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PRUEBA OBLIGATORIA DE MATEMÁTICAS

RESOLUCIÓN FORMA C40

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. Este facsímil consta de 75 preguntas.

2. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.

3. Antes de responder las preguntas Nº 69 a la Nº 75 de este facsímil, lea atentamente las instrucciones que aparecen

a continuación de la pregunta Nº 68.

4. Tiempo de respuesta: 2 horas 25 minutos.

5. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

1. ¿Cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) por resultado4

3?

I) 12

73,1

II) 12

5

3

2

9

11

III) 5,55

2:

2

5

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I, II y III

Solución:

I) 1273,1 =

12

7

9

113

=

12

7

9

12 =

12

7

3

4

12

9

12

716

=

4

3

II) 12

5

3

2

9

11 =

6

5

3

1

9

11 =

18

17

18

522

18

5

9

11

III) 5,5:52

25 = 5,5

4

25

4

3

4

2225

2

11

4

25

10

55

4

25

Alternativa correcta: D.

2

2. El resultado de 9

)()2( 2

522

52

, truncado a la centésima es igual a:

A) 0,25

B) 0,26

C) 0,27

D) 0,28

E) 0,30

Solución:

Resolviendo primero los paréntesis:

9

)()2( 2

522

52

= 9

)()( 2

522

58

= 9

254

2564

Resolviendo el numerador:

9

254

2564

= 99

2560

25464

Resolviendo el cuociente:

15

4

9

2560

Convirtiendo a fracción común:

...2666666666,015

4

Truncando a la centésima: 26,02666666666,0

Alternativa correcta: B.

3. El valor numérico de la expresión: 222

22

es:

A) -2

B) -3/4

C) 0

D) 6/7

E) 22/7

Solución:

Primero, se resuelve el denominador del término fraccionario. Dentro de este, primero la potencia:

222

22

=

22

12

22

=

4

12

22

=

4

7

22 =

7

4·22 =

7

82

Finalmente, se resuelve la operación entre fracciones:

7

82 =

7

814 = 6/7


3

4. El valor numérico de la expresión

2

3

143,2

es igual a:

A) 0,15

B) 2,2

C) 32,2

D) 7/3

E) 67/3

Solución:

Primero se resuelve la transformación del término decimal semiperiódico a fracción común:

90

2323443,2

=

90

211

Calculando el cuadrado de -1/3, queda:

9

143,2 =

9

1

90

211 =

90

10211=

90

201

Simplificando:

90

201=

30

67

Transformando a decimal:

30

67= 32,2

Alternativa correcta: C.

5. En la figura se muestra una recta numérica real, con los números A, B, C y D.

Si CDAC y ADAB5 , ¿cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) AC 2/5

II) B = 4/25

III) C = 2/5

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I, II y III

Solución:

Calculando AD :

20

175,0AD

=

5

4

20

16

20

115

20

1

4

3

Entonces: AC5

2

5

4

2

1 . La afirmación I) es verdadera.

AB25

4

5

4

5

1 B

100

11

100

165

25

4

20

1

. La afirmación II) es FALSA.

Como: AC5

2 C

20

7

20

81

5

2

20

1

. La afirmación III) es FALSA.

Alternativa correcta: A.

-1 20

0,75

A B C D

4

6. Considere los siguientes números: P = 65 , Q = 36 y R = 147 . ¿Cuál de las siguientes

relaciones es correcta?

A) P > Q > R

B) P > R > Q

C) R > Q > P

D) R > P > Q

E) Q > P > R

Solución:

Se expresarán las raíces aplicando la propiedad: baba 2

P = 15062565

Q = 10833636

R = 147

Considerando solamente los subradicales, queda de manifiesto que P > R > Q.


7. Si i es la unidad imaginaria, entonces la expresión 23i2 es igual a:

A) –1

B) 1

C) i

D) 2i

E) –2i

Solución:

Aplicando propiedades, se descompone la potencia:

23i2 = i)1(12iii2 220 = -2i

Alternativa correcta: E.

8. Si log (4) = 0,6, entonces el valor de log (250) es:

A) 1,4

B) 1,6

C) 2,4

D) 2,6

E) 3,6

Solución:

Expresando 250 en función de 4, queda:

)4

000.1log()250log(

Aplicando propiedades de los logaritmos:

)4log()000.1log()4

000.1log( 3 – 0,6 = 2,4.


5

9. El producto del conjugado del complejo (2, 4) con el complejo (3, -1) es igual a:

A) 2 – 14 i

B) 2 + 14 i

C) 6 + 4 i

D) 10 – 4 i

E) 10 + 14 i

Solución:

El conjugado del complejo (2, 4) es (2, -4). Entonces:

)i3()i42( 2i4i12i232 = )1(4i146 = 2 – 14i


10. La expresión )13()13( es un número:

I) Real II) Irracional III) Imaginario

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solución:

Resolviendo el subradical, que es el producto de una suma por su diferencia:

)13()13( = 22 1)3( = 13 = 2

Este es un número irracional y, además, real.


11. Respecto del valor numérico de la expresión 3

5

8 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) verdadera(s)?

I) Es igual a 32

II) Es un número irracional

III) Es un número imaginario puro

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solución:

I) Es igual a 32. Afirmación verdadera.

Expresando la potencia como raíz: 3

5

8 = 3 58 = 53 8

Resolviendo la raíz cúbica de 8, queda: 53 8 = 3225

II) Es un número irracional. Afirmación FALSA.

El 32 NO es un número irracional.

III) Es un número imaginario puro. Afirmación FALSA.

El 32 NO es un número imaginario. Es un número complejo con parte imaginaria cero.


6

12. 2

40103 =

A) 2

1

B) 1021

C) 5

D) 5

E) 0

Solución:

La 40 se expresa como 10210·4

Entonces:

2

40103 =

2

102103

Se reducen raíces semejantes:

2

102103 =

2

10

Expresando como una sola raíz:

2

10= 5

2

10


13. 3

1321

=

A) 321

B) 329

C) 3131

D) 3

31

E) 6

323

Solución:

Racionalizando:

3

1321

3

3· =

3

33·

3·3

)13(321

21

Amplificando por 2:

2

2·

3

)33·(21

= 6

323


7

14. Si 1z y 2z son complejos tales que i5z1 y i2z2 , entonces el cuociente 1z : 2z =

A) 5/2

B) i25

C) i9

D) i211

E) i3

Solución:

Para eliminar el complejo del denominador, se amplificará la expresión por el conjugado del denominador:

i2

i2

i2

i5

z

z

2

1

2

2

ii2i22

ii2i510

=3

i311

)1(2

)1(i310

= i311


15. Respecto de potencias, raíces y logaritmos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) 532log2

II) 6663

III) 6416 23

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solución:

I) 532log2

Por definición de logaritmo: 532log2 3225 , lo que es verdadero.

II) 6663

Aplicando propiedades: 21666 33 = 66636 , lo que es verdadero.

III) 6416 23

Aplicando propiedades de potencias y raíces: 644)16(16 3323

, lo que es verdadero.


8

16. Al expresar el polinomio 2

17x5x2 en la forma 22 b)ax( , los valores de a y b son,

respectivamente:

A) 1 y -5

B) 25 y 5

C) 27 y

23

D) 25 y

23

E) 25 y

49

Solución:

2

17x5x2 =

4

25

2

17)x( 2

25

Resolviendo la suma de términos libres:

= 4

2534)x(

4

25

2

17)x( 2

252

25

=

22

252

25

2

3)x(

4

9)x(

Luego, a = -5/2 y b = 3/2


17.

)yx(x2)yx(y2·x2

A) xy2

B) 2yx7

C) 22 yxyx

D) )yx7(y

E) )yx7(y

Solución:

Resolviendo los paréntesis menores:

)yx(x2)yx(y2·x2

)xy2x()2yxy22x(y2·x2

Resolviendo los paréntesis interiores:

=

xy2x2yxy22xy2·x2

Se resuelve el producto exterior y se abre el paréntesis:

= xy2x2yxy22xxy4

Reduciendo términos semejantes:

xy2x2yxy22xxy4 2yxy7

Factorizando:

2yxy7 = )yx7(y


9

18. Si q 0 , entonces la expresión qpq

)qp()qp(23

222

=

A) qp

2

B) qp

2

C) qp2

1

D) 2qp

2

E) 22 qp

2

Solución:

En el numerador se resuelve el cuadrado de binomio y en el denominador se factoriza por q:

qpq

)qp()qp(23

222

=

)pq(q

)qp()qpq2p(22

2222

=

Resolviendo el paréntesis y reduciendo términos semejantes:

)pq(q

qpqpq2p22

2222

)pq(q

pq2q222

2

Factorizando en el numerador por 2q y en el denominador se expresa )pq( 22 como producto de una suma

por su diferencia:

=)pq(q

pq2q222

2

=

)pq()pq(q

)pq(q2

Simplificando:

)pq()qp(q

)pq(q2

=

)qp(

2


19. Se tiene que repartir $ ( 10x9x2 ) en partes iguales entre )10x( personas. A cada cual le

corresponde:

A) $ x

B) $(x – 1)

C) $(x + 1)

D) $(x + 2)

E) $(x + 3)

Solución:

A cada persona le corresponde: 10x

10x9x2

En el numerador se realiza una factorización. El trinomio debe expresarse como el producto de dos binomios en el cual los términos constantes suman (9) y su producto es (-10). Estos números son el 10 y el (-1). Por lo tanto:

10x

10x9x2

=

10x

)1x()10x(

Simplificando, queda: )1x(


10

20. Cierto operario gasta diariamente dos tercios de lo que gana al día en su alimentación y un quinto

en movilización. Al cabo de 15 días de trabajo ha logrado ahorrar $18.000.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA respecto de este operario?

A) Por cada día de trabajo gana $9.000

B) Por cada día de trabajo ahorra $1.200

C) En 15 días ha ganado $270.000

D) En un día gasta $1.800 en movilización

E) En un día gasta $6.000 en alimentación

Solución:

Sea x = $ que gana al día

Ahorra al día de trabajo $18.000/15= $1.200. Alternativa B es verdadera.

Gasta al día de trabajo 2/3 x + 1/5 x = 13/15 x

Ahorra al día de trabajo 2/15 x = 1.200

Despejando x = 2

15200.1 = $9.000. Alternativa A es verdadera.

En 15 días de trabajo gana = 000.915 $135.000. Alternativa C es FALSA.

En movilización gasta al día de trabajo = 000.95

1$1.800. Alternativa D es verdadera.

En alimentación gasta al día de trabajo = 000.93

2$6.000. Alternativa E es verdadera.


21. Un señor compra n choclos y $100 de albahaca, pagando, en total, M$ . En pesos, el valor de

cada choclo es igual a la expresión:

A) 100M

B) n

100M

C) n

M100

D) 100M

n

E) 100n

M

Solución:

El valor de los n choclos es: 100M (Se resta el valor de la albahaca).

El valor de cada choclo es igual a: n

100M


11

22. De las siguientes, ¿cuál es la ecuación que tiene como raíces 1 y 2

1?

A) 0xx21

232

B) 01xx232

C) 01x3x2 2

D) 01x3x2 2

E) 01x3x2 2

Solución:

En una ecuación de segundo grado de la forma 0cbxx2 , sus raíces 1x y 2x cumplen que:

1x + 2x = -b; y 1x 2x = c

Entonces: 1 + 2

1 =

2

3. Entonces: b =

2

3

1 2

1=

2

1. De donde: c =

2

1

La ecuación sería: 02

1x

2

3x2

Multiplicando por 2: 01x3x2 2


23. Las raíces de la ecuación 09)2x( 2 , son:

A) i5

B) i32

C) 23

D) 5 y 1

E) 5 y -1

Solución:

Despejando el cuadrado de binomio:

9)2x( 2 /

i32x /+2

i32x


12

24. Si x + y = 5; y además, x – y = 11; entonces, x + 2y =

A) -2

B) 1

C) 2

D) 5

E) 27

Solución:

De la primera ecuación: x + y = 5 y5x

De la segunda ecuación: x – y = 11 11yx

Igualando ambas:

11yy5

y2115

y26

3y

Entonces, x: 8x

Finalmente: x + 2y = 8 + 2 · (-3) = 8 – 6 = 2.


25. El siguiente gráfico representa:

I) Al intervalo real 5;2

II) La solución de la inecuación 11x213

III) {x/x > -2 x > 5}

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solución:

I) Al intervalo 5;2 . Verdadero.

El signo izquierdo señala un intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha, lo que es consistente con la gráfica.

II) La solución de la inecuación 11x213 . Verdadero.

Resolviendo: 11x213

111x213

10x24

De donde: 2x y 5x

III) {x/x > -2 x > 5}. FALSO.

Es falso que x > 5.


-2 5

13

26. Un pequeño agricultor tiene un total de 40 animales para vender, entre corderos y chivos, queriendo

obtener M$600 por el lote. Los corderos piensa venderlos en tantos $miles, como chivos tiene a la venta, y los chivos a tantos $miles como corderos tiene para vender.

Si tiene más chivos que corderos, ¿en cuántos miles piensa vender cada chivo?

A) M$ 10

B) M$ 15

C) M$ 20

D) M$ 25

E) M$ 30

Solución:

N° de corderos = c

N° de chivos = 40 – c

Precio por el lote: 600c).c40()c40(c

600cc40cc40 22

600c2c80 2 /:2

300cc40 2

Ordenando:

0300c40c2

2

30044040c

2

2

2040c

1020c

Número de corderos: 10.

Número de chivos: 30.

Por lo tanto, los chivos son vendidos a M$10 cada uno.


27. Si f(x) y g(x) son funciones reales tales que: f(x) = kx)1k(x2 , y g(x) = k – x, entonces,

)k(fg es igual a:

A) 0

B) k

C) -2k

D) -k

E) k − 1

Solución:

Composición de funciones. En este caso primero se calcula f(k):

kk)1k(k)k(f 2 = 2k

Ahora se calcula g(2k) = k – 2k = -k


14

28. Bajo ciertas condiciones, una pieza de acero que está calentada a 1.000ºC, baja su temperatura

linealmente a razón de 4ºC por minuto.

¿Cuál de las siguientes funciones relaciona la temperatura T de la pieza, en ºC, y el tiempo t, en minutos, de acuerdo a la situación descrita?

A) T = 1.000 – 4 t

B) T = 4 – 1.000 t

C) T = 4 t – 1.000

D) T = 4 t + 1.000

E) T = t4·000.1

Solución:

En una función lineal de la forma: y = a + bx, se tiene que:

y Variable dependiente. Son los valores del recorrido de la función.

x Variable independiente. Son los valores del dominio de la función.

a Intercepto. Valor donde la recta corta al eje y. Corresponde a la condición inicial.

b Pendiente. Variaciones de x por cada unidad de variación de y.

En este caso:

y Temperatura, en ºC.

x Tiempo, en minutos.

000.1a ºC. Es la temperatura inicial de la pieza de acero. En este caso, cuando t = 0.

4b ºC. Cuatro, ya que por cada 1 minuto, la temperatura varía en 4ºC. El signo menos indica

decrecimiento, ya que la pieza disminuye su temperatura a medida que pasa el tiempo.

Entonces, la función es:

T = 1.000 – 4 t, siendo T la temperatura, en ºC y t el tiempo, en minutos.


29. El gráfico de la figura representa una función real f(x). De acuerdo a este, ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) f(-1) – f(1) = f(0)

II) 3 f(-2) – f(0) = 2 f(2)

III) f(-2) – f(1) = f(2) – 1

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solución:

I) f(-1) – f(1) = f(0). Falsa.

Según el gráfico: f(-1) = 1; f(1) = 1 y f(0) = 2.

Entonces: 1 – 1 = 2, es falso.

II) 3 f(-2) – f(0) = 2 f(2). Verdadera.


Entonces: 3 · 2 – 2 = 2 · 2, es verdadero.

III) f(-2) – f(1) = f(2) – 1. Verdadera.


Entonces: 2 – 1 = 2 – 1, es verdadero.


-2 -1 1 2

1

2

x

y

y=f(x)

15

30. Por su importancia en la recuperación de suelos erosionados, se realiza un estudio de una especie

de lombriz de tierra. Entre los resultados relacionados con sus características físicas, se llegó a establecer que la longitud de esta lombriz es función de su tiempo de vida, de acuerdo a la siguiente función:

L = 5,1X·4,0 ; siendo L la longitud, en mm y X los días de vida de la lombriz.

Si esto es así, ¿cuál será la longitud de una lombriz a los 16 días de vida?

A) 6,4 mm.

B) 9,6 mm.

C) 10,5 mm.

D) 16 mm.

E) 25,6 mm.

Solución:

En la igualdad: L = 5,1X·4,0 , se debe calcular el valor de L cuando X = 16. Es decir, calcular L(16).

Reemplazando:

L = 5,116·4,0

La potencia 5,116 se expresará como potencia de exponente fraccionario y luego, como raíz:

L = 23

16·4,0

L = 316·4,0

L = 34·4,0

L = 64·4,0

L = 6,25 mm.


16

31. En los primeros 500 metros de altura, a partir del nivel del mar, la temperatura y la presión de la

atmósfera varían de acuerdo a las siguientes funciones:

150

h15T ; h

45

4760P ; siendo:

T = Temperatura de la atmósfera, en grados Celsius (ºC).

P = Presión atmosférica, en mm de mercurio.

h = Altura desde el nivel del mar, en metros.

Según estos modelos, ¿qué temperatura hay en la atmósfera cuando la presión atmosférica es 744 mm de mercurio?

A) 10,0 ºC

B) 11,4 ºC

C) 12,3 ºC

D) 12,5 ºC

E) 13,8 ºC

Solución:

Para calcular la temperatura se usa la primera función, pero se debe calcular previamente la altura h.

Primero se calcula la altura, a partir de una presión conocida P = 744, usando la segunda función:

h760P454

h760744454

Es una ecuación de primer grado. Resolviendo:

744760h454

16h454

4

45·16h = 180 metros.

Ahora se calcula la temperatura T con la primera función, ya que se conoce la altura h = 180 m.

150

h15T

150

18015T

2,115T

8,13T ºC.


17

32. La talla (longitud) T de cierto pez varía con la edad de acuerdo a la función: 2E01,0E2,125,6T ; donde T es la talla, en cm, y E es la edad, en meses.

Según el modelo propuesto, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La gráfica del modelo corresponde a una parábola. II) A los 15 meses este pez mide 22 cm. III) Este pez nace de 7,46 cm de longitud.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solución:

I) La gráfica del modelo corresponde a una parábola. Afirmación verdadera. La función dada es cuadrática, cuya gráfica típica es una parábola. II) A los 15 meses este pez mide 22 cm. Afirmación FALSA. Calculando T(15)

21501,0152,125,6T = 26,5 cm.

III) Este pez nace de 7,46 cm de longitud. Afirmación FALSA. Para E = 0, el valor de T es 6,25 cm. Alternativa correcta: A.

33. Se ha medido la persistencia de cierto insecticida en las manzanas después de la fumigación de los

árboles, en función del tiempo, logrando establecer la siguiente función:

P = 100 t5,0 , donde:

P = % de insecticida en la fruta después de t días de aplicación.

t = tiempo transcurrido desde la aplicación del insecticida, en días.

Según el modelo, ¿en cuánto tiempo quedará en las manzanas el 12,5% del insecticida aplicado?

A) 2 días

B) 3 días

C) 4 días

D) 2,5 días

E) 3,5 días

Solución:

Para t = 0, el valor de P = 100%.

Ahora hay que calcular t para P = 12,5%.

12,5 = 100 t5,0

12,5/100 = t5,0

t)2

1(

8

1

t

3)

2

1(

2

1

t3 )2

1()

2

1(

De donde t = 3 días.


18

34. En la figura, 21 L//L . 3L y 4L son transversales que se intersectan en P.

Con las medidas dadas, la medida de x es igual a:

A) 3

B) 3,5

C) 4

D) 5

E) 6

Solución:

En estas condiciones es posible aplicar el teorema de Thales, planteando la proporcionalidad:

5

20

x

12 3

20

60x


35. En la figura, PQR es triángulo rectángulo en P.

Si RP 8 cm y PQ = 6 cm, entonces, RS es igual a:

A) 15/2 cm.

B) 13/2 cm.

C) 9/2 cm.

D) 7/2 cm.

E) 8/3 cm.

Solución:

Los triángulos QRP y SQP son semejantes por tener sus ángulos correspondientes congruentes.

Por lo tanto, se plantea la proporción:

6

x

8

6

De donde x = 9/2

Entonces: RS = 2

7

2

98


P

5

20

x

12 3L

4L

1L

2L

P Q

R

S

P Q

R

S

x 8

6

19

36. En la figura, PQR y RST son triángulos rectángulos en Q y S, respectivamente.

Con los valores dados, PR es igual a:

A) 4,5

B) 7,5

C) 8

D) 9

E) 10

Solución:

Se puede deducir que los triángulos RQP y RST son semejantes, ya que tienen sus tres ángulos homólogos congruentes (criterio AAA). Por lo tanto, sus lados homólogos son proporcionales.

Planteando la proporcionalidad referida:

6

4

QR

3

Despejando:

4

3·6QR = 4,5

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo RQP:

222 5,46x

25,56x

5,7x


37. En la figura, ABC es triángulo equilátero. Además, AD = DE = EB. Entonces:

( : congruente)

I) DEC ABC

II) ADC BEC

III) DBC EAC

Es (son) correcta(s):

A) Solo II

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solución:

I) DEC ABC: FALSO, no son congruentes. Todos sus lados son distintos, al igual que sus ángulos.

II) ADC BEC: Verdadero. Ambos triángulos tienen lados correspondientes y ángulos congruentes.

III) DBC EAC: Verdadero. Ambos triángulos tienen lados correspondientes y ángulos congruentes.


P

Q

R T

S

3

6

x

4

A B

C

D E

20

38. En la figura, O es centro de la circunferencia. ABC triángulo isósceles de base AB.

Si ACB = 40º, entonces, OAC =

A) 20º

B) 25º

C) 30º

D) 35º

E) 40º

Solución:

Trasladando la información dada al diagrama, queda:

Se deduce que:

BAC = ABC = 70º, por ser ABC triángulo isósceles, de base AB.

Ángulo del centro AOB = 80º. Por ser ángulo del centro que subtiende el mismo arco de 40º del ángulo inscrito ACB = 40º.

OAB = OBA = 50º, por ser AOB triángulo isósceles, de base AB.

Entonces: OAC = BAC – OAB = 70º - 50º = 20º.


39. En la figura, ABC es triángulo rectángulo en C.

Si AC = 15 y BC = 20, entonces, la altura h =

A) 8

B) 9

C) 10

D) 12

E) 16

Solución:

Aplicando el teorema de Pitágoras, se calcula la hipotenusa AB .

22 2015AB

25AB

Para calcular la altura, es conveniente plantear la proporcionalidad de lados homólogos en los triángulos semejantes que se originan al trazar la altura h, aprovechando que se conoce la medida de los tres lados del triángulo ABC:

25

20

15

h

Despejando:

25

20·15h = 12

Alternativa correcta: D

A B

C

h

A B

C

O

A B

C

O

40

º

25

B

C

h 15

20

A

21

40. En la figura, O es centro de la circunferencia, PR y PT son secantes que intersectan a la

circunferencia en los puntos Q, R, S y T. Si PQ 4, PS 5 y ST 15, entonces, QR =

A) 10

B) 12

C) 21

D) 22,5

E) 24

Solución:

Trasladando los datos a la figura, se tiene:

Aplicando el teorema de las secantes:

)155(·5)x4(·4

214

84x

84x4

100x416


41. En la figura, O centro de la circunferencia, PR es recta que intersecta a la circunferencia en Q

y R. PT es recta tangente en T.

Si PT 2 y 3QR , entonces, PQ

A) 1

B) 2

C) 2,5

D) 3

E) 4

Solución:

De acuerdo al enunciado, PR es una secante y PT una tangente.

Aplicando el teorema de la secante y tangente:

RP·PQ2

PT

)3x(x22

x3x4 2

04x3x2

Las raíces de la ecuación son: -4 y 1. Solo sirve la raíz positiva, porque se trata de longitudes.


P

S T

R Q

O

P

R

Q O

T

P

S T

R Q

O

4

5 15

x

P

R

Q O

T 2

x

3

22

42. ¿Cuál es el punto de intersección de la recta y = x con la recta y = 1 – x?

A) (0, 1)

B) (1, 1)

C) (-1, 1)

D) (21 , -1)

E) (21 ,

21 )

Solución:

El punto de intersección entre dos rectas, si existe, está representado por la solución del sistema de ecuaciones de ambas rectas. Así:

1yx

0yx

Sumando:

2x = 1

21x

Por la primera ecuación, y = x. Por lo tanto:

21y

El punto de intersección es: (21 ,

21 )


43. En el plano de la figura, si los puntos A, B, C y D son los vértices del trapecio ABCD,

entonces, el perímetro del trapecio es igual a:

A) 24

B) 36

C) 40

D) 48

E) 52

Solución:

De acuerdo al diagrama, ABCD es Trapecio isósceles se base AB.

Calculando 22 86AD = 10

Entonces, el perímetro de ABCD = 16 + 10 + 4 + 10 = 40.


A B

C D

-8 8 2 -2

8

y

x

A B

C D 4

x 8

E F

8

16

6 6

x

23

44. En la figura, ABCD trapecio isósceles de base AB, con BDAC . Si OD = 5 cm y BD = 17 cm.

Entonces, el área de ABCD es igual a:

A) 144,5 2cm

B) 156 2cm

C) 256 2cm

D) 578 2cm

E) 217 2cm

Solución:

Agregando los datos dados a la figura, se tiene lo siguiente:

Por ser DC//AB , se tiene además que 5ODOC cm y 12OBOA cm.

Se forman 4 triángulos rectángulos con vértices común en O, de los cuales 2 son congruentes.

Área 2

5·12AOD = 30 2cm

Área 2

5·12BOC = 30 2cm

Área 2

5·5COD = 12,5 2cm

Área 2

12·12AOB = 72 2cm

Área total del trapecio = 144,5 2cm


45. En la figura, PQR es triángulo rectángulo en P, con catetos paralelos a los ejes x e y,

respectivamente.

Un giro del triángulo PQR de 360º respecto de y = 1, genera un volumen equivalente a:

A) Un cilindro de altura 4 y radio 6

B) Un cono de altura 6 y radio 4

C) Un cono de altura 6 y radio 7

D) Un cono de altura 4 y radio 6

E) Un cono de altura 4 y radio 12

Solución:

Al tomar y = 1 como eje de giro del triángulo, se genera un volumen equivalente a un cono de radio basal 6 y altura 4, tal como lo muestra la figura anexa.


2 6

1

7

Q

R

x

y

P

A B

C D

O

6

1

7

Q

R

x

y

4

6

A B

C D

O

5

12

A B

C D

O

5

12 12

5

24

46. En el sistema coordenado de la figura, P y Q son círculos congruentes de centros (-4, 3) y (4, -3),

respectivamente.

Es posible obtener el círculo Q a partir de P, mediante la transformación isométrica:

I) Rotación de P en 180º respecto del origen.

II) Una simetría central con centro en el origen.

III) Traslación de P de vector (8, 6).


A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solución:

I) Rotación de P en 180º respecto del origen: Correcto.

Al rotar en 180º, el punto P queda en el punto de coordenadas (4, -3).

II) Una simetría central con centro en el origen: Correcto.

En este caso, todos los puntos de una figura tienen un simétrico respecto de un punto, en este caso, el origen.

III) Traslación de P de vector (8, 6): Incorrecta.

Al trasladar el punto P(-4, 3) en un vector igual a (8, 6), el punto resultante queda en las coordenadas (4, 9), que no es el punto centro de la figura Q.


P

4

-3

-4

Q

x

y

3

P

Q

x

y

3

180º

4

P

Q

x

y

3

4

-3

-4

25

47. ¿Cuál de los siguientes puntos NO pertenece a la recta r: (x, y) = (1, 2) + t(3, 4)?

A) (-5, -6)

B) (-2, -2)

C) (3, 5)

D) (4, 6)

E) (7, 10)

Solución:

Un punto (x, y) pertenece a una recta si satisface la ecuación de dicha recta.

A) (-5, -6)

(-5, -6) = (1, 2) + t(3, 4) 2tt426

2tt315{

Coincide el valor de t. Por lo tanto, el punto (-5, -6) pertenece a la recta dada.

B) (-2, -2)

(-2, -2) = (1, 2) + t(3, 4) 1tt422

1tt312{

Coincide el valor de t. Por lo tanto, el punto (-2, -2) pertenece a la recta dada.

C) (3, 5)

(3, 5) = (1, 2) + t(3, 4) 4/3tt425

3/2tt313{

No coincide el valor de t. Por lo tanto, el punto (3, 5) NO pertenece a la recta dada.


(Se puede verificar que D y E son puntos que pertenecen a la recta).

48. Se tienen en el espacio los puntos P(4, 4, 2) y Q(3, 2, 6).

I) La distancia entre P y Q es igual a 21

II) La distancia de P al origen es 6

III) La distancia de Q al origen es 7


A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solución:

I) La distancia entre P y Q es igual a 21 . Afirmación verdadera.

Calculando: 222 )26()42()43()Q,P(d = 211641

II) La distancia de P al origen es 17 . Afirmación verdadera.

Calculando: 222 )2()4()4()O,P(d = 636

III) La distancia de Q al origen es 7. Afirmación verdadera.

Calculando: 222 )6()2()3()O,Q(d = 749


26

49. En la figura, P’Q’R’S’ es el homotético del polígono ABCD, con origen en el punto O y razón de

homotecia r. Si QR = 10, Q’R’ = 4 y RS = 8, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) r = 5/2

II) PQ//P’Q’

III) R’S’ = 16/5

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solución:

I) r = 5/2. Afirmación FALSA.

Según la figura, el polígono se invierte respecto del origen O. Esto significa que r < 0.

II) PQ//P’Q’. Afirmación verdadera.

En una homotecia, los lados homólogos de las figuras son paralelas.

III) R’S’ = 16/5. Afirmación verdadera.

En una homotecia, los lados homólogos de las figuras son proporcionales.

Entonces: 'S'R

RS

'R'Q

QR

'S'R

8

4

10

5

16

10

48'S'R


50. Se tiene la recta L, de ecuación vectorial: (x, y) = (2, –1) + t(1, 5)

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA respecto de L?

A) La recta y = 5x – 11 es coincidente con L

B) El punto (4, 9) se genera cuando t = 2

C) Cuando t = 0, se genera el punto (1, 5)

D) Su gráfica cruza al eje x en x = 11/5

E) El punto (2, –1) pertenece a L

Solución:

A) La recta y = 5x – 11 es coincidente con L. Afirmación verdadera.

En una ecuación vectorial con vector de dirección )v,v( 21 el cuociente 12 v/v es equivalente a la pendiente

de la recta cuando esta se expresa en su forma principal. En este caso m = 5/1 = 5.

Teniendo m = 5 y el punto (2, -1) se llega a la ecuación de la recta y = 5x – 11, coincidente con L.

B) El punto (4, 9) se genera cuando t = 2. Afirmación verdadera.

Si (x, y) = (2, –1) + t(1, 5), entonces x = 2 + t, y = -1 + 5t

Reemplazando t = 2:

x = 2 + t = 2 + 2 = 4.

y = 251 = 9

Se genera el punto: (4, 9)

C) Cuando t = 0, se genera el punto (1, 5). Afirmación FALSA.

Reemplazando t = 0:

x = 2 + 0 = 2

y = 051 = –1

Se genera el punto: (2, –1)


(Se puede verificar que D y E son verdaderas).

R’

S’ O

P’

Q’

P

Q

S

R

27

51. En la circunferencia de centro O de la figura, P, Q, R S y T son puntos en la circunferencia.

Si ángulo x = 25°, el valor del ángulo y es:

A) 25°

B) 30°

C) 50°

D) 55°

E) 60°

Solución:

Como QOP = 2 QTP QOP = 50° y ROP = 110°.

Entonces, y = ½ ROP y = 55°


52. En la figura, el polígono ABCD es base de homotecias de origen O.

Si OB = 3, BB’ = 2 y OB’’ = 10, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) La homotecia A’B’C’D’ se logra con razón 5

B) En las dos homotecias, r > 1

C) Perímetro de A’B’C’D’ = 2 perímetro de ABCD

D) 'B'A3AB5

E) B’’C’’//BC

Solución:

Agregando los datos numéricos, se tienen los valores de r para cada homotecia.

A) La homotecia A’B’C’D’ se logra con razón 5. Afirmación verdadera. Ver figura.

B) En las dos homotecias, r > 1. Afirmación verdadera. Ver figura.

C) Perímetro de A’B’C’D’ = 2 perímetro de ABCD. Afirmación FALSA.

En una homotecia, los lados homotéticos de las figuras, son proporcionales. Esto hace que los perímetros también lo sean. Por esto la afirmación es falsa, ya que la razón de proporcional es igual a r, que en este caso r = 5/3.

(D y E son verdaderas)


O A

A’’

B

C D

A’ B’

C’ D’

B’’

C’’ D’’

S

O

P

R

Q

60°

x

y

T

O A

A’’

B

C D

A’ B’

C’ D’

B’’

C’’ D’’

3

5 10

28

53. En el plano de la figura, 1v y 2v son vectores. Entonces, ¿cuál de las siguientes

afirmaciones es FALSA?

A) Módulo de 13v1

B) 1v + 2v = (2, 4)

C) 1v – 2 2v = (–10, 1)

D) 6vv 21

E) Longitud de 17v2

Solución;

A) Módulo de 13v1 . Afirmación verdadera.

Como 1v = (–2, 3), entonces 13)3()2(v 221

B) 1v + 2v = (2, 4). Afirmación verdadera.

1v + 2v = (–2, 3) + (4, 1) = (2, 4)

C) 1v – 2 2v = (–10, 1). Afirmación verdadera.

1v – 2 2v = (-2, 3) – 2 (4, 1) = (–2, 3) – (8, 2) = (–10, 1).

D) 6vv 21 . Afirmación FALSA.

2042)4,2(vv 2221


54. La ecuación de la recta que pasa por el punto (-1, 13) e intersecta al eje x en x = 58 es:

A) y = 8 + 5x

B) y = 8 – 5x

C) y = 5x – 8

D) y = 8x – 5

E) y = 5 – 8x

Solución:

Se trata de la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1, 13) y (58 , 0).

Calculando la pendiente:

513

)1(

130m

513

58

Para calcular el intercepto n:

Reemplazando en la ecuación y = mx + n el punto (-1, 13):

n)1(513

De donde:

8n

Entonces: y = 8 – 5x

Alternativa correcta: B

4 -2

1v

x

y

3

1 2v

29

55. Se tienen los siguientes valores de una variable X:

¿Cuál de los siguientes estadísticos de X es FALSO?

A) La mediana es 3

B) La media aritmética es 4

C) El rango es 8

D) La varianza es 11

E) La desviación estándar es 8

Solución:

A) La mediana es 3. Verdadero.

Ordenando los valores de X, de menor a mayor: 1, 1, 5, 9.

Como quedan dos números centrales, la mediana corresponde a la media entre ellos. Me = (1+5)/2 = 3.

B) La media aritmética es 4. Verdadero.

Calculando: 4

9511x

= 4.

C) El rango es 8. Verdadero.

Rg(x) = 9 – 1 = 8.

D) La varianza es 11. Verdadero.

Aplicando la definición de varianza: n

)xx(

2n

1i

i

2

4

)49()45()41()41( 22222

4

44

4

251992

= 11.

E) La desviación estándar es 8. FALSO.

Aplicando la raíz cuadrada de la varianza:

811


1 1 5 9

30

56. El siguiente gráfico corresponde a la distribución de una muestra de trabajadores y

trabajadoras, según sector de actividad económica que desarrollan.

Actividad económica de trabajadores según sector

Mujeres SECTOR Hombres

Construcción

Servicios

Comercio

Salud

= = 1 persona

A partir del gráfico se puede afirmar que:

A) El 15% de los encuestados trabajan en el sector salud

B) En el sector construcción, el 12,5% de los encuestados es mujer

C) De los hombres encuestados, el 9 % trabaja en el sector comercio

D) En la muestra, en el sector comercio, hombres y mujeres están en la razón 2 : 3

E) En el sector servicios se concentra más del 50% de los encuestados

Solución:

A) El 15% de los encuestados trabajan en el sector salud. FALSO.

Total de encuestados: 69

Trabajan en sector salud: 15, lo que, evidentemente no representan el 15% de los encuestados.

B) En el sector construcción, el 12,5% de los encuestados es mujer

En el sector construcción hay un total de 16 personas, de las cuales 2 son mujeres.

Esto es: %5,12100·16

2


31

57. En la tabla siguiente, X es el número de televisores por hogar en una muestra de 40 hogares

de la Región del Biobío.

X casos

0

1

2

3

4

2

20

10

6

2

Total 40

Sobre la base de los datos de la tabla, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son verdadera(s)?

I) El número mediano de televisores por hogar en la muestra es 2.

II) En la muestra, el 45% de los hogares tiene más de 1 televisor.

III) El 95% de los hogares de la muestra tiene televisor.


A) Solo II

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solución:

I: El número mediano de televisores por hogar en la muestra es 1. Afirmación verdadera.

En una distribución de datos ordenados de menos a mayor, la mediana es el valor central.

En este caso, como n = 40, la mediana queda entre el lugar 20º y el 21º.

Al ordenar de menor a mayor los 40 datos de la tabla, en el lugar 20º-21º queda ubicado x=1 (televisor). Por lo tanto, la mediana es 1.

Una columna de frecuencias acumuladas ayuda a comprender el razonamiento:

X casos F Acum

0 1 2 3 4

2 20 10 6 2

2 22 32 38 40

Total 40 -

II: En la muestra, el 45% de los hogares tiene más de 1 televisor. Verdadero.

Tienen más de 1 televisor: 10 + 6 + 2 = 18 hogares, de un total de 40. Esto es: %45100·40

18

III: El 95% de los hogares de la muestra, tiene televisor. Verdadero.

Tiene televisor un total de 38 hogares, de la muestra de 40. Esto es: %95100·40

38


32

58. Se mide la velocidad de transferencia de archivos en una muestra de servidores, encontrando los

datos de la tabla adjunta:

Vel (Kbps) fi

[50 – 100[ 4

[100 – 200[ 8

[200 – 400[ 6

[400 – 800] 2

Sobre la base de estos datos, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) La mayoría de los servidores transfiere a menos de 200 Kbps

B) La mitad de los servidores transfiere a 175 Kbps o más

C) La velocidad media de transferencia de los servidores es de 225 Kbps

D) El 20% de los servidores transfiere a menos de 100 Kbps

E) El 80% de los servidores transfiere a menos de 400 Kbps

Solución:

A) La mayoría de los servidores transfiere a menos de 200 Kbps. Verdadero.

Transfieren a menos de 200 Kbps, 8 + 4 = 12 servidores de un total de 20.

B) La mitad de los servidores transfiere a 175 Kbps o más. Verdadero.

Se debe calcular la mediana. Para esto se completa la tabla con las frecuencias acumuladas:

Vel (Kbps) fi F acum

[50 – 100[ 4 4

[100 – 200[ 8 12

[200 – 400[ 6 18

[400 – 800] 2 20

Total 20 -

Calculando la mediana para casos de datos agrupados en intervalos:

8

)410(100100Me

= 175 Kbps. El 50% de los servidores transfiere a 175 Kbps o más.

C) La velocidad media de transferencia de los servidores es de 225 Kbps. Verdadero.

Se calcula la media aritmética. Para esto se completa la tabla, con las marcas de clase Xm:

Vel (Kbps) Xm fi

[50 – 100[ 75 4

[100 – 200[ 150 8

[200 – 400[ 300 6

[400 – 800] 600 2

Total - 20

20

260063008150475x

= 225 Kbps.

La velocidad media de transferencia de los servidores es de 225 Kbps.

D) El 20% de los servidores transfiere a menos de 100 Kbps. Verdadero.

Transfieren a menos de 100 Kbps, 4 servidores de un total de 20, lo que representa un 20%.

E) El 80% de los servidores transfiere a menos de 400 Kbps. FALSO.

Transfieren a menos de 400 Kbps, 18 servidores de un total de 20, lo que representa un 90%.


33

59. El siguiente gráfico de porcentajes acumulados muestra el consumo semanal de grasas saturadas

en una muestra de mujeres.

De acuerdo al gráfico, es verdadero que en la muestra estudiada:

A) El 90% consume más de 40 gramos de grasas saturadas a la semana

B) El consumo mediano es 25 gramos de grasas saturadas a la semana

C) El 90% consume, 10 o más gramos de grasas saturadas a la semana

D) El 30% consume 50 gramos de grasas saturadas a la semana

E) El 20% consume entre 20 y 50 gramos de grasas saturadas a la semana

Solución:

A) El 90% consume más de 40 gramos de grasas saturadas a la semana. FALSO.

Entre 40 y 50 gramos de consumo, solo queda un 10%.

B) El consumo mediano es 25 gramos de grasas saturadas a la semana. FALSO.

La mediana queda en el 50% del porcentaje acumulado. En este caso corresponde a un consumo de 30 gramos.

C) El 90% consume, 10 o más gramos de grasas saturadas a la semana. Verdadero.

Entre 10 y más gramos de consumo queda un 90%.


(Obviamente que las alternativas D y E son verdaderas).

60. En la denominada “Ciudad de los Vientos” se realizan 256 mediciones de la velocidad del viento en

distintos lugares. Si esta velocidad se distribuye normalmente con desviación estándar 24 km/h, ¿cuál es el error estándar para la distribución de medias muestrales de esta variable en el estudio realizado?

A) 1,5 km/h.

B) 4 km/h.

C) 8 km/h.

D) 10,7 km/h.

E) 24 km/h.

Solución:

Por definición, el error estándar de las medias muestrales es:

n

x

x

Reemplazando:

16

24

256

24x

= 1,5 km/h.


% Ac

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0 0

Consumo de grasas saturadas (gr/semana)

gr 10 20 30 40 50

34

61. Con el objetivo de estimar un intervalo de confianza del calibre (diámetro) medio de los tomates de

exportación producidos en un predio agrícola, se realiza un estudio muestral estrictamente ajustado al método estadístico. El estudio llegó a la conclusión que el calibre medio fluctúa entre 80 y 100 mm.

Si el calibre se distribuye normalmente y la estimación se realizó con un 95% de confianza con una muestra aleatoria de tomates, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones se puede(n) inferir de la información dada?

I) El calibre medio muestral de tomates en esta plantación fue de 90 mm.

II) Hay un 2,5% de probabilidades de que el calibre medio poblacional de los tomates sea mayor a 100 mm.

III) Hay un 5% de probabilidades de que el calibre medio poblacional de los tomates sea menor a 80 mm.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solución:

El siguiente diagrama ayudará a la solución de este problema. Aquí se representa la distribución normal de las medias muestrales, y se especifica el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

I) El calibre medio muestral de tomates en esta plantación fue de 90 mm. Afirmación verdadera.

El punto medio del intervalo es 90 mm, que corresponde a la media muestral.

II) Hay un 2,5% de probabilidades de que el calibre medio poblacional de los tomates sea mayor a 100 mm. La gráfica de la situación muestra que la afirmación es verdadera.

III) Hay un 5% de probabilidades de que el calibre medio poblacional de los tomates sea menor a 80 mm. Afirmación FALSA.

La gráfica de la situación muestra que la afirmación es FALSA.


62. Un laboratorio contrata a 10 personas para probar un nuevo medicamento inyectable contra la gripe,

el que solamente será administrado a 3 de ellos, aplicando un placebo a los otros 7.

¿Cuántos grupos distintos son posibles de obtener para inyectarles el medicamento real?

A) 3

B) 21

C) 30

D) 84

E) 120

Solución:

Se trata de un muestreo sin reemplazamiento, de una muestra de tamaño 3 a partir de una población de

tamaño 10. Se resuelve por la combinatoria )!rn(!r

!n)

r

n(

, también expresada como rnC .

Resolviendo:

!7!3

!10

)!310(!3

!10)

3

10(

=

!7!3

!78910

=

6

720

!3

8910

= 120


95% Confianza

mm 90 100 80

2,5% 2,5%

35

63. Si A y B son sucesos tales que P(A) = 0,3, P(B) = 0,6 y P(AB) = 0,2, ¿cuál de las siguientes

afirmaciones es FALSA?

A) )BA(P 0,1

B) )AB(P 0,4

C) )BA(P 0,9

D) )BA(P c 0,1

E) )B(P c 0,4

Solución:

Trazando un diagrama de Venn y especificando las cifras de probabilidad dadas:

Se puede constatar en el diagrama que:

A) )BA(P 0,1. Verdadero, porque )BA(P)A(P)BA(P 0,3 - 0,2 = 0,1.

B) )APB 0,4. Verdadero, porque )BA(P)B(P)AB(P 0,6 - 0,2 = 0,4.

C) )BA(P 0,9. FALSO, porque )BA(P)B(P)A(P)BA(P = 0,3 + 0,6 - 0,2 = 0,7.

D) )BA(P c 0,1. Verdadero, porque )BA(P)BA(P c , igual que la alternativa A.

E) )B(P c 0,4. Verdadero, porque )B(P1)B(P c = 1 - 0,6 = 0,4.


64. Se tiene la función de probabilidad ;)4

1()

4

3()x(f x1x con x = 0, 1.

¿Cuál es la probabilidad de que x = 1?

A) 0

B) 1/4

C) 1/3

D) 1/2

E) 3/4

Solución:

En una función de probabilidad discreta, la probabilidad de que axx es igual al valor de la función en el

punto ax .

Reemplazando:

x1x )4

1()

4

3()x(f .

111 )4

1()

4

3()1x(f =

4

3


B

A B

0,1 0,2 0,4

0,3

36

65. Según los entendidos, en un partido de fútbol, de cada diez goles, uno se hace desde media

distancia, tres de pelota detenida, dos de jugadas que parten del centro del campo y cuatro de avances que parten por los costados, todas estas causas, independientes entre sí.

Si se seleccionan al azar dos goles del mundial de Brasil 2014, ¿cuál es la probabilidad de que ambos hayan sido producto de una jugada que partió del centro del campo?

A) 1/25

B) 2/25

C) 3/50

D) 1/6

E) 1/5

Solución:

Sea C = El gol parte de jugada que se inició desde el centro del campo.

Según datos:

P(C) = 2/10

Se pide: P(C y C).

Aplicando la propiedad multiplicativa de sucesos independientes:

P(C y C) = P(C) · P(C) = 10

2·

10

2=

25

1


66. En una caja hay una gran cantidad de bolitas, de las cuales el 20% son negras. De esta caja se

extraen 10 bolitas al azar, y se define la variable X = número de bolitas negras que resultan en una muestra de tamaño 10.

En estas condiciones, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) X es una variable aleatoria discreta

B) Un modelo apropiado de probabilidades en este caso es el binomial

C) La probabilidad de que las 10 bolitas resulten negras es 10)5

1(

D) La probabilidad de que ninguna de las 10 bolitas resulte negra es 0 .

E) El valor esperado de la función de probabilidad de X es 2.

Solución:

A) X es una variable aleatoria discreta. Afirmación verdadera.

X cumple con las condiciones para ser tratada como variable aleatoria discreta.

B) Un modelo apropiado de probabilidades en este caso es el binomial. Afirmación verdadera.

Se dan las condiciones para aplicar el modelo binomial con parámetros n = 10 y p = 0,2.

casootrocualquieren0

10...,2,1,0xsi,8,02,0)x

10(

)x(fx10x

C) La probabilidad de que las 10 bolitas resulten negras es 10)5

1( . Afirmación verdadera.

Aplicando la regla del producto, se llega a que esta probabilidad es igual a 10)2,0( 10)5

1(

Aplicando el modelo binomial: 10101010 2,08,02,0)10

10()10x(f 10)

5

1(

D) La probabilidad de que ninguna de las 10 bolitas resulte negra es 0 . Afirmación FALSA.

Aplicando la probabilidad del suceso contrario, se llega a que esta probabilidad es igual a 10)8,0( 0.

Aplicando el modelo binomial: 10100 8,08,02,0)0

10()0x(f 0.

E) El valor esperado de la función de probabilidad es 2. Afirmación verdadera.

El valor esperado de un experimento binomial es E(X) = 22,010pn


37

67. En cierta comuna, en un día cualquiera, llueve con probabilidad 0,2, y corre viento con probabilidad

0,3, siendo ambos fenómenos independientes de lo que haya ocurrido el día anterior y, además, independientes entre sí.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s)?

I) La probabilidad de un día cualquiera llueva, pero sin viento, es 0,14.

II) La probabilidad de que corra viento dos días seguidos es 0,09.

III) La probabilidad de que un día cualquiera llueva, dado que corre viento es 0,6.

A) Solo II

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solución:

P(lluvia) = 0,2 P(no lluvia) = 0,8

P(viento) = 0,3 P(no viento) = 0,7

I) La probabilidad de un día cualquiera llueva, pero sin viento, es 0,14. Afirmación verdadera.

Aplicando propiedad multiplicativa de los sucesos independientes:

P(lluvia y no viento) = 7,02,0 = 0,14

II) La probabilidad de que corra viento dos días seguidos es 0,09. Afirmación verdadera.

Como en un día cualquiera P(viento) = 0,3, en virtud de la propiedad multiplicativa:

P(viento y viento) = 3,03,0 = 0,09.

III) La probabilidad de que un día cualquiera llueva, dado que corre viento es 0,6. Afirmación FALSA.

Esto es, la probabilidad de lluvia, condicionado a la ocurrencia de viento.

Por el enunciado de la pregunta, se sabe que ambos fenómenos son independientes entre sí, por lo que la probabilidad de que llueva dado que corre viento es, simplemente, la probabilidad de lluvia. Es decir, 0,2.


68. Se tiene el siguiente gráfico de distribución de probabilidades de una variable aleatoria:

El Valor Esperado y la Varianza de la distribución son, respectivamente:

A) 0,25 y 0,625

B) 1,6 y 0,84

C) 1,6 y 1,96

D) 1,6 y 0,92

E) 1,2 y 2,4

Solución:

Cálculo del valor esperado:

E(X) = 2,033,024,011,00 = 1,6

Cálculo de la varianza:

2,0)6,13(3,0)6,12(4,0)6,11(1,0)6,10( 22222 =

84,0392,0048,0144,0256,02


0 1 2 3

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1 0

x

P(x)

38

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS Nº69 A LA Nº75

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,

D) Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

69. Es posible calcular el valor numérico de la expresión 400log , si:

(1) log 2 = 0,3

(2) log 5 = 0,7

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

Solución:

(1) log 2 = 0,3

Como )102log(20log400log

Aplicando propiedades de los logaritmos, 10log2log)102log( , ambos términos conocidos.

Por lo tanto, (1) por sí sola, sí soluciona lo planteado.

(2) log 5 = 0,7

Como )5

100log(20log400log

Aplicando propiedades de los logaritmos, 5log100log)5

100log( , ambos términos conocidos.

Por lo tanto, (2) por sí sola, sí soluciona lo planteado.

Entonces, cada una por sí sola soluciona lo planteado.


39

70. En la figura se tiene la gráfica de una función de la forma xq·py , con p y q constantes

reales. Se puede calcular el valor numérico de p y de q, si:

(1) R = (0, 100)

(2) S = (2, 64)

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)


Solución:

(1) R = (0, 100)

Con esta información, por sí sola, se puede plantear que 0q·p100 . Con esto solo se puede llegar al valor

de p, pero no al valor de q. Luego, (1) por sí sola, NO es suficiente para resolver el problema.

(2) S = (2, 64)

Con esta información, por sí sola, se puede plantear que 2q·p64 . Con esto, no se puede llegar al valor de

p, ni al valor de q. Luego, (2) por sí sola, NO resuelve el problema.

Ambas juntas, (1) y (2)

Con (1) se tiene que p = 100.

Con (1) y (2) se puede plantear que: 2q·10064 , de donde es fácil calcular q.


71. En el sistema coordenado de la figura, 1L y 2L son rectas. Es posible calcular el área

sombreada entre 1L y 2L , si:

(1) 1L : y = 2x – 6; 2L : x = 8

(2) 2L : x = 8; c = 10

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) o (2)


Solución:

(1) 1L : y = 2x – 6; 2L : x = 8

El área sombreada es un triángulo. Por lo tanto, es posible calcular su área si se calcula su base ab y su

altura c.

Con la ecuación de 1L , se puede calcular el punto a, puesto que y = 0. Con 1L y 2L se pueden calcular las

coordenadas b y c. Por lo tanto, con la información (1), por sí sola, es posible calcular el área del triángulo.

(2) 2L : x = 8; c = 10

Con esta información, por sí sola, se puede calcular b y c, pero no a, ya que se desconoce L1. Luego, el área del triángulo señalado, no puede ser calculada.


a b

c

x

y

1L 2L

x

y

y=f(x)

R

(0,0)

S

40

72. En la figura, ABC es triángulo de altura CD= 10 cm. Es posible calcular el área de ABC, si:

(1) AB= 12 cm.

(2) AD

CD= 1,25

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




Solución:

(1) AB= 12

Esta información corresponde a la base del triángulo ABC. Como su altura está dada = 10 cm, es posible calcular su área, sin necesidad de otra información. Luego, (1) por sí sola, sí resuelve lo planteado.

(2) AD

CD= 1,25

Este dato es el cuociente entre la altura CD 10 cm y el cateto AD , de dimensión desconocida.

El dato dado permite calcular AD , pero no la base AB . Por lo tanto, (2), por sí sola, no permite calcular el área de ABC.


73. En la figura, O es el centro de la circunferencia. El arco AB es congruente con el arco CD y

CDOP . Es posible calcular AB , si:

(1) OP = 5

(2) OB = 12

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




Solución:

(1) OP = 5

Con esta información, por sí sola, no se puede calcular AB .

(2) OB = 12

Con esta información, por sí sola, no se puede calcular AB .


Trazando la línea auxiliar OC , es posible distinguir la formación de un triángulo rectángulo de hipotenusa

OC = 12 y catetos OP = 5 y PC a calcular por el teorema de Pitágoras.

Nótese que OC = OB porque son radios. Además, PC2DC y, finalmente, que DCAB , porque

subtienden arcos congruentes.

Por lo tanto, con ambas informaciones juntas, sí es posible resolver el problema planteado.


A B

C D P

O

A B

C

D

A B

C D P

O

5

12

41

74. ¿Cuál es la varianza en la edad de 4 hermanos?

(1) Sus edades suman 46 años.

(2) La edad media de los 2 menores es 9 años y la de los 2 mayores es 14 años.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




Solución:

La varianza de una serie de datos numéricos es una medida de las distancias de esos datos respecto de su media aritmética. Por lo tanto, para su cálculo se requiere contar con información que permita determinar la media y la distancia de cada dato respecto de esta.

(1) Sus edades suman 46 años.

Con esta información solo se puede calcular la media aritmética, pero no la distancia de cada dato respecto de ella. Por lo tanto, (1) por sí sola, es insuficiente para resolver lo solicitado.

(2) La edad media de los 2 menores es 9 años y la de los 2 mayores es 14 años.

Con esta información solo se puede calcular la media aritmética entre los datos, pero no la distancia de cada uno respecto de ella. Por lo tanto, (2) por sí sola, es insuficiente para resolver lo solicitado.


Información insuficiente. Solo se tiene la media aritmética de los datos, pero ninguna información que permita calcular las distancias ya referidas.

Luego, para resolver lo solicitado se requiere información adicional.


75. ¿Cuál es la varianza de la distribución de probabilidades de una variable aleatoria discreta X?

(1) El valor esperado de la distribución de X es igual a 2,4.

(2) X se distribuye de la forma X ~ B(8; 0,3).

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




Solución:

(1) El valor esperado de la distribución de X es igual a 2,4.

El valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta es, respectivamente:

E(x) = )x(Px ii ; )x(P))x(Ex()x( i2

i2

La información dada indica que )x(Px ii = 2,4; lo que no permite calcular nada más.

Por lo tanto, (1) por sí sola, NO resuelve el problema planteado.

(2) X se distribuye de la forma X ~ B(8; 0,3).

En el modelo binomial, la varianza es igual a )p1(pn)x(2 .

La información dada indica que la variable X se distribuye binomialmente, con parámetros n = 8 y p = 0,3.

Por lo tanto, (2) por sí sola, sí resuelve el problema planteado.


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