pseudo
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Otra Mirada de la
Pseudo-inversa de una Matriz
Hans Muller Santa Cruz
email: [email protected]
http://hansmullersantacruz.blogspot.com
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.1/20
Sumario
◦ Introducción
◦ Preámbulo
◦ La Pseudo-Inversa de una matriz A
◦ Axiomas de Moore Penrose
◦ Conclusión
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.2/20
Sumario
• Introducción
◦ Preámbulo
◦ La Pseudo-Inversa de una matriz A
◦ Axiomas de Moore Penrose
◦ Conclusión
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.2/20
Introducción
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.3/20
Introducción
En Matemática la construcción de un concepto puede
realizarse de muchas formas:
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.3/20
Introducción
En Matemática la construcción de un concepto puede
realizarse de muchas formas:
1. A partir de la deducción de propiedades de una
colección de objetos matemáticos
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.3/20
Introducción
En Matemática la construcción de un concepto puede
realizarse de muchas formas:
1. A partir de la deducción de propiedades de una
colección de objetos matemáticos
2. O bien axiomáticamente, dando por ciertas las
propiedades que caracterizan el concepto.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.3/20
Introducción
En esta exposición se ilustrará:
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.4/20
Introducción
En esta exposición se ilustrará:
la construcción de un concepto del Algebra Matricial
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.4/20
Introducción
En esta exposición se ilustrará:
la construcción de un concepto del Algebra Matricial
realizada de las dos formas mencionadas.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.4/20
Introducción
En esta exposición se ilustrará:
la construcción de un concepto del Algebra Matricial
realizada de las dos formas mencionadas.
el concepto de pseudo-inversa de una matriz
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.4/20
Sumario
◦ Introducción
• Preámbulo
◦ La Pseudo-Inversa de una matriz A
◦ Axiomas de Moore Penrose
◦ Conclusión
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.5/20
Preámbulo
Contexto:
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.6/20
Preámbulo
Contexto:
Las matrices a coeficientes reales, provistas de las
operaciones:
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.6/20
Preámbulo
Contexto:
Las matrices a coeficientes reales, provistas de las
operaciones:
adición, multiplicación de matrices, multiplicación de
matrices por escalares.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.6/20
Preámbulo
Contexto:
Las matrices a coeficientes reales, provistas de las
operaciones:
adición, multiplicación de matrices, multiplicación de
matrices por escalares.
Notamos Mm,n(R) el conjunto de las matrices de m filas y n
columnas.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.6/20
Preámbulo
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.7/20
Preámbulo
Ejemplo: La inversa de una matriz
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.7/20
Preámbulo
Ejemplo: La inversa de una matriz
Definición Una matriz
A ∈ Mn,n(R) es inversible, si
existe B ∈ Mn,n(R) tal que
AB = BA = I .
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.7/20
Preámbulo
Ejemplo: La inversa de una matriz
Definición Una matriz
A ∈ Mn,n(R) es inversible, si
existe B ∈ Mn,n(R) tal que
AB = BA = I .
Se muestra que B si existe,
es única y se la nota A−1
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.7/20
Preámbulo
Ejemplo: La inversa de una matriz
Definición Una matriz
A ∈ Mn,n(R) es inversible, si
existe B ∈ Mn,n(R) tal que
AB = BA = I .
Se muestra que B si existe,
es única y se la nota A−1
Se determina condiciones
necesarias y suficientes para
que una matriz A sea inversi-
ble
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.7/20
Preámbulo
Ejemplo: La inversa de una matriz
Definición Una matriz
A ∈ Mn,n(R) es inversible, si
existe B ∈ Mn,n(R) tal que
AB = BA = I .
Se muestra que B si existe,
es única y se la nota A−1
Se determina condiciones
necesarias y suficientes para
que una matriz A sea inversi-
ble
Se considera el problema
Ax = b,
con A ∈ Mn,n(R) inversible,
b ∈ Rn
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.7/20
Preámbulo
Ejemplo: La inversa de una matriz
Definición Una matriz
A ∈ Mn,n(R) es inversible, si
existe B ∈ Mn,n(R) tal que
AB = BA = I .
Se muestra que B si existe,
es única y se la nota A−1
Se determina condiciones
necesarias y suficientes para
que una matriz A sea inversi-
ble
Se considera el problema
Ax = b,
con A ∈ Mn,n(R) inversible,
b ∈ Rn
Solución x = A−1b.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.7/20
Preámbulo
Ejemplo: La inversa de una matriz
Definición Una matriz
A ∈ Mn,n(R) es inversible, si
existe B ∈ Mn,n(R) tal que
AB = BA = I .
Se muestra que B si existe,
es única y se la nota A−1
Se determina condiciones
necesarias y suficientes para
que una matriz A sea inversi-
ble
Se considera el problema
Ax = b,
con A ∈ Mn,n(R) inversible,
b ∈ Rn
Solución x = A−1b.
Este es un abordaje axiomático.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.7/20
Preámbulo
Ejemplo: La inversa de una matriz
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.8/20
Preámbulo
Ejemplo: La inversa de una matriz
Se considera la ecuación
Ax = b,
con A ∈ Mn,n(R), b ∈ Rn
arbitrario.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.8/20
Preámbulo
Ejemplo: La inversa de una matriz
Se considera la ecuación
Ax = b,
con A ∈ Mn,n(R), b ∈ Rn
arbitrario.
Se establece condiciones ne-
cesarias y suficientes de la
matriz A para la existencia y
unicidad de las soluciones.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.8/20
Preámbulo
Ejemplo: La inversa de una matriz
Se considera la ecuación
Ax = b,
con A ∈ Mn,n(R), b ∈ Rn
arbitrario.
Se establece condiciones ne-
cesarias y suficientes de la
matriz A para la existencia y
unicidad de las soluciones.
Para matrices A tales que el
problema matricial tiene
solución única.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.8/20
Preámbulo
Ejemplo: La inversa de una matriz
Se considera la ecuación
Ax = b,
con A ∈ Mn,n(R), b ∈ Rn
arbitrario.
Se establece condiciones ne-
cesarias y suficientes de la
matriz A para la existencia y
unicidad de las soluciones.
Para matrices A tales que el
problema matricial tiene
solución única.
Se define la matriz inversa
de A, como la matriz
A−1 ∈ Mn,n(R), tal que
x = A−1b.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.8/20
Preámbulo
Ejemplo: La inversa de una matriz
Se considera la ecuación
Ax = b,
con A ∈ Mn,n(R), b ∈ Rn
arbitrario.
Se establece condiciones ne-
cesarias y suficientes de la
matriz A para la existencia y
unicidad de las soluciones.
Para matrices A tales que el
problema matricial tiene
solución única.
Se define la matriz inversa
de A, como la matriz
A−1 ∈ Mn,n(R), tal que
x = A−1b.
Este es un abordaje constructivo
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.8/20
Sumario
◦ Introducción
◦ Preámbulo
• La Pseudo-Inversa de una matriz A
◦ Axiomas de Moore Penrose
◦ Conclusión
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.9/20
La Pseudo-Inversa de una Matriz A
Abordaje constructivo
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.10/20
La Pseudo-Inversa de una Matriz A
Abordaje constructivo
Consideramos el problema de “mínimos cuadrados” dado
por:
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.10/20
La Pseudo-Inversa de una Matriz A
Abordaje constructivo
Consideramos el problema de “mínimos cuadrados” dado
por:
“Encontrar x ∈ Rn tal que
||x||2 → mın,
sujeto a la condición ||Ax− b||2 → mın,
donde A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm”.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.10/20
La Pseudo-Inversa de una Matriz A
Abordaje constructivo
Consideramos el problema de “mínimos cuadrados” dado
por:
“Encontrar x ∈ Rn tal que
||x||2 → mın,
sujeto a la condición ||Ax− b||2 → mın,
donde A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm”.
Resolvemos primero el problema ||Ax− b||2 → mın.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.10/20
La Pseudo-Inversa de una Matriz A
Abordaje constructivo
Consideramos el problema de “mínimos cuadrados” dado
por:
“Encontrar x ∈ Rn tal que
||x||2 → mın,
sujeto a la condición ||Ax− b||2 → mın,
donde A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm”.
Resolvemos primero el problema ||Ax− b||2 → mın.
Este problema tiene siempre al menos una solución
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.10/20
La Pseudo-Inversa de una Matriz A
Abordaje constructivo
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.11/20
La Pseudo-Inversa de una Matriz A
Abordaje constructivo
Se considera E = {x ∈ Rn| ||Ax− b||2 → mın}, se muestra
que es un subespacio afin de Rn.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.11/20
La Pseudo-Inversa de una Matriz A
Abordaje constructivo
Se considera E = {x ∈ Rn| ||Ax− b||2 → mın}, se muestra
que es un subespacio afin de Rn.
Luego se resuelve el problema ||x||2 → mın con x ∈ E.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.11/20
La Pseudo-Inversa de una Matriz A
Abordaje constructivo
Se considera E = {x ∈ Rn| ||Ax− b||2 → mın}, se muestra
que es un subespacio afin de Rn.
Luego se resuelve el problema ||x||2 → mın con x ∈ E.
Se constata que:
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.11/20
La Pseudo-Inversa de una Matriz A
Abordaje constructivo
Se considera E = {x ∈ Rn| ||Ax− b||2 → mın}, se muestra
que es un subespacio afin de Rn.
Luego se resuelve el problema ||x||2 → mın con x ∈ E.
Se constata que:
1. La solución x es única,
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.11/20
La Pseudo-Inversa de una Matriz A
Abordaje constructivo
Se considera E = {x ∈ Rn| ||Ax− b||2 → mın}, se muestra
que es un subespacio afin de Rn.
Luego se resuelve el problema ||x||2 → mın con x ∈ E.
Se constata que:
1. La solución x es única,
2. La solución x depende linealmente del vector b.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.11/20
La Pseudo-Inversa de una Matriz A
Abordaje constructivo
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.12/20
La Pseudo-Inversa de una Matriz A
Abordaje constructivo
Definimos la pseudo-inversa de la matriz A ∈ Mm,n(R), la
matriz A† ∈ Mn,m(R), tal que
x = A†b,
donde x es la solución del problema de “mínimos
cuadrados”
||x||2 → mın
sujeto a ||Ax− b||2 → mın.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.12/20
La Pseudo-Inversa de una Matriz A
Abordaje constructivo
Definimos la pseudo-inversa de la matriz A ∈ Mm,n(R), la
matriz A† ∈ Mn,m(R), tal que
x = A†b,
donde x es la solución del problema de “mínimos
cuadrados”
||x||2 → mın
sujeto a ||Ax− b||2 → mın.
Luego se muestra algunas propiedades de la
pseudo-inversa, como los Axiomas de Moore Penrose.Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.12/20
Sumario
◦ Introducción
◦ Preámbulo
◦ La Pseudo-Inversa de una matriz A
• Axiomas de Moore Penrose
◦ Conclusión
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.13/20
Axiomas de Moore Penrose
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.14/20
Axiomas de Moore Penrose
Definición.- Sea A ∈ Mm,n(R) una matriz, se llama
pseudo-inversa de A a una matriz A† ∈ Mm,n(R) que satisface
las siguientes cuatro propiedades, llamadas Axiomas de Moore
Penrose:
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.14/20
Axiomas de Moore Penrose
Definición.- Sea A ∈ Mm,n(R) una matriz, se llama
pseudo-inversa de A a una matriz A† ∈ Mm,n(R) que satisface
las siguientes cuatro propiedades, llamadas Axiomas de Moore
Penrose:
AA†A = A, (MP1)
A†AA† = A†, (MP2)
(AA†)t = A(†A), (MP3)
(A†A)t = A†A. (MP4)
donde t expresa la transpuesta de una matriz.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.14/20
Axiomas de Moore Penrose
Definición.- Sea A ∈ Mm,n(R) una matriz, se llama
pseudo-inversa de A a una matriz A† ∈ Mm,n(R) que satisface
las siguientes cuatro propiedades, llamadas Axiomas de Moore
Penrose:
AA†A = A, (MP1)
A†AA† = A†, (MP2)
(AA†)t = A(†A), (MP3)
(A†A)t = A†A. (MP4)
donde t expresa la transpuesta de una matriz.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.14/20
Axiomas de Moore Penrose
Definición.- Sea A ∈ Mm,n(R) una matriz, se llama
pseudo-inversa de A a una matriz A† ∈ Mm,n(R) que satisface
las siguientes cuatro propiedades, llamadas Axiomas de Moore
Penrose:
AA†A = A, (MP1)
A†AA† = A†, (MP2)
(AA†)t = A(†A), (MP3)
(A†A)t = A†A. (MP4)
donde t expresa la transpuesta de una matriz.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.14/20
Axiomas de Moore Penrose
Definición.- Sea A ∈ Mm,n(R) una matriz, se llama
pseudo-inversa de A a una matriz A† ∈ Mm,n(R) que satisface
las siguientes cuatro propiedades, llamadas Axiomas de Moore
Penrose:
AA†A = A, (MP1)
A†AA† = A†, (MP2)
(AA†)t = A(†A), (MP3)
(A†A)t = A†A. (MP4)
donde t expresa la transpuesta de una matriz.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.14/20
Axiomas de Moore Penrose
Definición.- Sea A ∈ Mm,n(R) una matriz, se llama
pseudo-inversa de A a una matriz A† ∈ Mm,n(R) que satisface
las siguientes cuatro propiedades, llamadas Axiomas de Moore
Penrose:
AA†A = A, (MP1)
A†AA† = A†, (MP2)
(AA†)t = A(†A), (MP3)
(A†A)t = A†A. (MP4)
donde t expresa la transpuesta de una matriz.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.14/20
Axiomas de Moore Penrose
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
B = B(ACA)B por
(MP1)
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
B = B(ACA)B por
(MP1)
B = (BA)t(CA)tB
por (MP4)
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
B = B(ACA)B por
(MP1)
B = (BA)t(CA)tB
por (MP4)
B = AtBtAtCtB
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
B = B(ACA)B por
(MP1)
B = (BA)t(CA)tB
por (MP4)
B = AtBtAtCtB
B = (ABA)tCtB
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
B = B(ACA)B por
(MP1)
B = (BA)t(CA)tB
por (MP4)
B = AtBtAtCtB
B = (ABA)tCtB
B = AtCtB por
(MP1)
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
B = B(ACA)B por
(MP1)
B = (BA)t(CA)tB
por (MP4)
B = AtBtAtCtB
B = (ABA)tCtB
B = AtCtB por
(MP1)
B = CAB por (MP4)
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
B = B(ACA)B por
(MP1)
B = (BA)t(CA)tB
por (MP4)
B = AtBtAtCtB
B = (ABA)tCtB
B = AtCtB por
(MP1)
B = CAB por (MP4)
B = C(ACA)B por
(MP1)
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
B = B(ACA)B por
(MP1)
B = (BA)t(CA)tB
por (MP4)
B = AtBtAtCtB
B = (ABA)tCtB
B = AtCtB por
(MP1)
B = CAB por (MP4)
B = C(ACA)B por
(MP1)
B = C(AC)t(AB)t
por (MP3)
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
B = B(ACA)B por
(MP1)
B = (BA)t(CA)tB
por (MP4)
B = AtBtAtCtB
B = (ABA)tCtB
B = AtCtB por
(MP1)
B = CAB por (MP4)
B = C(ACA)B por
(MP1)
B = C(AC)t(AB)t
por (MP3)
B = CCt(AtBtAt)
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
B = B(ACA)B por
(MP1)
B = (BA)t(CA)tB
por (MP4)
B = AtBtAtCtB
B = (ABA)tCtB
B = AtCtB por
(MP1)
B = CAB por (MP4)
B = C(ACA)B por
(MP1)
B = C(AC)t(AB)t
por (MP3)
B = CCt(AtBtAt)
B = CCtAt por
(MP1)
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
B = B(ACA)B por
(MP1)
B = (BA)t(CA)tB
por (MP4)
B = AtBtAtCtB
B = (ABA)tCtB
B = AtCtB por
(MP1)
B = CAB por (MP4)
B = C(ACA)B por
(MP1)
B = C(AC)t(AB)t
por (MP3)
B = CCt(AtBtAt)
B = CCtAt por
(MP1)
B = C(AC)t
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
B = B(ACA)B por
(MP1)
B = (BA)t(CA)tB
por (MP4)
B = AtBtAtCtB
B = (ABA)tCtB
B = AtCtB por
(MP1)
B = CAB por (MP4)
B = C(ACA)B por
(MP1)
B = C(AC)t(AB)t
por (MP3)
B = CCt(AtBtAt)
B = CCtAt por
(MP1)
B = C(AC)t
B = CAC por (MP3)
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
B = B(ACA)B por
(MP1)
B = (BA)t(CA)tB
por (MP4)
B = AtBtAtCtB
B = (ABA)tCtB
B = AtCtB por
(MP1)
B = CAB por (MP4)
B = C(ACA)B por
(MP1)
B = C(AC)t(AB)t
por (MP3)
B = CCt(AtBtAt)
B = CCtAt por
(MP1)
B = C(AC)t
B = CAC por (MP3)
B = C por (MP2).
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- La pseudo-inversa de una matriz A, si existe, es
única.
Demostración.- Sean B, C dos pseudo-inversas de A. Se tiene:
B = BAB por (MP2)
B = B(ACA)B por
(MP1)
B = (BA)t(CA)tB
por (MP4)
B = AtBtAtCtB
B = (ABA)tCtB
B = AtCtB por
(MP1)
B = CAB por (MP4)
B = C(ACA)B por
(MP1)
B = C(AC)t(AB)t
por (MP3)
B = CCt(AtBtAt)
B = CCtAt por
(MP1)
B = C(AC)t
B = CAC por (MP3)
B = C por (MP2).
�
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.15/20
Axiomas de Moore Penrose
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.16/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución de
||Ax− b||2 → mın.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.16/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución de
||Ax− b||2 → mın.
Demostración Sea x ∈ Rn, δ = A†b, consideramos:
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.16/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución de
||Ax− b||2 → mın.
Demostración Sea x ∈ Rn, δ = A†b, consideramos:
||A(x+ δ)− b||22 = ||Ax||2 + 2xtAtAδ + ||Aδ||22 − 2btAx− 2btAδ + ||b||22
= ||Ax||2 + ||b||22 + btA†tAtAA†b+ 2xtAtAA†b− 2xtAb− 2btAA†b
= ||b||2 + ||Ax||2 + 2(xtAtAA†b︸ ︷︷ ︸
xt(AA†A)tb
−xtAtb)
+bt(AA†)tAA†b− 2btAA†b
≥ ||b||2 − btAA†b.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.16/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución de
||Ax− b||2 → mın.
Demostración Sea x ∈ Rn, δ = A†b, consideramos:
||A(x+ δ)− b||22 = ||Ax||2 + 2xtAtAδ + ||Aδ||22 − 2btAx− 2btAδ + ||b||22
= ||Ax||2 + ||b||22 + btA†tAtAA†b+ 2xtAtAA†b− 2xtAb− 2btAA†b
= ||b||2 + ||Ax||2 + 2(xtAtAA†b︸ ︷︷ ︸
xt(AA†A)tb
−xtAtb)
+bt(AA†)tAA†b− 2btAA†b
≥ ||b||2 − btAA†b.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.16/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución de
||Ax− b||2 → mın.
Demostración Sea x ∈ Rn, δ = A†b, consideramos:
||A(x+ δ)− b||22 = ||Ax||2 + 2xtAtAδ + ||Aδ||22 − 2btAx− 2btAδ + ||b||22
= ||Ax||2 + ||b||22 + btA†tAtAA†b+ 2xtAtAA†b− 2xtAb− 2btAA†b
= ||b||2 + ||Ax||2 + 2(xtAtAA†b︸ ︷︷ ︸
xt(AA†A)tb
−xtAtb)
+bt(AA†)tAA†b− 2btAA†b
≥ ||b||2 − btAA†b.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.16/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución de
||Ax− b||2 → mın.
Demostración Sea x ∈ Rn, δ = A†b, consideramos:
||A(x+ δ)− b||22 = ||Ax||2 + 2xtAtAδ + ||Aδ||22 − 2btAx− 2btAδ + ||b||22
= ||Ax||2 + ||b||22 + btA†tAtAA†b+ 2xtAtAA†b− 2xtAb− 2btAA†b
= ||b||2 + ||Ax||2 + 2(xtAtAA†b︸ ︷︷ ︸
xt(AA†A)tb
−xtAtb)
+bt(AA†)tAA†b− 2btAA†b
≥ ||b||2 − btAA†b.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.16/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución de
||Ax− b||2 → mın.
Demostración Sea x ∈ Rn, δ = A†b, consideramos:
||A(x+ δ)− b||22 = ||Ax||2 + 2xtAtAδ + ||Aδ||22 − 2btAx− 2btAδ + ||b||22
= ||Ax||2 + ||b||22 + btA†tAtAA†b+ 2xtAtAA†b− 2xtAb− 2btAA†b
= ||b||2 + ||Ax||2 + 2(xtAtAA†b︸ ︷︷ ︸
xt(AA†A)tb
−xtAtb)
+bt(AA†)tAA†b− 2btAA†b
≥ ||b||2 − btAA†b.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.16/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución de
||Ax− b||2 → mın.
Demostración Sea x ∈ Rn, δ = A†b, consideramos:
||A(x+ δ)− b||22 = ||Ax||2 + 2xtAtAδ + ||Aδ||22 − 2btAx− 2btAδ + ||b||22
= ||Ax||2 + ||b||22 + btA†tAtAA†b+ 2xtAtAA†b− 2xtAb− 2btAA†b
= ||b||2 + ||Ax||2 + 2(xtAtAA†b︸ ︷︷ ︸
xt(AA†A)tb
−xtAtb)
+bt(AA†)tAA†b− 2btAA†b
≥ ||b||2 − btAA†b.
�
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.16/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución de
||Ax− b||2 → mın.
Demostración Sea x ∈ Rn, δ = A†b, consideramos:
||A(x+ δ)− b||22 = ||Ax||2 + 2xtAtAδ + ||Aδ||22 − 2btAx− 2btAδ + ||b||22
= ||Ax||2 + ||b||22 + btA†tAtAA†b+ 2xtAtAA†b− 2xtAb− 2btAA†b
= ||b||2 + ||Ax||2 + 2(xtAtAA†b︸ ︷︷ ︸
xt(AA†A)tb
−xtAtb)
+bt(AA†)tAA†b− 2btAA†b
≥ ||b||2 − btAA†b.
�
Corolario.- Se tiene ||A(A†b)− b||22 = |b||2 − btAA†b y x+ A†b
minimiza ||A(x+ A†b)− b||2 si y solamente si Ax = 0.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.16/20
Axiomas de Moore Penrose
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.17/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución del
problema de mínimos cuadrados
||x||2 → mın
sujeto a ||Ax− b||2 → mın.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.17/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución del
problema de mínimos cuadrados
||x||2 → mın
sujeto a ||Ax− b||2 → mın.Demostración Tenemos:
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.17/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución del
problema de mínimos cuadrados
||x||2 → mın
sujeto a ||Ax− b||2 → mın.Demostración Tenemos:
||x+A†b||22 = ||x||2 + ||A†b||22 + 2xtA†b
≥ ||A†b||22 + 2xt(A†AA†)b
= ||A†b||22 + 2xtAtA†tA†b
= ||A†b||22.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.17/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución del
problema de mínimos cuadrados
||x||2 → mın
sujeto a ||Ax− b||2 → mın.Demostración Tenemos:
||x+A†b||22 = ||x||2 + ||A†b||22 + 2xtA†b
≥ ||A†b||22 + 2xt(A†AA†)b
= ||A†b||22 + 2xtAtA†tA†b
= ||A†b||22.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.17/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución del
problema de mínimos cuadrados
||x||2 → mın
sujeto a ||Ax− b||2 → mın.Demostración Tenemos:
||x+A†b||22 = ||x||2 + ||A†b||22 + 2xtA†b
≥ ||A†b||22 + 2xt(A†AA†)b
= ||A†b||22 + 2xtAtA†tA†b
= ||A†b||22.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.17/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución del
problema de mínimos cuadrados
||x||2 → mın
sujeto a ||Ax− b||2 → mın.Demostración Tenemos:
||x+A†b||22 = ||x||2 + ||A†b||22 + 2xtA†b
≥ ||A†b||22 + 2xt(A†AA†)b
= ||A†b||22 + 2xtAtA†tA†b
= ||A†b||22.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.17/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución del
problema de mínimos cuadrados
||x||2 → mın
sujeto a ||Ax− b||2 → mın.Demostración Tenemos:
||x+A†b||22 = ||x||2 + ||A†b||22 + 2xtA†b
≥ ||A†b||22 + 2xt(A†AA†)b
= ||A†b||22 + 2xtAtA†tA†b
= ||A†b||22.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.17/20
Axiomas de Moore Penrose
Teorema.- Para A ∈ Mm,n(R) y b ∈ Rm, A†b es solución del
problema de mínimos cuadrados
||x||2 → mın
sujeto a ||Ax− b||2 → mın.Demostración Tenemos:
||x+A†b||22 = ||x||2 + ||A†b||22 + 2xtA†b
≥ ||A†b||22 + 2xt(A†AA†)b
= ||A†b||22 + 2xtAtA†tA†b
= ||A†b||22.
�
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.17/20
Sumario
◦ Introducción
◦ Preámbulo
◦ La Pseudo-Inversa de una matriz A
◦ Axiomas de Moore Penrose
• Conclusión
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.18/20
Conclusión
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.19/20
Conclusión
Si uno no se pierde,
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.19/20
Conclusión
Si uno no se pierde, todos los caminos conducen a Roma
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.19/20
Conclusión
Si uno no se pierde, todos los caminos conducen a Roma
Hay caminos difíciles y tortuosos.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.19/20
Conclusión
Si uno no se pierde, todos los caminos conducen a Roma
Hay caminos difíciles y tortuosos.
Hay caminos simples e iluminados.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.19/20
Conclusión
Si uno no se pierde, todos los caminos conducen a Roma
Hay caminos difíciles y tortuosos.
Hay caminos simples e iluminados.
La habilidad de uno es encontrar los buenos caminos.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.19/20
Conclusión
Si uno no se pierde, todos los caminos conducen a Roma
Hay caminos difíciles y tortuosos.
Hay caminos simples e iluminados.
La habilidad de uno es encontrar los buenos caminos.
Esa es la belleza de la Matemática.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.19/20
Esta presentación ha sido
hecha con Prosperex.
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.20/20
Esta presentación ha sido
hecha con Prosperex.
Alguna Pregunta
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.20/20
Esta presentación ha sido
hecha con Prosperex.
Alguna Pregunta
Muchas Gracias
Pseudo-inversa 23 de julio de 2013– p.20/20