UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES.

PROYECTO FINAL. DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR E IIR.

Presenta: Palillero Sandoval Omar.

OBJETIVO. Realizar un programa que realice filtros FIR e IIR normalizados con diferentes parámetros de cada diseño. INTRODUCCIÓN. Un filtro es un sistema que, dependiendo de algunos parámetros, realiza un proceso de discriminación de una señal de entrada obteniendo variaciones en su salida. Los filtros digitales tienen como entrada una señal analógica o digital y a su salida tienen otra señal analógica o digital, pudiendo haber cambiado en amplitud, frecuencia o fase dependiendo de las características del filtro. El filtrado digital es parte del procesado de señal digital. Se le da la denominación de digital más por su funcionamiento interno que por su dependencia del tipo de señal a filtrar, así podríamos llamar filtro digital tanto a un filtro que realiza el procesado de señales digitales como a otro que lo haga de señales analógicas. El filtrado digital consiste en la realización interna de un procesado de datos de entrada. El valor de la muestra de la entrada actual y algunas muestras anteriores (que previamente habían sido almacenadas) son multiplicadas por unos coeficientes definidos. También podría tomar valores de la salida en instantes pasados y multiplicarlos por otros coeficientes. Finalmente todos los resultados de todas estas multiplicaciones son sumados, dando una salida para el instante actual. Esto implica que internamente tanto la salida como la entrada del filtro serán digitales, por lo que puede ser necesario una conversión analógico-digital o digital-analógico para uso de filtros digitales en señales analógicas. Los filtros digitales se usan frecuentemente para tratamiento digital de la imagen o para tratamiento del sonido digital.

Hay varios tipos de filtros así como distintas clasificaciones para estos filtros:

De acuerdo con la parte del espectro que dejan pasar y que atenúan hay:

• Filtros pasa alto. • Filtros pasa bajo. • Filtros pasa banda.

o Banda eliminada o Multibanda

o Pasa todo o Resonador o Oscilador o Filtro peine (comb filter) o Filtro ranura (notch filter) o ...

• De acuerdo con su orden: o primer orden o segundo orden o ...

• De acuerdo con el tipo de respuesta ante entrada unitaria: o FIR (Finite Impulse Response) o IIR (Infinite Impulse Response) o TIIR (Truncated Infinite Impulse Response)

• De acuerdo con la estructura con que se implementa: o Laticce o Varios en cascada o Varios en paralelo

Hoy dia con el diseño asistido por ordenador la complejidad del filtro no es tan importante, y es el diseñador en cada caso particular conociendo las propiedades de cada uno de ellos el que debe de elegir el modelo que más se adpte a sus necesidades. El principal problema en el diseño consiste en el cálculo de los coeficientes de la ecuación de diferencias que se adapten mejor a nuestras necesidades de respuesta en frecuencia. Como se ha comentado en temas anteriores es usual clasificar a los filtros en función de la banda de paso:

• Pasa baja • Pasa alta • Pasa banda • Para banda o rechazo de banda •

La respuesta en frecuencia de cualquier filtro digital es periódica en el dominio de la frecuencia repitiendose cada Fs.

En la práctica no es posible diseñar filtros ideales , se presenta a continuación la plantilla de los diferentes tipos de filtros:

Pasa Bajo Pasa Alto

Pasa Banda

Para Banda

FILTROS FIR.

FIR es un acrónimo en inglés para Finite Impulse Response o Respuesta finita al impulso. Se trata de un tipo de filtros digitales en el que, como su nombre indica, si la entrada es una señal impulso, la salida tendrá un número finito de términos no nulos. Para obtener la salida sólo se basan en entradas actuales y anteriores. Su expresión en el dominio n es:

En la expresión anterior N es el orden del filtro, que también coincide con el número de términos no nulos y con el número de coeficientes del filtro. Los coeficientes son bk. La salida también puede expresarse como la convolución de la señal de entrada x(n) con la respuesta impulsional h(n):

Aplicando la transformada Z a la expresión anterior:

Estos filtros tienen todos los polos en el origen, por lo que son estables. Los ceros se presentan en pares de recíprocos si el filtro se diseña para tener fase lineal. Hay tres método básicos para diseñar este tipo de filtros:

• Método de las ventanas. Las más habituales son: o Ventana rectangular o Ventana de Barlett o Ventana de Hanning o Ventana de Hamming o Ventana de Blackman o Ventana de Kaiser

• Muestreo en frecuencia. • Rizado constante (Aproximación de Tchebyshev y algoritmo de intercambio de

Remez).

Los filtros FIR tienen la gran ventaja de que pueden diseñarse para ser de fase lineal, lo cual hace que presenten ciertas propiedades en la simetría de los coeficientes. Este tipo de filtros tiene especial interés en aplicaciones de audio. Además son siempre estables. Por contra también tienen la desventaja de necesitar un orden mayor respecto a los filtros IIR para cumplir las mismas características. Esto se traduce en un mayor gasto computacional.

FILTROS IIR. IIR es un acrónimo en inglés para Infinite Impulse Response o Respuesta infinita al impulso. Se trata de un tipo de filtros digitales en el que, como su nombre indica, si la entrada es una señal impulso, la salida tendrá un número infinito de términos no nulos, es decir, nunca vuelve al reposo. La salida de los filtros IIR depende de las entradas actuales y pasadas, y además de las salidas en instantes anteriores. Esto se consigue mediante el uso de realimentación de la salida.

Donde los a y b son los coeficientes del filtro. El orden es el máximo entre los valores de M y N.

Aplicando la transformada Z a la expresión anterior:

Este tipo de filtros presenta polos y ceros que determina la estabilidad y la causalidad del sistema. Cuando todos los ceros están en el interior de la circunferencia unidad se dice que es fase mínima. Si todos están en el exterior es fase máxima. Si algún polo está fuera de la circunferencia unidad el sistema es inestable.

Las formas habituales de diseñar este tipo de filtros son:

• Indirecta (a partir de prototipos analógicos) o Impulso invariante o Aproximación de derivadas o Transformación bilineal

• Directa o Aproximación de Padé o Aproximación de mínimos cuadrados

Las principales diferencias respecto a los filtros FIR es que los IIR pueden cumplir las mismas exigencias que los anteriores pero con menos orden de filtro. Esto es importante a la hora de implementar el filtro, pues presenta una menor carga computacional. Este tipo de filtros puede ser inestable, aún cuando se diseñan para ser estables. En principio no pueden diseñarse para tener fase lineal pero se pueden aplicar algunas técnicas como el filtrado bidireccional para lograrlo. DESARROLLO De las diferentes técnicas de diseño se desarrollo la técnica de ventaneo con la que lo primero es decidir las especificaciones de respuesta en frecuencia Hd(w) y determinar su correspondiente en respuesta al impulso hd(n). Para diseñar un filtro FIR con características específicas tenemos las siguientes ecuaciones:

( ) jwn

ndd enhwH −

∞

=∑=

0)(

La ecuación de diseño para el filtro FIR resulta:

( ) ( ) dwewHnh jwndd ∫

−

=π

ππ21

En general la respuesta hd(n) es infinita pero esta es truncada mediante el ventaneo, en el punto: y multiplicando por la ventana rectangular o unitaria se obtiene: 1−= Mn

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

=otrocaso

Mnnhnh d

01,...1,0

Realizando cálculos para diferentes filtros tenemos: Filtro pasa altas

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

−

−−−

−−

−

)2

1(

)2

1(sin)2

1(sin

1)(

Mn

MnwcMn

wcnhdπ

π

π Si 2

1−=

Mn

Filtro pasa bajas

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

−

−−−

−−

)2

1(

)2

1(sin)2

1(sin

)(Mn

MnwcMn

wcnhdπ

π

π

21

21

−=

−≠

Mn

Mn

Filtro Pasa banda

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

−

−−−−

−−+

−−

+

)2

1(

)2

1)(sin()2

1)(sin(

)(Mn

MnAwcwcMnAwcwc

AwcwcAwwcnhdπ

ππ

Filtro rechazo de banda

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

−

−−+−

−−−+

−−

+−

−+

)2

1(

)2

1)(sin()

21

)*(sin(2

1(sin

1)(

Mn

MnAwcwc

MnAwcwc

Mn

AwcwcAwcwcnhdπ

π

ππ

Una vez obtenida la del filtro deseado se le aplica el tipo de ventana más adecuada a las necesidades realizando la multiplicación correspondiente de acuerdo a las siguientes fórmulas:

( )nh

Blackman 1

4cos08.01

2cos5.042.0−

+−

−M

nM

n ππ

Hamming 1

2cos46.054.0−

−M

nπ

RESULTADOS

Filtros FIR

Filtro pasa bajas Hamming.

Filtro pasa altas Hamming.

Filtro pasa banda Hamming.

Filtro rechazo de banda Hamming.

Filtro pasa bajas Blackman.

Filtro pasa altas Blackman.

Filtro pasa banda Blackman.

Filtro rechazo de banda Blackman.

Filtros IIR.

Filtro pasa bajas para un diseño chebyshev orden 1.

Filtro pasa altas para un diseño chebyshev orden 2.

Filtro pasa bajas para un diseño elíptica.

Filtro rechazo de banda Butterworth.

BIBLIOGRAFIA.

[1] Diseño de filtros digitales fir mediante la técnica de ventanas. Martínez Barrera Mary Carmen, Dr. Ibarra Manzano Oscar G., Ing. Ibarra Manzano Mario A.; Ing. Arceo Miquel Luis Jorge, Instituto Tecnológico de Querétaro, Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica, Universidad de Guanajuato.

[2] http://es.wikipedia.org/wiki/FIR

[3] http://es.wikipedia.org/wiki/IIR