Escuela Politecnica NacionalMTM626: Analisis Matematico 3

Prueba 1Entrega: 9:00 AM, Viernes 29 de mayo de 2015, en la oficina del profesor.

Apellidos:Nombres:Calificacion: /(21)Agradecimientos:

Ejercicio 1 (4 puntos) En este ejercicio se verificaran algunas propiedades de un conjunto per-fectamente convexo

Escriba un conjunto convexo que no sea perfectamente convexo.

Demuestre que en un espacio de Banach, todo conjunto perfectamente convexo es convexo

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Ejercicio 2 (7 puntos) Una proyeccion es un operador lineal en un espacio vectorial X que ve-rifica P = P 2 Una proyeccion en un espacio de Hilbert se dice proyeccion ortogonal si ademas esautoadjunta.

Escriba una proyeccion que no sea proyeccion ortogonal.

Escriba una proyeccion que no sea continua.

Demuestre que una proyeccion P es ortogonal si y solo si X = ker(P ) P (X)

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Ejercicio 3 (3 puntos) Sea A L(X, Y ) donde X es un espacio de Banach, si existe t > 0 talque Ax tx para todo x X. Demuestre que la imagen de A es cerrada en Y .

Ejercicio 4 (3 puntos) Una sucesion (xn) en un espacio vectorial normado X se dice debilmentede Cauchy, si para todo f X, (f(xn)) es de Cauchy en el campo correspondiente. X se dicedebilmente completo, si toda sucesion debilmente de Cauchy es debilmente convergente. Demuestreque todo espacio reflexivo es debilmente completo.

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Ejercicio 5 (8 puntos) Un operador T en un espacio de Hilbert H se dice unitario si es sobreyec-tivo y preserva el producto escalar, es decir, x, y H < Tx, Ty >=< x, y > para algun k N.Verifique las siguientes propiedades de un operador unitario T .

T es lineal.

T es invertible y T1 = T .

p(T ) S1 C.

Si E es invariante por T , entonces E tambien lo es.

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