proyecto matematicaiii firme1 (1)

INTEGRANTES:

BOCANEGRA LEON, JUAN

OLIVA LLACZA, ELTON

PARRAVICINI CASTRO, WILFREDO

VARGAS ALVAREZ, JONATHAN

VILLALOBOS CABRERA, MANUEL

TÍTULO:

DOCENTE:

ING. MIGUEL VALVERDE

AÑO:

2014-1

CICLO:

V

TRUJILLO – PERÚ

2014

1.

MATEMÁTICA III

1. PROBLEMA:

Determinar el volumen de la laguna “El Toro” de la Provincia Santiago de Chuco y con ello analizar la posibilidad de la población de truchas en el área de estudio

2. HIPÓTESIS

Determinar mediante la integral doble el volumen de la laguna “El Toro” dela Provincia Santiago de Chuco

3. OBJETIVOS

3.1 GENERAL

Determinar el volumen de laguna de “El Toro” dela Provincia Santiago de Chuco y determinar una futura o probable población de truchas.

INGENIERÍA AMBIENTAL 2

FUENTE: Imágenes GOOGLE.

FIGURA N°1: LAGUNA “EL TORO”.

1

-200

-100

100

300200100

1

1

2

3

3

21

1

y(m)

x(m)

MATEMÁTICA III

3.2 ESPECÍFICOS

Encontrar un el modelo matemático para el volumen de la laguna “El Toro”

Graficar la función para de la laguna “El Toro”. determinación del máximo de población de truchas en la Laguna El

Toro

4. MARCO TEÓRICO 4.1 Ubicación de Laguna del Toro

El pueblo de Laguna Del Toro se localiza en el distrito de Quiruvilca, perteneciente a la provincia de Santiago De Chuco del departamento de La Libertad, Perú.En latitudes: Latitud Sur: 7° 59' 24.5" S (-7.99014428000)Longitud Oeste: 78° 14' 54" W (-78.24832978000) y con una altitud de 4007 msnm.


FIGURA N° 2: LAGUNA “EL TORO”

FUENTE: Imágenes GOOGLE.

MATEMÁTICA III

4.1.1 DESCRIPCIÓN DE LA PROVINCIA DE SANTIAGO DE CHUCO

Es una provincia de muchos recursos turísticos arqueológicos y naturales, fue creada el 3 de noviembre de 1900 gracias la gestión del parlamentario Tomás Ganosa Cavero quien retomó el proyecto de creación iniciado por el diputado por Huamachuco Manuel Natividad Porras. Su capital es el distrito del mismo nombre.

Se ubica a 3120 m.s.n.m. y a 8 horas en auto desde la ciudad de Trujillo. Su población al 2002 es de 61447 habitantes con una densidad poblacional de 23.1 habitantes por kilómetro cuadrado.

Como la gran mayoría de provincias del Perú es de relieve accidentado con punas y pastizales y con algunas partes templadas resultando ser favorable para la agricultura por la posibilidad de sembrar diversas plantaciones como papa, maíz camote, trigo, etc. La mayoría de la gente se dedica a la agricultura y la crianza de ganado. Plaza de Santiago de Chuco Esto hace que también la gastronomía de esta provincia sea variada, pero resalta principalmente el shambar y el cuy guisado. Aquí se ubican importantes restos arqueológicos, los cuales en parte ha sido estudiado por el Dr R. Topic y esposa logrando aclarar algunas preguntas sobre las primeras culturas de esta zona.

La fiesta principal de esta provincia es la del Apóstol Santiago el Mayor, patrón de la provincia, la cual se realiza a fines de julio con coloridas danzas tradicionales.

De tierras santiaguinas surgieron personajes de renombre como Cesar Vallejo, el más alto representante de nuestra poesía nacional y con obras literarias de profundo contenido social como Paco Yunque, el Tungsteno etc. En esta tierra y más precisamente Angasmarca, también se enorgullece de aportar al arte nacional con don Eladio Ruiz Cerna, quien es uno de los fundadores de la Escuela de bellas Artes de La ciudad de Trujillo. Casa de cesar Vallejo Otro personaje quien estudió en importantes universidades del país graduado como profesor en la especialidad de literatura, regresando a volcar sus conocimientos en impartirlos en su Santiago de Chuco natal es don Carlos Barbaran Urquizo, quien además fue el fundador del colegio particular Santiago el Mayor que posteriormente cambió a Colegio Nacional Cesar Vallejo. También, juntamente con Eladio Cerna, son los autores del anuario de cultura Santiago de Chuco.

En esta provincia opera la Pan American Silver Corp, empresa estadounidense con explotaciones en varias partes del mundo, extrayendo grandes cantidades de


MATEMÁTICA III

cobre, plata, carbón y zinc en distrito de Quiruvilca.

4.1.2 DESCRIPCIÓN DEL DISTRITO DE QUIRUVILCA

El andino distrito de Quiruvilca, tiene como principal actividad la minería y también juega un papel importante la actividad comercial, agrícola y ganadera. Se ubica a 125 Km. al este de la Ciudad de Trujillo, en la Provincia de Santiago de Chuco, Región La Libertad, a una altura de 3900 m.s.n.m.

La denominación deriva de dos Voces quechuas:

QUIRU = DIENTE

VILCA = PLATA.

De allí que se le conoce como el Distrito Diente de Plata. El distrito en la actualidad cuenta con una población aproximadamente de 14 000 habitantes, distribuidos en 28 caseríos y una decena de sectores, se ha desarrollado sobre las faldas de una cadena de cerros conocidos como "Chimborazo", "San Lorenzo", Llacapuquio", que contienen numerosos y ricos yacimientos minerales como: Oro, Plata, Cobre, Carbón de piedra entre otros.

La actividad minera en este distrito data desde el periodo inca y se acentúa en la colonia, esto lo demuestra la cita que hace en 1789, don Pedro Gómez de Solís, quien en la descripción que hace de Huamachuco, por mandato del virrey Teodoro de Coxis, afirma que en QUIRUVILCA, existen mines en las haciendas de Porcon y Llaray cuyo acceso y explotación por los propietarios de estos fundos.

El 17 de noviembre de 1915 por Ley Nª 2195, se crea la Junta Constructora del Camino Carretero a Quiruvilca, gracias a la iniciativa del representante por La Libertad Sr. Luis José de Orbegoso. Esta junta se instaló el 6 de diciembre del mismo año bajo la presidencia de Don Alfredo Pinillos Hoyle, como es de suponer de otras personalidades también presidieron esta importante junta, debemos mencionar a los Señores: Eduardo Vidaurrazaga, Jorge Ardines, Dr, Daniel Chavarry, Ing. Alfredo Fort y el Dr.


MATEMÁTICA III

Alvaro de Bracamonte Orbegoso. Pocos años más tarde con la visita del presidente Pardo las cosas mejoraron y es así como se hace realidad el sueño de los habitantes de la serranía, porque esta carretera beneficio no solamente a QUIRUVILCA, sino a muchos pueblos del interior de La Libertad, haciendo más cortó el viaje hacia la costa.

El 13 de Noviembre de 1916, por Ley 2338 rubricada por el entonces Presidente de la Republica Dr. José Pardo, Quiruvilca, es reconocido como Distrito. En aquel entonces la encargada de explotar los minerales era la Sociedad Minera "EL BRONCE", constituida por la testamentaria "GILDEMEISTER", laboro hasta 1918, para luego vender y traspasar más de 20 pertenencias mineras a la Compañía Northern Perú Mining and Smelting Company. Entre los años 1922 y 1931 Qiruvilca alcanza su mayor esplendor económico y comercial dando trabajo a más de tres mil personas de esta región. Fue en esta época que el vate universal Cesar Vallejo Mendoza se emplea como minero, labor que le sirve como inspiración para escribir la Obra "EL TUNGSTENO".

Desde su origen Quiruvilca está ligado a la minería sin descuidar la agricultura, ganadería en sus 25 caseríos y el comercio.

Ahora la posta la tiene Panamerican Silver SA y Minera Barrick Misquichilca SA que se encargan de extraer del subsuelo la riqueza mineral.

5. MARCO TEÓRICO MATEMÁTICO:

5.1FUNCIONEn matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π•r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

5.2DERIVADA.


MATEMÁTICA III

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.Es la razón de cambio.

5.3INTEGRALES.La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

5.4 DEFINICIÓN DE INTEGRALES MULTIPLES (DOBLES- TRIPLES)

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su

representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido

por la ecuación y una región en el espacio definido por

los ejes de las variables independientes de la función (si es una región

cerrada y acotada y está definida en ésta). Por ejemplo, si , el volumen

situado entre la superficie definida por y una región en el

plano es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó, está

definida en .

puede dividirse en una partición interior formada por subregiones

rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en . La

norma de esta partición está dada por la diagonal más larga en las

subregiones.

Si se toma un punto que esté contenido dentro de la subregión

con dimensiones para cada una de las m subregiones de la

partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del

espacio entre el objeto definido por y la subregión i. Este

espacio tendrá una magnitud de:

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el

objeto definido por la ecuación y la región mediante

la suma de Riemann de las magnitudes de los espacios correspondientes a

cada una de las subregiones:


MATEMÁTICA III

Esta aproximación mejora a medida que el número de subregiones se

hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta

tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la

norma de la partición:

Si ƒ está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integralDoble de ƒ sobre R está dada por

∬R

f (x , y )dA= lim‖A‖→0

∑i=1

n

f ( x , y )ΔA

Siempre que el límite exista. Si existe el límite, entonces ƒ es integrable sobre R.

Para que la integral doble de ƒ en la región R exista es suficiente que R pueda expresarse

Como la unión de un número finito de subregiones que no se sobrepongan y que sean vertical u horizontalmente simples, y que ƒ sea continua en la región R.Una integral doble se puede usar para hallar el volumen de una región sólida que

se encuentra entre el plano xy y la superficie dada por z=f ( x ; y )

5.4.1 VOLUMEN DE UNA REGIÓN SÓLIDA

Si ƒ es integrable sobre una región plana R y f ( x ; y )≥0 para todo ( x ; y )en R, entonces el volumen de la región sólida que se encuentra sobre R y bajo la gráfica de ƒ se define como

v=∬

R

f ( x , y )dA

5.4.2 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES

Las integrales dobles tienen muchas de las propiedades de las integrales simplesSean ƒ y g continuas en una región cerrada y acotada R del plano, y sea c una constante.


MATEMÁTICA III

∬R

cf ( x , y )dA=c∬R

f (x , y )dA

∬R

f (x , y )±g ( x , y )dA=∬R

f ( x , y )dA+∬R

g( x , y )dA

∬R

f (x , y )dA≥0 sif ( x , y )≥0

∬R

f (x , y )dA≥∬R

g (x , y )dA Si f ( x , y )≥g ( x , y )

∬R

f (x , y )dA=∬R

f ( x , y )dA+∬R

f ( x , y )dA Donde R es la unión de dos subregiones R1

y R2 que no se sobreponen.

5.4.3 EVALUACIÓN DE INTEGRALES DOBLES

Normalmente, el primer paso para evaluar una integral doble es reescribirla como una integral Iterada. Para mostrar cómo se hace esto, se utiliza el modelo geométrico de una integral Doble: el volumen de un sólido.

Considérese la región sólida acotada por el plano z=f ( x , y )=2−x−2 y y por los tres planos coordenados. Cada sección transversal vertical paralela al plano yz es

una región triangular cuya base tiene longitud y=(2−x ) /2 y cuya altura es z=2−x Esto implica que para un valor fijo de x, el área de la sección transversal triangular es

A( x )=1

2(base )(altura )=1

2(2−x )

2(2−x )=

(2−x )2

4

De acuerdo con la fórmula para el volumen de un sólido de secciones transversales conocidas el volumen del sólido es


MATEMÁTICA III

Volumen= ∫a

b

A ( x )dx

5.4.4 TEOREMA DE FUBINI Sea f continua en una región plana R

1. Si R está definida por a≤x≤b y g1 (x )≤ y≤g2( x ) donde g1 y g2 son

continúan en [a ,b ] , entonces

∬R

f (x , y )dA=∫a

b

∫g1

g2 f ( x , y )dydx

2. Si R está definida por c≤ y≤d y h1 ( y )≤x≤h2( y )donde h1 y h2 son continuas en [c,d], entonces

∬R

f (x , y )dA=∫c

d

∫h1

h2 f ( x , y )dxdy .

5.4.5 DEFINICION DEL VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCION SOBRE UNA REGION

Si f es integrable sobre la región plana R, entonces el valor promedio de f sobre R es1A∬R

f ( x , y )dA Donde A es el área de R

6 DESARROLLO DEL PROYECTO :

6.1 DATOS

Las profundidades promedio de la laguna son:


100

300200100

1 2 3

y(m)

x(m)

MATEMÁTICA III

EL ÍNDICE DE CRECIMIENTO DE LA TILAPIA ES CONOCIDO Y CORRESPONDE A

- Índice de crecimiento: 0,88 /año

- Tiempo de crecimiento de individuos:

Cuanto menos tiempo tarde la especie en alcanzar el tamaño de comercialización, menores

serán los gastos correspondientes a la operación y por ende mayor el ingreso. La tilapia puede

alcanzar pesos de 1 a 1.5 libras en un período de 6 a 9 meses, según el sistema de cultivo

empleado.

- Densidad superficial de nidos: 10 como máximo por m2.

- Densidad poblacional: 80 individuos por m3 como máximo.

6.2 DETERMINACIÓN DEL VOLUMEN DE LA LAGUNA


MATEMÁTICA III

A partir de la definición de integral doble, usando

particiones de 100 m y con las profundidades promedio:

V=∬D

❑

f (x , y )dA=∑i

❑

∑j

❑

f (x i , y j)x y

V=100(100)(1+1+2+3+1+2+3+2+1)=160 000 m3

6.3 DETERMINACIÓN DEL MAXIMO DE NIDOS


Ilustración 1: Laguna del toro

MATEMÁTICA III

Ilustración 2: Nido de Truchas

Con una extensión de 90000 m2, la laguna tiene capacidad máxima:

N=90 000(10)=900 000 nidos.

Considerando solo la mitad como óptima:

N=450 000 nidos.


MATEMÁTICA III

6.4 DETERMINACIÓN DEL VOLUMEN TOTAL DE INDIVIDUOS EN LA LAGUNA

N=80(160 000)=1,28x106 individuos

Considerando el 50% de este valor:

N=640 000 individuos

6.5 ECUACIÓN DEL CRECIMIENTO POBLACIONAL

y=y0e0,88t


Ilustración 3: Crecimiento poblacional de truchas

MATEMÁTICA III

7 CONCLUSIONES:

El volumen de la laguna de El Toro” de la Provincia Santiago de Chuco tiene aproximadamente 160000 m3 de agua y podemos hallar el posible número de Tilapias con la formula y=y0e0,88t

Al tener la cantidad de peces que es (y0) y el tiempo que estimemos (t) podemos calcular una futura población, este dato nos podrá ayudar a controlar el crecimiento de esta especie en la laguna para que el sistema natural de bio-depuración no se sature.

Se ha aplicado técnicas de integración múltiple para obtener el volumen de la laguna.

La ecuación del crecimiento poblacional nos facilita tener en control la población en la laguna de manera que no se afecte la calidad del producto.

8 BIBIOGRAFÍA:


proyecto matematicaiii firme1 (1)

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