proyecto mn 2014a

Universidad Autnoma del Estado de Mxico/Facultad de Ingeniera/Divisin de Materias Propeduticas/

CURSO: MTODOS NUMRICOS

Prof. M. en I. Gaston Vertiz C. Email: [email protected] Pgina 1

DATOS PARA PROYECTO FINAL DE MTODOS NUMRICOS Instruccin general: En todos los casos, tienen que desarrollar un programa en Matlab o en C para solucionar el problema indicado. Luego para corroborar sus resultados usen la hoja de clculo.

1. En la siguiente tabla se presenta informacin sobre el producto bruto real, el insumo trabajo y el insumo de capital real en el sector manufacturero taiwans. (Equipo 1).

Ao Producto real bruto (millones de $t), Y

Insumo trabajo (por cada mil personas), X1

Insumo capital real (millones de NT), X2

1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972

8,911.4 10,873.2 11,132.5 12,086.5 12,767.5 16,347.1 19,542.7 21,075.9 23,052.0 26,128.2 29,563.7 33,376.6 38,354.3 46,868.3 54,308.0

281.5 284.4 289.0 375.8 375.2 402.5 478.0 553.4 616.7 695.7 790.3 816.0 848.4 873.1 999.2

120,753 122,242 125,263 128,539 131,427 134,267 139,038 146,450 153,714 164,783 176,864 188,146 205,841 221,748 239,715

Ajstense los datos anteriores, a un modelo: a. Yi = a0 + a1X1i + a2X2i + ei (Modelo de ajuste lineal mltiple) b. LnYi = a0 + a1LnX1i + a2LnX2i + ei (Modelo logartmico), y c. Yi = a0X1

a1X2a2 + ei (Modelo de potencia generalizado).

2. Aplique la Cuadratura Gaussiana (n = 5), Simpson compuesto 3/8 (m = 5) y Trapecio compuesto (m = 5), para evaluar la integral mostrada abajo. Si se asume que el valor real con redondeo a cinco dgitos decimales es 111.93149, cul de las tres

aproximaciones est ms cercana al valor real? 3

1

2 )3( dxxsene x . Equipo 3.

3. Aplique el mtodo de Extrapolacin de Richardson para calcular N5(h), como una

aproximacin a f(X0), para la funcin y tamao de paso dado: ( ) 2xf x senx , 0 1.05x ,

0.4h . Equipo 1.

4. La frmula de la funcin secante define la fuerza por unidad de rea, PA , que causa un

esfuerzo mximo m en una columna de una relacin de esbeltez eL

r. Equipo 2.

21 ( / )sec 1/ 2( / ( )( / )

m

e

P

A ec r P EA L r




Si 329 10E x ksi ; 2/ 0.2ec r , y 36m ksi , calcule PA

para 100eL

r . Sugerencia: recuerde

que 1cos( )sec( ) xx . Aplique el mtodo de su eleccin (Biseccin o Secante), usando un error

relativo de 0.0001.

5. En ingeniera ocenica, la ecuacin para una onda estacionaria se refleja en un puerto, est dada por: Equipo 2.

2 20 cosxx tvh h sen e

Resuelva para x , si 00.5h h , 20 , 10t , y 50v . Aplique el mtodo de su eleccin

(Newton-Raphson o Regla Falsa), no siendo el mismo mtodo que el elegido en problema anterior, y usando un error relativo de 0.0001.

6. En una seccin de tubo, la cada de presin se calcula as: 2

2

L Vp f

D

, donde p = cada de presin (Pa), f = factor de friccin, L = longitud del tubo

[m], = densidad (kg/m3), V = velocidad (m/s) y D = dimetro (m). Para el flujo turbulento, la

ecuacin de colebrook proporciona un medio para calcular el factor de friccin,

1 2.512log

3.7 ReDf f

, donde = rugosidad (m) y Re = nmero de Reynolds,

Re VD , = viscosidad dinmica (N. s/m2). Equipo 2.

a. Determine p para un tramo horizontal de tubo liso de 0.20 m de longitud, dadas =

1.23 kg/m3, = 1.79 x 10-5 N.s/m2, D =0.005 m, V = 40 m/s y =0.0015 mm. Utilice un

mtodo numrico (Biseccin o Regla Falsa) para determinar el factor de friccin.

Obsrvese que los tubos lisos tienen 5Re 10 , un valor inicial apropiado se obtiene con el

uso de la frmula de Blasius, 0.250.316

Ref .

b. Repita el clculo pero para un tubo de acero comercial ms rugoso ( =0.045 mm).

7. La figura de abajo, ilustra tres almacenamientos conectados por medio de tubos circulares. Los tubos estn hecho de hierro fundido recubierto con asfalto ( = 0.0012 m), y tienen las caractersticas siguientes: Equipo 3.

Tubo 1 2 3

Longitud, m 1800 500 1400

Dimetro, m 0.4 0.25 0.20

Flujo, m3/s 0.1

Si las elevaciones de la superficie del agua en los almacenamientos A y C son de 200 m y 172.5 m, respectivamente, determine la elevacin que alcanza el almacenamiento B y los flujos en los tubos 1 y 3. Obsrvese que la viscosidad cinemtica del agua es de 1 x 10 10-6 m2/s, y utilice la ecuacin de Colebrook para obtener el factor de friccin. Recuerde que la ecuacin de Colebrook es:

1 2.512log

3.7 ReDf f

, donde = rugosidad (m) y Re = nmero de Reynolds,




Re VD , = viscosidad dinmica (N. s/m2). Utilice un mtodo numrico (biseccin o Regla

Falsa) para determinar el factor de friccin, con un error relativo de 0.0001.

8. Un abrevadero de longitud L tiene una seccin transversal en forma de semicrculo con radio r (ver figuras de abajo). Cuando se llena con agua hasta una distancia h desde la parte superior, el volumen V de agua es: Equipo 3.

21)()/(5.0 2222 hrhrharcsenrrLV

Suponga que L = 10 pies, r = 1 pie y que V = 12.4 pies3. Encuentre la profundidad D del agua en el abrevadero dentro de 0.0001 pie de margen de error. Sugerencia: Aplique el mtodo de la secante o Newton-Raphson.

9. La figura de abajo muestra un canal abierto de dimensiones constantes rea de seccin transversal rectangular A. Bajo condiciones de flujo uniforme, la siguiente relacin, basada

en la ecuacin de Manning, mantiene:

23

12

2

n n

n

y B y BQ S

n B y

Equipo 3.

Donde Q es el flujo, ny es la profundidad normal, B es el ancho del canal,

n es un coeficiente de rugosidad usado para parametrizar los efectos de la

friccin del material del canal, y S es la pendiente del canal. Esta ecuacin es usada por los ingenieros de recursos de agua y fluidos para determinar la profundidad normal. Si este valor es menor que la profundidad crtica,

132

2c

Qy

B g

donde g es la aceleracin de la gravedad (980 cm/s2),

entonces el flujo ser sub-crtico. Use el mtodo de biseccin o Regla Falsa

para determinar ny con un error relativo de 0.0001, si 314.15 /Q m s ;

4.572B m ; 0.017n ; y 0.0015S . Calcule si el flujo es sub-crtico o super-crtico.




10. Usted compra un equipo de cmputo en $25,000 sin pago inicial, y $5,500 por ao durante 6 aos. Cul es la tasa de inters que usted est pagando? La frmula del valor presente (P), el pago anual (A), el nmero de aos (n), y la tasa de inters (i) es: Equipo 5.

(1 )

(1 ) 1

n

n

i iA

i

Para tal efecto, utilice el mtodo de la secante o Regla Falsa, y proponga usted los dos valores iniciales, y un error relativo de 0.0001.

11. Dos escaleras se encuentran entrecruzadas en un pasillo. Cada escalera va desde la base de una pared hasta algn punto en la pared opuesta. Las escaleras se cruzan a una altura H por encima del suelo. Dado que las longitudes de las escaleras son X1 = 20 pies y X2 = 30 pies, y que H = 8 pies, calcule el ancho del pasillo W. Use mtodo de Newton-Raphson o secante. Equipo 5.

X2 X1 H W

12. Proponer un conjunto de 10 pares ordenados (cualesquiera) para aplicar el polinomio de interpolacin de Lagrange para interpolar algn valor P(x) dentro de las abscisas de los 10 pares ordenados, usando: P5(x), P6(x), P7(x) y P8(x). Equipo 5.

13. Proponer un conjunto de 10 pares ordenados (cualesquiera) para aplicar las diferencias divididas de Newton con la finalidad de interpolar algn valor P(x) dentro de las abscisas de los 10 pares ordenados, usando: P5(x), P6(x), P7(x) y P8(x). Equipo 6.

14. Aplicando el mtodo de Newton-Raphson Multivariable aproxime la solucin del sistema de ecuaciones no lineales siguiente: Equipo 6.

1 2

1 1 3

2

2 1 3

3

6 2cos( ) 1 0

9 ( ) 1.06 0.9 0

60 3 10 3 0x x

x x x

x x sen x

x e

Use (0) (1 0 01)tx y TOL = 10-4




15. Aplicando el mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden, para aproximar las soluciones del problema de valor inicial (PVI), y compare el resultado con el valor real. Equipo 6.

' ( 1)( 3), 0 2, (0) 2, 0.2y y y t y h

La solucin real al PVI es: 2

2( ) 3

1 ty t

e

NOTAS:

Se deber incluir una portada (En Excel o Word) con el nombre de los participantes en la realizacin del proyecto.

La fecha de entrega y presentacin del proyecto ser el 16 de junio de 2014 a las 13:00 h en el aula de clase.

Los archivos de la solucin del proyecto, se deben entregar al profesor ese mismo da de entrega y presentacin del proyecto.

Los archivos que se entreguen deber contener todo lo que conlleva a la solucin de cada problema.

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