PROYECTO ECUACIONES DIFERENCIALES

RAPIDEZ DEL CAMBIO DE LA TEMPERATURA DEL PLANETA TIERRA POR EFECTOS DEL CALENTAMIENTO GLOBAL

LEY DE ENFRIAMIENTO Y CALENTAMIENTO DE NEWTON

MIGUEL ANGEL URREA MESA

COD: 505211

PEDRO ALEJANDRO RAMIREZ

COD: 505496

PRESENTADO A:

PROFESOR RUBEN CASTAÑEDA

UNIVERSIDAD CATOLICA DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA

BOGOTÀ DC

21 de mayo de 2016

INTRODUCCIÓN

El objetivo de ésta investigación es encontrar las relaciones que nos permitan conocer los cambios de temperatura en el ambiente y poder tomar datos en cualquier momento como también poder predecir la temperatura.

Antes de empezar a abordar el tema sería muy bueno explicar en que radica la importancia de este experimento.

La ventaja y grandeza que nos ofrece la física es que estamos rodeados de ella, aún inconscientemente, todo el tiempo estamos realizando actividades que se explican mediante el estudio de esta ciencia, y este caso no es una excepción. Creemos que la gente no puede andar por la vida aceptando los fenómenos que ocurren diariamente sin preguntarse por qué suceden. Un claro ejemplo ocurre cuando tenemos un objeto caliente. Todos nos hemos dado cuenta que mientras más tiempo pase el cuerpo va perdiendo calor, pero es rara la vez que nos preguntamos el porqué de esto, solo lo asumimos como un conocimiento obvio y trivial, que siendo analizado a fondo nos podremos dar cuenta de que no lo es. Éste es un punto que indica la importancia de esta práctica, pues nos permitirá tener una mayor comprensión de un fenómeno con el que nos relacionamos día con día.

Sir Isaac Newton fue una de las muchas personas que se interesó por estos fenómenos e inclusive enunció una ley que es la que rige este experimento. La ley de enfriamiento de Newton nos dice que:

"La tasa de enfriamiento de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y sus alrededores", esto expresado gracias al planteamiento de una ecuación diferencial que permite resolver las incógnitas que se presenten en este tipo de situaciones. Gracias a esto sabemos que la temperatura de un cuerpo decae exponencialmente conforme el tiempo avanza.

JUSTIFICACIÓN

El proyecto se presenta primero como un requisito dentro de la asignatura de ecuaciones diferenciales para la carrera de ingeniería civil con motivo de superar uno de los métodos de evaluación que es el proyecto final de dicha asignatura.

Como segundo se da a conocer el cómo se debe abarcar el uso de las ecuaciones diferenciales para la resolución de diferentes problemas o situaciones de la vida cotidiana a través de dichas ecuaciones dadas por grandes físicos y matemáticos.

Y como tercero el hecho de dar a conocer el esfuerzo y la inteligencia de un físico en especial que es el profesor Isaac Newton.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El calentamiento global, es el término con que se denota al fenómeno que ocurre cuando aumenta de la temperatura media global de la atmósfera terrestre y de los océanos. 

Es originado por distintos factores, pero el principal es el Efecto Invernadero, fenómeno que se refiere a la absorción de gases atmosférico, de parte de la energía que el suelo emite, como consecuencia de haber sido calentado por la radiación solar. 

Las consecuencias causadas por dicho fenómeno pueden ser de tipo económico; donde se ve afectado el seguro, el transporte, la agricultura y el comercio. En la salud el Calentamiento Global causa; expansión de enfermedades, dengue, malaria, enfermedad cardiaca, debido a las altas temperaturas. La población infantil se verá afectada debido a la falta de agua, etc. en la sociedad, afecta; en el desarrollo de la misma, las personas inician migraciones, de un país a otro, y la seguridad social sufre muchos cambios. 

Así que lo que se busca con este proyecto es crear conciencia y dar una alerta sobre el calentamiento global, ya que según los registros de temperatura del planeta han ido en un aumento progresivo y si esto sigue creciendo a este ritmo tan apresurado se podría llegar a un punto crítico en el cuál se vea amenazada la existencia de la humanidad y de la mayoría de los seres que la habitan.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Demostrar la aplicación de la ecuación diferencial propuesta por el físico Isaac Newton para confirmar datos antiguos y brindar datos verídicos sobre la temperatura del planeta tierra y confirmar su constante aumento y lograr predecir la temperatura del planeta en cualquier momento del futuro.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

- Resolver el modelo del cambio de la temperatura de un cuerpo respecto al ambiente propuesta por Newton.

- Comprobar que los datos obtenidos a través de esta ecuación diferencial son iguales o aproximados a las temperaturas reales registradas.

- Aplicar el modelo de ecuación diferencial propuesto por Newton para la predicción de datos de temperatura. En este caso predecir la temperatura que tendrá el planeta tierra en el año 2060.

- Aplicar el modelo de ecuación diferencial propuesto por Newton para saber en qué año el planeta tendrá una temperatura que puede probablemente acabar con el ser humano.

- Aportar argumentos para la problemática sobre el artículo que afirma sobre el peligro de que la temperatura promedio de la tierra suba 2ºC apoyado con la comparación de los datos pasados con los obtenidos en este proyecto.

MARCO TEÓRICO

De acuerdo con la ley empírica de Newton de enfriamiento o calentamiento, la rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea . Lo cual nuestro gran amigo y profesor Newton planteó lo siguiente:

dTdtα (T−Tm )

O que en matemáticas se escribe: dTdt

=K (T−Tm ), y logrará la

solución a través del método de la variable separable. Parafraseando al profesor Newton, y resolviendo la ecuación diferencial por el método de la variable separable, se logra

Tan esperado resultado:

Que es considerada esta ecuación como un modelo matemático para resolver problemas de calor o enfriamiento de objetos en temperaturas de ambiente.

FUENTE: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden (variable separable) -APLICACIONES (ley de Newton para el calor) por el profesor Rubén Darío Castañeda.

METODOLOGÍA

Primero consideremos a la tierra como una gran masa compuesta por millones de compuestos con propiedades en su materia muy distinto haciendo casi imposible el cálculo de su temperatura por métodos convencionales así que precisamente no vamos a hallar la temperatura de la tierra como tal sino al aire que la rodea y al mar que cubre una gran parte de ella, al ser compuestos con una relativa facilidad para calcular su temperatura.

Lo planteado significa que vamos a tomar como cuerpo estas dos compuestos y como ambiente la temperatura aquella contenida en la mesósfera ya que es la que tiene una baja variación de temperatura y es la que más afecta la temperatura del ambiente siendo este también el porqué de no tomar la temperatura de la capa exterior de la atmosfera ya que sus variaciones pueden ser de entre 800 y 1500 ºC y prácticamente se filtran por la mesosfera.

Para la parte de la solución sobre la temperatura a la cual el ser humano no podría sobrevivir debemos saber cómo se comporta el cuerpo humano frente a las altas temperaturas.

El ser humano es capaz de sobrevivir hasta a los 100ºC pero solo por 20 minutos, así que tomar este dato sería exagerar mucho así que solo tomaremos 50ºC que es la temperatura a la cual el cuerpo empieza a deshidratarse rápidamente, cabe aclarar también que esta temperatura no es constante en todo el mundo, solo es un promedio esto significa que habrá lugares que superen los 70ºC y otros que bajen de los 30ºC y también

Una las partes más importantes de este proyecto es la de aplicarlo a algún problema de la vida cotidiana, para esto vamos a calcular el tiempo que le tomaría al planeta tierra subir 2ºC ya que esto es muy peligroso para la humanidad ya que los desiertos se volverían más áridos y gran parte de Europa quedaría como una sabana africana, también habrían sequias en Estados Unidos y México mientras que en Siberia y todo el continente Asiático habrían inundaciones y tormentas y los ríos más grandes del mundo se desbordarían arrasando con todo a su paso causando grandes pérdidas más que todo en las cosechas lo que causaría un

problema de escasez de alimentos, podríamos nombrar muchas causas más pero este no es el objetivo de este proyecto.

Dejando esto claro tenemos empezamos a hacer las respectivas conversiones de unidades:

- Temperatura de la Mesosfera = 80ºC (en promedio)

ºF = ((80ºC)/(9/5))+32

ºF = 176

Así que tenemos que la temperatura del medio es:

Tm = 176 ºF

- La temperatura del planeta a mediados de 1990 fue de 14ºC

ºF = ((14ºC)/(9/5))+32

ºF = 57,2

Así que la temperatura inicial del cuerpo es:

T(o) = 57,2 ºF

- La temperatura del cuerpo al cabo de 22 años o (11,5632x10^6 minutos) (año 2012) fue de 14,6ºC:

ºF = ((14,6ºC)/(9/5))+32

ºF = 58,3

14,6ºC = 58,3ºF

Así que la temperatura al cabo de 22 años es de:

T(11,5632x10^6) = 58,3ºF

- Así que con nuestros datos iniciales podemos plantear la siguiente ecuación diferencial.

T ( t )=(57,2 ºF−176 ºF )ekt+176ºF

RESOLUCIÒN DEL PROBLEMA

Con la ecuación diferencial modelada respecto a las condiciones dadas tenemos que:

T ( t )=(57,2 ºF−176 ºF )ekt+176ºF

- Procedemos a encontrar la constante (K)

T (11,5632 x 106 )= (−118,8 ºF ) ek(11,5632x 106)+176 ºF

58,3ºF−176 ºF−118,8 ºF

=ek(11,5632x 106)

117,7 ºF118,8 ºF

=ek(11,5632x 106 )

ln (117,7 ºF118,8 ºF )=(11,5632 x106 )k (Lne)

ln( 117,7 ºF118,8 ºF )11,5632x 106

=k

k=−0,8045 x10−9

- Para probar que nuestros cálculos son correctos resolveremos la ecuación diferencial con el año 2000 y se hará una comparación con la gráfica de variación de la temperatura de la tierra dada por la World Meteorological Organization. Se hace la aclaración de que la mayoría de las gráficas que aparecen en la página web son de promedios de crecimiento, así que se recurrió a una única gráfica en donde se muestran registros más precisos.

2000 – 1990 = 10 años

10 años = 5,256 x106minutos

T (5,256 x 106 )= (57,2 ºF−176 ºF )e(−0,8045 x10−9 )(5,256 x 106 )+176ºF

T (36,792 x106 )=57,70 ºF

Que en grados (ºC) es igual a:

ºC=(57,70 ºF−32 )( 59 )57,70 ºF=¿14,27ºC

Fuente: http://library.wmo.int/opac/index.php?lvl=infopages&lang=en_UK&pagesid=1#.VzlGsZHhDIU

Haciendo la comparación con la gráfica nos damos cuenta de que el uso de la ecuación diferencial es bastante precisa, el error es de una centésima pero esto puede deberse a la cantidad de decimales usados en la solución de la ecuación.

- Ahora procedemos a calcular la temperatura de la tierra en el 2060

2060 – 1990 = 70 años

70 años = 36,792 x 106minutos

T (36,792 x106 )=(57,2 ºF−176ºF ) e(−0,8045 x 10−9)(36,792 x 106)+176 ºF

T (36,792 x106 )=60,66 ºF

Que en grados (ºC) es igual a:

ºC=(60,66 ºF−32 )( 59 )60,66 ºF=¿15,92ºC

- Ahora haremos el cálculo del año en el cuál la tierra probablemente estará a 50ºC que es la temperatura que podría hacer que la humanidad se extinguiera.

ºF=(50 ºC+32 )( 95 )50 ºC=122ºF

T ( t )=(57,2 ºF−176 ºF )ekt+176ºF

122 ºF= (−118,8 ºF )e (−0,8045 x10−9 )t+176 ºF

122ºF−176 ºF−118,8 ºF

=e(−0,8045 x 10−9)t

−54 ºF−118,8 ºF

=e(−0,8045 x 10−9) t

ln ( −54 ºF−118,8 ºF )=(−0,8045 x 10−9)t ( ln(e))

ln ( 54 ºF118,8 ºF )

−0,8045 x10−9=t

t=980,0589 x106min

Convertidos a años es igual a:

980,0589 x106min=1865,65años

En el año 3855 si la temperatura crece a este ritmo la humanidad podría extinguirse por deshidratación.

- Para calcular el tiempo que demoraría el planeta tierra en aumentar 2ºC tenemos que partir de la temperatura de la tierra que había en el 2009 ya que este estudio fue hecho en dicho año.

Basados en la tabla encontramos que la temperatura en el 2009 es de 14,47ºC que son equivalentes a 58,05ºF. Así que la temperatura en la que pueden pasar todos los daños nombrados en la metodología sería de 16,47ºC equivalentes a 61,646 ºF

T ( t )=(57,2 ºF−176 ºF )ekt+176ºF

61,646 ºF=(−118,8 ºF ) e(−0,8045 x 10−9)t+176 ºF

61,646 ºF−176ºF−118,8 ºF

=e(−0,8045 x10−9 )t

−114,35 ºF−118,8 ºF

=e(−0,8045 x 10−9) t

ln (−114,35 ºF−118,8 ºF )=(−0,8045 x 10−9)t ( ln (e))

ln( 114,35 ºF118,8 ºF )−0,8045 x10−9=t

t=47,4114 x106min

Convertidos a años es igual a:

980,0589 x106min=90años

CONCLUSIONES

- La ecuación diferencial propuesta por el físico Isaac Newton es bastante apropiada para resolver casos de la vida real sobre los cambios de temperatura de los cuerpos.

- La ecuación diferencial propuesta por Isaac Newton es bastante precisa ya que los resultados obtenidos a través de dicha ecuación son bastante acertadas en comparación con la gráfica de registros de temperatura del planeta tierra.

- La temperatura que se obtuvo para el año propuesto (2060) no es crítica para el planeta tierra pero si se acerca mucho y nos da una señal de que tenemos poco tiempo para actuar.

- Aunque parezca mucho tiempo los 1865 años que tomaría que la humanidad desaparezca por causa del calor del ambiente es poco en comparación de lo que ha estado la humanidad viviendo en la tierra.

- Tenemos 90 años para actuar en contra del aumento de la temperatura de la tierra y poder evitar todos los desastres que el aumento de 2ºC en la temperatura de la tierra pueda traer.

BIBLIOGRAFÍA

- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden (variable separable) -APLICACIONES (ley de Newton para el calor) por el profesor Rubén Darío Castañeda.

- http://www.neoteo.com/

- http://www.cnrs.fr/cw/

- https://www.ipcc.ch/publications_and_data/ar4/wg1/es/tssts-3-1-1.html

- http://library.wmo.int/opac/index.php? lvl=infopages&lang=en_UK&pagesid=1#.VzlGsZHhDIU.