pruebas de presion

Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

1

Autor:

FREDDY HUMBERTO ESCOBAR M., Ph.D.


2

© Freddy Humberto Escobar Macualo

© de esta edición

Editorial Universidad Surcolombiana

Segunda edición:

Marzo de 2009

ISBN 958-8154-81-2

Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción total o parcial Por cualquier medio sin permiso del autor

Diseño de Portada: Oscar Fernando Muñoz Chavarro

Fotografía portada:

Oscar Fernando Muñoz Chavarro

Diseño y diagramación: Editorial Guadalupe

Impresión y encuadernación

OTI Impresos

Impreso y hecho en Colombia

Editorial Universidad Surcolombiana E-mail: [email protected]

Dirección: Avenida Pastrana Carrera 1ª. Teléfono: 875 47 53 Ext. 358

Neiva - Huila - Colombia


3

DEDICATORIAS

Con especial cariño y aprecio dedico este libro a mi tío José Demetrio Escobar y su descendencia, quienes estoy seguro estarán orgullosos por mis logros. Esta dedicatoria es también extensiva con mi mayor respeto, cariño y gratitud a su esposa Gloria Celis Granados de Escobar, quien me enseñó mis primeras letras; a su hija Doris Elvira Escobar Celis junto con su esposo Carlos Julio Reyes Chacón e hijos Euder Fabián y Estefanía; a su hija Zulmy Yazmín Escobar Celis, junto con su esposo Humberto “Pipico” Alvarez Walteros e hijos Sergio Leonardo y Zulmy Karime; a su hijo Demetrio Alfonso “Jojo” Escobar Celis (Q.E.P.D.) y a su hija Luz Marina Mazuera C.elisjunto con sus hijos y nietos.


4

AGRADECIMIENTOS

Deseo expresar mi gratitud a mis estudiantes, colaboradores y amigos que han contribuido al desarrollo de mis investigaciones durante la vigencia del Grupo de Investigaciones en Pruebas de Pozos, GIPP y durante mis estudios doctorales. Entre ellos se destacan: Oscar Fernando Muñoz Chavarro, Yuly Andrea Hernández Cortés, Claudia Marcela Hernández Cortés, Juan Miguel Navarrete Bonilla, Robin Fernando Aranda Aranda, John Fredy Herrera Rincón, Daniel Augusto Gutierrez Arciniegas, Walter Nuñez García, Katherine Moncada Ceballos, y Miguel Danilo Molina Bohórquez. Mi gratitud es igualmente extendida al Ing. Oscar Fernando Muñoz Chavarro por la colaboración y dedicación recibida en el diseño de la portada y a la Editorial Universidad Surcolombiana por permitirme la posibilidad de la publicación del presente libro. En forma muy especial y con un profundo agradecimiento quiero extender una calurosa gratitud al Dr. Alhim Adonai Vera Silva por su valiosa colaboración en escribir el prólogo de este libro en una forma tan poética, expresiva, humana, cariñosa, desinteresada y espontánea, en el que resume la temática de este libro para un público no técnico. Tarea difícil, pero no imposible para un hombre del talento e inteligencia del Dr. Vera, ya que en otras cosas es un hombre de letras y desconocía el lenguaje técnico petrolero y tuvo que tomarse la molestia de hacer un curso intensivo de Ingeniero de Petróleos. Dios bendiga al Dr. Vera Silva por su valioso aporte y por las demás obras maravillosas que el hace. Valga la pena mencionar, que es un gran talento que reside en nuestra Universidad Surcolombiana.

A mi adorada esposa Matilde Montealegre Madero por su compañía, ternura, ayuda y apoyo en el GIPP, al igual que a mis hijitos Jennifer Andrea y Freddy Alonso Escobar Montealegre quienes constituyen el regalo más grande que Dios me ha dado. Finalmente, pero no significa que sea lo último, mis eternos agradecimientos al Dios Padre Todopoderoso, a Jesucristo su hijo, al Espíritu Santo y a María Santísima por todo lo maravilloso que han hecho y harán en mi vida desde el 3 de Junio de 1965.


5

INTRODUCCION

Este texto contiene la programática, objetivos y actividades a desarrollar en un curso de pregrado o posgrado de Análisis de Presiones de Fondo, el cual sirve a los estudiantes como texto guía y herramienta fundamental en el desarrollo de sus actividades académicas. Este trabajo recopila información de varios libros y artículos técnicos relacionados con el tema en cuestión existentes en la literatura desde 1960 hasta la actualidad, al igual que los resultados investigativos del autor en los últimos 8 años, toda vez que reúne algunas de sus experiencias en el área de presiones de fondo e incluye sus aportes recientes que él ha hecho a esta rama de la ciencia y algunos aportes logrados por el Grupo de Investigaciones en Pruebas de Pozos, GIPP, liderado por el autor. La introducción del flujo parabólico y dual lineal presente en yacimientos alongados es uno de los grandes aportes que se hace a la ciencia de la interpretación de transientes de presión. Con el respeto que merecen muchos de los autores que han hecho sus contribuciones precediendo a este autor, con el firme convencimiento de enriquecer la Ingeniería de Yacimientos y particularmente el tema de las presiones de pozo, éste no es un libro más de pruebas de pozos; este es un libro de análisis moderno de presiones de fondo y por ello se hace énfasis en la aplicabilidad de una técnica moderna y revolucionaria que permite la interpretación práctica de los transientes de presión sin el empleo de las curvas tipo. El lector se preguntará que siendo la Ingeniería de Petróleos una ciencia con tan pocas herramientas, se están eliminando las pocas que existen? La respuesta es un no rotundo!. Se presenta una nueva alternativa para evitar en lo posible el uso de curvas tipo, debido a lo engorroso y riesgoso de su uso. La nueva alternativa es mucho más práctica y de fácil uso y actualmente todo su proceso investigativo se haya en la edad adulta y que prácticamente todos los casos posibles encontrados en la naturaleza, relacionados con presiones de pozos, son cubiertas por la metodología que aquí se enfatiza. El lector podrá definir bajo su propio criterio la decisión de su uso. Por ello, el libro presenta un compendio de las diferentes y principales técnicas presentadas en la literatura para poder establecer comparaciones con la técnica materia de este libro. Algunos aspectos como pozos de gas, pozos horizontales, anisotropía, entre otros, están fuera del alcance de este libro y formarán parte de un futuro texto investigativo del autor. El contenido de este libro se enmarca en ocho capítulos. El primero de ellos se orienta a la descripción del flujo de fluidos en medios porosos. Allí se estudian los conceptos básicos del análisis de pruebas de presión y el principio de superposición, así como la deducción y solución de la ecuación de difusividad con sus limitaciones y aplicaciones. Este capítulo es supremamente vital para entender los restantes 8 capítulos. El capítulo dos se centra en el estudio de pruebas de declinación de presión, completamiento parcial y penetración parcial, pruebas multirata y yacimientos


6

lineales. En éste, también se presentan los fundamentos de almacenamiento y daño, al igual que una introducción a los regimenes de flujo, incluyendo, en pozos horizontales. En este capítulo se emplearán todas las técnicas existentes para interpretar pruebas de pozos incluyendo desde la técnica de ajuste por curvas tipo (más antigua) hasta el método moderno llamado Tiab’s Direct Synthesis Technique, más nueva e introducida en 1993. En general, el texto se enfoca con especial atención en esta técnica toda vez que no solo es moderna sino también de uso muy práctico. El capítulo tres estudia las pruebas de restauración de presión y las diferentes metodologías para su interpretación. Se notará que una prueba de restauración de presión, no es más que un caso particular de una prueba biflujo. Este capítulo incluye los métodos para determinar la presión promedia del yacimiento incluyendo pruebas multitasas. Hasta aquí el autor considera que hay material suficiente para abarcar un curso de pregrado. En el capítulo cuatro se estudian las pruebas DST, los métodos de interpretación y las técnicas para determinar las distancias a posibles discontinuidades. El capítulo cinco considera las diferentes heterogeneidades que se presentan en los yacimientos y se presentan diversos métodos para su determinación. Se hace especial énfasis en la detección de una barrera lineal en el radio de drene del pozo. El capítulo seis se centra en pruebas múltiples como las de interferencia y pulso. En principio, todos los yacimientos son naturalmente fracturados. Algunos de ellos, cuyas fracturas son demasiado pequeñas (microfracturas) se clasifican en el grupo de los yacimientos homogéneos. Por ésto, el capítulo 7 estudia los yacimientos naturalmente fracturados. El capítulo 8 está dedicado a los pozos hidráulicamente fracturados. Allí se estudian los diferentes regimenes de flujo que se presentan en pozos artificialmente fracturados al igual que el concepto de conductividad de fractura y su efecto en los regimenes de flujo. Se hace énfasis especial en la técnica que elimina el uso de las curvas tipo (Tiab’s Direct Synthesis Technique) y se estudian las fracturas de flujo uniforme, conductividad finita e infinita.


7

PROLOGO

Para mi es noble el encargo de dedicar unas líneas a la obra prolífica del Dr. Freddy Humberto Escobar Macualo; es el pretexto perfecto para destacar un joven talento investigador colombiano, adscrito a la Facultad de Ingeniería de nuestra Universidad Surcolombiana. Sorprende su juventud, su ímpetu y su audacia al explorar los conocimientos de frontera en la industria petrolera mundial que alcanza en la nueva sociedad del conocimientro las crestas más altas en teorizaciones, tecnologizaciones, digitalizaciones e innovaciones petroleras que desde Newton permiten examinar la naturaleza viviente de los pozos y su caracterización. Hablar con el Dr. Freddy Humberto Escobar en el campo de su formación última, Ph.D., es acercarse a la metáfora de la vida. La naturaleza es una combinacion de energía y materia que se tranforma por explosiones e implosiones de violencia química, y alternancia climática del universo, donde las solidez, la cristalización, la invernez, producen transformaciones en la materia y en la energía, preciosas piedras, y manantiales de petróleo vivo; vida que se mueve entre las arterias de su propio cuerpo, donde la metáfora del colesterol obstruye la producción y fragmenta la complejidad de la naturaleza, que más alla de mutaciones mecánicas de energía y materia. El hombre como expresión de la evolución compleja del universo, ha alcanzado la síntesis del universo; la capacidad de simbolizar la realidad de donde procede, a través de la inteligencia socializada en códigos de comunicación, imágenes, alfabetos, hábitos, oralidad, escritura, dibujo, pintura, escultura, sonido, prototipo, mapa, teoría, fórmula, tecnología, e innovación, patente entre otros. El hombre se atreve a simbolizar la realidad, quiere explicarla, quiere poseerla, quiere transformarla. El hombre tiene la audacia de buscar la propia explicacion de la vida y de los factores asociados para su perpetuación y uno de esos factores tiene que ver con el aceite de roca, mejor conocido como petróleo. El ámbito de la ingenería le ha permitido al hombre examinar la naturaleza de las tecnologías, crear simbolizaciones, elaborar conceptualizaciones, confrontar teorizaciones, plantear hipótesis, desarrollar estrategias, matematizar relaciones, identificar variables, precisar indicadores, fijar normas, concertar estandares e instrumentos, desarrollar fórmulas, plantear leyes y cumplir principios que rigen en forma relativa las ciencias físicas. El Dr. Escobar indaga a Newton, uno de los iniciadores de la teoriazación en el análisis o interpretación de pruebas de presión que forma parte de la evaluación de formaciones, que a su vez se vuelca dentro de la ingeniería de yacimientos, que junto con la ingeniería de perforación y la ingeniería de producción, constituyen el cuerpo científico tecnológico de la Ingeniería de Petróleos.


8

El Dr. Freddy Humberto Escobar Macualo, no solo consulta la historia del conocimiento newtoniano, sino que la desborda con su rebeldía y espíritu inquisidor, pide explicaciones teóricas al comportamiento de los pozos, actividad imprescindible en la industria petrolera. Estos comportamientos nos dice el Dr. Escobar, se fundamentan en la tercera ley de Newton (acción y respuesta) y consiste en crear una perturbación (abrir o cerrar el pozo) en un pozo y medir su presión (normalmente en el fondo). Este registro de presión contra tiempo es interpretado por el ingeniero haciendo uso de gráficos cartesianos, semilogarítmicos, y otros, para determinar porciones que indican diferentes comportamientos del yacimiento y con ello comprobar diferentes características, que lo hacen atractivo o no para la industria petrolera que mueve millones de dolares por segundo en el mundo. No solo es destacable la inteligencia, la audacia y la juventud del Dr. Escobar, sino la capacidad de trabajo que le ha permitido ser uno de los discipulos del Dr. Djebbar Tiab de la Universidad de Oklahoma, quien a comienzos de la década de los 90s, introdujo la última técnica para interpretar pruebas de presión. Esta técnica revolucionaria usa puntos característicos (“huellas dactilares”) que se hallan en el gráfico de la presión y la derivada de presión para obtener de forma directa (sin uso de costosos simuladores) los parámetros característicos del yacimiento. Este es el eje sobre la cual se levanta el libro Análisis Moderno de Pruebas de Pozos del Dr. F.H. Escobar y sobre esa temática es que se ha enfocado su mayor investigación, a través de la cual se han hecho grandes aportes a la ciencia de los hidrocarburos a nivel mundial, como es el caso de la mejor forma para caracterizar yacimientos alargados y la introducción de un nuevo regimen de flujo bautizado como “Parabólico” en virtud a su geometría, nombre salido del seno del grupo de investigaciones en pruebas de pozos, GIPP, liderado por el Dr. Escobar en la Universidad Surcolombiana. Las pruebas de presión que el Dr. Escobar desarrolla con el Grupo de Investigaciones en Pruebas de Pozos (GIPP), en la universidad Surcolombiana tienen múltiples aplicaciones. Entre otros se pueden mencionar: determinar los límites del yacimiento (obviamente reservas de hidrocarburos), establecer la comercialidad de un pozo, determinar la capacidad productiva (permeabilidad) de la roca productora, hallar distancias a fallas y a otras barreras, determinar la presión promedia del yacimiento, un parámetro cuyo conocimiento es tan importante para el ingeniero como la presión arterial del paciente lo es al médico) y cuantificar el daño. El daño es causado por muchos factores tales como la invasión del lodo de perforación, crecimiento bacteriano, precipitación de finos, precipitación de compuestos orgánicos presentes en el crudo (colesterol de los crudos) ocasionando taponamientos de los poros de la roca y de la tubería, entre otros. Los campos de investigacion del GIPP se pueden sintetizar en: yacimientos naturalmente fracturados; yacimientos sensibles a los esfuerzos; análisis de presiones de fondo; evaluación de técnicas de derivación de datos de presión; interpretación de


9

pruebas de presión; pruebas de presión en yacimientos gasíferos; optimización de producción; redes neuronales; ingeniería de yacimientos y petrofísica. En escencia, el Dr. Escobar desarrolla investigación para mejorar la productividad de los yacimientos de hidrocarburos por medio de la apropiación, aplicación, producción del conocimiento en el área del análisis e interpretación de presiones de pozos, yacimientos naturalmente fracturados y yacimientos sensibles a los esfuerzos que permiten una caracterización más práctica y confiable de las formaciones de hidrocarburos, una de las prioridades de la investigacion tranversal en el campo petrolero. Para los académicos amantes de la investigacion de frontera, el libro del Dr. Freddy Humberto Escobar Macualo es un excelente texto de consulta producto de la investigación, que enriquece la mirada en este mundo complejo de la industria petrolera mundial. ALHIM ADONAI VERA SILVA Profesor Universidad Surcolombiana desde 1983– Categoría Titular Licenciado en Ciencias de la Educación, Especialidad Pedagogía, Universidad de Pamplona Especialización en Pedagogía, Universidad de Pamplona Magíster en Investigación y Tecnología Educativas, Pontificia Universidad Javeriana Doctorado en educación – Línea Educación Superior Comparada, Universidad Autónoma de Morelos, México


10

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION....................................................................................................................... 5 1. FUNDAMENTOS GENERALES....................................................................................... 15 1.1. CONCEPTOS BÁSICOS................................................................................................... 15 GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIÓN............................................... 21 1.3. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD...................................................................................... 23 1.3.1. MÉTODO I ..................................................................................................................... 23 1.3.2. MÉTODO II.................................................................................................................... 27 1.3.3. LIMITACIONES DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD....................................... 28 1.3.4. SOLUCIÓN DE LA LÍNEA FUENTE ......................................................................... 35 1.4. FACTORES ADIMENSIONALES................................................................................... 41 1.4.1. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD EN FORMA ADIMENSIONAL........................... 45 1.4.2. SOLUCIÓN DE LA INTEGRAL EXPONENCIAL, EI .............................................. 49 1.5. APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD ............ 51 1.6. DISTRIBUCION DE PRESION ...................................................................................... 57 1.7. DAÑO A LA FORMACIÓN (POZO) .............................................................................. 58 1.8. FLUJO DE GAS................................................................................................................ 61 1.9. FUNCIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN ..................................................................... 72 1.9.1. DEDUCCIÓN DE LA DERIVADA DE LA PRESIÓN .............................................. 72 1.9.2. CONVERSIÓN DE LA ECUACIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN A UNIDADES DE CAMPO......................................................................................................... 73 1.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA.......................................................... 77 1.10.1. DIFERENCIA FINITA CENTRAL............................................................................ 77 1.10.2. ECUACIÓN DE HORNE............................................................................................ 77 1.10.3. ECUACIÓN DE BOURDET Y COLABORADORES.............................................. 78 1.10.4. ECUACIÓN DE CLARK Y VAN GOLF-RACHT ................................................... 78 1.10.5. ECUACIÓN DE SIMMONS....................................................................................... 78 1.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN................................................................................ 79 1.11.1. SUPERPOSICIÓN EN ESPACIO............................................................................... 81 1.11.2. SUPERPOSICIÓN EN TIEMPO ................................................................................ 83 1.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICION EN ESPACIO ....................... 85 1.12.1. POZO UNICO CERCA A UNA FALLA SELLANTE ............................................. 85 1.12.2. POZO CERCA A UNA BARRERA DE FLUJO O LÍNEA DE PRESIÓN CONSTANTE (EMPUJE DE AGUA)..................................................................................... 86 1.12.3. POZO EN MEDIO DE DOS FALLAS QUE SE INTERCEPTAN........................... 86 2. PRUEBAS DE DECLINACIÓN DE PRESIÓN ................................................................ 92 2.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE) ............................................ 92 2.2. CAUDALES DE FLUJO EN LA CARA DEL POZO VS. SUPERFICIE..................... 98 2.3. PROPIEDADES DE LAS CURVAS TIPO DE RAMEY.............................................102 2.3.1. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE RAMEY, PROCEDIMIENTO ..........................104


11

2.3.2. MÉTODO DE EARLOUGHER..................................................................................107 2.3.3. MÉTODO SEMILOG ...................................................................................................107 2.4. PRUEBA LÍMITE DE UN YACIMIENTO (RLT)........................................................117 2.5. CONTROL DE CALIDAD.............................................................................................119 2.6. REGIMENES DE FLUJO...............................................................................................119 2.7. POZOS HORIZONTALES.............................................................................................125 2.8. AJUSTE CURVAS DE LA DERIVADA - CURVAS DE BOURDET........................127 2.9. MÉTODO DE TIAB’S DIRECT SYHTHESIS TECHNIQUE ............................................... 2.9.1. LÍNEAS Y PUNTOS CARACTERÍSTICOS.............................................................131 2.9.2. ESTIMACIÓN DE DISTANCIA A LAS BARRERAS Y AREA ............................138 2.10. PERFORACION PARCIAL Y PENETRACION PARCIAL.....................................144 2.10.1. ANÁLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO ESFÉRICO....................................147 2.10.2. ANÁLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO HEMISFÉRICO............................150 2.10.3. TIAB’S DIRECT SÍNTESIS TECHNIQUE, TDST .................................................151 2.10.4. TIAB’S DIRECT SÍNTESIS TECHNIQUE, TDST, PARA FLUJO HEMISFÉRICO.......................................................................................................................160 2.10.5. CONSIDERACIONES IMPORTANTES..................................................................161 2.10.5.1. EFECTO DE ALMACENAMIENTO.....................................................................161 2.10.5.2. EFECTOS DE LA LONGITUD DE LA PENETRACIÓN PARCIAL.................161 2.11. PRUEBAS MULTI-TASA ...........................................................................................166 2.12. PRUEBAS BI-FLUJO...................................................................................................170 2.13. METODO DE PINSON................................................................................................172 2.14. METODO SEMILOG PARA PRUEBAS MULTITASAS..........................................175 2.15. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST, PARA PRUEBAS MULTITASAS ........................................................................................................................175 2.16. PRUEBAS DE DECLINACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS...............................................................................................................181 2.17. YACIMIENTOS ALARGADOS ..................................................................................191 2.18. MÉTODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS ALARGADOS….202 3.3.2. POZO CERCA DE LA FRONTERA CERRADA ......................................................202 2.18. METODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS LINEALES........................202 3. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION...........................................................225 3.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION................................................................................225 3.2. METODO DE HORNER.................................................................................................227 3.2.1. POZO EN UN YACIMIENTO INFINITO.................................................................227 3.2.2. RATA DE POSTFLUJO (AFTERFLOW, QAF) .........................................................229 3.2.3. PASOS PARA DETERMINAR EL ALMACENAMIENTO DE UNA PRUEBA DE RESTAURACIÓN............................................................................................................229 3.2.4. PREDICCIÓN DE LA DURACIÓN DEL POSTFLUJO (AFTERFLOW)..............229 3.2.5. GRÁFICO DE HORNER PARA YACIMIENTOS CERRADOS ............................230 3.3. METODO DE MDH (MILLER-DYES-HUTCHINSON) .............................................231 3.4. METODO EXTENDIDO DE MUSKAT........................................................................234 3.5. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS...............................................................................................................238 3.6. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE LA DERIVADA....................................................242


12

3.7. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE ..............................................................243 3.8. PRESIÓN PROMEDIA DEL YACIMIENTO ...............................................................243 3.8.1. MÉTODO DE MBH ....................................................................................................243 3.8.2. MÉTODO DE DIETZ...................................................................................................244 3.8.3. MÉTODO DE MDH .....................................................................................................250 3.8.4. MÉTODO DE RAMEY-COBB ...................................................................................251 3.8.5. MÉTODO DIRECTO....................................................................................................251 3.8.6. TIAB'S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE DURANTE ESTADO PSEUDOESTABLE ................................................................................................................252 3.8.6.1. YACIMIENTOS CIRCULARES CERRADOS.......................................................252 3.8.6.2. SISTEMAS CERRADOS RECTANGULARES......................................................254 3.8.6.3. USO DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN................................................................255 3.8.6.4. DETERMINACIÓN DE LA PRESIÓN PROMEDIA EN SISTEMAS CERRADOS DRENADOS POR UN POZO VERTICALMENTE FRACTURADO.........255 3.8.6.5. POZOS FRACTURADOS EN REGIONES RECTANGULARES ........................256 3.8.9. OTROS METODOS PARA CALCULAR LA PRESION PROMEDIA .. …………275 4. PRUEBAS DST..................................................................................................................279 4.1. GENERALIDADES.........................................................................................................279 4.1.1. PROPÓSITO..................................................................................................................279 4.1.2. USOS DE LOS DATOS DST.......................................................................................279 4.1.3. INFORMACIÓN CALCULADA DE UN DST .........................................................279 4.2. COMPONENTES DE LA HERRAMIENTA.................................................................280 4.3. PROCESO DE PRUEBA................................................................................................280 4.3.1. DST CONVENCIONAL .............................................................................................280 4.3.2. PRUEBA STRADDLE PACKER...............................................................................281 4.4. CARTAS DE PRESIÓN DST .........................................................................................281 4.4.1. DST CONVENCIONAL .............................................................................................281 4.4.2. DST SECO.....................................................................................................................282 4.4.2. DST SECO.....................................................................................................................282 4.4.3. CONDICIONES POBRES EN EL POZO……………………………………281. 4.4.4. MÚLTIPLE PRUEBAS DE FLUJO ...........................................................................282 4.4.5. DST CON DOBLE CIERRE .......................................................................................282 4.5. METODO DE HORNER.................................................................................................282 4.6. ESTIMACIÓN DE LA PRESIÓN PROMEDIO O INICIAL.......................................285 4.6.1. MÉTODO DE DATOS LIMITADOS (MÉTODO EN EL SITIO DEL POZO) .......285 4.7. DISTANCIA A UNA DISCONTINUIDAD..................................................................289 4.7.1. MÉTODO DE HORNER.............................................................................................289 4.7.2. MÉTODO DE DOLAN, EINARSEN Y HILL...........................................................289 4.7.3. MÉTODO DE ISHTEIWY Y VAN POOLLEN ........................................................289 4.7.4. MÉTODO DE BIXEL Y OTROS ...............................................................................291 5. HETEROGENEIDADES...................................................................................................296 5.1. TIPOS DE HETEROGENEIDADES DEL YACIMIENTO.........................................296 5.2. SISTEMAS DE FRONTERA SENCILLA ....................................................................297 5.2.1. PRUEBAS DE RESTAURACIÓN DE PRESIÓN......................................................297


13

5.2.2. MÉTODOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA A LAS DISCONTINUIDADES LINEALES DE GRÁFICAS DE RESTAURACIÓN DE PRESIÓN.................................................................................................................................299 5.2.2.1. MÉTODO DE HORNER...........................................................................................299 5.2.2.2. MÉTODO DE DAVID Y HAWKINS ......................................................................301 5.2.2.3. MÉTODO DE EARLOUGHER...............................................................................305 5.2.2.4. MÉTODO MDH .........................................................................................................307 5.2.2.5. MÉTODO DE SABET ................................................................................................308 5.2.2.6. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE ............................................................308 5.3. FRONTERAS MULTIPLES ..........................................................................................311 5.4. GRADO DE ESCAPE DE UNA FALLA......................................................................311 5.4.1. FRONTERA CON ESCAPE .......................................................................................311 5.4.1. FRONTERA CON ESCAPE .......................................................................................311 5.4.2. FRONTERA DE NO FLUJO O SELLANTE.............................................................313 5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO.............. 313 5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO .................313 5.5.1. CON FLUJO CRUZADO.............................................................................................313 5.5.2. SIN FLUJO CRUZADO ...............................................................................................313 6. PRUEBAS MULTIPLES...................................................................................................322 6.1. GENERALIDADES.........................................................................................................322 6.2. PRUEBAS DE INTERFERENCIA.................................................................................322 6.2.1. MÉTODO DE EARLOUGHER...................................................................................323 6.2.2. MÉTODO DE RAMEY................................................................................................325 6.2.3. MÉTODO DE TIAB Y KUMAR.................................................................................326 6.3. PRUEBAS DE PULSO....................................................................................................337 6.3.1. MÉTODO DE KAMAL – BIRGHAM ........................................................................338 7. YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS...............................................350 7.1. MODELO DE ESTADO SEMI PSEUDO ESTABLE..................................................356 7.2. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO .........................................................358 7.3. COMPORTAMIENTO DEL MODELO TRANSIENTE CON DOBLE POROSIDAD...........................................................................................................................362 7.4. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO .........................................................363 7.5. ANALISIS DE PRESION DE RESTAURACION ........................................................363 7.6. APLICACIÓN DE LA FUNCION P’D A YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS.................................................................................................................... 370 7.7. PROCEDIMIENTO DE AJUSTE DE CURVAS TIPO................................................379 7.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA YACIMIENTOS FRACTURADOS NATURALMENTE .................................................................................382 7.8.1. ASPECTO TEÓRICO ..................................................................................................383 7.8.2. PUNTOS Y LÍNEAS CARACTERÍSTICOS.............................................................384 7.8.3. RESPUESTA DE LA PRESIÓN CON EFECTOS DE ALMACENAMIENTO ......388 7.8.4. PROCEDIMIENTO PASO A PASO...........................................................................392 8. POZOS ARTIFICIALMENTE FRACTURADOS............................................................403 8.1. POZOS CON FRACTURAS HIDRAULICAS VERTICALES ....................................403 8.1.1. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE DECLINACIÓN....................................403


14

8.1.2. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE RESTAURACIÓN (FALLOFF) ..........406 8.2. POZOS CON FRACTURAS HORIZONTALES...........................................................410 8.3. CONDUCTIVIDAD DE FRACTURAS.........................................................................419 8.4. GRAFICO DE FLUJO BILINEAL ................................................................................420 8.5. GRAFICO DE FLUJO LINEAL ....................................................................................421 8.6. CURVAS TIPO DE PRESION (CINCO-LEY)..............................................................422 8.7. CURVA TIPO - ALMACENAMIENTO (WONG Y OTROS).....................................424 8.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS HIDRAULICAMENTE ....................................... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED. 8.8.1. SIMULACIÓN DE FRACTURAS .......... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED. 8.8.2. REGIMENES DE FLUJO EN FRACTURAS............................................................429 8.8.3. ANÁLISIS DE FLUJO BILINEAL ............................................................................430 8.8.5. ANÁLISIS DE FLUJO PSEUDORRADIAL .............................................................435 8.9. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS VERTICALMENTE EN SISTEMAS CERRADOS .............................................................437 8.9.1. INTRODUCCIÓN........................................................................................................437 8.9.2. CARACTERÍSTICAS DE UNA FRACTURA DE FLUJO UNIFORME................439 8.9.3. CARACTERÍSTICAS DE UNA FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INFINITA ................................................................................................................................444 8.9.4. SISTEMAS RECTANGULARES...............................................................................448 8.9.5. PROCEDIMIENTOS ...................................................................................................449 8.10. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS CON FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA .................................................................455 8.10.1. CARACTERÍSTICAS DE FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA .......456 8.10.2. RÉGIMEN DE FLUJO BILINEAL ..........................................................................456 8.10.3. FLUJO BILINEAL Y ALMACENAMIENTO ........................................................459 8.10.4. INTERRELACIONES ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y LINEAL......................461 8.10.5. INTERRELACIÓN ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y RADIAL..........................463 8.10.6. RELACIONES ENTRE BIRRADIAL Y BILINEAL..............................................464 8.10.7. PROCEDIMIENTO SISTEMÁTICO .......................................................................466 8.11. ESTIMACION DE LA CONDUCTIVIDAD DE LA FRACTURA ...........................480 NOMENCLATURA................................................................................................................483


15

1. FUNDAMENTOS GENERALES

1.1. CONCEPTOS BÁSICOS Las pruebas de presión pueden entenderse por aplicación de la tercera ley de Newton, como se ilustra en la Fig. 1.1.

Mecanismo delyacimiento

ModeloMatemático

Perturbación de entrada

Entrada al modelo

Salida derespuesta

Salida delmodelo

Fig. 1.1. Esquema de la representación matemática de una prueba de presión

Básicamente los objetivos del análisis de las pruebas de presión son: • Evaluacion del Yacimiento: Entrega, propiedades, tamaño, permeabilidad por

espesor (útil para espaciamiento y estimulación), presión inicial (energía y pronóstico), límites (tamaño y determinación de existencia de un acuífero).

• Administración del yacimiento • Descripción del yacimiento Las pruebas DST y restauración de presión se usan principalmente en producción primaria y exploración. Las pruebas múltiples se usan más a menudo durante proyectos de recuperación secundaria y las pruebas multicapa y de permeabilidad vertical se usan en pozos productores/inyectores. Las pruebas de declinación, de restauración de interferencia y de pulso se usan en todas las fases de producción. Las pruebas multitasa, de inyección, de interferencia y pulso se usan en las etapas primaria y secundaria.


16

A

LMAC

ENA

MIE

NTO

0.5

0.5

0.25

GRAFICO HORNER GRAFICO LOG-LOG GRAFICO DERIVADA

Protuberancia Protuberancia Derivadanegativa

Reversamiento de presión en vez de pico. Se puede observar un mínimo.Puede confundirse con el comporta-miento de un yacimiento naturalmentefracturado

Sistematotal

Sistema más permeable

Flujo radial

Flujo radial ensistema total

Flujo radialen fisuras

Sistema más permeable

Transición

sistematotsl

Flujo radial

Flujo radial ensistema total

PH

ASE

RE

DIS

TRIB

UTI

ON

Yac.

Nat

. Fra

ctur

ado

Fuj

o Ps

eudo

esta

ble

Yac.

Nat

. Fra

ctur

ado

Fuj

o Tr

ansi

torio

Pendienteunitaria

m=0.5

FLU

JO L

INEA

L EN

CAN

ALE

S

Un gráfico acrtesiano de P vs. la raiz de tla mayoría de los casos da una recta

Fig. 1.2.a. Cartas de Identificación de yacimientos5

17

MODELOYACIMIENTO HOMOGENEO YACIMIENTO CON DOBLE POROSIDAD

SISTEMAS INFINITOS

SISTEMASCERRADOS

POZOSFRACTURADOS

INTERPOROSITY FLOW ESTADOPSEUDOESTABLE

TRANSITORIO

GRAFICOLOG-LOG

GRAFICOSEMILOG

GRAFICO DELA DERIVADA

log

tD/C

D*P

D'

PD

log

PD

m

2m

1 1

1/2

1/4

t∆

Cartesiano

1/2 1/2 1/2

TRANS

1/2

TRANS

>1/4

m = Pendiente semilog. Representaflujo radial infinito

InfinitoBarrera de no flujoPresión constante

Conduct. infinita Flujo uniformConduc. finita(flujo bilineal)

1/4

Hay un factor de 2 enseparaciónentre PD y PD'para fracturas de conduc-tividad infinita. El factor es4 para fracturas de -con-ductividad finita

Se desarrollan 2 lineas paralelasLa transición inicia antes que terminelos efectos de WBS

F = FISURA

T =SISTEMA TOTAL

4 t∆

0.50.5

Flujoradial

Flujoradial

mm

T

F

m

m

T

F

Fig. 1.2.b. Resumen de reacciones de modelos de pozos – yacimientos5

18

YACIMIENTO HOMOGENEOFrontera externa cerrada Barrera lineal impermeable

(falla)Barrera de presión

constante

CartesianaP

resi

ón

Tiempo

Log-Log

t*P'

P

Semilog

Tiempo

P y

t*∆P'

Pres

ión

Tiempo

Log-Log

t*P'

P

Tiempo

P y

t*∆ P

' m 2m

m2m

En el gráfico semilog se observa una recta que doblasu pendiente. Una segunda región plaa se observaen la derivada

Pre

sión

Tiempo

Log-Log

t*P'

P

Tiempo

P y

t*∆P'

m2m

Una región plana normalmente se observaen la mayoría de los gráficos de f P vs t y una line que decrece conitnuamente seobserva en el gráfico de la derivada

0.5

1.0

Fig. 1.3. Resumen de reacciones de modelos de pozos - yacimientos9


19

Tabla 1.1. Parámetros obtenidos de pruebas de pozo

Tipo de Prueba Parámetro Obtenido DST Comportamiento del yacimiento

Permeabilidad Daño

Longitud de fractura Presión del yacimiento Límites del yacimiento

Fronteras Prueba de formación múltiple repetida

Perfil de Presión

Prueba de declinación de presión

Comportamiento del yacimiento Permeabilidad

Daño Longitud de fractura

Límites del yacimiento Fronteras

Prueba de restauración de presión

Comportamiento del yacimiento Permeabilidad

Daño Longitud de fractura

Presión del yacimiento Fronteras

Prueba de paso de rata Presión de rotura de formación Permeabilidad

Daño Prueba Falloff Movilidad en varios bancos

Daño Presión del yacimiento

Longitud de fractura Ubicación del frente

Fronteras Prueba de pulso e interferencia Comunicación entre pozos

Comportamiento del tipo de yacimiento Porosidad

Permeabilidad interpozos Permeabilidad vertical

Pruebas de yacimientos con capas

Propiedades de capas individuales Permeabilidad horizontal

Permeabilidad vertical Daño

Presión de capa promedio Fronteras externas


20

Tabla 1.2. Gráficas y regimenes de flujo encontrados en pruebas de pozo

Gráficas Régimen de flujo

Cartesiana t∆ 4 t∆ Log-log Semilog

Almacenamiento Línea recta Pendiente→C Intercepto→ ∆tc, ∆Pc

Pendiente unitaria en ∆p y p’ ∆p y p’ coincide

s Positivo s Negativo

Flujo Lineal Línea recta Pendiente→xf

Intercepto→ Daño de fractura

Pendiente=1/2 en ∆P y P’ si s=0 Pendiente =1/2 en ∆p y P’ si s=0 a medio nivel de ∆P Pendiente = ½ después de almacenamiento indica un canal del yacimiento

Flujo Bilineal Línea recta Pendiente →Cfd

Pendiente=1/4 P’a ¼ de nivel de ∆P

Primer IARF (alta-k capas, fracturas)

Disminución de pendiente

P’ horizontal a P’D=1/2 Línea recta Pendiente→kh ∆P1hr→s

Transición Más disminución de pendiente

seP 2−=∆ λ P’D=1/4 (transición) P’D<1/4 (estado pseudoestable)

Línea recta Pendiente=1/2 (transición) Pendiente=0 (estado pseudoestable)

Segundo IARF Pendiente similar al primer IARF

P’ horizontal a p’D=1/2 Línea recta Pendiente→kh, P* ∆P1hr→s

Frontera sencilla de no flujo

P’ horizontal a p’D=1 Línea recta Pendiente =2m Intersección con IARF→distancia a frontera

Fronteras externas de no flujo (solo declinación)

Línea recta pendiente→φAh Pint→CA

Pendiente unitaria para ∆P y P’ ∆P y P’ coincide

Incremento de pendiente

IARF= flujo radial de acción infinita El análisis de pruebas de presión tiene una variedad de aplicaciones durante la vida de un yacimiento. Las pruebas DST y de restauración de presión en pozos únicos se usan principalmente durante producción primaria y exploración, mientras que las pruebas múltiples se usan más a menudo durante proyectos de recuperación secundaria. Las pruebas multicapa y de permeabilidad vertical también se corren en pozos productores/inyectores. Pruebas de declinación, de restauración, de interferencia y de pulso se utilizan en todas las fases de producción. Las pruebas multitasas, de inyección, de interferencia y de pulso se usan en las etapas primaria y secundaria. La tabla 1 resume los parámetros que pueden obtenerse del análisis de pruebas de presión. Los ingenieros de petróleos deberían tener en cuenta el estado del arte de la interpretación de pruebas de presión, herramientas de adquisición de datos, métodos de interpretación y otros factores que afectan la calidad de los resultados obtenidos del análisis de pruebas de presión.


21

Una vez los datos han sido obtenidos y revisados, el análisis de presiones comprende dos pasos: (1) El modelo del yacimiento e identificación de los diferentes regimenes de flujo encontrados durante la prueba, y (2) la estimación de parámetros. Entre ellos tenemos: gráficos log-log de presión y derivada de presión vs. tiempo de transiente (herramienta de diagnóstico), gráfico semilog de presión vs. tiempo, gráfico Cartesiano de los mismos parámetros, etc. La tabla 2 proporciona diferentes gráficos y regimenes de flujo que normalmente se encuentran en cada prueba y las Figs. 1.2 a 1.3 ilustran diferentes condiciones de yacimiento y características de flujo encontrados en una prueba de presión. En general, el análisis de presiones es una herramienta excelente para describir y definir el modelo de un yacimiento cuando se maneja un campo hidrocarburífero. Los regímenes de flujo son una función directa de las características del sistema pozo/yacimiento, i.e., una fractura sencilla que intercepta el pozo puede identificarse mediante la detección de un flujo lineal. Sin embargo, siempre que exista flujo lineal, no necesariamente implica la presencia de una fractura. La interpretación de pruebas de presión es el método primario para determinar permeabilidad, factor de daño, presión de yacimiento, longitud y conductividad de fractura y heterogeneidad del yacimiento. Además, es el único método más rápido y más barato para estimar variable dependientes del tiempo como el factor de daño y la permeabilidad en yacimientos sensibles al esfuerzo. El período de comportamiento infinito ocurre después del fin del almacenamiento y antes de la influencia de los límites del yacimiento. Puesto que los límites no afectan los datos durante este período, el comportamiento de presión es idéntico al comportamiento de un yacimiento infinito. El flujo radial puede reconocerse por una estabilización aparente del valor de la derivada. El análisis de presiones puede utilizarse para determinar permeabilidad, daño, presión promedia, longitud media de una fractura hidráulica, dirección de una fracturas, conductividad de la fractura, entre otros. Obtenidos los datos siguen dos pasos (1) Definir el modelo del yacimiento e identificación de los regímenes de flujo y (2) Estimación de parámetros. 1.2 GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIÓN Declinación de presión (ver. Fig. 1.4). Se le conoce como prueba de flujo. Luego de que el pozo ha sido cerrado por un tiempo suficientemente largo para alcanzar estabilización, el pozo se coloca en producción, a caudal constante, mientras se registra la presión de fondo contra el tiempo. Su principal desventaja es que es difífil mantener el caudal constante. Restauración de presión (ver. Fig. 1.4). Se le conoce como prueba de cierre. En esta prueba el pozo se cierra mientras se registra la presión estática del fondo del pozo en


22

función del tiempo. Esta prueba se cataloga como una prueba multirata con dos caudales (cero y otro diferente de cero) y permite obtener la presión promedia del yacimiento. Su principal desventaja es económica ya que el cierre ocasiona pérdida de producción.

Tiempo

Tiempo

Pres

ión

Cau

dal

0

q

tp

tp

Pre

sión

Cau

dal

Tiempo

Tiempo

0

Fig. 1.4. Representación esquemática de pruebas de restauración (abajo) y declinación o caída de presión (arriba)

Pre

sión

Cau

dal

Tiempo

Tiempo

0

Pres

ión

Cau

dal

Tiempo

Tiempo

0

Fig. 1.5. Prueba de inyección (izquierda) y prueba Falloff (derecha)


23

Inyección. Ver (Fig. 1.5). Es una prueba similar a la prueba de declinación de presión, pero en lugar de producir fluidos se inyectan fluidos, normalmente agua. Falloff. (Ver Fig. 1.5). Considera una declinación de presión inmediatamente después de la inyección. Idéntico a una prueba de restauración. Otras pruebas: Interferencia y/o Múltiples. Involcucran más de un pozo y su propósito es definir conectividad y hallar permebilidades direccionales. DST. Esta prueba se usa durante o inmediatamente después de la perforación del pozo y consiste de pruebas de cierre o flujo cortas y seguidas. Su propósito es establecer el potencial del pozo, aunque el factor de daño estimado no es muy representativo porque puede ocurrir una limpieza del mismo pozo durante la primera etapa productiva del mismo. 1.3. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD Al inicio de la producción, la presión en el pozo cae abruptamente y los fluidos cerca al pozo se expanden y se mueven hacia el área de menor presión. Dicho movimiento es retardado por la fricción contra las paredes del pozo y la propia inercia y viscosidad del fluído. A media quen el fluido se mueve se crea un desbalance de presión que induce a los fluídos aledaños a moverse hacia el pozo. El proceso continúa hasta que la caída de presión creada por la puesta en producción se disipa a lo largo del yacimiento. El proceso físico que toma lugar en el yacimiento puede describirse mediante la ecuación de difusividad cuya deducción se muestra a continuación. 1.3.1. Método I (Masa que entra) - (Masa que sale) = Tasa de acumulación del sistema

k dPv

dsµ= −

kA dPq

dsµ= −

Para flujo radial 2A rhπ=

Masa que entra = 3

3

L MqT L

ρ =


24

r r+∆r

∆r

Fig. 1.6. Elemento de volumen radial

2k Pq rhr

∂πµ ∂

= −

( ) ( ) ( )2 2 2r r dr

k P k Prh rh rh drr r t

ρ ∂ ρ ∂ ∂π π π φ ρµ ∂ µ ∂ ∂

+

− + =

( ) ( ) ( )2 2 2r r dr

k P k Ph r h r rh drr r t

ρ ∂ ρ ∂ ∂π π π φ ρµ ∂ µ ∂ ∂

+

− + =

( )

1r dr r

k P k Pr rr r r

dr t

ρ ∂ ρ ∂µ ∂ µ ∂ ∂ φ ρ

∂

+

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎣ ⎦ =

( )1 k Prr r r t

∂ ρ ∂ ∂ φ ρ∂ µ ∂ ∂

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.1)

1 1VcV P P

∂ ∂ ρ∂ ρ ∂

= − =

De donde;

( )oc P Poeρ ρ −= (1.2)


25

1fc

P∂ φ

φ ∂=

Colocando la Ec. 1.1 en términos de ρ:

( ) ( ) ( )φ∂∂ρρ

∂∂φρφ

∂∂

ttt+=

( ) Pt t P t

∂ ∂ ρ ∂ φ ∂ ∂ ρφ ρ φ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂

= +

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+=

cc

ttcc

ttff 1

∂ρ∂φ

∂ρ∂

ρφρ

∂ρ∂φρφ

∂∂

( ) [ ]t

ccct f ∂

ρ∂φρφ∂∂

+=

La parte derecha de la ecuación de difusividad se ha simplificado completamente. Ahora continuando con el término de la izquierda:

1P Pr r c r

∂ ∂ ∂ ρ ∂ ρ∂ ∂ ρ ∂ ρ ∂

= =

Reemplazando este resultado en la Ec. 1.1, se tiene:

[ ]t

cccrc

rkrr f ∂

ρ∂φ∂

ρ∂µ∂

∂+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1 (1.3)

Con el objeto de disponer la Ec. 1.1 en términos de p, se deriva la Ec. 1.2 con respecto a r y t, así:

( )oc P Po

Pe cr r

∂ ρ ∂ρ∂ ∂

−=

( )oc P P

oPe c

t t∂ ρ ∂ρ∂ ∂

−=

Reemplazando el resultado de la derivada en la Ec. 1.3:


26

( ) ( )1o oc P P C P P

o f ok r P Pe c c c e c

r r c r c t∂ ∂ φ ∂ρ ρ

∂ µ ∂ ∂− −⎛ ⎞

⎡ ⎤= +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

Extrayendo los términos constantes de la derivada:

tP Pr c

kr r r tµ ∂ ∂ ∂φ

∂ ∂ ∂⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.4)

Defina la constante de difusividad, η, como kctµφ

η=

1, luego:

1 1P Prr r r t

∂ ∂ ∂∂ ∂ η ∂

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Derivando;

2

2

1 1P P Prr r r t

∂ ∂ ∂∂ ∂ η ∂

⎡ ⎤+ =⎢ ⎥

⎣ ⎦

2

2

1 1P P Pr r r t

∂ ∂ ∂∂ ∂ η ∂

+ = (1.5)

En coordenadas cilíndricas15-16:

2 2 2

2 2 2 2

1 1 tz

r r r

k ckP P P P Pr r r k r k z k t

θ φµ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ θ ∂ ∂

+ + + = (1.6.)

cos , sin ,x r y r z z= θ = θ =

En coordenadas esféricas15:

sen cos , sen , cos , sen sen , cosx r y r x r y r z rθ φ θ θ θ φ θ= = = = =

22

2 2

1 1 1sinsin sin

p P p c prr r r k t

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ φ µ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ θ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ θ ∂θ ∂θ θ ∂φ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

En coordenadas elípticas16:

cosh cos , sinh sin ,x a y a z z= ξ η = ξ η =


27

( )2 2

22 2

1 cosh 2 cos 22

p p c pak t

∂ ∂ φ µ ∂+ = ξ − η

∂ξ ∂η ∂

1.3.2. Método II Para la mayoría de los fluidos hidrocarburos, el esfuerzo de corte y la rata de corte pueden describirse mediante la ley de fricción de Newton la cual combinada con la ecuación de movimiento resulta en la conocida ecuación de Navier-Stokes. La solución de dicha ecuación para las condiciones de frontera apropiadas da lugar a la distribución de velocidad del problema dado. Sin embargo, la geometría de los poros, no permite la formulación adecuada de las condiciones de frontera a través del medio poroso. Luego, una aproximación diferente se debe tomar. Darcy descubrió una relación simple entre el gradiente de presión y el vector velocidad para una sola fase. El volumen de fluido contenido en el anillo de la Fig. 1.7 es15:

φπ )2( rhdrV = (1.7)

Puesto que dPdV

Vc 1

−= entonces;

cVdPdV −=

De la Ec. 1.7, se tiene:

dPrhdrcdV φπ )2(−=

Si tVdq

∂∂

= entonces reemplazando la relación anterior en esta se tiene:

tPrhdrcdq

∂∂

−= )2( πφ , ó;

tPrhc

rq

∂∂

−=∂∂ )2( πφ (1.8)

De la ley de Darcy, se sabe que:

rPkrhq

∂∂

−=µ

π )2( (1.9)

Derivando la Ec. 1.9 con respecto a r, se obtiene:


28

PP+dP r

r+dr

h

Pozo

Fig. 1.7. Elemento de volumen y presión

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

−=∂∂

2

2

)2(rPr

rPkh

rq

µπ (1.10)

Igualando las Ecs. 1.8 y 1.10, se obtiene:

2

2(2 ) (2 )P k P Pc rh h rt r r

φ π πµ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂− = − +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

, ó;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

rPr

rPk

tPrc

µφ

Rearreglando,

tP

kc

rP

rrP

∂∂

=∂∂

+∂∂ µφ1

2

2

(1.11)

La Ec. 1.11 es la ecuación de difusividad. 1.3.3. Limitaciones de la Ecuación de Difusividad a) Medio poroso isotrópico, horizontal, homogéneo, permeabilidad y porosidad

constantes b) Un solo fluido satura el medio poroso c) Viscosidad constante, fluido incompresible o ligeramente compresible


29

d) El pozo penetra completamente la formación. Fuerzas gravitacional despreciables, e) La densidad del fluido es gobernada por la Ec. 1.2. ρ ρ= −

oc p pe o( ) (1.2)

A) Flujo radial

2

2

10.0002637

tcP P Pr r r k t

φ µ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = (1.12)

Donde; P = psi µ = cp t = hr r = ft ct = 1/psi φ = fracción k = md B) Flujo Multifásico Al igual que el análisis de pruebas en pozos de gas como se verá más adelante, las pruebas multifásicas se pueden interpretar mediante el método de la aproximación de presión (método de Perrine)3,16-17, la aproximación de pseudopresión y la aproximación de P2. El método de Perrine permite transformar la ecuación de difusividad a:

2

2

10.0002637

t

t

cP P Pr r r t

φ∂ ∂ ∂∂ ∂ λ ∂

+ = (1.13.a)

fwwggoot cScScScc +++=

λµ µ µt

o

o

g

g

w

w

k k k= + +

El método asume gradientes de presión y de saturación despreciables. Martin2 demostró que (a) El método pierde exactitud a medida que la saturación de gas se incrementa, (b) La estimación de la movilidad es buena, (c) El cálculo individual de las movilidades es sensible a los gradientes de saturación. Se logran mejor estimativos cuando la distribución de saturación es uniforme y (d) El método subestima la permeabilidad efectiva de la fase y sobrestima el factor de daño. Cuando hay flujo de gas libre:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−

±=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛mh

BRqRqqk gswwsog

g

)(0001.0(162600µ


30

Siendo m la pendiente del gráfico semilog. La interpretación de los datos de presión puede requerir del cálculo de la rata total de flujo, qt:

( )t o o g o s g w wq q B q q R B q B= + − + siendo qg la rata total de flujo de gas y qoRs representa la rata de gas en solución. En general las ecuaciones que rigen el comportamiento de la presión en pruebas multifásicas para pruebas de declinación y restauración de presión, respectivamente, son:

2

162.6 log 0.8691688

t twf i

t t w

q tP P sh c r

λλ φ

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

162.6 log pt

ws it

t tqP Ph tλ

+ ∆⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∆⎝ ⎠

Donde, qt, qo y qw están dados en bbl/día y qg en pcn/día. Nótese que normalmente qg se da en Mscf/día. La movilidad total, las permeabilidades de cada fase y el daño mecánico se pueden estimar de:

162.6 tt

Qmh

λ = −

162.6 ;L L L

Lq Bk L agua o aceitemh

µ= − =

( )162.6 /1000g o s g g

g

q q R Bk

mhµ−

= −

121.1513 log 3.23wf hr t

t w

P Ps

m c rλ

φ⎛ ⎞− ⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

C) Flujo de Gas Partiendo de la ecuación de continuidad y la ecuación de Darcy:

( ) ( )1rr

r r t∂ ∂

ρµ = − φρ∂ ∂

rk Pu

r∂

= −µ ∂


31

La ecuación de estado para líquidos ligeramente compresibles no modela flujo de gas, por lo tanto se usa la ley de los gases reales11:

PMzRT

ρ = −

Combinando la ecuación de continiudad y de Darcy resulta:

( )1 k Prr r r t

⎛ ⎞∂ ρ ∂ ∂− = − φρ⎜ ⎟∂ µ ∂ ∂⎝ ⎠

( )1 k Prr r r t

⎛ ⎞∂ ρ ∂ ∂= φρ⎜ ⎟∂ µ ∂ ∂⎝ ⎠

Susbtituyendo la ley de los gases reales: 1 kPM p PMrr r zRT t t zRT

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞= φ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ µ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Como M, R y T son constants y asumiendo que la permeabilidad es constante: 1 1P P Prr r z r k t z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞= φ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ µ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

USando la regal de la cadena en el miembro derecho de la anterior igualdad: 1 1P P P Prr r z r k z t t z

⎛ ⎞∂ ∂ ⎡ ∂φ ∂φ ⎤⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ µ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠

1 1P p P P P Prr r z r k z p t p z t

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂φ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + φ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦

1 1P P P P z Prr r z r zk t P P P z

⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂ ∂ φ ∂ ∂φ ∂ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ µ ∂ ∂ φ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦

Usando la definición de compresibilidad:

1gc

P∂ρ

=ρ ∂


32

gzRT PM z PcPM P zRT P P z

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

fcP

∂φ=

φ ∂

Sustituyendo las anteriores definiciones en la ecuación de difusividad:

( )1f g

P P P Pr c cr r z r zk t

⎛ ⎞∂ ∂ φ ∂= +⎜ ⎟∂ µ ∂ ∂⎝ ⎠

, si t g fc c c= + entonces;

1 tP cP P Prr r z r zk t

⎛ ⎞ φ∂ ∂ ∂=⎜ ⎟∂ µ ∂ ∂⎝ ⎠

(1.13.b)

La anterior es una ecuación diferencial parcial no lineal y no peude resolverse directamente. En general, se consideran tres suposiciones limitantes para su solución, a saber: (a) P/µz es constante, (b) µct es constante y (c) la transformación de peudopresión para un gas real. a) La ecuación de difusividad en términos de presión Si en la Ec. 1.13.b asumimos que el término P/µz permanece constante con respecto a la presión, ésta se transforma en10,14: 1 tP cP P Prr z r r zk t

φ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟µ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

1 tcP Prr r r k t

φµ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

La cual es lo mismo que la Ec. 1.11 para fluidos ligeramente compresibles y pueden resolverse si el término µct permanece constante. b) La ecuación de difusividad en términos de la presión al cuadrado La Ec. 1.13.b puede escribirse en términos de la presión al cuadrado, P2, partiendo del hecho que10-14:

212

P PPr r

∂ ∂=

∂ ∂


33

212

P PPt t

∂ ∂=

∂ ∂ y;

2 21 tcr P P

r r z r kz t⎛ ⎞ φ∂ ∂ ∂

=⎜ ⎟∂ µ ∂ ∂⎝ ⎠

Si partimos del hecho que el término µz permanece constante con respecto a la presión, y por supuesto, el radio, entonces la anterior ecuación puede escribirse como:

2 21 1 tcP Prr z r r kz t

⎛ ⎞ φ∂ ∂ ∂=⎜ ⎟µ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Multiplicando por los términos µz:

2 21 tcP Prr r r k t

⎛ ⎞ φµ∂ ∂ ∂=⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Esta expresión es similar a la Ec. 1.11, pero la variable dependiente es P2. Por lo tanto, su solución es similar a la de la Ec. 1.11, excepto que su solución está en términos de P2. Esta ecuación también requiere que µct permanezca constante. c) Ecuación de difusividad de gases en términos de pseudopresión, m(P) La ecuación de difuvidad en términos de P2 puede aplicarse a bajas presiones y la Ec. 1.13.b puede ser aplicada a presiones elevadas sin incurrir en errores. Por ende, se requiere una solución que se aplique a todos los rangos. Al-Hussainy2 introdujo un método de linealización más riguroso llamado pseudopresión la cual permite que la ecuación general de difusividad se solucione sin suposiciones limitantes que restringen ciertas propiedades de gases a permanecer constantes con la presión2,11-17:

0

( ) 2p

p

P dPzm P µ= ∫

Usando la regla de Liebnitz de derivación de una integral:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )

h x

f x

h x f xg h x g f x

x x xg u du

⎧ ⎫∂ ∂∂= −⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭∫

La derivada de la pseudopresión con respecto al radio y el tiempo:


34

0 2000 4000 6000 8000 10000

µZ, cp

Presión

Cua

drát

ico

Lineal

Pseu

dopr

esió

n

Pseudopresión

Fig. 1.8. Pseudopresión

( ) 2m P P Pr z r

∂ ∂=

∂ µ ∂

( ) 2m P P Pt z t

∂ ∂=

∂ µ ∂

Recordando la ecuación de difusividad: 1 tP cP P Prr z r r zk t

φ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟µ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Reemplazando las pseudopresiones en esta ecuación: 1 ( ) ( )

2 2tP cP z m P z m Pr

r r z P r zk P t⎡ ⎤ φ∂ µ ∂ µ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ µ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Simplificando: 1 ( ) ( )tcm P m Prr r r k t

φµ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Expandiendo la anterior ecuación y expresándola en unidades de campo:


35

2

2

( ) 1 ( ) ( )0.0002637

gi t

gi

cm P m P m Pr r r k t

φ µ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = (1.14)

Para una linealización más efectiva de la Ec. 1.14, Agarwal16 introdujo el pseudotiempo, ta, en virtud a que el producto µgct en la Ec. 1.14 no es constante:

0

2t

at

dtcξ

µ= ∫

Con base en eso la ecuación de difusividad para gases queda:

2 ( )1 ( ) ( )f g

g a

c cm P m Prr r r k c t

φ +∂ ∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

La linealización incompleta de la anterior expresión conduce a obtener pendientes semilog algo más largas comparadas con líquidos. Algunas veces se recomienda utilizar variables normalizadas con el fin de retener las unidades de tiempo y presión16. Las pseudovariables normalizadas son:

0

( )( )( )

Pi

n ii P

m P P dµ ρ ξ ξρ µ ξ

= + ∫

0 ( ) ( )

t

an i tidt c

Zξµ

µ ξ ξ= + ∫

1.3.4. Solución de la Línea Fuente La Ref. 12 presenta la solución de la línea fuente usando la transformada de Boltzman, la trasnformada de Laplace y funciones Bessel. A continuación se presenta el método de Combinación de variables independientes, el cual es basado en el análisis dimensional de Buckingham. Este toma una función f = f(x, y, z, t), esta se debe transformar a un grupo o función que contenga menos variables, f = f(s1,s2...). Se propone un grupo de variables cuya forma general es:

1 2( , , , ) ( , ,...)f f x y z t f f s s= → = s ax y z tb c d e= La ecuación de difusividad es:


36

1r r

rfr

ft

∂∂

∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = (1.15)

Donde f es:

wf

i wf

P Pf

P P−

=−

Sujeto a las siguientes condiciones iniciales y de frontera:

0, 0 , 0f r t= ≤ ≤ ∞ =

1, 0, 0fr r tr

∂∂

= = >

0, , 0f r t= → ∞ >

Definiendo un grupo de variables como s ar tb c= (1.16) Multiplicando la Ec. 1.15 por ∂s/∂s: 1r

ss r

rss

fr

ss

ft

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

Intercambiando términos: 1r

sr s

rsr

fs

st

fs

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = (1.17)

Las nuevas derivadas se obtienen a partir de la Ec. 1.16: ∂∂

sr

abr tb c= −1 y ∂∂

st

acr tb c= −1

Reemplazando en la Ec. 1.16 y rearreglando:

1 1 11 b c b c b cf fabr t r abr t acr tr s s s

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

− − −⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠


37

2 2 2 11 b bc b cr r f fa b t r acr t

r r s r s s∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂−⎛ ⎞

⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Puesto que rs

atb

c= entonces;

a br

r ts

sat

fs

acr tfs

b cc

b c2 2

22 1∂

∂∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

abr

r ts

sfs

acr tfs

b c b c2

21∂

∂∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

br

ts

sfs

cfs

2

2

∂∂

∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

2

2

f r c fss s b t s

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 1

2

f c fs r t ss s b s

−∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤=⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Comparando el término encerrado en paréntesis cuadraron con la Ec. 1.16 (s = arbtc), se observa que b = 2, c = -1, luego s= ar2/t de modo que r2t-1=s/a, entonces:

2

f c fs ss s b a s

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤=⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦

El término encerrado en paréntesis cuadrados es una constante que se asume igual a 1 por conveniencia. En vista que c/(b2a) = 1, entonces a = -1/4. Luego:

f fs ss s s

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Escribiendo como una ecuación diferencial ordinaria: dds

s dfds

s dfds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= (1.17.a)

Aplicando el mismo análisis a las condiciones iniciales y de frontera para convertirlas en función de s:


38

Condiciones iniciales:

0, 0 , 0f r t= ≤ ≤ ∞ = puesto que s = ar2/t al tiempo t = 0, s → ∞ (1.17.b) Condición de frontera 1: Esta se deriva a partir de la Ley de Darcy.

r fr

r t∂∂

= = >1 0 0, ,

Multiplicando la anterior ecuación por ∂s/∂s:

r fs

sr

∂∂

∂∂

= 1

rfs

abr tb c∂∂

− =1 1

rfs

ab rr

tb

c∂∂

= 1

∂∂

fs

ab sat

tcc = 1, puesto que b = 2, entonces, s

fs

∂∂

=12

(1.17.c)

Condición de frontera 2: f r t= → ∞ >0 0, ,

Si s = ar2/t cuando r → ∞, s = ar2/t → ∞ (1.17.d) Lo anterior porque el tiempo se hace cada vez más grande. Luego, la nueva ecuación diferencial con sus condiciones iniciales y de frontera es: dds

s dfds

s dfds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= (1.17.a)

Condiciones iniciales:

0, f s= → ∞ (1.17.b)


39

Condición de frontera 1:

sfs

∂∂

=12

cuando s=0 (1.17.c)

Condición de frontera 2:

0, f s= → ∞ (1.17.d) Nota: Observe que la condición inicial y la condición de frontera 2 son iguales. Si definimos:

dfg sds

= , entonces la Ec. 1.17.a se transforma en d g gds

=

Separando e integrando;

1ln g s c= + , de donde,

g c e s dfds

s= =1 (1.18)

Despejando df;

dfc e

sds

s

= 1

1

sedf c dss

=∫ ∫ , la cual es una ecuación que no es analíticamente integrable (se

resuelve por series de potencia):

2

1 ......2!

se sss

= + + +

Simplificando la solución:

f c es

ds cs

= +∫1 2

Aplicando la condición de frontera 1, Ec. 1.17.c, a la Ec. 1.18:


40

c e s dfds

s1

12

= =

Cuando s = 0, es = 0, luego c1 = ½, luego;

f es

ds css

= +∫12 0

2

Aplicando la condición de frontera 2, f = 0 cuando s → ∞

20

102

se ds cs

∞

= +∫ , de donde;

20

12

sec dss

∞

= − ∫ , entonces 0 0

1 12 2

s s se ef ds dss s

∞

= −∫ ∫ , luego:

12

s sef dss∞

= ∫ , ó 12

s

s

ef dss

∞ −

= − ∫ , que es igual a )(21 sEf i −−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

trEtrf i 42

1),(2

, ó ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

D

DiDDD t

rEtrP42

1),(2

La ecuación anterior es una muy buena aproximación de la solución analítica cuando se satisface (Mueller y Witherspoon2,3,4,7,8) que rD ≥ 20 ó tD/rD

2 ≥ 0.5, ver Fig. 1.9. Si tD/rD

2 ≥ 5 se incurre en un error inferior al 2 % y si tD/rD2 ≥ 25 el error es inferior al 2

%. La Fig. 1.10 es representada por el siguiente ajuste con coeficiente de correlación, r2, de 0.99833613.

21 dxbxcxay++

+= y y

D

D

rt 102 = , donde:

a = 0.5366606870950616 b = -0.8502854912915072 c = 1.843195405855263 d = 0.119967622262022 x = log(PD) La función exponencial puede evaluarse mediante la siguiente fórmula14 para x ≤ 25:

2 3 4

( ) 0.57721557 ln ....2 2! 3 3! 4 4!x x xEi x x x= + − + − +⋅ ⋅ ⋅


41

A continuación se presenta un listado de un código de programa en VisualBasic, que el lector podrá adicionar fácilmente como función en su Microsoft Excel para acondicionarlo a que éste calcule la función exponencial: ' Estimation of Ei function Function ei(x) Dim dexp As Double, ARG As Double, dlog As Double Dim Res1 As Double, Res2 As Double, Res3 As Double, Res4 As Double, Res5 As Double, Res As Double If x = 0 Then Exit Function dexp = Exp(-x) dlog = Log(x) If x > 60 Then ei = 0# Exit Function End If If x > 4# Then ARG = 4# / x Res = 0.011723273 + ARG * (-0.0049362007 + ARG * (0.00094427614)) Res = -0.022951979 + ARG * (0.020412099 + ARG * (-0.017555779 + ARG * Res)) Res = (0.24999999 + ARG * (-0.062498588 + ARG * (0.031208561 + ARG * Res))) Res = dexp * ARG * Res ei = Abs(Res) Else If x < 0 Then ei = 0# Exit Function End If If x = 0 Then ei = 1E+75 Exit Function End If Res1 = -1.6826592E-10 + x * (1.5798675E-11 + x * (-1.0317602E-12)) Res2 = 0.00000030726221 + x * (-0.00000002763583 + x * (2.1915699E-09 + x * Res1)) Res4 = -0.00023148392 + x * (0.00002833759 + x * (-0.000003099604 + x * Res2)) Res3 = -0.010416662 + x * (0.0016666906 + x * Res4) Res5 = x * (-0.25 + x * (0.05555552 + x * Res3)) Res = -dlog - 0.57721566 + x * (1# + Res5) ei = Abs(Res) End If End Function Las Figs. 1.11 y 1.12 y las tablas 1.3.a, 1.3.b y 1.3.c presentan soluciones de la función exponencial. 1.4. FACTORES ADIMENSIONALES Los parámetros adimensionales no proporcionan una visión física del parámetro que se mide, pero si una descripción general o universal de éstos. Por ejemplo, un tiempo real de 24 hrs corresponde a un tiempo adimensional de aproximadamente 300 hrs en formaciones de muy baja permeabilidad o más de 107 en formaciones de muy permeables4,11-12.

42

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

0.01 0.1 1 10 100

r D = 20

r D =

2

r D = 1.3r D = 1

PD

t / r 2D D

Fig. 1.9. Presión adimensional para diferentes valores del radio adimensional4,12

43

0.01

0.1

1

10

0.1 1 10 100 1000 10000

10 10 10 10 10 104 5 6 7 8 9

t D /r D

P D

2

Fig. 1.10. Presión adimensional para un pozo sin almacenamiento y daño en un yacimiento infinito4,12

44

1

100 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25

Ei(-x)

x

Fig. 1.11. Valores de la integral exponencial para 1 ≤ x ≤ 10

0.0001

0.001

0.01

0.1

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ei(-x)

x

Fig. 1.12. Valores de la integral exponencial para 0.0001 ≤ x ≤ 1

45

Tabla 1.3.a. Valores de la integral exponencial para 0.0001 ≤ x ≤ 0.209

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0000 8.63322 7.94018 7.53481 7.24723 7.02419 6.84197 6.68791 6.55448 6.436800.0010 6.33154 6.23633 6.14942 6.06948 5.99547 5.92657 5.86214 5.80161 5.74455 5.690580.0020 5.63939 5.59070 5.54428 5.49993 5.45747 5.41675 5.37763 5.33999 5.30372 5.268730.0030 5.23493 5.20224 5.17059 5.13991 5.11016 5.08127 5.05320 5.02590 4.99934 4.973460.0040 4.94824 4.92365 4.89965 4.87622 4.85333 4.83096 4.80908 4.78767 4.76672 4.746200.0050 4.72610 4.70639 4.68707 4.66813 4.64953 4.63128 4.61337 4.59577 4.57847 4.561480.0060 4.54477 4.52834 4.51218 4.49628 4.48063 4.46523 4.45006 4.43512 4.42041 4.405910.0070 4.39162 4.37753 4.36365 4.34995 4.33645 4.32312 4.30998 4.29700 4.28420 4.271560.0080 4.25908 4.24676 4.23459 4.22257 4.21069 4.19896 4.18736 4.17590 4.16457 4.153370.0090 4.14229 4.13134 4.12052 4.10980 4.09921 4.08873 4.07835 4.06809 4.05793 4.047880.010 4.03793 3.94361 3.85760 3.77855 3.70543 3.63743 3.57389 3.51425 3.45809 3.405010.020 3.35471 3.30691 3.26138 3.21791 3.17634 3.13651 3.09828 3.06152 3.02614 2.992030.030 2.95912 2.92731 2.89655 2.86676 2.83789 2.80989 2.78270 2.75628 2.73060 2.705600.040 2.68126 2.65755 2.63443 2.61188 2.58987 2.56838 2.54737 2.52685 2.50677 2.487130.050 2.46790 2.44907 2.43063 2.41255 2.39484 2.37746 2.36041 2.34369 2.32727 2.311140.060 2.29531 2.27975 2.26446 2.24943 2.23465 2.22011 2.20581 2.19174 2.17789 2.164260.070 2.15084 2.13762 2.12460 2.11177 2.09913 2.08667 2.07439 2.06228 2.05034 2.038560.080 2.02694 2.01548 2.00417 1.99301 1.98199 1.97112 1.96038 1.94978 1.93930 1.928960.090 1.91874 1.90865 1.89868 1.88882 1.87908 1.86945 1.85994 1.85053 1.84122 1.832020.100 1.82292 1.81393 1.80502 1.79622 1.78751 1.77889 1.77036 1.76192 1.75356 1.745290.110 1.73711 1.72900 1.72098 1.71304 1.70517 1.69738 1.68967 1.68203 1.67446 1.666970.120 1.65954 1.65219 1.64490 1.63767 1.63052 1.62343 1.61640 1.60943 1.60253 1.595680.130 1.58890 1.58217 1.57551 1.56890 1.56234 1.55584 1.54940 1.54301 1.53667 1.530380.140 1.52415 1.51796 1.51183 1.50574 1.49970 1.49371 1.48777 1.48188 1.47603 1.470220.150 1.46446 1.45875 1.45307 1.44744 1.44186 1.43631 1.43080 1.42534 1.41992 1.414530.160 1.40919 1.40388 1.39861 1.39338 1.38819 1.38303 1.37791 1.37282 1.36778 1.362760.170 1.35778 1.35284 1.34792 1.34304 1.33820 1.33339 1.32860 1.32386 1.31914 1.314450.180 1.30980 1.30517 1.30058 1.29601 1.29147 1.28697 1.28249 1.27804 1.27362 1.269220.190 1.26486 1.26052 1.25621 1.25192 1.24766 1.24343 1.23922 1.23504 1.23089 1.226760.200 1.22265 1.21857 1.21451 1.21048 1.20647 1.20248 1.19852 1.19458 1.19067 1.18677

1.4.1. Ecuación de Difusividad en Forma Adimensional

2

2

1 tcP P Pr r r k t

φ µ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = (1.19)

Defina /D wr r r= . Derivando; ∂ ∂r r rw D= (1.20)

46

Tabla 1.3.b. Valores de la integral exponencial, 4( ) 10Ei x −− × , para 4 ≤ x ≤ 25.9

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.0 37.7944731 33.4897554 29.6885708 26.3300686 23.3610494 20.7349566 18.4110072 16.3534439 14.5308884 12.91578265.0 11.4839049 10.2139501 9.0871651 8.0870324 7.1989935 6.4102095 5.7093507 5.0864138 4.5325619 4.03998416.0 3.6017735 3.2118193 2.8647125 2.5556633 2.2804286 2.0352477 1.8167864 1.6220875 1.4485269 1.29377597.0 1.1557663 1.0326617 0.9228302 0.8248215 0.7373462 0.6592579 0.5895367 0.5272751 0.4716656 0.42198908.0 0.3776052 0.3379441 0.3024976 0.2708131 0.2424872 0.2171602 0.1945115 0.1742550 0.1561356 0.13992599.0 0.1254226 0.1124444 0.1008297 0.0904339 0.0811280 0.0727968 0.0653373 0.0586577 0.0526757 0.0473179

10.0 0.0425187 0.0382194 0.0343676 0.0309164 0.0278237 0.0250521 0.0225681 0.0203416 0.0183456 0.016556311.0 0.0149520 0.0135135 0.0122236 0.0110669 0.0100294 0.0090988 0.0082641 0.0075154 0.0068436 0.006240912.0 0.0057001 0.0052148 0.0047794 0.0043886 0.0040378 0.0037230 0.0034404 0.0031867 0.0029589 0.002754513.0 0.0025709 0.0024061 0.0022580 0.0021251 0.0020057 0.0018985 0.0018022 0.0017157 0.0016381 0.001568314.0 0.0015056 0.0014492 0.0013986 0.0013532 0.0013123 0.0012756 0.0012426 0.0012129 0.0011863 0.001162415.0 0.0011409 0.0011216 0.0011041 0.0010885 0.0010745 0.0010620 0.0010504 0.0010403 0.0010310 0.001022816.0 0.0010155 0.0010088 0.0010026 0.0009971 0.0009925 0.0009879 0.0009843 0.0009804 0.0009777 0.000974617.0 0.0009725 0.0009699 0.0009673 0.0009657 0.0009644 0.0009624 0.0009618 0.0009597 0.0009587 0.000957518.0 0.0009563 0.0009573 0.0009561 0.0009553 0.0009543 0.0009549 0.0009534 0.0009535 0.0009526 0.000953419.0 0.0009511 0.0009503 0.0009479 0.0009497 0.0009496 0.0009488 0.0009517 0.0009495 0.0009448 0.000948020.0 0.0009526 0.0009507 0.0009534 0.0009422 0.0009365 0.0009574 0.0009370 0.0009575 0.0009491 0.000955321.0 0.0009248 0.0009537 0.0009454 0.0009384 0.0009370 0.0009223 0.0009627 0.0009158 0.0009742 0.000953222.0 0.0009183 0.0009230 0.0008344 0.0009125 0.0009568 0.0008906 0.0008732 0.0008799 0.0009004 0.000978023.0 0.0009464 0.0009149 0.0007237 0.0009555 0.0007416 0.0008180 0.0007813 0.0007484 0.0007145 0.000794124.0 0.0009316 0.0005388 0.0006837 0.0003851 0.0007086 0.0007141 0.0006669 0.0011186 0.0010050 0.000525525.0 0.0000779 0.0003408 0.0001132 0.0000237 0.0016636 0.0000553 0.0011594 0.0002998 0.0010992 0.0007856

Defina el tiempo adimensional como;

t ttD

o

= (1.23)

∂ ∂t t to D= Reemplazando la Ec. 1.23 en 1.22

22

2

1 t w

D D D o D

c rP P Pr r r kt t

φ µ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = (1.24)

Para definir to, asuma que 12

=o

wt

ktrcµφ , de donde;

47

Tabla 1.3.c. Valores de la integral exponencial para 0.1 ≤ x ≤ 4.09

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.20 1.222651 1.182902 1.145380 1.109883 1.076236 1.044283 1.013889 0.984933 0.957308 0.9309180.30 0.905677 0.881506 0.858335 0.836101 0.814746 0.794216 0.774462 0.755442 0.737112 0.7194370.40 0.702380 0.685910 0.669997 0.654614 0.639733 0.625331 0.611387 0.597878 0.584784 0.5720890.50 0.559774 0.547822 0.536220 0.524952 0.514004 0.503364 0.493020 0.482960 0.473174 0.4636500.60 0.454380 0.445353 0.436562 0.427997 0.419652 0.411517 0.403586 0.395853 0.388309 0.3809500.70 0.373769 0.366760 0.359918 0.353237 0.346713 0.340341 0.334115 0.328032 0.322088 0.3162770.80 0.310597 0.305043 0.299611 0.294299 0.289103 0.284019 0.279045 0.274177 0.269413 0.2647500.90 0.260184 0.255714 0.251337 0.247050 0.242851 0.238738 0.234708 0.230760 0.226891 0.2231001.00 0.2193840 0.2157417 0.2121712 0.2086707 0.2052384 0.2018729 0.1985724 0.1953355 0.1921606 0.18904621.10 0.1859910 0.1829936 0.1800526 0.1771667 0.1743347 0.1715554 0.1688276 0.1661501 0.1635218 0.16094171.20 0.1584085 0.1559214 0.1534793 0.1510813 0.1487263 0.1464135 0.1441419 0.1419107 0.1397191 0.13756611.30 0.1354511 0.1333731 0.1313314 0.1293253 0.1273541 0.1254169 0.1235132 0.1216423 0.1198034 0.11799601.40 0.1162194 0.1144730 0.1127562 0.1110684 0.1094090 0.1077775 0.1061734 0.1045960 0.1030450 0.10151971.50 0.1000197 0.0985445 0.0970936 0.0956665 0.0942629 0.0928822 0.0915241 0.0901880 0.0888737 0.08758061.60 0.0863084 0.0850568 0.0838252 0.0826134 0.0814211 0.0802477 0.0790931 0.0779568 0.0768385 0.07573791.70 0.0746547 0.0735886 0.0725392 0.0715063 0.0704896 0.0694888 0.0685035 0.0675336 0.0665788 0.06563871.80 0.0647132 0.0638020 0.0629048 0.0620214 0.0611516 0.0602951 0.0594516 0.0586211 0.0578032 0.05699771.90 0.0562045 0.0554232 0.0546538 0.0538960 0.0531496 0.0524145 0.0516904 0.0509771 0.0502745 0.04958242.00 0.0489006 0.0482290 0.0475673 0.0469155 0.0462733 0.0456407 0.0450173 0.0444032 0.0437981 0.04320192.10 0.0426144 0.0420356 0.0414652 0.0409032 0.0403493 0.0398036 0.0392657 0.0387357 0.0382133 0.03769862.20 0.0371912 0.0366912 0.0361984 0.0357127 0.0352340 0.0347622 0.0342971 0.0338387 0.0333868 0.03294142.30 0.0325024 0.0320696 0.0316429 0.0312223 0.0308077 0.0303990 0.0299961 0.0295988 0.0292072 0.02882102.40 0.0284404 0.0280650 0.0276950 0.0273301 0.0269704 0.0266157 0.0262659 0.0259210 0.0255810 0.02524572.50 0.0249150 0.0245890 0.0242674 0.0239504 0.0236377 0.0233294 0.0230253 0.0227254 0.0224296 0.02213802.60 0.0218503 0.0215666 0.0212868 0.0210109 0.0207387 0.0204702 0.0202054 0.0199443 0.0196867 0.01943262.70 0.0191820 0.0189348 0.0186909 0.0184504 0.0182131 0.0179790 0.0177481 0.0175204 0.0172957 0.01707402.80 0.0168554 0.0166397 0.0164269 0.0162169 0.0160098 0.0158055 0.0156039 0.0154050 0.0152087 0.01501512.90 0.0148241 0.0146356 0.0144497 0.0142662 0.0140852 0.0139066 0.0137303 0.0135564 0.0133849 0.01321553.00 0.0130485 0.0128836 0.0127209 0.0125604 0.0124020 0.0122457 0.0120915 0.0119392 0.0117890 0.01164083.10 0.0114945 0.0113502 0.0112077 0.0110671 0.0109283 0.0107914 0.0106562 0.0105229 0.0103912 0.01026133.20 0.0101331 0.0100065 0.0098816 0.0097584 0.0096367 0.0095166 0.0093981 0.0092811 0.0091656 0.00905163.30 0.0089391 0.0088281 0.0087185 0.0086103 0.0085035 0.0083981 0.0082940 0.0081913 0.0080899 0.00798993.40 0.0078911 0.0077935 0.0076973 0.0076022 0.0075084 0.0074158 0.0073244 0.0072341 0.0071450 0.00705713.50 0.0069702 0.0068845 0.0067999 0.0067163 0.0066338 0.0065524 0.0064720 0.0063926 0.0063143 0.00623693.60 0.0061605 0.0060851 0.0060106 0.0059371 0.0058645 0.0057929 0.0057221 0.0056523 0.0055833 0.00551523.70 0.0054479 0.0053815 0.0053160 0.0052512 0.0051873 0.0051242 0.0050619 0.0050003 0.0049396 0.00487963.80 0.0048203 0.0047618 0.0047041 0.0046470 0.0045907 0.0045351 0.0044802 0.0044259 0.0043724 0.00431953.90 0.0042672 0.0042157 0.0041647 0.0041144 0.0040648 0.0040157 0.0039673 0.0039194 0.0038722 0.00382554.00 0.0037794 0.0037339 0.0036890 0.0036446 0.0036008 0.0035575 0.0035148 0.0034725 0.0034308 0.0033896

krct wt

o

2µφ= (1.25)

48

Reemplazando la Ec. 1.25 en la definición de tD:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

krctt wt

D

2µφ (1.26)

Despejando tD se tiene ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

wtD rc

kttµφ

Reemplazando la Ec. 1.25 en la Ec. 1.23:

( )22

2 2

1/

t w

D D D Dt w

c rP P Pr r r tk c r k

φ µ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂φ µ

+ =

2

2

1

D D D D

P P Pr r r t

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = (1.27.a)

Solución para el caso de rata constante;

( )ln /e w

kh PqB r rµ

∆=

Nótese que la ecuación anterior es la solución de la ecuación de difusividad para estado estable. Despejando ∆P;

ln e

w

rqBPkh r

µ ⎛ ⎞∆ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Definiendo:

P rrD

e

w

= ln y DqBP P

khµ

∆ =

Esto significa que la caída de presión física en estado estable para flujo radial es igual a la presión adimensional multiplicada por un factor escalable, que para este caso depende del caudal y de las propiedades del yacimiento8-17. El mismo concepto se aplica a flujo transitorio y a situaciones más complejas, pero en este caso la presión adimensional es diferente. Por ejemplo, para flujo transitorio la presión adimensional siempre es función del tiempo adimensional. En general, la presión a cualquier punto en un sistema con pozo único que produce a rata constante, q, está dada por:

49

[ ( , )] ( , , , geometría,....)i D D D DqBP P r t P t r C

khµ

− =

La presión adimensional es también afectada por la geometría del sistema, otros sistemas de pozos, el coeficiente de almacenamiento, características anisotrópicas del yacimiento, fracturas, discontinuidades radiales, doble porosidad entre otras. Despejando PD;

( , ) ( )D D D ikhP r t P P

qBµ= − (1.27.b)

Derivando dos veces;

DkhP P

qB∂ ∂

µ= − (1.28)

2 2

DkhP P

qB∂ ∂

µ= − (1.29)

Reemplazando las Ecs. 1.28 y 1.29 en la Ec. 1.27:

2

2

1D D D

D D D D

P P PqB qB qBkh r kh r r kh t

∂ ∂ ∂µ µ µ∂ ∂ ∂

− − = −

2

2

1D D D

D D D D

P P Pr r r t

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ =

Solución para el caso de presión constante:

; 0 1wfD D

i wf

P PP P

P P−

= ≤ ≤−

El procedimiento es similar al caso de rata constante. 1.4.2. Solución de la Integral Exponencial, Ei Asuma a) un solo pozo produce a caudal constante, and b) el yacimiento es infinito con rw → 0, r → 0, P → Pi. Defina2,11-17;

/D wr r r=

50

Fig. 1.13. Geometría del yacimiento para el ejemplo

2

0002637.0

wtD rc

kttµφ

= (1.30)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

Art

Acktt w

Dt

DA

20002637.0µφ

(1.31)

),( DDDD trPP =

( )141.2D i

khP P Pq Bµ

= − (1.32)

EJEMPLO Un yacimiento de forma cuadrada produce 300 BPD a través de un pozo localizado en el centro de uno de sus cuadrantes. Ver Fig. 1.13. Estime la presión en el pozo después de un mes de producción: Pi = 3225 psia h = 42 pies ko = 1 darcy φ = 25 % µo = 25 cp ct = 6.1x10-6 /psi Bo = 1.32 bbl/BF rw = 6 pulg A = 150 Acres q = 300 BPD SOLUCION

Acktt

tDA µφ

0002637.0=

51

76.0)6534000)(101.6)(25)(25.0(

)720)(1000)(02637.0(6 =

×= −DAt

De la Fig. 1.14.a se lee un valor de la presión adimensional de 12.

( )ppq

khP iD −=βµ2.141

(1000)(42)12 ( )

(141.2)(300)(1.32)(25) iP P= −

P = 2825 psi.

1.5. APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

D

DiDDD t

rEtrP42

1),(2

ktrc

trx t

D

D22 948

4µφ

−=−= (1.33)

Si P E xD i= − −12

( ) entonces, se cumple que cuando x < 0.00252,11-16:

( ) ln(1.781 )iE x x− = (1.34)

( ) ln1.781 lniE x x− = +

( ) ln 0.5772iE x x− = + (1.35)

Por definición P E xD i= − −12

( ) , luego

PrtDD

D

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

12 4

0 57722

ln . ó Pt

rDD

D

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

12

40 57722ln .

De la definición de PD;

52

PtrD

D

D

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

12

0 809072ln . (1.36)

Esta ecuación es válida para tD/rD

2 ≥ 50 ó 100.

294870.6 ti i

c rqBP P Ekh kt

φ µµ ⎧ ⎫= + −⎨ ⎬

⎩ ⎭ (1.37)

EJEMPLO Un pozo y yacimiento tienen las siguientes características: q = 20 BF/D µ = 0.72 cp ct = 1.5x10-5 φ = 23 % Pi = 3000 psia re = 3000 pies B = 1.475 bbl/BF k = 10 md h = 150 pies Calcule la presión del yacimiento a 1 pie, 10 pies y 100 pies después de 0.3 hrs de producción. SOLUCION Por medio de la siguiente expresión

22

82.310002637.0

wwtD rrc

ktt ==µφ

Los tiempos adimensionales son: para 1 pie 31.85, para 10 pies 0.3185 para 100 pies 0.003185. Y el x es, respectivamente 0.0007849, 0.07849 y 7.849. Para el primer x, se usa la aproximación logarítmica, Ei = 6.572, para el segundo y tercero se debe usar tabla 1.3 y resulta un valor de la integral exponencial de 2.044 y para el tercer de cero.

2948 (20)(1.475)(0.72)70.6 3000 70.6 6.572 2993.43(10)(150)

ti i

c rqBP P E psikh kt

φµµ ⎧ ⎫= + − = − =⎨ ⎬

⎩ ⎭

(20)(1.475)(0.72)3000 70.6 2.044 2997.96(10)(150)

P psi= − =

53

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.001 0.01 0.1 1

PD

t DA

1

1

1

1

1

1

1

1

Fig. 1.14.a. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 20004,8,11-12

54

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.001 0.01 0.1 1

P D

t DA

1

2

1

2

1

2

1

2

Fig. 1.14.b. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 20004,8,11-12

55

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.001 0.01 0.1 1

PD

t DA

1

2

1

2

1

2

1

4

Fig. 1.14.c. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 20004,8,11-12

56

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.001 0.01 0.1 1

PD

t DA

1

5

1

4

1

4

1

4

Fig. 1.14.d. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 20004,8,11-12

57

1.6. DISTRIBUCION DE PRESION En el punto N, Fig. 1.15, la presión puede calcularse por medio de la Ec. 1.37. En la cara del pozo rD = r/rw=1 y P = Pwf. Note que para aplicar la solución de la línea fuente como tal, el yacimiento se asume infinito4,6-9,11-17.

Yacimiento infinito, Pi

Pozo

Punto N

Fig. 1.15. Distribución de presión

500

1000

1500

2000

2500

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Radio, pies

Pre

sión

, psi

S>0

S<0

S=0

Pozo

Fig. 1.16. Influencia del daño

58

1.7. DAÑO A LA FORMACIÓN (POZO) Hay varias formas de cuantificar daño o estimulación en un pozo en operación (productor o inyector). El método más popular es el de representar una condición del pozo mediante una caída de presión en estado estable que ocurre en la cara del pozo, adicional a la caída de presión transitoria en el yacimiento que ocurre normalmente. La caída de presión adicional, se llama “efecto de daño” y toma lugar en una zona infinitesimalmente delgada: “zona de daño”2,12-15. ∆P = ∆P depleción + ∆P de daño Algunos factores causantes de daño son: 1. Invasión de los fluidos de perforación 2. Penetración parcial del pozo 1. Completamiento parcial 2. Taponamiento de las perforaciones 3. Precipitación orgánico/Inorgánica 4. Densidad de perforación inadecuada o perforación limitada 5. Crecimiento bacteriano 6. Dispersión de arcillas 7. Presencia de torta y cemento 8. Presencia de alta saturación de gas alrededor del pozo

141.2i wf Dq BP P P

khµ

− = sin daño

( )141.2i wf Dq BP P P skhµ

− = + (1.38)

141.2 141.2i wf Dq B q BP P P skh khµ µ

− = + (1.39)

141.2sq BP skhµ

∆ =

Asumiendo estado estable cerca al pozo y que la zona de daño tiene un radio finito, rs, con una permeabilidad alterada, ks, la caída de presión debido al daño se expresa como la diferencia de presión existente entre la zona virgen y la zona alterada, es decir:

s alterada en zona danada virgen en zona danadap P P∆ = ∆ − ∆

59

141.2 ln 141.2 lns ss

s w w

r rq B q BPk h r kh rµ µ

∆ = −

141.2 1 ln ss

s s w

rq B kPk h k rµ ⎛ ⎞

∆ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

, luego:

w

s

s rr

kks ln1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (1.40)

rs, ks son difíciles de obtener, luego de la Ec. 1.3

141.2sq BP skhµ

∆ = , combinando con la Ec. 1.40,

∆pqkh

kk

rrs

s

s

w

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1412 1. ln

µ β (1.41)

29481141.2

2t w

i wf ic rq BP P E s

kh ktφµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞

= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

(1.42)

Aplicando la aproximación logarítmica:

( )1141.2 ln 1.7812i wf

q BP P x skhµ ⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

29481141.2 ln 1.781

2t w

i wfc rq BP P s


= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

, ó;

294870.6 ln 1.781 2t w

i wfc rq BP P s


= + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

21688.4770.6 ln 2t w

i wfc rq BP P s


= + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2

70.6 ln 1688.47 ln 2t wi wf

c rq BP P skh kt

φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

60

Pw

f

Log t

m

khBq

mµ6.162

=

Fig. 1.17. Gráfico semilog

2 ln1070.6 7.4315 ln 2ln10

t wi wf

c rq BP P skh kt

φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

puesto que el ln 10 = 2.3025

2ln[ /( )]7.4315 2162.62.3025 ln10 ln10

t wi wf

c r ktq B sP Pkh

φµµ ⎧ ⎫= + + −⎨ ⎬

⎩ ⎭

2

162.6 3.2275 log 0.8686t wi wf

c rq BP P skh kt

φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

Cambiando de signo:

2

162.6 3.2275 log 0.8686t wi wf

c rq BP P skh kt

φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

Inviertiendo el logaritmo:

2162.6 log 3.23 0.8686i wft w

q B ktP P skh c rµ

φµ⎡ ⎤⎛ ⎞

= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

(1.43)

Pendiente semilog

61

De modo que de una gráfica de presión contra el semilogarítmo del tiempo, se espera una línea recta como lo muestra la Fig. 1.17. 1.8. FLUJO DE GAS Para flujo de gas la presión de fondo puede expresarse como m(P), P2 ó P14,20.

2 22

1637log 3.23 0.886g

wf it w

zTq ktP P skh c rµ

φµ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞

= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(1.44.a)

-------------- x ------------- con q = Mpcn/D y T = °R

2 2 1637( )( ) g

wf i wf i wf i

zTqP P P P P P x

khµ⎛ ⎞

− = − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

puesto que 2

wf iP PP

+= , entonces la anterior ecuación se convierte en:

1637

2g

wf i

zTq xP Pkh Pµ⎛ ⎞

− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

162.6 10.09

2g

wf i

q zTP P xkh P

µ⎛ ⎞ ⎧ ⎫− = − ⎨ ⎬⎜ ⎟⎩ ⎭⎝ ⎠

El término entre corchetes corresponde al Bg (bbl/pcn). Cambiando unidades de pcn/D a Mpcn/D, puesto que normalmente 0.00504 /gB zT P= en bbl/pcn. Resulta:

162.6 g gwf i

qBP P x

khµ⎛ ⎞

− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Incluyendo el daño:

2

162.6log 3.23 0.8686g g

wf it w

q ktP P skh c rµ β

φµ⎡ ⎤⎛ ⎞

= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

La ecuación es buena para yacimientos grandes o donde el comportamiento infinito está presente.

62

Sistemas Finitos cerrados En sistemas cerrados, como el de la Figs. 1.18. o 1.19, el flujo radial es seguido por un periodo de transición. Este a su vez es seguido por el estado pseudoestable, semiestable o cuasiestable, el cual es un régimen de flujo transitorio donde el cambio de presión con el tiempo, dP/dt, es constante en todos los puntos del yacimiento:

p

dP qdt cV

−= , luego la ecuación de difusividad, Ec. 2.21, se convierte en:

1

p

P c qr cter r r k cV

φ µ∂ ∂⎛ ⎞ = − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Para darle solución a la ecuación de difusividad en estado pseudoestable, escríbase esta en forma adimensional: 1 D D

DD D D D

P Prr r r t

⎛ ⎞∂ ∂∂=⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Con sus condiciones inicial, de frontera externa y de frontera interna dadas por:

( ), 0 0D D DP r t = =

0eD

D

D r

Pr

⎛ ⎞∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

1

1D

D

D r

Pr

=

⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

La solución es10,13,14:

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

4 4 222

22 2 2

21 1 0 1 0

2 21 1 1

3 4 ln 2 1ln2,41 1 4 1

n D

eD eD eD eDeD DDD D D D

eD eD eD

a tn eD n n D n n D

n n n eD n

r r r rr rrP r t tr r r

e J a r J a Y a r Y a J a ra J a r J a

−∞

=

− − −⎛ ⎞= + − − −⎜ ⎟− −⎝ ⎠ −

⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪⎣ ⎦+π ⎨ ⎬⎡ ⎤−⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

∑

J0 y J1 son las funciones Bessel de primera clase y orden cero y uno, respectivamente, y Y0 y Y1 son la funciones Bessel de segunda clase y orden cero y uno, respectivamente. El estado pseudoestable toma lugar a tiempos tardíos (t >

63

948φµctre2/k), de modo que a medida que el tiempo tiende a infinito, la sumatoria

tiende a cero, luego:

( ) ( ) ( )( )

( )

4 4 222

22 2 2

3 4 ln 2 1ln2,41 1 4 1

eD eD eD eDeD DDD D D D

eD eD eD

r r r rr rrP r t tr r r

− − −⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟− −⎝ ⎠ −

En el pozo, rD = 1, luego:

( ) ( ) ( )( )

( )

4 4 22

22 2 2

3 4 ln 2 1ln12 1,41 1 4 1

eD eD eD eDeDD D D D

eD eD eD

r r r rrP r t tr r r

− − −⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟− −⎝ ⎠ −

Como reD >>>> 1, esta expresión se reduce a:

( ) ( )4 4 2

2 2

3 4 ln 2 12 14 4

eD eD eD eDD D D

eD eD

r r r rP t t

r r− − −⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2 2 4

22 3 1 1( ) ln4 2 4

DD D eD

eD eD eD eD

tP t rr r r r

= + − + + −

2

2 3( ) ln4

DD D eD

eD

tP t rr

≅ + −

En forma dimensional parcial e incluyendo daño es:

2

2141.2 3( , ) ln4

Di eD s

eD

tq BP r t P r Pkh r

⎛ ⎞µ= − + − − ∆⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

282.4 141.2 105.9( , ) lnDi eD s

eD

tq B q B q BP r t P r Pkh r kh kh

µ µ µ= − + − − ∆

La derivada de la anterior ecuación con respecto al tiempo es:

2

( , ) 282.4 1

D eD

dP r t q Bdt kh r

µ= −

Al reemplazar el tiempo y el radio adimensional, se obtiene una expresión para hallar el volumen poroso usando la derivada de presión en estado pseudoestable:

64

2

( , ) 1.79

t e

dP r t qBdt h c r

= −φ

(1.44.b)

El tiempo adimensional fue definido como:

2

0.0002637 0.0002637AD

t t e

kt kttc A c r

= =φµ φµ π

Usando como base el radio del pozo:

2

2 2w D

DA De eD

r tt tr r

= =π π

, por ende,

22D

D eD AD ADeD

tt r t o tr

= π = π

Sustituyendo en la ecuación de presión adimensional se tiene:

3( ) 2 ln4D D AD eDP t t r= π + −

El periodo de flujo pseudoestable ocasionalmente ha sido denominado en forma errónea como flujo estable, aunque el verdadero estado estable la presión es constante con el tiempo en cualquier punto del yacimiento. La Fig. 1.19 esquematiza un pozo productor en el centro de un yacimiento cuadrado con fronteras cerradas. La porción marcada con A denota los efectos de almacenamiento y daño en el pozo. Debido a ellos el flujo radial ha sido enmascarado y se observa más tarde como lo señala la zona demarcada como B. Esta zona se llama también zona de comportamiento infinito puesto que en ella el pozo se comporta como si estuviera en un sistema infinito. Obsérvese que pudiera existir una zona de transición entre los periodos A y B pero aquí no se considera. Una vez terminado el flujo radial se desarrolla una zona de transición demarcada como C para luego desarrollarse el flujo pseudoestable que corresponde a la demarcación D, en donde la presión cambia linealmente con el tiempo. La representación de dichos regimenes de flujo en términos del comportamiento de la presión se presenta en la Fig. 1.20. Para estos yacimientos r no tiende a infinito. Otra forma de expresar la solución de esta ecuación es:

2

1 1 2.54582 ln ln2 2D DA

w A

AP tr C

π⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Nótese que si en la ecuación anterior se reemplaza CA = 31.62, el valor del factor de forma para un yacimiento circular con un pozo en el centro, los dos últimos términos de la ecuación se transforman en la solución familiar ln(re/rw)-3/4. Una característica

65

importante de este periodo de flujo es que la rata de cambio de presión con respecto al tiempo es una constante, es decir, dPD/dtDA = 2π . Sistemas Finitos Abiertos o de presión constante Cuando en cualquier punto del yacimiento la presión no varía con el tiempo, se dice que el flujo es estable. En otras palabras, el lado derecho de la Ec. 1.19 se cero11: 1 0Prr r r

∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Similar al caso de estado pseudoestable, el estado estable toma lugar a tiempos tardíos: 1 D D

DD D D D

P Prr r r t

⎛ ⎞∂ ∂∂=⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Con sus condiciones inicial, de frontera externa y de frontera interna dadas por:

( ), 0 0D D DP r t = =

( ), 0D eD DP r t =

1

1D

D

D r

Pr

=

⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

La solución es:

( )( )2 2

0

2 2 21 1 0

, ln 2( ) ( )

n D n eDnt J r

D D D eDn n n n eD

eP r t rJ J r

−β β∞

=

⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎡ ⎤β β − β⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

∑

A medida que el tiempo tiende infinito la sumatoria tiende a infinito, luego:

( ), lnD D D eDP r t r= Que en términos dimensionales se reduce a la ecuación de Darcy. Las funciones adimensionales de presión para flujo lineal y radial son, respectivamente:

66

Area de drene

Finito

Fig. 1.18. Sistema cerrado

Pozo

A

B

C

D D

D D

Fig. 1.19. Pozo en el centro de un yacimiento cuadrado y de frontera cerradas

67

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11

P y

t *

PD

D

D

t D

A B C D

0.E+00

1.E+03

2.E+03

3.E+03

4.E+03

5.E+03

6.E+03

7.E+03

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11

P D

t D

A B C

D

0.E+00

1.E+01

2.E+01

3.E+01

4.E+01

5.E+01

0.E+00 1.E+07 2.E+07 3.E+07 4.E+07 5.E+07 6.E+07 7.E+07 8.E+07 9.E+07 1.E+08

D

P D

t D

CB

A

a) Derivada

b) Semilog

c) Cartesiano

Fig. 1.20. Comportamiento de la presión adimensional en un yacimiento cerrado

68

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12

P y

t *

PD

D

D

t D

A B C D

0.E+00

1.E+01

2.E+01

3.E+01

4.E+01

5.E+01

0.E+00 5.E+06 1.E+07 2.E+07 2.E+07 3.E+07 3.E+07 4.E+07 4.E+07 5.E+07 5.E+07

DDB

A

P D

t D

0.E+00

5.E+00

1.E+01

2.E+01

2.E+01

3.E+01

3.E+01

4.E+01

4.E+01

5.E+01

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12

DCB

B

P D

t D

Fig. 1.21. Comportamiento de la presión adimensional en un yacimiento abierto

69

( ) 2D ssLLhPA

π= y ( ) ln eD ssr

w

rPr

=

Y la solución de la ecuación de difusividad será:

( )0.00708 ( )

ln /e w

e w

kh P PqB r rµ

−=

que es la forma radial de la ecuación de Darcy. En los yacimientos, el estado estable puede ocurrir solamente cuando el yacimiento está completamente recargado por un acuífero o cuando la inyección y la producción se encuentran balanceadas. Sin embargo, un yacimiento que posee un acuífero muy activo no siempre actuará bajo estado estable. Primero tiene que existir un periodo de estado inestable, que se seguirá por el estado estable una vez la caída de presión haya tocado las fronteras del yacimiento. La representación de los regimenes de flujo en términos del comportamiento de la presión, para estado estable, se presenta en la Fig. 1.21. La extracción de fluidos de un yacimiento presurizado con fluidos compresibles ocasiona una perturbación de presión. Aunque se espera que dicha perturbación viaje a la velocidad del sonido, ésta se atenúa rápidamente de modo que para una duración dada de tiempo de producción existe una distancia, el radio de drenaje, más allá del cual no se observarán cambios sustanciales de presión. A medida que se extrae más fluido (o se inyecta) la perturbación se mueve más dentro del yacimiento con continua declinación de presión en todos los puntos que han experimentado declinación de presión. Una vez se encuentra una frontera la presión en la frontera continúa declinando pero a una rata más rápida que cuando la frontera no se había detectado. Por otro lado si el transiente de presión alcanza una frontera abierta (empuje de agua) la presión se mantiene constante en algún punto, las presiones más cercanas al pozo declinarán más despacio que si se hubiese encontrado una frontera cerrada. Cambios de caudal o pozos adicionales causan transientes de presión adicionales que afectan tanto la declinación de presión como la distribución de la misma. Cada pozo establecerá un área de drenaje que le suministra fluido. Cuando se encuentra una frontera de flujo o no, el gradiente de presión –no el nivel de presión- tiende a estabilizarse después de tiempo de producción suficientemente largo. Para el caso de frontera cerrada, la presión alcanza el estado pseudoestable con un gradiente de presión constante y una declinación de presión general en todo punto y que es lineal con el tiempo. Para yacimientos de presión constante, se obtiene el estado estable, tanto la presión como su gradiente permanecen constantes con el tiempo. EJEMPLO Un pozo sencillo en un yacimiento está produciendo un caudal constante de petróleo de 110 STB/D. Algunos datos relevantes para este yacimiento son: µ = 1.3 cp ct = 1.62x10-5 psi-1 φ = 18 %

70

Pi = 2800 psia re = 3500 ft rw = 0.3 ft B = 1.25 bbl/STB h = 80 ft k = 75 md s =1.5 a) Halle la presión del pozo fluyendo después de un mes de producción. b) Determien la presión del yacimiento a un radio de 1, 2, 5, 10, 20, 100 ft, 1000 ft

para el mismo tiempo de producción. Graficar el perfil de presión. SOLUCION a) El tiempo adimensional es obtenido mediante;

2 5 2

0.0002637 0.0002637(75)(720) 41737891.7(0.18)(1.3)(1.62 10 )(0.3)D

t w

kttc rφ µ −= = =

×

Ya que tD/rD

2 >> 70, luego puede usarse la aproximación logarítmica de Ei:

( )2( ) ln / 0.80907 ln(41737891.7) 0.80907 18.3559D DEi x t r− = + = + = Si se conoce el valor de x de la Ec. 1.8.b, la integral exponencial se puede evaluar de la tabla 1.3 ó de la Fig. 1.10. Estime el valor de x, mediante:

2 5 29948 948(0.18)(1.3)(1.62 10 )(0.3) 5.9895 10

75(30)(24)tc rx

ktφ µ −

−×= = = ×

Entonces, Ei se evalúa usando la tabla 1.3 Ei = 18.356. Este valor anterior coincide muy bien con el obtenido de la Ec. 1.35. La presión de pozo fluyendo se estima usando la Ec. 1.43:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

×−= − )5.1(8686.023.3

)1)(1062.1)(3.1)(18.0()720)(75(log

)80)(75()25.1)(3.1)(110(6.1622800 25wfP

Pwf = 2755.3 psi La Ec. 1.43 está limitada por el valor de tD/rD

2. Si este fuera el caso, otra manera de representar la Ec. 1.34 es:

)(6.70),( xEikh

BqPtrP i −−=µ (1.45)

Reemplazando los parámetros conocidos en la ecuación anterior:

71

Tabla 1.4. Distribución de presión

Radio, ft x Ei(-x) ∆p, psi P, psia 0.3 5.99x10-9 18.356 44.92 2755.1 1 6.66 x10-8 15.948 33.54 2766.5 2 2.66 x10-7 14.561 30.62 2769.4 5 1.66 x10-6 12.729 26.77 2773.2

10 6.65 x10-6 11.342 23.85 2776.2 20 2.66 x10-5 9.956 20.94 2779.1 100 6.65 x10-4 6.738 14.17 2785.8

1000 6.65 x10-5 2.198 4.623 2795.4

2750

2760

2770

2780

2790

2800

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Radio, pie

Pres

ión,

psi

Fig. 1.22. Distribución de presión en el yacimiento

Pwf

t

PD

tD

Pwf

log t

C

A

B

A = Puro transitorioB = Sistema cerradoC = Presión constante

C

A

B

C

AB

1 ln1.8712DA P x∴ =

1 ln1.8712DB P x∴ >

1 ln1.8712DC P x∴ <

Fig. 1.23.a. Comportamiento de la presión en sistemas infinitos, cerrados y abiertos2

72

70.6(110)(1.3)(1.25)( , ) 2800 18.356 2755.1 psi(75)(80)

P r t = − =

b) En un radio de 1 ft, el valor de x se calcula usando la Ec. 1.8.b;

5 28948(0.18)(1.3)(1.62 10 )(1) 6.655 10

75 (30 24)x

−−×

= = ×× ×

Ei se obtiene de la tabla 1.3, Ei = 5.948. La presión se estima con la Ec. 1.45:

psitrP 5.2766948.15)80)(75(

)25.1)(3.1)(110(6.702800),( =−=

Los valores de presión para los demás radios son reportados en la tabla 1.4 y graficados en la Fig. 1.22. Se observa en la gráfica que las mayores caídas de presión tienen lugar en la región cercana a la cara del pozo, como se esperaba. La Fig. 1.23.a muestra el comportamiento de la presión en gráficos convencionales considerando puro régimen de transición, sistema cerrado (o fallas) y sistema de presión constante. 1.9. FUNCIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN 1.9.1. Deducción de la Derivada de la Presión18-19

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

D

DiDDD t

rEtrP42

1,2

Derivando respecto a tD:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∆∆

−=∆∆

D

Di

DD

D

trE

ttp

421 2

(1.46)

Puesto que ( ) ∫∞ −

−=−x

u

i duu

exE . Aplicando este concepto:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∆−

∆∆

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∆∆

∫∞ −

D

D

t

r

u

DD

Di

D

uu

ett

rEt 4

2

24, ó

∞

∆∆

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

∆∆ −

D

D

tr

D

u

D

Di

D tu

ue

tr

Et

4

2

2

4

Tomando la derivada ∆v/∆tD y remplazando v por rD

2/4tD:

73

( )2 / 42 2

24 / 4 4

D Dr tD D

iD D D D D

r reEt t r t t

−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆− = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

, simplificando:

( )DD tr

DD

Di

D

ett

rEt

4/2

214

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∆∆ (1.47)

Combinando (1.37) y (1.38) resulta:

( )DD tr

DD

D ett

p 4/2121 −−=

∆∆ (1.48)

Expresando la Ec. 1.48 en derivadas parciales, se tiene que:

D

D

tr

DD

D ett

p 4

2

121 −

−=∂∂ (1.49)

El anterior concepto fue introducido por Tiab18-19 en 1976. 1.9.2. Conversión de la Ecuación de Derivada de Presión a Unidades de Campo Tomando la Ec. 1.49

DD tr

DD

D ett

p 4/2

21 −−=

∆∆

Puesto que 2000264.0

wtD rc

kttφµ

= (1.50)

( )

µβqPPkh

P wfiD 2.141

−= (1.51)

Las Ecs. 1.50 y 1.51 están expresadas en unidades de campo. Tomando la derivada para las Ecs. 1.50 y 1.51 respecto a t.

2

000264.0

wt

D

rck

tt

φµ=

∆∆ (1.52)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆−=

∆∆

tP

qkh

tp wfD

µβ2.141 (1.53)

74

Puesto que se puede escribir:

tttP

tp

D

D

D

D

∆∆∆∆

=∆∆

// (1.54)

Aplicando el concepto de la Ec. 1.54,

( ) tP

kqctrkh

tP wfw

D

D

∆

∆−=

∆∆

000264.02.141

2

µβφµ (1.55)

Remplazando la Ec. 1.55 en el lado izquierdo de la Ec. 1.49 y sustituyendo rD y tD

( ) ( )( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=∆

∆− ktrrcr

wtwfwtwt

ekt

rct

Pkq

rckh 000264.04/22

2

22

000264.02000264.02.141

φµφµ

µβφµ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=∆

∆− ktrc

wft

ett

Pq

kh2948

21

2.141

φµ

µβ

Simplificando:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=∆

∆ ktrc

wft

ekht

qt

P2948

6.70φµ

βµ (1.56)

La Ec. 1.56 expresada en unidades de campo

∂∂

Pt

Pt

eD

DD

D

rtD

D= =−

' 12

2

4 (1.57)

En el pozo, rD = 1, luego:

Dt

DD e

tP 4

1

21'

−

= (1.58)

Para tD > 250, 1/ 4 1Dte− = , entonces la Ec. 1.58 se convierte en:

DD t

P21'= (1.59)

75

log

Pwf '

Log t

khBqPhr

µ6.701 =

1 hr

P1hr

Fig. 1.23.B. Gráfico log-log de Pwf’ vs. t

m = -1

m = -1

log

P ' D

log t D

Falla simple

Fig. 1.24. Identificación de fallas mediante gráfico log-log de PD’ vs. tD Tomando logaritmo a ambos lados:

2loglog1log'log −−= DD tP

301.0log'log −−= DD tP (1.60)

76

m

2mlo

g P D

log t D

Falla simple

Flujo radial

Fig. 1.25. Identificación de fallas mediante gráfico de PD vs. log tD Lo que indica que la gráfica log-log de PD’ contra tD da una línea recta de pendiente unitaria. Ver Figs. 1.23 y 1.24. La pendiente del gráfico semilog se duplica ante el efecto de una falla, ver Fig. 1.25. En unidades reales de campo las Ecs. 1.59 y 1.60 se convierten:

1 70.6' wfwf

P q BPt t kh

∂ µ∂

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

, ó (1.61)

70.6log ' log logwfq BP t

khµ⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.62)

Con efectos de almacenamiento (WBS) y daño la línea no da recta. Con P’1hr se puede hallar k ó kh por medio de la Ec. 1.63 y de acuerdo con la Fig. 1.23.b.

1' 70.6hrqP

khµ β

= (1.63)

El ruido que se presenta en una prueba de presión es debido a factores como (1) turbulencia, (2) movimientos de la herramienta, (3) variaciones de temperatura, (4) apertura y cierre de pozos en el campo, (5) Efectos gravitacionales del sol y la luna sobre las mareas (cerca de los grandes lagos de 0.15 psi y en costa afuera hasta 1 psi).

Al estimar la derivada el ruido se incrementa por la razón de cambio que la derivada impone, por ello se requiere suavizar la derivada o utilizar técnicas de Spline. La baja

77

resolución de la herramienta y el papel log-log tambien incrementan o exageran el ruido.

1.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA 1.10.1. Diferencia Finita Central Calcular la derivada de la presión requiere de algún cuidado, debido a que el proceso de diferenciación de datos puede amplificar cualquier ruido que pueda estar presente. Una diferenciación numérica usando puntos adyacentes producirá una derivada muy ruidosa6-7.

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

−−∆−

−−−

∆+−+

−−∆−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+−

−+

−+

−+

−++

+−

111

11

11

11

111

11 2

iiii

iii

iiii

iiii

iiii

iiii

i ttttPtt

ttttPttt

ttttPttt

tPt

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∆

−∆

+∆

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+−

−+

−+

−+

−++

+−

111

11

11

211

111

11

/ln/ln/ln

/ln/ln/ln

/ln/ln/ln

ln

iiii

iii

iiii

iiii

iiii

iii

ii

ttttPtt

ttttPttt

ttttPtt

tPt

tPt (1.64)

1.10.2. Ecuación de Horne Cuando los datos están distribuidos en una progresión geométrica (con la diferencia de tiempo de un punto al siguiente mucho más grande a medida que pasa la prueba), entonces el ruido en la derivada puede reducirse usando una diferenciación numérica con respecto al logaritmo del tiempo. El mejor método para reducir el ruido es usar datos que están separados por lo menos 0.2 de un ciclo logarítmico, en vez de puntos que están inmediatamente adyacentes. Esto se reconoce como suavizamiento y se explica mejor en la Fig. 1.26. Por lo tanto6:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∆

−∆

+∆

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+−

−+

−+

−+

−++

+−

kijikii

iiji

iiii

iikiji

kijiiji

jikii

ii

ttttPtt

ttttPttt

ttttPtt

tPt

tPt

/ln/ln/ln

/ln/ln/ln

/ln/ln/ln

ln 1

11

2

(1.65)

2.0lnln ≥−+ iji tt y 2.0lnln ≥− −kii tt

78

L L

(t , X )1 1

(t , X )2 2

Fig. 1.26. Ilustración del suavizamiento 1.10.3. Ecuación de Bourdet y colaboradores Este algoritmo de diferenciación reproduce la curva tipo de la prueba sobre el intervalo completo de tiempo. Este usa un punto antes y un punto después del punto de interés, i, calcula la correspondiente derivada, y ubica su media ponderada para el punto considerado1,16. También puede aplicársele suavizamiento.

( ) ( )

11

11

11

1

1

−+

−+

++

−

−

−

−−−

+−−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ii

iiii

iiii

ii

ii

i XX

XXXXPPXX

XXPP

dxdP (1.66)

Siendo X el logaritmo natural de la función de tiempo. 1.10.4. Ecuación de Clark y Van Golf-Racht Clark y van Golf-Racht utilizan el método de Bourdet y escriben éste en términos de ∆P y ∆t, generando una función que utiliza una sola diferencia progresiva16.

( ) ( )1 1 2 2 2 1

1 2

/ /X t t X t tdXdt t t

+=

+ (1.67)

Siendo L el valor de suavizamiento, 0.1 < L < 1/10 de la escala logarítmica aplicada. 1.10.5. Ecuación de Simmons La rata de flujo se calcula por diferenciación numérica de la longitud de la columna de un fluido con respecto al tiempo. Para suavizar los datos e incrementar la precisión de los cálculos, se utilizan diferencias finitas de segundo orden. Las expresiones de diferencias finitas han sido derivadas de la expansión de las series de Taylor sin el

79

requerimiento de igual lapso de tiempo para facilitar infrecuentes muestras de datos a tiempos tardíos cuando la presión es relativamente constante. Para el cálculo del caudal inicial se requiere una diferencia finita progresiva. Defina: ∆ti = ti+1 – ti. La diferencia finita central16:

)()(

122

1

122

12

12

1

−−

−−+−

∆∆+∆∆∆−∆−∆+∆

=iiii

iiiiiii

ttttXtXttXt

dtdX (1.68)

Para el primer punto, la diferencia finita progresiva es:

)(/)(

)()(1

12

1

212

21

2

21

++

++++

∆+∆−∆∆+∆

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+∆+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+∆−

=iiiii

iii

iii

i

ii

ttttt

XXt

ttXt

tt

dtdX (1.69)

La diferencia finita de segundo orden incrementa la precisión del cálculo de la derivada. Se ganan beneficios adicionales con la inclusión de más puntos de datos en la aproximación. Para el último punto, la diferencia finita regresiva es:

12

2121

2121

221

21

221

/)()(

)()(1

−−−−−

−−−

−−

−

−−

∆∆+∆−∆+∆

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+∆+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+∆−

=iiiii

iii

iii

i

ii

ttttt

XXt

ttXt

tt

dtdX (1.70)

El algoritmo de Spline es el mejor procedimiento para derivar datos de presión vs. tiempo por ser más efectivo y con mínimos errores promedios. Es el único algoritmo de carácter polinomial que por ser continuo puede ser suavizado durante cualquier proceso de derivación y la forma de la curva obtenida es acorde al modelo trabajado. El algoritmo de Simons es de carácter polinomial de segundo grado. Pero escrito en términos de presión y tiempo, por lo que resulta impráctico el suavizamiento al tiempo que se realizan los cálculos de la derivada. Los algoritmos polinomiales como el de Simons, el de 2º grado, el de 3er grado regresivo o el de 3er grado progresivo por ser de carácter discreto, no deben ser suavizados después de un proceso de derivación. Los algoritmos de Horne cuando L = 0.2 y L = 0.4 y Bourdet cuando L = 0.2 y L = 0.4 son buenas opciones para procesos de derivación. El mejor procedimiento para análisis de datos de presión vs. tiempo, es el de derivar y luego suavizar los datos6. Las Figs. 1.27 y 1.28 presentan estimaciones de derivadas por todos los métodos. 1.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN “Adicionando soluciones a la ecuación diferencial lineal resultará en una nueva solución de esa ecuación diferencial pero para diferentes condiciones de frontera”6.

80

ψ ψ ψ ψ= + +1 1 2 2 3 31f f f

0.1

1

10

100

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10

PD

t *P 'D DP

, t

*P '

D

D

D

t D

Fig. 1.27. Función derivada de presión para un yacimiento homogéneo e infinito6

0.01

0.1

1

10

100

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10

P ,

t *P

'D

D

D

t D

Fig. 1.28. La función derivada de presión para un yacimiento homogéneo e infinito mediante los algoritmos de Horne, Clark y Van Golf-Racht, Spline, Simmons,

Bourdet y polinomiales con ruido aleatorio6

81

N Punto de observación

q

t

q

t

q

t

Pozo 1

Pozo 2

Pozo 3

r 1

r 2

r 3

Fig. 1.29. Presión en el punto N2

1.11.1. Superposición en Espacio De acuerdo con la Fig. 1.29, la caída de presión en el punto N, si se asume que los pozos producen a caudal constante será2-9,11-20:

,1 ,2 ,3N N N NP P P P∆ = ∆ + ∆ + ∆ (1.71)

Se sabe que ( )141.2D i

khP P Pqµ β

= −

141.2 ( , )i D D D

q BP P P P r tkh

µ− = ∆ = (1.72)

P se aplica en cualquier punto. Combinando las Ecs. 1.71 y 1.72 se tiene:

( ) ( ) ( )1 2 31 2 3

141.2 ( , ) ( , ) ( , )N o D D D o D D D o D D DP qB P r t qB P r t qB P r tkh

µ ⎡ ⎤∆ = + +⎣ ⎦

(1.73)

wD r

rr 11 = , 2

2Dw

rrr

= , 33D

w

rrr

=

Extendido a n número de pozos:

82

t1

Cau

dal

Tiempo

q1

q2

t2

Fig. 1.30. Superposición en tiempo

( ) ( )1 21 2

141.2 ( , ) ( , )N o D D D o D D DP qB P r t qB P r tkh

µ ⎡ ⎤∆ = +⎣ ⎦ (1.74)

[ ]1

141.2 ( , )n

N D Di Di

q BP P r tkh

µ=

∆ = ∑

Si N es un pozo de observación (activo), entonces, en el pozo:

[ ]141.2w D

q BP P skh

µ∆ = + (1.75)

Luego finalmente resulta;

[ ]1

141.2 141.2( , )n

N D DNi D Ni

q B q BP P r t skh kh

µ µ=

∆ = +∑ (1.76)

↓ Incluye el punto N

rrrDNi

w

= 1

Note que en la Ecs. 1.71 y 1.76, se adicionan cambios de presiones o presiones adimensionales y no presiones. Si el punto de interés es un pozo en operación, el factor de daño debe adicionarse a la presión adimensional de ese pozo únicamente.

83

1.11.2. Superposición en Tiempo Algunas veces hay cambios de caudal cuando un pozo produce. Ver. Figs. 1.30 y 1.31. Luego, debe aplicarse el concepto de superposición. Para ello, un único pozo se visualiza como si hubiera dos pozos en el mismo punto, uno con q1 para un tiempo de t = 0 a t = t1 y otro (imaginario) produciendo a una rata q2 - q1 por un período de tiempo t - t2. El cambio en la presión en el pozo debido al cambio de rata es2,4:

[ ]1 1 2 1 2141.2 ( , ) ( ) ( , )D D D D D D

BP q P r t q q P r t skh

µ∆ = + − + (1.77)

Donde tD2 = (t-t1)D. Si existen más variaciones en caudal:

( ) ( ) ( )11

141.2 ( , ( ) )n

D D i Di ii

P qB qB P r t t skh

µ−

=

⎡ ⎤∆ = − − +⎣ ⎦∑ (1.78)

Ejercicio: Los siguientes son los datos de dos pozos en producción (tomado de la Ref. 4). k = 76 md φ = 20 % B = 1.08 bbl/BF pi = 2200 psi µ = 1 cp ct = 10x10-6/psi h = 20 pies Calcule la presión en el pozo 1 después de 7 hrs de producción y en el pozo 2 después de 11 hrs de producción. Asuma comportamiento infinito. PARTE 1. Estime: ∆P(7 hr)= ∆P causado por el flujo del pozo 1 + ∆P causado por el flujo del pozo 2

( )2

1 27 , 1

141.2 141.2 100( 1, ) ( , )1Dhr r D D D D D D

q B q BP P r t s P r tkh kh

µ µ=

⎛ ⎞∆ = = + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 6 2

0.0002637 0.0002637(76) 10020(0.2)(10 10 )1D

t w

kt tt tc rφ µ −= = =

×

En el pozo 1, tD = 10020*7 = 70140, x = 70140 > 100, luego:

PtrD

D

D

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

12

0 809072ln . =5.98

84

100

50

Pozo 1100 pies

Pozo 2

25

100

10 8

Cau

dal,

BPD

Cau

dal,

BP

D

Tiempo, hrs Tiempo, hrs

s=5rw = 1 pie

s=1.7rw = 1 pie

Fig. 1.31. Superposición en tiempo

En el pozo 2, tD = 10020t/1002 = 7.014. De la Fig. 1.10 (referencia 6) PD = 1.4. Calculando ∆P en el pozo 1, resulta:

( ) ( )7 , 1141.2(100)(1.08)(1) 141.2(100)(1.08)(1)5.98 5 1.4 113.7

(76)(20) (76)(20)Dhr rP =∆ = + + =

Pw = 2200-113.7 = 2086.4 psi PARTE 2. A las 11 hrs, se desea estimar la presión en el pozo 2. Se deben considerar dos ratas en cada pozo:

(11 , 1) 1 1

2 2

0.1(100) ( , 11 , 100) 0.1(50 100) ( , 11 10 , 100)

0.1(25) ( , 11 , 1 ) 0.1(100 25) ( , 11 8 , 1 )Dhr r D pozo D D pozo D

D pozo D D pozo D

P P t hr r P t hr r

P t hr r s P t hr r s=∆ = = = + − = − =

+ = = + + − = − = +

Para el pozo 1 tD = (10020/1002)(11) = 11 PD (rD = 100, tD = 11) = 1.61 de la Fig. 1.10 tD = (10020/1002)(1) = 1 PD (rD = 100, tD = 1) = 0.522 de la Fig. 1.10 (referencia 6) Para el pozo 2 tD = (10020)(11) = 110220 > 100, luego aplicando la Ec. 1.36 da PD = 6.21

85

tD = (10020)(3) = 30060 > 100, luego aplicando la fórmula PD = 5.56. Colocando ∆P en el pozo 2 se tiene:

(11 , 1) 0.1(100)(1.61) 0.1( 50)(0.522) 0.1(25)(6.21 1.7)

0.1(75)(5.56 1.7) 87.72Dhr rP =∆ = + − + + +

+ =

Pw = 2200 - 87.72 = 2112.28 psi La función Ei y el principio de superposición no solo se aplican a pozos dentro de un yacimiento en particular, sino que también se puede aplicar para investigar la interferencia entre yacimientos adyacentes. Como se esquematiza en la Fig. 1.32. 1.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICION EN ESPACIO 1.12.1. Pozo Unico Cerca a una Falla Sellante De acuerdo con la Fig. 1.32, la caída de presión en el pozo activo despreciando efectos de daño y almacenamiento es2,18-19: P P PDW DR DI= + (1.79)

P EtDR i

D

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

14

(1.80)

Falla sellante =d 2d

P ozo P roducto r

P ozo P roducto r

P ozo P roductor(Im agen)

S IS T E M A R E A L S IS T E M A M O D E LA D O

Fig. 1.32. Pozo único cerca a una falla sellante

d

Pozo Productor

Presión constante

= 2d

Pozo Inyector(Imagen)

Pozo Productor

SISTEMA REAL SISTEMA MODELADO

Fig. 1.33. Pozo cerca a una barrera de flujo

86

8.5

km10

km

A

B

Campo 1

Campo 2

Fig. 1.34. Superposición entre campos adyacentes2

P ErtDI iD

D

= − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12 4

2

(1.81)

donde r drDI

w

=2

1.12.2. Pozo Cerca a una Barrera de Flujo o Línea de Presión Constante (empuje de agua) Este sistema, matemáticamente se expresa de acuerdo a la Fig. 1.33. No puede haber más de un pozo por cuadrante14.

npozos =360θ

El principio de superposición en espacio es igualmente aplicable para estimar caídas de presión entre yacimeintos. Ver Fig. 1.34. 1.12.3. Pozo en Medio de dos Fallas que se Interceptan yD = by/bx

Este sistema se representa de acuerdo con la Fig. 1.35.

87

EJEMPLO El pozo A en la Fig. 1.36 ha producido a una rata constante de 380 BPD. Se desea estimar su presión fluyendo después de una semana de producción. Las propiedades del yacimiento, pozo y fluido son las siguientes: s = -5 Pi = 2500 psi B = 1.3 bbl/STB µ = 0.87 cp h = 40 ft ct = 15x10-6 /psi φ = 18 % rw = 6 in k = 220 md Cual será la presión fluyendo del pozo después de una semana de producción? Cual sería la presión fluyendo del pozo después de una semana de producción si el pozo estuviera en un yacimiento infinito? SOLUCION La caída de presión en el pozo A está afectada por su propia caída de presión y la caída de presión causada por sus pozos imágenes. La distancia del pozo A a sus pozos imaginarios se muestran en la Fig. 1.37. La caída de presión total para el pozo A es:

ftrimageftrimageftrimageftrimageftrimagerwrAA PPPPPPP 500,5866,41000,3866,2500,1, ====== ∆+∆+∆+∆+∆+∆=∆ Por simetría la expresión anterior se convierte en:

ftrimageftrimageftrimagerwrAA PPPPP 1000,3866,2500,1, 22 ==== ∆+∆+∆+∆=∆ El parámetro x de la Ec. 1.8.b y la integral exponencial usando la tabla 1.3.

433.17,105.1)168)(220(

)5.0)(105.1)(87.0)(18.0(948 825

==×

= −−

iAwell Exx

633.3,015.0)168)(220(

)500)(105.1)(87.0)(18.0(948 25

51 ==×

=−

iorwellimage Ex

564.2,0452.0)168)(220(

)866)(105.1)(87.0)(18.0(948 25

42 ==×

=−

iorwellimage Ex

291.2,06.0)168)(220(

)1000)(105.1)(87.0)(18.0(948 25

3 ==×

=−

iwellimage Ex

Entonces, la caída de presión en A resultará:

88

, 1, 500 2, 866 3, 100070.6 2 2 2A i A r rw iimage r ft iimage r ft iimage r ftq BP E s E E E

khµ

= = = =⎡ ⎤∆ = − + + +⎣ ⎦

[ ] psiPA 3.76291.2)564.2(2)633.3(210433.17)40)(220(

)3.1)(87.0)(380(6.70 =+++−=∆

La presión fluyendo en el pozo A es: Pwf = 2500-76.3 = 2423.7 psi Si el pozo estuviera ubicado en un yacimiento infinito, la contribución de la no caída de presión sería obtenida de los pozos imaginarios, entonces:

,70.6 2A i A r rwq BP E s

khµ

=⎡ ⎤∆ = +⎣ ⎦

[ ] psiPA 63.2510434.17)40)(220(

)3.1)(87.0)(380(6.70 =−=∆

La presión fluyendo del pozo entonces sería de 2474.4 psi. Se observó que las fronteras de no flujo contribuyen con el 66.4 % de caída de presión total en el pozo A.

by

bx

=

2bx

2by

Pozo real

Pozo imagen Pozo imagen

Pozo imagen

Fig. 1.35. Pozo en medio de dos fallas que se interceptan

89

60°

Pozo A

500 ft

YD=1

500 ft

Fig. 1.36. Localización del pozo A (método de las imágenes)

Pozo A

500 ft

500 ft

1000 ft

500 ft

866 ft

866

ft

ImagenPozo 1

ImagenPozo 2

ImagenPozo 3

ImagenPozo 4

ImagenPozo 5

Figure 1.37. Efectos de los pozos imaginarios para un pozo cerrado por

dos fallas de intersección las cuales forman un ángulo de 60°

90

REFERENCIAS

1. Bourdet, D., Ayoub, J.A., and Pirad, Y.M. “Use of Pressure Derivative in Well-Test

Interpretation”. SPEFE. p. 293-302. 1989. 2. Dake, L.P. “The Practice of Reservoir Engineering - Revised edition”. Elsevier

Developments in Petroleum Science. Second impresión. Amstrerdam, Holanda, 2004.

3. Dykstra, H., Kazemi, H., Raghavan, R., Gulati, M. S., “Pressure Transient Testing Methods” , SPE Reprint Series No. 14, Published by the Society of Petroleum Engineers, Dallas, Texas, 1967.

4. Earlougher, R.C., Jr., “Advances in Well Test Analysis”, Monograph Series Vol. 5, SPE, Dallas, TX, 1977.

5. Economides, M.J., Watters, Dunn-Norman, S. “Petroleum Well Construction”, John Wiley & Sons, New York (1988). 622p.

6. Escobar, F.H., Navarrete, J.M., and Losada, H.D. “Evaluation of Pressure Derivative Algorithms for Well-Test Analysis”. Paper SPE 86936 presented at the SPE International Thermal Operations and Heavy Oil Symposium and Western Regional Meeting held in Bakersfield, California, U.S.A., 16–18 March 2004.

7. Horne, R.N. Modern Well Test Analysis. Petroway Inc., Palo Alto, CA., 1990. 8. Horner, D.R. “Pressure Buildup in Wells”. Proc. Third World Petr. Congr.

Leiden, 1951. 9. John Lee. “Well Testing”. SPE textbook series Vol. 1. 1982 10. Lee, J. and Wattenberger, R.A. “Gas Reservoir Engineering”. SPE textbook

series No. 05. Richardson, TX. Second printing 2002. 11. Lee, J., Rollins, J.B. and Spivey, J.P. “Pressure Transient Testing”. SPE

Textbook Vol. 9. Richardson, TX, 2003. 12. Mathews, C.S. and Russell, D.G. “Pressure Buildup and Flow Tests in Wells”.

SPE Monograph Vol. 1. 1967. 13. Rhagavan, R. “Well Test Analysis”. Prentice Hall. New Jersey. 1993 14. Sabet, M. “Well Testing”. Gulf Publishing Co. 1991. 15. Slider, H.C. “Slider”. “Wordlwide Practical Petroleum Reservoir Engineering

Methods”. Impresión Revisada. PennWell Publishing Co. Tulsa, Oklahoma, EE.UU., 1983.

16. Stanislav, J.F. y Kabir, C.S. “Pressure Transient Analysis”. Prentice Hall. New Jersey, 1990.

17. Strelsova, T. D. “Well Testing in Heterogeneous Formations”. New York. John Wiley and Sons, 1988. P. 377.

18. Tiab, D. and Kumar, A. “Application of PD’ Function to Interference Analysis”. JPT Aug. 1980, P. 1465-1470; Paper SPE presented at the 51st Annual Fall Technical Conference and Exhibition of the Society of Petroleum Engineers of AIME, held in New Orleans, Oct. 3-6, 1976.

91

19. Tiab, D. and Kumar, A. “Detection and Location of Two Parallel Sealing Faults Around a Well”. JPT (Oct. 1980): 1701-1708.

20. Tracy G. W., Coats K. H., Kazemi H., Odeh A. S., Lebourg M., Prats M. y van Poollen H. K., “Pressure Analysis Methods”, SPE Reprint Series No. 9, Published by the Society of Petroleum Engineers of AIME, 1967.

92

2. PRUEBAS DE DECLINACIÓN DE PRESIÓN

Estas pruebas se efectuan con el fin de obtener (a) permeabilidad promedia en el área de drene del pozo, (b) volumen poroso del yacimiento, y (c) determinar heterogeneidades (en el área de drene). En realidad, lo que se tiene es (i) transmisibilidad y (ii) volumen poroso por compresibilidad total. Para correr una prueba de declinación de presión, en general, se siguen los siguientes pasos: • Se cierra el pozo por un periodo de tiempo suficiente para alcanzar la

estabilización en todo el yacimiento (sino hay estabilización probablemente se requiera una prueba multitasa).

• Se baja la herramienta a un nivel inmediatamente encima de las perforaciones (mínimo la herramienta debe tener dos sensores para efectos de control de calidad de los datos).

• Abrir el pozo para producir a rata constante y registrar continuamente la Pwf. La duración de una prueba de declinación puede ser unas pocas horas o varios días, dependiendo de los objetivos de la prueba y las características de la formación. Pruebas de declinación extensas o pruebas límite (reservoir limit tests, RLT) se corren para delimitar el yacimiento o estimar el volumen de drene del pozo. Otros objetivos son: Hallar k, s, coeficiente de almacenamiento (wellbore storage, WBS), φ, forma del yacimiento y tamaño del yacimiento. Idealmente, el pozo se cierra hasta que alcance la presión estática del yacimiento antes de la prueba. Este requisito se consigue en yacimientos nuevos, pero a menudo es difícil o impráctico de lograr en yacimientos viejos o desarrollados. Este tipo de pruebas se analizan mediante pruebas multitasa. 2.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE) Es el flujo continuado de la formación hacia el pozo después de que el pozo ha sido cerrado para estabilización. Se le denomina también postflujo, postproducción, postinyección, carga o descarga. En pruebas de declinación ocurre descarga (unloading). El flujo ocurre por la expansión de fluidos en el pozo. En pruebas de restauración de presión ocurre postflujo (afterflow). La Fig. 2.1 ilustra lo anterior5. Las pruebas tradicionales de presión tuvieron que ser lo suficientemente largas para sobrellevar tanto los efectos de almacenamiento y daño de modo que se pudiera obtner una línea recta indicando el comportamiento del flujo radial. Incluso esta aproximación presenta desventajas ya que más de una línea aparente puede aparecer y los analistas tienen problemas decidiendo cual línea usar. Aunado a ello, la escala del

93

gráfico podría evidenciar ciertas respuestas de presión como rectas cuando en realidad son curvas. Para sobrellevar este problema los analistas desarrollaron el método de las curvas tipo. Existe flujo en la cara el pozo después del cierre en superficie. El almacenamiento afecta el comportamiento del transiente de presión a tiempos tempranos. Matemáticamente, el coeficiente de almacenamiento se define como el volumen total de los fluidos del pozo por unidad de cambio de presión de fondo, o como la capacidad del pozo para descargar o cargar fluidos por unidad de cambio de presión de fondo:

VCP

∆=

∆

q

t

flujo en la caradel pozo

Caudal encabeza

q

t

flujo en la caradel pozo

Caudal encabeza

RESTAURACION DECLINACION

Fig. 2.1. Efectos del almacenamiento en restauración y caída de presión5

q /

qsf

1

0

C1

C2

C3

tD

Fig. 2.2. Efecto del almacenamiento en la rata de flujo en la cara del pozo, C3>C2>C15

94

El almacenamiento causa que la rata de flujo en la cara del pozo cambie más despacio que la rata de flujo en superficie. La Fig. 2.2 esquematiza la relación qsf/q cuando se cambia la rata en superficie de 0 a q, cuando C = 0, qsf/q = 1, mientras que para C > 0 la relación qsf/q cambia gradualmente de 0 a 1. Entre mayor es el valor de C, mayor será la transición. A medida que los efectos de almacenamiento se vuelven menos severos, la formación empieza a influenciar más y más la presión de fondo hasta que se desarrolla completamente el comportamiento infinito, ver Fig. 2.10. Los datos de presión que se encuentran influenciados por almacenamiento pueden usarse para estimar las propiedades del yacimiento, sin embargo, este análisis es tedioso, a no ser que se utilice la técnica denominada Tiab’s Direct Síntesis Technique que se presentará más adelante en esta unidad. Normalmente, q es controlada en superficie (a menos que haya cierre en fondo), los fluidos en el pozo no permiten una inmediata transmisión de la perturbación desde el subsuelo a la superficie, lo que acarrea una desigualdad de caudales en superficie y en la cara del pozo5,17,18,20-23,27. El almacenamiento puede cambiar durante una prueba de presión tanto en pozos inyectores como productores. Varias circustancias causan cambios en el almacenamiento, tales como redistribución de fases e incremento o decremento del almacenamiento asociado con pruebas de presión en pozos inyectores. En pozos inyectores, una vez se cierra el pozo, la presión en superficie es alta pero podría decrecer a la presión atmosférica e ir al vacío si la presión estática es inferior a la presión hidrostática. Esto causa incremento del almacenamiento (hasta 100 veces) de un sistema incompresible a uno de un sistema donde el nivel de líquido cae. Ver Fig. 2.3. El comportamiento de la presión y la derivada se muestran en las Figs. 2.3 y 2.4. La situación inversa ocurre en pozos inyectores con un alto nivel de aumento del nivel de almacenamiento en el líquido y en productores con alto GOR o por redisolución del gas libre. La Fig. 2.5 muestra un pozo produciendo bajo bombeo con empaque. Mientras se bombea el nivel del pozo se mantiene por debajo del empaque, pero se incrementa cuando se cierra el pozo debido a que el gas en el pozo se redisuelve o se comprime. Cuando el nivel de líquido alcanza el empaque (existirá una pequeña cantidad de gas), el almacenamiento caerá de un valor relativamente alto para aquel de un nivel de líquido incremental a un valor relativamente pequeño para la situación de compresión controlada. Puede verse en las Figs. 2.6 a 2.8 anteriores que tanto para aumento o decremento del almacenamiento, el segundo coeficiente de almacenamiento determina el comienzo de la línea recta semilogarítmica. Ver los comportamientos de presión en las Figs. 2.7 a 2.9. Si existe gas por encima del nivel de líquido, su compresibilidad debe considerarse para estimar el almacenamiento. Para estos casos es mejor utilizar la ecuación de la definición. Cuando la relación entre ∆V y ∆P no cambia durante la prueba, el coeficiente de almacenamiento es constante y puede estimarse de datos de completamiento. Para un nivel de fluido variable5,20-23:

C Vu=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

144ρ , donde:

95

wb wbC C V= 144uC V

ρ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

JUSTO DESPUESDEL CIERRE, P > 0

MUCHO DESPUESDEL CIERRE, P < 0

Fig. 2.3. Incremento del almacenamiento para un pozo inyector cerrado5

0.01

0.1

1

10

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

P D

y t

D*P

D'

tD

Ci = 0.01 bbl/psiCi = 0.05 bbl/psis = 0

Fig. 2.4. Presión y derivada de presión para un pozo con incremento del almacenamiento

96

0

2

4

6

8

10

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

P D

tD

Ci = 0.01 bbl/psiCi = 0.05 bbl/psis = 0

Fig. 2.5. Gráfico semilo para un pozo con almacenamiento incremental

JUSTO DESPUESDEL CIERRE, P > 0

MUCHO DESPUESDEL CIERRE, P < 0

wb wbC C V=144uC V

ρ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Fig. 2.6. Decremento del coeficiente de almacenamiento para un pozo bajo bombeo

con empaque5

97

0.1

1

10

100

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

P D

y t

D*P

D'

tD

Ci = 0.08 bbl/psiCi = 0.032 bbl/psi

Fig. 2.7. Presión y derivada de presión para un pozo con decremento del almacenamiento

0

4

8

12

16

20

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

P D

tD


Fig. 2.8. Gráfico semilog para un pozo con almacenamiento decremental

98

0.1

1

10

100

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

P D

y t

D*P

D'

tD


Fig. 2.9. Gráfico semilog para un pozo con almacenamiento decremental más acentuado

Vu volumen del wellbore/unidad de longitud, bbl/pie ρ densidad del fluido en el wellbore, lbm/pie3 C Coeficiente de almacenamiento, bbl/psi Para pozos inyectores o pozos completamente llenos de fluidos:

wb wbC C V= Cwb Compresibilidad del fluido en el wellbore = 1/Pwb Vwb Volumen total del pozo El volumen del wellbore/unidad de longitud se puede estimar con los diámetros internos del revestimiento y externos de la tubería de producción,

2 20.0009714( )u csg tbgV ID OD= −

2.2. CAUDALES DE FLUJO EN LA CARA DEL POZO VS. SUPERFICIE Al abrir el pozo, ver Fig. 2.9, la producción de petróleo será dada por el fluido que está almacenado en éste (pozo), qsf = 0. A medida que transcurre el tiempo, qsf tiende a q y el almacenamiento se desprecia y la cantidad de líquido en el pozo será constante. La acumulación líquida será (asumiendo B constante)17,21:

99

Awb

qsf Pw

Z

qPt

Oil

Fig. 2.10. Representación esquemática del almacenamiento17

v A Zwb wb= ( ) , la rata de flujo es entonces dv

dtA dZ

dtwb

wb=

24( )

5.615wb

sf wbdv dZq q B Adt dt

= − = (2.1)

qsf y q están dados en STB/D. Puesto que Pw – Pt = ρZ/144 (asumiendo g/gc = 1). Siendo ρ la densidad del fluido en lbm/pie3 y Pt es la presión en superficie. Derivando;

( )144w t

d dZP Pdt dt

ρ− = (2.2)

Combinando las Ecs. 2.1 y 2.2, resulta:

( )24(144)( )

5.615wb w t

sfA d P Pq q B

dtρ−

− =

Defina CAwb=

1445 615. ρ

(2.3)

100

Asumiendo Pt constante, reemplazando C y despejando qsf:

24 wsf

dPCq qB dt

= + (2.4)

141.2

w i Dq BP P P

khµ

= − (2.5)

2

0002637.0

wtD rc

kttµφ

= , de donde k

trct Dwt

0002637.0

2µφ= (2.6)

La derivada de la Ec. 2.6 es:

Dwt dt

krcdt

0002637.0

2µφ= (2.7)

Derivando Pw, Ec. 2.5, con respecto a t:

141.2w DdP dPq Bdt kh dt

µ= − (2.8)

Reemplazando dt de la Ec. 2.7 en la Ec. 2.8:

2

141.2/(0.0002637 )

w D

t w D

dP dPq Bdt kh c r k dt

µφ µ

= −

2

0.0373w D

t w D

dP dPqBdt h c r dtφ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.9)

Combinando las Ecs. (2.4) y (2.9)

2

0.894 wDsf

t w D

dPqCq qc hr dtφ

= − , y definiendo 2

894.0

wtD hrc

CCφ

= (2.10)

wD

sf DD

dPq q C qdt

= − (2.11)

1sf wDD

D

q dPCq dt

= − (2.12)

101

Si CD = 0 entonces, qsf = q. Las principales ventajas de usar cierre en fondo de pozo es la minimización de los efectos de almacenamiento y duración del postflujo. Cuando la válvula de cierre en fondo se acciona, el flujo hacia arriba dentro del pozo se interrumpe. Entretanto el flujo continúa entrando a la cámara a una tasa que declina exponencialmente. Si qwb representa la tasa al cual el pozo descarga fluidos, entonces21:

wfwb

dPCqB dt

= −

La tasa en superficie es la suma de la tasa en el pozo, qwb, y la tasa en la cara de la formación, qsf, luego:

sf wbq q q= + , donde:

0.00708

w

sfr

kh Pq rB r

∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟µ ∂⎝ ⎠ y sabiendo que 2

0.894D

t w

CChc r

=φ

Reemplazado estas expresiones en la ecuación de caudales:

1

1wD DD D

D D rD

dP PC rdt r

=

⎛ ⎞∂− =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

La condición de frontera que incorpora la región de daño es:

( ) ( )1

1,D

DwD D D D D

D r

PP t P t s rr

=

⎛ ⎞∂= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Si se expresa el problema de valor de frontera (boundary value problem) en forma adimensional, se debe adicionar el siguiente sistema21:

( )

2

2

1 ,

lim , 0, 0D

D D D

D D D D

D D D Dr

P P Pr r r t

P r t t→∞

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

= >

( ) ( ),0 0 0D D wDP r P= =

Cuya distribución de presión está dada por (espacio laplaciano):

102

( ) ( ) ( )0 0,D D D DP r u AK ur BI ur= +

Las constantes A y B se determinan usando las condicones de frontera dadas anteriormente, Luego:

( ) ( )( ) ( ) ( ){ }

0 1

1 0 1

D

D

K u s uK uP

uK u C u K u s uK u

+=

⎡ ⎤µ + +⎣ ⎦

Aplicando el teorema de la inversión de la transformada de Laplace se tiene:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

2 2 230 0 1 0 1

1 exp4 DD

D D

x tP dv

x vC J x f x J x xC Y x f x Y x

∞ − −=

π − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

Siendo J0 y J1 las funciones Bessel de la primera clase y orden cero y uno, respectivamente y Y0 y Y1 las funciones Bessel de la segunda clase y orden cero y uno, respectivamente. En algunas pruebas de presión donde hay almacenamiento variable, éste puede estimarse midiendo el caudal en la cara de la formación, qsf, con un spinner o medidor de flujo de hélice. De modo que21:

( )1( )24 /

sf

w

q q BC t

dP dt−

=

Para pruebas de restauración, puesto que el caudal en superficie se hace cero, q = 0:

1( )24 /

sf

w

q BC t

dP dt∆ =

La bondad de éstas ecuaciones depende de la calidad con que se calcule la derivada. 2.3. PROPIEDADES DE LAS CURVAS TIPO DE RAMEY De acuerdo con la Fig. 2.10 se observa que a tiempos iniciales qsf = 0. Luego, qsf/q = 0, por tanto la Ec. 2.12 se convierte en5,21:

1 0wDD

D

dPCdt

− = (2.13)

103

Separando variables 0 0

wD DP t

D wD DC dP dt=∫ ∫ e integrando:

D wD DC P t= (2.14) Tomando logaritmo a ambos lados log log logwD D DP t C= − Claramente se observa que la pendiente es uno. Luego en cualquier oportunidad que se grafique PD vs. tD y al comienzo da una recta con pendiente unitaria, lo que es una buena indicación que existe almacenamiento. De la Ec. 2.14;

/D D DC t P= . Si se sustituyen los valores de CD, tD y PD, se obtendrá:

24qB tC

P=

∆ (2.15)

Esta última ecuación sirve para determinar C a partir de datos de P vs. t reales en una prueba de declinación de presión. Al graficar, se toma un punto cualquiera sobre la recta de pendiente 1 y se calcula C mediante:

24 ( )N

i wf N

tqBCP P

=−

(2.16)

C obtenido por la Ecs. 2.15 ó 2.16 debe coincidir con el valor obtenido de C = 144Vu/ρ. En caso contrario, podría haber una indicación de que el líquido está cayéndose o elevándose. Las razones más comúnmente atribuidas son alta relación gas-petróleo en el pozo, pozos altamente estimulados, empaques con escapes o espacios en las conexiones con el pozo (causados por colapso de la formación o mala cementación) y pozos usados para inyección de fluidos viscosos. En conclusión, las propiedades de las curvas tipo de Ramey permiten identificar (a) una pendiente unitaria que indica el almacenamiento, y (b) el desvanecimiento de los efectos de almacenamiento. Se puede observar también que cada curva se desvía de la pendiente unitaria y forma un periodo de transición que dura aproximadamente 1.5 ciclos. Si cada ½ ciclo es igual a 10 = 3.1622, quiere decir que tres medios ciclos (3.16223=31.62) representan aproximadamente un valor de 30. Es decir que una línea que se desvía a los 2 min requiere de una hora para formar el estado transitorio. En otras palabras la prueba está contaminada durante 1 hr por almacenamiento21,22. Se observa además que un grupo de curvas que presentan daño se mezclan aproximadamente a un tiempo adimensional, tD = 60 CD + 3.5s, tiempo después del cual la prueba está libre de efectos de almacenamiento21,22.

104

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

P D

t D

∆t, hr

∆P,

psi

Fig. 2.11. Ajustando datos de presión a la curva tipo 2.3.1. Ajuste por Curvas Tipo de Ramey, Procedimiento Al igual que Tiab´s Direct Synthesis Technique8-15,26-28, que se verá más adelante en esta unidad, el ajuste por curvas tipo es el único procedimiento que puede aplicarse en pruebas cortas donde no se ha desarrollado el flujo radial (línea semilog). Sin embargo, el ajuste por curvas tipo es riesgoso por ser una técnica basada en ensayo y error, pero puede proporcionar resultados aproximados incluso cuando los métodos convencionales fallan. Un error en un milímetro puede causar diferencias de presión de hasta 200 psi. El procedimiento es el siguiente5: 1) Grafique ∆P vs. t (field data plot, fdp) en papel logarítmico usando la misma

escala de la curva maestra dada en la Fig. 2.10. 2) Coloque el fdp sobre la curva maestra de modo que los ejes sean paralelos. 3) Obtenga el mejor ajuste con una de las curvas de la curva tipo. Ver Fig. 2.12. 4) Escoja un punto de ajuste conveniente y lea las coordenadas correspondientes

∆PM, tM, PDM, tDM, y CDM. 5) Calcule k

141.2 DM

M

Pq Bkh Pµ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟∆⎝ ⎠ (2.17)

6) Estime la porosidad

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

DM

M

wt tt

rck

2

0002637.0µ

φ (2.18)

105

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

CD=0

CD=100

CD=1000CD=10000 CD=100000

s 2010 5 0 -5

PD

tD

Fig. 2.12. Presión adimensional para un pozo en un yacimiento infinito (almacenamiento y daño)5

106

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

CD e2s

10101010101010101010101010101010

30

25

20

1614

12

10

9

8

7

6

5

4

3

2

,/

kh t md ft hrC cp bbl psiµ∆ −

24p Ct qB

∆∆

Fig. 2.13. Curva tipo para pozo en yacimiento infinito con almacenamiento y daño5

107

7) Estime el almacenamiento

DMwt C

rhcC

8936.0

2φ= (2.19)

2.3.2. Método de Earlougher 1) Grafique ∆P/t vs. t y ajuste con la Fig. 2.13. Escoja cualquier punto conveniente y lea5:

2 24( ) , , , ,sD M M

MMM

P C kh t PC e tt qB c tµ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ∆⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ (2.20)

2) Calcule C

24 /24 MM

qB P C PCt qB t

⎛ ⎞∆ ∆⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(2.21)

Si el ajuste fue erróneo debe repetir el proceso.

3) Calcule k

k

Ch

kh tc

tM

M

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

µµ

(2.22)

4) calcule s

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= M

sD

wt eCC

rhcs )(89359.0

ln21 2

2µφ (2.23)

Ejercicio: Resuelva el problema propuesto anteriormente por el método de Ramey. Respuestas s = 20, CD = 103. 2.3.3. Método Semilog 1) Comportamiento de un pozo único en un yacimiento infinito. En el pozo rD = 1,

luego5,15-24,29:

PtrD

D

D

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

12

0 809072ln . (2.24)

108

Incluyendo factor de daño, resulta:

( )141.2

i wfD

kh P PP s

q Bµ−

+ = (2.25)

En la cara del pozo rD = 1, luego:

( )1 ln 0.80907 22D DP t s= + +⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.26)

Reemplazando la Ec. 2.24 en la Ec. 2.25:

2

( ) 1 0.0002637ln 0.80907 2141.2 2

i wf

t w

kh P P kt sq B c rµ φ µ

⎡ ⎤− ⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.27)

Como el papel semilog no esta en escala de logaritmo natural, se debe pasar a escala de log en base 10. Por lo tanto dividiendo todo por el ln 10 se tiene:

2

( ) 0.0002637ln 0.80907 2 / ln(10)70.6 ln(10)

i wf

t w


⎡ ⎤− ⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Lo cual se reduce a:

2

( )log(0.0002637) log 0.80907 / ln(10) 2 / ln(10)

162.6i wf

t w


⎡ ⎤− ⎛ ⎞= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2

( )3.5789 log 0.3514 0.8686

162.6i wf

t w

kh P P kt sq B c rµ φµ

⎡ ⎤− ⎛ ⎞= − + + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.28)

De donde;

2

162.6 log 3.2275 0.8686wf it w

q B ktP P skh c r

µφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.29)

109

s<0

Pwf cae menos

Pwf

s>0

m

log t

Barrera de no flujo

2m

Barrera de flujo

Mayor caida de presion

Fig. 2.14. Comportamiento de la presión observada en un gráfico semilog El comportamiento de la ecuación 2.29 se describe en la parte central de la Fig. 2.14. Las otras dos regiones están afectadas por almacenamiento y daño y efectos de frontera. De la pendiente;

162.6 q Bkhm

µ= (2.30)

El tiempo de arranque de la línea recta es (verifica donde arranca m y donde WBS ha terminado) puede estimarse de5,22: t s CD D≅ +( . )60 35 , en unidades de campo es:

khCs

khCstSSL

µµ )11890203316()5.360(6.3388 +=

+=

khCstSSL

µ)12000200000( += (2.31)

Ya sea que los datos sean registrados en superficie con tiempo real o en fondo, los datos deben validarse en el sitio del pozo. La validación asegura que los datos adquiridos son adecuados para satisfacer los objetivos de la prueba. Cuando se leen datos en superficie en tiempo real, la validación en el sitio del pozo revela el momento en que se han registrados suficientes puntos para la prueba de modo que ésta deba terminarse y se optimice el tiempo del equipo. Examinar el tSSL y los datos de presión adquiridos de presión y su derivada vs. tiempo en un gráfico log-log es el

110

enfoque de la validación en el sitio del pozo. Sin embargo, la estimación del tSSL puede requerir ensayo y error por lo que se prefiere usar la derivada para determinar con mejor exactitud y practicidad dicho tiempo. Este valor puede identificarse con el comienzo del flujo radial en el gráfico de la derivada8. Con base en el tSSL es que se diseña la prueba; el tiempo de diseño de prueba es T = 10tSSL. El tiempo de estabilización de la declinación (tiempo requerido para alcanzar las fronteras de no flujo) durante la prueba se puede determinarse como sigue (para un pozo en el centro de la mayoría de sistemas simétricos, tDA = 0.1 de la tabla 2.1)5:

Acktt

tDA µφ

0002637.0= (2.32)

Ackt

tµφ0002637.01.0 =

( )k

Act ts

43560380 φµ=

Lee17 proporcionó la solución de la ecuación de flujo para la condición de inyección instantánea:

2948 tc rkt

iconstP P e

t

φµ−

= +

Derivando la función de presión con respecto a t:

2 2948 948 2948ln lnt tc r c r

tkt kt c rdP constconst t e e tdt t k

φµ φµ φµ− −= −

Factorizando:

2948 29481ln 1tc r

tkt c rdP const t edt t k

φµ φµ− ⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦

294810 1 tc rdP

dt t kφµ⎡ ⎤

= = −⎢ ⎥⎣ ⎦

Para un sistema radial5,21,22 el tiempo máximo es determinado fijando la derivada a cero y despejando el tmax.

111

Tabla 2.1. Factores de forma para varias áreas de drenaje de pozos sencillos5

CA

31.62

31.6

27.6

27.1

21.9

30.8828

12.9851

4.5132

3.3351

21.8369

10.8374

4.5141

2.0769

3.1573

0.1

0.1

0.2

0.2

0.4

0.1

0.7

0.6

0.7

0.3

0.4

1.5

1.7

0.4

0.06

0.06

0.07

0.07

0.12

0.05

0.25

0.30

0.25

0.15

0.15

0.50

0.5

0.15

Menos de1 % errorpara tDA >

0.1

0.1

0.09

0.09

0.08

0.09

0.03

0.025

0.01

0.025

0.025

0.06

0.02

0.005

Use solución de sistema infinito con menos de1 % error for tDA >

1

1

0.098 0.9 0.6 0.015

ExactoPara tDA >

60°

1

1/3

43

1

1

1

1

1

1

1

1

Yacimientosfinitos

112

Tabla 2.1. Factores de forma para varias áreas de drenaje de pozos sencillos – Cont.

CA

0.5813

0.1109

5.379

2.6896

0.2318

2.3606

2.6541

2.0348

1.9986

1.662

1.3127

0.7887

19.1

25.0

2.0

3.0

0.8

0.8

4.0

1.0

0.175

0.175

0.175

0.175

0.175

0.175

--

--

0.6

0.6

0.3

0.3

2.0

0.4

0.08

0.09

0.09

0.09

0.09

0.09

--

--

Menos de1 % errorpara tDA >

0.02

0.005

0.01

0.01

0.03

0.025

Cannot use

Cannot use

Cannot use

Cannot use

Cannot use

Cannot use

--

--

Use solución de sistema infinito con menos de1 % error for tDA >

1

2

1

2

1

4

1

4

1

4

1

5Vertical-Fracturedreservoirs

1

1

xf/xe=0.1

1

1

xf/xe=0.2

1

1

xf/xe=0.3

1

1

xf/xe=0.5

1

1

xf/xe=0.7

1

1

xf/xe=1.0

Water-Drive reservoirs

Unknown Drive mechanism

0.1155 4.0 2.0 0.011

4

Use (Xe/Xf) in place of A/rwfor fractured reservoirs

2 2

Exactopara tDA >

113

krct t

2

max948 µφ

= (2.34)

el radio de drenaje (para un sistema radial)

t

sd c

tkrφµ

029.0= (2.35)

y para cualquier tiempo de producción, tp, el radio de investigación está dado por:

t

pinv c

tkr

φµ0325.0= (2.36)

El tiempo al cual el periodo de estado pseudoestable (presión se convierte en función lineal del tiempo) tiene lugar está dado por:

krct et

pss

2948 µφ= (2.37)

Para cualquier tiempo de producción, tp, la Ec. 2.37, se puede expresar como:

krct einvt

p

2948 µφ= (2.38)

La Ec. 2.37 es apropiada para geometrías cuadradas. Sin embargo, para sistemas circulares, la Ec. 2.38 puede proporcionar buenos resultados ya que ésta toma un poco más de tiempo para alcanzar la frontera. Para estos casos, la relación apropiada es:

krct et

pss

21190 µφ= (2.39)

La caída de presión dimensional es dada por la Ec. 1.27.a. De la Ec. 1.43, la contribución a la caída de presión ocasionada por el daño se debe al último término, llámese 0.8686s multiplicado por -162qµB/kh. Luego:

0.87( )sP m s∆ = −

0.87( ) 1 ln ss

s w

rkP mk r

⎧ ⎫∆ = − −⎨ ⎬

⎩ ⎭

114

s normalmente es mayor -5, rara vez es -10 (múltiples fracturas). Para analizar el comportamiento de un pozo en sistemas multifásicos, se emplean pseudofunciones bifásicas y/o trifásicas. La exactitud de la siguiente expresión es sensible a los datos de permeabilidad relativa:

0

( )P

ro

o oP

km P dPBµ

= ∫

En sistemas multifásicos, una buena aproximación es asumir que la transmisibilidad es una función lineal de la presión:

ro

o o

k aPB

=µ

Siendo a una constante de proporcionalidad. La expresión logarítmica, cuya deducción detallada se dará más adelante, es:

2 22

352.2 log 3.23 0.869owf i

t wt

q k tP P sah c rµ φ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

A continuación se describe un procedimiento superior al método de Perrine para analizar una prueba multifásica, no sin antes considerar las siguiente sugerencias16: a) Use la presión inicial para crudos altamente volátiles y pruebas de declinación o en crudos de baja volatilidad y bajas caídas de presión, b) Use presión promedia para crudos altamente volátiles y pruebas de restauración y pruebas de restauración siguiendo bajas caídas de presión bajo las condiciones de baja volatilidad, c) Use la presión de fondo fluyente a 0.1 hr para altas caídas de presión y crudos de baja volatilidad, y d) Use presiones de restauración a 10 hrs para pruebas de restauración siguiendo altas caídas de presión en caso de crudos de baja volatilidad. a) Grafique P2 vs. Log t y estime la pendiente semilog, m, la cual se define por:

352.2 oqmah

=

b) evalúe la pendiente empírica a de acuerdo con las condiciones expresadas anteriormente de acuerdo con el tipo de prueba y con la volatilidad. Por ejemplo, si la se requiere usar la presión inicial:

115

1ro

o o ii

kaB P

⎛ ⎞= ⎜ ⎟µ⎝ ⎠

c) Determine la permeabilidad efectiva del crudo combinando las ecuaciones de los pasos a y b. Si asumimos que la presión inicial es la condición apropiada, entonces:

352.2 ( )o i o oo

q P Bkmh

µ=

d) Determine la permeabilidad efectiva al gas y al agua de:

( ) g gg p s o

o o

Bk R R k

Bµµ

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

w ww o

o o

Bk WOR kB

µµ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

e) Determine el daño para pruebas de declinación y restauración, respectivamente, de:

2 21

2

11.1513 log 3.23hr i

t wt

P P ksm c rµ φ

⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2

1 ( 0)2

11.1513 log 3.23hr wf t

t wt

P P ksm c rµ φ

∆ =⎡ ⎤− ⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

a) Radio Efectivo o Aparente del Pozo.

sww err −=' , donde;

121.1513 log 3.23hr i

t w

P P ksm c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.40)

b) Factor de Eficiencia de Flujo, FE

ideal

real

JJFE =

116

Si FE < 1 existe daño, de lo contrario hay estimulación. Los índices de productividad, J, se estiman mediante:

idealwf s

qJP P P

=− −∆

y realwf

qJP P

=−

Para maximizar el índice de productividad: • Incrementar la permebilidad en la zona aledaña al pozo - Fracturamiento • Reducir la viscosidad – Inyección de vapor • Remosión del daño - Acidificación • Incrementar la penetración del pozo • Reducir el factor volumétrico de formación – Escogiendo separadores correctos en

superficie

1 s

wf

PFEP P

∆= −

− (2.41)

P presión promedia del área de drene o presión inicial en yacimientos nuevos. c) Relación de Daño, DR, DR=1/FE d) Factor de Daño, DF. DF = 1 - FE

( )1ln( / ) ( )

d

e w

q realsDFs r r q ideal

= = −+

Si DF > 0, el pozo está dañado, de lo contrario el pozo está estimulado o mejorado. e) Relación de productividad, PR

ln( / )ln( / )

e w

d e w

r rqPRq r r s

= =+

f) Pérdida Anual de Ingresos/año, US$ FD L q OP DF$ ( )= 365 siendo OP, el precio del petróleo. Ejemplo, Cuál será la pérdida anual de un pozo que produce 500 BFD, el cual tiene un factor de daño de 8, drena un área de 120 acres y tiene un radio de 6 pulg. Asuma que el precio del crudo es US$ 55/barril. 120 acres = 5227200 pie². Asumiendo área circular r = 1290 pies.

117

8 0.5054

ln( / ) 8 ln(1290 / 0.5)e w

sDFs r r

= = =+ +

, luego:

FD L q OP DF$ ( )= 365 = (365)(500)(55)(0.5054) ≈ US$ 5’073.000 dólares. Lo que indica que el pozo requiere de una estimulación inmediata. 2.4. PRUEBA LÍMITE DE UN YACIMIENTO (RLT) Es una prueba larga de caída de presión. La prueba de caída de presión es usada para estimar condiciones artificiales (C y s), Fig. 2.14, mientras que la prueba RLT trata con las fronteras. En un gráfico cartesiano, Fig. 2.15, se distinguen tres zonas5: Región I: Flujo inestable. Se usa log-log para determinar C. teus es el fin del flujo inestable (aparece el pseudoestable).

krct et

eus 0002637.0

2µφ= (2.32)

El tiempo del inicio del estado pseudoestable es;

krct et

pss 00088.0

2µφ= (2.43)

Note que t teus pss= / π

P wf

log t log t

log

Pw

f

Pendiente

De la pendiente se obtienepermeabilidad y daño

De la linea de pendiente unitariase obtiene almacenamiento

Fig. 2.15. Características de los gráficos semilog y log-log

118

k

rct et

0002637.0

2µφ≈

krct et

00088.0

2µφ≈

P ,

ps

iw

f

Time, hrs

Region I Region II Region III

Fig. 2.165. Características encontradas en el gráfico cartesiano

El estado pseudoestable es gobernado por5,17:

P t Ar CD D

w A

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 1

22 2458

2π ln ln . (2.44)

El área está dada en pies² y CA es el factor de forma. La mayoría de las curvas están dadas para rA/rw = 2000. Región II: Flujo transitorio - radial. La ecuación gobernante es:

( )141.2D i wf

khP P P sq Bµ

= − − (2.45)

Región III: Flujo pseudoestable De la Ec. 2.44 y combinando con los parámetros adimensionales (tDA y PD), se tiene5:

2

0.23395 70.6 2.2458ln ln 2wf it w A

qB q B AP t P sc Ah kh r C

µφ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.46)

--- m* --- ------------------------- b --------------------- De la pendiente m*, se obtiene el volumen poroso:

Ahcqm

tφβ23395.0* −= (2.47)

119

0.23395*p

t

qBVc m

= − (2.48)

Del intercepto se obtiene el factor de forma:

2

70.6 2.2458ln ln 2INT iw A

q AP P skh r C

µ β ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.49)

Y el factor de forma es:

1 int2.3035.456

*

hrP Pm

AmC e

m

−

= (2.50)

Con CA vaya a la tabla 2.1 para determinar la geometría del yacimiento. a) De dicha tabla encuentre el valor de CA más cercano al valor obtenido con la Ec.

2.50 b) Calcule el tD al arranque del estado pseudoestable

( )t mm

tDA PSS pss= 01833. * (2.41)

c) Compare el valor (tDA)PSS con la columna “exacto para tDA > “ en la tabla 2.1. Si

(tDA)PSS es menor que el valor obtenido de esa columna entonces esa debe ser la forma que más se ajusta al sistema.

2.5. CONTROL DE CALIDAD Cuando se corre una prueba de presión es importante usar, como mínimo, dos herramientas de registro, ver Fig. 2.17, de modo que al comparar los datos registrados sea posible definir la calidad de la medición (control de calidad) al comparar los resultados de las diferentes trazas. Cuando las diferencias entre los datos de un registrador difieran más de lo esperado de otro(s) existe posibilidad de que haya un error de lectura a consecuencia de una herramienta mal calibrado o funcionando mal. 2.6. REGIMENES DE FLUJO Cuando se analiza una prueba de presión, el paso más importante es el de definir la geometría de flujo que existe en determinado periodo de tiempo, para la posterior aplicación de las ecuaciones o modelo de yacimiento adecuado. A continuación se describen los diferentes regimenes de flujo encontrados durante la interpretación de las pruebas de pozos y que se sintetizan en la Fig. 2.22.b.

120

regP P ghρ= −

regP P=

h

Registradorde presion # 1

Registradorde presion # 2

Fig. 2.17. Esquematización del control de calidad

No Flujo

No Flujo

No Flujo

No Flujo

VISTA DE PLAN PERFIL

Fig. 2.18. Representación del flujo lineal (yacimiento alargado)

3D PLANTA PERFIL

Fig. 2.19. Representación del flujo lineal (pozo fracturado hidráulicamente)

121

PLANTA PERFIL

Fig. 2.20. Representación del flujo radial

VISTA DE PLAN PERFIL

Radio externo

No Flujo

No Flujo

Esférico

Radio externo

No Flujo

No Flujo

Hemisférico

Fig. 2.21. Representación del flujo esférico y hemisférico

El flujo radial es el régimen de flujo más importante en interpretación de pruebas de presión. Este se reconoce por una extensión constante o tren plano en la derivada. La geometría de flujo radial se describe como líneas de corriente que convergen hacia un cilindro circular. Ver Fig. 2.21. En pozos completados en todo el intervalo perforado, el cilindro puede representar la porción del pozo intersectando toda la formación. En formaciones parcialmente penetradas, el flujo radial podría estar restringido a tiempos tempranos a solo una sección del intervalo de la formación donde el flujo es dirigido hacia el pozo. Cuando el pozo está estimulado o en pozos horizontales, el radio efectivo para el flujo radial podría estar alargado (flujo pseudorradial). Los pozos

122

horizontales pueden exhibir flujo radial de tiempo temprano en el plano vertical normal al pozo. Si el pozo está localizado cerca de una barrera de no flujo (falla) la respuesta de presión puede exhibir flujo radial al pozo seguido por flujo radial al pozo más su imagen a través de la barrera. Cuando quiera que exista el flujo radial se puede estimar los valores de k y s. Cuando el flujo radial toma lugar a tiempos tardíos, se puede estimar la presión extrapolada del yacimiento en pruebas de restauración de presión5,21-23. El flujo esférico ocurre cuando las líneas de corriente convergen a un punto (Figs. 2.31 y 2.31). Este régimen ocurre en pozos que han sido parcialmente completados o formaciones parcialmente penetradas. Para el caso de completamiento parcial o penetración parcial cerca al tope o la base de la formación, la capa impermeable más cercana impone un flujo hemisférico. Tanto el flujo esférico como el hemisférico son vistos en la curva de la derivada como una pendiente negativa con valor de 0.5. Una vez determinada la permeabilidad del flujo radial, esta puede usarse con la permeabilidad horizontal para determinar la permeabilidad vertical. Esta última es importante para predecir conificación de gas o agua1,19. La geometría del flujo lineal consta de vectores de flujo paralelos, ver Fig. 2.19. El flujo lineal es identificado por una tendencia de pendiente positiva de valor 0.5 en el gráfico de la derivada. Este régimen se presenta en pozos hidráulicamente fracturados, pozos horizontales y yacimientos alongados. Puesto que las líneas de corriente convergen a un plano, los parámetros asociados con el flujo lineal son la permeabilidad de la formación en la dirección de las líneas de flujo y el área de flujo normal a las líneas de corriente. La permeabilidad horizontal determinada de otro régimen de flujo puede usarse para estimar el ancho del área de flujo. Esto proporciona la longitud media de la fractura en un pozo hidráulicamente fracturado, la longitud de producción efectiva de un pozo horizontal, y el ancho de un yacimiento alongado, al igual que la posición del pozo dentro del mismo. La combinación de los datos de flujo radial (o cualquier otro) puede proporcionar los valores principales de la permeabilidad en x o la permeabilidad vertical para estimar los valores de las permeabilidades direccionales de la capa. En una formación anisotrópica, la productividad de un pozo horizontal es más efectiva perforando el pozo en la dirección normal a la máxima permeabilidad horizontal5,21-23,27. El flujo birradial o flujo elíptico se presente en pozos horizontales6 o en pozos hidráulicamente fracturados27 exhibiendo una pendiente positiva de 0.36 (ó 0.35 según otros investigadores). Este se presenta en fracturas largas y pozos horizontales donde la geometría de las líneas de corriente son de naturaleza elíptica. Los pozos hidráulicamente fracturados con fracturas de baja conductividad pueden exhibir flujo bilineal adicional al flujo lineal. Este régimen ocurre por una caída de presión en la fractura misma que resulta en líneas de corriente paralelas en la fractura al mismo tiempo que existen líneas de flujo en la formación (normales a las de la fractura). El término bilineal se refiere a dos flujos lineales simultáneos que ocurren

123

direcciones normales. El tren de la derivada para este patrón de flujo muestra una pendiente positiva de un cuarto. Cuando se conocen la longitud media de la fractura yb la permeabilidad de la formación, la conductividad de la fractura puede determinarse del flujo bilineal. El régimen de flujo compresión/expansión toma lugar cuando el volumen que contiene la perturbación de presión no cambia con el tiempo y la presión en todos los puntos dentro del volumen invariable varía en la misma forma. Este volumen puede limitarse por una porción o todo el pozo, una zona compuesta limitada, o un volumen de drene cerrado. Si el pozo es el factor limitante, el régimen de flujo es llamado almacenamiento (wellbore storage); si el factor limitante es el volumen total de drene, este comportamiento se conoce como estado pseudoestable. La derivada de la compresión/expansión aparece como una pendiente unitaria. Una o más pendientes unitarias precediendo al flujo radial pueden representar efectos de almacenamiento. La transición del periodo de almacenamiento a otro régimen de flujo usualmente aparece como una joroba, lomo o pico (Fig. 2.27). El régimen de flujo de almacenamiento representa una respuesta que es efectivamente limitada al volumen del pozo. Por lo tanto proporciona muy poca información acerca del yacimiento. Más aún, este puede enmascarar repuestas importantes a tiempos tempranos que sirven para caracterizar aspectos cercanos al pozo incluyendo penetración parcial o radio de daño finito. Este régimen de flujo es minimizado (nunca eliminado) cerrando el pozo cerca al intervalo productor. El lector debe ser consciente que en formaciones de considerable espesor o en fracturas hidráulicas el almacenamiento puede prevalecer. Cerrar el pozo en fondo puede reducir la porción de datos dominada por almacenamiento en dos o más ciclos logarítmicos. En algunos pozos probados sin cierre en fondo, los efectos de almacenamiento pueden durar varios días. Después del flujo radial, puede ocurrir una pendiente unitaria que no corresponde al comportamiento final observado y que podría resultar de la producción de una zona dentro de otras zonas (o múltiples zonas en una sola). Este comportamiento es acompañado por flujo cruzado en el pozo y ocurre cuando las zonas compuestas se han repletado diferentemente. Si ocurre pendiente unitaria al final de la prueba, se asume que existen condiciones de estado pseudoestable para todo el volumen del área de drene y solo se observa en pruebas de declinación de presión. El volumen del yacimiento puede estimarse de ests régimen de flujo5,20-24. La apropiada identificación de los regimens de flujo, lo cual aparece como un patron característico exhibido por la derivada de presión, es importante porque un régimen de flujo es la geometría de las líneas de corriente de flujo en la formación probada. Para cada régimen de flujo identificado un conjunto de propiedades del yacimiento pueden calcularse usando solo una porción del los datos del transiente de presión que exhibe el comportamiento del patrón carácterístico. El flujo parabólico, el cual se introduce en este texto y es presentado por primera vez por Escobar y colaboradores6 se produce unicamente en yacimientos elongados cuando el pozo está cerca de una barrera de flujo, la cual actúa como presión

124

constante por un lado y por el otro lado continúa el flujo lineal. Sin embargo, la combinación simulatánea del estado estable con el flujo lineal origina una nueva geometría de flujo en forma de parábola. Ver Fig. 2.21.a.

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50004800

5000

5200 Incremento de Presión

Fig. 2.22.a. Geometría del flujo parabólico6

Radial (m=0)

Almac

enam

iento

(m=1

)

Lineal (m=0.5)

Bi-radial/elíptico (m=0.36) Lineal

Bilineal (m=0.25)

Esférico/hemisférico (m= -0.5) Radial (m=0)

Pseud

oesta

ble (m

=1)

Lineal

Dual-Lineal Parabólico (m= -0.5)Estado estable

Estado estable

Una frontera abierta (m=1)

Pseud

oesta

ble

(m=1

)

Estado estable

Fig. 2.22.b. Herramienta de identificación de regímes de flujo

Los 10 patrones de régimen de flujo comúnmente observado en una prueba de presión son radial, esférica, hemisférica, lineal, bilineal, parabólica, compresión/expansión, estado estable, doble porosidad o permeabilidad, y pendiente doblada. La Fig. 2.21.b contiene una plantilla que sirve de identificación de regímenes de flujo (originalmente considera solo 8 patrones). Esta se usa para diferenciar los tipos de regímenes de flujo en gráficos log-log para su aplicación en la determinación y entendimiento las condiciones en subsuelo y en el yacimiento. Las ecuaciones de difusividad para flujo lineal y esférico/hemisférico son, respectivamente1:

2

2t

P k Pt c xφµ

∂ ∂=

∂ ∂ (2.52)

125

2

1

t

P k Prt c r r rφµ

∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (2.53)

2.7. POZOS HORIZONTALES Un número de diferentes regimenes de flujo pueden ser encontrados mientras se analizan las respuestas del transiente de presión en pozos horizontales12,13. Uno o más de esos regimenes de flujo podrían estar ausentes o enmascarados dependiendo de los parámetros del yacimiento. Los parámetros que juegan un papel importante en el comportamiento transitorio de la presión en un pozo horizontal son: la relación de permeabilidad vertical a horizontal, la posición relativa de la cara del pozo en el estrato y la longitud de la cara del pozo horizontal comparada con el espesor de la formación. Esencialmente, han sido identificados cuatro regimenes de flujo principales que son teóricamente posibles de encontrar durante una prueba de declinación o restauración de presión en un pozo horizontal. Cuando se inicia la producción, la presión transiente se moverá perpendicular a la cara del pozo como se ilustró en la Fig. 2.21.c, entonces se forma el flujo radial. El mismo comportamiento es observado en un pozo vertical produciendo en un ambiente de acción infinita. Este régimen de flujo ha sido reconocido como flujo radial a tiempo temprano y su duración es muy corta en estratos delgados o cuando existe permeabilidad vertical alta10,13,14.

Fig. 2.22.c. Flujo radial a tiempos tempranos12

Cuando el pozo está cerrado a una frontera de no flujo y este es afectado por la perturbación de la presión, un flujo hemicilíndrico se forma como lo muestra la Fig. 2.23. Frecuentemente, la longitud del pozo horizontal es mucho mayor que el espesor del yacimiento, lo cual contribuye a la formación del segundo régimen de flujo principal. Este es conocido como régimen de flujo lineal y se desarrolla cuando la perturbación de la presión alcanza las fronteras superiores e inferiores del yacimiento. Ver Fig. 2.24. La duración efectiva de este flujo está relacionada con el inicio de los efectos finales. Este régimen de flujo está ausente cuando la longitud horizontal de la cara del pozo es corta comparada con la formación. En cambio, una zona de transición longitudinal se desarrollará antes del siguiente periodo de flujo identificable.

126

Fig. 2.23. Flujo Hemicilíndrico12

Fig. 2.24. Flujo Lineal12

En ausencia de una fuente de presión constante y no fronteras al flujo horizontal sobre una distancia razonable, el flujo hacia la cara del pozo horizontal se vuelve efectivamente radial después de un largo tiempo, con el plano horizontal actuando algo así como un punto fuente, Ver Fig. 2.24. Este régimen de flujo, llamado radial a tiempos últimos, puede no ser observado si otras fronteras externas están afectando el primero o no será observado cuando el yacimiento tiene fronteras de presión constante.

Fig. 2.25. Flujo radial a tiempos tardíos12

Entre los periodos de flujo radial tempranos y últimos es posible encontrar un régimen de flujo lineal causado por la influencia del tope y base de las fronteras mientras la longitud horizontal del pozo es importante para el radio de investigación. En otras palabras, en un yacimiento semi-infinito, una vez que las fronteras paralelas han sido alcanzadas, un régimen de flujo lineal se desarrollará. Siguiendo el flujo radial temprano, puede aparecer un periodo intermedio si el pozo se encuentra

127

cerrado a una de las fronteras superior o inferior; éste periodo es llamado régimen de flujo hemirradial, ver Fig. 2.25. Este régimen de flujo usualmente no se desarrollará si la posición del pozo relativa al espesor de la formación es 1 o cero, indicando que el pozo está muy cerrado a cualquiera de las fronteras superior o inferior. Un régimen que se podría estabilizar cuando un pozo horizontal esta en prueba de declinación de presión, pero este no se considera común, es el estado estable. Este solo se desarrollará cuando exista una fuente de presión constante tal como un acuífero o una capa de gas.

Fig. 2.26. Flujo hemirradial12

Resumiendo, existen cuatro principales regimenes de flujo distintos que teóricamente pueden desarrollarse cuando un pozo horizontal está siendo probado por declinación o restauración de presión; su identificación es crítica para la apropiada interpretación de una prueba de un pozo horizontal. EL flujo elíptico (pendiente 0.36 en la curva de la derivada) puede presentarse en pozos horizontales. En general, en orden cronológico de desarrollo, éstas son: • Flujo radial a tiempos tempranos • Flujo lineal a tiempos intermedios • Flujo radial a tiempos últimos • Flujo lineal a tiempos últimos(estado pseudoestable) 2.8. AJUSTE CURVAS DE LA DERIVADA - CURVAS DE BOURDET la curva tipo de la derivada se presenta en la Fig. 2.27. La aplicación es similar a las curvas de Ramey. Las ecuaciones gobernantes son2,8:

''141.2D

kh PPq Bµ

∆= (2.54)

tC

kh tC

D

D

= 0 000295.µ

(2.55)

128

Si se tiene un buen punto de ajuste de los datos con la curva tipo, se leen los siguientes parámetros de ambas gráficas:

, ( * ') , , ', ,D DM M DM DM M

D D M

t tP t P P P tC C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ∆ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k, s, y C se obtienen de:

1412

( * ')

DDM

D

M

tq Ph C

kt P

µ β ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

∆

( )141.2( )

D M

M

Pq Bkh P

µ=

∆

(0.000295 / )( / )

M

D D M

tC kht c

µ= , leyendo C eDs2

2

22 8936.0

wt

ss

D hrcCeeC

φ= , de donde M

sD

wts eChrcCe )(8936.0

22

2 φ=

Llamando todo el lado derecho como n, resulta Ce ns2 = , despejando s;

s nC

=12

ln

Debido a la diferencia en presión dada en la Fig. 2.27, las curvas tipo de declinación no pueden usarse para analizar datos de restauración de presión, para aliviar este problema Agarwal usando el concepto de desuperposición introdujo el concepto de tiempo efectivo que se define mediante:

p

pe tt

ttt

+∆∆

=∆

Para flujo de gas se recomienda usar pseudotiempos. 2.9. MÉTODO DE TIAB’S DIRECT SYHTHESIS TECHNIQUE, TDST La solución de la ecuación de difusividad considerando daño y almacenamiento está dada por26:

129

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

CD e2s

1010101010101010101010101010

40

35

30

2520

15

12

10

8

6

5

4

3

2

tD/cD

pD, (

t D/c

D)p

D'

Fig. 2.27. Curva tipo de Bourdet2

130

Pre

sion

Tiempo

Pi

tpt ∆t

∆p drawdown

Presionde referencia

∆p buildup

∆p diferencia

Fig. 2.28. Diferencias de presión de declinación y restauración5,21-23

30

2

24 1 D

DD

u teP duu Uπ

∞ −⎛ ⎞−⎜ ⎟=

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (2.56)

y su derivada es;

2

20

4 DD

D J

u tdP e dudt uUπ

∞ −⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (2.57)

donde;

[ ] ( ) ( ) ( )[ ]22221010 1)()1()( uYsuCuYuCuJsuCuJuCU DDDDJ −−+−−= (2.48)

La presión adimensional, PD, tiempo adimensional, tD y coeficiente de almacenamiento adimensional son expresados como sigue:

141.2DkhP P

quB⎛ ⎞

= ∆⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.59)

trc

ktwt

D ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

0002637.0φµ

(2.60)

131

Chrc

Cw

Dt

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

8935.0φ

(2.61)

2.9.1. Líneas y Puntos Característicos El gráfico log-log de presión adimensional y derivada de presión versus tiempo, Fig. 2.27, tiene varias características únicas: (1) La curva de presión tiene una línea de pendiente unitaria durante tiempos

tempranos. Esta línea corresponde al flujo de almacenamiento puro. La ecuación de esta línea recta es:

D

DD C

tP = (2.62)

combinando las Ecs. 2.59 y 2.60 dadas:

2 2

0.0002637 0.8935/D

D t w w

t kt CC c r hrφµ φµ

=

Cthk

Ct

D

D⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×= −

µ41095.2 (2.63)

Sustituyendo las Ecs. 2.59 y 2.63 en la Ec. 2.62 y solucionando el coeficiente de almacenamiento C se obtiene:

42.95 10141.2

kh hk tPquB Cµ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

PtqBC

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

24 (2.64)

'*24 PttqBC∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Para pruebas de declinación de presión, ∆P = Pi - Pwf. Para pruebas de restauración de presión ∆P = Pws - Pwf (∆t = 0).

132

2) La curva de la derivada de presión también tiene una línea recta de pendiente unitaria a tiempos tempranos. La ecuación de esta línea es obtenida tomado la derivada de la Ec. 2.62 con respecto al logaritmo natura de tD/CD. Así:

D

DD

D

D

CtP

Ct

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛' (2.65)

donde la derivada de la presión adimensional es:

2

141.2'

0.0002637D

DD

t w

kh dPquBPP

t k dtc rφµ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

'856.26'2

PqB

hcrP twD ∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

φ (2.66)

El lado izquierdo de la Ec. 2.65 puede expresarse en unidades reales mediante combinación de las Ecs. 2.63 y 2.66:

'856.261095.2'2

4 PqB

hcrCthkP

Ct tw

DD

D ∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − φµ

'*00792252.0'2

PtChrc

BqkhP

Ct w

DD

D t ∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ φµ

Multiplicando y dividiendo por 0.8935

'*8935.0

007087.0'2

PtC

hrcBq

khPCt w

DD

D t ∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ φµ

Puesto que CD es:

Chrc

Cw

Dt

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

8935.0φ

'*1007087.0' PtCBq

khPCt

DD

D

D ∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ

133

Puesto que la pendiente unitaria es uno, entonces CD = 1, así

'*2.141

' PtBq

khPCt

DD

D ∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ (2.67)

De la Fig. 2.22 es obvio que la línea de pendiente unitaria a tiempos tempranos es la misma para las curvas de presión y derivada de presión. Combinando las Ecs. 2.65, 2.66 y 2.67 y solucionando para C se obtiene una ecuación similar a la Ec. 2.64 donde ∆P es remplazado con t*∆P’.

'*24 PttqBC∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

3) La porción de flujo radial de acción infinita de la derivada de presión es una línea

recta horizontal. Para un yacimiento homogéneo, la ecuación de esta línea es:

5.0' =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

r

DD

D PCt (2.68)

Combinando las Ecs. 2.67 y 2.68 y solucionando para la permeabilidad se tiene:

'*2.141

5.0 PtBq

kh∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

µ

( )rPthBqk'*

6.70∆

=µ

(2.69)

Donde el subíndice r es usado para la línea de flujo radial. En términos de presión, la ecuación de esta línea es:

[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= s

DrD

DDr eC

CtnP 2ln80907.015.0 (2.70)

4) El tiempo de inicio de la línea de acción infinita de la curva de derivada de presión

está dada aproximadamente por:

( )102log10 sD

SRD

D eCCt

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (2.71)

134

Esta ecuación es obtenida mediante graficación de los valores de tD/CD correspondientes al primer punto donde la Ec. 2.70 es válida, por ejemplo, en el inicio de la línea horizontal para diferentes valores de CDe2s > 100. Valores de tD/CSR fueron obtenidos de la segunda derivada de la Ec. 2.46. Sustituyendo por CD y tD y solucionando para tSR:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

= − shrc

Ckh

Ctwt

SR 28935.0ln109.6 25 φµ (2.72)

donde tSR es el tiempo de inicio de línea de flujo radial de acción infinita. Vongvuthipornchai y Raghavan26 mostraron que el tiempo de inicio de la línea recta semilog se determina mejor de:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

SRD

DD

SRD

D

CteC

Ct s lnln1 2

α (2.73)

donde α es la tolerancia (fracción) usada para determinar el valor de tDSR al cual la Ec. 2.68 es válida. Para α = 0.05 ellos encofraron que la Ec. 2.73 (solución aproximada) puede predecir el valor de tDSR con un 8 % del valor predicho por la Ec. 2.57 (solución exacta). La línea recta semilog siempre aparecerá al iniciar temprano la porción horizontal de la curva de derivada de presión. La diferencia puede ser mucho más que del 50 %. El coeficiente de almacenamiento se puede estimar de la Ec. 2.73 cuando α = 0.05 y solucionando para C:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=DSR

DSRwt ts

thrcCln2

056.0 2φ (2.74)

donde tDSR es calculado de la Ec. 2.60 a t = tSR. 5) La línea de pendiente unitaria a tiempos tempranos y la línea de acción infinita a

tiempos tardíos de la derivada de presión, por ejemplo, la línea horizontal, interceptan en:

5.0' =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

iD

D

D PCt (2.75)

5.0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

iD

D

Ct (2.76)

135

Donde el subíndice i se usa para “intersección”. En unidades reales las coordenadas de este punto de intersección se obtienen de:

( )kh

BqPt iµ6.70'* =∆ (2.77)

y,

2 2

0.0002637 0.89350.5 /t w w

kt Cc r hrφµ φµ

=

khCti

µ1695= (2.78)

Estas ecuaciones se pueden derivar, respectivamente, de las Ecs. 2.69, 2.63 y 2.76. Así, el punto de intersección puede ser usado para determinar k de la Ec. 2.77 y C de la Ec. 2.78. Puesto que la línea de pendiente unitaria es la misma para las curvas de presión y derivada de presión, en el punto de intersección se tiene: ( ) ( ) ( )rii PtPtP '*'* ∆=∆=∆ (2.79) 6) Entre las líneas rectas a tiempos tempranos y tardíos, las curvas de derivada tiene

una forma específica para diferentes valores de CDe2s. Aquí, las coordenadas de los “picos” para CDe2s > 100 fueron obtenidas de la segunda derivada y graficadas en ejes Cartesianos. La ecuación de esta línea es:

' 0.35717 0.50D DD

D Dx x

t tPC C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.80)

Si khBqbx /2.141 µ= (2.81) Combinando las Ecs. 2.63, 2.67 y 2.81 se tiene que:

( )' 0.014879 0.50x xr

qBt P t bC

⎛ ⎞× ∆ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.82)

siendo:

khBqbx /2.141 µ= (2.82)

136

y (t*∆P’)x y tx son las coordenadas del punto máximo (pico) de la curva de derivada de presión. De la Ec. 2.81 es obvio que se pueda calcular el coeficiente de almacenamiento o la permeabilidad de las coordenadas del pico. Despejando k de la Ec. 2.81 se tiene que:

( )70.6 1

0.014879 / ( * ')x x

q Bkh qB C t t P

µ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ − ∆⎝ ⎠ (2.83)

Esta ecuación podría ser usada para calcular k solo si no es observada la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos últimos, tal como en pruebas cortas, o si existe mucha interferencia en los valores de la derivada a tiempo últimos. Despejando C de la Ec. 2.81 se tiene que:

( ) ( )0.014879

* ' * 'x

x r

qBtCt P t P

=∆ + ∆

(2.84)

Esta ecuación podría ser usada en casos donde k es conocida por otras fuentes y no se observa la línea de pendiente unitaria a tiempos tempranos. 7) Un gráfico log-Log de log (CDe2s) versus las coordenadas del pico produce las

siguientes ecuaciones:

( )24.1

2 35.0logxD

DsD C

teC ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (2.85)

y,

( )24.1

2 '71.1logx

DD

DsD P

CteC ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (2.86)

Sustituyendo las Ecs. 2.63 y 2.67 en las Ecs. 2.85 y 2.86 se producen dos nuevas expresiones. Combinando estas nuevas expresiones con las Ecs. 2.77 y 2.78 se tiene que:

24.12 1485.0log ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

i

xsD t

teC (2.87)

y

( )( )

1.12

'*'*80.0log ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

=i

xsD Pt

PteC (2.88)

137

Así, las coordenadas del punto máximo (pico) de la derivada de presión se pueden usar también para calcular daño. Resolviendo para daño las Ecs. 2.87 y 2.88 dan respectivamente:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

24.18935.0ln5.0171.0

wti

x

rhcC

tts

φ (2.89)

y,

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆∆

= 2

1.18935.0ln5.0

)'*()'*(921.0

wti

x

rhcC

PtPts

φ (2.90)

Debido a que en algunas pruebas de presión la forma de la protuberancia del almacenamiento puede parecer plana en el “pico’, es posible leer el valor correcto de (t*∆P′)x pero un valor incorrecto de tx. En este caso, es una buena práctica calcular s de ambas ecuaciones. Si estas dan valores diferentes entonces se debe obtener un nuevo valor de tx y repetir los cálculos hasta que las dos ecuaciones arrojen valores similares de daño. 8) Una expresión que relaciona la porción de la línea de flujo radial de acción infinita

de la curva de derivada de presión y los picos para diferentes valores de CDe2s se puede obtener dividiendo la Ec. 2.80 con la Ec. 2.68:

5.0' =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

r

DD

D PCt

(2.68)

' / ' 2 0.35717 0.50D D DD D

D D Dx r x

t t tP PC C C

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.91)

Usando las Ecs. 2.63 y 2.67 con la Ec. 2.91 se tiene:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×=∆∆

42.0410062.12)'*()'*(

Ctkh

PtPt x

r

x

µ (2.92)

La Ec. 2.92 se puede usar para calcular C o k. Sustituyendo por kh/µ de la Ec. 2.69 y despejando C se tiene que:

( )0.014879* ' 0.5

x

xx

qBtCt P b

=∆ +

(2.93)

138

Así, el coeficiente de almacenamiento se puede determinar aún si no es observada la línea de pendiente unitaria por razones mecánicas debido a la falta de datos de presión a tiempos tempranos. Despejando k de la Ec. 2.92, resulta:

( * ')4745.36 1

( * ')x

x r

C t Pk ht t P

µ ⎧ ⎫⎪ ⎪∆⎨ ⎬= +

∆⎪ ⎪⎩ ⎭ (2.94)

9) Una expresión que relaciona la porción de la línea de flujo radial de acción infinita

de las curvas de presión y derivada de presión se puede obtener dividiendo la Ec. 2.70 con la Ec. 2.68:

80907.02ln'

++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛st

PCt

PDr

rD

D

D

Dr (2.95)

Usando las Ecs. 2.59, 2.63 y 2.67 con la Ec. 2.95 y despejando el daño se tiene que:

20.5 ln 7.43( * ')

r r

r t w

P k tst P c rφµ

⎛ ⎞⎡ ⎤∆= − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∆ ⎣ ⎦⎝ ⎠

(2.96)

donde tr es cualquier tiempo conveniente durante la línea de flujo radial de acción infinita y ∆Pr es el valor de ∆P correspondiente a tr. La comparación entre las Ecs. 2.30 y 2.69 permite concluir:

2.303( * ') ln(10)( * ')r rm t P t P= ∆ = ∆ 2.9.2. Estimación de Distancia a las Barreras y Area Existen muchas formas de estimar el área del yacimiento mediante la TDST. La forma más común es utilizando el punto de intersección entre la línea de comportamiento infinito y la linea de estado pseudoestable, trpi: En la siguiente expresión el área está dada en pies cuadrados10,27-28:

301.77rpi

t

ktA cφ µ= (2.97)

Normalmente, la literatura presenta procedimientos detallados para el uso de la TDST. El procedimiento general es:

139

Tabla 2.2.a. Datos de presión para ejercicio

t, hrs Pwf, psia ∆P, psia t*∆P’, psia/hr t, hrs Pwf, psia ∆P,psia t*∆P’, psia/hr0.00 2733 0 5 2312 421 65.42 0.10 2703 30 31.05 7 2293 440 35.32 0.20 2672 61 58.95 9.6 2291 442 5.86 0.30 2644 89 84.14 12 2290 443 5.85 0.40 2616 117 106.30 16.8 2287 446 7.63 0.65 2553 180 129.70 33.6 2282 451 7.99 1.00 2500 233 135.15 50 2279 454 7.94 1.50 2440 293 151.90 72 2276 457 10.50 2.00 2398 335 127.26 85 2274 459 12.18 3.00 2353 380 102.10 100 2272 461 13.36 4.00 2329 404 81.44

1) Grafique log-log ∆P y t*∆P’ 2) Trace una línea en la región temprana de pendiente unitaria 3) Trace la línea de flujo radial de acción infinita 4) Lea las coordenadas de la intersección ti y t*∆P’i. 5) Lea las coordenadas del pico, tx, (t*∆P’)x. 6) Seleccione cualquier punto conveniente tr en la línea de flujo radial de

comportamiento infinito y lea ∆Pr. 7) Si existe estadopeudoestable o estable trace una pendiente unitaria (o -1) sobre

ésta y lea el intercepto con la línea de flujo radial, trpi. El radio de investigación a un tiempo t de la prueba y la máxima respuesta de presión se estiman de:

1/ 2

0.0325invt

ktrcφ µ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.98)

krct t

2

max948 µφ

= (2.99)

EJEMPLO El pozo Kate-1 produce de un yacimiento con las siguientes características: rw = 3.2 pulg. q = 250 BPD µ = 1.2 cp ct = 26.4x10-5 psi-1 h = 16 pies φ = 18 % B = 1.229 bbl/BF

140

2200

2300

2400

2500

2600

2700

2800

0.1 1 10 100

p1hr = 2308 psi m=-18 psia/cycle

t, hr

Pw

f , ps

i

Fig. 2.29.a. Gráfico Semilog Los datos de una prueba de caída de presión se reportan en la tabla 2.2.a. Hallar permeabilidad, factor de daño, eficiencia de flujo, factor de daño (DF), caudal ideal y área usando métodos convencionales. SOLUCION Del gráfico semilogarítmico, Fig. 2.28.a, se obtiene una pendiente m = -18 psi/ciclo. Luego de la Ec. 2.30, k = 208 md. De la misma Fig. 2.28 se lee P1hr = 2308. Luego:

121.1513 log 3.23 22.03hr i

t w

P P ksm c rφ µ

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − + =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

0.87( ) 354sP m s psi∆ = − =

1 23.2 %s

wf

PFEP P

∆= − =

−

DF =1 - FE= 76.8 % qideal = 1000 BPD.

141

EJEMPLO Usando los datos de yacimiento y presión de la tabla 2.2 encontrar (a) el volumen de drenaje, (b) área de drenaje, y (c) geometría del sistema por el método convencional. Recalcule permeabilidad, daño y área usando TDST. 1. De una gráfica Cartesiana de Pwf vs. t, Fig. 2.30, se tiene: m* = -0.13 psia/hr Pint = 2285 psia tpss ≈ 50 hrs 2. El volumen de drenaje del sistema se obtiene de la Ec. 2.47 así5,18-10:

6 2 55

0.23395 0.23395(250)(1.229) 2.09 10 ft 3.73 10 bbl* 26.4 10 (0.13)p

t

qBV Ahc m

φ −= = − = = × = ××

2. El área de drenaje es:

62.09 10 1 16.743560

DVA Ach hφ φ

×= = =

3. Usar la Ec. 2.40 para estimar el factor de forma. De la gráfica semi-log de Pwf vs. tiempo (Fig. 2.29.a), se tiene m = -18 psi/log ciclo y P1hr = 2308 psi, entonces;

( )

8.3913.0

18456.5 1822852308303.2

==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

eCA

4. Geometría del sistema. En la Tabla 2.1, CA = 39.8 corresponde con frecuencia a un pozo en el centro de un círculo, cuadrado, o hexágono: Círculo: CA = 31.62 Cuadrado: CA = 30.88 Hexágono: CA = 31.6 4. Verificación: usar la Ec. 2.51

( ) 066.0501813.01833.0 ==pssDAt

142

1

10

100

1000

0.1 1 10 100

∆P,

t*∆

P',

psi

t, hrs

Almacenamiento

Estado Pseudoestable

(t*∆P') r =7.7 psi

∆P r = 451 psi

trpi = 56 hrs

Flujo radial

tr = 33.6 hrs

Fig. 2.29.b. Gráfico log-log de presión y derivada de presión

2200

2300

2400

2500

2600

2700

2800

0 20 40 60 80 100

m*=0.13 psia/hrPint = 2285 psia

t, hr

Pw

f , ps

i

Fig. 2.30. Gráfico Cartesiano de Pwf vs. t para los datos de la tabla 2.2 Este pozo coincide con (tDA)pss = 0.1 para las 3 formas. Usando los datos de yacimiento y presión de la tabla 2.2 encontrar permeabilidad, daño y área usando TDST. De la Fig. 2.29.b se tiene:

143

tr = 33.6 hr (t*∆P’)r = 7.7 psi ∆Pr = 451 psi trpi = 56 hr La permeabilidad se halla de la Ec. 2.69:

( )70.6 70.6(250)(1.2)(1.229) 211.3 md

* ' (16)(7.7)r

q Bkh t P

µ= = =

∆

Calcule el daño por medio de la Ec. 2.96:

20.5 ln 7.43( * ')

r r

r t w

P ktst P c rφµ

⎛ ⎞∆= − +⎜ ⎟⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

5 2451 211.3(33.6)0.5 ln 7.43 22.47.7 0.18(1.2)(26.4 10 )(0.2667 )

s−

⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟⎜ ⎟×⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

El área se calcula con la Ec. 2.97:

5211.3(56)

15.8301.77 301.77(0.18)(1.2)(26.4 10 )(43560)RPi

t

ktA Accφ µ −= = =

×

EJEMPLO Con los datos del ejemplo anterior determine tSSL y determine si el nivel de fluido pozo está aumentando o disminuyendo supara los datos del ejercicio anterior, si el pozo tiene tubería de producción de 2 pulg. De diámetro en un revestimiento de diámetro interno 5 pulg., con juntas. La densidad del fluido es 42.5 lbm/pie3. SOLUCION Al graficar ∆P. vs. t en papel logarítmico se obtiene una recta de pendiente unitaria a tiempos tempranos. Se lee un punto sobre la recta de pendiente unitaria: ∆P = 59 psi y t = 0.2 hr. El almacenamiento se obtiene por medio de la Ec. 2.16.

(250)(1.229) 0.2 0.0434 /24 ( ) 24 59

N

i wf N

tqBC bbl psiP P

= = =−

Usando la Ec. 2.31,

144

h

Flujo radial

Flujo esferico

Flujo radial

Fig. 2.31. Regimenes de flujo ideales en completamiento parcial19

hp=28'

h=350'

Periodo 1Flujo radial

Periodo 2Flujo hemisférico

Periodo 3Flujo radial

Fig. 2.32. Regimenes de flujo ideales en penetración parcial19

(200000 12000 ) (200000 12000[22.03])(1.2)(0.0434) 7.37

(208)(16)SSLs Ct hr

khµ+ +

= = =

Despejando la capacidad de la tubería de la definición de almacenamiento:

V C bbl pieu = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=ρ

1440 0128. /

De valores tabulados se tiene que Vu = 0.0134 bbl/pie. Lo que permite concluir que el líquido está cayendo. 2.10. PERFORACION PARCIAL Y PENETRACION PARCIAL Cuando un pozo penetra una pequeña parte del espesor de la formación, entonces tiene lugar un flujo hemisférico. Ver Fig. 2.32. Cuando el pozo es revestido por encima del intervalo productor y solo una pequeña parte del revestimiento es perforada, tiene lugar un flujo esférico en la región cercana a la cara del pozo. Ver Fig. 2.31. Como el transiente avanza más hacia lo más profundo de la formación, el flujo se vuelve radial, pero si la prueba es corta, el flujo será esférico. Ambos tipos

145

de flujo se caracterizan por una pendiente de -½ en el gráfico log-log de la derivada de la presión1,5. Gran parte del material introducido en este libro considera que el pozo penetra completamente una formación horizontal. Kazemi y Seth demostraron que para un pozo completado parcialmente se desarrollan dos porciones rectas. La primera representa la transmisibilidad del intervalo perforado y la segunda representa el intervalo de perforación completo. La primera línea se puede enmascarar por almacenamiento u otros efectos. El factor de daño aparente, Sa, obtenido del análisis de transiente de presión es una combinación de varios factores de “pseudo daño” tales como5

......++++= cppa sssss θ (2.100) siendo s el factor de daño verdadero causado por el daño a la porción del pozo, sp es el factor de pseudo daño debido a la entrada restringida de flujo, sθ es el factor de pseudo daño resultante de una desviación del pozo, y scp es el pseudo daño debido a un cambio en la permeabilidad cerca a la cara del pozo. sp se puede estimar de:

1 lnp Dp

hs hh

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.101)

hp = longitud del intervalo perforado o abierto. Las ecuaciones de espesor adimensional, hD, Para flujo hemisférico y esférico, respectivamente :

z

h

wD k

krhh = (2.102.a)

2h

Dw v

khhr k

= (2.102.b)

donde kh es la permeabilidad horizontal kz = kv es la permeabilidad vertical. La contribución del pseudo daño de un pozo inclinado está dada por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

wrhs

100log

5641

865.106.2 θθθ (2.103)

La ecuación anterior es válida para 0° ≤ θ ≤ 75°, h/rw > 40 y tD > 100. Note que la Ec. 2.103 podría proporcionar un valor negativo. Esto es debido a que la desviación en la

146

cara del pozo proporciona mayor área en la cara del pozo o un pseudo espesor de formación. Un pseudo daño que responde a un cambio en la permeabilidad cerca de la cara del pozo está dado por:

1 0.2 lns w s scp

p p s w

r r k k rhsh h k r

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

EJEMPLO Un pozo direccional el cual tiene un ángulo con la vertical de 24.1° tiene un factor de daño s = -0.8. El espesor de la formación es de 100 ft, el radio del pozo es 0.3 ft, y la relación de permeabilidad horizontal con vertical es 5. Cual porción de la dañada corresponde a la desviación del pozo?5

SOLUCION Estime la contribución del pseudo daño del pozo inclinado usando la Ec. 2.103:

4432.0)3.0(100

100log56

1.2441

1.24 865.106.2

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=θs

De la Ec. 2.100 el factor de daño aparente y total es:

2432.14432.08.0 −=−−=+= θsssa Por lo tanto, 35.65 % del factor de daño es debido a la desviación del pozo. Otra forma de representar la medida total del daño es:

( )( )1t F pd pd dp ss s f s s f s

F θ= + + +

SF, Daño por penetración Parcial spd, Daño por perforaciones sθ, Daño por Desviación sdp, Daño a la Formación F, Fracción de zona abierta al flujo 2.10.1. Análisis Convencional para Flujo Esférico La ecuación de difusividad para flujo esférico asumiendo porosidad, compresibilidad y movilidad constantes es1:

147

VISTA SUPERIOR VISTA SECCIONAL

Fig. 2.33. Flujo radial hacia un sumidero esférico19

P

ozo

cilín

dric

o re

al

Sumideroesférico

rw

r sw

Fig. 2.34. Sumideros cilíndrico y esférico19

2.10.1. Análisis Convencional para Flujo Esférico La ecuación de difusividad para flujo esférico asumiendo porosidad, compresibilidad y movilidad constantes es1:

tP

kc

rPr

rr sp

t

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ φµ2

2

1

Donde, ksp, es la permeabilidad esférica que se define como el promedio geométrico de las permeabilidades verticales y horizontales:

148

2 2 23 3 3sp v h v r vk k k k k k k= = =

El sistema físico se ilustra en las Figs. 2.33 y 2.34. Dicha región se denomina “sumidero esférico”. rsw está dado por:

2 ln

psw

p

w

hr

hr

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.104)

La ecuación de flujo esférico para declinación de presión es:

3/ 2

70.6 2453 1(1 )wf i sp tsp sw sp

q B q BP P s ck r k t

µ µ φµ= − + + (2.105)

De un gráfico cartesiano de Pwf en función de 1/ t habrá una recta de cuyo intercepto y corte podemos calcular:

3/22453⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= tsp c

mBqk φµµ (2.106)

( )

170.6i sp sw

sp

P I k rs

q Bµ−

= − (2.107)

Para restauración de presión cuando el tiempo de flujo es mucho más largo que el tiempo de cierre:

3/ 2

70.6 2453 1 1 1(1 )ws wf sp tsp sw sp p p

q B q BP P s ck r k t t t t

µ µ φµ⎡ ⎤⎢ ⎥= + + − + −

∆ + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

De lo contrario:

3/ 2

2453 1 1 70.6ws i t sp

sp sp swp

q B q BP P c sk k rt t t

µ µφµ⎡ ⎤⎢ ⎥= − − +

∆ + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

De un gráfico Cartesiano de Pws en función de ( )1/ 1/ 1/p pt t t t+ ∆ − + ∆ se obtendrá

una recta de cuya pendiente y corte podemos estimar:

149

Vista Superior Vista de lado Vista 3D

Fig. 2.35. Flujo radial hacia un sumidero hemisférico19

Sum

ider

o ci

líndr

ico

real Sumidero

hemisférico

rw

rsw

Fig. 2.36.a. Sumideros cilíndrico y hemisférico1

3/22453

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= tsp c

mBqk φµµ

( )

170.6

wf sp swsp

I P k rs

q Bµ−

= −

Conociendo la permeabilidad vertical se puede estimar el valor de los efectos de daño debido a penetración parcial:

[ ]1 1 lnc Ds h Gb

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Donde b=hp/h. hD se puede estimar de la Ec. 2.101, y G se estima mediante:

2 32.948 7.363 11.45 4.576G b b b= − + −

150

2.10.2. Análisis Convencional para Flujo Hemisférico El modelo para flujo hemisférico es muy similar que el de flujo esférico. La diferencia es que una condición de frontera considera media esfera. Las Figs. 2.35 y 2.36.a esquematizan la geometría de este sistema. Para pruebas de restauración de presión1:

3/ 2

141.2 4906 1(1 )wf i ths sw hs

q B q BP P s ck r k t

µ µ φµ= − + +

Para condiciones de flujo hemisférico la constante 2453 de la Ec. 2.106 se duplica a 4906 y 70.6 de la Ec. 2.107 se duplica a 141.2, luego:

3/24906⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ths c

mBqk φµµ (2.108)

( )

1141.2

wf hs swhs

I P k rs s

q Bµ−

= − (2.109)

Para restauración de presión cuando el tiempo de flujo es mucho más largo que el tiempo de cierre:

3/ 2

141.2 4906 1 1 1(1 )ws wf hs ths sw hs p p

q B q BP P s ck r k t t t t

µ µ φµ⎡ ⎤⎢ ⎥= + + − + −

∆ + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.110) De lo contrario:

3/ 2

4906 1 1 141.2ws i t hs

hs hs swp

q B q BP P c sk k rt t t

µ µφµ⎡ ⎤⎢ ⎥= − − +

∆ + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.111)

Al igual que para pruebas de declinación, hay una duplicación de las constantes, luego:

3/24906⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ths c

mBqk φµµ (2.112)

( )

1141.2

wf hs swhs

I P k rs

q Bµ−

= − (2.113)

151

2.10.3. Tiab’s Direct Síntesis Technique, TDST, para flujo esférico Las ecuaciones para cálculo de permeabilidad y almacenamiento usadas en la sección 2.9 se usan en esta sección excluyendo las correlaciones allí desarrolladas que relacionan las coordenadas del pico con la permeabilidad, el daño y el almacenamiento26 Para pruebas de declinación o restauración de presión, leyendo cualquier valor del tiempo y la derivada de presión durante el flujo esférico se puede calcular la permeabilidad esférica, y luego la permeabilidad vertical, y el daño causado por completamiento parcial19

2/3

1227( * ')

tsp

sp sp

cqBkt P t

φµµ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(2.114)

( )

( )2

34.74 1 12 * '

spt swsp

sp sp sp

Pc rsk t t P

φµ ⎡ ⎤∆= + −⎢ ⎥

∆⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.115.a)

El daño total puede calcularse del flujo radial tardío, Ec. (2.96):

2 22 2

2

( )0.5 ln 7.43( * ')

r rr t

r t w

P kts st P c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆= = − +⎢ ⎥⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.96)

El daño mecánico puede estimarse de:

1 11 2

1

( )0.5 ln 7.43( * ')

r rr m

r t w

P k ts st P c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆= = − +⎢ ⎥⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.96)

El sufijo r1 denota la línea del primer flujo radial. tr1 es cualquier tiempo conveniente durante la primera línea de flujo radial en el gráfico de la derivada. ∆Pr1 y (t*∆P’)r1 son los valores de presión y derivada correspondientes a tr1. El daño total, st, se define como la suma de todos los efectos de daño en las fronteras del pozo:

mt c sp

ss s sb

= + +

Donde sc significa ya sea penetración parcial o completamiento parcial, sm significa el daño mecánico y ssp el daño esférico. La permeabilidad horizontal puede estimarse de:

152

11

70.6( * ')r H

p r

qBk k kh t P

µ= = =

∆

La Fig. 2.36.b ilustra la derivada de presión adimensional en simetría esférica y la correspondiente derivada de presión adimensional en simetría radial. Allí se observa que el valor de la derivada para el flujo radial tardío en geometría esférica es equivalente a 0.0066 en lugar de 0.5 del sistema radial. Además, la línea de pendiente –½ correspondiente al flujo esférico y la línea de flujo radial tardío de la curva de la derivada de presión adimensional en simetría esférica se intersectan en:

( ) 1/ 21* '2D D Dspi

t P tπ

−=

de donde:

0066.02

1 2/1 =−Dspt

π

Que substituyendo el tiempo adimensional resulta:

sp

swti k

rct2

85.6927748 φµ= (2.115.b)

En la anterior ecuación el sufijo i denota la “intersección” entre el flujo esférico y el flujo radial tardío. Si el flujo radial no se observa este tiempo puede dar un punto inicial para trazar la línea horizontal correspondiente al flujo radial, del cual se halla la permeabilidad horizontal. Este punto también se puede utilizar para verificar la permeabilidad esférica ksp. Otra ecuación que define el mencionado tiempo adimensional puede hallarse de la intersección de la línea de pendiente –½ (flujo esférico) con la línea horizontal de flujo radial tardío pero en simetría radial, sabiendo que:

( )Drswsp

riDD trk

hkPt 14

*22/3

2/3'

π=

( )* ' 0.5D D it P =

Luego:

153

0.001

0.01

0.1

1

10

1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07 1.00E+08

tD

t D*P

D'

b = 0.1

b = 0.2

b = 0.4b = 0.6

b = 0.8 b = 1

b = 0.1

b = 0.2

b = 0.4b = 0.6

b = 0.8 b = 1

Simetría Radial

Simetría Esférica( ) 2/1'

21* −= DspDD tPtπ

( ) 5.0* ' =rDD Pt

( ) 0066.0* ' =spDD Pt

( )3/ 2

' 1/ 2

3/ 2 2*

4r

D D Drsp sw

k ht P tk rπ

−=

Fig. 2.36.b. Curvas tipo de derivada de presión para un pozo vertical con completamiento parcial para diferentes relaciones de

completamiento (b = hp/h) en simetrías esférica y radial19

154

1

10

100

1000

0.001 0.01 0.1 1 10 100

Tiempo, hrs

Pres

ión

y de

rivad

a de

pre

sión

, ps

i

Flujo esférico (m = -1/2)

2o. Flujo Radialtr2

Pendienteunitaria

(t*∆P')sptsp(t*∆P') r2

∆PN

tN

∆Psp

∆Pr2

2/3

'1227( * )

tsp

w sp sp

cqBkt p t

φµµ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠

rwr pth

qBk)*(

6.70'2 ∆

=µ

23sp V Hk k k=

3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

H

sp

H

VA k

kkkI

NPtqBC ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆=

24

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆∆

= 43.7ln)*(

)(5.0 2'wt

rr

rw

rwt rc

tkpt

psφµ

( )( ) 11

*274.34 '

2

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

∆

∆=

spw

spw

spsp

swtsp pt

ptkrcs φµ

ti

Fig. 2.36.c. Respuesta de presión para un pozo con completamiento parcial ilustrando los puntos y líneas características19

155

0.001

0.01

0.1

1

10

1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07

tD

t D*P

D'

b = 0.1

b = 0.2

b = 0.4b = 0.6

b = 0.8 b = 1

b = 0.1

b = 0.2

b = 0.4b = 0.6

b = 0.8 b = 1

( ) 2/1'

21* −= DDD tPt

π

( ) 5.0* ' =DD Pt

Simetría Radial

( ) 0033.0* ' =DD Pt

SimetríaHemisférica

( )3/2

' 1/2

3/2 2*

2r

D D Drsp sw

k ht P tk rπ

−=

Fig. 2.36.d. Curvas tipo de derivada de presión para un pozo vertical con penetración parcial para diferentes relaciones de completamiento (b = hp/h) en simetrías hemisférica y radial19

156

1

10

100

1000

0.001 0.01 0.1 1 10 100

Flujo Hemisféricom = -1/2

∆Phs

1er. Flujo Radial

tr2

∆Pr2

2o. Flujo Radial

∆Pr1

(t*∆P')r1

thstr1

(t*∆P')hs

(t*∆P')r2

( )( ) 11

*274.34 '

2

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∆∆

=hsw

hsw

hshs

swths pt

ptkrcs φµ

3/2

' )*(2453 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆=

hs

t

hswhs t

cpt

qBk φµµ

2'2 )*(

6.70

rwr pth

qBk∆

=µ

1'1 )*(

6.70

rwpr pth

qBk∆

=µ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆∆

= 43.7ln)*(

)(5.0 21

1'

11

wt

rr

rw

rwr rc

tkpt

psφµ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆∆

= 43.7ln)*(

)(5.0 22

2'

22

wt

rr

rw

rwr rc

tkpt

psφµ

3 2HVhs kkk =

3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

H

hs

H

VA k

kkkI

ti

Tiempo, hrs

Pres

ión

y de

rivad

a de

pre

sión

, ps

i

Fig. 2.36.e. Respuesta de presión para un pozo con penetración parcial ilustrando los puntos y líneas características19

157

10

100

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

CD100001001010.1

PD

t /CD D

Fig. 2.36.f. Solución fuente esférica para un pozo único en un sistema infinito incluyendo almacenamiento y sin daño19

158

0.1

1

10

100

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

t *P

'D

D

t D

C = 0.1D

C = 1D

C = 10DC = 100D

C = 1000D

Flujo esféricom=-1/2

Fig. 2.36.g. Solución fuente esférica (derivada de presión) para un pozo único en un sistema infinito incluyendo almacenamiento y sin daño19

159

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

t *P

'D

D

t D

b0.10.20.30.40.60.81.0

Flujo esféricom=-1/2

Fig. 2.36.h. Comportamiento de la derivada de presión para un pozo único en un yacimiento infinito con diferentes longitude de penetración parcial (CD = 0, s = 0)19

160

5.01

4 22/3

2/3

=Drswsp

r

trk

hk

π

Al reeemplazar las variables adimensionales se tiene:

3

22

77.301sp

tri k

chkt

φµ= (2.115.c)

Puesto que las Ecs. 2.115.b y 2.115.c representan el mismo punto de intersección, éstas pueden combinarse para hallar una nueva forma de estimar rsw:

sp

rsw k

hkr 0066.0= (2.115.d)

2.10.4. Tiab’s Direct Síntesis Technique, TDST, para flujo hemisférico Aquí se presentan las mismas consideraciones de la sección 2.13.3. Usando un valor de tiempo y derivada durante el flujo hemisférico, la permeabilidad hemisférica y el daño por penetración parcial se estiman mediante19

2/3

2453( * ')

ths

hs hs

cqBkt P t

φµµ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(2.116)

( )

( )2

34.74 1 12 * '

t sw hshs

hs hs hs

Pc rsk t t P

φµ ⎡ ⎤∆= + −⎢ ⎥

∆⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.117)

En la Fig. 2.36.d se puede apreciar que la derivada en geometría esférica del flujo radial tardío corresponde a 0.0033 en lugar de 0.5 del sistema radial. Esta vez la línea de flujo radial y de flujo hemisférico, en simetría hemisférica, se intersectan en: ( )* ' 0.0033D D it P = , de donde:

hs

swti k

rct

2

41.27710995φµ

= (2.118.a)

Este punto de intersección en simetría radial proporciona la siguiente ecuación:

3

22

09.1207hs

tri k

chkt φµ= (2.118.b)

161

Igualando las Ecs. 2.118.a y 2.118.b se puede obtener una forma alterna de estimar rsw.

hs

rsw k

hkr 0066.0= (2.118.c)

El daño total y mecánico se evalúa de una forma similar a la sección 2.10.3. 2.10.5. Consideraciones Importantes 2.10.5.1. Efecto de almacenamiento Es importante identificar el rango de valores de almacenamiento, CD que pueden influenciar la interpretación del régimen de flujo esférico y hemisférico. La forma más simple es graficando PD vs. tD/CD. la Fig. 2.36.f proporciona una idea del efecto del almacenamiento. Como puede verse, la respuesta de presión para varios valores de CD puede distinguirse cuando el almacenamiento es bajo (<10) mientras que para valores más grandes de CD la respuesta es casi idéntica. Un mejor entendimiento se puede lograr si se grafica (tD*PD’) vs. tD/CD. En la Fig. 2.36.g, se observa la respuesta de la derivada de presión para varios valores de CD. Para CD <10 se distingue bien la pendiente de –½ que caracteriza tanto el flujo esférico como el hemisférico. Para valores de 10 < CD >100 la pendiente de –½ es más dificil de identificar. Para valores de CD > 100, el regimen de flujo esférico practicamente ha sido enmascarado por el almacenamiento, lo cual imposibilita la aplicación de la técnica arriba presentada para estimimar la permeabilidad vertical. Luego, para asegurar que no existe enmascaramiento CD debería ser menor de 1019 2.5.10.2. Efectos de la longitud de la Penetración Parcial La longitud del intervalo completado o la longitud de la penetración parcial, hp, juegan un papel importante en la definición del flujo esférico. La presencia de flujo esférico o hemisférico se caracteriza por una pendiente de –½. Esta pendiente característica está ausente cuando la relación de penetración, b = hp/h es mayor del 20 %, como se aprecia en la Fig. 2.35.h. EJEMPLO Abbott et all1 presentaron en su artículo datos de presión-tiempo para una prueba de declinación de presión. El pozo No. 20 está parcialmente completado en un yacimiento masivo de carbonato. El pozo se cerró para estabilización y luego fluyó a 5200 BOPD por 8.5 hrs. Los datos de presión se dan en la tabla 2.3. Las propiedades de yacimiento y fluido se dan a continuación: h = 302 ft rw = 0.246 ft Pi = 2298 psia

162

hp = 20 ft q = 5200 BPD B = 1.7 bbl/STB φ = 0.2 µ = 0.21 cp ct = 34.2 x 10-6 psi-1

Tabla 2.3. Datos de presión para el pozo No. 20

t, hr 1/ ,1/ hrt Pwf, psi ∆P, psi t*∆P’, psi 0.0 2266 0 0.5 1.414 2255 11 11.5 1.0 1.000 2243 23 24.5 1.6 0.791 2228 38 40.0 2.0 0.707 2218 48 45.0 2.5 0.632 2208 58 52.5 3.0 0.577 2197 69 69.0 3.5 0.535 2185 81 66.5 4.0 0.500 2178 88 60.0 4.5 0.471 2170 96 56.3 5.5 0.426 2161 105 46.8 6.0 0.408 2157 109 48.0 6.5 0.392 2153 113 52.0 7.0 0.378 2149 117 49.0 7.5 0.365 2146 120 52.5 8.0 0.354 2142 124 48.0 8.5 0.343 2140 126

SOLUCION La permeabilidad y el daño se hallan usando información del gráfico semilogarítmico, Fig. 2.37:

162.6 162.6(5200)(1.7)(0.21) 8.19 md

( 122)(302)qBk

mhµ− −

= = =−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= 2275.3log1513.1 2

1

wt

ihr

rck

mPP

sφµ

6 2

2252 2298 8.191.1513 log 3.2275 5.03122 (0.2)(0.21)(34.2 10 )(0.246)

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟− ×⎝ ⎠⎣ ⎦

Método Cartesiano:

163

2130

2150

2170

2190

2210

2230

2250

2270

0.1 1 10

t, hr

P wf

, psi

m=-122 psi/ciclo

P1hr =-2252 psi

Fig. 2.37. Flujo semilog radial para el pozo No. 20

2020

2060

2100

2140

2180

2220

2260

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

P w

f , ps

i

I = 2060 psi

m = 250 psi(hr )1/2

1/ , 1/t hr

Flujo esférico

Fig. 2.38. Gráfico de flujo esférico (cartesiano) para el pozo No. 20

La Fig. 2.38 contiene un gráfico Cartesiano de Pwf en función 1/ t . De allí la pendiente observada es, m = 250 psi(hr-1/2) e intercepto, I = 2060 psia, la permeabilidad esférica y el daño esférico son:

164

2/3 2/3-62453 2453(5200)(0.21)(1.7) (0.2)(0.21)(34.2 10 )

250sp tq Bk c

mµ φµ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ksp = 7.81 md La permeabilidad vertical se estima de:

23sp v hk k k=

De donde:

3 3

2 2

7.81 7.1 md8.19

spv

h

kk

k= = =

120 9.69 ft1202ln2ln 0.246

psw

p

w

hr

hr

= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )2298 2060 (7.81)(9.69)

1 1 0.8670.6 70.6(5200)(0.21)(1.7)i sp sw

sp

P I k rs

q Bµ− −

= − = − = −

Con el valor de la permeabilidad vertical se puede estimar el daño causado por penetración parcial:

8.19 302 1418.57.1 0.246

HD

V w

k hhk r

= = =

32

675.445.11363.7948.2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

hb

hb

hbG

2 3120 120 1202.948 7.363 11.45 4.675 1.57

302 302 302G ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 11 [ln ] 1 [ln 1318.5 1.57] 8.51/ 120 / 302c D

p

s h Gh h

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

165

10

100

1000

0.1 1 10

∆P,

t*∆P

', p

si

t, hrs

Almacenamiento

(∆P)N = 23 psitN = 1 hr

Flujo esférico

(t*∆P')sp = 56.25 psitsp = 4.5 hr

2o. Flujo radial

tr = 7.5 hr

(t*∆P')r = 52.5 psi

(∆P)sp = 96 psi(∆P)r = 120 psi

Fig. 2.39. Derivada de presión para el pozo No. 20 Tiab´s Direct Synthesis Technique La Fig. 2.38 presenta el gráfico de la derivada. De allí se leyeron los siguientes datos: Almacenamiento tN = 1 hr ∆P = 23 psia Flujo esférico (t*∆P’)sp = 56.25 psi ∆Psp = 96 psi tsp = 4.5 hr Flujo radial tardío (t*∆P’)r2 = 52.5 psi ∆Pr2 = 96 psi tr2 = 7.5 hr El almacenamiento se estima de:

( )(5200)(1.7) 1 16.01 bbl/psi

24 24 23N

N

tqBCP

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠

De la línea de flujo esférico, m = ½, la permeabilidad esférica y el daño esférico mecánico se estiman mediante:

2/3 2 /3-6(5200)(1.7)(0.21) (0.2)(0.21)(34.2 10 )1227 1227

( * ') 56.25 4.5t

spsp sp

cqBkt P t

φµµ⎛ ⎞ ⎛ ⎞×= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠⎝ ⎠

=8.05 md

166

( )( )

( )( )

2 -6 2 96(0.2)(0.21)(34.2 x 10 )(9.69 )34.74 1 34.74 12 * ' (8.05)(4.05) 2 56.25

w spt swsp

sp sp sp

Pc rsk t t P

φµ ⎡ ⎤∆ ⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

=-0.93

La permeabilidad horizontal y el daño se hallan del flujo radial tardío:

70.6 70.6(5200)(1.7)(0.21) 8.26 md( * ') (302)(52.5)r

r

qBkh t P

µ= = =

∆

2 -6 2

120 (8.26)(7.5)0.5 ln 7.43 0.5 ln 7.43( * ') 52.5 (0.2)(0.21)(34.2 10 )(0.246 )

r r r

r t w

P k tst P c r xφµ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆= − + = − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

=-5.33

La permeabilidad vertical se estima de:

23sp v hk k k=

La tabla 2.4 presenta la comparación de los resultados obtenidos por el método convencional y TDST.

Tabla 2.4. Comparación de resultados

Parámetro Método Convencional TDST ksp, md 7.01 8.05

ssp -0.86 -0.93 ⎯k, md 8.19 8.26

sr -5.03 -5.53 kv, md 7.10 7.65

3 3

2 2

8.05 7.65 md8.26

spv

h

kk

k= = =

2.11. PRUEBAS MULTITASAS Razones de su uso: 1. Es a menudo impráctico mantener a rata constante por mucho tiempo para

efectuar una prueba de caída de presión completa. 2. Cuando el pozo no se cerró el tiempo suficiente para alcanzar la presión estática

antes de que iniciara la prueba de caída de presión. 3. Cuando no es económicamente rentable cerrar un pozo para hacer una prueba de

restauración de presión. Ya sea que las ratas sean constantes o no durante periodos los periodos de flujo, existen principalmente 3 tipos de pruebas multiflujo:

167

Cau

dal

Tiempo

q1

q2

q3

q4

q5

qN-1

qN

0 t1 t2 t3 t4 t5 tN-2 tN-1 tN

Fig. 2.40. Gráfica de una prueba múltiple

(a) Rata variable incontrolada, (b) series de tasas constantes, y (c) Rata de flujo variable con presión de fondo constante. Esta prueba es común en

pozos gasíferos produciendo de formaciones muy apretadas. Las pruebas de restauración de presión, vistas más adelante en la unidad 3, son realmente un caso especial de pruebas multiflujo. Aplicando el principio de superposición (basado en la Fig. 2.39)5,91214,15,17,19-29:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−−+++−−++−−

++−−++−=

− ])]([)[(....])]([)[(])]([)[(

])]([)[(])([2.141)(

1

334223

1121

sttPqqsttPqqsttPqq

sttPqqstPq

khBPtP

DNDNN

DDDD

DDDD

iwfµ

Rearreglando:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−++−−−++

−−−+−−−=

−

−−−

sttPqttPttPq

ttPttPqttPtPq

khBPtP

DNDN

DNDDNDN

DDDDDDDD

iwf

}]([{}]([]([{...

}]([]([{}]([)({2.141)(

1

121

21211µ

Utilizando la aproximación logarítmica:

168

0

4

8

12

16

4 6 8

m'

N

wfi

qPP −

nX

b'

Fig. 2.41. m’ y b’ de una prueba multitasa

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−

−

−−

src

kttq

ttttq

ttttq

ttttq

tttq

khBPtP

wtNN

N

NN

iwf

24316.7ln)}{ln(

lnlnlnln6.70)(

21

1

21

3

23

2

12

11

φµ

µ

Dividiendo por el ln 10 y rearreglando:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−= −

−

=

−∑ src

kttqtt

ttq

khBPtP

wtNN

N

j j

jjiwf 8686.02275.3log)}{log(log6.162)( 21

1

1

1

φµµ

Por conveniencia:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−∑

=−

− src

kttq

qqkh

Bq

tPP

wt

N

jj

N

jj

N

wfi 8686.02275.3loglog6.162)(2

11

1

φµµ

defina kh

Bm µ6.162'= (2.119)

src

kswt

⋅+−= 87.023.3log' 2φµ (2.120)

169

Cau

dal

Tiempo

Pw

f

Pi

t1 ∆t

Historia de presiónpasada

REGION A REGION B

REGION C

Región A es usada en análisis de presionesRegion B se debe a efectos de frontera e interferenciaRegión C ocuure cuando el pozo regresa a presión de delinación estabilizada

Tiempo

q1

q2

t tra

nsic

ión

t1 ∆t

Usualmente se requiere un tiempo de transición cortoantes que la nueva rata de flujo se estabiliza

Fig. 2.42. Representación de una prueba bi-flujo5

''' smb = (2.121)

Generalizando:

( )' 'i wf

nn

P P tm X b

q−

= + (2.122)

donde el tiempo de superposición, Xn, es:

( )∑=

−− −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

n

ii

n

iin ttlog

qqqX

11

1 (2.123)

La Ec. 2.122 es la ecuación de una línea recta (papel cartesiano) con pendiente m’ e intercepto b’, ver Fig. 2.41. Una vez que m’ y b’ son conocidos, la permeabilidad y el factor de daño se pueden estimar usando las Ecs. 2.124 y 2.125:

162.6'

Bkm h

µ= (2.124)

170

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= 23.3log

''1513.1 2

wt rck

mbs

φµ (2.125)

La presión inicial, Pi, y toda la historia de la rata de flujo podría conocerse usando este método. Generalmente, estos no se conocen. 2.12. PRUEBAS BI-FLUJO Este método fue desarrollado por Russell5. Este es simplemente un caso especial de pruebas multiflujo. El procedimiento es como sigue: 1. Estabilice el pozo por varios días a una tasa constante, q1. 2. Baje la herramienta registradora de presión en el pozo unas 3 ó 4 horas antes del

cambio de tasa y empiece a registrar presiones: 3. Cambien la rata de flujo usando el choque en cabeza. Después de una corta

transición, la tasa se estabiliza al nuevo valor, q2. Las 3 regiones en la Fig. 2.41 representan ciertas características típicas: Región A - Porción de historia de presiones usados en análisis de pruebas de flujo Región B - Detección de fronteras e interferencia Región C - El pozo regresa a una declinación estable de presión

La presión de fondo fluyente después del cambio de tasa está gobernada por la siguiente ecuación5,21-23:

( ) int1

211 loglog' Pt

qq

tttmPwf +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆+

= (2.126)

donde:

11 24

qN

t p= (2.127)

khBqm µ1

16.162' −= (2.128)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= s

rck

qqmPP

wti 87.023.3log' 2

1

21int φµ

(2.129)

La Ec. 2.126 indica que un gráfico lineal de Pwf vs. log [(t1+∆t)/∆t] + q2/q1 log (∆t) da una línea recta con pendiente m’1 e intercepto Pint, como se muestra en la Fig. 2.43. En general, el “lag time” (tiempo de transición) es más corto cuando hay reducción

171

de rata que cuando hay incremento, i.e. Si q2 < q1 entonces el tlag será corto y si q2 > q1 entonces el tlag será largo debido a efectos de almacenamiento, ver Fig. 2.42. Una vez se conocen m’1 y Pint, se calcula k, s y P* ≈ Pi.

hmBqk

'6.162

1

1µ−= (2.130)

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=∆

−= 23.3log

'0

1513.1 21

1

21

1

wt

hrwf

rck

mPtP

qqqs

φµ (2.131)

La caída de presión a través de la zona de daño es:

( )smqPskin 11 '87.0)( −=∆ (2.132)

( )smqqqPskin 1

1

22 '87.0)( −=∆ (2.133)

( ) ( )[ ]hrwf PtPqq

qPP 112

1int 0 −=∆

−−=∗ (2.134)

P* se conoce como “presión falsa” y a menudo se usa para estimar la presión promedia del yacimiento. EJEMPLO La producción de área ha causado serios problemas en ciertos pozos. Debido al peligro de perder una herramienta en el subsuelo, las pruebas de restauración de presión han sido reemplazadas por pruebas biflujo. La Tabla 2.5 presenta los datos de presión para un pozo que ha fluido a una rata de 1841 STB/D durante 28.4 hrs antes de que la rata se incrementara a 3523 STB/D. Estime la permeabilidad, factor de daño y pérdidas de presión debido al daño. Información adicional, se da a continuación: B = 1.63 bbl/STB rw = 0.365 ft µ = 1.63 cp φ = 30 % h = 108 ft ct = 302x10-6 psi-1 SOLUCION Los cálculos necesarios para preparar un gráfico para pruebas biflujo (Fig. 2.43) se resumen en la tabla 2.5. Puesto que, t1 = 28.4 hrs es un valor dado, el gráfico de Pwf vs. log [(t1+∆t)/∆t] + q2/q1 log (∆t) se presenta en la Fig. 2.43. Como la segunda rata es mas alta, esta prueba se comporta como una prueba de caída de presión. Se observa que a tiempos tempranos hay efectos de almacenamiento mientras que a

172

tiempos tardíos se desarrolla una línea recta de pendiente -75.5 psi/ciclo log . Usando esta pendiente, la permeabilidad se calcula de:

( )( )( )( )( )( ) md

hmBqk 6.97

1085.7563.163.118416.162

'6.162

1

1 =−

==µ

El factor de daño total se calcula con la Ec. 2.131.

( )( )( )( )0.223.3

365.01030263.13.06.97log

5.7513151419

3523184118411513.1 26 −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

×−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−=

−s

Lo anterior indica que el pozo está ligeramente estimulado. En términos de pérdida de presión, se tiene:

( )( ) psiPskin 1310.25.7587.0 =−−=∆

P wf ,

psi

Pint

m'1

tqq

ttt

∆+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆+ loglog

1

21Incremento del tiempo de flujo

q2 < q1

Los efectos de frontera se perciben primero aquí

Fig. 2.43. Gráfico de Pwf vs. log [(t1+∆t)/∆t] + q2/q1 log (∆t)

2.13. METODO DE PINSON Este es una aproximación del método biflujo y debería usarse solo cuando t1 >> ∆t, en tal caso, la Ec. 2.126 se convierte en:

intlog PtmP pwf +∆= (2.135)

173

Esta ecuación indica que un grafico semilog de Pwf vs. ∆t, ver Fig. 2.44, debería dar una línea recta de pendiente mp e intercepto Pint dados por:

( )

khBqqmp

µ126.162 −−= (2.136)

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+= 12

12

12

2int log87.023.3log t

qqs

rck

qqqm

PPwt

pi φµ

(2.137)

Estas dos ecuaciones pueden usarse para estimar k y s, o también:

Tabla 2.5. Datos de presión para prueba biflujo5

∆t, hrs Pwf,

psia ttt

∆∆+1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆+t

tt1log ( )tqq

∆log1

2 ( )tqq

ttt

∆+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆+ loglog

1

21

0.00 1419 0.25 1400 114.60 2.06 -1.15 0.91 0.50 1384 57.80 1.76 -0.58 1.19 0.75 1358 38.87 1.59 -0.24 1.35 1.00 1335 29.40 1.47 0.00 1.47 1.25 1321 23.72 1.38 0.19 1.56 1.50 1310 19.93 1.30 0.34 1.64 1.75 1304 17.23 1.24 0.47 1.70 2.00 1300 15.20 1.18 0.58 1.76 2.50 1286 12.36 1.09 0.76 1.85 3.00 1280 10.47 1.02 0.91 1.93 3.50 1274 9.11 0.96 1.04 2.00 4.00 1270 8.10 0.91 1.15 2.06 4.50 1265 7.31 0.86 1.25 2.11 5.00 1261 6.68 0.82 1.34 2.16 6.00 1255 5.73 0.76 1.49 2.25 7.00 1249 5.06 0.70 1.62 2.32 8.00 1245 4.55 0.66 1.73 2.39 9.00 1241 4.16 0.62 1.83 2.44 10.0 1237 3.84 0.58 1.91 2.50 15.0 1219 2.89 0.46 2.25 2.71 20.0 1206 2.42 0.38 2.49 2.87 26.1 1200 2.09 0.32 2.71 3.03

( )

hmBqqk

p

µ126.162 −−= (2.138)

174

1200

1220

1240

1260

1280

1300

1320

1340

1360

1380

1400

1420

1440

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

∆t = 1 hr

P1hr = 1315 psi m'1 = -75.5 psia/log cycle

P w

f, ps

i

'loglog1

2 tqq

ttt

∆+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆+

Fig. 2.44. Gráfico de una prueba de dos ratas

1200

1250

1300

1350

1400

1450

0.1 1 10 100

P w

f, ps

i

P1hr=1323 psia m=-87.9 psi/cysle

∆t, hrs

Fig. 2.45. Gráfico Semilog de Pwf vs. ∆t

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =∆−= 23.3log

01513.1 2

1

wtp

wfhr

rck

mtPP

sφµ

(2.139)

El método de Pinson es mucho más rápido y más simple que el de Russell. Earlougher demostró que los valores de k y s obtenidos de un gráfico Pinson podría ser considerado como una aproximación de los valores reales. El error en permeabilidad (Ec. 2.140) y en factor de daño (Ec. 2.142) están dados por:

175

( ) *21*

1

1TqTq

q

kkk

Eactual

actualEk −−

=−

= (2.140)

donde:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+∆

=

1

1log

log*

ttt

tT (2.141)

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =∆−−=−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

*10

1513.121

11

Tqqq

mtPP

ssEp

wfhractualEs (2.142)

2.14. METODO SEMILOG PARA PRUEBAS MULTIRATAS La ecuación gobernante es5,21:

( )' log 'i wf n

eqn

P P tm t b

q−

= + (2.143)

donde el tiempo equivalente, teq, se estima mediante (de la Ec. 2.123):

( )( ) nXnqiqiq

in

n

ieq ttt 10

1

11

=−=−−

−=

∏ (2.144)

Si se grafica [Pi - Pwf(t)]/qn vs. Log teq, se obtendrá una línea recta. Utilice las Ecs. 2.119 y 2.120 para estimar permeabilidad y daño. 2.15. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST, PARA PRUEBAS MULTIRATA Los detalles matemáticos de la derivación de las ecuaciones los presentan en detalle Mongi y Tiab20. Estime los siguientes parámetros:

n

niq q

tPPP )(−=∆ (2.145)

donde;

ttt nn ∆+= −1 (2.146)

176

Con el tiempo equivalente, Ec. 2.146, determine la derivada teq*(∆P/q)’ y haga el gráfico de la derivada. El almacenamiento puede obtenerse tomando un punto cualquiera sobre la recta unitaria de tiempo temprano y estimado mediante:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

qPtBC

∆24 (2.147)

La permeabilidad se obtiene con la derivada en el flujo radial usando la Ec. 2.148 y el daño se obtiene con la Ec. 2.149 tomando un valor de tiempo y presión en la línea de flujo radial:

Tabla 2.6. Datos de presión y caudal para prueba multirata5

n t, hr q, BPD Pwf, psi ∆P, psi ∆P /q, psi/BPD Xn teq, hr t*(∆P/q)' teq*(∆P/q)' 0 2906 1 1 1580 2023 883 0.559 0.000 1.000 1 1.5 1580 1968 938 0.594 0.176 1.500 0.0827 0.0827 1 1.89 1580 1941 965 0.611 0.276 1.890 0.0922 0.085 1 2.4 1580 2 3 1490 1892 1014 0.681 0.519 3.306 0.0862 0.0791 2 3.45 1490 1882 1024 0.687 0.569 3.707 0.0459 0.0543 2 3.98 1490 1873 1033 0.693 0.624 4.208 0.038 0.0422 2 4.5 1490 1867 1039 0.697 0.673 4.712 0.0752 0.0576 2 4.8 1490 3 5.5 1440 1853 1053 0.731 0.787 6.124 0.111 0.1044 3 6.05 1440 1843 1063 0.738 0.819 6.596 0.076 0.0933 3 6.55 1440 1834 1072 0.744 0.849 7.056 0.0601 0.07 3 7 1440 1830 1076 0.747 0.874 7.481 0.2905 0.0683 3 7.2 1440 4 7.5 1370 1827 1079 0.788 0.974 9.412 0.4561 0.0941 4 8.95 1370 1821 1085 0.792 1.009 10.212 0.245 0.0764 4 9.6 1370 5 10 1300 1815 1091 0.839 1.124 13.311 0.319 0.1996 5 12 1300 1797 1109 0.853 1.153 14.239 0.2056 0.2094 6 14.4 1260 7 15 1190 1775 1131 0.950 1.337 21.746 0.2518 0.1018 7 18 1190 1771 1135 0.954 1.355 22.662 0.1366 0.0946 7 19.2 1190 8 20 1160 1772 1134 0.978 1.423 26.457 0.2151 0.1913 8 21.6 1160 9 24 1137 1756 1150 1.011 1.485 30.553 0.2147 0.2311

177

10 28.8 1106 11 30 1080 1751 1155 1.069 1.607 40.426 0.3864 0.2234 11 33.6 1080 12 36 1000 13 36.2 983 1756 1150 1.170 1.788 61.414 0.3984 0.4908 13 48 983 1743 1163 1.183 1.799 63.020

rqPthBk

)*(.

′=

∆µ670 (2.148)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 43.7ln

)'*()(

5.0 2wt

r

rq

rq

rckt

PtP

sφµ∆

∆ (2.149)

Cuando la rata de flujo tiene una variación moderada, se prefiere utilizar tiempo real en vez de tiempo equivalente con excelentes resultados. Por el contrario, cambios bruscos en la rata de flujo proporcionan resultados inaceptables. Es recomendable que los datos de la prueba se registren en intervalos iguales de tiempo para obtener derivadas más suavizadas. TDST es aplicable a pruebas de dos ratas y existe además una técnica para pruebas donde hay una rata de flujo constante precedida por rata de flujo variable. Para pruebas de inyección con múltiples ratas, referirse al artículo SPE 76714 (tomado de la Ref. 5). EJEMPLO Estime permeabilidad y porosidad utilizando el método cartesiano, semilog y TDST usando los datos de presión y rata de flujo medidos en una prueba multirata se dan en la tabla 2.6. Otros parámetros conocidos del yacimiento son: Pi = 2906 psi B = 1.27 bbl/STB µ = 0.6 cp h = 40 ft rw = 0.29 ft φ = 11.2 % ct = 2.4x10-6 1/psi

SOLUCION Una de las dificultades de éste método es la determinación de Xn y del tiempo equivalente, teq, lo que lo hacen un procedimiento tedioso. Para ilustrar esto se estimará Xn a las 6.05 hrs, utilizando la Ec. 2.123. Observe que cada valor de j se refiere al nivel n en la prueba y por lo tanto se usa el último dato de tiempo y caudal de cada intervalo de j que finalmente afecta la prueba. Para el ejemplo, n = 3 y:

178

( ) ( ) ( )11 1 1

1 1

1log logn n

i in i i i i

i in n

q qX t t q q t tq q

−− − −

= =

⎛ ⎞−= − = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 11580 0 log 6.05 0 1490 1580 log 6.05 2.41440 1440n j j

X= =

= − − + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )3

1 1440 1490 log 6.05 4.8 0.8191440 j=

+ − − =⎡ ⎤⎣ ⎦

Método Cartesiano: La tabla 2.6 presenta el resumen de los valores calculados para la presión normalizada [Pi - Pwf(t)]/qn, tiempo de superposición, Xn , Ec. 2.123 y tiempo equivalente, teq, Ec. 2.144. La Fig. 2.45 muestra los del gráfico cartesiano de [Pi - Pwf(t)]/qn versus Xn. Se observan allí dos líneas rectas. Note que la pendiente de la segunda línea recta es mayor que la de la primera indicando ya sea una falla, una zona de baja permeabilidad o estado pseudoestable. Los resultados de regresión lineal dan un a pendiente m’=0.2296 psi/(STB/D), y un intercepto b’=0.5532 psi/(STB/D). La permeabilidad y el daño se calculan con la Ecs. 2.124 y 2.125, respectivamente:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

3

1 11580 0 log 6.05 0 1490 1580 log 6.05 2.41440 1440

1 1440 1490 log 6.05 4.8 0.8191440

n j j

j

X= =

=

= − − + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ − − =⎡ ⎤⎣ ⎦

162.6 (162.56)(1.27)(0.6) 13.49 md

' 0.2296(40)Bk

m hµ

= = =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= 23.3log

''1513.1 2

wt rck

mbs

φµ

6 2

0.5532 13.481.1513 log 3.23 3.870.2296 (0.112)(0.6)(2.4 10 )(0.29 )

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟×⎝ ⎠⎣ ⎦

Método semilog: La Fig. 2.47 es un gráfico semilog de [Pi - Pwf(t)]/qn versus t y teq. El objeto de éste gráfico es el de comparar entre el análisis riguroso usando tiempo equivalente, teq, y análisis usando el tiempo real de flujo, t. Note que durante el primer ciclo los gráficos de t y teq son prácticamente iguales. La regresión para el caso de tiempo real dio una pendiente m’=0.2411 psi/(STB/D)/ciclo e intercepto b’ o ∆P/q(1hr)=0.553 psi/(STB/D). De nuevo, la permeabilidad y el daño se calculan con la Ecs. 2.124 y 2.125, respectivamente:

179

162.6 (162.56)(1.27)(0.6) 12.84 md' 0.2411(40)

Bkm h

µ= = =

6 2

0.553 12.841.1513 log 3.23 3.980.2411 (0.112)(0.6)(2.4 10 )(0.29 )

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟×⎝ ⎠⎣ ⎦

La línea recta con teq tiene una pendiente m’=0.2296 psi/(STB/D)/ciclo, e intercepto b’ ó ∆P/q(1hr)=0.5532 psi/(STB/D). Luego la permeabilidad y el daño estimados mediante las Ecs. 2.124 y 2.125 son 13.49 md y –3.87, respectivamente. Método de Tiab’s Direct Synthesis Technique: La derivada de la presión normalizada también se reporta en la tabla 2.6. La Fig. 2.47 ilustra un gráfico log-log de ∆Pq and (t*∆P'q) versus t y teq. Durante el primer ciclo los dos juegos de datos tienen aproximadamente la misma tendencia. De dicho gráfico, se observa la línea de comportamiento infinito y se leen los siguientes valores: (t*∆P'q)r = 0.097 psi/(STB/D), (∆Pq)r = 0.69 psi/(STB/D) y tr = 4 hrs La permeabilidad y el daño se estiman, respectivamente, usando las Ecs. 2.148 y 2.149:

70.6 (70.6)(1.27)(0.6) 13.86 md( * ) 0.097(40)q r

Bkh t P

µ= = =

′∆

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 43.7ln

)'*()(

5.0 2wt

r

rq

rq

rckt

PtP

sφµ∆

∆

6 2

0.69 (13.86)(4)0.5 ln 7.43 3.7940.097 (0.112)(0.6)(2.4 10 )(0.29 )

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟×⎝ ⎠⎣ ⎦

La comparación de los resultados obtenidos mediante los diferentes métodos se resumen en la tabla 2.7.a. Note que todos los resultados concuerdan bien. La estimación de la permeabilidad usando tiempo real tiene una desviación absoluta de 4.81 %. Puesto que este error es aceptable se puede realizar el análisis graficando presión normalizada vs. tiempo ya que el cálculo de Xn es tedioso y requiere un programa de computador. Se halló una diferencia de 2.74 % entre los resultados obtenidos de la TDST y el análisis semilog. Nótese que la derivada tiene mucho ruido probablemente debido a que el incremento del tiempo no es igualmente espaciada.

180

Para la aplicación de pruebas multirata en otros sistemas (inyección, pozos horizontales, etc.) el lector debería consultar las Refs. 6-11, 13-16,19-20,25-28.

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

Xn, tiempo de superposición

∆ P/q

, psi

/BPD

m'=0.2296 psi/BPD

b' = 0.5532 psi/BPD

Fig. 2.46. Gráfico cartesiano de presión normalizada vs. Tiempo de superposición

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1 10 100

t y teq, hrs

∆ P/q

, psi

/BPD

t teq

m'=0.2411 psi/BPD/ciclo, t real

b' = 0.553 psi/BPD, t real

m'=0.2296 psi/BPD/ciclo, teq

b' = 0.5532 psi/BPD, teq

Fig. 2.47. Gráfico semilog de presión normalizada vs. Tiempo equivalente y tiempo real

181

0.01

0.1

1

10

1 10 100

t teq

t y teq, hrs

∆ P q,

t*∆ P

q' y

t eq

*∆P

q', p

si/S

TB

t *(∆Pq)'r = 0.097 psi/STB

(∆Pq)r = 0.69 psi/BPD

tr = 4 hrs

Fig. 2.48. Gráfico log-log de presión normalizada y su derivada vs. Tiempo equivalente y tiempo real

Tabla 2.7.a. Comparación de resultados estimados mediante diferentes técnicas

TECNICA k, md s Tiempo de Superposición Método Cartesiano

13.49 -3.87

Tiempo Equivalente Método Semilog

13.49 -3.87

Tiempo Real Método Semilog

12.84 -3.98

TDST 13.86 -3.794 2.16. PRUEBAS DE DECLINACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS33

Slider23,30,31 sugirió una metodología para analizar pruebas de presión cuando no existen condiciones constantes con anterioridad a la prueba. La Fig. 2.49.a esquematiza un pozo con la presión de cierre declinando (línea sólida) antes que iniciara la prueba a un tiempo t1. La línea punteada representa la extrapolación futura sin el efecto de otros pozos en el yacimiento. La producción inicia en t1 y la presión se comporta como lo muestra la línea sólida23.

182

t1

Pres

ión

Tiempo de flujo

Declinación inicial de presión observada

Extrapolación esperadapara un único pozo

Declinación de presión observada

∆t

∆Pow(t)

∆P∆t

Fig. 2.49.a. Comportamiento de una prueba de declinación en un pozo depletado El procedimiento sugerido por Slider23,30,21 para analizar correctamente pruebas de este tipo se presenta a continuación: 1) Extrapole correctamente la presión de cierre 2) Estime la diferencia entre la presión de fondo fluyente observada y la presión

extrapolada, ∆P∆t 3) Grafique ∆P∆t vs. log ∆t. Esto debería dar una recta cuya pendiente puede

analizarse usando las Ecs. 2.30 y 2.40.

162.6 q Bkhm

µ= (2.30)

121.1513 log 3.23hr i

t w

P P ksm c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.40)

Para el caso particular, la Ec. 2.40 puede rescribirse como:

( )121.1513 log 3.23t hr

t w

P ksm c rφµ∆⎡ ⎤∆ ⎛ ⎞

= − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

Sin embargo, éste análisis podría ser modificado de la siguiente manera5. Considere un pozo cerrado en un yacimiento desarrollado con otros pozos en operación. Existe una declinación de presión en el pozo cerrado producto de la producción de los otros pozos. Después que el pozo de prueba se ha puesto en producción al tiempo t1, su presión será:

183

[ ]141.2 ( , 1,...) ( )wf i D D D owq BP P P t r s P t

khµ

= − ∆ = + − ∆ (2.150)

De acuerdo con la Fig. 2.49.a, ∆Pwo(t) es la caída de presión con respecto a Pi causada por otros pozos en el yacimiento y se mide a un tiempo t = t1 + ∆t. ∆Pwo(t) puede estimarse por superposición a partir de:

2

141.2( ) ( ) ( , ...)n

ow i w j j D D Djj

P t P P t q B P t rkh

µ=

∆ = − = ∑ (2.151)

La Ec. 2.151 asume que todos los pozos arrancan a producir a t = 0. Esto no siempre es cierto; para incluir pozos que arrancan a diferentes tiempos se necesita una superposición más compleja. Si los otros pozos en el yacimiento operan bajo estado pseudoestable, como normalmente ocurre, la Ec. 2.151 se convierte en:

( ) *owP t b m t∆ = − (2.152) La pendiente, m*, es negativa cuando se grafica ∆Pwo(t) vs. t ó es positiva si se grafica Pw vs. t. m* se estima antes de que el pozo de prueba se abra en producción como la rata de declinación de la presión:

2 1

2 1

( ) ( )* ws ws wsdP P Pmdt t t

−= =

− (2.153)

Si se dispone de datos de presión antes de la prueba, m* puede estimarse fácilmente. También, se puede estimar mediante una ecuación resultante de reemplazar la Ec. 2.44 en la 2.151:

2

0.23395*n

j jjt

m q Bc hAφ =

−= ∑ (2.154)

estando el volumen del yacimiento en ft3. Combinando adecuadamente las Ecs. 2.24 (con rD = 1), 1.30, 2.150 y 2.152, resulta:

1* logwf hrP m t m t P− ∆ = ∆ + ∆ (2.155) donde m y P1hr se obtienen de las Ecs 2.29 y 2.30:

1 ( 0) 2log 3.2275 0.8686hr ws tt w

kP P m sc rφµ∆ =

⎡ ⎤⎛ ⎞= + − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

184

Tabla 2.7.b. Datos de presión para ejemplo de yacimiento desarrollado

t, hr Pwf, psi t, hr Pwf, psi t, hr Pwf, psi 0 5000 4000.00 4278.93 7091.28 2007.41

4.51 5000.0001 4000.10 4134.44 7511.28 1899.99 10.10 4999.98 4000.20 4015.56 7931.28 1792.61 56.79 4991.08 4000.40 3830.82 8351.28 1685.19

100.98 4970.97 4000.64 3676.32 8771.28 1577.72 201.48 4926.98 4001.13 3478.40 9191.28 1470.25 319.33 4887.16 4001.80 3345.40 9611.28 1362.85 402.02 4864.59 4005.06 3166.11 10031.28 1255.45 506.11 4840.13 4017.96 3039.90 10451.28 1148.04 637.15 4813.27 4090.00 2891.65 10871.28 1040.57 802.13 4782.99 4201.48 2807.85 11291.28 933.06 1009.82 4747.74 4402.02 2720.00 11711.28 825.63 1271.28 4705.41 4637.15 2644.70 12131.28 718.26 1551.28 4661.10 5009.82 2542.16 12551.28 610.85 2111.28 4573.46 5411.28 2437.61 12971.28 503.40 2671.28 4486.12 5831.28 2329.70 13391.28 395.95 3091.28 4420.63 6251.28 2222.26 13811.28 288.51 3511.28 4355.13 6671.28 2114.85 14000.00 240.23

La Ec. 2.155 indica que un gráfico de Pw f - m*∆t vs. log ∆t da una recta de pendiente m y corte ∆P1hr en ∆t = 1 hr. La permeabilidad se pude hallar de la ecuación anterior. El daño se estima de un arreglo de la Ec. 2.40:

12

( 0)1.1513 log 3.23hr ws

t w

P P t ksm c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆ − ∆ == − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

La metodología TDST también puede aplicarse a yacimientos desarrollados. La técnica podría aplicarse tomando la derivada a la presión en forma rigurosa, es decir, sin considerar el efecto de la producción de otros pozos. Como se verá en el ejemplo siguiente, esto no es recomendable puesto que la derivada no es correctamente definida y, por ende, los resultados podrían incluir errores superiores al 10 %. Ver Fig. 2.49.f. En este caso, lo recomendable es corregir o extrapolar la presión mediante:

*ext wfP P m t= − ∆ Una vez, la presión ha sido extrapolada, se le toma la derivada y se aplican las ecuaciones de la TDST visto anteriormente.

185

Tabla 2.7.c. Datos de Pwf, Pext = Pwf - m*∆t, t*∆Pwf', t*∆Pext '

∆t, hr Pwf, psi ∆Pwf, psi t*∆Pwf', psi Pext, psi ∆Pext, psi t*∆Pext ', psi 0.00 4278.93 0.00 0.00 4278.93 0.00 0.00 0.01 4263.17 15.76 16.17 4263.17 15.76 16.17 0.02 4247.80 31.13 31.50 4247.80 31.13 31.50 0.03 4232.77 46.16 46.15 4232.77 46.16 46.14 0.05 4203.65 75.28 73.43 4203.66 75.27 73.42 0.06 4189.53 89.40 86.24 4189.54 89.39 86.23 0.08 4162.11 116.83 110.14 4162.12 116.81 110.13

0.113 4118.69 160.24 145.70 4118.71 160.22 145.69 0.160 4062.04 216.89 187.89 4062.06 216.87 187.86 0.226 3989.51 289.42 234.79 3989.55 289.38 234.75 0.319 3899.81 379.12 281.46 3899.86 379.07 281.41 0.451 3793.92 485.01 319.72 3793.99 484.94 319.65 0.637 3676.32 602.61 339.60 3676.42 602.51 339.50 0.900 3555.47 723.47 333.33 3555.61 723.33 333.19 1.271 3442.11 836.82 300.48 3442.31 836.63 300.27 1.796 3345.40 933.53 250.08 3345.68 933.25 249.79 2.537 3269.25 1009.68 196.69 3269.65 1009.28 196.28 3.583 3211.35 1067.58 152.72 3211.91 1067.02 152.14 5.061 3166.11 1112.82 123.22 3166.90 1112.03 122.39 7.149 3128.10 1150.84 106.39 3129.21 1149.72 105.23

10.098 3093.70 1185.23 97.75 3095.28 1183.65 96.11 16.005 3050.46 1228.47 92.62 3052.96 1225.97 90.01 22.61 3018.94 1259.99 91.11 3022.47 1256.46 87.43 31.93 2987.69 1291.25 90.86 2992.67 1286.26 85.67 45.11 2956.32 1322.61 91.76 2963.37 1315.57 84.42 63.72 2924.46 1354.47 93.89 2934.41 1344.52 83.53 90.00 2891.65 1387.28 97.54 2905.70 1373.23 82.89

127.13 2857.33 1421.60 103.15 2877.17 1401.76 82.47 179.57 2820.74 1458.19 111.39 2848.77 1430.16 82.17 253.65 2780.81 1498.12 123.24 2820.41 1458.52 81.97 358.30 2736.24 1542.70 140.71 2792.17 1486.76 82.41 506.11 2684.75 1594.18 167.76 2763.76 1515.17 85.41 714.90 2622.34 1656.59 211.07 2733.94 1544.99 94.76

1009.82 2542.16 1736.77 279.69 2699.80 1579.13 115.40 1411.28 2437.61 1841.32 380.45 2657.93 1621.01 150.84 1831.28 2329.70 1949.23 489.81 2615.59 1663.35 191.86 2251.28 2222.26 2056.67 600.72 2573.71 1705.22 234.44 2811.28 2079.04 2199.90 749.48 2517.91 1761.03 292.10 3371.28 1935.78 2343.15 898.68 2462.07 1816.86 350.18 4071.28 1756.82 2522.11 1085.26 2392.38 1886.55 422.88 4771.28 1577.72 2701.21 1271.94 2322.57 1956.36 495.67 5611.28 1362.85 2916.08 1495.85 2238.83 2040.10 582.91 6451.28 1148.04 3130.89 1719.92 2155.15 2123.78 670.32

186

∆t, hr Pwf, psi ∆Pwf, psi t*∆Pwf', psi Pext, psi ∆Pext, psi t*∆Pext ', psi 6591.28 1112.23 3166.71 1757.27 2141.19 2137.74 684.89 7711.28 825.63 3453.31 2055.97 2029.43 2249.50 801.38 8831.28 539.22 3739.71 2354.68 1917.88 2361.06 917.87 9951.28 252.69 4026.24 2653.47 1806.19 2472.74 1034.44 10000.00 240.23 4038.70 2666.47 1801.33 2477.60 1039.51

EJEMPLO Se simuló una prueba de presión en un yacimiento de forma cuadrada con un área de 2295.7 acres teniendo un pozo 1 de prueba en el centro y otro pozo 2 a 1956 pies al norte del pozo 1. El pozo 2 produce a una rata de 500 BPD durante 14000 hrs. Al cabo de 4000 hrs de flujo, el pozo 1 se abrió a una rata de flujo de 320 BPD para correr una prueba de declinación de presión cuyos datos se reportan en la tabla 2.7.b. Los datos utilizados para la simulación fueron: rw = 0.3 pie µ = 3 cp ct = 3x10-6 psi-1 h = 30 pies φ = 10 % B = 1.2 bbl/BF k = 33.33 md s = 0 Interprete la prueba mediante las técnicas convencionales y la TDST considerando y sin considerar la presencia del pozo 2. SOLUCION Puede apreciarse en la Fig. 2.49.b el cambio en la presión que se observa en el pozo 1 hasta un tiempo de 4000 hrs, luego del cual éste se coloca en producción para la prueba de declinación. La Fig. 2.49.c presenta el gráfico de Pwf vs. log ∆t obtenida con la información de la tabla 2.7.c. De allí la pendiente y el corte son, respectivamente, -230 psi/ciclo y 3330.9 psi. La permeabilidad se estima de la Ec. 2.30 y el daño de la Ec. 2.40:

162.2 162.6(320)(3)(1.2) 27.15 md30(230)

q Bkhm

µ= = =

6 2

3330.9 4278.93 27.151.1513 log 3.23 1.35230 (0.1)(3)(3 10 )(0.3

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟− ×⎝ ⎠⎣ ⎦

La tabla 2.7.c también reporta los datos de Pwf-m*∆t. La Fig. 2.49.c presenta, además, el gráfico de Pwf – m* ∆t vs. log ∆t. De allí la pendiente y el corte son respectivamente 193.9 psi/ciclo y 3285.9 psi. La permeabilidad se estima de la Ec. 2.30, y el daño de la Ec. 2.40:

187

162.2 162.6(320)(3)(1.2) 32.2 md30(193.9)

q Bkhm

µ= = =

6 2

3285.9 4278.93 32.21.1513 log 3.23 0.25193.9 (0.1)(3)(3 10 )(0.3 )

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟− ×⎝ ⎠⎣ ⎦

Para aplicar la TDST, inicialmente se saca la derivada a los datos de presión de fondo fluyente en forma rigurosa, ver tabla 2.7.c. Con estos datos se obtiene la Fig. 2.49.d de donde se obtienen los siguientes parámetros: tr = 35.826 hr (t*∆P’)r = 90.4 psi ∆Pr = 1301.7 psi La permeabilidad y el daño se hallan con las Ecs. 2.69 y 2.96, respectivamente:

70.6 70.6(320)(3)(1.2) 30 md( * ') 30(90.4)r

q Bkh t P

µ= = ≅

∆

20.5 ln 7.43( * ')

r r

r t w

P ktst P c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆= − +⎢ ⎥⎜ ⎟∆⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

6 2

1301.7 (30)(35.826)0.5 ln 7.43 0.7490.4 (0.1)(3)(3 10 )(0.3 )

s⎡ ⎤⎛ ⎞

= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟×⎝ ⎠⎣ ⎦

Si a los datos de Pwf-m*∆t, o presión corregida, se le toma la derivada, ver tabla 2.7.c y se grafican como se reporta en la Fig. 2.49.e, se obtiene una derivada más definida que la de la Fig. 2.49.d. Los siguientes parámetros fueron leídos del gráfico de la derivada presentado en la Fig. 2.49.e: tr = 319.3321 hr (t*∆P’)r = 82.1177 psi ∆Pr = 1477.3508 psi Los datos de permeabilidad y daño se obtienen con las Ecs. 2.69 y 2.96, respectivamente:

70.6 70.6(320)(3)(1.2) 33.07 md( * ') 30(82.1177)r

q Bkh t P

µ= = ≅

∆

20.5 ln 7.43( * ')

r r

r t w

P ktst P c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆= − +⎢ ⎥⎜ ⎟∆⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

6 2

1477.3508 (33.07)(319.3321)0.5 ln 7.43 0.08782.1177 (0.1)(3)(3 10 )(0.3 )

s⎡ ⎤⎛ ⎞

= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟×⎝ ⎠⎣ ⎦

188

La tabla 2.7.d muestra todos los valores de permeabilidad y daño obtenidos para este ejemplo con sus respectivos errores absolutos con referencia al valor entrado de la simulación. La TDST cuando se toma la presión corregida proporciona los mejores resultados. De la gráfica de la derivada, Fig. 2.49.f, se puede observar que el estado pseudoestable ha sido perfectamente desarrollado, como consecuencia podemos obtener las pendientes cartesianas realiznaod una regresión lineal con los últimos 10 últimos datos a saber: m* (Pwf vs. ∆t) = -0.256 psi/hr y m* (Pext vs. ∆t) = -0.0992 psi/hr. La Ec. 2.47 permite obtener el área de drene del pozo 2:

( ) 6

0.23395 0.23395(320)(1.2) 895.2 Acres* (0.1)(3 10 )(30)(0.256)(43560)wfP

t

qBAc hmφ −= − = =

×

( ) 6

0.23395 0.23395(320)(1.2) 2310 Acres* (0.1)(3 10 )(30)(0.0992)(43560)extP

t

qBAc hmφ −= − = =

×

La Ec. 2.97 permite determinar el área de drene usando la TDST, usando trpi = 376.6049 hr (Fig. 2.49.d) y trpi = 800.5503 hrs (Fig. 2.49.e):

6

(30)(376.604) 955 Ac301.77 301.77(0.1)(3)(3 10 )wf

rpiP

t

ktA

cφµ −= = =×

6

(33.07)(800.5503) 2237.8 Ac301.77 301.77(0.1)(3)(3 10 )ext

rpiP

t

ktA

cφµ −= = =×

La Fig. 2.49.e proporciona un comparativo de la derivada de la presión de fondo fluyente ignorando el efecto del pozo 2 y de la derivada de la presión incluyendo el efecto del pozo 2. Se observa allí que la zona de flujo radial es más corta y mucho menor definida. Por otro lado la zona de estado pseudoestable aparece primero cuando no se incluye el efecto del pozo adyacente, lo que indica que el área de drene del pozo, y por ende, las reservas allí presentes estarán sustancialmente subestimadas.

Tabla 2.7.d. Resultados de permeabilidad y daño para ejemplo de yacimiento desarrollado

Fuente k, md Error Abs., % s Error Abs., %

Dato de entrada (simulación) 33.33 0 Método Semilog de Pwf 27.15 18.54 -1.35 135 Método Semilog de Pext 32.2 3.39 -0.29 29 Método TDST con Pwf 30 9.99 -0.74 74 Método TDST con Pext 33.07 0.78 -0.087 8.7

189

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

Pw

f , ps

i

∆t, hr

Fig. 2.49.b. Gráfica cartesiana de los datos de presión tomados en el pozo 1

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0.1 1 10 100 1000 10000

Pwf-m*dtPwf

Pw

fy

Pw

f - m

*∆t,

psi

∆t, hr

mPwf = 230 psi/cicloP1hr Pwf = 3330.9 psi

mPwf - m*∆t =193.9 psi/cicloPPwf - m*∆t= 3285.9 psi

Fig. 2.49.c. Gráfica semilog para ejemplo de un yacimiento desarrollado

190

10

100

1000

10000

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

t*∆

( Pw

f - m

*∆t)'

, psi

∆t, hr

(∆P)r = 1301.7 psi

tr = 35.82 hr

(t*∆P')r = 90.4 psi

trpi = 376.6049 hr

Fig. 2.49.d. Derivada de Pwf-m*∆t para ejemplo de un yacimiento desarrollado

10

100

1000

10000

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

t*∆P

wf ',

psi

∆t, hr

(∆P)r = 1477.35 psi

tr = 319.3321 hr

(t*∆P')r = 82.1177 psi

trpi = 800.5503 hr

Fig. 2.49.e. Derivada de Pwf-m*∆t para ejemplo de un yacimiento desarrollado

191

Pre

sión

y d

eriv

adas

de

pres

ión,

psi

∆t, hr

10

100

1000

10000

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

∆Pextt*∆Pext', psi∆Pwf, psit*∆Pwf', psi

Fig. 2.49.f. Comparación de la derivada de Pwf y Pext para ejemplo de unyacimiento desarrollado

2.17. TDST PARA YACIMIENTOS ALARGADOS Estos yacimientos pueden aproximarse a la geometría descrita por la Fig. 2.50 (parte a). y resultan principalmente de depósitos fluviales, comúnmente llamados canales. Los posibles regímenes de flujo cuando el pozo está completamente descentrado se presentan en la Fig. 2.52. Cuando las fronteras paralelas del yacimiento son de no flujo (cerradas), y el pozo se encuentra localizado a un extremo de éste, Fig. 2.50 (parte c), se observa que el régimen de flujo dominante es el flujo lineal caracterizado por una pendiente de 0.5, ver Fig. 2.50, y cuya ecuación gobernante es7,10,32 :

22

L

DD D L L

D

tP t s s

Wπ

π= + = + (2.156)

Siendo sL el daño causado por el cambio de flujo lineal a radial. Los parámetros adimensionales se definen como:

2

0002637.0

wtD rc

kttµφ

= (2.60)

E

Dw

Ywr

= (2.157.b)

192

YE

x E

X w

Pozo

Pozo

YE

YE

h

h

a) GEOMETRIA DEL YACIMIENTO

b) FLUJO DUAL LINEAL

c) FLUJO LINEAL

Fig. 2.50. Geometría del yacimiento y caracterización de los regímenes de flujo

* ' * '141.2D D

kht P t Pq Bµ

= ∆ (2.158)

La derivada de la Ec. 2.156 es:

* ' DD D

D

tt P

Wπ

= (2.159)

Reemplazando las Ecs. 2.157.b, 2.158 y 2.60 en la Ec. 2.159 y despejando el producto de la raiz de la permeabilidad por el ancho del yacimiento, YE, se tiene:

7.2034( * ')E

L t

qB tkYh t P c

µφ∆

=∆

(2.160)

Para ∆t = 1 hr

1

7.2034( * )E

L t

qBkYh t p c

µφ

=∆

(2.161)

193

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

P y

t

*P'

D

D

D

t D

Fin del flujo radial

Flujo dual lineal

Estado pseudoestable

1/2

Pozo en el centro - Laterales cerrados

Fig. 2.51. Comportamiento de la presión adimensional y la derivada de la presión adimensional para un yacimiento rectangular XE/YE=128 con el pozo situado en la

mitad del yacimiento10

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

`

P y

t

*P'

D

D

D

t D

1/8

Pozo a 1/8 - laterales cerrados

Flujo dual lineal

Flujo lineal puro


Fin del flujo radial

Fig. 2.52. Comportamiento de la presión adimensional y la derivada de la presión

adimensional para un yacimiento rectangular XE/YE=128 con el pozo situado a 1/8 de la frontera más cercana10

194

2L

DD

D

ttw

= (2.157.a)

El producto de la raiz de la permeabilidad por el ancho del yacimiento, YE, puede ser calculada del flujo lineal dual, DL, que toma lugar cuando el pozo se encuentra localizado a cualquier distancia de la frontera lateral más cercana a él, ver Fig. 2.50 (parte b). El comportamiento de la presión adimensional y su derivada se presentan en la Fig. 2.51.

2 DD L

D

tP s

Wπ

= + (2.162)

cuya derivada es:

* ' DD D

D

tt P

Wπ

= (2.163)

Al remplazar las variables adimensionales se tiene:

4.064( * ')E

DL t

qB tkYh t P c

µφ∆

=∆

(2.164)

Para ∆t = 1 hr

1

4.064( * ')E

DL t

qBkYh t P c

µφ

=∆

(2.165)

Puntos de Intersección Para tiempos largos de producción, en la derivada de pseudopresión se obtiene una línea recta de pendiente unitaria la cual corresponde al flujo de estado pseudoestable, cuya ecuación esta dada por10: ( )* ' 2 *D D DApsst P tπ= (2.166)

Esta línea se intercepta con la línea del flujo lineal y doble lineal obteniéndose el área de drene del yacimiento. Para flujo doble lineal se tiene:

2

301.77DLPi E

t

kt YAcφµ

= (2.167)

195

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12

P y

t

*P'

D

D

D

t D

Flujo dual lineal


Almace-namiento

Primer Flujo radial

2o. Flujo radial

Flujo l

ineal

Fig. 2.53. Comportamiento de la presión adimensional y la derivada de la presión adimensional para un yacimiento rectangular con el pozo situado asimétricamente

con respecto a los lados del yacimiento10

Para flujo lineal se tiene:

2

948.047LPi E

t

kt YAcφµ

= (2.168)

La línea de flujo radial y la línea de estado pseudoestable interceptan en:

π41

=DARPit (2.169)

Donde:

Acktt

tDA µφ

0002637.0= (2.170)

Sustituyendo la ecuación 2.170 en 2.169 y despejando el área se obtiene10,27:

t

RPi

ckt

Aφµ77.301

= (2.171)

196

Igualmente, de la intersección de la línea de comportamiento radial infinito de la derivada de presión (línea recta horizontal) con los flujos lineal y doble lineal se obtienen ecuaciones para calcular el ancho del yacimiento lineal. El punto de corte entre el flujo radial y el flujo lineal es único, tRLi, donde el valor de la derivada adimensional de la presión adquiere un valor de ½ cuando el pozo se encuentra centrado con respecto a sus fronteras más cercanas y de 1 cuando el pozo esta descentrado y se observan dos líneas horizontales, ver Fig. 2.52, Luego:

( )* ' 0.5DD D DL

D

tt P

Wπ

= = (2.172)

Reemplazando las Ecs. 2.157.b, 2.158 y 2.60 en la Ec. 2.172 se obtiene el ancho del yacimiento YE en unidades de campo:

0.05756 RDLiE

t

ktYcφµ

= (2.186)

Cuando se observan dos líneas horizontales (dos flujos radiales) o cuando el primero está enmascarado, la Ec. 2.173 se transforma en:

0.02878 RDLiE

t

ktYcφµ

= (2.173)

Para puro flujo lineal, las ecuaciones 2.173 y 2.174 se transforman respectivamente en:

0.1020 RLiE

t

ktYcφµ

= (2.174)

0.051 RLiE

t

ktYcφµ

= (2.175)

El daño causado por la convergencia del flujo lineal a radial puede hallarse dividiendo la presión adimensional por su derivada adimensional, Ecs. 2.156 y 2.158, sustituyendo las variables adimensionales por las cantidades en unidades de campo y despejando el daño, sL:

12( * ') 34.743

L LL

L E t

P ktst P Y cφµ

⎛ ⎞∆= −⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(2.176)

197

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

1,E+03

1,E+04

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09 1,E+10 1,E+11 1,E+12

Flujo Pseudo estable

Flujo Dual lineal

t *P

' D

D

tD

Flujo Lineal

Flujo Radial

tDLPSSi

tLPSSi

tRPSSi

X = 1/4 X /Y = 512

D

EE

tDLPitLPi

Fig. 2.54. Puntos de intersección característicos de los yacimientos lineales10

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09 1,E+10 1,E+11 1,E+12

Flujo Radial

Flujo parabólico

Flujo Dual lineal

tDLPBi

tRPBi

t *P'

D

D

tD

Yacimiento con frontera lejana cerrada

XD = 1/16XE/YE = 512

X = 1/16 X /Y = 512

D

EE

Fig. 2.55. Puntos característicos del flujo parabólico7,10,32

198

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09 1,E+10 1,E+11 1,E+12 1,E+13

Yacimiento con frontera lejana cerrada

Yacimiento con fronteras abiertas

t *P'

D

D

tD

m= -1

Flujo Dual lineal

Flujo Radial

Flujo Parabólico

X = 1/4 X /Y = 512

D

EE

Fig. 2.56. Características de las líneas de pendiente -17,10

Donde tL es cualquier tiempo conveniente durante el flujo lineal y ∆PL y t*∆PL’ son la presión y la derivada de presión correspondientes a tL. El daño causado por la convergencia del flujo dual lineal a radial puede también hallarse dividiendo la presión adimensional por su derivada adimensional, Ecs. 2.162 y 2.163 y despejando el daño, sL:

12( * ') 19.601

DL DLDL

DL E t

P ktst P Y cφµ

⎛ ⎞∆= −⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(2.177)

Donde tDL es cualquier tiempo conveniente durante el flujo lineal y ∆PDL y t*∆PDL’ son la presión y la derivada de presión correspondientes a tDL. En yacimientos lineales cuando el pozo está descentrado y existe una acción simultánea del flujo lineal, en un lado, y del estado estable, en el otro extremo, se presenta un flujo de pendiente de -1/2, que no corresponde al flujo esférico o hemisférico, ver Figs. 2.55 y 2.56. Dada la geometría de las líneas de corriente este regimen de flujo se llama flujo parabólico7,32. La ecuaciones gobernantes de este regimen de flujo son:

( )2

2 0.5( ) ED D D D PB

E

XP W X t sY

−⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.178)

199

( )2

2 0.5* '2

D ED D D D

E

W Xt P X tY

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.179)

Usando la filosofía de la Tiab´s Direct Synthesis technique, se obtiene una relación para estimar el daño causado por la convergencia de flujo dual lineal a flujo parabólico y la posición del pozo.

( )123.162

* 'x tPB

PBE PBPB

b cPst P Y kt

φµ⎛ ⎞∆= +⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(2.180)

( )

0.51.5

2 17390* '

tE

x PBPB

ck Y q Bb h t P t

φµµ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(2.181)

El daño total para este tipo de yacimiento se evalúa de acuerdo a los regímenes de flujo que se presenten: • Pozo cerca de la frontera cerrada. En este caso se presentan el flujo radial, dual

lineal y lineal.

r DL Ls s s s= + + (2.182) • Pozo cerca de la frontera abierta. En este caso se presentan el flujo radial, dual

lineal y flujo parabólico7,32.

r DL PBs s s s= + + (2.183) Los puntos de intersección, ver Figs. 2.53 a 2.56, hallados entre las diferentes líneas de la derivada permiten desarrollar las siguientes ecuaciones:

2

301.77DLPSSi E

t

kt YAcφµ

= (2.184)

2

948.047LPSSi E

t

kt YAcφµ

= (2.185)

0.05756 RDLiE

t

ktYcφµ

= (2.186)

200

0.1020 RLiE

t

ktYcφµ

= (2.187)

1

65.41DLPBi

xt

ktbcφµ

= (2.188)

0.5

*246.32

RPBiEx

t

ktYbcφµ

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.189)

Para casos de estado estable se traza una pendiente unitaria negativa, SS1, cuyo corte con la línea de flujo parabólico permite estimar la longitud del yacimiento, ver Fig. 2.56.

13 177.9E

PBSS ix

t

ktX b

cφµ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.190)

1. Fronteras abiertas • Intersección pendiente -1 con flujo dual lineal

1

33

9 3

1 11.426 10E

DLSS i

t x

ktX

c bφµ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2.191)

• Intersección pendiente -1 con flujo radial

1

2 23

6 3

14.72 10E

RSS i E

t x

kt YXc bφµ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (2.192)

• Intersección pendiente -1 con flujo pendiente -½

13 177.9E

PBSS ix

t

ktX b

cφµ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.193)

2. Fronteras mixtas (pozo cerca de la frontera abierta) • Intersección pendiente -1 con flujo dual lineal

201

2

33

10 3

1 11.42 10E

DLSS i

t x

ktX

c bφµ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2.194)

• Intersección pendiente -1 con flujo radial

2

2 23

7 3

14.66 10E

RSS i E

t x

kt YXc bφµ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (2.195)

• Intersección de la línea de pendiente -1 con la linea de flujo parabólico de

pendiente -½

23 1768.4E

PBSS ix

t

ktX b

cφµ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.196)

Del punto de inflexión entre el flujo dual lineal al lineal se puede obtener la posición del pozo, mediante cualquiera de las siguientes relaciones:

5448.2F

xt

ktbcφµ

= (2.197)

( * ')415.84

Ex F

khYb t Pq Bµ

= ∆ (2.198)

Puntos máximos – Pozo cerca de la frontera abierta. Primer punto máximo (cambio de flujo dual lineal a parabólico)

1( * ')ED D X

E D

X t PY X

π⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.199)

1158.8

Xx

t

ktbcφµ

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.200)

1( * ')159.327

E Xx

khY t Pbq Bµ

∆= (2.201)

Segundo Punto Máximo (fin de la línea de flujo parabólico y comienzo del flujo estable):

202

2 π

1

Dt

DL DLb s⇒

DP

Fig. 2.57. Grafico de PD vs. tD0.5 Durante el flujo lineal25

2

2

1637.3( * ')

xE

E X

b q BXY kh t P

µ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.102)

0.5

2139.2

XE

t

ktXcφµ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.103)

Pozo cerca de la frontera cerrada

0.5

3144.24

XE

t

ktXcφµ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.104)

2.18. METODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS ALARGADOS La Ec. 2.30 se utiliza para determinar la permeabilidad del flujo radial de un gráfico semilogarítmico, ver Fig. 2.58. La ecuación dimensional que gobierna el flujo dual lineal es (ver Fig. 2.58)25,35-36:

0.58.1282 141.2

DLE t

qB q BP t sY kh c k kh

µ µφ

⎛ ⎞∆ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.105.a)

En pruebas de restauración de presión, aplicando el principio de superposición, se tiene35:

203

( )0.5

8.1282p

E t

qBP t t tY kh c k

µφ

⎛ ⎞∆ = + ∆ − ∆⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.105.b)

Las Ecs. 105.a y 105.b implican que en un gráfico Cartesiano de ∆P vs. ya sea t o

( )pt t t+ ∆ − ∆ se observará una recta duran el flujo dual lineal con pendiente,

mDLF, e intercepto, bDLF, que se usan para hallar el ancho del yacimiento, YE, y el factor de daño dual lineal, sDL.

0.5

8.1282EDLF t

qBYm h k c

µφ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (2.106.a)

141.2DLF

DLkhbs

q Bµ= (2.106.b)

Es de anotar que en otros autores25 presentan la siguiente expresión:

1 ln2 141.2

wDLFDL

e

rkhbsq B Yµ

⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.106.c)

Las ecuaciones gobernantes para declinación y restauración de presión, respectivamente, para flujo lineal único son:

14.407 141.2wf L

E t

q B kt q BP sY kh c kh

µ µφµ

∆ = + (2.107.a)

( )14.407ws p

E t

q B kP t t tY kh c

µφµ

∆ = + ∆ − ∆ (2.107.b)

Similarmente al caso de dual lineal, al graficar en coordenadas Cartseianas ∆P vs.

t o pt t t+ ∆ − ∆ se obtendrá una recta en la region influenciada por flujo lineal con pendiente, mLF, y corte, bLF, que se usan, respectivamente, para estimar ancho del yacimiento, YE, y el factor de daño lineal, sL.

0.514.407

ELF t

qBYm h c k

µφ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.108.a)

141.2LF

Lkhbs

q Bµ= (2.108.b)

204

1m *

log t, hr

P, p

si

Fig. 2.58. P Versus t0.5 Durante el flujo lineal25

La ecuación gobernante para flujo parabólico fue introducida en las Refs. 10, 32 y 35. La forma convencional de dicha ecuación35, incluyendo restauración, es:

1.5234780.8 1 141.2x twf PB

E

qBb c q BP shY k kht

φ µ µ⎛ ⎞∆ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.109.a)

1.5234780.8 1 1x t

wsE p

qBb cP

hY k t t tφ µ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟∆ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.109.b)

De un gráfico Cartesiano de ∆P vs. 1/ t o ( )1/ 1/pt t t+ ∆ − ∆ se observará una

recta en el periodo dominado por este flujo, cuya pendiente, mPB, e intercepto, bPB, conducen a la obtención de la excentricidad del pozo, bx, y factor de daño parabólico, sPB, respectivamente, como:

1.5

34780.8PB E

xt

m hY kbqB c µφ

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.110.a)

141.2PB PBkhs b

q Bµ= (2.110.b)

El área se puede calcular del flujo pseudoestable de la siguiente ecuación:

205

Tabla 2.8. Datos de presión y derivada de presión para ejemplo real de yacimiento rectangular

t, hr ∆P,

psi t*∆P´,

Psi t, hr ∆P,

psi t*∆P´,

Psi t, hr ∆P,

psi t*∆P´,

Psi 0.165 49.00 51.00 4.331 331.24 147.65 9.824 458.47 136.700.332 99.00 67.00 4.498 336.89 149.17 10.157 463.23 132.870.498 122.42 60.38 4.665 342.30 151.39 10.490 467.44 134.030.665 140.49 66.57 4.831 347.70 152.79 10.824 471.48 132.580.831 156.07 73.69 4.998 352.84 154.09 11.157 475.61 130.610.998 170.14 80.12 5.165 358.01 155.83 11.490 479.47 127.781.165 182.92 84.74 5.331 362.96 156.87 11.824 483.19 126.711.331 194.48 88.67 5.498 367.77 157.85 12.157 486.70 125.211.498 205.17 92.44 5.665 372.54 159.51 12.490 489.94 122.971.665 215.09 96.63 5.831 377.15 159.55 12.824 493.12 119.841.831 224.53 101.16 5.998 381.67 159.94 13.157 496.26 117.321.998 233.54 105.28 6.165 386.10 161.25 13.490 499.19 115.012.165 242.11 109.19 6.331 390.50 161.31 13.824 502.05 113.782.331 250.33 113.12 6.498 394.60 161.74 14.157 504.71 111.162.498 258.24 116.37 6.665 398.63 161.58 14.490 507.15 109.552.665 265.94 120.68 6.831 402.76 161.88 14.990 510.78 106.052.831 273.23 124.15 6.998 406.64 161.66 15.490 514.29 102.522.998 280.57 126.97 7.165 410.42 161.90 15.990 517.45 99.40 3.165 287.49 130.91 7.331 414.19 161.66 16.490 520.59 97.21 3.331 294.22 133.24 7.657 421.18 161.21 16.990 523.48 93.62 3.498 300.85 136.37 7.990 428.16 160.73 17.490 526.10 90.44 3.665 307.28 138.93 8.324 434.62 153.77 17.990 528.57 86.87 3.831 313.54 141.42 8.657 440.94 149.99 20.474 470.79 50.29 3.998 319.60 143.73 8.990 446.87 146.59 22.640 538.42 10.60 4.165 325.50 145.48 9.490 453.81 140.47

*

0.234E E

t

qBX Yhc mφ

= (2.111)

Siendo m* es la pendiente del grafico Cartesiano de presión contra tiempo (psi/hr), Ver Fig. 2.30. Alternativamente, si se conoce el ancho del yacimiento por alguna otra fuente, es posible determinar la anisotropía en permeabilidad areal36. EJEMPLO El presente ejemplo se tomó de una prueba de presión de un pozo de petróleo ubicado en un canal de un yacimiento en Colombia, los datos de presión y derivada de presión se presentan en la tabla 2.8, y los de roca y fluido se presentan a continuación.

206

q = 1400 bbl/Dia h = 14 ft ct = 9x10-6 psi-1 rw = 0.51 pies φ = 24 % Bo = 1.07 bbl µ = 3.5 cp Usando la TDST y análisis convencional: 1) Estime la permeabilidad del flujo radial 2) Determine el lado y ancho del yacimiento 3) Determine la distancia del pozo a la frontera SOLUCIÓN POR TDST De la Fig. 2.59, se obtuvieron los siguientes datos (t*∆P’)r = 60 psi ∆Pr = 122,424 psi tDL = 2 hr (t*∆P’)DL = 105,81 psi ∆PDL = 265,942 psi tRDLi = 0,7 hr tPB = 10,157 hr (t*∆P’)PB = 132,873 ∆PPB = 458,466 psi tPBDLi = 6 hr tPBRi = 50 hr tDLSS1i = 7,5 hr tRSS1i = 24 hr tPBSS1i = 12 hr La permeabilidad se obtiene de la Ec. 2.69 y el ancho del yacimiento se calcula de la Ec. (2.164), respectivamente:

( )70.6 70.6(1400)(3.5)(1.07) 440.7 md

* ' (14)(60)r

q Bkh t P

µ= = =

∆

6

4.064 4.064(1400)(1.07) (2)(3.5) 352.4 ft(0.24)(9 10 )( * ') 440.7(14)(105,81)

DLE

tDL

tqBYckh t P

µφ −

∆= = =

×∆

Verifique YE con la Ec. 2.186:

6

(440.7)(0.7)0.05756 0.05756 367.7 ft(0.24)(3.5)(9 10 )

RDLiE

t

ktYcφµ −= = =

×

Se determina la posición del pozo (distancia a la frontera más cercana) de la Ec. (2.181):

( )( )

1.5 1.52

0.5 0.56

440.7 (367.8)

0.24(3.5) 9 101400(3.5)(1.07)17390 17390* ' 14(132.873) 10.157

Ex

t

PBPB

k Ybcq B

h t P tφµµ −

= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤×⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∆⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

bx = 283.7 ft

207

10

100

1000

0.1 1 10 100

(t*∆P')r = 60 psi

∆P

, t*∆

P´ ,

psi

t, hrs

t = 50 hrsPBRi

t =24 hrsSS2Rit = 0.7hrsRDLi t = 6 hrsPBDLi

t =12 hrsSS2PBi

t =7 hrsSS2DLi

t =10.157hrs

(t*∆P') =132.8 psi

PB

PB(t*∆P') =105,81psi

t =2 hrsDL

DL

Fig. 2.59. Presión y derivada de presión para ejemplo yacimientos lineales7,10

Verifique bx de las ecuaciones 2.188 y 2.189:

6

1 1 440.7*6 285.9 ft65.41 65.41 0.24(3.5)(9 10 )

PBDLix

t

ktbcφµ −= = =

×

0.5 0.5

6

367.7 440.7(50)* 283.9 ft246,32 246,32 0.24(3.5)(9 10 )

PBRiEx

t

ktYbcφµ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

En la curva de derivada de la presión una vez se termina la línea de pendiente -0,5 de flujo parabólico, antes de caer se levanta un poco, de lo cual determinamos que la frontera lejana es cerrada, este punto máximo no se observa con mucha claridad de lo cual utilizamos las ecuaciones del punto de intersección de la pendiente -1 con los flujos dual lineal, parabólico y radial.

2

3 33

10 3 10 6 3

1 1 1 440.7 7 1 637.2 ft1.41 10 1.41 10 0.24 3.5 (9 10 ) 284E

DLSS i

t x

ktX

c bφµ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞×⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟× × × × ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ Intersección de la línea pendiente -1 con la línea de flujo Radial, Ec. (2.195):

208

2

2 22 23

7 3 7 6 3

367.71 1 440.7 24 628.2 ft4.66 10 4.66 10 0.24 3.5 (9 10 ) 284E

RSS i E

t x

kt YXc bφµ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞×⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟× × × × ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ Intersección de la línea pendiente -1 con la línea de flujo parabólico, Ec. (2.197). Intersección de la línea pendiente -1 con la línea de flujo dual lineal, Ec. (2.194):

2

1/3

6

1 1 440.7 12 284 637.1 ft768.4 768.4 0.24 3.5 (9 10 )E

PBSS ix

t

ktX b

Cφµ −

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞×= = × =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟× × ×⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

El daño del flujo radial se determina de la Ec. 2.96:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆∆

= 43.7ln)'*(

5.0 2wt

r

r

r

rckt

PtPs

φµ

6 2122.424 440.7 0.50.5 ln 7.43 4.9

60 0.24 3.5 9 10 0.33rs −×⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟× × × ×⎝ ⎠

⎡ ⎤⎣ ⎦

El daño del flujo dual lineal se halla de la Ec. (2.177)

( )12

* ' 34.743DL DL

DLE tDL

P ktst P Y Cφµ

⎛ ⎞∆= −⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠

6

265.942 1 440.7 22 0.4105.81 34.743 367.7 0.24 3.5 9 10DLs −

×⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ × × × ×⎝ ⎠

El daño del flujo dual se halla de la Ec. (2.180):

( )123.162

* 'x tPB

PBE PBPB

b cPst P Y kt

φµ⎛ ⎞∆= +⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠

6458.466 123.16(283.7) (0.24)(3.5)(9 10 )2 0.0222

132.873 352.4 (440.7)(10.157)PBs−×⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

El daño total se calcula de la sumatoria de todos los daños, Ec. (2.183). s = sr + sDL + sPB = -4.9 + 0.4 + 0.0222 = -4.47779

209

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

0.1 1 10 100

Pw

f , ps

i

t, hrs

m=140 psi/cicloP 1hr=1158 psi

Fig. 2.60. Grafico semilog para ejemplo yacimientos lineales10

10

110

210

310

410

510

610

0.1 0.6 1.1 1.6 2.1 2.6 3.1 3.6 4.1 4.6 5.1

∆ P,

psi

, hrt

Flujo dual lineal,

m = 150.82 psi/h

r^0.5

DLF

b = 19.4 psiDLF

Fig. 2.61.a. Grafico cartesiano de P vs. t0.5 para ejemplo yacimientos alargados34

210

150

250

350

450

550

650

750

850

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

∆P

, ps

i

1/ ,1/ hrt

Flujo parabólico,

m = -851.6 psi*hr^0.5

PB

b = 730.64 psiPB

Fig. 2.61.b. Grafico cartesiano de P vs. t-0.5 para ejemplo yacimientos alargados34

SOLUCION POR EL METODO CONVENCIONAL De las Figs. 2.60, 2.61.a y 2.61.b se leyeron los siguientes datos: m = 140 psi/ciclo mDLF = -150.8 bDLF = 19.4 mPB= -851.6 bPB = 730.64 Con la pendiente del grafico semilogarítmico m se determina la permeabilidad con la Ec. 2.30.

162.6 162.6(1400)(3.5)(1.07) 434.96 md(14)(140)

q Bkhm

µ= = =

Se encuentra el valor del ancho del yacimiento con la Ec. 2.106.a, teniendo el valor de m1f que es la pendiente del grafico de presión versus t0.5 .

0.5 0.5

6

(1400)(1.07) (3.5)8.1282 8.1282 350ft(150.8)(14) (434.96)(0.24)(9 10 )E

DLF t

qBYm h k c

µφ −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥×⎣ ⎦⎣ ⎦

El daño se determina con el valor del corte con el eje Y, de la gráfica de presión versus t0.5, Ec. 2.106.b,

211

(434.96)(14)(19.4) 0.2141.2 141.2(1400)(3.5)(1.07)

DLFDL

khbsq Bµ

= = =

Los demás resultados se resumen en a continuación:

Parámetro Ec. Nro. Valor bx, del flujo parabólico, ft 2.110.a 277.4

s 2.40 -4.6 sPB 2.110.b 6.1 st 1.7

Al comparar con los resultados de la simulación con los obtenidos por el método de TDST y el del método convencional no se encuentra mayor diferencia. PROBLEMA PROPUESTO 1 Un pozo produce de una arenisca consolidada ha producido a una rata regulada de 95 STB/día. Durante el periodo de flujo la presión de fondo se registró y se reporta en la tabla 2.9. Determine la permeabilidad y el área por el método convencional y la TDST. Que sugiere el área de drene?. Otros datos relevantes son:

Tabla 2.9. Presión y derivada de presión para ejemplo propuesto 1

t, hr P, psi ∆P, psi t*∆P', psi t, hr P, psi ∆P, psi t*∆P', psi0.00 3830 0 0 19.10 3497 333 23.307 0.20 3605 225 96.315 29.90 3493 337 23.075 0.50 3587 243 23.481 30.55 3486 344 23.121 1.00 3569 261 25.838 45.83 3477 353 29.511 1.50 3559 271 24.069 61.11 3469 361 27.638 2.30 3550 280 23.916 76.38 3464 366 31.196 3.06 3542 288 24.401 84.03 3461 369 33.788 3.82 3537 293 26.564 91.66 3458 372 37.132 5.35 3529 301 25.589 99.30 3455 375 40.480 6.11 3524 306 25.508 114.58 3450 380 48.821 7.63 3518 312 25.846 122.22 3447 383 53.078

11.45 3509 321 23.415 137.50 3441 389 61.138 15.27 3502 328 19.406 152.77 3434 396 69.039

Pi = 3830 psia rw = 0.25 ft h = 16 ft co = 14x10-6 psia-1 q = 95 STB/day cw = 3x10-6 psia-1 B = 1.2 RB/STB So = 78 % φ = 16 % Sw = 22 % µ = 0.65 cp cf = 3.4x10-6 psia-1

212

3400

3450

3500

3550

3600

3650

3700

0.1 1 10 100 1000

Tiempo, hr

Pwf,

psia

Fig. 2.62. Gráfico semilog para el problema propuesto 1

3400

3450

3500

3550

3600

3650

3700

3750

3800

3850

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Tiempo, hr

Pwf,

psia

Fig. 2.63. Gráfico cartesiano para el problema propuesto 1

213

10

100

1000

0.1 1 10 100 1000

t, hr

∆P

y t* ∆

P', p

si

Fig. 2.64. Gráfico de la derivada para el problema propuesto 1

0.100

1.000

10.000

100.000

1000.000

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

t, hr

∆P

y t*

∆P'

, psi

Fig. 2.65. Gráfico de presión y derivada de presión para el problema propuesto 2

PROBLEMA PROPUESTO 2 La información que se presenta en la tabla 2.10 corresponde a un pozo con penetración parcial. Caracterice el yacimiento de acuerdo a los datos de la prueba de presión y determine los parámetros a que hubiere lugar usando la TDST. Otra información relevante a la prueba se da a continuación: Pi = 5300 psi rw = 0.3 ft h = 100 ft hp = 10 ft q = 300 STB/día ct = 1x10-5 psia-1 B = 1.28 RB/STB φ = 20 % µ = 1.3 cp

214

Tabla 2.10. Datos de presión y derivada de presión para el problema propuesto 2 t, hr ∆P,

psi t*∆P', psi

t, hr ∆P, psi

t*∆P', psi

t, hr ∆P, psi

t*∆P', psi

0.0003 88.250 6.463 0.1165 116.610 2.124 12.5508 125.67 3.584 0.0007 93.250 6.463 0.1355 116.920 1.982 14.596 126.23 3.640 0.0011 96.030 6.049 0.1575 117.210 1.858 16.9746 126.79 3.664 0.0015 97.810 6.026 0.1832 117.480 1.731 19.7406 127.35 3.664 0.002 99.530 5.817 0.213 117.720 1.619 22.9575 127.91 3.632 0.0023 100.37 5.753 0.2478 117.960 1.508 26.6985 128.46 3.569 0.0027 101.21 5.641 0.2881 118.170 1.412 31.0492 129.00 3.487 0.0031 102.03 5.521 0.3351 118.380 1.342 36.1088 129.53 3.371 0.0036 102.84 5.378 0.3897 118.570 1.279 41.993 130.03 3.239 0.0042 103.64 5.328 0.4532 118.750 1.232 48.8359 130.52 3.090 0.0049 104.43 5.229 0.527 118.930 1.205 56.794 130.97 2.937 0.0057 105.22 5.144 0.6129 119.110 1.199 66.0489 131.40 2.810 0.0066 105.99 5.064 0.7128 119.280 1.211 76.8119 131.80 2.710 0.0077 106.76 4.987 0.829 119.460 1.244 89.3288 132.18 2.652 0.0089 107.51 4.895 0.9641 119.650 1.287 103.8854 132.56 2.644 0.0104 108.24 4.766 1.1212 119.840 1.350 120.8141 132.95 2.688 0.0121 108.95 4.653 1.3038 120.050 1.432 140.5014 133.35 2.764 0.0141 109.65 4.489 1.5163 120.270 1.528 163.3969 133.77 2.851 0.0164 110.32 4.349 1.7634 120.500 1.634 190.0232 134.22 2.918 0.019 110.97 4.197 2.0508 120.750 1.750 220.9885 134.68 2.950 0.0221 111.59 4.030 2.3849 121.030 1.882 256.9998 135.15 2.919 0.0257 112.19 3.853 2.7736 121.320 2.031 298.8793 135.61 2.800 0.0299 112.75 3.654 3.2256 121.630 2.186 347.5832 136.05 2.603 0.0348 113.29 3.463 3.7512 121.970 2.348 404.2238 136.45 2.329 0.0405 113.80 3.278 4.3625 122.340 2.527 470.0942 136.79 1.998 0.0471 114.280 3.097 5.0733 122.730 2.713 546.6985 137.07 1.629 0.0548 114.730 2.918 5.9001 123.150 2.898 635.7859 137.28 1.268 0.0637 115.160 2.744 6.8615 123.610 3.071 739.3906 137.43 0.969 0.0741 115.560 2.579 7.9796 124.090 3.234 859.8783 137.52 0.740 0.0861 115.930 2.426 9.28 124.600 3.384 1000 137.57 0.590 0.1002 116.280 2.272 10.7922 125.130 3.497

215

0.1

1

10

1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02

∆P,

t*∆

P',

psi

t, hrs

0.01

0.1

1

10

1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

∆P,

t*∆

P',

psi

t, hrs

0.1

1

10

100

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12

∆P,

t* ∆

P',

psi

t, hrs

0.01

0.1

1

10

1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

∆ P,

t*∆

P',

psi

t, hrs

0.001

0.01

0.1

1

10

1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03

∆P,

t*∆

P',

psi

t, hrs

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12

∆P,

t*∆P

', p

si

t, hrs

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11

t D

1/2

P y

t *

P'D

D

D

t *P'D D

P D

Pozo vertical - Yacimiento infinito

Pozo vertical - Yacimiento cerrado

Pozo vertical - Placas paralelas Pozo vertical -

cerca de falla

Pozo vertical - Una barrera de flujo

Pozo vertical - Yacimiento lineal


1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11

t D

1/2

t *P'D D

P D

P y

t *

P'

D

D

D

t D

1/2

Well at center - both sides are open

t *P'D D

P D

t D

1/2

t *P'D D

P D


Fig. 2.66. Comportamientos del transiente de presión

216

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12

t D

t *P'D D

P D

1/8

P y

t *

P'

D

D

D

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11

t D

t *P'D D

P D

1/8

P y

t *

P'

D

D

D

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12

P

D, t

D*P

D´

tD

Xe/Ye = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512.

Pendiente=-1Pendiente=-1/2

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12

t D

t *P'D D

P D

1/8

P y

t *

P'

D

D

D

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12

TD

PD P

D'*T

D

0.01

0.1

1

10

1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

∆P,

t*∆

P',

psi

t, hrs

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

P, p

si

t, hrs

0.01

0.1

1

10

1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

∆P,

t*∆P

', p

si

t, hrs

h



Pozo vertical - Yacimientos lineal


Pozo vertical - Yacimiento

Naturalmente fractrados

Pozo vertical - Completamiento Parcial -

Yacimiento cerradol


Pozo vertical - Yacimiento

Naturalmente fractrados

Fig. 2.66. Comportamientos del transiente de presión (cont.)

217

1

10

100

1000

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

∆P,

t*∆

P',

psi

t, hrs

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

∆P,

psi

t, hrs

1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5

1E+0

1E+1

1E+2

1E+3

1E+4

Flu jo B ilinea l

F lu jo lineal

F lu jo rad ia l

∆ P,

t*∆P

', ps

i

t, h r

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100 1000

∆P,

t*∆

P', p

si

t, hrs

1

10

100

1000

0.001 0.01 0.1 1 10 100

∆P,

t*∆

P', p

si

m = 0.25

m = 0.36

0.0001

0.001

0.01

0.1

1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

∆P,

t*∆P

', p

si

t, hrs

0.0001

0.001

0.01

0.1

1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

∆P,

t* ∆

P',

psi

t, hrs

0.0001

0.001

0.01

0.1

1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

∆P,

t*∆P

', p

si

t, hrs

Pozo vertical - Segragación de fases

Pozo vertical - Fractura de conductividad finita

Pozo horizontal - Yacimiento Naturalmente

fractrados

Pozo vertical - Segragación de fases

Pozo vertical - Fractura de conductividad infinita

Pozo vertical - Fractura de conductividad infinita

Pozo horizontal descentrado - Yacimiento

heterogêneo


fractrados


218

1.00E-02

1 .00E-01

1 .00E+00

1 .00E+01

1 .00E+02

1 .00E+03

1.00E+00 1 .00E+01 1 .00 E+02 1 .00E+03 1 .00E+04 1.0 0E+05 1 .00E+06 1 .00E+0 7 1 .00E+08

tD

tD*P

wD1'

M=0.1

M=0.2

M=0.5

M=2

M=5

M=10

M=20

M=40

M=50

M=10

1 .0 0 E-0 1

1 .0 0 E+0 0

1 .0 0 E+0 1

1 .0 0 E+0 2

1 .0 0 E+0 3

1 .0 0 E+0 0 1 .0 0 E+0 1 1 .0 0 E+0 2 1 .0 0 E+0 3 1 .0 0 E+0 4 1 .0 0 E+0 5 1 .0 0 E+0 6 1 .0 0 E+0 7 1 .0 0 E+0 8

tD

tD*P

wD1'

0.0001

0.001

0.01

0.1

1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

∆P,

t*∆

P',

psi

t, hrs

10

100

1000

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

∆P,

t* ∆

P',

psi

t, hrs

Flujo hemisférico

Flujo esférico

1

10

100

1000

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

∆P,

t* ∆

P',

psi

t, hrs

Flujo hemisférico

Flujo esférico

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 . 0 0 E + 0 01 . 0 0 E + 0 11 . 0 0 E + 0 21 . 0 0 E + 0 31 . 0 0 E + 0 41 . 0 0 E + 0 51 . 0 0 E + 0 6

t D

Pw

D1

m t r = 0 .9 5

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

x=1E40

t*dP'

x=1E35

t*dP'

x=1E25

t*dP'

x=1E20

t*dP'

x=1E10

t*dP'

x=1E3

t*dP'

P D,

(t D/C

D)P

D'

t D/C D)

n=0.4x = CDe2s

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

x=1E40t*dP 'x=1E35t*dP 'x=1E25t*dP 'x=1E20t*dP 'x=1E10t*dP 'x=1E3t*dP '

P D,

(t D/C

D)P

D'

t D/C D)

n=0.4x = CDe2s

Pozo vertical - Penetraciòn parcial

Pozo vertical - Efecto de movilidad


fractrados

Pozo vertical - Penetraciòn parcial

Pozo vertical - Efecto de movilidad Pozo vertical - Efecto

de movilidad

Pozo vertical - Fluido no-Newtoniano



219

SISTEMA TRIPLE POROSIDADSTRATA MODEL

0.1

2.1

4.1

6.1

8.1

10.1

12.1

14.1

16.1

10 1000 100000 10000000 1000000000 1E+11 1E+13 1E+15 1E+17

tD

PD

- tD

*PD

'

CD=0

CD=100

CD=1

000

CD=1

0000

CD=1

0000

0

ω 1= 0,1

ω 2= 0,01λ 1= 10−6λ 2= 10−9

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

x=1E40

t*dP'

x=1E35

t*dP'

x=1E25

t*dP'

x=1E20

t*dP'

x=1E10

t*dP'

x=1E3

t*dP'

P D,

(t D/C

D)P

D'

t D/C D)

n=0.8x = CDe2s

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

x=1E40

t*dP'

x=1E35

t*dP'

x=1E25

t*dP'

x=1E20

t*dP'

x=1E10

t*dP'

x=1E3

t*dP'

P D,

(t D/C

D)P

D'

t D/C D)

n=0.8x = CDe2s

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

x=1E3

X=1E10

x=1E25

x=1E40

(t D/C

D)P

D'

t D/C D)

n=0.2

x = CDe2sn=0.4

n=0.6

n=0.8

n=1.0

Pend

ient

eun

itaria

ST RAT A M ODEL

0

2

4

6

8

10

12

10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000 10000000000 1E+11 1E+12

TD

PDDoble Porosidad

Triple Porosidad

b

a

λ 1 ω 1 λ 2 ω 2a . 10-5 10-2 10-9 10-3

b. 10-9 10-2 10-5 10-3

0.1

2.1

4.1

6.1

8.1

10.1

12.1

14.1

16.1

10 1000 100000 10000000 1000000000 1E+11 1E+13 1E+15 1E+17

SISTEMA DE TRIPLE POROSODADBLOCK MODEL

CD=0

CD=100

CD=1

000

CD=1

0000

CD=1

0000

0

ω 1= 0,1

ω 2= 0,01λ 1= 10−6λ 2= 10−9

0.01

0.1

1

10

100

10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 1E+08 1E+09 1E+10 1E+11 1E+12 1E+13 1E+14 1E+15 1E+16

SISTEMA DE TRIPLE POROSIDAD BLOCK MODEL

CD=0

CD=1

00CD

=100

0CD

=100

00CD

=100

000

PD tD*PD'

tD

ω 1= 0,1

ω 2= 0,01λ 1= 10−6λ 2= 10−9

SISTEMA TRIPLE POROSIDADSTRATA MODEL

0.1

1

10

100

10 1000 100000 10000000 1000000000 1E+11 1E+13 1E+15 1E+17 1E+19

tD

PD

- tD

*PD

'

CD=0

CD=1

00

CD=1

000

CD=1

0000

CD=1

0000

0

ω 1= 0,1

ω 2= 0,01λ 1= 10−6λ 2= 10−9




Pozo vertical - Yacimiento de triple porosidad






220

ALTO VOLUMEN DE FLUIDOS RECUPERADOS

Podría usarse para calcular la rata de producción

TIEMPO

P

DST FLUYENTE

A

B CP

TIEMPO

CARTA DST DE UN YACIMIENTO EN DEPLECION

P

TIEMPO

SISTEMA DE TRIPLE POROSODADSTRATA MODEL

DD

0,01

0,1

1

10

10 1000 100000 10000000 1000000000 1E+11 1E+13

t D

CD=0CD=1,5CD=10CD=50CD=100CD=200CD=500

ω 1= 0,1ω 2= 0,01λ 1= 10−3λ 2= 10−9

STRATA MODEL

0

5

10

15

20

25

1 100 10000 1000000 100000000 10000000000 1E+12 1E+14 1E+16 1E+18

tD

PD

ω2 ω1 λ2 λ11. 0,05 0,1 10−9 10−32. 0,023. 0,014. 0,0055. 0,0026. 0,0017. 0,00018. 0,00001



tD

tD *

PD'

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09 1,E+10

E6.0E+064.5E+063.0E+062.0E+061.0E+065.0E+053.0E+05

Estándar

STRATA MODEL

0,1

1

1,E+00 1,E+02 1,E+04 1,E+06 1,E+08 1,E+10 1,E+12 1,E+14 1,E+16 1,E+18

tD

tD*P

D'

1

23

45

6 7 8 ω2 ω1 λ2 λ11. 0,05 0,1 10−9 10−32. 0,023. 0,014. 0,0055. 0,0026. 0,0017. 0,00018. 0,00001 Pozo vertical - Yacimiento

de triple porosidad

Pozo vertical - Isotropía de esfuerzos, v = 0.2 y E

variable

tD

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09 1,E+10

v0.350.300.260.200.150.10

tD *

PD'

Estándar

Pozo vertical - Isotropía de esfuerzos, v variable y

E=2000000 psi


221

CARTA DST DE UN YACIMIENTO CON BAJA PERMEABILIDAD - BAJO DAÑO

P

TIEMPO

CARTA DST DE UN POZO LLENO

P

TIEMPO

FinalShut-in

Final Open

CARTA DST PARA UN YACIMIENTO CON BUENA PERMEABILIDAD - DAÑO SEVERO

TIEMPO

P

EFECTO DE DIFERENTE DIAMETRO DE TUBERIA

A - B: BOTELLASB - C: TUBERIA DE PERFORACION

TIEMPO

P

A

BC


222

REFERENCIAS

1. Abbott, W.A., Collins, T., Tippie, D.B., Van Pollen, H.K. “Practical Application

of Spherical Flow Transient Analysis”. SPE 7435, 53rd Annual Fall Technical Conference and Exhibition of the SPE of AIME, Texas (Oct 1978).

2. Bourdet, D., Ayoub, J.A., and Pirad, Y.M. “Use of Pressure Derivative in Well-Test Interpretation”. SPEFE. p. 293-302. 1989.

3. Boussalem, R., Tiab, D., and Escobar, F.H. “Effect of Mobility Ratio on the Pressure and Pressure Derivative Behaviors of Wells in Closed Composite Reservoirs”. SPE 76781, Proceedings, SPE Western regional Meeting/AAPG Pacific Section Joint Meeting, Anchorage, Alaska, May 20-22, 2002.

4. Dykstra H., Kazemi H., Raghavan R., Gulati M. S., “Pressure Transient Testing Methods” , SPE Reprint Series No. 14, Published by the Society of Petroleum Engineers, Dallas, Texas, 1967.


6. Escobar, F.H., Muñoz, O.F. y Sepúlveda J.A. “Horizontal Permeability Determination from the Elliptical Flow Regime for Horizontal Wells”. Revista CT&F – Ciencia Tecnología y Futuro, Vol. 2. Núm. 5, Dic. 2004. pp. 83-95.

7. Escobar, F.H., Muñoz, O.F., Sepulveda, J.A., Montealegre, M. and Hernández, Y.A. “Parabolic Flow: A New Flow Regime Found In Long, Narrow Reservoirs”. XI Congreso Colombiano del Petróleo. Oct. 18-21, 2005.


9. Escobar, F.H., Saavedra, N.F., Escorcia, G.D., and Polanía, J.H., “Pressure and Pressure Derivative Analysis Without Type-Curve Matching for Triple Porosity Reservoirs”. Paper SPE 88556, Proceedings, accepted for presentation at the SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition (APOGCE), to be held to be held 18-20 October 2004, in Perth, Australia.

10. Escobar, F.H., Saavedra, N.F., Hernández, C.M., Hernández, Y.A., Pilataxi, J.F., and Pinto, D.A. “Pressure and Pressure Derivative Analysis for Linear Homogeneous Reservoirs without Using Type-Curve Matching”. Paper SPE 88874, Proceedings, accepted for presentation at the 28th Annual SPE International Technical Conference and Exhibition to be held in Abuja, Nigeria, Aug. 2-4, 2004.

11. Hachlaf, H, Tiab, D. and Escobar, F. “Effect of Variable Injection Rate on Falloff and Injectivity Tests”. SPE 76714, Proceedings, SPE Western regional Meeting/AAPG Pacific Section Joint Meeting, Anchorage, Alaska, May 20-22, 2002.

12. Horne, R.N. “Modern Well Test analysis: A Computer-aided Approach”. 2nd. Edition. Petroway. 1996.

223

13. Jokhio, S. A., Tiab, D. and Escobar, F.H. “Forecasting Oil and Water Production from Gas Condensate Wells”. Paper SPE 77549, Proceedings, 2002 SPE Annual Technical Conference and Exhibition, San Antonio, TX, Oct. 2002.

14. Jokhio, S.A., Tiab, D., Hadjaz, A. and Escobar, F.H. “Pressure Injection and Falloff Analysis in Water Injection Wells Using the Tiab's Direct Synthesis Technique”. SPE 70035, Proceedings, SPE Permian Basin oil and Gas recovery conference, Midland, TX, May. 15-16, 2001.

15. Khelifa, M., Tiab, D., and Escobar F.H. “Multirate Test in Horizontal Wells”. SPE 77951, Proceedings, SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition, Melbourne, Australia 8-10 October 2002.

16. Kittiphong, J., Tiab, D. and Escobar, F. H. “Interpretation of Horizontal Well Performance in Complicated Systems by the Boundary Element Method". SPE 50437, Proceedings, SPE International Horizontal Well Technology Conference, Calgary, Alberta, Canada. November 1 - 4, 1997.

17. Lee, J., Rollins, J.B. and Spivey, J.P. “Pressure Transient Testing”. SPE Textbook Vol. 9. Richardson, TX, 2003.

18. Mathews, C.S. and Russell, D.G. “Pressure Buildup and Flow Tests in Wells”. SPE Monograph Vol. 1. 1967.

19. Moncada, K., Tiab, D., Escobar, F.H., Montealegre-M, M., Chacon, A., Zamora, R.A., and Nese, S.L. “Determination of Vertical and Horizontal Permeabilities for Vertical Oil and Gas Wells with Partial Completion and Partial Penetration using Pressure and Pressure Derivative Plots without Type-Curve Matching”. CT&F – Ciencia, Tecnología y Futuro. Vol. 2, No. 6. Dec. 2005.

20. Mongi, A., and Tiab, D. “Application of Tiab's Direct Synthesis Technique to Multi-Rate Tests” Paper SPE 62607 presented at the 2000 SPE/AAPG Western Regional Meeting held in Long Beach, California, 19–23 June 2000.

21. Rhagavan, R. “Well Test Analysis”. Prentice Hall. New Jersey. 1993 22. Sabet, M. “Well Testing”. Gulf Publishing Co. 1991. 23. Slider, H.C. “Slider”. “Wordlwide Practical Petroleum Reservoir Engineering



25. Smith, C.R. and Tracy, G.W. “Applied Reservoir Engineering”. Oil & Gas Consultants, Inc. Tulsa, Ok. 1987.

26. Tiab, D. “Analysis of Pressure and Pressure Derivative without Type-Curve Matching: 1- Skin Factor and Wellbore Storage”. Paper SPE 25423 presented at the Production Operations Symposium held in Oklahoma City, OK, Mar. 21-23, 1993. P. 203-216. Also, Journal of Petroleum Science and Engineering 12 (1995), p. 171-181.

27. Tiab, D. “Analysis of Pressure Derivative without Type-Curve Matching: Vertically Fractured Wells in Closed Systems”. Journal of Petroleum Science and Engineering 11 (1994) 323-333. This paper was originally presented as SPE 26138 at the 1993 SPE Western Regional Meeting, held May 26-28, Anchorage, Alaska.

224

28. Tiab, D. “Direct Type-Curve Synthesis of Pressure Transient Tests”. SPE paper 18992, Rocky Mountain Regional/Low Permeability Reservoir Symposium, Denver, CO., March. 1989.


30. Slider, H.C. “A Simplified Method for Pressure Buildup Analysis for a Stabilized Well”. JPT Sept. 1971. Pág. 1155-1160.

31. Slider, H.C. “Application of Pseudosteady State Flow to Pressure –Buildup Analysis”. Paper SPE 1403 presentado en el simposio regional de la SPE-AIME en Amarillo, TX, EE.UU., Oct. 27-28 de 1966.

32. Escobar, F.H., Muñoz, O.F., Sepulveda, J.A. and Montealegre, M. “New Finding on Pressure Response In Long, Narrow Reservoirs”. CT&F – Ciencia, Tecnología y Futuro. Pág. 131-140, ISSN 0122-5383. Dic. 2005.

33. Escobar, F.H., Montealegre-M, M., and Cantillo, J.H. “Pressure and Pressure Derivative Analysis for Depleted Reservoirs without Type-Curve Matching”. Paper SPE 100819, Proceedings, accepted for presentation at the SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition (APOGCE), held in in Adelaida, Australia, September 11-13, 2006.

34. Escobar, F.H. and Montealegre, M. “A Complementary Conventional Analysis For Channelized Reservoirs”. CT&F – Ciencia, Tecnología y Futuro. Vol. 3, No. 3. p. 137-146. ISSN 0122-5383. Dic. 2007.

35. Escobar, F.H., 2008. Capítulo “Recent Advances in Well Test Analysis for Long an Narrow Reservoirs”. Libro "Petroleum Science Research Progress”. editado por Korin L. Montclaire. Nova Publisher. ISBN 978-1-60456-012-1. 2008.

36. Escobar, F.H., Tiab, D., and Tovar, L.V. “Determination of Areal Anisotropy from a single vertical Pressure Test and Geological Data in Elongated Reservoirs”. Journal of Engineering and Applied Sciences, 2(11). ISSN 1816-949X. p. 1627-1639. 2007.

225

3. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION

La prueba de restauración de presión ha sido una técnica muy popular usada en la industria petrolera. Varias razones la han convertido en una prueba muy popular, algunas de estas son: (a) no requiere una supervisión muy detallada, (b) se pueden estimar la permeabilidad y el factor de daño a partir de pruebas de restauración o declinación de presión. Sin embargo, la declinación de presión no permite estimar la presión promedio de yacimiento o la presión inicial de yacimiento mientras que la prueba de restauración de presión si lo hace2-4,10-11,16,19. La Fig. 3.1 muestra un gráfico de una prueba de restauración de presión ideal. En términos generales, una prueba de restauración de presión requiere cerrar un pozo productor después de que se ha producido durante algún tiempo en el que la estabilización de la rata se ha alcanzado. Una prueba de restauración se corre de la siguiente manera: 1. Determinar la ubicación de los empaques, tamaño de la tubería de producción y la

tubería de revestimiento, profundidad del pozo. 2. Estabilizar el pozo a una rata de producción constante, q. 3. Cerrar el pozo y registrar el valor Pwf (justo antes del cierre). 4. Leer la presión de cierre, Pws, a intervalos cortos de 15 segundos para los

primeros minutos (10-15 min), entonces cada 10 min. Para la primera hora. Durante las siguientes 10 horas, se deben tomar lecturas de presión cada hora. Cuando la prueba progresa, los intervalos de tiempo se pueden expandir a 5 horas.

Para correr una prueba de restauración de presión, el pozo produce a una rata constante por un período de tiempo tp. Se baja un registrador de presión al pozo inmediatamente antes de cerrarlo. tp no debe ser muy pequeño para no tener problemas con el radio de investigación. 3.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION Supóngase que después de que el pozo ha producido a una rata constante durante un tiempo tp, se decide cerrar para obtener una prueba de restauración de presión. Intuitivamente se espera movimiento de fluidos en el yacimiento después de cerrar el pozo, pero en superficie q = 0. Se hace una analogía al movimiento de fluidos en el yacimiento de la siguiente manera2-3,5,11,14-16,20-23,26: Se deja producir el pozo indefinidamente a la misma rata q, y al instante de cerrar el pozo se inyecta en el mismo pozo el mismo caudal q y luego se suma la presión de caída de presión debido a la producción de q y los mismos datos de presión multiplicados por -1 y desplazado al instante de cerrar el pozo:

226

Tiempo

tp

tp

TiempoPr

esió

nC

auda

l0

q

Pwf

Fig. 3.1. Representación de la Restauración de Presión

)()( DDDpDDS tPttPP ∆−∆+= (3.1)

( )141.2

i wsDS

kh P PPq Bµ−

= (3.2)

qNpt p

24= (3.3)

Np es el petróleo producido desde la última estabilización q es el caudal constante justo antes de cerrar el pozo. Combinando las Ecs. 3.1 y 3.2:

162.6 log pws i

t tq BP Pkh t

µ + ∆⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(3.4.a)

1( ) ln( ) 0.809072D p D p DP t t t t s⎡ ⎤+ ∆ = + ∆ + −⎣ ⎦ (3.4.b)

[ ]1( ) ln( ) 0.809072D D DP t t s∆ = ∆ + − (3.4.c)

227

Combinando las Ecs. 3.4.b y 3.4.c se obtiene;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

∆+=∆

ttt

tP pDD ln

21)( (3.5)

La Ec. 3.4 se convierte en la ecuación de Horner:

162.6 log pws i

t tq BP Pkh t

µ + ∆⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(3.6)

Como resultado de la aplicación del principio de superposición es que el factor de daño, s, no afecta aparece en la ecuación simplificada de Horner. Eso significa que la pendiente del gráfico Horner no está afectada por el daño. Sin embargo, el factor de daño altera la forma de la curva de restauración de presión, como se indica en la Fig. 3.2. Esta desviación se debe también al almacenamiento o a los daños negativos de los pozos fracturados. 3.2. METODO DE HORNER El gráfico de Horner generalmente no se prefiere, porque requiere más trabajo que MDH a menos que tp < tpss

5,11. Este método se usa preferiblemente en pozos nuevos porque tenemos Pi. Si tp es por lo menos el doble del tamaño de tpss se justifica graficar usando tpss en vez de tp en sistemas finitos, ya que el gráfico Horner, al contrario de MDH, tiende a prolongar la recta semilog. Graficar Horner con tpss en vez de de tp tiene significado para minimizar errores en la estimación de la presión promedia. De la pendiente del gráfico Horner obtenga kh:

162.6q Bmkh

µ= (3.7)

162.6q Bkh

mµ

= (3.8)

3.2.1. Pozo en un Yacimiento Infinito

121.1513 log 3.2275hr wf

t w

P P ksm c rφ µ

⎡ ⎤− ⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.9)

Pwf, es la presión justo antes del cierre.

228

2000

2050

2100

2150

2200

2250

2300

2350

2400

1101001000

ttt p

∆∆+

m

1 hr

P*

PP

, p

siw

s

Almacenamiento

Fig. 3.2. Comportamiento de la presión – Gráfico Horner

11

1hrt t tP

t+ ∆ +

= =∆

(3.10)

Si tp < 1 hr

12

11.1513 log log 1 3.2275hr wf

t w p

P P ksm c r tφ µ

⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞= − + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.11)

0.87( )sP m s∆ = −

( 0)

1*

s

wf t

PFEP P ∆ =

∆= −

− (3.12)

El factor de daño afecta más la prueba de restauración que la de caída porque el almacenamiento persiste. 3.2.2. Rata de Postflujo (afterflow, qaf) Aunque el pozo se cierra para una prueba de restauración de presión, el postflujo causado por el almacenamiento tiene una influencia significativa en los datos de presión. Esto ocurre porque la presión en cabeza no es igual a la presión de cierre en fondo, por lo tanto el fluido continúa fluyendo desde la formación al pozo. Luego la presión no se recupera tan rápido como esperamos. A medida que la rata de flujo tiende a cero, la presión se incrementa rápidamente. La gráfica semilog es

229

pronunciada y lineal en este periodo y puede confundirse con la pendiente semilog5,16,21.

( )24( /144)

u wsaf

V d PqB d tρ

∆=

∆

( )24 ws

afdPCq

B d t∆

=∆

24N

N

tqBCP

⎛ ⎞∆= ⎜ ⎟∆⎝ ⎠

de análisis de presiones.

24 ( )u ws

afC V dPqB d t

∆=

∆

( )24 ;wsLF

af LF udPCq C C V

B d t∆

= =∆

(3.13)

3.2.3. Pasos para Determinar el Almacenamiento de una Prueba de Restauración 1) Estime qaf para varios tiempos 2) si qaf/q > 0.01 no se está en el régimen de m 3) si qaf/q < 0.01 se concluye que WBS (efectos de almacenamiento) no afectan los

datos de presión y se está en la verdadera recta 3.2.4. Predicción de la Duración del Postflujo (Afterflow) a) Pozos productores

204afCt

B J⎛ ⎞

∆ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.14)

Después de este tiempo, el efecto de almacenamiento es despreciable,

wf

qJP P

=−

, , , *i eUse P P P o P

b) Pozos inyectores

230

2000

2050

2100

2150

2200

2250

2300

2350

2400

1001010.1

m

P

, psi

ws

Almacenamiento

∆t, hrs

P 1hr

Fig. 3.3. Gráfico semilog o MDH

204 LFaf

CtBJ

⎛ ⎞∆ ≅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.15)

Arranque de la porción de línea recta, SSL ∆t C eD D

s= 50 0 14. (3.16)

0.14170000 s

SSLCet

khµ

∆ = (3.17)

Recordando la Ec. 2.31:

khCstSSL

µ)12000200000( += (2.31)

Se puede observar que el daño influye mucho más las pruebas de resturación (Falloff) que de declinación de presión (inyección). Para pozos fracturados, la estimación de este tiempo basado usando C con base en datos de volumen en vez de datos de la pendiente unitaria (que probablemente no existe) tiende a minimizar el ∆tSSL permitiendo despreciar almacenamiento en la fractura. 3.2.5. Gráfico de Horner para Yacimientos Cerrados Para hallar k, s, y C el método es igual a infinito, solo que para un pozo nuevo o intrusión de agua activa, P* ≈ Pi. En la mayoría de los casos P* > P promedia.

231

* log pws

t tP P m

t+ ∆⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟∆⎝ ⎠ (3.18)

3.3. METODO DE MDH (MILLER-DYES-HUTCHINSON) Este se basa en la suposición que el tiempo de producción es suficientemente largo para alcanzar el estado pseudoestable, luego es más representativo usar presión promedia que presión inicial. MDH se prefiere en pozos viejos o formaciones depletadas, por lo que se podría dificultar la obtención de la estabilización antes del cierre. El gráfico de Horner puede simplificarse si ∆t <<< tp, luego5,16:

pp ttt ≅∆+ luego:

ttt

ttp

p ∆−≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+logloglog (3.19)

Combinando las Ecs. 3.18 y 3.19:

* log logws pP P m t m t= − + ∆ Si * log pP m t cte− = = intercepto, entonces:

1162.6 logws hr

q BP P tkh

µ= + ∆

162.6q Bm

khµ

= (3.20)

En el gráfico MDH, Fig. 3.3, no tiene sentido matemático extrapolar. s se calcula con la ecuación para yacimiento infinito.

121.1513 log 3.2275hr wf

t w

P P ksm c rφµ

⎡ ⎤− ⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.21)

El arranque del comportamiento infinito es:

∆t Ckh

eSSLs= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

170000 0 14µ . (3.22)

232

0.001

0.01

0.1

1

0.001 0.01 0.1 1

1 2

3

6

7

4

5

tpDA

( ∆t

) DA

ESL

Fig. 3.4. Tiempo adimensional para el fin del la línea recta Horner para las formas suministradas en la Fig. 3.65

0.0001

0.001

0.01

0.1

0.001 0.01 0.1 1

1

3,6

7

4

2

tpDA

( ∆t

) DA

ESL

Fig. 3.5. Tiempo adimensional para el fin del la línea recta MDH para las formas suministradas en la Fig. 3.65

233

1

1

1

1

1

1

2

1

FORMA CURVANUMERO

1

2

3

4

1

1

2

1

1

4

5

6

7

FORMACURVANUMERO

Fig. 3.6. Formas usadas en las Figs. 3.4 y 3.55

C se obtiene del gráfico log-log, usando la Ec. 2.16. Si no existe pendiente unitaria, entonces;

C Vu=144ρ

(3.23)

Cuando se llega al ∆tESL la prueba se puede detener.

( )ESLDAt

ESL tk

Act ∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∆

0002637.0µφ

(3.24)

(∆tDA)ESL se obtiene de la Fig. 3.4 para el gráfico de Horner ó de la Fig. 3.5 para el gráfico de MDH. Note que este parámetro depende de la forma del yacimiento y de la localización del pozo. En ambos gráficos, el parámetro tpDA se obtiene por medio de la siguiente ecuación:

0.0002637 ppDA

t

k tt

c Aφ µ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.25)

Inspeccionando las Figs. 3.4 y 3.5, se observa que (∆tDA)ESL para sistemas cerrados siempre es menor un gráfico Horner que para un gráfico MDH. Para sistemas geométricos la línea recta se prolongará para el gráfico Horner para tiempos de producción tp hasta de 4tpss. El gráfico de horner es superior desde el punto de vista de duración de la línea recta cuando tp < tpss. El caso no es lo mismo para sistemas abiertos.

234

24 p

p

Nt

q= (3.26)

3.4. METODO EXTENDIDO DE MUSKAT Es un método de ensayo y error que resulta más atractivo en casos de sistemas con presión constante o sistemas de inyección de agua (llenado) porque en éstos casos la línea recta sería más larga y por ende más fácil de precisar. Las ecuaciones que gobiernan el método de Muskat (y MDH) son5,16:

[ ]141.2 ( ) ( ) 2ws D D D D DAq BP P P t t P t t

khµ π− = + ∆ − ∆ −

A partir del intercepto a ∆t = 0 se calcula k.

int

int

( )141.2 D pDA

M

P tq Bkh P

µ=

∆

Donde PD(tpDA) se obtiene de la Fig. 3.8 para ciertos valores particulares de tiempo o de la Fig. 3.9 para valores de un amplio más rango de valores de tiempo adimensional. Las curvas de la Fig. 3.9, pueden sustituirse por los siguientes ajustes: Para un pozo dentro de un yacimiento de forma cuadrada – caso de presión constante:

( )pDADM tP 692995.21exp(13509395.10118157.0int −−+−= (3.27.a) Para un pozo dentro de un yacimiento de geometría cuadrada – Caso de barrera de no flujo.

( )pDADM tP 7038508.50exp(1682297.002056.0int −−+−= (3.27.b) La pendiente del gráfico de Muskat puede usarse para hallar el área de drene:

SFt M

kA Mc mφ µ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Donde MSF es el factor de forma de Muskat y se determina de la Fig. 3.10. Si A se conoce, entonces;

235

1000

100

10

10 20 40 60 80 100 120 140

∆t, hrs

Presión promediamuy alta

Presión promediacorrecta

Presión promediamuy baja

intMP∆

log

(P -

P

)w

s

mM

Fig. 3.7. Representación esquemática del gráfico de Muskat para análisis de Pruebas de restauración de presión

0.67 para tpDA > 0.1



Fig. 3.8. Valores de tpDA5

SF SF

t tM M

M Mkhc h S Tm A m A

φµ

= = = (3.28)

El comienzo y final de la línea recta de Muskat está dada por:

( )SLDAt t

kAct ∆⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆

0002637.0µφ (3.29)

236

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.001 0.01 0.1 1

tpDA

P D

(t D

A) M

int

PresiónConstante

No flujo

Fig. 3.9. Presión adimensional de intercepción de Muskat para un pozo dentro de un yacimiento cuadrado5

MSF = -0.00471 para

MSF = -0.00233 para

MSF = -0.00528 para

Fig. 3.10. Factor de forma de Muskat, MSF

Donde (∆tDA)SL se halla de la Fig. 3.12 usando tpDA encuentra dos líneas una para el arranque y otra para el fin de la línea recta.

int

int

( ) ( 0) ln 0.75D DA ewf

w

P t rs P P tP r

⎛ ⎞⎡ ⎤= − ∆ = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦∆⎝ ⎠

(3.30)

237

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0001 0.001 0.01 0.1

( ∆ t

DA)

SL

tpDA

No flujo

Presiónconstante

Arranque de la línea recta de Muskat

Fin de la línea recta de Muskat

Fig. 3.11.a. Tiempo de inicio y terminación de la línea recta de Muskat para un pozo dentro de un yacimiento cuadrado5

Para yacimientos de forma cuadrada:

r Ae =

435602

(3.31)

Donde el área está dada en acres. Se puede concluir que en términos generales se prefiere MDH porque su fácil uso. Para tiempos de producción cortos, se recomienda usar el método de Horner ya que la recta semilog es más larga que la de MDH. 1) El método de Horner podría ser usado para analizar datos de restauración de

presión, asumiendo que se conoce tp. Sin embargo, como primera elección normalmente se usa MDH y luego Horner.

2) Si tp no se conoce, use MDH 3) Use MDH como primera prueba a menos que tp < tpss (yacimiento actuando como

infinito, luego se aplica Horner) o a menos que el pozo está en el centro de un yacimiento de forma cuadrada con fronteras abiertas, como un patrón de inyección de 5 puntos.

4) El método de Muskat se utiliza como último recurso y también para determinar el área de drene.

238

tp

Pres

ión

Tiempo∆t = 0

Pw ext

∆P∆t

Pwf

Ps

∆t = ts

Presión observada

Presión esperadaen sistema infinito

Fig. 3.11.b. Esquematización de restauración de presión en un yacimiento desarrollado22

3.5. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS30 Los métodos presentados anteriormente pueden arrojar resultados erróneos cuando el pozo en prueba produce bajo estado pseudoestable antes de una prueba de restauración de presión o experimenta una declinación de presión debido a la producción de pozos aledaños en el yacimiento. En esos casos es mejor usar la Ec. 3.1 en una forma más general. Slider22,27,28 ha sugerido una técnica para tratar el caso de pruebas de presión en pozos donde la caída de presión contiene la contribución de otros pozos aledaños. Un procedimiento similar al presentado para el caso de declinación de presión, se presenta a continuación22. Se requiere extrapolar la presión de fondo fluyente sobre le periodo de restauración de presión para estimar Pw ext, ver Fig. 3.11.b. Luego halle la diferencia entre la presión observada de cierre y la presión de fondo fluyente extrapolada, ∆P∆t, y grafique ésto en función de ∆t. Los datos deberían ajustarse a la siguiente ecuación:

1 logt ws wext hrP P P P m t∆∆ = − = ∆ + ∆ (3.31.a) Una línea recta en este gráfico da una pendiente m dada por la Ec. 3.7 e intercepto:

1 2

162.6 log 3.2275 0.86859hrt w

q B kP skh c r

µφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆ = − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.31.b)

239

La permeabilidad se halla de la Ec. 3.8 y el daño con la Ec. 3.21 cambiando P1hr por ∆P1hr*.

121.1513 log 3.2275hr

t w

P ksm c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆= − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

Si la declinación de presión es lineal antes del cierre, lo que normalmente ocurre por la existencia del estado pseudoestable, la Ec. 3.31.a se convierte en:

*1* logws hrP m t P m t− ∆ = ∆ + ∆ (3.31.c)

Donde m*, normalmente posee un valor negativo, es el cambio lineal de rata de presión antes del cierre:

* wfdPm

dt= cuando t < tp

Normalmente, m* es negativa. El valor de ∆P*

1hr en la Ec. 3.31.c se deriva de la Ec. 3.31.b para el comportamiento lineal extrapolada es21:

1 ( 0) 2* log 3.2275 0.86859hr wf tt w

kP P m sc rφµ∆ =

⎡ ⎤⎛ ⎞∆ = + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

De modo que cuando la presión declina linealmente antes de la prueba, un gráfico de (Pws – m*∆t) vs log ∆t debería dar una línea recta. La permeabilidad se calcula con la Ec. 3.8 y el daño con la Ec. 3.9 cambiando P1hr por ∆P1hr*. Normalmente, la producción ocurre bajo estado pseudoestable, por lo tanto, la presión que tendría el pozo si la producción se continuara estaría dada por:

( 0) *ext wfP P t m t= ∆ = − ∆ Y ∆P* se calcula como la diferencia entre la presión observada menos la presión extrapolada:

*ws extP P P∆ = −

La TDST también es aplicable a yacimientos desarrollados derivando ∆P* y utilizando las ecuaciones tradicionales de la técnica.

240

EJEMPLO (Tomado de la Ref. 27). Un pozo perforado en un campo con un espaciamiento uniforme de 40 acres ha producido por 10 días una rata promedia de 280 STB/D. El pozo se cierra para un estudio de restauración de presión. En los cincos días anteriores al cierre, la presión fluyente en la cabeza del pozo cae alrededor de 24 psia/día (1 psi/hr). La relación gas petróleo se mantuvo constante durante la producción. Los datos de la prueba se reportan en la tabla 3.1.a. Se cuenta con la siguiente información: B = 1.31 rb/STB µ = 2 cp h = 40 ft rw = 0.33 ft

Tabla 3.1.a. Datos de presión para ejemplo de yacimiento desarrollado

t, hr Pws, psia Pext, psia ∆P*, psi [t*(∆P*)’] 0 1123 1123 0 2 2290 1121 1169 606.577 4 2514 1119 1395 225.854 8 2584 1115 1469 97.372

12 2612 1111 1501 83.543 16 2632 1107 1525 73.916 20 2643 1103 1540 70.157 24 2650 1099 1551 70.988 30 2658 1093 1565 77.176

SOLUCION Estime la Pext mediante:

( 0) * 1123 (1)(0) 1123 psiext wfP P t m t= ∆ = − ∆ = − = Estime ∆P* usando la presión observada menos la presión extrapolada;

* 1123 1123 0 psiws extP P P∆ = − = − = En la Fig. 3.11.c se presenta un gráfico de ∆P* contra el log ∆t. De allí se obtiene una pendiente de 159.34 psi/ciclo que permite estimar la permeabilidad con la Ec. 2.40:

162.2 162.6(280)(2)(1.131) 13.35 md40(192.92)

q Bkhm

µ= = =

Como se conoce dP/dt, si se asume que el área de drene se aproxima a un círculo, (re = 745 ft) el producto φct se halla con la Ec. 1.44.a:

241

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1 10 100

`∆ P*,

psi

∆t, hrs

m=192.92 psia/ciclo

∆P*1hr=1287.6 psi

Fig. 3.11.c. Gráfico ∆P* contra el log ∆t

10

100

1000

10000

1 10 100

∆ P*

y

t*(∆

P*)',

psi

∆t, hr

[t*(∆P*)']r = 84 psia

tr = 24 hr

(∆P*)r = 1551 psia

Fig. 3.11.d. Derivada de ∆P* contra ∆t

242

2

( , ) 1.79

t e

dP r t qBdt h c r

= −φ

6

22

1.79 1.79(280)(1.31) 1.24 10 / psi(40)(745 )(24)t

e

qBc dPhrdt

φ −= = = ×

De la 3.11.c se puede observar que el corte, ∆P*1hr = 1287.6 psi. El daño se calcula mediante la siguiente relación:

121.1513 log 3.2275hr

t w

P ksm c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆= − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

6 2

1287.6 13.351.1513 log 3.2275 2.54192.92 (2)(1.24 10 )(0.33 )

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + =⎢ ⎥⎜ ⎟×⎝ ⎠⎣ ⎦

Para aplicar la TDST a éste ejemplo, se toma la derivada de ∆P*, ver Tabla 3.2.b, y se leen los puntos característicos de la Fig. 3.17.c, a saber: tr = 24 hr, [t*(∆P*)’]r = 70.998 psi, (∆P*)r = 1551 psi. La permeabilidad y el daño se hallan con las Ecs. 2.69 y 2.96, respectivamente:

70.6 70.6(280)(2)(1.31) 15.4 md( *[ *]') 40(84)r

q Bkh t P

µ= = =

∆

8 2

1551 (24)(15.4)0.5 ln 7.43 1.8170.998 (2)(1.24 10 )(0.33 )

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + =⎢ ⎥⎜ ⎟×⎝ ⎠⎣ ⎦

Se observa en el ejemplo una buena aproximación a los datos estimados por los dos métodos. 3.6. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE LA DERIVADA Siempre que el tiempo de producción sea mayor que el tiempo necesrio para alcanzar el estado pseudoestable, las curvas tipo de derivada de presión introducidas por Bourdet1 pueden aplicarse para analizar pruebas de restauración de presión tal como se expresa en el capítulo 2. En caso de que esta condición no se cumpla, la caída de presión de declinación y de restauración es diferente para un tiempo dado, ver Fig. 2.28. Para aliviar esta falla, Agarwal5 propone que se estime el tiempo equivalente y se reemplace por el tiempo real durante el proceso interpretativo de la prueba, de acuerdo con la siguiente expresión.

243

p

pe tt

ttt

+∆∆

=∆

3.7. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE La TDST puede aplicarse sin distinción tanto a pruebas de restauración como a pruebas de declinación de presión como se expuso en el capítulo anterior. Esta técnica es igualmente aplicable en pruebas de restauración para todos los casos presentados en las Refs. 7-9, 12-13,18, 24-25. 3.8. PRESIÓN PROMEDIA DEL YACIMIENTO La presión promedia para un yacimiento sin intrusión de agua es la presión que el yacimiento alcanzaría si todos los pozos se cierran por tiempo infinito. En está sección se estudiarán dos métodos para determinar la presión promedia: el método de MBH, Dietz, MDH y el de Ramey-Cobb. La presión promedia es útil para2,5,16,20-23: 1) Para caracterizar el yacimiento

a) Si ∆P = P - Pwf es pequeño por unidad de producción, lo que se conoce como índice de productividad, J, indica que existe un empuje de agua activo o un yacimiento muy grande

b) Si ∆P es grande por unidad de producción implica drenaje de un yacimiento pequeño, lente de arena o yacimiento fallado.

2) Para calcular aceite in-situ 3) Para pronósticos del comportamiento futuro del yacimiento 4) La presión promedia es un parámetro fundamental que debe ser entendido en

procesos de recobro primario, secundario y proyectos de mantenimiento de presión.

Mediante el uso del análisis de presiones lo que se estima es la presión promedia en la región de drene. 3.8.1. Método de MBH (Matthews-Bronz & Hazebrock) Este método es considerado el más exacto5,16,21 y fue corregido por Odeh22. Utiliza un gráfico Horner. Se aplica en la mayoría de situaciones donde se desea hallar la presión promedia en un yacimiento cerrado para cualquier localización de pozo dentro de una variedad de formas de drene. El método asume que no hay variaciones en movilidades de fluido o compresibilidades de fluido dentro de la región de drene. Esta limitación se puede sobrellevar usando un tiempo de producción tp igual tpss. El procedimiento es: 1) Calcule tp = 24 Np/q.

244

2) El valor de tp debe ser comparado con el tiempo requerido para alcanzar el estado pseudoestable. Por lo tanto obtenga (tDA)pss de la tabla 2.1, de la columna “exacto para tDA > “. Para esto debe conocerse previamente la forma del yacimiento.

3) Calcule el tiempo para alcanzar el estado pseudoestable, tpss:

( )0.0002637

t DA psspss

c A tt

kφ µ

= (3.32)

4) Obtenga la relación α, α = tp/tpss. Si α > 2.5 entonces, haga t = tpss. Si α < 2.5

(para ratas muy altas, el mejoramiento en el cálculo de la presión promedia es significativo cuando α está comprendido entre 2.5 y 5) entonces haga t = tp. Luego grafique Pws vs. (t+∆t)/∆t. Como se vio anteriormente, el uso de tpss en el método de Horner puede incrementar la longitud de la recta semilog, contrario al gráfico MDH.

5) Con el tiempo, t, definido en el paso anterior determine tpDA

0.0002637

p DAt

kt tc Aφ µ

= (3.33)

6) Extrapole la recta semilogarítmico del gráfico Horner y halle P*. 7) Determine PDMBH de la Figs. 3.12.a 3.12.d usando el tpDA calculado en el paso 5. 8) Calcule la presión promedia:

*2.3025 DMBH

mP P P⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.34)

Debido factores de compensación (valores bajos de P* con correspondientes correcciones pequeñas), cualquier valor de tp usado con el método MBH teóricamente dará resultados idénticos para presión promedia. Prácticamente, un tp relativamente corto puede eliminar problemas numéricos serios en el cálculo de la presión promedia. Esto incluye errores causados por largas extrapolaciones y desviaciones de las suposiciones teóricas: (1) falta de estabilización de la rata de flujo antes del cierre, (2) migración y cambio de áreas de drene en yacimientos con múltiples pozos, y (3) variaciones en la compresibilidad del sistema y movilidad. 3.8.2. Método de Dietz Este método5,16 asume que el pozo fluyó lo suficiente hasta alcanzar el estado pseudoestable antes del cierre y que la recta semilog se desarrolló apropiadamente.

245

0

1

2

3

4

5

6

7

0.01 0.1 1 10

Tiempo de Producción adimensional, tpDA

P D

MBH

= 2

.303

(P -

P)/m

*

(tDA)pss

(tDA)pss

(tDA)pss

Hexágono y circulo

Cuadrado

Triánguloequilátero Rombo

Triángulo recto

Fig. 3.12.a. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene equiláteras5

246

-1 .0-0 .8-0 .6-0 .4-0 .20 .00 .20 .40 .60 .81 .01 .21 .41 .61 .82 .02 .22 .42 .62 .83 .03 .23 .43 .63 .84 .04 .24 .44 .64 .85 .05 .25 .45 .65 .86 .0

0.01 0.1 1 10

(tDA)pss

(tDA)pss(tDA)pss

(tDA)pss

Pozo a 1/8 de altura del lado

Tiempo de Producción adimensional, tpD A

P D

MBH

= 2

.303

(P -

P)/m

*

Fig. 3.12.b. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene cuadradas5

247

-1

0

1

2

3

4

5

6

0.01 0.1 1 10

(t D A ) pss

( t D A ) pss

(t D A )pss

Pozo a 1/8 de longitu

d

del lado

Pozo a 1/8 de altura del lado


P D

MBH

= 2

.303

(P -

P)/m

*

Fig. 3.12.c. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene rectangulares con relación de lado 2:15

248

-2

-1

0

1

2

3

4

0.01 0.1 1 10

1

5

14

14

14

14

(tDA)pss

(tDA)pss

(tDA)pss

(tDA)pss


P D

MBH

= 2

.303

(P -

P)/m

*

Fig. 3.12.d. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene rectangulares con relación de lado 4:1 y 5:15

249

0

1

2

3

4

51.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00

P D M

DH

Tiempo de cierre adimensional, ∆tDA

Fig. 3.13. PD MDH para un pozo en el centro de áreas de drene circular y cuadrada5

250

Este método es sencillo y simple y usualmente se prefiere en pozos sin un daño significante, s >-3 o rw’ = 0.05 re. El procedimiento para este método es: 1) Conociendo la forma del yacimiento y la localización del pozo encuentre CA de la tabla 2.1. 2) Calcule el tiempo de cierre de Dietz, ( )∆t p

∆t c AC kP

t

A=

φµ0 0002637.

(3.35)

3) Haga un gráfico MDH (opcionalmente puede hallar k y s) 4) Obtenga la presión promedia a un ∆t = ∆tP . Para un pozo en el centro de un yacimiento de forma cuadrada con presión constante, el factor de forma, CA = 19.5, luego la Ec. 3.35 se convierte en:

kAct t

P

φµ5.19=∆ (3.36)

3.8.3. Método de MDH (Miller-Dietz-Hutchinson) Esta técnica fue elaborada para estimar la presión promedia en yacimientos de forma circular o cuadrada. Se aplica solamente en pozos que operan bajo estado pseudoestable5,16. Su procedimiento se presenta como sigue: 1) En un gráfico MDH, escoja cualquier punto sobre la recta y lea sus coordenadas,

(Pws)N y ∆tN 2) Calcule ∆tDA

Nt

NDA tAc

kt ∆=∆µφ

0002637.0 (3.37)

4) De la Fig. 3.13, determine PDMDH correspondiente a (∆tDA)N 5) Calcule la presión promedia

1.1513ws N DMDHmP P P⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.38)

Para líneas de presión constante PDMDH se lee de las curvas más bajas.

251

1.1513e ws N DMDHmP P P⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.39)

3.8.4. Método de Ramey-Cobb Ellos presentaron un método para extrapolar la presión promedia de un gráfico Horner cuando t ≥ tpss. Este método5,16,21 requiere conocer información sobre la forma del área de drene, la localización del pozo y la confirmación que las fronteras son cerradas. El procedimiento de Ramey-Cobb es: 1) Conociendo la forma de la tabla 2.1 obtenga el (tDA)pss, calcule tp y tpss.

( )0.0002637

tpss DA pss

c At tk

φµ= (3.40)

2) Si tp < tpss el método no es confiable. Calcule el tiempo Horner correspondiente a la presión promedia.

Pt

A

P

p tAc

kCt

ttφµ

0002637.0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+ (3.41)

Cuando (tp+∆t) = tp, la Ec. 3.41 se reduce a la Ec. 3.35. Si tp < teia (fin de la línea de comportamiento infinito), Ramey y Cobb mostraron que:

4 pDAtp

P

t te

tπ+ ∆⎛ ⎞

=⎜ ⎟∆⎝ ⎠ (3.42)

3) Haga un gráfico Horner (opcionalmente calcule k y s) 4) Del gráfico, lea la presión promedia a ( ) /p p

t t t⎡ ⎤+ ∆ ∆⎣ ⎦

3.8.5. Método Directo Azari4,17 presentó en 1987 un método simple para calcular la presión promedia durante producción o restauración de presión sin la ayuda de ninguna gráfica. Este método requiere conocer la distancia desde el pozo a la cual la presión del yacimiento es la misma presión promedia. Para yacimientos cerrados:

162.6= + 2log 0.5203 0.87ewf

w

rq BP P skh r

µ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.43)

252

2

162.6+ log 1.1224 0.87wfw

q B AP P skh r

µ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.44)

Para yacimientos con frontera de presión constante:

162.6+ 2log 0.4342 0.87ewf

w

rq BP P skh r

µ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.45)

2

162.6 log 1.036 0.87wfw

q B AP P skh r

µ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.46)

Para considerar diferentes posiciones de los pozos y diferentes geometrías de yacimiento, las ecuaciones de flujo se desarrollaron introduciendo los factores geométricos de forma de Dietz en las ecuaciones 3.44 y 3.46 las cuales se transforman, respectivamente en:

2

162.6+ log 0.368 0.87wfA w

q B AP P skh C r

µ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.47)

2

162.6 log 0.454 0.87wfA w

q B AP P skh C r

µ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.48)

3.8.6. Tiab's Direct Synthesis Technique Durante estado pseudoestable

3.8.6.1. Yacimientos circulares cerrados El área de drene se halla mediante la siguiente ecuación:

1

0.234 ( * ')t p

qBAc h t Pφ

=∆

(3.49)

Siendo (t*∆P’)p1 el valor de la derivada de presión en la línea de estado pseudoestable al tiempo t = 1 hr, extrapolado si es necesario. Ver Fig. 3.14.a. Para un pozo en el centro de un yacimiento circular, la presión promedia se obtiene a partir de un gráfico de presión y derivada de presión según la siguiente expresión4:

( * ')141.2 3 = ln

( ) ( * ') 4pss e

ipss pss w

t P rq BP Pkh P t P r

µ ⎡ ⎤⎛ ⎞∆ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∆ − ∆⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.50)

253

1

10

100

1000

10000

0.01 0.1 1 10 100

∆ P y

t* ∆

P',

(psi

)

t, hrs

(t*∆P')p1

(t*∆P')pss

(∆P)pss

Línea de estado

pseudoestable

tpss

trpi

Línea de flujo radial

Fig. 3.14.a. Esquema ilustrativo para determinar área y presión promedia usando

TDST donde Pi es la presión inicial (en algunos casos puede aproximarse a P*, (∆P)pss y (t*∆P’)pss son los valores de (∆P) y (t*∆P’) en la línea recta de estado pseudoestable. Se recomienda tomar cualquier punto tardío, pero los dos valores deben coincidir con el tiempo. Ver Fig. 3.14.a. Para yacimientos naturalmente fracturados con la presión promedia adimensional definida como17, 29:

( )141.2D ws

khP P Pq Bµ

= −

La presión promedia está dada por17:

2 23792.2 (1 )( * ') 1 t wwf pss pss

pss

c rP P P t Pkt

φµ ωλ

⎛ ⎞−= + ∆ + ∆ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

( )2 2* ' 2 (1 )141.2 3ln

* ' 4pss e w

wf psspss wpss

t P r rq BP P Pkh P t P r A

π ωµλ

⎛ ⎞∆ ⎛ ⎞−⎜ ⎟= + ∆ + − +⎜ ⎟⎜ ⎟∆ − ∆ ⎝ ⎠⎝ ⎠

254

( )( )

2 2* ' 0.1987 (1 )141.2 3ln* ' 4

pss e A wwf pss

pss wpss

t P r C rq BP P Pkh P t P r A

ωµλ

⎛ ⎞∆ ⎛ ⎞−⎜ ⎟= + ∆ + − +⎜ ⎟⎜ ⎟∆ − ∆ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Si la presión promedia adimensional se define como17:

( )141.2D i

khP P Pq Bµ

= −

La presión promedia está dada por17,29:

2 23792.2 (1 )( * ') 1 t wi pss

pss

c rP P t Pkt

φµ ωλ

⎛ ⎞−= − ∆ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

( )2 2* ' 2 (1 )141.2 3ln

* ' 4pss e w

ipss wpss

t P r rq BP Pkh P t P r A

π ωµλ

⎛ ⎞∆ ⎛ ⎞−⎜ ⎟= − − +⎜ ⎟⎜ ⎟∆ − ∆ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )

( )2 2* ' 0.1987 (1 )141.2 3ln

* ' 4pss e A w

ipss wpss

t P r C rq BP Pkh P t P r A

ωµλ

⎛ ⎞∆ ⎛ ⎞−⎜ ⎟= − − +⎜ ⎟⎜ ⎟∆ − ∆ ⎝ ⎠⎝ ⎠

El factor de forma de Dietz puede estimarse mediante4:

1

2 /

0.001055 ( )2.2458 = 1 ( * )

pss w pssA

w t w pss

kt PAC Expr c A t P

πφµ

−⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∆⎪ ⎪−⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∆⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

3.8.6.2. Sistemas cerrados rectangulares Para estos sistemas el área se estima con la Ec. 3.49. El factor de forma y la presión promedia se obtiene respectivamente mediante las siguientes ecuaciones4:

1

2

0.003314 ( )2.2458 1 ( * ')

pss pssA

w t pss

kt PAC Expr c A t Pφµ

−⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∆⎪ ⎪= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∆⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

(3.51)

2

( * ') 2.2458 70.6 ln( ) ( * ')

pssi

pss pss A w

t Pq B AP Pkh P t P C rµ ⎡ ⎤⎛ ⎞∆ ⎛ ⎞

= − ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∆ − ∆⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.52)

255

3.8.6.3. Uso del punto de intersección El punto de intersección entre la línea de flujo radial y la línea de estado pseudoestable, trpi, es única tanto para el sistema circular como el rectangular. El área y la presión promedia se hallan mediante las siguientes ecuaciones4:

948.05 rpi

t

kA tc

πφµ

= (3.53)

70.6iq BP Pkhµ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.54)

3.8.6.4. Determinación de la presión promedia en sistemas cerrados drenados por un pozo verticalmente fracturado Use la Ec. 3.49 para estimar el área. El factor de forma y la presión promedio se halla por medio de4:

20.003314 ( )

=2.2458 exp 1- ( * ')

pss psseA

f t pss

kt PxCx c A t Pφµ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

(3.55)

2

0.0744 ( ) 2.2458- 70.6ln( * ')

pss pss ei

t pss f A

kt P xqP Pkh c A t P x C

πµβφµ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭ (3.56)

Las Ecs. 3.53 y 3.54 se aplican también a este caso. Cuando se presenta flujo birradial, el área y la presión promedia se pueden determinar de las siguientes ecuaciones4:

1.123

142.43 BRPi

et

f

kA txcx

φµ

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.57)

0.72 0.36

0.36-5.64 ei BRPi

f t

xq B kP P tkh x c Aµ

φµ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.58)

donde tBRPi es el punto de intersección entre la línea de flujo birradial y radial. Para fracturas de flujo uniforme y cuando xe/xf < 8, el flujo radial no se observa, entonces se utiliza la intersección entre el flujo lineal y la línea de estado pseudoestable, tLPi. Luego, el área y la presión promedia se obtienen de:

256

2 0.001055 f

LPit e

xkA tc x

πφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.59)

-4.06

ei LPi

ft

qB xP P txh c k

µ

φ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.60)

3.8.6.5. Pozos Fracturados en Regiones Rectangulares Para estos sistemas, la transición entre la línea de comportamiento infinito y la de estado pseudoestable es más larga comparada con el caso de sistemas cuadrados en ambos casos de fractura: conductividad infinita y flujo uniforme. Cuando la línea de flujo radial no se observa, tal es el caso de xe/xf < 8, se usa la siguiente ecuación para determinar la permeabilidad4:

2

1

8.128 ( * ')t CB

qBkc A h t Pµ

φ⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= ⎜ ⎟ ⎢ ⎥∆⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (3.61)

Donde (t*∆P’)CB1 es el valor de (t*∆P’) a t = 1 hr sobre la línea de flujo lineal que aparece después del flujo radial. Despejando el área de drene se obtiene4:

2

1

8.128 ( * ')t CB

qBAc k h t Pµ

φ⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= ⎜ ⎟ ⎢ ⎥∆⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (3.62)

El punto de intersección entre el flujo lineal de la frontera paralela más cercana: el segundo flujo lineal y la línea de estado pseudoestable, tCBPi, es único. Con este punto determine el área de la siguiente ecuación4:

0.0002634 CBPi

t

kA tc

πφµ

= (3.63)

Esta ecuación debería usarse para propósitos de verificación de los valores permeabilidad y área obtenidos mediante las Ecs. 3.61 y 3.62. La presión promedia se obtiene de4:

4= - 8.284 10 i CBPi

t

qBP P th c k A

µπ φ

−⎛ ⎞×⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.64)

Esta ecuación debería usarse si k y A pueden determinarse de la frontera paralela más cercana.

257

EJEMPLO Los datos de una prueba de restauración de presión se reportan en la tabla 3.1. Las propiedades del yacimiento se obtuvieron de un pozo localizado en el centro de un yacimiento de forma cuadrada. Dados los siguientes datos: rw = 4 in h = 44 ft φ = 12 % µ = 0.76 cp B = 1.24 rb/STB Np= 4550 STB A = 40 acres (área contratada) q = 340 BPD ct = 36x10-6 psi-1

Pwf = 2980 psi (medido justo antes del cierre) Estime: A. Permeabilidad B. Factor de daño C. Presión promedia del yacimiento, por medio de: C.1. MBH C.2. Dietz C.3. Ramey-Cobb C.4. MDH C.5. Tiab’s Direct Síntesis Technique C.6. Método directo (Azari)

Tabla 3.1.b. Datos de restauración de presión

∆t, hr Pws, psi (tp+∆t)/∆t (tpss+∆t)/ ∆t (t*∆P'),psi

∆t, hr Pws, psi (tp+∆t)/∆t (tpss+∆t)/∆t (t*∆P'), psi

0.1 3100 3212.76 807.45 79.65 7 3342 46.88 12.52 21.85 0.2 3150 1606.88 404.23 96.78 10 3350 33.12 9.06 22.46 0.3 3200 1071.59 269.82 107.67 15 3360 22.41 6.38 19.24 0.5 3250 643.35 162.29 78.65 20 3364 17.06 5.03 16.33 0.75 3275 429.24 108.53 57.19 30 3370 11.71 3.69 11.34

1 3290 322.18 81.65 45.56 40 3372 9.03 3.02 9.04 2 3315 161.59 41.32 31.16 50 3374 7.42 2.61 7.18 3 3325 108.06 27.88 24.24 60 3375 6.35 2.34 7.61 4 3330 81.29 21.16 21.32 70 3376 5.59 2.15 8.05 5 3335 65.24 17.13 20.15 80 3377 5.01 2.01 8.49

SOLUCION A. Permeabilidad

258

3100

3200

3300

3400

110100100010000

P ws, psi

ttt p ∆∆+ /)(

m=44P1hr = 3306 psi

P=3368 psi

299.12=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+

P

p

ttt

Fig. 3.14.b. Gráfico de Horner

3100

3200

3300

3400

1101001000

P ws,psi

ttt pps ∆∆+ /)(

P*=3398 psi

Fig. 3.15. Gráfico de Horner con tpss

259

1

10

100

1000

0.1 1 10 100

Flujo radial

∆P,

t* ∆P'

, psi

t, hr

Estado estable

(t*∆P') r = 21.86 psi

∆P r = 362 psi

tr = 7 hrs

∆P pss = 384 psi

(t*∆P') pss = 16.33 psi

tpss = 20 hrs

Fig. 3.16. Gráfico de la presión y derivada de presión Ecuación básica:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+−=

ttt

khBqPP p

iws log6.162 µ

tp se halla mediante:

hrqN

t pp 2.321

340)4550)(24(24

===

El gráfico de Horner se da en la Fig. 3.14 (ver datos en tabla 3.1). Se visualiza una recta con pendiente de 44 psi/ciclo. La permeabilidad se calcula de:

162.6 (162.6)(340)(0.76)(1.24) 26.91 md(44)(44)

q Bkmh

µ= = =

B. Factor de daño

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= =∆ 2275.3log1513.1 2

)0(1

wt

twfhr

rck

m

PPs

φµ

De la Fig. 3.14.b, P1hr = 3306 psi, luego:

260

18.32275.3)333.0)(1036)(76.0)(12.0(

91.26log)44(298033061513.1 26 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

−−

= −s

C. Presión promedia del yacimiento C.1. Método de MBH 1. Determine (tDA)pss de la Tabla 2.1 para yacimientos de forma cuadrada, (tDA)pss = 0.1 Calcule tpss;

6(0.12)(1.76)(36 10 )(40)(43560)( ) (0.1) 80.645 hr

0.0002637 (0.0002637)(26.91)t

pss DA pssc At t

kφµ −×

= = =

Calcule:

982.3645.80176.312

===pss

p

tt

α . Puesto que α > 2, luego t = tpss.

Grafique Pws vs. log(tpss+∆t)/∆t, (ver tabla 3.1). En la Fig. 3.15, trace una línea recta y extrapólela a 1 hr, y determine el valor de P*. P* = 3398 psi Calcule el tiempo de producción adimensional de:

1.00999.0)645.80()4356040)(1036)(76.0)(12.0(

)91.26)(0002637.0(0002637.06 ≈=

⋅×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −t

Ackt

tpDA φµ

De la Fig. 3.12.b para un sistema de forma cuadrada con pozo en el centro, la presión adimensional de MBH es PDMBH=1.15.

mPPPDMBH

−=

∗

303.2

Luego, la presión promedia del yacimiento será:

* (44)(1.15)3398 3376 psi2.303 2.303

DMBHm PP P= − = − =

261

3050

3100

3150

3200

3250

3300

3350

3400

0.1 1 10 100

P=3368 psiP

ws, psi

∆t, hrs

∆tN

(Pws)N

Fig. 3.17. Gráfico de MDH

C.2. MÉTODO DE DIETZ Pasos: 1. Grafique Pws vs. log(∆t), Fig. 3.17. 2. Determine el factor de forma CA de la tabla 2.1 para un pozo localizado en el

centro de un área de drene cuadrada. CA = 30.8828. 3. Calcule el tiempo de cierre de Dietz:

61 (0.12)(0.76)(36 10 )(40)(43560) 1 26.1136 hr0.0002637 (0.0002637)(26.91) (30.8828)

t

P A

c Atk C

φµ−

−×∆ = = =

4. De la Fig. 3.17, P = 3368 psi. C.3. Método de Ramey - Cobb Pasos: 1. Calcule tp y tpss:

24 (24)(4550) 321.176 hr

340p

p

Nt

q= = =

262

6(0.12)(1.76)(36 10 )(40)(43560) (0.1) 80.645 hr0.0002637 (0.0002637)(26.91)

tpss DApss

c At tk

φµ −×= = =

2. Para el área dada, A=1742400 ft2, determine el factor de forma CA de la Tabla 2.1,

para un pozo localizado en el centro de una área de drene cuadrada, CA=30.8828. 3. Puesto que tp >> tpss, calcule ( )[ ]−∆∆+ Pttt / (Tiempo de cierre de Ramey-Cobb),

de:

pAtP

tCAc

kt

tt⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆+

φµ0002637.0

299.12)176.312)(8828.30()43560)(40)(1036)(76.0)(12.0(

)91.26)(0002637.0(6 =

×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆+

−Pt

tt

4. De la Fig. 3.14.b, determine P para ( )[ ]−∆∆+ Pttt / . El valor de la presión

promedia es 3368 psi. C.4. Método de Miller-Dyes-Hutchinson (MDH) Pasos: 1. Grafique Pws vs. log(∆t), como se muestra en la Fig. 3.17. 2. Escoja cualquier punto conveniente N sobre la porción recta y lea ∆tN y (Pws)N.

Los valores leídos son: ∆tN = 10 hrs y (Pws)N = 3350 psi. 3. Calcule el tiempo de cierre adimensional usando la siguiente ecuación (para el

punto N):

0124.0)10()43560)(40)(1036)(76.0)(12.0(

)91.26)(0002637.0(0002637.06 =

×=∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆ −N

tDA t

Ackt

φµ

Nota: Use este tiempo adimensional con la curva superior de la Fig. 3.13, y halle el valor de PDMDH. De esta figura, PDMDH =0.6. 5. Calcule P , (con el punto N), de la siguiente ecuación:

psiPmPP DMDHwsN 9.3372)6.0(1513.1443350

1513.1=+=+=

C.5. TDST Los datos del estado pseudoestable se tomaron del estado estable. Los siguientes datos se leyeron del gráfico 3.16:

263

tr = 7 hr ∆Pr = 362 psi (t*∆P’)pss = 16.33 psi ∆Ppss = 384 psi tpss = 20 hr (t*∆P’)r = 21.86 psi Estime la permeabilidad y daño de:

70.6 (70.6)(340)(0.76)(1.24) 23.52 md( * ') 44(21.86)r

q Bkh t P

µ= = =

∆

2 6 2362 23.52(7)0.5 ln 7.43 0.5 ln 7.43 1.93

( * ') 21.86 (0.12)(0.76)(36 10 )(0.3 )r r

r t w

P ktst P c rφµ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆= − + = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∆ ×⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Tomando un sistema rectangular cerrado, Ecs. 3.51 y 3.62, se halla el factor de forma y la presión promedia. Aquí se toma como Pi el último valor de presión, es decir 3377 psi.

1

2

0.003314 ( )2.2458 1 ( * ')

pss pssA

w t pss

kt PAC Expr c A t Pφµ

−⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∆⎪ ⎪= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∆⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

1

2 6

2.2458 (40)(43560) 0.003314(23.52)(20) 384 10.3 0.12(0.76)(30 10 )(40)(43560) 16.33AC Exp

−

−

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥× ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

CA = 94054

2

( * ') 2.2458 70.6 ln( ) ( * ')

pssi

pss pss A w


= − ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∆ − ∆⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

2

(340)(0.76)(1.24) 16.33 2.2458(40)(43560) 3377 70.6 ln(23.52)(44) 384 16.33 94054(0.3 )

P⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

3371.4 psiP = C.5. AZARI (Método directo) Tomando la Ec. 3.46, para sistemas de presión constante, se tiene:

2

162.6 log 1.036 0.87wfw

q B AP P skh r

µ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

264

Tabla 3.2. Resumen de presión promedia

Método Presión Promedia, psi Ramey & Cobb 3368

MBH 3376 MDH 3372.9 Dietz 3368 TDST 3371.4

Azari (Método directo) 3379.3 Promedio 3372.6

Tabla 3.3. Datos de presión para ejemplo

∆t, hrs Pws, psi ∆P, psi t*∆P’, psi ∆t, hrs Pws, psi ∆P, psi t*∆P’, psi

0 2840 0 0.36183 3195.249 355.249 32.83937 0.00989 2872.354 32.354 0.45863 3202.808 362.808 32.52705 0.01458 2909.071 69.071 109.6355 0.63368 3213.607 373.607 34.85923 0.02103 2954.428 114.428 145.7317 0.82962 3223.326 383.326 29.18734 0.02814 3001.944 161.944 145.7446 1.12182 3229.806 389.806 27.54739 0.04192 3050.54 210.54 143.3739 1.50068 3239.525 399.525 24.12313 0.05035 3078.618 238.618 145.2437 2.00748 3243.844 403.844 24.55872 0.05983 3102.376 262.376 116.8582 2.62819 3252.884 412.884 43.33975 0.08447 3128.294 288.294 68.36178 3.40394 3266.523 426.523 49.79418 0.11545 3147.732 307.732 58.70226 4.17739 3276.242 436.242 54.54016 0.16125 3166.091 326.091 47.36436 4.9103 3285.961 445.961 60.12454 0.24814 3182.29 342.29 35.86205 5.77179 3295.68 455.68

2

162.6(340)(0.76)(1.24) 40(43560)2980 log 1.036 0.87(1.93) 3379.3 psi(23.52)(44) 0.3

P⎛ ⎞

= + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

La tabla 3.2.a resume los resultados de los datos de presión promedia obtenidos por los seis métodos anteriores: EJEMPLO La tabla 3.3 proporciona datos de restauración de presión. Se cree que el pozo está en el centro de un yacimiento cuadrado. El pozo produjo 234000 STB a una rata constante de 250 STB/día antes del cierre para la prueba. Las propiedades de roca y fluido son: φ = 19.4 % ct = 19.4x10-6 1/psi h = 50 ft Pwf (t = 0) = 2840 psi A = 93 acres µ = 1.34 cp B = 1.44 bbl / STB rw = 0.25 ft

265

Use el método de Tiab y el método directo para hallar la presión promedia del yacimiento.

Método Directo 1- El valor de k es 22.41 md (de gráfico Horner no suministrado). 2- El valor de s es 1.1. 3- Para un pozo localizado en el centro de un cuadrado cerrado, CA = 30.8828. 4- La presión promedia se calcula mediante de:

2

162.6+ log 0.368 0.87wfA w

q B AP P skh C r

µ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= )(0.87)(1.1 )368.0( )25.0)(8828.30(

)43560)(93(log )(22.41)(50.44)0)(1.34)(1(162.6)(25 2840 2P

3371.4 psiP =

Tiab's Direct Synthesis Technique A- Permeabilidad de la formación 1. Del gráfico log-log dado en la Fig. 3.18, se obtiene (t*∆P’)r = 30 psi. La permeabilidad se calcula de:

70.6 70.6(250)(1.34)(1.44) 22.7 md( * ') 50(30)r

q Bkh t P

µ= = =

∆

B- Factor de daño 1. Se selecciona un tiempo conveniente tr = 1 hr durante el flujo radial, allí se lee ∆Pr

= 400 psi y (t* ∆P')r = 30 psi. 2. El factor de daño se calcula mediante la Ec. 2.96:

20.5 ln 7.43( * ')

r r

r t w

P k tst P c rφµ

⎛ ⎞⎡ ⎤∆= − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∆ ⎣ ⎦⎝ ⎠

3.1 43.7 )25.0)(104.19)(34.1)(194.0()1)(7.22( ln )30(

)400( 5.0 26 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−= −s

C- Presión promedia 1. Seleccione cualquier punto conveniente sobre la línea de estado pseudoestable y se leen: (∆P)pss = 405 psi y (t*∆P’)pss = 37 psi. 2. Calcule la presión promedia a partir de la Ec. 3.52:

266

1

10

100

1000

0.01 0.1 1 10

∆ P y

t* ∆

P',

(psi

)

t, hrs

(t*∆P')pss=37 psi

(∆P)r = 400 psi

(t*∆P')r=30 psi

(∆P)pss=405 psi

tr = 1 hr

Fig. 3.18. Gráfico log-log de presión y derivada de presión (tabla 3.3)

2

( * ') 2.2458 70.6 ln( ) ( * ')

pssi

w pss pss A w


= − ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∆ − ∆⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

La Ec. 3.52 da un estimativo confiable de P si el valor de la presión inicial del yacimiento se conoce de otras fuentes. Debido a la carencia de información acerca de Pi, y que además se tiene tiempos de cierre cortos comparados con el tiempo de producción, la presión inicial del yacimiento se maneja como si ésta fuese igual a P*, la cual se halla de un gráfico Horner (P* = 3400 psi).

2

(250)(1.34)(1.44) 37 (2.2458)(93)(43560)3400 - 70.6 ln 3353.6 psia(22.7)(50) (400 37) (30.8828)(0.25)

P⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞

= =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 3.8.7. Presión Promedia en Pruebas Biflujo2,21 En el estado pseudoestable, la caída de presión es función lineal del tiempo, luego:

0.0417 ( )i wf wfp t

qBP P t P PV c

− = + − (3.65)

267

Para completar la formulación de la ecuación anterior, se necesita determinar una expresión para ( P - Pwf). Para este propósito se aplica la ley de Darcy en flujo radial y se despeja la presión volumetrica promedia:

0.472325.2 log ewf

w

rq BP Pkh r

µ− = (3.66)

Si un pozo está produciendo en estado semiestable, junto antes de que la rata se cambie la ecuación anterior es válida. Expresando ésta en términos de q1 y adicionando ∆Pskin, se obtiene:

1@ t'=0 1

0.472325.2 log 0.87ewf

w

rq BP P m skh r

µ∆− = + (3.67)

donde ∆t’, dado en hrs, es el tiempo medido desde el instante en que se cambió la rata de q1 a q2. Esta ecuación nos permite estimar la presión promedia a partir de una prueba biflujo siempre y cuando la geometría del yacimiento sea circular. Si se necesitan otras geometrías se precisa introducir el factor de forma de Dietz, CA. Sabiendo que para un sistema circular este valor es de 31.6, se tiene:

22

@ t'=0 1 2

0.2332 log 0.435ewf

w

rP P m sr∆

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪− = +⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

Dividiendo y multiplicando por 31.6π :

22

@ t'=0 1 2

0.233 31.62 log 0.43531.6

ewf

w

rP P m srπ

π∆

⎧ ⎫⎛ ⎞× ×⎪ ⎪− = +⎨ ⎬⎜ ⎟×⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

si el área de drene está en ft2, entonces resulta:

2

1 @ t'=02

2.2412 log 0.435 wfA w

AP m s PC r ∆

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + +⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

(3.68)

EJEMPLO Se corrió una prueba biflujo arrojando los valores de presión contra tiempo mostrados en la tabla 3.3. Para interpretar la prueba, se requieren los siguientes parámetros del yacimiento, PVT y del flujo (tomado de la Ref. 21):

268

Tabla 3.3. Datos de presión para ejemplo de prueba biflujo21

Datos antes del cambio de rata Datos después del cambio de rata t, hr Pwf, psi t, hr Pwf, psi ∆t’ 288 1607,5 0,33 2475 2,72 289 1607,2 0,42 2482 2,67 290 1606,8 0,5 2487 2,63 291 1606,4 0,58 2492 2,6 292 1606,1 0,67 2497 2,56 293 1605,7 0,75 2500 2,54 294 1605,4 0,83 2502 2,52 295 1605 0,92 2505 2,5 296 1604,6 1 2508 2,48 297 1604,3 1,25 2514 2,43 298 1603,9 1,5 2520 2,39 299 1603,6 1,75 2525 2,36 300 1603,2 2 2531 2,33

2,5 2542 2,28 3 2552 2,24 4 2568 2,18 5 2582 2,13 6 2590 2,1 7 2600 2,06

7,5 2604 2,05 re = 745 ft rw = 0.25 ft φ = 15 % h = 20 ft µ = 1.2 cp ct = 20x10-6 psi-1 B = 1.25 bbl/STB tp = 300 hr q1 = 100 STB/D q2 = 50 STB/D Pwf@∆t’=0 = 1603.2 psi Determine presión promedia, daño y demuestre que la prueba no ha alcanzado el periodo transitorio cuando se cambió de rata. SOLUCION Un valor de m1 = 274 psi/ciclo y P1hr = 2485 fue tomado del gráfico cartesiano presentado en la Fig. 3.19. La permeabilidad se y el daño se calculan con las Ecs. 2.130 y 2.131, respectivamente, y resultaron ser 4.5 md y aproximadamente 3.0. El tiempo para alcanzar el estado semiestable en la prueba se estima con Ec. 2.39 con r = re, como sigue:

2 6 2948 948(0.15)(1.2)(20 10 )(745 ) 420 hrs4.5

tpss

c rtk

φ µ −×= = =

269

2460

2480

2500

2520

2540

2560

2580

2600

2620

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8

P1hr = 2485 psi

m'1 = -274 psia/log cycleP w

f , ps

i

2

1

' log logqt tt tt q

+ ∆⎛ ⎞∆ = + ∆⎜ ⎟∆⎝ ⎠

Fig. 3.19. Grafico Cartesiano para prueba biflujo Si asumimos que el pozo está en el centro de un área rectangular o circular, se puede apreciar el cambio (t = 300 hrs) ocurrió antes de alcanzar el estado pseudoestable. Para calcular la presión promedia, utilizamos la Ec. 3.67, así pues:

11 @ t'=0

0.472325.2 log 0.87ewf

w

rq BP m s Pkh r

µ∆= + +

325.2(100)(1.2)(1.25) 0.472(745)log 0.87(274)(3) 1603.2 2405.8 psi

(84.5)(20) 0.33P = + + =

Note que el valor de presión promedia no es correcto (se obtuvo para efectos explicativos) porque el pozo no estaba produciendo bajo estado pseudoestable antes de cambiar a la segunda tasa. 3.8.8. Presion Promedia en Pruebas Multirata Para este tipo de pruebas es necesario construir un gráfico cartesiano de presión contra el tiempo de superposición Xn, Ec. 2.123, para obtener permeabilidad y daño. Luego se realiza una gráfica MDH y se aplica el método de Dietz. Para ésto se requiere determinar pt∆ mediante la Ec. 3.35. Con este valor se lee la presión promedia del gráfico MDH. Es posible, entonces, aplicar cualquiera de los métodos de presión promedia vistos en este capítulo21.

270

Tabla 3.4. Datos de presión para prueba multirata

∆t, hr Pws, psi qsf, STB/D

∆t, hr Pws, psi qsf, STB/D

0,0000 1844,65 9200,0 0,2449 2134,43 2378,6 0,0032 1850,37 9025,7 0,2852 2159,67 1807,7 0,0074 1854,51 8922,4 0,3391 2185,34 1251,1 0,0107 1859,07 8790,1 0,4204 2211,49 722,6 0,0136 1863,35 8687,8 0,5282 2232,61 470,9 0,0166 1867,81 8564,9 0,5910 2241,11 339,3 0,0224 1876,97 8346,0 0,6710 2249,21 244,5 0,0282 1885,99 8130,6 0,7899 2257,70 170,5 0,0341 1894,87 7914,6 0,9693 2266,62 124,7 0,0399 1903,80 7700,6 1,0860 2271,05 99,0 0,0457 1912,72 7496,9 1,2282 2275,48 81,3 0,0545 1925,94 7195,3 1,4004 2279,91 68,2 0,0632 1938,79 6890,2 1,6016 2284,32 57,9 0,0720 1951,53 6605,2 1,8382 2288,72 48,6 0,0807 1963,92 6306,0 2,1216 2293,14 40,2 0,0903 1977,10 5984,5 2,4660 2297,55 33,3 0,1102 2003,45 5390,8 2,8771 2301,95 27,3 0,1310 2028,89 4817,2 3,3882 2306,37 22,4 0,1557 2056,41 4184,7 3,9971 2310,76 18,4 0,1807 2081,78 3585,9 4,7438 2315,15 14,8 0,2107 2108,50 2976,5 5,6816 2319,54 12,0

EJEMPLO Un pozo centrado en un yacimiento de forma circular produjo a una rata constante de 9200 STB/D durante 158 hrs antes de cerrarse para una prueba de restauración de 8 hrs. Si embargo, el flujo continuó después de carrado el pozo en la superficie como lo indica los resultados de un medidor de hélice. Los datos de presión, caudales, tiempo y tiempo de superposición para esta prueba se dan en la tabla 3.4. Determine la presión promedia para este yacimiento (tomado de la Ref. 21). Datos adicionales: rw = 0.25 ft φ = 27 % h = 100 ft µ = 1.24 cp ct = 11x10-6 psi-1 B = 1.24 bbl/STB tp = 300 hr Pwf@∆t’=0 = 1844.65 psi k = 411.5 md s = 2 A = 640 Ac SOLUCION Estime el tiempo de cierre de Dietz, con la Ec. 3.35:

6(0.27)(1.24)(11 10 )(640 43560) 29.94 hr0.0002637 0.0002637(31.6)(411.5)

tP

A

c AtC k

φµ × ×∆ = = =

271

1800

1900

2000

2100

2200

2300

2400

2500

0,001 0,01 0,1 1 10 100

∆t, hrs

Pw

s, ps

i

∆t p = 29.94 hrs

P = 2370 psi

Fig. 3.20. Gráfica MDH para prueba multirata Entrando con este valor se obtiene un valor de presión promedia de 2370 psi. 3.8.9. Otros Métodos para Estimar la Presión Promedia La presión promedia también puede estimarse usando balance de materia:

5.615i

t p

qtP Pc V

− = con Vp en ft3 (3.69)

Craft and Hawkins12 formularon una ecuación para calcular la presión promedia:

rP VP

V∆

= ∑

Si se reemplaza ∆V como 2πr∆rhφ y la ecuación de flujo radial pseudoestable se obtiene:

2

2ln / 0.007082r w s

w e

r rP P q kh Pr r

µ⎛ ⎞

= + − + ∆⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.70)

Que luego de integrar entre rw y re se tiene la ecuación de presión promedia en estado pseudoestable:

272

ln 0.750.00708

ew s

w

rqP P Pkh r

µ ⎛ ⎞= + − + ∆⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.71)

La presión en el radio externo para estado pseudoestable es:

ln 0.50.00708

ee w s

w

rqP P Pkh r

µ ⎛ ⎞= + − + ∆⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.72)

Restando la Ec. 3.72 de la 3.71, anterior se tiene:

35.3e

qP Pkh

µ− = (3.73)

La Ec. 3.71 se puede expresar más convenientemente de la siguiente manera:

0.8687 ln 0.75ew s

w

rP P m Pr

⎛ ⎞= + − + ∆⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.74)

Para pozos que se encuentran en estado estable al tiempo de cierre, se utiliza la siguiente ecuación:

0.8687 ln 0.5ew s

w

rP P m Pr

⎛ ⎞= + − + ∆⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.75)

Slider22 propuso una ecuación para el caso donde existe interferencia con otros pozos que incluye la obtención de la presión estática mediante la extrapolación o corrección de la presión a un tiempo igual al tiempo de estabilización o tiempo para alcanzar el estado pseudoestable, de modo que:

*q w wfP P P m t∆ = − + ∆ De acuerdo con la Ec. 1.44.b y con la Ec. 2.37 (con la permeabilidad en Darcies), la anterior ecuación se transforma en:

( )2

2

0.04 1.79pss

t ewf q t

t e

c r qP P Pk hc rφµ

φ= − + ∆

rearreglando:

( )0.439pss

wf q tP P m P= − + ∆ (3.76)

273

Tabla 3.6. Datos de presión y derivada de presión para problema propuesto

∆t, hrs Pws, psi ∆P, psi t*∆P’, psi

∆t, hrs Pws, psi ∆P, psi t*∆P’, psi

0.00000 2840.000 0.000 79.318 0.36183 3195.249 355.249 34.373 0.00989 2872.354 32.354 61.584 0.45863 3202.808 362.808 33.968 0.01458 2909.071 69.071 105.603 0.63368 3213.607 373.607 31.090 0.02103 2954.428 114.428 130.196 0.82962 3223.326 383.326 30.559 0.02814 3001.944 161.944 138.880 1.12182 3229.806 389.806 26.573 0.04192 3050.540 210.540 128.337 1.50068 3239.525 399.525 25.227 0.05035 3078.618 238.618 116.358 2.00748 3243.844 403.844 32.556 0.05983 3102.376 262.376 106.506 2.62819 3252.484 412.484 37.987 0.08447 3128.294 288.294 76.447 3.40394 3266.523 426.523 49.240 0.11545 3147.732 307.732 58.417 4.17739 3276.242 436.242 57.096 0.16125 3166.091 326.091 47.650 4.91030 3285.961 445.961 63.079 0.24814 3182.290 342.290 37.158 5.77179 3295.680 455.680 70.182 En resumen, Slider22 se recomiendan los siguientes métodos para la determinación de la presión promedia al momento del cierre: 1) Si el pozo no está ni en estado estable o pseudoestable use balance de materia, Ec.

3.69. Esto incluye pozos bajo comportamiento infinito o en transición entre comportamiento infinito y estado estable o pseudoestable.

2) Si el pozo está en el centro de su área de drene y se encuentra en estado estable o pseudoestable use las Ecs. 3.74 o 3.75, respectivamente, las cuales no requieren conocer ni la porosidad ni la compresibilidad.

3) Si el pozo está situado cerca al centro de su área de drene y está operando bajo estrado pseudoestable y se conoce el cambio de presión con respecto al tiempo (m*) se puede utilizar la Ec. 3.76.

4) Si el pozo está descentrado dentro del área de drene y opera bajo estado pseudoestable pero se desconoce m*, se recomienda el método MBH.

5) Para un pozo que está descentrado y opera en estado estable al tiempo de cierre, no se recomienda ninguno de los métodos.

PROBLEMA PROPUESTO Se cree que un pozo se encuentra centrado en un yacimiento de forma cuadrada. El pozo produjo 234000 STB a una rata constante de 250 STB/día antes del cierre para una prueba de restauración de presión. Determine permeabilidad, daño y presión promedia por los métodos de MDH, MBH, Azari y TDST. Los datos de presión se reportan en la tabla 3.6 y la información pertinente al yacimiento y a los fluidos se lista a continuación: A = 93 acres rw = 0.25 ft φ = 19.4 % h = 50 ft µ = 1.34 cp ct = 19.4x10-6 psi-1 B = 1.44 bbl/STB

274

ttt p

∆∆+

2850

2950

3050

3150

3250

3350

3450

3550

110100100010000100000100000010000000

P

, psi

aw

s

Fig. 3.21. Gráfico de Horner para el problema propuesto

ttt p

∆∆+

2850

2950

3050

3150

3250

3350

3450

3550

110100100010000100000100000010000000

P

, psi

aw

s

Fig. 3.22. Gráfico de MDH para el problema propuesto

275

10

100

1000

0.001 0.01 0.1 1 10

t, hrs

∆P

y t* ∆

P', p

si

Fig. 3.21. Gráfico de presión y derivada de presión para el problema propuesto

276

REFERENCIAS

1. Bourdet, D., Ayoub, J.A., and Pirad, Y.M. “Use of Pressure Derivative in Well-Test Interpretation”. SPEFE. p. 293-302. 1989.

2. Dake, L.P. “The Practice of Reservoir Engineering - Revised edition”. Elsevier Developments in Petroleum Science. 2ª impresión. Amstrerdam, Holanda, 2004.

3. Dykstra H., Kazemi H., Raghavan R., Gulati M. S., “Pressure Transient Testing Methods” , SPE Reprint Series No. 14, Published by the SPE, Dallas, Texas, 1967.

4. Chacón, A., Djebrouni, A., and Tiab, D. “Determining the Average Reservoir Pressure from Vertical and Horizontal Well Test Analysis Using the Tiab’s Direct Synthesis Technique”. Paper SPE 88619 presented at the SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition held in Perth, Australia, 18–20 October 2004.



7. Escobar, F.H., Saavedra, N.F., Escorcia, G.D., and Polanía, J.H., “Pressure and Pressure Derivative Analysis Without Type-Curve Matching for Triple Porosity Reservoirs”. Paper SPE 88556, Proceedings, accepted for presentation at the SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition, held 18-20 October 2004, in Perth, Australia.

8. Escobar, F.H., Saavedra, N.F., Hernández, C.M., Hernández, Y.A., Pilataxi, J.F., and Pinto, D.A. “Pressure and Pressure Derivative Analysis for Linear Homogeneous Reservoirs without Using Type-Curve Matching”. Paper SPE 88874, Proceedings, accepted for presentation at the 28th Annual SPE International Technical Conference and Exhibition held in Abuja, Nigeria, Aug. 2-4, 2004.

9. Hernández, C.M. y Hernández, Y.A. “Análisis de Presiones y Derivadas de Presiones en Yacimientos Homogéneos Fluviales Drenados por un Pozo Vertical de Petróleo”. Tesis de Pregrado. Universidad Surcolombiana. 2004.

10. Horne, R.N. “Modern Well Test analysis: A Computer-aided Approach”. 2nd. Edition. Petroway. 1996.

11. Horner, D.R. “Pressure Buildup in Wells”. Proc. Third World Petr. Congr. Leiden, 1951.


277

13. Khelifa, M., Tiab, D., and Escobar F.H. “Multirate Test in Horizontal Wells”. SPE 77951, Proceedings, SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition, Melbourne, Australia 8-10 October 2002.

14. Lee, J. “Well Testing”. SPE textbook series Vol. 1. 1982 15. Lee, J., Rollins, J.B. and Spivey, J.P. “Pressure Transient Testing”. SPE

Textbook Vol. 9. Richardson, TX, 2003. 16. Mathews, C.S. and Russell, D.G. “Pressure Buildup and Flow Tests in Wells”.

SPE Monograph Vol. 1. 1967. 17. Molina, M.D. and Escobar, F.H. “Determination of Average Reservoir Pressure

for Vertical Wells in Naturally Fractured Reservoirs from Pressure and Pressure Derivative Plots without Type-Curve Matching”. XI Congreso Colombiano del Petróleo. Oct. 18-21, 2005.

18. Moncada, K., Tiab, D., Escobar, F.H., Montealegre-M, M., Chacon, A., Zamora, R.A., Nese, S.L. “Determination of Vertical and Horizontal Permeabilities for Vertical Oil and Gas Wells with Partial Completion and Partial Penetration using Pressure and Pressure Derivative Plots without Type-Curve Matching”. CT&F – Ciencia, Tecnología y Futuro. Vol. 2, No. 6. P. 77-95. Dic. 2005.

19. Mongi, A., and Tiab, D. “Application of Tiab's Direct Synthesis Technique to Multi-Rate Tests” Paper SPE 62607 presented at the 2000 SPE/AAPG Western Regional Meeting held in Long Beach, California, 19–23 June 2000.

20. Rhagavan, R. “Well Test Analysis”. Prentice Hall. New Jersey. 1993 21. Sabet, M. “Well Testing”. Gulf Publishing Co. 1991. 22. Slider, H.C. “Slider”. “Wordlwide Practical Petroleum Reservoir Engineering



24. Tiab, D. “Analysis of Pressure and Pressure Derivative without Type-Curve Matching: 1- Skin Factor and Wellbore Storage”. Paper SPE 25423 presented at the Production Operations Symposium held in Oklahoma City, OK, Mar. 21-23, 1993. P. 203-216. Also, Journal of Petroleum Science and Engineering 12 (1995), p. 171-181.



28. Slider, H.C. “A Simplified Method for Pressure Buildup Analysis for a Stabilized Well”. JPT Sept. 1971. Pág. 1155-1160.

29. Slider, H.C. “Application of Pseudosteady State Flow to Pressure –Buildup Analysis”. Paper SPE 1403 presentado en el simposio regional de la SPE-AIME en Amarillo, TX, EE.UU., Oct. 27-28 de 1966.

278

30. Molina, M.D., Escobar, F.H., Montealegre-M, M. and Restrepo, D.P. “Application of the TDS Technique for Determining the Average Reservoir Pressure for Vertical Wells in Naturally Fractured Reservoirs”. CT&F – Ciencia, Tecnología y Futuro. Vol. 2, No. 6. ISSN 0122-5383.

30. Escobar, F.H., Montealegre-M, M., and Cantillo, J.H. “Pressure and Pressure Derivative Analysis for Depleted Reservoirs without Type-Curve Matching”. Paper SPE 100819, Proceedings, accepted for presentation at the SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition (APOGCE), held in Adelaida, Australia 11-13, September 2006.

279

4. PRUEBAS DST

4.1. GENERALIDADES Una prueba DST (Drillstem Test) es una prueba de presión corta que se efectúa durante la perforación utilizando la tubería de perforación. Está formada por pruebas de declinación y caída de presión consecutivas. Para correr un DST, una herramienta especial se coloca en la sarta de perforación y se baja a la zona a probar. La herramienta aísla la formación de la columna de lodo en el anular y permite que los fluidos de la formación fluyan a la sarta de perforación mientras se registra continuamente la presión2,4. 4.1.1. Propósito

1. Tomar una muestra del fluido del yacimiento. 2. Establecer la probabilidad de comercialidad. Normalmente se corre en pozos

exploratorios y algunas veces en pozos de avanzada si la formación es muy heterogénea.

3. Determinar las propiedades de la formación y el daño. Estos podrían usarse para estimar el potencial de flujo del pozo.

Además de proporcionar una muestra del tipo de fluido en el yacimiento, un buen DST da una indicación de la rata de flujo, una medida de las presiones estáticas y de flujo y una prueba transitoria corta. Un DST puede en ciertos casos detectar barreras, si éstas son cercanas al pozo: fallas, discontinuidades, frentes de inyección, etc. y servir para la determinación de la presión inicial o la presión promedia. 4.1.2. Usos de los datos DST 1) Descripción del yacimiento 2) Un volumen recuperado. Cartas de tiempos de flujo y cierre y presiones de fondo vs. Tiempo 4.1.3. Información calculada de un DST k, s y radio de investigación, distancia a fallas y presión promedia (si el tiempo de prueba lo permite).

280

4.2. COMPONENTES DE LA HERRAMIENTA Los principales componentes de una herramienta DST (ver Fig. 4.1), junto con sus respectivas funciones, son mostradas a continuación2: Ancla: Sostiene el empaque en el lugar correcto y saca cortes o basuras que pueden taponar el equipo. Registradores de Presión: Normalmente son dos. Proporcionan un registro completo de lo que pasa en el pozo. Empaque: Puentea o separa el pozo en el punto inmediatamente sobre a la zona a probar. Válvula Igualadora de Presión (By-Pass): Permite al lodo fluir hacia abajo a través del empaque al final de la prueba. Iguala las presiones arriba y abajo de la herramienta haciendo fácil la sacada de la herramienta. Válvula Retenedora (Probadora): Previene la entrada del lodo a la sarta de perforación mientras se baja la herramienta. Retiene la muestra de fluido cuando se saca el equipo.

Formación porosa

Tubería de Perforación

VálvularetenedoraVálvulaIgualadora

Empaque de caucho

Registradorde presiónNo. 2

Anclaperforada

Registradorde presión No. 2

{{

{

EMPA

QU

ESAN

CLA

Zapato del ancla

PRO

BAD

OR

ESH

IDR

AULI

CO

S

Fig. 4.1. Componentes de la herramienta DST 4.3. PROCESO DE PRUEBA 4.3.1. DST Convencional A) Mientras se baja la herramienta el empaque se colapsa permitiendo elevar el nivel

del lodo

281

B) Una vez llegado al objetivo se fija el empaque (compresión y expansión) para aislar la zona inferior del resto del pozo

C) Se opera la válvula retenedora de modo que la zona aislada se expone a la baja presión dentro de la sarta vacía. Causa que los fluidos de la formación entren a la sarta

D) Al final de la prueba la válvula retenedora se cierra atrapando cualquier fluido sobre ella. Se abre la válvula igualadora para equilibrar presiones

E) Se reduce el peso y se libera el empaque F) Se retira la sarta. Se invierte la prueba mediante el cierre de las preventoras e

inyección de lodo por el anular2. 4.3.2. Prueba Straddle Packer. Aislar completamente una zona.

OIL

Fig. 4.2. Prueba Straddle Packer

4.4. CARTAS DE PRESIÓN DST 4.4.1. DST Convencional Los pasos en esta prueba se ilustran en la Fig. 4.3. 1) Captura de agua dentro de la sarta. Razones : reducir la presión de colapso de la

sarta y reducir la presión diferencial en la formación y a través de los empaques cuando se para la herramienta

2) Bajando la herramienta. La curva es ocasionada por el incremento del peso de lodo

3) Máxima presión hidrostática 4) Se crea extra presión para fijar el empaque 5) Se abre la válvula de prueba. Se libera presión debajo de los empaques 6) Periodo de flujo de la formación a la sarta. Al entrar más fluido se incrementa la

presión hidrostática

282

7) Se cierra la válvula de prueba y da lugar a una prueba de restauración de presión. 8) Se abre la válvula igualadora para equilibrar presiones debajo del empaque. 9) Se libera el empaque. 10) Se saca la herramienta.

4.4.2. DST Seco. Formación completamente impermeable (Lutitas). No hay flujo. Ver línea discontinua en la Fig. 4.4. 4.4.3. Condiciones Pobres en el Pozo. Ver Fig. 4.4. 1) Raspado de la torta 2) Taponamiento de la ancla perforada o la válvula de prueba 3) Arrastre o sacadas debido a condiciones pobre del pozo 4.4.4. Pruebas de Flujo Múltiple. Ver Fig. 4.5.

4.4.5. DST con Doble Cierre. Ver Fig. 4.6.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

DST seco

Pres

ión

Tiempo

Fig. 4.3. Esquema DST Seco2

4.5. METODO DE HORNER 1) Obtenga los puntos de presión de las cartas DST2,4,6-8 2) Grafique P-vs-(tp+∆t)/∆t (gráfico Horner); Calcule k

162.6q Bkmh

µ= (4.1)

ptRq 24

=

283

p

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

DST

Fig. 4.4. Condiciones pobres en el pozo

Pres

ión

Tiempo

Fig. 4.5. Prueba de Flujo Múltiple

Pres

ión

Tiempotp1 tp2

Fig. 4.6. DST con doble cierre

284

3) R es el aceite total recuperado en la sarta de perforación. El valor usado para tp usualmente es la longitud del periodo de flujo que precede. Sin embargo, si el periodo de flujo es muy largo, es más exacto usar la suma de la longitud de los periodos de flujo. tp = tp1 + tp2

4) Factor de daño

1 ( 0)2

11.1513 log 1 log 3.2275hr wf t

p t w

P P ksm t c rφ µ

∆ =⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞

= + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ (4.2)

5) Halle DR y FE

( 0)

1 s

i wf t

PFEP P ∆ =

∆= −

− (4.3)

DRFE

=1

(4.4)

0.87( )sP m s∆ =

6) Radio de investigación

t

pinv c

tkr

µφ029.0= (4.5)

El almacenamiento no es muy significante en la porción de restauración de un DST puesto que el pozo se cierra cerca a la cara de la formación. Sin embargo, si se sospecha su existencia, se debe que parte de los datos deben analizarse. En formaciones con bastante espesor y baja permeabilidad o en yacimientos de gas, el almacenamiento puede ser significativo. Para variaciones significativas en la rata de flujo (análisis multiflujo) y cuando tp es menor que el tiempo de cierre, las siguientes ecuaciones se usan para modificar tp y q:

2 21

1

11

( )* 2

2 ( )

N

j j jj

p p N

j j jj

q t tt t

q t t

−=

−=

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎜ ⎟= −⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑ (4.6.a)

285

∑=

−−=N

jjjj

p

ttqt

q1

1)(*

1* (4.6.b)

Usar la relación anterior en el gráfico de Horner 4.6. ESTIMACIÓN DE LA PRESIÓN PROMEDIO O INICIAL Estos parámetros pueden ser estimados mediante el cálculo de P* como se mostró en el capítulo 3 para (tp+∆t)/∆t=1 (tiempo de cierre infinito). Sin embargo, no son requeridas correcciones debido a la forma del yacimiento puesto que un DST tiene corta duración2. Así, generalmente para un DST:

*PPi ≅ Para una frontera con presión constante

o;

*PP ≅ para un yacimiento finito

4.6.1. Método de datos limitados (Método en el sitio del pozo) En el sitio del pozo, los únicos datos de presión disponibles son: la presión hidrostática (lodo) inicial (IHP), la presión de cierre inicial (ISIP), las presiones de flujo inicial y final (IFP1 y IFP2) de los periodos de flujo 1ero y 2do, las presiones de flujo final de los periodos de flujo 1ero y 2do (FFP1 y FFP2), la presión de cierre final (FSIP) y la presión hidrostática final (FHP). El tiempo de flujo total es definido por2:

21 ppp ttt += La presión inicial del yacimiento o la presión promedia del yacimiento pueden asumirse así:

ISIPPPi ≈≈ La permeabilidad del yacimiento puede ser estimada a partir de:

hmBqk

E

µ6.162= (4.7)

Siendo,

286

ISIP

IHP

P1 P2 P3 P4 P5

∆t1

∆t2∆t3

∆t4

∆t5

Flujo inicial Ciclo de cierre inicial

flujo

Línea base

Fig. 4.7. Carta típica DST2

Tabla 4.1. Datos de la Prueba DST – Datos del Cierre Inicial

∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t ∆P, psi t*∆P’,

psi ∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t ∆P, psi t*∆P’,

psi 0.01667 454.64 231.95 207.64 220.58 0.33336 2184.23 12.55 1937.23 248.740.03334 668.73 116.48 421.73 469.80 0.3667 2204.5 11.50 1957.5 217.390.05001 904.62 77.98 657.62 676.55 0.4 2220.4 10.63 1973.4 190.930.06668 1124.61 58.74 877.61 799.53 0.43334 2232.83 9.88 1985.83 167.270.08335 1317.01 47.19 1070.01 844.48 0.46668 2244.26 9.25 1997.26 149.300.10002 1487.02 39.49 1240.02 845.34 0.5 2252.1 8.70 2005.1 132.250.11669 1624.46 33.99 1377.46 810.61 0.66667 2280.43 6.77 2033.43 85.940.13336 1734.21 29.87 1487.21 758.80 0.75 2289.5 6.13 2042.5 72.660.15003 1824.82 26.66 1577.82 700.33 1 2304.41 4.85 2057.41 51.990.1667 1898.51 24.10 1651.51 636.69 1.25 2313.36 4.08 2066.36 40.87

0.2 2007.38 20.25 1760.38 526.67 1.333 2314.6 3.89 2067.6 40.740.23334 2074.48 17.50 1827.48 434.49 1.5 2319.07 3.57 2072.07 40.490.26668 2124.08 15.44 1877.08 358.38 1.5533 2320.19 3.48 2073.19 40.400.30002 2159.25 13.83 1912.25 302.40

])[(log tttFSIPISIPm

pE ∆∆+

−= (4.8)

Siendo ∆t el tiempo de cierre total o el tiempo cuando se lee FSIP. La Ec. 4.1 puede usarse para estimar la permeabilidad si ISIP = FSIP puesto que la Ec. 4.8 no se aplica.La Relación de daño se estima mediante:

287

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

EmFFPISIPDR 2183.0 (4.9)

ó:

( )pE tmFFPISIPDRlog43.4

2

+−

≈ (4.10)

Este método no es muy confiable ya que solo puede ser usado para datos limitados.

EJEMPLO La tabla 4.1 muestra las presiones registradas de un DST que fue corrido en un pozo de petróleo. Determinar la permeabilidad, y el factor de daño para este pozo, igual que la presión promedio para este yacimiento. La información relevante concerniente al pozo, fluido y el yacimiento es: rw = 0.25 ft h = 25 ft φ = 10 % µ = 1.1 cp B = 1.2 bbl/STB tp1 flujo inicial = 0.85 hrs tp2 flujo final = 3 hrs R = 22.43 bbl ct = 1.2x10-6 1/psi Pwf = 247 psi Caudal de petróleo promedio durante el periodo de flujo inicial = 372 BPD. Verifique los resultados con la TDST. SOLUCION Usando tp = 0.085 hrs para los datos de cierre inicial y tp = 3.85 hrs para los datos de cierre final, los valores de (tp+∆t)/∆t son calculados y reportados en la tabla 4.1. Un gráfico Horner fue construido y presentado en la Fig. 4.8.a. En este gráfico, la pendiente es –102.5 psi/ciclo. Entonces la permeabilidad es estimada usando la Ec. 4.1:

162.6 162.6(372)(1.1)(1.2) 31.2 md(102.5)(25)

q Bkmh

µ= = =

El factor de daño se calcula de la Ec. 4.2 con P1hr = 2375.6 psi:

6 2

2375.6 247 1 31.21.1513 log 1 log 3.2275 16.71102.5 3.85 (0.1)(1.1)(1.2 10 )(0.25 )

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞= + + − + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

De la Fig. 4.8, P = P* = 2400 psi

288

0

500

1000

1500

2000

2500

1101001000

Pw

s, p

si

(tp + ∆t)/∆t

m=102.5 psi

P1hr = 2375.6 psi

P* = 2400 psi

Fig. 4.8.a. Gráfico Horner

10

100

1000

10000

0.01 0.1 1 10

∆ P*

y t

*(∆ P

*)',

psi

∆t, hr

[t*(∆P*)']r = 40.89 psia

(∆P*)r = 2066.49 psia

tr = 1.33 hr

Fig. 4.8.b. Gráfico de presión y derivada de presión

Usando la TDST, con los datos datos en la tabla 4.1, se obtiene la Fig. 4.8.b, de donde se obtiene (t*∆P’)r = 40.8 psi, ∆Pr = 2066.49 psi y tr = 1.33 hrs. La permeabilidad y el daño se hallan de las Ecs. 2.69 y 2.96, respectivamente:

70.6 70.6(372)(1.1)(1.2) 33.96 md( * ) (25)(40.89)r r

q Bkh t P

µ= = =

∆

289

2ln 7.43( * ')

r r

r t w

P ktst P c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆= − +⎢ ⎥⎜ ⎟∆⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

6

2066.49 (33.96)(1.33)ln 7.43 17.7140.89 (0.1)(1.1)(1.2 10 )(0.25 )

s⎡ ⎤⎛ ⎞

= − + =⎢ ⎥⎜ ⎟×⎝ ⎠⎣ ⎦

Se observa una buena concordancia entre los datos obtenidos por el método convencional y el método TDST. 4.7. DISTANCIA A UNA DISCONTINUIDAD Normalmente, cualquier tipo de barrera al flujo no puede ser vista en un DST ya que el tiempo es muy corto para afectar el gráfico semilog. Sin embargo, en estos casos donde los periodos de flujo son bastante largos para observar desviaciones de la pendiente semilog, la cual refleja cambios en la transmisibilidad del yacimiento, fallas, discontinuidades, condiciones de frontera o geometría del yacimiento como se ilustra en la Fig. 4.9. Algunos de los métodos para estimar la distancia a las fronteras serán mostrados posteriormente1,2,3,5,7,8. 4.7.1. Método de Horner

x

p

p

t

ttt

ktdcEi ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− ln948 2φµ (4.11)

Cuando una línea de presión constante es encontrada a una distancia “d” del pozo, la Ec. 4.11 también aplica1. 4.7.2. Método de Dolan, Einarsen y Hill Ellos simplificaron la Ec. 4.11 asumiendo que la función exponencial puede ser reemplazada por la aproximación logarítmica3,4, así:

x

pt

p

ttt

c

ktd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+=

φµ024337.0 (4.12)

4.7.3. Método de Ishteiwy y Van Poollen Ellos llegaron a la siguiente correlación empírica3:

290

OIL

GAS

h1 h2

h1 < h2

k1 k2

k1 < k2

a) Barrera de no flujo (falla) b) Cambio en el tipo de fluido

b) Cambio en espesor de la zona productora b) Cambio de permeabilidad (facies)

Fig. 4.9. Tipos de discontinuidades3

110

(tp+∆t)/∆t

P w

s, ps

i

[(tp+∆t)/∆t] x = 1.55

m=1

321

psi/c

iclo

Fig. 4.10. Gráfico Horner – Pozo cercano a una discontinuidad

13.1pD

x

p tt

tt=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+ (4.13)

donde;

291

20002637.0

dct

tpD φµ

= (4.14)

Introduciendo la Ec. 4.14 en la Ec. 4.13 y solucionando para la distancia, d, se tiene:

x

pt

p

ttt

c

ktd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+=

φµ015276.0 (4.15)

4.7.4. Método de Bixel y Otros Estos investigadore spresentaron las siguientes relaciones3. Para pruebas de declinación:

t

x

cktd

φµ0307.0= (4.16)

Para restauración de presión, su ecuación fue la misma Ec. 4.14. EJEMPLO Gibson y Campbell presentaron datos de DST corridos en la formación Red del condado Major, Oklahoma. El pozo se trató para trabajos de completamiento con aproximádamente 480 BPD. El gráfico de Horner se suministra a continuación. q = 118 BPD ct = 8.2x10-6 psi-1 µ = 1.3 cp φ = 12 % B = 1.1 bbl/STB m = 1321 psi/cycle tp = 4 hr A) Determine la permeabilidad B) Determine la distancia a la discontinuidad usando los métodos mencionados C) Puesto que no hay falla o frontera cerca al pozo, que sugiere que pueda ser la discontinuidad? SOLUCION a) Permeabilidad Pueso que la pendiente se da, la permeabilidad se obtiene de:

162.6 162.6(118)(1.1)(1.3) 1.38 md(15)(1321)

q Bkmh

µ= = =

292

b) Determine la distancia a la discontinuidad usando los métodos mencionados De la Fig. 4.10, [(tp+∆t)/∆t]x = 1.55. Aplicando el método de Horner se tiene:

x

p

p

t

ttt

ktdcEi ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− ln948 2φµ

55.1ln)4(38.1

)102.8)(3.1)(12.0(948 26

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−−

− dEi

( ) 4383.0)104646.1( 25 =×−− − dEi

Interpolando de la tabla 1.3;

618.0)104646.1( 25 =× − d luego, d = 53 ft Usando el método de Dolan, Einarsen y Hill, Ec. 4.12:

6

1.38(4)0.024337 0.024337 40.7 ft(0.12)(1.3)(8.2 10 )(1.55)

p

pt

x

ktd

t tc

tφµ

−= = =+ ∆ ×⎛ ⎞

⎜ ⎟∆⎝ ⎠

Método de Ishteiwy y van Poollen, Ec. 4.15:

( ) 6

1.38(4)0.015276 0.015276 25.5 ft(0.12)(1.3)(8.2 10 )(1.55)( ) /

p

t p x

ktd

c t t tφµ −= = =×+ ∆ ∆

c) Puesto que no hay falla o frontera cerca al pozo, que sugiere que pueda ser la

discontinuidad? La pendiente decrece, sin embargo, hay evidencia de una “bbaarrrreerraa ddee pprreessiióónn ccoonnssttaannttee”. El mejoramiento en la transmisibilidad podría deberse al tratamiento que el pozo recibió antes de la prueba.

293

PROBLEMA PROPUESTO La tabla 4.2 presenta los datos para el Segundo periodo de un DST que se condujo en un yacimiento Nuevo. Otros datos de importancia se dan a continuación:

µ = 2.3 cp B = 1.22 bbl/STB ct = 32x10-5 /psi φ = 19 % h = 32 ft tp = 12 min q = 220 BPD rw = 4 in Pwf = 1983 psi

Estime la presión promedio y determine permeabilidad, daño, relación de daño usando el método convencional y la TDST.

Tabla 4.2. Datos DST – Periodo de cierre final ∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t t*∆P', psi ∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t t*∆P', psi

0 1317.72 0.3 2012.53 11.283 164.923 0.0167 1456.00 186.063 164.625 0.4 2059 8.713 144.155 0.0333 1624.88 93.531 212.555 0.5 2089.6 7.17 129.961 0.05 1689.50 62.688 183.185 1 2173.47 4.085 111.956

0.0667 1739.36 47.266 175.606 1.5 2212.01 3.057 89.0582 0.0834 1780.17 38.013 178.752 2 2236.94 2.543 75.7271

0.1 1813.03 31.844 183.519 4 2281.15 1.771 52.0588 0.15 1888.98 21.563 180.324 6 2295.89 1.514 39.2582 0.2 1942.25 16.425 180.958 10 2312.89 1.309 44.2931

1600

1800

2000

2200

2400

110100

(tp+∆t)/∆t

P w

s , ps

i

Fig. 4.11. Gráfico Horner para el problema propuesto

294

10

100

1000

0.01 0.1 1 10

t, min

P &

t*P'

, psi

Fig.4.12. Gráfico de presión y derivada de presión para el problema propuesto

295

REFERENCIAS

1. Dake, L.P. “The Practice of Reservoir Engineering - Revised edition”. Elsevier Developments in Petroleum Science. Second impresión. Amstrerdam, Holanda, 2004.


3. Gibson, J.A., and Campbell, A.T., Jr. “Calculating Distance to a Discontinuity from D.S.T. Data”. Paper SPE 3016 presented at the 45th Annual Fall Meeting of the SPE of AIME held in Houston, TX, Oct. 4-7, 1970.


5. Odeh, A. S. “Flow Tests Analysis for a Well with Radial Discontinuities”. JPT (Feb. 1969): 328-334.

6. Sabet, M. “Well Testing”. Gulf Publishing Co. 1991. 7. Slider, H.C. “Slider”. “Wordlwide Practical Petroleum Reservoir Engineering



296

5. HETEROGENEIDADES

Los métodos de análisis de presión disponibles están basados en suposiciones basados en la ley de Darcy, por ejemplo, una formación homogénea y horizontal de espesor uniforme, con distribuciones de porosidad y permeabilidad isotrópica y constante. El tema del comportamiento de la presión en yacimientos heterogéneos ha tenido considerable atención en los últimos años. La principal razón de ésto, es la necesidad de una mayor exactitud en la descripción del yacimiento. La descripción del yacimiento tiene un efecto significativo en el diseño, operación, y por lo tanto, el éxito económico del proceso involucrado. Puesto que estos métodos pueden ser aplicados solo una vez al yacimiento, es obvia la necesidad de una descripción confiable del yacimiento2,3,6,14. Se pueden usar dos técnicas para describir yacimientos son los trazadores y las pruebas de transiente de presión. Las pruebas de transiente de presión han sido más usadas (y con mejores resultados) que los trazadores. La determinación de la eficiencia de barrido volumétrica es un problema que tiene un mejor potencial de ser solucionado por los trazadores. Actualmente, la descripción de la heterogeneidad del yacimiento mediante el ajuste del comportamiento del trazador es afectada por la falta de modelos numéricos adecuados, el mucho tiempo gastado para obtener los resultados, y la dependencia del ajuste a los parámetros adicionales que son introducidos por los mismos trazadores, (por ejemplo, coeficientes de dispersión, retención del trazador, etc.). Es muy posible que los trazadores y las pruebas de transiente de presión en el futuro sean usadas al mismo tiempo para la descripción del yacimiento3. 5.1. TIPOS DE HETEROGENEIDADES DEL YACIMIENTO Las heterogeneidades del yacimiento, ver Fig. 4.9, son variaciones en las propiedades de la roca y el fluido resultantes de la depositación, plegamiento, fallamiento, cambios postdepositacionales en la litología del yacimiento, y cambios en las propiedades o tipos de fluidos. Las heterogeneidades del yacimiento pueden ser de pequeña escala, como en yacimientos carbonatados donde la roca tiene dos constituyentes, matriz y fracturas, cavidades y cavernas. Estas también pueden ser de mayor escala, tales como barrearas físicas, fallas, contactos fluido-fluido, cambios de espesor, cambios de litología, varias capas con diferentes propiedades en cada capa, etc. Adicionalmente a estas heterogeneidades naturales, el hombre puede inducir heterogeneidades artificiales alrededor de la cara del pozo durante la perforación (invasión de lodo), el fracturamiento hidráulico, o la inyección de fluido3. Otra característica relacionada es la anisotropía en la permeabilidad, es decir cuando esta propiedad varía con la dirección de flujo. La anisotropía también puede ser

297

causada por procesos sedimentarios (depósitos de canales llenos) o por tectonismo (orientación de fracturas en sentido paralelo). La anisotropía toma lugar tanto en yacimientos homogéneos como heterogéneos. Por lo tanto, la anisotropía no implica heterogeneidad. La mayoría de los yacimientos tienen permeabilidad vertical menos que la horizontal, de modo que existe anisotropía en ese sentido. 5.2. SISTEMAS DE FRONTERA SENCILLA En general, para localizar fallas se requiere una prueba suficientemente larga para explorar el yacimiento a profundidad, por lo menos cuatro veces la distancia a la falla. 5.2.1. Pruebas de Restauración de Presión Aplicando el principio de superposición, la presión de cierre adimensional y dimensional para un pozo cercano a la frontera están dadas, respectivamente, por5-10:

( )( )[ ] ( )[ ] ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆+++∆−+∆+= D

wDDp

wDDDDpDDS t

rdptt

rdpstPsttPP ,2,2,1,1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

−−

−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆+−

−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+=−

tkdcEi

khBq

ttkdcEi

khBqs

rctk

khBq

src

ttkkh

BqPP

t

p

t

wt

wt

pwsi

2

2

2

2

3792)(6.70

)(37926.70869.023.3log)(6.162

869.023.3)(

log6.162

µφµ

µφµµφ

µ

µφµ

(5.1) Para un tiempo de producción, tp, suficientemente largo y para tiempos muy cercanos al tiempo de cierre, la Ec. 5.1 puede ser expresada así:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+−=

tkdcEi

ttkdcEi

ttt

khBqPP t

p

tpiws

22 3792434.0)(

3792434.0log6.162 µφµφµ

(5.2) A tiempos lejanos, los valores predichos por la Ec. 5.2 empiezan a desviarse hacia arriba de la línea recta en semilog. Los cálculos de d requieren la estimación de ∆PL el cual es la diferencia entre las funciones exponenciales:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆+−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

−−=∆

p

t

p

ttL kt

dcEittk

dcEitk

dcEikh

BqP222 3792

)(379237926.70 µφµφµφµ

298

Pw

flog t

tx

a) Prueba Drawdown

P ws

b) Prueba Buildup - Grafico Horner

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

∆+

t

tt plog

x

p

ttt

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+

P ws

c) Prueba Buildup - Grafico MDH

log ∆t

(∆t)x

m

2m

m

2m

m

2m

Fig. 5.1. Identificación de fronteras lineales de gráficos semilog12

d puede ser calculada por un procedimiento de ensayo y error usando la ecuación anterior. Sin embargo, siempre que tp >> ∆t, la Ec. 5.2 se convierte en:

162.6 162.6log logp pws i

t t t tq B q BP Pkh t kh t

µ µ+ ∆ + ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ó; 325.2 log p

ws i

t tq BP Pkh t

µ + ∆⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(5.3)

Observando la comparación entre las Ecs. 3.6 y 5.3, la pendiente es el doble en la Ec. 5.3. En otras palabras la Ec. 5.3 puede ser expresada como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+−=

ttt

mPP piws log2 (5.4)

Esta ecuación en una gráfica de presión de restauración, muestra que la pendiente eventualmente será el doble siempre que la perturbación de la presión haya alcanzado una barrera lineal tal como una falla. Una vez la pendiente es doblada, d puede ser fácilmente calculada leyendo el tiempo de intercepción de la línea recta de la pendiente m con la línea recta de pendiente 2m, como se ilustra en las Figs. 5.1.b y 5.1.c. Este comportamiento también es presentado en un gráfico de presión de declinación como lo indica la Fig. 5.1.a. Sin embargo, la pendiente de una gráfica de presión de restauración normal no cambiará para la parte temprana de la presión de restauración. Así, esta porción de línea recta temprana con pendiente m puede ser usada para calcular k, s y C como se discutió en el capítulo 3. La extrapolación de la línea recta de doble pendiente es usada para la estimación de la presión promedio.

299

Este redoble en la pendiente se presenta en pruebas multitasa, de inyección, de declinación, etc. Cuando un pozo está cerca a barreras múltiples se pueden presentar diferentes características del transiente de presión. Por ejemplo, cuando existen dos fallas interceptándose en ángulo recto cerca a un pozo (una más cerca que la otra), la pendiente se duplicará y luego se redoblará. En términos generales las pendientes que se obtienen son función de los ángulos de intersección dada por la siguiente ecuación13:

360Nueva Pendiente mθ

=

De igual manera las líneas horizontales de flujo radial en la derivada adimensional y dimensional serán:

Nueva360( * ')2D Dt Pθ

=

Nueva360( * ') ( * ')2 rt P t Pθ

∆ = ∆

5.2.2. Métodos para Calcular la Distancia a las Discontinuidades Lineales de Gráficas de restauración de presión 5.2.2.1. Método de Horner Siempre que ∆tD > 25, la distancia a una discontinuidad puede ser solucionada a partir de la siguiente correlación empírica2,3,11.

x

pt

p

tttc

ktd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+=

101217.0µφ

(5.5)

2

0002637.0dc

tktt

D φµ∆

=∆ (5.6)

Para valores pequeños de tp, el método de Horner es menos exacto. EJEMPLO Los siguientes datos de presión fueron obtenidos del pozo Bravo-1 en West –Texas. Este es un yacimiento de calizas con influjo de agua únicamente en la porción del sur. Los datos geológicos indican la presencia de una frontera (Raven) al oriente del pozo.

300

Ver los datos de restauración en la tabla 5.1. La propiedades de la roca y del fluido son las siguientes: rw = 5 in h = 18 ft φ = 14 % ct = 22x10-5 /psi µ = 1.8 cp B = 1.31 bbl/STB Pi = 3750 psi ρ = 56.8 lbm/ft3 q = 180 BPD Np = 9000 STB Encontrar: Permeabilidad del yacimiento, eficiencia de flujo y distancia a la frontera Raven, usando los métodos de Horner. SOLUCION Permeabilidad del yacimiento. En la Fig. 5.2 se da un gráfico de Horner (semilog de Pws vs. (tp+∆t)/∆t), donde tp = 24Np/q = (24)(9000)/80 = 1200 hrs. Tómese la porción de línea recta con pendiente m = 66 psi/ciclo (línea de comportamiento infinito). La permeabilidad de la formación será:

162.6 162.6(180)(1.8)(1.31) 58.1 md66(18)

q Bkmh

µ= = =

La eficiencia de flujo es estimada mediante:

*( 0)

1 s

wf t

PFEP P ∆ =

∆= −

−

Donde:

( )0.87sP m s∆ =

Tabla 5.1. Datos de Presión de Restauración

∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t ∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t 0 2900 9 3310 134.33 0.5 3090 2401.00 13 3320 93.31 0.7 3118 1715.29 20 3333 61.00 1.1 3170 1091.91 30 3343 41.00 1.6 3199 751.00 40 3350 31.00 2.5 3240 481.00 50 3363 25.00 3.5 3278 343.86 70 3382 18.14 5 3290 241.00 100 3400 13.00 7 3302 172.43 150 3423 9.00 250 3450 5.80

301

3000

3100

3200

3300

3400

3500

3600

3700

110100100010000

m1=-66 psi/ciclom2=-136 psi/ciclo

p1hr = 3245 psiP w

s , ps

iP*=3435 psi

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∆

∆+t

tt p

27p

x

t tt

+ ∆⎛ ⎞=⎜ ⎟∆⎝ ⎠

Fig. 5.2. Gráfica de Horner De la Fig. 5.2, P1hr = 3245 psia. Por lo tanto el factor de daño es:

1 ( 0)21.1513 log 3.23hr wf t

t w

P P ksm c rφµ

∆ =⎡ ⎤− ⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )( )( )( )25

3245 2900 58.11.1513 log 3.23 1.766 0.14 1.8 22 10 0.416

s−

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟= − + =⎢ ⎥⎜ ⎟×⎝ ⎠⎣ ⎦

( )0.87 66 1.7 97.6sP psia∆ = = . P* = 3435 psia (extrapolando la primer línea recta),

entonces:

97.61 81.8 %3435 2900

FE = − =−

Lo anterior significa que es necesaria una estimulación. La distancia a la frontera lineal es encontrada de las Ecs. 5.5, 5.7.a y 5.7.b, respectivamente:

5

1 58.1(1200)0.01217 0.01217 83 ft(0.14)(1.8)(22 10 )(27)( ) /

p

t p x

k td

c t t tφµ −

∆= = =

×⎡ ⎤+ ∆ ∆⎣ ⎦

5.2.2.2. Método de David y Hawkins Utilizaron cualquiera de los gráficos MDH, Fig. 5.1.c., o Horner, Fig. 5.1.b así:

302

t

x

ctkd

µφ∆

= 01217.0 (5.7)

De la gráfica MDH, es obtenida directamente ∆tx. Por el gráfico de Horner ∆tx tiene que ser solucionado de [(tp+∆t)/∆t]x. Esta ecuación es estrictamente válida para [(tp+∆t)/∆t]x ≥ 30. Una desventaja para este método es que requiere largos tiempos para que la pendiente sea doble2,11,14Esto tiene lugar cuando:

2

380000 tc dtk

φ µ∆ =

Cuando d es largo o k es pequeño, la pendiente puede no ser el doble en una prueba de restauración de presión típica. Kucuk y Kabir19 hicieron una modificación a la Ec. 5.7 para obtener:

20.00431 s r

t

ktdcφµ

=

ts2r es el inicio de la segunda recta semilog que puede hallarse mejor en el gráfico de la derivada

Tabla 5.2. Datos de restauración de presión

∆t, hrs Pws, psia (tp+∆t)/∆t ∆t, hrs Pws, psia (tp+∆t)/∆t 0 2665 5 3111 202.6 0.1 2940 10081 10 3148 101.8 0.2 2970 5041 20 3192 51.4 0.5 3009 2017 50 3258 21.16 1 3040 1009 100 3311 11.08 2 3070 505 200 3361 6.04

EJEMPLO Un pozo de petróleo produjo 4410 STB de petróleo y fue cerrado. El caudal de producción promedio fue de 105 STB/día. El pozo está ubicado en un área donde se supone existe una discontinuidad en la permeabilidad (falla). Además, los efectos de almacenamiento en la cara del pozo son despreciables. Los datos de restauración de presión y de la roca son presentados, estimar entonces la distancia a la discontinuidad usando el método de David y Hawkins, la permeabilidad de la formación, y el factor de daño. Las propiedades de la roca y el fluido para este sistema son:

303

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∆

∆+t

ttp

2900

2950

3000

3050

3100

3150

3200

3250

3300

3350

3400

110100100010000

m1=-100 psi/ciclo73=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+

X

p

ttt

P w

s , ps

i m2=-190 p

si/ciclo

Fig. 5.3. Gráfico de Horner q = 105 BPD rw = 0.33 ft h = 19 ft φ = 16 % µ = 0.87 cp B = 1.27 bbl/STB ct = 18.4x10-6 /psi k = 9.9 md SOLUCION Calcule el tiempo Horner de:

hrqN

t pp 1008

105)4410(2424

===

De la gráfica de Horner en la Fig. 5.3, se observa que m2/m1≈ 2.0, lo cual indica una discontinuidad. De la intercepción de las dos líneas rectas, [(tp+∆t)/∆t]x =73. Puesto que tp es 1008 hrs, entonces ∆tx = 14 hrs. La distancia a la discontinuidad es solucionada de la Ec. 5.7:

6

9.9(14)0.01217 0.01217 90 ft0.16(0.87)(18.4 10 )

x

t

k tdcφ µ −

∆= = =

×

Así, la distancia a la discontinuidad es aproximadamente de 90 ft. Sin embargo, la dirección a la discontinuidad no puede ser determinada a partir de esta prueba del pozo.

304

EJEMPLO Los datos de restauración de presión tabulados a continuación fueron medidos durante una prueba a un pozo localizado en le campo Bay Marchand, costa afuera de Lousiana. El pozo ha producido 203280 STB de petróleo desde el último cierre. La rata estabilizada después del cierre fue de 336 BOPD. Otros datos importantes son: q = 336 BPD rw = 0.286 ft h = 27 ft φ = 30 % µ = 1.87 cp B = 1.217 bbl/STB ct = 10x10-6 /psi Pwf = 4473 psi Los datos de la sísmica indican la presencia de una falla, posiblemente junto con el área de drenaje del pozo de prueba. Los datos de la prueba confirman la presencia de esta falla?. Si es así, estime la distancia a la falla usando el método de David y Hawkins. Estimar la permeabilidad efectiva en el pozo.

Tabla 5.3. Datos de restauración de presión

t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t Pws, psi 16 4534 846.0 4534 0 4473 20 4538 675.0 4538 0.5 4482 27041.0 24 4548 564.3 4548 1 4486 13521.0 28 4552 483.9 4552 2 4490 6761.0 32 4557 423.5 4557 4 4494 3381.0 36 4562 376.6 4562 6 4508 2254.3 40 4567 339.0 4567 8 4516 1691.0 44 4572 308.3 4572 10 4520 1353.0 48 4576 282.7 4576 12 4524 1125.7 52 4580 261.0 4580 14 4528 966.7 61 4580 222.6 4580

SOLUCION tp es 14520 hrs usando la Ec. 4.6.b. De la gráfica de Horner presentada en la Fig. 5.4, son aparentes tres líneas rectas. Estas líneas tienen pendientes m1 = -13, m2 = -57, y m3 = -100 psi/ciclo. Si una falla está presente, se espera que dos líneas rectas con una relación de pendientes aproximada a dos, se presente. Observando las primeras dos líneas m2/m1=4.4 y m3/m2=1.8. Sin hacer un análisis más detallado, la segunda línea representa el flujo transiente en el yacimiento y la tercera línea se debe a la falla. Por consiguiente, la primera línea se debe probablemente a la estimulación de la cara del pozo. La permeabilidad es obtenida a partir de la pendiente de la segunda línea, entonces:

305

4460

4480

4500

4520

4540

4560

4580

4600

100100010000

m1=-13 psi/ciclo

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∆

∆+t

tt p

Pw

s , ps

i

m 2=-57 psi/ciclo

m 2=-10

0 psi/

ciclo

650=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+

x

p

ttt

Fig. 5.4. Gráfica de Horner

( ) mdhm

Bqk 8127)57(

)217.1)(88.1)(336)(6.162(6.1622

=−

==µ

La intercepción de las líneas 2 y 3 ocurre en [(tp+∆t)/∆t]=650. Así, ∆tx = 22.4 hrs. De la Ec. 5.7, la distancia a la falla puede ser calculada:

( )( )( )( )( ) ft

ctkd

t

x 218101088.130.0

4.228101217.001217.0 6 =×

=∆

= −φµ

El tipo de comportamiento de presión observado en la Fig. 5.4 podría ser causado por el fallamiento. 5.2.2.3. Método de Earlougher Este método generalmente arroja resultados exactos para todos los tiempos2,3.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

008119.0

D

Dt

p

rtc

ktd

µφ (5.8)

donde;

306

2900

3000

3100

3200

3300

3400

0,1 1 10 100 1000 10000

m1 = 99.94 psi/ciclo

Pw

s , ps

i

∆t, hr

∆tx = 15 hr

P i = 3361 psi

∆t s = 1500 hrs

m2 = 19

6.34 p

si/cic

lo

Fig. 5.5. Gráfico MDH para Estimar la Distancia a una Falla

x

pD t

ttP ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+= ln

21 (5.9)

Note que tD/rD

2 es desconocido y debería ser estimado usando la Fig. 1.10 o su ajuste estadístico que se presenta inmediatamente después de dicha Figura. El método de Earlougher no es recomendable cuando tp >> ∆t usando la Ec. 5.9. EJEMPLO Para los datos de restauración de presión dados en el segundo ejemplo (tabla 5.2), calcular permeabilidad, factor de daño y determinar si existe o no una falla que no haya sido detectada. Si es así, estimar la distancia pozo a la falla usando la gráfica MDH y el método Earlougher. SOLUCION De las Figs. 5.3 y 5.5 la pendiente en la región de comportamiento infinito está alrededor de 100 psi/ciclo. Se observa también que m2/m1 = 1.9 ≈ 2.0, lo cual indica una discontinuidad (falla). La permeabilidad es estimada de la Ec. 3.8:

mdhm

Bqk 93.9)19(100

)27.1)(87.0)(105(6.1626.1621

===µ

De la tabla 5.2, P1hr = 3040 psia, el factor de daño se estima con la Ec. 2.40,

307

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= =∆ 23.3log1513.1 2

)0(1

wt

twfhr

rck

m

PPs

φµ

6 2

3040 2665 9.931.1513 log 3.23 0.6100 0.16(0.87)(18.4 10 )(0.33 )

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟×⎝ ⎠⎣ ⎦

De la Fig. 5.5, ∆tx = 15 hr. Usando la Ec. 5.7:

ftctkd

t

x 8.92)104.18)(87.0)(16.0(

)15)(93.9(01217.001217.0 6 =×

=∆

= −µφ

De la Fig. 5.3, [(tp+∆t)/∆t]x = 73. Usando la Ec. 5.5, se tiene:

6

1 (9.93)(1008) 10.01217 0.01217 89.05(0.16)(0.87)(18.4 10 ) 73( ) /

p

t p x

ktd ft

c t t tφ µ −= = =×⎡ ⎤+ ∆ ∆⎣ ⎦

Usando el método de Earlougher se estima PD de la Ec. 5.:

14523.2)73ln(21ln

21

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+=

x

pD t

ttP

y usando la Fig. 1.10 ó su ajuste estadístico x =log(PD) = log(2.14533) = 0.3314738

5692.1)3515.0)(11997.0()3515.0)(8503.0(1

)3515.0)(8432.1(53666.02 =

+−+

=y

09.371010 5692.12 === y

D

D

rt . La distancia a la falla se estima con la Ec. 5.8:

ft

rtc

ktd

D

Dt

p 34.83)09.37)(104.18)(87.0)(16.0(

)1008)(93.9(008119.0008119.0 6

2

=×

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

µφ

5.2.2.4. Método MDH Estos investigadores propusieron la siguiente ecuación13:

308

0.01217 pt s

kd tc tφµ

=∆

Siendo ∆ts el valor del tiempo al cual la presión extrapolada de la primera pendiente se iguala a la presión inicial como lo indica la Fig. 5.5 (asumiendo que Pi = 3361 psi) 5.2.2.5. Método de Sabet Es posible obtener la distancia a una barrera lineal leyendo un punto cualquiera sobre la línea recta de pendiente 2m y aplicando la siguiente ecuación13:

22 2log log 3.23 0.435

20.5 10m wf

mt w

P P kt sm c rd φµ

⎧ ⎫−⎪ ⎪− − − + −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭= ×

EJEMPLO Halle la distancia a la discontinuidad usando el método MDH y por el método convencional de doble pendiente para los datos dados en la tabla 5.2. SOLUCION De la Fig. 5.5, ∆ts = 1500 hrs, luego aplicando el método MDH se tiene:

6

9.90.01217 0.01217 1008 622.70.16(0.87)(18.4 10 )(1500)p

t s

kd t ftc tφµ −= = =

∆ ×

Este valor es muy superior al suministrado por el método de Horner y posiblemente es debido a un error en el dato de presión inicial. Usando el método convencional de doble pendiente, leemos un punto sobre la segunda recta semilog de la Fig. 5.5, a ser, ∆t = 100 hrs y Pws = 3311 psi, reemplazando en la Ecuación:

22 2log log 3.23 0.435

20.5 10m wf

mt w

P P kt sm c rd φµ

⎧ ⎫−⎪ ⎪− − − + −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭= ×

5 23311 2665 9.9log100 log 3.23 0.435( 0.6)

196.34 0.16(0.87)(18.4 10 )(0.33 )0.5 10 293.7d ft−

⎧ ⎫−⎪ ⎪− − − + − −⎨ ⎬×⎪ ⎪⎩ ⎭= × =

5.2.2.6. Tiab’s Direct Synthesis Technique Para discontinuidades ocasionadas por diferencia de fluido (inyección) se invita al lector Aconsultar La Ref. 1. Overpeck y Holden2 también han trabajado este tema. La TDST tiene múltiples aplicaciones en la detección de fronteras. Para una mejor

309

profundización en este aspecto, le lector es remitido a las Refs. 4-5,7-10,15-16. Para determinar la distancia radial a una discontinuidad se usa la siguiente ecuación7:

tctkd

φµRe0002637.056.2=

ykxkA /=

A se obtiene por ajuste con la curva tipo de la Fig. 5.8. Usando el punto al cual ocurre la inflexión, tinf:

inf0.01217t

ktdcφµ

=

Akkx = (5.10.a)

Akk x

y = (5.10.b)

Gray20, Martínez y Cinco-Ley21 proponen un método que utiliza el valor del tiempo, tdv, donde la presión o la derivada se desvían de la primera recta horizontal de flujo radial o de la primera recta semilog:

10.0002637 ln(0.86859 )dv

t

t mdcφµ

=

Siendo m1 la pendiente de la primera recta semilog.

θ

d

Barrera

Imagen (espejo)

Verdadera imagen

k y

k x

Pozo real x

y

310

Fig. 5.6. Sistema de Falla en un Yacimiento Anisotrópico Real7

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y co

ordi

nate

Boundary

A=1

A=5

A=100

A=10

A=2

x coordinate

Fig. 5.7. Posiciones del Pozo Imagen Normalizado como una Función de la Relación

de Permeabilidad A y la Orientación de la Falla7

0.1

1

10

100

1000

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

89

81

72

63

55

46

37

29

20

16

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1`

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10`

CDe2s

A 1 2 5 10100

P D

and

t DP

D'

tD /CD

311

Fig. 5.8. Presión adimensional y derivada de presión vs grupo adimensional para un pozo sencillo cercano a una frontera de no flujo en un medio anisotrópico para un ángulo entre el pozo y la normal a la frontera (θ) de 30° y diferentes relaciones de

permeabilidad, A7

Si el ángulo se conoce, el factor de corrección para la distancia aparente puede estimarse mediante:

2

122

²sin²cossin

²sin²coscos

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

θθθ

θθθ

AAAADDR

DDRddtrue =

5.3. FRONTERAS MULTIPLES La determinación de fronteras múltiples está fuera del alcance de este libro. Sin embargo, se recomiendan las Refs. 9,17-18. 5.4. GRADO DE ESCAPE DE UNA FALLA La conductividad adimensional de la falla/frontera está definida como5

Lw

kk

F ffCD = (5.11)

El valor de FCD típicamente varía entre cero y 1.0 ó más. Un valor de cero indica una frontera sellada o ausencia de la frontera y un valor infinito indica una presión constante en la frontera o una falla completamente sellada5 5.4.1. Frontera con Escape Una conductividad adimensional escalable de la frontera, τ, es definida como5

1−= − CDFeτ (5.12) donde –1 ≤ τ ≤ 0. Valores negativos de τ indican la presencia de una acuífero al otro lado de la frontera. Note que cuando τ = 0, FCD = 0 indica que L = 0, y cuando τ = –1, FCD = ∞, indica que la conductividad de la frontera es infinita5

2( * ') '0.00375902 3.1638126( * ')

x

r

t Pt P

τ ∆= −

∆ (5.13)

312

La ecuación anterior es aplicable para casos cuando la segunda línea horizontal no está bien desarrollada5

2( * ')0.983396 0.98603107( * ')

r

r

t Pt P

τ ∆= −

∆ (5.14)

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

P ,

t *

P '

and

(t *

P ')

'D

D

D

D

D

t D

τ0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.6-0.7-0.8-0.9-1.0

Pressure curve

Pressure derivative curve

Second pressure derivative curve

Fig. 5.9. Presión adimensional, derivada de presión y segunda derivada de presión para una frontera con escape parcial y valores de conductividad adimensional

escalable negativos (frontera de flujo)5

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

P ,

t *

P '

and

(t *

P ')

'D

D

D

D

D

t D

τ1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0

Pressure curve

Pressure derivative curve

Second pressure derivative curve

313

Fig. 5.10. Presión adimensional, derivada de presión y segunda derivada de presión

para una frontera parcialmente sellante y valores de conductividad adimensional escalable positivos (frontera de no flujo)5

5.4.2. Frontera de No Flujo o Sellante Una conductividad adimensional escalable de la frontera, τ, es definida como5

CDF−=1τ (5.15) donde 0 ≤ τ ≤ 1. Los valores positivos indican la presencia de barreras de no flujo. Un valor de cero indica que no hay falla/frontera, entonces la permeabilidad en ambos lados de la frontera es la misma. Note que cuando τ = 0, FCD = 1, y cuando τ = 1, FCD =0 indican que la barrera tiene una permeabilidad de cero5.

2( * ') '3.173803 0.0015121( * ')

x

r

t Pt P

τ ∆= −

∆

2( * ')1.01338389 1.0146535( * ')

r

r

t Pt P

τ ∆= −

∆

5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO 5.5.1. Con Flujo Cruzado La Fig. 5.11 ilustra las bondades de estos sistemas. El comportamiento de la presión transiente de un yacimiento de varias capas con flujo cruzado es el mismo que el de un sistema homogéneo equivalente, con una transmisibilidad total aritmética3

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ n

i it

khkh1 µµ

i = 1, 2, 3,..., n (5.16)

Y el almacenamiento total aritmético:

( ) ( )∑=

=n

iittt hchc

1φφ (5.17)

5.5.2. Sin Flujo Cruzado

314

Este tipo de yacimientos están también referidos a sistemas compuestos, en los cuales las capas solo se comunican a través de la cara del pozo, como lo muestra la Fig. 5.123

k1, φ1, h1

k2, φ2, h2

k3, φ3, h3

Fig. 5.11. Sistema de Tres Capas con Flujo Cruzado3,13

315

k1, φ1, h1

k2, φ2, h2

Arenisca

Barrera impermeableArenisca

Fig. 5.12. Sistema de Dos Capas sin Flujo Cruzado3,13

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

2)()(0002637.0

wtt

tD rhc

tkhtµφ

=

Approximate end of infinite acting period

h1/h2 = 1(φ µ ct)1/(φ µ ct)1 = 1re/rw = 2000 k1/k2 = 100

k1/k2 = 10k1/k2 = 2k1/k2 = 1

Fig. 5.13. Comportamiento del declinación de presión adimensional para un pozo en el centro de un yacimiento de varias capas, cerrado, circular y compuesto3

316

Perio

do d

eal

mac

enam

ient

o

RectaSemilog

Apla

nam

ient

o

Incremento Final de la presión

Presión Promedia del yacimientoPr

esió

n

Log (Tiempo de cierre)

A

B

C D

E

Fig. 5.14. Presión de restauración teórica para un pozo sencillo ideal, multicapas, en un yacimiento de frontera cerrada3

3800

3900

4000

4100

4200

1.E+021.E+031.E+041.E+051.E+06

Pw

s , ps

i

(tp+∆t)/∆t

Fig. 5.15. Grafico Horner para problema propuesto

317

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100

∆p

y t*

∆p',

psi

Time, hr

Fig. 5.16. Grafico de presión y derivada de presión para problema propuesto

a. Comportamiento Declinación de Presión La caída de presión a tiempos tempranos en un sistema de 2-capas produce una porción de línea recta en el gráfico semilog de PD vs. tD, Fig. 5.13, donde3

( ) ( )wfit

D PPBq

khP −=µ2.141

(5.18)

2

0.0002637( )( )

tD

t t w

khP tc h rφ µ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.19)

( ) ( ) ( )21 khkhkh t += (5.20) ( ) ( ) ( )21 hchcthc ttt φφφ += (5.21) De acuerdo a la Fig. 5.13, nada distingue la curva declinación de presión a la del de una sola capa, yacimiento homogéneo, teniendo las propiedades promedio del sistema de varias capas. La pendiente de la línea recta puede ser usada para determinar (kh)t y el factor de daño promedio con las ecuaciones de declinación de presión normal. La inclinación hacia arriba es causada por los efectos de frontera. Después de un gran tiempo de producción, las condiciones de estado pseudo estable prevalecen y el comportamiento de la presión será lineal con el tiempo.

318

b. Comportamiento en Restauración de Presión La Fig. 5.15 muestra una sección de línea recta inicial BC con pendiente3

( )tkhBqm µ6.162

= (5.22)

la cual, puede ser usada para estimar el producto total (kh). El achatamiento de CD puede ser observado solo en el caso de un yacimiento de dos-capas con contraste pequeño en espesor o porosidad. Los métodos no son favorables para analizar la segunda pendiente. PROBLEMA PROPUESTO La prueba de restauración de presión dada en la tabla 5.4 fue tomada de un pozo de crudo. El pozo produjo 218400 STB de crudo desde el último cierre. La rata de flujo estabilizada fue de 728 BOPD. Otroa información adicional: rw = 0.29 ft h = 51 ft φ = 27 % µ = 2.1 cp B = 1.13 bbl/STB ct = 3x10-6 /psi Información sísmica indica que existe una falla a 320 ft del pozo. Los datos de la prueba de restauración verifican este hecho? De ser así, estime la distancia del pozo a la falla usando los métodos de David and Hawkins, Earlougher y TDST. Tabla 5.4. Datos de presión y derivada de presión para el problema propuesto

t, hr P, psi ∆P, psi t*∆P’, psi (tp+∆t)/∆t t, hr P, psi ∆P,

psi t*∆P’,

psi (tp+∆t)/∆t

0.0000 3812.81 0.00 1.007 4043.31 230.51 18.79 7148.1 0.0100 3836.87 24.06 21.41 720001.0 1.268 4047.43 234.63 17.88 5677.9 0.0200 3857.41 44.61 38.57 360001.0 1.597 4051.42 238.61 17.40 4510.3 0.0300 3875.20 62.39 49.80 240001.0 2.010 4055.34 242.53 17.27 3582.9 0.0400 3890.71 77.90 57.42 180001.0 2.531 4059.27 246.46 17.45 2846.3 0.0505 3904.91 92.10 62.46 142575.3 3.186 4063.28 250.47 17.91 2261.0 0.0636 3920.13 107.32 66.23 113208.5 4.011 4067.44 254.63 18.61 1796.2 0.0800 3936.10 123.29 67.88 90001.0 5.049 4071.80 258.99 19.48 1427.0 0.1007 3952.23 139.42 67.13 71500.5 6.356 4076.39 263.58 20.46 1133.7 0.1268 3967.87 155.06 63.82 56783.3 8.002 4081.22 268.41 21.45 900.7 0.1597 3982.36 169.55 58.34 45085.5 10.07 4086.29 273.49 22.39 715.7 0.2010 3995.21 182.40 51.47 35821.9 12.68 4091.58 278.77 23.22 568.7 0.2531 4006.16 193.35 44.05 28448.3 15.97 4097.04 284.24 23.89 451.9 0.3186 4015.25 202.44 36.96 22599.9 20.10 4102.64 289.84 24.43 359.2

319

0.4011 4022.72 209.91 30.88 17951.6 25.31 4108.33 295.53 24.71 285.5 0.5049 4028.92 216.11 26.10 14261.2 31.86 4114.06 301.26 25.41 227.0 0.6356 4034.23 221.43 22.65 11328.9 35.74 4116.93 304.12 26.35 202.4 0.8002 4038.96 226.15 20.30 8998.8 40.11 4119.79 306.98 27.63 180.5

45.00 4122.63 309.82 29.51 161.0

320

REFERENCIAS

1. Boussalem, R., Tiab, D., and Escobar, F.H. “Effect of Mobility Ratio on the Pressure and Pressure Derivative Behaviors of Wells in Closed Composite Reservoirs”. SPE 76781, Proceedings, SPE Western regional Meeting/AAPG Pacific Section Joint Meeting, Anchorage, Alaska, May 20-22, 2002.

2. Dake, L.P. “The Practice of Reservoir Engineering - Revised edition”. Elsevier Developments in Petroleum Science. Second impresión. Amstrerdam, Holanda, 2004.


4. Escobar, F.H., Saavedra, N.F., Hernández, C.M., Hernández, Y.A., Pilataxi, J.F., and Pinto, D.A. “Pressure and Pressure Derivative Analysis for Linear Homogeneous Reservoirs without Using Type-Curve Matching”. Paper SPE 88874, Proceedings, accepted for presentation at the 28th Annual SPE International Technical Conference and Exhibition to be held in Abuja, Nigeria, Aug. 2-4, 2004.

5. Escobar, F.H., Tiab, D. and Jokhio, S.A. “Characterization of Leaky Boundaries from Transient Pressure Analysis”. Paper SPE 80908, Proceedings, prepared for presentation at the SPE Production and Operations Symposium held in Oklahoma City, Oklahoma, U.S.A., 23–25 March 2003.

6. Gibson, J.A., and Campbell, A.T., Jr. “Calculating Distance to a Discontinuity from D.S.T. Data”. Paper SPE 3016 presented at the 45th Annual Fall Meeting of the SPE of AIME held in Houston, TX, Oct. 4-7, 1970.

7. Guira, B. Tiab, D., and Escobar, F.H. “Pressure Behavior of a Well in an Anisotropic Reservoir Near a No-Flow Boundary”. SPE 76772, Proceedings, SPE Western regional Meeting/AAPG Pacific Section Joint Meeting, Anchorage, Alaska, May 20-22, 2002.

8. Hachlaf, H, Tiab, D. and Escobar, F. “Effect of Variable Injection Rate on Falloff and Injectivity Tests”. SPE 76714, Proceedings, SPE Western regional Meeting/AAPG Pacific Section Joint Meeting, Anchorage, Alaska, May 20-22, 2002.

9. Ispas, V. and Tiab, D. “New Method of Analyzing the Pressure behavior of a Well Near Multiple Boundary Systems”. Paper SPE 53933 prepared for presentation at the 1999 SPE Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference held in Caracas, Venezuela, 21–23 April 1999.


321


12. Odeh, A. S. “Flow Tests Analysis for a Well with Radial Discontinuities”. JPT (Feb. 1969): 328-334.

13. Sabet, M. “Well Testing”. Gulf Publishing Co. 1991. 14. Strelsova, T. D. “Well Testing in Heterogeneous Formations”. New York.

John Wiley and Sons, 1988. P. 377. 15. Tiab, D. “Analysis of Pressure and Pressure Derivative without Type-Curve

Matching: 1- Skin Factor and Wellbore Storage”. Paper SPE 25423 presented at the Production Operations Symposium held in Oklahoma City, OK, Mar. 21-23, 1993. P. 203-216. Also, Journal of Petroleum Science and Engineering 12 (1995), p. 171-181.


17. Tiab, D. and Kumar, A. “Detection and Location of Two Parallel Sealing Faults Around a Well”. JPT (Oct. 1980): 1701-1708.

18. Tiab, D., and Crichlow, H. B. “Pressure Analysis of Multiple-Sealing-Fault System and Bounded Reservoirs by Type Curve Matching”. SPEJ (December 1979) 378-392.

19. Kucuk, F.J. and Kabir, S. “Well test Interpretation for Reservoirs with a Single Linear No-Flow Barrier”. J. Pet. Sci. Eng. p. 195-221. 1988.

20. Gray, K.E. “Approximating Well-to-Fault Distance from Pressure Buildup Tests”. JPT. p. 761-767. July 1965.


322

6. PRUEBAS MULTIPLES

6.1. GENERALIDADES La forma más simple de pruebas de interferencia involucra dos pozos: un productor (o inyector) y un pozo de observación. La idea general es Producir en un pozo y observar la caída de presión en otro. Pruebas de multinterferencia usualmente involucra un productor (o inyector) y varios pozos de observación. Para realizar una prueba de interferencia, todos los pozos involucrados se cierran hasta estabilizar sus presiones de fondo. Luego, se bajan las herramientas de registro de presiones en el pozo de observación y se abre el productor (o inyector) a producción (inyección). Si existe interferencia, se registra una caída de presión en el (los) pozo(s) de observación dentro de una longitud de tiempo razonable. La mayoría de las pruebas múltiples se efectúan en yacimientos cerrados2,3. Las pruebas múltiples se llevan a cabo por un número de razones: • Buscar conectividad y/o continuidad del yacimiento2 • Detectar permeabilidad direccional y otras heterogeneidades2 • Estimar volumen del yacimiento2 • Orientación (azimut) de Fracturas hidráulicas1 Para un sistema de dos pozos2:

tinv c

tkrµφ

029.0= (6.1)

El daño en el pozo activo no afecta la presión en el pozo de observación. Hay dos tipos de pruebas: De interferencia y de pulso. 6.2. PRUEBAS DE INTERFERENCIA Estas se usan para determinar: a) Conectividad del yacimiento. Transmisibilidad b) Dirección de los patrones de flujo. Esto se hace mediante apertura selectiva de

pozos alrededor del pozo cerrado o en observación. c) Capacidad de almacenaje (factor de almacenaje) = st = φ ct h d) Determinación de la naturaleza y magnitud de la anisotropía. Se halla la

permeabilidad del yacimiento en todas sus direcciones y la dirección, θ, del ángulo de anisotropía.

323

Pozo activo(inyector o productor) Pozo de observación

(Preferiblemente cerrado)

Fig. 6.1. Representación esquemática de una prueba de interferencia

Pozo activo

Pozo de observación # 1

Pozo de observación # 2Pozo de observación # 3

Fig. 6.2. Representación esquemática de la medida de la anisotropía En yacimientos con contactos fluido-fluido, por ejemplo capa de gas, en la región de interferencia, las pruebas múltiples podrían dar resultados erróneos o ilógicos debido a las diferentes propiedades de los fluidos en las regiones. 6.2.1. Método de Earlougher a) Dos pozos: Uno activo (inyector o productor) y el otro de observación

preferiblemente cerrado. La presión en el pozo de observación es2:

1 logws hrP P m t= + (6.2)

Cuando t = 1 hr, Pws ≈ P1hr ≈ Pi para yacimientos nuevos. La Ec. (6.2) es válida si tD/rD

2 > 100 (x < 0.0025). Siendo r la distancia entre pozos. La restricción de tD/rD2 >

100 se aplica con un error del 1 %.

324

1 hr

P ws

log t

Para yacimientos nuevos1A t 1hr, ws hr iP P P= = ≈

Fig. 6.3. Gráfico semilog de una prueba de interferencia

Pozo activo Pozo de observación

h1

h2

Ocurre primero reflexiónen la frontera inferior donde esta el pozo activo

Fig. 6.4. Reflexión de la onda en un sistema de espesor variable

220002637.0

rckt

rt

tD

D

µφ= (6.3)

Cuando se grafica Pws vs. log t, se debería obtener una línea recta de cuya pendiente y corte se obtiene la transmisibilidad y la porosidad. La transmisibilidad, T, se halla de:

162.6kh qTm

βµ

= = (6.4)

325

1 2log 3.2275hr it

kP P mc rφµ

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Note que el factor de daño no aparece en esta ecuación puesto únicamente hay flujo de fluidos en el pozo activo y no en el pozo de observación. Sin embargo, se presentan excepciones cuando el pozo está muy estimulado. El almacenamiento también es minimizado en las pruebas múltiples pero no del todo2.

12.302 7.41316

2

i hrP Pm

t tTS c er

φ µ−⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦= = (6.5)

b) Dos pozos: ambos cerrados

logws it tP P m

t+ ∆

= +∆

(6.6)

t es el tiempo total de producción en el pozo activo. Efectúe un gráfico Horner y de la pendiente obtenga la transmisibilidad:

162.6qBTm

=

Calcula el factor de almacenaje de:

( 0) 12.302 ln 1 7.41316

2

i wfp p tm t

tTS er

− ∆ =⎡ ⎤⎛ ⎞− + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦= (6.7)

6.2.2. Método de Ramey Dos pozos: Uno activo (productor o inyector) y el otro de observación preferiblemente cerrado. Procedimiento2: 1) Grafique ∆Pws = Pi - Pws (pozo de observación) vs. tiempo de prueba y obtenga el

mejor ajuste con una de las curvas de la Fig. 1.10. 2) Tome cualquier punto conveniente y lea las coordenadas: (PD)M, (tD/rD

2)M, ∆PM, tM 3) Halle transmisibilidad ;

326

Pozo activo(inyector o productor) Pozo de observación

(Preferiblemente cerrado)

ESTE POZO SE CIERRA

Fig. 6.5. Caso b: ambos pozos cerrados

162.6 DM

M

PT qBP

=∆

(6.8)

4) Calcule St;

2

2

0.0002637 Mt

D

D M

tTSr t

r

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.9)

Limitaciones: a) rD > 20 (ver Fig. 1.9) b) (tD/rD

2) > 50 ó 100 6.2.3. Método de Tiab y Kumar P’m = el máximo valor de la derivada de presión en el pozo de observación el cual está colocado a una distancia r del pozo activo4. Unidades psi/hr. tm = Es el tiempo al cual ocurre P’m, hrs Procedimiento: 1) Obtenga ∆P vs. tiempo en el pozo de observación que preferiblemente está

cerrado. 2) Calcule P’ = ∆(∆P)/∆t = cambio de ∆P/cambio en tiempo de prueba 3) Grafique P’ vs. t en log-log, ver Fig. 6.6. 4) Calcule St;

2

10.0274'tm

qSr pβ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.10)

327

log

P'

log t

tm

P'm

Fig. 6.6. Gráfico log-log de la derivada

tm

p'mp'

tto

punto deinflexión

Fig. 6.7. Gráfico cartesiano para determinar el punto de inflexión 5) Calcule la transmisibilidad, T

2 1948 tm

T S rt

= (6.11)

Cuando por efectos de ruido es muy difícil obtener el P’ entonces se gráfica en cartesiano.

328

Seleccione el punto de inflexión. La pendiente es P’m. Extrapole la recta y lea el valor de to. 6) Verifique y chequee resultados:

ot trST 12.382 2= (6.12)

EJEMPLO Durante una prueba de interferencia fueron producidos 3125 STB de petróleo por el pozo A. La respuesta de la presión fue observada en el pozo B, 138 ft lejos del pozo A por 300 horas. Entonces, el pozo A fue cerrado también y la respuesta de la presión fue observada en el pozo B para 100 horas. Adicionalmente se dan los siguientes datos del yacimiento: µ = 1.3 cp B = 1.14 bbl/STB h = 31 ft Pi = 2600 psia ρ = 56.4 lbm/ft3 s = -2.2 (well A) ct = 16x10-6 /psi Vu = 0.00697 bbl/ft Los datos de tiempo y presión de prueba están dados en las tablas 6.1 y 6. 2. 1. Calcular la permeabilidad y la porosidad usando: A) El método de Earlougher a) Pozo A es activo b) Pozo A está cerrado B) El método de Tiab y Kumar C) Mostrar que los efectos del almacenamiento en la cara del pozo no son importantes en el pozo A.

Tabla 6.1. Respuesta de la Presión en el Pozo B (Activo)

t, hr P, psia

∆P, psia t*∆P, psia

t, hr p, psia

∆P, psia t*∆P, psia

1.1 2595.6 4.4 5.15 10 2575.5 24.5 11.19 1.5 2593.5 6.5 6.29 15 2571.0 29 11.60 2.0 2591.4 8.6 8.25 25 2565.0 35 11.39 2.5 2590.0 10 8.68 35 2561.0 39 11.71 3.0 2587.5 12.5 9.05 60 2555.0 45 11.50 4.0 2585.0 15 9.76 100 2549.0 51 12.74 5.0 2583.0 17 9.46 150 2543.5 56.5 15.61 7.5 2579.0 21 10.53 300 2530.0 70 28.14

329

Tabla 6.2. Respuesta de la Presión en el Pozo B (Cerrado)

Tiempo de prueba, hr

Respuesta de la presión, psia

t1+∆t)/∆t

1.0 2541.0 301.00 2.0 2544.0 151.00 3.5 2547.0 86.71 5.0 2551.0 61.00 7.0 2555.0 43.86

10.0 2559.0 31.00 15.0 2563.5 21.00 25.0 2569.0 13.00 40.0 2574.0 7.50 60.0 2577.0 6.00 100.0 2580.0 4.00

Tabla 6.3. Derivada de presión y datos postflujo

Tiempo,

hr P, psi ∆P, psi P', psi/hr qaf, STB qaf/q

1.1 2595.6 4.40 4.00 1.498947 0.0060 1.5 2593.5 6.50 5.25 1.967368 0.0079 2.0 2591.4 7.60 4.20 1.573895 0.0063 2.5 2590.0 10.00 2.80 1.049263 0.0042 3.0 2587.5 12.50 5.00 1.873684 0.0075 4.0 2585.0 15.00 2.50 0.936842 0.0037 5.0 2583.0 17.00 2.00 0.749474 0.0030 7.5 2579.0 21.00 1.60 0.599579 0.0024

10.0 2575.5 24.50 1.40 0.524632 0.0021 15.0 2571.0 29.00 0.90 0.337263 0.0013 25.0 2565.0 35.00 0.60 0.224842 0.0009 35.0 2561.0 39.00 0.40 0.149895 0.0006 60.0 2555.0 45.00 0.24 0.089937 0.0004 100.0 2549.0 51.00 0.15 0.056211 0.0002 150.0 2543.5 56.50 0.11 0.041221 0.0002 300.0 2530.0 70.00 0.09 0.033726 0.0001

SOLUCION

1. Calcular la permeabilidad y la porosidad usando A) El Método de Earlougher: a) El pozo A está activo.

330

2520

2540

2560

2580

2600

0.1 1 10 100 1000

Tiempo, hrs

P w

s , ps

i

m=-25.518 psi/ciclo

Fig. 6.8. Gráfico semilog de Pws vs. t Es necesario construir un gráfico en semilog de Pws vs tiempo (ver Fig. 6.8). En este gráfico, se traza una línea recta cuya pendiente, m = -25.517. Puesto que 3125 STB de petróleo fueron recuperados durante 300 horas de producción, entonces la rata de flujo, q, es 250 BPD. Entonces, la permeabilidad es calculada usando la Ec. 6.4:

162.6 162.6(250)(1.3)(1.14) 76.15 md(25.518)(31)

q Bkmh

µ= − = =

Usar la Ec. 7.5 para estimar la porosidad:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4316.7302.2

exp 12 m

PPr

kc hrit µ

φ

Mediante un análisis de regresión lineal se encuentra que P1hr = 2600.53 psi, entonces:

( )

2 6

2.302 2600 2600.5376.15 exp 7.4316 12.17 %(1.3)(138 )(16 10 ) 25.518

φ −

−⎧ ⎫= − =⎨ ⎬× −⎩ ⎭

b) El pozo A está cerrado La Fig. 6.9 presenta una gráfica en semilog de Pws vs. (t1+∆t)/∆t. De la línea recta, se tiene: m = -26.749 y P1hr = 2532.55 psia.

331

2530

2540

2550

2560

2570

2580

1 10 100 1000

P1hr = 2532.55 psim=26.749 psi/ciclo

ttt

∆

∆+1

P w

s , ps

i

Fig. 6.9. Gráfico semilog de Pws vs. (t1+∆t)/∆t

0.01

0.1

1

10

1 10 100 1000

P', p

si/h

r

t, hrs

tm = 1.5 hrs

P'm = 5.25 psi/hr

Fig. 6.10.a. Gráfica de la Derivada de Presión • Usar la Ec. 6.4 para calcular la permeabilidad

162.6(250)(1.3)(1.14) 72.65 md(26.749)(31)

k = =

• La porosidad es determinada por medio de la Ec. 6.5;

332

[ ]

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−−

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛=∆ 4310.711ln

302.2exp

1

)0(12 tm

PPrkc twshr

t µφ

[ ] %84.94310.7300

11ln749.26

253055.2532302.2exp)138)(3.1(

65.722 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

φ

B) Método de Tiab y Kumar • Obtener ∆P vs tiempo (ver tabla 6.3) • Calcular la derivada de presión, P' • Graficar la derivada de presión vs tiempo en escala log-log, ver Fig. 6.10.a, de esta

P'm = 5.25 psia y tm = 1.5 hr • Usar la Ec. 6.10 para estimar la porosidad

%74.1525.51

)1016)(138)(31()14.1)(250(0274.0

'10274.0 622 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

mt PchrqBφ

• Estime la permeabilidad de la Ec. 6.11;

2 6 21 1948 948(0.1574)(16 10 )(1.3)(138 ) 39.4 md1.5t

m

k c rt

φ µ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Note que la gráfica de la derivada presenta cierto ruido, entonces se recomienda suavizar la gráfica antes de desarrollar los cálculos. C) Mostrar que el efecto de almacenamiento en la cara del pozo no es importante en el pozo A Cuando qaf/q < 0.01 se puede concluir que el postflujo o el almacenamiento en la cara del pozo no está afectando los datos de presión. Para calcular qaf, se usa el siguiente procedimiento:

tddPws

BC=qaf ∆

24 (6.13.a)

siendo;

0.00697144 144 0.0178 bbl/psi56.4

uVCρ

= = =

entonces;

333

24(0.0178) 4 1.499 BPD

1.14af =q =

Los demás valores adicionales se muestran en la tabla 6.3. En esta tabla, se puede notar que la condición qaf/q < 0.01es siempre cumplida, por tanto los efectos de almacenamiento en la cara del pozo no son importantes. Entre otros métodos para interpretar pruebas de interferencia se tienen:

• El gráfico cartesiano de ∆P • El gráfico semilog de la derivada

o Rata única o Bi-flujo o Restauración de presión

• Análisis computacional o Método de mínimos cuadrados o Método de Morris & Tracy

• La Tiab’s Direct Synthesis Techinique (TDS Technique o TDST) D) Interpretación de pruebas de Interferencia por la TDST5,6

La derivada de la solución de la línea fuente con respecto al tiempo adimensional está dada por:

21'( , ) exp

2 4D D

D D DD D D

P rP r tt t t

⎛ ⎞∂= = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

La cual puede rescribirse de la siguiente forma:

( )21* ' ( , ) exp

2 4D D

D D D D DD D

P rt P r t tt t

⎛ ⎞∂= = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Puntos y líneas características En la Fig. 6.10.b se observan los siguientes características: 1) Es evidente que la curva de la derivada, tD*PD’, se intersecta con la curva de de

PD cuando:

2int

0.574952929D

D

tr

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ (6.13.b)

334

0.1

1

10

1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10

P

y

t

*P '

D

D

D

t / rD D

2int

0.574952929D

D

tr

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

( )2 2

0.57495 0.57495( * ') 0.32369D D

D D

tD D D tr r

P t P= =

= =

( )* ' 0.5D D rt P =

Fig. 6.10.b. Gráfico Log-Log de PD y tD*PD’ vs. tD/rD2 para un yacimiento infinito

(línea fuente)5,6

Donde el sufijo int denota intersección. Los valores correspondientes de presión adimensional y la derivada adimensional en este punto de intersección son: Therefore we have: ( ) 2/ 0.57495

0.32369D D

D t rP

== (6.13.c)

( ) 2/ 0.57495

* ' 0.32369D D

D D t rt P

== (6.13.d)

2) La derivada de presión durante el flujo radial infinito, nuevamente, corresponde a

un medio: ( )* ' 0.5D D rt P = (6.13.e)

Ecuaciones interpretativas para datos de Interferencia La presión o la derivada en el punto de intersección pueden emplearse para hallar la transmisibilidad. Reemplazando los parámetros adimensionales en las Ecs. 6.13.c y 6.13.d, se tiene, respectivamente:

( )int0.32369

141.2TP

qB∆ =

335

( )int* ' 0.32369

141.2Tt P

qB∆ =

De donde:

( )int

45.705kh qBTPµ

= =∆

(6.13.f)

( )int

45.705* '

kh qBTt Pµ

= =∆

(6.13.g)

Similarmente, reemplazado los parámetros adimensionales en la Ec. 6.13.e, se tiene:

( )70.6

* 'r

kh qBTt Pµ

= =∆

(6.13.h)

La Ec. 6.13.b puede usarse para determinar la capacidad de almacena, φcth. Reemplazando las cantidades adimensionales se llega a:

int2 2int

0.0002637 0.57495D

D t

t T tr r S

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Luego int20.000458646t tTS c h tr

φ= = (6.13.i)

Es obvio, que el método requiere la identificación del punto de intersección. Para propósitos de verificación de la lectura correcta de las coordenadas de intersección, los valores de T y St obtenidos pueden probarse en la siguiente expresión:

2

int

0.5 948 0.32369tD

S rP EiT t

⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

u obteniendo resultados de T iguales o muy similares de las Ecs. 6.13.f, 6.13.g, y 6.13.h. El lector debe recordar que la TDST se aplica tanto a restauración como declinación de presión. Adicionalmente, la Ref. 6 presenta la forma de estimar anisotropía usando pruebas de interferencia con el método TDST. EJEMPLO Con la información dada en la tabla 6.1 halle permeabilidad y porosidad por el método TDST.

336

1

10

100

1 10 100 1000

∆P,

t* ∆

P',

psi

t, hrs

(∆P)int =(t*∆P')int = 7.4 psitint = 1.5 hr

(t*∆P')r = 11.45 psi

Fig. 6.10.c. Gráfico de presión y derivada para ejemplo por el método TDST

SOLUCION Los datos leídos del gráfico de presión y derivada, Fig. 6.10.c, son (t*∆P’)r = 11.45 psi, (∆P)int =(t*∆P’)int = 7.4 psi, y tint = 1.5 hr. De la Ec. 6.13.g y 6.13.h.

( )int

(250)(1.3)(1.14)45.705 45.705 73.81 md* ' (31)(7.4)q Bk

h t Pµ

= = =∆

( )70.6 (70.6)(250)(1.3)(1.14) 73.8 md

* ' (31)(11.45)r

q Bkh t P

µ= = =

∆

La porosidad se determina de la Ec. 6.13.i:

int2 6 2

73.810.000458646 0.000458646 1.5 12.81%(1.3)(16 10 )(138 )t

k tc r

φµ −= = =

×

Puede observarse que los datos se ajustan muy bien con los resultados obtenidos mediante el método de Earlougher.

337

tiempo

1 2 3 4 5 6

Rat

a de

fluj

o (P

ozo

puls

ante

)Pr

esió

n ob

serv

ada

t1

t1

pulso 1

pulso 2

pulso 3

pulso 4

pulso 5

pulsos

Tren establecido

qP1∆

t L1

∆tc

∆tp

qP2∆∆tp

Respuesta de los

pulsos

Fig. 6.11. Nomenclatura de las pruebas de pulso2

6.3. PRUEBAS DE PULSO Está técnica usa una serie de pulsos cortos de la rata de flujo. Los pulsos son periodos alternantes de producción (o inyección) y cierre con el mismo caudal en cada producción. La respuesta de presión a los pulsos se mide en el pozo de observación. La principal ventaja de las pruebas de pulso estriba en la corta duración del pulso. Un pulso puede durar unas horas o unos pocos días, lo cual interrumpe la operación normal ligeramente comparado con las pruebas de interferencia2. tL (time lag), es el tiempo entre el fin de el pulso y el pico de presión causado por el pulso. ∆P, (amplitud). La distancia vertical entre la tangente a dos puntos picos consecutivos y la línea paralela a esa tangente en el pico del pulso a medir. ∆tc, Ciclo del pulso. Tiempo desde el arranque hasta el fin del periodo de flujo. ∆tp, Periodo de cierre.

338

La convención de signos para ∆P es: 1. ∆P > 0 si q > 0 (pozo productor activo) , ∆P/q > 0 2. ∆P < 0 si q < 0 (pozo inyector activo), ∆P/q > 0 3. ∆P < 0 para picos impares 4. ∆P > 0 para picos pares 6.3.1. Método de Kamal – Birgham Procedimiento: 1) Grafique ∆P/q vs. t en papel cartesiano 2) De este gráfico obtenga el tL, ∆tc y ∆tp. 3) Calcule la relación tL/∆tc y F’= ∆tp/∆tc. 4) Halle [∆PD(tL/∆tc)2] de las Figs. 6.12.a a la 6.12.d, que corresponde a F’ y tL/∆tc del paso 3. Al-Khalifah y otros7 hallaron error en las ecuaciones de Kamal – Birgham y desarrollaron nuevas ecuaciones y cartas. 5) Calcule la transmisibilidad, T

( ) ( )( )2

2141.2 // /

D L cL c

BT P t tP q t t

⎡ ⎤= ∆ ∆⎣ ⎦∆ ∆ (6.14)

Analice todos los valores puesto que el primero puede estar afectado por WBS. 6) Determine tLD/rD

2, tiempo lag dimensional, de las Figs. 6.13.a a 6.13.d correspondiente a F’ y tL/∆tc obtenido en el paso 3.

7) Calcule St;

( )2 20.000263

/L

tLD D

tTSr t r

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.15)

En el pozo de observación los efectos de almacenamiento se incrementan con el tiempo lag y tienden a reducir la amplitud de los primeros pulsos. Sin embargo si r>32(C/St)0.54 entonces los efectos de almacenamiento en el pozo de respuesta en menos del 5 % de incremento del tiempo de transición y no afectará la amplitud, lo anterior es válido sí,

0.86

2 2(230 15 )D D

D D

t Csr r

⎛ ⎞> − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

339

0.00000

0.00025

0.00050

0.00075

0.00100

0.00125

0.00150

0.00175

0.00200

0.00225

0.00250

0.00275

0.00300

0.00325

0.01 0.1 1

F'=0.8

F'=0.7

F'=0.4

F'=0.3

F'=0.9F'=0.2

F'=0.6

Primer pulso impar

Tiempo de transición, tL /longitud del ciclo, ∆tc

F'=0.1

Am

plitu

d de

resp

uest

a de

l pul

so, ∆

P D

[t L

/ ∆t c

]2

Fig. 6.12.a. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para el

primer pulso impar

0.00000

0.00050

0.00100

0.00150

0.00200

0.00250

0.00300

0.00350

0.00400

0.00450

0.01 0.1 1

F'=0.8

F'=0.7

F'=0.6

F'=0.5

F'=0.3

F'=0.1

F'=0.2

F'=0.4

Primer pulso par


Am

plitu

d de

resp

uest

a de

l pul

so, ∆

P D

[t L

/ ∆t c

]2

Fig. 6.12.b. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para el

primer pulso par

340

0.00000

0.00050

0.00100

0.00150

0.00200

0.00250

0.00300

0.00350

0.00400

0.00450

0.01 0.1 1


Am

plitu

d de

resp

uest

a de

l pul

so, ∆

P D

[t L

/ ∆t c

]2

F'=0.8

F'=0.7

F'=0.6

F'=0.5F'=0.4

F'=0.3F'=0.2

F'=0.1

Todos los pulsos pares excepto el primero

Fig. 6.12.c. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para todos los pulsos pares excepto el primer

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0.0040

0.01 0.1 1


Am

plitu

d de

resp

uest

a de

l pul

so, ∆

P D

[t L

/ ∆t c

]2

Todos los pulsos impares excepto el primero

F'=0.7

F'=0.4

F'=0.5

F'=0.3

F'=0.2 F'=0.9

F'=0.8F'=0.6

Fig. 6.12.d. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para todos los pulsos impares excepto el primer

341

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.01 0.1 1

F'=0.8

F'=0.7

F'=0.3

F'=0.6 F'=0.5

F'=0.4

F'=0.2

F'=0.1Primer pulso par


Tiem

po d

e tra

nsic

ión

adim

ensi

onal

(t LD

/ r D)

2

Fig. 6.13.a. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para el primer pulso par

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.01 0.1 1


Tiem

po d

e tra

nsic

ión

adim

ensi

onal

(t LD

/ r D)

2

F'=0.8

F'=0.7F'=0.6

F'=0.4F'=0.5

F'=0.3

F'=0.2F'=0.1

F'=0.9Primer pulso impar

Fig. 6.13.b. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para el primer pulso impar

342

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.01 0.1 1

F'=0.8

F'=0.7

F'=0.6F'=0.5

F'=0.4

F'=0.3

F'=0.2

F'=0.1Todos los pulsos pares excepto el primero


Tiem

po d

e tra

nsic

ión

adim

ensi

onal

(t LD

/ r D)

2

Fig. 6.13.c. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para todos los ciclos pares excepto el primero

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.01 0.1 1


Tiem

po d

e tra

nsic

ión

adim

ensi

onal

(t LD

/ r D)

2

F'=0.8F'=0.7 F'=0.6

F'=0.5F'=0.4

F'=0.3F'=0.2

F'=0.9Todos los pulsos impares excepto el primero

Fig. 6.13.d. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para todos los ciclos impares excepto el primero

343

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

xy 0016.0=

Tiempo, hrs

∆p/q

, psi

/BPD

0072222.00014222.0 += xy

Rate de flujo, BPD

0014.000096.0 += xyqP1∆

qP2∆

qP3∆

t L1=

0.55

t L2=

-0.0

8

t L2=0.47

Fig. 6.14. Gráfico de la Prueba de Pulso

Tabla 6.4. Datos de la Prueba de Pulso

t, hr ∆P(psi) ∆P/q t, hr ∆P(psi) ∆P/q 0.25 0.175 0.0005 2.75 1.925 0.0055 0.50 0.560 0.0016 3.00 2.975 0.0085 0.75 1.400 0.0040 3.25 3.850 0.0110 1.00 2.625 0.0075 3.50 4.270 0.0122 1.25 3.150 0.0090 3.75 4.060 0.0116 1.50 2.940 0.0084 4.00 3.360 0.0096 1.75 1.890 0.0054 4.25 2.590 0.0074 2.00 1.400 0.0040 4.50 2.100 0.0060 2.25 1.260 0.0036 4.75 2.100 0.0060 2.50 1.505 0.0043 5.00 2.555 0.0073

EJEMPLO Los datos de la respuesta de la presión dados en la tabla 6.4 fueron obtenidos de un pozo productor durante una prueba múltiple. Datos adicionales concernientes a esta prueba son mostrados a continuación: µ = 2.8 cp B = 1.20 bbl/STB h = 30 ft ct = 12x10-6 /psi C = 0.002 bbl/psi en el pozo de observación

344

Periodo de cierre = 0.7 hr Periodo de pulso = 1.63 hr Distancia entre pozos = 140 ft Rata de flujo = 350 STB/D 1) Calcular la permeabilidad de la formación (respuesta al pulso 3d) 2) Calcular la porosidad (respuesta al pulso 3d) 3) Recalcular k y φ a los otros dos pulsos y comparar. Explicar la diferencia. 4) Comente el efecto de almacenamiento en esta prueba. SOLUCION Para el Pulso 1: En la Fig. 6.14, una línea recta desde (0,0) hasta (2.25, 0.0036) ha sido dibujada. Puesto que la forma general de una ecuación de línea recta es:

)( 11

1 x-xx-xy-y=y-y

12

2

Aplicando esta ecuación, se tendrá;

xy 0016.0= . ∆P1/q es igual a la distancia entre los puntos (1.25, 0.002) y (1.25, 0.009):

21

21

1 )()( y-y+x-x=qP

22∆

∆P1/q = 0.007041 tL1 = 0.55 ∆tC1 = 2.33 ∆tp1 = 0.7 Para el Pulso 2: En la Fig. 6.14, una línea recta es dibujada desde (1.25,0.009) hasta (3.5, 0.0122), la ecuación de la línea recta será:

0072222.00014222.0 += xy . ∆P2/q es igual a la distancia entre los puntos (2.25, 0.0036) y (2.25, 0.01042): ∆P2/q = 0.0066992 psi/BPD tL2 = -0.0799 hr ∆tC2 = 2.33 hrs ∆tp2 = 0.7 hrs Para el Pulso 3: En la Fig. 6.14, una línea recta es dibujada desde (2.25,0.0036) hasta (4.75, 0.006), la ecuación de la línea recta será:

0014.000096.0 += xy . ∆P3/q es igual a la distancia entre los puntos (3.25, 0.004836) y (3.5, 0.0122): ∆P3/q = 0.007455 tL3 = 0.47 ∆tC3 = 2.33 ∆tp3 = 0.7

345

1) Calcular la permeabilidad de la formación (respuesta al pulso 3d) Calcular la relación tL/∆tC y F' = ∆tp/∆tC tL/∆tC = 0.47/2.33 = 0.2017 F' = 0.7/2.33 = 0.3004 Usando tL/∆tC y F' se obtiene [∆PD (tL/∆tC)²] de la Fig. 6.12.c. [∆PD (tL/∆tC)²] = 0.0033. Calcular la permeabilidad de la Ec. 6.14:

( )( )( )2

2 2

141.2 141.2(2.8)(1.2)(0.0066)/ 173.4 md(0.0033)(0.2017 )(30)/ /

D L cL c

Bk P t tP q t t h

µ ⎡ ⎤= ∆ ∆ = =⎣ ⎦∆ ∆

2) Calcular la porosidad (respuesta al pulso 3d). Determinar el time lag adimensional, tLD/rD², de la figura 6.13.c usando tL/∆tC y F'. Entonces, tLD/rD² = 0.52. Estimar la porosidad usando la Ec. 6.15:

( )2 2 62

0.0002637 0.0002637(68.29)(0.47) 2.5 %(2.8)(140 )(12 10 )(0.52)/

Lt

t LD D

tkcr c t r

φµ −= = =

×

3) Recalcular k y φ a los otros dos pulsos y comparar. Explique la diferencia. Para el Pulso 1: tL/∆tC = 0.55/2.33 = 0.236 F' = 0.7/2.33 = 0.3004 Usando tL/∆tC y F' se obtiene [∆PD (tL/∆tC)²] de la Fig. 6.12.b. Entonces, [∆PD (tL/∆tC)²] = 0.0037. Calcular la permeabilidad de la Ec. 6.14;

( ) ( )( )2

2 2

141.2 141.2(2.8)(1.2)(0.0037)/ 283.9 md(0.0074)(0.236 )(30)/ /

D L cL c

Bk P t tP q t t h

µ ⎡ ⎤= ∆ ∆ = =⎣ ⎦∆ ∆

Determinar el tiempo de transición adimensional, tLD/rD², de la Fig. 6.13.b usando tL/∆tC y F'. Esto es tLD/rD² = 0.26. Ahora, estimar la porosidad usando la Ec. 6.15

2 6

0.0002637(55.98)(0.55) 4.75 %(2.8)(140 )(12 10 )(0.26)

φ −= =×

Para el Pulso 2: Puesto que el time de transición, tlag, es negativo (ver Fig. 6.14), lo cual implica que la presión está empezando a incrementar después del cierre del pozo,

346

como lo muestra el gráfico. Este comportamiento no es físicamente lógico y puede ser causado por algún error ocurrido durante la prueba. 4) Comente sobre el efecto de almacenamiento en esta prueba. En el primer pulso, la permeabilidad fue afectada un 63.7 % y la porosidad fue afectada un 88 %. Esto fue debido a un incremento en tL y una reducción en el valor de la amplitud del pulso. tL1 = 0.55 ∆P1 = 0.007041 tL3 = 0.47 ∆P32 = 0.007455 Estos cambios son causados por el efecto de almacenamiento. PROBLEMA PROPUESTO 1 Se corrió una prueba de interferencia entre dos pozos. El pozo activo se abrió en flujo durante 300 hrs a una rata de 480 STB/D. Le siguió un periodo de cierre de 180 hrs. La respuesta de presión se observó en un pozo cerrado a 2000 ft de distancia del pozo activo. Ver tabla 6.5. Otra información relevante es: µ = 4.32 cp B = 1.12 bbl/STB h = 62 ft Pi = 5000 psi s = -1.5 (Active well) ct = 3x10-6 /psi rw = 0.4 ft (both wells) Estime la permeabilidad y la porosidad usando los métodos de Earlougher y Tiab & Kumar.

Table 6.5. Datos de presión contra tiempo para el problema propuesto 1

t, hr P, psi t, hr P, psi t, hr 0.0000 5000.00 139.2000 4979.51 309.6713 3.4315 5000.00 182.4000 4974.69 319.2967 9.6713 4999.96 240.0000 4969.48 327.2574

19.2967 4999.19 283.2000 4966.20 338.5020 27.2574 4997.95 300.0000 4965.03 367.2000 52.8000 4993.02 300.4320 4965.00 381.6000 67.2000 4990.31 301.2175 4964.95 410.4000 96.0000 4985.47 302.4293 4964.87 439.2000

110.4000 4983.33 304.8471 4964.71 468.0000 477.6000

347

4940

4960

4980

5000

5020

5040

5060

5080

1 10 100 1000

Tiempo, hrs

Pres

ión,

psia

Fig. 6.15. Gráfico semilog para el problema propuesto 1

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0 2 4 6 8 10 120

100

200

300

400

500

600

700

Flow rate, BPD

Time, hrs

∆p/q

, psi

/BPD

Fig. 6.16. Gráfico cartesiano de ∆P/q vs. t para el problema propuesto 2

348

Table 6.6. Datos de pulso para el problema propuesto 2

t, hr ∆P, psi ∆P/q, psi/hr

t, hr ∆P, psi ∆P/q,psi/hr



0.000 0 0.00000 2.68 23.456 0.063 5.4366 34.869 0.09399 8.1166 42.727 0.115170.193 0.095 0.00026 2.896 22.294 0.060 5.5525 33.979 0.09159 8.2325 41.723 0.112460.484 2.666 0.00717 3.0223 22.378 0.060 5.6651 33.658 0.09072 8.3451 41.296 0.111310.683 5.447 0.01464 3.2225 23.569 0.063 5.8435 34.151 0.09205 8.5235 41.624 0.112190.766 6.664 0.01791 3.5399 26.41 0.071 6.1264 36.026 0.09711 8.8064 43.253 0.116581.179 12.545 0.03372 3.9664 30.38 0.082 6.5392 39.221 0.10572 9.2192 46.118 0.124311.608 17.999 0.04838 4.3952 34.026 0.091 6.968 42.344 0.11413 9.648 48.927 0.131882.000 22.379 0.06016 4.6953 36.346 0.098 7.36 44.921 0.12108 10.04 51.241 0.138122.216 24.401 0.06559 4.9223 37.689 0.101 7.576 46.06 0.12415 10.256 52.244 0.140822.342 24.746 0.06652 5.0641 37.488 0.101 7.7023 45.921 0.12378 10.3823 52.028 0.140242.543 24.194 0.06504 5.2887 36.073 0.097 7.9025 44.644 0.12033 10.5825 50.634 0.13648

PROBLEMA PROPUESTO 2

La respuesta de presión dada en la tabla 6.6 se obtuvo de una prueba multiple. Datos adicionales: µ = 3.5 cp B = 1.35 bbl/STB h = 38 ft ct = 4.23x10-6 /psi C = 0.01 bbl/psi en el pozo de observación Periodos de cierre = 0.68 hr Periodos de Pulso = 2 hrs Distancia entre pozos = 180 ft q = 372 STB/D rw = 0.29 ft s = 1.2 Calcule la permeabilidad y porosidad de la formación usando los cuatro pulsos.

349

REFERENCIAS

1. Cherifi, M., Tiab, D., and Escobar, F.H. “Determination of Fracture

Orientation by Multi-Well Interference Testing”. SPE 77949, Proceedings, SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition, Melbourne, Australia. Oct. 8-10, 2002.


3. Sabet, M. “Well Testing”. Gulf Publishing Co. 1991. 4. Tiab, D, and Kumar, A. “Application of the PD’ function to Interference

Analysis”, JPT, Agst. 1980, p. 1465-1470. 5. Abdelkrim, O. “Interpretation of Interference Tests by Tiab’s Direct Synthesis

Technique”. M.Sc. Thesis. University of Oklahoma. 1999. 6. Escobar, F.H., Cubillos, J. and Montealegre-M, M. “Estimation of Horizontal

Reservoir Anisotropy without Type-Curve Matching”. Journal of Petroleum Science and Engineering. Vol. 60. p. 31-38. 2008.

7. Al-Khalifah, A. A., Al-Hashim, H. S. and Menouar, H. K., 1985. “Revised Pulse Testing Correlation Charts”. SPE paper 14253, presented at the 60th Technical Conference and Exhibition of the Society of Petroleum Engineers held in Las Vegas, Sept.

350

7. YACIMIENTOS NATURALMENTE

FRACTURADOS En estos yacimientos, se observan dos tipos diferentes de porosidad. La matriz tiene menor permeabilidad y su porosidad es pequeña comparada con la de las fracturas, la cual también tiene alta permeabilidad. Sin embargo, existen casos donde la matriz tiene porosidad y permeabilidad con valor cero, entonces el flujo solo ocurre desde las fracturas. Este tipo de comportamiento se presenta en yacimientos con rocas ígneas o metamórficas2. Los yacimientos naturalmente fracturados tienen fracturas con permeabilidad, kf y porosidad, φf y una matriz con permeabilidad, km y porosidad, φm. Algunos yacimientos funcionan como si estos fueran naturalmente fracturados, pero éstos realmente no lo son. Este es el caso de canales disueltos, capas interestratificadas con permeabilidad diferente (dolomitas interestratificadas con calizas las cuales tienen menos densidad o areniscas interestratificadas con otras limolitas y areniscas de grano fino). Sin embargo, los modelos fracturados naturalmente pueden ser aplicados a estos tipos de yacimientos6. En esta clase de yacimientos fracturados naturalmente, los dos tipos diferentes de porosidad son encontrados como se muestra en el lado izquierdo de la figura 7.1.c. Una muy baja porosidad, presentada en los poros finos y otra alta porosidad representada por fisuras, cavidades y fracturas. Cuando se realiza la clasificación de los yacimientos naturalmente fracturados desde el punto de vista del flujo (ingeniería) se debe tener en cuenta la permeabilidad y porosidad de la fractura y realizar una comparación con la permeabilidad y porosidad de la matriz. De acuerdo a lo anterior se hablará de cuatro tipos de fracturas. El tipo I lo componen aquellas fracturas que proveen la capacidad de almacenamiento y permeabilidad del yacimiento. El tipo II es aquel grupo de fracturas que posee una mejor permeabilidad que el de la matriz. El tipo III lo componen aquellas fracturas en las cuales la permeabilidad es despreciable, pero la capacidad de almacenaje de hidrocarburos es alta. Finalmente se halla el tipo IV son aquellos en los cuales las fracturas están llenas de minerales y por lo general no es muy factible que se desarrolle el flujo9. Los yacimientos fracturados naturalmente son heterogéneos. La idea de un canal homogéneo ocurre fuera de la realidad. No obstante, la roca es fracturada homogéneamente, la precolación del agua del agua causa depositación mineral, la cual reduce la permeabilidad o tapona completamente los canales del fluido. Por lo tanto, las fracturas de carácter homogéneo cambian con el tiempo y se obtiene una roca heterogénea. La porosidad de la fractura es rara vez mayor al 1.5 o 2 %.

351

Usualmente, esta es menor que el 1 %. La capacidad de almacenamiento de la fractura, Sf = φfcfhf, es muy pequeña, debido a que φf es pequeña y hf es extremadamente baja. En contraste, kf es muy alta. La capacidad de almacenamiento de la matriz, Sm = φmcmhm, es mayor que La capacidad de almacenamiento de la fractura. Normalmente, la permeabilidad de la matriz es menor que la permeabilidad de la fractura. Si estas tienen el mismo valor, el sistema se comporta como homogéneo y sin fractura. Si la permeabilidad de la matriz es cero y las fracturas son fortuitamente distribuidas, el sistema tiene un comportamiento homogéneo. Sin embargo, si la permeabilidad de la matriz es cero, pero las fracturas tienen una dirección preferencial, entonces se tiene flujo lineal. Además, si la permeabilidad de la matriz es pequeña (usualmente menor que 0.01 md) y el yacimiento es ampliamente fracturado, el sistema se comporta como homogéneo y sin fracturas. Desde el punto de vista de prueba de pozo, se deben cumplir tres condiciones para determinar si en realidad se trata de un yacimiento fracturado naturalmente9. 1. La porosidad de la matriz es mayor que la porosidad de la fractura. 2. La permeabilidad de la matriz no es cero, pero su permeabilidad es mucho más

pequeña que la permeabilidad de la fractura. 3. El pozo intercepta la fractura. Odeh10 examinó varios modelos teóricos y concluyó que los yacimientos fracturados (especialmente con porosidad secundaria) generalmente se comportan como yacimientos homogéneos. De acuerdo con Warren y Root, una gráfica de presión de cierre versus log (tp+∆t)/∆t producirá dos porciones de líneas rectas paralelas como se muestra en la Fig. 7.1.d. La primera porción de línea recta puede ser usada para calcular el producto total kh y el factor de daño por el método convencional de Horner. Note que P1hr es tomado de la segunda línea recta. La presión promedia del yacimiento se estima mediante la extrapolación de la segunda línea a (tp+∆t)/∆t = 1 para obtener P* y entonces usar técnicas convencionales. La distancia vertical entre las dos líneas rectas semilog, ver Fig. 7.1.d, identificada como ∂P puede ser usada para estimar la relación φct producida en la fractura para el sistema total (capacidad de almacenamiento de la fractura)15:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂

−=mPlogantiω (7.1.a)

1

2

tt

ω⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.1.b)

2 2

1 2

( ) ( )1.781 1.781

t f w t f m wc r c rkt kt

φ µ φ µλ += = (7.1.c)

352

0.001

0.01

0.1

1

0.01 0.1 1 10

ω

FEID

FDD

FEID or FDD

Fig. 7.1.a. Determinación de FEID ó FDD14

De la ecuación anterior, si ∂P < 100, el parámetro de capacidad de almacenamiento, ω, puede contener muchos errores. Defina15:

matft

ft

ccc

)()()(φφ

φω

+=

El parámetro de flujo interporoso, λ, es directamente proporcional a la relación de permeabilidad de la matriz y la fractura15.

f

m

kk

∝λ

Si ω tiende a 0 y λ ≤ 1x10-9, toda la permeabilidad proviene de la fractura. El parámetro λ puede estimarse por el método de Uldrich y Ershaghi14 en 1979, usando las coordenadas del punto de inflexión del gráfico semilog de declinación de presión:

ln( ) log 0.351 0.872.303

wf i EIDP P Fanti m s

mλ ω ω

−⎛ ⎞= − + + + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.2)

donde:

353

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00

0.001

0.0020.004 0.01 0.02 0.04 0.1 0.3 0.6

FB

ωinf

infp

tt t

∆+ ∆

Fig. 7.1.b. Determinación de FB14

ln( ) ln( )1 1EIDF Ei Eiω ω ω

ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(7.3)

FEID es la diferencia integral exponencial en el punto de inflexión y FDD es un factor usado para estimar ω de una prueba de declinación de presión cuando el último tiempo de extensión no es evidente.

inf inf2.303 ( )wf wf earlyDD

P PF

m− −⎡ ⎤−⎣ ⎦= (7.4)

donde Pwf-inf es el valor de la presión en la inflexión y (Pwf-inf)early es la presión extrapolada al tiempo cercano de extensión en el punto de inflexión. Para una presión de restauración, el parámetro λ puede despejarse de la siguiente relación14:

infinf

inf

(1 ) [( ) ( ) ]( )exp(1 ) [( ) ( ) ]

p D DD

p D D

t ttt t

ω ω λλω ω ω λω

− − + ∆∆⎡ ⎤ =⎢ ⎥ − − + ∆⎣ ⎦

354

Matriz Fractura

YACIMIENTO REAL SISTEMA IDEALIZADO

Caverna

Matriz

Fractura

MatrizFractura

Fig. 7.1.c. Ilustración de un yacimiento fracturado naturalmente y su representación ideal

5700

5800

5900

6000

6100

6200

6300

6400

6500

10100100010000100000

Shu

t-in

pres

sure

(tp+∆t)/∆t

Extrapolate to P*

Extrapolate to P1hrm

m/2

m

12

3

t1t2

p∂

Fig. 7.1.d. Gráfico Horner para un yacimiento fracturado Esta ecuación puede ser reordenada de la siguiente manera:

inf( )D Bt Fλ ∆ = (7.5) Así, teniendo FB, el parámetro λ puede ser obtenido del gráfico. El parámetro λ (parámetro de flujo interporoso) puede ser estimado fácilmente de los gráficos semilog usando la relación presentada por Tiab y Escobar13:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆=

ωωµφλ 1ln)(3792

inf

2

tkrc wtt (7.6)

355

donde ∆tinf es el valor del tiempo en el cual tiene lugar la inflexión. ω y λ son independientes de la presión. Las propiedades PVT pueden afectar la capacidad de almacenamiento. El parámetro de flujo interporoso es función de la capacidad de almacenamiento. De acuerdo a la Fig. 7.1.d, la porción lineal (sección 1), representa un flujo transiente radial a través de las fracturas. A partir de la pendiente, m, puede ser solucionada la permeabilidad de la fractura. Puesto que la permeabilidad de la fractura es pequeña, el depletamiento tiene lugar rápidamente, por lo tanto, la presión de pozo fluyendo y la presión de la fractura caen rápidamente. Esto hace que el fluido de la matriz fluya hacia las fracturas (sección 2). Esto causa una caída de la rata de declinación de presión del pozo. Finalmente, cuando a presión de la matriz alcanza la presión de la fractura, la contribución de la fractura desaparece y su comportamiento es debido a la contribución de la matriz. Si las líneas de la sección 1 y 3 no son paralelas, entonces una frontera del yacimiento ha sido detectada. El periodo de transición, sección 2, se debe a: A. La rata de flujo es directamente proporcional a la caída de presión matriz-fractura

(Warren y Root15, 1963) – modelo de estado pseudo estable. Caso especial del caso C.

B. La rata de flujo es directamente proporcional a la caída de presión promedio en toda la matriz (Streltsova, 1988). Modelo de gradiente de presión6.

C. La rata de flujo bajo comportamiento de estado inestable es función de la caída de presión en toda la matriza (Kazemi, 1969, deSwann, 1976 y Najurieta, 1980)6. Modelo de estado instable.

Las ecuaciones del método convencional vistas en el capítulo dos se usan para hallar la permeabilidad preferiblemente a partir de la pendiente de la segunda línea recta. Sección 3 Fig. 7.1.d, pues la primera puede estar afectada por almacenamiento. El factor de daño se halla extrapolando la segunda línea recta, sección 3, leyendo la presión al tiempo de una hora. Los métodos para estimar la presión promedia, capítulo 3, igualmente se aplican convencionalmente a yacimientos naturalmente fracturados usando la segunda porción lineal del gráfico semilog. Es decir que P* se lee sobre dicha línea. Sin embargo, como se aprecia en el capítulo 3 y en las Refs. 16 y 17, por primera vez se presenta una técnica apropiada para la detrminación de la presión promedia en yacimientos heterogéneos. EJEMPLO Asumiendo que los valores siguiente son leídos de la Fig. 7.1.d, encontrar la fracción del volumen poroso total proporcionados por las fracturas y la porosidad de la fractura. Del gráfico semilog m = 300 psi/ciclo. Información adicional:

inf( )D Bt Fλ ∆ = (7.5) ∂P = 285 psi φma = 4.3 % (ct)ma = 1.5x10-6 psi (ct)f = 3x10-4 psi

356

SOLUCION

1122.0300285logantiloganti =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂−=

mPω

4

4 5

(3 10 )0.1122

(3 10 ) (0.043)(1.5 10 )f

f

φφ

−

− −

×=

× + ×

Entonces, la porosidad de la fractura es 2.72x10-2 %. El análisis clásico de yacimientos de doble porosidad está basado en un modelo continuo que considera propiedades promedio. Fuera del flujo a través de las fracturas, la ecuación de difusividad también incluye un término que tiene en cuenta el flujo en la matriz. Varios modelos tratan sobre la transferencia de fluido entre las fracturas y la matriz bloque. Kazemi propuso un modelo transiente el cual aplica para los siguientes regímenes de flujo de bloque interno: transiente, último transiente y estado semi pseudo estable (PSSS). 7.1. MODELO DE ESTADO SEMI PSEUDO ESTABLE Recientemente, el concepto de daño de interporosidad ha sido introducido al estudio de yacimientos naturalmente fracturados. Este resultó de la observación de la depositación de material en una capa delgada de baja permeabilidad o la alteración de la superficie de fractura causada por la precolación de agua a través de las fracturas. Este efecto es para inhibir y retrasar el soporte de los bloques de la matriz a los sistemas de fractura. La solución analítica (espacio Laplaciano) para la respuesta de la presión en un sistema de doble porosidad es7,10-12:

( )( )

D

DofD

tssfsKsfss

sfsrKP

→

=)()(

)(~

1

*

(7.7)

En la cara del pozo, rD = 1. El parámetro Laplace )(sf es función del tipo de modelo (PSSS o transiente) y la geometría del sistema de fractura. Las siguientes tres geometrías de bloque de matriz son consideradas: Lámina (capas) n = 1 Palos de fósforos (cilindro) n = 2 Cubo (esfera) n = 3 Siendo n el número de planos de fractura normal. Se recomienda reemplazar paralelepípedos rectangulares por cilindros y cubos por esferas ya que estos tienen relaciones volumen/superficie idénticas, entonces sus propiedades de difusión son muy

357

parecidas. Los parámetros de flujo interporoso, λ, y de capacidad de almacenamiento o relación de capacidad, ω, son usados en el estudio de los sistemas de doble porosidad:

2

2)2(4

mfb

wmb

hkrknn +

=λ (7.8)

mmbffb

ffb

cccφφ

φω

+= (7.9)

La función )(sf excluye el daño de interporosidad para el modelo PSSS aplicado a las tres geometrías simplificadas es:

λωλωω

+−+−

=sssf

)1()1()( (7.10)

Ahora, si el daño de interporosidad es tomado en cuenta, la función )(sf será:

)]2[1/()1()]2[1/()1()(

ma

ma

snssnssf

+++−+++−

=λωλωω

(7.11)

sm

smima kh

hks 2= (7.12)

Si el parámetro de flujo interporoso aparente se define como:

maa sn ]2[1 ++

=λλ (7.13)

entonces, la Ec. 7.11 se convierte en:

(1 )( )(1 )

a

a

sf ss

ω ω λω λ

− +=

− + (7.14)

Las funciones )(sf para el caso transiente incluyendo el daño de interporosidad para el modelos de capas o estratos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+

−−

+=

λλ

λλ

λλ

λλλ

ωsss

ssssf

ma)1(3tanh)1(31

)1(3tanh)1(331

)( (7.15)

358

Para el modelo de palos de fósforos:

sIsIss

sIsIs

ssf

oma

o

)1(3)1(3)1(81

)1(3)1(3)1(8

41

)(1

1

λλ

λλ

λλ

λλλ

ω

−−−

+

−−−

+= (7.16)

Para cubos de azúcar:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−

+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−

+=

1)1(15coth)1(151

1)1(15coth)1(15)1(1581

)(

λλ

λλ

λλ

λλ

λλλ

ωsss

ssss

sf

ma

(7.17)

7.2. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO Asumiendo que rD = 1, la declinación constante de la rata en la cara de la arena es rescrita de la Ec. 1.1 como1,3:

D

fDfD

tssPP

→= ),,(~~ ** λω (7.18)

Después de la inversión numérica de la transformada de Laplace, la ecuación anterior se convierte (sin considerar efectos de daño y almacenamiento) en:

),,(~ ** λωDfDfD tPP = (7.19) Considerando efectos de daño y almacenamiento, se tiene:

*

*(1 [ ])fD

DD fD

sP sP

s C s s sP+

=+ +

(7.20)

La inversión de la ecuación anterior puede ser escrita así:

( , , , , )D D D DP P t C sω λ= (7.21) Entonces, una vez que los cuatro parámetros en el paréntesis son conocidos, la inversión numérica puede ser usada para generar soluciones de PD como una función de tD.

359

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

wD

log tD

λ=10-4 λ=10

-5λ=10

-6

λ=10-7

PD

Fig. 7.1.e. Efecto de λ sobre el comportamiento de yacimientos con doble porosidad, modelo PSSS para ω=0.017

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

wD

log tD

λ=10-4

λ=10-5

λ=10-6

λ=10-7

PD

log

Fig. 7.2. Efecto de λ sobre el comportamiento de la presión en yacimientos con doble porosidad, modelo PSSS para ω=0.017

360

-4

-3

-2

-1

0

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-4

-3

-2

-1

0

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

ω =0.1ω =0.05

ω =0.01

ω =0.005

ω =0.001

ω =0.0005

ω =0.0001

log P

D'

log t Db

ω =0.2

ω =0.5

Fig. 7.3. Curva tipo derivada unificada La Fig. 7.1.e es una respuesta de la presión típica en sistemas de doble porosidad. Son observados tres aspectos principales: una primera línea recta, una zona de transición o inflexión y una línea recta final que tiene la misma pendiente que la primera. La primera línea representa solo el sistema de fractura y es muy corta y normalmente es difícil de detectar debido al efecto de almacenamiento. La ecuación para esta línea es7:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

γω 4lnlnln

21

DwD tP (7.22)

ó;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

γµφπµ

2

4lnln

4 wffb

fb

fbiwf rc

kt

hkqBPP (7.23)

donde s = 0. La línea recta final representa el comportamiento de todo el sistema y está expresada como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

γ4lnln

21

DwD tP (7.24)

o;

361

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

ω =0.001 ω =0.01

ω =0.1

ω =0.25

ω =0.5

log P

D'

log t Db

Fig. 7.4. Derivada logarítmica de presión de yacimientos con doble porosidad16

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

+ γµφπµ

2][4

lnln4 wfmt

fb

fbiwf rc

kt

hkqBPP (7.25)

Las dos líneas rectas están separadas por ln ω (un número negativo). El final teórico de la primera línea recta y el inicio de la línea recta final están dados, respectivamente, por:

( )λ

ωω )1(01.01

−=leDt (7.26)

14

)( ==λ

DDb tt (7.27.a)

fbm

wmb

wfmt

fbDb kh

rknnrc

tkt 2

2

2 4)2(4

][+

=+ µφ

(7.27.b)

La Fig. 7.2 presenta una curva tipo para P’D vs. tD. Note que la derivada presenta una pendiente característica o mínimo entre las dos líneas rectas de la derivada constante e igual. Este mínimo depende del valor de λ. Los valores de 4n(n+2) para las tres principales geometrías son:

362

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sma=0log P D'

log t D

Sma=0.1

Sma=1Sma=5Sma=10

Sma=20

Sma=100

Sma=50

Fig. 7.5. Yacimiento con doble porosidad, flujo transiente con daño de interporosidad, bloques de matriz con forma laminada, ω=0.01 y λ=105

Geometría 4n(n+2) Lámina (slab) 12 Palos de fósforos/cilindro 32 Cubo/esfera 60 La Fig. 7.3 es una curva tipo de P’D vs. tDb para diferentes valores de ω. Note que, ahora el mínimo aumenta cuando ω incrementa. Los datos de campo pueden ser ajustados con esta curva para obtener kbf, λ y ω. La pendiente unitaria no muestra el efecto de almacenamiento (note que la presión adimensional, PD, podría proporcionar una línea de pendiente unitaria). Esto se debe a la característica especial del sistema con doble porosidad PSSS. A medida que ω disminuye en valor, la derivada en el mínimo se aproxima a cero. Para valores de ω menores que 0.001, la intersección de la línea de pendiente cero con el punto de inflexión y la línea recta final es expresada así:

( )γ

λ41

4=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= DiDb tt (7.28)

7.3. COMPORTAMIENTO DEL MODELO TRANSIENTE CON DOBLE

POROSIDAD Lo mismo que para el modelo PSSS, la ecuación de presión sin considerar efectos de almacenamiento y daño puede ser expresada así11:

363

),,(** λωDwDwD tPP = (7.29) Aunque, los parámetros ω y λ son los mismos que en el modelo PSSS, la función Laplaciana, )(sf varía para cada geometría. La Fig. 7.4 presenta el gráfico de derivada de presión para sistemas con doble porosidad. La deriva para valores pequeños de ω es muy diferente que la dada para el modelo PSSS. Igualmente, ajustar la curva tipo es una buena idea para obtener los parámetros de yacimiento desconocidos. Los tres modelos transitorios no pueden ser distinguidos solo de datos de pruebas de pozo. La Fig. 7.5 muestra el comportamiento de la presión cuando se considera daño de interporosidad en el modelo. Note que para Sma > 10 la forma de la curva de derivada de presión permanece constante –aunque se traslado a la derecha- y similar al caso de PSSS. El modelo de daño de interporosidad y el modelo PSSS producen resultados similares cuando:

maeff Sn )2(1 ++

=λλ (7.30)

7.4. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO Las soluciones de rata constante incluyendo efectos de almacenamiento y daño se expresan así3,15-16;

),,,,( sCtPP DDwDwD λω= (7.31.a)

),,,,('' sCtPP DDwDwD λω= (7.31.b) La solución está basada en las Ecs. 7.7 y 7.26 con la )(sf apropiada dependiendo del modelo. El factor de daño se puede estimar de la pendiente semihilos que represente el comportamiento de todo el sistema. A tiempos cercanos, el comportamiento de la presión sin efectos del almacenamiento es:

( )stP DwD 24lnlnln21

++−= γω (7.32)

La Ec. 7.32 no es válida (ya que es inversión de la Ec. 7.20) si s < 0 y

γω 4lnlnln2 +−> Dts

7.5. ANALISIS DE PRESION DE RESTAURACION La respuesta a la presión de restauración es obtenida mediante superposición7:

364

µπ

qBPPkhP wsi

Ds)(2 −

= (7.33)

DDDpDDs tPttPP )()( ∆−∆+= (7.34)

Si la solución analítica para presión de declinación es solo disponible, entonces el tiempo de superposición requiere una inversión numérica para (tp+∆tD) y (∆tD), respectivamente. Definiendo la presión de restauración como Pws-Pwf(∆t=0) y la función de presión de restauración adimensional como:

µπ

qBtPPkh

P wfwsDB

)0((2 =∆−= (7.35)

DpDDDDpDDB ttPtPtPP )()()( ∆+−∆+= (7.36) El análisis de presión de restauración es desarrollado mediante la graficación de PDB vs. log (∆te)D, donde:

tttt

tp

pe ∆+

∆=∆ (7.37)

Cuando tp >> ∆t:

DDDB tPP )(∆= (7.38)

tte ∆=∆ (7.39) La respuesta de la presión de restauración semilog dada por la expresión de la Ec. 7.37 o por la función de Horner (tp+∆t)/∆t está caracterizada por una línea recta inicial muy corta la cual es tenida en cuenta para el sistema de fractura y una línea recta final correspondiente al comportamiento combinado o total. En el caso de presión de declinación, existen varios criterios para el inicio, final e intersección de las líneas en términos de tDb. Estos criterios están incluidos en el comportamiento de la presión de restauración sí tDb es reemplazado por (∆te)Db.

[ ] 2)(4)2(4

mfmt

emDbe hc

tknntµφ +

∆+=∆ (7.40.a)

El inicio de la línea recta final tiene lugar cuando (∆te)Db =1 ó;

365

2)(4)2(41

mfmt

em

hctknn

µφ +

∆+= (7.40.b)

Para el comportamiento PSSS (caso presión de restauración):

( )pbts

btspfmt

m

m

ttnnttc

hk

∆+∆+

= +

)2(4)(4

2

µφ (7.41)

En términos generales, los análisis de pruebas de pozo en sistemas con doble porosidad tienen las siguientes metas: confirmar el comportamiento de doble porosidad, determinación de las propiedades del sistema de fractura, kfbh y s, y la identificación de los parámetros ω y λ. El gráfico de la derivada es la principal herramienta para la identificación de yacimientos con doble porosidad. La derivada de la presión en el modelo PSSS está caracterizada por un mínimo distinto y una pendiente unitaria antes del periodo final. El transiente es reconocido mediante un mínimo no agudo en el periodo intermedio. Sin embargo, la gráfica semilog debería ser considerada puesto que la respuesta de la presión de yacimientos naturalmente fracturados puede ser fácilmente confundida con la de un sistema multifásico, la cual presenta un cambio completo durante el almacenamiento, en lugar de un pico, causando un mínimo o una inclinación en la curva de la derivada de la presión. Analizando sistemas con doble porosidad, el primer paso consiste en ajustar los datos de campo con una curva tipo sin efectos de almacenamiento. kfbh puede ser obtenida del ajuste de presión y λ se puede estimar del ajuste del tiempo mediante:

( ) ( )( )Mbf

wfmtMDb

tkrCt 24 +=

φµλ (7.42)

Retomando que el parámetro λ se puede estimar del punto de inflexión, ∆tinf, se encontraron unos gráficos semilog usando las relaciones presentadas por Tiab y Escobar13 (2003):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆=

ωωµφλ 1ln)(3792

inf

2

tkrc wtt (7.43)

Si el almacenamiento es despreciable, entonces ω se puede estimar a partir de los parámetros ajustados. Para una mayor exactitud en la estimación de ω, se debe determinar primero CD analizando los datos más tempranos usando curvas tipo homogéneas convencionales. Entonces, se debe encontrar la curva tipo de porosidad doble adecuada que ajuste con el CD encontrado. Este procedimiento no se trabaja para valores muy grandes de λ y almacenamiento significativo. Stewart y

366

Ascharsobbi simularon flujo radial colocando un pozo en un nodo central de una malla cuadrada mientras mantenían la presión constante, Pe, en los nodos situados por fuera del circulo de radio re. Para un sistema homogéneo la ecuación de flujo radial en estado estable está dada por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=− s

rr

hkqPrP

wrwf ln

2)(

πµ (7.44)

entonces, un gráfico de P(r) vs. ln r produce una línea recta de pendiente, m, e intercepto b:

hkqm

rπµ

2= (7.45)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

wrwf r

rshk

qPb ln2π

µ (7.46)

por lo tanto:

wwf r

mPb

s ln+−

= (7.47)

La permeabilidad promedio está relacionada con la permeabilidad de las fisuras por medio de:

2r fb fim

q B wk k kmh h

µπ

= = = (7.48)

El factor de daño de flujo radial, s, está relacionado con el tamaño del bloque, hm, mediante:

w

m

rhs ln

2−=

π (7.49)

En pozos acidificados, sin embargo, las fracturas conectadas pueden poseer una mayor anchura. El factor de daño es entonces estimado por:

w

m

c rh

wws ln

2

3

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

π (7.50)

367

Cuando e pozo es situado en el centro de un bloque del modelo de palos de fósforos sin interceptar fracturas, un alto factor de daño positivo es estimado por:

w

m

m

fb

rh

kk

s2

ln1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (7.51)

EJEMPLO Determinar la permeabilidad de una fisura-gruesa, el factor de daño y los parámetros ω y λ para el pozo Q-18 de acuerdo a la información dada a continuación y a la tabla 7.17. h = 242 ft rw = 0.29 ft q = 3629 STB/D Pwf = 1932 psi tp = 408000 hrs B = 1.32 rb/STB µ = 1.18 cp (φ ct)m+f = 7.50x10-06 psi-1 km = 0.148 md SOLUCION Esta prueba puede ser analizada usando el método convencional semilog de Horner. Una gráfica Horner es presentada en la Fig. 7.6. la capacidad de almacenamiento, ω, es estimada de la separación de las líneas paralelas usando la Ec. 7.1:

Tabla 7.1. Datos de presión de restauración, pozo Q-187

∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t ∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t 0.0167 1948 24431138.7 0.9500 1987 429474.7 0.0333 1958 12252253.3 1.3500 1990 302223.2 0.0500 1961 8160001.0 1.7500 1993 233143.9 0.0667 1963 6116942.5 2.1500 1994 189768.4 0.1000 1966 4080001.0 2.5500 1995 160001.0 0.1333 1969 3060766.2 3.1833 1996 128169.9 0.2000 1971 2040001.0 3.9000 2001 104616.4 0.3500 1976 1165715.3 4.6500 2003 87742.9 0.5500 1981 741819.2 5.4833 2005 74408.7 0.7500 1984 544001.0 5.0000 2006 81601.0 0.9500 1987 429474.7

368

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

2010

1.E+041.E+051.E+061.E+071.E+08

P w

s , ps

i

(tp+∆t)/∆t

∆P=16

m=-31 p

si/cic

lo

Inicio de la línea rectafinal = 2.15 hrs

b = 21

42 ps

i

Fig. 7.6. Gráfica Horner Clásica

305.03116antilogantilog =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂−=

mPω

La Ec. 7.48 se utiliza para estimar kfb:

162.6 162.6(3629)(1.18)(1.32) 122.5 md(31)(242)fb

q Bkmh

µ= = =

Estimar el factor de daño de la Ec. 7.47.

52.5)48.3(ln31

19322142ln −=+−

−=+

−= w

wf rmPb

s

2

2

4)2(4

mb

wmb

hkrknn +

=λ

λ se puede estimar la Ec. 7.8 si se hacen las siguientes suposiciones: tomar n = 1 (lámina), kb = kfb y hmb = h, entonces:

2 26

2 2

4 ( 2) 4(1 2)(0.148)(8.8392 ) 4.84 104 4(122.5)(242 )

mb w

b m

n n k rk h

λ −+ += = = ×

369

EJEMPLO Determinar la permeabilidad de una falla-gruesa, el factor de daño y los parámetros ω y λ para el pozo R-6 de acuerdo a la información dada a continuación y a la tabla 7.2. h = 1150 ft rw = 0.292 ft q = 17000 STB/D Pwf = 5223 psi tp = 408000 hrs B = 1.74 rb/STB µ = 0.47 cp (φ ct)m+f = 1.4x10-06 psi-1 km = 0.148 md

Tabla 7.2. Datos de presión de restauración, pozo R-67

∆t, hrs Pws, psi t*P’ws, psi ∆t, hrs Pws, psi t*P’ws, psi 0.000 5223 1.400 5269 9.87 0.010 5232 5.61 2.000 5272 9.40 0.023 5239 9.56 2.400 5274 11.72 0.058 5250 8.48 2.700 5275 10.81 0.230 5256 5.06 3.450 5277 8.54 0.780 5263 8.80 3.700 5281 7.78 1.400 5269 9.87 4.000 5281 6.91

SOLUCION El gráfico MDH dado en la Fig. 7.7 confirma la existencia de un sistema con porosidad doble. En la Fig. 7.8 se muestra también una curva tipo de ajuste. La capacidad de almacenamiento, ω, es estimada de la separación de las líneas paralelas usando la siguiente ecuación:

25.02213logantiloganti =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂−=

mPω

Usar la Ec. 7.48 para estimar kfb:

141.2 162.6(17000)(0.47)(1.74) 89.4 md(22)(1150)fb

q Bkmh

µ= = =

λ puede estimarse usando los puntos de ajuste de la Fig.7.8 y la Ec. 7.42 (en unidades CGS): tM = 0.023 hrs t*∆P’ = 8.5 psi/hr P’D = 0.5 tD = 0.0162 ω = 0.2

370

5220

5230

5240

5250

5260

5270

5280

5290

0.01 0.1 1 10

P w

s , ps

i

∆t, hrs

∆P=13m=-22 psi/ciclo

Inicio de la 2a. línearecta= 0.78 hrs

b = 5265 psi

Fig. 7.7. Gráfico MDH para el pozo R-6

2 8 23

10

( ) 4 ( ) (0.0162)(4)(0.0047)(1.088 10 )(8.9 ) 3.78 10(89.4)(7.76 10 )

Db M t m f w

fb M

t c rk tµ φ

λ−

+ −−

×= = = ×

×

El factor de daño puede ser aproximado mediante la Ec 7.49.

7.6292.0

1150ln2

ln2

−=−=−=ππ

w

m

rhs

7.6. APLICACIÓN DE LA FUNCION P’D A YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS Mavor y Cinco-Ley7 presentaron una solución en espacio Laplace para un pozo en un yacimiento fracturado naturalmente con producción a rata constante. Los efectos de almacenamiento y daño son considerados.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }[ ])()()()()(

)()()()(11

1

sfsKsfsssfsKCssfsKsfsssfsKsfsssfsKsP

oD

ow ++

+= (7.52)

La función )(sf para flujo interporoso en estado pseudoestable, flujo interporoso transiente, y para el caso de capas y el caso esférico, son definidos, respectivamente, como:

371

-4

-3

-2

-1

0

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

log P D'

log t Db

ω =0.1ω =0.05

ω =0.01

ω =0.005

ω =0.001

ω =0.0005

ω =0

.0001

ω =0.2 ω =0.5

Fig. 7.8. Curva de ajuste de la derivada para el pozo R-67

λωλωω

+−+−

=sssf

)1()1()( (7.53.a)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+=2/12/1 )1(3coth

3)1()(

λωωλω s

ssf (7.53.b)

1)1(15coth)1(1551)(

2/12/1

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+=λ

ωλ

ωλω sss

sf (7.53.c)

La solución de la derivada de la ecuación (1.45) es expresada como:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ })()()()()(

)()()()('11

1

sfsKsfsssfsKCssfsKsfssfsKsfsssfsKsP

oD

owD ++

+= (7.54)

372

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10

PPR

P'D

PD

P D, P'D, PPR

tD

Fig. 7.9. Yacimiento fracturado naturalmente de acción infinita con parámetro de flujo interporoso en estado pseudoestable16

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10

PPR

P'D

PD

P D, P'D, PPR

tD

Fig. 7.10. Yacimiento fracturado naturalmente de acción infinita con parámetro de flujo interporoso transitorio16

373

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

ω = 0.1ω = 0.03

ω = 0.01

ω = 0.003

ω = 0.001

ω = 0.

0003

ω = 0.0001

ω = 0.00003

P'D

tD

Fig. 7.11. Curva tipo Omega para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudoestable16

0.1

1

10

100

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

P D

tD/CD

CDe2s=10

50

CDe2s=10

40

CDe2s=10

30

CDe2s=10

20

CDe2s=10

15

CDe2s=10

10

CDe2s=10

6

CDe2s=10

3

CDe2s=10

2

CDe2s=10

0

CDe2s =1

0-1

Fig. 7.12. Curva tipo para un yacimiento homogéneo, de acción infinita con almacenamiento y daño16

374

0.1

1

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

ω = 0.1

P'D

tD

ω = 0.03ω = 0.01ω = 0.003

ω = 0.001ω = 0.0003

ω = 0.0001ω = 0.00003

Fig. 7.13. Curva tipo Omega para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transiente para el modelo estratos11

0.1

1

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

ω = 0.1

P'D

tD

ω = 0.03ω = 0.01ω = 0.003

ω = 0.001ω = 0.0003

ω = 0.0001

ω = 0.00003

Fig. 7.14. Curva tipo Omega para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transiente para el modelo esférico11

375

0.1

1

10

100

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

PPR

tD/CD

ωω

λ

)1( −= DC

a

a=1x10-4

a=3x10-4

a=1x10-3

a=3x10

-3

a=1x10

-2

a=3x10

-2

a=1x10

-1

Fig. 7.15. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudo estable ω=0.116

0.1

1

10

100

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

PPR

tD/CD

ωω

λ

)1( −= DC

a

a=1x10-4

a=3x10-4

a=1x10-3

a=3x10

-3

a=1x10

-2

a=3x10

-2

a=1x10

-1

Fig. 7.16. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudoestable ω=0.216

376

0.1

1

10

100

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

PPR

tD/CD

ωω

λ

)1( −= DC

a

a=1x10-4

a=3x10-4

a=1x10-3

a=3x10

-3

a=1x10

-2

a=3x10

-2

a=1x10

-1

Fig. 7.17. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudo estable ω=0.316

0.1

1

10

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

PPR

tD/CD

ωω

λ

)1( −= DC

a a=1x10-4

a=3x10-4

a=1x10-3

a=3x10-3

a=1x10-2

a=3x10-2

a=1x10-1

Fig. 7.18. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transitorio modelo de estratos. ω=0.116

377

0.1

1

10

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

PPR

tD/CD

ωω

λ

)1( −= DC

a a=1x10-4

a=3x10-4

a=1x10-3

a=3x10-3

a=1x10-2

a=3x10-2

a=1x10-1

Fig. 7.19. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transitorio para modelo de estratos, ω=0.0116

0.1

1

10

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

PPR

tD/CD

ωω

λ

)1( −= DC

a a=1x10-4

a=3x10-4

a=1x10-3

a=3x10-3

a=1x10-2

a=3x10-2

a=1x10-1

Fig. 7.20. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transitorio para caso estratos ω=0.0216

378

Las Figs. 7.9 y 7.10 presentan los gráficos de la presión adimensional, la derivada de la presión adimensional y la relación de la presión adimensional con la derivada de la presión adimensional para flujo interporoso en estado pseudoestable y acción infinita y flujo interporoso transitorio, respectivamente. Los efectos del almacenamiento se notan por la línea de pendiente unitaria a tiempos cercanos mientras PPR permanece a un valor constante de 0.5. Entonces, una línea recta semilog se presenta durante el periodo de flujo radial de la fractura. Una vez el periodo de transición es alcanzado las curves de PD se acuestan hacia el eje x mientras para el flujo interporoso en estado pseudo estable P’D disminuye abruptamente y PPR incrementa fuertemente. Después, P’D incrementa hasta un valor fijo de 0.5 se alcanza. Para el flujo interporoso transiente, la curva P’D disminuye hasta 0.25 mientras el PPR incrementa por encima de la curva PD. En el tiempo final las curves P’D incrementaron a 0.5 y PPR disminuyo y se unió con la curva PD. Las variables adimensionales están definidas por:

20002637.0

wtD rc

kttφµ

= (7.55)

[ ]),(2.141

),( trPPBq

khtrP iDDwD −=µ

(7.56)

Chrc

Cwt

D 289359.0

φ= (7.57)

D

DDD dt

dPtP =' (7.58)

D

DD

D

dtdPt

PPPR 5.0= (7.59)

t

f

cc

)()(

φφ

ω = (7.60)

f

mw k

kr 2=λ (7.61)

Las Figs. 7.11 a la 7.20 son un grupo de curvas tipo log-log. Estas incluyen PD vs. tD/CD para diferentes CDe2s, P’D vs. tD/CD para diferentes valores de ω y PPR vs. tD/CD para un rango de λCD/(1-ω)ω.

379

7.7. PROCEDIMIENTO DE AJUSTE DE CURVAS TIPO1 1. Construir los gráficos log-log de (a) ∆P vs. ∆te (Ec. 7.39), (b) ∆te vs. ∆te

(d∆P)/(d∆te) vs. ∆te, y (c) ∆P*0.5/(∆te (d∆P)/(d∆te) vs. ∆te. 2. Determinar el modelo de flujo de interporoso basado en el perfil de los datos

graficados. Para el flujo de interporoso transitorio determinar la posible geometría del bloque de la matriz.

3. Obtener ω ajustando la parte de la zona de transición de la rafia de derivada de presión con la curva apropiada de PD’ vs. tD/CD. ω se pude estimar con un ajuste adecuado de la Fig. 7.11. ω es la relación entre el valor ajustado de CDe2s durante los periodos de tiempo últimos y finales.

4. Usar la curva de PPR vs. tD/CD para ajustar con la tercera gráfica y registrar los valores de (CDe2s)M, ∆te/(tD/CD)M, y (λCD/(1-ω)ω)M.

5. Ajustar la gráfica ∆P vs. ∆te con la curva PD vs. tD/CD por alineación de los ejes del tiempo con el ∆te/( tD/CD)M obtenido previamente. Registrar (PD/∆P)M.

6. Estimar los parámetros del yacimiento de:

M

D

PPBqkh ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆= µ2.141 (7.62)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=

DD

e

CttkhC

/000295.0

µ (7.63.a)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=+

DD

e

wtmfD Ct

thrC

CC/

8936.02)( φ

(7.63.b)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= +

fD

mfs

D

CeC

s)()(

ln5.02

(7.64)

Si ω no puede ser encontrado de la curva tipo, estimar ω de:

fs

D

mfs

D

eCeC

)()(

2

2+=ω (7.65)

El parámetro de flujo interporoso con estado pseudoestable, λ, está dado por:

M

D

D

CC ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

)1()1(

ωωλωωλ (7.66.a)

380

El parámetro de flujo interporoso transiente, λ esta dado por:

M

D

D

CC ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= 2

2

)1()1(

ωλωλ (7.66.b)

EJEMPLO Determinar la permeabilidad, almacenamiento, factor de daño y los parámetros λ y ω para un yacimiento cuya información esta dada a continuación y en la tabla 7.31. h = 7 ft rw = 0.29 ft q = 830 STB/D Pwf = 3816.99 psi tp = 30.05 hrs B = 1.5 rb/STB µ = 0.3 cp φ = 0.05 ct = 2x10-05 psi-1 SOLUCION Un gráfico de ∆P, t*∆P’, y PPR vs. tiempo es mostrado en la Fig. 7.21. Cada curva fue ajustada a su respectiva curva tipo. Los parámetros ajustados son los siguientes: (CDe2s)M = 6.1x10-3 ∆te/( tD/CD)M = 6x10-3 (λCD/[1 - ω] ω)M = 10 Para ω = 0.15 (PD/∆P)M = 1/17 Estimar la permeabilidad de la Ec. 7.62:

mdP

Ph

BqkM

D 2.443171

7)5.1)(3.0)(830(2.1412.141

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆=

µ

El cálculo de C es estimado de la Ec. 7.63.a:

( ) ftSTBCttkhC

DD

e /0186.00061.01.0

)7)(2.443(000295.0/

000295.0==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=

µ

El almacenamiento adimensional, factor de daño y parámetro de flujo interporoso se encontraron usando las Ecs. 7.63.b, 7.64 y 7.66.a, respectivamente:

( ) 282330061.029.0)7)(102(05.0

)0186.0(8936.0/

8936.0252)( =

×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆= −+

DD

e

wtmfD Ct

thrC

CCφ

381

Tabla 7.3. Datos de presión de restauración

t, hrs P, psi ∆p t*∆p' PPR t, hrs P, psi ∆p t*∆p' PPR 0.000000 3816.99 0.255902 3884.70 67.710 9.035 3.7470.000621 3817.96 0.970 1.830 0.265 0.330442 3886.59 69.600 7.447 4.6730.001247 3819.73 2.740 3.843 0.357 0.404981 3888.34 71.350 6.420 5.5570.001862 3821.64 4.650 5.441 0.427 0.498147 3889.31 72.320 6.215 5.8180.003103 3824.92 7.930 8.065 0.492 0.572686 3890.20 73.210 5.553 6.5920.003729 3826.96 9.970 8.706 0.573 0.684489 3890.80 73.810 4.849 7.6110.004970 3829.52 12.530 9.773 0.641 0.833557 3892.31 75.320 4.646 8.1050.006837 3832.61 15.620 10.620 0.735 0.945360 3892.60 75.610 4.344 8.7040.008693 3835.18 18.190 12.105 0.751 1.168970 3893.57 76.580 4.151 9.2240.010560 3837.58 20.590 13.233 0.778 1.336680 3893.97 76.980 3.601 10.6900.012428 3839.94 22.950 14.426 0.795 1.578920 3894.64 77.650 3.677 10.5600.014910 3842.79 25.800 15.391 0.838 1.951600 3895.38 78.390 3.427 11.4380.018018 3845.72 28.730 16.174 0.888 2.324270 3895.92 78.930 3.411 11.5710.021115 3848.40 31.410 16.521 0.951 3.069630 3896.81 79.820 3.264 12.2290.027946 3853.16 36.170 16.974 1.065 3.349140 3897.18 80.190 3.342 11.9990.034162 3856.67 39.680 17.013 1.166 4.746680 3898.22 81.230 3.702 10.9710.040379 3859.48 42.490 16.844 1.261 5.864710 3899.11 82.120 3.943 10.4130.050933 3863.31 46.320 16.462 1.407 6.982750 3899.81 82.820 4.352 9.5160.063980 3867.10 50.110 15.788 1.587 8.659800 3900.69 83.700 4.571 9.1550.078884 3870.32 53.330 15.076 1.769 9.405190 3901.08 84.090 4.802 8.7550.100618 3873.84 56.850 13.931 2.040 10.150500 3901.43 84.440 4.843 8.7170.120810 3876.51 59.520 13.038 2.283 12.013900 3902.31 85.320 4.414 9.6640.153423 3879.37 62.380 11.824 2.638 14.260000 3903.19 86.200 4.167 10.343

0.1

1

10

100

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

∆P, PPR, t* ∆

P'

∆t, hrs

∆P

PPR

t*∆P'

Fig. 7.21. ∆P, t*∆P, y PPR vs tiempo1

382

428233

10ln5.0)()(

ln5.02

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= +

fD

mfs

D

CeC

s

[ ] 8107.2006.028233

)15.01(15.0)1(

)1( −×=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

M

D

D

CC ωω

λωωλ

7.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA YACIMIENTOS FRACTURADOS NATURALMENTE

Las ecuaciones básicas para flujo en yacimientos fracturados naturalmente con porosidad doble fueron formuladas originalmente en 1960. Usando la mecánica continua, los parámetros del medio y de flujo de las fracturas y la matriz, son definidas en cada punto matemático. La transferencia de fluido entre los dos medios es mantenida en una función fuente, donde el fluido se asume en estado pseudoestable en la matriz del sistema. Warren y Root15 usaron esta aproximación para desarrollar una solución integrada y aplicable para las pruebas de presión de declinación y restauración en un yacimiento fracturado naturalmente con porosidad doble. A partir de su trabajo se pueden identificar varios regímenes de flujo del análisis semilog. En orden cronológico existen una línea recta en tiempos cercanos representando únicamente el depletamiento de la fractura, y una línea recta en tiempos finales, la cual corresponde al tiempo cuando todo el yacimiento produce como un yacimiento homogéneo equivalente. A estos tiempos finales, la línea recta semilog es paralela a la primera línea recta. Dos parámetros claves fueron derivados por Warren y Root15 para caracterizar yacimientos fracturados naturalmente: el coeficiente de almacenamiento adimensional, ω, y el parámetro de flujo interporoso, λ. ω proporciona un estimado de la magnitud y la distribución de la matriz y el almacenamiento de la fractura, y λ es una medida de la rata de transferencia de masa de la matriz a la red de fracturas y por lo tanto describe la capacidad de flujo de la matriz disponible en las fracturas. Nuevos desarrollos realizados por Mavor y Cinco7 incluyeron almacenamiento y daño en la solución para el parámetro de flujo de interporoso en estado pseudoestable en un yacimiento fracturado naturalmente. Esto fue llevado a cabo en el espacio Laplaciano e invertido numéricamente usando el algoritmo de Stehfest. Como consecuencia directa, fueron desarrolladas curvas tipo por Bourdet1, las cuales incluyeron almacenamiento y daño en yacimientos fracturados naturalmente. Subsecuentemente, los parámetros de yacimiento podrían ser estimados cuando el almacenamiento dominara los datos de presión en tiempos cercanos. Un avance en las curvas tipo de yacimientos fracturados naturalmente ocurrió con la adición de la curva de la derivada (Bourdet y otros1, 1983). El incremento de la sensibilidad de la curva de la derivada4 en yacimientos fracturados naturalmente, resulta en una mayor exactitud de la curva tipo de ajuste.

383

Desafortunadamente, el ajuste con curvas tipo es un método por ensayo y error, lo cual proporciona frecuentemente respuestas no únicas; por lo tanto, la Tiab’s Direct Síntesis Technique se propone en esta sección. Este método combina los puntos característicos y las pendientes de un gráfico log-log de datos de presión y derivada de presión con las soluciones analíticas exactas para obtener propiedades del yacimiento. Esta ha sido aplicada exitosamente por Tiab para modelos de fractura vertical con conductividad infinita y flujo uniforme, para yacimientos homogéneos con daño y almacenamiento, y para pozos fracturados verticalmente en sistemas cerrados como se verá en el capítulo 83. Esta sección presenta la ampliación de este nuevo método para yacimientos fracturados naturalmente con flujo interporoso en estado pseudoestable. Para casos de yacimientos de triple porosidad, cuya investigación es escasa, el lector es remitido a la Ref. 5. De igual, la extensión de la técnica de Tiab para determinar presión promedia en yacimientos de doble porosidad se da en la Ref. 8. 7.8.1. Aspecto Teórico Una formación real fracturada naturalmente está compuesta de un sistema heterogéneo de cavernas, fracturas, y matriz, las cuales son aleatorias en su naturaleza. Para modelar este sistema se asume que el yacimiento consta de elementos de bloque de matriz discretos separados por un sistema ortogonal de fracturas uniformes y continuas. Estas fracturas están orientadas paralelas a los ejes principales de permeabilidad. Se asumen dos geometrías comúnmente, por ejemplo, capas y cubos de azúcar. El flujo entre la matriz y las fracturas está gobernado por condición de estado pseudoestable, pero solo las fracturas llegan a la cara del pozo a una rata constante. Se asume que el fluido es de una sola fase y ligeramente compresible. La solución de la presión de la cara del pozo en un yacimiento de acción infinita, con las suposiciones anteriores está dada por15:

s+ -t-Ei-

)-(t-Ei++t = p DD

DD ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

λωω

λ11

80908.0ln21 (7.67)

La función derivada de la Ec. 7.67 puede ser obtenida fácilmente así:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

)1(exp

1exp1

21'*

ωωλ

ωλ

-t+

-t-= Pt DD

DD (7.68)

Las variables adimensionales son definidas por:

141.22

Do

h Pk = P q Bµ∆ (7.69)

221

2

)(0002637.0

wD rc

tk = tµφ +

(7.70)

384

22

1 21 2

cc cφω

φ φ=

+ (7.71)

kkr =

2

2w

1αλ (7.72)

donde α refleja la geometría de los elementos de la matriz. Note, que los subíndices numerados se refieren a la propiedad dada cuando fueron distribuidas, por ejemplo, en relación al volumen bruto o al volumen elemental representativo. Por lo tanto, φ1 y φ2 son las porosidades de matriz bruta y de fractura, respectivamente, o en otras palabras la relación de los volúmenes porosos de la matriz y la fractura en el volumen total bruto. 7.8.2. Puntos y Líneas Característicos La Fig. 7.22 ilustra las características únicas de un gráfico de presión adimensional y derivada de presión versus tiempo para un yacimiento fracturado naturalmente. Referente a esta figura, el siguiente análisis se puede efectuar: Los periodos de flujo radial de acción infinita están representados por una línea recta horizontal de derivada de presión. El primer segmento corresponde al depletamiento de la fractura y el segundo a la respuesta del yacimiento homogéneo equivalente. Una expresión para la derivada durante este tiempo está dada por3:

21'* =P t DD (7.73)

Sustituyendo por las variables adimensionales y reordenando resultados en una técnica simple y rápida para determinar la permeabilidad de la red de fracturas,

270.6

( * )o

r

q B kh t P

µ=

∆ (7.74)

donde (t*∆P’)r es la derivada de la presión a algún tiempo conveniente, tr. Note en la Fig. 7.22 que en la parte recta de la curva de derivada se indica el periodo de transición para yacimientos fracturados naturalmente. La parte más baja de esta parte recta es dependiente del coeficiente de almacenamiento adimensional, pero independiente del flujo interporoso. Una expresión analítica para las coordenadas mínimas puede ser obtenida tomando la segunda derivada de la Ec. 7.67 e igualando el resultado a cero. Subsecuentemente, las coordenadas mínimas adimensionales están dadas por:

ωλω 1ln)( min = tD (7.75)

385

0.01

0.1

1

10

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

P D

and

t*P

D'

t D

tD,e1 tD,b2

tDmin

(t*PD')min @ tDmin

(t*PD') r2(tD)usi

(PD) r2

(t*PD') r1

(PD) r1

Fig. 7.22. Puntos y líneas características de un yacimiento fracturado naturalmente con flujo interporoso en estado pseudoestable ω=0.01, λ=1x10-6

y;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= −− ω

ωω ωω 11

1

min 121)'*( DD Pt (7.76)

El uso de la segunda derivada fue propuesto originalmente por Uldrich y Ershaghi13 para determinar el parámetro de flujo interporoso. Sin embargo, para convertir esta expresión universal en unidades reales, fue desarrollada una forma normalizada dividiendo el punto mínimo de la derivada por el valor la línea de la derivada del flujo radial de acción infinita. La expresión analítica resultante es escrita así3:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∆∆ −− ω

ωω ωω 11

1min 1

'*'* =

)P(t)P(t

r

(7.77)

Existe una relación de ajuste entre la relación de la derivada de la presión y ω. Por conveniencia, una correlación empírica fue desarrollada,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∆∆

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∆∆

rr PtPt+

PtPt =

)'*()'*(0.54653

)'*()'*(0.15866 min

2

minω (7.78)

y es válida desde 0 ≤ ω ≤ 0.10 con un error menor que 1.5 %. Un método alternativo para determinar ω surge de los tiempos característicos definidos de curva de derivada de

386

presión. Mostrados en la Fig. 7.22 esos tiempos incluyen el final de la primera línea recta horizontal, tDe1, el inicio de la segunda línea recta horizontal, tDb2, y el tiempo correspondiente a la mínima derivada, tDmin. La siguiente relación, independiente del parámetro de flujo interporoso, puede ser desarrollada de las relaciones de los tiempos.

1 2 min50(1- ) 5(1- ) ln(1/ )

e bt t t ω ω ω ω ω

= = (7.79)

El coeficiente de almacenamiento adimensional se puede determinar directamente de la relación del final de la primera línea recta y el inicio de la segunda línea recta. Sin embargo, las relaciones de los tiempos con la coordenada del tiempo mínimo son ligeramente más complejas; por lo tanto, se desarrollaron unas correlaciones empíricas para facilitar la solución de ω. La correlación para la relación del tiempo mínimo con el tiempo para el final de la primera línea recta, con un error menor que el 5%, es3:

min

1

1exp - - 0.43830.9232 50 e

t t

ω⎡ ⎤⎛ ⎞

= ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

(7.80)

La correlación para la relación del tiempo mínimo con el tiempo de inicio de la segunda línea recta, válido para ω ≤ 0.1 con un error menor que el 2 % está dada por:

2min min

2 2

5 5 0.19211 0.80678b b

t t t t

ω ⎧ ⎫ ⎧ ⎫= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (7.81)

Para un coeficiente de almacenamiento adimensional dado la mínima coordenada de presión adimensional es independiente del parámetro de flujo interporoso, mientras que la mínima coordenada de tiempo adimensional está en función de λ. Subsecuentemente, un gráfico de log (tD*P’D)min vs. log (λtD)min resulta en una línea recta con pendiente unitaria. La correspondiente ecuación empírica es:

)63.0ln()ln()'*ln( minmin + t = Pt DDD ⋅λ (7.82)

Expresando la Ec. 7.82 en unidades reales y reordenando, proporciona un método para determinar λ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

tPt

BqrhS4 =

o

2wT '*2.5

min

λ (7.83)

Un método alternativo para determinar λ puede llevarse a cabo observando una línea recta con característica de pendiente unitaria durante el último periodo de transición. El menor coeficiente de almacenamiento adimensional (punto más bajo de la recta) ajusta

387

los datos más exactamente a línea de pendiente unitaria. Un ω menor que 0.05 da como resultado un estimativo más exacto de λ. Para ω > 0.05, λ será sobrestimado. La ecuación analítica para este comportamiento del último tiempo de transición es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

2ln'*ln( Dus

usDDt = )Pt

λ (7.84)

La intersección de la línea de pendiente unitaria del periodo de transición con la línea de la derivada de presión del flujo radial con acción infinita (mostrada en la Fig. 7.22), desarrolla una expresión muy simple para determinar λ,

Dusit = 1λ (7.85)

o en unidades reales,

usi2

2wT

tkrS = 1

0.0002637⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ µλ (7.86)

En general, el parámetro de flujo interporoso se puede estimar de cualquiera de los valores de tiempo característicos mediante las siguientes relaciones3,

1 min 2

(1- ) ln(1/ ) 1 5(1- )50 e busi

tt t t

ω ω ω ω ωλβ β β β

= = = = (7.87)

donde β representa el inverso del grupo de constantes en el paréntesis de la Ec. 7.86. Para el punto de intersección de la pendiente unitaria solo se requiere un estimado de la permeabilidad de la red de fracturas, mientras para los tiempos característicos restantes el coeficiente de almacenamiento adimensional debería también ser conocido. Afortunadamente, para determinar λ de la Ec. 7.83 solo requiere de la identificación de las coordenadas mínimas y esto proporciona una ventaja sobre otros métodos. El factor de daño se puede determinar de los valores de presión y derivada de presión a un tiempo conveniente durante cualquiera de los dos segmentos de línea de flujo radial con acción infinita. De las ecuaciones analíticas de tiempo cercano, en unidades reales, el factor de daño está dado por3:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆ 43.71ln

'*21 1 +

rStk -

PtP = S 2

wT

r2

r1m ωµ

(7.88)

388

donde el subíndice r1 denota la línea recta radial de tiempo temprano. Similarmente, durante el periodo de tiempo lejano se puede desarrollar una expresión para el factor de daño;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆ 7.43ln

'*21 2 +

rStk -

PtP = S 2

wT

r2

r2m µ

(7.89)

7.8.3. Respuesta de la Presión con Efectos de Almacenamiento Como una consecuencia directa del almacenamiento, se tiende a ocultar el periodo de flujo radial de tiempo temprano. Por lo tanto, la línea de flujo radial en tiempo lejano de acción infinita es esencial para estimar el factor de daño y la permeabilidad de la red de fracturas como se discutió anteriormente. Existen varios métodos directos para determinar la constante de almacenamiento a partir de las curvas de presión y derivada de presión. Las líneas de presión y derivada de presión con pendiente unitaria a tiempos cercanos son un indicativo del almacenamiento puro. En unidades reales, la curva de presión puede ser usada para resolver la constante de almacenamiento3,

PtBq

= C∆

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛24

(7.90)

Similarmente, de la línea de derivada de presión con pendiente unitaria,

'*24 PttBq

= C∆

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ (7.91)

Una alternativa es usar también la intersección de la línea de presión de pendiente unitaria en el tiempo cercano con la línea de flujo radial de acción infinita. De este punto de intersección se puede estimar C.

2

1695ihk tC µ

= (7.92)

La influencia del almacenamiento en las coordenadas mínimas es de mayor importancia en el análisis. Como muestra la Fig. 7.23, el dilema es sí el punto mínimo observado es el mínimo real o un “pseudo-mínimo” como resultado directo del almacenamiento. Investigaciones detalladas han mostrado que el punto mínimo no es afectado por el almacenamiento para todos los ω y λ, proporcionados,

389

10)(

)( min, t

txD

oD ≥ (7.93)

Por consiguiente, los procedimientos descritos anteriormente son válidos. Cuando la relación del tiempo mínimo con el tiempo en el pico es menor que el límite definido por la Ec 7.93 ocurre un “pseudo-mínimo” en la curva de la derivada de presión. Una correlación empírica generada durante esta región proporciona un método para calcular el parámetro de flujo interporoso3,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

tt

C =

o,

x

D min

10

min 5.5651)]/1log([ λλ (7.94)

donde,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1.924)]1log([ min

1.0845λλλ / = (7.95)

Un método alternativo para determinar λ está basado en la relación de la coordenada de la derivada de presión mínima con la coordenada de la derivada de presión en el pico. Esta correlación es válida únicamente para CDλ > 0.001.

xD PtPt

C =

)'*()'*(

101 min

∆∆λ (7.96)

Tiab y otros19 determinaron que el mínimo no es afectado por WBS para cualquier valor ω, siempre y cuando:

λ CD

10-4 CD > 10

10-5 CD > 102

10-6 CD > 103

10-7 CD > 104

10-8 CD > 105 y propusieron una ecuación para corregir el mínimo,

390

( ) ( ) ( ) [ ]

( )

1 2minmin

2 2

* ' * ' 1 2( * ') * '

1 ln 2 0.8801

O rr

t wf m

t P t P D Dt P t P

CD sc hrφ

+

∆ − ∆ +∆ = ∆ +

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+ + −

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(7.97.a)

donde,

( ) ( )min

1 2ln 2 4.17* '

O

t wr f m

qBtD st P c hrφ

+

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= + −

⎜ ⎟∆⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (7.97.b)

2min

( * ')48.02 r

O

t PCDqB t

⎛ ⎞∆= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.97.c)

Siendo tminO y (t*∆P’)minO el valor de las coordenadas del punto mínimo en la derivada sin efectuar ninguna corrección (observados) cuando existe efecto de WBS. Una vez corregido, se puede aplicar la siguiente expresión:

min1( )0.7912

( )

min

( )2.9114 4.5104 6.5452( )

R

t Pt PRt P e

t Pω

−′×∆′×∆

⎛ ⎞′× ∆= + −⎜ ⎟⎜ ⎟′× ∆⎝ ⎠

(7.98)

Tiab y otros19 tambien hallaron una nueva solución para ω:

minDte λωω −= (7.99) donde,

min min2

0.0002637( )D

t f m w

kt tc rφ µ+

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.100.a)

Para valores de ω menores a 0.5 la solución de Ec. 7.99 es:

13.5688 6.54522.9114ln( )S SN N

ω−

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.100.b)

donde,

minDtSN e λ−= (7.100.c)

391

0.01

0.1

1

10

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

t D*P

D'

t D

CD=0

CD=500

λ=10-6λ=10-5

Real minimum

Pseudo-minimum

Fig. 7.23. Efecto del almacenamiento en la derivada de presión mínima, ω=0.05, s=03

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

0.02

0.010.0050.00050.0

0.03

0.04

0.05

0.06

0.08

]8686.0)/1[log(** sCD +λλ

(t*∆

P') m

in/(t

*∆P

') r

ω

Fig. 7.24. Determinación del coeficiente de almacenamiento de la relación de derivada de presión de mínima a radial3

Si es observado un “pseudo-mínimo” se recomienda el siguiente método para determinar ω. Primero, el parámetro de flujo interporoso, el factor de daño, y la constante de almacenamiento deben ser conocidas con anterioridad a partir de los grupos adimensionales mostrados en la Fig. 7.24. Este grupo acoplado con la relación de la derivada de presión de flujo radial de acción mínima a infinita, proporciona una manera de determinar el coeficiente de almacenamiento.

392

7.8.4. Procedimiento Paso a Paso3 Caso 1 – Coordenadas mínimas no influenciadas por almacenamiento: Paso 1 – Construir un gráfico log-log de ∆P y t*∆P’ vs. t e identificar las distintas líneas y puntos característicos. Paso 2 – Identificar cualquiera de las líneas horizontales de flujo radial de acción infinita a tiempos cercanos o lejanos. Calcular la permeabilidad del sistema fracturado de la Ec. 7.74. Paso 3 – Dibujar las líneas de presión y derivada de presión de pendiente unitaria al tiempo cercano indicativas de almacenamiento puro. Seleccionar un punto conveniente sobre esas líneas y resolver la constante de almacenamiento de las Ecs. 7.90 o 7.91. Identificar el punto de intersección entre la línea de pendiente unitaria y la línea de flujo radial de acción infinita. Usar este punto con la Ec. 7.92 para solucionar o verificar la permeabilidad del sistema fracturado o la constante de almacenamiento. Paso 4 – Seleccionar un ∆P y t*∆P’ a un tiempo conveniente durante el periodo de flujo radial de acción infinita a tiempo lejano. Sustituir esos valores en la Ec. 7.89 y determinar el factor de daño. Paso 5 – Identificar las coordenadas de tiempo mínimo y pico en la curva de derivada de presión. Si la relación de esas coordenadas es mayor que diez indica que las coordenadas mínimas no están influenciadas por almacenamiento. Paso 6 – Identificar la coordenada de la derivada de presión mínima y normalizar esos valores con respecto a la derivada de presión de flujo radial de acción infinita. Usar la Ec. 7.78 para calcular el coeficiente de almacenamiento adimensional, ω. Paso 7 – Las Ecs. 7.79 – 7.81 pueden ser usadas para verificar el ω determinado en el paso 6. Paso 8 – Con base en las coordenadas mínimas determinar λ de la Ec. 7.83. Si una pendiente unitaria es desarrollada durante el periodo último de transición, entonces la Ec. 7.89 puede ser usada para verificar el parámetro de flujo interporoso calculado. Similarmente, la relación de los tiempos característicos (Ec. 7.86) puede usarse para verificar de nuevo los resultados. EJEMPLO Los datos de presión medidos en una prueba de restauración de presión están dados en la tabla 7.4. Una rata de producción variable precedió a esta prueba de restauración de presión; por lo tanto fue usada una función de superposición para modelar la historia del flujo. Otros datos conocidos del pozo y del yacimiento son: q = 880 B φ = 8 % µ = 1.3 cp ct = 5x10-6 /psi B = 1.3 bbl/STB h = 29 ft rw = 0.29 ft Pwf (∆t=0) = 7248 psi Calcular la permeabilidad del sistema fracturado, factor de daño, constante de almacenamiento, parámetro de flujo interporoso, y coeficiente de almacenamiento.

393

Tabla 7.4. Datos de presión del pozo3

t, hr Pwf, psi t, hr Pwf, psi t, hr Pwf, psi t, hr Pwf, psi t, hr Pwf, psi0.000743 7276.14 0.046372 7644.18 1.574 7721.88 6.737 7756.78 23.346 7797.380.001768 7322.16 0.047398 7646.49 1.661 7722.81 7.174 7756.65 23.532 7797.440.003819 7362.11 0.048423 7648.81 1.749 7723.72 8.049 7760.20 23.878 7797.880.005357 7398.18 0.050474 7650.88 1.837 7725.85 8.924 7763.47 24.225 7798.420.006382 7427.28 0.052012 7652.65 1.924 7726.63 9.799 7766.63 24.571 7798.810.008433 7452.14 0.069444 7668.94 2.012 7726.52 10.675 7769.58 24.916 7799.300.009458 7473.70 0.086875 7677.52 2.100 7726.98 11.549 7772.39 25.262 7799.720.010484 7490.58 0.1038 7682.51 2.187 7727.75 12.424 7774.80 25.608 7800.200.012535 7506.00 0.1212 7686.63 2.275 7728.50 13.300 7777.25 25.794 7800.500.014073 7519.93 0.1397 7689.76 2.362 7729.23 14.174 7779.55 25.954 7800.660.015098 7531.70 0.1571 7692.36 2.449 7729.91 15.049 7781.56 26.299 7801.120.017149 7542.65 0.1746 7694.48 2.537 7730.57 15.924 7783.74 26.646 7801.530.018117 7552.64 0.1920 7696.61 2.624 7731.23 16.800 7785.69 27.146 7802.160.019200 7561.42 0.2094 7698.10 2.712 7731.89 17.674 7787.48 27.510 7802.680.021250 7569.66 0.2268 7699.36 2.800 7732.53 17.693 7787.97 28.011 7803.160.022788 7577.22 0.2443 7700.83 2.887 7733.14 17.995 7788.14 28.375 7813.620.023814 7584.04 0.2617 7701.69 2.974 7733.74 18.342 7790.81 29.240 7804.560.025865 7590.39 0.3494 7705.50 3.062 7734.35 18.688 7789.44 30.105 7805.140.026890 7595.96 0.4371 7708.77 3.149 7734.98 19.034 7790.19 30.776 7805.920.027915 7601.53 0.5242 7710.94 3.324 7735.58 19.381 7790.86 31.641 7806.700.029966 7606.87 0.6119 7712.77 3.412 7736.17 19.727 7791.44 32.507 7807.490.031504 7611.32 0.6996 7715.72 3.499 7736.74 20.072 7792.07 33.371 7808.220.032530 7615.77 0.7867 7716.17 3.587 7737.28 20.418 7792.62 34.236 7808.360.034580 7620.09 0.8744 7716.67 3.674 7738.40 20.765 7793.20 35.101 7809.610.035606 7623.67 0.9615 7717.61 3.761 7739.48 21.111 7793.81 35.966 7810.290.036631 7627.26 1.049 7718.22 4.112 7741.07 21.357 7794.20 36.831 7810.890.038682 7630.78 1.137 7718.78 4.549 7743.59 21.630 7794.58 37.800 7811.570.039707 7633.71 1.224 7719.27 4.987 7745.97 21.976 7795.11 40.424 7813.280.041245 7636.64 1.312 7719.74 5.424 7748.33 22.322 7795.53 0.043296 7639.55 1.399 7720.18 5.861 7750.50 22.668 7796.10 0.044322 7641.86 1.487 7720.88 6.300 7752.71 23.014 7796.64

SOLUCION Paso 1 – Un gráfico log-log de ∆P y t*∆P’ vs. Tiempo es mostrado en la Fig. 7.25. Note que una línea horizontal puede ser dibujada a través de los puntos de la derivada a tiempos lejanos representando el periodo de flujo radial de acción infinita. Paso 2 – De la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos: (t*∆P’)r = 37 psi, entonces usando la Ec. 7.74:

394

270.6 70 6(880)(1.3)(1.3) 141.89 md( * ) (20)(37)r

q B .k = = h t P

µ=

∆

Paso 3 – Dibujar la línea de pendiente unitaria a tiempos cercanos que indica el almacenamiento. El punto conveniente es: t = 0.0018 hr ∆P = 74.2 psi t*∆P’ = 52.423 psi Usando las Ecs. 7.90 y 7.91, respectivamente,

880(1.3) 0.0018 0.0011 bbl/psi24 24 74.2qB tC =

P⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠

880(1.3) 0.0018 0.0016 bbl/psi

24 * ' 24 52.423qB tC =

t P⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Del punto de intersección entre la línea de pendiente unitaria y la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos,

psibblthk = C i /0016.0)3.1(1695

)0013.0)(20)(89.1411695

2 ==µ

Paso 4 - Seleccionar ∆P y t*∆P’ durante el periodo de flujo de acción infinita a tiempos lejanos, t = 35.101 hr ∆P = 561.61 psi t*∆P’ = 37 psi Usando la Ec. 7.89:

2 22

2

1 - ln 7.432 * '

rm

wTr

tP k = St P S rµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆⎛ ⎞ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

6 22

1 561.61 141.89(35.101)- ln 7.43 1.422 37 5 10 (0.08)(1.3)(0.29 )m

r

S = + −

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Paso 5 – Identificar el tiempo mínimo y pico, tx = 0.0095 hr tmin,o = 1.049 hr tmin,o/tx = 110 Esta coordenada mínima representa únicamente la respuesta del yacimiento:

395

1

10

100

1000

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

∆ P y

t* ∆

P',

(psi

)

t, hrs

∆P

t*∆P'

t b2=30 hr

tusi=5.5 hrs

(t*∆P') r=37 psi

(t*∆P') min=8.865 psit min = 1.049 hr

t x=0.0095 hr

(t*∆P') x=128 psi

t i=0.013 hr

Fig. 7.25. Presión y derivada de presión para los datos de la tabla 7.43

Paso 6 - Calcular ω con base en (t*∆P’)min, (t*∆P’)min = 8.865 psi De la Ec. 7.78,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∆∆

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∆∆

rr PtPt+

PtPt =

)'*()'*(0.54653

)'*()'*(0.15866 min

2

minω

28.865 8.8650.15866 0.54653 0.03737 37

ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Paso 7 – El tiempo al final del periodo de flujo radial cercano no es observado, y el tiempo para el inicio del periodo de flujo radial a tiempos lejanos no está bien definido. Estimar tb2 = 30 hr, usando la Ec. 7.81:

2 2min min5 5 5(1.049) 5(1.049)0.19211 0.80678 0.19211 + 0.80678 0.106

20 20b2 b2

t t = + = t t

ω ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Paso 8 - Determinación de λ. De la coordenada mínima, usando la Ec. 7.83,

396

6 27

min min

42.5 * ' 42.5(29)(0.08)(5 10 )(0.29 ) 8.865 3.25 10880(1.3) 1.049

2wTh t PS r = =

qB tλ

−−∆ ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Del punto de intersección del periodo de transición, tusi = 5.5 hr, usando la Ec. 7.86,

6 271 5 10 (0.08)(1.3)(0.29 ) 1 2.12 10

0 0002637 0.0002637(141.89) 5 5

2wT

2 US,i

S r = = . .k t

µλ−

−⎛ ⎞×⎛ ⎞= ×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

λ promedio = 2.7x10-7

Caso 2 – Coordenada mínima influenciada por almacenamiento: Paso 1 – Los pasos 1 - 4 del Caso 1 son independientes de las coordenadas mínimas y por lo tanto se pueden aplicar en el caso 2. Paso 2 – Identificar las coordenadas de tiempo mínimo y pico en la curva de la derivada de presión. Una relación de esos tiempos menor que diez corresponde a los efectos del almacenamiento en las coordenadas mínimas. Paso 3 – Usando la relación de tiempo del paso 2 y el CD calculado anteriormente, el parámetro de flujo interporoso se puede determinar de las Ecs. 7.94 y 7.95. Paso 4 – Igualmente, las coordenadas de la derivada de presión en el mínimo y en el pico se pueden usar en conjunto con CD para determinar el parámetro de flujo interporoso mediante la Ec. 7.96. Paso 5 – El coeficiente de almacenamiento adimensional, ω, es determinado gráficamente de la Fig. 7.24, donde Sm, CD, y λ son calculados anteriormente y los puntos de la derivada de presión de flujo radial de acción infinita y mínima son observados. EJEMPLO La tabla 7.5 presenta los datos de una prueba de declinación de presión. Otros datos conocidos del pozo y del yacimiento son: q = 3000 stbd φ = 0.10 µ = 1.0 cp ct = 3.0 x 10-5 psi-1 B = 1.25 bbl/stb h = 100 ft. rw = 0.40 ft Pwf (t=0) = 4473 psi Calcular la permeabilidad del sistema fracturado, factor de daño, constante de almacenamiento, parámetro de flujo interporoso, y coeficiente de almacenamiento. SOLUCION Paso 1 - Un gráfico log-log de ∆P y t*∆P’ vs. tiempo es presentado en la Fig. 7.26 con los puntos y líneas característicos marcados.

397

Tabla 7.5. Datos de declinación de presión

t, hrs Pwf, psi

t*∆P', psi

T, hrs Pwf, psi

t*∆P', psi

t, hrs Pwf, psi

t*∆P', psi

t, hrs Pwf, psi

t*∆P', psi

0.0933 4373.4 84.473 0.6766 4103.5 111.676 3.427 3971.3 90.502 14.43 3804.1 136.8570.1766 4299.1 133.483 0.7600 4086.4 99.694 4.427 3948.3 87.168 20.43 3758.7 138.8100.2600 4246.1 146.776 0.9266 4075.4 95.720 5.427 3931.6 95.595 26.43 3720.3 135.2100.3433 4203.6 151.595 1.0930 4060.3 87.234 6.427 3917.1 108.303 32.43 3695.1 134.7900.4266 4173.8 157.618 1.26 4043.1 84.384 7.427 3898.4 122.336 38.43 3674.6 134.1160.5100 4139.7 150.295 1.427 4032.2 76.719 9.427 3865.3 142.426 44.43 3652.4 156.2780.5933 4118.5 141.355 2.427 4002.8 75.401 12.43 3824.2 137.651 50.43 3636.9 183.611

53.43 3625.2 196.734

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100

∆P

y t

*∆P

', ps

i

t, hrs

∆P

t*∆P'

t b2=14.4 hr

(t*∆P') r=138.5 psi

(t*∆P') min=72.1 psit min = 2.427 hr

t x=0.43 hr

(t*∆P') x=151.9 psit i=0.14 hr

Fig. 7.26. Presión y derivada de presión para los datos de la tabla 7.53

Paso 2 – El periodo de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos es fácilmente identificado. (t*∆P’)r = 138.5 hrs, entonces, usando la Ec. 7.74 se obtiene,

70.6 70.6(3000)(1.0)(1.25) 19.1 md( ') 100(138.5)2

r

q B = = kh t P

µ=

⋅ ∆

Paso 3 – De la línea de pendiente unitaria cercana un punto conveniente es leído. ∆P = 99.6 psi

398

t*∆P’=116.4 psi t = 0.093 hr De las Ecs. 7.90 y 7.91, respectivamente,

3000(1.25) 0.093 0.146 bbl/psi24 24 99.6qB tC =

P⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3000(1.25) 0.093 0.125 bbl/psi

24 * ' 24 116.4qB tC =

t P⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠

El punto de intersección de línea de pendiente unitaria con la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos es ti = 0.14 hr. El coeficiente de almacenamiento es ahora calculado usando la Ec. 7.92,

psibblthk = C i2 /158.0)1(1695

)14.0)(100(1.191695

==µ

Paso 4 – Seleccionar un punto conveniente para ∆P y t*∆P’ durante el periodo de flujo de acción infinita a tiempos lejanos, t = 50.43 hrs ∆P = 836.1 psi t*∆P’=138.5 Usando la Ec. 7.89,

2 26 22

2 2

1 1 836.1 19.1(50.43)- ln 7.43 - ln 7.43 3.92 '* 2 138.5 3 10 (0.1)(1)(0.4 )

rm

wr rT

tP k SP t S rµ −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Paso 5 – Las coordenadas de tiempo mínimo y pico son: tx = 0.43 tmin,o = 2.427 tmin,o/tx = 5 < 10 La relación del tiempo mínimo con el tiempo en el pico sugiere que las coordenadas mínimas si están influenciadas por almacenamiento. Paso 6 - Determinación de λ. El valor promedio de C es 0.143 bbl/psi, entonces, aplicando la Ec. 2.8,

2 6 2

0.8935 0.8935(0.143) 266180.1(100)(3 10 )(0.4 )D

t w

CChc rφ −= = =

×

De las Ecs. 7.94 y 7.95,

399

Tabla 7.6. Datos de presión y derivada de presión para el problema propuesto

t, hr ∆P, psi

t*∆P', psi

t, hr ∆P, psi

t*∆P', psi

t, hr ∆P, psi

t*∆P', psi

0.0003 12.480 9.592 0.0861 65.410 3.528 19.7406 74.490 3.644 0.0007 22.130 14.781 0.1165 66.420 3.114 31.0492 76.290 4.220 0.0011 29.400 16.245 0.1575 67.300 2.667 48.8359 78.310 4.574 0.0015 34.440 16.716 0.213 68.030 2.166 76.8119 80.430 4.702 0.002 39.280 15.666 0.2881 68.600 1.668 103.8854 81.850 4.751 0.0027 43.610 13.666 0.3897 69.030 1.216 140.5014 83.290 4.862 0.0031 45.520 12.259 0.527 69.330 0.839 163.3969 84.030 4.957 0.0036 47.260 11.070 0.7128 69.530 0.597 220.9885 85.550 5.327 0.0049 50.220 8.944 0.9641 69.670 0.480 298.8793 87.210 6.064 0.0057 51.490 8.140 1.1212 69.740 0.480 404.2238 89.160 7.415 0.0077 53.690 6.897 1.5163 69.880 0.553 470.0942 90.310 8.368 0.0104 55.590 6.005 2.0508 70.060 0.702 546.6985 91.620 9.551 0.0141 57.300 5.468 2.7736 70.300 0.925 635.7859 93.120 10.9950.019 58.890 5.096 3.7512 70.620 1.198 739.3906 94.850 12.7180.0257 60.370 4.772 5.0733 71.020 1.537 859.8783 96.860 14.7540.0348 61.760 4.461 6.8615 71.540 1.938 1000 99.200 17.1470.0471 63.070 4.189 9.28 72.190 2.401 0.0637 64.290 3.870 12.5508 72.990 2.910

10 10

7min

min

1 1 0.43[ log(1/ )] 5.565 5.565 0.000032, 5.2 1026618 2.427

x

D ,o

t = C t

λ λ λ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

De la Ec. 7.96,

6min( * ')1 1 72.087 1.78 1010 ( * ') 10(26618) 151.94D x

t Pt PC

λ −∆= = = ×

∆

Paso 7 - Determinación de ω.

52.05.138

078.72)'*(

)'*( min ==∆

∆

rPtPt

065.0)9.3(8686.0)000018.0

1log()108.1(26618686.0)1log( 5 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ + −xsCD λ

λ

400

66

1 1log 0.8686 26618(1.78 10 ) log 0.8686( 3.9) 0.1121.78 10DC sλ

λ−

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = × + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ De la Fig. 7.24, extrapolando, ω = 0.025. PROBLEMA PROPUESTO Usando el método convencional y TDST determine los parámetros del yacimiento naturalmente fracturado cuya prueba de presión se da en la tabla 7.7. Información adicional: rw = 0.3 ft h = 100 ft φ = 15 % µ = 2 cp B = 1.33 bbl/STB ct = 1.4x10-5 /psi q = 500 BPD Pi = 5200 psi

5090

5100

5110

5120

5130

5140

5150

5160

5170

5180

5190

5200

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

t, hrs

Pwf,

psi

Fig. 7.27. Grafico semilog para problema propuesto

401

0.1

1

10

100

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000


REFERENCIAS

1. Bourdet, D., Ayoub, J.A., Whittle, T.M., Pirard, Y.M. and Kniazeff, V.

“Interpreting Well Tests in Fractured Reservoirs”. World Oil: P. 77-87. 1983. 2. Earlougher, R.C., Jr., “Advances in Well Test Analysis”, Monograph Series Vol.

5, SPE, Dallas, TX, 1977. 3. Engler, T. and Tiab, D. “Analysis of Pressure and Pressure Derivative without

Type Curve Matching, 4. Naturally Fractured Reservoirs”. Journal of Petroleum Science and Engineering 15 (1996) p. 127-138.


5. Escobar, F.H., Saavedra, N.F., Escorcia, G.D., and Polanía, J.H., “Pressure and Pressure Derivative Analysis Without Type-Curve Matching for Triple Porosity Reservoirs”. Paper SPE 88556, Proceedings, accepted for presentation at the SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition (APOGCE), to be held to be held 18-20 October 2004, in Perth, Australia.

6. Kazemi, H. “Pressure Transient Analysis of Naturally Fracture Reservoir with Uniform Fracture Distribution”, SPEJ (Dec. 1969): 451-462.

7. Mavor, M.J. and Cinco-Ley, H. “Transient Pressure Behavior of Naturally Fractured Reservoirs”. SPE paper 7977, California Regional Meeting, Ventura, CA., Apr. 18-20. 1979.

402

8. Molina, M.D. “Determinación de la Presión Promedia en Yacimientos Naturalmente Fracturados, Utilizando la Técnica de Síntesis Directa de Tiab”. Tesis de Maestría en Ingeniería de Hidrocarburos. Universidad Industrial de Santander. 2004.

9. Odeh, A. S. “Unsteady-State Behavior of Naturally Fractured Reservoirs”. SPEJ (March 1965) p. 64-65; Trans. AIME, 234.

10. Okoye, C.U., Songmuang, A. and Ghalambor, A. “Application of P’D in Well Testing of Naturally Fractured Reservoirs”. Paper SPE 21828 presented at the Rocky Mountain and Low-Permeability Symposium held in Denver, CO, April 15-17, 1991.

11. Strobel, C.J., Gulati, M.S., Ramey, H.J. Jr. “Reservoir Limit Tests in a Naturally Fracture Reservoir - A Field Case Study Using Type Curves”. JPT Sept. 1976. P. 1097-1106

12. Tiab, D., y Escobar, F. H. “Determinación del Parámetro de Flujo Interporoso de un Gráfico Semilogarítmico”. X Congreso Colombiano del Petróleo. Oct. 24-17, 2003.

13. Uldrich, D.O. and Ershaghi, I. “A Method for Estimating the Interporosity Flow Parameter in Naturally Fractured Reservoirs”. Paper SPE 7142 presented at the 48th SPE-AIME Annual California Regional Meeting held in San Francisco, CA, Apr. 12-14, 1978.

14. Warren, J.E. and Root, P.J. The Behavior of Naturally Fractured Reservoirs. Soc. Pet. Eng. J. (Sept. 1963): 245-255.

15. Wong, D.W., Harrington, A.G., and Cinco-Ley, H., 1986. “Application of the Pressure-Derivative Function in the Pressure-Transient Testing of Fractured Wells,” SPEFE, Oct.: 470-480, 1986.

16. Molina, M.D. and Escobar, F.H. “Determination of Average Reservoir Pressure for Vertical Wells in Naturally Fractured Reservoirs from Pressure and Pressure Derivative Plots without Type-Curve Matching”. XI Congreso Colombiano del Petróleo. Oct. 18-21, 2005.

17. Molina, M.D., Escobar, F.H., Montealegre-M, M. and Restrepo, D.P. “Application of the TDS Technique for Determining the Average Reservoir Pressure for Vertical Wells in Naturally Fractured Reservoirs”. CT&F – Ciencia, Tecnología y Futuro. Vol. 2, No. 6. ISSN 0122-5383.

18. Nelson, R., 2001. “Geologic Analysis of Naturally Fractured Reservoirs”. 2nd Edition, Gulf Professional Publishing, p. 101.

19. Tiab, D., Igbokoyi, A., and Restrepo, D.P., 2007. “Fracture Porosity From Pressure Transient Data”. Paper IPTC 11164 presented at the International Petroleum Technology Conference held in Dubai, U.A.E., 4–6 December.

403

8. POZOS ARTIFICIALMENTE FRACTURADOS

La orientación de las fracturas hidráulicas es función de la distribución de esfuerzos en la formación1,11. Si el esfuerzo menos importante en la formación es horizontal, entonces se obtendrá una fractura vertical. Por otra parte, si el esfuerzo menos importante es vertical, entonces tendrá lugar una fractura horizontal2,6. Sin embargo, hay una creencia general en que las fracturas verticales se obtienen a profundidades mayores de 3000 ft. 8.1. POZOS CON FRACTURAS HIDRAULICAS VERTICALES La Fig. 8.1 es un plano de un sistema cuadrado cerrado en cuyo centro hay un pozo con una fractura vertical. La longitud de fractura se ha exagerado para propósitos de la explicación. Generalmente, el fluido entra a la fractura a una rata de flujo uniforme por unidad de área de la cara de la fractura para que exista una caída de presión en la fractura. En este caso, la fractura se refiere a una “fractura de flujo uniforme”. Sin embargo, para algunas fracturas que tienen permeabilidad infinita (conductividad) y, por lo tanto, la presión es uniforme en todas partes. Excepto para fracturas con bastante contenido de material de sostén y fracturas conductivas, se piensa que la fractura de flujo uniforme representa mucho mejor la realidad que la fractura de conductividad infinita4,5,8,11,17. 8.1.1. Comportamiento en Pruebas de Declinación

404

xf

xe

PozoFractura vertical

Barrera de no flujo

Fig. 8.1. Representación esquemática de una fractura vertical17

0.01

0.1

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fcor

Penetración de la Fractura, xe/xf

Gráfico Horner para todoslos tiempos de producción

Gráfico MDH

m 0.12

0.05

0.02 0.015 0.01 0.0075 0.005

tpDA=0.0025

Fig. 8.2. Factor de corrección para kh estimado de pruebas de restauración de presión en pozos fracturados verticalmente6

La presión adimensional en el pozo para el caso de una fractura de flujo uniforme es2-

6:

405

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

DxfDxfDxfD t

Eit

erftP4

121

21π (8.1)

y para el caso de una fractura de conductividad infinita es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

DxfDxfDxfDxfDxfD t

Eit

Eit

erft

erftP 75.0433.0018.0067.0866.0134.021 π

(8.2)

donde;

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

f

wDDxf x

rtt (8.3)

Si tDxf < 0.1 en la Ec. 8.1 y tDxf < 0.1 en la Ec. 8.2, estas dos ecuaciones se convierten en:

DxfD tP π= (8.4) indicando que a tiempos tempranos el flujo dentro de la fractura es lineal. En unidades reales, la Ec. 8.4 se puede escribir así6:

tmPP vfiw += (8.5) donde;

2

4.064vf

t f

qBmh k c x

µφ

−= (8.6)

es la pendiente de la gráfica Cartesiana de P vs. t1/2, que se puede usar para calcular:

2

2 4.064f

t

qBkxhm cvf

µφ

⎛ ⎞−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

(8.7)

en la cual, el análisis semilog convencional aplica para tDxf > 10. Las Ecs. 8.1 y 8.2 se convierten, respectivamente en:

( )[ ]80907.2ln21

+= DxfD tP (8.8)

406

( )[ ]2.2ln21

+= DxfD tP (8.9)

Estas dos ecuaciones dan la presión adimensional para flujo pseudorradial, siempre que los efectos de frontera no se encuentren. En un yacimiento cerrado, el periodo de flujo pseudorradial de acción infinita solo se desarrolla completamente si xe/xf > 5. Existe una relación aproximada entre el cambio de presión al final del periodo de flujo lineal, ∆Pel, y en el inicio de la línea recta semilog, ∆Pbsl:

elsbl PP ∆≥∆ 2 (8.10) Si esta relación no se cumple es por que se escogieron incorrectamente el periodo de flujo lineal o el periodo de flujo radial. Nota: • Un gráfico de ∆P vs. tiempo en un papel log-log producirá una línea recta de media pendiente durante el periodo lineal. • El análisis anterior es válido para pruebas de declinación de presión y de inyección. 8.1.2. Comportamiento en Pruebas de Restauración (Falloff) En pozos fracturados verticalmente, las pruebas de restauración de presión o falloff son similares a pozos no fracturados. Sin embargo, la permeabilidad, estimada del gráfico Horner o MDH, debe ser corregida así:

corcFkk = (8.11) donde;

( )( )apparent

truecor kh

khF = (8.12)

mhBqkc

µ6.162= (8.13)

El factor de relación, Fcor, se toma de la Fig. 8.2. El gráfico Horner es fuertemente recomendado para análisis de datos de pozos fracturados verticalmente. Para usar la

407

figura anterior, se necesita conocer xe/xf. xf es simplemente la longitud media del lado del cuadrado. xf es la longitud media de la fractura, la cual se puede estimar de:

cortvff hFc

mqBm

qBxφ

3187.0= (8.14)

Fcor se puede estimar mediante una técnica iterativa así: Paso 1. Estime kxf

2 de la Ec. 8.7. Paso 2. Estime kc de la Ec. 8.13. Paso 3. Calcule k de la Ec. 8.11 usando un valor razonable de xe/xf (empezar en xf = 0.5xe) en la Fig. 8.2. Paso 4. Usar el valor de k del paso 3 para estimar xf en la Ec. 8.7. Paso 5. Este nuevo valor de xf se usa para calcular un nuevo xe/xf a ser utilizado en la figura. Este mejoraría la estimación de k. Paso 6. Este proceso continua hasta que dos valores sucesivos sean iguales. Si ambos periodos de flujo no se desarrollan, es necesario realizar un estimativo independiente de kc a partir de un pozo no fracturado cercano. Una técnica alterna

0.01

0.1

1

10

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100

05.0==z

r

fD k

krhh

0.1

0.20.3

0.4

0.5

0.60.8

1

1.5

0.5

10

3100

hr f

Pozo Fractura k z

k r

2

0002637.0

ftDxf xc

kttµφ

=

PD

Fig. 8.3. Presión adimensional para un pozo simple fracturado horizontal (flujo uniforme) en un sistema infinito, sin almacenamiento. Fractura ubicada en el centro

del intervalo3-5

408

0.01

0.1

1

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100

xf Fin aproximado del periodode media pendiente

Flujo uniforme

Conductividad infinita

P D

t D(rw / xf )2 2

Fig. 8.4. Presión adimensional para un pozo simple fracturado vertical en un sistema

infinito, sin almacenamiento. Fractura ubicada en el centro del intervalo3-5

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100 1000

Area de dreneA=4xe

2xf2xe

2

0002637.0

ftDxf xc

kttµφ

=

PD

xe/xf =

1

10/7 2 10/3

5

10

∞

2

Fig. 8.5. Presión adimensional para un pozo fracturado verticalmente en el centro de un cuadrado cerrado, sin almacenamiento, fractura de conductividad infinita3-5

409

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100 1000

Area de drene

A=4xe

2xf2xe

xe/xf =

1 10/7 2 10/3 5

10

20

∞

2

0002637.0

ftDxf xc

kttµφ

=

PD

2

Fig. 8.6. Presión adimensional para un pozo fracturado verticalmente en el centro de un cuadrado cerrado, sin almacenamiento, fractura de flujo uniforme3-5

para análisis de datos de prueba transiente en pozos fracturados es ajustar curvas tipo usando las Figs. 8.3, 8.4, y 8.5. La permeabilidad se estima de:

M

MD

PP

hBqk

)()(2.141

∆=

µ (8.15.a)

y la longitud media de la fractura es:

( )( )

0.0002637 Mf

Dxf M

tkxc ttφµ

∆= (8.15.b)

Si todos los datos de la prueba caen sobre la línea de media pendiente en el gráfico de log ∆P vs. log ∆t, entonces la permeabilidad no se puede estimar mediante el ajuste de cualquier curva tipo o gráfico semilog. Esta situación ocurre con frecuencia en formaciones de gas apretadas, donde el periodo de flujo lineal puede durar por varios cientos de horas. Sin embargo, el último punto de los datos en la línea de media pendiente (o en la línea recta de ∆P vs. t1/2) se puede usar para estimar un límite superior de k:

PhBqk

∆≤

µα 2.1411 (8.15.c)

410

y una longitud de fractura mínima es:

2

0.0002637f

t

ktxcα φµ

≥ (8.16)

donde: α1 = 0.215 para la fractura de conductividad infinita = 0.76 para la fractura de flujo uniforme α2 = 0.016 para la fractura de conductividad infinita = 0.16 para la fractura de flujo uniforme (∆P) y (t) = corresponden al último punto de datos 8.2. POZOS CON FRACTURAS HORIZONTALES A tiempos de flujo tempranos, existe un periodo de flujo vertical lineal desde la formación hasta la fractura horizontal. Durante esos tiempos, la presión adimensional está dada por6:

πDrf

DD

thP 2= (8.17)

donde;

z

r

fD k

krhh = (8.18)

2

wDrf D

f

rt tr

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (8.19)

A tiempos tempranos y para valores grandes de hD, se tiene una porción de línea recta con pendiente de un medio. A valores bajos de hD, esta línea recta tiene pendiente unitaria, como se muestra en el gráfico log-log de PD vs. tDrf (Fig. 8.3). En unidades reales, la presión fluyendo durante declinación de presión o inyección, en un periodo de flujo lineal es:

tmPP Hfiwf += (8.20) donde;

tzfHF ckr

qBmφµ

22587

−= (8.21)

411

Así, un gráfico de Pwf vs. t1/2 (gráfica Cartesiana) tendría una porción de línea recta a tiempos tempranos con intercepto Pi (en t=0). La permeabilidad vertical kz se puede calcular de la Ec. 8.21 si rf es conocido. Generalmente, rf se calcula del ajuste de la curva tipo de la Fig. 8.3 así:

MDrf

M

t

rf t

tc

kr)(

0002637.02

µφ= (8.22)

La permeabilidad radial kr es calculada del análisis del periodo de flujo pseudorradial:

mhBqkr

µ6.162= (8.23.a)

El valor de kz se puede también calcular del punto de ajuste:

2

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

DMf

rz h

hrkk (8.23.b)

El valor de kr puede ser estimado de:

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∆=

M

MDD

fzr P

hPr

Bqk

k /2.1411 µ (8.23.c)

Como dato, no existen estudios del comportamiento de la restauración de presión (falloff) en pozos fracturados horizontalmente. Nota: El efecto de almacenamiento no se incluye en este análisis de fracturas hidráulicas. EJEMPLO Los datos de presión de restauración obtenidos después de un tratamiento de fracturamiento hidráulico se muestran en la tabla 8.1. Las características del yacimiento son las siguientes: q = 64.3 BPD rw = 0.198 ft h = 51 ft φ = 8 % µ = 0.45 cp B = 1.507 bbl/STB ct = 17.7x10-6 /psi tp = 364 hrs

Tabla 8.1. Datos de presión de restauración

412

∆t, hrs Pws, psi ∆t0.5, hr0.5 ∆P, psi (tp+∆t)/ ∆t t*∆P’, psi P', psi/hr 0.0 1170 0.000 0.5 1329 0.707 159 729.00 59.889 119.778 1.0 1388 1.000 218 365.00 139.603 139.603 1.5 1464 1.225 294 243.67 163.006 108.671 2 1501 1.414 331 183.00 146.786 73.393 3 1570 1.732 400 122.33 209.375 69.792 4 1639 2.000 469 92.00 251.844 62.961 6 1748 2.449 578 61.67 279.544 46.591

10 1899 3.162 729 37.40 303.719 30.372 18 2075 4.243 905 21.22 311.701 17.317 27 2209 5.196 1039 14.48 329.161 12.191 36 2304 6.000 1134 11.11 322.987 8.972 45 2375 6.708 1205 9.09 322.865 7.175 54 2434 7.348 1264 7.74 308.208 5.708 63 2481 7.937 1311 6.78 299.262 4.750 71 2516 8.426 1346 6.13 296.365 4.174

1000

1400

1800

2200

2600

3000

3400

1101001000

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∆

∆+t

tt p

Pws ,

psi

P*=3160 psi

P1hr=1138 psi

m=510 psi/ciclo

Fig. 8.7. Grafico Horner

413

1000

1400

1800

2200

2600

0 2 4 6 8 10

hrst,

P w

s , ps

i m vf= 141.3 psi/h

r0.5

Fig. 8.8. Grafico de Pws vs. t

1. Usando técnicas convencionales semilog y Cartesianas, encontrar: a. Permeabilidad b. Longitud media de fractura. c. Eficiencia de flujo d. Almacenamiento 2. Recalcular (a), (b), y (c) usando curvas tipo apropiadas de PD y PD’.

100

1000

10000

0.1 1 10 100

∆ P, p

si

∆t, hrs

414

Fig. 8.9. Grafico log-log de ∆P vs. ∆t

SOLUCION 1. Técnicas convencionales semilog y Cartesianas a. Permeabilidad de la formación. Un gráfico Horner para los datos dados en la tabla 8.1 se presenta en la Fig. 8.7. La pendiente es –510 psi/ciclo. La permeabilidad se puede estimar de la pendiente de la línea recta semilog, usando la siguiente ecuación:

162.6 (162.6)(101)(0.45)(1.507) 0.52 md(510)(42)c

q Bkmh

µ= = =

Calcule la permeabilidad siguiendo paso a paso el procedimiento: Paso 1. Considerar xf/xe = 0.5. Paso 2. Leer el factor de corrección correspondiente de la Fig. 8.2, sobre la línea Horner. Fcor=0.46. Paso 3. De la Fig. 8.8, gráfico Cartesiano de ∆P vs. t0.5, la pendiente es mvf = 141.3 psi/hr0.5. Paso 4. Calcule:

2 2

2 26

4.064 (4.064)(101)(1.507) (0.45) 3452.6md ft(42)(141.3) (0.08)(17.7 10 )f

vf t

qBkxhm c

µφ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠⎝ ⎠

Paso 5. Aplique el factor de corrección para calcular una nueva permeabilidad:

(0.52)(0.46) 0.2392mdc cork k F= = = Paso 6. Calcule la longitud media de fractura:

2 3452.6 120.14ft0.2392

ff

kxx

k= = =

Paso 7. Estimar xe, de:

6

(0.2392)(364)0.029 0.029 339 ft(0.08)(0.45)(17.7 10 )

pe

t

ktx

cφµ −= = =×

Paso 8. Calcular la relación xf/xe:

415

356.0339

14.120==

e

f

xx

Repita el paso 2 al 7 para n iteraciones hasta que xf(i) ≈ xf(i-1). Después de 12 pasos, la permeabilidad es k = 0.475493 md. Ver la siguiente tabla:

Asumido xf/xe

xe, ft Fcor k, md xf, ft Nuevo xf/xe

0.5 337.9897 0.45728 0.237785 120.4982 0.356514 0.356514 385.9966 0.596406 0.310131 105.5117 0.273349 0.273349 449.9846 0.810533 0.421477 90.50785 0.201135 0.201135 471.3004 0.889141 0.462354 86.41439 0.183353 0.183353 476.4818 0.908799 0.472575 85.47472 0.179387 0.179387 477.6316 0.913190 0.474859 85.26894 0.178525 0.178525 477.8814 0.914146 0.475356 85.22437 0.178338 0.178338 477.9355 0.914352 0.475463 85.21473 0.178298 0.178298 477.9471 0.914397 0.475487 85.21265 0.178289 0.178289 477.9497 0.914407 0.475492 85.2122 0.178287 0.178287 477.9502 0.914409 0.475493 85.2121 0.178287 0.178287 477.9503 0.914409 0.475493 85.21208 0.178287

b. Longitud media de fractura

2 3452.6 85.20.178287

ff

kxx ft

k= = =

c. Eficiencia de Flujo

416

1

10

100

1000

0.1 1 10 100

t, hrs

P', p

si/h

r

Fig. 8.10. Gráfico log-log de la derivada de presión vs. tiempo De la Fig. 8.7, P1hr = 1138 psi y usando Pwf = 1170 psi conocida, calcule el factor de daño usando la Ec. 4.10.

6 2

1170 1138 0.6711.1513 log 3.2275 4.37(320) (0.08)(0.45)(17.7 10 )(0.28)

sx −

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

211703115

)37.4)(510)(87.0(1)87.0(11 ≈−

−−=

−−=

−∆

−= ∗∗wfwf

S

PPms

PPPFE

d. Almacenamiento. Del gráfico log-log de ∆P vs. t (Fig. 8.9) se obtuvo el punto N (∆tN = 0.5 hr y ∆PN = 159 psi). Se puede calcular el coeficiente de almacenamiento de:

(101)(1.507)(0.5) 0.02 bbl/psi24 24(159)

N

N

tqBCP

∆= = =

∆

2. Técnica de ajuste por curva tipo I) Método PD a) Permeabilidad.

417

0.01

0.1

1

10

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100

P'D

∆txfD

Fin del flujo lineal deconductividad infinita

Fin del flujo lineal de flujo uniforme

Inicio del comportamientoinfinito para mabas fracturas

Fig. 8.11. Curvas tipo de derivada de presión para un pozo fracturado verticalmente

en un yacimiento infinito13

0.01

0.1

1

10

100

1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02

P'sD

∆txfD

Fractura de flujo uniforme

txfD=1

txfD=10

txfD=100

txfD=1000

Fig. 8.12. Curvas tipo de restauración de presión para una fractura vertical de flujo uniforme en un yacimiento infinito13

418

0.01

0.1

1

10

100

1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02

P'sD

∆txfD

txfD=1

txfD=10

txfD=100

txfD=1000

Fractura de conductividad Infinita

Fig. 8.13. Curvas tipo de restauración de presión para una fractura vertical de conductividad infinita en un yacimiento infinito13

Usando la Fig. 8.9 y Fig. 8.4 obtener el punto de ajuste M: ∆PM = 340 psi ∆tM = 10 hrs (PD)M = 1.6

141.2 ( ) 141.2(101)(0.45)(0.4) 1.08 md( ) 42(340)

D M

M

q B Pkh P

µ= = =

∆

b) Longitud media de fractura. De la Fig. 8.5, tDxf = 1.4.

2 26

0.0002637 0.0002637(1.08(10) 3196 ft 56.5 ft( ) 0.08(0.45)(17.7 10 )(1.45)

Mf f

t D M

tkx xc tφµ −= = = ⇒ =

×

II) Método P’D. Usando la Fig. 8.10 y las curvas tipo13 de las Figs. 8.11 a la 8.13 un punto de ajuste es: (P’ws)M = 11 psi ∆tM = 10 hrs P’SD = 0.4 ∆txfD = 1.1 La permeabilidad, la longitud media de fractura y el factor de daño se determinan de las Ecs. 8.24 a la 8.26, respectivamente:

419

1. Permeabilidad:

'141.2'

xfDSD

ws MM

PPq Bkh P t

µ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆⎝ ⎠⎝ ⎠

(8.24)

141.2(101)(1.507)(0.45)(0.4)(1.1) 0.42 md

51(11)(10)k = =

2. Longitud media de fractura

DxfM

M

tf t

tc

kxφµ

0002637.02 = (8.25)

6

0.002637(0.42)(10) 56.4 ft0.08(0.45)(17.7 10 )(1.1)fx −= =

×

3. Eficiencia de Flujo.

f

W

xrs 2ln= (8.26)

2(0.28)ln 4.656.4.

s = = −

72.223703115

)6.4)(320)(87.0(1)87.0(11 =−

−−=

−−=

−∆

−= ∗∗wfwf

s

PPms

PPPFE (8.27)

8.3. CONDUCTIVIDAD DE FRACTURAS El producto de la permeabilidad de la fractura y la longitud de la fractura (kfw) se conoce como conductividad de la fractura. La conductividad de la fractura adimensional se expresa matemáticamente como5,8-11,13-14,16-17:

f ffD

f

k wC

k x=

⋅ (8.28)

La expresión anterior se puede también encontrar multiplicada por π. Sin embargo, se acostumbra, en análisis de pruebas de pozo, a usarse como está dada en la Ec. 8.28.

420

La fractura de flujo uniforme12-13,16 es uno de los conceptos introducidos en la literatura para la interpretación de datos de pruebas de pozo en pozos fracturados. Este tipo de conductividad asume que el flujo del yacimiento hacia la fractura es uniforme y una pequeña caída de presión se presenta a lo largo de la fractura. Este tipo de conductividad se puede observar en fracturas con alto daño causado por una zona de baja permeabilidad alrededor de la fractura. Una fractura de conductividad infinita tiene una conductividad tal que la caída de presión a lo largo de la fractura se considera de cero. En un gráfico log-log, este tipo de fractura es identificado mediante una pendiente media sobre los datos tempranos en la presión y derivada de presión. Una fractura se considera que tiene conductividad infinita cuando su conductividad de fractura es mayor que 300. Por otro lado, la fractura posee conductividad finita5,8-11 la cual se identifica en un gráfico log-log mediante una pendiente de ¼ de los datos tempranos. Una pendiente ½ puede o no mostrarse después. Una fractura de conductividad finita implica una caída de presión a lo largo de la fractura. Esta caída de presión contribuye a la formación de un flujo lineal simultáneo en la fractura y un flujo lineal desde la formación hasta la fractura como se representa en la Fig. 8.14.b. Este régimen de flujo simultáneo se conoce como flujo bilineal. La larga duración del flujo, ocasiona una baja conductividad de fractura. El análisis convencional para este tipo de fracturas requiere ajuste de curvas tipo. Para fracturas de conductividad infinita, Tiab16 mostró que la relación de la longitud, xe, con la longitud de fractura, xf, tiene cierta influencia sobre el patrón de flujo, ver la Fig. 8.26. Teóricamente, si xe = xf, solo una pendiente de ½ se observará indicando la presencia de puro flujo lineal en la formación. Sin embargo, como el incremento de xe/xf en la línea recta de pendiente unitaria es corto, entonces se forma una pendiente 0.36. Esto es debido al flujo birradial, como lo llama Tiab16. Otros autores lo han llamado flujo elíptico. Cuando, la relación xe/xf ≥ 16, únicamente se observa la pendiente 0.36. La Fig. 8.14.a presenta el comportamiento de la rata de flujo en una fractura con diferentes conductividades. 8.4. GRAFICO DE FLUJO BILINEAL (∆P vs. 4 t∆ ) Las ecuaciones presentados por Cinco-Ley y colaboreadores5 son:

25.025.0)(

1.44 tkcwkh

BqPtff φµ

µ=∆

De la pendiente de la gráfica:

25.025.0)(

1.44 tkcmBqwkh

tbfff φµ

µ=

421

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

w

ffD q

xtxqq

),(2=

q fD

fD x

xx =

x D

CfD

3003063

0.6

Fractura de flujo uniforme

Fig. 8.14.a. Distribución de flujo a lo largo de una fractura12

Para este caso, xf se puede expresar también usando el procedimiento de ensayo y error mencionado antes. 8.5. GRAFICO DE FLUJO LINEAL (∆P vs. t∆ ) Las ecuaciones presentados por Cinco-Ley y colaboreadores5 son:

kct

xhqBP

tff φµ064.4

=∆

kcmqBxh

tlfff φ

µ064.4=

blf

elffD t

tC 0125.0=

422

0.001

0.01

0.1

1

10

1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00

PD

t Dxf

CfD0.10.5151050100500

Fig. 8.14.b. Curva tipo de Cinco-Ley5

donde telf y tblf son los tiempos para final e inicio del flujo lineal. 8.6. CURVAS TIPO DE PRESION (CINCO-LEY) Cinco y otros5 formularon un modelo para estudiar el comportamiento de la presión en fracturas de conductividad finita. Este modelo es quizá uno de las más importantes contribuciones a la literatura de pruebas de pozos. Esta curva tipo está dada en la Fig. 8.14.b. Del punto de ajuste, se pueden obtener los parámetros de fractura y yacimiento. Obtenga primero la permeabilidad:

BqPkhP M

MD µ2.141)()( ∆

= (8.29)

La longitud de fractura se puede solucionar de:

20002637.0)(

ft

MMD xc

kttφµ

= (8.30)

La conductividad de la fractura se obtiene de la Ec. 8.28:

f

fMfD xk

wkC =)(

Use la Fig. 8.32 o la Ec. 8.31 (por análisis semilog) para estimar el factor de daño:

423

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100 1000

10

100

1000

10000

0.1 1 10 100 1000

∆P,

psi P

D, p

si

t, hr

t D, hr

∆P=100 psi, P D = 0.47∆t = 100 hrs, t D = 3.3

PUNTO DE AJUSTE

Fig. 8.15. Ajuste por curva tipo

Tabla 8.2. Datos de prueba de presión para un pozo fracturado

t, hr ∆P, psi ∆P, psi ∆P, psi 0.25 57 40 261

0.5 68 50 2801 79 60 298

2.5 106 70 3115 134 80 321

10 168 90 33420 210 100 34330 238 150 384

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= 23.3log1513.1 2

1

wt

ihr

rck

mPPs

φµ (8.31)

EJEMPLO Con los siguientes datos y los de la tabla 8.2 de una prueba de presión, encontrar permeabilidad, factor de daño, longitud de fractura y conductividad de la fractura. φ = 30 % h = 30 ft ct = 2x10-6 /psi µ = 0.85 cp B = 1.65 rb/STB q = 250 BPD rw = 0.25 ft

424

SOLUCION De acuerdo a la curva tipo dada en la Fig. 8.15, se tiene: (∆P)M = 100 psi (PD)M = 0.47 ∆tM = 100 hrs (tD)M = 1.6 (CfD)M = 2 Encontrar permeabilidad de la Ec. 8.29, así:

)65.1)(85.0)(250(2.141)100)(30(47.0 k

= luego k = 7.76 md

La longitud media de la fractura se calcula usando la Ec. 8.30:

26 )102)(85.0)(3.0()100)(76.7(0002637.06.1fx−×

=

xf = 158.4 ft La conductividad de la fractura se obtiene de la Ec. 8.28:

)4.158)(76.7(2

wk f=

kfwf= 7720 md-ft Usando la Ec. 10.34, s = –5.65. 8.7. CURVAS TIPO CON ALMACENAMIENTO (WONG Y OTROS18)

MfD

MfDD

M CCP

PhBqk

)()(

)(2.141

∆=

µ

MfDDxf

MfD

t

Mf Ct

Cc

ktx)(

)(0002637.02

2

φµ= (8.32)

La conductividad de fractura adimensional está dada por:

MfDffD CkxC )( 2= (8.33)

425

Si la fractura está dañada y una porción de la prueba se supone en flujo bilineal, se puede ajustar una gráfica log-log de ∆Pwf y ∆P’wf vs. t. El almacenamiento se puede determinar mediante:

MDxf

MD

M

M

tFPF

PtqBC

)]([)]([

)()(2339.0

2

1

∆= (8.34)

La conductividad de fractura es:

3

12

141.2 [ ( )]0.4( )

D Mf f

t M

q B F PCk wh c k P

µφ

⎧ ⎫= ⎨ ⎬∆⎩ ⎭

8.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS HIDRAULICAMENTE Esta sección trata sobre el análisis de datos de pruebas tomados de pozos que han sido fracturados hidráulicamente. En un principio, el fracturamiento hidráulico llegó a ser en una buena manera para incrementar la productividad de los pozos completados en yacimientos de baja permeabilidad. Sin embargo, últimamente, se ha convertido en una práctica común gracias a su impacto para incrementar la productividad del pozo y remover el daño. El propósito de las pruebas de pozos fracturados es determinar las propiedades de fractura y yacimiento para proporcionar una valoración efectiva del tratamiento de fractura y predecir una productividad a largo plazo para el yacimiento16-17.

Impermeable boundaries

Espesor

Fractura

Pozow

xf

Fig. 8.17. Esquema de una fractura ideal5,17

426

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

2/3

2 4 /3

( )( ) f D

Dxf DxffD

k wF t t

C=

2/3

1 1/3

( )'( ) f D D

Dxf DfD Dxf

k w dPt F PC dt

=

2/3

1 1/3

( )( ) f D

D DfD

k wF P P

C=

F 1 (

PD)

y tD

xfF1

'(PD)

CD10000 50002000100050020010050201050

Fig. 8.16. Curva tipo de Wong y otros para pozo vertical con fractura de conductividad finita, almacenamiento y daño bajo condiciones de flujo bilineal18

427

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00

Fin aproximado del periodo de media pendiente

Slope=1/2

xe/xf=15xe/xf`=10

xe/xf`=7xe/xf`=5

xe/xf`=3

xe/xf`=2

xe/xf`=1.5

xe/xf`=1Area de drene A=(2xe)2

xf

xe

FIn del periodo de media pendiente paraxe/xf=1

EL estado pseudoestable arrancaaprox. a tDA=0.12 para todos los xe/xf

P D

t DA

Fig. 8.18. Presión adimensional para un pozo fracturado verticalmente en el centro de un sistema cerrado, sin almacenamiento, fractura de conductividad infinita16

0.001

0.01

0.1

1

10

1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00

CfD=10

CfD=0.1

CfD=0.5

CfD=1

CfD=5

CfD=500

CfD=50CfD=100

Pozo a caudal constante

141.2wDkh PP aceite

q Bµ∆

=

2( )1424wD

kh PP gasq zTµ

∆=

[ ( )]1424wD

kh m PP gasqT

∆=

2

0002637.0

ftDxf xc

kttµφ

=

f

ffD xk

wkC =

CfD=Conductividad adimensional de lafractura

P wD

t Dxf

Fig. 8.19. Fractura vertical de capacidad infinita16

428

a) Flujo lineal en la fractura

b) Flujo bilineal

d) Flujo lineal en la formaciónc) Flujo pseudoradial

Fig. 8.20. Regímenes de flujo que gobiernan el comportamiento de la presión en

un pozo interrumpido por una fractura vertical de capacidad finita17

8.8.1. Simulación de Fracturas Cuando un pozo es fracturado hidráulicamente, la presión se eleva en la formación hasta su agrietamiento. Un fluido que contiene arena o material de sostén es entonces colocado en la grieta. El fluido se separa de las partículas sólidas (arena) dentro de la formación y al retirarlo la fractura se cierra pero con el material de sostén adentro de modo que la fractura no cierra completamente. La Fig. 8.17 representa una fractura ideal. La meta del fracturamiento es abrir más el área superficial de la cara del pozo sin perforar otro pozo. Puesto que mayor área del yacimiento está en comunicación directa con la cara del pozo, un gran volumen de fluido puede producirse dentro de la cara del pozo por unidad de tiempo, resultando en un incremento de la rata de producción. Básicamente, el fracturamiento incrementa el radio efectivo de la cara del pozo:

'2

f sw w

xr r e−= = (8.35)

El fracturamiento no altera la permeabilidad del yacimiento pero si altera la permeabilidad promedio del sistema. El análisis de presiones de una prueba en un pozo fracturado requiere del uso de curvas tipo las cuales han sido generadas analíticamente. Dichas soluciones están basadas en una de estas tres suposiciones:

429

• Fractura de conductividad infinita, • Fractura de flujo uniforme, o • Fractura de conductividad finita. Las curvas tipo para una fractura de conductividad infinita se muestran en la Fig. 8.18. Las curvas tipo para una fractura de conductividad finita se presentan en la Fig. 8.19. A menos que la permeabilidad de la formación sea extremadamente baja, por ejemplo en el rango microdarcy, la respuesta de la presión, para la mayoría de los pozos fracturados, parece ser representativa de un sistema de fractura de conductividad finita. Tomando como base esta observación, únicamente el sistema de fractura de conductividad finita es considerado en esta sección. En esta sección, el término “fractura” se refiere a fractura de conductividad finita.

8.8.2. Regimenes de Flujo en Fracturas Después de que un pozo ha sido fracturado, se forma un nuevo grupo de regímenes de flujo. Los principales regímenes de flujo se presentan en la Fig. 8.20 y son los siguientes17. • Flujo lineal en la fractura • Flujo bilineal (fractura y formación) • Flujo lineal en la formación (o elíptico) • Flujo pseudorradial Para sistemas de fractura de conductividad infinita y flujo uniforme se evidencian únicamente el tercer y cuarto régimen de flujo en los datos de presión. El flujo lineal normalmente ocurre a un tiempo muy temprano, puesto que éste es normalmente enmascarado por los efectos del almacenamiento. El inicio del flujo pseudorradial puede ocurrir a un tiempo que económicamente no es factible de alcanzar, y por ende no puede ocurrir a ningún tiempo durante una prueba de pozo. Para determinar kh del yacimiento, es necesario que el yacimiento esté en flujo radial. Sin embargo si la fractura es de conductividad finita y se observan las pendientes de un medio y un cuarto, es posible obtener la permeabilidad del punto de intersección entre estas líneas. Esto únicamente es posible por medio de la Tiab’s Direct Synthesis Technique. De modo que si requiere el análisis de una prueba de un pozo fracturado, es importante que una prueba de prefracturamiento se desarrolle para determinar kh del yacimiento, si se usan métodos convencionales o curvas tipo. Si ésto no ocurre, un análisis único de los datos puede no ser posible, ya que existen dos incógnitas: permeabilidad del yacimiento y longitud de la fractura16-17. Si los efectos del almacenamiento duran una cantidad de tiempo significativa, es posible que el primero de los tres regímenes de flujo sean enmascarados. Si ésto ocurre, el análisis para determinar la longitud de la fractura no es posible. En este

430

caso, el éxito del tratamiento de fractura tendrá que ser determinado usando el factor de daño calculado. Como regla general, una fractura es exitosa si el factor de daño es reducido a menos de -3. Si los efectos del almacenamiento son de vida corta, entonces los análisis de flujo bilineal o flujo lineal se pueden usar para determinar la longitud de fractura y su conductividad. Para análisis de pozos fracturados, se usa un nuevo grupo de parámetros adimensionales. Estos son el tiempo adimensional para un pozo fracturado, tDxf, y la conductividad de fractura adimensional CfD. Estos se definen así:

2

0.0002637Df

t f

k ttc xφ µ

∆= (8.36)

f

fffD xk

wkC = (8.37)

8.8.3. Análisis de Flujo Bilineal La ocurrencia del flujo bilineal está caracterizada por una pendiente de 1/4 en un gráfico log-log de presión y su derivada. Ver Fig. 8.21. Esta gráfica indica que el flujo bilineal ocurrió para más de un ciclo log. Como resultado, se puede concluir que la pendiente de 1/4 es válida y puede ser analizada para determinar la longitud media de fractura. El comportamiento de la presión durante el periodo de flujo bilineal se modela usando la siguiente ecuación17:

4/12/1

45.2Dxf

fDD t

CP = (8.38)

En unidades de campo, la ecuación de la respuesta de la presión es:

( ) ( ) 4/12/1

4/113.44kcwkh

tBqPtff µφ

µ ∆=∆ (8.39)

Cuando la pendiente de 1/4 es evidente en un gráfico log-log, los datos puedes ser regraficados en un papel lineal de P versus t1/4. La pendiente, mbf de una línea recta. Esta puede ser usada para determinar la conductividad de la fractura así:

( )

2

1/ 444.13

f fbf t

q Bk wm h c k

µφ µ

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

(8.40)

Con el anterior valor de kfw, el valor para CfD puede ser determinado. El siguiente paso es calcular un valor de PD para cualquier P, usando:

431

P kh Pq BD =∆

1412. µ (8.41)

Usando los valores para PD y CfD, el gráfico log-log se puede ajustar a las curvas tipo apropiadas y obtener los valores correspondientes para t y tDxf. El valor para xf es calculado usando la Ec. 8.36. Para verificar que los datos que fueron examinados realmente estaban en flujo bilineal, debe calcularse el rango de tiempo para la existencia del flujo bilineal. Teóricamente, el flujo bilineal ocurre para un tiempo adimensional de:

161.02 >= fDfD

Dxf CC

t (8.42)

1645.255.42/1 <−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= fD

fDDxf C

Ct (8.43)

1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5

1E+0

1E+1

1E+2

1E+3

1E+4

Flujo Bilineal

Flujo lineal

Flujo radial

∆P y

t*∆P

', ps

i

t, hr

Fig. 8.21. Gráfico log-log de los datos de presión durante flujo bilineal y flujo lineal17

432

CIA

DA

DE

PRES

ION

AD

IMEN

SIO

NA

L, P

D

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E-10 1.E-08 1.E-06 1.E-04 1.E-02 1.E+00 1.E+02

Fractura de baja conductividad

CASO Im=1/4

B

C

AF

L

GH

I

J

CASO IIm=1/4

m=1/2

0.1500

Umbral del flujopseUdoradial

TIEMPO ADIMENSIONAL, tDxf

CfD

Fractura de alta conductividad

Fig. 8.22. Comportamiento típico presión adimensional vs. tiempo adimensional en pozos fracturados17

8.8.4. Análisis de Flujo Lineal La ocurrencia de formación de flujo lineal está caracterizada por una pendiente de un 1/2 en la gráfica log-log de la presión y derivada de presión. Este régimen de flujo será normalmente evidente y analizable para fracturas con muy alta conductividad (CfD > 300). El inicio de del régimen de flujo lineal ocurre en:

1002 =fDDxf Ct (8.44) Si se obtienen los datos que exhiben la pendiente de un medio en la gráfica log-log, entonces el análisis sigue los mismos pasos que el flujo bilineal. Se pueden emplear las curvas log-log de la Fig. 8.19. Las ecuaciones que gobiernan el análisis de flujo lineal están basadas en la ecuación de respuesta de la presión durante este régimen de flujo:

1/ 2( )D DxfP tπ= (8.45) En unidades de campo, la Ec. 8.45 es:

2/1

064.4 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=

kct

hxqBP

tf φµ (8.46)

Así, la gráfica de P versus t1/2 producirá una línea recta de pendiente mlf, de:

433

10

100

1000

10000

0.001 0.01 0.1 1 10 100

∆ P y

t*∆

P, p

si

Tiempo, hr

Fig. 8.23. Puntos de presión y derivada de presión

31700

32700

33700

34700

35700

36700

37700

38700

39700

40700

110100100010000

Pres

ión,

KPa

(tp+∆t)/∆t

P1hr=75125 KPa

m=7

17.5

psi/

ciclo

Fig. 8.24. Gráfico Horner

434

30500

32500

34500

36500

38500

40500

42500

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

mbf = 405 psi/hr0.25

Pres

ión,

KPa

(∆t) , hr0.25 0.25

Fig. 8.25. Gráfico Cartesiano de presión vs. (∆t)1/4

2/1

064.4 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=

kct

hxqBm

tflf φ

µ (8.47)

La Ec. 8.47 se puede usar para determinar xf. Para verificar que los datos usados para el análisis realmente representan flujo lineal, el rango válido de datos ocurre durante:

016.01002 << DxffD

tC

(8.48)

Tomando como base el tiempo al cual el flujo lineal termina, tDxf = 0.016, es posible estimar la permeabilidad de la formación. En el final del flujo lineal, los datos de P versus ∆t1/2 se desvían de la línea recta. Usando el tiempo de esta desviación con las Ecs. 8.36, y 8.37 producirá:

elflf thmBqk µ1.100= (8.49)

En la Ec. 8.49, telf representa el tiempo al final de flujo lineal.

435

8.8.5. Análisis de Flujo Pseudorradial Después de que ha pasado un periodo suficiente de tiempo, y si las fronteras del yacimiento no influyen el comportamiento de la presión, el flujo comienza a converger radialmente hacia el sistema pozo – fractura16. Este periodo es el periodo de flujo pseudorradial y comenzará realmente después de un tiempo adimensional de:

2.5 para bajaDxf fDt C> (8.50)

5 para altaDxf fDt C> (8.51) Este periodo es llamado periodo de flujo pseudorradial debido a que es idéntico al caso de yacimiento radial pero con un factor de daño negativo causado por la presencia de la fractura. Durante este periodo el comportamiento de la presión está descrito por:

srx

tPw

fDxfD ++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 404.0ln5.0 2

2

(8.52)

Si se alcanza el flujo pseudorradial, entonces las técnicas convencionales (por ejemplo, semilog) pueden usarse. La Fig. 8.22 muestra el comportamiento general de un pozo con una fractura vertical de conductividad finita para dos casos: Caso I: comportamiento de la fractura de baja conductividad, por ejemplo CfD=0.1 y Caso II: fractura que tiene una alta capacidad de almacenamiento y alta conductividad, por ejemplo CfD=500. Esta figura muestra que el comportamiento de la presión a tiempos tempranos de un pozo con una fractura de conductividad finita incluye varios regímenes de flujo. Un breve resumen de las características de esos regímenes son: (a) Inicialmente, es una fractura de flujo lineal caracterizada por una línea recta de pendiente ½ (no mostrada en la figura debido a que generalmente es muy corta). Los puntos A, F y L, realmente representan el final de este régimen de flujo. (b) Después de un periodo de transición, las curvas muestran un periodo de flujo bilineal, indicado por una línea recta de pendiente ¼. Los segmentos B-C y G-H representan este régimen. La línea de flujo bilineal no es probable, sin embargo, se observa en el caso de una alta conductividad de la fractura. (c) Como el tiempo incrementa, un periodo de flujo lineal en la formación podría desarrollarse, y puede ser identificado mediante una línea recta de pendiente 0.5. El segmento I-J (caso II) representa una fractura con alta conductividad CfD >300. (d) Eventualmente, en ambos casos, el sistema alcanza el régimen de flujo radial.

Tabla 8.3. Datos de prueba de presión

t, hr P, Kpa t, hr P, Kpa t, hr P, Kpa t, hr P, Kpa t, hr P, Kpa t, hr P, Kpa0.0000 32191 0.0639 36121 1.570 39197 5.38 39852 14.90 40402 29.90 409090.0030 32342 0.0667 36306 1.730 39259 5.40 39851 15.40 40421 30.90 40934

436

0.0056 32494 0.0833 37031 1.900 39304 5.57 39865 15.90 40443 31.90 409610.0093 32670 0.100 37339 2.067 39349 5.73 39881 16.40 40462 32.90 409860.0111 32814 0.117 37490 2.233 39398 5.90 39933 16.90 40462 33.90 410120.0139 32979 0.133 37592 2.400 39438 6.07 39945 17.40 40503 34.90 410330.0167 33144 0.150 37683 2.567 39495 6.40 39939 17.90 40524 35.90 410550.0194 33306 0.167 37770 2.733 39535 6.90 39972 18.40 40540 36.90 410600.0222 33476 0.183 37843 2.900 39593 7.40 40008 18.90 40561 37.90 410990.0250 33642 0.200 37906 3.067 39627 7.90 40043 19.40 40591 38.90 411190.0279 33912 0.217 37962 3.233 39655 9.40 40073 19.90 40597 39.90 411480.0306 33982 0.233 38010 3.400 39669 9.90 40103 20.40 40616 40.90 411610.0333 34155 0.317 38225 3.533 39693 9.40 40135 20.90 40635 41.90 411610.0361 34329 0.400 38312 3.733 39704 9.90 40163 21.40 40653 42.90 412030.0389 34507 0.483 38489 3.900 39720 10.40 40186 21.90 40669 43.90 412180.0417 34665 0.567 38603 4.067 39764 10.90 40211 22.40 40684 44.90 412350.0444 34861 0.650 38687 4.233 39755 11.40 40235 22.90 40703 45.90 412530.0472 35042 0.733 38783 4.400 39766 11.90 40262 23.90 40734 46.90 412710.0500 35202 0.817 38878 4.567 39782 12.40 40263 24.90 40765 47.90 412860.0528 35384 0.900 38985 4.733 39795 12.90 40315 25.90 40804 0.0556 35568 1.067 39061 4.900 39809 13.40 40335 26.90 40829 0.0583 35751 1.233 39107 5.067 39824 13.90 40359 27.90 40855 0.0611 35937 1.400 39148 5.233 39835 14.40 40360 28.90 40882

EJEMPLO Usando los siguientes datos y los datos de prueba de presión dados en la tabla 8.1, encontrar la permeabilidad, factor de daño, y conductividad de la fractura para una fractura del yacimiento. q = 1100 BPD φ = 15 % µ = 0.53 cp B = 1.37 rb/STB rw = 0.328 ft Pwf = 4668.9 psi h = 18 ft ct = 1.3x10-5 psi-1 tp = 22.3 hrs

SOLUCION Se construyeron tres gráficos para trabajar este ejemplo. Un gráfico de presión y derivada de presión, un gráfico Horner y uno de presión vs. ∆t1/4 los cuales se presentan en las Figs. 8.23, 8.24 y 8.25, respectivamente. Los puntos de derivada de presión fueron estimados usando la Ec. 1.63 y un factor de ajuste de 0.2. Los siguientes parámetros fueron leídos de las gráficas. Del gráfico de Horner: De la gráfica semilog, m = 717.5 psi/ciclo, P1hr = 5125 psi y P* = 6106 psi. Del gráfico bilineal mbf = 405 psi/hr0.25. De la Ec. 4.7:

162.6 162.6(1100)(0.52)(1.37) 9.9 md(717.5)(18)

q Bkmh

µ= = =

437

De la Ec. 4.2;

7.42275.3)328.0)(103.1)(53.0)(15.0(

9.9log5.717

9.466851251513.1 25 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= −x

s

Lo cual indica un tratamiento de fractura exitoso. Usando la Ec 8.40:

22

54 4

44.13 44.13(1100)(0.53)(1.37) 7308.33 md-ft405(18) (0.15)(0.53)(1.3 10 )(9.9)

f fbf t

q Bk wm h c k

µφ µ −

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟×⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8.9. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS VERTICALMENTE EN SISTEMAS CERRADOS Esta sección presenta la Tiab’s Direct Synthesis Technique para interpretación de gráficas log-log de presión y derivada de presión sin usar curvas tipo para el ajuste. Para el caso de una fractura de flujo uniforme, los gráficos de derivada de presión para varias relaciones xe/xf revelan tres regímenes de flujo dominantes. Durante tiempos tempranos el flujo de fluidos es lineal y puede ser identificado por una línea recta de pendiente 0.5. La línea de flujo lineal es usada para calcular la longitud media de la fractura. El régimen de flujo radial de acción infinita, el cual puede ser identificado por una línea recta horizontal, es dominado por xe/xf > 8. Este régimen de flujo es usado para calcular permeabilidad y daño. La tercera línea recta, la cual corresponde al régimen de flujo pseudoestable y presenta una pendiente unitaria. Esta línea es usada para calcular el área de drene y el factor de forma. Para el caso de fractura de conductividad infinita, los gráficos de derivada de presión muestran un cuarto régimen de flujo dominante, llamado aquí como flujo birradial. Este régimen de flujo, el cual puede ser identificado por una línea recta de pendiente 0.36, también puede usarse para calcular la longitud media de fractura y la permeabilidad16. 8.9.1. Introducción Puthigai y Tiab13 extendieron la aplicación de a función de derivada de presión a pozos fracturados verticalmente en un yacimiento infinito. Ellos hicieron uso de ajuste por curvas tipo para interpretar esta función. Fueron investigados los modelos de fracturas de flujo uniforme y de conductividad infinita. Wong y otros analizaron el comportamiento de las curvas de derivada de presión para un pozo con una fractura de conductividad finita, daño y almacenamiento durante condiciones de flujo bilineal. Chukwu2 usó la técnica de ajuste por curvas tipo para analizar la presión y derivada de presión de pozos fracturados verticalmente en un sistema cerrado. Tiab16 introduce una nueva técnica para la interpretación de pruebas de transiente de presión, llamada Tiab’s Direct Synthesis Technique la cual usa los gráficos log-log de presión y derivada de presión versus tiempo para calcular parámetros de yacimiento tales como daño,

438

almacenamiento, permeabilidad, y longitud media de fractura sin usar la técnica de ajuste con curvas tipo y empleando ciertas “huellas digitales” halladas en el gráfico de presión y derivada de presión8,16-17. El propósito de esta sección es aplicar la Tiab’s Direct Synthesis Technique para un pozo fracturado verticalmente en un sistema cerrado. Las suposiciones usuales a aplicar, son por ejemplo que el medio poroso es isotrópico, horizontal, homogéneo, uniforme en espesor y tiene permeabilidad constante. Además, la fractura penetra completamente la extensión vertical de la formación y es la misma longitud en ambos lados del pozo. La caída de presión adimensional de un pozo ubicado en el centro de una fractura de plano vertical en un yacimiento limitado puede ser generalizada así:

]

2 2

0

2 2

2 1 2 exp 4 '1

sin /1 2 exp 4 ' cos( / )

/1

tDA

DAD

f eDA D f e DA

f e

yeP n txn e

y m x xem t m x x x dtx m x xm e

π π

ππ π

π

⎛ ⎞⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎜ ⎟= + −∑ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞∞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ′⋅ + − ⎜ ⎟∑ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤∫ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡⎢⎣

(8.53.a)

donde el tiempo adimensional y la presión del pozo adimensional son definidas por las siguientes ecuaciones:

Acktt

tDA µφ

0002637.0= (8.53.b)

BqPkh

PD µ2.141∆

=

Donde ∆P es igual a Pi - Pwf para pruebas de declinación de presión y Pws - Pwf (∆t=0) para pruebas de restauración de presión. La presión de pozo adimensional de un flujo uniforme se puede obtener de la Ec. 8.53.a a xD = 0. Asumiendo una geometría cuadrada, por ejemplo xe = ye, y una fractura de flujo uniforme, la derivada de la Ec. 8.53 con respecto al tiempo adimensional tDA es12,16:

2 2 2 2 sin /' 2 1 2 exp( 4 ) 1 2 exp( 4 )

/1 1

f eDA DAD

f e

m x xP n t m t

m x xn m

ππ π π

π

⎡ ⎤⎡ ⎤∞ ∞⎢ ⎥⎢ ⎥= + − + −∑ ∑⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.54)

La presión adimensional de un pozo interceptado por una fractura vertical de conductividad infinita se puede obtener de la Ec. 8.53 a xD = 0.732. La derivada de la presión de pozo adimensional para un cuadrado es:

439

2 2 2 2 sin /' 2 1 2 exp( 4 ) 1 2 exp( 4 ) cos(0.732 / )

/1 1

f eDA DA f eD

f e

m x xP n t m t m x x

m x xn m

ππ π π π

π

⎡ ⎤⎡ ⎤∞ ∞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥= + − + − ⎜ ⎟∑ ∑⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= =⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(8.55) Se pueden derivar ecuaciones similares para un pozo fracturado verticalmente en un yacimiento rectangular. Por lo tanto, para un rectángulo dos a uno, simplemente el grupo xe = 2ye en la Ec. 8.53.a y entonces tomar la derivada con respecto a tDA. El gráfico log-log de la presión de pozo adimensional para pozos fracturados verticalmente en el centro de un sistema cerrado ha sido ya discutido por Gringarten y otros12. Chukwu2 generó curvas tipo para varios sistemas rectangulares usando funciones de presión y abogando a las técnicas de ajuste de curvas tipo, como una herramienta para el análisis de pruebas de transiente de presión de pozos fracturados verticalmente en un sistema cerrado. Los problemas con el ajuste de curvas tipo son bien conocidos como lo puntualizó Tiab16 y por lo tanto no serán discutidos aquí. El gráfico log-log de la presión de pozo adimensional y la derivada de presión versus el tiempo tiene varias características únicas que se pueden usar para interpretar pruebas de presión de pozo sin la necesidad de la técnica de ajuste de curvas tipo. 8.9.2. Características de una Fractura de Flujo Uniforme La Fig. 8.26 muestra un gráfico log-log de la presión y el grupo de derivada de presión versus el tiempo adimensional para tres valores de xe / xf. Estas curvas tienen varias características únicas, que pueden ser usadas para interpretar las pruebas de transiente de presión en pozos fracturados sin usar el ajuste con curvas tipo16. 1) Para fluidos a tiempos cortos de producción el flujo en la fractura es lineal. La

duración de este régimen de flujo es una función de la relación de penetración xe/xf. La ecuación correspondiente a esta línea recta a tiempos tempranos es:

DAf

eDDA t

xxPt ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= 772.1' (8.56)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la ecuación producirá:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

f

eDADDA x

xtPt

πloglog5.0)'*log( (8.57)

La pendiente de esta línea recta es 0.5, la cual es de por si una característica única del régimen de flujo lineal. Sustituyendo por los términos adimensionales en la Ec. 8.56 y solucionado para la derivada de presión del pozo se tiene:

tmPt L5.0'* =∆ (8.58)

440

0.01

0.1

1

10

100

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10


P D

y t D

A*P

D'

tDA

Flujo radial

Flujo uniformeFlujo lineal

xe/xf=8

xe/xf=4

xe/xf=1

Fig. 8.26. Fractura de Flujo Uniforme en un Cuadrado16

5..0

2064.4 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ftL xkch

qBmφµ

µ (8.59)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la Ec. 8.24: log ( * ') 0.5 log log (0.5 )Lt P t m∆ = + (8.60) Esta expresión muestra que un gráfico de t*∆P’ medido versus tiempo en un gráfico log-log producirá una línea recta de pendiente 0.5 si el régimen de flujo lineal es el dominante. Permitir que (t*∆P’)L1 sea el valor del producto t*∆P’ a un tiempo t = 1 hr en la línea recta de flujo lineal (extrapolada, si es necesario); entonces combinando las Ecs. 8.58 y 8.59 y solucionando para la longitud media de fractura xf se obtiene8,16-17:

5.0

1)'*(032.2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆=kcPth

Bqx

tLf φµ

(8.61)

La ecuación de la porción de línea de flujo lineal de la curva de presión es:

tmP L=∆ (8.62)

441

Sea (∆P)L1 el valor de ∆P en la línea recta (extrapolada si es necesario) a un tiempo t=1 hr. Así, después sustituyendo por mL de la Ec. 8.62, se tiene:

0.5

14.064 ( )f L t

qBx h P c k

µφ

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠ (8.63)

Se puede derivar una expresión útil mediante la combinación de las Ecs. 8.58 y 8.62 a un tiempo t = 1 hr:

1 1( * ') 0.5( )L Lt P P∆ = ∆ (8.64) Generalmente, las condiciones cercanas a la cara del pozo afectan la curva de derivada de presión mucho más que la curva de presión durante el flujo lineal. En tal caso, se debe calcular la longitud media de la fractura de la línea de pendiente ½ de la curva de presión, usando la Ec. 8.63. Entonces, calcular (t*∆P’)L1 de la Ec. 8.64 y dibujar una línea recta de pendiente 0.5 a través de este punto. Esta línea corresponde a la línea de flujo lineal de la curva de derivada de presión. 2) Siguiendo el régimen de flujo lineal es la línea de flujo radial de acción infinita

(horizontal), como se muestra en la Fig. 8.26. Este régimen de flujo es dominante solo si la relación de penetración xe/xf es mayor que 8. La ecuación correspondiente a esta segunda línea recta está descrita por:

5.0'* =DDA Pt (8.65)

Sustituyendo por los términos adimensionales y resolviendo para la permeabilidad producirá:

70.6( * ')r

q Bk h t P

µ= ∆ (8.66)

donde el subíndice r se usa para línea de flujo radial. 3) Para tiempos de producción largos, la función derivada de presión producirá una

línea recta de pendiente unitaria. Esta línea corresponde al régimen de flujo del estado pseudoestable, comienza en un valor de tDA de aproximadamente 0.2. La ecuación de esta línea recta es:

DADDA tPt π2'* = (8.67)

Sustituyendo por los términos adimensionales se obtiene:

442

tAc

qBPtt

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆

φ27.4'* (8.68)

Esta expresión puede ser usada para calcular el área de drenaje por la obtención de (t*∆P’)p1 de la gráfica y resolviendo la Ec. 8.68 para A. (t*∆P’)p1 es el valor de la derivada a un tiempo de t=1 hr en la línea de estado pseudoestable (extrapolada si es necesario). 4) La presión adimensional durante el flujo en estado pseudoestable es una función

lineal del tiempo adimensional. La ecuación correspondiente a este régimen es:

/2.24582 ln( ) lnD DA e f

AP t x x

Cπ= + (8.69)

Tomando la relación de las Ecs. 8.69 y 8.67 se tiene:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

Af

e

DDDA

D

Cxx

tPtP 2458.2ln2

11'* π (8.70)

Sustituyendo por los términos adimensionales y resolviendo para el factor de forma CA se tiene:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

∆−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

ps

ps

t

ps

f

eA Pt

PAckt

xxC

)'*()(

1000527.0

exp2458.2

2

φµ (8.71.a)

2

2458.2 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

f

eA x

xC si (∆P)ps = (t*∆P’)ps (8.71.b)

Donde tps es cualquier tiempo conveniente durante la porción de línea del estado pseudoestable de las curvas. (∆P)ps y (t*∆P’)ps son valores de ∆P y t*∆P’ correspondientes a tps, respectivamente. 5) El punto de intersección de la línea del flujo lineal y la línea del flujo radial de

acción infinita es único. Las coordenadas de este punto se puede obtener mediante la combinación de las Ecs. 8.56 y 8.65, y resolviendo para el tiempo adimensional producirá

443

2

41

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

e

fDALRi x

xt π (8.72)

Donde el subíndice L y R representan lineal y radial, respectivamente; e i intersección. Sustituyendo la Ec. 8.53.a, donde A=4xe

2, dentro de esta ecuación y despejando la relación xf

2/k, se obtiene:

t

LRif

ct

kx

φµ1207

2

= (8.73) Esta ecuación preferiblemente debería ser usada para verificar la exactitud de los valores de permeabilidad y la longitud media de fractura obtenidos de las Ecs. 8.66 y 8.61, respectivamente. 6) La línea de flujo lineal y la línea de estado pseudoestable interceptan en:

2

41

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

f

eDALPi x

xt π (8.74)

Esta ecuación es obtenida por la combinación de las Ecs. 8.56 y 8.67. El subíndice L y P corresponden para lineal y pseudoestable, respectivamente. Sustituyendo para el tiempo adimensional de la Ec. 8.53.a se tiene:

LPi

tf t

Ackx

22 7544φµ

= (8.75) Esta ecuación se puede usar para propósito de verificación o para calcular k dado que xf es conocido. 7) La línea de flujo radial y la línea de estado pseudoestable a tiempos tardíos se

interceptan en:

π41

=DARPit (8.76) Sustituyendo la Ec. 8.53.a en la Ec. 8.76 y despejando para A se tiene16:

t

RPic

ktA µφ77.301= (8.77)

444

8) Combinando las Ecs. 8.72, 8.74 y 8.76, se puede ver que los tiempos de

intersección de las líneas rectas correspondientes a los tres regímenes de flujo están relacionados por la siguiente relación:

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛===

f

e

LPi

LRi

LPi

RPi

RPi

LRi

xx

tt

tt

tt

(8.78)

Esta expresión se puede usar para propósitos de verificación. También se usa cuando se diseña una prueba de transiente de presión en un pozo interceptado por una fractura vertical. 9) El factor de daño se puede calcular de (Ec. 2.96):

20.5 ln 7.43( * ')

r r

r t w

P k tst P c rφµ

⎛ ⎞⎡ ⎤∆= − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∆ ⎣ ⎦⎝ ⎠

(8.79)

Donde tr es cualquier tiempo conveniente durante la línea de flujo radial de acción infinita y (∆P)r es el valor de ∆P correspondiente a tr. 10) El efecto del almacenamiento en pozos fracturados verticalmente usando la Tiab’s

Direct Synthesis Technique la será discutida por separado. Sin embargo, si se observa línea de pendiente unitaria correspondiente al almacenamiento es observada, entonces las ecuaciones desarrolladas por Tiab16 se pueden aplicar para calcular el coeficiente de almacenamiento. Por lo tanto, del punto de intersección de la línea de pendiente unitaria y la línea de flujo radial de acción infinita. El coeficiente de almacenamiento es:

1695 ikhC t

µ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(8.80)

donde ti es el tiempo de intersección de las línea de flujo radial y la línea de almacenamiento. 8.9.3. Características de una Fractura de Conductividad Infinita La Fig. 8.27 es un gráfico de presión adimensional y derivada de presión versus tDA para una fractura vertical de conductividad infinita dentro de un sistema cuadrado. Esta figura muestra la existencia de cuatro líneas rectas: (a) la línea de flujo lineal de pendiente 0.5, (b) línea de flujo birradial de pendiente 0.36, (c) línea de flujo radial de acción infinita (línea horizontal), y (d) línea de flujo de estado pseudoestable de pendiente unitaria. Para xe/xf > 8, el régimen de flujo lineal es casi inexistente, y la

445

línea de flujo birradial es observada primero. Para xe/xf < 8, es la línea de flujo radial la que desaparece16. Únicamente las características del régimen de flujo birradial serán discutidas aquí. Las características e interpretación de los otros tres regímenes de flujo (lineal, radial y pseudoestable) son las mismas que se discutieron anteriormente para fractura de flujo uniforme.

0.01

0.1

1

10

100

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10


P D

y t D

A*P

wD

'

tDA

Flujo radial

Conductividad infinitaFlujo bilineal

xe/xf=16

xe/xf=4

xe/xf=2flujo biradial

Fig. 8.27. Fractura de conductividad infinita en un cuadrado16

1) La ecuación de la línea de flujo birradial es:

36.072.0

769.0'* DAf

eDDA t

xxPt ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= (8.81)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la ecuación produce:

0.72

log ( * ' ) 0.36 log log 0.769 eDA D DA

f

xt P tx

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

(8.82)

La Ec. 8.81 fue derivada tomando los puntos correspondientes a esa línea recta, y entonces aplicando un análisis de regresión multivariada, la Ec. 8.81 se convierte en:

446

36.02

769.0'* txxCPt

f

eBR ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=∆ (8.83)

donde:

36.0

268.7 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Ack

khBq

Ct

BR φµµ

(8.84)

Tomando el logaritmo de la Ec. 8.83 se tiene:

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=∆

72.0

7699.0loglog36.0'*logf

e

xxCtPt BR (8.85)

Así, la línea de flujo birradial se puede identificar por su pendiente de 0.36. Es importante no confundir esta línea birradial con la línea de flujo lineal debido a que sus pendientes (0.5 y 0.36) son relativamente cercanas. Sea (t*∆P’)BR1 el valor de t*∆P’ a un tiempo t = 1 hr en la línea recta (extrapolada si es necesario), entonces la Ec. 8.83 se puede usar para calcular la longitud media de fractura xf si el régimen de flujo lineal no es observado:

1.388

10.694

( * ')BR

fBR

Cx xe t P=

∆⎡ ⎤⎣ ⎦ (8.86)

Donde CBR es calculado de la Ec. 8.84, y la permeabilidad de la línea de flujo radial de acción infinita, Ec. 8.66. 2) Estos tiempos de intersección de la línea de flujo birradial y a línea de flujo lineal

se puede determinar por combinación de las Ecs. 8.66 y 8.81:

2

00257.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

e

fDALBRi x

xt (8.87)

Sustituyendo por el tiempo adimensional y resolviendo para xf

2/k produce:

t

LBRif

ct

kx

φµ39

2

= (8.88)

447

0.01

0.1

1

10

100

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10


t DA*P

D'

tDA

Flujo radial

Flujo uniforme

Flujo lineal

xe/xf=16

xe/xf=4

Cuadrado4:1R

Fig. 8.28. Fractura de flujo uniforme en un cuadrado y un rectángulo 4:116

Si el flujo radial de acción infinita está bien definido, calcular k de la Ec. 8.32, entonces calcular la longitud media de la fractura de la Ec. 8.61 (si el régimen de flujo lineal es dominante) o de la Ec. 8.86 (si el régimen de flujo birradial es mucho más dominante). Sin embargo para xe /xf <8, el régimen de flujo radial de acción infinita es de vida muy corta o esencialmente inexistente. En este caso se puede calcular la permeabilidad de:

1

12.67 1( * ')L LBRi

q Bkh t P t

µ⎛ ⎞= ⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(8.89)

Esta ecuación fue derivada por combinación de las Ecs. 8.61 y 8.88. 3) Para xe /xf > 8 el régimen de flujo lineal no es generalmente dominante y por lo tanto la línea recta correspondiente a este régimen no será observada. En este caso es mejor usar el tiempo de intersección de la línea de flujo birradial y la línea de acción infinita para verificar los valores de k y xf:

2

3023.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

e

fDARBRi x

xt (8.90)

Sustituyendo por el tiempo adimensional y resolviendo para la relación xf

2/k dada:

448

t

RBRifx

ct

k φµ4587

2

= (8.91) Esta ecuación también puede usarse para calcular la longitud media de fractura xf, si k puede ser determinada de la línea de acción infinita16, por ejemplo la Ec. 8.88. 4) El tiempo de intersección de la línea de flujo birradial y la línea de estado pseudoestable se puede obtener combinando las Ecs. 8.81 y 8.67:

125.1

03755.0 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

f

eDAPBRi x

xt (8.92)

Sustituyendo el tiempo adimensional y resolviendo para k se tiene:

125.13.142

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

f

e

PBRi

t

xx

tAc

kφµ

(8.93)

5) Varias relaciones útiles se pueden derivar mediante la combinación de las ecuaciones del tiempo de intersección. Por lo tanto, combinando las Ecs. 8.88 y 8.91 se tiene:

itt LBRRBRi 6.117= (8.94) De las Ecs. 8.90 y 8.92 se puede derivar:

PBRie

fRBRi t

xx

t

125.2

8 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (8.95)

Estas ecuaciones se pueden usar para propósitos de verificación o para diseño de pruebas de transiente de presión. 8.9.4. Sistemas Rectangulares Para un sistema rectangular, la transición entre el flujo radial de acción infinita y el flujo de estado pseudoestable, para ambos tipos de fractura, es mucho más largo que para uno cuadrado. Para un rectángulo 4:1, por lo tanto, este periodo de transición producirá una línea recta de pendiente 0.5, como muestra la Fig. 8.28. Esta línea recta corresponde al efecto de dos fronteras paralelas cerradas. La ecuación de esta línea recta es16:

449

DADDA tPt 545.3'* = (8.96) Sustituyendo por los términos adimensionales se tiene:

tmPt CB=∆ '* (8.97) Donde el subíndice CB corresponde a las fronteras paralelas cerradas, y mCB está dada por:

5.0128.8 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kAchqB

mt

CB φµ

(8.98)

Sea (t*∆P’)CB1 el valor de (t*∆P’) a un tiempo t = 1 hr en la línea recta (extrapolada si es necesario). Luego, se despeja permeabilidad o el área de drene de las Ecs. 8.97 y 8.98. Si la línea de flujo radial de acción infinita no es observada, tal como cuando xe/xf < 8, entonces la permeabilidad es:

25.05.0

1)'*(85.2 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆=

AcPthqBk

tCB φµ

(8.99)

Las ecuaciones para el tiempo de intersección de la línea de fronteras paralelas cerradas con las otras líneas, por ejemplo la línea de flujo radial de acción infinita y la línea de flujo del estado pseudoestable se pueden derivar fácilmente mediante la combinación de las Ecs. 8.65 y 8.67, respectivamente, con la Ec. 8.96. La línea de fronteras paralelas cerradas y la línea de flujo lineal a tiempos tempranos tienen la misma pendiente, 0.5. Sin embargo, las constantes 1.772 (Ec. 8.56) y 0.769 (Ec. 8.81) cambian con una relación del lado largo al lado corto, ye/xe. Esto afectará las ecuaciones del tiempo de intersección involucradas con las líneas de frontera birradial y lineal. 8.9.5. Procedimientos Una prueba de transiente de presión en un pozo fracturado verticalmente en un sistema cerrado, producirá todas las líneas rectas necesarias para calcular la longitud media de fractura, permeabilidad, daño, área de drene y factor de forma a partir de las técnicas convencionales. Sin embargo, en muchos casos las pruebas son muy cortas para observar la línea de flujo de estado pseudoestable, o la línea del régimen de flujo lineal no está bien definida debido a la falta de puntos, tales como cuando la relación de penetración xe/xf es muy alta. En tales casos, el ajuste con curvas tipo fue la única alternativa para las técnicas convencionales. Sin embargo, aún con la adición de la

450

curva de derivada de presión, encontrando un ajuste único mediante una simple comparación de formas es todavía uno de los principales problemas de la técnica de ajuste con curvas tipo. La técnica propuesta aquí se ilustra para el caso de un pozo fracturado en un cuadrado. CASO 1 FRACTURA CON FLUJO UNIFORME16

El siguiente procedimiento paso a paso es para el caso ideal donde todas las líneas rectas necesarias están bien definidas. Paso 1 – Grafique los valores de cambio de presión del pozo (∆P) y de derivada de presión (t*∆P’) versus tiempo. La presencia de una línea recta de pendiente 0.5 (régimen de flujo lineal) seguida por una línea recta horizontal (régimen de flujo radial) indica que el pozo está interceptado por una fractura de flujo uniforme. Una tercera recta de pendiente 0.5 indica un sistema cerrado. Paso 2 – Lea el valor de (t*∆P’)r correspondiente a la línea de flujo radial de acción infinita. Paso 3 – Calcular la permeabilidad de la Ec. 8.66. Paso 4 – Obtener el valor de (t*∆P’) a un tiempo t = 1 hr de la línea de flujo lineal (extrapolada si es necesario), (t*∆P’)L1. Paso 5 – Calcular la longitud media de fractura xf de la Ec. 8.61. Si la porción de línea de flujo lineal de (t*∆P’) es muy corta o muy distorsionada por el efecto de la cercanía a la cara del pozo y ruido, entonces xf podría ser determinada de la línea de pendiente ½ de ∆P, usando la Ec. 8.63. Use la Ec. 8.64 para dibujar la línea de pendiente ½ de la curva de derivada de presión. Paso 6 – Determinar el tiempo de intersección de la línea de flujo lineal y radial de la gráfica, por ejemplo tLRi , usando la curva (t*∆P’). Paso 7 – Calcule la relación xf

2/k de la Ec. 8.73. Luego calcule esta relación usando valores de k y xf obtenido en los pasos 3 y 5, respectivamente. Si las dos relaciones son aproximadamente iguales, entonces los valores de k y xf son correctos. Si esas relaciones son significativamente diferentes, trasladar una o ambas líneas rectas, y repetir los pasos del 2 al 7 hasta que las relaciones sean iguales. Generalmente, los valores de derivada de presión durante el régimen de flujo lineal probablemente son más distorsionados debido a problemas mecánicos, almacenamiento y daño. Por consiguiente, si la línea de flujo radial de acción infinita está bien definida, entonces la línea de flujo lineal es probablemente la única que se pudiese trasladar. Un traslado hacia la izquierda disminuirá el valor de xf y un traslado hacia la derecha lo incrementará. Paso 8 – Lea el valor de (t*∆P’)p1 de la línea de estado pseudoestable (extrapolada si es necesario). Calcule el área de drene usando la Ec. 8.68. Paso 9 – Obtenga el tiempo de intersección de la línea de acción infinita y la línea de estado pseudoestable, tRPi, de la gráfica, y calcule A de la Ec. 8.77. Si los dos valores de A en los pasos 9 y 10 son aproximadamente iguales, entonces A es correcta. Si

451

éstos son claramente diferentes entonces trasladar hacia la izquierda o derecha y repetir los pasos 8, 9 y 10 hasta que la Ec. 8.68 y 8.77 den los mismos valores de A. Paso 10 – Seleccionar cualquier valor conveniente de tiempo tr durante el periodo de acción infinita y leer el valor correspondiente de (∆P)r; luego calcule el factor de daño de la Ec 8.79. Paso 11 – Leer el valor de ∆P y (t*∆P’) correspondiente a cualquier tiempo tps durante la porción de flujo de estado pseudoestable de las curvas, y calcular el factor de forma CA de la Ec. 8.71.a o 8.71.b. La Fig. 8.26 muestra que para xe/xf < 8 el régimen de flujo radial de acción infinita no es el dominante. Así no se puede dibujar la línea horizontal correspondiente a este régimen de flujo. En este caso usar los siguientes pasos: 1. Calcular la longitud media de fractura de la línea de flujo lineal (Pasos 4 y 5 del Caso 1). 2. Use la línea de flujo de estado pseudoestable para calcular A (Pasos 8 y 9 del caso 1). 3. Calcule la permeabilidad del tiempo de intersección de las dos líneas rectas y de la Ec. 8.75. Calcule el valor de (t*∆P’)r de la Ec. 8.66, entones calcular el factor de daño de la Ec. 8.79 (Paso 10). CASO 2 FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INFINITA16

A. Régimen de Flujo Lineal

Si todas las tres líneas rectas usadas en el Caso 1, la línea de flujo lineal, línea de flujo radial de acción infinita y línea de flujo de estado pseudoestable, están disponibles, entonces el paso 11 del procedimiento usado para analizar una prueba de transiente de presión en una fractura de flujo uniforme es exactamente la misma que para una fractura de conductividad infinita.

B. Régimen de Flujo Birradial En muchas pruebas la porción de línea de flujo lineal de curva de la fractura de conductividad infinita es muy corta o inexistente, como se muestra en la Fig. 8.28 para relaciones xe/xf altas. Así solo las líneas birradial, de acción infinita, y de estado pseudoestable pueden ser observadas. En este caso el siguiente procedimiento es recomendado.

Paso 1 - Grafique ∆P y (t*∆P’) versus tiempo de prueba en una gráfica log-log, y trace las líneas rectas necesarias, por ejemplo la línea de flujo birradial de pendiente 0.36, la línea de acción infinita (horizontal) y la línea de flujo de estado pseudoestable de pendiente 1. Paso 2 – Igual que el Paso 2 del Caso 1. Paso 3 - Igual que el Paso 3 del Caso 1. Paso 4 - Igual que el Paso 8 del Caso 1. Paso 5 - Igual que el Paso 9 del Caso 1. Paso 6 – De la línea de flujo birradial (extrapolada si es necesario) leer el valor de (t*∆P’)BR1 a un tiempo t = 1 hr.

452

Paso 7 – Calcule el término CBR de la Ec. 8.84, luego calcule la longitud media de fractura xf usando la Ec. 8.86. Paso 8 – De la gráfica, determine el tiempo de intersección de la línea de flujo radial y la línea de flujo birradial, tRBRi, luego calcule xf

2/k de la Ec. 8.91. Paso 9 - Calcular xf

2/k usando los valores de k y xf obtenidos en los Pasos 3 y 7, respectivamente. Si los Pasos 8 y 11 dan el mismo valor de xf

2/k, entonces los valores de k y xf son correctos. Si éstos son diferentes, entonces traslade una o ambas líneas rectas (birradial y de acción infinita), y repetir los Pasos 2, 3, 6, 7, 8 y 9 hasta que los Pasos 8 y 9 den el mismo valor de xf

2/k. Paso 10 – Igual al Paso 10 del Caso 1. Paso 11 – Igual al Paso 11 del Caso 1. C. Regímenes de Flujo Lineal y Birradial

La Fig. 8.27 indica que para xe/xf = 2, ambas líneas de flujo lineal y flujo birradial pueden observarse. En este caso, la escogencia del procedimiento depende de cual de las dos líneas está mejor definida. La Fig. 8.27 también muestra que para 1 <xe/xf < 8 la línea horizontal correspondiente al régimen de flujo radial de acción infinita puede ser muy corta para ser observada. En este caso, la longitud media de fractura se calcula como se discutió en el Caso 1 (Pasos 4 y 5), y la permeabilidad se calcula del punto de intersección de las líneas de flujo lineal y birradial, por ejemplo la Ec. 8.89. Use la Ec. 8.88 para propósitos de verificación.

1

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100 1000

∆ P y

t*∆

P'

Tiempo, hr

tLRi=1.2(t*∆P')r=105.5

(∆P)r=105.5

tr=48

(t*∆P')L1=105.5

Fig. 8.29. Curvas de presión y derivada de presión

453

Tabla 8.4. Datos de Presión

t, hrs P, psi t*∆P’,

psi t, hrs P, psi t*∆P’,

psi t, hrs P, psi t*∆P’, psi

0.010000 5180.516 9.23087 0.229087 5114.365 36.27736 5.248075 4914.153 91.713160.012023 5178.636 10.54014 0.275423 5107.467 38.73384 6.309573 4897.025 93.796190.014454 5176.577 11.72241 0.331131 5100.102 41.37633 7.585776 4879.542 95.613360.017378 5174.322 12.82671 0.398107 5092.232 44.22563 9.120109 4861.749 97.188160.020893 5171.855 14.01576 0.478630 5083.817 47.29661 10.964780 4843.691 98.544710.025119 5169.160 15.28467 0.575440 5074.815 50.59502 13.182570 4825.404 99.704230.030200 5166.224 16.62967 0.691831 5065.183 54.11097 15.848930 4806.922 100.693160.036308 5163.033 18.04506 0.831764 5054.879 57.81682 19.054610 4788.276 101.531870.043652 5159.574 19.52534 1.000000 5043.873 61.66244 22.908680 4769.489 102.241150.052481 5155.836 21.06790 1.202264 5032.142 65.58171 27.542290 4750.584 102.840310.063096 5151.809 22.67274 1.445440 5019.680 69.50258 33.113110 4731.580 103.343140.075858 5147.480 24.34180 1.737801 5006.494 73.34374 39.810720 4712.492 103.766270.091201 5142.837 26.08251 2.089296 4992.606 77.03471 47.863010 4693.335 104.120990.109648 5137.868 27.90302 2.511886 4978.053 80.51626 57.543990 4674.118 104.418430.131826 5132.556 29.81587 3.019952 4962.879 83.74402 69.183100 4654.853 104.667560.158489 5126.883 31.83841 3.630780 4947.134 86.69314 83.176380 4635.546 108.803410.190546 5120.828 33.98632 4.365158 4930.874 89.34966 100.00000 4616.205 120.18258

EJEMPLO Los datos de presión dados en la tabla 8.4 corresponden a una prueba de declinación de presión en un pozo fracturado altamente productivo. La derivada de presión para esta prueba fue estimada mediante la Ec. 1.63 y sus datos se reportan en la tabla 8.4. Otros datos conocidos del yacimiento y el pozo son: q = 2000 STB/D φ = 0.24 µ = 0.3 cp ct = 14.8x10-6 psi-1 B = 1.5 bbl/STB h = 50 ft rw = 0.4 ft Pi = 5200 psi

SOLUCION Paso 1 – La Fig. 8.29 muestra una grafica log-log de ∆P y (t*∆P’) versus tiempo. La curva de derivada de presión muestra la existencia de tres líneas rectas. La primera línea recta de pendiente 0.5 correspondientes al régimen de flujo lineal. La pendiente 0.5 corresponde al régimen de flujo lineal. La pendiente de la segunda línea recta es aproximadamente 0.36. Así, esta fractura de altamente conductiva puede tratarse como si tuviera conductividad infinita. La tercera línea recta es horizontal y corresponde al régimen de flujo radial de acción infinita. El pozo no fue probado por bastante tiempo para observar la línea de estado pseudoestable. La Fig. 8.29 muestra donde esta línea se ubicaría si el pozo hubiera sido probado por más tiempo y por lo

454

tanto xe = 660 ft. Puesto que la línea correspondiente al régimen de flujo de estado pseudoestable no es observada, el procedimiento presentado en el Caso 2 es modificado como sigue: Paso 2 – De la línea (horizontal) de flujo radial de acción infinita en la Fig. 8.29: (t*∆P’)r =105.5 psi Paso 3 – Calcular la permeabilidad de la Ec. 8.66.

70.6 70.6(2000)(0.3)(1.5) 12 md( * ') 50(105.5)r

q Bkh t P

µ= = =

∆

Paso 4 – De la línea del régimen de flujo lineal de pendiente 0.5 a un tiempo t = 1 hr: (t*∆P’)L1 = 97 psi Paso 5 - Calcule la longitud media de fractura de la Ec. 8.61.

( ) 61

2.032 2.032(2000)(1.5) 0.3 105.4 ft* ' 50(97) 0.24(14.8 10 )(12)f

tL

qBxh t P c k

µφ −= = =

∆ ×

Paso 6 – Seleccione cualquier tiempo conveniente tr durante el periodo de flujo radial de acción infinita y lea el valor correspondiente de ∆P: tr = 48 hrs (∆P)r = 507 psi Paso 7 - Calcular el factor de daño de la Ec. 8.79.

85.443.7)4.0)(108.14)(3.0)(24.0(

4812ln5.105

5075.0 26 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

⋅−= −s

Paso 8 - Verificación a) Calcule la relación xf

2/k usando el valor de k y xf en los pasos 3 y 5, respectivamente.

2 22105.4 927.5 ft / md

12fx

k= =

b) Calcule la relación xf

2/k de la Ec. 8.73, donde tLRi = 1.2 hr (de la Fig. 8.29):

22

6

1.2 933 ft / md1207 1207(0.24)(0.3)(14.8 10 )

f LRi

t

x tk cφµ −= = =

×

Puesto que los dos valores de xf

2/k son aproximadamente iguales, se puede concluir que los valores de k, xf y s son correctos.

455

8.10. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS CON FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA8-17

Esta sección amplia la Tiab’s Direct Synthesis Technique para interpretación del comportamiento de los datos de presión y derivada de presión de un pozo interceptado por una fractura hidráulica de conductividad finita. En esta técnica son analizados gráficos log-log de datos de presión y derivada de presión de una prueba de declinación o restauración de presión sin usar ajustes con curvas tipo o procedimientos de regresión. Un gráfico log-log de presión y derivada de presión versus tiempo de prueba para un pozo fracturado en un sistema cerrado puede revelar la presencia de varias líneas rectas correspondientes a diferentes regímenes de flujo; flujo bilineal, flujo lineal, flujo radial de acción infinita, y flujo de estado pseudoestable. Las pendientes y puntos de intersección de estas líneas rectas son únicos y por lo tanto pueden ser usados para calcular varios parámetros de pozo, yacimiento y fractura: permeabilidad, factor de daño, coeficiente de almacenamiento, conductividad de la fractura, longitud media de la fractura y área de drene.

Se encontró que las ecuaciones correspondientes a los puntos de intersección son muy útiles en el chequeo de parámetros obtenidos de las pendientes, cuando la curva de derivada de presión no es suavizada. Se deriva una nueva ecuación para calcular (a) longitud media de fractura en la ausencia de una línea recta de régimen de flujo lineal de pendiente 0.5 tal como en el caso de fractura de baja conductividad, (b) conductividad de la fractura en la ausencia de la línea de flujo bilineal de pendiente 0.25, y (c) factor de daño en la ausencia de la línea de flujo radial de acción infinita tal como en el caso de una prueba corta. Cinco-Ley y otros5 presentaron una técnica para la interpretación de datos de transiente de presión para pozos interceptados por una fractura vertical de conductividad finita. Ellos demostraron que si la conductividad de la fractura adimensional, CfD, es menor que 300, tal como en fracturas muy largas y fracturas de muy baja capacidad, pues la conductividad de la fractura no puede ser considerada infinita. Cinco-Ley y Samaniego4 desarrollaron un método para analizar datos de presión a tiempos tempranos para un pozo con una fractura de conductividad finita. Este método está basado en el régimen de flujo bilineal, el cual está caracterizado por una línea recta de pendiente 0.25 en un gráfico log-log de caída de presión versus tiempo. Este periodo de flujo está presente cuando el flujo lineal dentro de la fractura y el flujo lineal dentro de la fractura y la formación ocurren simultáneamente. La formación de la línea de flujo lineal de pendiente = 0.5 es observada después del flujo lineal. Wong y otros18 presentaron curvas tipo para presión y derivada de presión para el análisis de datos de transiente de presión para pozos con fractura de conductividad finita. Ellos desarrollaron un método de ajuste con curvas tipo para casos con almacenamiento y sin efectos de daño.

456

8.10.1. Características de Fracturas de Conductividad Finita Considere un pozo fracturado verticalmente produciendo de una formación horizontal, homogénea e isotrópica. La permeabilidad es constante, el espesor es uniforme, y la fractura tiene la misma longitud en ambos lados del pozo. La teoría general y las ecuaciones del comportamiento de la presión para un pozo fracturado bajo condiciones de flujo bilineal tal como fueron presentadas por Cinco-Ley y Samaniego4 y Wong y otros18 se aplican aquí. Asumiendo que el pozo fracturado está produciendo por largo tiempo para observar el comportamiento de acción infinita, y que los efectos de daño y almacenamiento son dominantes, entonces el gráfico log-log de datos de presión y derivada de presión versus tiempo producirá características únicas, las cuales puede ser usadas para analizar pruebas de transiente de presión mediante Tiab’s Direct Synthesis Technique. La Fig. 8.30 muestra un gráfico log-log de presión adimensional y derivada de presión versus tiempo adimensional para varios valores de conductividad de fractura, para efectos de esfuerzos despreciables, y sin efectos de daño y almacenamiento. El efecto del daño y el almacenamiento en tal gráfica se muestran el la Fig. 8.31. De estas figuras se pueden identificar varias características únicas. Estas son: (1) La línea de pendiente unitaria correspondiente al almacenamiento, (2) La línea de flujo bilineal de pendiente 0.25, (3) La línea de flujo lineal de pendiente 0.5, y (4) La línea horizontal a tiempos tardíos que corresponde al régimen de flujo radial. 8.10.2. Régimen de Flujo Bilineal Cinco-Ley y Samaniego fueron los primeros en discutir las características de este régimen de flujo. Es llamado flujo “bilineal” debido a que es el resultado de dos regímenes de flujo lineal. Un régimen de flujo es el flujo lineal incompresible de la fractura y el otro régimen de flujo es el flujo lineal compresible en la formación, como se muestra en la Fig. 8.20. Ellos mostraron matemáticamente que el flujo bilineal existe siempre que: (a) La mayoría del fluido que entra a la cara del pozo viene de la formación, y (b) Los efectos de la fractura no afectan el comportamiento del pozo. Durante el régimen de flujo bilineal mostrado en la Fig. 8.22, el comportamiento de la presión adimensional del pozo está dado por:

25.0451.2Dxf

fD

tC

PD ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= (8.100)

457

Combinando las Ecs. 8.100, 8.36, 8.37 y 8.39 y despejando el cambio de presión del pozo, ∆P, se tiene:

25.0tmP BL=∆ (8.101)

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

fftBL wkh

Bqkc

m µφµ 25.0

13.44 (8.102)

El subíndice “BL” representa el término bilineal. Tomando el logaritmo de ambos lados de la Ec. 8.101 se tiene:

BLmtP loglog25.0log +=∆ (8.103) Esta expresión indica que un gráfico de ∆P versus tiempo en una gráfica log-log producirá una porción de línea recta de pendiente 0.25, si el régimen de flujo bilineal es dominante tal como en fracturas de conductividad finita con capacidad de almacenamiento adimensional pequeña, por ejemplo CfD < 300. Sea (∆P)BL1 el valor de ∆P a un tiempo t = 1 hora en la línea recta de flujo bilineal (extrapolada si es necesario), entonces la Ec. 8.103 se vuelve:

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E-07 1.E-06 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03

Inicio aproximado delflujo pseudoradial

Fractura de conductividad infinita

Fin del regimen de flujo bilineal

t Dxf

P D

y

t D

xf* P

' D

CfD0.10.51.05.0

10.025.050.0

100.0500.0

Fig. 8.30. Curvas tipo de presión y derivada de presión para pozos fracturados verticalmente18

458

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

P D

y

P D

'

Tiempo adimensional

CD=10000

CD=2000

CD=500

CD=20

CD=5000CD=1000

CD=200CD=0

Fig. 8.31. Curvas tipo de presión y derivada de presión para pozos fracturados verticalmente1

BLBL mP =∆ 1)( (8.104)

Combinado las Ecs. 8.102 y 8.104 y resolviendo para la conductividad de la fractura, por ejemplo kfwf, se tiene:

2

1)(146.1947 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

=BLt

ff PhBq

kcwk µ

φµ (8.105)

La conductividad de la fractura también se puede determinar de la línea recta de la derivada de la presión correspondiente al régimen de flujo bilineal. La derivada adimensional de la presión en el pozo durante ese régimen es:

25.06127.0'* DxffDfD

DDxf twk

Pt ⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= (8.106)

Sustituyendo por los parámetros adimensionales y resolviendo para la derivada de presión del pozo, se tiene:

459

25.025.0'* tmPt BL ⋅=∆ (8.107) Tomando el logaritmo de ambos lados de estas ecuaciones, da:

)25.0log(log25.0)'*log( BLmtPt +⋅=∆ (8.108) Esta expresión también muestra que un gráfico log-log de (t*∆P’) versus tiempo producirá una línea recta de pendiente 0.25 si el flujo bilineal es dominante. Sea (t*∆P’)BL1 el valor de (t*∆P’) a un tiempo t=1 hr en la línea recta de flujo bilineal (extrapolada si es necesario) entonces la Ec. 8.108 se convierte en:

BLBL mPt 25.0)'*( 1 =∆ (8.109) Comparando las Ecs. 8.104 y 8.109, dadas a un tiempo t=1 hr:

11 )(25.0)'*( BLBL PPt ∆=∆ (8.110) La conductividad de la fractura de conductividad finita de la línea de derivada de presión es obtenida reemplazando (t*∆P’)BL1 en la Ec. 8.105 con 4(t*∆P’)BL1, así:

2

1)'*(74.121

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

=BLt

ff PthBq

kcwk µ

φµ (8.111)

La Ec 8.111 es muy importante en muchos aspectos, debido a: (a) Esta relaciona las funciones de presión y derivada de presión en un punto único, y (b) Esta puede ser usada para propósitos de verificación. Generalmente, las condiciones de cercanía a la cara del pozo afectan la curva de derivada de presión mucho más que la curva de presión durante el flujo bilineal, haciendo esto difícil localizar la línea de pendiente ¼. En tal caso, estime la conductividad de la fractura de la línea de flujo bilineal de la curva de presión, usando la Ec. 8.105 Entonces, estime (t*∆P')BL1 de la Ec. 8.110 y dibuje una línea recta de pendiente 0.25 a través de este punto. 8.10.3. Flujo Bilineal y Almacenamiento Si la línea recta de pendiente unitaria, que corresponde al régimen de flujo del almacenamiento está presente (lo cual no es muy común que ocurra), entonces el coeficiente de almacenamiento se puede determinar de las ecuaciones usuales por ejemplo de la curva de presión:

460

PtqBC

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

24 (8.112)

o de la curva derivada de presión:

'*24 PttqBC∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (8.113)

Las coordenadas del punto de intersección de las líneas de pendiente unitaria y flujo bilineal en la curva de presión pueden ser obtenidas por la combinación de la Ec. 8.101 y 8.112:

tC

qBtmBL ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2425.0 (8.114)

Reemplazando t por tUSBLi se tiene:

3/43/424 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

qBCmt BL

USBLi (8.115)

En el punto de intersección, en la curva de presión:

25.0)()( USBLiBLUSBLi tmP =∆ (8.116) Las coordenadas del punto de intersección de las líneas de pendiente unitaria y flujo bilineal en la curva de derivada se pueden obtener combinando las Ecs. 8.107 y 8.113; por ejemplo:

tc

qBtmBL ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2425.0 25.0 (8.117)

Reemplazando t por t'USBLi se tiene:

t cmqBUSBLi

BL' //

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟64 3

4 3

(8.118)

y;

25.0)'(25.0)'*( USBLiBLUSBLi tmPt =∆ (8.119)

461

Las coordenadas de los puntos de intersección en las curvas de ∆P y t*∆P' son relacionadas a continuación: t tUSBLi USBLi= 44 3/ ' (8.120)

USBLiUSBLi PtP )'*(4)( ∆=∆ (8.121) Estas dos expresiones son muy útiles para propósitos de verificación. 8.10.4. Interrelaciones entre el Flujo Bilineal y Lineal Si el régimen de flujo lineal en la formación es observado después de la línea de flujo bilineal, tal como para CfD > 300, entonces las ecuaciones desarrolladas por Tiab para los casos de fractura de conductividad infinita y fractura de flujo uniforme se pueden usar para determinar la longitud de fractura. Brevemente, las ecuaciones descritas para el régimen de flujo lineal son8,17:

tmP L=∆ (8.122)

tmPt L5.0)'*( =∆ (8.123) Donde:

2064.4ft

L kxchqBm

φµ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (8.124)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la Ec. 8.121 y resolviendo para la longitud media de la fractura xf a un tiempo t = 1 hr se tiene:

( ) kcPhqBx

tLf φ

µ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

=1

064.4 (8.125)

Donde (∆P)L1 es el valor de ∆P a un tiempo t=1 hora en la porción de línea recta de pendiente 0.5 (extrapolada si es necesario). La longitud de fractura se puede determinar de la curva de derivada reemplazando (∆P)L1, en la Ec. 8.50 por 2(t*∆P’)L1, después de un tiempo t = 1 hora:

11 )(5.0)'*( LL PPt ∆=∆ (8.126) (a) Las coordenadas del punto de intersección de las líneas en la curva de ∆P se pueden obtener combinado las Ecs. 8.101 y 8.122:

462

m t m tBL L

0 25 0 5. .= (8.127) Reemplazando t por tBLLi, donde el subíndice “BLLi” representa la intersección de las líneas bilineal y de flujo lineal, se tiene:

t mmBLLiBLLi

L=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

(8.128)

BLLiLBLLi tmP =∆ )( (8.129) o;

25.0)()( BLLiBLBLLi tmP =∆ (8.130) Sustituyendo por mBL (Ec. 8.102) y mL (Ec. 8.124) en la Ec. 8.128 se tiene:

22

13910 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ff

ftBLLi wk

kxct µφ (8.131)

Resolviendo explícitamente para k se tiene:

t

BLLi

f

ff

ct

xwk

kµφ13910

2

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (8.132)

Las Ecs. 8.131 y 8.132 se pueden usar para propósitos de verificación, si todos los tres regímenes de flujo son observados. Si la prueba es muy corta para observar la línea de flujo radial, o una prueba pre-frac no es posible tal como en la formación de baja permeabilidad, entonces la Ec. 8.132 puede ser usada para calcular la permeabilidad de la formación. Se puede derivar una relación útil para diseñar, y con propósitos de verificación, combinando la conductividad adimensional de la fractura Ec. 8.37 y Ec. 8.128.

22

13910 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

fD

ftBLLi c

xkct φµ (8.133)

(b) Usando una aproximación similar, las coordenadas del punto de intersección de las líneas rectas bilineal y lineal en la curva de derivada, se tiene:

463

44

161

2' ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

L

BL

L

BLBLLi m

mm

mt (8.134)

5.0)'(5.0)'*( BLLiLBLLi tmPt =∆ (8.135) o;

25.0)'(25.0)'*( BLLiBLBLLi tmPt ⋅=∆ (8.136) Una relación entre tBLLi y t'BLLi puede ser derivada combinando las Ecs. 8.123 y 8.125:

BBLiBBLi tt '16= (8.137) Combinando las Ecs. 8.130 y 8.136 se tiene:

BLLiBLLi PtP )'*(4)( ∆=∆ (8.138) Así, es posible “ubicar” las líneas rectas correspondientes a los dos regímenes de flujo de la curva de derivada de presión a partir de la curva de presión, aún cuando los datos de derivada de presión son extremadamente ruidosos. 8.10.5. Interrelación entre el Flujo Bilineal y Radial La porción de derivada de presión correspondiente a la línea de flujo radial de acción infinita es una línea recta horizontal. Este régimen de flujo está dado por:

70.6( * ')rq Bt P

khµ

∆ = (8.139)

El subíndice r representa el flujo radial. La permeabilidad de la formación es por lo tanto:

70.6( * ')r

q Bkh t P

µ=

∆ (8.140)

donde (t*∆P’)r es obtenido por extrapolación de la línea horizontal al eje vertical. La línea del flujo radial puede también ser usada para calcular el factor de daño de:

20.5 ln 7.43( * ')

r r

r t w

P k tst P c rφµ

⎛ ⎞⎡ ⎤∆= − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∆ ⎣ ⎦⎝ ⎠

(8.141)

464

Donde tr es cualquier tiempo conveniente durante el régimen de flujo radial de acción infinita (como el indicado por la línea horizontal en la curva de derivada de presión) y (∆P)r es el valor de ∆P en la curva de presión correspondiente a tr. La coordenada de tiempo del punto de intersección de la líneas bilineal y radial se puede determinar de una combinación de las Ecs. 8.102 y 8.107:

0 25 70 60 25. ..m t q BkhBL =

µ (8.142)

t q Bkh mRBLi

BL

0 25 70 6 4. .=

µ (8.143)

Sustituyendo por mBL de la Ec. 8.102 se tiene:

( )231677 ff

tRBLi wk

kct φµ

= (8.144)

Esta expresión preferiblemente debe ser usada para propósitos de verificación. 8.10.6. Relaciones entre Birradial y Bilineal Las coordenadas del punto de intersección de las líneas de flujo bilineal y birradial en la curva de presión se pueden obtener combinado la Ec. 8.107 y 8.83:

( ) 72.04

11.0

/18.2

fefftBLBRi xxwkkc

ktµφ

= (8.144.a)

La conductividad de la fractura o la longitud de la fractura pueden ser obtenidas de la Ec. 8.144.a. CASOS ESPECIALES El análisis anterior asume que todos los tres regímenes de flujo (bilineal, lineal de formación y radial) son observados durante la prueba de presión y que éstos están bien definidos en la curva de derivada de presión. En muchas instancias, al menos uno de los regímenes de flujo no es observado o no está definido. Note que el flujo lineal de fractura no es discutido aquí, puesto que es prácticamente imposible observar este régimen de flujo debido al fenómeno de la cara del pozo. (a) Flujo Lineal de la Formación no es Observado. Para una fractura de baja conductividad, la línea recta correspondiente al régimen de flujo lineal probablemente no será observada. Después de la línea de flujo bilineal, la curva de derivada de

465

presión generalmente entra a un flujo de transición. Después, si la prueba es corrida por un tiempo largo, se observa una línea horizontal en la curva de derivada de presión correspondiente al régimen de flujo radial de acción infinita. En este caso, la permeabilidad de la formación es calculada de la Ec. 8.140 y la conductividad de la fractura es determinada de la línea de flujo bilineal (Ecs. 8.105 o 8.111). En la literatura, en la ausencia de flujo lineal de la formación, la longitud media de la fractura se determina mediante una cexpresión que relacionan la longitud media de la fractura, xf, permeabilidad de la formación, k, conductividad de la fractura, wfkf, y factores de daño de post-frac, Cinco-Ley y Samaniego4:

ffw

f

kwk

r

x 31739.3'1

92173.1

−= (8.145)

donde r’w es el radio efectivo del pozo:

sww err −=' (8.146)

Para una fractura que pose una conductividad muy alta, el término (31739k/wfkf) se aproxima a cero, como se espera, el radio adimensional efectivo del pozo rw’/xf se aproxima a 0.5. La Ec. 8.145 es derivada por generación, similarmente a Cinco-Ley y Samaniego4, una curva muestra la relación rw’/xf para la conductividad adimensional de la fractura como la definida por la Ec. 8.37, y entonces se obtiene la mejor relación que represente la curva mediante un análisis de regresión multivariable (r2=0.999). Combinando la Ecs. 8.145 y 8.146 se tiene:

ffw

sf

kwk

re

x31739.3

92173.1

−= (8.147)

Conociendo la conductividad de la fractura (wfkf) del flujo bilineal, y la permeabilidad de formación (k) y daño (s) del flujo radial, la Ec. 8.147 se puede usar para calcular la longitud media de fractura (xf). Esta ecuación es muy sensible a los valores de daño (debido al término exponencial). (b) Flujo Bilineal no es Observado. Si la línea de flujo bilineal de pendiente 0.25 no está bien definida o no se observa debido al fenómeno de cara del pozo, entonces la conductividad de la fractura (wfkf) se puede calcular de:

fw

sff

xre

kkw92173.1

31739.3

−= (8.148)

466

donde la permeabilidad de la formación es determinada de la Ec. 8.140 (si un pre-frac no es posible) y daño post-frac de la Ec. 8.141. La longitud media de la fractura es obtenida de la Ec. 8.125. (c) No se Observa el Flujo Radial. Para pruebas cortas tales como en formaciones de baja permeabilidad, la línea recta horizontal en la derivada de presión, que corresponde al comportamiento de acción infinita podría no ser observado durante el periodo limitado de tiempo de una prueba convencional de declinación o restauración de presión. En este caso, la Ec. 8.141 no puede ser usada para calcular el factor de daño post-frac. Si el flujo lineal de la formación y el bilineal están bien definidos en las curvas de derivada de presión y presión, entonces la permeabilidad de la formación es calculada de la Ec. 8.132 (asumiendo que no hubo prueba pre-frac), mientras que el factor de daño post-frac es obtenido de7:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

fffw kw

kx

rs 31739.392173.1ln (8.149)

El factor de daño post-frac puede también ser calculado mediante el método gráfico sugerido por Cinco-Ley y otros5, ajuste de curvas tipo, o de la siguiente ecuación7:

32

2

005.0064.018.0111.032.065.1ln

uuuuu

xrs

f

w

++++−

+= (8.150)

y;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kxkw

uf

ffln (8.151)

Es importante enfatizar que valores exacto de k, xf, y wfkf solo pueden obtenerse cuando, respectivamente, los regímenes de flujo radial, lineal de la formación y bilineal están bien definidos en las curvas de presión y derivada de presión. En ausencia de cualquiera de los tres regímenes, las Ecs. 8.145 – 8.149 son de gran exactitud (con error menor al 1 %) para determinar estos parámetros. 8.10.7. Procedimiento Sistemático El fracturamiento hidráulico tiene un efecto definido sobre el comportamiento del transiente de presión. Es importante por lo tanto estimar la respuesta completa de la presión esperada usando propiedades de yacimiento asumidas y medidas, o con el más pequeño factor clave estimado en la respuesta de la prueba. El diseño de la prueba es crítico ya que muchos aspectos pueden enmascarar la respuesta buscada, o puede causar una respuesta errónea debida simplemente a que se parece al

467

comportamiento esperado. Es conveniente tomar datos de presión a intervalos cortos mientras el almacenamiento sea importante para definir mejor la porción afectada por almacenamiento de la curva de derivada de presión. Debido a que los efectos del almacenamiento pueden enmascarar los regímenes de flujo bilineal y lineal de la formación (lo cual puede hacer que la prueba de presión no sea interpretable), puede ser necesario idear una prueba que minimice o elimine los efectos del almacenamiento. Los mejores resultados son obtenidos cuando el pozo es cerrado en la cara de la arena y la presión de fondo del pozo se registra continuamente durante una prueba transiente. Aunque la presión de superficie frecuentemente puede ser convertida a valores de profundidad del pozo si la información adecuada acerca del sistema del pozo está disponible, es probable que esta conversión resultara en un efecto de ruido adicional en los valores de derivada de presión. CASO 1 – CASO IDEAL (TODOS LOS 3 REGIMENES DE FLUJO SON OBSERVADOS) El siguiente procedimiento paso a paso es para el caso donde todas la líneas rectas correspondientes a varios regímenes de flujo de una fractura de conductividad finita están bien definidas. Paso 1 - Grafique el cambio de presión ∆P y los valores de derivada de presión (t*∆P’) versus el tiempo de prueba. Paso 2 – Identifique y trace las líneas rectas correspondientes al almacenamiento (pendiente = 1), flujo bilineal (pendiente = 0.25), flujo lineal de la formación (pendiente = 0.5), y flujo radial de acción infinita (línea horizontal). Paso 3 – Calcule el coeficiente de almacenamiento de la Ec. 8.112, si la pendiente unitaria está bien definida. Paso 4 - Calcule la permeabilidad de formación, k, de la línea de flujo radial de acción infinita en la curva de derivada de presión, usando la Ec. 8.132. Paso 5 – Lea el valor de ∆P y (t*∆P’) a un tiempo t=1 hr de la línea de flujo bilineal (extrapolada si es necesario), y calcular la conductividad de la fractura (kfwf) de las Ecs. 8.105 y 8.111. Si los valores de tiempo temprano de los valores de derivada de presión están distorsionados con ruido, entonces usar la Ec. 8.110 para “ubicar” la línea de pendiente de ¼ en la curva (t*∆P’). Las Ecs. 8.105 y 8.111 de por sí producirán el mismo valor de (kfwf). Paso 6 - Calcule el tiempo de intersección de la líneas de flujo bilineal y radial usando la Ec. 8.144, y comparar con el tiempo de intersección observado en la gráfica tRBLi. Si los valores calculado y observado de tRBLi son aproximadamente iguales, se puede concluir que los valores calculados de la permeabilidad de la formación, k, y la conductividad de la fractura, kfwf, son correctos. Si éstos son diferentes, ajuste una de las dos líneas rectas o ambas y recalcule k y kfwf hasta que los dos valores de tRBLi sean iguales. Paso 7 – Calcule el factor de daño de la Ec. 8.141.

468

Paso 8 - Calcule la longitud media de la fractura de la Ec. 8.125. Verifique este valor de xf calculando tBLLi de la Ec. 8.131 y entonces compararlo con el valor observado de tBLLi. Si estos dos valores de tBBLi son aproximadamente iguales se puede concluir que xf es correcto. Si los dos valores de tBLLi son diferentes trasladar la línea de ½ pendiente hasta que el tBLLi observado y calculado sean iguales. Paso 9 - Calcule la conductividad adimensional de la fractura (CfD) de la Ec. 8.28. Se puede observar que el índice de productividad máximo (PI) ocurre en el valor óptimo de CfD = 1.6, para cualquier formación, pozo, y material de sostén. Aunque el CfD óptimo puede no ser técnicamente o económicamente posible, si la Ec. 8.37 produce un CfD que es muy diferente de 1.6 es importante buscarlo por una razón. Generalmente, en yacimientos de baja permeabilidad, CfD=1.6 indica una larga y angosta fractura; en yacimientos de alta permeabilidad, este valor de CfD puede indicar una fractura corta y ancha. CASO 2 FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD BAJA (NO SE OBSERVA LA LÍNEA DE FLUJO LINEAL) Para una fractura de baja conductividad, el régimen de flujo lineal de la formación probablemente será de muy corta duración para que esté bien definido, haciendo difícil trazar la línea de pendiente ½, o no será observada del todo. Pasos 1 - 7: Igual al caso ideal. Paso 8: Calcule la longitud media de la fractura de la Ec. 8.147. Paso 9: Igual al caso ideal. CASO 3 - FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INTERMEDIA Una prueba de presión en un pozo con una fractura de conductividad intermedia producirá todos los tres regímenes de flujo (bilineal, lineal de la formación y radial). Sin embargo, si el efecto de almacenamiento y/o ruido en los datos de presión a tiempos tempranos son severos, entonces se dificultará dibujar la línea de pendiente 1/4. Pasos 1-4: Igual al caso ideal. Paso 5: Calcule la longitud media de la fractura de la Ec. 8.125. Paso 6: Seleccione cualquier tiempo conveniente tr durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión, y lea los valores correspondientes de (∆P)r y (t*∆P’)r. Luego, calcule el factor de daño (s) de la Ec. 8.141. Paso 7: Estime la conductividad de la fractura (kfwf) de la Ec. 8.148. Paso 8: Igual que el paso 9 del caso ideal. CASO 4 - PRUEBAS CORTAS POST-FRAC Para yacimientos de baja permeabilidad, la porción de la curva correspondiente al comportamiento de acción infinita radial puede no ser observado. Luego un procedimiento de ensayo y error podría ser empleado.

469

Pasos 1-3: Igual que el caso ideal. Paso 4: El valor de permeabilidad se determina de una prueba pre-frac. Paso 5: Calcule la conductividad de la fractura (kfwf) como se discutió en el paso 5 del caso ideal. Paso 6: Calcule la longitud media de fractura (xf) como se discutió en el paso 8 del caso ideal. Paso 7: Calcule el daño a partir de la Ec. 8.149. Paso 8: Igual al paso 9 del caso ideal. Opcionalmente, puesto que se conoce la permeabilidad, (t*∆P’)r se puede despejar de la Ec. 8.140 y la línea de flujo radial puede trazarse en el gráfico de la derivada. Use la intersección de esta línea con los regímenes de flujo de la fractura para determinar la conductividad y longitud media de la fractura.

10

100

1000

0.1 1 10 100

30 hrrt =

r 471 psiP∆ =

1 hrBLLit =

1( * ') =40 psiBLt P∆

( * ') 150 psirt P∆ =

1=120 psiLP∆

1=160 psiBLP∆

∆ P y

t*∆

P ',

psi

t, hr

Flujo radial

Flujo Bilineal Flujo Lineal

Fig. 8.32. Presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 1 EJEMPLO (Caso ideal – todos los 3 regímenes de flujo son observados) La tabla 8.5 muestra datos de restauración de presión después de un tratamiento de fracturamiento hidráulico de un pozo de petróleo. La derivada de presión fue calculada usando la Ec. 1.63 con un valor aproximado de 0.5. Otras características son dadas a continuación. q = 101 STB/D φ = 0.08 µ = 0.45 cp ct = 17.7x10-6 psi-1 B = 1.507 bbl/STB h = 42 ft rw = 0.28 ft tp = 2000 hrs Pi = 2200 psi

470

Tabla 8.5. Datos de presión para el caso 1

t, hrs ∆P, psi t*∆P', psi t, hrs ∆P, psi t*∆P', psi 0.23 102 26.3 15 390 117 0.39 115 30 20 423 112 0.6 130 35.8 25 446 120 1 145 40.8 30 471 141

1.8 183 57.2 35 493 136.5 2.4 195 67 40 510 132 3.8 260 83.3 45 526 135 4.1 265 69.2 50 540 150 4.96 280 96.9 55 556 137.5 6.2 308 102.3 60 565 144 8.5 320 103.3 65 580 121.1 10 345 149 71 583

SOLUCION Los resultados del tratamiento se determinan usando el siguiente procedimiento paso a paso: Paso 1 - La Fig. 8.32 es una gráfica del cambio de presión ∆P y valores de derivada de presión (t*∆P’) versus tiempo de prueba. Paso 2 – Las líneas rectas bilineal (pendiente = 0.25), lineal (pendiente = 0.5), y radial (horizontal) fueron identificadas. Paso 3 - No se observa efectos de almacenamiento (no hay línea recta con pendiente =1). Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede ser calculado. Paso 4 - De la curva de derivada de presión, (t*∆P’)r = 114 psi. Usando la Ec. 8.140, la permeabilidad de la formación es:

70.6 (70.6)(101)(0.45)(1.507) 0.76 md( * ') (42)(150)r

q Bkh t P

µ= = =

∆

Paso 5 – De la Fig. 8.32 el valor de ∆P y (t*∆P’) a t = 1 hr de la línea de flujo bilineal respectivamente son (t*∆P’)L1 = 160 psi y (∆P)L1 = 40 psi. La conductividad de la fractura, kfwf, se calcula con las Ecs. 8.105 y 8.111 es:

2

6

1947.46 (101)(0.45)(1.507) 290.7 md-ft(42)(160)(0.08)(0.45)(17.7 10 )(0.76)

f fk w−

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

× ⎝ ⎠

2

6

121.74 (101)(0.45)(1.507) 290.77 md-ft(42)(40)(0.08)(0.45)(17.7 10 )(0.76)

f fk w−

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

× ⎝ ⎠

471

Las Ecs. 8.105 y 8.111 producirán un valor bastante cercano de kfwf. Paso 6 – El tiempo calculado de intersección del flujo bilineal y radial es obtenido de la Ec. 8.144:

62

3

(0.08)(0.45)(17.7 10 )1677 (310.8) 205 hrs(0.76)RBLit

−×= =

La cual baja en el rango del tiempo de intersección observado tRBLi en la Fig. 8.32. Por lo tanto, se puede concluir que los valores calculados de permeabilidad de formación, k, y conductividad de la fractura, kfwf, son correctos. Paso 7 – Lea tr=30 horas, el tiempo seleccionado durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión. Los valores correspondientes de (∆P) y (t*∆P’) son (t*∆P’)r = 150 psi y (∆P)r = 471 psi. Luego, de la Ec. 8.141, el factor de daño es:

6 2

1 471 (0.76)(30)ln 7.43 4.682 150 (0.08)(0.45)(17.7 10 )(0.28 )

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟×⎝ ⎠⎣ ⎦

Paso 8 – La longitud media de fractura es calculada de la Ec. 8.125, donde a un tiempo t = 1 hr, (∆P)L1 = 120 psi.

6

(101)(1.507) 0.454.064 79 ft(42)(120) (0.08)(17.7 10 )(0.76)fx −

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ×⎝ ⎠

De la Ec. 8.131, la coordenada de tiempo del punto de intersección de las líneas rectas lineal y bilineal es:

226 79 0.7613910(0.08)(0.45)(17.7 10 ) 1.48hr

290.7BLLit − ⎛ ⎞= × =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Este valor calculado de tBLLi es aproximadamente igual al valor observado tBLLi = 1 hr. Así, se puede concluir que xf es correcto. Note que existe cierto ruido en los datos de derivada de presión correspondientes al flujo lineal de la formación. Por tanto, se tendría que usar la Ec. 8.147 para calcular xf:

472

4.68441.92173 1.92173 79 ft

3.31739 3.31739(0.76)0.28 290.7

f s

w f f

xe k er w k

−= = =− −

Las Ecs. 8.125 y 8.147 producen un valor similar de longitud de fractura xf. La diferencia puede deberse a una selección inapropiada de los puntos característicos. Paso 9 – La conductividad de fractura adimensionales es:

290.7 4.879(0.76)

f ffD

f

w kC

x k= = =

EJEMPLO (No se observa flujo lineal en la formación)

La tabla 8.6 muestra datos de restauración de presión después de un tratamiento de fracturamiento a un pozo. Los parámetros de yacimiento y del fluido son mostrados a continuación.


t, hr ∆P, psi t*∆P', psi t, hr ∆P, psi t*∆P', psi 0.1 73.94 46.14 9.87 277.43 84.22 0.2 92.29 30.21 11.85 293.93 91.25

0.35 107.65 32.2 13.82 307.86 94.25 0.49 119.17 36.65 15.79 320.8 91.6 0.74 134.52 38.92 17.77 330.76 93.46 0.99 145.47 40.1 19.74 341.57 102.16 1.23 154.43 43.65 22.7 355.5 105.1 1.48 162.82 45.07 32.58 398.73 122.05 1.97 174.76 46.44 37.51 415.65 132.4 2.47 186.14 52.09 42.45 433.57 147.38 2.96 195.67 55.68 47.38 449.92 149.26 3.95 213.02 61.26 57.25 474.66 151.15 4.94 226.38 61.99 67.13 501.11 152.32 5.92 237.76 73.04 72.09 513.2 156.62 91.8 550.03 164.59 86.87 538.65 157.81

q = 1736 STB/D φ = 0.08 µ = 0.27 cp ct = 26.7x10-6 psi-1 B = 1.62 bbl/STB h = 152 ft rw = 0.23 ft tp = 2000 hrs Pi = 2392 psi SOLUCION

473

10

100

1000

0.1 1 10 100

90 hrrt =

r 550 psiP∆ =

1( * ') =40 psiBLt P∆

( * ') 160 psirt P∆ =1=160 psiBLP∆

∆ P y

t*∆

P ',

psi

t, hr

Flujo radial

Flujo Bilineal

Fig. 8.33. Puntos de caída de presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 2 Los resultados del tratamiento son determinados usando un procedimiento paso a paso: Paso 1 - La Fig. 8.33 muestra un gráfico de ∆P y valores de (t*∆P’) versus el tiempo de prueba. Paso 2 – Las líneas rectas bilineal (pendiente = 0.25), y radial (horizontal) fueron identificadas. Paso 3 – Los efectos del almacenamiento no fueron observados (no hay línea recta con pendiente = 1). Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede calcularse. Paso 4 – De la curva de derivada de presión, (t*∆P’)r=160 psi. La permeabilidad es calculada de la Ec. 8.140:

70.6 (70.6)(1736)(0.27)(1.62) 2.2 md( * ') (152)(160)r

q Bkh t P

µ= = =

∆

Paso 5 – De la Fig. 8.33, el valor de ∆P y (t*∆P’) a t=1 hr de la línea de flujo bilineal respectivamente son (t*∆P’)BL1 = 40 psi y (∆P)BL1 = 160 psi. La conductividad de la fractura (kfwf) es calculada de las Ecs. 8.105 y 8.111:

2

6

1947.46 (1736)(0.27)(1.62) 1685.4 md-ft(162)(160)(0.08)(0.27)(26.7 10 )(2.2)

f fk w−

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

× ⎝ ⎠

474

2

6

121.74 (1736)(0.27)(1.62) 1685.7 md-ft(162)(40)(0.08)(0.27)(26.7 10 )(2.2)

f fk w−

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

× ⎝ ⎠

Las Ecs. 8.105 y 8.111 producen prácticamente el mismo valor de kfwf. Paso 6 – El tiempo calculado de intersección de flujo bilineal y radial se obtiene de la Ec. 8.144:

62

3

(0.08)(0.27)(25.7 10 )1677 (1685) 248.2 hr(2.2)RBLit

−×= =

La cual es muy cercana al tiempo de intersección observado tRBLi de la Fig. 8.33. Por lo tanto, se puede concluir que los valores calculados de la permeabilidad de la formación (k) y la conductividad de la fractura (kfwf), son correctos. Paso 7 – Tome tr = 90 hrs como el tiempo seleccionado durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión (∆P) y (t*∆P’) son (t*∆P’)r = 550 psi y (∆P)r = 160 psi. Luego, de la Ec. 8.141, el factor de daño es:

86.543.7)23.0)(107.26)(27.0)(08.0(

)90)(2.2(ln160550

21

26 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

−= −s

Paso 8 – La longitud media de fractura es calculada de la Ec. 8.147:

5.861.92173 1.92173 238.3 ft

3.31739 3.31739(2.2)0.23 1685

f s

w f f

xe k er w k

−= = =− −

El factor de daño puede ser calculado de la Ec. 8.151:

1675.1)2.2)(3.238(

1685ln =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=u

84.5)1675.1(005.0)1675.1(064.0)1675.1(18.01

)1675.1(11.0)1675.1(32.065.13.238

23.0ln 32

2

−=+++

+−+=s

El factor de daño anterior tiene una diferencia de 0.34 % comparado con el valor obtenido previamente en el paso 7. Esto también verifica la exactitud de la Tiab’s Direct Síntesis Technique. Adicionalmente, de la Ec. 8.149;

475

1.92173 3.31739(2.2)ln 0.3 5.86283.3 1685

s ⎧ ⎫⎛ ⎞= + = −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

Paso 9 – La conductividad de fractura adimensional es:

21.3)2.2)(3.238(

1685===

kxkw

Cf

fffD

EJEMPLO (No se observa el flujo bilineal)

La tabla 8.7 proporciona datos de restauración de presión después de un tratamiento de fracturamiento a un pozo. Los parámetros de yacimiento y fluido son mostrados a continuación: q = 1343.34 STB/D φ = 0.09 µ = 0.208 cp ct = 30.36x10-6 psi-1 B = 1.782 bbl/STB h = 150 ft rw = 0.23 ft tp = 2500 hr Pi = 2366.49 psi SOLUCION Paso 1 - La Fig. 8.34 muestra una gráfica de ∆P y valores de (t*∆P’) versus tiempo de prueba. Paso 2 – Las líneas rectas lineal de formación (pendiente = 0.5), y radial (horizontal) fueron identificadas. Paso 3 – Los efectos del almacenamiento no fueron observados (no hay línea recta con pendiente = 1). Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede calcularse. Paso 4 – De la curva de derivada de presión, (t*∆P’)r =195 psi. La permeabilidad de la formación es calculada de la Ec. 8.140:

70.6 (70.6)(1343.54)(0.208)(1.782) 1.2 md( * ') (150)(195)r

q Bkh t P

µ= = =

∆

Paso 5 – De la Fig. 8.34, el valor de ∆P y (t*∆P’) a t=1 hr de la línea de flujo lineal respectivamente son (t*∆P’)L1 = 150 psi y (∆P)L1 = 44 psi. La longitud media de fractura es calculada de la Ec. 8.125:

6

1343.54(1.782) 0.2084.064 108.9 ft(150)(150) (0.09)(30.36 10 )(1.2)fx −

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ×⎝ ⎠

476


t, hr P, psi t*∆P', psi t, hr P, psi t*∆P', psi 0.00 2366.49 17.86 2887.51 165.339 0.09 2477.83 42.947 22.72 2928.61 183.183 0.19 2525.47 61.689 27.57 2965.86 187.292 0.38 2560.88 52.580 32.43 2994.87 185.602 0.86 2606.24 64.004 37.28 3021.46 186.193 1.35 2633.69 62.758 42.14 3043.51 177.831 1.84 2652.17 61.401 47.00 3062.56 182.965 2.32 2666.25 64.754 51.85 3081.33 181.163 3.29 2691.99 84.149 56.71 3096.55 179.999 4.26 2715.88 94.770 61.56 3112.19 182.089 5.24 2735.50 101.617 66.42 3125.55 182.473 6.21 2753.70 104.906 71.27 3138.35 180.398 9.12 2797.78 118.470 76.13 3151.15 169.881 12.03 2829.78 124.277 80.99 3160.68 166.090 14.95 2858.09 148.446 85.84 3168.93 171.498

90.70 3179.45 187.917

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100

27.57 hrrt =

r 599.37 psiP∆ =

1( * ') =44 psiLt P∆

( * ') 195 psirt P∆ =

1=150 psiLP∆

∆ P y

t*∆

P ',

psi

t, hr

Flujo radial

Flujo Lineal

Fig. 8.34. Presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 2

477

Paso 6 – Tome tr = 27.57 hrs como el tiempo seleccionado durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión. Los valores correspondientes de ∆P y (t*∆P’) son (t*∆P’)r = 599.37 psi y (∆P)r = 195 psi. Entonces, de la Ec. 8.141, el factor de daño es:

16.543.7)23.0)(1036.30)(208.0)(09.0(

)57.27)(2.1(ln195

37.59921

26 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

−= −s

Paso 7 – La conductividad de la fractura se calcula usando la Ec. 8.148:

5.163.31739 3.31739(1.2) 543.7 md ft

1.92173 1.921730.23 108.9

f f s

w f

kw ke er x

−= = = −− −

Paso 8 – La conductividad adimensional de la fractura es:

16.49.1082.1

7.543===

xkxkw

Cf

fffD

EJEMPLO (Prueba corta- Línea de flujo radial no es observada)

Una prueba de restauración de presión pre-frac en un pozo de petróleo produjo k = 12.4 md. La tabla 8.8 proporciona los datos de restauración de presión después de que el pozo fue fracturado hidráulicamente. Los parámetros de yacimiento y fluido son los siguientes: q = 411.98 STB/D φ = 0.2 µ = 0.53 cp ct = 101x10-6 psi-1 B = 1.258 bbl/STB h = 21 ft rw = 0.689 ft tp = 3000 hrs Pi = 479.61 psi SOLUCION Los resultados del tratamiento se determinan usando el siguiente procedimiento paso a paso: Paso 1 - La Fig. 8.35 muestra una gráfica de ∆P y valores de (t*∆P’) versus tiempo de prueba. Paso 2 – Se identificaron las líneas bilineal (pendiente=0.25) y lineal (pendiente= 0.5). Paso 3 – No se observó el efecto del almacenamiento. Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede calcularse. Paso 4 – El valor de permeabilidad es conocido de la prueba pre-frac, k = 12.4 md.

478


t, hr P, psi t*∆P', psi t, hr P, psi t*∆P', psi 0.017 27.45 26.62 3.78 93.59 24.83 0.019 42.39 24.98 4.78 99.56 26.54 0.082 48.5 5.19 5.78 104.26 28.48 0.28 56.18 10.50 7.78 113.36 30.28 0.33 61.87 9.67 9.78 121.04 33.23 0.78 63.72 10.91 11.78 126.87 34.99 1.08 72.11 13.18 13.78 131.85 35.50 1.78 76.38 15.36 17.78 142.66 38.36 2.78 86.34 22.58 19.78 146.07 40.54

1

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100

1=37.2 psiLP∆

∆ P y

t*∆

P ',

psi

t, hr

Flujo Lineal

1( * ') =18 psiBLt P∆

1=72 psiBLP∆

Flujo Bilineal

Fig. 8.35. Puntos de caída de presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 2 Paso 5 – De la Fig. 8.35, los valores de ∆P y (t*∆P') a t=1 hr de la línea de flujo bilineal respectivamente son (t*∆P’)BL1 = 18 psi y (∆P)BL1 = 72 psi. La conductividad de la fractura se calcula usando las Ecs. 8.105 y 8.111:

2

6

1947.46 (411.98)(0.53)(1.258) 5578.35 md-ft(21)(72)(0.2)(0.53)(101 10 )(12.4)

f fk w−

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

× ⎝ ⎠

2

6

121.74 (411.98)(0.53)(1.258) 5579.44 md-ft(21)(18)(0.2)(0.53)(101 10 )(12.4)

f fk w−

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

× ⎝ ⎠

479

Las Ecs. 8.105 y 8.111 dieron un valor similar de kfwf. Paso 6: De la Fig. 8.34, (∆P)L1

= 37.2 psi. Luego, la longitud media de la fractura se estima con la Ec. 8.125:

6

411.98(1.258) 0.534.064 124.02 ft(21)(37.2) (0.2)(101 10 )(12.4)fx −

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ×⎝ ⎠

La Ec. 8.131 se usa para calcular las coordenadas del punto de intersección de la línea recta de pendiente ½ y de la línea recta de pendiente 1/4:

226 124.0313910(0.2)(0.53)(101 10 10 )(12.4) 14 hr

5578.9BLLit − ⎛ ⎞= × × =⎜ ⎟

⎝ ⎠

El valor calculado anteriormente corresponde al punto de intersección observado entre las líneas rectas en la Fig. 8.35. Paso 7 – Calcular el factor de daño de la Ec. 8.149:

18.59.5578

)4.12(31739.302.124

92173.1689.0ln −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=s

Paso 8 – La conductividad adimensional de la fractura es:

62.34.1202.124

9.5578===

xkxkw

Cf

fffD

Las siguientes observaciones son muy importantes para el análisis de datos de presión para pozos fracturados de conductividad finita. 1. Las líneas rectas correspondientes a los regímenes de flujo se pueden usar para

calcular permeabilidad, longitud media de fractura, y conductividad de la fractura sin usar ajuste con curvas tipo o técnica de análisis de regresión.

2. Los puntos de intersección de las tres líneas rectas preferiblemente deben ser usadas para verificar los valores de los parámetros obtenidos de las pendientes.

3. Para pruebas cortas, la permeabilidad se puede calcular de la coordenada de tiempo del punto de intersección de las líneas lineal y bilineal.

4. Una nueva ecuación es presentada para calcular (a) La longitud media de fractura en la ausencia de la línea recta del régimen de

flujo lineal de pendiente 0.5 tal como en el caso de una fractura de baja conductividad,

480

(b) La conductividad de la fractura en la ausencia de la línea de flujo bilineal de pendiente 0.25, y

(c) El factor de daño post-frac en la ausencia de la línea de flujo radial de acción infinita tal como en el caso de una prueba corta.

8.11. ESTIMACION DE LA CONDUCTIVIDAD DE LA FRACTURA Una vez la longitud de la fractura y el daño se conocen, la conductividad adimensional de la fractura puede estimarse mediante la correlación gráfica proporcionada en la Fig. 8.36 o por el siguiente juego de ecuaciones obtenidos de la figura en mención7:

8.267.0;ln ≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= x

rx

sxw

f (8.152)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−

+−

=2010112.05944514.11

286571983.077955.159222806.0

10 xx

xx

C fD (8.153)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.1 1 10 100 1000

f

f

Df xk

wkC =

s +

ln(x

/ r

)

f

w

Fig. 8.36. Efecto del daño con la conductividad de la fractura7

481

Tabla 8.9. Datos de presión y derivada de presión para el problema propuesto

t, hr ∆P, psi t*∆P', psi



0.0011 36.33 9.10 0.136 120.76 30.68 22.96 561.67 176.920.0015 39.17 10.09 0.183 130.40 33.57 31.05 616.61 185.620.0020 42.23 10.86 0.248 140.96 36.89 41.99 673.93 193.080.0027 45.53 11.66 0.335 152.59 40.75 56.79 733.39 199.760.0036 49.09 12.27 0.453 165.46 45.21 76.81 794.74 205.660.0049 52.92 13.22 0.613 179.78 50.37 103.89 857.75 210.840.0066 57.04 14.17 0.829 195.76 56.31 140.50 922.19 215.760.0089 61.49 15.28 1.12 213.65 63.09 190.02 987.95 222.380.0121 66.27 16.50 1.52 233.72 70.79 257.00 1055.56 235.690.0164 71.42 17.75 2.05 256.25 79.45 347.58 1127.60 264.430.0221 76.97 19.12 2.77 281.55 89.15 470.09 1210.27 319.180.0299 82.94 20.55 3.75 309.93 99.89 546.70 1258.60 359.450.0405 89.37 22.14 5.07 341.72 111.70 635.79 1313.55 409.800.0548 96.32 23.95 6.86 377.23 124.56 739.39 1376.73 471.270.0741 103.81 25.94 9.28 416.80 138.47 859.88 1449.83 544.93

0.100 111.94 28.16 12.55 460.73 152.83 1000 1534.69 632.06

PROBLEMA PROPUESTO Usando la TDST determine los parámetros de la fractura cuya prueba de declinación de presión se da en la tabla 8.9. Información adicional: rw = 0.3 ft h = 70 ft φ = 8 % µ = 2 cp B = 1.42 bbl/STB ct = 1.56x10-5 /psi q = 700 BPD Pi = 3850 psi

482

1

10

100

1000

10000

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

t, hr

∆P

y t* ∆

P, p

si


483

NOMENCLATURA A Área de drenaje, acres a Factor de forma, ft-2

B Factor volumétrico del aceite, rb/STB b intervalo perforado bx ver Ec. 2.72 C Factor de almacenamiento, bbl/psi c Compresibilidad, 1/psi c1 Compresibilidad total de la matriz, psi-1 c2 Compresibilidad total de la fractura, psi-1 CA Factor de forma CBR Constante característica del flujo birradial CD Factor de almacenamiento adimensional cf Compresibilidad total de la fisura, conductividad de la fractura, md-ft CfD Conductividad adimensional de la fractura cft Compresibilidad total de la fractura, 1/psi cm Compresibilidad total de la matriz coe Compresibilidad efectiva del petróleo coema Compresibilidad efectiva de la matriz, psi-1

coef Compresibilidad efectiva del sistema de fractura, psi-1

co Compresibilidad del petróleo, 1/psi cr Compresibilidad bruta de la roca, 1/psi cw Compresibilidad del agua, 1/psi h Espesor de formación, ft he Espesor del intervalo efectivo del yacimiento hf Espesor de la fractura, ft hm Dimensión del bloque de la matriz hp intervalo perforado hs Espesor de la capa de daño de interporosidad I0 Punto de intersección en el eje y de la gráfica t*P’ vs. 1/t k Permeabilidad horizontal o radial de la formación, md kr Permeabilidad horizontal o radial de la formación, md k1 Permeabilidad del sistema bloque-fractura, md kf Permeabilidad del sistema bloque-fractura, md kfi Permeabilidad intrínseca de la fisura kmi Permeabilidad intrínseca de la matriz kr Permeabilidad radial, md. ks Permeabilidad de la capa con daño de interporosidad kx Permeabilidad en la dirección x ky Permeabilidad en la dirección y m Pendiente m’ Pendiente del gráfico semilog de (t⋅P’) vs. 1/t

484

mp Máxima pendiente del gráfico cartesiano de ∆P vs. t mpss Pendiente del estado pseudoestable debida al alto contraste de movilidad,

psi/hr mtr Pendiente del gráfico semilog en región de transición P Presión, psi P Presión estabilizada en el yacimiento después del cierre, psi P’ Derivada de presión, psi/hr PD Presión adimensional P’D Derivada de presión adimensional PDB Función de presión de restauración adimensional PfD Presión adimensional de fractura

* ( )fDP s Transformada de Laplace de la presión de fisura adimensional Pfo Presión promedio en el sistema de fractura al momento del cierre Pi

Presión inicial, psi P’m Derivada de presión máxima, psi PPR Relación entre presión adimensional y derivada de presión adimensional Ps Presión estática, psi Pwf Presión del pozo fluyendo, psi

wDP Solución Laplace para la presión de la cara del pozo Pwo Presión de fondo al momento del cierre Pws Presión de cierre de fondo, psi P1hr Valor de presión leído de la línea en el gráfico a un tiempo de flujo de 1 hora q Caudal de petróleo, BPD qaf Rata afterflow, BPD q, qw Rata de flujo del pozo/petróleo, BPD qo Rata de flujo al instante de cierre expresada en unidades de yacimiento, rb

(barriles de yacimiento) r Radio, ft (distancia entre el pozo activo y el de observación) rD Radio adimensional re Radio de drenaje del pozo, radio externo del yacimiento, ft reD Radio adimensional de los limites del yacimiento, rD= reD = re/rw rs Radio del daño, ft rw Radio del pozo, ft S Saturación, fracción s Factor de daño, parámetro Laplace s Parámetro Laplace Sm Factor de daño mecánico Sma Factor de daño de interporosidad St Capacidad de almacenamiento = φcth, ft/psi t Tiempo, hrs, tiempo de prueba tD Tiempo adimensional calculado usando el radio tDA Tiempo adimensional basado en el área de drenaje del yacimiento tDb Tiempo adimensional de bloque

485

tDSR Tiempo adimensional reflejado a un tiempo en el que los efectos de almacenamiento se puede asumir despreciables o inicia la línea de acción infinita

tDxf Tiempo adimensional referido a la longitud media de fractura tint Tiempo de intercepto tinf Punto de inflexión tL Tiempo de transición tLD Tiempo adimensional de transición tm Tiempo máximo, hrs tp Tiempo de producción total antes del cierre, hrs, tp = tp1 + tp2 Tr Transmisibilidad = kh/µ, md-ft/cp tre Fin del flujo radial, hrs tx Tiempo al cual tiene lugar el valor pico, hr (t*∆P’)x derivada del punto máximo (peak), psi Vma Volumen de la matriz de poro fino, bbl Vs Volumen del daño, bbl Vt Volumen total de fluido, bbl w, wf Ancho de fractura, in wc Ancho de los canales de las fisuras x Dirección x xE Lado largo del rectángulo (yacimiento cerrado) xf Longitud media de fractura, ft xw Ubicación del pozo a lo largo de la fractura y Dirección x yE Lado corto del rectángulo (yacimiento cerrado) z Factor de desviación del gas

SIMBOLOS GRIEGOS

∆ Cambio, caída ∆P Diferencia de presión, psi ∆P’ Cambio de la rata de presión con el tiempo (derivada de presión), psi ∆Pc Corrección de presión al inicio de la prueba, psi ∆PD Amplitud del tiempo adimensional ∆P/q Amplitud en la prueba de pulso, psi-day/STB ∆t Tiempo de cierre total, hrs, intervalo de tiempo ∆tC Periodo de pulso más periodo de cierre = pulso total ∆tc Tiempo de corrección al inicio de la prueba, psi ∆te Tiempo de declinación equivalente ∆tinf Punto de inflexión semilog, hrs ∆tp Periodo de pulso

λ Parámetro de flujo de interporosidad φ Porosidad

486

φfb Porosidad de fisura gruesa φmb Porosidad de matriz gruesa µ Viscosidad, cp ρ Densidad, lbm/ft3 ω Producto compresibilidad-porosidad de todo el sistema, coeficiente de

almacenamiento adimensional γ Constante exponencial de Euler, 1.871 η Factor de difusividad hidráulica τ Factor de tortuosidad SUBINDICES actual Real app Aparente avg Promedio bts Inicio de la tercer línea recta b2 Inicio del Segundo periodo de flujo radial BL Bilineal BLLi Intersección de las líneas de flujo bilineal y lineal BLRi Intersección de las líneas de flujo radial y bilineal BR Birradial BRBL Intersección de las líneas de flujo birradial y bilineal CB Fronteras paralelas cerradas D Cantidad adimensional DL Dual lineal DLPBi Intersección entre flujo dual lineal y flujo de pendiente -1/2 e1 Final del primer periodo de flujo radial ext extrapolada o corregida F punto de inflexión f Formación, fractura, fisura g Gas i Condiciones iniciales o intersección ideal Ideal inf Inflexión int Intersección L Lineal M Punto de ajuste m Matriz, propiedad intrínseca de la matriz, pendiente ma Matriz max Máximo min Mínimo verdadero min,o Mínimo observado m+f Matriz + fisura

487

o Petróleo P Estado pseudoestabble R,r Flujo radial, roca r1 Tiempo temprano, periodo de flujo radial r2 Tiempo tardío, periodo de flujo radial PB Flujo parabólico PSS Flujo pseudo estable SS Flujo estable DLPSSi Intersección entre la línea de flujo pseudo estable y la línea de flujo

dual lineal LPSSi Intersección entre la línea de flujo pseudo estable y la línea de flujo

lineal RPi Intersección entre la línea de flujo pseudo estable y la línea de flujo

radial RDLi Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de flujo dual lineal RLi Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de flujo lineal RPBi Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de flujo de pendiente

-1/2 SS1 Línea de pendiente -1 que se forma cuando se termina el flujo -1/2 y

empieza el flujo estable cuando el yacimiento tiene ambas fronteras abiertas

SS2 Línea de pendiente -1 que se forma cuando se termina el flujo -1/2 y empieza el flujo estable cuando el yacimiento tiene fronteras mixtas y el pozo se encuentra cerca de la frontera abierta al flujo

RSS1i Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de pendiente -1 (SS1)

DLSS1i Intersección entre la línea de flujo dual lineal y la línea de pendiente -1 (SS1)

PBSS1i Intersección entre la línea de pendiente -1/2 y la línea de pendiente -1 (SS1)

RSS2i Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de pendiente -1 (SS2) DLSS2i Intersección entre la línea de flujo dual lineal y la línea de pendiente -1

(SS2) PBSS2i Intersección entre la línea de pendiente -1/2 y la línea de pendiente -1

(SS2) s Estático sc Condiciones estándar SR Inicio de la línea de flujo radial s2r inicio de la segunda recta semilog t Total US Pendiente unitaria usi Punto de intersección de la pendiente unitaria X Punto máximo en el almacenamiento

488

X1 Punto máximo que se presenta entre el flujo dual lineal y el flujo parabólico cunado el pozo se encuentra cerca de la frontera abierta

X2 Punto máximo que se presenta al finalizar el flujo parabólico y al comienzo de la línea de flujo estable cuando el yacimiento tienen fronteras mixtas y el pozo está cerca al frontera abierta

X3 Punto máximo que se presenta cuando se termina la línea de flujo lineal comienza la línea de flujo estable. cuando el yacimiento tiene fronteras mixtas y el pozo está cerca de la frontera cerrada

w Cara del pozo, pozo, agua wf Condiciones fluyendo x Máximo punto o pico 1 Propiedad de la región interna, tiempo es 1 hora 2 Propiedad de la región externa

489

REFERENCIAS

1. Cherifi, M., Tiab, D., and Escobar, F.H. “Determination of Fracture Orientation by Multi-Well Interference Testing”. SPE 77949, Proceedings, SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition, Melbourne, Australia. Oct. 8-10, 2002.

2. Chukwu, I.F., 1989. “Pressure Derivative Analysis of Vertically Fractured Wells in Bounded Reservoirs”. M.Sc. Thesis, The University of Oklahoma, Norman, OK, p. 132.

3. Cinco-Ley, H. “Evaluation of Hydraulic Fracturing by Transient Pressure Analysis Methods”. Paper SPE 10043 presented at International Petroleum Exhibition and Technical Symposium of the SPE held in Beijing, China, Mar. 18-26, 1982.

4. Cinco-Ley, H., and Samaniego. “Transient Pressure Analysis for Fractured Wells”. JPT (Sept. 1981). P. 1479-1766.

5. Cinco-Ley, H., Samaniego, F., and Dominguez, N. “Transient Pressure Behavior for a Well with a Finity-Conductivity Vertical Fracture”. Paper SPE 6014 presented at the SPE-AIME 51st Annual Fall Technical Conference and Exhibition, held in New Orleans, LA, Oct. 3-6, 1976.


7. Economides, M.J., Watters, Dunn-Norman, S. “Petroleum Well Construction”, John Wiley & Sons, New York (1988). 622p.

8. Escobar, F. H., Tiab, D. y Berumen-Campos, S. “Well Pressure Behavior of a Finite-Conductivity Fractured Well Intersecting a Sealing Fault”. Artículo SPE 80547, Memorias, preparado para presentación de la SPE Asia Pacífica Conferencia y Exhibición en Petróleo y Gas, Jakarta, Indonesia, 15–17 April 2003.

9. Escobar, F. H., Tiab, D. y Sepúlveda, J. A. “Interpretación de Pruebas de Presión en Pozos Petroleros con Fracturas Ramificadas de Conductividad Finita”. Ingeniería y Región # 2 (Universidad Surcolombiana). ISSN 1657-6985. Pág. 8-15. 2003.


11. Escobar, F.H., Tiab, D. and Jokhio, S. “Pressure Analysis for a Well Intersected by a Hydraulic Fracture with Multiple Segments”. SPE 71035, Proceedings, SPE Rocky Mountain Petroleum Technology Conference, Keystone, CO., May. 21-23, 2001.

12. Gringarten, A.C., Ramey, H.J., Jr. and Raghavan, R. “Applied Pressure Analysis for Fractured Wells”, J. Pet. Tech., July: 793-800. 1974.

490

13. Puthigai, S.K. and Tiab, D. “Application of PD′ Function of Vertically Fractured Wells - Field Cases”. Paper SPE 11028, SPE 5th Annual Technical Conference, New Orleans, LA, September 26-29. 1982.

14. Rahmouni, N, Tiab, D., Azzoughen, A., Mazouzi, A., Escobar, F.H. and Zhu, T. “Evaluation of Hydraulic Fracturing and Re-entries in the Hassi-Messaoud Field, Algeria”. SPE 76775, Proceedings, SPE Western Regional Meeting/AAPG Pacific Section Joint Meeting, Anchorage, Alaska. May 20-22, 2002.

15. Russell, D.G. and Truitt, N.E., 1964. “Transient Pressure Behavior in Vertically Fractured Reservoirs”. JPT, Oct.:1159-1170, Trans. AIME, 231.


17. Tiab, D., Azzougen, A., Escobar, F. H., and Berumen, S. “Analysis of Pressure Derivative Data of a Finite-Conductivity Fractures by the ‘Direct Synthesis Technique’.” Paper SPE 52201 presented at the 1999 SPE Mid-Continent Operations Symposium held in Oklahoma City, OK, March 28-31, 1999 and presented at the 1999 SPE Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference held held in Caracas, Venezuela, 21–23 April 1999.

18. Wong, D.W., Harrington, A.G., and Cinco-Ley, H., 1986. “Application of the Pressure-Derivative Function in the Pressure-Transient Testing of Fractured Wells,” SPEFE, Oct.: 470-480, 1986.

pruebas de presion

Documents