c) Sistema dependiente: las rectas se cortan en una infinidad de puntos, es decir, finalmente son la misma recta. Todos los puntos de consideran P(x, y).

5.-Mtodos de solucin de sistemas de ecuaciones lineales de dos variablesGrfico Elmtodo grficoconsiste en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es as, dnde.En el plano, dos rectas slo pueden tener tres posiciones relativas (entre s): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta), las cuales ya se han explicado en el apartado anterior.El proceso de resolucin de un sistema de ecuaciones mediante elmtodo grficose resume en las siguientes fases:Resuelva el siguiente sistema por grfica: x + y = 6002x - y = 01.-Se despeja la incgnitayen ambas ecuaciones. y = -x + 600 y = 2x2.-Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.

3.-Se representan grficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

SustitucinResolver el siguiente sistema por sustitucin: 1.-Despejamos una incgnita en una de las dos ecuaciones. La que veamos ms fcil.

2.-Sustituimos en la otra ecuacin la incgnita despejada.

3.-Resolvemos la ecuacin resultante, que es de primer grado y obtenemos el valor de una de las incgnitas.

4.-Sustituimos el valor obtenido en la ecuacin despejada al principio para obtener el valor de la otra incgnita.

5.-Comprobamos los resultados sustituyendo las valores de x e y en las dos ecuaciones para ver si se cumplen.

Reduccin, suma resta o eliminacin GaussianaConsiste en conseguir que al sumar las dos ecuaciones del sistema resulte una ecuacin con una sola incgnita.Para ello ser necesario multiplicar los dos miembros de una ecuacin y en algunos casos los de las dos ecuaciones por nmeros convenientes para que en las dos ecuaciones los coeficientes de una de las incgnitas sean nmeros opuestos.

Resolver el siguiente sistema por reduccin:

a) Reduciendo las x1.- Si queremos eliminar las x necesitamos tener el mismo nmero de x en las dos ecuaciones y deben estar cambiadas de signo. Para conseguirlo, como en la 1 ecuacin tenemos una x y en la 2 tenemos 3x, debemos multiplicar la 1 ecuacin por -3 para conseguir el mismo nmero y que estn cambiadas de signo.

2.-Calculamos el valor de la otra incgnita sustituyendo el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones.

b) Reduciendo las y1.- En la primera tenemos 2y y en la segunda una y, estn cambiadas de signo, si multiplicamos la 2 por 2, ya hemos conseguido tener el mismo nmero.

2.- Calculamos el valor de la otra incgnita sustituyendo la de x en las dos ecuaciones.

3.- Comprobamos.

IgualacinResolver por igualacin el sistema:1.- Despejamos la misma incgnita en las dos ecuaciones.

2.-Igualamos las dos expresiones.

3.- Resolvemos la ecuacin resultante y obtenemos el valor de una de las incgnitas.

4.- Sustituimos el valor de la incgnita obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones despejadas al principio para obtener el valor de la otra incgnita.

DeterminantesUn determinante es un nmero que est asociado con una matriz cuadrada. Para cualquier matriz cuadrada A, el smbolo Arepresenta el determinante de A.En los determinantes las operaciones se realizan de manera que se cruzan diagonales multiplicando los valores.Es decir, se multiplica ab - dc y el resultado se divide entre el otro por el determinante.El mtodo de usar determinantes para resolver sistemas de ecuaciones recibe el nombre de regla de Cramer, en honor al matemtico del siglo XVII Gabriel Cramer.Use la regla Cramer para resolver : 4x 3 = 6 -2x + 5y = 4El valor de x es el cociente de dos determinantes. El determinante del denominador se forma con los coeficientes de x e y:D= 4 -3 -2 5Para despejar x, formamos el determinante del numerador a partir del determinante del denominador sustituyendo su primera columna (los coeficientes de x) con la columna de consonantes (6 y 4).Para despejar y, formamos el determinante del numerador a partir del determinante del denominador sustituyendo la segunda columna (los coeficientes de y) con la columna de consonantes (6 y 4).

Para hallar los valores de x e y, evaluamos cada determinante:

La solucin de este sistema es (3, 2). Se sustituye los valores de las incgnitas en las ecuaciones originales.6.- Problemas de enunciado del lenguaje comn que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales de 2 variables.La resolucin de problemas tiene, bsicamente, dos fases:1. En primer lugar,realizar el planteamiento del problema, o sea, traducir el enunciado, el texto escrito, al lenguaje algebraico que es lenguaje de las matemticas donde aparecen nmeros, incgnitas y signos.2. En segundo lugar, realizar las operaciones necesarias de preparacin ysolucionar la ecuacin de segundo grado.Normalmente, las mayores dificultades aparecen en la primera fase, el planteamiento, ya que, generalmente, el sistema que hay que solucionar en la segunda fase suele ser sencillo.No existe ninguna receta mgica para plantear problemas, se trata bsicamente de una cuestin de prctica. Como consejo, podemos decir que hay que intentar ceirse a lo que dice el enunciado, tratar de traducir exactamente el mensaje que nos transmite y no intentar buscar complicaciones donde no existen.a) Cmo plantearlos?1. Determinar lo que se pide hallar en el enunciado e introducir una variable para representar la cantidad desconocida. Algunas palabras claves como, qu, cuntos, y encontrar, sealan la cantidad desconocida. 2. Buscar relaciones matemticas entre las cantidades conocidas y desconocidas. 3. Algunas palabras proporcionan claves lingsticas de posibles igualdades y operaciones. 4. Escribir las relaciones mediante expresiones algebraicas. 5. Tratar de escribir alguna cantidad de dos maneras distintas, lo que producir una ecuacin. 6. Resolver la ecuacin o inecuacin usando las tcnicas formales disponibles. 7. Traducir la solucin matemtica encontrada al lenguaje original del problema. 8. Evaluar la solucin Has encontrado lo que se peda? Tiene sentido la respuesta?b) Resolver el problemaEn base al planteamiento, se resuelve el sistema de ecuaciones. Hay problemas que se pueden resolver con una, dos, tres o ms variables. Se puede resolver mediante el mtodo que se quiera.c) Interpretar los resultadosAl tener las respuestas de nuestras ecuaciones, debemos traducirlas al lenguaje del problema, esto quiere decir, al lenguaje comn. Ejemplos

7.- Sistemas de ecuaciones de primer grado con tres variables.a) Eliminacin Gaussiana1.-Ponemos comoprimera ecuacinla que tenga el cmocoeficiente de x: 1 -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.

2.-Hacemosreduccin con la 1 y 2 ecuacin, paraeliminarel trmino enx de la 2 ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:E'2= E2 3E1

3.-Hacemos lo mismo con la ecuacin1 y 3 ecuacin, paraeliminarel trmino enx.E'3= E3 5E1

4.-Tomamos las ecuaciones2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin yeliminarel trmino eny.E''3= E'3 2E'2

5.-Obtenemos el sistema equivalenteescalonado.

6.-Encontrar las soluciones. z = 1

y + 4 1 = 2y = 6

x + 6 1 = 1x = 4

b) Sustitucin2x y + z = -3Resuelve el sistema por sustitucin: 3x + 2y z = 1 x 3y + 2z = -61.-Despejar una incgnita cualquiera de una de las ecuaciones. Se escoge z de la primera ecuacin. Al resultado se le llamar Ecuacin 42x y + z = -3z= -3 -2x + y2.- Se sustituye la Ec. 4 en las dos ecuaciones que no se han utilizado.Ecuacin 2: Ecuacin 3:

Al resultado de esta ecuacin le llamaremos Ecuacin 5Al resultado de esta ecuacin le llamaremos Ecuacin 6

3.-Tenemos ahora dos ecuaciones con 2 incgnitas (x, y). Solucionamos este sistema sustituyendo, seleccionamos una incgnita de este nuevo sistema para despejarla y luego sustituir en la otra ecuacin. Seleccionamos a y. Al despeje le llamaremos Ecuacin 7

4.- Vamos a sustituir la Ec. 7 en la Ec. 6.

5.- Vamos a utilizar el valor de x para encontrar a y, sustituyendo en la ecuacin 7.

6.- Con los valores encontrados de x e y, se sustituyen en le ecuacin 4 para encontrar el valor de z

7.- Comprueba los resultados sustituyendo los valores en las incgnitas en las primeras tres ecuaciones.

c) IgualacinTenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

1.-Elegimos una de las tres incgnitas y la despejamos en las 3 ecuaciones.

2.-De las 3 ecuaciones se tienen que elegir 2 (cualquiera) y se igualan. En este caso, elegimos la primera y la segunda.

Vemos que, al igualarlas, quedaron solo dos incgnitas, finalmente despejamos una de ellas (elegiremos P), a este resultado le denominamos A.3.-Ahora tomamos la ecuacin que no se haba utilizado (la 3) y la igualamos con alguna de las otras dos, tomaremos la 1.

4.-Nuevamente quedaron 2 incgnitas, de ellas despejamos la misma que se despej antes (la P), al resultado lo denominamos B.5.-Igualamos A con B y, de esa manera, obtenemos el valor de Y.

7.-Para obtener el valor de P, reemplazamos a la Y por el valor hallado en A o en B (escogeremos B).

8.-Finalmente, para obtener el valor de X, reemplazamos la Y y la P por sus valores en cualquiera de las 3 ecuaciones iniciales. (Utilizamos la 1).

d) Determinantes o Regla CramerTenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

1.- Ordenar el sistema de ecuaciones. En el caso que presentamos, el sistema ya est ordenado, esto quiere decir que el primer trmino tiene a la incgnita x, el segundo trmino tiene la incgnita y, y el tercer trmino tiene a la incgnita z.2.- Escribimos los coeficientes que acompaan a las incgnitas de las ecuaciones junto con su trmino independiente (resultado de cada una de las ecuaciones).Esta es nuestra representacin matricial de nuestro sistema de ecuaciones.

La regla de Cramer nos dice que x va a ser igual al determinante total de X sobre el determinante total del sistema, y va a ser igual al determinante total de Y sobre el determinante total del sistema y z va a ser igual al determinante total de Z sobre el determinante total del sistema.

Las determinantes las vamos a tomar de la representacin matricial anterior.3.- Calculamos el determinante total del sistema, que se toman de las tres primeras columnas del sistema matricial, es decir, las filas de las incgnitas. Empleando la Regla de Sarrus, vamos a tomar las dos primeras filas y a reescribirlas abajo. Luego, vamos a multiplicar en forma diagonal, las diagonales en blanco van a sumar, y las diagonales en amarillo, van a restar. Se realizan las operaciones.

4.- Calcular el determinante de x, empleando el mismo modo que el que se utiliz anteriormente, solo que esta vez tomaremos la columna de y, z y de los trminos independientes, quedando as:

Dejamos las columnas de y y de z exactamente igual. Usamos nuevamente la regla de Sarrus y calculamos el valor.

5.- Calcular el valor de la determinante de y. Sustituimos la columna de y por la columna de trminos independientes. Sera de esta manera:

Utilizamos nuevamente la regla de Sarrus para resolver la determinante.

6.- Calculemos el valor del determinante de z, cambiando la columna de sta por la de los trminos independientes, quedando de la siguiente manera:

Usamos nuevamente la regla de Sarrus.

6.- Al tener ya todos los determinantes podemos encontrar las soluciones para x, y y z.

7.- Sustituir los valores encontrados en las ecuaciones originales.

8.- Ejemplificar problemas de enunciado que planteen sistemas de ecuaciones de primer grado con tres variables.Como en todo planteamiento de problemas con ecuaciones, debemos de tener en cuenta las siguientes cosas:1.- Entender el problema: debemos leer detenidamente el enunciado del problema, para entender bien tanto lo que en l se describe como la pregunta que se nos plantea. De qu datos disponemos? Cmo podemos relacionarlos? Hemos resuelto algn problema similar anteriormente? Qu expresiones y clculos matemticos vamos a necesitar?2.- Planificar: tenemos que buscar las incgnitas adecuadas y relacionarlas con los datos conocidos. A continuacin, planteamos las ecuaciones, para lo cual hay que expresar en lenguaje algebraico la informacin proporcionada.3.- Realizar los clculos: resolvemos las ecuaciones.4.- Comprobar: comprobamos que las soluciones obtenidas sea correctas y conforme al enunciado y a la situacin del problema planteado. Revisamos todo el proceso.EjemploUn cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 por 24 l de leche, 6 kg de jamn serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artculo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamn cuesta igual que 4 l de aceite ms 4 l de leche.LechexJamnyAceitez

9.- Breve sntesis desde la introduccin hasta el captulo 9, del libro El hombre que calculaba (Malba Tahan)Trata sobre un hombre que, en su camino hacia Bagdad, encuentra a otro hombre de nombre Berems, quien contaba cifras enormes de todas las cosas que se encontraba. Al conocerse, Berems le cuenta al viajero su historia del por qu contaba grandes cifras, dicindole que trabajaba para su jefe cuidando sus ovejas, y para no perderlas las contaba una por una, pero eso no le era suficiente, as que comenz a contar las parvadas de las aves, las hojas de los rboles, etc. El viajero qued asombrado y decidi seguir su viaje hacia Bagdad junto el hombre que calculaba, presentndose numerosas ocasiones donde Berems demuestra su intelecto de una excelente habilidad con los nmeros, como es cuando se encuentran a los 3 hombres peleando por la herencia de los 35 camellos, la reparticin de la deuda por el pan que sucedi con un hombre que se haban encontrado en el camino muriendo, el problema de los 21 vasos, el camello robado, descubierto por la geometra, y ms problemas que, este hombre calculista, resuelve sin problemas.

ConclusionesLa unidad 1 del curso Matemticas II se ve todo lo que tiene que ver con las ecuaciones lineales de primer grado, tanto desde sus conceptos generales, hasta los mtodos de solucin a cada sistema de ecuaciones.El principal objetivo de la unidad era conocer el cmo podemos emplear estos mtodos para resolver problemas de la vida diaria, conociendo el lenguaje matemtico y traducirlo al lenguaje comn.Aprend a plantear problemas y encontrar la mejor manera para resolverlo, as como nuevos mtodos de soluciones a diferentes sistemas de ecuaciones, como es el ejemplo de los sistemas de ecuaciones 3x3, expresarme verbalmente y por escrito en situaciones susceptibles de ser tratadas matemticamente, comprendiendo y manejando trminos, notaciones y representaciones matemticas.

Bibliografa

ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES: http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/ecuaw.htmSistemas de ecuaciones lineales con 2 incgnitas: http://www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htmEcuaciones lineales con 2 variables: http://www.ehowenespanol.com/son-ecuaciones-lineales-variables-info_181427/Sistema de ecuaciones, mtodo grfico (imagen): http://www.x.edu.uy/sistemalineal3.gifTema 2.- Determinantes: http://cvb.ehu.es/open_course_ware/castellano/tecnicas/fundamen_mate/contenidos/teoria/documentos-pdf/determinantes.pdfSistema de tres ecuaciones con tres incgnitas: http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/gauss.html(VIDEO) YouTube Solucin de un sistema de ecuaciones 3x3 por regla de cramer:https://www.youtube.com/watch?v=jzIqEehDwp4(VIDEO) YouTube Solucin de un sistema ecuaciones 3 x 3 por el mtodo de sustitucion: https://www.youtube.com/watch?v=eQPVi1NTYo0Sistemas de tres ecuaciones. Mtodo de resolucin por igualacin: http://sistemastresecuacionesegb73.blogspot.mx/2009/03/sitio-en-construccion.htmlRees- Sparks (s/f) lgebra Contempornea. Dcima edicin. McGraw HillDe Oteyza, Hernndez, Lam (1996) lgebra. 1 edicin. PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA, S.A.Gustafson, R. David y D. Frisk, Peter (2006) lgebra intermedia. 7 edicin. Cengage Learning