prueba de ensayo de calculo 2 ciclo
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CÁLCULO REYES MEDINA
PRUEBA DE ENSAYO
1. PROBLEMAS 1.1 PÁGINAS 9, EJERCICIOS 27, 33.
27. Halle la función compuesta f (g ( x )).
f (u )= 1
u2, g ( x )=x−1
Solución:
f ( g ( x ) )=f ( x−1 )= 1
(x−1)2R .
33. Halle el cociente incremental de f , de la forma f ( x+h )−f (x )
h.
f ( x )=1x
Solución:
f ( x+h )−f (x )h
=
1x+h
−1x
h
¿
x−( x+h )x (x+h )
h
¿ −hxh(x+h)
¿ −1x(x+h)
R .
2. PROBLEMAS 1.2 PÁGINAS 22, EJERCICIOS 11, 15.Dibuje la gráfica de la función dada. Incluya todas las intersecciones con el x y con el eje y.
11. f ( x )=−x2−2 x+15
Solución:
Intersección con el eje y, f (0 )=15
Intersección con el eje x, f ( x )=0 resolviendo:
−x2−2 x+15=0
x2+2 x−15=0
( x+5 ) ( x−3 )=0
∴ x1=−5∨ x2=3
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CÁLCULO REYES MEDINA
La localización del vértice: x=−B2 A
= −−22 (−1 )
=−1 , entonces y=16.
-5 -1 3
15. f ( x )={x−1 , si∧x≤ 0x+1 , si∧x>0
si x ≤0f ( x )=x−1, entonces la intersecciónenel eje Y sería cuando :
x=0 → y=−1f ( x )=x−1, entonces la intersecciónenel eje X sería cuando :
f (x)=0→ x=1si x>0
f ( x )=x+1 , entonces laintersecciónen eleje Y sería cuando :x=0 → y=1
f ( x )=x+1 , entonces laintersecciónen eleje X sería cuando :
f ( x )=0→ x=−1
3. PROBLEMAS 1.3 PÁGINAS 36, EJERCICIOS 19, 23.En los siguientes problemas escriba una ecuación para la recta con las propiedades indicadas.
19. Pasa por (2,0) y su pendiente es 1.
Solución: Sea x0=2 , y0=0 , m=1 , entonces usando la fórmula punto-pendiente se
obtiene:
y− y0=m(x−x0)
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CÁLCULO REYES MEDINA
y−0=1(x−2)y=x−2
23. Pasa por (2,5) y es paralela al eje x.
Solución: Sea x0=2 , y0=5 , m=0 (es decir , paralela al eje x ) , entonces usando la
fórmula punto-pendiente se obtiene:
y− y0=m(x−x0)y−5=0(x−2)
y=5
4. PROBLEMAS 1.4 PÁGINAS 52, EJERCICIOS 5, 15.5. INGRESOS POR VENTAS Cada unidad de ciertos artículo cuesta p=35 x+15 centavos cuando se produce x unidades de un artículo. Si a ese pecio se venden las x unidades en su totalidad, exprese el ingreso derivado de las ventas como una función de x. Solución: Sea R(x) el ingreso total, x el número de unidades vendidas y p el precio unitario, entonces:
R ( x )=px , donde p=35 x+15 (centavos)R ( x )=(35 x+15 ) x (centavos)
15. CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO En ausencia de restricciones ambientales, la población crece a una tasa proporcional a su tamaño. Exprese la tasa de crecimiento demográfico como una función del tamaño de la población.Solución: Sea x el tamaño de la población, f(x) la rapidez de crecimiento demográfico, si la población crece a una tasa proporcional a su tamaño, entonces:
f ( x )=kx
5. PROBLEMAS 1.5 PÁGINAS 69, EJERCICIOS 13, 19, 23, 29, 31, 35.En los siguientes problemas halle el límite indicada, si existe.
13. límx→ 1
3
x+1x+2
=
límx→
13
x+ límx→
13
1
límx→ 1
3
x+ límx → 1
3
2
¿
13+1
13+2
=
4373
=47
Resp .
19. límx→ 5
x2−3 x−10x−5
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CÁLCULO REYES MEDINA
Simplificamos la expresión porque tanto el numerador como el denominador tienen a cero, entonces:
x2−3 x−10x−5
=(x−5)(x+2)
x−5=x+2 ; x≠ 5
Luego:
límx→ 5
x2−3 x−10x−5
=límx → 5
( x+2 )=7 Resp .
23. límx→−2
x2−x−6x2+3 x+2
Simplificamos la expresión porque tanto el numerador como el denominador tienen a cero, entonces:
x2−x−6x2+3 x+2
=(x−3)(x+2)(x+1)(x+2)
= x−3x+1
;x ≠−2
Luego:
límx→−2
x2−x−6
x2+3 x+2= lím
x→−2
x−3x+1
=lím
x →−2(x−3)
límx→−2
(x+1)=−5
−1=5 Resp .
Para los siguientes problemas halle límx→+∞
f (x ) y límx →−∞
f (x ) .Si el valor del límite es
infinito, indique si éste es +∞ o -∞.
29. f ( x )= (1−2x ) ( x+5 )Solución:
límx→+∞
f (x )= límx →+∞
(1−2 x ) ( x+5 )
¿ límx→+∞
(1−2 x ) ∙ límx→+∞
( x+5 )
¿−∞∙+∞¿−∞
límx→−∞
f ( x )= límx→−∞
(1−2 x ) ( x+5 )
¿ límx→−∞
(1−2 x ) ∙ límx →−∞
( x+5 )
¿+∞∙−∞¿−∞
31. f ( x )= x2−2 x+32 x2+5 x+1
Solución:
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CÁLCULO REYES MEDINA
límx→+∞
f (x )= límx →+∞
x2−2 x+32 x2+5 x+1
¿ límx→+∞
x2
x2−2 xx2 + 3
x2
2 x2
x2+ 5 x
x2+ 1
x2
¿ límx→+∞
límx →+∞
1− límx→+∞
2x+ lím
x→+∞
3
x2
límx →+∞
1+ límx →+∞
5x+ lím
x→+∞
1x2
¿ 1−0+01+0+0
=1
límx→−∞
f ( x )= límx→−∞
x2−2 x+32 x2+5 x+1
¿ límx→−∞
x2
x2 −2 xx2 + 3
x2
2x2
x2+ 5 x
x2+ 1
x2
¿ límx→−∞
límx→−∞
1− límx→−∞
2x+ lím
x →−∞
3
x2
límx →−∞
1+ límx →−∞
5x+ lím
x →−∞
1x2
¿ 1−0+01+0+0
=1
35. f ( x )=3 x2−6 x+22 x−9
Solución:
límx→+∞
f (x )= límx →+∞
3 x2−6 x+22 x−9
¿ límx→+∞
3 x2
x−6 x
x+ 2
x2 xx
−9x
¿lím
x →+∞3 x− lím
x →+∞6+ lím
x→+∞
2x
límx→+∞
2− límx →+∞
9x
¿ ∞−6+02−0
=+∞2
=+∞.
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CÁLCULO REYES MEDINA
límx→+∞
f (x )= límx →−∞
3 x2−6 x+22 x−9
¿ límx→−∞
3 x2
x−6 x
x+ 2
x2xx
−9x
¿lím
x →−∞3 x− lím
x→−∞6+ lím
x→−∞
2x
límx →−∞
2− límx →−∞
9x
¿ −∞−6−02−0
=−∞2
=−∞ .
6. PROBLEMAS 1.6 PÁGINAS 80, EJERCICIOS 11, 17.Halle los límites laterales.
11. lím
x→ 3+¿ √x+1−2x−3
¿
Simplificamos la expresión porque tanto el numerador como el denominador tienen a cero, entonces:
√x+1−2x−3
=(√ x+1−2 ) (√ x+1+2 )
(x−3 ) (√x+1+2 )
¿ x−3
( x−3 ) (√x+1+2 )
¿ 1
√x+1+2; x ≠3
Luego:lím
x→ 3+¿ √x+1−2x−3
= límx →3+¿ 1
√ x+1+2=1
4Resp .¿
¿
Decida si la función dada es continua en los valores dados para x.
17. f ( x )= x+2x+1
en x=1.
Analizando:
1. f (1 )=1+21+1
=32
2. límx→ 1
(x+2)(x+1)
existe
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CÁLCULO REYES MEDINA
3. límx→ 1
f (x )=límx →1
(x+2)(x+1)
=límx →1
(x+2)
límx →1
(x+1)=3
2=f (1)
Respuesta. Sí, f(x) es continua en x=1
7. PROBLEMAS 2.1 PÁGINAS 106, EJERCICIOS 7, 23.Calcule la derivada de la función dada y determine la pendiente de la recta tangente a su gráfica para el valor especificado de la variable independiente.
7. f ( x )=√x ; x=9Solución:
ddx
(√ x )=límh → 0
f ( x+h )−f (x )h
¿ límh → 0
√x+h−√ xh
¿ límh → 0
(√ x+h−√x )(√x+h+√x )h(√x+h+√x)
¿ límh → 0
hh(√ x+h+√ x)
¿ límh → 0
1
√x+h+√x
¿ límh → 0
1
√x+√ x= 1
2√ xResp .
23. Suponga que f ( x )=x3 .a. Calcule la pendiente de la recta secante que une los puntos de la gráfica de
f, cuyas coordenadas x son x=1 y x=1.1. b. Utilice el cálculo para determinar la pendiente de la recta tangente a la
gráfica cuando x=1 y compare esta pendiente con la respuesta del inciso a.
Solución:
a. msec=f ( x+h )−f ( x )
h
¿( x+h )3−x3
h
¿ x3+3 x2 h+3x h2+h3−x3
h
¿h(3 x2+3 xh+h2)
h
msec=3 x2+3 xh+h2
Entonces:Cuando x=1 y h=0.1 se obtiene:
msec=3 (1)2+3 (1 ) (0.1 )+ (0.1 )2=3+0.3+0.01=3.31 Resp .
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CÁLCULO REYES MEDINA
b. mtag=límh →0
msec=límh → 0
(3 x2+3 xh+h2)
mtag=3 x2
Entonces:Cuando x=1 se obtiene:
mtag=3(1)2=3 Resp .
8. PROBLEMAS 2.2 PÁGINAS 118, EJERCICIOS 17, 23, 31, 41, 53, 57, 61.Derive la función dada. Simplifique su respuesta.
17. y=1t+ 1
t2− 1
√ t
Solución:
y=1t+ 1
t 2− 1
√ t
y=t−1+t−2−t−1 /2
dydx
=−1 t−2+2 t−3+ 12
t−3 /2
dydx
= y=−1
t2− 2
t 3+ 1
2√ t3Resp .
23. y=−2x2 +x2 /3+ 1
2√x+ x2
4+√5+ x+2
3
Solución:
y=−2x2 +x2/3+ 1
2√x+ x2
4+√5+ x+2
3
y=−2 x−2+x2/3+12
x−1/2+ 14
x2+√5+13
x+ 23
dydx
=4 x−3+ 23
x−1 /3−14
x−3/2+ 12
x+0+ 13+0
dydx
= 4
x3+ 2
3 x1/3− 1
4 x3/2+ x
2+ 1
3Resp .
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CÁLCULO REYES MEDINA
Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el punto especificado.
31. y=( x2−x ) (3+2 x ); (−1,2)
Solución:
Derivando se obtiene:
y=( x2−x) (3+2 x )
y=2 x3+x2−3 x
dydx
=6 x2+2 x−3 ; x=−1
mtag=dydx
=6(−1)2+2 (−1 )−3=1 Resp .
Ecuación de la recta tangente en el punto (-1,2)
y− y0=m(x−x0)y−2=1(x−(−1))
y=x+1+2y=x+3 Resp .
Determine la razón de cambio de la función dada f(x) con respecto a x para el valor indicado en x=c.
41. f (x )= x−√x+ 1
x2; x=1
Solución:Derivando se obtiene:
f ( x )=x−√x+ 1
x2
f ( x )=x−x1 /2+x−2
f ' ( x )=1−12
x−1 /2−2 x−3
f ' ( x )=1− 22√x
− 2
x3
Cuando x=1
f ' ( x )=1− 22√1
− 2
13=−3
2Resp .
53. ADMINISTRACIÓN DE COSTOS. Una compañía usa un camión para entregar sus productos. Para calcular el costo, el gerente modela el consumo de combustible mediante la función:
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CÁLCULO REYES MEDINA
G ( x )= 1250 ( 1200
x+x)
gal/milla, suponiendo que el camión se maneja una velocidad contante de x millas por hora para x≥5. Al chofer se le pagan $20 por hora por conducir el camión 250 millas, y la gasolina cuesta $1.90 por galón.a. Determine la expresión para el costo total C(x) del viaje.b. ¿A qué razón estará cambiando el costo C(x) con respecto a x cuando se
conduce el camión a 40 mph? ¿A esa velocidad estará disminuyendo o aumentando el costo?
Solución:
a.
C ( x )= (consumo decombustible ) (costo de la gasolina ) (millas recorridas )+(millas recorridas ∙ costo por millas recorridasvelocidad )
C ( x )=( G(x) ∙1.9 ∙ 250 )+( 250 ∙ 20x )dólares
C ( x )=[ 1250 ( 1200
x+x)(1.9)(250)]+(5000
x )dólares
C ( x )=475250 ( 1200
x+x)+ 5000
xdólares
C ( x )=2280x
+1.9 x+ 5000x
dólares
C ( x )=7280x
+1.9 x dólares Resp .
b. La razón de cambio de C(x) con respecto a x es su derivada:
C ( x )=7280 x−1+1.9 xdólares
C ' ( x )=−7280 x−2+1.9 ; x=40millas por hora
C ' ( x )=−7280 (40 )−2+1.9
C ' ( x )=−4.55+1.9=−2.65dólares por millas por hora Resp .
57. INGRESOS ANUALES. Los ingresos anuales brutos de cierta compañía
fueron A (t )=0.1 t2+10 t+20 miles de años t años después de su formación en el
año 2000.
a. ¿A qué razón crecieron los ingresos anuales brutos de la compañía con respecto al tiempo en el año 2004?
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CÁLCULO REYES MEDINA
b. ¿A qué razón porcentual crecieron los ingresos anuales brutos con respecto al tiempo en el año 2004?
Solución:
a. La razón de cambio es su derivada:
A (t )=0.1 t2+10 t+20miles dedólares
A' (t )=0.2t +10 ; t=2004−2000=4
A' (t )=0.2 (4 )+10=10800 dólares por año
b. Razón porcentual
A ' (t )A (t )
(100 )= 10800
1000 [0.1 (4 )2+10 (4 )+20 ](100)
¿ 1080010 [61.6 ]
¿17.53 %
61. CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN. Se ha proyectado que dentro de x
meses la población de cierto pueblo será de P ( x )=2x+4 x3/2+5000.
a. ¿A qué razón cambiará la población con respecto al tiempo dentro de 9 meses?
b. ¿A qué razón porcentual cambiará la población con respecto al tiempo dentro de 9 meses?
Solución:
a. La razón de cambio es su derivada:
P ( x )=2x+4 x3/2+5000
P' ( x )=2+6 x1 /2 ; x=9
P' ( x )=2+6√9=20 personas por mes
b. Razón porcentual
P ' ( t )P ( t )
(100 )= 20
2 (9 )+4√93+5000(100)
¿ 205126
(100 )=0.39 %
9. PROBLEMAS 2.3 PÁGINAS 131, EJERCICIOS 9, 13, 17, 19, 31, 41, 45, 51.Derive la función dada:
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CÁLCULO REYES MEDINA
9. f (t )= t
t2−2
f ' (t )=(t2−2 ) d
dt[ t ]−t
ddt
[ t2−2 ]
(t2−2 )2
f ' (t )=(t2−2 ) (1 )−t (2t )
(t2−2 )2
f ' (t )= t2−2−2 t2
(t 2−2 )2=
−(t 2+2)
( t2−2 )2Resp .
13. f ( x )= x2−3 x+22 x2+5 x−1
f ' ( x )=(2 x2+5 x−1 ) d
dt[ x2−3x+2 ]−(x2−3 x+2) d
dt[2x2+5 x−1 ]
(2 x2+5 x−1 )2
f ' ( x )=(2 x2+5 x−1 )(2 x−3)−(x2−3 x+2)(4 x+5)
(2 x2+5 x−1 )2
f ' ( x )=4 x3+4 x2−17 x+3−(4 x3−7 x2−7 x+10)
(2 x2+5 x−1 )2
f ' ( x )=11 x2−10 x−7
(2 x2+5 x−1 )2Resp .
17. f ( x )=(2+5 x )2 f ( x )= (2+5x ) (2+5 x )
f ' ( x )=(2+5 x) ddx
[2+5 x ]
f ' ( x )=(2+5 x ) (5 )+(2+5 x)(5)f ' ( x )=10 (2+5 x ) Resp .
19. g (t )= t 2+√t2 t+5
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CÁLCULO REYES MEDINA
g' (t )=(2 t+5 ) d
dt[ t 2+√t ]−( t2+√ t) d
dt[ 2 t+5 ]
(2 t+5 )2
g' (t )= (2t +5 ) ¿¿
g' (t )=4 t2+10 t+ t1 /2+ 5
2t 1/2
(2 t+5 )2
g' (t )= 4√ t5+20√ t3−2t +5
2√ t (2t +5 )2Resp .
Calcule la razón de cambio dydx
para el valor dado de x0 .
31. y=x+ 32−4 x
;x0=0
dydx
=ddx
[ x ]+(2−4 x ) d
dx[ 3 ]−(3) d
dx[ 2−4 x ]
(2−4 x )2
dydx
=1+ 12
(2−4 x )2; x0=0
dydx
=1+ 12
( 2−4 (0))2=4 Resp .
Encuentre la segunda derivada de la función dada.
41. y= 23 x
−√2 x+√2x− 16√ x
y=23
x−1−√2 x1/2+√2 x−1
6x−1 /2
dydx
=(−1 )( 23 ) x−2−(√2 )( 1
2 ) x−1/2+√2−( 16 )(−1
2 )x−3 /2
dydx
=−23
x−2−√22
x−1/2+√2+ 112
x−3 /2
d2 yd x2 =(−2
3 ) (−2 ) x−3−(√22 )(−1
2 ) x−3/2+( 112 )(−3
2 ) x−5 /2
d2 yd x2 =
43 x3 + √2
4 x3 /2 −1
8x5 /2 Resp .
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CÁLCULO REYES MEDINA
45. VENTAS. El gerente de la joyería Many Facets modela las ventas totales
mediante la función S ( t )= 2000t4+0.3t
donde t es el tiempo (años) desde el año 2000 y
S se mide en miles de dólares.
a. ¿A qué razón estaban cambiando las ventas en el año 2002?
b. ¿Qué pasa con las ventas “a largo plazo” (es decir, cuando t →+∞)?
Solución:
a. La razón de cambio es su derivada:
S ( t )= 2000t4+0.3t
S' ( t )=( 4+0.3 t ) d
dt[ 2000 t ]−(2000 t) d
dx[ 4+0.3 t ]
( 4+0.3 t )2
S' ( t )=( 4+0.3 t )(2000)−(2000 t)(0.3)
(4+0.3 t )2
S' ( t )= 8000
( 4+0.3 t )2; t=2002−2000=2
S' ( t )= 8000
( 4+0.3 (2))2=378.07 miles de dólares Resp .
b. Para t=+∞ las ventas se aproximan a:
límt →+∞
S (t )= límt →+∞
2000 t4+0.3 t
¿ límt →+∞
2000 tt
4t+
0.3 tt
¿ límt →+∞
20004t+0.3
¿ 20000.3
=6666.67 dólares Resp .
10. PROBLEMAS 2.4 PÁGINAS 143, EJERCICIOS 31, 35, 45, 57,59.Derive la función dada y simplifique su respuesta.
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CÁLCULO REYES MEDINA
3 1.G ( x )=√ 3x+12 x−1
Solución:
G ( x )=( 3 x+12 x−1 )
1 /2
G' ( x )={12 ( 3 x+1
2 x−1 )−1/2} d
dx [ 3 x+12 x−1 ]
G' ( x )=[ 12 ( 3 x+1
2 x−1 )−1 /2][ 3 x+1
2x−1 ]G' ( x )=[ 1
2 ( 3 x+12 x−1 )
−1 /2][ (2 x−1 ) (3 )−(3 x+1)(2)(2 x−1 )2 ]
G' ( x )=[ 12 ( 3 x+1
2 x−1 )−1 /2][ −5
(2 x−1 )2 ]G' ( x )=−5
2(3x+1 )−1 /2 (2 x−1 )−3 /2 Resp .
35. f ( y )= 3 y+1
√1−4 ySolución:
f ' ( y )=(1−4 y )1 /2 d
dt[ 3 y+1 ]−(3 y+1) d
dx[ (1−4 y )1/2 ]
[ (1−4 y )1 /2 ]2
f ' ( y )=(1−4 y )1 /2(3)−(3 y+1)( 1
2 ) (1−4 y )−1 /2(−4)
[ (1−4 y )1 /2 ]2
f ' ( y )=3 (1−4 y )1/2− −6 y−2
(1−4 y )1/2
(1−4 y )
f ' ( y )=
3 (1−4 y )+6 y+2
(1−4 y )1/2
(1−4 y )
f ' ( y )=
3−12 y−6 y−8
(1−4 y )1/2
(1−4 y )
f ' ( y )= −6 y+5
(1−4 y )3 /2Resp .
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CÁLCULO REYES MEDINA
Encuentre todos los valores de x donde la recta tangente a y=f(x) es horizontal.
45. f ( x )=√x2−4 x+5
f ' ( x )= ddx
[ ( x2−4 x+5 )1 /2 ]
f ' ( x )=12
( x2−4 x+5 )−1 /2(2 x−4 )
f ' ( x )= 2 x−4
2 ( x2−4 x+5 )1 /2
l a rectaes horizontal cuandom=f ' ( x )=0
0= 2x−4
2 ( x2−4 x+5 )1/2
2 x−4=0x=2
Cuando x=2 entonces f (2 )=√22−4 (2 )+5=1
Resp. La recta es horizontal en el punto (2,1).
57. DEMANDA DEL CONSUMIDOR. Un importador de café brasileño estima
que los consumidores locales comprarán aproximadamente D ( p )=4374
p2 libras de
café por semana cuando el precio sea p dólares por libra. También se ha estimado
que dentro de t semanas, el precio del café brasileño será p (t )=0.02 t2+0.1 t+6
dólares por libra.
a. ¿A qué razón está cambiando la razón de la demanda de café con respecto al precio cuando el precio sea $9?
b. ¿A qué razón está cambiando la demanda de café con respecto al tiempo dentro de 10 semanas? ¿En ese momento la demanda estará creciendo o decreciendo?
Solución: a. La razón de cambio es su derivada:
D ( p )=4374 p−2
dDdp
=−2 (4374 ) p−3
dDdp
=−8748
p3; p=$ 9
dDdp
=−8748
93=−12 dólares por libra
b. Se desea hallar dpdt
entonces:
dDdt
=dDdp
∙dpdt
= ddp [ 4374
p2 ] ∙ ddt
[0.02 t2+0.1 t+6 ]
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CÁLCULO REYES MEDINA
¿(−8748
p3 ) (0.04 t+0.1 )
Cuand o t=10 semanas
p (10 )=0.02 (10)2+0.1(10)+6
¿ $9
Entonces:
dDdt
=−8748(0.04 (10 )+0.1)
93 =−6 libras por semana
Resp. La demanda estará decreciendo -6 libras por semana.
59. DEMANDA DEL CONSUMIDOR. Cuando cierto artículo se vende a p dólares
por unidad, los consumidores compran D ( p )=40000p
unidades por mes. Se estima
que dentro de t meses, el precio del artículo será p (t )=0.4 t 3/2+6.8dólares por
unidad. ¿A qué razón porcentual cambiará la demanda mensual del artículo respecto al tiempo dentro de 4 meses a partir de este momento?Solución:
dDdt
=dDdp
∙dpdt
= ddp [ 4000
p ] ∙ ddt
[0.4 t 3/2+6.8 ]
dDdt
=(−4000
p2 ) (0.6 t1/2 )
dDdt
=(−24000 t 1/2
p2 )El precio del artículo dentro de 4 meses sería:
p (4 )=0.4 (4)3/2+6.8=10dólares
La demanda en función del tiempo sería:
D ( t )=D(0.4 t 3 /2+6.8)= 40000
0.4 t 3/2+6.8
Entonces:
La razón porcentual (cuando t=4, p=10) está dada por:
dDdt
D ( t )(100 )=
−24000 (4 )1/2
102
400000.4 (4 )3 /2+6.8
(100)
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CÁLCULO REYES MEDINA
¿−4804000
(100 )=−12 %
Resp. La demanda decrecerá en un 12%