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PROYECTO FINAL MECÁNICA DE FLUIDOS
CFD – FLUJO DEL AIRE A TRAVÉS DE DOS TIPOS DE FLECHAS
ELABORADO POR:
ALAN MATEO DELGADILLO ORTEGA
PRESENTADO A:
ANDRÉS EDUARDO TORRES ABELLO
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
BOGOTÁ
23 DE NOVIEMBRE 2015
TABLA DE CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................. 3
1.1. FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE LA FLECHA EN VUELO ...................................................... 3
1.1.1. EL PESO .............................................................................................................................. 3
1.1.2. LA RESISTENCIA DEL AIRE ............................................................................................... 4
1.2. LA FUERZA RECUPERADORA .................................................................................................. 4
1.3. ESTABILIDAD Y CONTROL DE LA FLECHA EN VUELO .......................................................... 5
2. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA A SIMULAR ...................................................................................... 6
2.1. Importancia ................................................................................................................................... 6
2.2. Tipo de fluido y propiedades ........................................................................................................ 6
3. SUPOSICIONES.................................................................................................................................. 6
4. SELECCIÓN DE LA DIMENSIÓN ....................................................................................................... 6
5. DEFINICIÓN DE LA GEOMETRÍA ...................................................................................................... 7
6. DESCRIPCIÓN DE CONDICIONES DE FLUJO Y LÍMITES DEL DOMINIO COMPUTACIONAL
8
7. MODELO CONCEPTUAL .................................................................................................................... 8
7.1. Malla 1 ......................................................................................................................................... 8
7.2. Malla 2 ........................................................................................................................................ 10
7.3. Malla 3 ........................................................................................................................................ 10
7.4. Malla 4 ........................................................................................................................................ 11
7.5. Malla 5 ........................................................................................................................................ 12
8. DEFINICIÓN DE LOS LÍMITES DEL MODELO 1. ............................................................................ 13
8.1. Mallas rectangulares .................................................................................................................. 13
8.2. Mallas cilíndricas ............................................................................................................................ 13
9. DEFINICIÓN Y EXPLICACIÓN DEL TIPO DE CONDICIONES DE CONTORNO USADAS EN
LA SIMULACIÓN ........................................................................................................................................ 14
10. DEFINICIÓN DEL MODELO USADO PARA LA EJECUCIÓN DE LA SIMULACIÓN ................... 14
11. TIPO DE MODELO ......................................................................................................................... 14
11.1. K-epsilon ................................................................................................................................. 14
11.2. Spalart Allmaras ..................................................................................................................... 15
11.3. Scale-Adaptive Simulation (SAS) ........................................................................................... 15
12. DOS RESULTADOS PREVIOS AL FINAL ..................................................................................... 16
MODELO 1: ....................................................................................................................................... 16
13. REFINAMIENTO DE MALLA.......................................................................................................... 18
14. Test de independencia de malla .................................................................................................... 19
15. ANÁLISIS DE RESULTADOS ........................................................................................................ 20
16. CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 23
1. INTRODUCCIÓN
Una flecha es un proyectil que se dispara con un arco. Está compuesta por
una punta (de tiro sobre diana o caza), un astil y un emplumado que
normalmente es de tres plumas o cuatro plumas.
Las puntas pueden tener diversas formas. Las puntas de tiro sobre diana son
cónicas, mientras que las puntas de caza tienen formas varias, desde la
conocida forma triangular hasta las que son cilíndricas o en equis, usadas en
la caza menor.
1.1. FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE LA FLECHA EN VUELO
La flecha se mueve en el aire, al igual que a un avión, y por tanto
se ve afectada por las mismas leyes de la Aerodinámica. Al no tener
ningún motor que la propulse después de
su lanzamiento, las tres principales fuerzas que actúan sobre el
movimiento de la flecha son el Peso, la Resistencia Aerodinámica y
la Fuerza Recuperadora. Todas son fuerzas que actúan en contra
del movimiento de la flecha y que rápidamente agotan su energía,
de ahí que la caza con arco se pueda realizar sólo a muy corta
distancia.
1.1.1. EL PESO
El Peso es la fuerza que hace que nuestras flechas tiendan a
dirigirse naturalmente hacia el centro de nuestro planeta. El peso
se ve afectado por la cantidad de masa de nuestras flechas, y por
la acción de la gravedad. El Peso va variando su dirección
dependiendo del punto de la trayectoria donde se encuentre la
flecha, de modo que éste siempre se dirige hacia el suelo, aunque
su valor permanece constante.
Deberemos considerar que, dependiendo del ángulo que forme el
peso con la trayectoria de la flecha, habrá una pequeña
componente que se sumará o restará a la Resistencia
Aerodinámica. Esto es la causa de que la flecha se frene hasta
alcanzar la parte más alta de la trayectoria y que se acelere a partir
de ése punto. El Peso se aplica sobre el centro de gravedad de la
flecha, que debe estar situado por delante de su longitud media.
Cuanto mayor sea el Peso, mayor será también la inercia y por tanto
las fuerzas necesarias para desestabilizar la flecha o para
devolverla a su posición de equilibrio. A más Peso mayor será la
estabilidad de la flecha y su penetración.
Lo que intentamos al lanzar una flecha, es que sea capaz de
recorrer el mayor espacio posible antes de que el peso le haga caer
al suelo. Si soltáramos dos flechas al mismo tiempo, una lanzada
por el arco con un ángulo de 0º sobre el horizonte, y otra a la que
simplemente dejamos caer de nuestros dedos, ambas llegarían al
suelo simultáneamente.
1.1.2. LA RESISTENCIA DEL AIRE
La otra fuerza que interviene, la Resistencia Aerodinámica, es
aquella que se opone al movimiento de avance de la flecha. La
resistencia se produce principalmente por dos causas por el
rozamiento del aire con la superficie de la flecha y por el hecho de
existir una Fuerza Recuperadora. En la flecha, en los dos únicos
puntos donde podemos encontrar este último factor de resistencia
de un modo significativo es en las aletas o plumas y en las hojas de
las puntas de caza.
Ésta es una fuerza que hace que la energía de la flecha se vaya
consumiendo rápidamente. Cuanto mayor sea la velocidad y la
superficie de la flecha en contacto con el aire, mayor será también
su resistencia y la rapidez con la que pierde su energía.
1.2. LA FUERZA RECUPERADORA
Ésta fuerza es proporcionada por la cola de la flecha, donde se
sitúan las plumas o aletas. Una flecha en vuelo tiende naturalmente
a oscilar, debido a la flexión inicial que sufre al ser disparada, lo que
junto a pequeñas irregularidades en las capas de aire que atraviesa,
hacen que sea necesario algún tipo de fuerza recuperadora, que
devuelva la flecha a su trayectoria original.
Esto se consigue colocando unas pequeñas alas al final de la flecha.
Al colocar las plumas o aletas de plástico en un ángulo con respecto
al flujo de aire, éste choca con una cara de éstas y es obligado a
desviarse, aumentando la presión en ésa zona, a la vez que por la
otra se ve forzado a rodearla de forma que se aparta de la superficie
produciendo una disminución de la presión y por tanto una fuerza
dirigida en el sentido de mayor a menor presión. Estas fuerzas
serán mayores a medida que aumenta el ángulo con el que
coloquemos las plumas en la flecha.
1.3. ESTABILIDAD Y CONTROL DE LA FLECHA EN VUELO
El Peso, la Resistencia y la Fuerza Recuperadora vemos que están
íntimamente ligados al control de la flecha y por tanto a la precisión
del tiro. Deberemos administrar sabiamente éstas fuerzas básicas
a la hora de diseñar y construir nuestras flechas, para poder obtener
unas prestaciones máximas con un mínimo de penalización. Si
nuestras flechas fueran naturalmente estables, no sería necesario
añadir aletas o plumas a su parte posterior, pero están sometidas a
continuas perturbaciones como pueden ser: arcos mal ajustados,
rachas de aire, roces con ramas u otros objetos, flexión del astil, etc.
Las flechas se estabilizan por el llamado Efecto Veleta:
- Para que una flecha sea estable en vuelo, la superficie situada por
detrás del centro de gravedad debe ser mayor que la situada por
delante, y proporcional al peso de la punta.
Las puntas de caza de hojas fijas se ven afectadas por lo que se
conoce como efecto canard o más vulgarmente como planeo. Por
su forma, las hojas de la punta no son más que otra superficie de
estabilización, como las plumas o aletas, pero colocada por delante
del centro de gravedad por lo que sus efectos contribuyen a una
estabilidad negativa, similar a lo que sería tratar de conducir una
bicicleta al revés. Cuando la flecha se desestabiliza en vuelo y se
presenta al viento con un determinado ángulo, la superficie de las
cuchillas crea una fuerza que tiende a apartar la flecha de su
posición inicial.
El caso más común de desestabilización con este tipo de puntas
consiste en una mala alineación con respecto al eje longitudinal de
la flecha. Una desalineación de uno o dos
grados puede ser suficiente como para enviar nuestra flecha a
varios centímetros del blanco, incluso en distancias cortas. Las
puntas que se ven más afectadas por una mala
alineación son las llamadas tradicionales, con una enorme hoja
principal y, en ocasiones, dos pequeñas hojas auxiliares. Esto es
debido a que la instalación de estas puntas se hace pegándolas
sobre un adaptador que después se suele enroscar a la flecha.
2. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA A SIMULAR
2.1. Importancia
Las flechas a través de la historia han sido importantes, tanto en la cacería como en
los deportes, por esta razón siempre se han ido diseñando cada vez flechas más
aerodinámicas y efectivas a través del tiempo, sin embargo solo ha sido hasta hace
unos años que se ha podido empezar a realizar modelos computacionales que
permitan mejorar el entendimiento de los fenómenos que afectan su trayectoria.
La importancia de estos modelos es que en la actualidad nos permiten modificar y
mejorar estas herramientas para hacer más óptima la cacería y el deporte.
2.2. Tipo de fluido y propiedades
El medio en el cual las fechas se mueven es el aire, el cual es el fluido predilecto
para simular en ANSYS-FLUENT ya que en la mayoría de los casos es el dominio
real de las flechas. El aire es una mezcla homogénea de gases que constituyen la
atmosfera terrestre, se compone de nitrógeno (78%), oxigeno (21%), y otras
sustancias (1%). Las propiedades principales son su densidad de 1.225 Kg/m^3 y
su viscosidad de 1.7894e-05.
3. SUPOSICIONES
En ambos casos la punta de la cabeza de las flechas es la que debe sufrir mayor
presión, y alrededor se debe presentar un aumento de velocidad. Cerca de la sup
erficie de la flecha la velocidad debe ser cero porque existe mayor cortante. En la
cola se debe generar una estela y turbulencia debido al rápido paso del fluido, pero
en el caso de la flecha en equis, esta va generar mayor turbulencia debido a que la
cabeza permite el paso de mayor cantidad de aire a través de ella, y para ambas
flechas tanto detrás de la punta y de la cola se deben presentar succiones.
4. SELECCIÓN DE LA DIMENSIÓN
Ya que el objetivo de este proyecto es definir bien el comportamiento del fluido
cuando una flecha de cierta geometría se mueve a cierta velocidad, se elige en tres
dimensiones donde se puede ver con claridad todos los fenómenos que intervienen.
No es lo mismo expresar por ejemplo la vorticidad en dos dimensiones que en tres,
porque esta se genera con tres componentes y si se baja una dimensión estaríamos
limitados por el modelo.
5. DEFINICIÓN DE LA GEOMETRÍA
La geometría de las dos flechas fue realizada mediante el programa Solidworks,
donde después de realizarlas se exportaron para poder ser utilizadas en el
programa ANSYS-FLUENT.
Las dos flechas tienen la misma longitud desde el cuello de la flecha hasta la
cola, la cual es de 50 cm, y también el mismo diámetro en el cuerpo de la flecha
el cual es de 1 cm.
La diferencia que tienen estas, en el modelo de la cabeza de las flechas, donde
una tiene una forma cónica con un diámetro en la base de 3 cm y la otra tiene una
forma en equis con una longitud de 3 cm en la base.
Flecha con modelo de la Vista isométrica de flecha con cabeza en equis. modelo de la
cabeza en equis.
Flecha con modelo de la Vista isométrica de flecha con cabeza cónica: modelo de la
cabeza cónica:
6. DESCRIPCIÓN DE CONDICIONES DE FLUJO Y LÍMITES DEL DOMINIO
COMPUTACIONAL
Las flechas para cacería salen a una velocidad aproximada de 63 m/s y en el
deporte de tiro con arco salen en promedio a 70 m/s, por lo cual para el diseño
se programó una entrada de velocidad de 70 m/s que es aproximadamente 250
km/h, la cual es la velocidad promedio en la que salen disparadas las flechas en
el tiro con arco. Como valor inicial se tomó el 0 manométrico de presión y una
temperatura de 15°C o 273 K. Los valores de densidad y de fluido se dejaron
predeterminados para el aire, se decidió después de varias iteraciones que el
mejor punto para empezar era la cara de entrada que ya tenía los 70 m/s y
permitía la convergencia en un menor tiempo. El movimiento que se va a
presentar es turbulento por las magnitudes de la velocidad y la poca viscosidad
del aire.
7. MODELO CONCEPTUAL
En el enmallado se definieron diferentes formas geométricas para las mallas los
cuales fueron rectángulos y cilindros, también geometrías diferentes para los
componentes de la malla como triángulos, tetraedros y rectángulos, los cuales
se colocaron de diferente tamaño de acuerdo al refinamiento a utilizar en la
malla.
7.1. Malla 1
En primera instancia se ensayó con una malla rectangular. Esta malla fue la que
más rápido convergió con 100 iteraciones, sin embargo, fue la que menos resultados
correctos arrojo. Los principales problemas que tuvo fueron: las dimensiones
transversales eran demasiado grandes, la dimensión en el eje longitudinal cercano
a la cola era muy corto entonces no se alcanzaba a ver la estela que deja la flecha,
y el enmallado era poco refinado.
Malla número 1. Rectangular de elementos hexaédricos, y sin refinamiento.
Grafica N° 1. De convergencia.
7.2. Malla 2
La segunda malla también de forma rectangular se le refinó los elementos y se
cambiaron a tetraedros ya que estos se pueden cubrir el volumen de una mejor
forma. Se disminuyeron las dimensiones para mejorar la visualización de la estela
que dejaban las flechas.
Esta malla mejoró considerablemente los resultados ya que estuvieron más
enfocados en el objeto y al haber mayor cantidad de elementos las gráficas
muestran una mayor precisión. En contraposición, el refinamiento resulto en un
mayor tiempo de iteración y esfuerzo del computador.
Malla número 2. Rectangular de elementos tetraédricos, y muy poco refinamiento
7.3. Malla 3
Es una malla con geometría rectangular, es la igual que la anterior pero con un
mayor refinamiento. Esta malla debería ser la que mejor resultados arroje, no
obstante, no convergió bajo el mismo método. Por lo anterior arrojo unos resultados
diferentes y menos precisos.
Malla número 3. Rectangular de elementos tetraédricos, y el mejor refinamiento.
7.4. Malla 4
Con el fin de cambiar la forma geométrica de la malla se construyó una de forma
cilíndrica para que se ajustara mejor a la forma radial de la flecha, esta primera malla
se hizo con elementos hexaédricos no muy refinados.
Convergió muy rápido, tan solo con 170 iteraciones, aroojando resultados no muy
exactos.
Malla número 4. Cilíndrica de elementos tetraédricos, y poco refinamiento.
Grafica N° 2 de convergencia
7.5. Malla 5
La última malla es un modelo más refinado que todos los anteriores con elementos
tetraédricos y una malla más pequeña, más ajustada a las dimensiones de las
flechas. Fue la malla con mejores resultados, sin embargo, fue la que más tiempo
tomo para converger.
Malla número 5. Rectangular de elementos tetraédricos, más pequeña y bastante refinamiento.
Grafica N° 3 de convergencia
8. DEFINICIÓN DE LOS LÍMITES DEL MODELO 1.
8.1. Mallas rectangulares
Para las mallas rectangulares la superficie hacia donde apuntan la cabeza de las
flechas era la entrada de aire del modelo (INLET), la superficie hacia donde
apuntaban las colas de las flecha era la salida del modelo (OUTLET). El resto, las
que rodeaban la flecha, se configuraron para que fueran paredes que no generaran
cortante (WALL).
8.2. Mallas cilíndricas
Para las mallas cilíndricas funcionan igual la entrada y la salida, pero ahora lo que
rodea la flecha es solo una gran superficie, que cumple la misma función que las
anteriores cuatro paredes.
INLET INLET
WALL WALL
OUTLET OUTLET
9. DEFINICIÓN Y EXPLICACIÓN DEL TIPO DE CONDICIONES DE CONTORNO
USADAS EN LA SIMULACIÓN
La velocidad de entrada es de 70 m/s ya que esta es una velocidad promedio a
la cual salen disparadas en el tiro con arco las flechas. La temperatura del
modelo es 15° C , y la presión manométrica se dejó predeterminada como 0.
Las paredes de los modelos vienen predeterminados para que trabajen como
solidos que generan cortante, sin embargo para el objetivo del proyecto no se
necesitan. Por último, se debe mencionar que el fluido es el aire con las
características anteriormente mencionadas y la flecha es de aluminio como se
hacen algunas hoy en día, y aprovechando que el programa ya lo tenía en su
base de datos.
10. DEFINICIÓN DEL MODELO USADO PARA LA EJECUCIÓN DE LA
SIMULACIÓN
El uso de diferentes métodos numéricos arroja diferentes resultados, para la
simulación del modelo computacional se usaron los siguientes tres métodos:
kepsilon, Scale-Adaptive Simulation (SAS), Spalart-Allmaras.
11. TIPO DE MODELO
El modelo utilizado en este proyecto es estático, para simplificar y reducir los
cálculos que tiene que hacer el programa y poder obtener los resultados en
menos tiempo.
11.1. K-epsilon
Es un modelo donde la turbulencia es una condición de flujo. En específico, cuando
se tiene un alto número de Reynolds las fuerzas de inercia son mucho más grandes
que las de fuerza por viscosidad, por lo que las perturbaciones no se alcanzan a
disipar y el flujo es turbulento.
11.2. Spalart Allmaras
Este modelo de turbulencia propuesto por Spalart - Allmaras se diferencia de otros
modelos de una sola ecuación debido a que el modelo resultante es local, es decir
la ecuación en un punto no depende de la solución en otros puntos y hace
predicciones muy buenas cuando se usa para resolver problemas relacionados con
la aeronáutica.
El modelo es esencialmente insensible a valores distintos de cero, siempre que
estos sean mucho más pequeños que los valores en la región turbulenta. Esto se
debe al dominio de la zona turbulenta sobre la zona no turbulenta. Esta
característica le da un plus adicional al nuevo modelo respecto a varios modelos de
dos ecuaciones tomando en cuenta que muchos de ellos son muy sensibles a los
valores de la corriente libre.
La configuración final de términos suministra un control sobre las regiones laminares
de las capas de esfuerzos. Un control que tiene dos aspectos principales: mantener
el flujo laminar y la transición donde se decida durante el planteamiento del
problema.
11.3. Scale-Adaptive Simulation (SAS)
Este método permite la resolver el espectro de turbulencias para condiciones de
flujos inestables. El concepto de SAS está basado en la introducción de la escala
de longitud de Von Karman en la ecuación de la escala de turbulencia (Arc.vt).
12. DOS RESULTADOS PREVIOS AL FINAL
MODELO 1:
En este modelo las presiones están incorrectas debido a que la malla era muy poco
refinada y no se alcanzan a generar buenos detalles del contorno de presiones en
las flecha, ya que cubre solo algunas partes.
En este modelo nos damos cuenta que la malla no estaba bien ajustada a las
flechas, por lo cual nos muestra como si la velocidad fuera la misma en toda la malla
lo cual es erróneo.
MODELO 2 :
Este modelo las presiones están mucho mejor, ya que podemos ver que los
resultados se pueden en todo el contorno de las flechas, y esto se debe a que la
malla utilizada fue más ajustada y era la mas refinada.
Este modelo tiene las velocidades correctas, debido al buen ajuste de la malla y la
buena refinación que permite tomar todas las partes y rincones de las flechas.
13. REFINAMIENTO DE MALLA
MALLA 1: MALLA 2:
Ambos modelos se realizaron con mallas rectangulares, sin embargo el de la
derecha es menos refinado que el de la izquierda, y es mucho mas grande en
sus dimensiones. Por otro lado el de la derecha se resolvió con Spalart –
Allmaras y el de la izquierda con k-epsilon.
MALLA 1: MALLA 2:
Ya en esta grafica se puede apreciar como dan resultados diferentes, donde la
malla más fina arroja unos resultados más acertados que la otra, se puede
deducir lo anterior ya que la flecha no crea una reducción total de la velocidad
en todo su borde, esta deja una estela tanto en la cabeza como en la cola, pero
al ser la flecha tan larga comparada con su sección transversal y a velocidades
cercanas a los 70 m/s el fluido tiene tiempo de recuperar su trayectoria.
En esta versión de las imágenes se puede ver con mayor claridad lo
anteriormente dicho.
14. Test de independencia de malla
FLECHAS TIPO EQUIS:
En las flechas tipo equis se puede observar que aunque los resultado finales
varíen se puede extraer información muy similar de ambas gráficas, lo más
probable es que a la de la derecha que fue corrida con método Spalart - Allmaras
le hicieron falta iteraciones para llegar al estado que llego la de al lado corriendo
con SAS, y también que se corrieron con diferentes tipos de malla, puesto que
una malla era cilíndrica y la otra rectangular, aunque nos podemos dar cuenta
que no es de mucha relevancia la malla que se utilice siempre y cuando se
hagan el número de iteraciones correctas para que la tolerancia no juegue un
papel tan importante en los resultados.
15. ANÁLISIS DE RESULTADOS
GRÁFICAS DE CONTORNO DE PRESIONES:
FLECHA EN EQUIS:
FLECHA CILÍNDRICA:
Esta grafican nos permite ver como se distribuyen las presiones por toda la flecha
desde la cabeza hasta la cola. Como se esperaba la máxima presión la recibe la
punta pero se disipa rápidamente por la aerodinámica de la flecha. También se
puede observar como en la sección frontal de las plumas se genera una variación
de presiones, donde en la flecha con cabeza en equis permite el paso de una
cantidad mayor de aire, lo que ocasiones una mayor presión en las plumas en
comparación a la flecha con cabeza cónica que no permite el paso de aire.
Líneas de velocidad vista frontal: se puede ver como las líneas de velocidad pasan
por la flechas, mostrando que la velocidad más alta se ve cuando el aire sobrepasa
la cabeza de las flechas.
Velocidades y contorno de presión: Esta es la mejor grafica para saber qué pasa
con ambas variables a la vez, se ve como la estela parte de los puntos donde el
fluido genera turbulencia y como afecta la velocidad a las presiones contorneadas
en el sólido. El contorno de velocidades sobre el sólido es totalmente de color azul,
es decir con velocidad 0, porque es en ese sector donde el fluido no se mueve por
la fuerza cortante que genera la pared del sólido.
• CABEZA:
• COLA:
Velocidad y contorno de presión en la cola y en la punta: son dos formas de ver la
mima gráfica, donde en la cola y la cabeza se muestra cómo se generan diferentes
velocidades alrededor y en la primera se pueden identificar las magnitudes.
16. CONCLUSIONES
1. La correcta generación de las mayas un uno de los pasos más fundamentales
para que tanto el programa corra de forma adecuada, como que los
resultados sean verídicos.
2. Después de realizar el modelo de las flechas en CFD se concluye que es
muy importante ahorrar costo computacional y tiempo de simulación, sin que
se comprometan los resultados.
3. La correcta generación de las mallas es uno de los pasos más
fundamentales para que tanto el programa corra de forma adecuada, como
que los resultados sean verídicos.
4. Para una misma malla y geometría se pueden generar diferentes resultados
dependiendo del método numérico usado y los valores de referencia que le
imponga al programa.
5. Se debe encontrar un equilibrio entre el costo computacional y el tiempo que
se va a disponer para el proyecto, para sacar el máximo provecho. De ser
necesario resolver el problema de la manera más simple sin distorsionar la
realidad.
6. Se deben hacer pruebas experimentales que corroboren el modelo
computacional para así corregir el sistema o en el caso que este bien, aplicar
los resultados en futuras investigaciones.
7. Respecto a las flecha modeladas en CFD se reconoce que hizo falta
acomodase mejor a la geometría real y que también existe un componente
rotacional que no se incluyó por la complejidad que tiene converger a un
resultado coherente.
8. Podemos ver que al comparar las dos flechas, la flecha con cabeza cónica
es mucha más aerodinámica en comparación a la flecha con cabeza en
equis.
9. Las flechas a pesar de la variación que tienen en su cabeza ambas muestran
ser aerodinámicas.
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