MOMENTOS REDUCIDOS EN TABLEROS POR CONSIDERACION DE MÉTODO C: MOMENTOS REDUCIDOS EN TABLEROS POR CONSIDERACION DE CARGA CARGA CARGA CARGA DE RUEDA DE RUEDA DE RUEDA DE RUEDA EXTENDIDA Y MOMENTO EN CARA DE VIGAEXTENDIDA Y MOMENTO EN CARA DE VIGAEXTENDIDA Y MOMENTO EN CARA DE VIGAEXTENDIDA Y MOMENTO EN CARA DE VIGA 1.1.1.1. Momento Positivo (Reducción por carga Momento Positivo (Reducción por carga Momento Positivo (Reducción por carga Momento Positivo (Reducción por carga de rueda de rueda de rueda de rueda extendida) extendida) extendida) extendida)

El momento de flexión máximo en un punto es mayor debido a una carga concentrada que a una carga extendida en cierta distancia. Es posible entonces en ejes de rueda reducir el momento positivo considerando la carga de rueda se extiende sobre un ancho de 0.51 m (Art. 3.6.1.2.5 LRFD) más el peralte de la plataforma (Art. 4.6.2.1.6 LRFD). En razón de tener el momento positivo en la línea de influencia, en el punto de interés, picos agudos y luego decaer rápidamente, al usar una carga de rueda extendida se pueden obtener momentos de diseño significativamente menores que de una carga de rueda concentrada. Con un tramo simple se puede lograr desarrollar una aproximación que simplifica la aplicación de la carga de rueda extendida. La extensión para un miembro continuo será aproximada debido a que la línea de influencia correspondiente es realmente curva.

Page 198: Puentes LRFD

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III-136

Consideremos una viga simple de longitud L. Se desea calcular el momento positivo máximo en el punto 0.4 del tramo debido a la carga de rueda extendida de ancho BL, siendo B una fracción. De la figura, queremos localizar la carga de rueda extendida medida como una fracción X de la longitud de la base, para causar el máximo momento de flexión. El momento de flexión en el punto 0.4 será la carga de rueda uniforme por el área de la línea de influencia subtendida por la carga, A1+A2. Para maximizar el momento de flexión, la fracción X debe maximizar la suma de las áreas A1+A2. La ordenada Y1=0.6(0.4L-XBL)

El área trapezoidal 22221 LXB3.0BXL24.0A −=

Del mismo modo, la ordenada Y2=0.4L(0.6-B+XB) El área trapezoidal

2222222222 LXB2.0XLB4.0LB2.0BXL24.0BL24.0A −+−−=

Sumando las áreas obtenemos lo siguiente:

2222222221 LXB5.0XLB4.0LB2.0BL24.0AA −+−=+

Derivando el área con respecto a la variable X é igualando a cero para encontrar el área máxima se obtiene:

0XLBLB4.0dX

)AA(d 222221 =−=+

De donde X=0.4. La posición de la carga de rueda extendida producirá el momento máximo en el punto 0.4. El momento positivo máximo en el punto 0.4 es el producto de la carga uniforme extendida P/BL por el área de influencia A1+A2. El resultado es el siguiente:

)LXB5.0XLB4.0LB2.0BL24.0(BLP

M 2222222max −+−=

Reemplazando X=0.4 para el momento máximo se obtiene

)BL120.0L24.0(PMmax −= El primer término es el momento que resulta de la carga de rueda concentrada aplicada en el punto de interés (punto 0.4). El segundo término es una corrección que resulta de la carga extendida en un ancho BL. Este resultado puede generalizarse debido a que la proporción X está directamente relacionada con el punto de interés. Así, para el punto 0.5, X=0.5, y la ecuación resulta:

maxM = P(0.25L-0.125BL) Esto conduce a una conveniente aproximación para el momento máximo por carga de rueda extendida colocando la carga concentrada en la ordenada máxima de la línea de influencia y corrigiendo con el término PBL/8, donde BL es la longitud de la carga de rueda extendida.

Page 199: Puentes LRFD

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III-137

El resultado en el punto 0.4 no es completamente correcto y el error se incrementa según el punto se aleje del centro del tramo. Para propósito de diseño, sin embargo, al trabajar con puntos cercanos al centro, el error es mínimo. Para tramos continuos podemos utilizar esta aproximación con seguridad razonable, simplificando el arduo proceso que se requeriría con la línea de influencia curva correspondiente. Podemos escribir entonces:

8

PBMM POLL −= (Ecuación 1)

Donde: ML = momento positivo de diseño ajustado para carga viva MOL= momento positivo usando cargas de rueda concentradas P = carga de rueda concentrada en el punto de interés BP = longitud de base de la carga de rueda extendida (0.51m más el peralte

de la cubierta)

2.2.2.2. Momento Negativo (Reducción por consideración de momento en cara deMomento Negativo (Reducción por consideración de momento en cara deMomento Negativo (Reducción por consideración de momento en cara deMomento Negativo (Reducción por consideración de momento en cara de vigavigavigaviga) ) ) ) Las líneas de influencia para momentos en los apoyos son curvas suaves y el uso de cargas de rueda extendidas en vez de puntuales no cambia significativamente el momento de diseño. Sin embargo puede deducirse una fórmula para reducir el momento negativo de diseño en plataformas tomando el momento negativo en la cara de la viga, no en el eje. El Art. 4.6.2.1.6 LRFD especifica que la localización de la sección de diseño para momento negativo es: a. En la cara del apoyo para construcciones monolíticas y vigas cajón de

concreto; b. Un cuarto el ancho del patín desde el eje del apoyo para vigas de acero; o

c. Un tercio el ancho del patín, sin exceder 0.38m desde el eje del apoyo para vigas de concreto prefabricadas Tee ó I.

De este modo los momentos negativos se calculan en el centro del apoyo y luego se corrigen con la sección de diseño real usando la Ecuación 2, que se deduce a continuación. En vez de asumir una hipotética reacción concentrada, asumimos que la reacción se distribuye uniformemente sobre una longitud igual a dos veces la distancia desde el centro del apoyo a la sección de diseño 2/BN . El término de corrección es entonces el área del diagrama de cortante entre el centro del apoyo y la sección de diseño. Esto es, un triángulo con longitud de base

2/BN y ordenada igual al cortante en el apoyo. El área del triángulo será:

4/VBN . Debido a que el cortante a uno y otro lado de la reacción es aproximadamente la mitad de la reacción del apoyo, la corrección para el momento es 8/RBN . Siendo negativo el momento en el apoyo, la fórmula que resulta es similar a la Ecuación 1, excepto que el signo de la corrección es positivo, lo que reduce el momento de diseño.

Page 200: Puentes LRFD

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III-138

En resumen, el momento negativo máximo y la respectiva reacción en el centro del apoyo se calculan con cargas de rueda concentradas, corrigiendo luego con:

8

RBMM NOLL += (Ecuación 2)

Donde: ML = momento negativo de diseño ajustado para carga viva MOL= momento negativo en el apoyo usando cargas de rueda concentradas R = reacción del apoyo debido a cargas de rueda concentradas BN = dos veces la distancia desde el eje del apoyo a la sección de diseño

negativa

Page 201: Puentes LRFD

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III-139

As

t

z

b

c

b

d

E.N.

APÉNDICE IIIAPÉNDICE IIIAPÉNDICE IIIAPÉNDICE III----BBBB

PROCESO DE DISEÑO VIGA TPROCESO DE DISEÑO VIGA TPROCESO DE DISEÑO VIGA TPROCESO DE DISEÑO VIGA T

a) Definir ancho efectivo b (Art. 4.6.2.6) Vigas Interiores: b efectivo es el menor valor de:

� 4

L efectiva

� )2b

ót(t12 fwf +

� S= espaciamiento entre vigas longitudinales

Vigas exteriores: b efectivo = ½ b efectivo adyacente + el menor valor de:

� 8

L efectiva

� )4b

ó2t(t6 fw

f + , el que resulte mayor

� ancho del volado

b) CASO 1: Viga Rectangular (c < t)

1) Suponer c = t Con lo que:

a = 0.85c , )

2a

d(f9.0

MA

y

us

= ,

bd

A s=ρ

2) Calcular

'c

y

f85.0

df18.1c

ρ=

3) Chequear: Si c ≤ t , DISEÑAR COMO VIGA RECTANGULAR (diseño convencional) Si c > t , DISEÑAR COMO VIGA T

Page 202: Puentes LRFD

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III-140

c

z

b

b

d

t

E.N.

As

c) CASO II: Viga T (c > t)

1) Calcular t)bb(ff

85.0A wy

'c

sf −=

2) Calcular Malma

)2t

d(fAM ysfalas −φ=

siendo almaalasu MMM +=

alasualma MMM −=→

3) Calcular )AA( sfs −

)2a

d(f

M)AA(

y

almasfs

−φ

=− , w

'c

ysfs

bf85.0

f)AA(a

−=

Luego: sf

y

almas A

)2a

d(f

MA +

−φ

=

Page 203: Puentes LRFD

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III-141

R=P

X=1.05

X =3.15

e=2.10

1.800.60 .15P/2 P/2

(Minimo)

2.10m 2.10 2.10

X=3.15m

ext

R1 2R R3 R4

1

APÉNDICE IIIAPÉNDICE IIIAPÉNDICE IIIAPÉNDICE III----CCCC MÉTODO DE COURBON PARA DISTRIBUMÉTODO DE COURBON PARA DISTRIBUMÉTODO DE COURBON PARA DISTRIBUMÉTODO DE COURBON PARA DISTRIBUIRIRIRIR LA CARGA VIVA EN VIGAS DE UN LA CARGA VIVA EN VIGAS DE UN LA CARGA VIVA EN VIGAS DE UN LA CARGA VIVA EN VIGAS DE UN

PUENTE VIGAPUENTE VIGAPUENTE VIGAPUENTE VIGA----LOSALOSALOSALOSA Cuando una sección transversal de puente se deforma y gira como una sección transversal rígida, esto es el caso de secciones de losa y vigas de concreto con vigas diafragmas convenientemente distribuidas e interconectadas, es posible repartir la carga transversalmente entre las vigas de soporte según la expresión de Courbon:

XPe

nP

±=

Es decir:

±=∑ 2X

Xe

n1

PR

donde X es la distancia de una viga al centroide de las vigas principales, ∑ 2X es la

suma de los cuadrados de las distancias de varias vigas principales desde el mencionado centroide, n el número de vigas principales. El reglamento AASHTO LRFD adopta esta fórmula según C4.6.2.2.2d-1, para calcular el porcentaje de distribución de la carga viva “g” en vigas. Veamos el siguiente caso, donde se quiere distribuir la carga de un carril de diseño entre las cuatro vigas que se muestran en la figura.

Se tiene: [ ] 05.2205.115.32X 222 =+==Ι ∑

y también: n=4, e=2.10m

Page 204: Puentes LRFD

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III-142

4R3RR21R

ext

X=3.15m

2.102.102.10m

(Minimo)

P/2P/20.60 1.80

e=2.10

X =3.15

X=1.05

R=P

1.20 1.800.60

P/2 P/2

2e=1.50

1

R=P

Luego:

P55.005.22

)15.3(10.2

41

PR1 =

+= (g=0.55, como lo calculado en la viga exterior

del PROBLEMA III.2, para el caso de un carril cargado)

P35.005.22

)05.1(10.2

41

PR2 =

+=

P15.005.22

)05.1(10.2

41

PR 3 =

−=

P05.005.22

)15.3(10.2

41

PR 4 −=

−=

Total: 1.0P Si colocamos otro carril de diseño cargado a la derecha, se tiene que las reacciones en las vigas sólo por éste último carril son:

P036.005.22

)15.3(50.1

41

PR1 =

−=

P179.005.22

)05.1(50.1

41

PR2 =

−=

P321.005.22

)05.1(50.1

41

PR 3 =

+=

P464.005.22

)15.3(50.1

41

PR 4 =

+=

Total: 1.0P

Page 205: Puentes LRFD

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III-143

De este modo cuando los dos carriles estén cargados, las reacciones en las vigas serán respectivamente:

P586.0P036.0P55.0R1 =+= (g=0.586, como lo calculado en la viga exterior del PROBLEMA III.2, para el caso de dos carriles cargados)

P529.0P179.0P35.0R 2 =+=

P471.0P321.0P15.0R 3 =+=

P414.0P464.0P05.0R 4 =+−=

Total: 2.0P

Page 206: Puentes LRFD

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IV-1

SOLICITACIONES EN DISPOSITIVOS DE APOYOS

Apoyo semicubierto Apoyo recubierto

CAP IV:CAP IV:CAP IV:CAP IV: DISPOSITIVOS DE APOYODISPOSITIVOS DE APOYODISPOSITIVOS DE APOYODISPOSITIVOS DE APOYO 1.1.1.1. DEFINICIÓNDEFINICIÓNDEFINICIÓNDEFINICIÓN

Son dispositivos ubicados entre la superestructura y la infraestructura de un puente cuya función es transmitir cargas y posibilitar desplazamientos y rotaciones.

Las cargas incluyen el peso propio de la superestructura, cargas vehiculares, de viento, sismo, frenado, fuerza centrífuga, entre otras. Los desplazamientos transversales y longitudinales, y las rotaciones, resultan de la acción de estas cargas así como de variaciones de temperatura, flujo plástico, retracción, fatiga, etc.

2. TIPOS DE DISPOSITIVOS2. TIPOS DE DISPOSITIVOS2. TIPOS DE DISPOSITIVOS2. TIPOS DE DISPOSITIVOS

Pueden ser clasificados como fijos y de expansión. Los fijos permiten rotaciones pero restringen los movimientos translacionales. Los de expansión permiten movimientos translacionales y rotaciones.

3333. APOYOS DE ELASTÓMERO. APOYOS DE ELASTÓMERO. APOYOS DE ELASTÓMERO. APOYOS DE ELASTÓMERO

Utilizan caucho natural o sintético (neopreno) que posibilita translaciones y rotaciones, sustituyendo los complicados dispositivos tradicionales de rótulas y péndulos de concreto armado o metálicos.

Son flexibles en cortante pero a la vez muy rígidos para los cambios volumétricos; en compresión, se expanden lateralmente.

En puentes de tramos medio a corto, donde las cargas son bajas, es posible utilizar elastómeros simples. Para cargas sustanciales es posible reforzar el elastómero con acero (zunchos) o fibra de vidrio.

Los dispositivos de elastómero zunchados están conformados por capas de neopreno y láminas de acero alternadas adheridas al caucho por vulcanización.

Dispositivos de elastómero Freyssinet Los dispositivos de apoyo de elastómero zunchado Freyssinet poseen capas externas de elastómero cuyo espesor es la mitad del espesor de las capas internas. Pueden ser:

Page 207: Puentes LRFD

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IV-2

5

1010

10

5

40 mm de elastómero

4 zunchos de 3 mm

400 mm

400 mm

a) Semi-recubiertos

Se realizan por cortes de placas madres de grandes dimensiones. Los cantos de los zunchos son aparentes en las caras laterales y están protegidos contra la corrosión con la ayuda de un revestimiento especial a base de resinas epóxicas.

Se designan por sus dimensiones en planta (mm) seguidas por el número de láminas de elastómero y zunchos metálicos así como su espesor respectivo (mm).

Ej: Neopreno 400x400x4(10+3) - Mide en planta 400 mm por 400 mm - Contiene 3 capas de elastómero de 10 mm de espesor y 2 semielásticas externas de 5 mm. El espesor total de elastómero es 40 mm.

- Contiene 4 zunchos metálicos de 3 mm. El espesor total del dispositivo es 52 mm.

b) Recubiertos Se realizan por moldeado individual. Los cantos no aparentes de los zunchos están

protegidos contra la corrosión por una capa de elastómero de 5 mm de espesor medio, vulcanizado en la fabricación.

Se designan por sus dimensiones en planta (mm) seguidas por el espesor total (mm). La denominación de un apoyo recubierto de la misma constitución y dimensiones en planta que el ejemplo anterior, es 400x400x52.

Espesores de placas de elastómero y de zunchos (acero dulce) usuales:

telastóm (mm) tzuncho (mm) 8 2 10 3 12 3 15 4

Se brinda a continuación datos técnicos de dispositivos de apoyo standard

Freyssinet semirecubiertos:

Page 208: Puentes LRFD

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IV-3

Page 209: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

IV-4

Page 210: Puentes LRFD

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IV-5

Page 211: Puentes LRFD

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IV-6

Page 212: Puentes LRFD

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IV-7

4. ESPECIFICACIONES AASHTO LRFD4. ESPECIFICACIONES AASHTO LRFD4. ESPECIFICACIONES AASHTO LRFD4. ESPECIFICACIONES AASHTO LRFD De los métodos A y B propuestos por las Especificaciones, el Método A brinda

por limitaciones de esfuerzo, apoyos de menor capacidad que los diseñados con el Método B. Sin embargo, aquellos diseñados por el Método B requieren de pruebas y control de calidad adicionales).

Apoyos de Elastómero Reforzados con Acero – MÉTODO B (Art. 14.7.5 AASHTO LRFD)

Los apoyos de elastómero reforzados con acero contendrán capas alternadas de

elastómero y acero de refuerzo. Estos apoyos podrán así mismo agregar a éstas, placas externas de acero en la parte superior e inferior.

Las capas superior e inferior de elastómero tendrán grosores no mayores que el 70% del grosor de las capas internas.

El factor de forma de una capa Si, resulta de dividir el área plana del elastómero por el área del perímetro. Para apoyos rectangulares sin agujeros, el factor de forma de una capa es:

)WL(h2LW

Sri

i+

= (14.7.5.1-1)

donde: L = longitud del apoyo de elastómero rectangular (paralelo al eje longitudinal del

puente) W = ancho del apoyo, en dirección transversal hri = grosor de la capa i-ésima de elastómero en el apoyo

Para apoyos circulares sin agujeros, el factor de forma de una capa es:

rii h4

DS = (14.7.5.1-2)

Propiedades del Material (Art. 14.7.6.2) La escala de dureza puede usarse para especificar el material de apoyo. El módulo de corte G varía entre 6.12 y 17.84 kg/cm2 y la dureza nominal entre 50 y 70. Si el material se especifica por su dureza, el módulo de corte se toma como el menos favorable del rango dado en la Tabla 14.7.6.2-1; valores intermedios pueden tomarse por interpolación. Se precisan también valores de deflexión por escurrimiento plástico (creep). Para apoyos de elastómero reforzado con acero, el módulo de corte G varía entre 6.12 y 13.26 kg/cm2 y dureza nominal en la escala Shore A, entre 50 y 60. Se usa como base la temperatura de 23º C.

Tabla 14.7.6.2Tabla 14.7.6.2Tabla 14.7.6.2Tabla 14.7.6.2----1 Propiedades del Material1 Propiedades del Material1 Propiedades del Material1 Propiedades del Material Dureza (Shore A)

50 60 701 Módulo de Corte G (kg/cm2 ) a 23ºC

6.73-9.18 9.18-14.07 14.07-21.11

Escurrimiento plástico (creep) a 25 años dividido por la deflexión inicial

0.25 0.35 0.45

1 Solo para PEP (apoyos de elastómero simples) y FGP (apoyos reforzados con capas discretas de fibra de vidrio).

Page 213: Puentes LRFD

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IV-8

Deflexiones por Compresión La Fig. siguiente permite determinar la deformación en una capa de elastómero

en dispositivos con refuerzo de acero, basados en la dureza y el factor de forma.

Fig. C14.7.6.3.3Fig. C14.7.6.3.3Fig. C14.7.6.3.3Fig. C14.7.6.3.3----1 Curvas Esfuerzo 1 Curvas Esfuerzo 1 Curvas Esfuerzo 1 Curvas Esfuerzo ---- DeformaciónDeformaciónDeformaciónDeformación

Requerimientos de Diseño Esfuerzo de Compresión En cualquier capa de elastómero, el esfuerzo de compresión promedio en el estado límite de servicio cumplirá:

• Para apoyos sujetos a deformación por cortante:

2s cm/kg112GS66.1 ≤≤σ (14.7.5.3.2-1)

GS66.0L ≤σ (14.7.5.3.2-2)

• Para apoyos fijados contra la deformación por cortante:

2s cm/kg122GS2 ≤≤σ (14.7.5.3.2-3)

GSL ≤σ (14.7.5.3.2-4)

donde: =σs esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga total

=Lσ esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga viva G = módulo de cortante del elastómero S = factor de forma de la capa más gruesa del elastómero Deformación por Cortante El desplazamiento horizontal máximo de la superestructura de puente o∆ , será

tomado como 65% del rango de movimiento termal de diseño T∆ , incluyendo los movimientos causados por escurrimiento plástico del concreto (creep), acortamiento y postensado. La deformación máxima por cortante del apoyo en el estado límite de servicio

s∆ , se tomará como o∆ , modificado para tener en cuenta la rigidez de la sub-estructura y el proceso constructivo. Si una superficie deslizante de baja fricción está

Page 214: Puentes LRFD

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IV-9

instalada, s∆ no será mayor que la deformación correspondiente al primer deslizamiento. El apoyo cumplirá con: srt 2h ∆≥ (14.7.5.3.4-1)

donde:

=rth grosor total del elastómero

=s∆ deformación por cortante total máxima del elastómero en estado límite de servicio

Compresión y Rotación Combinados

En el estado límite de servicio, las rotaciones se toman como la suma de efectos máximos de la pérdida inicial de paralelismo y la subsiguiente rotación de extremo de la viga debido a las cargas y movimientos actuantes.

Los apoyos se diseñan para la no ocurrencia de levantamientos bajo cualquier combinación de carga y las rotaciones correspondientes.

Los apoyos rectangulares satisfacen requerimientos de levantamiento si:

2

ri

ss h

Bn

GS

θ>σ (14.7.5.3.5-1)

Apoyos rectangulares con deformación por cortante cumplirán:

−<

2

ri

ss h

Bn

20.01GS875.1θ

σ (14.7.5.3.5-2)

Apoyos rectangulares fijos contra la deformación por cortante cumplirán:

−<

2

ri

ss h

Bn

167.01GS25.2θ

σ

(14.7.5.3.5-3)

donde: n = número de capas interiores del elastómero. Se definen capas exteriores como

aquellas que están ligadas sólo por una cara. Cuando el grosor de una capa exterior es mayor que la mitad de una interior, n se incrementará en ½ por cada capa exterior.

rih = grosor de la capa i-ésima del elastómero

sσ = esfuerzo en el elastómero B = longitud del elastómero si la rotación es alrededor de su eje transversal o

ancho del mismo si la rotación es alrededor de su eje longitudinal

sθ = rotación de servicio máxima debido a la carga total (radianes)

Los apoyos circulares serán satisfactorios a los requerimientos de levantamiento si cumplen:

Page 215: Puentes LRFD

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IV-10

2

ri

ss h

Dn

GS75.0

>

θσ (14.7.5.3.5-4)

Los apoyos circulares sujetos a deformación por cortante cumplirán:

−<

2

ri

ss h

Dn

15.01GS5.2θ

σ

(14.7.5.3.5-5)

Los apoyos circulares fijados contra la deformación por cortante cumplirán:

−<

2

ri

ss h

Dn

125.01GS3θ

σ

(14.7.5.3.5-6)

donde:

sθ = rotación de servicio máxima debido a la carga total (radianes) D = diámetro del elastómero

Estabilidad del Apoyo de Elastómero Los apoyos serán investigados por inestabilidad en el estado límite de servicio, con combinaciones de carga como lo especificado en la Tabla 3.4.1-1. Los apoyos se considerarán estables si satisfacen: BA2 ≤ (14.7.5.3.6-1) donde:

WL2

1

L

h92.1

A

rt

+

= (14.7.5.3.6-2)

++

=

W4L

1)2S(

67.2B (14.7.5.3.6-3)

G = módulo de cortante del elastómero L = longitud del apoyo de elastómero rectangular (paralelo al eje longitudinal del

puente) W = ancho del apoyo en la dirección transversal Para un apoyo rectangular donde L es mayor que W, la estabilidad se investigará intercambiando L y W en las Ecuaciones 2 y 3. Para apoyos circulares, la estabilidad se investigará usando las ecuaciones de un apoyo cuadrado, con W = L = 0.8D. Para apoyos rectangulares que no cumplen la Ecuación 1, el esfuerzo debido a la carga total cumplirá con las Ecuaciones 4 ó 5:

Page 216: Puentes LRFD

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IV-11

• Si la cubierta de puente es libre para desplazarse horizontalmente:

BA2GS

s−

≤σ (14.7.5.3.6-4)

• Si la cubierta del puente es fija al desplazamiento horizontal:

BAGS

s−

≤σ (14.7.5.3.6-5)

Un valor negativo o infinito de la Ecuación 5 indica que el apoyo es estable y no depende de σS .

Si 0BA ≤− , el apoyo es estable y no depende de σS . Refuerzo

El grosor del refuerzo de acero, hs, cumplirá: • En el estado límite de servicio:

y

Smáxs F

h3h

σ≥ (14.7.5.3.7-1)

• En el estado límite de fatiga:

TH

Lmáxs F

h2h

∆≥

σ (14.7.5.3.7-2)

donde:

THF∆ = constante de amplitud de fatiga crítica para Categoría A, como se especifica en Artículo 6.6

hmáx = grosor de la capa de elastómero más gruesa en el apoyo σL = esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga viva σS = esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga total Fy = resistencia de fluencia del acero de refuerzo Si existen agujeros en el refuerzo, el grosor mínimo se incrementará por un factor igual a dos veces el ancho grueso dividido por el ancho neto. Constante de Amplitud de Fatiga Crítica (∆F)TH

Tabla 6.6.1.2.5-3 AASHTO LRFD Categoría (∆F)TH

(kg/cm2) A 1683 B 1122 B’ 843 C 704 C’ 843 D 493 E 316 E’ 183

Pernos en Tensión Axial M 164M(A 325M)

2182

Pernos en Tensión Axial M 253M(A 490M)

2672

La Categoría A corresponde a miembros planos laminados con bordes cortados con llama de gas y 0.025 mm de alisamiento o menos, según AASHTO/AWS D1.5M/D1.5 (Sección 3.2.2)

Page 217: Puentes LRFD

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IV-12

PROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMAS PROBLEMA IV.1PROBLEMA IV.1PROBLEMA IV.1PROBLEMA IV.1 Diseñar un dispositivo de apoyo de elastómero reforzado con acero Diseñar un dispositivo de apoyo de elastómero reforzado con acero Diseñar un dispositivo de apoyo de elastómero reforzado con acero Diseñar un dispositivo de apoyo de elastómero reforzado con acero para un apoyo fijo de un puente sobre el que inciden 72 T por carga muerta y 58 T por para un apoyo fijo de un puente sobre el que inciden 72 T por carga muerta y 58 T por para un apoyo fijo de un puente sobre el que inciden 72 T por carga muerta y 58 T por para un apoyo fijo de un puente sobre el que inciden 72 T por carga muerta y 58 T por carga viva. El ancho de viga es de 0.50 m carga viva. El ancho de viga es de 0.50 m carga viva. El ancho de viga es de 0.50 m carga viva. El ancho de viga es de 0.50 m y la rotación máxima del extremo de viga en y la rotación máxima del extremo de viga en y la rotación máxima del extremo de viga en y la rotación máxima del extremo de viga en carga de servicio es 0.007 radianes. El elastómero tiene G = 12 kg/cmcarga de servicio es 0.007 radianes. El elastómero tiene G = 12 kg/cmcarga de servicio es 0.007 radianes. El elastómero tiene G = 12 kg/cmcarga de servicio es 0.007 radianes. El elastómero tiene G = 12 kg/cm2 2 2 2 y placas de y placas de y placas de y placas de refuerzo de 36 Ksi (Frefuerzo de 36 Ksi (Frefuerzo de 36 Ksi (Frefuerzo de 36 Ksi (Fyyyy = 2531 kg/cm= 2531 kg/cm= 2531 kg/cm= 2531 kg/cm2222). Utilizar el Método B. ). Utilizar el Método B. ). Utilizar el Método B. ). Utilizar el Método B. Solución.Solución.Solución.Solución.---- a) Área del Elastómero PD = 72,000 kg PL = 58,000 kg PT = 130,000 kg Esfuerzo de compresión por carga total en servicio en apoyos fijos:

2s cm/kg122GS2 ≤≤σ (14.7.5.3.2-3)

Luego:

22

S

Treq cm1066

cm/kg122

kg000,130PA ===

σ

Para el ancho de viga b= 50 cm, escogemos W = 50 cm

cm21cm50

cm1066L

2

== (a lo largo de la longitud de viga)

El apoyo a lo largo de la longitud de viga debe ser tan corto como sea práctico para permitir la rotación alrededor del eje transversal, y lo suficiente como para estabilizar la viga durante su erección. Adoptado L = 25 cm y W = 50 cm (Área = 1250 cm2 > 1066 cm2) b) Factor de Forma S Mínimo Carga Total

Con 2s cm/kg122GS2 ≤≤σ (14.7.5.3.2-3)

33.4cm/kg12x2

cm/kg104

G2S 2

2S

T ==σ

≥ (1)

siendo: G = 12 kg/cm2 (Art. 14.7.6.2)

22

Ts cm/kg104

cm25x50

kg000,130

AP

===σ

Page 218: Puentes LRFD

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IV-13

Carga Viva

Con GSL ≤σ (14.7.5.3.2-4)

87.3cm/kg12

cm/kg40.46

GS 2

2L

L ==σ

≥ (2)

siendo: G = 12 kg/cm2 (Art. 14.7.5.2)

22

req

LL cm/kg40.46

cm25x50

kg000,58

AP

===σ

De (1) y (2) el factor de forma mínimo es: S = 4.33 c) Grosor de una capa interior del elastómero (hri)

Como )WL(h2

LWS

rii

+≥

)WL(S2LW

hi

ri+

≤→ (14.7.5.1-1)

Para carga total:

cm92.1)cm50cm25)(33.4(2

)cm50(cm25hri =

+≤

Para carga viva:

cm15.2)cm50cm25)(87.3(2

)cm50(cm25hri =

+≤

Grosor de capa interior adoptado: hri = 1.50 cm ( 15 mm) Con este grosor de capa interior, el factor de forma es:

33.456.5)cm50cm25)(50.1(2

)cm50)(cm25(S >=

+= OK!

d) Número de capas interiores de elastómero (n) Compresión y rotación combinados:

2

ri

ss h

Bn

GS

θ>σ

2

ris

s

hBGS

n

>→

σ

θ (14.7.5.3.5-1)

Con rad007.0S =θ

Page 219: Puentes LRFD

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IV-14

25.150.125

cm/kg104

007.0x56.5xcm/kg12n

2

2

2

=

>

−<

2

ri

ss h

Bn

167.01GS25.2θ

σ

(14.7.5.3.5-3)

σ

−>

1GS25.2

hB

167.0nS

2

risθ

06.11

)56.5)(12(25.210450.125

)007.0(167.0n

2

=

−>

Luego, adoptamos n = 2. Se usarán 2 capas interiores de 15 mm c/u. Así mismo, capas exteriores de 8 mm (8 mm < 70% 15 mm, Art. 14.7.5.1) El grosor total es mm46)mm8(2)mm15(2hrt =+= de elastómero.

e) Estabilidad del Elastómero

WL2

1

L

h92.1

A

rt

+

= (14.7.5.3.6-2)

25.0

cm50

)cm25(21

cm25

cm60.492.1

A =

+

=

++

=

W4L

1)2S(

67.2B (14.7.5.3.6-3)

31.0

)cm50(4

cm251)256.5(

67.2B =

++

=

El apoyo será estable si: BA2 ≤ (14.7.5.3.6-1)

Page 220: Puentes LRFD

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IV-15

8

1515

852 mm

3 zunchos de 2 mm

500 mm

250 mm

Dirección del tráfico

2(0.25) = 0.50 > 0.31 N.S. Sin embargo, si 0BA ≤− , el apoyo es estable y no depende de σS : A – B = 0.25 – 0.31 = -0.06 < 0, luego el apoyo es estable. f) Cálculo de placas de refuerzo en el elastómero En el estado límite de servicio:

y

Smáxs F

h3h

σ≥ (14.7.5.3.7-1)

cm185.0cm/kg2531

)cm/kg104)(cm50.1(3h 2

2

s =≥

En el estado límite de fatiga:

TH

Lmáxs F

h2h

∆≥

σ (14.7.5.3.7-2)

∆FTH = 1683 kg/cm

2 (Categoría A) (Tabla 6.6.1.2.5-3)

cm083.0cm/kg1683

)cm/kg40.46)(cm50.1(2h 2

2

s =≥

Adoptamos hs = 2 mm > 1.85 mm Se usarán 3 placas de 2 mm, y el espesor total del apoyo será:

46 mm + 3 (2 mm) = 52 mm

Page 221: Puentes LRFD

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IV-16

PROBLEMA IV.I1PROBLEMA IV.I1PROBLEMA IV.I1PROBLEMA IV.I1 Diseñar un dispositivo de elastómero de expansión reforzado con Diseñar un dispositivo de elastómero de expansión reforzado con Diseñar un dispositivo de elastómero de expansión reforzado con Diseñar un dispositivo de elastómero de expansión reforzado con acero para un apoyo de puente sobre el que inciden 70 T por carga muerta y 22 Tacero para un apoyo de puente sobre el que inciden 70 T por carga muerta y 22 Tacero para un apoyo de puente sobre el que inciden 70 T por carga muerta y 22 Tacero para un apoyo de puente sobre el que inciden 70 T por carga muerta y 22 T por por por por carga viva. La longitud de viga es 30 m, su ancho 0.45 m y la rotación máxima del carga viva. La longitud de viga es 30 m, su ancho 0.45 m y la rotación máxima del carga viva. La longitud de viga es 30 m, su ancho 0.45 m y la rotación máxima del carga viva. La longitud de viga es 30 m, su ancho 0.45 m y la rotación máxima del extremo de viga en carga de servicio es 0.010 radianes. Así mismo, la variación máxima extremo de viga en carga de servicio es 0.010 radianes. Así mismo, la variación máxima extremo de viga en carga de servicio es 0.010 radianes. Así mismo, la variación máxima extremo de viga en carga de servicio es 0.010 radianes. Así mismo, la variación máxima por temperatura es 20º C, el acortamiento por postensado 1.0 cm, y el debido a la por temperatura es 20º C, el acortamiento por postensado 1.0 cm, y el debido a la por temperatura es 20º C, el acortamiento por postensado 1.0 cm, y el debido a la por temperatura es 20º C, el acortamiento por postensado 1.0 cm, y el debido a la contracción del concreto 0.2 cm. El elastómero tiene G = 12 kg/cmcontracción del concreto 0.2 cm. El elastómero tiene G = 12 kg/cmcontracción del concreto 0.2 cm. El elastómero tiene G = 12 kg/cmcontracción del concreto 0.2 cm. El elastómero tiene G = 12 kg/cm2 2 2 2 y placas de y placas de y placas de y placas de refuerzo de 36 Ksi (Frefuerzo de 36 Ksi (Frefuerzo de 36 Ksi (Frefuerzo de 36 Ksi (Fyyyy = 2531 kg/cm= 2531 kg/cm= 2531 kg/cm= 2531 kg/cm2222). Utilizar el Método B. ). Utilizar el Método B. ). Utilizar el Método B. ). Utilizar el Método B. Solución.Solución.Solución.Solución.---- a) Área del Elastómero PD = 70,000 kg PL = 22,000 kg PT = 92,000 kg Esfuerzo de compresión por carga total en servicio en apoyos de expansión

2s cm/kg112GS66.1 ≤≤σ (14.7.5.3.2-1)

Luego:

22

S

Treq cm821

cm/kg112

kg000,92PA ===

σ

Para el ancho de viga b= 45 cm, escogemos W = 45 cm

cm2.18cm45

cm821L

2

== (a lo largo de la longitud de viga)

Adoptado L = 20 cm y W = 45 cm (Área = 900 cm2 > 821 cm2) b) Factor de Forma S Mínimo Carga Total

Con 2s cm/kg112GS66.1 ≤≤σ (14.7.5.3.2-1)

13.5cm/kg12x66.1

cm/kg22.102

G66.1S 2

2S

T ==σ

≥ (1)

siendo: G = 12 kg/cm2 (Art. 14.7.6.2)

22

Ts cm/kg22.102

cm45x20

kg000,92

AP

===σ

Page 222: Puentes LRFD

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IV-17

Carga Viva

Con GS66.0L ≤σ (14.7.5.3.2-2)

04.2cm/kg12

cm/kg44.24

GS 2

2L

L ==σ

≥ (2)

siendo: G = 12 kg/cm2 (Art. 14.7.5.2)

22

LL cm/kg44.24

cm45x20

kg000,22

AP

===σ

De (1) y (2) el factor de forma mínimo es: S = 5.13 c) Grosor de una capa interior del elastómero (hri)

Como )WL(h2

LWS

rii

+≥

)WL(S2LW

hi

ri+

≤→ (14.7.5.1-1)

Para carga total:

cm35.1)cm45cm20)(13.5(2

)cm45(cm20hri =

+≤

Para carga viva:

cm39.3)cm45cm20)(04.2(2

)cm45(cm20hri =

+≤

Grosor de capa interior adoptado: hri = 1.20 cm (12 mm) Con este grosor de capa interior, el factor de forma es:

13.577.5)cm45cm20)(20.1(2

)cm45)(cm20(S >=

+= OK!

d) Número de capas interiores de elastómero (n) Compresión y rotación combinados:

2

ri

ss h

Bn

GS

θ>σ

2

ris

s

hBGS

n

>→

σ

θ (14.7.5.3.5-1)

Con rad010.0S =θ

Page 223: Puentes LRFD

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IV-18

88.120.120

cm/kg22.102

010.0x77.5xcm/kg12n

2

2

2

=

>

−<

2

ri

ss h

Bn

20.01GS875.1θ

σ

(14.7.5.3.5-2)

σ

−>

1GS875.1

hB

20.0nS

2

risθ

61.21

)77.5)(12(875.122.10220.120

)010.0(20.0n

2

=

−>

Luego, adoptamos n = 3. Se usarán 3 capas interiores de 12 mm c/u y capas exteriores de 6 mm (6 mm < 70% 12 mm, Art. 14.7.5.1). e) Grosor total del Elastómero El grosor total del elastómero es mm48)mm6(2)mm12(3hrt =+=

Acortamiento de viga

Por temperatura α = 10.8x10-6 / º C (concreto) ∆t = 20º C L = 30 m

cm65.0cm3000xC20xC

10x8.10 o

o

6

temp ==∆−

Por postensado

cm0.1post =∆

Por contracción de fragua

cm2.0contrac =∆

Con γ = 1.2 (Tabla 3.4.1-1) Acortamiento total de viga:

)( contracposttempT ∆+∆+∆γ=∆ = 1.2(0.65 cm + 1.0 cm + 0.2 cm) = 2.22 cm

Page 224: Puentes LRFD

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IV-19

L/2

Como srt 2h ∆≥ (14.7.5.3.4-1)

!OKcm44.4)cm22.2(22cm80.4h srt ==∆≥=

f) Capacidad Rotacional del Apoyo Deflexión instantánea por compresión

Con 77.5S),MPa02.10(cm/kg22.102 2s ==σ

De la Fig.: εi = 0.062

Como ∑ ε=δ riih (14.7.5.3.3-1)

= 4(0.062)(1.20 cm) = 0.298 cm Capacidad rotacional del apoyo

!OKrad010.0rad0298.0cm20

)cm298.0(2

L2

2/Lmáx =θ>==δ

h) Estabilidad del Elastómero

WL2

1

L

h92.1

A

rt

+

= (14.7.5.3.6-2)

Page 225: Puentes LRFD

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IV-20

34.0

cm45

)cm20(21

cm20

cm80.492.1

A =

+

=

++

=

W4L

1)2S(

67.2B (14.7.5.3.6-3)

31.0

)cm45(4

cm201)277.5(

67.2B =

++

=

El apoyo será estable si: BA2 ≤ (14.7.5.3.6-1) 2(0.34) = 0.68 > 0.31 N.S. Los apoyos rectangulares que no cumplen la ecuación anterior, deben cumplir:

BA2GS

s−

≤σ (14.7.5.3.6-4)

22

2s cm/kg14.187

)31.0()34.0(2

)77.5)(cm/kg12(cm/kg22.102 =

−≤=σ OK!

g) Cálculo de placas de refuerzo en el elastómero En el estado límite de servicio:

y

Smáxs F

h3h

σ≥ (14.7.5.3.7-1)

cm145.0cm/kg2531

)cm/kg22.102)(cm20.1(3h 2

2

s =≥

En el estado límite de fatiga:

TH

Lmáxs F

h2h

∆≥

σ (14.7.5.3.7-2)

∆FTH = 1683 kg/cm

2 (Tabla 6.6.1.2.5-3)

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IV-21

Dirección del tráfico56 mm

12

4 zunchos de 2 mm

12

6

200 mm

6450 mm

12

cm035.0cm/kg1683

)cm/kg44.24)(cm20.1(2h 2

2

s =≥

Adoptamos hs = 2 mm = 0.2 cm > 0.145 cm Se usarán 4 placas de 2 mm, y el espesor total del apoyo será:

48 mm + 4(2 mm) = 56 mm

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V-1

H/12 ~ H/6(mín 0.20 m)

H/12 (mín 0.30 m)

B = (12)H ~ (23)H

H/6 ~ H/8

H

N

Estribo de gravedad (concreto simple)

Punta Talón

Cajuela

Pantalla verticalContrafuerte

Zapata

Estribo en voladizo(concreto armado)

Estribo con pantalla y contrafuerte (concreto armado)

CajuelaCajuela

CAP V:CAP V:CAP V:CAP V: ESTRIBOSESTRIBOSESTRIBOSESTRIBOS 1.1.1.1. ESTRIBOSESTRIBOSESTRIBOSESTRIBOS

Son estructuras que sirven de apoyo extremo al puente y que además de soportar la carga de la superestructura, sirven de contención de los terraplenes de acceso y por consiguiente están sometidos al empuje de tierra. Los estribos, como son muros de contención, pueden ser de concreto simple (estribos de gravedad), concreto armado (muros en voladizo o con pantalla y contrafuertes), etc.

2.2.2.2. PREPREPREPRE----DIMENSIONAMIENTO DE ESTRIBOSDIMENSIONAMIENTO DE ESTRIBOSDIMENSIONAMIENTO DE ESTRIBOSDIMENSIONAMIENTO DE ESTRIBOS

a) De gravedad (concreto simple) Los estribos de gravedad son macizos que utilizan su propio peso para resistir las fuerzas laterales debido al empuje del terreno y otras cargas. No necesitan refuerzo y son adecuados cuando el terreno es de buena capacidad portante y la altura a cubrir no es superior a 6 metros. No son admitidas tracciones en cualquier sección del estribo.

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V-2

H

B = (12)H ~ (23)H

B/3 H/12

H/12

H/24 (mín 0.30 m)

mín 0.20 m

N

Los anchos mínimos de cajuelas (2.11.2, Manual de Diseño de Puentes, Ministerio de Transportes y Comunicaciones, Perú) se determinan eligiendo el mayor de los valores obtenidos entre calcular los máximos desplazamientos o como un porcentaje del ancho empírico de la cajuela N determinado por la ecuación:

)S000125.01)('H0067.0L0017.0200(N 2+++= donde: N = longitud mínima (empírica) de la cajuela, medida normalmente a la línea central

del apoyo (mm). L = distancia del tablero del puente a la junta de expansión adyacente ó al final del

tablero del puente (mm). Para articulaciones entre luces, L debe tomarse como la suma de la distancia a ambos lados de la articulación. Para puentes de un solo tramo L es igual a la longitud del tablero del puente (mm).

H’ = para estribos, la altura promedio de las columnas que soportan al tablero del puente hasta la próxima junta de expansión. Para columnas y/o pilares, la altura del pilar o de la columna. Para articulaciones dentro de un tramo, la altura promedio entre dos columnas ó pilares adyacentes (mm).

= 0, para puentes simplemente apoyados. S = desviación del apoyo medido desde la línea normal al tramo (°).

b) En voladizo (concreto armado) Son económicos cuando su altura está entre 4 y 10 metros. Adecuados en la presencia de terreno de baja capacidad portante y cuando los agregados son escasos o el transporte de los mismos no es económico.

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V-3

B = (12)H ~ (23)H

H/12 B/3

H/24 (mín 0.30 m)

mín 0.20 m

H

H/12

Contrafuertes, e=0.20 (mín)separación: H/3~2H/3

N

c) Estribos con pantalla y contrafuertes (concreto armado) En este caso la pantalla vertical no se encuentra en voladizo sino mas bien

apoyada en los contrafuertes y el cimiento. 3. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD3. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD3. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD3. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD

EH: Empuje horizontal del suelo ES: sobrecarga de suelo LS: sobrecarga viva DD: fricción negativa

El empuje del suelo se deberá considerar en función de los siguientes factores: tipo y densidad del suelo, contenido de agua, características de fluencia lenta del suelo, grado de compactación, ubicación del nivel freático, interacción suelo-estructura, cantidad de sobrecarga, efectos sísmicos, pendiente del relleno, e inclinación del muro. Empuje lateral del sueloEmpuje lateral del sueloEmpuje lateral del sueloEmpuje lateral del suelo....----

Se asumirá como: p = kγsgz (10-6)

donde: p = empuje lateral del suelo (MPa) k = coeficiente de empuje lateral, tomado como ko para muros que no se

deforman ni se mueven, ka para muros que se deforman o mueven lo suficiente para alcanzar la condición mínima activa, o kp para muros que se deforman o mueven lo suficiente para alcanzar una condición pasiva.

γs = densidad del suelo (kg/m3) z = profundidad del suelo debajo de la superficie (m) g = aceleración de la gravedad (m/s2)

Se asumirá que la carga del suelo lateral resultante debida al peso del relleno actúa a una altura igual a H/3 desde la base del muro, siendo H la altura total del muro.

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V-4

[ ])(sen.sen

)'(senk 2

f2

aδ−θθΓ

φ+θ=

2

ff

)(sen).(sen)'(sen).'(sen

1

β+θδ−θ

β−φδ+φ+=Γ

)2Ø

45(tgk 2a −=

Coeficiente de Empuje Lateral en Reposo, kCoeficiente de Empuje Lateral en Reposo, kCoeficiente de Empuje Lateral en Reposo, kCoeficiente de Empuje Lateral en Reposo, koooo Para suelos normalmente consolidados, muro vertical y terreno nivelado, el

coeficiente de empuje lateral en reposo se puede tomar como:

ko = 1 - senφ'f Para suelos sobreconsolidados:

ko = (1 - senφ'f) f'sen)OCR( φ donde: φ'f = ángulo efectivo de fricción del suelo ko = coeficiente de empuje lateral del suelo en reposo OCR = relación de sobreconsolidación Coeficiente de Empuje Coeficiente de Empuje Coeficiente de Empuje Coeficiente de Empuje Lateral Activo, kLateral Activo, kLateral Activo, kLateral Activo, kaaaa

(3.11.5.3-1)

donde:

(3.11.5.3-2)

δ = ángulo de fricción entre relleno y muro (ver Tabla 3.11.5.3-1) β = ángulo que forma la superficie del relleno respecto de la horizontal θ = ángulo que forma el respaldo del muro respecto de la horizontal φ'f = ángulo efectivo de fricción interna

Notar que para δ = β = 0, θ =90°, el valor ka de las expresiones anteriores (teoría de de Coulumb) es:

(teoría de Rankine)

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V-5

δ+θθΓ

φ−θ=

)(sen.2sen'

)f'(2senpk

2

ff

)(sen).(sen

)'(sen).'(sen1

β+θδ+θ

β+φδ+φ−=Γ

Coeficiente de Empuje Lateral Pasivo, kCoeficiente de Empuje Lateral Pasivo, kCoeficiente de Empuje Lateral Pasivo, kCoeficiente de Empuje Lateral Pasivo, kpppp El coeficiente de presión activa de Coulomb es: con Sin embargo, conforme el valor de d crece, el método de cálculo de Coulomb da valores erróneos crecientes de Pp . El Reglamento AASHTO adopta el siguiente método introducido por Caquot y Kerisel: - Para suelos no cohesivos, los valores del coeficiente de empuje lateral pasivo se

pueden tomar de la Figuras 3.11.5.4-1. - Para suelos cohesivos, los empujes pasivos se pueden estimar con:

p6

spp kc2)10(gzkP += −γ

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V-6

donde: Pp = empuje lateral pasivo del suelo (MPa) γs = densidad del suelo (kg/m3) z = profundidad debajo del suelo (m) c = cohesión del suelo (MPa) g = aceleración de la gravedad (m/s2) kp = coeficiente de empuje lateral pasivo del suelo (ver Fig. 3.11.5.4-1) Método del Fluido Equivalente para Estimar Empujes Laterales de Rankine.Método del Fluido Equivalente para Estimar Empujes Laterales de Rankine.Método del Fluido Equivalente para Estimar Empujes Laterales de Rankine.Método del Fluido Equivalente para Estimar Empujes Laterales de Rankine.----

El empuje básico del suelo p (kg/m2) se puede tomar como:

)10(gzp 6eq

−= γ

γeq = densidad de fluido equivalente del suelo, no inferior a 480 kg/m3 z = profundidad debajo de la superficie del suelo (m) g = aceleración de la gravedad (m/s2)

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V-7

Se asume que la carga lateral del suelo resultante debida al peso del relleno actúa a una altura igual a H/3 de la base del muro, siendo H la altura total del muro medida desde la superficie del terreno hasta el fondo de la zapata.

Los valores típicos para densidades de fluido equivalente en muros de altura no mayor a 6.0 m se pueden tomar:

Valores típicos para las densidades de fluido equivalente de los suelosValores típicos para las densidades de fluido equivalente de los suelosValores típicos para las densidades de fluido equivalente de los suelosValores típicos para las densidades de fluido equivalente de los suelos (Tabla 3.11.5.5(Tabla 3.11.5.5(Tabla 3.11.5.5(Tabla 3.11.5.5----1)1)1)1)

Tipo de suelo Relleno de superficie horizontal

Relleno con β=25°

En reposo γeq (kg/m3)

Activo ∆/H=1/240 γeq (kg/m3)

En reposo γeq (kg/m3)

Activo ∆/H=1/240 γeq (kg/m3)

Arena o grava suelta 880 640 1040 800 Arena o grava de densidad media 800 560 960 720 Arena o grava densa 720 480 880 640

siendo: ∆ = movimiento de la parte superior del muro requerido para llegar al mínimo empuje

activo o máximo empuje pasivo por rotación o traslación lateral (mm) H = altura del muro (m) β = ángulo del relleno respecto de la horizontal. La magnitud de la componente vertical del empuje del suelo resultante Pv (N/m) para el caso de relleno de superficie inclinada se puede determinar como:

β= tanPP hv

donde: 2

eqh gH5.0=P γ

Sobrecarga Viva (LS)Sobrecarga Viva (LS)Sobrecarga Viva (LS)Sobrecarga Viva (LS)....---- Se deberá aplicar una sobrecarga viva si se anticipa que habrá cargas vehiculares actuando sobre la superficie del relleno en una distancia igual a la mitad de la altura del muro detrás del paramento posterior del muro.

Altura de suelo equivalente para carga vehicular sobre estribos perpendiculares al tráficoAltura de suelo equivalente para carga vehicular sobre estribos perpendiculares al tráficoAltura de suelo equivalente para carga vehicular sobre estribos perpendiculares al tráficoAltura de suelo equivalente para carga vehicular sobre estribos perpendiculares al tráfico Tabla 3.11.6.4Tabla 3.11.6.4Tabla 3.11.6.4Tabla 3.11.6.4----1111

Altura del estribo (m) heq (m) 1.5 1.2 3.0 0.9 ≥6.0 0.6

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V-8

4444.... CARGAS DE DISEÑOCARGAS DE DISEÑOCARGAS DE DISEÑOCARGAS DE DISEÑO

Las cargas a considerar, en general son: a) Cargas verticales de la superestructura, correspondiente a las reacciones de la

carga muerta y viva. No se toma en cuenta el efecto de impacto. b) El peso propio del estribo y del relleno. c) El empuje del terreno más el efecto de sobrecarga sobre el terreno d) Viento ejercido sobre la estructura y sobre la carga viva, que se transmite a

través del apoyo fijo. e) Fuerza por el empuje dinámico de las aguas y la fuerza de flotación. f) Fuerza longitudinal que se transmiten a través del apoyo fijo debido al frenado

de vehículos g) Fuerza centrífuga, en el caso de puentes curvos h) Fuerza sísmica de la superestructura y de la infraestructura.

5555.... CONSIDERACIONES PARA LA ESTABILIDADCONSIDERACIONES PARA LA ESTABILIDADCONSIDERACIONES PARA LA ESTABILIDADCONSIDERACIONES PARA LA ESTABILIDAD

Los estribos y muros de sostenimiento se deben dimensionar de manera de asegurar su estabilidad contra las fallas por vuelco, deslizamiento y presiones en la base (11.6.3.1). A.A.A.A. Vuelco – Estados Límites de Resistencia y Evento Extremo

Se debe calcular la excentricidad de la resultante alrededor del punto A en la base del estribo. Las fuerzas y momentos que resisten el vuelco se usan con factores de carga γ mínimos (caso de cargas tipo DC, DW, EV, etc.). Las fuerzas y momentos

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V-9

que causan vuelco se usan con factores de carga γ máximos (caso de cargas EH y otras). Para el estado límite de Resistencia, se debe mantener la resultante en la base del cimiento dentro de la mitad central (e ≤ B/4) excepto el caso de suelo rocoso en que se mantendrá en los ¾ centrales (e ≤ 3/8 B) (Art. 11.6.3.3). Para el estado límite de evento extremo y con γEQ = 0, mantener la fuerza resultante en la base del cimiento dentro de los 2/3 centrales (e ≤ 1/3 B) de las dimensiones del cimiento para cualquier suelo. Si en cambio γEQ = 1, mantener la resultante en la base del cimiento dentro de los 8/10 centrales (e ≤ 2/5 B). Para valores de γEQ entre 0 y 1.0, interpolar linealmente entre los valores especificados para definir las restricciones referidas a la ubicación de la resultante (Art. 11.6.5). En caso de cimientos cargados biaxialmente, estos requerimientos deben aplicarse en ambas direcciones.

B.B.B.B. Deslizamiento – Estados Límites de Resistencia y Evento Extremo

El valor de la resistencia factorada al deslizamiento corresponde a una componente friccional (ØτQτ) actuando a lo largo de la base del estribo y una componente debido a la presión pasiva del terreno (ØepQep) actuando en la cara vertical correspondiente. Esto es:

QR = ØτQτ+ ØepQep (10.6.3.3-1)

Donde: Qτ = (V) tan δ (10.6.3.3-2) δ = ángulo de fricción entre la base del cimiento y el suelo tanδ = tan Øf para concreto vaceado directamente al suelo (10.6.3.3) tanδ = (0.8)tan Øf para concreto pre-fabricado (10.6.3.3) V = fuerza vertical total sobre el cimiento Øf = ángulo de fricción interna del suelo. Los valores Øτ y Øep se determinan de la Tabla 10.5.5.2.2-1. Para el estado límite de Evento Extremo, Øτ= 1.0 y Øep = 1.0. Si la resistencia pasiva no está asegurada debido a erosiones, socavaciones potenciales, o futuras excavaciones, se debe usar Øep = 0 para los estados límites de Resistencia y Evento Extremo. La resistencia factorada al deslizamiento debe ser mayor o igual a las cargas horizontales factoradas aplicadas.

C.C.C.C. Presiones en la base – Estados Límites de Resistencia y Evento Extremo

Se calculan los esfuerzos basados en una distribución uniforme; en estribos cargados excéntricamente cimentados sobre roca, se supone una distribución de presiones triangular o trapezoidal. Método de Meyerhof: 1. Hallar la excentricidad e con respecto al punto central de la base del cimiento,

con las cargas aplicables factoradas:

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V-10

actuantesfactoradasverticalesfuerzas

actuantesfactoradosmomentose

Σ

Σ=

2. Determinar los esfuerzos verticales factorados. Si la estructura está cargada bi-

axialmente, el cálculo se realiza en ambas direcciones. Basados en una distribución de presión uniforme actuando en la base (suelo no rocoso), el valor de q es:

e2B

longituddeunidad/actuantesfactoradasverticalesfuerzasq

Σ= (11.6.3.2-1)

Donde:

B = ancho del cimiento en el plano de cargas B – 2e = ancho efectivo de cimiento Vu = suma de las fuerzas verticales factoradas.

Para suelo rocoso la distribución de presiones es trapezoidal o triangular:

+=

B

e61

B

Vq u

máx (11.6.3.2-2)

−=

B

e61

B

Vq u

mín (11.6.3.2-2)

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V-11

3. Comparar q ó qmáx, que incluyen factores de carga, con la capacidad portante del terreno (capacidad última de apoyo para el suelo, multiplicado por el factor de resistencia apropiado). La capacidad de apoyo factorada (resistencia) debe ser mayor o igual que el esfuerzo de apoyo factorado:

qR ≤ Øb qn (10.6.3.1.1-1)

Donde: qn = qu =capacidad portante última no factorada para el estado límite apropiado Øb = factor de resistencia (Tabla 10.5.5.2.2-1 y Art. 11.6.5)

Notar que qu es el mismo para los estados límites de Resistencia y

Evento Extremo. Un factor de resistencia de 1.0 se usa en el cálculo de presiones sobre el terreno en el estado límite de Evento Extremo según Art. 11.6.5. (Ver Tabla 10.5.5.2.2-1 para factores de resistencia en el estado límite de Resistencia).

La capacidad de apoyo para los estados límites de Resistencia y Evento Extremo deben ser calculados considerando los efectos de resistencia cohesiva y friccional del suelo, forma y dimensiones de la cimentación, profundidad de desplante y la inclinación del suelo que presiona sobre el estribo. Los estudios geotécnicos determinarán la capacidad portante. Los factores de inclinación de carga en general no se consideran en la determinación de la capacidad portante.

6666. . . . CONSIDERACIONES SÍSMICASCONSIDERACIONES SÍSMICASCONSIDERACIONES SÍSMICASCONSIDERACIONES SÍSMICAS La presión lateral del terreno en estructuras de retención, es amplificada en caso

de sismos debido a la aceleración horizontal de la masa retenida de terreno. En caso de estructuras de retención altas (H>10 m) como es el caso de estribos, las cargas sísmicas deben contemplarse, usándose a menudo la solución de Mononobe-Okabe.

El método de Mononobe-Okabe es un método pseudo-estático que desarrolla una presión de fluido estática equivalente para modelar la presión sísmica del terreno sobre el muro. Es aplicable cuando: • El muro no está restringido y es capaz de deformar lo suficiente para accionar la

presión activa del terreno retenido. • El terreno de relleno es no cohesivo y no saturado

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V-12

• La cuña activa de suelo que define la superficie de falla y carga el muro, es plana.

• Las aceleraciones son uniformes a través de la masa de suelo retenido.

La presión del terreno incluyendo la acción sísmica, se determina con:

2vtAEAE H)k1((k

21

E −γ= (A.11.1.1.1-1)

siendo el coeficiente de presión activa sísmica del terreno:

2

.

.

2

2

AE

)Icos()cos(

)I(sen)(sen1)cos(coscos

)(cosk

β−θ+β+δ

−θ−φδ+φ+θ+β+δβθ

β−θ−φ= (A.11.1.1.1-2)

donde: γt = peso unitario del terreno H = altura del terreno retenida por el muro kv = coeficiente de aceleración vertical kh = coeficiente de aceleración horizontal φ = ángulo de fricción interna del suelo Ө= arc tan [kh /(1- kv)] β = ángulo de inclinación del muro con la vertical (sentido negativo como se ilustra) δ = ángulo de fricción entre el suelo y el estribo i = ángulo de inclinación del material de relleno con la horizontal

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V-13

El valor de ha, la altura a la cual la resultante del empuje del suelo actúa sobre el estribo, se puede tomar igual a H/3 para un caso estático que no involucre efectos sísmicos. Sin embargo este valor aumenta a medida que aumentan las solicitaciones de origen sísmico. Seed y Whitman han sugerido que h se podría obtener suponiendo que la componente estática del esfuerzo del suelo actúa a H/3 de la base del estribo, mientras que se podría considerar que el esfuerzo dinámico adicional actúa a una altura h=0.6H. Sin embargo, para la mayoría de las aplicaciones será suficiente asumir h=0.5H con un empuje uniformemente distribuido (A.11.11.1.1). La expresión para la fuerza pasivafuerza pasivafuerza pasivafuerza pasiva actuando cuando el muro sufre el empuje del suelo es:

2vtPEPE H)k1((k

21

E −γ= (A.11.1.1.1-3)

siendo el coeficiente de presión pasiva sísmica del terreno:

2

.

.

2

2

PE

)Icos()cos(

)I(sen)(sen1)cos(coscos

)(cosk

β−θ+β−δ

+θ−φδ+φ−θ+β−δβθ

β+θ−φ= (A.11.1.1.1-4)

Para estimar la presión lateral del terreno por la acción sísmica, el coeficiente de aceleración vertical, kv, se asume por lo general igual a cero y el coeficiente de aceleración horizontal, kh, se toma como: kh = 0.5A, para muros donde es posible movimientos horizontales de hasta

aproximadamente 250A mm. (p.e.: muros de gravedad, en voladizo, etc.), y kh = 1.5A, para muros en que el desplazamiento horizontal es cero (p.e.: estribos

integrales, muros anclados, etc.) Siendo: A = coeficiente sísmico de aceleración horizontal (% g)

Page 240: Puentes LRFD

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V-14

P

H/3=3.33m

A

0.5H=5m

EQ AE AP =P - P

H=10m

PROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMAS PROBLEMA V.1PROBLEMA V.1PROBLEMA V.1PROBLEMA V.1 En el muro de contención mostrado de 10m de altura deterEn el muro de contención mostrado de 10m de altura deterEn el muro de contención mostrado de 10m de altura deterEn el muro de contención mostrado de 10m de altura determinar la minar la minar la minar la presión lateral del terreno y la carga sísmica presión lateral del terreno y la carga sísmica presión lateral del terreno y la carga sísmica presión lateral del terreno y la carga sísmica que actúaque actúaque actúaque actúa sobre el muro.sobre el muro.sobre el muro.sobre el muro. Considerar Considerar Considerar Considerar para para para para el terreno el terreno el terreno el terreno ∅∅∅∅ = 35°= 35°= 35°= 35°, , , , δδδδ = 0°= 0°= 0°= 0°, , , , γγγγtttt = 1925 kg/m= 1925 kg/m= 1925 kg/m= 1925 kg/m3333 ,,,, coeficiente sísmico de aceleración coeficiente sísmico de aceleración coeficiente sísmico de aceleración coeficiente sísmico de aceleración horizontal horizontal horizontal horizontal A A A A = 0.20= 0.20= 0.20= 0.20....

Solución.Solución.Solución.Solución.---- Se tiene: ∅ = ángulo de fricción interna = 35° δ = ángulo de fricción entre el suelo y el muro = 0° i = ángulo del material del suelo con la horizontal = 0° β = ángulo de inclinación del muro con la vertical = 0° H = altura del terreno = 10m γt = peso unitario del terreno= 1925 kg/m3 A = coeficiente sísmico de aceleración horizontal = 0.20 kh = coeficiente de aceleración horizontal=0.5A= 0.5(0.20)= 0.10 kv = coeficiente de aceleración vertical =0

°=

−=θ 71.5

k1

ktanarc

v

h

A) Cálculo del coeficiente de empuje activo ka

Con (3.11.5.3-1) y (3.11.5.3-2) para los valores dados:

271.0)2

3545(tg)

245(tgk 22

a =−=φ

−=

B) Cálculo de la presión lateral del terreno

Considerando una longitud del estribo de 1.0m se tiene:

kg084,26)271.0)(m0.1()m10)(m/kg1925(21

kH21

P 23a

2tA ==γ=

Aplicada en h=H/3 = 10m/3 = 3.33m, desde la base.

Page 241: Puentes LRFD

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V-15

C) Cálculo de la fuerza sísmica

El coeficiente de presión activa sísmica del terreno es:

2

.

.

2

2

AE

)Icos()cos(

)I(sen)(sen1)cos(coscos

)(cosk

β−θ+β+δ

−θ−φδ+φ+θ+β+δβθ

β−θ−φ= (A.11.1.1.1-2)

328.0k AE =

Luego la fuerza de acción sísmica es:

)kk(H21

PPP aAE2

tAAEEQ −γ=−=

kg486,5)271.0328.0)(m0.1()m10)(m/kg1925(21

P 23EQ =−=

Aplicada en h=0.6H = 0.6(10m) = 0.60m desde la base, aunque es suficiente:

h=0.5H = 0.5(10m) = 0.50m (A.11.11.1.1)

Page 242: Puentes LRFD

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V-16

B

a

b

h

.15.80

H = 4.00 m

.30

P = 800 kg/m

P = 9,000 kg/m

WS = 150 kg/m

BR = 300 kg/m

CR+SH+TU = 900 kg/m

DW

LL+IM Losa de transición

Terreno

Superestructura

Estribo de gravedad

Ø = 31°õ = 24° = 1600 kg/m³

= 2320 kg/m³

1.80

.40

1.00

P = 7,000 kg/mDC

t

c

f

PROBLPROBLPROBLPROBLEMA V.EMA V.EMA V.EMA V.2222 Diseñar un estribo de gravedad para las condiciones mostradas.Diseñar un estribo de gravedad para las condiciones mostradas.Diseñar un estribo de gravedad para las condiciones mostradas.Diseñar un estribo de gravedad para las condiciones mostradas. El El El El terreno de cimentación posee una capacidad terreno de cimentación posee una capacidad terreno de cimentación posee una capacidad terreno de cimentación posee una capacidad de carga mayorada de carga mayorada de carga mayorada de carga mayorada para el estado para el estado para el estado para el estado límite límite límite límite de de de de resistencia resistencia resistencia resistencia qqqqRRRR= = = = 2222....00000 kg/cm0 kg/cm0 kg/cm0 kg/cm2222 y las propiedades que se detallan. La estructura está y las propiedades que se detallan. La estructura está y las propiedades que se detallan. La estructura está y las propiedades que se detallan. La estructura está en una zona nen una zona nen una zona nen una zona no sísmica pero expuesta a velocidades de viento superiores a 90 km/h.o sísmica pero expuesta a velocidades de viento superiores a 90 km/h.o sísmica pero expuesta a velocidades de viento superiores a 90 km/h.o sísmica pero expuesta a velocidades de viento superiores a 90 km/h. Solución.Solución.Solución.Solución.---- PREPREPREPRE----DIMENSIONADODIMENSIONADODIMENSIONADODIMENSIONADO

Para la altura H=4.00m, probamos una sección preliminar de estribo con: B= ancho del cimiento = ½H ~ 2/3H = 2.00m~2.67m = 2.50m (adoptado) h = altura del cimiento = H/6 ~ H/8 = 0.67m~0.50m = 0.50m (adoptado) a = longitud de punta = H/12~ H/6 = 0.33m~0.67m = 0.30m (adoptado) b = longitud de talón = H/12~ H/6 = 0.33m~0.67m = 0.30m (adoptado) N = 0.50m (adoptado) > Nmín = 0.23m Nmín = longitud mínima de cajuela = (200+0.0017L+0.0067H)(1+0.000125S²) = (200+0.0017x12,000)(1+0.000125x18.43²)mm

con L=12m (dato), H’=0, S=18.43° = 0.23m.

Page 243: Puentes LRFD

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V-17

0.90

B = 2.50 m

0.50

A

H = 4.00 m

.80

õ = 24°

EH = 0.5 x 3.7m x 1687 kg/m² = 3121 kg/m

k x 3.70m x 1600 kg/m³ = 1687 kg/m²

k x 0.30m x 2320 kg/m³ = 198 kg/m²

k x 0.80m x 1600 kg/m³ = 365 kg/m²

EV

.30

altura equivalente de suelo por S/C

S/C por carga viva (LS)

EH = 3.70m x 198 kg/m²= 734 kg/m

LS = 3.70m x 365 kg/m² =1350 kg/m.25.25 0.50 5

.15

DC

h' = 0.80LS

.30

P = 7,000 kg/m

LL+IM

BR = 300 kg/m

P = 9,000 kg/m

P = 800 kg/mDC

1.80DW

.40

WS = 150 kg/mCR+SH+TU = 900 kg/m

0.50

.30 .17 1

EV23EV

2

2

1

1

a

a

a

DC1

2DC

DC3

4DC

s=18.43°

CASO I CASO I CASO I CASO I –––– ESTRIBO CON PUENTEESTRIBO CON PUENTEESTRIBO CON PUENTEESTRIBO CON PUENTE A) Coeficiente de empuje activo Ka

∅ = ángulo de fricción interna = 31° δ = ángulo de fricción entre el suelo y el muro = 24° (Tabla 3.11.5.3-1) β = ángulo del material del suelo con la horizontal = 0° = ángulo de inclinación del muro del lado del terreno = 90°

Luego:

2

)(sen)(sen

)(sen)(sen1

β+θδ−θ

β−φδ+φ+=Γ (3.11.5.3-2)

Para β = 0° y = 90° :

821.2cos

sen)(sen1

2

=

δ

φδ+φ+=Γ

[ ])(sensen)(sen

k 2

2

aδ−θθΓ

φ+θ= (3.11.5.3-1)

Para = 90° : 285.0cos

cosk

2

a =δΓ

φ=

Page 244: Puentes LRFD

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V-18

B) Altura equivalente de suelo por S/C

Por cargas vehiculares actuando sobre el terreno, agregamos una porción equivalente de suelo. De la Tabla 3.11.6.4-1, por interpolación para H = 4.00 m, h’ = 0.80 m.

C) Metrado de Cargas

CARGAS VERTICALESCARGAS VERTICALESCARGAS VERTICALESCARGAS VERTICALES....----

Cargas DC (peso propio)

Estribo: DC1 = 0.5(.90 m x 2.70m) x 2,320 kg/m3 = 2,819 kg/m DC2 = 0.50 m x 2.70m x 2,320 kg/m3 = 3,132 kg/m DC3 = 0.50 m x 3.50m x 2,320 kg/m3 = 4,060 kg/m DC4 = 0.50 m x 2.50m x 2,320 kg/m3 = 2,900 kg/m

Losa de Acercamiento:

DC5 = 0.30 m x 0.30 m x 2,320 kg/m3 = 209 kg/m

Carga muerta de la superestructura del puente:

PDC = 7,000 kg/m Cargas DW (peso de superficie de rodamiento)

PDW = 800 kg/m

Cargas EV (presión vertical por carga muerta del terreno)

EV1 = 0.30 m x 3.20 m x 1,600 kg/m3 = 1,536 kg/m EV2 = 0.30 m x 0.50 m x 1,600 kg/m3 = 240 kg/m EV3 = ½ x 0.50 m x 0.17 m x 1,600 kg/m3 = 68 kg/m

Cargas EH (presión lateral del terreno)

Por 3.70 m de terreno:

EH1y = EH1 sen δ = 3,121kg/m (sen 24°) = 1,269 kg/m

Por losa de acercamiento:

EH2y = EH2 sen δ = 734 kg/m (sen 24°) = 299 kg/m

Page 245: Puentes LRFD

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V-19

Cargas LL (carga viva de la superestructura de puente)

PL = 9,000 kg/m

Cargas LS (sobrecarga por carga viva en el terreno)

Terreno equivalente extendido en 0.30 m del estribo: LS1 = 0.80 m x 0.30m x 1,600 kg/m3 = 384 kg/m

Componente vertical de la sobrecarga por carga viva:

LS2y = LS2 (sen δ) = 1,350 kg/m (sen 24°) = 549 kg/m

Resumen Cargas VerticalesResumen Cargas VerticalesResumen Cargas VerticalesResumen Cargas Verticales

CARGACARGACARGACARGA TIPOTIPOTIPOTIPO V (Kg/m)V (Kg/m)V (Kg/m)V (Kg/m) ddddAAAA (m)(m)(m)(m) MMMMVVVV(kg(kg(kg(kg----m/m)m/m)m/m)m/m) DC1 DC 2,819 0.90 2,537 DC2 DC 3,132 1.45 4,541 DC3 DC 4,060 1.95 7,917 DC4 DC 2,900 1.25 3,625 DC5 DC 209 2.35 491 PDC DC 7,000 1.45 10,150 PDW DW 800 1.45 1,160 EV1 EV 1,536 2.35 3,610 EV2 EV 240 0.15 36 EV3 EV 68 0.36 24

EH1y EH 1,269 2.50 3,173 EH2y EH 299 2.50 748

PL LL 9,000 1.45 13,050 LS1 LS 384 2.35 902 LS2y LS 549 2.50 1,373

Σ 34,265 53,337 CARGAS HORIZONTCARGAS HORIZONTCARGAS HORIZONTCARGAS HORIZONTALESALESALESALES....----

Cargas EH (presión lateral del terreno)

Por 3.70 m de terreno:

EH1x = EH1 cos δ = 3,121kg/m (cos 24º) = 2,851 kg/m

Por losa de acercamiento:

EH2x = EH2 cos δ = 734 kg/m (cos 24º) = 671 kg/m

Cargas LS (sobrecarga por carga viva en el terreno)

Componente horizontal de la sobrecarga por carga viva:

LS2x = LS2 (cos δ) = 1,350 kg/m (cos 24º) = 1,233 kg/m

Page 246: Puentes LRFD

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V-20

Cargas WS (viento sobre la estructura)

WS = 150 kg/m

Cargas BR (fuerza de frenado)

BR = 300 kg/m

Cargas CR, SH y TU (Deformación del concreto por carga sostenida en el tiempo, acortamiento por presforzado, y temperatura uniforme)

CR + SH + TU = 900 kg/m

Resumen Cargas HorizontalesResumen Cargas HorizontalesResumen Cargas HorizontalesResumen Cargas Horizontales CARGACARGACARGACARGA TIPOTIPOTIPOTIPO H (kg/m)H (kg/m)H (kg/m)H (kg/m) ddddAAAA (m)(m)(m)(m) MMMMHHHH (kg(kg(kg(kg----m/m)m/m)m/m)m/m)

EH1x EH 2,851 1.23 3,507 EH2x EH 671 1.85 1,241 LS2x LS 1,233 1.85 2,281 WS WS 150 3.60 540 BR BR 300 5.80 1,740

CR+SH+TU CR+SH+TU 900 3.60 3,240 Σ 6,105 12,549

D) Estados límites aplicables y combinaciones de cargas Tomaremos en cuenta los Estados Límites de Resistencia I y III aplicables en este caso y con un valor n=nDnRnI=1. Observamos que existen numerosas combinaciones de factores de carga γ para cada estado límite como puede deducirse de las Tablas 3.4.1-1 y 3.4.1-2. Incluso en un solo estado límite encontramos que pueden establecerse numerosas combinaciones distintas. El diseñador en este caso apelando a su responsabilidad y buen juicio debe seleccionar los factores de carga apropiados en cada tipo de carga. Para el chequeo de estabilidad al vuelco y deslizamiento, observando en el gráfico las cargas actuantes, utilizaremos los factores γ máximos para las cargas horizontales que generan vuelco alrededor del punto A y deslizamiento en la base (EH, LS, WS, BR, CR+SH+TU) y los factores de carga γ mínimos en las cargas verticales que generan estabilidad (DC, DW, EV, LL+IM) para de esta manera maximizar las condiciones críticas en la estructura. Estos casos serán denominados Ia y IIIa, respectivamente. Para el chequeo de presiones en la base utilizaremos los factores γ máximos en las cargas verticales y horizontales para maximizar efectos. A estos casos los denominaremos Ib y IIIb, respectivamente.

Page 247: Puentes LRFD

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V-21

Page 248: Puentes LRFD

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V-22

Vu

MHU

M

uV

B/2 B/2

e=B/2-xx

CL

o o

=

B

Estable si:

A

e B/4 (fundación en suelo)e 3B/8 (fundación en suelo rocoso)VU

uV

fF =µ(ØV )u

uH

F > Hf u

Estable si:

E) CHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOS

a)a)a)a) Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”

b)b)b)b) Deslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estribo

Con: µ = tgd = tg 24° = 0.445 (Tabla 3.11.5.3-1) Øτ = 0.80 (Tabla 10.5.5.2.2-1)

Estados Vu

(Kg/m) RESISTENTE (Kg/m)

Ff =µ (ØτVu) ACTUANTE (Kg/m)

Hu

Resistencia Ia 24,457 8,707 8,416 OK! Resistencia Ib 48,574 17,292 8,416 OK! Resistencia IIIa 22,824 8,125 5,943 OK! Resistencia IIIb 31,191 11,104 5,943 OK!

Estado Vu

(Kg/m) Mvu

(Kg-m/m) Mhu

(Kg-m/m) u

huvuo V

MMx

−=

(m)

)ox2B

(e −=

(m)

emax=B/4 (m)

Resistencia Ia 24,457 40,622 15,779 1.016 0.234 0.625 OK! Resistencia Ib 48,574 75,971 15,779 1.239 0.011 0.625 OK! Resistencia IIIa 22,824 36,640 9,498 1.189 0.061 0.625 OK! Resistencia IIIb 31,191 49,152 9,498 1.271 0.021 0.625 OK!

Page 249: Puentes LRFD

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V-23

oVUMx

=

e=B/2-xo

LC

qmáx

qmín

q qR máx

q

B/2B/2

q

B-2e

Fundación en roca

Fundación en suelo

Estable si:

Rq qEstable si:

B

HUM

VVu

c)c)c)c) Presiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estribo

CASO ICASO ICASO ICASO IIIII –––– ESTRIBO ESTRIBO ESTRIBO ESTRIBO SISISISIN PUENTEN PUENTEN PUENTEN PUENTE Estados límites aplicables y combinaciones de cargas

Estado Vu

(Kg/m) Mvu

(Kg-m/m) Mhu

(Kg-m/m) u

huvuo V

MMx

−=

(m)

)ox2B

(e −=

(m)

e2B

Vq U

−=

(kg/cm2)

Resistencia Ia 24,457 40,622 15,779 1.016 0.234 1.20<2 OK! Resistencia Ib 48,574 75,971 15,779 1.239 0.011 1.96<2 OK! Resistencia IIIa 22,824 36,640 9,498 1.189 0.061 0.96<2 OK! Resistencia IIIb 31,191 49,152 9,498 1.271 0.021 1.27<2 OK!

Page 250: Puentes LRFD

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V-24

Vu

MHU

M

uV

B/2 B/2

e=B/2-xx

CL

o o

=

B

Estable si:

A

e B/4 (fundación en suelo)e 3B/8 (fundación en suelo rocoso)VU

CHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOS

a)a)a)a) Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”

Estado Vu

(Kg/m) Mvu

(Kg-m/m) Mhu

(Kg-m/m) u

huvuo V

MMx

−=

(m)

)ox2B

(e −=

(m)

emax=B/4 (m)

Resistencia Ia 17,637 30,733 11,114 1.112 0.138 0.625 OK! Resistencia Ib 22,874 38,706 11,114 1.206 0.044 0.625 OK! Resistencia IIIa 16,004 26,751 7,122 1.227 0.023 0.625 OK! Resistencia IIIb 21,241 34,725 7,122 1.299 0.049 0.625 OK!

Page 251: Puentes LRFD

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V-25

0.5

k x1600x1.30=12,688kgp

0.30k x1600x1.00=9,760kgp

E =3,367kg

0.5

0.3 põ = 24°

uV

fF =µ(ØV )u

uH

F > Hf u

Estable si:

b)b)b)b) Deslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estribo

Con: µ = tgd = tg 24° = 0.445 (Tabla 3.11.5.3-1) Øτ = 0.80 (Tabla 10.5.5.2.2-1)

Estados Vu (Kg/m)

RESISTENTE (Kg/m)

Ff =µ (ØτVu) ACTUANTE (Kg/m)

Hu

Resistencia Ia 17,637 6,279 7,441 N.S. Resistencia Ib 22,874 8,143 7,441 OK! Resistencia IIIa 16,004 5,697 5,283 OK! Resistencia IIIb 21,241 7,562 5,283 OK!

El estado límite de Resistencia Ia no es satisfactorio por lo que colocamos un diente de concreto de sección 0.30mx0.30m. en la base tal como se muestra en la figura; consideramos además la resistencia pasiva del suelo sólo en el ámbito del diente.

De la Figura 3.11.5.4-1, el coeficiente de empuje pasivo es kp=7 (con Øf=31° y Ө=90°) y el factor de reducción hallado por interpolación, R=0.870 (con õ/Øf=0.774). Luego:

kp = R kp(õ=Ø)

kp = 0.870(7) = 6.10

La resistencia pasiva es:

Epcos24°=½(9,760kg/m+12,688kg/m) x 0.30m x cos24° = 3,076kg

Para el estado límite de Resistencia Ia, agregando el diente de concreto se tiene:

QR = ØτQτ+ ØepQep (10.6.3.3-1)

Page 252: Puentes LRFD

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V-26

oVUM

x

=

e=B/2-xo

LC

qmáx

qmín

q qR máx

q

B/2B/2

q

B-2e

Fundación en roca

Fundación en suelo

Estable si:

Rq qEstable si:

B

HUM

VVu

Con: ØτQτ = 6,279kg Øep = 0.50 (Tabla 10.5.5.2.2-1) Qep =3,076kg

QR = 6,279kg+ 0.50(3,076kg)=7,7,7,7,817817817817kg > 7,441kg OK!kg > 7,441kg OK!kg > 7,441kg OK!kg > 7,441kg OK!

c)c)c)c) Presiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estriboPresiones actuantes en la base del estribo

Estado Vu

(Kg/m) Mvu

(Kg-m/m) Mhu

(Kg-m/m) u

huvuo V

MMx

−=

(m)

)ox2B

(e −=

(m)

e2B

Vq U

−=

(kg/cm2)

Resistencia I 17,637 30,733 11,114 1.112 0.138 0.79<2 OK! Resistencia Ia 22,874 38,706 11,114 1.206 0.044 0.95<2 OK! Resistencia III 16,004 26,751 7,122 1.227 0.023 0.65<2 OK! Resistencia IIIa 21,241 34,725 7,122 1.299 0.049 0.88<2 OK!

Page 253: Puentes LRFD

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V-27

H=4.50m

1.40m

B

a t

h

1

2t

punta talón

PROBLEMA V.3PROBLEMA V.3PROBLEMA V.3PROBLEMA V.3 Diseñar el muro de contención en voladizo mostrado. El relleno es de Diseñar el muro de contención en voladizo mostrado. El relleno es de Diseñar el muro de contención en voladizo mostrado. El relleno es de Diseñar el muro de contención en voladizo mostrado. El relleno es de 4.50m de altura, su4.50m de altura, su4.50m de altura, su4.50m de altura, suelo no cohesivo de peso unitario elo no cohesivo de peso unitario elo no cohesivo de peso unitario elo no cohesivo de peso unitario γγγγtttt=1925 kg/m³, capacidad última =1925 kg/m³, capacidad última =1925 kg/m³, capacidad última =1925 kg/m³, capacidad última del terreno del terreno del terreno del terreno basado en pruebas de penetración standard (SPT) basado en pruebas de penetración standard (SPT) basado en pruebas de penetración standard (SPT) basado en pruebas de penetración standard (SPT) qqqqnnnn====4444....00000000 kg/cm², ángulo kg/cm², ángulo kg/cm², ángulo kg/cm², ángulo de fricción interna del suelo de cimentación Øde fricción interna del suelo de cimentación Øde fricción interna del suelo de cimentación Øde fricción interna del suelo de cimentación Øffff=30°.=30°.=30°.=30°. Solución.Solución.Solución.Solución.---- A) Pre-dimensionado

Para la altura H=4.50m, probamos una sección preliminar de muro con: BBBB= ancho del cimiento = ½H ~ 2/3H = 2.25m~3.00m = 2.70m (adoptado) hhhh = altura del cimiento = 0.1H = 0.45m (adoptado) aaaa = longitud de punta = B/3 = 0.90m = 0.70m (adoptado) tttt1111=grosor mayor de pantalla = 0.1H = 0.45m = 0.50m (adoptado) tttt2222=grosor menor de pantalla = H/24 = 0.19m = 0.30m (adoptado el mínimo) Otras medidas tomadas se muestran en el gráfico siguiente.

B) Capacidad de carga mayorada del terreno en el estado límite de resistencia (qR)

Con Øb = 0.45 (Tabla 10.5.5.2.2-1)

qR=Øb qn (10.6.3.1.1-1)

qR = 0.45(4kg/cm²) = 1.80kg/cm²

Page 254: Puentes LRFD

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V-28

.45

1.40m

2.70m

.30

H=4.50m

.20

.70.50 1.50

h'=0.75m 560kg/m³x 0.75m=420kg/m²

560kg/m³x 4.50m=2,520kg/m²

EH=½ x 2,520kg/m² x 4.50m

=5,670kg/m

1.50m2.25m

LS =420kg/m² x 4.50m=1,890kg/m

x

altura equivalente de suelo por S/C

DC1

2DC

3DC

1EV

2EV

3EV

yLS

A

C) Densidad de fluido equivalente (Tabla 3.11.5.5-1)

Aplicando el método del fluido equivalente para determinar la magnitud de la presión activa del terreno, para una arena de densidad media, γt = 560 kg/m3

D) Altura equivalente de suelo por S/C (Tabla 3.11.6.4-1)

Por cargas vehiculares actuando sobre el terreno, agregamos una porción equivalente de suelo. Por interpolación obtenemos para H = 4.50 m, h’ = 0.75 m.

E) Metrado de Cargas (considerando franjas de 1m de longitud)

CARGAS VERTICALESCARGAS VERTICALESCARGAS VERTICALESCARGAS VERTICALES....----

Cargas DC (peso propio)

Muro de concreto armado: DC1 = 0.30m x 4.05m x 1.0m x 2,400kg/m3 = 2,916kg DC2 = ½ x 0.20m x 4.05m x 1.0m x 2,400kg/m3 = 972kg DC3 = 2.70m x 0.45m x 1.0m x 2,400kg/m3 = 2,916kg

Page 255: Puentes LRFD

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V-29

Cargas EV (presión vertical por carga muerta del terreno)

EV1 = 1.50m x 4.05m x 1.0m x 1,925kg/m3 = 11,694kg EV2 = ½ x 0.20m x 4.05m x 1.0m x 1,925kg/m3 = 780kg EV3 = 0.70m x 0.95m x 1.0m x 1,925kg/m3 = 1,280kg

Cargas LS (sobrecarga por carga viva en el terreno) Terreno equivalente extendido en 1.70m del estribo:

LSy = 1.70m x 0.75m x 1.0m x 1,925kg/m3 = 2,454kg

Resumen Cargas VerticalesResumen Cargas VerticalesResumen Cargas VerticalesResumen Cargas Verticales

CARGACARGACARGACARGA TIPOTIPOTIPOTIPO V (Kg/m)V (Kg/m)V (Kg/m)V (Kg/m) ddddAAAA (m)(m)(m)(m) MMMMVVVV(kg(kg(kg(kg----m/m)m/m)m/m)m/m) DC1 DC 2,916 0.850 2,479 DC2 DC 972 1.067 1,037 DC3 DC 2,916 1.350 3,937 EV1 EV 11,694 1.950 22,804 EV2 EV 780 1.133 884 EV3 EV 1,280 0.350 448 LSy LS 2,454 1.850 4,541 Σ 23,013 36,128

CARGAS HORIZONTALESCARGAS HORIZONTALESCARGAS HORIZONTALESCARGAS HORIZONTALES....----

Cargas EH (presión lateral del terreno)

Por 4.50m de terreno:

EH = 5,670kg

Cargas LS (sobrecarga por carga viva en el terreno)

Componente horizontal de la sobrecarga por carga viva:

LSx = 1,890kg

Resumen Cargas HorizontalesResumen Cargas HorizontalesResumen Cargas HorizontalesResumen Cargas Horizontales CARGACARGACARGACARGA TIPOTIPOTIPOTIPO H (kg/m)H (kg/m)H (kg/m)H (kg/m) ddddAAAA (m)(m)(m)(m) MMMMHHHH (kg(kg(kg(kg----m/m)m/m)m/m)m/m)

EH EH 5,670 1.50 8,505 LSx LS 1,890 2.25 4,253 Σ 7,560 12,758

Page 256: Puentes LRFD

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V-30

D) Estados límites aplicables y combinaciones de cargas Tomaremos en cuenta los estado límites de Resistencia I y Servicio I aplicables en este caso y con un valor n=nDnRnI=1 Para el chequeo de estabilidad al vuelco y deslizamiento observando en el gráfico las cargas actuantes, utilizaremos los factores γ máximos para las cargas horizontales que generan vuelco alrededor del punto A y deslizamiento en la base (EH y LS) y los factores de carga γ mínimos en las cargas verticales que generan estabilidad (DC y EV) para de esta manera maximizar las condiciones críticas de vuelco y deslizamiento en la estructura. Este caso será denominado Ia. Para el chequeo de presiones en la base utilizaremos los factores γ máximos en cargas verticales y horizontales para maximizar efectos. A este caso lo denominaremos Ib. El chequeo de agrietamiento por distribución de armadura se realizará para el estado límite de Servicio I.

Page 257: Puentes LRFD

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V-31

1.40

.30

.30

k x1925x1.70=9,621kg

E =2,632kgp

pk x1925x1.40=7,923kg

p

E) CHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOS a)a)a)a) Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”Vuelco alrededor del punto “A”

b)b)b)b) Deslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estriboDeslizamiento en base del estribo Con: µ = tgd = tg Øf = 0.577 (10.6.3.3) Øτ= 0.80(Tabla 10.5.5.2.2-1).En estado límite de servicio Øτ=1.0 (1.3.2.1)

Estados Vu

(Kg/m) RESISTENTE (Kg/m)

Ff =µ (ØVu) ACTUANTE (Kg/m)

Hu

Resistencia Ia 24,173 11,158 11,813 N.S. Resistencia Ib 31,368 14,480 11,813 O.K.! Servicio I 23,013 13,278 7,560 O.K.!

El estado límite de Resistencia Ia en este caso no es satisfactorio por lo que colocamos un diente de concreto de sección 0.30mx0.30m. en la base como se muestra en la figura; consideramos además la resistencia pasiva del suelo sólo en el ámbito del diente.

De la Figura 3.11.5.4-1, el coeficiente de empuje pasivo es kp=6.3 (con Øf=30° y Ө=90°) y el factor de reducción hallado por interpolación, R=0.467 (con õ/Øf=0). Luego:

kp = R kp(õ=Ø)

kp = 0.467(6.3) = 2.94

Estado Vu

(Kg/m) Mvu

(Kg-m/m) Mhu

(Kg-m/m) u

huvuo V

MMx

−=

(m)

)ox2B

(e −=

(m)

emax=B/4 (m)

Resistencia Ia 24,173 38,788 20,199 0.77 0.58 0.675 O.K.! Resistencia Ib 31,368 49,844 20,199 0.95 0.40 0.675 O.K.! Servicio I 23,013 36,128 12,758 1.02 0.33 0.675 O.K.!

Page 258: Puentes LRFD

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V-32

H=4.05m

1.35m

2.025m

560kg/m³x 4.05m=2,268kg/m²

EH=½ x 2,268kg/m² x 4.05m

x=1,701kg/m

LS =420kg/m² x 4.05m

=4,593kg/m

560kg/m³x 0.75m=420kg/m²

La resistencia pasiva es: Ep=½(9,621kg/m + 7,923kg/m) x 0.30m = 2,632kg Para el estado límite de Resistencia Ia, agregando el diente de concreto se tiene:

QR = ØτQτ+ ØepQep (10.6.3.3-1) Con: ØτQτ = 11,158kg Øep = 0.50 (Tabla 10.5.5.2.2-1) Qep = 2,632kg

QR = 11,158kg+ 0.50(2,632kg)=12121212,,,,474474474474kg > kg > kg > kg > 11111111,,,,813813813813kg OK!kg OK!kg OK!kg OK!

c)c)c)c) Presiones actuantesPresiones actuantesPresiones actuantesPresiones actuantes en la base del estriboen la base del estriboen la base del estriboen la base del estribo

F) F) F) F) CÁLCULO DEL ACEROCÁLCULO DEL ACEROCÁLCULO DEL ACEROCÁLCULO DEL ACERO

F.1) DISEÑO DE PANTALLAF.1) DISEÑO DE PANTALLAF.1) DISEÑO DE PANTALLAF.1) DISEÑO DE PANTALLA

Estado Vu

(Kg/m) Mvu

(Kg-m/m) Mhu

(Kg-m/m) u

huvuo V

MMx

−=

(m)

)ox2B

(e −=

(m)

e2B

Vq U

−=

(kg/cm2)

Resistencia Ia 24,173 38,788 20,199 0.77 0.58 1.57<1.80 O.K.! Resistencia Ib 31,368 49,844 20,199 0.95 0.40 1.66<1.80 O.K.!

Page 259: Puentes LRFD

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V-33

50cm

d z

a)a)a)a) Acero Por FlexiónAcero Por FlexiónAcero Por FlexiónAcero Por Flexión

Momento de diseño en la base de la pantalla, estado límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1: Mu = n[1.50 MEH + 1.75 MLS] (Tabla 3.4.1-1) = 1.00[1.50(4,593kg/m x 1.35m) + 1.75(1,701kg/m x 2.025m)] = 15.33T-m/m Utilizando 1∅1/2”@.12 (As=1.29cm²/0.12m=10.75cm²/m) y recubrimiento r= 7.5cm (Tabla 5.12.3-1)

cm14.8227.1

5.7z =+=

d= 50cm – 8.14cm = 41.87cm

cm53.2100x210x85.0

4200x75.10

bf85.0

fAsa

'c

y===

)253.2

87.41(4200)9.0(75.10)2a

d(f)9.0(AsM yu −=−=

mT33.15mT50.16Mu −>−= OK! As máximo (Art. 5.7.3.3.1)

Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42

c = a / β1 = 2.53 / 0.85 = 2.98cm de = 41.87cm

c /de = 0.07 ≤ 0.42 OK!

As mínimo (Art. 5.7.3.3.2)

La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(29.13kg/cm2)(41,667cm3) = 14.57T-m

Siendo: 22'

c'cr cm/kg13.2921001.2cm/kgf01.2MPaf63.0f ====

S = bh2/6 = 100(50)2/6 = 41,667cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(15.33T-m) = 20.39T-m El menor valor es 14.57T-m y la cantidad de acero calculada (10.75cm2) resiste Mu=16.50T-m >14.57T-m OK!

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅1/21/21/21/2” @ 0.1” @ 0.1” @ 0.1” @ 0.12222mmmm

Page 260: Puentes LRFD

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V-34

1Ø1/2"@0.12

50 cm

12 cm

dc

cd

b

b)b)b)b) As As As As de temperaturade temperaturade temperaturade temperatura

]SI[F

A756.0A

y

gtemps = (5.10.8.2-1)

]cm/kg4200fcon,MKS[A0018.0A 2ygtemps ==

Siendo la pantalla de sección variable, tomamos conservadoramente un grosor de 0.50m:

2temps cm0.9)100x50(0018.0A ==

capa/cm5.42/cm0.9A 22

temps ==

Utilizando varillas ∅1/2”, la separación será: m28.050.429.1

s ==

smáx = 3t = 3(0.50)= 1.50m (Art.5.10.8) smáx = 0.45m OK! (Art.5.10.8)

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅1/2” @ 0.1/2” @ 0.1/2” @ 0.1/2” @ 0.28282828 mmmm

Nota.- El acero de temperatura se colocará por no contar con ningún tipo de acero en el sentido perpendicular al acero principal de la pantalla y también en la cara de la pantalla opuesta al relleno, en ambos sentidos.

c) Revisión Revisión Revisión Revisión dddde e e e ffffisuración isuración isuración isuración ppppor or or or ddddistribución istribución istribución istribución dddde e e e aaaarmadurarmadurarmadurarmadura (Art. 5.7.3.4)

Esfuerzo máximo del acero:

y3/1c

sa f6.0)Ad(

Zf ≤= (5.7.3.4-1)

Para el acero principal:

ntorecubrimied)4.3.7.5.Art(cm5

c +=≤

44 344 21

cm227.1

cm5dc +=

dc = 5.635cm b = espac. del acero = 12cm nv = número de varillas = 1

2

v

c cm24.1351

)cm12)(cm635.5x2(n

b)d2(A === (Art. 5.7.3.4)

Z = 23,000N/mm (considerando exposición severa) (Art. 5.7.3.4) = 23,460Kg/cm

Page 261: Puentes LRFD

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V-35

c=41.87- y

1Ø1/2"@0.12Ast=9x1.29cm²=11.61cm²

8.13

y

41.87

(+)

(fs/n)

50 cm

(-)

12 cm

Luego: 2

3/12sa cm/kg568,2)cm24.135xcm635.5(

cm/kg460,23f ==

22sa cm/kg520,2)cm/kg4200(6.0f =≤

2sa cm/kg520,2f =

Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio

nIcM

f ss =

Para el Diseño por Estado Límite de Servicio I, con n= nDnRnI=1:

)M0.1M0.1(nM LSEHs += (Tabla 3.4.1-1) Ms = 1.0(1.0x1.35mx4.593T+1.0x2.025mx1.701T) Ms = 9.645T-m/m Para un ancho tributario de 0.12m: Ms = (9.645T-m/m) (0.12m) = 1.157 T-m Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2)

'cc f344,15E = (5.4.2.4-1)

2c cm/kg356,222210344,15E ==

9cm/kg356,222

cm/kg400,039'2

E

En

2

2

c

s ===

Área de acero transformada: Ast = relación modular x área de acero Ast = 9(1.29cm2) = 11.61cm2

Page 262: Puentes LRFD

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V-36

Momentos respecto del eje neutro para determinar y:

12y (y/2) = 11.61(41.87-y)

y = 8.09cm, c=41.87cm-y = 33.78cm Inercia respecto del eje neutro de sección transformada:

3by

cAI3

2st +=

3

)09.8(12)78.33(61.11

32 +=

=15,366cm4

Luego:

25

ss cm/kg289,29x

366,15

78.33x10x157.1n

I

cMf ===

!OKcm/kg520,2fcm/kg289,2f 2

sa2

s =<=

d)d)d)d) RRRRevisión por cortevisión por cortevisión por cortevisión por corteeee

Típicamente el corte no gobierna el diseño de un muro de contención; sin embargo revisaremos el grosor de la pantalla para confirmar que no se requiere armadura transversal. El cortante actuante en la base de la pantalla para el estado límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1, es: Vu = n[1.50 VEH + 1.75 VLS] (Tabla 3.4.1-1) = 1.00[1.50(4,593kg/m) + 1.75(1,701kg/m)] = 9.87T/m El cortante resistente del concreto es:

Vr = Ø Vn (5.8.2.1-2) Ø = 0.9 (5.5.4.2)

Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1) siendo Vn el menor de:

Vn = 0.25f’cbvdb + Vp (5.8.3.3-2)

]N[dbf083.0V vv'cc β= (5.8.3.3-3)

para β=2 (Art. 5.8.3.4): ]kg[dbf53.0V vv'cc =

Page 263: Puentes LRFD

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V-37

H=4.05m

1.50

LS =1.50mx0.75mx1,925kg/m³

EV=4.05mx1.50mx1,925kg/m³

altura equivalente de suelo por S/C

h'=0.75m=2,166kg/m

DC=1.50mx0.45mx2,400kg/m²=1,620kg/m

=11,694kg/m

As

2.70m

B-2e=1.90mU

q=1.66kg/cm²

T19.31)61.40x100(21053.0dbf53.0V vv'cc ===

donde: bv = ancho de diseño de pantalla= 100 cm de = 41.87cm

cm61.40253.2

87.412a

defectivocortedeperalted ev =−=−== (Art. 5.8.2.9)

no menor que el 0.90de= 0.90(41.87 cm) = 37.68cm OK! mayor valor de 0.72h = 0.72(50 cm) = 36.00cm

Con Vp=0 y Vs=0 Vn = 31.19T el menor valor de Vn = 0.25 x 210 x 100 x 40.61 = 213.20T es: Vn = 31.19T La resistencia del concreto al corte es:

Vr = ØVn = 0.9(31.19T) = 28.07T28.07T28.07T28.07T > > > > 9.87T9.87T9.87T9.87T OK!

F.2) DISEÑO DE CIMENTACIÓNF.2) DISEÑO DE CIMENTACIÓNF.2) DISEÑO DE CIMENTACIÓNF.2) DISEÑO DE CIMENTACIÓN

a)a)a)a) AceAceAceAcero ro ro ro parte parte parte parte superior superior superior superior de zapatade zapatade zapatade zapata

Momento de diseño en la parte superior del talón, estado límite de Resistencia Ib, con n= nDnRnI=1, despreciando del lado conservador la reacción del suelo:

Page 264: Puentes LRFD

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V-38

Mu = n[1.25 MDC +1.35 MEV +1.75 MLS] (Tabla 3.4.1-1) = 1.00[1.25(1,620kg x 0.75m) + 1.35(11,694kg x 0.75m)

+ 1.75(2,166kg x 0.75m)]

= 16,201.8kg-m Utilizando acero ∅5/8” y recubrimiento r= 7.5cm (Tabla 5.12.3-1)

cm29.82

587.15.7

recubz =+=+=

d= 45cm – 8.29cm = 36.71cm

2

y

us cm15.12

)2a

d(f9.0

MA =

=

cm85.2bf85.0

fAsa

'c

y==

Utilizando varillas ∅5/8”, la separación será: m16.015.12

00.2s ==

As máximo (Art. 5.7.3.3.1)

Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42 c = a / β1 = 2.85 / 0.85 = 3.35cm de = 36.71cm

c /de = 0.09 ≤ 0.42 OK!

As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(29.13kg/cm2)(33,750 cm3) = 11.80T-m

Siendo: 22'

c'cr cm/kg13.2921001.2cm/kgf01.2MPaf63.0f ====

S = bh2/6 = 100(45)2/6 = 33,750cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(16.20T-m) = 21.55T-m El menor valor es 11.80T-m y la cantidad de acero calculada (12.15cm2) resiste Mu=16.20T-m >11.80T-m OK!

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅5555////8888” @ 0.1” @ 0.1” @ 0.1” @ 0.16666mmmm

Page 265: Puentes LRFD

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V-39

b)b)b)b) As de temperaturaAs de temperaturaAs de temperaturaAs de temperatura

gtemps A0015.0A = (5.10.8.2-2) 2

temps cm75.6)100x45(0015.0A ==

capa/cm37.32/cm75.6A 22temps ==

Utilizando varillas ∅3/8”, la separación será: m21.037.371.0

s ==

smáx = 0.30m OK! (Art.5.10.8)

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅3333////8888” @ 0.2” @ 0.2” @ 0.2” @ 0.21111 mmmm

Nota.- El acero de temperatura se colocará por no contar con ningún tipo de acero, perpendicular al acero de flexión tanto en el talón como en la punta del cimiento.

c)c)c)c) RRRRevisión evisión evisión evisión del talón del talón del talón del talón por cortepor cortepor cortepor corte

El cortante actuante en la parte posterior de la pantalla para el estado límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1, es: Vu = n[1.25 VDC + 1.35 VEV +1.75 VLS] (Tabla 3.4.1-1) = 1.00[1.25(1,620kg) + 1.35(11,694kg) +1.75(2,166kg)] = 21,602kg El cortante resistente del concreto es:

Vr = Ø Vn (5.8.2.1-2) Ø = 0.9 (5.5.4.2)

Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1) siendo Vn el menor de:

Vn = 0.25f’cbvdv +Vp (5.8.3.3-2)

]N[dbf083.0V vv'cc β= (5.8.3.3-3)

para β=2 (Art. 5.8.3.4): ]kg[dbf53.0V vv'cc =

T10.27)28.35x100(21053.0dbf53.0V vv'cc ===

donde: bv = ancho de diseño de zapata = 100 cm de = 36.71cm

cm28.35285.2

71.362a

defectivocortedeperalted ev =−=−== (Art. 5.8.2.9)

no menor que el 0.90de= 0.90(36.71cm) = 33.04cm OK! mayor valor de 0.72h = 0.72(45cm) = 32.40cm

Page 266: Puentes LRFD

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V-40

.45

.70

2.70m

q=1.66kg/cm²U

B-2e=1.90m

dv

As

1.40

DC

EV

Con Vp=0 y Vs=0 Vn = 27.10T el menor valor de Vn = 0.25 x 210 x 100 x 35.28 =185.22T es: Vn = 27.10T La resistencia del concreto al corte es:

Vr = ØVn = 0.9(27.10T) = 22224444....39393939T > T > T > T > 21212121....60606060TTTT OK!

d)d)d)d) Acero Acero Acero Acero en fondo de zapataen fondo de zapataen fondo de zapataen fondo de zapata

Para el estado límite de Resistencia Ib con qu= 1.66kg/cm², despreciando del lado conservador tanto el peso del terreno (EV) como el peso del pie de la zapata (DC), el momento actuante en la cara de pantalla es:

mT07.4m1x2

)m70.0(x²m/t6.16M

2

u −==

Utilizando 1∅1/2” @0.32m (As=1.29cm² / 0.32m = 4.03cm²/m) siendo: recubrimiento = 7.5cm (Tabla 5.12.3-1)

cm14.8227.1

5.72Ø

recubz =+=+=

d= 45cm – 8.14cm = 36.86cm

cm95.0100x210x85.0

)4200(03.4

bf85.0

fAa

'c

ys===

mT07.4mT54.5)295.0

86.36(03.4x4200x9.0)2a

d(AØfM syu −>−=−=−=

Page 267: Puentes LRFD

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V-41

As máximo (Art. 5.7.3.3.1)

Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42 c = a / β1 = 0.95 / 0.85 = 1.12cm de = 36.86cm

c /de = 0.03 ≤ 0.42 OK!

As mínimo (Art. 5.7.3.3.2) La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(29.13kg/cm2)(33,750 cm3) = 11.80T-m

Siendo:

22'c

'cr cm/kg13.2921001.2cm/kgf01.2MPaf63.0f ====

S = bh2/6 = 100(45)2/6 = 33,750cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(4.07T-m) = 5.41T-m El menor valor es 5.41T-m y la cantidad de acero propuesta (4.03cm2) resiste Mu=5.54T-m >5.41T-m OK!

USAR 1USAR 1USAR 1USAR 1∅∅∅∅1111////2222” @ 0.” @ 0.” @ 0.” @ 0.32323232mmmm

e)e)e)e) RRRRevisión evisión evisión evisión de la punta de la punta de la punta de la punta por cortpor cortpor cortpor corteeee Cálculo de dv:

cm39.36295.0

86.362a

defectivocortedeperalted ev =−=−== (Art. 5.8.2.9)

no menor que el 0.90de= 0.90(36.86cm) = 33.17cm OK! mayor valor de 0.72h = 0.72(45cm) = 32.40cm

El cortante actuante a una distancia dv de la cara de la pantalla es: Vu = 16.6T/m² x (0.70m-0.5m) x 1.0m = 5.81T El cortante resistente del concreto es:

Vr = Ø Vn (5.8.2.1-2)

Ø = 0.9 (5.5.4.2)

Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1) siendo Vn el menor de:

Vn = 0.25f’cbvdv + Vp (5.8.3.3-2)

Page 268: Puentes LRFD

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V-42

DISPOSICION FINAL DE ARMADURA EN MURO

1Ø3/8"@0.21

1ؽ"@0.32

1ؽ"@0.28

1Ø3/8"@0.21

1Ø5/8"@0.16

1ؽ"@0.28

1ؽ"@0.12

]N[dbf083.0V vv'cc β= (5.8.3.3-3)

para β=2 (Art. 5.8.3.4): ]kg[dbf53.0V vv'cc =

T95.27)39.36x100(21053.0dbf53.0V vv'cc ===

Con Vp=0 y Vs=0 Vn = 27.95T el menor valor de Vn = 0.25 x 210 x 100 x 36.39 =191.05T es: Vn = 27.10T La resistencia del concreto al corte es:

Vr = ØVn = 0.9(27.95T) = 22225555....16161616T > T > T > T > 5555....81818181TTTT OK!

Page 269: Puentes LRFD

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VI-1

CAP VI:CAP VI:CAP VI:CAP VI: PILARESPILARESPILARESPILARES 1. REFUERZO MÁXIMO Y MÍNIMO EN MIEMBROS A COMPRESIÓN 1. REFUERZO MÁXIMO Y MÍNIMO EN MIEMBROS A COMPRESIÓN 1. REFUERZO MÁXIMO Y MÍNIMO EN MIEMBROS A COMPRESIÓN 1. REFUERZO MÁXIMO Y MÍNIMO EN MIEMBROS A COMPRESIÓN (Art.

5.7.4.2)

La máxima sección de armadura longitudinal pretensada y no pretensada deberá ser tal que:

08.0fA

fA

AA

yg

pups

g

s ≤+ (5.7.4.2-1)

30.0fA

fA'cg

peps≤ (5.7.4.2-2)

La mínima sección de armadura longitudinal pretensada y no pretensada deberá ser

tal que:

135.0fA

fA

fA

fA'cg

pups

'cg

ys≥+ (5.7.4.2-3)

donde: Aps = área de acero del pretensado As = área de la armadura de tracción no pretensada Ag = área bruta de la sección fpu = resistencia a la tracción especificada del acero de pretensado fy = tensión de fluencia especificada de las barras de armadura f’c = resistencia a la compresión especificada del hormigón a 28 días fpe = tensión de pretensado efectiva

El mínimo número de barras de armadura longitudinal deberá ser seis para disposiciones circulares y cuatro para disposiciones rectangulares. El tamaño mínimo de barra será Nº 16.

Para puentes en Zonas Sísmicas 1 y 2 se puede utilizar una sección efectiva reducida si la sección transversal es mayor que la requerida para resistir las cargas aplicadas. El mínimo porcentaje de armadura longitudinal total (pretensada y no pretensada) del área efectiva reducida será uno por ciento o el valor obtenido de la Ecuación 3, cualquiera sea el valor que resulte mayor. 2. EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ2. EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ2. EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ2. EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ (Art. 5.7.4.3)

Para los elementos desplazables, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar

si:

22r

KL u <

Para los elementos que no se desplazan, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar si:

2

1u

M

M1234

r

KL−<

Page 270: Puentes LRFD

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VI-2

siendo M1 y M2 el menor y mayor momento de extremo respectivamente, y el término (M1/M2) positivo para flexión de curvatura única.

Para el diseño de elementos comprimidos no pretensados con Klu /r<100, se puede utilizar el siguiente procedimiento aproximado: - El diseño se basa en una carga axial mayorada Pu, determinada mediante análisis

elástico y un momento mayorado amplificado Mc, como se especifica en el Art. 4.5.3.2.2b.

- La longitud sin apoyo lateral Lu de un elemento comprimido se toma como la distancia libre entre elementos capaces de proveer apoyo lateral a los elementos comprimidos. Si hay acartelamientos, la longitud sin apoyo lateral se toma hasta el extremo de cualquier acartelamiento en el plano considerado.

- El radio de giro r se calcula para la sección bruta del hormigón. - Para los elementos sin desplazamiento, a menos que mediante un análisis se

demuestre que es posible utilizar un valor menor, K = 1.0. - Para los elementos que se desplazan, K se determina considerando debidamente

los efectos de la fisuración y las armaduras sobre la rigidez relativa, y nunca se tomará menor que 1.0. En ausencia de cálculos más precisos, el valor EI para determinar Pe se toma como

el valor mayor entre:

d

ssgc

1

IE5

IE

EIβ+

+= (5.7.4.3-1)

d

gc

15.2

IE

EIβ+

= (5.7.4.3-2)

donde: Ec = módulo de elasticidad del hormigón Ig = momento de inercia de la sección bruta de hormigón respecto del eje

baricéntrico Es = módulo de elasticidad del acero longitudinal Is = momento de inercia del acero longitudinal respecto del eje baricéntrico βd = relación entre los máximos momentos debidos a la carga permanente mayorados

y el máximo momento debido a la carga total mayorado; siempre positivo. 3. RESISTENCIA AXIAL3. RESISTENCIA AXIAL3. RESISTENCIA AXIAL3. RESISTENCIA AXIAL (Art. 5.7.4.4)

La resistencia axial mayorada de los elementos comprimidos de hormigón armado simétricos respecto de ambos ejes principales se deberá tomar como:

Pr = Ø Pn (5.7.4.4-1)

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VI-3

- Para elementos con armadura en espiral:

[ ]stystg'cn Af)AA(f85.085.0P +−= (5.7.4.4-2)

- Para elementos zunchados:

[ ]stystg'cn Af)AA(f85.080.0P +−= (5.7.4.4-3)

donde: Pr = resistencia axial mayorada, con o sin flexión Pn = resistencia axial nominal, con o sin flexión f’c = resistencia especificada del hormigón a 28 días Ag = área bruta de la sección Ast = área total de la armadura longitudinal fy = tensión de fluencia especificada de la armadura Ø = factor de resistencia (Art. 5.5.4.2) 4. FLEXIÓN BIAXIAL4. FLEXIÓN BIAXIAL4. FLEXIÓN BIAXIAL4. FLEXIÓN BIAXIAL (Art. 5.7.4.5)

En vez de realizar un análisis en base a condiciones de equilibrio y compatibilidad de deformaciones para flexión biaxial, los elementos no circulares solicitados a flexión biaxial y compresión se pueden dimensionar utilizando las siguientes expresiones aproximadas: - Si la carga axial mayorada es mayor o igual que 0.10 Ø f’cAg :

0ryrxrsy PØ1

P1

P1

P1

−+= (5.7.4.5-1)

siendo:

yststg'c0 fA)AA(f85.0P +−= (5.7.4.5-2)

- Si la carga axial mayorada es menor que 0.10 Ø f’cAg :

0.1M

M

M

M

ry

uy

rx

ux ≤+ (5.7.4.5-3)

donde: Ø = factor de resistencia para elementos solicitados a compresión axial Prxy = resistencia axial mayorada en flexión biaxial Prx = resistencia axial mayorada determinada sobre la base de que la excentricidad ey

es la única presente Pry = resistencia axial mayorada determinada sobre la base de que la excentricidad ex

es la única presente Pu = fuerza axial mayorada aplicada Mux = momento mayorado aplicado respecto del eje X

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VI-4

Muy = momento mayorado aplicado respecto del eje Y ex = excentricidad de la fuerza axial mayorada aplicada en la dirección X, es decir =

Muy / Pu ey = excentricidad de la fuerza axial mayorada aplicada en la dirección Y, es decir =

Mux / Pu

La resistencia axial mayorada Prx y Pry no se deberá tomar mayor que el producto entre el factor de resistencia Ø y la máxima resistencia nominal a la compresión dada por las Ecuaciones 5.7.4.4-2 ó 5.7.4.4-3, según corresponda. 5. ESPIRALES Y ZUNCHOS5. ESPIRALES Y ZUNCHOS5. ESPIRALES Y ZUNCHOS5. ESPIRALES Y ZUNCHOS (Art. 5.7.4.6)

El área de acero de los espirales y zunchos en puentes ubicados en Zonas Sísmicas 2, 3 ó 4 deberá satisfacer los requisitos especificados en el Art. 5.10.11.

Si el área de armadura en espiral y zunchos no está determinada por: requisitos de diseño sismorresistente, corte o torsión según Art. 5.8, ni requisitos mínimos según Art. 5.10.6, la relación entre la armadura en espiral y el volumen total del núcleo de hormigón, medido entre las partes exteriores de los espirales, deberá satisfacer:

yh

'c

c

gs f

f)1

A

A(45.0 −≥ρ (5.7.4.6-1)

donde: Ag = área bruta de la sección de hormigón Ac = área del núcleo medida hasta el diámetro exterior del espiral f’c = resistencia especificada del hormigón a 28 días fyh = tensión de fluencia especificada de la armadura espiral 6. ARMADURA TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN6. ARMADURA TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN6. ARMADURA TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN6. ARMADURA TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN (Art. 5.10.6)

La armadura transversal de los elementos comprimidos puede consistir en zunchos o en estribos cerrados.

Zunchos.- Pueden ser barras o alambre liso o conformado de un diámetro mínimo de 9.5 mm. La separación libre entre las barras del zuncho no deberá ser menor que 25 mm ó 1.33 veces el tamaño máximo del agregado. La separación entre centros no deberá ser mayor que 6 veces el diámetro de las barras longitudinales ó 150 mm.

El anclaje de las armaduras en forma de zuncho se provee mediante 1.5 vueltas adicionales de barra o alambre en cada uno de los extremos del zuncho. Para las Zonas Sísmicas 3 y 4 la prolongación de la armadura transversal hacia los elementos con que se conecta deberá satisfacer los requisitos del Art. 5.10.11.4.3. Estribos cerrados.- Estarán constituidos por: - Barras Nº10 para Barras Nº 32 o menores, - Barras Nº 13 para Barras Nº 36 o mayores, y - Barras Nº 13 para paquetes de barras.

La separación de los estribos cerrados no deberá ser mayor que la menor dimensión del elemento comprimido ó 30 cm. Si hay dos o más barras mayores que una

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VI-5

barra Nº 32 dispuestas de modo que forman un paquete, la separación no deberá ser mayor que la mitad de la menor dimensión del elemento ó 15 cm.

En lugar de barras se puede utilizar alambre conformado o malla de alambre soldado de área equivalente.

Cada barra longitudinal de esquina tendrá un apoyo lateral provisto por la esquina de un estribo con un ángulo interno no mayor de 135°. Ninguna barra deberá estar a una distancia mayor que 61 cm de una de estas barras con apoyo lateral. Si el diseño de la columna se basa en la capacidad de rotulación plástica, ninguna barra longitudinal estará a una distancia mayor que 15 cm de una de estas barras con apoyo lateral.

La distancia vertical entre el estribo cerrado inferior y la zapata u otro apoyo y la distancia vertical entre el estribo cerrado superior y la armadura horizontal más baja del elemento soportado no deberán ser menores que la mitad de la separación entre estribos. 7. AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS V7. AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS V7. AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS V7. AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS VIGAS IGAS IGAS IGAS –––– COLUMNACOLUMNACOLUMNACOLUMNA (Art. 4.5.3.2.2b)

Los momentos o tensiones mayorados se pueden incrementar para que reflejen los efectos de las deformaciones de la siguiente manera:

s2sb2bc MMM δ+δ= (4.5.3.2.2b-1)

s2sb2bc fff δ+δ= (4.5.3.2.2b-2)

siendo:

0.1

ØPP

1

C

e

u

mb ≥

=δ (4.5.3.2.2b-3)

0.1

PØP

1

1

e

us ≥

Σ

Σ−

=δ (4.5.3.2.2b-4)

donde: Pu = carga axial mayorada Pe = carga de pandeo de Euler Ø = factor de resistencia para compresión axial (Art. 5.5.4.2) M2b= momento en el elemento comprimido debido a las cargas gravitatorias mayoradas

que no provoca desplazamiento lateral apreciable calculado mediante un análisis de pórtico elástico convencional de primer orden, siempre positivo

f2b = tensión correspondiente a M2b M2s= momento en un elemento comprimido debido a cargas laterales o gravitatorias

mayoradas que provocan un desplazamiento lateral, ∆, mayor que Lu /1500, calculado mediante un análisis de pórtico elástico convencional de primer orden, siempre positivo

f2s = tensión correspondiente a M2s

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VI-6

Para columnas compuestas de acero/hormigón la carga de pandeo de Euler, Pe , se deberá determinar como se especifica en Art. 6.9.5.1. Para todos los demás casos Pe se deberá tomar como:

2u

2

e )KL(EI

= (4.5.3.2.2b-5)

donde: Lu = longitud no apoyada de un elemento comprimido K = factor de longitud efectiva como se especifica en Art. 4.6.2.5 E = módulo de elasticidad I = momento de inercia respecto del eje considerado

Para los elementos comprimidos de hormigón también se deberá aplicar los requisitos del Art. 5.7.4.3.

Para los elementos arriostrados contra el desplazamiento lateral, δs se deberá tomar como 1.0 a menos que un análisis indique que se puede utilizar un valor menor. Para los elementos no arriostrados contra el desplazamiento lateral, δb se deberá determinar como para un elemento arriostrado y δs como para un elemento no arriostrado.

Para los elementos arriostrados contra el desplazamiento lateral y sin cargas transversales entre apoyos, Cm se puede tomar como:

4.0M

M4.06.0C

b2

b1m ≥+= (4.5.3.2.2b-6)

donde: M1b = menor momento de extremo M2b = mayor momento de extremo

La relación M1b / M2b se considera positiva si el componente se flexiona con una

única curvatura y negativo si se flexiona en doble curvatura. Para todos los demás casos Cm se deberá tomar como 1.0. En las estructuras que no están arriostradas contra el desplazamiento lateral, los

elementos flexionados y unidades de la fundación que forman pórticos con el elemento comprimido se deberán diseñar para la sumatoria de los momentos de extremo del elemento comprimido en la unión.

Si los elementos comprimidos están sujetos a flexión respecto de ambos ejes principales, el momento respecto de cada eje se deberá amplificar aplicando δ, determinado a partir de las correspondientes condiciones de restricción respecto de dicho eje.

Si un grupo de elementos comprimidos en un nivel comprende un caballete, o si están conectados de manera integral a la misma superestructura, y resisten el desplazamiento lateral de la estructura colectivamente, el valor de δs se deberá calcular para el grupo de elementos con ΣPu y ΣPe igual a las sumatorias para todas las columnas del grupo.

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VI-7

8. FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA, K8. FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA, K8. FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA, K8. FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA, K (Art. 4.6.2.5)

Las longitudes físicas de las columnas se deberán multiplicar por un factor de longitud efectiva, K, para tomar en cuenta condiciones de borde rotacionales y traslacionales diferentes a las correspondientes a extremos articulados.

En ausencia de un análisis más refinado, si hay estabilidad lateral por arriostramiento diagonal u otros medios adecuados, el factor de longitud efectiva en el plano arriostrado, K, para los elementos comprimidos de cerchas trianguladas, cerchas y pórticos se puede tomar como:

- Para conexiones abulonados o soldadas en ambos extremos: K = 0.75 - Para conexiones articuladas en ambos extremos K = 0.875

Las cerchas vierendeel se deberán tratar como pórticos no arriostrados.

La estabilidad lateral de las columnas de pórticos continuos, no arriostrados por

unión a muros de cortante, arriostramiento diagonal o estructuras adyacentes, depende de la rigidez flexional de las vigas rígidamente conectadas. Por lo tanto, el factor de longitud efectiva, K, es función de la restricción flexional total que aportan las vigas en los extremos de la columna. Si la rigidez de las vigas es pequeña en relación con la de la columna, el valor de K podría ser mayor que 2.0.

Suponiendo que sólo hay acción elástica y que todas las columnas pandean simultáneamente en un pórtico no arriostrado, se puede demostrar que:

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VI-8

π

π

=+

π

Ktan

K)GG(6

36K

GG

ba

2

ba

(C4.6.2.5-1)

Los subíndices a y b se refieren a los dos extremos de la columna, siendo:

Σ

Σ

=

g

g

c

c

L

I

LI

G (C4.6.2.5-2)

donde: Σ = sumatoria de las propiedades de los componentes conectados rígidamente a un

extremo de la columna en el plano de flexión. Ic = momento de inercia de la columna Lc = longitud no arriostrada de la columna Ig = momento de inercia de la viga u otro elemento que provee restricción Lg = longitud no apoyada de la viga y otro elemento que provee restricción K = factor de longitud efectiva para la columna considerada.

La Figura C1 es una representación gráfica de la relación entre K, Ga y Gb, y se

puede utilizar para obtener los valores de K en forma directa. La Ecuación C1 y el nomograma de la Figura C1 se basan en la hipótesis de

condiciones idealizadas.

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VI-9

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VI-10

Viga 1.00m x1.00m

Columnas Ø 0.90m

Zapatas

1.00

1.00

Ø 0.90m 6.00m

9 Ø 1"

9 Ø 1"

1.00

1.00

Estribos Ø 5/8"

z

PROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMAS PROBLEMA VI.1PROBLEMA VI.1PROBLEMA VI.1PROBLEMA VI.1 Diseñar el pilar central de un puente ubicado en una zona Diseñar el pilar central de un puente ubicado en una zona Diseñar el pilar central de un puente ubicado en una zona Diseñar el pilar central de un puente ubicado en una zona no sísmica, no sísmica, no sísmica, no sísmica, constituido por dos columnas circulares y una viga travesaño rectangular. Utilizar f’c= constituido por dos columnas circulares y una viga travesaño rectangular. Utilizar f’c= constituido por dos columnas circulares y una viga travesaño rectangular. Utilizar f’c= constituido por dos columnas circulares y una viga travesaño rectangular. Utilizar f’c= 210 kg/cm² y fy= 4200 kg/cm². Se precisan los esfuerzos críticos: 210 kg/cm² y fy= 4200 kg/cm². Se precisan los esfuerzos críticos: 210 kg/cm² y fy= 4200 kg/cm². Se precisan los esfuerzos críticos: 210 kg/cm² y fy= 4200 kg/cm². Se precisan los esfuerzos críticos: VigaVigaVigaViga MMMMuuuu = = = = ----145 T145 T145 T145 T----m (estado de Resistencia I)m (estado de Resistencia I)m (estado de Resistencia I)m (estado de Resistencia I) MMMMuuuu = +138 T= +138 T= +138 T= +138 T----m (estado de Resistencia I)m (estado de Resistencia I)m (estado de Resistencia I)m (estado de Resistencia I) MMMMssss = = = = ----95 T95 T95 T95 T----m (estado de Servicio I)m (estado de Servicio I)m (estado de Servicio I)m (estado de Servicio I) VVVVuuuu = 200 T (estado de Resistencia I)= 200 T (estado de Resistencia I)= 200 T (estado de Resistencia I)= 200 T (estado de Resistencia I) ColumnaColumnaColumnaColumna (estado de Resistencia V)(estado de Resistencia V)(estado de Resistencia V)(estado de Resistencia V) PPPPuuuu = = = = ----350 T 350 T 350 T 350 T

Plano del PórticoPlano del PórticoPlano del PórticoPlano del Pórtico Sentido TransversalSentido TransversalSentido TransversalSentido Transversal MMMMuuuu = 90 T= 90 T= 90 T= 90 T----m m m m MMMMuuuu = = = = 35353535 TTTT----m m m m MMMMdudududu = 13 T= 13 T= 13 T= 13 T----m m m m MMMMdudududu = 1= 1= 1= 10000 TTTT----m m m m Solución.Solución.Solución.Solución.---- A) DISEÑO DE LA VIGA DEL PÓRTICO A.1) Acero requerido en flexión Sección propuesta para Mu =-145 T-m y Mu =+138 T-m:

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VI-11

Luego: z = rec + Ø est + Ø/2 = 5.0 cm + 1.59 cm + (2.54/2) cm = 7.86 cm d = 100 cm – 7.86 cm = 92.14 cm

As = 9 Ø1” = 9 x 5.10 cm² = 45.90 cm²

Con bf85.0

fAa '

c

ys= (5.7.3.1.1-4)

cm80.10100x210x85.0

4200x90.45a ==

)2a

d(fØAM ysu −= (5.7.3.2.2-1)

mT50.150)280.10

14.92)(4200)(90.45(9.0Mu −=−=

Luego Mu = 150.50 T-m > Mu (-) =145 T-m OK!

> Mu (+)=138 T-m OK! A.2) As máximo (Art. 5.7.3.3.1)

Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42

Como: c = a / β1 = 10.80 / 0.85 = 12.71 cm de = 92.14 cm

c /de = 0.14 ≤ 0.42 OK! A.3) As mínimo (Art. 5.7.3.3.2)

La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(29.13 kg/cm2)(166,667 cm3) = 58.26 T-m

Siendo:

22'c

'cr cm/kg13.2921001.2cm/kgf01.2MPaf63.0f ====

S = bh2/6 = 100(100)2/6 = 166,667 cm3

b) 1.33 Mu= 1.33(145 T-m) = 192.85 T-m

El menor valor es 58.32 T-m y la cantidad de acero propuesta (45.90 cm2) resiste Mu=150.50 T-m > 58.26 T-m OK!

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VI-12

100 cm

100 cm

bddc

c

A.4) Limitación de la fisuración mediante distribución de la armadura (estado límite de Servicio) (Art. 5.7.3.4)

Esfuerzo máximo del acero:

y3/1c

sa f6.0)Ad(

Zf ≤= (5.7.3.4-1)

Para el acero negativo:

Øestriborecubd)4.3.7.5.Art(cm5

c ++=≤

444 3444 21

cm254.2

cm59.1cm5dcm5

c ++=≤

44 344 21

dc = 5cm + 1.27cm = 6.27cm b = ancho de la viga = 100 cm nb = número de varillas = 9

2

b

c cm33.1399

)100)(cm27.6x2(n

b)d2(A === (Art. 5.7.3.4)

Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) (Art. 5.7.3.4) = 30,591 Kg/cm Luego:

23/12sa cm/kg200,3

)cm33.139xcm27.6(

cm/kg591,30f ==

22sa cm/kg520,2)cm/kg4200(6.0f =≤

2

sa cm/kg520,2f =

Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio

nIcM

f ss =

Siendo: Ms= 95x105 kg-cm Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2)

2'cc cm/kg356,222210344,15f344,15E === (5.4.2.4-1)

Page 281: Puentes LRFD

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VI-13

100 cm

7.86

100 cm92.14c=92.14 - y

y

E.N.

(fs / n)

f 'c

(+)

(-)

A = n As = 413.10 cm²st

9cm/kg356,222

cm/kg400,039'2

EE

n 2

2

c

s ===

Área de acero transformada: Ast = relación modular x área de acero Ast = 9(45.90 cm2) = 413.10 cm2 Momentos respecto del eje neutro para determinar y: 100y (y/2) = 413.10 (92.14-y) y = 23.77 cm Inercia respecto del eje neutro de sección transformada:

3by

)yd(AI3

2sst +−=

3

)77.23(100)y14.92(10.413

32 +−=

= 2’378,697 cm4 c= 92.14 cm – 23.77 cm = 68.37 cm Luego:

25

ss cm/kg457,29x

697,378'2

37.68x10x95n

IcM

f ===

!OKcm/kg520,2fcm/kg457,2f 2sa

2s =<=

A.5) Armadura de contracción y temperatura en caras laterales (Art. 5.10.8)

]SI[F

A756.0A

y

gtemps = (5.10.8.2-1)

]cm/kg4200fcon,MKS[A0018.0A 2ygtemps ==

Page 282: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VI-14

100 cm

100 cm

9Ø1"

2Ø 3/4" + 2Ø 5/8"

9Ø1"

2Ø 3/4" + 2Ø 5/8"

2temps cm0.18100x100x0018.0A ==

cara/cm0.9A 2temps =

Usaremos por cara: 2 Ø 3/4”+ 2 Ø 5/8” (9.68 cm2) , con la consideración:

cm45sycm300)100(3t3s máxmáx ==== OK!

A.6) Armadura superficial para limitar la fisuración del alma (Art. 5.7.3.4) Para de > 90 cm :

1200

AA)760d(001.0A pss

esk

+≤−≥ (5.7.3.4-4)

donde: As = área de la armadura de tracción = 9x5.10cm² = 45.9cm² = 4590 mm² Ap = área del acero de pre-esfuerzo = 0

mm1200

mm4590)7604.921(001.0A

2

sk ≤−≥

mmmm

825.3alturademm

mm161.0A

22

sk ≤≥

alturadecmcm

0161.0A2

sk ≥

Ask requerido por cara:

22

sk cm61.1cm100xalturadecm

cm0161.0A ==

Suministrado: 2 Ø 3/4”+ 2 Ø 5/8” =9.68 cm2 > 1.61cm² OK!

Page 283: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VI-15

Estribos: 4 ramas Ø 5/8"

s

dfAV vyv

s =

A.7) Diseño por Corte

Cortante actuante : Vu = 200,000 kg

Cortante resistente : Vr = Ø Vn (5.8.2.1-2) Ø = 0.9 (5.5.4.2)

Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1) siendo Vn el menor de:

Vn = 0.25f’cbvdb + Vp (5.8.3.3-2) Donde:

Cortante resistente concreto ]N[dbf083.0V vv'cc β= (5.8.3.3-3)

para β=2 (Art. 5.8.3.4): ]kg[dbf53.0V vv'cc =

Cortante resistente acero: s

sen)cot(cotdfAV vyv

s

ααθ += (5.8.3.3-4)

con � = 45° (Art. 5.8.3.4)

α = 90° (ángulo de inclinación del estribo)

Cortante resistente concreto (Vc)

)74.86x100(21053.0]kg[dbf53.0]N[dbf083.0V vv'cvv

'cc ==β=

Vc = 66,620 kg siendo:

bv = ancho de la viga= 100 cm

cm74.86280.10

14.922a

dd ev =−=−=

no menor que el mayor valor de 0.9de = 0.9(92.14 cm) = 82.93 cm OK! 0.72h = 0.72(100 cm) = 72 cm

Cortante resistente del acero

kg541,1665.17

)74.86)(4200(8s

dfA

s

sen)cot(cotdfAV vyvvyv

s ===+

=ααθ

Page 284: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VI-16

donde: Av = 4 x 2.00 cm² = 8 cm² (asumiendo 4 ramas Ø 5/8”) s = 17.5 cm (espaciamiento asumido de estribos) � = 45° (sección no presforzada) (5.8.3.4) α = 90° (ángulo de inclinación del estribo) Cortante nominal resistente El menor valor de Vn = 66,620 kg + 166,541 kg + 0 = 233,161 kg Vn = 0.25 x 210 x 100 x 86.74 + 0 = 455,385 kg Luego Vn = 233,161 kg Cortante resistente total Vr = ØVn = 0.9(233,161 kg) = 209,845 kg > 200,000 Kg OK! Refuerzo transversal mínimo

]mm[f

sbf083.0A 2

y

v'cv ≥ (5.8.2.5-1)

]cm[f

sbf27.0A 2

y

v'cv ≥=

2v cm

4200)5.17(100

21027.0A ≥

!OK²cm00.8²cm63.1A mínv <=

Espaciamiento máximo del refuerzo transversal (Art. 5.8.2.7)

vv

puu db

VVv

φ

φ−= (5.8.2.9-1)

²cm/kg62.25)74.86)(100(9.0

000,200db

Vv

vv

uu ==

φ=

También:

si vu < 0.125f’c smáx= 0.8dv ≤ 60 cm (5.8.2.7-1) si vu ≥ 0.125f’c smáx= 0.4dv ≤ 30 cm (5.8.2.7-2)

Como vu = 25.62 kg/cm² < 0.125(210 kg/cm²) = 26.25 kg/cm² smáx= 0.8dv = 0.8(86.74 cm)= 69.39 cm smáx= 60 cm Luego s = 17.5 cm < smáx= 60 cm OK!

Page 285: Puentes LRFD

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VI-17

0.90 m

12 Ø 1"

Estribos Ø3/8" @ 0.30 m

B) DISEÑO DE COLUMNA Columna propuesta: Diámetro de columna = 90 cm

22

g cm362,64

)90(A =

π=

r = recubrimiento = 5 cm (Tabla 5.12.3-1) As = 12(5.10 cm²) = 61.2 cm² Propuesta de estribos cerrados: Ø 3/8 @ 0.30 m (Art. 5.10.6.3) B.1) Refuerzo máximo de miembros a compresión

08.0fA

fA

AA

yg

pups

g

s ≤+ (5.7.4.2-1)

!OK08.00096.0cm6362

cm2.6108.0

AA

2

2

g

s <=→≤

B.2) Refuerzo mínimo de miembros a compresión

135.0fA

fA

fA

fA'cg

pups

'cg

ys≥+ (5.7.4.2-3)

!OK135.0192.0210x6362

4200x2.61135.0

fA

fA'cg

ys>=→≥

B.3) Esbeltez En el plano del pórtico (no arriostrado)

Page 286: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VI-18

esbeltacolumna22325.22

)600(2.1r

KL u →>==

donde:

K = 1.2 (Tabla C4.6.2.5-1) L = 600 cm r = d/4 = 90 cm/4 = 22.5 cm

En plano transversal al pórtico (no arriostrado)

esbeltacolumna22565.22

)600(1.2r

KL u →>==

donde:

K = 2.1 (Tabla C4.6.2.5-1) L = 600 cm r = d/4 = 90 cm/4 = 22.5 cm

B.4) Capacidad a) En el plano del pórtico

s2sb2bcp MMM δ+δ= (4.5.3.2.2b-1)

siendo:

0.1

ØPP

1

C

e

u

mb ≥

=δ (4.5.3.2.2b-3)

0.1

PØP

1

1

e

us ≥

Σ

Σ−

=δ (4.5.3.2.2b-4)

Cálculo de db Cm = 1.0 Pu = 350 T Ø = 0.75 (Art. 5.5.4.2)

Page 287: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VI-19

2u

2

e )KL(EI

= (4.5.3.2.2b-5)

donde: K = 1.2 Lu = 600cm EI = el mayor valor de:

d

ssgc

1

IE5

IE

EIβ+

+= (5.7.4.3-1)

d

gc

15.2

IE

EIβ+

= (5.7.4.3-2)

Por simple inspección, despreciando EsIs , el mayor valor es:

211

d

gc

cmkg10x504.2)144.01(5.2

)623,220'3(356,222

15.2

IE

EI −=+

=β+

=

2'

cc cm/kg356,222210344,15f344,15E === (5.4.2.4-1)

444

cm623,220'364

)90(64d

I =π

=

144.0mT90

mT13

M

M

u

dud =

−==β

Luego:

T767,4)600x2.1(

)10x504.2()KL(

EIP 2

112

2u

2

e =π

=

0.111.1

)T767,4(75.0

T3501

0.1

ØP

P1

C

e

u

mb ≥=

=

Cálculo de ds

0.1

PØP

1

1

e

us ≥

Σ

Σ−

=δ (4.5.3.2.2b-4)

Usando Pu y Pe por simplicidad, en vez de ΣPu y ΣPe , tendremos:

Page 288: Puentes LRFD

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VI-20

0.111.1s ≥=δ Luego:

mT9.99)T90(11.1)MM(11.1MMM s2b2s2sb2bcp −==+=δ+δ=

b) En plano transversal

s2sb2bcp MMM δ+δ= (4.5.3.2.2b-1)

siendo:

0.1

ØPP

1

C

e

u

mb ≥

=δ (4.5.3.2.2b-3)

0.1

PØP

1

1

e

us ≥

Σ

Σ−

=δ (4.5.3.2.2b-4)

Cálculo de db Cm = 1.0 Pu = 350 T Ø = 0.75

2u

2

e )KL(EI

= (4.5.3.2.2b-5)

Donde: K = 2.1 Lu = 600cm EI = el mayor valor de:

d

ssgc

1

IE5

IE

EIβ+

+= (5.7.4.3-1)

d

gc

15.2

IE

EIβ+

= (5.7.4.3-2)

Por simple inspección, despreciando EsIs , el mayor valor es:

211

d

gc

cmkg10x227.2)286.01(5.2

)623,220'3(356,222

15.2

IE

EI −=+

=β+

=

2c cm/kg356,222E =

con

4g cm623,220'3I =

286.0mT35

mT10

M

M

u

dud =

−==β

Page 289: Puentes LRFD

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VI-21

T384,1)600x1.2(

)10x227.2()KL(

EIP 2

112

2u

2

e =π

= (4.5.3.2.2b-5)

0.1

ØPP

1

C

e

u

mb ≥

=δ (4.5.3.2.2b-3)

0.151.1

)T384,1(75.0T350

1

0.1b ≥=

Cálculo de ds

0.1

PØP

1

1

e

us ≥

Σ

Σ−

=δ (4.5.3.2.2b-4)

Usando Pu y Pe por simplicidad, en vez de ΣPu y ΣPe , tendremos:

0.151.1s ≥=δ Luego:

s2sb2bct MMM δ+δ= (4.5.3.2.2b-1)

mT85.52)T35(51.1)MM(51.1M s2b2ct −==+=

El momento combinado es:

mT02.11385.529.99MMM 222ct

2cpu −=+=+=

T350Pu =

Diagrama de interacción de la columna circular Considerando que:

9.0AfP2

ØPAf1.0Sig

'c

uug

'c +−=→>− (Art. 5.5.4.2)

75.0ØPAf1.0Si ug'c =→<−

donde : 0.1f’cAg = 0.1(210 kg/cm²)(6362 cm²) = 133.60 T

Page 290: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VI-22

Se tienen los siguientes resultados en forma gráfica y tabulada:

P (T) M (T-m) 828.96 63.02 791.29 71.99 741.83 82.29 692.38 90.96 642.92 98.30 593.47 104.42 544.01 109.21 494.55 113.08 445.10 116.04 395.64 118.29

P (T) M (T-m) 346.19 118.18 296.73 116.14 247.28 112.17 197.82 106.46 148.37 99.01

0 79.03 -59.14 61.59

-118.29 42.32 -177.43 21.21 -231.37 0

Como se aprecia en el diagrama de interacción de la columna circular, T350Pu = , y

mT02.113Mu −= , están dentro de la zona de resistencia por lo que la propuesta

de acero y geometría de la sección son adecuados. Cálculo de estribos Se utilizarán estribos cerrados Ø 3/8” @ 0.30 en forma de zuncho, distribución que cumple con no ser mayor que la menor dimensión de la columna ni 30 cm. (Art. 5.10.6.3).

Page 291: Puentes LRFD

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VII-1

R

C D

bLa

1XBA

RA B

BAR

A B-X1

a L b

DC

R

CAP VCAP VCAP VCAP VIIIIIIII:::: LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGASLÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGASLÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGASLÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS DEFINICIDEFINICIDEFINICIDEFINICIÓNÓNÓNÓN Una línea de influencia es la expresión gráfica de la variación de un esfuerzo en relación a una carga móvil unitaria desplazándose sobre una estructura. En estructuras isostáticas se expresan como líneas rectas; en estructuras hiperestáticas como curvas. A continuación veremos un modo de construcción de líneas de influencia en vigas. 1.1.1.1. CASO DE CASO DE CASO DE CASO DE VIGAS ISOSTÁTICASVIGAS ISOSTÁTICASVIGAS ISOSTÁTICASVIGAS ISOSTÁTICAS

a)a)a)a) Línea de Influencia de la reacción en el apoyo ALínea de Influencia de la reacción en el apoyo ALínea de Influencia de la reacción en el apoyo ALínea de Influencia de la reacción en el apoyo A

Tomando como origen cartesiano el punto A, posicionamos una carga móvil unitaria sobre la viga para determinar las expresiones: Carga en el tramo AB (0≤ X ≤ L) Tomando momentos en B:

0)XL((1)L(R A =−−

Luego: LXL

R A−

=

Carga en el tramo CA (-a ≤ X ≤ 0) Tomando momentos en B:

0)XL((1)L(R A =−−

Luego: LXL

R A−

=

Page 292: Puentes LRFD

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VII-2

R

C D

bLa

1XBA

RA B

RA

A BX 1

a

+

+1

+1

+

L b

A B

BA

L+aL

-bL

LL+b

L-a

L.I. de RA

BL.I. de R

C

D

D

C D

C

RB

Carga en el tramo BD (L ≤ X ≤ L+b) Tomando momentos en B:

0)LX(1)L(R A =−+

Luego: LXL

R A−

=

La línea de influencia de la reacción en el apoyo A entonces se expresa como la

recta LXL

R A−

= , cuya gráfica se muestra:

b)b)b)b) Línea de Influencia de la reacción en el apoyo BLínea de Influencia de la reacción en el apoyo BLínea de Influencia de la reacción en el apoyo BLínea de Influencia de la reacción en el apoyo B Del mismo modo, tomando como origen cartesiano el punto A, posicionamos la carga móvil unitaria sobre la viga para determinar las expresiones: Carga en el tramo AB (0≤ X ≤ L)

Tomando momentos en A: LX

R B =

Carga en el tramo CA (-a ≤ X ≤ 0)

Tomando momentos en A: LX

R B =

Page 293: Puentes LRFD

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VII-3

D

D

CE

L.I. de V

L-b

L+a

BA

bLa

1XBA

AR

E

m n

+

-mL

L+n

C

RB

Carga en el tramo BD (L ≤ X ≤ L+b)

Tomando momentos en A: LX

R B =

La línea de influencia de la reacción en el apoyo B se expresa como la recta

LX

R B = , la misma que se muestra en el gráfico precedente.

c)c)c)c) Línea de Influencia del cortante en la sección ELínea de Influencia del cortante en la sección ELínea de Influencia del cortante en la sección ELínea de Influencia del cortante en la sección E Carga en el tramo CE (-a ≤ X ≤ m)

LX

1LXL

1RV AE −=−−

=−=

Carga en el tramo ED (m ≤ X ≤ L+b)

LXL

RV AE−

==

La línea de influencia del cortante en la sección E se expresa como el área delimitada por dos rectas paralelas escindidas en E que pasan por los apoyos A y B como se muestra en el gráfico:

d)d)d)d) Línea de Influencia del momento flector en la sección ELínea de Influencia del momento flector en la sección ELínea de Influencia del momento flector en la sección ELínea de Influencia del momento flector en la sección E Carga en el tramo CE (-a ≤ X ≤ m)

)n(R)xm(1)m(RM BAE =−−=

n.LX

ME =

Page 294: Puentes LRFD

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VII-4

L+nm

+

nm

E

RA

A BX 1

a L b

A B-anL

-bmL

L.I. de ME

C

D

D

C

RB

Carga en el tramo ED (m ≤ X ≤ L+b)

m).LXL

()m(RM AE−

==

La línea de influencia del momento flector en la sección E se expresa gráficamente como:

Page 295: Puentes LRFD

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VII-5

2T/m9T

C

6m4m

E

A

B

3m 10m 2m

D

D

D

CE

L.I. de M

10-4(2)

10-3(6)

BA

2m10m3m

B

A

AR

E

4m 6m

+

+4(6)10

C

=2.4m

=-1.8m=-0.8m

9T2T/m

EJEMPLO VI1.1EJEMPLO VI1.1EJEMPLO VI1.1EJEMPLO VI1.1 En la viga mostrada determine el momento flector en E utilizando En la viga mostrada determine el momento flector en E utilizando En la viga mostrada determine el momento flector en E utilizando En la viga mostrada determine el momento flector en E utilizando su su su su línea de influencia.línea de influencia.línea de influencia.línea de influencia. Solución.Solución.Solución.Solución.---- Después de construir la línea de influencia del momento flector en la sección E, para las cargas dadas tenemos:

[ ] )Ordenada(T9Áream/T2ME +=

[ ] mT20.16)m4.2(T9m3xm8.1x½m/T2ME −−=++−=

Page 296: Puentes LRFD

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VII-6

C

6m

1XBA

4m

4m

A B

X 1

6m

CF1

C

6m

1X

BA

4m 4m

A B

6m

C1

a1P

+11a

1FP

2.2.2.2. CASO DE CASO DE CASO DE CASO DE VIGAS HIPERESTÁTICASVIGAS HIPERESTÁTICASVIGAS HIPERESTÁTICASVIGAS HIPERESTÁTICAS

Aplicamos el principio de Müller-Breslau que refiere si una reacción o fuerza interna actúa a lo largo de un desplazamiento producido, el perfil deformado es, a cierta escala, la línea de influencia para la reacción en particular o fuerza interna.

EJEMPLO VI1.2EJEMPLO VI1.2EJEMPLO VI1.2EJEMPLO VI1.2 En la viga mostrada determine la línea de influencia dEn la viga mostrada determine la línea de influencia dEn la viga mostrada determine la línea de influencia dEn la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en el e la reacción en el e la reacción en el e la reacción en el apoyo B.apoyo B.apoyo B.apoyo B.

Solución.Solución.Solución.Solución.----

Procedimiento: a) Expresamos la reacción en el apoyo B como una fuerza externa F1 para obtener

el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como: Donde P es un punto cualquiera de la viga. Podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa 111P1 =+

Page 297: Puentes LRFD

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VII-7

a11

1C

6m

BA

4m

A' C'

A'R

RC'

X

P1aP

2.4

(10-X)0.6

VIGA CONJUGADA:

(10-X)

2 8/3

+

7.2 4.8

0.4 0.6

0.4X B'

Como:

1PP1 aa = (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)

B1 RF −= Luego:

0)R(aa B111P =−+

11

1PB a

aR =

Es decir la línea de influencia de la reacción en el apoyo B es proporcional a la ecuación de la elástica aP1 como lo señala el principio de Müller-Breslau.

c) Para obtener RB calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada:

Tomando momentos en C’:

RA’(10) - 7.2(6) - 4.8(8/3) = 0

RA’ = 5.6 Como RA’ + RC’ = 12

RC’ = 6.4 Cálculo de a11:

2.19)2(2.7)6(6.5M)EI(a 'B11 =−==

Page 298: Puentes LRFD

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VII-8

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

3X

)X4.0(X21

XR)EI(a 'A1P −=

31P X

32.0

X6.5)EI(a −=

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10): Tomando momentos hacia la derecha:

3)X10(

6.0)X10)(X10(21

)X10(R)EI(a 'C1P−

−−−−=

31P )X10(1.0)X10(4.6)EI(a −−−=

d) Para la construcción de RB tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

)X32.0

X6.5(2.19

1R 3B −=

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10):

[ ]3B )X10(1.0)X10(4.6

2.191

R −−−=

Tabulación de valores: X (m) RB

0 0 1 0.289 2 0.556 3 0.781 4 0.944 5 1.024 6 1.000 7 0.859 8 0.625 9 0.328

10 0

Gráfica:

Page 299: Puentes LRFD

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VII-9

C

6m

1XBA

4m

1F

C

6m

1X

BA

4m

4m

A B

X 1

6m

C F1

+

1F

C

6m

BA

4m

1PaP

11a

EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.3333 En la viga mostrada determineEn la viga mostrada determineEn la viga mostrada determineEn la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en el la línea de influencia de la reacción en el la línea de influencia de la reacción en el la línea de influencia de la reacción en el apoyo C.apoyo C.apoyo C.apoyo C. Solución.Solución.Solución.Solución.----

Procedimiento: a) Expresamos la reacción en el apoyo C como una fuerza externa F1 para obtener

el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como: Donde P es un punto cualquiera de la viga. Podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa 111P1 =+ Como:

1PP1 aa = (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)

C1 RF −= Luego: 0)R(aa C111P =−+

11

1PC a

aR =

Page 300: Puentes LRFD

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VII-10

a11

4m

A B

6m

C

1

P1a

P

8128/32

(10-X)

VIGA CONJUGADA:

-(10-X)

X

C'R

RA'

C'A'

-2X3 -4

MC'

B'

c) Para obtener RC calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada:

Tomando momentos en la articulación B’:

RA’(6) + 12(2) = 0

RA’ = -4 Como RA’ + RC’ + 20 = 0

RC’ = -16 También:

MC’ = RA’(10) + 12(6) + 8(8/3)

MC’ = 53.33

Cálculo de a11:

33.53M)EI(a 'C11 == Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

3X

)X32(X

21

)X(R)EI(a 'A1P +=

3

1P X91

X4)EI(a +−=

Page 301: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VII-11

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10):

Tomando momentos a la derecha:

)X10(R3

)X10()X10(.

21

M)EI(a 'C

2

'C1P −+−−

+=

)X10(166

)X10(33.53)EI(a

3

1P −−−

+=

d) Para la construcción de RC tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

+−=

9X

X433.531

R3

C

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10):

−−−+= )X10(16)X10(

61

33.5333.531

R 3C

Tabulación de valores: X (m) RC

0 0 1 -0.073 2 -0.133 3 -0.169 4 -0.167 5 -0.115 6 0 7 0.184 8 0.425 9 0.703

10 1

Gráfica:

Page 302: Puentes LRFD

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VII-12

1.5m1.5m

C

3m

1X

BA D

A B

X 1

3m

C

1.5m 1.5m

F1

F1

+1F

1.5m1.5m

C

3m

1X

BAa1P 11

aA B

3m

C

1.5m 1.5m

D

11

P

EJEMPLO VI1.4EJEMPLO VI1.4EJEMPLO VI1.4EJEMPLO VI1.4 En la viga moEn la viga moEn la viga moEn la viga mostrada determine la línea de influencia del momento strada determine la línea de influencia del momento strada determine la línea de influencia del momento strada determine la línea de influencia del momento flector en la sección D.flector en la sección D.flector en la sección D.flector en la sección D. Solución.Solución.Solución.Solución.----

Procedimiento: a) Liberamos al punto D en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula

como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como: Donde P es un punto cualquiera de la viga. En función del ángulo entre tangentes en el punto de inflexión D, podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa 111P1 =+ Como:

1PP1 aa = (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)

D1 MF = Luego: 0)M(aa D111P =+ Es decir:

11

1PD a

aM −=

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VII-13

X

VIGA CONJUGADA:

1 11.5m1.5m

C

3m

BAa11

P1a

3

+

1.5

(6-X)

2(6-X)2

X

C'RR

A'

C'A'

3

3

2X3

RD'

1 2

1.53

B'

(4.5-X)

D'

c) Para obtener MD calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada:

Tomando momentos en la articulación B’, a la izquierda:

RA’(3) - 3(1) = 0

RA’ = 1 Tomando momentos en el apoyo C’:

RA’(6) + RD’(1.5) - 3(4) - 3(2) = 0

RD’ = 8 Como RA’ + RD’ + RC’ = 6

RC’ = -3

Cálculo de a11:

8R)EI(a 'D11 == Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

3X

)X32(X

21

)X(R)EI(a 'A1P −=

31P X

91

X)EI(a −=

Page 304: Puentes LRFD

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VII-14

Tramo BD (3 ≤ X ≤ 4.5):

Tomando momentos a la derecha:

)X6(31)X6(

32)X6(

21

R)X6(R)X5.4()EI(a 'C'D1P −−−−−+−=

9)X6(

)X6(3)X5.4(8)EI(a3

1P−

−−−−=

Tramo DC (4.5 ≤ X ≤ 6):

Tomando momentos a la derecha:

9)X6(

)X6(R)EI(a3

'C1P−

−−=

9)X6(

)X6(3)EI(a3

1P−

−−−=

d) Para la construcción de MD tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

−−=

9X

X81

M3

D

Tramo BD (3 ≤ X ≤ 4.5):

−−−−−−=

3D )X6(

91

)X6(3)X5.4(881

M

Tramo DC (4.5 ≤ X ≤ 6):

−+−=

3D )X6(

91

)X6(381

M

Tabulación de valores:

X (m) MD 0 0

0.75 -0.088 1.50 -0.141 2.25 -0.123 3.00 0 3.75 0.252 4.50 0.609 5.25 0.287

6.00 0

Gráfica:

Page 305: Puentes LRFD

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VII-15

A B

X 1

3m

C

3m

3m

1X

A B

3m

1F

1F

C

F1

+B

3m 3m

1 1B C

3m

Aa11

P 1PaA

X 1

3m

C

EJEMPLO VI1.5EJEMPLO VI1.5EJEMPLO VI1.5EJEMPLO VI1.5 En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento flector en el apoyo B.flector en el apoyo B.flector en el apoyo B.flector en el apoyo B. Solución.Solución.Solución.Solución.----

Procedimiento: a) Liberamos al apoyo B en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula

como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como: Donde P es un punto cualquiera de la viga. En función del ángulo entre tangentes en el punto de inflexión B, podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa 111P1 =+ Como:

1PP1 aa = (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)

B1 MF =

Page 306: Puentes LRFD

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VII-16

B'

3

1

B'R

3X

3A' C'

A'R R

C'

X +1

1(6-X)

(6-X)

+ 1.5

VIGA CONJUGADA:

11a

A

3m

CB11

3m

X

P

P1a

3

1.5

1

Luego: 0)M(aa B111P =+ Es decir:

11

1PB a

aM −=

c) Para obtener MB calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión

a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada:

Tomando momentos en la articulación B’, a la izquierda:

RA’(3) – 1.5(1) = 0

RA’ = 0.5 Tomando momentos en la articulación B’, a la derecha:

RC’ = 0.5 Como RA’ + RB’ + RC’ = 3

RB’ = 2

Cálculo de a11:

2'R)EI(a B11 == Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

3X

)X31(X

21

)X(R)EI(a 'A1P −=

Page 307: Puentes LRFD

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VII-17

31P X

181

X5.0)EI(a −=

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

Tomando momentos a la derecha:

)X6(31)X6(

31)X6(

21

)X6(R)EI(a 'C1P −−−−−=

18)X6(

)X6(5.0)EI(a3

1P−

−−=

d) Para la construcción de MB tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

−−=18X

X5.021

M3

B

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

−−−−=

3B )X6(

181

)X6(5.021

M

Tabulación de valores:

X (m) MB 0 0

0.75 -0.176 1.50 -0.281 2.25 -0.246 3.00 0 3.75 -0.246 4.50 -0.281 5.25 -0.176

6.00 0

Gráfica:

Page 308: Puentes LRFD

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VII-18

3m

C

1.5m

1XBA

1.5m

E

BAX 1

CF1

F1

1.5m1.5m 3m

E

+1F

CA B BA C

1a1P

1

1

a11

3m1.5m 1.5m 3m1.5m 1.5m

E E

P

EJEMPLO VI1.6EJEMPLO VI1.6EJEMPLO VI1.6EJEMPLO VI1.6 En la viga mostrada determine la línEn la viga mostrada determine la línEn la viga mostrada determine la línEn la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la ea de influencia del cortante en la ea de influencia del cortante en la ea de influencia del cortante en la sección E.sección E.sección E.sección E. Solución.Solución.Solución.Solución.----

Procedimiento: a) En la viga liberamos a la sección E de su capacidad de corte para expresarla

como las fuerzas externas F1 y así obtener el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como: Donde P es un punto cualquiera de la viga. En función del desplazamiento entre puntos del corte en E, podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa 111P1 =+ Como:

1PP1 aa = (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)

E1 VF = Luego: 0)V(aa E111P =+

Page 309: Puentes LRFD

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VII-19

1

4.5

3m

aP1

P

VIGA CONJUGADA:

4.5

+

(6-X)

(6-X)

M =+3X

C'RR

A'

C'A'

X

1

1.5m

B'

11a

1

1CA B

1.5

1.5

3m1.5m 1.5mR =1A

RB C

R

1.5m

E'ME'

B

Es decir:

11

1PE a

aV −=

c) Para obtener VE calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión

a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada:

Tomando momentos en la articulación B’, a la derecha:

RC’(3) – 4.5(1) = 0

RC’ = 1.5 Haciendo sumatoria de fuerzas verticales:

RA’ + RC’ = 9

RA’ = 7.5 Tomando momentos en el apoyo C’:

RA’(6) - ME’ – 4.5(4) – 4.5(2) = 0

ME’ = 18

Cálculo de a11:

18M)EI(a 'E11 ==

Page 310: Puentes LRFD

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VII-20

Cálculo de aP1:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

3X

)X(X21

)X(R)EI(a 'A1P −=

3

1P X61

X5.7)EI(a −=

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

'E

3

'A1P M6X

)X(R)EI(a −−=

186X

X5.7)EI(a3

1P −−=

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

Tomando momentos a la derecha:

3)X6()X6(

21

)X6(R)EI(a2

'C1P−−

−−=

3

1P )X6(61

)X6(5.1)EI(a −−−=

d) Para la construcción de VE tenemos:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

−−=

6X

X5.7181

V3

E

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

−−−= 18

6X

X5.7181

V3

E

Tramo EB (3 ≤ X ≤ 6):

−−−−=

3E )X6(

61

)X6(5.1181

V

Tabulación de valores:

X (m) VE 0 0

0.75 -0.309 1.50 -0.594/0.406

2.25 0.168 3.00 0 3.75 -0.082 4.50 -0.094 5.25 -0.059

6.00 0

Gráfica:

Page 311: Puentes LRFD

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VII-21

E

1.5m

A BX 1

1.5m 3m 3m

DC

3m

1F

1F C DE

3m1.5m 1.5m

1XA B

1.5m1.5m 3m

11a

BA DF1

+C

3m

a1P

3m

C DA B

3m1.5m 1.5mE E1 1

1

P

EJEMPLO VI1.7EJEMPLO VI1.7EJEMPLO VI1.7EJEMPLO VI1.7 En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento flector en la sección E.flector en la sección E.flector en la sección E.flector en la sección E. Solución.Solución.Solución.Solución.----

Procedimiento: a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de flexión instalando una

rótula como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como: Donde P es un punto cualquiera de la viga. En función del ángulo entre tangentes a la deformada en el punto de inflexión E, podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa 111P1 =+ Como:

1PP1 aa = (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)

E1 MF = Luego: 0)M(aa E111P =+

Page 312: Puentes LRFD

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VII-22

E'

1.5m

B'

1.5m

3

A' D'

E'R R

C'

X

(9-X)

+

VIGA CONJUGADA:

3m

11 E1.5m1.5m 3m

BA DC

3m

a11

C'

3m

MBMC

+

RA

RA'

B3M 3M

CM B X

(X-3) (6-X)

B(6-X)M3

3(X-3)M C

3(9-X)M C

P

P1a

Es decir:

11

1PE a

aM −=

c) Para obtener ME calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión

a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada:

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones estáticas:

:0FV =∑ 0M3M3RRR CB'C'E'A =−−++ (1)

:0M izq,'B =∑ 0M23

R5.1R3 B'E'A =−+ (2)

:0M der,'C =∑ 0M23

R3 C'C =− (3)

:0M 'A =∑ 0R9R5.1M18M9 'C'ECB =−−+ (4) La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, tomando momentos en la articulación E a la izquierda:

RA(1.5) –1= 0

RA = 1/1.5 Entonces:

MB = RA (3) = 2 (5)

Page 313: Puentes LRFD

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VII-23

Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene:

75.2R 'A −= 5.7R 'E = 25.0R 'C −= 2MB = 5.0MC −= Cálculo de a11:

5.7R)EI(a 'E11 ==

Cálculo de aP1:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

)3X(X)X.

3

M(

21

)X(R)EI(a B'A1P −=

9X

X75.2)EI(a3

1P −−=

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

)5.1X(R9X

X75.2)EI(a 'E

3

1P −+−−=

)5.1X(5.79X

X75.2)EI(a3

1P −+−−=

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

)3X(32)3X(M

21

)2X(M)3(21

)5.1X(R)X(R)EI(a BB'E'A1P −−−−−−+=

3)3X(

3M)3X)(3X(

21

)3X(31.

3M)X6(

)3X(21 cB −

−−−−−

−−

36)3X(

9)X6()3X(

)3X(32

)2X(3)5.1X(5.7X75.2)EI(a32

21P

−+

−−−−−−−−+−=

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

Tomando momentos a la derecha:

)X9(31.

3

M)X9().X9(

21

)X9(R)EI(a c'C1P −

−−−−=

3

1P )X9(361

)X9(41

)EI(a −+−−=

Page 314: Puentes LRFD

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VII-24

d) Para la construcción de ME tenemos:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

−−−=

3E X

91

X75.25.71

M

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

−+−−−= )5.1X(5.7

9X

X75.25.71

M3

E

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

−+

−−−−−−−−+−−=

36)3X(

9)X6()3X(

)3X(32

)2X(3)5.1X(5.7X75.25.71

M32

2E

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

−+−−−=

3E )X9(

361

)X9(41

5.71

M

Tabulación de valores: X (m) ME

0 0 0.75 0.281 1.50 0.600 2.25 0.244 3.00 0 3.75 -0.108 4.50 -0.113 5.25 -0.061

6.00 0 6.75 0.033 7.50 0.038 8.25 0.023 9.00 0

Gráfica:

Page 315: Puentes LRFD

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VII-25

E

1.5m

A BX 1

1.5m 3m 3m

DC

DC

3m

BAX 1

1.5m1.5m 3m

E1F

1F

3m

+1F

3m1.5m 1.5m

PE

1Pa

1

BA DC C DA Ba

E

1.5m1.5m 3m 3m

11

1

1

EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.8888 En la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la En la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la En la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la En la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la sección E.sección E.sección E.sección E. Solución.Solución.Solución.Solución.----

Procedimiento: a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de corte para expresarla

como las fuerzas externas F1 y así obtener el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como: Donde P es un punto cualquiera de la viga. En función del desplazamiento entre los puntos de corte en E de la deformada, podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa 111P1 =+ Como:

1PP1 aa = (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)

E1 VF =

Page 316: Puentes LRFD

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VII-26

C(9-X)M3

C(X-3)M3

3(6-X)M B

(6-X)(X-3)

X BMC

3M3MB

A'R

+

CMBM

3m

C'

3m

VIGA CONJUGADA:

+

(9-X)

X

C'R

D'A'3

1.5m

B'

1.5m

E'

1

1

11

3m3m1.5m 1.5m

E

a BA DC

aP1

P

ME'

1.5

1.5

AR

Luego: 0)V(aa E111P =+ Es decir:

11

1PE a

aV −=

c) Para obtener VE calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión

a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada:

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones estáticas:

:0FV =∑ 0M3M3RR CB'D'A =−−+ (1)

:0M izq,'B =∑ 0)1(M)3(21

MR3 B'E'A =−− (2)

:0M der,'C =∑ 0)1(M)3(21

R3 C'D =− (3)

:0M izq,'D =∑ 0)3(M3)6(M3MR9 CB'E'A =−−− (4)

La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, con el equilibrio vertical del tramo AE:

:0FV =∑ RA –1= 0 RA =1 Entonces: MB = RA (3) = 3 (5)

Page 317: Puentes LRFD

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VII-27

Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene:

125.7R 'A = 375.0R 'D −= 875.16M 'E = 3MB = 75.0MC −= Cálculo de a11:

875.16M)EI(a 'E11 ==

Cálculo de aP1:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

)3X(X)X.

3

M(

21

)X(R)EI(a B'A1P −=

6X

X125.7)EI(a3

1P −=

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

'E

3

1P M6X

X125.7)EI(a −−=

875.166X

X125.7)EI(a3

1P −−=

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

)3X(31.

3

M)X6()3X(

21

)3X(32)3X(M

21

)2X(M)3(21

M)X(R)EI(a BBB'E'A1P −

−−−−−−−−−=

3

)3X(3M)3X)(3X(

21 c −

−−−

32

21P )3X.(

1875.0

6)X6()3X(

)3X()2X(5.4875.16X125.7)EI(a −+−−

−−−−−−=

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

Tomando momentos a la derecha:

)X9(31.

3

M)X9().X9(

21

)X9(R)EI(a c'D1P −

−−−−=

3

1P )X9(1875.0

)X9(375.0)EI(a −+−−=

Page 318: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VII-28

d) Para la construcción de VE tenemos:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

−−=

3E X

61

X125.7875.161

V

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

−−−= 875.16

6X

X125.7875.161

V3

E

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

−+

−−−−−−−−−=

22

2E )3X.(

1875.0

6)X6()3X(

)3X()2X(5.4875.16X125.7875.161

V

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

−+−−−=

3E )X9(

1875.0

)X9(375.0875.161

V

Tabulación de valores: X (m) VE

0 0 0.75 -0.3125 1.50 -0.6/+0.4 2.25 0.1625 3.00 0 3.75 -0.0719 4.50 -0.0750 5.25 -0.0410

6.00 0 6.75 0.0219 7.50 0.0250 8.25 0.0156 9.00 0

Gráfica:

Page 319: Puentes LRFD

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VII-29

C D

3m3m 1.5m

X

BA

1.5m

E

E DCF1

F1

3m

BAX 1

1.5m1.5m3m

E

1Pa

3m

C +1F

DA B

3m 1.5m 1.5m 1.5m1.5m3m

BA DC

3m

a

E

1

P

11

11

EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.9999 En la viga mostrada determine la líEn la viga mostrada determine la líEn la viga mostrada determine la líEn la viga mostrada determine la línea de influencia del momento nea de influencia del momento nea de influencia del momento nea de influencia del momento flector en la sección E.flector en la sección E.flector en la sección E.flector en la sección E. Solución.Solución.Solución.Solución.----

Procedimiento: a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de flexión instalando una

rótula como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como: Donde P es un punto cualquiera de la viga. En función del ángulo entre tangentes a la deformada en el punto de inflexión E, podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa 111P1 =+ Como:

1PP1 aa = (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)

E1 MF =

Page 320: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VII-30

C(9-X)M3

2M B

X BM

C3M

3MB

A'R

+

CMBM

3m

C'

3m

VIGA CONJUGADA:

+

(9-X)

X

C'RR

D'A'

3

1.5m

B'

1.5m

E'

11

1 1E

a

3m

C DA B

3m 1.5m 1.5m

P

P1a

E'

2M C

(X-3) (6-X)

B(6-X)M3

3(X-3)M C

Luego: 0)M(aa E111P =+ Es decir:

11

1PE a

aM −=

c) Para obtener ME calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión

a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada:

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones estáticas:

:0FV =∑ 0M3M3RRR CB'D'E'A =−−++ (1)

:0M izq,'B =∑ 0M23

R3 B'A =− (2)

:0M der,'C =∑ 0M23

R3 C'D =− (3)

:0M 'A =∑ 0R9R5.4M18M9 'D'ECB =−−+ (4) La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, conociendo que el momento en ambos lados de la rótula E es 1. Con el diagrama de momentos se tiene:

12

M

2

M CB=+

Es decir:

MB + MC = 2 (5)

Page 321: Puentes LRFD

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VII-31

Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene:

5.0R 'A = 5R 'E = 5.0R 'D = 1MB = 1MC = Cálculo de a11:

5R)EI(a 'E11 ==

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

)3X(X)X.

3

M(

21

)X(R)EI(a B'A1P −=

18X

X5.0)EI(a3

1P −=

Tramo BE (3 ≤ X ≤ 4.5):

)3X(31.

3

M)X6()3X(

21

)3X(32)3X(M

21

)2X(M)3(21

)X(R)EI(a BBB'A1P −

−−−−−−−−=

3)3X(

3

M)3X)(3X(

21 c −

−−−

18)3X(

18)X6()3X(

3)3X(

)2X(5.1X5.0)EI(a322

1P−

−−−

−−

−−−=

Tramo EC (4.5 ≤ X ≤ 6):

)5.4X(R18

)3X(18

)X6()3X(3

)3X()2X(5.1X5.0)EI(a 'E

322

1P −+−

−−−

−−

−−−=

)5.4X(518

)3X(18

)X6()3X(3

)3X()2X(5.1X5.0)EI(a

322

1P −+−

−−−

−−

−−−=

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

Tomando momentos a la derecha:

)X9(31.

3

M)X9().X9(

21

)X9(R)EI(a c'D1P −

−−−−=

18)X9(

)X9(5.0)EI(a3

1P−

−−=

Page 322: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VII-32

d) Para la construcción de ME tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

−−=

3E X

181

X5.051

M

Tramo BE (3 ≤ X ≤ 4.5):

−−

−−−

−−−−−=

18)3X(

18)X6()3X(

3)3X(

)2X(5.1X5.051

M322

E

Tramo EC (4.5 ≤ X ≤ 6):

−+

−−

−−−

−−−−−= )5.4X(5

18)3X(

18)X6()3X(

3)3X(

)2X(5.1X5.051

M322

E

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

−−−−=

18)X9(

)X9(5.051

M3

E

Tabulación de valores: X (m) ME

0 0 0.75 -0.0703 1.50 -0.1125 2.25 -0.0984 3.00 0 3.75 0.2063 4.50 0.5250 5.25 0.2063

6.00 0 6.75 -0.0984 7.50 -0.1125 8.25 -0.0703 9.00 0

Gráfica:

Page 323: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VII-33

A B

X 1

6m

6m

1X

BA

F1

+1F

A B

X 1

6m

a1P

P 11a

6m

BA

1

EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.EJEMPLO VI1.10101010 En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en el apoyo Ael apoyo Ael apoyo Ael apoyo A .... Solución.Solución.Solución.Solución.----

Procedimiento: a) Liberamos la reacción A en la viga y la expresamos como una fuerza externa F1

para obtener el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como: Donde P es un punto cualquiera de la viga. En razón a que no existe desplazamiento vertical en el apoyo A, podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa 111P1 =+ Como:

1PP1 aa = (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)

A1 RF −=

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VII-34

VIGA CONJUGADA:

1

A B

6m

a11

A' B'

6m

aP1

P

MAMB

MA'

AMMB

+ +

3MA B

3M

(6-X)X

6

M B X6(6-X)M A

Luego: 0)R(aa A111P =−+ Es decir:

11

1PA a

aR =

c) Para obtener RA calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión

a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada:

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes ecuaciones estáticas:

:0FV =∑ 0M3M3 BA =−− (1) :0M 'B =∑ 0)2(M3)4(M3M BA'A =−− (2)

La tercera ecuación la obtenemos de la viga superior:

:0MB =∑ 0M)6(1M BA =−− (3) Resolviendo las tres ecuaciones se obtiene:

3MA = 3MB −= 18M 'A = Cálculo de a11:

18M)EI(a 'A11 ==

Page 325: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VII-35

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

)3X

)(X.6

M(X

21

)3X(

6

M)X6(X

21

)3X2

)(X(M21

M)EI(a BAA'A1P −−−−=

12X

12)X6(X

XX18)EI(a32

21P +

−−−=

d) Para la construcción de RA tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

+

−−−=

12X

12)X6(X

X18181

R32

2A

Tabulación de valores:

X (m) RA 0 0

0.50 0.9803 1.00 0.9259 1.50 0.8438 2.00 0.7407 2.50 0.6238 3.00 0.5000 3.50 0.3761

4.00 0.2592 4.50 0.1562 5.00 0.0741 5.50 0.0197 6.00 0

Gráfica:

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VII-36

A B

X 1

6m

1F A B

X 1

6m

F1

+

6m

BA A B

6m

1a1P 11

a

1X

P

EJEMPLO VI1.1EJEMPLO VI1.1EJEMPLO VI1.1EJEMPLO VI1.11111 En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento flector en el apoyo Aflector en el apoyo Aflector en el apoyo Aflector en el apoyo A .... Solución.Solución.Solución.Solución.----

Procedimiento: a) Liberamos el momento flector en el apoyo A y lo expresamos como una fuerza

externa F1 para obtener el siguiente modelo:

b) El modelo tomado puede expresarse como: Donde P es un punto cualquiera de la viga. En razón que en A el giro es nulo, podemos plantear la siguiente ecuación:

0Faa 111P1 =+ Como:

1PP1 aa = (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)

A1 MF =

Page 327: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VII-37

VIGA CONJUGADA:

a11

1

6m

BA aP1

(6-X)6 X BM

6

X (6-X)

3MB

3

++

BM

6m

B'A'

RA'

1

Luego: 0)M(aa A111P =+ Es decir:

11

1PA a

aM −=

c) Para obtener MA calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión

a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada:

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes ecuaciones estáticas:

:0FV =∑ 0M33R B'A =−− (1) :0M 'A =∑ 0)4(M3)2(3 B =+ (2)

Resolviendo ambas ecuaciones se obtiene:

5.0MB −= 5.1R 'A = Cálculo de a11:

5.1R)EI(a 'A11 ==

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

)3X

)(X.6

M(X

21

)3X

)(6X6

.(X21

)3X2

)(X)(1(21

)X(R)EI(a B'A1P −

−−−=

Page 328: Puentes LRFD

PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VII-38

72X

36)X6(X

3X

X5.1)EI(a322

1P +−

−−=

d) Para la construcción de MA tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

+

−−−−=

72X

36)X6(X

3X

X5.15.11

M322

A

Tabulación de valores:

X (m) MA 0 0

0.50 -0.4201 1.00 -0.6944 1.50 -0.8438 2.00 -0.8889 2.50 -0.8507 3.00 -0.7500 3.50 -0.6076

4.00 -0.4444 4.50 -0.2812 5.00 -0.1389 5.50 -0.0382 6.00 0

Gráfica: