prueba i estadística (resúmen)

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PRUEBA I ESTADÍSTICA PPT 1 CONCEPTOS DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA: - Disciplina que estudia la recolección, organización, presentación y análisis de un conjunto de datos. - … “procedimiento para clasificar, calcular, analizar y resumir información numérica que se obtiene de manera sistemática” - La estadística estudia los métodos científicos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables. - Disciplina que nos ofrece técnicas para responder preguntas de naturaleza cuantitativa. - Procedimientos y técnicas. LA ESTADÍSTICA NO ES: - No es un método para probar cualquier cosa (la interpretación no va más allá de los datos). - No es colección de hechos o datos. - No sustituye al pensamiento abstracto. - No sustituye al diseño. - No es una ciencia FUNCIONES DE LA ESTADÍSTICA 1. DESCRIPTIVA Resume gran cantidad de información en pocas medidas. En este nivel se busca la reducción de datos cuantitativos a un número pequeño de términos descriptivos más adecuados y de lectura más simple. 2. INDUCTIVA Infiere propiedades del universo a partir de una muestra, basándose en la teoría de las probabilidades. En este nivel la estadística es un conjunto de técnicas para tomar decisiones que ayuden a los investigadores a hacer inferencias de las muestras a las poblaciones y, en consecuencia, a comprobar hipótesis relativas a la naturaleza de la realidad social. VARIABLES - Fenómeno que se registra de forma unidimensional, cuyo valor varía entre los distintos casos estudiados. - Son conceptos. - No deben ser constantes Porque son variables (badúm tss) - Representan propiedades de las unidades observadas y permiten categorizar esas unidades. - Vinculan al mundo empírico con el teórico; son los fenómenos y sucesos que pueden ser medidos o manipulados en una investigación. - Es un símbolo, tal como X, Y, H, x o B, que puede tomar un conjunto prefijado de valores, llamado dominio de esa variable. NIVELES DE MEDICIÓN 1. NOMINAL Simplemente involucra el proceso de denominar o etiquetar; esto es, colocar los casos dentro de categorías y contar su frecuencia de ocurrencia. En este nivel, cada caso debe colocarse en una sola categoría; las categorías no deben traslaparse ni excluirse mutuamente. Las categorías deben ser exhaustivas debe haber un lugar para cada caso que se presente.

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  • PRUEBA I ESTADSTICA

    PPT 1

    CONCEPTOS

    DEFINICIN DE ESTADSTICA:

    - Disciplina que estudia la recoleccin, organizacin, presentacin y anlisis de un conjunto de datos.

    - procedimiento para clasificar, calcular, analizar y resumir informacin numrica que se obtiene de manera

    sistemtica

    - La estadstica estudia los mtodos cientficos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, as como para

    sacar conclusiones vlidas y tomar decisiones razonables.

    - Disciplina que nos ofrece tcnicas para responder preguntas de naturaleza cuantitativa.

    - Procedimientos y tcnicas.

    LA ESTADSTICA NO ES:

    - No es un mtodo para probar cualquier cosa (la interpretacin no va ms all de los datos).

    - No es coleccin de hechos o datos.

    - No sustituye al pensamiento abstracto.

    - No sustituye al diseo.

    - No es una ciencia

    FUNCIONES DE LA ESTADSTICA

    1. DESCRIPTIVA Resume gran cantidad de informacin en pocas medidas.

    En este nivel se busca la reduccin de datos cuantitativos a un nmero pequeo de trminos descriptivos ms

    adecuados y de lectura ms simple.

    2. INDUCTIVA Infiere propiedades del universo a partir de una muestra, basndose en la teora de las

    probabilidades.

    En este nivel la estadstica es un conjunto de tcnicas para tomar decisiones que ayuden a los investigadores a

    hacer inferencias de las muestras a las poblaciones y, en consecuencia, a comprobar hiptesis relativas a la

    naturaleza de la realidad social.

    VARIABLES

    - Fenmeno que se registra de forma unidimensional, cuyo valor vara entre los distintos casos estudiados.

    - Son conceptos.

    - No deben ser constantes Porque son variables (badm tss)

    - Representan propiedades de las unidades observadas y permiten categorizar esas unidades. - Vinculan al mundo emprico con el terico; son los fenmenos y sucesos que pueden ser medidos o

    manipulados en una investigacin. - Es un smbolo, tal como X, Y, H, x o B, que puede tomar un conjunto prefijado de valores, llamado dominio de

    esa variable. NIVELES DE MEDICIN

    1. NOMINAL Simplemente involucra el proceso de denominar o etiquetar; esto es, colocar los casos dentro de categoras y contar su frecuencia de ocurrencia. En este nivel, cada caso debe colocarse en una sola categora; las categoras no deben traslaparse ni excluirse mutuamente. Las categoras deben ser exhaustivas debe haber un lugar para cada caso que se presente.

  • 2. ORDINAL Cuando se busca ordenar los casos en trminos del grado en que poseen una determinada caracterstica. Este nivel nos da informacin acerca de la organizacin de las categoras, pero no indica la magnitud de las diferencias entre los nmeros.

    3. POR INTERVALOS Nos indica tanto el orden de las categoras como la distancia exacta entre ellas. Las medidas por intervalo emplean unidades constantes de medicin, las cuales proporcionan intervalos iguales entre los puntos de la escala.

    CLASIFICACIN DE VARIABLES

    NIVEL DE MEDICIN

    CARACTERSTICAS EJEMPLO

    ESCALA NOMINAL Clasificacin. Variables nominales o

    categricas.

    Sexo.

    ESCLA ORDINAL

    Clasificacin, ordenamiento. Variables ordinales. No calcula

    distancias.

    Tramo etario. Quintiles, Deciles. Cursos.

    ESCALA DE INTERVALO Clasificacin, ordenamiento, informa la distancia exacta

    entre los valores. Variables de intervalo.

    Edad. Altura. Peso. Ingreso. Gasto promedio.

    ESCALA DE RAZN Punto cero absoluto. Variables de intervalo.

    "

    OTRAS CLASIFICACIONES DE VARIABLES

    SEGN DEPENDENCIA

    Independientes: antecedente. Dependientes: consecuencia.

    SEGN TIPO DE DATO

    Variables discretas: slo nmeros enteros. Variables continuas: Cualquier nmero entre dos enteros.

    VARIABLES DUMMY

    Variables donde se busca un atributo representado con el 1 y la ausencia de l se representa con el 0.

    UNIVERSO Qu es lo que se estudia?

    o Criterios de exclusin.

    o Criterios de inclusin.

    o Estos criterios delimitan lo que se estudia.

  • UNIDAD DE ANLISIS Naturaleza del respondiente frente al dato.

    o Cul es la naturaleza del sujeto de estudio?

    Individuos/personas/jvenes.

    Familias.

    Otros: Instituciones, comunidades, empresas.

    o A qu nivel se trabajar la informacin?

    Totalidad (representando al universo general)

    Subgrupos (Comuna, regin, establecimiento educacional, junta de vecinos etc.)

    o LA UNIDAD DE ANLISIS DELIMITA EL TAMAO DE MUESTRAS, TIPOS DE PREGUNTAS Y POSIBLES

    RESULTADOS

    PPT 2

    DESCRIPCIN DE VARIABLES NOMINALES Y ORDINALES

    Al tener datos sueltos, un primer paso sera construir una tabla que muestre la distribucin de frecuencia de los datos

    recogidos

    Ejemplo

    N (f) Frecuencia Absoluta

    A 1

    B 39

    C 25

    D 30

    E 25

    TOTAL 120

    - Aplicar proporciones y/o porcentajes nos permite comparar muestras de distinto tamao. Son un mtodo para

    - normalizar las distribuciones y hacerlas fcilmente comparables

    Este sera un primer paso.

    A esta tabla le podemos agregar la

    representacin proporcional de las frecuencias

    o peso relativo (proporciones o porcentajes).

    PROPORCIONES:

    Se calculan dividiendo el nmero de caso

    de la categora especfica con el total de

    casos. Al sumar las proporciones de

    todas las categoras nos debe dar 1.

    PORCENTAJES:

    Una manera de calcularlos es multiplicando la

    proporcin de la categora por cien.

    Relativiza la proporcin indicando si el grupo fuera de 100 personas las que estaran en esa categora seran.... Su uso es ms frecuente. DECIMALES:

    En la prueba no se aceptarn menos de 3

    decimales. Se aproxima.

    Dcima menos por c/mala aproximacin.

  • N (f) Frecuencia

    absoluta

    P (Proporcin)

    % %

    A 1 0,008 0,8 1

    B 39 0,325 32,5 33 (32)*

    C 25 0,208 20,8 21

    D 30 0,250 25,0 25

    E 25 0,208 20,8 21

    TOTAL 120 0.999 99,9 101 (100)

    * Para que de 100 % se modifica el valor ms alto.

    TIPOS DE GRFICOS Diapo 10, ppt 2.

    GRFICO DE SECTORES

    Es una grfica circular cuyos segmentos suman 100 por ciento se usan para visualizar las diferencias de frecuencia

    entre algunas categoras de nivel nominal.

    GRFICA DE BARRAS Puede ajustarse a cualquier nivel de medicin Muy usado en la investigacin social.

    Eje (x) Se marcan los valores de los puntajes o categoras.

    Eje (y) representa las frecuencias por cada puntaje o categora.

    Si se grafican categoras nominales, las barras deben estar separadas, para evitar implicar continuidad en las categoras

    Grfico de barras.

    Si se grafican categoras ordinales o de intervalo las barras van juntas Histograma

  • POLGONO DE FRECUENCIA El polgono de frecuencia puede acomodarse a una amplia variedad de categoras, tiende

    a enfatizar la continuidad, a lo largo de una escala.

    Es particularmente til para representar puntajes ordinales y por intervalos.

    Las frecuencias se indican por medio de una serie de puntos colocados sobre los valores de los puntajes o los puntos

    medios de cada intervalo de clase.

    Los puntos adyacentes se conectan mediante una lnea recta que cae sobre la lnea basa en uno y otro extremo.

    Si grafica un polgono de frecuencia acumulada, la lnea es ascendente no tiene que tocar otra vez la lnea base

    horizontal.

    A diferencia del polgono de frecuencia comn, los puntos de una grfica acumulada se trazan sobre los lmites

    superiores de los intervalos de clase en lugar de sobre los puntos medios.

    Esto se debe a que la frecuencia acumulada representa el nmero total de casos dentro como por debajo de un intervalo

    de clase en particular.

    PPT 3

    ORGANIZACIN DE DATOS DE VARIABLES DE INTERVALO Y ORDINALES

    - Datos sueltos:

    Edad: 15, 10, 25, 37, 18, 29, 56 et.

    - Datos agrupados: Tabla de frecuencia:

  • MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

    MEDIA O PROMEDIO ( ) Suma de las marcas (casos en una categora) dividida por el total de los casos comprendidos.

    En datos sueltos En datos agrupados Tablas de frecuencia

    MARCA DE CLASE (X)(Lm. Superior + Lm. Inferior / 2) en las tablas ordinales, no sabemos

    exactamente qu valor tienen las categoras. Se asume que es el valor medio del intervalo, o

    marca de clase.

    LMITES DE CLASE Cada intervalo en las escalas de intervalo - tiene un lmite superior y un

    lmite inferior. Estos lmites se ocupan cuando ocupamos nmeros con decimales.

    Si tenemos el intervalo 90 94 y el intervalo 95-99, el lmite superior del intervalo 90-94 es 94,5 y

    el lmite inferior del intervalo 95-99 es 94,5 tambin

    Al utilizar nmeros enteros, es obvio que el 90 y el 94 caen dentro del primer intervalo y el 95 cae

    en el segundo, pero, Qu pasa con el valor 94,5?

    Esto se resuelve redondeando al nmero par ms cercano. 94, 5, entonces, caera en el intervalo

    90-94.

    PUINTO MEDIO DEL INTERVALO

    FRECUENCIAS ACUMULADAS Se definen como el nmero total de casos que tenga cualquier

    puntaje dado o uno que sea ms bajo. Su suma total es el total de casos.

    Se puede hacer lo mismo con las proporciones (porcentajes acumulados c%) y los porcentajes.

    Respectivamente sus sumas deben dar 1 y 100%.

    Se deben ordenar de manera ascendente o descendente.

    N (f) Frecuencia absoluta

    Fa (frecuencia acumulada

    % c% (porcentaje acumulado)

    A 1 1 1 1

    B 39 40 32 33

    C 25 65 21 54

    D 30 95 25 79

    E 25 120 21 100

    TOTAL 120 100

    MEDIANA (Md) Valor del dato que divide al grupo en un 50% sobre l y 50% bajo l.

    1 Ordenar los casos de menor a mayor (si se trata de datos sueltos)

    2 Localizar el caso de la mediana.

    3 Identificar el valor de la mediana.

  • DATOS SUELTOS

    Si la distribucin de datos es impar (rojo = Md) 13 -14- 14-18-22-25-25 18 = Md

    Si la distribucin es par 13-14-14-18-22-25-25-27 La Mediana est entre el 18 y el 22 se

    calcula la media aritmtica (promedio) entre esos dos datos Md =20

    DATOS AGRUPADOS

    Usando frecuencia acumulada ascendente:

    1 Buscar la mitad del total de casos (f tota/2).

    2 Buscar en la columna de frecuencia acumulada en que categora se encuentra el dato.

    3 Identificar el valor del dato que es la mediana.

    Usando porcentaje acumulado ascendente

    1 Identificar el porcentaje acumulado que contenga el 50% de los datos (percentil 50)

    2 Identificar el valor del dato que es la mediana.

    TABLA DE FRECUENCIA

    Se sigue el mismo procedimiento que para los datos agrupado, pero al encontrar la categora

    donde se encuentra el dato, al ser un intervalo, debemos informar el rango donde se puede

    encontrar o la marca de clase (X).

    MODA (Mo)Dato que tiene la mayor frecuencia en la distribucin de una variable (que ms

    veces se observa.

    - No necesariamente es un solo valor.

    - No siempre es identificable.

    - Es medible tambin en variables nominales o categricas.

    * Si hay 3 modas, por ejemplo, no vale la pena informarla, no constituye un dato relevante.

    DATOS AGRUPADOS:

    Se puede identificar, fijndose en la mayor frecuencia, en la mayor proporcin o en el mayor

    porcentaje (no acumulados).

    Se identifica la categora que cumple con la condicin recin mencionada.

    TABLAS DE FRECUENCIA

    Se identifica de la misma manera descrita recin.

    Se identifica la marca de clase o el rango del intervalo.

    MEDIDAS DE POSICIN Determinan valores de corte en un continuo de datos de una variable

    - Mediana (Md) Valor que divide en 2 grupo de 50%.

    - Cuartiles (Q) Valores que dividen en 4 grupos, es decir, que cortan cada 25 %.

    - Quintiles (Qt) Valores que dividen en 4 grupos, es decir, que cortan cada 20%.

    - Deciles (D) Valores que dividen en 10 grupo, es decir, que cortan cada 10%.

    - Percentiles (P) Valores que indican una posicin determinada. Por ejemplo, 86%, 45%,

    etc.

  • PPT 4

    MEDIDAS DE DISPERSIN

    RANGO O RECORRIDO Diferencia entre el dato mayor y menor.

    *Es demasiado sensible a los casos extremos. Por ejemplo: si el caso mayor est muy disparado,

    no da cuente efectivamente de la heterogeneidad.

    Si se elimina el dato mayor disparado, tambin se debe eliminar el menor.

    En datos sueltos y en datos agrupados la operacin es directa a los datos de la tabla.

    En tablas de frecuencia se restan las marcas de clase (X) de los rangos extremos.

    DESVIACIN MEDIA (DM) Promedio de las desviaciones de las diferencia respecto de la media,

    en valores absolutos promedio de las desviaciones de cada dato respecto al promedio.

    DATOS SUELTOS DATOS AGRUPADOS TABLA DE FRECUENCIA

    Clculo de la desviacin media.

    EN DATOS SUELTOS (no sea pollo y ordene los datos)

    1 Calcular el promedio de los casos

    2 Calcular la diferencia de cada dato con el promedio (desviacin). Este valor est entre barras,

    por lo que se expresa en su valor absoluto. Si da negativo, se cambia el signo a positivo. Gurdese

    los datos que le vayan resultando.

    3 Sumar todos los valores (hacer sumatoria), de los resultados de la operacin anterior.

    4 Divida la suma por el total de casos (frecuencia absoluta total).

    EN DATOS AGRUPADOS.

    1 Calcular el promedio de los casos

    2 Calcular la diferencia de cada dato con el promedio (desviacin). Este valor est entre barras,

    por lo que se expresa en su valor absoluto. Si da negativo, se cambia el signo a positivo.

    Multiplique se valor por la frecuencia con que se presenta. Gurdese los datos que le vayan

    resultando.

    Multiplicar

    3 Sumar todos los valores (hacer sumatoria), de los resultados de la operacin anterior.

    4 Divida la suma por el total de casos (frecuencia absoluta total).

    Rango = valor ms alto valor ms bajo

  • EN TABLAS DE FRECUENCIA.

    1 Calcular el promedio de los casos (utilizando la marca de clase)

    2 Calcular la diferencia de cada marca de clase con el promedio (desviacin). Este valor est

    entre barras, por lo que se expresa en su valor absoluto. Si da negativo, se cambia el signo a

    positivo. Multiplique se valor por la frecuencia con que se presenta. Gurdese los datos que le

    vayan resultando.

    3 Sumar todos los valores (hacer sumatoria), de los resultados de la operacin anterior.

    4 Divida la suma por el total de casos (frecuencia absoluta total).

    VARIANZA ( o V) Resultado de la divisin de las distancias existentes entre cada dato y su

    media aritmtica, elevadas al cuadrado, y el nmero total de datos.

    DATOS SUELTOS DATOS AGRUPADOS TABLA DE FRECUENCIA

    Clculo de la varianza

    EN DATOS SUELTOS (no sea pollo y ordene los datos)

    1 Calcular el promedio de los casos

    2 Calcular la diferencia de cada dato con el promedio (desviacin). Eleve al cuadrado la

    desviacin; con ese paso se suprimen los signos negativo. Gurdese los datos que le vayan

    resultando.

    3 Sumar todos los valores (hacer sumatoria), de los resultados de la operacin anterior.

    4 Divida la suma por el total de casos (frecuencia absoluta total).

    EN DATOS AGRUPADOS.

    1 Calcular el promedio de los casos

    2 Calcular la diferencia de cada dato con el promedio (desviacin). Eleve al cuadrado la

    desviacin; con ese paso se suprimen los signos negativo. Multiplique se valor por la frecuencia

    con que se presenta. Gurdese los datos que le vayan resultando.

    3 Sumar todos los valores (hacer sumatoria), de los resultados de la operacin anterior.

    4 Divida la suma por el total de casos (frecuencia absoluta total).

    EN TABLAS DE FRECUENCIA.

    1 Calcular el promedio de los casos (utilizando la marca de clase)

    2 Calcular la diferencia de cada marca de clase con el promedio (desviacin). Eleve al cuadrado

    la desviacin; con ese paso se suprimen los signos negativo. Multiplique se valor por la

    frecuencia con que se presenta. Gurdese los datos que le vayan resultando.

    3 Sumar todos los valores (hacer sumatoria), de los resultados de la operacin anterior.

    4 Divida la suma por el total de casos (frecuencia absoluta total

  • DESVIACIN ESTANDAR (S) Medida que informa de la media de distancias que tienen los datos

    respecto de su media aritmtica, expresada en las mismas unidades que la variable. Es la raz

    cuadrada de la media de las desviaciones de la media elevadas al cuadrado (raz cuadrada de la

    varianza).

    DATOS SUELTOS DATOS AGRUPADOS TABLAS DE FRECUENCIA

    Clculo de la desviacin estndar:

    Para todos los casos se calcula igual que la varianza, aplicando raz cuadrada a valor final.

    Es la raz cuadrada de la varianza.

    PPT 5

    CURVA NORMAL O CAMPANA DE GAUSS

    Es un tipo de distribucin de frecuencia que es terica (obtenida desde un modelo terico) que

    representa situaciones ideales, pero que no es imposible de lograr en una muestra real.

    Su unidad de medida es la desviacin estndar Las posiciones dentro de esta unidad de medida

    se llaman puntajes Z o medida (unidades) de desviacin estndar.

    Caractersticas:

    - Curva simtrica

    - Unimodal (un solo pico, coincidiendo con la moda, la mediana y la media)

    - Colas infinitas (asintticas)

    - Tiene forma de campana.

  • Sirve para:

    - Describir distribuciones de tamao y medida distinta, hacindolas comparables. Su

    funcin es homologar unidades de medida para hacer posible la comparacin.

    - Interpretar desviaciones estndar.

    - Hacer informes de probabilidades.

    - Es esencial para tomar decisiones ya que, gracias a ella, se puede hacer generalizaciones

    de muestras a poblaciones.

    - El punto medio divide la muestra por la mitad a la muestra.

    Uso de la tabla de puntaje Z

    En este ejemplo se busca el puntaje Z = 0,15. lo que est marcado con rojo corresponde al rea

    que est entre el puntaje Z = 0,15 y la media. Si es puntaje positivo, se ubica a la derecha de la

    media (o del percentil 50, o puntaje Z = 0) 0,0596 es una proporcin, si multiplicamos por 100

    nos da el posicionamiento porcentual de ese caso por sobre la media 5,96 % aproximamos a

    6 % Eso significa que el puntaje Z = 0,15 est ubicado 6 percentiles sobro el percentil 50 (media)

    el puntaje Z = 0,15 est ubicado, por tanto en el percentil 56 de la muestra.

    Ejercicios (ppt 5, diapo 6):

    Entre que puntajes Z se encuentra el 50% central de la distribucin?

    El 50% central de una distribucin lo encontramos un 25% por sobre la media y un 25 % bajo la

    media En ambos casos es el mismo puntaje Z, slo que una vez uno positivo y otro negativo.

    El puntaje Z 0,67 nos da una proporcin de 0,2486 multiplicamos por 100 y nos da el valor ms

    cercano a 25 % 24,86% Respuesta El 50% central de la distribucin se encuentra, entonces

    entre los puntajes Z -0,67 y 0,67.

    Bajo qu puntajes Z se encuentra el 30% inferior de la distribucin?

    El 30% inferior de la distribucin est marcado por el puntaje Z que divide la mitad de la izquierda

    de la campana en un 30% y un 20% de izquierda a derecha tenemos que buscar un puntaje Z

    que se aleje un 20% de la media hacia la izquierda puntaje Z = -0,52 la proporcin que indica

    es 0,1985 multiplicamos por 100 19,85 % aproxima a 20%.

    Respuesta el 30% inferior de la distribucin se encuentra bajo el puntaje Z = -0,52.

    En qu puntaje Z se encuentra el decil 6?

    El decil 6 es lo mismo que el percentil 60 (60% de la muestra) como sabemos que la media es el

    percentil 50, el puntaje Z que buscamos se ubica un 10% por encima de la media hay que

    buscar en la tabla el puntaje Z que est ms cercano a un 10% ser positivo pues est por sobre

  • la media puntaje Z = 0,25, proporcin: 0,0987 multiplicamos por 100 (98,7%) y redondeamos

    10% El decil 6 se encuentra en el puntaje Z 0,25 de la distribucin.

    En qu puntaje Z se encuentra el percentil 42?

    El percentil 42 se ubica a la izquierda de la media, por lo tanto el puntaje Z ser negativo

    debemos buscar un puntaje Z que nos entregue una proporcin lo ms cercana al 8% Puntaje Z

    = 0,2 proporcin = 0,0793 multiplicar por 100 = 7,93% aproximamos a 8% .

    Respuesta El percentil 42 se encuentra en el puntaje Z = 0,2.

    Entre qu puntajes Z se encuentra el 95% central de la distribucin?

    Encontrar el 95% central de la distribucin implica excluir un 5% de la distribucin total queda

    en cada extremo de la distribucin un 2,5% entonces, en un extremo sera el percentil 97,5 y en

    el otro el percentil 2,5 tengo que buscar el puntaje Z que abarque un 47,5 % de los casos (50%

    2,5%) Puntaje Z = 1,96 proporcin 0,4750 multiplicar por 100 = 47,5 %

    Respuesta El 95% central de la distribucin se encuentra entre los puntajes Z -1,96 y 1,96.

    ESTANDARIZACIN DE UNA VARIABLE La estandarizacin transforma una distribucin normal

    en una nueva variable de distribucin normal estandarizada.

    NORMALIZACIN DE UNA VARIABLE Normalizar es transformar una variable aleatoria que tiene

    alguna distribucin en una nueva variable aleatoria con una distribucin normal o

    aproximadamente normal.

    FRMULA DE NORMALIZACIN Y ESTANDARIZACIN DE UNA VARIABLE

    *Los ejercicios con esta frmula estn desarrollados en el ppt.