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AMBATO
Proyecto de Matemáticas II
ADMINISTRACIÓN - INGENIERÍA COMERCIAL
Tema:
ESTUDIO DE LAS MATRICES Y SU APLICACIÓN EN EL DESARROLLO DE PROBLEMAS
DE ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
Asignatura: Matemáticas II
Nivel: Segundo
Autor(es):
Docente- Director: DR. FRANCISCO RAMOS Msc.
Ambato-Ecuador
HOJA DE APROBACIÓN
Tema:
“ESTUDIO DE LAS MATRICES Y SU APLICACIÓN EN EL DESARROLLO DE PROBLEMAS
DE ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
Autor:
f________________
Docente- Director:
f________________Dr. Francisco Ramos Msc.
Ambato-Ecuador
Justificación
El presente trabajo se justifica ya que, nos beneficiamos nosotros como estudiantes, al
conocer como funcionan las matrices y ser capaces de resolver problemas con las mismas, y
poder hacer una aplicación de problemas de estas, y así en un futuro podremos resolver
matrices sin problema alguno, y este proyecto nos va a servir de base para hacerlo de una
manera adecuada. Además se adquirirán conocimientos que serán de gran ayuda en la
carrera y en la materia, facilitándonos resolver problemas y poder aplicarlos en la vida
profesional. Se beneficia la universidad, y sus estudiantes ya que el proyecto puede servir de
base para los estudiantes de los niveles inferiores y se les facilite el aprender matrices y su
aplicación. El atractivo del tema esta en ir descubriendo y analizando lo que es una matriz y
de esta manera poder adentrarnos en el tema, para que en un futuro no lejano, poder
ponerlas en practica en nuestra carrera.
Objetivos
Objetivo General
Realizar soluciones de problemas de matrices para ampliar y reforzar los
conocimientos obtenidos.
Objetivos Específicos
Determinar los conceptos básicos de matrices, para de esta manera tener un mejor
conocimiento de ellas.
Investigar los métodos de solución de problemas de matrices para facilitar el
aprendizaje de matrices.
Realizar ejercicios de matrices para ponerlos en practica en la resolución de
problemas.
Resolver problemas de matrices de administración y economía, para de esta manera
comprobar lo aprendido.
MARCO TEÓRICO
4.1 Conceptualización de Matrices
LIBRO 1: ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA (ZILL Y DEWAR)
La solución de un sistema de ecuaciones lineales depende solamente de los números que
aparecen en el sistema.
Una matriz es un arreglo rectangular de números.
Si hay m filas y n columnas, decimos que el orden de la matriz es mxn y nos referimos a ella
como matriz m x n o simplemente como matriz rectangular. Una matriz nxn se llama matriz
cuadrada y se dice que tiene orden n, la entrada o elemento en la i-esima fila y en la j-esima
columna de la matriz A del orden mxn se nota como aij. Así la entrada en digamos la tercera
fila y la cuarta columna es 434.
Notación matricial
Para ahorrar tiempo y espacio al escribir es conveniente usar una notación especial para una
matriz general. Una matriz A en orden mxn se abrevia frecuentemente como A=(aij) mxn.
Igualdad
Dos matrices son iguales si tiene el mismo orden y sus correspondientes entradas son
iguales.
Algebra de matrices
En algebra común damos por sentado el hecho de cualquier par de números rectos pueden
sumarse, restarse y multiplicarse. En algebra de matrices sin embargo dos matrices pueden
sumarse, restarse, multiplicarse solamente en ciertas condiciones.
Adición de Matrices
Solamente las matrices que tienen el mismo orden pueden sumarse.
Si A y B son ambas matrices mxn su suma es la matriz de mxn formados al sumar las
correspondientes entradas a cada matriz.
Elemento neutro
La matriz cero mxn denotado por cero, es la matriz mxn con cada entrada igual a cero. Puesto
que A+0=A=0+A pero cada matriz A mxn la matriz cero es el elemento nuetro para el conjunto
de las matrices mxn.
Producto escalar
Definimos el producto escalar de una matriz con cada entrada igual al producto del número
real en la entrada correspondiente en cada matriz dada.
Multiplicación de matrices
Para encontrar el producto AB de dos matrices y A y B necesitamos que el numero de
columnas de A sea igual al número de filas de B, suponga que A=(aij) mxn es una matriz mxn
y B(bij) nxp es un matriz nxp.
Matriz Identidad
El conjunto de todas las matrices cuadradas de un orden dado n tiene una unidad
multiplicativa esto es; hay una matriz única In de orden nxn. Cualquier matriz A de orden nxn.
Decimos que In es la matriz de identidad de orden n o simplemente la matriz identidad. Se
puede demostrar que cada entrada sobre la diagonal principal de In es 1 y todas las otras
entradas son cero.
Matriz Inversa
Se dice que la matriz A de nxn es invertible o no singular si existe. Una matriz B llamada a la
inversa de A.
Una matriz invertible solo tiene una inversa es decir la inversa es única.
LIBRO 2: ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA (SWOKOWSKI Y COLE)
Matriz
Sean m y n enteros positivos. Una matriz mxn es una matriz de la siguiente forma, donde
cede aij es un numero real.
La notación mxn de la definición se lee “m por n” a menudo decimos que la matriz mxn y a
esta expresión la llamamos tamaño de la matriz. Es posible considerar matrices en que los
símbolos aij representan números complejos, polinomias y otros temas matemáticos. Los
renglones y columnas de una matriz se definen como antes; por lo tanto la matriz de la
definición tiene m renglones y n columnas 3 y a 32, en el reglón 3 y a la columna 2 cede aij es
un elemento de la matriz si m=n, la matriz es una matriz cuadrada de orden n y los elementos
a11, a22, a33 son elementos de la diagonal principal.
Con el objetico de hallar soluciones de un sistema de ecuaciones lineales comenzamos con la
matriz aumentada. Si una variable no aparece en la ecuación, suponemos que el coeficiente
es cero. Luego trabajamos con los reglones de la matriz como si fueran ecuaciones.
Los únicos elementos que falten son los símbolos para las variables, los signos de suma o
resta usados entre términos y signos de igualdad. Basta recordar que los números de la
primera columna son coeficientes de la segunda variable etc.
Las reglas para transformar una matriz se formulan de modo que siempre proceden una
matriz de un sistema de ecuaciones equivalentes.
Teoria sobre transformaciones de renglones de matrices
Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema
equivalente entre si:
1. Se intercambian dos renglones
2. Se multiplica y divide un renglón por una constante diferente de cero.
3. Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón.
Si se obtiene una matriz de otra por una o más transformaciones elementales del renglón, se
dice que las matrices son equivalentes, o bien con mas precisión del renglón equivalente.
Forma escalonada de una matriz
1. El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha.
2. La columna que contenga el primer número diferente de cero en cualquier renglón a la
izquierda de la columna con el primer número distinto de cero del renglón de abajo.
3. Los renglones formales enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de
la matriz, podemos usar operaciones elementales de renglón a fin de transformar la
matriz de cualquier sistema de ecuaciones lineales en forma escalonada, entonces
esta se puede usar para obtener un sistema de ecuaciones equivalente al sistema
original.
Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos sin variables, es decir
los términos constantes, son cero. Un sistema de ecuaciones homogénea siempre tiene la
solución trivial obtenida al sustituir cero por cada variable. A veces existen soluciones que no
son triviales. El procedimiento para hallar soluciones es el mismo que el utilizado en sistemas
no homogéneos.
LIBRO 3: MATEMÁTICA (SMITH - RANDELL)
Una matriz mxn, donde m y n son enteros positivos, es un arreglo. Cada elemento aij de la
matriz es un numero real.
Dimensiones de una matriz
Una matriz mxn (que se lee m por n) tiene m filas y n columnas.
Definición
Una matriz de m filas y n columnas se dice que es una matriz de dimensión mxn.
Cada una de las siguientes operaciones fila equivalentes producen matrices equivalentes.
A. Intercambiar dos filas de cualquiera de una matriz
B. Multiplicar cada elemento de una fila por una misma constante distinto de cero.
C. Multiplicar cada elemento de una fila por un numero distinto de cero y sumar el
resultado a otra fila.
Adición y sustracción de matrices
Suma de matrices
Para suma matrices sumamos los elementos correspondientes. Las matrices deben tener las
mismas dimensiones. Las matrices las denotamos con letras mayúsculas. La suma de
matrices es asociativa y conmutativa.
Una matriz cuyos elementos son solo cero se llama matriz nula y a menudo se la denota con
el cero. Cuando una matriz nula se suma con otra matriz de las mimas dimensiones, el
resultado de esta ultima matriz. De este modo una matriz nula es un elemento identidad
aditivo.
Inversos aditivos y sustracción
Para restar matrices, restamos los elementos correspondientes. Las matrices deben tener las
mismas dimensiones.
El inverso aditivo de una matriz se puede obtener sustituyendo cada elemento por su inverso
aditivo. Para una matriz A la inversa aditiva es –A. cuando se suman dos matrices que son
inversas aditivas entre sí, lo que se obtiene es una matriz nula.
Multiplicación de matrices
En relación con matrices, debemos considerar dos tipos de productos. Primero definimos el
producto de una matriz por número.
El producto de un numero K, llamado escalar y una matriz A, es otra matriz denotada KA, que
se obtiene al multiplicar cada número en A por el numero K.
Ecuaciones matriciales equivalentes
Para fines ulteriores es importante poder escribir una ecuación matricial que sea equivalente a
un sistema de ecuaciones.
Inversa de una matriz
Las matrices cuadradas con números 1 desde la esquina superior izquierda hasta la esquina
inferior derecha lo largo de la diagonal principal y cero en los demás sitios se representan con
el símbolo I es la matriz identidad.
Determinación de matrices inversas
En esta elección consideramos un método para calcular la inversa de cualquier matriz
cuadrada. En este caso, al igual que en de las demás matrices 2x2, la inversa existe solo
cuando el determinante de la matriz es distinto a cero.
Solución de sistemas utilizando inversas
Una aplicación de las inversas de matrices cuadradas se da al resolver cierto tipo de sistemas
de ecuaciones.
Cuando resolvemos un sistema utilizando matrices, resolvemos la ecuación Ax= B, donde A
es la matriz de los cocientes, X es la matriz de las variables y B es la matriz de los términos
constantes.
Conclusiones
El libro que mejor entendí fie el tercero, ya que es el que explica de una forma más fácil el
empleo de matrices y como poder explicarlas.
Sus conceptos son más claros y fáciles de entender, y así de esta forma también se facilito el
aprendizaje y la aplicación de los ejercicios y problemas.
4.2 formulas de matrices
Libro 1: Algebra y trigonometría (Zill y Darwin)
Adición de Matrices
Sean A= (aij) y B= (bij) dos matrices de m x n. entonces A y B es la matriz A + B de m x n
dada por.
a11+b11 a12+b12 ………. a1n+b1n
a21+b21 a22+b22 ………. a2n+b2n
A+B= (aij+bij)= . . . .
. . . .
am1+bm
1
am2+bm
2 ……….
amn+bm
n
Sustracción de matrices
Sean A= (aij) y B= (bij) dos matrices de m x n
A – B = (aij+bij)
Multiplicacion de una matriz por un escalar
Si A= (aij) es una matriz de m x n y si ∞ es un escalar entonces la matriz ∞ Ade m x n está
dada por
∞a11 ∞a12 ………. ∞a1n
∞a22 ∞a22 ………. ∞a2n
∞A= (∞aij)= . . . .. . . .
∞am1 ∞am2 ………. ∞amn
Sea A, B y C matrices de m x n y ∞ un escalar entonces:
i. A+0 = A
ii. 0A = 0
iii. A + B = B + A Ley de la conmutatividad de la adición matricial.
iv. (A+B) + C = A+ (B+C) Ley de la Asociatividad
v. ∞ (A+B) = ∞A+ ∞B Ley de la distribución de multiplicación por un escalar
vi. 1A = A
NOTA: El cero que se ve en la parte i) del teorema es la matriz cero de mxn
Producto escalar
El producto escalar de a y b, denotado a.b está dado por:
a.b = a1b1 + a2b2 + …… +anbn
sean a, b, y c n – vectores y ∞ y β escalares entonces:
i. A.0 = 0
ii. A . B = B . A
iii. A(B + C) = A.B + A.C
iv. (∞ A) . B = ∞(A . B)
PRODUCTO DE DOS MATRICES
Sea A= (aij) una matriz de m x n y sea B= (bij)de una matriz de n x p entonces el producto de
A y B es la matriz C= (cij) de m x p tal que:
cij
=
ai1bi
j +
ai2b
2j + ainbjn
Sea A = (aij) una matriz de n xm, B=(bij) es una matriz de m x p y c= cij una matriz de p x q.
entonces es válida la ley de asociatividad
A(AB) = (AB) C
Si todas las sumas y productos que siguen están definidas
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
LIBRO 2: Algebra y Trigonometria (Swokowski y Cole)
Suma de matrices y multiplicación por escalar
La suma A + B, dos matrices A y B del mismo tamaño se obtiene sumando los elementos de
ambas matrices.
Para la diferencia A-B, se restan los elementos correspondientes. Las matrices de distintos
tamaños no se pueden sumar ni restar.
Sea A cualquier matriz y c cualquier escalar. El producto por escalar CA, es la matriz que se
obtiene al multiplicar cada elemento de A por C.
Si = -1, a(-1) A se le llama opuesta de A y se representa por –A.
Leyes para sumar matrices y multiplicar por escalar.
Sean A.B y C matrices de m x n cualesquiera y sean a,b y c escalares cualesquiera. Es válido
lo siguiente:
1. (A+B)+C = A+(B+C)
2. A+B = B+A
3. A+0 = 0+A = A
4. A+(-A) = (-A) + A = 0
5. C(A+B) = CA + CB
6. (a +b)C = aC + bC
7. (ab)C = a(bC) = b(aC)
8. 1A = A
9. 0A = 0
Multiplicación matricial
Si A es una matriz de m x k y B una matriz de k x n. el producto AB es la matriz de m x n
cuyas columnas son Ab1 …Abn en la que b1 …bn son las columnas de B.
Leyes de la multiplicación matricial
Si A es una matriz mxn, y B y C tienen tamaños tales que las operaciones siguientes pueden
llevarse a cabo. Y si a es cualquier escalar.
1. (AB)C = A(BC)
2. (A(B+C) = AB+AC
3. (B+C)A = BA+CA
4. a(BC) = (aB)C = B(aC)
5. In A = AIn= A Identidad multiplicativa
6. 0A = 0 y A0 = 0
(AB)V= [(Ab1…..Abk)] V=V1 (Ab1)+ ….+Vk(Abk) = A(V1b1 + …+Vkbk) = A(BV)
(AB) (CD) = A((BC)D) = A(B(CD)) = ABCD
Matriz inversa
AB = I y BA = I
B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC= C
AA-1 = I y A-1A= I
A= a bc a
Es invertible si y solo sí ad-bc ≠0
A-1 = 1
ad−bc |d −b
−c a |
LIBRO 3: Matemáticas (Smith y Randall)
Teorema 13-1
Cada una de las siguientes operaciones filas equivalentes producen matrices equivalentes:
a. Intercambiar dos filas cualquiera de una matriz
b. Multiplicar cada elemento de una fila por una misma constante ≠ 0
c. Multiplicar cada elemento de una fila por un número ≠ 0 y sumar el resultado a otra fila
Si denotamos dos matrices con A y B y una inversa aditiva con –B podemos restar sumando
un inverso tal como lo hacemos con los números.
Para matrices cualesquiera A y B, A-B = a + (-B)
Determinante de una matriz
El determinante de la matriz (a1 b1a2 b2
¿ = a1b2 – a2b1
Regla de crammer
El sistema de ecuaciones con dos variables:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
x=(c1 b1c2 b2
)
(a1 b1a2 b2
)y=
(a1 c 1a2 c 2
)
(a1 b1a2 b2
)donde (
a1 b1a2 b2
) ≠ 0
Determinante de matriz de 3 x 3
|a1 b1 c1a2 b2 c3a3 b3 c3
|= a1|b2 c 2b3 c3| - a2 |b1 c1
b3 c3| + a3 |b1 c1b2 c2|
= a1b2c3 - a1b3c2 – a2b1c3 + a2b3c1 + a3b1c2 – a3b2c1
Regla de crammer para 3 ecuaciones
El sistema de 3 ecuaciones con tres variables
a1x+¿b1 y+¿c1 z=d 1a2x+¿b2 y+¿c2 z=d 2a3 x+¿b3 y+¿c3 z=d3
x= DxD y=
DyD z=
DzD donde D= |
a1 b1 c1a2 b2 c3a3 b3 c3
| D ≠0
El producto de una matriz m x n por una matriz n x p es una matriz de orden mxp.
A X B = AB
m x n n x p m x p
Para cualesquiera matrices A, B y C de las mismas dimensiones se cumplen las siguientes
propiedades.
A + B = B + C Conmutativa
A + (B+C) = (A+B) + C, A(BC) = (AB) C Asociativa
Elemento identidad
Hay una matriz O, tal que:
A + O = O + A = A
Inversas
Hay una única matriz –A tal que
A + (-A) = -A + A = 0
Propiedad Distributiva
A + (B + C) = AB + AC
Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Ax = b
Supóngase que x1 y x2 son soluciones del sistema no homogéneo. Entonces su diferencia X1
– X2 es una solución del Sistema homogéneo relacionado
A(x1 – x2) = Ax1 – Ax2 = b – b= 0
COROLARIO Sea x una solución particular del sistema no homogéneo y sea y otra solución.
Entonces existe una solución h del sistema homogéneo tal que y = x + n
Si h está definida por h = y – x, entonces h es la solución por el teorema 1 y y= x + h
Matriz identidad
La matriz identidad In de nxn es la matriz de nxn tal que sus elementos de su diagonal
principal son iguales a1 y los elementos que están fuera de la diagonal principal son iguales a
0. Es decir.
In = (bij) donde bij|1 Si i= j0 Sii ≠ j
Sea A una matriz cuadrada de nxn. Entonces
Ain = InA = A
Inversa de una matriz
Sean A y B matrices de nxn suponga que
AB = BA = I
Entonces a B se le llama inversa de A y se escribe A-1 si se tiene entonces
AA-1 = A-1A= I
Si A tiene una inversa, se dice que A es invertible.
Determinante de una matriz de 2x2
Determinante de A = a11a22 –a12a21
Sea A una matriz de 2x2 entonces
i. A es invertible si y solo si det A ≠ 0
ii. Si det A ≠ 0 entonces
A-1 = 1detA|
a22−¿a12a21−¿a11|
4.3 Resolucion de ejercicios de matrices
LIBRO1: ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA (ZILL Y DARWIN)
1.
[1 2 0
] [3 1 3
]A= + B=7 3 -4 -5 0 6
[1+3 2+1 0+3
] [4 3 3
]A+B= =7+(-5) 3+0 -4+6 2 3 2
2.
[4 5 -2
] [5 1 3
]A= 10 6 8 B= -1 2 69 -7 -1 4 9 -8
[4-5 5-1 -2-3
] [-1 4 -5
]A+B= 10-(-1) 6-2 8-6 = 11 4 29-4 -7-9 -1-(-8) 5 -16 7
3.
[2 1 5
] [-1 7 8
]A= B= 4 6 03 0 4 5 7 3
[2(-1) +1(4) +5(5) 2(7) +1(6) +5(7) 2(8) +1(0) +5(3)
]A+B=3(-1) +0(4) +4(5) 3(7) +0(6) +4(7) 3(8) +0(0) +4(3)
[27 55 31
]=17 44 36
4.
[1 2
] [-2 0
]A= B=3 4 -1 3
[-2 0
] [1 2
] [-2(1)+0(3) -2(2)+0(4)
]BA= =-1 3 3 4 -1(1)+3(3) -1(2)+3(4)
[-2 -4
]=8 10
5.
[1 2
] [-2 0
]A= B=3 4 -1 3
[1 2
] [-2 0
] [1(-2)+2(-1) 1(0)+2(3)
]AB= =3 4 -1 3 3(-2)+4(1) 3(0)+4(3)
[-4 6
]=-10 12
[-2 0
] [1 2
] [-2(1)+0(3) -2(2)+0(4)
]BA= =-1 3 3 4 -1(1)+3(3) -1(2)+3(4)
[-2 -4
]=8 10
LIBRO 2: ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA (SMITH - RENDELL)
1.
[-5 0
] [6 -3
]A= B=4 1 2 3
[-5+6 0-3
] [1 -3
]A+B= =4+2 1+3 6 4
2.
[1 2
] [1 -1
] [6 3
]-2 0 - 1 3 = -3 -3-3 1 2 3 -5 -4
3.
[3 -1
] [2 1
] [1 -2
]A -B =-2 4 3 -2 -5 6
[3 -1
] [-2 -1
] [1 -2
]+ =-2 4 -3 2 -5 6
4.
[3 1 -1
] [ ]1 2 2 1-1 0 5 24 1 2 1
[3.1 + 1.2 – 2.1
] [4
]1.1 + 2.2 + 2.1 7-1.1 + 0.2 + 5.1 44.1 + 1.2 + 2.1 7
5.
4x+2y-Z=3 4x+z=54x+5y-2z=1
X+y+z=0
[4 2 -1
] [ ] [3
]9 0 1 x 54 5 -2 y 11 11 z 0
LIBRO 3: MATEMATICAS (SMITH Y RANDALL)
1.-
[1 2
] [-2 0
]A= B=3 4 -1 3
[1 2
] [-2 0
] [1(-2)+2(-1) 1(0)+2(3)
]AB= =3 4 -1 3 3(-2)+4(1) 3(0)+4(3)
[-4 6
]=-10 12
[-2 0
] [1 2
] [-2(1)+0(3) -2(2)+0(4)
]BA= =-1 3 3 4 -1(1)+3(3) -1(2)+3(4)
[-2 -4
]=8 10
2.-
[3 -1
] [2 1
] [1 -2
]A -B =-2 4 3 -2 -5 6
[3 -1
] [-2 -1
] [1 -2
]+ =-2 4 -3 2 -5 6
3.-
[1 2 0
] [3 1 3
]A= + B=7 3 -4 -5 0 6
[1+3 2+1 0+3
] [4 3 3
]A+B= =7+(-5) 3+0 -4+6 2 3 2
4.-
1.
[1 2
] [-2 0
]A= B=3 4 -1 3
[-2 0
] [1 2
] [-2(1)+0(3) -2(2)+0(4)
]BA= =-1 3 3 4 -1(1)+3(3) -1(2)+3(4)
[-2 -4
]=8 10
5.-
[1 2
] [-2 0
]A= B=3 4 -1 3
[-2 0
] [1 2
] [-2(1)+0(3) -2(2)+0(4)
]BA= =-1 3 3 4 -1(1)+3(3) -1(2)+3(4)
[-2 -4
]=8 10
4.4 Resolución de problemas de matrices
LIBRO 1.- ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA (ZILL Y DARWIN)
Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B en tres terminaciones: N, L, S.
produce del modelo A 400 unidades, en la terminación N 200 unidades, en la terminación L
y 50 unidades en la terminación S. produce del modelo B=300 unidades en la terminación
N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S, la terminación N
lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller
y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de
administración.
1. Represente la información en dos matrices
2. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empelado para
cada uno de los modelos.
Matriz de producción
Filas: modelos A y B Columnas: terminaciones N,L,S
[400 200 50
]300 100 30
Matriz de coste en horas
Filas: termina L,S,N Corte en horas: B,A
N=[25 1
]30 1.233 1.3
Matriz que exprese las horas de taller y la administración para cada uno de los modelos.
[400 200 50
] [25 1
] [17650 705
]M.N= . 30 1.2 =300 100 30 33 1.3 11490 454
Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estantería: A,B,C. en cada uno de los
tamaños grande y pequeño. Produce diariamente 100 estantes grandes y 80 pequeños de
tipo A, 800 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo
C. cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estantería pequeña lleva
12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos.
1. Representar esta información en dos matrices
Fila: modelos A, B, C Columnas: tipos G y P
M=[1000 8000
]8000 60004000 6000
Matriz de los elementos contenidos
Filas tipo G,P Columnas: T, S
M=[16 6
]12 4
2. Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios diarios para
la producción diaria de cada una de los 6 modelos – tamaño de estantería.
[1000 8000
] [16 6
] [112000 28000
]M.N= 8000 6000 . 12 4 = 200000 72000
4000 6000 136000 48000
3. Supóngase que un constructor de un edificio ha aceptado ordenes para cinco casas
estilos rústicos, 7 estilo imperial y 12 estilo colonial. El constructor esta familiarizado
por su puesto con materiales que empleara con cada tipo de casa. Supongamos
que los materiales son acero, madera, vidrio, pintura y trabajo. Los números de la
matriz que sigue dan las cantidades de 4 material que entra en cada tipo de casa,
exprésalas en unidades convenientes.
ACERO MADERA VIDRIO PINTURA TRABAJORustico 5 20 16 7 17Imperial 7 18 12 9 21Colonial 6 25 8 5 13
Calcular cuánto debe obtener el contratista de cada material para cumplir con sus
contratos. Qué precio tiene que pagar por estos materiales, suponiendo que el
acero cuesta $ 15 por unidad, madera $ 8 por unidad, vidrio $ 5 por unidad, pintura
$ 1 por unidad y el trabajo $ 10 por unidad.
¿Cuales el costo de los materiales para todas las veces?
4. Un IES tiene que hacer un pedido de bolígrafos, hojas y transparencias para ellos
tiene tres proveedores PérezZ, GraficasZ y Aritesimo.
Perez cubre 235 bolígrafos, 556 libros, 496 por paquete de hojas y 1875 por cada
transparencia. GZ 295, 495, 500 y 1800 mientras que Aritesino 120 bolígrafos, 100
libros, 250 paquetes de hojas y 25 cajas de transparencia.
a. Organizar datos en matrices
[BOL. LIB. HOJ. TRANS
]Bol.
[120
]P 235 556 469 1575 Lib. 100Z 245 450 500 1800 Hoj. 250A 325 470 400 1300 Trans. 25
b. Calcular cual será el presupuesto total que presenta cada almacén.
[235 556 469 1575
] [126
] [240425
]245 450 500 1800 . 100 = 250400
325 470 400 1300 25025
218500
5. En una confitería elabora n 3 tipos de total A, B, C, cuyos ingredientes son: harina,
avena y azúcar una A contiene 100 gr. Harina, 200 gr. Almendra, 100 gramos de
azúcar, B 150, 250 y 80 gr, y C 200, 150 y 40 gr. Un día se consumió en las tortas
10 gr harina, 8.9 almendra y 5.3 azúcar.
a. Plantear un sistema para determinar el número de tortas elaboradas de cada variedad.
X= numero tartas A 10x+15y+20z= 1000Y= numero de tartas B 20x+12y+15z= 890Z= numero de tartas C 10x+8y+9z= 5300
b. Expresar matricialmente
[10 15 20
] [X
] [1000
]20 12 15 . Y = 840
10 8 9 Z 530
6. Un examen consta de tres pruebas. Cada una de ellas se identifica con una
puntuación de 0 a 10. No obstante debido a su diferente nivel de dificultad cada
potencia tiene una ponderación distinta a la hora de determinar la calificación global
del examen. Las ponderaciones son: 0.25 para prueba 1; 0.35 para 2; y 0.4 para 3.
La calificación total se calcula multiplicando la puntuación obtenida en cada prueba
para la correspondiente ponderación y sumando los resultados obtener la
calificación global de tres alumnos si han sacado:
Alumno / prueba 1| 2| 3|Juan 3 3 8Mario 6 6 3Pablo 8 7 9
Juan
[3 3 8
]1
[0.25
] [5
]Mario 6 6 3 . 2 0.35 = 4.8
Pablo 8 7 9 3 0.4 8.05
7. Una compañía tiene plantas en 3 localidades xyz, cuatro bodegas en ABC y D. el costo para
transportar cada parte de su producto de una planta a la bodega esta dado por la matriz.
X Y Z
A
[10 12 15
]B 13 10 12C 8 15 6D 16 9 10
a. Si los costos de transportación se incrementan uniformemente en 1 por unidad ¿Cuál será
la nueva matriz?
10+1 12+1 15+1 11 13 16
[ ] [ ]13+1 10+1 12+1 = 14 11 13
8+1 15+1 6+1 9 16 716+1 9+1 10+1 17 10 11
8. Un contratista calcula que los costos de adquirir y transportar unidades determinadas de
concreto, madera y acero desde tres diferentes localidades.
Con. Mad. Ac
[20 35 25
]CM
A=8 10 6 CT
[22 36 24
]CM
B=9 4 8 CT
[18 32 26
]CM
B=11 3 5 CT
Escriba la matriz que representa los costos totales de materiales y de transportación por
unidades de concreto, madera y acero de las 3 localidades.
Con. Mad. Ac
[7920 40320 15600
]TOTAL MATERIALES
ABC=792 780 240 TOTAL TRANSPORTE
9.- El comercio entre dos países I, II, III durante 1986 esta dado por la matriz A= (aij), donde aij representa la exportación del país i al país j.
a. Escriba la matriz que represente el comercio total entre los 3 países en el periodo de dos años, 1986 y 1987
[ ]0 16 2017 0 1821 14 0
[ ]1987 = B 0 17 1918 0 2024 16 0
[ ]AB 0 272 380306 0 360564 224 0
10.- Usando la matriz del anterior ejercicio, si en 1986 y 1987, 1 dólar equivale a 5 dólares en Hong Kong, escriba la matriz que represente el comercio total durante los dos años en Hong Kong.
LIBRO 2.- ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA (SWOKWSKI Y COLE)
1. A una serie de conferencias internacionales han asistidos los siguientes delegados:
el primer semestre por USA han ido 10 a la conferencia de desarme, 5 a la capa de
[ ]AB 0 272 380306 0 360564 224 0
[ ] => [ ]5AB => S 0 272 380 0 1360 1900306 0 360 1530 0 1800504 224 0 2520 1120 0
ozono y 3 a la “economía mundial” por Rusia 8, 3, 12 y por la comunidad Europea 2,
15, 20.
En el segundo semestre por USA 15 “desarme”, 6 “capa de ozono” y 2 “economía
mundial”; por Rusia 10,4 y 15 y por la comunidad Europea 12,5 y 14.
a. Organizar datos en matrices
A= DESARME
B= CAPA DE OZONO
C= ECONOMIA MUNDIAL
PRIMER SEMESTRE
[A B C
]USA 10 5 3RUSIA 8 3 12CEU 2 15 20
SEGUNDO SEMESTRE
[A B C
]USA 15 6 2RUSIA 10 4 15CEU 12 0 14
b. Calcular cual es el número total de delegados a lo largo del año que han asistido
a conferencias según los países.
[10 5 3
] [10 6 2
] [25 11 5
]A+B= 8 3 12 + 10 9
15= 18 7 27
2 15 20 12 5 14
14 20 34
c. Si se celebran 3 años consecutivos estas reuniones con los mismos asistentes
y con las mismas dietas. Calcule cuanto se le pagara total a cada país.
6200 18600
[ ] [ ]3. 11300 + 33400
15600 46800
2. Una fábrica de muebles de madera A, B en S terminaciones R,S y T del modelo A,
produce 350 unidades de terminación R, 1750 unidades en terminación S y 40
unidades en T. produce el modelo B 290 unidades en R, 90 unidades en S y 21 en
T. la terminación R lleva 12 horas de taller y una hora de ventas, la S 14 horas de
taller y 1.5 horas de ventas, la T 15 horas de taller y 1.43 horas de ventas.
a. Represente la información en dos matrices
TERMINACIONES
[R S T
]A 350 1750 46B 190 90 21
[TALLER VENTAS
]R 12 1S 14 1.5T 15 1.7
b. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de ventas empleadas en cada
uno de los modelos.
R S T TALLER VENTAS
[ ]. [ ]A 350 175 46 12 1B 290 90 21 14 1.5
15 1.7
[TALLER VENTAS
]A 24300 3643B 5055 460.7
460.6 h + 0.6.60=36 minutos = 460 h, 36 min.
3. Un administrador puede requerir las cantidades requeridas de libretas, lápices,
goma, bolígrafo cajas de folios de tres proveedores. Los precios de cada proveedor
por los materiales vienen dichos por:
[80 15 7 22 450
]A= 90 14 5 22 45790 15 6 21 500
Donde cada fila es el proveedor y las columnas los materiales, en el orden dado. El
administrador quiere adquirir todos los materiales de un pedido al mismo proveedor
actualmente va a hacer tres pedidos: 1.- 21 libretas, 5 lápices, 5 gomas, 4 bolígrafos
y 4 cajas de folio. 2.- 16 0 8 4 y 3 y el 3.- 31 11 21 11 13.
a. Resume esta información en dos matrices A y E señale dimensiones.
[Lib Lap. Go. Bol. Fol.
]A=A 80 15 7 22 456B 90 14 5 22 457C 90 15 6 21 500
[1 2 3
]E=A 4 16 31B 5 0 11C 5 8 21
4 9 114 3 13
b. Señale y diga el significado de a13 y e12
A13= el proveedor cobra por las gomas 7
E12= el administrador pide 16 libretas en el 2º pedido
c. Formar la matriz que nos indique que los precios totales que cada proveedor
propone en cada pedido.
[ ]. [21 16 31
]A 80 15 7 22 456 5 0 11B 90 14 5 22 457 5 8 21C 90 15 6 21 500 4
493
1113
=[ ]6378 28884 88843401 3044 92324079 3177 9812
M= tipo de casa por tipo de material
V= numero de casa por tipo de casa
P= precios por tipo de material
[ ] V= (5 7 2) : P= (15 8 5 1 10)
5 20 16 7 17M= 7 18 12 9 21
6 25 8 5 13
C= unidades de materia por tipo de material = V.P.
C= (5 7 2)
D= Precio Total=C.Pt
[ ] = (147 526 260 158 388)5 26 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13
[15 ]85110
D= (147 526 260 158 388). = (11736)
4. Juan necesita comprar una docena de huevos y otra de naranjas, media docena de
manzanas y otra de peras y 3 limones. En una tienda A las manzanas a 4 cada una,
los huevos a 6, los limones 9, los huevos 6, los limones 9, las naranjas 5 y las
peras 7. En la tienda B, los precios ligeramente son diferentes, 5 manzanas, 5
huevos, 10 limón, 10 naranja y 6 por pera. ¿Cómo le resultará a Juan la compra
más económica?
A= Unidades de frutas por tipo de frutas
PA= Tipo de fruta por precio A
PB= Tipo de fruta por precio B
A= (12 12 6 12 3): PA : PB=
CA=Coste de la compra tienda A=A.PA
CB = Coste de la compra tienda B=A.PA
CA= (12 12 6 12 3) =267
CB= (12 12 6 12 3) = 312
RI es más barato compraren la tienda A
[6
]5479
[5
]105610
[6
]5479
[5
]105610
5. Una urna contiene 5 bolas rojas, 3 verdes y 1 blanca. Se sacará al azar una bola y luego se pagará a los portadores de 3 clases de billetes de la lotería A, B y C de acuerdo a la siguiente manera:Si se escoge una bola roja, los portadores del billete A obtendrán $ 1, los portadores del billete B $ 3, y los portadores del billete C no obtendrán nada. Si se escoge la verde, los pagos son de 4.1 y 0, respectivamente. Si se escoge la blanca, los portadores del billete C obtendrán $ 16.00 y los otros nada. ¿Qué billete preferimos tener?
P= Probabilidad por color de bola= (5/9 3/9 1/9)
U= Color de Bola por ganancias según tipo de de billete
Ganancia media por billete B=P.G=
= (5/9 3/9 1/9). =
(17/9 2 16/4)El billete con el que más probable ganar más es el B
6. En el hospital oncológico se aplica a un grupo de 4 pacientes un tratamiento de quimioterapia mediante un protocolo CHF. Las cantidades diarias que necesita cada paciente de cada uno de los compuestos varían según la superficie total corporal, del siguiente modo:Paciente 1: 1200 mg de C, 80 mg de M y 1200 mg de FPaciente 2: 900 mg de C, 60 mg de M y 950 mg de FPaciente 3: 1150 mg de C, 80 mg de M y 1100 mg de FTeniendo en cuenta que el tratamiento se va aplicar 3 semanas a los pacientes 1,3 y 4 y dos semanas al paciente 2, hallar la matriz de necesidades diarias para poder atender correctamente los tratamientos de los 4 pacientes.
P= Tipo de paciente por tipo de compuesto=
[1200 80 3
]400 60 950
1100 75 1000
1150 80 1100
[ ]1 3 04 1 00 0 16
[ ]1 3 04 1 00 0 16
T= Número de días por tipo de paciente= (21 14 21 21)D= Cantidad diaria por tipo de compuesto= (4350 295 4250)
Tratamiento Completo = T.P= (21 14 21 21).
= (85050 5775 82600)
7. En una pequeña comunidad de 1200 habitantes, 640 son conservadores, 410 liberales y 150 socialistas. De los primeros el 65% gana más de 3 millones de dólares en velas, de los segundos solo el 40% y de los últimos 42 personas.
a) Formar la matriz que especifique la ideología política, llámale A y señale sus dimensiones
A= Conservadores
3x1
b) Si se van 4 habitantes de cada ideología, especificar en forma de matriz, los que se van atendiendo de la ideología política y denominada C
C=
c)d) Especifica la operación de matrices que realizas para obtener la nueva matriz de la
ideología política de los que se quedan.
A – C= - =
8. Una compañía de muebles fabrica butacas y mecedoras de 3 modelos E modelos económicos, H modelo medio, L modelo de lujo. Cada mes la compañía produce 20 modelos E, 15 M y 10 L de butacas y 12 E, 8 M y 5 L de mecedoras.
[1200 80 3
]400 60 950
1100 75 1000
1150 80 1100
[ ]640910150
[ ]444
[ ]640410150
[ ]444
[ ]636406146
a. Represente una matriz de 3x2 dicha información
b.c. A partir de la matriz anterior obtén la matriz de producción en un trimestre
[ ]= [ ]20 12 E 60 36
B . 15 8 L 45 24
10 5 M 30 15
9. Las relaciones comerciales entre tres países: A, B, C en el año 1992 viene expresadas en millones de dólares, por la siguiente matriz, donde el elemento ij de la matriz indica el volumen de exportaciones del país correspondiente a la fila i el país correspondiente a la columna j.
En el año 1993 la nueva matriz es la siguiente:
Con esta información calcular expresando en forma de matriz.a. Las exportaciones totales en el año 1992-1993
[ ]+ [ ]= [ ]0 16 69 0 17 48 8 33 11718 0 42 15 0 30 33 0 7229 11 0 54 38 0 88 44 0
[But Mec.
]E 20 12M 15 8L 10 5
[A B C
]A 0 16 69B 18 0 42C 24 11 0
[A B C
]A
0 17 48
B 15 0 30C 54 38 0
b. Las exportaciones medias por año
[ ]= [ ]½ .A 0 33 107 0 33 11
7B 33 0 72 33 0 72
C 88 44 0 88 44 0
10.La cantidad de $ que cuestan 2 modelos de juguetes en dos tiendas A y B, viene dado por:
Si el primer año experimenta un aumento del 7%, el 2 un aumento del 9% con respecto al año anterior y el tercer año descenso del 3% con respecto al año anterior.Resolver el problema de forma matricial y contestar mediante una matriz cual será el precio de ambos juguetes al final de tres años de cada juguetería.
1er. Año -> 107/100. P = 1.07. P2er. Año -> 104/100. 1.07P = 1.1663. P3er. Año -> 97/100. 1.1663P = 1.131311. P
1.131311.P= 1.131311.
[A B
]Jug. 1 1.4 2.3Jug. 2 1.2 3.9
[A B
]1.4 2.31.2 3.9
[A B
]Jug. 11.6 2.6
Jug. 2 1.3 4.4
LIBRO 3.- MATEMÁTICA (SMITH Y RANDALL)
1. En un huerto se cultivan manzana, McIntosh, Gravenstein y Jonathan. Las manzanas se venden en cajas de dos mercados. La ganancia es de $ 5.75 por cada caja de manzana, Mcintosh $ 3.25 por cada caja de manzanas Gravenstein y $ 2 cada caja de Jonathan. La tabla muestra el número de cajas vendidas.
Encontrar la ganancia generadas por las ventas de cada mercado
MERCADOSMANZANAS BELL. AL’S
Mcintosh 180 200Gravenstein 250 156Jonathan 200 300
P= [5.75 3.25 2.00]
[ ] M 200 180150 250300 200
PM= [5.75 3.25 2.00]
= [2237.50 2247.50]
2. Cinco estudiantes tenían las siguientes monedas. ¿Cuánto dinero tenia cada uno?
$ 10 $ 5 $ 1 25 c 10 c 5 c 1cTeresa 2 3 5 1 3Ricardo 1 8 2 3 1 1Luis 1 2 2Carlos 1 1 2 9 4 4Sara 2 3 3 3 16
Representamos en matrices y multiplicamos
3. En una
granja se recogen dos cosechas al año las cuales se envían por embargue a 3 distribuciones. La siguiente tabla muestra el número de cajas enviadas a cada distribución.
DISTRIBUIDORA B C
COSECHA 1 400 250 600COSECHA 2 180 300 250
La ganancia de la cosecha 1 es de $ 2.25 por caja y la cosecha 2 es de $ 3.15. Encuentre la ganancia obtenida de cada uno de los distribuidores durante el año.
[ ]200 180150 250300 200
[2 0 3 5 1 6 3
] [10
] [24.38
]0 1 8 2 3 1 1 5 13.861 0 0 0 2 2 0 1 16.301 1 2 9 0 4 4 0.25 19.490 0 2 3 3 3 6 0.1 3.36
0.050.01
[ ][2.25 3.15] = [400(2.25)+180(3.15) 250(2.25)+300(3.15) 600(2.25)+250(3.15)]
400 250 600
180 300 250
[1467 1507.50 2137.50]
4. Una compañía tiene 4 panaderías y cada una de ellas produce 3 tipos de pan. El número de libras de pan producidas diariamente en cada panadería muestra en la siguiente tabla.
A B C DBlanco 180 200 250 100Centeno 50 75 100 50Integral 200 250 300 175
El beneficio es de 0.70 por pan blanco, 0.45 por centeno, y 0.50 por integral. Encuentre la ganancia que obtiene la compañía en cada una de las panaderías.
5. En un
vivero se cultivan 5 tipos de arboles. Los arboles se envían a tres tiendas de ventas al menudeo.
TIENDAA B C
Roble 25 50 100Cerezo 15 75 25Pino 50 25 50Abeto 25 100 75C 50 50 125
La ganancia por la venta de cada árbol es la siguiente: roble 3.50, cerezo 4.00, pino 2.75, abeto 1.75 y ca 2. Calcule el beneficio en cada una de las tiendas.
6. Se va a organizar un torneo con 8 equipos de dist. ligas. Para determinar los pares se
otorgan puntos de acuerdo con lo siguiente: 3 puntos por victoria, 1 punto por empate y cero por derrota.¿Cuántos puntos recibirá cada uno de los equipos?
EQUIPO VICTORIA EMPATE DERROTA
[ ]
[0.70 0.45 0.50]180 200 25
0250
100
[126+22.50+100 140+33.75+125175+45+150 70+22.50+87.50]
50 75 100
100
50
200 250 300
300
175
= [248.50 298.75 370 180]
[25 50 10
0
] [3.50
][87.50+60+137.50+43.75+100 175+300+68.75+175+100350+100+137.50+131.25+250]
=[428.75 818.75 968.75]
15 75 25 450 25 50 2.2525 100 75 1.7550 50 12
52
Leones 9 2 4Piratas 10 2 3Atléticos 9 4 2Tainos 11 3 1Ceriduras 14 1 0Vaqueros 12 2 1Mets 13 1 1gallitos 12 1 2
7. 70 entrenadores de futbol americano colegial clasifican a los equipos de estados unidos como parte de una
encuesta periodística. Determinar el número de puntos recibidos por cada colegio y la clasificación de la escuela según la encuesta.
8. Encuentre el costo de cada
artículo, dado el numero de
compras por cliente
ART1 ART2 ART3 PAG. TOTAL
[4 2 4
] [3 1 0] [27+2+0
] [29
]10 2 3 30+2+0 329 4 2 27+4+0 3111 3 1 33+3+0 3614 1 0 42+1+0 4312 2 1 36+2+0 3813 1 1 39+1+0 4012 1 2 36+1+0 37
[1 2 3 4 5 6 7
]7 A 13 4 12 21 9 0 0
North 3 12 25 19 0 0 1P.
ramas10 10 8 4 11 11 0
St. D 0 6 5 15 11 11 2Kenn 26 17 7 2 1 1 1Wash 0 0 0 0 19 14 33River 18 27 11 0 6 0 0[ ]
1 102 83 64 45 36 27 1[
130+32+72+84+27+0+0
] =[345
]30+96+150+76+0+0+1 35
3100+80+48+16+27+22
+0293
0+0+30+60+63+22+2 177
260+136+42+8+4+2+1 458
180+216+66+0+3+0+0 465
CLIENTE A 2 3 5 82.50CLIENTE B 1 3 4 64.00CLIENTE C 4 2 1 48.50
9. Una tienda vendió las siguientes cantidades de 3 productos. Calcular el costo al mayoreo para cada artículo de cada producto.
Shampoo Loción Lápiz MayoreoS1 36 25 11 140.50S2 24 16 27 157.25S3 25 18 51 224.25
10. Con la tabla del ejercicio anterior calcular el menudeo para cada artículo de cada producto.
[2 3 5
][82.50 69 48.50]
[165+64+194 247.50+207+979 412.50+276+48.50]
1 3 44 2 1
[36 25 11
] [146.50
] [15349.50
]24 16 27 157.27 1015525 18 51 224.25 17483
[36 25 11
] [206.25
] [22302.50
]24 16 27 228.75 14751.7525 18 51 329.75 25262.25
METODOLOGÍA
Modalidad básica de la investigación
Bibliográfica: Se utilizó la investigación bibliográfica porque se fundamentó en diferentes
libros, revistas, documentos especializados y actualizados.
Nivel o tipo de investigación
La investigación llego a un nivel descriptivo ya que permitió conocer todos los aspectos
relacionados con la problemática de manera detallada
Recolección de información
Para la recolección de información del presente trabajo, se busco en libros especializados en
la materia, y se hizo un análisis sintético del mismo.
Plan de procesamiento y analisis de la informacion
El plan de procesamiento y análisis fue leer libros, y de estos sacar un resumen y analizarlos,
para de esta manera poner en practica lo que se aprendió, aplicando problemas de aplicación
de administración y economía.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Conclusiones
Las matrices son parte fundamental de las matemáticas, y son muy importantes al
momento de aplicarlas en problemas.
Se las debe resolver de manera ordenada para no tener confusiones en el proceso.
El aprendizaje de matrices puede llegar a ser muy fácil, dependiendo como se las
aplica y como se las aprendió, los métodos que tienen estos tres libros son muy
buenos, aunque el mas fácil de entender fue el del libro 3, ya que explica de una
manera mas fácil la aplicación de matrices.
Existen muchos libros sobre matrices, unos mas complejos que otros, pero todos son
muy buenos y hay que escogerlos de manera adecuada, para entenderlos mas fácil.
Las matrices se aplican en la vida cotidiana y es muy importante que aprendamos a
resolverlas de manera correcta.
RECOMENDACIONES
A los estudiantes se recomienda que tengan un buen conocimiento de matrices, y de
los libros que son mas prácticos para aplicarlos, y que dediquen mas tiempo a
estudiarlas ya que van a ser de gran ayuda en su vida profesional.
A los profesores que revisen mas los libros de matrices, ya que nunca esta de mas
aprender un poco mas, ya que las ediciones de los libros cada vez mejoran mas, y son
una fuente de conocimiento y superación.
A la universidad, que compre mas libros de matemáticas en general, para así
proporcionar a los estudiantes mas libros que pueden servirles de base para sus
estudios e investigaciones y así facilitar sus estudios, y que estos puedan poner mas
empeño en estudiar.
BIBLIOGRAFÍA
Algebra y Trigonometría (Zill y Darwin)
Algebra y Trigonometría (Swokowski y Cole)
Matemática (Smith y Randall)
RESUMEN
Las matrices son parte importante de las matemáticas, que son muy útiles en nuestra carrera
y que las podemos aplicar en la administración y la economía y de esta manera facilitar la
resolución de problemas. Los estudiantes en si no comprendemos la importancia de las
matemáticas, y como esta influirá en nuestra carrera y en la vida profesional, se necesita
revisar mas libros y tener mas conocimiento acerca de las matrices.
El tercer libro que se utilizo en el presente proyecto, fue uno de los mejores que se encontró,
ya que explica de una manera mas corta y entendible el manejo de las matrices, y esto hace
que los estudiantes pongan mas empeño en aprenderlas.
Como por ejemplo los problemas que se aplican en este libro, son cosas que suceden en
nuestras vidas cotidianas, y esto nos familiariza con las matrices y de esta manera
aprendemos de mejor manera.
Los otros dos libros no se quedan atrás, ya que son muy buenos libros también. Cada libro
tiene una manera diferente de explicar el uso de matrices, y diferentes formas de llegar a
obtener la respuesta correcta.
Pero es mejor escoger el libro que este mas claro y preciso ya que se hará mas fácil el
aprendizaje.
Es importante seguir un esquema para lograr conseguir los cuatro objetivos y aprender
matrices, de otra manera si no se estudia la teoría, formula, ejercicios y se aplican problemas
el resultado pueda que no sea el mismo, ya que estos cuatro pasos son de mucha ayuda y
dan una guía a la investigación y tal vez se complicara mas la resolución y aplicación de
problemas, que son lo mas importante al momento de probar los conocimientos obtenidos de
matrices.