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PROYECTO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO
DE UNA TURBINA EÓLICA DE EJE VERTICAL
(AÑO 2010)
AUTOR: VICENTE P. CAPITANI
INGENIERO MECÁNICO AERONÁUTICO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
2
RESUMEN
Este trabajo culminado en el año 2010 consiste en el diseño y construcción de un
Generador Eólico de Eje Vertical (VAWT) que pueda autoarrancar con una velocidad
del viento igual o menor a los 3𝑚
𝑠 y que entregue una potencia mecánica al eje entre :
0.2Kw ≤𝑃𝑚𝑒𝑐≤ 1.5 Kw a con velocidades de viento en el siguiente rango 3𝑚
𝑠≤ 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 ≤
10𝑚
𝑠 .
Como primer paso se ha efectuado un pormenorizado estudio de trabajos realizados por
otros investigadores sobre este tipo de turbinas. A medida que se fue adquiriendo
experiencia y mediante análisis más exhaustivos de la bibliografía existente sobre el
particular y las pruebas de campo del primer prototipo construido, se advierte que el
empleo de perfiles alares simétricos como los de la familia NACA no producen el
torque necesario para el auto arranque. Por ello resulta extraño que en varias
Universidades del mundo se continúen realizando investigaciones con este tipo de
perfiles alares u optimizaciones de los mismos. Como consecuencia de esto se decidió
como alternativa, probar con un sistema hibrido constituido por un generador Savonius y
otro H- Darrieus; siguiendo también la experiencia a nivel mundial de desarrollo de este
tipo de generadores de eje vertical (VAWT). Combinación que tampoco resulto positiva
como se expondrá más adelante.
Con los estudios efectuados sobre la compleja aerodinámica, a todas luces no
estacionaria; se decide realizar una investigación más específica sobre la utilización de
perfiles asimétricos como el diseñado por Michael Selig: el S1210, tomando en cuenta la
recomendación efectuada en su Tesis Doctoral por Brian K. Kirke.
Además teniendo en cuenta la escasa velocidad de rotación de estos generadores eólicos
y el hecho de no fabricarse en el país generadores eléctricos que entreguen la potencia
requerida a tan pocas revoluciones por minuto y a la imposibilidad de importarlos por
las regulaciones que impedían estas transacciones, se decide diseñar y construir un
generador de imanes permanentes de flujo axial (AFPMG).
En lo que sigue se analiza la secuencia efectuada en ambos procesos y se acompaña
con las distintas formulaciones matemáticas empleadas en el mismo.
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ANEXOS:
Anexo I El fenómeno de la transición de la capa limite laminar a turbulenta.
Anexo II El flujo no estacionario en las turbinas de eje vertical.
Anexo III Análisis del factor de interferencia
Anexo IV Calculo de los coeficientes aerodinámicos entre ángulos de ataque ±900
Anexo V Diseño de un generador eléctrico de imanes permanentes de flujo axial
Anexo VI Fotografías
NOMENCLATURA
𝑎,𝑎0 Amplitudes de las ondas de Tollmien-Schlichting
𝑎𝑑 Factor de interferencia (downwind) (Anexo III)
𝑎𝑢 Factor de interferencia (upwind) (Anexo III)
A Área frontal de la turbina 𝐴𝑖 Coeficientes del Método de Beddoes-Leishman (Anexo II)
𝐴𝑖𝑚𝑎𝑛 Área de un imán (Anexo V)
𝐴𝑅 =𝑙2
𝑆 Relación de aspecto
AWG American Wire Gauge
𝐵 Inducción magnética (Anexo V)
𝐵𝑝 Valor pico del flujo en el núcleo de aire del estator (Tesla) (Anexo V)
𝑏𝑖 Coeficientes del Método de Beddoes-Leishman (Anexo II)
𝑏𝑙𝑔 Máximo y mínimo valor extradós y el intradós del perfil
𝐶𝑑 Coeficiente de resistencia
𝐶𝑑𝑖𝑛𝑑 Coeficiente de resistencia inducida
𝐶𝑑𝑓𝑑𝑦𝑛
Coeficiente de resistencia viscosa 𝐶𝐷 Coeficiente de disipación 𝐶𝑑0
Coeficiente de resistencia mínimo
𝐶𝑑0𝑏 Coeficiente de resistencia del brazo
𝑐𝑓 Coeficiente de fricción
4
𝐶𝑙 Coeficiente de sustentación 𝐶𝑙
𝑐 Coeficiente de sustentación de origen circulatorio (Anexo II)
𝐶𝑙𝑚 Coeficiente de sustentación relacionado con fuerzas de masa
𝐶𝑙𝑝 Coeficiente de sustentación no estacionario para flujo adherido
al perfil alar
𝐶𝑙𝑠𝑡 Coeficiente de sustentación con distintos niveles de adherencia
en placas planas (Kirchoff)
𝐶𝑙90 Coeficiente de sustentación a 𝛼 = 90°
𝐶𝑙𝑑𝑦−𝑡𝑜𝑡
Coeficiente de sustentación total incluyendo el efecto del
vórtice (Anexo II)
𝐶𝑙𝛼 Pendiente de sustentación
𝐶𝐿𝑚𝑎𝑥 Coeficiente de sustentación máximo
𝐶𝑙𝑑𝑦
Coeficiente de sustentación relacionado con la pérdida
dinámica 𝐶𝑙
𝐶𝑑 Relación sustentación y resistencia aerodinámicas del
perfil
𝐶 𝑚 Coeficiente de momento
𝐶𝑃 Coeficiente de potencia
𝐶𝑃𝑚𝑎𝑥 Coeficiente de potencia máximo
𝐶𝑞 Coeficiente de torque total
𝐶𝑇 Coeficiente de torque de las palas
c Cuerda alar
𝐶𝑚 Cupla motriz
𝐶𝑚𝑟 Cupla motriz resistente
𝐷𝑒 Diámetro del estator del generador eléctrico (Anexo V)
𝐷𝑅 Diámetro del rotor del generador eléctrico (Anexo V)
𝐸𝑚𝑎𝑥 Fuerza electromotriz de una fase del generador eléctrico (Anexo V)
𝑓𝑐 Factor de Corrección
𝐹𝐶 Parámetro de Swafford
𝑓𝑠𝑡(𝛼) Función de la separación de la capa limite en porcentajes de la
cuerda alar
𝑓𝑒𝑙𝑒𝑐 Frecuencia eléctrica
Femm 4.2 Finite Element Method Magnetics: OctaveFEMM (Anexo V) 𝑓𝑚 Frecuencia mecánica (Anexo V)
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𝐹𝑇 Fuerza tangencial
𝐹𝑁 Fuerza normal
𝐹𝐷 Fuerza resistente aerodinámica de los brazos
G Parámetro de forma de Clauser
ℎ Desplazamiento vertical (Anexo II)
𝐻 =𝛿∗
𝜃 Parámetro de forma (Anexo I) e Intensidad del campo magnético
(Anexo V)
𝐻𝑘 Parámetro de forma cinemático
𝐻∗ =𝜃∗
𝜃 Parámetro de forma (relación entre espesor de la energia
cinética y el de la cantidad de movimiento)
𝐻∗∗ =𝛿∗∗
𝜃 Parámetro de forma (relación entre espesor de densidad y
espesor de la cantidad de movimiento)
𝐾 =𝜔.𝑐
2𝑈𝑒 Frecuencia reducida
𝑘𝑑 Factor de distribución (𝑓𝑐)
𝑘𝑝𝑐 Paso polar de una bobina
𝐿 Longitud de las palas (m) e Impedancia Inductiva (Henrios)
𝑙 Distancia que recorre el flujo (distancia entre imanes) 𝑙𝑎 Longitud de la parte activa de cada bobina (Anexo V)
L/D Relación sustentación y resistencia aerodinámicas de las palas
𝑀𝑒 Numero de Mach en el borde exterior de la capa limite 𝑛 Revoluciones por minuto
𝑛𝑐𝑟𝑖𝑡 = ln𝑎
𝑎0 Exponente crítico transición capa limite
laminar/turbulenta (Método 𝑒𝑛 ) N Numero de palas de la turbina
𝑁𝑏 = 0.875 𝑝 Relación entre número de bobinas y polos (Anexo V) 𝑁𝑒 Numero de espiras de la bobina (Anexo V)
NREL National Renewable Energy Laboratory
𝑝 Numero de polos (Anexo V)
𝑃𝑡𝑟𝑖𝑓 Potencia trifásica (Anexo V)
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𝑝𝑢+
, 𝑝𝑢−
Presión aguas arriba y abajo del actuador (Anexo III) PRFV Plástico Reforzado con fibra de Vidrio
Q Número total de bobinas (Anexo V)
q Numero de bobinas por fase ( 𝑄
3)
QBLADE Software de diseño y simulacion de turbinas eolicas
𝑟𝑙𝑒 Radio del borde de ataque del perfil
𝑟𝑒 Radio promedio del bobinado (Anexo V)
R Radio de la turbina
𝑅𝑒 =𝜌𝑉𝑐
𝜇 Número de Reynolds
𝑅𝜃 =𝜌𝑉𝜃
𝜇 Numero de Reynolds respecto al Espesor de
Desplazamiento (Anexo I)
RPM Revoluciones por Minuto
S Superficie de c/pala
𝑆𝑖 Superficie ocupada por los imanes (Anexo V)
𝑆𝑐 Superficie total de la corona circular (Anexo V)
𝑆𝑤𝑒𝑡𝑡𝑒𝑑 Superficie “mojada” de los brazos
𝑠 = 2𝑈𝑒
𝑐t Tiempo adimensional (Anexo II)
𝑠𝑑𝑒𝑣 Desviación standard 𝑡
𝑐 Espesor con respecto a la cuerda
𝑇𝑢 =𝑠𝑑𝑒𝑣
𝑉𝑎𝑣𝑔 Turbulencia del viento
𝑢’ ,𝑣 ’ Velocidades de perturbación
𝑢’ , 𝑣 ’ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ Tensiones de Reynolds
𝑈𝑒 Velocidad en el borde de la capa limite
𝑉𝑎𝑣𝑔 Velocidad promedio
𝑉𝑏 Fuerza electromotriz de una bobina
𝑉𝑟𝑒𝑙 Velocidad relativa
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𝑉𝑟𝑒𝑙𝑏 Velocidad relativa sobre los brazos
𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 Velocidad del viento
𝑉𝑢 , 𝑉𝑒 Velocidades en las cercanías del actuador (upwind) actuador
(Anexo III)
𝑉𝑑 ,𝑉𝑤 Velocidades en las cercanías del actuador (downwind)
actuador (Anexo III)
𝑉𝜙 Valor Medio Cuadrático (RMS) de la tensión de fase (Anexo V)
ω Corriente descendente (Anexo II)
XFOIL Programa de diseño y análisis de perfiles alares (FORTRAN)
XFLR5 XFOIL con Lenguaje de Programación C⁺ ⁺
𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋𝐿 Impedancia total del generador (Anexo V)
SIMBOLOGÍA
𝛼 Angulo de ataque
𝛼𝑔𝑒𝑜𝑚 =120º
𝑝
2
Angulo de separación física o geométrica entre cada bobina de una
fase con la de la otra fase (Anexo V)
�̇� Derivada de α con respecto al tiempo (Anexo II)
𝛼𝑓𝑞𝑠 Angulo de ataque cuasi estacionario (Anexo II)
𝛽 = √1 − 𝑀∞22
Parámetro de Clauser gradiente de presión (Anexo I)
δ Espesor de la capa limite (Anexo I)
δ* Espesor de desplazamiento (Anexo I)
𝛿∗∗ Espesor de densidad (Anexo I)
𝛿1 Efecto del radio de curvatura del borde de ataque del perfil
(Anexo IV)
𝛿2 Impacto que tiene la combadura del perfil (Anexo IV)
∆𝜽 Incremento de ángulo azimutal de rotación de la turbina
ξ,η Sistema de coordenadas sobre el perfil alar
휀 Fuerza electromotriz eficaz de una espira(Anexo V)
𝛾𝑡𝑟 Factor de intermitencia de la transición (Anexo I)
θ Espesor de la cantidad de movimiento y ángulo azimutal
𝜃∗ Espesor de la energia cinética (Anexo I)
𝜃𝑒𝑙𝑒𝑐 =𝑝
2𝜃𝑚𝑒𝑐 Relación entre ángulo eléctrico y mecánico (Anexo V)
𝜎 =𝑁𝐶
2𝜋𝑅 Solidez de la Turbina
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λ Relación entre la velocidad angular de las palas y la del
viento
𝜆𝜃 =𝜃2
𝜈
𝑑𝑢𝑒
𝑑𝑥 Parámetro de Thwaites (Anexo I)
𝛬𝜃 =𝜃
𝜌𝑈𝑒2𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝑃𝑒
𝑑𝑥 Parámetro de presión (espesor de cantidad de movimiento)
𝜌 Densidad del aire
𝜇 Viscosidad del aire
𝜅 =𝑙
𝑅 Relación de aspecto de la turbina
𝜔 = 2𝜋𝑓 Velocidad angular de rotación
φ Función potencial
ψ Función de corriente
𝜏𝑤 Tensión de fricción sobre la superficie del perfil (Anexo I)
𝜏𝑝 Paso polar (Anexo V)
𝜏𝑐 =2
3𝜏𝑝 Relación entre el paso de las bobinas y de los imanes (AnexoV)
𝜇0 Permeabilidad Magnética en el vacío
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CONTENIDO
1.-INTRODUCCION
2.-OBJETIVOS
3.-CONSTRUCCIÓN DE PROTOTIPOS Y PRUEBAS DE CAMPO
4.-DISEÑO DE LA TURBINA DEFINITIVA
5.-SIMULACIÓN NUMÉRICA
6.-CONCLUSIONES
1.-INTRODUCCIÓN
En la actualidad con una incorporación masiva de aparatos de confort en los hogares, lo
que aunado al incremento del uso de tecnologías de información, han impulsado los
requerimientos de suministros de energía cada vez mayores. En otras palabras el
consumo eléctrico en los hogares crece sin límites a la vista.
Como en nuestro país las inversiones de largo plazo necesarias para incrementar la
oferta de energía son prácticamente muy bajas en relación con el incremento de la
demanda, cabe esperar no solo escasez del fluido eléctrico sino que también una
elevación de los precios del Kwh.
El sector eléctrico en Argentina por sus dimensiones se constituye en el tercer mercado
energético de América Latina. Depende principalmente de la generación térmica (54%
de la capacidad instalada) y de la generación hidroeléctrica (41%):
En la Argentina existen tres represas responsables del mayor porcentaje de energía
eléctrica producida a partir del aprovechamiento del agua:
Yacyretá. Está situada sobre el río Paraná y es una obra binacional, compartida con
Paraguay. Si bien el objetivo principal es generar energía eléctrica, también fue diseñada
para mejorar la navegación del Paraná y el desarrollo del riego. Es la represa más grande
de la Argentina y una de las más importantes de América latina. Comenzó a funcionar
en 1994.
El Chocón. Este complejo hidroeléctrico, que se terminó de construir en 1973, está
formado por dos centrales: el Chocón y Arroyito. Se sitúa sobre el río Limay y su
embalse es el más grande del país, con una superficie de 816 km2 (mayor que el lago
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Nahuel Huapi). Su capacidad de producción cubre el 25% de la potencia instalada del
territorio nacional.
Salto Grande. Se encuentra sobre el río Uruguay, aguas arriba de la localidad de
Concordia (Entre Ríos) y Salto (Uruguay). Esta represa se construyó aprovechando un
desnivel natural del río. La obra se inició en 1974 y comenzó a generar electricidad en
1979. La energía producida se comparte en partes iguales con Uruguay.
Existen diferentes proyectos como Corpus (2.280 MW), Garabí (750 MW), Paraná
Medio (3.000 MW) y la serie de represas del Aprovechamiento Integral del Río Bermejo
(280 MW). Las represas del Bermejo implicarán la inundación de áreas protegidas en la
Provincia de Salta, en tanto Paraná Medio es un proyecto resistido por las provincias del
litoral y la represa de Corpus ya ha sido rechazada en un plebiscito por la población de
la Provincia de Misiones. Todos estos proyectos son altamente conflictivos y de difícil
realización.
La energía nuclear que solo cubre el 9% del suministro eléctrico del país, tras no haber
logrado establecerse como una fuente de energía limpia, económica, segura y confiable
se encuentra en un estado de deterioro prácticamente terminal. Los permanentes
problemas ocasionados por la gestión de desechos nucleares en materia económica y
de seguridad, así como la amenaza de la proliferación de armas nucleares, han
socavado gravemente la credibilidad de esta industria.
En un intento por recuperar el apoyo de los gobiernos y la opinión pública, la industria
alega que, como las centrales eléctricas nucleares no emiten dióxido de carbono, el
principal gas de invernadero,
La energía atómica puede desempeñar un papel significativo como respuesta al cambio
climático. Sin embargo, hasta el análisis más superficial demuestra que la energía
nuclear no tiene nada que ofrecer. De hecho, cualquier inversión en el sector energético
nuclear postergaría en menor o mayor medida las verdaderas soluciones para combatir la
amenaza del cambio climático.
Las nuevas tecnologías basadas en las energías renovables están muy poco
desarrolladas. El país aún tiene un gran potencial solar y eólico sin explotar. Por otro
lado la generación térmica predominante es por combustión de gas natural y que
además se encuentra en riesgo debido a la incertidumbre sobre el abastecimiento futuro
de gas, por la falta de inversiones necesarias para descubrir nuevos yacimientos.
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Ante la creciente demanda de electricidad (más del 6% anual en estimaciones privadas)
y los márgenes de reserva cada vez menores, el Gobierno de Argentina está obligado a
encarar grandes proyectos, tanto en el sector de la generación como en el de la
transmisión.
Se estima que para satisfacer la demanda creciente es necesario aumentar la capacidad
de generación en 1.000 MW por año. Una cantidad importante de estos proyectos es
financiada por el Gobierno, mientras que la iniciativa privada aún es limitada ya que no
se ha recuperado del todo de los efectos de la crisis económica argentina (1999-2002).
La necesidad de aumentar las bajas tarifas residenciales actuales, que habían sido
congeladas como respuesta a la crisis, sigue siendo un problema sin resolver.
Las reformas impuestas a principios de la década de los 90 dividieron el sector eléctrico
en generación, transmisión y distribución. La generación tiene lugar en un mercado
competitivo y mayormente liberalizado, con el 75% de la capacidad de generación en
manos de compañías privadas. Por el contrario, los sectores de la transmisión y la
distribución están altamente regulados y son mucho menos competitivos que el sector de
la generación.
Esto es un breve repaso del cuello de botella que presenta el sector energético en
Argentina y que será a no dudarlo un problema difícil de resolver si no hay intervención
del estado nacional para incentivar la utilización de energías renovables como lo son la
solar, la eólica y la mareomotriz por ejemplo.
De las tres enumeradas anteriormente aparece como mucho más viable la Energia Eólica
debido a que hoy existe en el país la tecnología necesaria para la producción de turbinas
de potencias de entre 1.5 y 2 MWatts, fundamentalmente por la existencia de
Universidades en las cuales se cursan Carreras de Ingeniería Aeronáutica y por la larga
tradición de nuestro país en el ambiente Aeroespacial. Ejemplo de esto son los
generadores Unipower diseñados y construidos por IMPSA. Es decir que es capaz de
completar el círculo virtuoso de la energía eólica que está compuesto, no sólo por la
generación de energía eléctrica limpia y renovable, sino por la creación de empleo en
tecnologías de características aeronáuticas de alto valor agregado.
En la región patagónica, la dirección, constancia y velocidad del viento son tres
variables que presentan un máximo en forma casi simultánea, conformando una de las
regiones de mayor potencial eólico del planeta. Cuando el promedio de vientos es
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superior a 4 m/s (unos 14 Km/h) es posible proyectar el uso del recurso eólico,
alcanzando en la región patagónica promedios entre los 9 y los 12 m/s.
Además de la Patagonia, Argentina cuenta con muy buena calidad de recurso eólico en
diferentes regiones del país. La costa sur de la provincia de Buenos Aires tiene una
calidad de viento comparable con las mejores regiones del norte de Europa pero sin los
problemas de interconexión que tiene la Patagonia. Otro caso similar es el de la región
de Arauco en la Provincia de La Rioja.
No obstante a que lo anteriormente expresado se refiere a generación de energia eólica
de alta potencia, existe además un espectro de posibilidades en la generación de bajas
potencias, para aplicaciones “stand alone” destinadas a unidades habitacionales tanto en
zonas urbanas como rurales.
Estas turbinas tienen como objetivo producir energia eléctrica en zonas rurales donde
la red de distribución está ausente y en las zonas urbanas para reducir el consumo
eléctrico hogareño proveniente de la red pública y de esta manera descargar las mismas.
Este nicho del mercado está muy poco explotado en nuestro país.
Las turbinas de viento representan la manera más conveniente y eficiente de convertir la
energia del viento en primero en mecánica y finalmente en eléctrica.
De acuerdo con la dirección del eje del rotor estas turbinas se clasifican de manera
convencional en dos categorías:
a) Turbinas de eje horizontal
b) Turbinas de eje vertical
Las turbinas de eje horizontal capturan la energía cinética del viento mediante una
tecnología similar a las hélices utilizadas en la propulsión de aviones y su eje de rotación
es entonces paralelo a la dirección del viento. Este tipo de generadores eólicos son los
que predominan en el mercado tanto para las grandes como pequeñas potencias.
No obstante las turbinas de eje vertical son de más fácil fabricación y presentan algunas
ventajas como ser:
a) El generador eléctrico puede ser colocado al pie de la turbina, facilitando con esto
el mantenimiento del mismo.
b) La turbina no necesita mecanismos para posicionarse siempre perpendicular al
viento, ya que le es indistinta la dirección del mismo.
c) Las palas son generalmente rectas, por lo tanto de más fácil construcción y
además el flujo es el mismo a todo lo largo de las mismas y por lo tanto puede
considerarse como bidimensional; lo que facilita muchos los cálculos
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aerodinámicos. El perfil alar a utilizarse es único a todo lo largo de la pala en los
modelos más sencillos.
d) Baja sensibilidad de la turbina a la turbulencia
Como contrapartida su diseño tiene una complejidad superior desde el punto de vista
del diseño aerodinámico, debido a las características no estacionarias del flujo y a la
interacción de las palas entre sí, generando una interferencia en el flujo del aire que
hace muy difícil predecir certeramente las cargas aerodinámicas en cada pala.
2. - OBJETIVOS
La razón del presente trabajo es el diseño, construcción y posterior evaluación de
performances, tanto en procesos de Simulación Numérica como en pruebas de campo de
un Generador Eólico de Eje Vertical (tipo H-Darrieus).
El mismo debería poder entregar un rango de potencias de entre 200 Watts a 1.5 Kwatts
dependiendo esto de la velocidad del viento.
Partiendo de estas premisas, se comenzó a diseñar y construir un prototipo que
siguiendo estudios previos realizados por el Ingeniero Tomas Rubén Calvi Profesor de la
Carrera de Ingeniería Mecánica Aeronáutica de la Universidad Nacional de Córdoba,
que en el año 1986 entrego toda la información sobre los cálculos teóricos por el
realizados hasta ese momento (1).
Además se tomó como base una turbina de eje vertical instalada por la Empresa Ericsson
en el Cerro El Negrito Provincia de Tucumán con el objetivo de alimentar
eléctricamente a una repetidora de radioenlace ubicada en el mencionado cerro. En ese
momento en la Región Noroeste de la Empresa Nacional de Telecomunicaciones, existía
la necesidad de proveer de energía eléctrica a una repetidora de radio enlace en
Localidad de Trancas-Provincia de la Rioja. Para ello se conformó un grupo de trabajo
constituido por Ingenieros de distintas especialidades conducido por mi persona. Debido
a la falta de información específica de flujos de bajo Número de Reynolds se comenzó a
desarrollar una plataforma de cálculo de flujos bidimensionales sobre perfiles alares
mediante el Método de las Diferencias Finitas. El primer paso consistió en desarrollar
una grilla computacional desde el espacio físico al computacional alrededor de un perfil
NACA0015, mediante la resolución de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales de
tipo elíptico, más específicamente la Ecuación de Poisson con términos fuente;
siguiendo los lineamientos; entre otros del trabajo de Sorenson-Steger (1980)(2).La
siguiente figura es un esquemático del proceso(3):
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Figura 1
En esos momentos la única posibilidad de obtener las características aerodinámicas de
perfiles alares era la que se encontraba en el libro de Abbott-Doenhoff (4).Los datos de
Coeficiente de Sustentación (Cl), de Resistencia (Cd) y Momento (Cm) pueden
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visualizarse en los siguientes gráficos:
Grafico 1
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Grafico 2
Este trabajo quedo trunco a fines de 1990.
Se retomó durante el año 2006 el proyecto original pero ahora con el objetivo de
construir una turbina eólica para generación de energía eléctrica destinada a hogares
aislados y sin alimentación de red.
Para ello y con la imposibilidad de utilizar un túnel de viento, se ha empleado como
herramienta única de diseño la Aerodinámica Computacional. Para lograr este objetivo
se utilizó el software XFOIL (5) que puede ser considerado como un Túnel de Viento
Numérico que permite además de diseñar los perfiles alares a utilizar, calcular con
cierta precisión ingenieril sus características aerodinámicas en cierto rango de ángulos
de ataque -5⁰<α<15⁰(6).
XFOIL fue diseñado por primera vez por Mark Drela en el MIT como una herramienta
de diseño para el proyecto MIT Daedalus en la década de 1980. Fue desarrollado en
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colaboración con Harold Youngren. La versión actual es 6,99, lanzada en diciembre de
2013.
Para condiciones post stall se emplearon métodos empíricos de diferentes autores (16,
17, 18, 19, 20 y 21).Este tema está tratado con mayor nivel de detalle en Anexo IV.
Además al existir fenómenos de características no estacionarias en el funcionamiento de
estos generadores, que requieren el diseño de programas específicos de cómputo para el
cálculo de las fuerzas que actúan sobre las palas. Esto está suficientemente explicado en
el Anexo II.
3.-CONSTRUCCION DE PROTOTIPOS, PRUEBAS DE CAMPO Y RESULTADOS
OBTENIDOS
Con la información disponible en un primer momento se decidió construir un prototipo
cuyas características mecánicas y aerodinámicas de la turbina fueron las siguientes:
a) Generador de 3 palas
b) Distancia entre palas y eje: 1.2 (m)
c) Perfil alar NACA 0015
d) Longitud de c/pala: 1.5 (m)
e) Cuerda de c/pala: 0.25 (m)
f) Solidez 𝜎 =𝑁𝐶
2𝜋𝑅= 0.099
La premisa básica era que esta turbina eólica debería ponerse en movimiento a partir de
una velocidad de viento de los 2.5 a 3 m/s y con funcionamiento estable a partir de los
4 m/s.
Dado el rango de potencia teórica disponible, su destino fue la generación de la energía
eléctrica necesaria para una vivienda tipo, de características rurales.
La elección del generador a eje vertical se basó principalmente en su sencillez
constructiva y en su bajo costo de operación, dado que las partes de generación eléctrica
se encuentran en la parte baja de la torre que lo sustenta y por lo tanto accesibles para
cualquier tarea de mantenimiento.
Las palas fueron construidas con Plástico Reforzado con Fibra de Vidrio (PRFV) cuya
tecnología está disponible en la zona.
La siguiente fotografía muestra el prototipo instalado para las pruebas de campo:
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Fotografía 1
Este primer prototipo no tuvo el éxito esperado dado que nunca sobrepaso por sus
propios medios las 25 RPM para vientos en el orden de los 3 a 3.5 m/s. lo que implica
un valor aproximado de λ =1.
Cabe acotar que las mediciones de viento en esas pruebas no eran muy confiables
debido a que no se contaba con una estación meteorológica en ese momento.
Mediante esfuerzo externo y logrando que superase la 40 RPM (λ ≌1.7) lograba por sus
propios medios girar a unas 70 RPM (λ ≌2.1) donde permanencia girando alrededor de
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esta velocidad de giro sin poder nunca superarla. Las explicaciones para tal
comportamiento son varias:
1.-La elección de un perfil simétrico (NACA 0015) con baja relación L/D
2.-La cuerda del mismo de 0.25 m con la que se obtienen Números de
Reynolds muy bajos y la aparición de burbujas de separación laminar
y una pronta transición de flujo laminar a turbulento, que modifican
sustancialmente la forma del perfil y por consiguiente el impacto en las
performances esperadas.
3.-El no carenado de los brazos y por ende con una gran resistencia
parasita
4.-Mala construcción del perfil, especialmente al no respetarse el radio del
borde de ataque.
Los puntos 3 y 4 eximen de mayores comentarios ya que corresponden a la parte
constructiva y pueden ser fácilmente resueltos.
Con el objetivo de lograr el auto arranque decidí incorporar en la parte central de la
turbina un rotor tipo Savonius construido con chapa metálica. Esto aumentaba
considerablemente el peso total de la misma. Esta línea de trabajo era también
recomendada por varios investigadores.
Se utilizó una conformación de dos rotores internos rotados 90°entre si.
Cada uno de los rotores tenía un diámetro de 0.75 𝑚.
Como puede observarse en la fotografía, el resto de los elementos del Generador original
se han mantenido: eje central brazos y perfiles alares. Posteriormente y a los efectos de
reducir la resistencia parasita de los brazos, estos recibieron un carenado:
20
Fotografía 2
A pesar de que el rotor Savonius entregaba el torque suficiente para sobrepasar la
denominada “zona muerta” en vacío (sin el generador eléctrico conectado, las pruebas
de campo que pudieron realizarse no pudieron aportar datos suficientes sobre el
comportamiento de este nuevo prototipo, ya que se vieron interrumpidas bruscamente
por la aparición de fuertes vientos de aproximadamente 40 m/s registradas por el
anemómetro de una Central Meteorológica que se conectó en las proximidades y que
produjeron la destrucción total del mismo; como puede apreciarse en la siguiente
fotografía:
21
Fotografía 3
Teniendo en cuenta la experiencia adquirida se decidió encarar otra etapa de diseño y
cálculo de un nuevo prototipo.
Como paso previo a continuar con un nuevo diseño dotado con un nuevo perfil alar
(Selig S1210) se construyó una maqueta en escala 1/5 como se muestra en la fotografía
siguiente:
22
Fotografía 4
Esta maqueta fue utilizada para pruebas de campo con dos esquemas diferentes:
a) Sometida a un ensayo mediante la utilización de un ventilador tipo industrial que
entregaba una velocidad de 3.5 m/ s.
b) Colocada en la cúpula de una camioneta que se desplazaba a diferentes
velocidades.
En ninguna de las pruebas mostro capacidad para auto arrancar.
Si se tiene en cuenta que el problema principal en este tipo de turbinas eólicas es el
autoarranque y que el Coeficiente de Torque Total (𝐶𝑞) es directamente proporcional al
coeficiente de Torque (𝐶𝑇), al número de palas (𝑁) , a la superficie de cada pala (𝑆) y a
la relación cuadrática de la razón entre velocidad relativa (𝑉𝑟𝑒𝑙) y la del viento (𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑) e
inversamente proporcional a la superficie expuesta al viento de la turbina(𝐴), lo más
aconsejable era empezar con el pre diseño de las dimensiones de sus componentes.
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4.-DISEÑO DE LA TURBINA DEFINITIVA
Con la experiencia hasta el momento adquirida comienza una nueva etapa y que
consistió en el diseño de un tercer prototipo.
Los parámetros fundamentales de diseño considerados son:
a) Dimensiones de la Turbina
b) Elección del perfil alar o diseño del mismo
4.1.- DIMENSIONAMIENTO DE LA TURBINA
En los primeros pasos del diseño de una turbina de eje vertical del tipo H-Darrieus hay
que tener en cuenta ciertos parámetros adimensionales que caracterizaran el diseño del
generador eólico. Estos parámetros son la Solidez (σ) relación entre la velocidad de
rotación y la del viento (λ), además la relación de aspecto 𝜅 =𝑙
𝑅 , siendo l la longitud de
las palas del generador.
El primer parámetro tiene distintas expresiones matemáticas, según distintos autores que
han realizado trabajos de investigación sobre este tipo de máquinas:
La mayoría emplea la siguiente expresión:
𝜎 =𝑁.𝑐
𝑅
Otros en cambio se inclinan por considerar la relación entre el área que ocupan las palas
y la superficie frontal de la turbina:
𝜎 =𝑁.𝑐
2𝑅
En este trabajo se introduce otra manera de definir σ, considerando que se trata de una
estructura tridimensional y no bidimensional como en los casos anteriores, por lo que se
considera que la expresión más adecuada es la siguiente:
𝜎 =𝑁.𝑐
2𝜋𝑅
Este parámetro es de fundamental importancia, ya que condiciona al otro parámetro
enunciado (λ) debido a la interferencia que producen las palas entre sí. El análisis de la
interferencia es tratado con mayor profundidad en el Anexo III.
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Lo que puede decirse en esta etapa es que este Factor de Interferencia impacta
directamente en el ángulo de ataque (α) que ve una pala en un ciclo completo.
En los gráficos 3 y 4 puede observarse los ángulos de ataque calculados de manera
teórica y teniendo en cuenta la interferencia.
Grafico 3
25
Grafico 4
Por lo tanto el Tomando en cuenta los parámetros básicos de diseño vistos anteriormente
(σ, λ) se debería contar con una mayor solidez para lograr el torque necesario para el
auto arranque, por lo que se hace necesario incrementar no solo de numero de palas sino
también su cuerda.
Por lo tanto y teniendo en cuenta que a mayor solidez disminuye el valor del parámetro
λ al cual se consigue el 𝐶𝑝𝑚𝑎𝑥 , se debe partir por lo tanto de las siguientes premisas:
a) Obtener un 𝐶𝑝𝑚𝑎𝑥 = 0.50
b) El 𝐶𝑝𝑚𝑎𝑥 se consigue para un λ=2.25
c) Diseñar una turbina de mayor solidez incrementando la
cuerda del perfil de 0.25 a 0.4 m impactando favorablemente en el Numero de
Reynolds
d) Además incrementar aún más la solidez pasando de 3 a 5 palas
26
Es conveniente luego de tomadas estas decisiones básicas estimar las dimensiones
geométricas más convenientes para este caso: una Turbina Eólica de una potencia
estimada de 1.5Kw para un viento de 10 m/s.
Si despejamos de la expresión (1) el radio de la turbina teniendo en cuenta la solidez:
𝜎 =𝑁.𝑐
2𝑅 (1)
𝑅 =𝑁.𝑐
2.𝜎 (2)
Como:
𝜆 =𝜔.𝑅
𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 (3)
𝜔 =𝜆.𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑
𝑅 (4)
La otra variable a determinar es el largo de las palas (l).Para ello se tiene en cuenta la
siguiente expresión de la potencia mecánica del generador;
𝑃 =1
2. 𝜌. 𝐶𝑝𝑚𝑎𝑥. 𝐴. 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑
3 (5)
Donde:
𝐴 = 2. 𝑅. 𝑙 (6)
𝑃 =1
2. 𝜌. 𝐶𝑝𝑚𝑎𝑥. 2. 𝑅. 𝑙. 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑
3 (7)
𝑙 =𝑃
𝜌.𝐶𝑝𝑚𝑎𝑥.𝑅.𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑3 (8)
Teniendo en cuenta que la variable inicial a considerar es la solidez (σ) aplicando las
expresiones anteriores se obtiene la siguiente tabla para una potencia de 1.5 Kw:
27
rpm σ r=N.c/2*σ λ l
200 0.93 1.07 2.09 1.78
210 0.98 1.02 2.20 1.87
220 1.02 0.98 2.30 1.96
230 1.07 0.93 2.41 2.05
240 1.12 0.90 2.51 2.13
250 1.16 0.86 2.62 2.22
260 1.21 0.83 2.72 2.31
270 1.26 0.80 2.83 2.40
280 1.30 0.77 2.93 2.49
290 1.35 0.74 3.04 2.58
300 1.40 0.72 3.14 2.67
Tabla 1
Nota: Lo resaltado corresponde al prototipo construido
La relación de esbeltez 𝐴𝑅 =𝑙
𝑅 impacta en la eficiencia aerodinámica de la turbina: a
menor valor mayor eficiencia
Como conclusión existen varias alternativas para obtener el diseño definitivo teniendo
en cuenta una combinación de los parámetros anteriormente mencionados. Además es
posible también realizar pruebas colocando las palas del prototipo original con el
intradós hacia afuera.
En los próximos Gráficos puede visualizarse la Rosa de los Vientos y la Distribución de
Weibull con datos de mediciones realizadas con una central Meteorológica Easy
Weather:
28
Grafico 5
Grafico 6
29
5.-SIMULACION NUMÉRICA
Lo siguiente es el desarrollo matemático empleado para el cálculo de las performances
de una turbina eólica de eje vertical del tipo H-DARRIEUS:
Para la obtención de ángulo de ataque real que ven las palas de una turbina eólica de este
tipo es necesario previamente calcular el denominado Factor de Interferencia que como
es evidente tiene fundamental importancia (Anexo III).
Con todos estos datos se diseñó un software para el cálculo de las performances de una
turbina eólica de eje vertical empleando las siguientes expresiones:
𝐹𝐿 =1
2𝐶𝐿𝜌𝑆𝑉𝑟𝑒𝑙
2 - Fuerza de Sustentación (2.1)
𝐹𝐷 =1
2𝐶𝐷𝜌𝑆𝑉𝑟𝑒𝑙
2 - Fuerza de Resistencia (2.2)
Para la aplicación de las expresiones anteriores es conveniente expresar al ángulo de
ataque en función del ángulo de giro azimutal (ver figura 9) y el empleo de una
constante característica de este tipo de turbinas, como es la relación de la velocidad
tangencial de rotación de las palas con respecto a la velocidad del viento (λ):
𝛼 = tan−1 (𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 sin𝜃
(𝜔𝑟+𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 cos𝜃)) (2.6)
λ =ωr
Vwind (2.7)
Dividiendo el numerador y el denominador del segundo miembro de (2.6) por 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑
obtenemos:
r
Figura 2.1
30
𝛼 = tan−1 (sin𝜃
(𝜆+cos 𝜃)) (2.8)
Esta dependencia teórica del ángulo de ataque α, del azimutal θ y del parámetro
adimensional λ están reflejados en los gráficos 3 y 4(caso ideal y con factor de interferencia). De la misma manera la velocidad relativa (𝑉𝑟𝑒𝑙 ) puede expresarse como:
𝑉𝑟𝑒𝑙 = 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑√(𝑠𝑖𝑛2𝜃 + (𝜆 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃)) (2.9)
𝑉𝑟𝑒𝑙 = √(𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 sin 𝜃)2 + (𝜔. 𝑟 + 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 cos 𝜃)2 (2.10)
𝑉𝑟𝑒𝑙 = 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑√(𝑠𝑖𝑛2𝜃 + (𝜆 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃)) (2.11)
Como puede observarse los ángulos de ataque sobre el perfil de las palas exceden en
demasía los que normalmente se encuentran en la aviación general, a excepción de los
que sucede en los aviones acrobáticos y en los de combate aéreo.
Es decir que en condiciones como la del arranque el rango de los ángulos de ataque varía
entre los siguientes valores:-90°≤ 𝛼 ≤ 90°
Por lo tanto existen condiciones de stall y post stall que influyen significativamente en
los coeficientes aerodinámicos y que afectan la performance de este tipo de turbinas.
Otro efecto que influye significativamente es el fenómeno no estacionario conocido
como perdida dinámica (dynamic stall) (Anexo II).
Las fuerzas de sustentación y resistencia pueden por lo tanto ser calculadas en función
de los parámetros y , asumiendo que la velocidad del viento 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 en las
31
inmediaciones de la turbina es aproximadamente constante y que se dispone de los datos
de 𝐶𝑙 y 𝐶𝑑 como funciones del ángulo .
Las predicciones de los valores de 𝐶𝑙 y 𝐶𝑑fueron calculadas inicialmente mediante el
Método de los Paneles 2D para fluido ideal. Por lo tanto no fueron tenidos en cuenta los
efectos de la capa limite y del Número de Reynolds.
Esto constituyo un serio error ya que se consideraron valores del Coeficiente de
Sustentación más elevados que los reales y de manera inversa con el Coeficiente de
Resistencia lo que invalidaba los cálculos de las performances del generador.
Por lo tanto esto resolvía el problema de calcular los coeficientes aerodinámicos en un
determinado rango de ángulos de ataque con cierto nivel de exactitud (-5°≤ 𝛼 ≤ 13°). En la figura siguiente pueden apreciarse las relaciones existentes entre la velocidad del
viento, la velocidad tangencial del ala ω.r y, la velocidad relativa 𝑉𝑟𝑒𝑙 y los angulos α y
θ:
Como se ha visto uno de los parámetros que más influencia tiene sobre la performance
de un generador eólico de eje vertical es la interferencia que producen las palas entre sí
al interactuar con el viento en su giro.
Ese fenómeno es conocido en el análisis de los Generadores Eólicos como Factor de
Interferencia.
En estos primeros pasos del diseño y teniendo en cuenta la relativamente baja solidez
(σ=0.1) de la turbina, se han seguido las pautas del trabajo desarrollado por Gregory F.
Homicz (6)
32
Las fuerzas que actúan sobre las palas de una turbina eólica son las
Siguientes:
𝐹𝑇 =1
2𝐶𝑇𝜌𝑆𝑉𝑟𝑒𝑙
2
𝐹𝑁 =1
2𝐶𝑁𝜌𝑆𝑉𝑟𝑒𝑙
2 (2.12)
Siendo:
𝐶𝑇 = 𝐶𝐿 sin 𝛼 − 𝐶𝐷 cos 𝛼
(2.13)
𝐶𝑁 = 𝐶𝐿 cos 𝛼 + 𝐶𝐷 sin 𝛼
A los efectos de obtener parámetros adimensionales que permitan comparar las
performances de este tipo de turbinas se utilizan los siguientes coeficientes siguiendo un
análisis totalmente teórico y sin que en estas expresiones estén incluidas por ejemplo la
resistencia parasita provocada por los brazos que unen las palas con eje de la turbina:
33
Coeficiente de Potencia
𝐶𝑃 =𝑃
1
2𝜌𝐴𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑
3 (2.14)
Siendo P la potencia generada por la turbina.
El Torque (T) de la turbina se expresa como:
T = FT. r = Cm =1
2CTρNSVrel
2 r (2.15)
P = T.ω =1
2CTρNSVrel
2 ωr
CP =1
2CTρNSVrel
2 ωr
1
2ρAVwind
3 (2.16)
λ =ωr
Vwind (2.17)
CP = CTNS
Aλ (
Vrel
Vwind)2
(2.18)
Se han definido por lo tanto dos parámetros adimensionales de fundamental importancia
para calcular las performances de un generador eólico:𝐶𝑇 y 𝐶𝑃
Se puede ahora definir un tercer parámetro adimensional que defina el Coeficiente Total
de Tracción de la turbina 𝐶𝑄.
De la expresión anterior:
CQ = CTNS
A(
Vrel
Vwind)2
=CP
λ (2.19)
34
Siendo:
A – Área Frontal del Generador (m2)
S – Superficie Alar (m2)
N – Numero de palas
El coeficiente CP mide por lo tanto la potencia mecánica aprovechada por el Generador
Eólico en relación con la entregada por el viento. Mientras que el Coeficiente de Torque
Total (𝐶𝑄) es representativo de la cupla motriz de la Turbina Eólica. Este último nos
indica las condiciones de arranque de la misma, ya que tiene en cuenta a diferencia del
coeficiente de Torque (𝐶𝑇) la resistencia parasita provocada por los brazos del
generador.
Otra manera de calcular las performances de una turbina y que es la adoptada en este
trabajo, es la de obtener la cupla motora y la resistente siguiendo los lineamientos de
Brian Kinloch Kirke en tu Tesis de Doctorado (Ref. 2)
De las expresiones 2.11 y 2.12:
𝐹𝑇 =1
2𝐶𝑇𝜌𝑆𝑉𝑟𝑒𝑙
2
𝐶𝑇 = 𝐶𝐿 sin 𝛼 − 𝐶𝐷 cos 𝛼
Entonces la Cupla Motriz puede expresarse ahora como:
𝐶𝑚 =1
2𝐶𝑇𝜌𝑆𝑉𝑟𝑒𝑙
2 . 𝑟 (2.20)
Es de fundamental importancia el cálculo de la resistencia aerodinámica generada por
los brazos que soportan cada una de las palas .En este caso cada pala es soportada por el
eje mediante dos brazos.
La fuerza resistente en un brazo radial de superficie en planta A se puede expresar
como:
FD =1
2Cd0ρVrelb
2 A (2.21)
Para un brazo inclinado un ángulo con respecto a la vertical:
35
Vrelb = √(Vwind cos θ . cos 𝛿)2 + (ωr + Vwind . cos θ)2 (2.22)
Si 𝛿 > 0 y desarrollando la expresiones entre paréntesis y sacando factor común 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑2
𝑉𝑟𝑒𝑙𝑏 = 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 . √cos2 𝜃 cos2 𝛿 +ω2r2
𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑2 + 2.
ωr
𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑. cos 𝜃 + cos2 𝜃
𝑉𝑟𝑒𝑙𝑏 = 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 . √cos2 𝜃 cos2 𝛿 + 𝜆2 + 2. λ. cos 𝜃 + cos2 𝜃 (2.23)
Si 𝛿 = 0 la expresión para 𝑉𝑟𝑒𝑙𝑏 se simplifica bastante:
𝑉𝑟𝑒𝑙𝑏 = 𝜔𝑟 + 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 . cos 𝜃 (2.24)
Como ese no es nuestro caso se debe emplear la ecuación (2.23) y por lo tanto ahora es
posible calcular la Fuerza Motriz resistente:
𝐹𝑟 =1
2𝐶𝑑0𝑏.𝜌. 𝑉𝑟𝑒𝑙𝑏
2 . 𝑆𝑤𝑒𝑡𝑡𝑒𝑑 . (2.25)
𝑆𝑤𝑒𝑡𝑡𝑒𝑑=2. (1 + 0.2.𝑡
𝑐𝑏) . 𝑐𝑏
𝑆𝑤𝑒𝑡𝑡𝑒𝑑 Superficie “mojada” del brazo
Entonces el momento del torque resistente o cupla motriz resistente ofrecido por cada
brazo es:
𝑐𝑚𝑟 = 𝐹𝐷 . 𝑟 = 𝐶𝑑0𝑏 . 𝜌. 𝑟.2 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑2 . (cos2 𝜃 cos2 𝛿 + 𝜆2 + 2. λ. cos 𝜃 + cos2 𝜃) (2.24)
Hay que tener en cuenta que el radio a considerarse está ubicado en una posición
del brazo, que es el lugar donde la fuerza resistente puede considerarse aplicada.
Es decir que se ha expresado a la cupla resistente en función de λ, 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 , 𝜌, 𝐶𝑑0𝑏. ,θ y
de las características geométricas de la turbina 𝑐𝑏 y r.
36
A la expresión anterior hay que multiplicarla por el número de brazos para obtener la
cupla resistente total del generador.
De esta manera podemos calcular la cupla resultante del sistema eólico como la
diferencia entre la cupla motora representada por (2.14) y la resistente (2.24):
𝐶𝑚𝑡 = 𝐶𝑚 − 𝐶𝑚𝑟 (2.27)
Para obtener la potencia mecánica se procede a multiplicar la cupla motriz total por ω:
P = Cmtω (2.28)
La información obtenida en el proceso de simulación numérica descripto anteriormente
también muestra que la turbina eólica construida con perfiles alares NACA 0015 no
cuenta con el torque neto necesario para auto arrancar con una velocidad de viento de
3 [𝑚
𝑠].
Grafico 7
Para ello y siguiendo las observaciones realizadas por Brian Kinloch Kirke en su Tesis
de Doctorado (7) con respecto a la utilización de perfiles no simétricos en este tipo de
generadores eólicos, se eligió para tal fin un perfil de gran combadura y espesor del
37
12%: el Selig S1210.Con el mismo se construyó el tercer prototipo que puede
observarse en la fotografía 10 del Anexo VI.
Luego del proceso de optimización del perfil Selig S1210 detallado en el punto anterior
y de la elección para su reemplazo por el vpc0129 se ha corrido el proceso de simulación
de performances.
Los resultados obtenidos de un proceso de simulación numérica se muestran en los
siguientes gráficos:
Grafico 8
38
Grafico 9
39
Grafico 10
Una explicación básica del porque la elección de un perfil asimétrico en reemplazo del
NACA0015 se puede observar el siguiente grafico que compara los coeficientes de
sustentación y resistencia:
40
Grafico 11
Puede claramente observarse la diferencia en el Coeficiente de Sustentación 𝐶𝑙 entre
ambos perfiles. En cuanto al Coeficiente de Resistencia 𝐶𝑑 no existen marcadas
diferencias entre ambos a valores de λ superiores, lo que queda evidenciado en el
siguiente gráfico:
41
Grafico 12
42
Grafico 13
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
-30.00 -20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00 30.00
Cd
st
α (deg.)
Cdst(NACA0015)
Cdst(S-1210)
43
Grafico 14
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
Cls
t
Cdst
Clst(NACA0015)
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
Cls
t
Cdst
Clst(S-1210)
44
El Coeficiente de Torque de c/pala también muestra diferencias significativas a favor del
perfil Selig S 1210 con respecto al NACA 0015.
Grafico 15
Si ahora se considera el Coeficiente de Torque Total (𝐶𝑞) de la turbina se evidencia
con claridad la misma situación
-0.100
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000
Ct
θ(rad.)
ct(i)(N0015-c=0.25)
ct(i)(s1210-c=0.25)
45
Grafico 16
Es evidente que la utilización de un perfil de gran combadura como el Selig S 1210 se
presentaba como una alternativa interesante para el remplazo del perfil NACA 0015
elegido inicialmente.
En los siguientes gráficos se puede visualizar la variación de los coeficientes 𝐶𝑡 y 𝐶𝑞:
-0.200
-0.100
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000
Cq
θ (rad.)
cq(i)(N0015-c=0.25)
cq(i)(s1210-c=0.25)
46
Grafico 17
-0.100
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000
Ct
θ (rad.)
ct(i)(N0015-c=0.25)
ct(i)(s1210-c=0.25)
ct(i)(s1210-c=0.4)
47
Grafico 18
Con el incremento de la cuerda se incrementa además de la solidez de la turbina un
parámetro fundamental como lo es el Numero de Reynolds, el cual pasa de 1.62 ∗ 105
a 2.64*105 para una Velocidad Relativa 𝑉𝑟𝑒𝑙 = 10 𝑚/𝑠
Se puede observar que tanto el coeficiente de torque de cada pala 𝐶𝑡 como el de la
turbina completa 𝐶𝑞 muestran incrementos en sus valores en casi todo el ciclo.
Pero se presenta una disminución del valor de 𝐶𝑞 para el caso la turbina con palas de
𝑐 = 0.4 𝑚 de cuerda con respecto a la primitiva de 𝑐 = 0.25 𝑚 específicamente en el
downwind. Esta situación puede deberse a priori al efecto del factor interferente
provocado por las palas de mayor cuerda en la turbina.
No obstante este fenómeno requiere un mayor estudio para dilucidar fehacientemente las
causas del mismo.
-0.200
-0.100
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000
Cq
θ (rad)
cq(i)(N0015-c=0.25)
cq(i)(s1210-c=0.25)
cq(i)(s1210-c=0.4)
48
6.-CONCLUSIONES
Se ha realizado un trabajo de Investigación y Desarrollo sobre Generadores Eólicos de
Eje Vertical (VAWT), por considerar que este tipo de máquinas pertenecen a una
categoría que adquirirá cada vez mayor trascendencia en razón que presentan ventajas
objetivas sobre su contraparte de eje horizontal; que hoy predominan en el mercado
tanto para grandes como pequeñas potencias. Como punto relevante de este estudio hay
que destacar las dificultades que presentan los cálculos aerodinámicos debido a la
naturaleza no estacionaria lo que representa un gran desafío para los diseñadores de este
tipo de aerogeneradores. Además se presenta como un problema de difícil predicción
con precisión ingenieril el factor de interferencia (𝑎𝑢𝑑) .
Se han presentado varias alternativas como ser el Método de los Tubos Dobles
Múltiples de Corriente, el Método de Cascada y por último se ha incorporado otra visión
que tiene en cuenta no solo la interferencia de las palas entre si al estar cada una de ellas
sumergida en la estela de la otra con el efecto de la capa limite y el desarrollo de la
estela, principalmente en las turbinas que presentan una mayor solidez. Pero esto último
requiere un análisis más minucioso para demostrar su validez. Queda además pendiente
para un posterior abordaje un estudio del problema de las burbujas de separación
laminar (LSB), pero teniendo en cuenta que a diferencia de un perfil alar convencional
empleado en las aeronaves, en las turbinas eólicas de eje vertical se lo debe considerar
como un fenómeno no estacionario debido a la variación del ángulo de ataque en
función del tiempo. Esto constituye un caso particular similar al de la perdida dinámica
y que en este trabajo fue abordado siguiendo los lineamientos del Método de Beddoes-
Leishman. Otro de los temas
Otro tema a desarrollar es el de un Sistema de Adquisición de Datos para convalidar los
resultados obtenidos en la Simulación Numérica realizada.
Como resultado de este estudio se ha diseñado un nuevo prototipo con 5 palas de una
longitud de 2 metros y una cuerda de 0.4 metros y que satisface en principio
teóricamente los objetivos propuestos: auto arrancar a velocidades con vientos menores
a 3𝑚
𝑠 y lograr velocidades de rotación superiores a los 200 rpm. Un breve video permite
apreciar lo expuesto en el siguiente enlace:
https://www.youtube.com/watch?v=FODQSMD069I
49
REFERENCIAS
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Universidad Nacional de Córdoba (1986). www.capitani.com.ar/.../generación-de-grillas-
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10.-A New Transformation and Integration Scheme for the Compressible Boundary
Layer Equations and Solution Behavior at Separation- Mark Drela-Master of
Sciences in Aeronautics and Astronautics-Massachusetts Institute of Technology-
1983.
50
11.-Wind Turbine Flow Computations Using Actuator-Surface Technique-Master
Thesis-Jian Jun Zhao-Department of Mechanical Engineering-Technical
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12.-Extension of the Aerodynamics Design Program for the Simulation of
Boundary Layer Suction- Eric L. N. Terry-Aerodynamics -Delft University of
Technology- 2004.
13.-A Beddoes-Leishman type Dynamic Stall Model in State Space and Indicial
Formulations-Morten Hartvig Hansen, Mac Gaunaa &Heldge Aagaard Madsen
RisØ National Laboratories-Roskilde-Denmark-2004.
14.-Wind Turbine Loads Prediction using the Beddoes-Leishman Model for
Unsteady Aerodynamics and Dynamic Stall-Kirk Gee Pierce Master Thesis-
Department of Mechanical engineering-Utah University -1996.
15.-Unsteady Aerodynamics Flows whit Application to Aeroelastic Stability-Jeppe
Johansen-RisØ National Laboratories-Roskilde-Denmark-1999.
16.-Basic of Aerodynamics Design-Fourth Edition-Arnold M Kuethe and
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17.-An Introduction to the Theory of Aeroelasticity-Y-C Fung-University of
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Turbines-Larry Viterna & Davis Janetzke-National Aeronautics and Space
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19.-Horizontal Axis Wind Turbines Post Stall Airfoil Characteristics Synthesization
Solar Energy Research Institute-U.S. Department of Energy-James L. Tangler
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20.-Metodos for Root Effects, Tip Effects and Extending the Angle of Attack Range
to ± 180⁰,with Application to Aerodynamics for blades on Wind Turbines and
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(Second Revision)-Mark Drela, MIT Aero-Astro-July 1998
51
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Engineering, Troy, NY 12180-Journal of Fluids Engineering-SEPTEMBER 2004,
Vol. 126
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Technologies Research Center ,East Harford Connecticut-U.S.A.
Ron-Jie Wang- University of Stellenbosch- Stellenbosch, Western Cape, South
Africa -Maarten J Kamper- University of Stellenbosch, Stellenbosch, Westem Cape,
South Africa
29.-Aspectos de Diseño de Generadores Sincrónicos de Flujo Axial para la aplicación en
Aerogeneradores - Abarzua Martínez Alejandro A.- Tesis de Grado en Ingeniería
Civil Electricista-Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas-Departamento de
Ingeniería Eléctrica-Universidad de Chile (07/06/2012).
30.-Diseño de Aerogeneradores con Imanes Permanentes para su utilización en
Electrificación Rural-Ballaire Rosenmann Paul -Tesis de Grado en Ingeniería Civil
Eléctrica- Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas-Departamento de Ingeniería
Eléctrica-Universidad de Chile (08/2007).
31.-Diseño de un Alternador de Flujo Axial con Imanes Permanentes-Escuela
Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial-Zaragoza-España (2/2012).
32-Analysis and Performance of Axial Flux Permanent-Magnet Machine With Air-
Cored No overlapping Concentrated Stator Windings- Maarten J. Kamper, Rong-Jie
Wang and Francois G. Rossouw- IEEE Transactions On Industry Applications Vol.
44, Nro. 5- September/October 2008
33.-Finite Element Method Magnetics-Version 4.2-User’s Manual-October 16, 2010
David [email protected] (2010).
34. -Francois Gerhardus Rossouw-Thesis presented in partial fulfilment of the
requirements for the degree of Master of Science in Engineering at the
University of Stellenbosch Department of Electrical & Electronic Engineering
Stellenbosch University Private Bag X1, Matieland, 7602, South Africa
52
ANEXO I
I.-EL FENÓMENO DE LA TRANSICIÓN DE LA CAPA LIMITE LAMINAR A
TURBULENTA
Como consecuencia de los avances en vehículos aéreos no piloteados (UAV y MAV) y
las turbinas eólicas, los investigadores en aerodinámica se han concentrado en temas
como flujos de bajo Número de Reynolds, la transición de laminar a turbulento y el
fenómeno de las burbujas de separación laminar (LSB); por sus efectos sobre las
características aerodinámicas de los perfiles que conforman estas alas/palas.
Estas burbujas de separación laminar aparecen en regímenes de flujo donde las fuerzas
viscosas son predominantes lo que se da fundamentalmente en un rango de Números de
Reynolds entre 104 y 106.La razon física de la aparición de estas burbujas es que
cuando en presencia de gradientes adversos de presión en el lado de succión de un perfil
de flujo laminar, la capa límite se separa del mismo y luego vuelve a adherirse a la
superficie.
Figura I-1
53
Figura I-2
La transición de un flujo laminar a otro turbulento se produce por una serie de causas
como son: la rugosidad de la superficie del ala o pala, los gradientes adversos de presión
y la turbulencia de la corriente libre.
Figura I- 3
Gradiente Adverso de Presión
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Para los flujos de bajos Números de Reynolds esta puede ser clasificarse como:
a) Transición natural
b) Transición de Bypass
c) Transición inversa
d) Transición inducida por la estela
La transición natural está presente en flujos de baja turbulencia en la corriente libre y
comienza con la aparición de las llamadas ondas de Tollmien-Sclichting (T-S) que
viajan dentro del flujo principal y que se amplifican a medida que el flujo avanza aguas
abajo.
La aparición y desarrollo de estas ondas bidimensionales es objeto de los primeros
estudios sobre los criterios de estabilidad de la capa límite.
Bastante aguas abajo sobre un perfil estas ondas se transforman en tridimensionales lo
cual es acompañado por estructuras vorticosas denominadas estructuras Λ.
Está generalmente aceptado que cuando el nivel de turbulencia de la corriente libre es
baja la capa límite laminar se vuelve inestable a partir de un Número de Reynolds crítico
en el que las ondas Tollmien-Sclichting comienzan a crecer. La inestabilidad se presenta
a través de un sutil mecanismo mediante el cual la viscosidad desestabiliza las
fluctuaciones y estas empiezan a crecer muy lentamente. Debido a que el crecimiento es
lento, la transición a la turbulencia no se puede completar hasta una distancia en la
dirección de la corriente que puede prolongarse sobre gran parte del perfil.
El estudio sobre estas estructuras vorticosas tridimensionales es realizado por lo que se
conoce como teoría de estabilidad de tipo secundario.
El desarrollo de estas ondas tridimensionales es seguido por la aparición de zonas
focalizadas (spots) de turbulencia, donde el flujo pasa de laminar a turbulento
alternativamente. Fenómeno es conocido como intermitencia.
Estas zonas de turbulencia convectan corriente abajo, se dispersan y se juntan
abarcando en este momento toda la capa limite y la misma es entonces totalmente
turbulenta.
El siguiente tipo de transición conocido como bypass corrientemente se observa en
flujos dentro de turbinas de gas (compresores axiales) y están caracterizados por altos
niveles de turbulencia (0.5% o más).
Para el proceso de transición en altos niveles de turbulencia de la corriente libre ( > 1 %)
, la primer y, posiblemente la segunda y tercer etapa del proceso de transición natural
es "bypaseado" de manera que se forman puntos turbulentos directamente dentro de la
capa límite por la influencia de las perturbaciones de la corriente libre ( Mayle , 1991 ) .
A menudo se afirma que la parte lineal de la transición de bypass es irrelevante y hasta la fecha nadie ha sido capaz de detectar ondas Tollmien - Schlichting cuando el
55
nivel de turbulencia corriente libre fue mayor que 1 % (Mayle, 1991). Por esta razón, un
nivel de turbulencia corriente libre de 1 % se toma a menudo como el límite entre la
transición natural y la transición de bypass. Cabe señalar que también puede ocurrir la
transición de bypass debido a la rugosidad de la superficie donde los trastornos se
originan a partir de perturbaciones que la misma produce en lugar de provenir de la
turbulencia de la corriente libre. Además también puede aparecer la transición de
bypass cuando un flujo turbulento se inyecta directamente en la capa límite. Un ejemplo
de este tipo de transición podría ocasionarla los orificios de refrigeración en un álabe de
turbina caliente o estator.
En este caso la zona lineal de estabilidad es sobrepasada y no hay un crecimiento lineal
de las ondas T-S y el Número de Reynolds es suficientemente elevado.
La transición inversa se produce cuando la capa límite de turbulenta vuelve a
convertirse en laminar y es conocida como relaminarización. La relaminarización se
produce debido a las mayores aceleraciones
en el lado de presión de la mayoría de los perfiles de ala cerca del borde de fuga , en los
conductos de salida de las cámaras de combustión y
en el lado de succión de perfiles de ala de turbina de cerca el borde de ataque (Mayle,
1991).
La Transición inducida por la estela por ejemplo es la surge en flujos de turbo
máquinas donde un alabe entra en la estela del anterior de una manera cíclica o
periódica.
Los resultados experimentales muestran que las estelas son más disruptivas para la capa
límite laminar que los zonas turbulentas vistas en la transición natural.
Este último tipo de fenómeno puede tener un alto impacto en la performance de una
turbina eólica de eje vertical de una gran solidez(𝜎 =𝑛𝑐
𝑟), en que las palas están
continuamente sumergidas en la estela de la anterior en un estado de régimen, es decir
cuando la velocidad tangencial de la pala es más del doble de la velocidad de la corriente
libre.
Esto se define mediante un parámetro adimensional 𝜆 =𝜔.𝑟
𝑉∞ que tiene relevante
importancia para analizar la performance de turbinas eólicas tanto de eje horizontal
(HAWT) como para las de eje vertical (VAWT).
Ciertas perturbaciones tienen mayor impacto que otras para desencadenar la transición,
fenómeno conocido como receptividad de la capa limite.
En el caso de los gradientes de presión favorables (decrecimiento de la presión) el flujo
es acelerado y el punto de comienzo de la transición se mueve aguas abajo. En el caso
contrario, el de un gradiente adverso (crecimiento de la presión) el flujo es decelerado
desestabilizando la capa limite y logrando que la transición se produzca con bajos
Números de Reynolds. Si el gradiente adverso es lo suficientemente grande puede
producirse la separación de la capa límite sin la presencia de la transición.
56
En la siguiente figura puede observarse un esquema de las diferentes etapas de la
transición y la comparación con una fotografía de la visualización mediante un flujo de
aceite sobre un ala con un perfil NACA 2415 presentada en un trabajo de investigación
por Genq.
Figura I-4
57
I-2 TEORÍA DE LA ESTABILIDAD PRIMARIA EN UNA CAPA LÍMITE BIDIMENSIONAL La primera hipótesis de esta teoría es que el flujo básico es laminar y que cumple con las Ecuaciones de Navier-Stokes (N-S) para un flujo Newtoniano. Entonces una pequeña perturbación es superpuesta al flujo principal y las ecuaciones gobernantes son las siguientes: 𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖= 0 (I-1)
∂ui
∂t+ ui
∂ui
∂xi= −
1
ρ
∂p
∂xi+ υ∇2ui (I-2)
En las cuales 𝑢𝑖 es la componente de la velocidad en la direccion 𝑥𝑖, p y ρ son la
presión y la densidad del flujo (ρ=cte.) y ∇2 es el operador Laplaciano (𝜕2
𝜕𝑥𝑖2).
Se asume además que el flujo externo con componente de la velocidad 𝑈 y presion P también cumple las ecuaciones N-S: 𝜕𝑈𝑖
𝜕𝑥𝑖= 0 (I-3)
∂Ui
∂t+ Ui
∂Ui
∂xi= −
1
ρ
∂P
∂xi+ υ∇2Ui (I-4)
Una perturbación con componentes de velocidad 𝑢𝑖
′ y presion 𝑝′ es ahora superpuesta a flujo principal: 𝑢𝑖 = 𝑈𝑖 + 𝑢𝑖
′ (I-5) 𝑝 = 𝑃 + 𝑝′ Introduciendo estas expresiones en las ecuaciones (I-1) e (I-2) y restando de ellas las del flujo básico (I-3) e (I-4), tendremos que las ecuaciones del flujo perturbador también cumplen las ecuaciones de N-S: 𝜕𝑢𝑖
′
𝜕𝑥𝑖= 0 (I-6)
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𝜕𝑢𝑖′
𝜕𝑡+ 𝑈𝑖
𝜕𝑢𝑖′
𝜕𝑥𝑖+ 𝑢𝑖
𝜕𝑈𝑖
𝜕𝑥𝑖+ 𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖= −
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑖+ 𝜐∇2ui
′ (I-7)
En razón que se ha asumido que las perturbaciones tanto en velocidad como en presión
son lo suficientemente pequeñas y bidimensionales, podemos considerar ahora la
siguiente notación:
𝑢′ = 𝑢𝑖′(𝑥, 𝑛, 𝑡) ; 𝑣′ = 𝑢2
′ (𝑥, 𝑛, 𝑡) ; 𝑤′ = 𝑢3𝑖 = 0 ; 𝑝′ = 𝑝′(𝑥, 𝑛, 𝑡) (I-8)
Donde el subíndice 1 denota la corriente en la dirección de la cuerda considerada como
x, el subíndice 2 la dirección transversal de flujo (normal) con la notación n y el
subíndice 3 corresponde a la dirección de la envergadura del ala.
De la misma manera el flujo externo también paralelo y bidimensional puede ahora ser
expresado como:
𝑈 = 𝑈1(𝑛) ; 𝑉 = 𝑈2 = 0 ; 𝑊 = 𝑈3 = 0 ; 𝑃 = 𝑃(𝑥, 𝑛)) (I-9) La presión del flujo externo es función de la variable x (dirección de la corriente) porque
depende del gradiente de presión (𝜕𝑃
𝜕𝑥) y de la direccion n ya que la presión es
perpendicular a la superficie del ala.
Introduciendo las expresiones (I-8) e (I-9) en las (I-6) e (I-7) para 𝑖 = 1,2 tendremos:
𝜕𝑢′
𝜕𝑥+
𝜕𝑣′
𝜕𝑛= 0 (I-10)
𝜕𝑢′
𝜕𝑡+ 𝑈
𝜕𝑢′
𝜕𝑥+ 𝑣′ 𝜕𝑈
𝜕𝑛= −
1
𝜌
𝜕𝑝′
𝜕𝑥+ 𝜐∇2u′ (I-11)
𝜕𝑣′
𝜕𝑡+ 𝑈
𝜕𝑣′
𝜕𝑥== −
1
𝜌
𝜕𝑝′
𝜕𝑛+ 𝜐∇2v′ (I-12)
Estas constituyen un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas 𝑢′, 𝑣′ 𝑦 𝑝′ integradas
por la ecuación de continuidad y de cantidad de movimiento en las direcciones x y n.
Si derivamos la ecuación (I-12) con respecto a x y la (I-11) con respecto a n
y restamos ambas ecuaciones podemos despreciar los términos correspondientes a la
perturbación de la presión:
∂
∂t(∂u′
∂n−
∂v′
∂x) + U
∂
∂x(∂u′
∂n−
∂v′
∂x) + v′ ∂2U
∂n2= 𝜐∇2 (
∂u′
∂n−
∂v′
∂x) (I-13)
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Esta última conjuntamente con la de continuidad (I-10) conforman un sistema de dos
ecuaciones en las dos incógnitas 𝑢′ y 𝑣′.
Si ahora y considerando que el término común entre paréntesis de la ecuación (I-13) es
la representación matemática de la vorticidad, es decir:
𝜛 = (∂u′
∂n−
∂v′
∂x) (I-14)
Tendremos entonces:
𝜕𝜛′
𝜕𝑡+ 𝑈
𝜕𝜛′
𝜕𝑥= −v′ ∂2U
∂n2+ υ∇2𝜛′ (I-15)
Donde el primer término del miembro derecho o termino fuente representa el aporte a la
vorticidad del gradiente de U.
I.-3 LA ECUACIÓN DE ORR-SOMMERFELD
Si introducimos la función de corriente que satisfaga automáticamente la ecuación de
continuidad ψ(x, n, t), tendremos:
u′ =𝜕𝜓
𝜕𝑛 ; 𝑣′ = −
𝜕𝜓
𝜕𝑥 (I-16)
Si reemplazamos estas expresiones en la ecuación de continuidad de la las velocidades
perturbadoras (I-10):
𝜕𝜓
𝜕𝑥𝜕𝑛−
𝜕𝜓
𝜕𝑥𝜕𝑛= 0 (I-17)
Si se asume que las perturbaciones son periódicas se las puede por lo tanto expandir en
series de Fourier y la solución será la sumatoria de cada uno de los términos de la serie.
Esta hipótesis es aceptable cuando se trata de perturbaciones de pequeña amplitud.
Entonces para el caso bidimensional que estamos tratando, la función de corriente puede
definirse como:
𝜓(𝑥, 𝑛, 𝑡) = 𝜙(𝑛)𝑒𝑖(𝛼𝑥−𝜔𝑡) (I-18)
60
Aquí 𝜙(𝑛) es una función propia consistente con la hipótesis asumida de flujo paralelo y
entonces función solo de n.Por lo tanto 𝛼 𝑦 𝜔 son los valores propios y el termino en el
exponente representa la amplitud de la función.
Lo que queda por determinar es cuando las pequeñas perturbaciones crecen o decrecen
en el tiempo. El parámetro 𝛼 es real y la longitud de onda del modo de la funcion es 𝜆 =2𝜋
𝛼 , el parámetro 𝜔 es un número complejo 𝜔 = 𝜔𝑟 + 𝑖𝜔𝑖 en donde 𝜔𝑟 representa la
frecuencia del modo y 𝜔𝑖 su amplitud.
De esta manera 𝑒𝜔𝑖𝑡 es la amplitud del modo temporal y por lo tanto la onda es
amortiguada si 𝜔𝑖 < 0 y amplificada y por lo tanto inestable si 𝜔𝑖 > 0.
También es conveniente introducir un tercer parámetro 𝑐 =𝜔
𝛼= 𝑐𝑟 + 𝑖𝑐𝑖
Donde 𝑐𝑟 es la velocidad de la fase de la onda en la dirección x.
Por lo tanto utilizando la función de perturbación de la corriente dada por las ecuaciones
(I-16) e (I-17) que son reemplazadas en (I-14), tendremos:
∂u′
∂n−
∂v′
∂x=
𝜕[𝜙′𝑒𝑖(𝛼𝑥−𝜔𝑡)]
𝜕𝑛−
𝜕[𝜙𝑖𝛼𝑒𝑖(𝛼𝑥−𝜔𝑡)]
𝜕𝑥= (𝜙′′ − 𝛼2𝜙)𝑒𝑖(𝛼𝑥−𝜔𝑡) (I-19)
En donde 𝜙′ denota la derivada de φ con respecto a n.Se puede ahora reemplazar el
resultado obtenido en (I-18) en la ecuación (I-13) y teniendo en cuenta que 𝑒𝑖(𝛼𝑥−𝜔𝑡) ≠0 𝑦 𝛼 ≠ 0 para obtener finalmente la ecuacion de Orr-Sommerfeld:
(𝑢 − 𝑐)(𝜙′′ − 𝛼2𝜙) − 𝑢′′𝜙 = −𝑖
𝛼𝜈(𝜙′′′′ − 2𝛼2𝜙′′ + 𝛼4𝜙) (I-20)
Para adimensionalizar esta última expresión se puede dividir las longitudes por una
característica del flujo medio como por ejemplo el espesor de la capa limite δ, las
velocidades por 𝑈𝑒 y se obtiene:
(�̅� − 𝑐)(𝜙′′ − 𝛼2𝜙) − 𝑈′′𝜙 = −𝑖
𝛼𝑅𝑒(𝜙′′′′ − 2𝛼2𝜙′′ + 𝛼4𝜙) (I-21)
𝑅𝑒 =𝑈𝑒𝛿
𝜈
Las condiciones de borde para una capa limite están dadas por la condición de no
deslizamiento del flujo sobre la pared (η=0) y la anulación de las perturbaciones a una
distancia de la misma lo suficientemente lejana (η=∞)
61
𝜙 = 0 → 𝑛 = 0 y 𝜙′ = 0 → 𝑛 = ∞ Las ecuaciones (I-19) y su forma adimensional (I-20) han sido deducidas por Orr (1907)
y Sommerfeld (1908) y pueden ser consideradas el inicio de los estudios de la
estabilidad de los flujos laminares y paralelos.
Estas ecuaciones conjuntamente con las condiciones de borde constituyen un problema
conocido matemáticamente como de valores propios, con parámetros α, c y 𝑅𝑒 y las
funciones propias 𝜙(𝑛). Es necesario para resolver el problema de la estabilidad de las capas limites laminares
consiste en obtener la solución de estas ecuaciones y determinar cuando 𝜔𝑖 es positivo
(inestable o cuando es negativo (estable).
El análisis del crecimiento o decrecimiento de la inestabilidad de las ondas
perturbadoras del flujo puede ser abordado como hemos visto en función del parámetro
𝜔 que como se puede observar en la expresion (I-17) es una variable temporal, o bien
estudiando al variación del crecimiento de la variable espacial 𝛼 en la misma ecuación.
I.-3 EL MÉTODO 𝒆𝒏 PARA LA PREDICCION DE LA TRANSICION En este trabajo se ha seguido este último camino y por lo tanto se puede realizar la
siguiente aproximación y la amplitud de la perturbación puede considerarse como
función de la variable espacial x en la dirección de la corriente libre y entonces la
relación de amplitudes en distintas posiciones sobre un perfil desde el borde de ataque
pueden expresarse como:
a0 en la posición 𝑥0 y 𝑎 + 𝑑𝑎 en 𝑥0 + 𝑑𝑥 a+da
a=
e−αi(x+dx)
e−αix= e−αidx (I-22)
Si tomamos logaritmos en ambos miembros de (I-21):
ln(𝑎 + 𝑑𝑎)) − ln 𝑎 = 𝑑[(ln𝑎)] = −𝛼𝑖𝑑𝑥 (I-23) Si ahora procedemos a efectuar la integración de (I-22):
ln (𝑎
𝑎0) = −∫ 𝛼𝑖𝑑𝑥
𝑥
𝑥0 (I-24)
Denominamos n a esta última expresión:
62
𝑛 = ln (𝑎
𝑎0) = −∫ 𝛼𝑖𝑑𝑥
𝑥
𝑥0 (I-25)
Donde 𝑥0 es el punto sobre el perfil donde la perturbación con frecuencia 𝜔 y amplitud
𝐴0 comienza a ser inestable
Esto último es la base del conocido Método de 𝑒𝑛 desarrollado en forma simultánea por
el Prof. Van Ingen (1956) (1) y Smith y Gamberoni (1956).
Este método de cálculo es utilizado por el Dr. Mark Drela en su Software XFOIL y que
es la herramienta informática expresamente empleada en este trabajo tanto para el diseño
del perfil alar como para el cálculo de las características aerodinámicas del mismo.
El problema principal resulta entonces determinar con cierta exactitud el valor de este
factor.
De experimentos en transición en placas planas con relativamente altos valores de
turbulencia como una función del Número de Reynolds (𝑅𝑒 =𝑈𝑒𝑥
𝜈) el Prof. Van Ingen y
sus colaboradores, han estimado que valor necesario para predecir la transición como
una función de la turbulencia de la corriente libre (𝑇𝑢) mediante la utilización de una
base de datos (1965).
Ellos han concluido que el comienzo y fin de la transición para valores de turbulencia
𝑇𝑢 > 0.1% puede ser predicha por los siguientes valores del factor n:
𝑛1 = 2.13 − 6.18 log10 𝑇𝑢 (I-26) 𝑛2 = 5 − 6.18 log10 𝑇𝑢 El Prof. Van Ingen establece que se puede utilizar la expresión (I-26) para valores de
turbulencia 𝑇𝑢 < 0.1%, pero para ello debe definirse un valor "efectivo" para 𝑇𝑢 ,
teniendo en cuenta que Van Ingen ha derivado la primera de las ecuaciones (I-26)
alrededor del año 1975; tomando como información muchas publicaciones de mediciones de transición en placas planas para diferentes niveles de turbulencia
incluyendo tablas construidas por Mack (Paper nro. 4. Technical Report SP-347,
NASA).La curva representada por 𝑛2
Ha sido construida paralela a 𝑛1 basada en experimentos de Schubauer y Skramstadt
para valores de 𝑇𝑢 > 0.1% .Con posteriridad Mack ha publicado la siguiente expresión
que se sigue utilizando en la actualidad en muchos trabajos de investigación:
𝑛𝑐𝑟𝑖𝑡 = −8.43 − 2.4 ln 𝑇 (I-27)
63
Cabe acotar que en las expresiones (I-26) se emplea el valor de la turbulencia 𝑇𝑢 en % y
se utiliza el logaritmo en base 10, mientras que Mack emplea valores absolutos de
turbulencia (T) y el logaritmo natural. No obstante ambas expresiones pueden aplicarse
ya que parten de los mismos datos. En realidad solo se trata de curvas provenientes de
ajustes de datos experimentales.
La predicción del nivel de turbulencia para el caso de una turbina de eje vertical se
transforma en un desafío muy grande ya que no existe suficiente información. La que
fue recopilada de las mencionadas pruebas de campo se ve reflejada en la Tabla I-1.
FECHA Tu’=σ/Vavg Tu ncrit
01/01/2010 0.544399397 0.53714001 4.11400002
01/02/2010 0.2248234 0.22430523 6.2098025
01/03/2010 0.426282442 0.42277545 4.68860229
01/04/2010 0.455247258 0.45098163 4.53359726
01/05/2010 0.567378617 0.55917194 4.0175243
01/06/2010 0.522161438 0.5157476 4.2115391
01/07/2010 0.579800883 0.57105 3.96707686
01/08/2010 0.777952065 0.75711543 3.29018338
01/09/2010 0.613050918 0.60272858 3.83750037
01/10/2010 0.633529065 0.62215298 3.76137469
01/11/2010 1.020566241 0.97458781 2.68418602
01/12/2010 0.787716643 0.76610305 3.26186106
01/01/2011 0.541859722 0.53470039 4.12492533
01/02/2011 0.362460522 0.36029873 5.07238074
01/03/2011 0.489724396 0.48442374 4.36191706
01/04/2011 0.683484252 0.66924955 3.58624428
01/05/2011 0.398431378 0.39556426 4.84826931
01/06/2011 0.497876477 0.49230911 4.32316482
01/07/2011 0.620961688 0.6102402 3.80777477
01/08/2011 0.748068804 0.72949735 3.37936736
01/09/2011 0.581615987 0.57278367 3.95980168
01/10/2011 0.391456454 0.38873647 4.8900571
01/11/2011 0.599495032 0.58983388 3.88940288
01/12/2011 0.624592372 0.61368437 3.79426735
Tabla I-1
64
Como se ha expresado anteriormente en una turbina eólica de baja potencia con cinco
palas de 0.4 (m) de cuerda y un radio de 1(m) nos encontramos con el problema de que
cada pala se encuentra siempre en la estela de la anterior en las condiciones de régimen
(2 ≤ 𝜆 ≤3).
Esto indica que se estaría con la necesidad de modelar una transición inducida por la
estela o bien el caso de una transición de bypass.
Como este tipo de transición se presenta siempre con altos niveles de turbulencia los
criterios explicitados anteriormente no son totalmente válidos y es necesario
incorporarles modificaciones.
Muchos procedimientos utilizados en el diseño de turbo maquinas son adaptados para
casos particulares y especial énfasis se ha puesto por parte de los investigadores en el
caso de componentes de turbinas de gas.
El modelado preciso del proceso de transición tiene un impacto fundamental en las
perdidas del flujo al circular ente filas de alabes de un compresor o una turbina.
En este sentido la predicción de la aparición de la transición sigue siendo un desafío
importante para su completo modelado.
Hall y Gibbins han revisado distintas aproximaciones para predecir el inicio de la
transición y han propuesto una nueva correlación para el Número de Reynolds del
espesor de la cantidad de movimiento en el instante del inicio de la misma (𝑅𝑒𝜃𝑠) como
una función del promedio del nivel de turbulencia de la corriente libre entre su valor en
el borde de ataque y el punto de inicio de la misma:
𝑅𝑒𝜃𝑠= 190 + 𝑒[6.88−1.03(𝑇𝑢)] (I-28)
Abu Ghannam y Shaw revisaron esta correlación tomando en cuenta no solo el nivel de
turbulencia sino también el efecto del gradiente de presion.Esta nueva correlación es la
siguiente:
𝑅𝑒𝜃𝑠= 163 + 𝑒
[𝐹(𝜆𝜃)−𝜆𝜃6.91
]𝑇𝑢 (I-29)
Siendo:
𝜆𝜃 =𝜃2
𝜈
𝑑𝑢𝑒
𝑑𝑥
𝐹(𝜆𝜃) = 6.91 + 12.75𝜆𝜃 + 63.64𝜆𝜃2 𝜆 < 0
(I-30)
𝐹(𝜆𝜃) = 6.91 + 2.48𝜆𝜃 − 12.27𝜆𝜃2 𝜆 > 0
65
Estas expresiones constituyen lo que se conoce como Criterio AGS.
Pero el valor de 𝑅𝑒𝜃𝑠= 163 se basa en el de 𝑅𝑒𝜃
predicho por la teoria de estabilidad
lineal para flujos sobre placas planas con gradiente nulo de presión. Este concepto es
erróneo debido a que las variaciones del perfil de velocidades de la capa limite en
respuesta al fenómeno no estacionario de las fluctuaciones de la turbulencia de la
corriente externa pueden conducir a valores instantáneos más bajos 𝑅𝑒𝑥𝑐𝑟𝑖𝑡 y por lo
tanto el 𝑅𝑒𝜃 no es suficiente garantia para sustentabilidad del flujo turbulento.
El Dr. Drela considera que los problemas que presenta el Criterio AGS son de
características físicas y no numéricas. El mal planteamiento del problema se debe a no
tener en cuenta la interacción del flujo viscoso con el de la corriente libre, o sea la
influencia del flujo potencial en la transición de la capa limite aguas arriba del punto de
transición.
Cuando se inicia la transición en el punto 𝑥𝑡𝑟 tanto 𝛿∗ como 𝐻 al principio decrecen
rápidamente desde su valor en la zona laminar. En la zona de transición es como si
existiese un sumidero que produce el aceleramiento de 𝑢𝑒 hacia esta zona y por lo tanto
induce al parametro λ a ser más positivo.
Simultáneamente decrecen 𝑅𝑒𝜃 se incrementa 𝑅𝑒𝜃𝑠
.Esta contradiccion muestra que el
Criterio AGS de transición no puede predecir adecuadamente el inicio de la transición,
por lo que de esta manera el proceso de diseño, principalmente de los alabes de una
maquina rotatoria se torna dificultoso ya que no pueden calcularse satisfactoriamente
las características aerodinámicas de los mismos. Además en la implementación de
métodos numéricos aun con mallas "gruesas" debería poder conseguirse una
intercepción de 𝑅𝑒𝜃 y 𝑅𝑒𝜃𝑠
lo cual no está garantizado. En la figura siguiente puede
66
observarse lo descripto (26):
Figura I-5 El Dr. Drela a los efectos de un mejor planteamiento del problema que la propuesta por
el Criterio de Transición AGS, reemplaza la dependencia del parámetro λ de Thwaites
con 𝐻, de tal manera que:
𝑅𝑒𝜃
= 𝑅𝑒𝜃𝑠(𝐻, 𝑇𝑢) (I-31)
Sin embargo en este trabajo como se trata de una turbina eólica de eje vertical y que a
pesar de tratarse de palas que para la zona de funcionamiento óptimo están
constantemente sumergidas en la estela de la anterior, no parece acertado emplear
estrictamente lo planteado por el Dr. Drela en su Programa MISES.
La expresión propuesta por Mack para el cálculo de 𝑛𝑐𝑟𝑖𝑡 entrega valores negativos
para 𝑇𝑢 > 2.98% . Lo que no tiene significado físico alguno, aunque este resultado era
de esperar ya que todos los trabajos de investigación en este campo han sido realizados
67
en túneles de viento de bajo nivel de turbulencia y para estudios aerodinámicos
destinados a la aviación general.
Grafico I-1
Como en este caso concreto se debe trabajar con valores de turbulencia altos
y como la expresión para el cálculo del valor de 𝑛𝑐𝑟𝑖𝑡 expresado por la ecuación (I-26)
presenta el problema mencionado , se adoptara como metodología de cálculo de este
parámetro solamente lo propuesto por el Dr. Drela en la modificación del Criterio de
transición AGS para su Programa MISES ; de modificar la implementación del Método
𝑒𝑛 para tomar en cuenta la transición de bypass. Entonces las expresiones siguientes
son las que se emplearan para el cálculo de 𝑛𝑐𝑟𝑖𝑡:
𝑛(𝑥𝑡𝑟) = 𝑛𝑐𝑟𝑖𝑡 (I-32)
𝑛(𝑥𝑡𝑟) = ∫ 𝑓(𝐻, 𝑅𝑒𝜃)
𝑥𝑡𝑟
𝑥0
𝑑𝑥
𝜃 (I-33)
𝑇𝑢′ = 2.7 tanh
𝑇𝑢
2.7 (I-34)
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00
Ncr
it
Tu (%)
ncrit (MISES)
ncrit (Mack)
68
𝑛𝑐𝑟𝑖𝑡 = −8.43 − 2.4 ln (𝑇𝑢
′
100) (I-35)
En el grafico siguiente se comparan los valores de 𝑅𝜃 en funcion del Parametro de
Forma H para distintos 𝑛𝑐𝑟𝑖𝑡 calculados segun el Metodo 𝑒𝑛 y los arrojados segun el
criterio AGS
Grafico I-2 Como no es factible realizar pruebas en túnel de viento por la poca o nula disponibilidad
de estos equipamientos en mi país, se realizaran solamente simulaciones del impacto del
nivel de turbulencia en las características aerodinámicas del perfil diseñado para la
69
mencionada turbina eólica (𝐶𝑙 , 𝐶𝑑 ,𝐶𝑙
𝐶𝑑, 𝛿∗, 𝜃, 𝐻𝑘 , 𝐶𝑓 ) y con ello predecir las
performances generales de la misma ( 𝐶𝑃(𝜆), 𝐶𝑇(𝜆), 𝑒𝑡𝑐 ).
En lo que sigue hay un análisis con algunas precisiones de las ecuaciones en que se basa
este análisis y algunos otros enfoques sobre el mismo tema.
I.-4 LA ECUACIÓN INTEGRAL DE VON KARMAN Y SU APLICACIÓN A CAPAS
LIMITES LAMINAR Y TURBULENTA
Un gran número de soluciones de las ecuaciones de la capa limite basadas en análisis de
similaridad han sido desarrolladas, no obstante es necesario comprender que están
limitadas a distribuciones de presión específicas, es decir a cuerpos de una forma
determinada.
La relación Integral de Von Karman representa un análisis aproximado, aplicable a
distribuciones de presión arbitrarias y por lo tanto de mucha utilidad para resolver casos
prácticos.
Su derivación es la siguiente:
Si consideramos una región bidimensional limitada en su parte inferior por un cuerpo
sólido, una línea de ecuación y=δ (que representa el contorno de la capa limite) y dos
paredes paralelas perpendiculares a la superficie sólida. Esto puede apreciarse en la
siguiente figura:
Figura I.6
−𝜏𝑤∆𝑥 + (𝑝𝛿 −𝜕
𝜕𝑥(𝑝𝛿)∆𝑥) + (𝑝 +
1
2
𝜕𝑝
𝜕𝑥∆𝑥)
𝜕𝑝
𝜕𝑥∆𝑥 (I-36)
δ
ue xpp /5.0
pδ
dxpxp /dx
dxx)/(
y
x
70
El último término de la expresión anterior es el valor medio de la fuerza de presión
actuando sobre la curva representativa del borde de la capa limite (y=δ).
Como Δx es una cantidad pequeña se pueden despreciar los términos en que aparece
(Δx2) , por lo que la expresión anterior puede ser simplificada como sigue:
(−𝜏𝑤 − 𝛿𝜕𝑝
𝜕𝑥)∆𝑥 (I-37)
Para encontrar el flujo de Cantidad de Movimiento a través del volumen de control se
puede escribir lo siguiente:
∫ 𝜌𝑈𝑑𝑦𝛿
0 (Masa entrante al volumen de control)
∫ 𝜌𝑈𝑑𝑦𝛿
0 +
𝜕
𝜕𝑥(∫ 𝜌𝑈𝑑𝑦)
𝛿
0 (Masa saliente del volumen de control)
Entonces la diferencia entre estas dos expresiones no dará el flujo neto de masa en el
volumen de control:
𝜕
𝜕𝑥(∫ 𝜌𝑈𝑑𝑦)
𝛿
0𝛥𝑥 (I-38)
Entonces el flujo neto de cantidad de movimiento en el volumen de control se obtendrá
multiplicando por la velocidad U: 𝜕
𝜕𝑥(∫ 𝜌𝑈2𝛿
0dy)Δx (I-39)
El flujo neto entrante por el borde superior de la capa limite por la parte de la corriente
libre de velocidad Ue :
𝑈𝑒𝜕
𝜕𝑥(∫ 𝜌𝑈𝑑𝑦)𝛥𝑥
𝛿
0 (I-40)
Si también consideramos la tasa de incremento de la cantidad de movimiento dentro del
volumen de control dado por:
∫𝜕
𝜕𝑡
𝛿
0(ρU) dy Δx (I-41)
La ecuación de cantidad de movimiento combinada con las fuerzas actuantes en el
volumen de control será ahora:
71
∫𝜕
𝜕𝑡
𝛿
0(ρU) dy +
𝜕
𝜕𝑥(∫ 𝜌𝑈2𝛿
0dy) Δx - 𝑢𝑒
𝜕
𝜕𝑥(∫ 𝜌𝑈𝑑𝑦)𝛥𝑥
𝛿
0 = −𝜏𝑤 - 𝛿
𝜕𝑝
𝜕𝑥 (I-42)
Esta última expresión es conocida como la forma Integral de Von Karman y es aplicable
a flujos no estacionarios, compresibles y viscosos.
Si ahora se definen los siguientes parámetros:
𝛿∗ = ∫ (1 −𝛿
0
𝜌𝑈
𝜌𝑒𝑈𝑒)dy (espesor de desplazamiento)
Ө =∫ (1 −𝛿
0
𝑈
𝑈𝑒)
𝜌𝑈
𝜌𝑒𝑈𝑒dy (espesor de cantidad de movimiento)
Además es posible expresar a la variación de presión como:
−𝜕𝑝
𝜕𝑥 = ρ (∂𝑈𝑒/∂t +𝑈𝑒
𝜕𝑈𝑒
𝜕𝑥) (I-43)
Integrando entre 0 y δ:
-δ𝜕𝑝
𝜕𝑥 = ∫ 𝜌
𝜕𝑈𝑒
𝜕𝑡
𝛿
0dy +
𝜕𝑈𝑒
𝜕𝑥∫ 𝜌𝑈𝑒
𝛿
0dy (I-44)
También el tercer término de la ecuación (I-42) puede expresarse como:
𝑈𝑒𝜕
𝜕𝑥(∫ 𝜌𝑈𝑑𝑦)𝛥𝑥
𝛿
0 =
𝜕
𝜕𝑥(𝑈𝑒 ∫ 𝜌𝑈𝑑𝑦)
𝛿
0 -
𝜕𝑈𝑒
𝜕𝑥∫ 𝜌𝑈𝑒𝑑𝑦
𝛿
0 (I-45)
Sustituyendo (I.43) y (I.44) en la ecuación (I-42) tendremos:
𝜏𝑤 =𝜕
𝜕𝑥(∫ (𝜌
𝛿
𝑜𝑈𝑈𝑒-ρ𝑈2) dy) -
𝜕𝑈𝑒
𝜕𝑥∫ 𝜌𝑈
𝛿
0dy +
𝜕𝑈𝑒
𝜕𝑥∫ 𝜌
𝛿
0𝑈𝑒dy -∫
𝜕
𝜕𝑡
𝛿
0(ρU -ρ𝑈𝑒)𝑑𝑦
Si multiplicamos y dividimos el primer término de la Ec. anterior por: (ρeU2e) el
segundo, tercero y cuarto por (ρeUe):
𝜏𝑤=𝜕
𝜕𝑥∫ (1 −
𝛿
0
𝑈
𝑈𝑒)
𝜌𝑈
𝜌𝑒𝑈𝑒(𝜌𝑒𝑈𝑒
2)dy + 𝜕𝑈𝑒
𝜕𝑥∫ (1 −
𝛿
0
𝑈
𝑈𝑒)
𝜌
𝜌𝑒(𝜌𝑒𝑈𝑒 )dy +
𝜕
𝜕𝑡∫ (1 −
𝛿
0
𝑈
𝑈𝑒)
𝜌
𝜌𝑒(𝜌𝑒𝑈𝑒)𝑑𝑦 (I-46)
Considerando ahora las expresiones de δ∗ y Ө en la Ec. (I-46):
72
𝜏𝑤=𝜕
𝜕𝑥(𝜌𝑒𝑈𝑒
2Ө) +𝜌𝑒 𝑈𝑒 𝜕𝑈𝑒
𝜕𝑥𝛿∗ +
𝜕
𝜕𝑡(𝜌𝑒𝑈𝑒 𝛿
∗) (I.47)
Si consideramos que el flujo es estacionario desaparece el último término de la Ec.
anterior:
𝜏𝑤=𝜌𝑒𝑈𝑒2Ө
𝜕𝜌𝑒
𝜕𝑥 +2𝜌𝑒𝑈𝑒
𝜕𝑈𝑒
𝜕𝑥 Ө +𝜌𝑒𝑈𝑒
2 𝜕Ө
𝜕𝑥 +𝜌𝑒 𝑈𝑒
𝜕𝑈𝑒
𝜕𝑥𝛿∗ (I-48)
𝜏𝑤/(1
2𝜌𝑒𝑈𝑒
2)=𝑐𝑓 (I.49)
Si ahora dividimos (I-48) por ( 𝜌𝑒𝑈𝑒2)
𝑐𝑓
2= Ө
𝜕𝜌𝑒
𝜕𝑥+
2
𝑈𝑒
𝜕𝑈𝑒
𝜕𝑥Ө +
𝜕Ө
𝜕𝑥 +
1
𝑈𝑒 𝜕𝑈𝑒
𝜕𝑥𝛿∗ (I.50)
Si ahora en razón que podemos considerar que la variación principal en las magnitudes
es preponderante en un solo sentido (x), reemplazamos las derivadas parciales por el
cociente de diferenciales, es decir: 𝑐𝑓
2=(2 +
𝛿∗
Ө +𝑈𝑒
𝑑𝜌𝑒
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑈𝑒)
Ө
𝑈𝑒
𝑑𝑈𝑒
𝑑𝑥 +
𝑑Ө
𝑑𝑥 (I-51)
Si el flujo a su vez es isoentropico, se tiene la expresión siguiente:
𝑐𝑓
2=(2 + H +𝑈𝑒
𝑑𝜌𝑒
𝑑𝑈𝑒)
Ө
𝑈𝑒
𝑑𝑈𝑒
𝑑𝑥 +
𝑑Ө
𝑑𝑥 , H=
𝛿∗
Ө
Por la Ec. de Bernoulli aplicada a la corriente externa podemos escribir:
d𝑝𝑒= −𝑢𝑒 𝑑𝑈𝑒
𝑑𝜌𝑒 = 𝜌𝑒𝑑𝑝𝑒
𝑝𝑒 1
𝛾 =𝜌𝑒
−𝑢𝑒 𝑑𝑈𝑒
𝑝𝑒
1
𝛾
Reemplazando términos en la Ec. (I-51): 𝑐𝑓
2=(2 + H -𝑈𝑒
2𝜌𝑒/𝑝𝑒𝛾) Ө
𝑈𝑒
𝑑𝑈𝑒
𝑑𝑥 +
𝑑Ө
𝑑𝑥 (I.52)
73
𝑎2=𝑝𝑒γ/𝜌𝑒 𝑐𝑓
2=(2 + H -𝑀𝑒
2) Ө
𝑈𝑒
𝑑𝑈𝑒
𝑑𝑥 +
𝑑Ө
𝜕𝑑𝑥
𝜕Ө
𝜕𝑥 =
𝑐𝑓
2−(2 + H -𝑀𝑒
2) Ө
𝑈𝑒
𝑑𝑈𝑒
𝑑𝑥 (I-53)
Si se considera ahora un sistema de coordenadas adherido al perfil (ξ, η) esta ecuación la
de la energía cinética pueden ahora escribirse como: 𝜉
𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝜉=
𝜉
𝜃
𝐶𝑓
2− [𝐻 + 2 −𝑀𝑒
2]𝜉
𝑈𝑒
𝑑𝑈𝑒
𝑑𝜉 (I-54)
𝜉
𝐻∗
𝑑𝐻∗
𝑑𝜉=
𝜉
𝜃
2𝐶𝐷
𝐻∗−
𝜉
𝜃
𝐶𝑓
2− [
2𝐻∗∗
𝐻∗+ 1 − 𝐻]
𝜉
𝑈𝑒
𝑑𝑈𝑒
𝑑𝜉 (I-55)
Siendo:
𝜃∗ = ∫ [1 − (𝑈
𝑈𝑒)2
]∞
0
𝜌𝑈
𝜌𝑈𝑒𝑑𝜂 (I-56)
𝛿∗∗ = ∫ (1 −𝜌
𝜌𝑒)
∞
0
𝑈
𝑈𝑒𝑑𝜂 (I-57)
𝐶𝐷 =1
𝜌𝑈𝑒3 ∫ 𝜏
∞
0
𝜕𝑈
𝜕𝜂𝑑𝜂 (I-58)
𝐻∗ =𝜃∗
𝜃 (I-59)
𝐻∗∗ =𝛿∗∗
𝜃 (I-60)
Las ecuaciones (I-54) y (I.55) son válidas tanto para capas limites en flujo laminar como
turbulento y también para la estela. La dificultad más importante es que contienen más
incógnitas que el número de ecuaciones, y por lo tanto deben hacerse algunas hipótesis
sobre los restantes parámetros intervinientes en las mismas. Las variables dependientes
74
son el espesor de desplazamiento (𝛿∗) y el espesor de la cantidad de movimiento (𝜃).
Tanto la velocidad de la corriente libre (𝑈𝑒) y el Número de Mach de la misma (𝑀𝑒) son
conocidas del flujo externo, son datos del problema y por lo tanto no constituyen
incógnitas adicionales. Entonces las variables no definidas serian:𝐶𝑓 , 𝐶𝐷, 𝐻∗, 𝐻∗∗.
Para flujos compresibles y adiabáticos se pueden establecer las siguientes relaciones:
𝐻∗ = 𝐻∗(𝐻𝑘, 𝑀𝑒 , 𝑅𝑒𝜃) (I-61)
𝐻∗∗ = 𝐻∗∗(𝐻𝑘 , 𝑀𝑒) (I-62)
𝐶𝑓 = 𝐶𝑓(𝐻𝑘, 𝑀𝑒 , 𝑅𝑒𝜃) (I-63)
𝐶𝐷 = 𝐶𝐷(𝐻𝑘, 𝑀𝑒 , 𝑅𝑒𝜃) (I-64)
𝐻𝑘 es el Parametro de Forma cinematico y definido considerando la densidad ρ dentro
de la capa límite como constante. Como es conocido tanto para flujos compresibles
como incompresibles los perfiles de velocidad son similares, por lo tanto el parámetro
𝐻𝑘 juega un rol importante ya que depende unicamente del perfil de velocidad.
Whitfield ha dado la siguiente definición para el mismo:
𝐻𝑘 =∫ (1−
𝑈
𝑈𝑒)𝑑𝜂
∞
0
∫ (1−𝑈
𝑈𝑒)
∞
0𝑈
𝑈𝑒𝑑𝜂
=𝐻−0.290𝑀𝑒
2
1∗0.113𝑀𝑒2 (I-65)
Para la capa limite laminar las relaciones (I-61) a (I-64) es necesario definir alguna
familia de perfiles de velocidad dependientes de uno o más parámetros. Para el caso
laminar la elección más aceptable es la familia de Falkner_Scan con un parámetro de
forma prescripto y resolver mediante diferencias finitas como propone el Dr. Drela, de
la siguiente manera:
𝐻𝑘∗ = 1.515 + 0.076 (
4−𝐻𝑘
𝐻𝑘)2 , 𝐻𝑘 < 4 (I-66)
𝐻𝑘∗ = 1.515 + 0.040 (
𝐻𝑘−4.
𝐻𝑘)2 , 𝐻𝑘 > 4 (I-67)
La expresión para el parámetro de forma del espesor de densidad propuesta por
Whitfield es la siguiente:
75
𝐻∗∗ = (0.064
𝐻𝑘−0.8+ 0.251) 𝑀𝑒
2 (I-68)
La expresión anterior tiene aplicación tanto para flujos laminares como turbulentos y es
despreciable para flujos subsónicos muy bajos. Además posee poca incidencia en flujos
transónicos.
𝑅𝑒𝜃
𝐶𝑓
2= −0.067 + 0.01977 (
7.4−𝐻𝑘
𝐻𝑘−1)3
, 𝐻𝑘 < 7.4 (I-69)
𝑅𝑒𝜃
𝐶𝑓
2= −0.067 + 0.022 (1 −
1
𝐻𝑘−6)5.5
, 𝐻𝑘 > 7.4 (I-70)
𝑅𝑒𝜃
2𝐶𝐷
𝐻∗= 0.207 + 0.00205
(4−𝐻𝑘)
𝐻𝑘+1
5.5
, 𝐻𝑘 < 4 (I-71)
𝑅𝑒𝜃
2𝐶𝐷
𝐻∗= 0.207 − 0.003
(𝐻𝑘−4)2
1+0.02(𝐻𝑘−4)2 , 𝐻𝑘 > 4 (I-72)
La pequeña corrección por compresibilidad en la ecuación (I-65) ha sido definida
también por Whitfield, mientras que las restantes expresiones no tienen corrección por
compresibilidad.
En las figuras que siguen se presentan las gráficas de 𝐻𝑘∗ , 𝑅𝑒𝜃
𝐶𝑓
2 y 𝑅𝑒𝜃
2𝐶𝐷
𝐻∗ en funcion
de 𝐻𝑘 para un perfil Selig S1210 a un Número de Reynolds 𝑅𝑒 = 170000 y un ángulo de
ataque 𝛼 = 14.3∘:
76
Grafico I.3
Grafico I.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 2 4 6 8 10 12
Hk*
Hk
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 2 4 6 8 10 12
Re
θC
D/H
*
Hk
ReθCD/H*
77
Grafico I.5
Cuando estos valores dados en las ecuaciones anteriores son sustituidos en las (I-54 y (I-
55) se tiene un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) en las variables
𝛿∗ , θ y 𝑈𝑒.
A diferencia del Método de Thwaites que utiliza una sola ecuación el empleo de dos
ecuaciones con los parámetros definidos empíricamente da una mayor exactitud en los
cálculos que han probado ser muy exactos para flujos de bajo Número de Reynolds.
En el caso de tratarse de capa limite turbulenta la tarea de obtener relaciones empíricas
como las anteriores para flujo laminar, es mucho más complicada. Las capas limites
turbulentas tienen a diferencia de las laminares una estructura de dos capas, con
espesores que se desarrollan de manera diferente con el parámetro 𝑅𝑒𝜃.
Por lo tanto con un solo parámetro no basta para definir el desarrollo de una capa límite
turbulenta y entonces se hace necesario definir otro parámetro adicional como es el de
fricción superficial.
Swafford ha definido el siguiente factor para la fricción superficial:
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 2 4 6 8 10 12
Re
θC
f/2
Hk
ReθCf/2
78
𝐹𝐶𝐶𝑓 = 0.3𝑒−1.33𝐻𝑘/ log10 (𝑅𝑒𝜃
𝐹𝑐) 1.74+0.31𝐻𝑘 + 0.00011 (tanh (4 −
𝐻𝑘
.875) − 1) (I-73)
Definiendo a:
𝐹𝐶 = √(1 + 𝑀𝑒2)2
(I-74)
Grafico I.6
Esta función con 𝑀𝑒 ≃ 0 en conjunto con la que define el parametro 𝐶𝑓 (I-69) y (I-70)
son graficadas para varios Números de Reynolds. Puede observarse que las curvas para
flujos laminar y turbulento son similares alrededor 𝑅𝑒𝜃= 400 que es el mínimo valor al
que una capa limite turbulenta puede existir.
A los efectos de obtener una expresión para 𝐻∗ se emplea una expresión analítica del
perfil de velocidades dado por Swafford y que consiste en la sumatoria de dos funciones
asintóticas: una que representa una solución interna para la subcapa laminar y la capa
buffer y otra para la capa externa o estela:
𝑈
𝑈𝑒=
𝑈𝜏
𝑈𝑒
𝑠
0.09tan−1(0.09𝑦+) + (1 +
𝑈𝜏
𝑈𝑒
𝑠𝜋
.18) tanh
12⁄ (𝑎 (
𝜂
𝜃)𝑏
) (I-75)
Donde:
𝑈𝜏
𝑈𝑒=|
𝐶𝑓
2|1
2⁄ (I-76)
𝑠 =𝐶𝑓
|𝐶𝑓| (I-77)
79
𝑦+ =𝜌𝑈𝜏
𝜇η (I-78)
Las dos constantes a y b pueden ser calculados para cualquier valor de 𝛿∗ 𝑦 𝜃 mediante
el uso de (I-73) y mediante la sustitución del perfil de velocidades (I-75) en las
expresiones para los parámetros del espesor de desplazamiento (𝛿∗) y el de la cantidad
de movimiento (𝜃)
Esto produce un sistema implícito y acoplado (2X2) en a y b que puede ser resuelto por
el método de Newton.
La expresión (I-35) creada por Swafford y utilizada por Whitfield y Thomas constituye
un andamiaje importante para los métodos integrales de la capa límite.
No obstante el Dr. Drela considera que las simplificaciones realizadas conducen a
resultado errático en la región donde se produce la transición entre la capa limite laminar
y la turbulenta cuando el Numero de Reynolds basado en el espesor de la cantidad de
movimiento ( 𝑅𝑒𝜃) es demasiado bajo.
Por lo tanto utilizando una forma no simplificada de la ecuación (I-75) y luego de
muchas pruebas y error llega a las siguientes expresiones:
𝐻0 = 3 +400
𝑅𝑒𝜃
(I-79)
𝐻𝑘∗ = 1.505 +
4
𝑅𝑒𝜃+ (0.165 −
1.6
√𝑅𝑒𝜃) (
𝐻𝑘−𝐻0
𝐻𝑘)1.6
𝐻𝑘 < 𝐻0 (I-80)
𝐻𝑘∗ = 1.505 +
4
𝑅𝑒𝜃+ (𝐻𝑘 − 𝐻0)
2 (0.04
𝐻𝑘+ 0.007
ln(𝑅𝑒𝜃)
(𝐻𝑘−𝐻0+4
ln(𝑅𝑒𝜃))2) 𝐻𝑘 > 𝐻0 (I-81)
La ecuación (I-81) es utilizada para obtener el valor de 𝐻∗ en función de 𝐻𝑘∗.
La relación más dificultosa de obtener es la del coeficiente de disipación para el caso de
una capa limite turbulenta, debido a que depende de las tensiones de Reynolds
distribuidas en toda la capa limite. En la tesis del Dr. Drela se basa en las condiciones
de equilibrio de la capa límite primero postuladas por Clauser y luego confirmadas
experimentalmente.
Es conocido que las capas límites laminares se mantienen similares si el gradiente de
presión de Falkner-Scan se mantiene constante: 𝜉
𝑈𝑒
𝜕𝑈𝑒
𝜕𝜉= cte.
80
Esto ha sido la base para obtener las ecuaciones anteriores en la parte laminar de la capa
limite.
Clauser ha desarrollado experimentos para el caso de capas límites turbulentas análogas
a los perfiles de Falkner-Scan, que se auto preservan, manteniendo constante el
gradiente dado por β en la siguiente expresión:
β ≅δ∗
τw
𝑑𝑝
𝑑𝜉= −
2
𝐶𝑓
𝛿∗
𝑈𝑒
𝑑𝑈𝑒
𝑑𝜉 (I-82)
Y el nuevo factor de forma:
𝐺 ≅𝐻𝑘−1
𝐻𝑘
1
√𝐶𝑓2⁄
(I-83)
También se mantiene constante. De esta manera para ciertos casos especiales G es
función solo de β, con una posible relación empírica como la siguiente:
𝐺 = 6.7√1 + 0.75β (I.84)
Como los experimentos de Clauser han sido realizados con Números de Mach muy
bajos, el reemplazo de 𝐻 por 𝐻𝑘 se ha realizado en las expresiones anteriores para tener
en cuenta los efectos de compresibilidad.
Utilizando las definiciones de 𝐺 y β en las ecuaciones (I-83) y (I-84) después de algunos
arreglos llegar a: (𝐻𝑘−1)
𝐻𝑘
1
√𝐶𝑓
2
= 6.7√1 + 0.75𝛽 (I.85)
[(𝐻𝑘−1)
67𝐻𝑘]2 1
𝐶𝑓
2
= 1 + 0.75𝛽 (I.86)
𝛿∗
𝑈𝑒
𝑑𝑈𝑒
𝑑𝜉= 𝛽
𝐶𝑓
2 (I.87)
𝛿∗
𝑈𝑒
𝑑𝑈𝑒
𝑑𝜉=
1
.75(𝐶𝑓
2− (
(𝐻𝑘−1)
67𝐻𝑘)2
) (I-88)
Para la discretización se tienen tres ecuaciones diferenciales (I-54), (I-55) y la
siguiente:
81
2𝐶𝐷
𝐻∗=
𝐶𝑓
2(
4
𝐻𝑘− 1)
1
3+
2
𝐻∗𝐶𝜏(1 − 𝑈𝑠) (I-89)
𝐶𝜏 =1
𝑈𝑒2 (𝑢′𝑣′)
𝑚𝑎𝑥
12⁄
, 𝑈𝑠 =𝐻∗
6(
4
𝐻𝑘− 1) (I.90)
Siendo 𝑢′𝑣′ las tensiones de Reynolds
La ecuación (I-54) puede ser escrita de la siguiente manera: 𝑑𝜃
𝜃
𝜉
𝑑𝜉−
𝜉
𝜃
𝐶𝑓
2+ (𝐻 + 2 − 𝑀𝑒
2)𝑑𝑈𝑒
𝑈𝑒
𝜉
𝑑𝜉 =0 (I-91)
𝑑𝜃
𝜃𝑑𝜉
𝜉
−𝜉
𝜃
𝐶𝑓
2+ (𝐻 + 2 − 𝑀𝑒
2)𝑑𝑈𝑒𝑈𝑒𝑑𝜉
𝜉
=0 (I-92)
Si ahora integramos entre dos valores próximos en las variables ξ y θ:
∫𝑑𝜃
𝜃
𝜃2𝜃1
∫𝑑𝜉
𝜉
𝜉2𝜉1
−𝜉
𝜃
𝐶𝑓
2+ (𝐻 + 2 − 𝑀𝑒
2)
∫𝑑𝑈𝑒𝑈𝑒
𝑈𝑒2𝑈𝑒1
𝑈𝑒
∫𝑑𝜉
𝑒
𝜉2𝜉1
= 0 (I.93)
ln𝜃2𝜃1
ln𝜉2𝜉1
−𝜉𝑎𝑣𝑔
𝜃𝑎𝑣𝑔
𝐶𝑓
2(𝐻 + 2 − 𝑀𝑒
2)ln
𝑈𝑒2𝑈𝑒1
ln𝜉2𝜉1
= 0 (I-94)
De la misma manera se puede proceder con la ecuación (I-55) para obtener:
ln𝐻2
∗
𝐻1∗
ln𝜉2𝜉1
=𝜉𝑎𝑣𝑔
𝜃𝑎𝑣𝑔(𝐶𝑓
2− 𝐶𝐷) + (
2𝐻∗∗
𝐻∗+ 1 − 𝐻𝑎𝑣𝑔)
ln𝑈𝑒2𝑈𝑒1
ln𝜉2𝜉1
= 0 (I-95)
𝐶𝐶 =2𝐶𝐷
𝐻∗ (I-96)
Desarrollada la matemática fundamental para el abordaje del estudio de las capas limites
laminar y turbulentas mediante métodos integrales como el de Von Karman, resulta
necesario tratar el caso especial que se produce en flujos de bajo Numero de Reynolds
presente en las palas de los Generadores Eólicos de Eje Vertical, debido a su
relativamente baja velocidad de rotación y la cuerda de las palas de pequeño tamaño.
82
En Números de Reynolds del siguiente orden:104 < 𝑅𝑒 < 106 aparece siempre el
fenómeno denominado burbujas de separación laminar a ciertos ángulos de ataque del
perfil.
Estas burbujas son responsables de una alteración de las características del perfil,
produciendo un crecimiento del coeficiente de resistencia aerodinámica (𝐶𝑑) a
moderados coeficientes de sustentación (𝐶𝑙) fundamentalmente por la alteracion de sus
características geométricas.
Figura I.7
En flujos alrededor de perfiles la existencia de gradientes de presión adversos provoca
que la capa limite tienda a separarse del mismo, y sea generalmente inestable, derivando
en una transición hacia una capa límite turbulenta.
Cuando el transporte de cantidad de movimiento del flujo exterior hacia interior de la
capa limite es lo suficientemente importante, la corriente vuelve a adherirse al perfil.
Este fenómeno puede verse con mayor claridad en la figura anterior.
Es por lo expuesto de gran importancia para calcular las verdaderas performances de un
perfil alar en flujos de bajos Números de Reynolds la detección del punto de transición
de flujo laminar a turbulento y el tamaño de las mencionadas burbujas.
Las burbujas de separación laminar (LSB) se pueden detectar mediante el programa
XFOIL cuando el coeficiente de fricción 𝐶𝑓 alcanza valores negativos.
En el grafico siguiente se puede observar esto para un perfil SD 7003 a un Numero de
Reynolds de 6𝑥104 y un ángulo de ataque de 4°
83
Grafico I.7
Una primera aproximación a la determinación del punto de transición es la propuesta por
Michel, que se basa en la hipótesis que la transición comienza a un Numero de Reynolds
basado en la distancia recorrida por la capa limite sobre el perfil. El valor del Número de
Reynolds de transición depende de varios factores entre los que incluyen el valor del
gradiente de presión adverso y de la rugosidad de la superficie.
Para flujos incompresibles y sin transferencia de calor, Michael luego de recolectar una
gran cantidad de datos de mediciones en túneles de viento, propone la siguiente
expresión:
𝑅𝑒𝜃 > 𝑅𝑒𝜃𝑚𝑎𝑥 (I.97)
Siendo:
𝑅𝑒𝜃𝑚𝑎𝑥 = 1.174 (1 +22.4
𝑅𝑒𝑥)𝑅𝑒𝑥
0.46 (I-98)
X= distancia medida sobre el perfil desde el punto de inicio de la capa limite
84
Esta fórmula tiene en cuenta los efectos del gradiente adverso de presión sobre el
crecimiento del espesor de la cantidad de movimiento, pero no incluye el efecto de la
rugosidad. Pero como está basada en una cantidad de datos importante puede ser
utilizada en los primeros tramos del análisis de perfiles.
En este trabajo se siguen los lineamientos propuestos por el Dr. Drela y el Profesor Van
Ingen y se emplea el método conocido como 𝑒𝑛.
Entonces el problema principal de la transición puede ser dividido en dos partes
principales:
a) La detección del punto sobre el perfil en el que aparece o se inicia la transición.
b) la formulación de las ecuaciones de la capa limite en esa transición.
Para la predicción del inicio de la transición se emplean las ecuaciones de Orr-
Sommerfeld basadas en la teoría de una amplificación espacial de las perturbaciones de
la corriente libre.
Esto es debido a que es bastante conocido que el crecimiento de estas perturbaciones es
el precursor de la transición en capas límites.
El Dr. Drela en su Tesis propone que la aparición de la transición se produce cuando la
tasa de crecimiento de las perturbaciones con la frecuencia de mayor inestabilidad, es
mayor que un factor 𝑒9.
Este exponente puede variar actualmente entre 4 y14, dependiendo de: La turbulencia
del la corriente libre, la rugosidad del perfil, el nivel de ruido ambiente, etc.
Utilizando las ecuaciones de Falkner-Scan de una familia de perfiles de velocidad en la
capa limite se puede obtener la envuelta de las curvas de amplificación para los
parámetros 𝐻_𝜔𝑅𝑒𝜃 .Estas envueltas son representadas por líneas rectas, a los efectos de
que la computación de las mismas sea más simple.
La ecuación para una envuelta de relaciones de amplificación puede representarse como:
ln𝑎
𝑎0≡ 𝑛 =
𝑑𝑛(𝐻)
𝑑𝑅𝑒𝜃{𝑅𝑒𝜃 − 𝑅𝑒𝜃0
(𝐻)} (I-99)
Donde la pendiente 𝑑𝑛(𝐻)
𝑑𝑅𝑒𝜃 y el Número de Reynolds critico 𝑅𝑒𝜃0
(𝐻) estan dados por:
𝑑𝑛(𝐻)
𝑑𝑅𝑒𝜃= 0.01[(2.4𝐻 − 3.7 + 2.5 tanh[1.5(𝐻 − 3.1)])2 + 0.25]
12⁄ (I-100)
log10 𝑅𝑒𝜃0= (
1.415
𝐻−1− 0.489) tanh (
20
𝐻−1− 12.9) +
3.295
𝐻−1+ 0.440 (I-101)
85
Las figuras siguientes nos muestran las envueltas de las curvas definidas por las
ecuaciones (I-99), (I.100) y (I-101):
Grafico I.8
Para flujos laminares 𝐻 permanece constante y 𝑅𝑒𝜃 depende exclusivamente de la
coordenada ξ.Entonces la ecuación (I-99) nos da la relación de amplitudes de una
manera directa y el inicio de la transición comienza cuando 𝑛 = 9.
Para flujos no similares es más realista físicamente utilizar a ξ como variable
dependiente que 𝑅𝑒𝜃 Utilizando las ecuaciones de Falkner-Scan se puede realizar la
transformación de 𝑅𝑒𝜃 en ξ de la siguiente manera:
𝑑𝑛
𝑑𝜉=
𝑑𝑛
𝑑𝑅𝑒𝜃
𝑑𝑅𝑒𝜃
𝑑𝜉=
1
2
𝑑𝑅𝑒𝜃
𝑑𝜉(
𝜉
𝑈𝑒
𝑑𝑈𝑒
𝑑𝜉+ 1)
𝜌𝑒𝑈𝑒𝜃2
𝑈𝑒𝜉
1
𝜃 (I-102)
86
Utilizando las siguientes relaciones empíricas:
𝜌𝑒𝑈𝑒𝜃
2
𝑈𝑒𝜉≡ 𝑙(𝐻) =
(6.54𝐻−14.07)
𝐻2 (I-103)
𝜉
𝑈𝑒
𝑑𝑈𝑒
𝑑𝜉≡ 𝑚(𝐻) = [
0.058(𝐻−4)2
(𝐻−1)− 0.068]
1
𝑙(𝐻) (I-104)
Entonces la tasa de amplificación espacial puede escribirse como:
𝑑𝑛
𝑑𝜉 (𝐻, 𝜃) =
𝑑𝑛
𝑑𝑅𝑒𝜃
(𝐻)𝑚(𝐻)+1
2𝑙(𝐻)
1
𝜃 (I-105)
Esta tasa de amplificación puede ser integrada aguas abajo del punto de inicio de la
inestabilidad 𝜉𝑐𝑟 donde 𝑅𝑒𝜃= 𝑅𝑒𝜃0
, es decir:
𝑛(𝜉) = ∫𝑑𝑛
𝑑𝜉
𝜉
𝜉𝑐𝑟𝑑𝜉 (I-106)
En realidad esta última ecuación no es utilizada y se la reemplaza por la ecuación
diferencial (I-105) que es discretizada mediante el método de Newton, lo que le da más
robustez al cálculo.
En el caso de flujos compresibles se reemplaza el parámetro 𝐻 por el 𝐻𝑘 en las
ecuaciones anteriores. Esto está justificado dado que la forma del perfil de velocidad es
la característica dominante en el valor de la tasa de amplificación.
Debido a la dificultad de encontrar la ecuación gobernante en la zona de transición la
imposibilidad de realizar hipótesis coherentes, se toma un promedio de los valores de
𝐶𝑓 y 𝐻∗ , afectados por funciones de peso (1 − 𝛾𝑡𝑟) 𝑦 𝛾𝑡𝑟 para la zona laminar y
turbulenta de la capa limite. Por ejemplo para la un punto 𝑖𝑡𝑟 se tiene:
𝐻∗ = (1 − 𝛾𝑡𝑟)𝐻𝑙𝑎𝑚∗ + 𝛾𝑡𝑟 𝐻𝑡𝑢𝑟
∗ (I-107)
Donde:
𝛾𝑡𝑟 =𝑛𝑖−9
(𝑑𝑛
𝑑𝜉)𝑖
1
𝜉𝑖−𝜉𝑖−1 , 𝑖 = 𝑖𝑡𝑟 (I-108)
Siendo: 𝛾𝑡𝑟 = 0 para 𝑖 < 𝑖𝑡𝑟 y 𝛾𝑡𝑟 = 1 para 𝑖 > 𝑖𝑡𝑟
Una expresión similar puede utilizarse para 𝐶𝑓.
87
En contraste con 𝐶𝑓 y 𝐻∗ el coeficiente de disipación 𝐶𝐷 difiere sustancialmente según
se trate de un régimen laminar o turbulento. Siendo en este último caso marcadamente
mayor.
Las tensiones de Reynolds de flujo turbulento representadas por el coeficiente 𝐶𝜏 son las
causantes del crecimiento en el fenómeno de la disipación que crece gradualmente y no
de manera instantánea desde el comienzo de la transición. Este crecimiento gradual del
coeficiente de disipación dado por la ecuación (I-44) depende solamente de parámetro
de forma H y del Numero local de Reynolds 𝑅𝑒𝜃.
A los efectos de poder predecir el inicio de la separación de la capa límite turbulenta y
utilizar este valor en los cálculos de la perdida dinámica con los lineamientos de
Beddoes-Leishman, se pueden seguir varios criterios, y en este trabajo se han seguido
los dos siguientes:
a) El criterio de similaridad empleado en el trabajo de Castillo-Xia Wang (5), que
utilizan las ecuaciones Reynolds Average Navier-Stokes (RANS) para el cálculo
de la capa límite, y donde se muestra que el gradiente de presión adverso de la
parte externa de flujo tiende a mantener en equilibrio las capas limites turbulentas,
cerca de la separación y después de ella.
b) Considerar que la capa limite turbulenta comienza a separarse cuando el
parámetro de forma cinemático 𝐻𝑘 es cercano a 4 y cuando simultáneamente el
coeficiente de fricción 𝐶𝑓 comienza a tener valores negativos.
Se comparan en este trabajo ambos resultados.
La separación de una capa limite turbulenta se la puede considerar como un proceso en
lugar de un simple evento como el del caso laminar.
Los trabajos realizados por Simpson en la década del 80 echan nueva luz a proceso de
separación de las capas límites turbulentas. Los aspectos más relevantes pueden ser
resumidos de la siguiente manera:
a) Incipiente separación cuando el flujo en reversa alcanza ocurre ocasionalmente el
1% del tiempo.
b) Separación transitoria intermitente cuando el flujo reversa aproximadamente el
20% del tiempo.
c) Separación transitoria cuando este valor alcanza el 50% del tiempo.
d) Separación cuando el promedio en el tiempo de la tensión en la pared es nula.
Recientes pruebas experimentales sugieren que cuando el coeficiente instantáneo de
flujo hacia atrás alcanza alrededor del 50 % el coeficiente promedio de fricción
superficial es nulo.
Estos autores utilizan un simple parámetro que define el gradiente de presión en el perfil
alar, denominado 𝛬𝜃 definido de la siguiente manera:
88
𝛬𝜃 =𝜃
𝜌𝑈𝑒2𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝑃𝑒
𝑑𝑥= 𝑐𝑡𝑒 (I-109)
Si en la Ec. Integral de la capa limite dada por (I-53) y se considera la equivalencia
siguiente:
−𝑑𝑈𝑒
𝑑𝑥=
1
𝜌𝑈𝑒 2
𝑑𝑃𝑒
𝑑𝑥 (I-110)
Por lo tanto:
𝛬𝜃 =𝜃
𝜌𝑈𝑒2𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝑃𝑒
𝑑𝑥= −
𝜃
𝑈𝑒𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝑈𝑒
𝑑𝑥= 𝑐𝑡𝑒 (I-111)
Si se realiza el reacomodamiento de las variables y se procede a la integración se tiene:
𝛬𝜃𝑑𝜃
𝜃= −
𝑑𝑈𝑒
𝑈𝑒 ∫
𝑑𝜃
𝜃= −
1
𝛬∫
𝑑𝑈𝑒
𝑈𝑒 log10 𝜃 = −
1
𝛬𝜃log10 𝑈𝑒 (I.112)
𝜃 ∼ 𝑈𝑒
−1
𝛬𝜃 (I-113)
Esta última expresión es aproximadamente válida para capas límites con gradientes de
presión externa adversos.
89
Grafico I.9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-5 -4 -3 -2 -1 0
Log
Ue
log θ
log Ue(α=14.3º)
Re= 170000
90
Grafico I.10
Se tiene: 𝐶𝑓
2=
𝑑𝜃
𝑑𝑥− (2 + 𝐻 − 𝑀𝑒
2)𝜃
𝜌𝑈𝑒2
𝑑𝑃𝑒
𝑑𝑥 (I-114)
Que también puede expresarse en función de (I-62) como:
𝐶𝑓
2=
𝑑𝜃
𝑑𝑥− (2 + 𝐻 − 𝑀𝑒
2)𝛬𝜃𝑑𝜃
𝑑𝑥 (I-115)
𝐶𝑓
2=[1 − (2 + 𝐻 − 𝑀𝑒
2)𝛬𝜃]𝑑𝜃
𝑑𝑥 (I-116)
y = -0.1817x + 0.319
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-5 -4 -3 -2 -1 0
log
Ue
log θ
Log Ue(α=17.4º)
Lineal (Log Ue(α=17.4º))
Re=170000
91
De acuerdo a lo expresado anteriormente si se considera que un indicador de la
separación de la capa limite es que 𝐶𝑓 = 0 , pero no puede decirse lo mismo para la
derivada del espesor de la cantidad de movimiento (θ); por lo tanto 𝐻𝑠𝑒𝑝 puede ahora
estimarse de las siguientes expresiones:
𝐶𝑓 ≡ 0 ,𝑑𝜃
𝑑𝑥≠ 0
1 = (2 + 𝐻 − 𝑀𝑒2)𝛬𝜃
𝐻𝑠𝑒𝑝 =1
𝛬𝜃 − 2 + 𝑀𝑒
2 (I-117)
De la ecuación anterior se puede ahora definir matemáticamente el inicio de la
separación de una capa límite turbulenta.
En la tabla siguiente se aprecian los resultados de los dos métodos mencionados: QFLR5 v0.03
S1210 12%
Alpha alpha=15.3 Re=272905 Ma=0.0300 ncrit=7
Top Side
x Hk Cf D* Theta CTq 1/Λθ Hsep
0.0976695 3.67109 0.00039 0.00182 0.0005 0.09193 5.813175764 3.903175764
0.110967 2.27597 0.00761 0.00146 0.00064 0.06943 5.66091921 3.75091921
0.124757 1.79381 0.01231 0.00129 0.00072 0.05407 6.598663384 4.688663384
0.138939 1.60658 0.0149 0.00127 0.00079 0.04568 6.743719026 4.833719026
0.15341 1.52406 0.01616 0.00131 0.00086 0.04139 6.822881248 4.912881248
0.168124 1.49081 0.01617 0.0014 0.00094 0.03964 5.892208133 3.982208133
0.183097 1.47985 0.01558 0.00152 0.00102 0.03916 6.286351103 4.376351103
0.198311 1.47787 0.01484 0.00165 0.00111 0.0392 6.100689811 4.190689811
0.213703 1.47982 0.01408 0.00178 0.0012 0.03945 6.172472171 4.262472171
0.229195 1.48284 0.0134 0.00191 0.00129 0.03974 5.859595948 3.949595948
0.244717 1.48774 0.01274 0.00205 0.00138 0.04013 5.246319594 3.336319594
0.260261 1.49529 0.01205 0.00221 0.00147 0.04066 5.27448332 3.36448332
0.275827 1.50478 0.01135 0.00237 0.00157 0.04129 5.215729226 3.305729226
0.291387 1.51614 0.01065 0.00255 0.00168 0.04201 4.90425156 2.99425156
0.306922 1.53071 0.00992 0.00276 0.0018 0.0429 4.788672168 2.878672168
0.322439 1.55002 0.00913 0.00301 0.00194 0.04401 4.418582697 2.508582697
0.337976 1.57667 0.00824 0.00331 0.0021 0.04548 4.394763846 2.484763846
0.353651 1.61385 0.00725 0.00371 0.0023 0.04741 4.301553829 2.391553829
0.369575 1.65957 0.00626 0.0042 0.00253 0.04964 4.170246892 2.260246892
0.385733 1.71244 0.00533 0.00477 0.00278 0.05205 4.227699272 2.317699272
0.402083 1.77387 0.00448 0.00544 0.00306 0.05465 4.30888469 2.39888469
0.418561 1.84516 0.0037 0.00623 0.00337 0.05743 4.351866839 2.441866839
92
0.435099 1.93074 0.00298 0.00716 0.00371 0.06048 4.409989237 2.499989237
0.451689 2.03628 0.00232 0.0083 0.00408 0.06389 4.346437534 2.436437534
0.46834 2.16718 0.00174 0.00968 0.00446 0.06765 4.605262237 2.695262237
0.485056 2.32925 0.00123 0.01132 0.00486 0.07176 4.66871857 2.75871857
0.501834 2.52925 0.00081 0.01327 0.00524 0.07617 4.984293029 3.074293029
0.518669 2.77468 0.00048 0.0155 0.00559 0.08084 4.994817926 3.084817926
0.535543 3.07452 0.00022 0.01803 0.00586 0.08573 5.42662116 3.51662116
0.552448 3.45733 0.00005 0.02079 0.00601 0.09116 5.905572714 3.995572714
0.569378 3.89294 -0.00001 0.02374 0.0061 0.09633 6.147391196 4.237391196
0.586327 4.32347 -0.00003 0.02689 0.00622 0.10042 6.439082889 4.529082889
0.603277 4.74464 -0.00005 0.03019 0.00636 0.10371 7.040513507 5.130513507
0.620213 5.15549 -0.00005 0.03363 0.00652 0.10643 7.733996192 5.823996192
0.637141 5.5549 -0.00005 0.0372 0.0067 0.1087 7.604237553 5.694237553
0.654066 5.94111 -0.00004 0.04089 0.00688 0.11064 8.354830691 6.444830691
0.670983 6.31246 -0.00004 0.04469 0.00708 0.11229 8.701791826 6.791791826
0.687885 6.66805 -0.00004 0.0486 0.00729 0.11372 9.020917361 7.110917361
0.70476 7.0074 -0.00004 0.0526 0.00751 0.11497 8.972888663 7.062888663
0.721599 7.33096 -0.00004 0.05671 0.00773 0.11607 9.727760744 7.817760744
0.738405 7.63979 -0.00003 0.06091 0.00797 0.11704 10.08782936 8.17782936
0.755189 7.9342 -0.00003 0.06521 0.00822 0.11791 10.0214585 8.111458502
0.771938 8.21407 -0.00003 0.06961 0.00847 0.11869 10.80189985 8.891899845
0.788628 8.48061 -0.00003 0.0741 0.00874 0.1194 10.80896523 8.898965227
0.805245 8.73546 -0.00003 0.07868 0.00901 0.12004 10.80786856 8.897868558
0.821779 8.98014 -0.00003 0.08336 0.00928 0.12063 11.23084291 9.320842912
0.838221 9.21601 -0.00003 0.08814 0.00956 0.12117 11.66839284 9.758392837
0.854548 9.44398 -0.00003 0.09302 0.00985 0.12168 11.7596099 9.849609902
0.87071 9.6655 -0.00003 0.098 0.01014 0.12215 11.88303395 9.973033953
0.886643 9.88269 -0.00002 0.10308 0.01043 0.1226 12.13139873 10.22139873
0.902264 10.0977 -0.00002 0.10825 0.01072 0.12303 12.52983955 10.61983955
0.917454 10.31237 -0.00002 0.11352 0.01101 0.12344 12.21327398 10.30327398
0.931999 10.52779 -0.00002 0.11882 0.01128 0.12385 13.0810603 11.1710603
0.945649 10.74674 -0.00002 0.12413 0.01155 0.12425 12.78977707 10.87977707
0.958129 10.96829 -0.00002 0.12935 0.01179 0.12464 13.48593041 11.57593041
0.969181 11.19301 -0.00002 0.13442 0.01201 0.12502 13.02936946 11.11936946
0.978704 11.43441 -0.00002 0.13944 0.01219 0.12542 14.27233974 12.36233974
0.987038 11.71861 -0.00002 0.14481 0.01236 0.12587 13.9842462 12.0742462
0.994832 11.99484 -0.00002 0.15014 0.01252 0.1263 13.21113207 11.30113207
1 12.02085 -0.00002 0.152 0.01264 0.12634 13.11113207 11.00043
Tabla I.2
93
En este trabajo a pesar de obtenerse valores aproximados por ambos métodos, se ha
optado por el que consiste en considerar como punto de separación de la capa limite
turbulenta cuando el Factor cinemático de Forma se aproxima al valor de 4 (𝐻𝑘 ≅ 4) y
simultáneamente el coeficiente de fricción alcanza el valor nulo o en su defecto valor
negativo (𝐶𝑓 ≤ 0).
Además de mostrarse más conservador este último método, se mantiene la coherencia al
utilizar siempre los datos obtenidos en el Programa XFOIL.
94
ANEXO II
EL FLUJO NO ESTACIONARIO EN LAS TURBINAS DE EJE VERTICAL
1.- FLUJO TOTALMENTE ADHERIDO AL PERFIL
En este anexo se desarrolla de manera superficial el Método de Beddoes-Leishman para
calcular el fenómeno de Dynamic Stall presente en las turbinas de eje vertical.
El entendimiento de este fenómeno es de fundamental importancia en el cálculo de las
cargas a que son sometidas las palas de este tipo de generador eólico.
Este análisis de la aerodinámica no estacionaria pretende obtener los valores de la
sustentación, la resistencia y el momento de cabeceo de una manera más exacta que los
que corresponden a las de condiciones estáticas.
Para una turbina de eje vertical las palas rotan con una velocidad angular y el viento
incide sobre cada una de ellas con un ángulo de ataque diferente en cada estadio de
tiempo y que depende principalmente de su posición acimutal, de la velocidad de
rotación y del factor de interferencia
(Ver Anexo I).
El rápido cambio del ángulo de ataque es el causante del fenómeno no estacionario
definido como “Dynamic Stall”.
Esto hace que los valores de Sustentación, Resistencia y Momento de Cabeceo
calculados para un sistema estacionario tengan que ser reformulados para la obtención
de las verdaderas cargas alares del generador.
Este fenómeno consiste en la sumatoria de una serie de movimientos no estacionarios
asociados a la separación de la Capa Limite y que están fundamentalmente relacionados
con la forma del perfil, el Número de Reynolds y el Número de Mach.
Como resultado de observaciones y mediciones experimentales, se puede establecer que
la principal diferencia entre la perdida de sustentación dinámica y la que ocurre en
perfiles alares en flujo estacionario ,es la aparición de vórtices en el borde de ataque y
que se desplazan a lo largo del perfil produciendo grandes cambios en la presión lo cual
provoca significativos incrementos en la Sustentación y un Momento de Cabeceo (nariz
abajo) en cierto momento inicial y que exceden los calculados para condiciones
estáticas.
Este fenómeno puede convencionalmente dividirse en varias etapas como las siguientes:
a) Flujo adherido al perfil
b) Comienzo de la separación
c) Derrame de vórtices
d) Separación del flujo en el borde de ataque
e) Aparición de un gran vórtice en el borde de ataque que aceleran la re adhesión del
flujo al perfil.
95
No obstante que cada una de las fases de la pérdida dinámica de sustentación se
relaciona a un fenómeno físico especial, no todos estos tienen influencia directa en el
Coeficiente de Sustentación.
En este estudio se tendrán en cuenta solo los aspectos mencionados anteriormente.
Comenzaremos a analizar la Sustentación de un perfil que está sometido a un
movimiento armónico de cabeceo y desplazamiento lineal provocado por la flexión del
ala (plunge) y que puede ser en principio aproximado por la Teoría de Theodorsen (10).
Si consideramos un perfil alar en movimiento dentro de un flujo incompresible y al cual
se le cambia bruscamente su incidencia, estará sometido a fuerzas no estacionarias, la
aerodinámica del mismo será por lo tanto no estacionaria. Esta perturbación puede
modelarse mediante funciones del tipo indicial.De acuerdo con las caracteristicas
dinamicas de cada caso, existen dos clases diferentes de respuestas indiciales:
a) Cuando la carga o impulso inicial tiende rápidamente a 0 en un corto periodo de
tiempo y a la
que se denomina carga impulsiva.
b) Cuando el impulso crece rápidamente para luego tender asintóticamente a un valor
estacionario recibiendo la denominación de carga circulatoria.
Estos dos fenómenos pueden ser visualizados en la siguiente figura;
Figura II-1
96
Las expresiones para estos fenómenos han sido derivadas por Wagner, 𝐾�̈�sner, Von
Karman y Sears.
Si empleamos un perfil con la cuerda c=2b y con un ángulo de ataque α (infinitesimal) y
analizamos el crecimiento de la circulación que comienza de una manera abrupta hasta
alcanzar la velocidad uniforme 𝑈 𝑒en un tiempo adimensional σ y cuya componente
vertical:
𝜔 = 𝑈𝑒 sin 𝛼 ≅ 𝑈𝑒𝛼
Ya que el flujo debe ser tangente al perfil.
Por lo tanto con la hipótesis física de que el flujo en el borde de fuga debe ser finita, se
puede derivar que la sustentación debida a las circulaciones una franja de ancho unitario
es una función del tiempo:
𝐿1 = 2𝜋𝜌𝑏𝑈𝑒𝜔∅[𝑡] (II-1)
Figura II-2
97
Entonces con la hipótesis de que el flujo debe ser finito en el borde de fuga se puede
definir que la sustentación es debida a un proceso circulatorio y otro no circulatorio, en
una faja de ancho unitario y dependiente del tiempo.
Para un movimiento característico del perfil con un sistema de dos grados de libertad:
un desplazamiento vertical h y una variación del ángulo de ataque α provocada por una
deformación de flexión y torsión simultáneas, se puede analizar el fenómeno de las
oscilaciones armónicas donde resulta clave determinar la corriente descendente a tres
cuartos de la cuerda: 𝜔34⁄
Utilizando el tiempo adimensional dado por (II-2) que también puede expresarse por:
𝑠 =2
𝑐∫ 𝑈𝑒(𝑡)
𝑡
0𝑑𝑡 (II-2)
O bien
𝑠 = 2𝑈𝑒
𝑐t (II-3)
Este tiempo adimensional describe la distancia recorrida sobre el perfil por la corriente
libre en una distancia equivalente a la mitad de la cuerda del perfil.
Tendremos entonces una velocidad descendente 𝜔3/4 compuesta por (13,17):
1) Una velocidad descendente producida por el ángulo de cabeceo:
𝜔 = 𝑈𝑒 sin 𝛼 ≅𝑈𝑒𝛼
2) Una velocidad descendente debido a la translación vertical h.
Esta última puede ser también escrita como:
𝜔 = 𝑑ℎ
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑡 = 𝑈𝑒ℎ̇/b (II-4)
Ya que la variación de s con respecto a t e la expresión (II-3) es precisamente: 𝑈𝑒
𝑏
3) Una corriente descendente no uniforme debido a �̇� expresada como:
98
𝜔 = (1
2− 𝑎ℎ) 𝑏
𝑑𝛼
𝑑𝑠 𝑑𝑠
𝑑𝑡 =(
1
2− 𝑎ℎ) 𝑏
𝑈𝑒
𝑏
𝑑𝛼
𝑑𝑠 = (
1
2− 𝑎ℎ)𝑈𝑒
𝑑𝛼
𝑑𝑠 (II-5)
Ya que:
𝑑𝛼
𝑑𝑠=
𝑈𝑒
𝑏�̇�
Entonces:
𝜔3/4= 𝑈𝑒𝛼(𝑠) +
𝑈𝑒
𝑏 ℎ̇ (s) + (
1
2− 𝑎ℎ)𝑈𝑒�̇�(𝑠) (II-6)
En un intervalo de tiempo (𝑠0, 𝑠0 + 𝑑𝑠0) la corriente descendente 𝜔(𝑠0) se incrementa
en una cantidad 𝑑𝜔(𝑠0)
𝑑𝑠0𝑑𝑠0 .Cuando 𝑑𝑠0 es lo suficientemente pequeña, se lo puede
considerar como un incremento impulsivo y la correspondiente sustentación circulatoria
por unidad de envergadura es:
𝑑𝐿1 = 2𝜋𝜌𝑏𝑈𝑒𝛷(𝑠 − 𝑠0)𝑑𝜔(𝑠0)
𝑑𝑠0 𝑑𝑠0 Para s≥ 𝑠0 (II-7)
Por el principio de superposición, que es válido cuando ω es relativamente pequeña y la
ecuación gobernante es lineal, la respuesta a la suma de dos funciones impulso para una
“historia” de tiempo de la corriente descendente ω se puede representar por la integral de
Duhamel (17):
𝐿1 = 2𝜋𝜌𝑏𝑈𝑒2 [𝜔0𝛷(𝑠) + ∫ 𝛷(𝑠 − 𝑠0)
𝑠
𝑠0
𝑑𝜔(𝑠0)
𝑑𝑠0𝑑𝑠0] (II-8)
Si a esto se le agrega ahora la parte no circulatoria de la sustentación debido a la
aceleración de la masa de aire por los desplazamientos h y α vistos anteriormente y
proporcionales 𝜋𝜌𝑐2
4, (𝑏 =
𝑐
2)
𝐿2 = 𝜌𝜋𝑏2(ℎ̈-𝑎ℎ𝑏�̈�)= 𝜌𝜋𝑏2 (ℎ̈𝑑2𝑠
𝑑𝑡2− 𝑎ℎ𝑏�̈�
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2 ) = 𝜌𝜋𝑏2 (ℎ̈
𝑈𝑒2
𝑏2− 𝑎ℎ𝑏
𝑈𝑒2
𝑏2�̈�) =
𝜌𝜋𝑈𝑒2(ℎ̈ − 𝑎ℎ𝑏�̈�)
𝐿2 = 𝜌𝜋𝑈𝑒2(ℎ̈ − 𝑎ℎ𝑏�̈�) (II-9)
Teniendo en cuenta que:
99
𝑑2ℎ
𝑑𝑡2= ℎ̈
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2= ℎ̈
𝑈𝑒2
𝑏2 y
𝑑2𝛼
𝑑𝑡2 =𝛼 ̈
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2 =�̈�
𝑈𝑒2
𝑏2
Además una fuerza de sustentación con centro de presión a 3 4⁄ 𝑐 y con la naturaleza de
una fuerza centrífuga y equivalente a una fuerza de masa aparente:
𝐿3 = 𝜌𝜋𝑏2𝑈𝑒�̇�
La expresión final para un flujo totalmente adherido, la sustentación puede ahora ser la
siguiente:
𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3
𝐿 = 2𝜋𝜌𝑏𝑈𝑒2 [𝜔0𝛷(𝑠) + ∫ 𝛷(𝑠 − 𝑡)
𝜏
𝜏0
𝑑𝜔(𝑠0)
𝑑𝑠0𝑑𝑠0] + 𝜌𝜋𝑈𝑒
2(ℎ̈ − 𝑎ℎ𝑏�̈�) + 𝜌𝜋𝑏2𝑈𝑒�̇� (II-10)
El efecto no estacionario del derrame de vórtices debido al cambio de la circulación del
aire sobre el perfil es derivado analíticamente, asumiendo que el perfil es infinitamente
delgado y que la estela vorticosa es armónica y se desplaza con la velocidad de la
corriente libre en línea recta detrás del perfil.
Es de fundamental importancia la determinación de la corriente descendente del flujo
provocado por estos vórtices a tres cuartos de la cuerda 𝜔34⁄ .
Es conveniente introducir un parámetro adimensional definido como frecuencia reducida
que está dada por la siguiente expresión:
𝐾 =𝜔.𝑐
2𝑈𝑒 (II-11)
Leishman y Van der Wall han concluido que para frecuencias reducidas moderadas de
K
Todas las aproximaciones a la teoría de Theodorsen conducen a un mismo resultado,
cuando la velocidad de la corriente libre es función del tiempo 𝑈𝑒=𝑈𝑒(𝑡)
Para valores de K moderados los términos de aceleración ℎ̈ y �̈� son de un orden menor
a 𝑈𝑒�̇� y pueden por lo tanto ser despreciados en (II-10).
El primer término de (II-10) es la parte circulatoria del flujo dada por la integral de
Duhamel y que describe el efecto de la memoria, previo al derrame de vórtices en la
estela. Esta integral no puede ser resuelta de manera analítica debido a que la corriente
libre 𝑈𝑒 es no lineal al depender de las variables estructurales que describen el
movimiento (deformación) del perfil.
El término de la memoria puede ser considerado como una efectiva corriente
descendente inducida por la estela vorticosa a ¾ de la cuerda del perfil:
100
𝜔3/4
𝑒𝑓 =𝜔3/4
(0)Φ(𝑡) + ∫𝑑𝜔3/4
𝑑𝜏
𝑡
0(𝑠)Φ (t-s)𝑑𝑠 (II-12)
Si se integra por partes la ecuación anterior se tiene:
𝜔3/4
𝑒𝑓 =𝜔3/4
(𝑡) Φ(0) - ∫ 𝜔3/4
𝑡
0(𝑡)
𝑑𝛷
𝑑𝜏 (𝑡 − 𝑠)𝑑𝑠 (II-13)
Realizando una sustitución de variables para s y 𝑠0 la corriente descendente efectiva se
puede ahora expresar como:
𝜔3/4
𝑒𝑓 = 𝜔3/4
(𝑡)Φ(0) − ∫ 𝜔3/4 𝑡
0(𝑠)
𝑑𝛷
𝑑𝑡 (
2
𝑐∫ 𝑈𝑒
𝑡
0(𝑡)𝑑𝑡)𝑑𝑡 (II-14)
Para un cambio gradual del ángulo de ataque Φ representa la conocida función de
Wagner y para un cambio brusco del flujo de aire en sentido vertical por ψ denominada
función de K�̈�ssner y que puede ser aproximada por dos “retrasos del tiempo” por una
función exponencial como las siguientes:
𝛷(𝑠) = 1- 𝐴1 𝑒−𝑏1𝑠 - 𝐴2 𝑒−𝑏2𝑠 (II-15)
Donde las constantes 𝐴1 ,𝐴2, 𝑏1 𝑦 𝑏2 pueden variar según se trate de un Generador
Eólico de eje Horizontal (HAWT) u otro de eje vertical (VAWT), las palas de un
helicóptero etc.
En la figura siguiente se puede observar una gráfica de las funciones de Wagner y
K�̈�ssner y donde la variable tiempo adimensional es s.
En este trabajo y como en un Generador Eólico de eje vertical la variable principal es el
Angulo de ataque de las palas (𝛼), que en condiciones de arranque y a bajos valores de
λ, y debido a la elevada rigidez del sistema la variable h tiene escasa o nula incidencia
en los cálculos de las fuerzas aerodinámicas.
Hay que recordar que el Método de Beddoes-Leishman fue desarrollado inicialmente
para el caso de rotores de helicópteros, en donde por las caracteristicas de los mismos;
las palas tienen cuerda pequeña en relación con su envergadura y en ese caso las
variaciones de h adquieren mayor importancia en la determinación de la sustentación.
Por esto las constantes 𝐴1, 𝐴2, 𝑏1 𝑦 𝑏2 toman valores bastante diferentes a los aconsejaos
en trabajos anteriores, y por lo tanto afectan sustancialmente las funciones Φ(s) y Ψ(s).
101
Figura II-3
Los dos términos de la expresión (II-15) pueden representarse por dos ecuaciones
diferenciales de primer orden .La sustitución en (II-14) de 𝑠 = ∫ 𝑈𝑒(𝑡)𝑡
0 𝑑𝑡 y
diferenciando con respecto a t:
𝑑𝛷
𝑑𝑡 (
2
𝑐∫ 𝑈𝑒
𝑡
0(𝑡)𝑑𝑡) = −
2𝑈𝑒(𝑡)
𝑐∑ 𝑏𝑖
2𝑖=1 𝐴𝑖 𝑒
−(2𝑏𝑖𝑐
∫ 𝑈𝑒(𝑡)𝑡
0𝑑𝑡)
(II-16)
La sustitución de (II-17) en (II-15) nos conduce ahora a la efectiva corriente descendente
como:
𝜔3/4
𝑒𝑓= 𝜔3/4
(s)(1 − 𝐴1 − 𝐴2 ) + 𝑦1(𝑡) + 𝑦2 (𝑡) ) (II-17)
Por lo tanto las nuevas variables de estado son:
𝑦𝑖 (𝑡) = 𝑏𝑖 𝐴𝑖 2
𝑐 ∫ 𝜔3/4
𝑡
0 (𝑡)𝑈𝑒 (𝑡)𝑒
−(2𝑏𝑖𝑐
∫ 𝑈𝑒(𝑡)𝑡
0𝑑𝑡)
𝑑𝑡 (II-18)
Donde i=1,2
Estas expresiones para 𝑦𝑖 (𝑡) pueden considerarse como soluciones de un set de
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (ODE) ,como el que se expresa en
la siguiente ecuacion y que muestran el efecto aerodinámico de respuesta en el tiempo
(retraso) ante cambios bruscos pero finitos tanto del ángulo de ataque como del
desplazamiento vertical del perfil:
102
�̇�𝑖+ 𝑏𝑖 2𝑈𝑒
𝑐𝑦𝑖 = 𝑏𝑖𝐴𝑖
2𝑈𝑒
𝑐 𝜔3/4
(II-19)
Donde 𝑦𝑖(0) = 0
La ecuación (II-11) es lineal desde el punto de vista aerodinámico, no obstante presenta
una no linealidad debido a la relación de la variable 𝑈𝑒 con la deformación estructural
del ala.
Entonces en las ecuaciones diferenciales (II-19) la efectiva velocidad descendente 𝜔3/4
determina la influencia de la estela cercana al perfil sobre el coeficiente de sustentación
para un flujo completamente adherido al mismo. No obstante la variable 𝜔3/4 no resulta
conveniente para los cálculos en presencia de grandes variaciones del ángulo de ataque
que una turbina de eje vertical encuentra especialmente a bajas velocidades de rotación.
La formulación original de Beddoes-Leishman introduce en su reemplazo el ángulo de
ataque a tres cuartos de la cuerda del perfil (𝛼3/4).
Por lo tanto si tiene en cuenta la ecuación (II-6) y con un ligero retoque en su
nomenclatura, podemos expresar el ángulo de ataque a ¾ de la cuerda alar como:
𝜔3/4= 𝑈𝑒𝛼(𝑠) +
𝑈𝑒
𝑏 ℎ̇ (s) + (
1
2− 𝑎ℎ)𝑈𝑒�̇�(𝑠) (II-6)
𝛼3/4=
𝜔3/4
𝑈𝑒= ℎ̇ +
𝑐
2𝛼 ̇ + 𝛼 (II-20)
Introduciendo un cambio de variable 𝑦𝑖 = 𝑈𝑒𝑥𝑖 se tiene:
𝑥�̇� + 𝑏𝑖 2𝑈𝑒
𝑐(𝑏𝑖 +
𝑐𝑈�̇�
2𝑈2) 𝑥𝑖 = 𝑏𝑖𝐴𝑖2𝑈𝑒
𝑐 𝛼3/4
(II-21)
Con 𝑖 = 1,2
La condición inicial será 𝑥𝑖 = 0 y que la velocidad de la corriente inicial 𝑈𝑒(0) no
es nula.
Con estas nuevas variables de estado es posible ahora calcular un ángulo efectivo de
ataque
a 𝑐3/4 :
𝛼𝑒 = 𝛼3/4(1 − 𝐴1 − 𝐴2) + 𝑥1 (𝑡) + 𝑥2(𝑡) (II-22)
De esta manera el coeficiente de sustentación para un flujo no estacionario pero
totalmente adherido al perfil puede ahora determinarse de la ecuación (II-10) dividiendo
por 1/2ρ𝑐𝑈𝑒2:
103
𝐿 = 2𝜋𝜌𝑏𝑈𝑒2 [𝜔0𝛷(𝑠) + ∫ 𝛷(𝑠 − 𝑠0)
𝑠
𝑠0
𝑑𝜔(𝑠0)
𝑑𝑠0𝑑𝑠0] + 𝜌𝜋𝑈𝑒
2(ℎ̈ − 𝑎ℎ𝑏�̈�) + 𝜌𝜋𝑏2𝑈𝑒�̇�
(II-23)
Recordando que b=c/2.
Podemos ahora considerar para un flujo completamente adherido al perfil, un coeficiente
de sustentación de origen circulatorio y otro relacionado con las fuerzas de masa:
𝐶𝑙𝑐 = (𝛷(𝑠)𝜔3
4⁄− 𝛼0)
Donde de acuerdo con la expresión (II-16):
𝛷(𝑠) = 1 − 𝐴1𝑒−𝑏1𝑠-𝐴2𝑒
−𝑏2𝑠
Despreciando en segundo término de la ecuación (II-23) por lo expresado anteriormente
nos queda:
𝐶𝑙𝑚 =
𝜋𝑐�̇�
2𝑈𝑒
Combinando ambas expresiones se tiene:
𝐶𝐿𝑃 = 2π(𝛼𝑒 − 𝛼0) +
𝝅𝒄�̇�
𝟐𝑼𝒆 (II-24)
Donde 𝛼0 es el ángulo de sustentación nula que es necesario para perfiles no
simetricos. Debe además notarse que los términos de la aceleración de masa agregada
han desaparecido en la ecuación anterior; ya que por ejemplo el término𝑐𝑈𝑒̇
2𝑈2 en la
ecuación diferencial (II-21) para los estados 𝑥1 𝑦 𝑥2 tiene el mismo orden de magnitud
que la frecuencia reducida dada por (II-10) y por lo tanto al tratarse de valores
moderados a reducidos de este parámetro comparados con los correspondientes
𝑏1 𝑦 𝑏2 ,pueden despreciarse sin mayor error en el proceso de cálculo.
104
II.2.- FLUJO CON SEPARACIÓN DE LA CAPA LIMITE SOBRE EL PERFIL
En el Método de Beddoes-Leishman se trata tanto la separación de la capa límite del
borde de ataque como del borde de fuga, pero no es incluido el primero de estos
fenómenos debido a que no es un efecto predominante en turbinas eólicas donde los
perfiles suelen tener espesores del orden del 12%.
La hipótesis básica del Método seguido en este trabajo para el cálculo de las fuerzas
alares en el Generador Eólico es que la curva de la sustentación estática con una
separación de la capa limite en el borde de fuga puede ser representada por la siguiente
expresión de Kirchoff para el flujo potencial en una placa plana:
𝐶𝐿𝑠𝑡= 𝐶𝐿,𝛼 (
1+√𝑓𝑠𝑡(𝛼)
2)2
(II-25)
𝐶𝐿,𝛼 es la pendiente de la curva de coeficiente de sustentación en su parte lineal y
correspondiente a un flujo totalmente adherido al perfil. Mientras que la función 𝑓𝑠𝑡(𝛼) determina el punto de separación de la capa limite y dado en porcentaje de la cuerda alar
(𝑥
𝑐).
𝑓𝑠𝑡(𝛼)=1 significa que el flujo esta totalmente adherido al perfil, mientras que 𝑓𝑠𝑡(𝛼) =0 lo contrario, es decir que el flujo esta totalmente separado desde el borde de ataque.
En este desarrollo se propone una modificación para la determinación del mismo a los
efectos de introducir una mayor realidad al proceso de Simulación Numérica del
fenómeno en cuestión.
Lo que aquí se incorpora es la variación del parámetro 𝐻 = 𝛿∗
𝜃 (Anexo I).
Es decir que reemplazaremos a 𝑓𝑠𝑡(𝛼) por punto de separación de la capa limite
turbulenta sobre el perfil 𝑥𝑠𝑒𝑝
𝑐⁄ y que correspnde al valor de 𝐻𝑠𝑒𝑝 que es obtenido
indirectamente de los resultados del software XFOIL.
105
Figura II-4
Figura II- 5
Como la curva de sustentación en condiciones estáticas es obtenida mediante programas
como XFOIL y otros, la pendiente de la curva de sustentación estará dada por:
𝐶𝐿𝛼 = 𝑚𝑎𝑥(𝐶𝐿𝑠𝑡(𝛼)/(𝛼 − 𝛼0)) (II-26)
Los valores de esta pendiente cuando se tienen datos de mediciones realizadas en túneles
de viento o bien de cálculos mediante Software de Simulación Numérica de túneles de
Xsep/c=fst
α
PUNTO DE SEPARACIÓN
106
viento, se utiliza un método de regresión lineal como el de los mínimos cuadrados.
Los dos ángulos de ataque 𝛼+𝑓𝑠 y 𝛼−𝑓𝑠 que representan a un flujo totalmente separado
implican la correspondencia con el valor de 𝐻𝑠𝑒𝑝 expresado por la Ec. (I-117) del
Anexo I, es decir:
Hsep =1
Λθ − 2 + Me
2
A este valor del factor de forma para considerar que la capa limite turbulenta se separa
del perfil 𝑯𝒔𝒆𝒑 le corresponde un valor 𝒙𝒔𝒆𝒑 en porcentaje de la cuerda alar.
No obstante debido a que los valores obtenidos del parámetro 𝑯𝒔𝒆𝒑 no son lo
suficientemente similares a los obtenidos en este trabajo, se ha optado por determinar el
punto de separación de la capa límite turbulenta xsep cuando el Factor Cinemático de
Forma 𝐻𝑘 ≜ 4 y el Coeficiente de Friccion Superficial 𝐶𝑓 ≜ 0
Para el manejo de valores de ángulos de incidencia que excedan los límites
correspondientes a una separación total del flujo, puede utilizarse una interpolación
lineal entre los coeficientes de sustentación de un flujo totalmente adherido al perfil y
el de una separación total:
𝐶𝐿𝑠𝑡(𝛼)=𝐶𝐿𝛼(𝛼 − 𝛼0)𝑓
𝑠𝑡 + 𝐶𝐿𝑓𝑠(𝛼)(1 − 𝑓𝑠𝑡) (II-27)
Donde:
𝐶𝐿𝑓𝑠(𝛼) =
𝐶𝐿𝑠𝑡(𝛼)−𝐶𝐿𝛼(𝛼−𝛼0)𝑓
𝑠𝑡
1−𝑓𝑠𝑡 (II-28)
Con esta nueva interpretación de reemplazar a 𝑓𝑓𝑠 por 𝑥𝑠𝑒𝑝 la última expresion
quedaria como:
𝐶𝐿𝑓𝑠(𝛼) =
𝐶𝐿𝑠𝑡(𝛼)−𝐶𝐿𝛼(𝛼−𝛼0)𝑥𝑠𝑒𝑝
1−𝑥𝑠𝑒𝑝 (II-29)
En la siguiente figura tomada del reporte RISØ-R-1354 (EN), se puede observar el
comportamiento de los distintos coeficientes de sustentación (flujo totalmente adherido
y totalmente separado) y del punto de separación en función del Angulo de ataque para
el Método tradicional de Beddoes -Leishman:
107
Figura II-6
En la figura que sigue se muestra la variación del punto de separación (xsep) en función
de la variación del ángulo de ataque. Puede también observarse que a pesar de la
similitud existente entre ambos gráficos para los valores de 𝑓𝑠𝑡 y 𝑥𝑠𝑒𝑝 no se presenta en
este ultimo la simetría dado que no se trata de un perfil simétrico como el anterior.
108
Figura II-7
En la tabla siguiente pueden observarse los distintos parámetros adimensionales que
entrega tanto el software XFOIL y XFLR 5 para c/ángulo de ataque del perfil y para un
determinado Número de Reynolds, el que a su vez depende de principal parámetro λ.
Estos parámetros son:
a) El coeficiente Cinemático de Forma (𝐻𝐾) b) La relación entre la velocidad sin perturbar sobre el perfil(𝑈𝑒) y la Velocidad en
el infinito (𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑) .
c) El Coeficiente de Fricción (𝐶𝐹). d) El Coeficiente de Disipación (𝐶𝐷).
e) La relación de amplitudes de las ondas T-S 𝐴
𝐴0.
f) El Espesor de Desplazamiento 𝛿∗.
g) El Espesor de la Cantidad de Movimiento θ.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-20.000 -10.000 0.000 10.000 20.000 30.000
Xse
p
alpha (deg)
λ=2.5
xsep
109
XFLR5_v4.16
S1210 12%
Alpha =14.3 Re=170041 Mach= 0.02 Ncrit= 9.0
Top Side
x Hk Ue/Vinf Cf Cd A/A0 D* Theta
0.0359200 2.2295100 0.0038600 0.0000700 0.0000000 0.0000000 0.0004900 0.0002200
0.0237600 2.2424200 0.2248700 0.0065600 0.0004300 0.0000000 0.0003200 0.0001400
0.0153200 2.1986100 0.4755900 0.0164300 0.0022000 0.0000000 0.0002800 0.0001300
0.0089800 2.1555400 0.8292800 0.0416200 0.0094900 0.0000000 0.0002000 0.0000900
0.0043400 2.1380100 1.5169000 0.1273400 0.0525900 0.0000000 0.0001200 0.0000600
0.0013000 2.2780200 2.2609000 0.1677600 0.1128400 0.0000000 0.0001200 0.0000500
-0.0000800 2.3591400 2.6338500 0.1455600 0.1218200 0.0000000 0.0001500 0.0000600
-0.0000100 3.7464600 2.5076100 0.0018300 0.0577100 0.4314900 0.0003800 0.0001000
0.0008100 3.0844700 2.3892300 0.0187300 0.0397500 0.9119600 0.0004200 0.0001400
0.0022700 2.5657400 2.3733800 0.0406200 0.0379200 0.9119600 0.0003900 0.0001500
0.0048100 2.6541600 2.3573000 0.0303800 0.0314600 0.9119600 0.0004700 0.0001800
0.0087900 2.7146700 2.3306000 0.0234600 0.0260800 0.9119600 0.0005600 0.0002100
0.0147700 2.7094800 2.3046400 0.0202700 0.0221300 0.9119600 0.0006400 0.0002400
0.0236300 2.7441900 2.2747400 0.0163000 0.0184500 0.9276600 0.0007600 0.0002800
0.0360500 2.8293400 2.2366800 0.0119000 0.0150500 1.1407700 0.0009100 0.0003200
0.0524100 3.6810100 2.1681800 0.0007600 0.0111900 1.9673700 0.0014400 0.0003900
0.0731200 5.7562400 2.1240500 -0.0019400 0.0092300 3.7031500 0.0025700 0.0004500
0.0973500 7.5626900 2.0990800 -0.0016000 0.0078400 6.0677500 0.0036900 0.0004900
0.1239800 8.1693400 2.0798700 -0.0014300 0.0069600 8.5628800 0.0043300 0.0005300
0.1521900 3.0240900 1.8891600 0.0021400 0.0595300 0.0962500 0.0032100 0.0010600
0.1814000 1.9057300 1.8058400 0.0087700 0.0277200 0.0774800 0.0025200 0.0013200
0.2116000 1.5968700 1.7638000 0.0126000 0.0185600 0.0657600 0.0023900 0.0015000
0.2422300 1.4914700 1.7320900 0.0139900 0.0151200 0.0589500 0.0024800 0.0016700
0.2729300 1.4588700 1.6985400 0.0137500 0.0130800 0.0549800 0.0027100 0.0018600
0.3036600 1.4558000 1.6616700 0.0128200 0.0115200 0.0526000 0.0030300 0.0020800
0.3342500 1.4739400 1.6165700 0.0113800 0.0101100 0.0513700 0.0034800 0.0023600
0.3652800 1.5188600 1.5568400 0.0094100 0.0087100 0.0511900 0.0041900 0.0027600
0.3973700 1.5770700 1.4954000 0.0075700 0.0075500 0.0515400 0.0051200 0.0032500
0.4300200 1.6427100 1.4383700 0.0060400 0.0066800 0.0522000 0.0062300 0.0037900
0.4628700 1.7253300 1.3835600 0.0046900 0.0060400 0.0532100 0.0076300 0.0044200
0.4959900 1.8345300 1.3309900 0.0034800 0.0056100 0.0545900 0.0094600 0.0051600
0.5293500 1.9789500 1.2826500 0.0024400 0.0053800 0.0562800 0.0118600 0.0059900
110
0.5628500 2.1716400 1.2404100 0.0015800 0.0053400 0.0582000 0.0149600 0.0068900
0.5964400 2.4292700 1.2061900 0.0009200 0.0055000 0.0603000 0.0189100 0.0077800
0.6300000 2.7725000 1.1814200 0.0004500 0.0058300 0.0624800 0.0237700 0.0085700
0.6635300 3.2306800 1.1665900 0.0001100 0.0063400 0.0647200 0.0295100 0.0091300
0.6970300 3.8555500 1.1623400 0.0000000 0.0070700 0.0670200 0.0359400 0.0093200
0.7303900 4.4970200 1.1576000 -0.0000400 0.0078800 0.0698600 0.0429900 0.0095600
0.7636400 5.1351900 1.1524500 -0.0000500 0.0087100 0.0729800 0.0506100 0.0098500
0.7967100 5.7634500 1.1473800 -0.0000500 0.0095500 0.0761300 0.0586900 0.0101800
0.8294600 6.3819500 1.1425400 -0.0000400 0.0103600 0.0792000 0.0672400 0.0105400
0.8617900 6.9906900 1.1379600 -0.0000400 0.0111500 0.0821100 0.0762700 0.0109100
0.8933300 7.5901700 1.1337100 -0.0000400 0.0118800 0.0848100 0.0857300 0.0112900
0.9233900 8.1853800 1.1298800 -0.0000400 0.0125600 0.0872400 0.0956000 0.0116800
0.9504700 8.7750700 1.1266500 -0.0000300 0.0131500 0.0893300 0.1056000 0.0120300
0.9726700 9.3348900 1.1241700 -0.0000300 0.0136600 0.0910400 0.1151000 0.0123300
0.9897400 9.9824700 1.1224700 -0.0000300 0.0141200 0.0924200 0.1252800 0.0125500
1.0000000 10.2731900 1.1213000 -0.0000300 0.0143900 0.0933200 0.1305700 0.0127100
1.0000800 10.0283500 1.1213000 0.0000000 0.0270800 0.0907300 0.1311000 0.0130700
1.0112400 10.4813900 1.1190400 0.0000000 0.0277900 0.0919900 0.1404600 0.0134000
1.0273100 10.3735800 1.1152700 0.0000000 0.0285000 0.0937100 0.1449700 0.0139700
1.0497000 10.0578500 1.1099000 0.0000000 0.0293000 0.0958800 0.1490800 0.0148200
1.0806300 9.4622600 1.1022400 0.0000000 0.0300800 0.0985300 0.1521600 0.0160800
1.1231800 8.5447900 1.0912100 0.0000000 0.0306300 0.1015700 0.1534900 0.0179600
1.1815100 7.2900000 1.0751100 0.0000000 0.0306300 0.1049700 0.1517500 0.0208200
1.2612600 5.7383000 1.0510200 0.0000000 0.0294500 0.1085100 0.1448700 0.0252400
1.3700900 3.9880800 1.0126900 0.0000000 0.0257300 0.1115100 0.1299200 0.0325800
1.5183100 2.4054200 0.9590300 0.0000000 0.0182700 0.1118700 0.1039900 0.0432300
1.7198900 1.6856300 0.9460100 0.0000000 0.0112900 0.1039200 0.0770200 0.0456900
En la tabla anterior las filas resaltadas en color amarillo corresponde a valores de 𝐻𝑘 ≥4 y el Coeficiente de Friccion 𝐶𝑓 ≤ 0 lo que demarcaria la porcion del perfil donde se
ubica una probable Burbuja de Separacion Laminar (LSB); en el extradós
0.0731200 ≤ 𝑥𝑡𝑜𝑝 ≤ 0.1239800.
Las filas resaltadas en color rojo entre 0.7303900 ≤xtop
c= 1 es la zona de la capa
limite turbulenta en separacion.En el punto 𝑥𝑡𝑜𝑝
𝑐= 0.7303900 comienza entonces la
separación del flujo turbulento. Se puede comprobar que se cumple: 𝐻𝑘 ≥ 4 𝑦 𝐶𝑓 ≤ 0.
111
II.3.-DINAMICA DE LA SEPARACIÓN EN EL BORDE DE FUGA
Como se ha visto anteriormente existen dos tipos extremos de separación de la capa
límite: el del borde de ataque y el del borde de fuga y como se desprende de las
ecuaciones anteriores el mismo depende de varios factores. Entre los más importantes el
gradiente adverso de presión (Λθ), el ángulo de ataque (α), el Numero de Reynolds (Re)
y el Numero de Mach del flujo exterior (Me).
En el caso de cambio brusco del ángulo de ataque conocido como “cabeceo dinámico”
del perfil existe un retraso en el tiempo, de la relación entre el gradiente de presión y el
correspondiente a la de sustentación y que puede ser representado por la siguiente
expresión:
𝑑𝐶𝐿
𝑝′
𝑑𝑠=
𝐶𝐿𝑝−𝐶𝐿
𝑝′
𝑇𝑝 (II-30)
En donde 𝐶𝐿𝑝 es el coeficiente de sustentacion dinamico para flujo totalmente adherido
dado por la ecuación (II-23) y el relacionado al retraso en el tiempo 𝐶𝐿𝑝′
.
Por lo tanto y realizando un cambio de variables:
𝑥3 = 𝐶𝐿𝑝′
(II-31)
Entonces la ecuación (II-29) puede transformarse en una ecuación diferencial ordinaria
del siguiente tipo:
�̇�3 + 𝑇𝑝−1𝑥3 = 𝑇𝑝
−1 𝐶𝐿𝑝 (II-32)
Siendo 𝑥3 = 0 la condicion inicial.
Resolviendo esta ecuación se puede obtener ahora un ángulo de ataque equivalente 𝛼𝑓
en funcion del valor cuasi estacionario 𝐶𝐿𝑝′
:
𝛼𝑓𝑞𝑠=
𝐶𝐿𝑝′
𝐶𝐿𝛼 +𝛼0 (II-33)
De este cuasi-estacionario ángulo de ataque 𝛼𝑓𝑞𝑠 resulta asociado un tambien cuasi
estacionario punto de separación(𝑓𝑞𝑠).
En este trabajo el valor de 𝑓𝑞𝑠 se obtiene del Programa XFOIL considerando el ángulo
de ataque obtenido en (II-33) (𝛼𝑓𝑞𝑠)
112
Entonces el punto de separación dinámico puede ser calculado a partir de la siguiente
ecuación:
𝑑𝑓𝑑𝑦
𝑑𝑠=
𝑓𝑞𝑠−𝑓𝑑𝑦
𝑇𝑓 (II-34)
De esta manera con un cambio de variables se tiene otra ecuación diferencial ordinaria
que expresa el retardo de los efectos de la separación en el borde de fuga:
𝑥4 = 𝑓𝑑𝑦 (II-35)
�̇�4 + 𝑇𝑓−1𝑥4 = 𝑇𝑓
−1𝑓𝑞𝑠 (II-36)
Siendo también la condición inicial 𝑥4 = 0
La variable 𝑇𝑓 representa la variable de tiempo correspondiente al retraso producido en
la capa límite.
De esta manera se ha establecido una formulación integral de las cuatro variables de
estado (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 𝑦 𝑥4) que intervienen en el Método de Beddoes-Leishman para
determinar el coeficiente de sustentación relacionado con la pérdida dinámica para las
palas de un generador eólico a eje vertical:
𝐶𝐿𝑑𝑦
= 𝐶𝐿𝑝′
𝑓𝑑𝑦 + 𝐶𝐿𝑓𝑠(1 − 𝑓𝑑𝑦) (II-37)
Las ecuaciones (II-21), (II-31) y (II-35) conforman cuatro ecuaciones diferenciales
ordinarias (ODE) que pueden ser resueltas por el Método de Runge-Kutta de cuarto
orden.
113
II.4.-SUSTENTACION DEBIDA AL VÓRTICE DEL BORDE DE ATAQUE
Para perfiles sometidos a un movimiento de cabeceo dinámico el vórtice del borde de
ataque no permanece fijo al mismo como sucede en el caso estático. El vórtice se
desprende del borde de ataque y se desplaza hacia el borde de fuga sobre el lado de
succión del perfil. De esta manera una sustentación es creada cuando el vórtice barre la
superficie el perfil. En el Modelo de Beddoes-Leishman seguido en este trabajo, el
presente fenómeno puede ser simulado por las siguientes expresiones:
𝐶𝑣𝑛= 𝐶𝐿𝑛
𝑐 (1 − 𝐾𝐿𝑛) (II-38)
𝐾𝐿𝑛=(1 + √𝑓𝑛
𝑑𝑦)
2
/4 (II-39)
𝐶𝐿𝑛
𝑣 = 𝐶𝐿𝑛−1
𝑣 𝑒(∆𝑠
𝑇𝑣)+ (𝐶𝑣𝑛
− 𝐶𝑣𝑛−1) (
∆𝑠
2𝑇𝑣) (II-40)
Donde 𝐾𝐿𝑛 es el coeficiente de sustentacion de Kirchoff y 𝐶𝐿𝑛
𝑐 representa la parte
circulatoria de la sustentación y que puede ser expresado como:
𝐶𝐿𝑐 = 2𝜋 (𝛷𝑐𝛼3/4
− 𝛼0) (II-41)
Siendo:
𝛷𝑐 = 1 − 𝐴1𝑒−𝑏1𝑠-𝐴2𝑒
−𝑏2𝑠 (II-42)
La ecuación (II-39) debe entonces resolverse simultáneamente mediante el Método de
Runge-Kutta con las ecuaciones (II-21), (II-31) y (II-35).
Entonces ahora el coeficiente de sustentación total, incluyendo el efecto del vórtice se
podrá expresar como:
𝐶𝐿𝑑𝑦−𝑡𝑜𝑡
= 𝐶𝐿𝑑𝑦
+ 𝐶𝐿𝑣 (II-43)
114
II.5.- COEFICIENTE DE RESISTENCIA NO ESTACIONARIA
La resistencia inducida está directamente relacionada con la corriente descendente en la
estela que provoca un ángulo de incidencia no estacionario denominado 𝛼𝑒 como puede
obserbarse en la siguiente figura
No obstante existe además como es conocido una corriente descendente debido a los
vórtices de punta de pala. En el caso de este proceso de simulación 2D solo se empleara
la corriente descendente relacionada con el desplazamiento de la estela.
A diferencia de los flujos estacionarios, los no estacionarios como es el caso, provocan
que el ángulo efectivo de ataque “atrase” con respecto al geométrico. El vector
representativo de la fuerza de sustentación no estacionaria es ahora perpendicular al
vector velocidad con una incidencia 𝛼𝑒 con respecto a la cueda del perfil,lo que exista
ahora una componente sobre el vector representativo de la velocidad; con una incidencia
dada por el ángulo α.
Entonces el coeficiente de resistencia inducida estará representado por la siguiente
expresión:
𝐶𝐷𝑖𝑛𝑑 = 𝐶𝐿
𝑑𝑦𝑛∗ 𝑠𝑖𝑛(𝛼 − 𝛼𝐸) (II-44)
115
II.6.- COEFICIENTE DE RESISTENCIA VISCOSA
A la resistencia producida por los efectos de la viscosidad en la capa limite en flujos
estacionarios debe agregarse ahora la resistencia viscosa producida por la transición
entre las capas limites laminar y turbulenta y del punto de separación. Cuando se
produce la separación del flujo en la capa límite hay un fuerte incremento de la
resistencia viscosa por el cambio en la presión. La presión es menor que la existente en
un flujo totalmente adherido y por lo tanto tiene una componente de fuerza en la
dirección de la resistencia.
En el presente modelo de simulación, se supone que el factor (√1−𝑓)
2
4 es suficientemente
representativo de la influencia en la resistencia viscosa por la ubicación del punto de
separación.
Entonces la contribución del fenómeno no estacionario a la resistencia viscosa, debido
al factor 𝑓𝑑𝑦𝑛 que presenta un cierto retraso con 𝑓𝑠𝑡 como sucedia con el angulo
efectivo de ataque con respecto al geométrico. De esta manera es posible entonces
utilizar una aproximación al coeficiente de resistencia viscosa por el fenómeno no
estacionario como:
𝐶𝐷𝑓𝑑𝑦𝑛
= (𝐶𝐷𝑠𝑡(𝛼𝐸) − 𝐶𝑑0
(𝛼)) [(√1−𝑓𝑑𝑦𝑛
2)2
− (√1−𝑓𝑠𝑡
2)2
] (II-45)
Por lo tanto la resistencia total para el perfil en el flujo no estacionario debido a la
separación dinámica será:
𝐶𝐷𝑑𝑦𝑛
= 𝐶𝐷𝑠𝑡(𝛼𝐸) + 𝐶𝐷
𝑖𝑛𝑑 + 𝐶𝐷𝑓𝑑𝑦𝑛
(II-46)
116
II.7.- DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROCESO DE SIMULACIÓN
INPUT α
𝛼3/4=
𝜔3/4
𝑈𝑒= ℎ̇ +
𝑐
2𝛼 ̇ + 𝛼 (II-20)
𝛼3/4
𝑥1, 𝑥2 𝑥�̇� + 𝑏𝑖 2𝑈𝑒
𝑐(𝑏𝑖 +
𝑐𝑈�̇�
2𝑈2) 𝑥𝑖 = 𝑏𝑖𝐴𝑖
2𝑈𝑒
𝑐 𝛼3/4
(II-21)
(II-22)
𝛼𝐸
𝛼𝑒 = 𝛼3/4(1 − 𝐴1 + 𝐴2) +
𝑥1 (𝑡) + 𝑥2(𝑡) (II-22) 𝐶𝐿
𝑠𝑡 , 𝐶𝐷𝑠𝑡
𝑪𝑳𝑷 = 2π(𝜶𝒆 − 𝜶𝟎) +
𝝅𝒄�̇�
𝟐𝑼𝒆 (II-24)
𝐶𝐿𝑃 (𝛼𝐸)
XFOIL, XFLR5
𝑥3
�̇�3 + 𝑇𝑝−1𝑥3 = 𝑇𝑝
−1 𝐶𝐿𝑝
(II-31)
𝑥3 = 𝐶𝐿𝑝′
(II-30)
𝛼𝑓 , 𝑥𝑠𝑒𝑝(𝛼𝑓)Escriba𝛼𝑓 =𝐶𝐿
𝑝′
𝐶𝐿𝛼 +𝛼0 (II-33)
𝑥4 �̇�4 + 𝑇𝑓
−1𝑥4 = 𝑇𝑓−1𝑓𝑞𝑢 (II-36)
𝑥4 = 𝑓𝑑𝑦 (II-35)
𝑓𝑠=𝑥𝑠𝑒𝑝(𝛼𝐸)
𝐶𝐿𝑓𝑠(𝛼𝐸) 𝐶𝐿
𝑑𝑦
𝐶𝐿𝑑𝑦
= 𝐶𝐿𝑝′𝑓𝑑𝑦 + 𝐶𝐿
𝑓𝑠(1 − 𝑓𝑑𝑦) (II-37)
𝐶𝐿𝑑𝑦−𝑡𝑜𝑡
𝐶𝐿𝑑𝑦−𝑡𝑜𝑡
= 𝐶𝐿𝑑𝑦
+ 𝐶𝐿𝑣 (II-43)
𝐶𝐿𝑛
𝑣 = 𝐶𝐿𝑛−1
𝑣 𝑒(∆𝑠𝑇𝑣
)+ (𝐶𝑣𝑛
− 𝐶𝑣𝑛−1) (
∆𝑠
2𝑇𝑣
)
𝐶𝑣𝑛= 𝐶𝐿𝑛
𝑐 (1 − 𝐾𝐿𝑛), 𝐶𝐿
𝑐 = 2𝜋 (𝛷𝑐𝛼3/4− 𝛼0)
𝐾𝐿𝑛=(1 + √𝑓𝑛
𝑑𝑦)
2
/4
𝐶𝐷𝑑𝑦
𝐶𝐷𝑖𝑛𝑑 = 𝑠𝑖𝑛(𝛼 − 𝛼𝐸)𝐶𝐿
𝑑𝑦𝑛 (II-44)
𝐶𝐷𝑓𝑑𝑦𝑛
= (𝐶𝐷𝑠𝑡(𝛼𝐸) − 𝐶𝑑0
(𝛼)) [(√1−𝑓𝑑𝑦𝑛
2)2
−
(√1−𝑓𝑠𝑡
2)2
] (
II-45)
𝐶𝐷𝑑𝑦𝑛
= 𝐶𝐷𝑠𝑡(𝛼𝐸) + 𝐶𝐷
𝑖𝑛𝑑 +
𝐶𝐷𝑓𝑑𝑦𝑛
(II-46)
117
III.8.- MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
DESARROLLO DEL MÉTODO
Para procesos dependientes del tiempo es de gran aplicación la familia de Métodos de
Runge-Kutta para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE).En este
trabajo se utilizara un esquema de Runge-Kutta de cuarto orden.
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 +𝑑𝑠
6(𝐾1 + 2𝐾2 + 2𝐾3 + 𝐾4)
𝐾1 = 𝑓(𝑠𝑛, 𝑥𝑛)
𝐾2 = 𝑓 (𝑠𝑛 +1
2𝑑𝑠, 𝑥𝑛 +
1
2𝑑𝑠𝐾1)
𝐾3 = 𝑓 (𝑠𝑛 +1
2𝑑𝑠, 𝑥𝑛 +
1
2𝑑𝑠𝐾2)
𝐾4 = 𝑓 (𝑠𝑛 +1
2𝑑𝑠, 𝑥𝑛 +
1
2𝑑𝑠𝐾3)
𝐾1 es la pendiente al comienzo del intervalo.
𝐾2 es la pendiente en el punto medio del intervalo.Utiliza la pendiente 𝐾1 para
determinar el valor de x en el punto 𝑡(𝑛) + ℎ2⁄ empleando el Metodo de Euler.
𝐾3 es también la pendiente en el punto medio del intervalo, pero utilizando el valor de
𝐾2 para determinar x
𝐾4 es la pendiente al final del intervalo, obteniendo su valor mediante 𝐾3.
En el promedio de las cuatro pendientes, la mayor influencia se la llevan las pendientes
del punto medio, como puede apreciarse en la siguiente expresión:
𝐾1+2𝐾2+2𝐾3+𝐾4
6
Calculo de 𝑿𝟏
𝑥1𝑛= 0
𝑡 =1
𝑓=
2𝜋𝑟
𝜆𝑉∞
∆𝑡 =𝑡
45
𝑡𝑛 = 0
118
𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ∆𝑡
𝑠𝑛 =𝑡𝑛
𝑐2𝑈𝑒
𝑠𝑛+1 =𝑡𝑛+1
𝑐2𝑈𝑒𝑛+1
∆𝑠 = 𝑠𝑛+1 − 𝑠𝑛 =(𝑡𝑛+1−𝑡𝑛)
𝑐2𝑈𝑒𝑛
�̇�𝑛 =(𝛼𝑛+1−𝛼𝑛)
∆𝑠
𝜔34𝑛
⁄= 𝛼𝑛𝑈𝑒𝑛
+𝑐
2�̇�𝑛
𝛼34𝑛
⁄=
𝜔34𝑛⁄
𝑈𝑒𝑛
�̇�𝑒𝑛=
𝑈𝑒𝑛+1−𝑈𝑒𝑛
Δ𝑠
𝐾1,1𝑛= −(𝑏1 +
𝑐�̇�𝑒𝑛
2𝑈𝑒𝑛2 ) 𝑥1𝑛
𝑇𝑢−1 + 𝑏1𝐴1𝛼3
4𝑛⁄
𝑇𝑢−1
𝐾𝑖,𝑗𝑛 es la pendiente para i=1,4 que representa las variables de estado y j=1,4 para este
esquema del Método de Runge-Kutta de 4 to orden para el paso de tiempo n.
𝑥1,1𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓= 𝑥1𝑛
+∆𝑠𝐾1,1𝑛
2
𝑠𝑛ℎ𝑎𝑙𝑓
= 𝑠𝑛 +∆𝑠
2
𝛼𝑛ℎ𝑎𝑙𝑓
=𝛼𝑛+1−𝛼𝑛
2
�̇�𝑛ℎ𝑎𝑙𝑓
=𝛼𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓−𝛼𝑛
𝑠𝑛ℎ𝑎𝑙𝑓
−𝑠𝑛
𝜔3/4𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓= 𝛼𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑈𝑒 +
𝑐
2�̇�𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓
119
𝛼34𝑛
⁄
ℎ𝑎𝑙𝑓=
𝜔34𝑛⁄
ℎ𝑎𝑙𝑓
𝑈𝑒
𝐾1,2𝑛= −(𝑏1 +
𝑐�̇�𝑒
2𝑈𝑒2) 𝑥1,1𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑢
−1 + 𝑏1𝐴1𝛼34𝑛
⁄
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑢
−1
𝑥1,2𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓= 𝑥1𝑛
+∆𝑠𝐾1,2𝑛
2
𝐾1,3𝑛= −(𝑏1 +
𝑐�̇�𝑒
2𝑈𝑒2) 𝑥1,2𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑢
−1 + 𝑏1𝐴1𝛼34𝑛
⁄
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑢
−1
𝑥1,3𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓= 𝑥1𝑛
+∆𝑠𝐾1,3𝑛
2
𝐾1,4𝑛= −(𝑏1 +
𝑐�̇�𝑒
2𝑈𝑒2) 𝑥1,3𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑢
−1 + 𝑏1𝐴1𝛼34𝑛
⁄
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑢
−1
𝒙𝟏𝒏+𝟏= 𝒙𝟏𝒏
+𝚫𝒔
𝟔(𝐾1,1𝑛
+ 2𝐾1,2𝑛+ 2𝐾1,3𝑛
+ 𝐾1,4𝑛)
Calculo de 𝑿𝟐
𝐾2,1𝑛= −(𝑏2 +
𝑐�̇�𝑒
2𝑈𝑒2) 𝑥2𝑛
𝑇𝑢−1 + 𝑏2𝐴2𝛼3
4𝑛⁄
𝑇𝑢−1
𝑥2𝑛= 0
𝑥2,1𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓= 𝑥2𝑛
+∆𝑠𝐾2,1𝑛
2
𝐾2,2𝑛= −(𝑏2 +
𝑐�̇�𝑒
2𝑈𝑒2) 𝑥2,1𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑢
−1 + 𝑏2𝐴2𝛼34𝑛
⁄
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑢
−1
𝑥2,2𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓= 𝑥2𝑛
+∆𝑠𝐾2,2𝑛
2
𝐾2,3𝑛= −(𝑏2 +
𝑐�̇�𝑒
2𝑈𝑒2) 𝑥2,2𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑢
−1 + 𝑏2𝐴2𝛼34𝑛
⁄
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑢
−1
120
𝑥2,3𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓= 𝑥2𝑛
+∆𝑠𝐾2,3𝑛
2
𝐾2,4𝑛= −(𝑏2 +
𝑐�̇�𝑒
2𝑈𝑒2) 𝑥2,3𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑢
−1 + 𝑏2𝐴2𝛼34𝑛
⁄
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑢
−1
𝒙𝟐𝒏+𝟏= 𝒙𝟐𝒏
+𝚫𝒔
𝟔(𝐾2,1𝑛
+ 2𝐾2,2𝑛+ 2𝐾2,3𝑛
+ 𝐾2,4𝑛)
𝜶𝑬𝒏+𝟏
= 𝜶𝟑𝟒𝒏+𝟏
⁄(1 − 𝐴1 − 𝐴2) + 𝑥1𝑛+1
(𝑡) + 𝑥2𝑛+1(𝑡)
𝐻𝑠𝑒𝑝 =1
𝛬𝜃 − 2 + 𝑀𝑒
2
𝑓𝑠 = 𝑥𝑠𝑒𝑝(𝐻𝑠𝑒𝑝,Λ𝜃,𝐶𝑓)
CLfs(αEn+1
) =𝐂𝐋
𝐬𝐭(𝛂𝐄𝐧+𝟏)−𝐂𝐋𝛂(𝛂𝐄𝐧+𝟏
−𝛂𝟎)𝐱𝐬𝐞𝐩
𝟏−𝐱𝐬𝐞𝐩
𝐶𝐿𝑛+1
𝑃 = 2π(𝛼𝐸𝑛+1− 𝛼0) +
𝝅𝒄�̇�𝒏+𝟏
𝟐𝑼𝒆
Calculo de 𝑿𝟑
𝐾3,1𝑛= −𝑥3,1𝑛
𝑇𝑃−1 + 𝐶𝐿𝑛
𝑃 𝑇𝑃−1
𝑥3,1𝑛
= 0
𝑥3,2𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓= −𝑥3,1𝑛
+∆𝑠𝐾3,1𝑛
2
𝑥1𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓=
(𝑥1𝑛+1−𝑥1𝑛)
2 +𝑥1𝑛
𝑥2𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓=
(𝑥2𝑛+1−𝑥2𝑛)
2 +𝑥2𝑛
𝛼𝐸ℎ𝑎𝑙𝑓
= 𝛼34𝑛
⁄
ℎ𝑎𝑙𝑓(1 − 𝐴1 − 𝐴2) + 𝑥1𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓+ 𝑥2𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓
121
𝐶𝐿𝑛
𝑝,ℎ𝑎𝑙𝑓= 𝐶𝐿𝛼
(𝛼𝐸ℎ𝑎𝑙𝑓
− 𝛼0) + 𝜋�̇�𝑛ℎ𝑎𝑙𝑓
𝑇𝑢
𝑥3,2𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓= −𝑥3,1𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑃
−1 + 𝐶𝐿𝑛
𝑝,ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑃
−1
𝐾3,3𝑛= −𝑥3,2𝑛
𝑇𝑃−1 + 𝐶𝐿𝑛
𝑃,ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑃
−1
𝑥3,3𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓= −𝑥3,2𝑛
+∆𝑠𝐾3,2𝑛
2
𝐾3,4𝑛= −𝑥3,3𝑛
𝑇𝑃−1 + 𝐶𝐿𝑛
𝑃 𝑇𝑃−1
𝒙𝟑𝒏+𝟏= 𝒙𝟑𝒏
+𝚫𝒔
𝟔(𝐾3,1𝑛
+ 2𝐾3,2𝑛+ 2𝐾3,3𝑛
+ 𝐾3,4𝑛)
𝐱𝟑𝐧+𝟏= 𝐂𝐋𝐧+𝟏
𝐩′
Calculo de 𝑿𝟒
𝑥4𝑛= 0
𝑓𝑛𝑞𝑠
≅ 𝑥𝑠𝑒𝑝𝑞𝑠
𝑥𝑠𝑝𝑞𝑠 (𝛼𝑞𝑠) ≝ 𝑋𝑓𝑜𝑖𝑙
𝐾4,1𝑛= −𝑥4𝑛
𝑇𝑓−1 + 𝑓𝑛
𝑞𝑠𝑇𝑓
−1
𝑥4,2𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓= 𝑥4𝑛
+∆𝑠𝐾4,1𝑛
2
𝐾4,2𝑛= −𝑥4,2𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑓
−1 + 𝑓𝑛𝑞𝑠
𝑇𝑓−1
𝑥4,3𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓= 𝑥4𝑛
+∆𝑠𝐾4,2𝑛
2
𝐾4,3𝑛= −𝑥4,3𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑓
−1 + 𝑓𝑛𝑞𝑠
𝑇𝑓−1
𝑥4,4𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓= 𝑥4𝑛
+∆𝑠𝐾4,3𝑛
2
122
𝐾4,4𝑛= −𝑥4,4𝑛
ℎ𝑎𝑙𝑓𝑇𝑓
−1 + 𝑓𝑛𝑞𝑠
𝑇𝑓−1
𝑥4𝑛+1= 𝑥4𝑛
+Δ𝑠
6(𝐾4,1𝑛
+ 2𝐾4,2𝑛+ 2𝐾4,3𝑛
+ 𝐾4,4𝑛)
x4n+1= fn+1
dy
𝐶𝐿𝑛+1
𝑐 =2π(𝛼𝐸𝑛+1− 𝛼0)
𝐾𝐿𝑛+1=(1 + √𝑓𝑛+1
𝑑𝑦)
2
/4
Cvn+1= CLn+1
c (1 − KLn+1)
CLn+1
v = CLn
v e(∆s
Tv)+ (Cvn+1
− Cvn) (
∆s
2Tv)
CLn+1
dy= CLn+1
p′fdy + CLn+1
fs (1 − fn+1dy
)
CLn+1
dy−tot= CLn+1
dy+ CLn+1
v
CDn+1
ind = (αn+1 − αEn+1)CLn+1
dyn−tot
CDn+1
visc = [CDn+1
st (αEn+1) − Cd0
] [(1−√fn+1
dy
2) − (
1−√fn+1st
2)
2
]
CDn+1
dyn= CDn+1
st (αE) + CDn+1
ind + CDn+1
visc
123
III.9.-CONCLUSIONES SOBRE LA APLICACIÓN DEL MÉTODO BEDDOES-
LEISHMAN
En el cálculo de las fuerzas no estacionarias por el Método de Beddoes –Leishman se
han introducido algunas modificaciones a saber:
a) La obtención del punto de separación no se realiza por el método de Kirchoff,
sino que se utiliza la información de salida del Programa XFOIL como es el que
se obtiene cuando simultáneamente el Factor Cinemático de Forma (𝐻𝑘) es
mayor o igual a 4 y el coeficiente de Fricción (𝐶𝑓) alcanza valores negativos.
b) Se emplea el valor 𝑈𝑒 en lugar de 𝑉∞
c) La Constante de tiempo 𝑇𝑢 no es una constante sino que se la relaciona con la
velocidad 𝑈𝑒 de acuerdo con la siguiente expresion 𝑇𝑢 =𝑐
2𝑈𝑒
Recordando que 𝑈𝑒 es la denominada Velocidad Relativa, resultante de la suma
vectorial de la velocidad del viento al infinito (𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑) y la de rotacion de la pala (𝜔. 𝑟).
9.-RESULTADOS OBTENIDOS
Después de la ejecución del programa Dynstall preparado específicamente para obtener
los parámetros principales del Método de Beddoes –Leishman para distintos valores de
𝜆 =𝜔.𝑟
𝑉∞
a saber:
a) Angulo de ataque efectivo ( 𝛼𝑒𝑓 )
b) Angulo de ataque cuasi–estacionario (𝛼𝑞𝑠)
c) Punto de separación (𝑥𝑠𝑒𝑝)
d) Punto de separación cuasi-estacionario (𝑥𝑠𝑒𝑝𝑞𝑠)
e) Coeficientes de sustentación y resistencia estacionarios (𝐶𝑙𝑠𝑡 , 𝐶𝑑𝑠𝑡)
f) Coeficiente de sustentación con flujo separado (𝐶𝑙𝑓𝑠)
g) Coeficientes de sustentación y resistencia dinámicos (𝐶𝑙𝑑𝑦𝑛, 𝐶𝑑𝑑𝑦𝑛)
Como ejemplo se muestran los resultados obtenidos para distintos valores de λ y
𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 = 4 [𝑚
𝑠]:
124
-30.00
-20.00
-10.00
0.00
10.00
20.00
30.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00
α-α
ef-
αq
s (d
eg.
)
θ (rad.)
λ=2.5-Re=273000
α
αef
αqs
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
-25.00 -20.00 -15.00 -10.00 -5.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00
xse
p
α (deg.)
125
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
-30.00 -20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00 30.00
xse
pq
s
αef (deg.
xsepqs
126
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
-40.00 -30.00 -20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00 30.00 40.00
Xse
pd
yn
Título del eje
xsepdyn
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
-30.00 -20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00 30.00
Cls
t-C
dst
αef (deg.)
clst(αef)
cdst(αef)
127
Cabe acotar que los gráficos anteriores muestran lo que podría considerarse
inconsistencias con respecto a los mostrados en trabajos anteriores (), pero aquí debe
tenerse en cuenta la aplicación del factor de interferencia (𝑎 = 1 − 𝛿∗) introducido por
el efecto de la estela producida por la pala que antecede a cada una de ellas; en su
momento rotatorio alrededor del eje (Anexo I).
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
-30.00 -20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00 30.00
Cls
t-C
dst
-Cld
yn-C
dd
yn
α (deg.)
λ=2.5 Re=273000
Clst(α)
Cdst(α)
Cldyn
Cddyn
128
ANEXO III
ANÁLISIS DEL FACTOR DE INTERFERENCIA
Uno de los parámetros que más influencia tiene sobre la performance del generador es
la interferencia que producen las palas al interactuar con el viento en su giro.
Ese fenómeno es conocido como factor de interferencia y se han tomado dos líneas
diferentes para su cálculo.
En el primer caso se han seguido las pautas del trabajo realizado desarrollado por
Gregory F. Homicz (3) y finalmente a la reducción del flujo provocado por la presencia
de la capa límite que se desarrolla sobre el perfil.
En el primer caso se trabaja con fluido ideal sin viscosidad, mientras que en el segundo
esta es incorporada mediante la utilización de un parámetro como el espesor de
desplazamiento.
III.1.-MÉTODO DE LOS TUBOS MÚLTIPLES DE CORRIENTE
El análisis de los Tubos Múltiples Dobles de Corriente establece una relación entre la
velocidad local del viento (Wind)) y la velocidad de rotación de las palas del Generador (r ).Además contempla el retardo que la turbina presenta a la velocidad del viento y
que a su vez es una función de la carga de la pala. El Método DMST (6) utiliza una
combinación entre las teorías del Disco Actuador y del Elemento de Pala. Como puede
apreciarse en la figura 1.
Cada tubo de corriente intercepta al disco actuador dos veces (primero al enfrentar el
viento y posteriormente en la parte trasera del mismo)
En el plano horizontal, el camino de las palas es dividido en NӨ incrementos iguales
cada uno de ancho angular:
∆𝜽 = 𝟐𝝅
𝑵𝜽 (III.1)
En el cual la carga debe ser evaluada. De esta manera cuando ω y NӨ son especificados
la relación anterior define tanto a ΔӨ como a 𝛥𝑡
La dirección de Ө=0 es paralela al eje positivo de las x y Ө se incrementa en el sentido
contrario al de las agujas del reloj. Entonces:
𝜃 = 𝜃0 + 𝑖𝛥𝜃;
Cuando
129
𝑡 = 𝑖∆𝑡
Por razones obvias NӨ debe ser un múltiplo del número de palas N.
Figura III-1
Consideremos ahora el momento justo al actuador moviéndose en la corriente aguas arriba
del generador. La velocidad del viento en el infinito es denominada 𝑉∞.
Por ahora la consideramos fijada de antemano. La velocidad del viento justo sobre el
actuador es Vu y la de aguas abajo del mismo Ve .Debido a que la turbina está
extrayendo energía del viento se debe cumplir lo siguiente: Ve<Vu<𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 .
Para utilizar la nomenclatura de (6): 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 = 𝑉∞
Sobre el actuador debe existir una presión diferencial, de tal manera que la fuerza ejercida
sobre este por el fluido podrá representarse como:
𝛥𝐹𝑥𝑢̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = (𝑝𝑢+ − 𝑝𝑢
−)𝛥𝐴 (III.2)
Aplicando la Ec. De Bernoulli entre las condiciones aguas arriba y el actuador y el mismo
con las condiciones del flujo aguas abajo, se tiene:
130
𝜌
2𝑉∞
2 + 𝑝∞ =𝜌
2𝑉𝑢
2 + 𝑝𝑢+
(III.3)
𝜌
2𝑉𝑢
2 + 𝑝𝑢− =
𝜌
2𝑉𝑒
2 + 𝑝∞
Despejando 𝑝𝑢+ y 𝑝𝑢
− de las ecuaciones anteriores y para reemplazar sus valores en la
Ec. III.3 tenemos:
𝜌
2𝑉∞
2 −𝜌
2𝑉𝑢
2 = 𝑝𝑢+ − 𝑝∞
(III.4)
𝜌
2𝑉𝑢
2 −𝜌
2𝑉𝑒
2 = 𝑝∞ − 𝑝𝑢−
Sumando ambos miembros de las Ec. III.4 se tiene:
𝜌
2𝑉∞
2 − 𝜌
2𝑉𝑒
2 = 𝑝𝑢+ − 𝑝𝑢
− (III.5)
Por lo tanto ahora podemos expresar lo siguiente con la interacción de las Ec. III.2 y
III.5:
𝛥𝐹𝑥𝑢̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ =𝜌
2 (𝑉∞
2 − 𝑉𝑒2) 𝛥𝐴 (III.6)
Siendo ΔA el área del actuador
Para la Conservación de la Cantidad de Movimiento además 𝛥𝐹𝑥𝑢̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ debe ser igual al
cambio neto del flujo de masa a través del actuador por el cambio neto de velocidad en
el mismo, es decir:
𝛥𝐹𝑥𝑢̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝜌𝑉𝑢𝛥𝐴 (𝑉∞ − 𝑉𝑒) (III.7)
Por lo tanto podemos ahora expresar que:
V u = 1
2(𝑉∞ − 𝑉𝑒) (III.8)
𝑉𝑒 = 2𝑉𝑢 − 𝑉∞ (III.9)
131
Esta última expresión nos dice que la velocidad en el actuador es el promedio de las
velocidades aguas arriba y abajo del mismo.
Considerando ahora que:
𝛥𝐴 = 𝑟𝛥𝜃 cos 𝜃 (Despreciando la divergencia del flujo)
De las Ecs. III.7 y III.9:
𝛥𝐹𝑥𝑢̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 2𝜌 𝑟𝛥𝜃 cos 𝜃 𝑉𝑢(𝑉∞ − 𝑉𝑢) (III.10)
Esta última ecuación representa la fuerza sobre el actuador en términos del cambio
global de velocidad.
Ahora es necesario relacionar las fuerzas sobre el actuador con las ejercidas sobre el
mismo por las características aerodinámicas del elemento de pala.
Se pueden expresar estas fuerzas como:
𝛥𝐹𝑥 = 𝛥𝐹𝑛 cos 𝜃 + 𝛥𝐹𝑡 sin 𝜃 (III.11)
Donde 𝛥𝐹𝑛 y 𝛥𝐹𝑡 son las componentes normal y tangencial de esa fuerza incremental.
En términos ahora de los coeficientes del perfil:
𝐶𝑛 =𝛥𝐹𝑛
1
2𝜌𝑊𝑢
2𝛥𝐴𝑏
(III.12)
𝐶𝑡 =𝛥𝐹𝑡
1
2𝜌𝑊𝑢
2𝛥𝐴𝑏
Donde Δ𝐴𝑏 = 𝑐𝛥𝑧 es la superficie del elemento de pala considerado y 𝑊𝑢 = 𝑉𝑟𝑒𝑙 la
velocidad relativa censada por la pala.
De esta manera la fuerza incremental de origen aerodinámico sobre el elemento de pala
puede expresarse como:
𝛥𝐹𝑥𝑢 =𝜌
2𝑉𝑟𝑒𝑙
2 𝑐𝛥𝑧(𝐶𝑛 cos 𝜃 + 𝐶𝑡 sin 𝜃) (III.13)
132
Esta ecuación expresa la fuerza instantánea experimentada por el elemento de pala entre
Ө± ΔӨ/2 y cuando el elemento de pala no está pasando por el tubo de corriente, esta es
nula.
Para un rotor de N palas idénticas, por cada revolución tendrá N interacciones con el
mismo y de una duración ΔӨ/ω y con una amplitud dada por la Ec. III.13.
Entonces el promedio en el tiempo de esta fuerza incremental debe multiplicarse por el
siguiente factor:
NΔӨ/2π
𝛥𝐹𝑥𝑢 = 𝜌𝑉𝑟𝑒𝑙2 𝑐𝛥𝑧
𝑁𝛥𝜃
4𝜋(𝐶𝑛 cos 𝜃 + 𝐶𝑡 sin 𝜃) (III.14)
Asumiendo que la cuerda del perfil que pertenece al elemento de pala es tangente al
camino de rotación seguido por el mismo, es posible relacionar entonces los coeficientes
𝐶𝑛 y 𝐶𝑡 con los más usuales en aerodinámica de Sustentación y Resistencia (𝐶𝑙 𝑦 𝐶𝑑):
𝐶𝑛 = 𝐶𝑙 cos 𝛼 + 𝐶𝑑 sin 𝛼 (III.15)
𝐶𝑡 = 𝐶𝑙 sin 𝛼 − 𝐶𝑑 cos 𝛼
Los coeficientes 𝐶𝑙 y 𝐶𝑑 pueden ser obtenidos de las tablas correspondientes (de existir)
o bien como en este caso calculados mediante la utilización de las herramientas de CFD
como son XFOIL o XFLR5 que tienen en cuenta los efectos viscosos y de
compresibilidad.
Si ahora se hacen iguales las expresiones de las fuerzas incrementales que operan sobre
el actuador dadas por las Ecs. III.10 y III.14
2𝜌 𝑟𝛥𝜃 cos 𝜃 𝑉𝑢(𝑉∞ − 𝑉𝑢) = ρ𝑉𝑟𝑒𝑙2 𝑐𝛥𝑧
𝑁𝛥𝜃
4𝜋(𝐶𝑛 cos 𝜃 + 𝐶𝑡 sin 𝜃) (III.16)
2𝑟 cos 𝜃𝑉𝑢(𝑉∞ − 𝑉𝑢) = 𝑉𝑟𝑒𝑙2 𝑐𝛥𝑧
𝑁Δ𝜃
4𝜋(𝐶𝑛 cos 𝜃 + 𝐶𝑡 sin 𝜃) (III.17)
(𝛥𝑧 = 1)
𝑉𝑢(𝑉∞ − 𝑉𝑢) = 𝑉𝑟𝑒𝑙2 𝑐
𝑁
8𝜋𝑟 cos𝜃(𝐶𝑛 cos 𝜃 + 𝐶𝑡 sin 𝜃) (III.18)
Definiendo ahora el factor de interferencia como:
133
𝑎𝑢 =𝑉𝑢
𝑉∞
(III.19)
𝑉𝑢 = 𝑎𝑢𝑉∞
Ahora de la Ec. III.18 y reemplazamos el valor de 𝑉𝑢 y además sacando factor común
𝑉∞
𝑎𝑢𝑉∞2(1 − 𝑎𝑢) = 𝑉𝑟𝑒𝑙
2 𝑁𝑐
8𝜋 rcos𝜃(𝐶𝑛 cos 𝜃 + 𝐶𝑡 sin 𝜃) (III.20)
Dividiendo ambos miembros por 𝑉∞2:
𝑎𝑢(1 − 𝑎𝑢) =𝑁𝑐
8𝜋𝑟 cos𝜃(𝐶𝑛 cos 𝜃 + 𝐶𝑡 sin 𝜃) (
𝑉𝑟𝑒𝑙2
𝑉∞2 ) (III.21)
Siendo además
𝑎𝑢 − 𝑎𝑢2 =
𝑁𝑐
8𝜋𝑟 cos𝜃(𝐶𝑛 cos 𝜃 + 𝐶𝑡 sin 𝜃) (
𝑉𝑟𝑒𝑙2
𝑉𝑢2 ) (III.22)
𝑎𝑢 =𝑁𝑐
8𝜋𝑟 cos𝜃(𝐶𝑛 cos 𝜃 + 𝐶𝑡 sin 𝜃) (
𝑉𝑟𝑒𝑙2
𝑉𝑢2 ) + 𝑎𝑢
2 (III.23)
Si denominamos:
𝐺𝑢(𝑎𝑢) =𝑁𝑐
8𝜋𝑟 cos𝜃(𝐶𝑛 cos 𝜃 + 𝐶𝑡 sin 𝜃) (
𝑉𝑟𝑒𝑙2
𝑉𝑢2 ) (III.24)
𝑎𝑢 = 𝐺𝑢(𝑎𝑢) + 𝑎𝑢2 (III.25)
Las ecuaciones III.24 y III.25 se aplican a la parte del rotor que primero enfrenta el
viento (upwind), es decir entre 0 y π.
Análogamente es posible emplear la misma metodología para establecer las relaciones
para la parte posterior del rotor (downwind), teniendo en cuenta que de manera análoga
a la empleada en la Ecs. III.8 y III.9, se puede obtener:
𝑉𝑑 =1
2(𝑉𝑒 + 𝑉𝑤)
134
(III.26)
𝑉𝑤 = 2𝑉𝑑 − 𝑉𝑒
Definiendo el factor de interferencia para el paso de las palas por el sector posterior del
rotor, como:
𝑎𝑑 =𝑉𝑑
𝑉𝑒 (III.27)
Se llega finalmente a:
𝑎𝑑 = 1
1+𝐺𝑑(𝑎𝑑) (III.28)
Para el desplazamiento de las palas entre π y 2π.
Empleando en las ecuaciones anteriores los valores absolutos para los factores de
interferencia aguas arriba y aguas abajo se tendrá una única ecuación como la siguiente:
𝑎𝑢𝑑 = 1
1+𝐺𝑢𝑑(𝑎𝑢𝑑) (III.29)
𝐺𝑢𝑑(𝑎𝑢𝑑) =𝐵𝑐
8𝜋𝑟 cos𝜃(𝐶𝑛 cos 𝜃 + 𝐶𝑡 sin 𝜃) (
𝑉𝑟𝑒𝑙2
𝑉𝑢𝑑2 ) (III.30)
Estas ecuaciones constituyen juntas un sistema no lineal para las incógnitas 𝑎𝑢 y 𝑎𝑑 las que deben ser resueltas para cada tubo de corriente utilizando un proceso de iteración
como el Método de Sustitución Sucesiva o el Método de la Falsa Posición.
Los valores del Factor de Interferencia obtenidos por medio del Método de los Múltiples
Tubos de Corriente, tienen validez a mi entender incorporarlo para las palas, en la etapa
del arranque del Generador Eólico y hasta valores de 𝜆 a cercanos a 1 y para calcular esa
misma interferencia para los brazos y fundamentalmente para turbinas de eje vertical de
reducida solidez.
(Г = 𝑛. 𝑐/𝑟) (III.31)
135
III-2 - MÉTODO COMBINADO DMST Y MODELO DE CASCADA
En esta metodología de cálculo se considera que el factor de interferencia o de inducción
axial también como en el método anterior, se divide en 2: uno para el upwind y otro
para el downwind respectivamente 𝑎𝑢 𝑦 𝑎𝑑 y que representan el decrecimiento
gradual de la velocidad del aire entre la corriente libre (𝑉∞) y la correspondiente a
cilindro ideal que conformaría la Turbina. Este Método es el que se ha utilizado en este
trabajo, considerándolo más aproximado para el cálculo del Factor de Interferencia para
turbinas eólicas de alta solidez.
Figura III.2
La expresión del factor del factor de interferencia para el upwind será, siguiendo los
lineamientos de Wilson y Lissaman (24):
𝑎𝑢 =𝑁𝑐
2𝑟
𝜔𝑟
𝑉∞sin 𝜃 (III.32)
Donde el término 𝑁𝑐
2𝑟 tiene en cuenta la solidez (𝜎) de la turbina y
𝜔𝑟
𝑉∞ es lo que se
conoce como TSR (Tip Speed Ratio) o λ.
Como el factor de interferencia puede expresarse también como:
136
𝑎𝑢 =𝑉∞−𝑉𝑎𝑢
𝑉∞ (III.33)
Por lo tanto:
𝑉𝑎𝑢 = 𝑉∞ ∗ (1 − 𝑎𝑢) (III.34)
En la expresión (3.32) para el factor de interferencia es conveniente aclarar que a
diferencia de otros investigadores considera a la solidez (𝜎) como la relacion entre la
cuerda (c) multiplicada por el número de palas (N) y el perímetro rectificado de circulo
que describen las palas alrededor del eje.
Además se incorpora un coeficiente (k) menor a la unidad que evita con una correcta
elección del mismo condiciones de flujo post-turbina no físicamente posibles.
De esta manera la expresión definitiva para el cálculo de la velocidad que ven las palas
en el upwind es:
𝑎𝑢 =𝑉𝑎𝑢
𝑉∞= 1 − 𝑘 ∗ 𝜎 ∗ 𝜆 ∗ sin 𝜃 (III.35)
La velocidad post upwind, ya dentro de la turbina y que es la que se puede considerar
como un símil a la velocidad de la corriente libre en el infinito (𝑉∞) la denominamos 𝑉𝑒
y de acuerdo a Paraschiviou tiene la siguiente expresión:
𝑉𝑒 = 𝑉∞ ∗ (2𝑉𝑎𝑢
𝑉∞− 1) = 𝑉∞ ∗ (2𝑎𝑢 − 1) (III.36)
Si además consideramos como una aproximación valedera que la velocidad intermedia
entre los dos actuadores (𝑉𝑒) se la puede considerar como el promedio ente la velocidad
de la corriente libre (𝑉∞) y la de la estela 𝑉𝑤 tendríamos:
𝑉𝑒 =𝑉∞+𝑉𝑤
2 (III.37)
Por lo tanto:
137
𝑉𝑤 = 2𝑉𝑒 − 𝑉∞ (III.38)
Si a partir de conocido 𝑉𝑤 𝑦 𝑉𝑒 puede utilizarce para el cálculo de 𝑉𝑎𝑑 por el Modelo de
la Cascada que se representa por el siguiente dibujo:
Figura III.3
Entonces:
𝑉𝑎𝑑
𝑉𝑒= (
𝑉𝑤
𝑉𝑒)𝑘1
(III.39)
138
𝑉𝑎𝑑 = 𝑉𝑒 ∗ (𝑉𝑤
𝑉𝑒)𝑘1
(III.40)
Y como de la expresión (III.39):
𝑎𝑑 =𝑉𝑎𝑑
𝑉𝑒 (III.41)
El coeficiente 𝑘1 es determinado de una manera empírica como resultado de
experimentos. En este trabajo se ha tomado como valido el valor propuesto por Hirsch y
Mandal (25)
𝑘1 = 0.425 + 0.332𝜎 (III.42)
De esta manera se obtienen los dos coeficientes o factores de interferencia que se
emplean en primer lugar para la determinación del ángulo de ataque relativo que
enfrentan las palas en cada posición azimutal al girar alrededor del eje vertical, como así
también los correspondientes Coeficientes de Sustentación y Resistencia y con ellos los
de Tracción y Normal que se requieren para los cálculos de performance y estructural
de la turbina.
139
Figura III.4
En este gráfico de muestra el cálculo del factor de interferencia en el upwind (𝑎𝑢) y en
el downwind (𝑎𝑑) para un TSR: 0.25≤ λ≤0.75.
Estos valores aunque muy homogéneos, ya que no tienen en cuenta las cargas
aerodinámicas en las palas para cada posición azimutal de las mismas; resultan más
lógicos para una turbina eólica de gran solidez (𝜎 = 0.31) y que a medida que se
incrementan los valores de λ, se acerca cada vez mas al fenómeno físico representado
por un cilindro circular en condiciones estáticas. El trabajo siguiente seria agregarle
circulación producto de la rotación del mismo y los efectos viscosos que están presentes
y que son función del Número de Reynolds. Esto modificaría la distribución de
velocidades y por ende los valores del ángulo de ataque que enfrenta cada pala en todo
el recorrido y por añadidura los coeficientes de sustentación y resistencia.
Los valores del Factor de Interferencia obtenidos por medio del Método de los Múltiples
Tubos de Corriente tienen validez a mi entender incorporarlo en la etapa del arranque
del Generador Eólico y hasta valores de 𝜆 a cercanos a 2, fundamentalmente para
turbinas de eje vertical de reducida solidez (𝜎 = 𝑛. 𝑐/2𝑟).
El Método combinado que se acaba de exponer resulta más aproximado para turbinas
eólicas de gran solidez como la que está en proceso de diseño.
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
1.02
0 50 100 150 200
FAC
TOR
IN
TER
FER
ENTE
θ (DEG.)
au(λ=0.25)
ad(λ=0.25)
au(λ=0.5)
ad(λ=0.5)
au(λ=0.75)
ad(λ=0.75)
140
En cuanto las velocidades de rotación crecen y superan las correspondientes a las de la
zona muerta, que penalizan a este tipo de generadores y como una pala se encuentra
siempre en la estela de la anterior sobre todo en casos de turbinas de elevada solidez y
para valores de λ> 2,parece mucho más conveniente para simular este complejo
fenómeno tomar como parámetro de reducción de la velocidad que incide sobre las palas
una expresión que contenga el espesor de desplazamiento (1 − 𝛿∗) o el del espesor de la
cantidad de movimiento (1 − 𝜃).No obstante este trabajo es para una posterior
investigación y por lo tanto se considera no conveniente emplearlo en este proceso de
diseño y solo se hará una breve descripción del mismo en el siguiente apartado.
III.3.-MÉTODO DEL ESPESOR DE DESPLAZAMIENTO
Un breve esbozo de lo anticipado en el punto anterior:
En este trabajo y con la posibilidad de aprovechar más la información entregada por el
los Soft de Simulación Numérica de Flujos Viscosos (XFOIL, XFLR5), se utilizara el
concepto del espesor de desplazamiento 𝛿∗ para el cálculo del Factor de Interferencia.
Este camino elegido está basado en que el flujo sobre el perfil es retardado por los
efectos viscosos presentes en la capa límite como puede reflejarse en la siguiente
ecuación:
𝑈𝑒𝛿∗ = ∫ (𝑈𝑒 − 𝑈)
𝛿
0𝑑𝑦
O más bien:
𝛿∗ = ∫ (1 −𝑈
𝑈𝑒)
𝛿
0𝑑𝑦
Por lo tanto el espesor de desplazamiento es uno de los factores que puede representar
físicamente la reducción de la velocidad del flujo sobre el perfil y también sobre la
estela dejada por el mismo.
Se considera así que en un Generador Eólico de Eje Vertical de múltiples palas el
efecto predominante de una pala sobre la que le sigue sea la reducción de la velocidad
del flujo por los efectos viscosos de la Capa Limite, en lugar del considerado por el
Método DMST que contempla un flujo ideal sin viscosidad y atravesando en línea recta
el “cilindro virtual” constituido por el eje y las palas del generador.
Este efecto es bien representado por el Espesor de Desplazamiento calculado no sobre el
141
borde de fuga del perfil sino el de la estela a una distancia no mayor del 70% de la
cuerda alar y variable con la velocidad de rotación.
En la siguiente figura puede apreciarse la variación de los parámetros 𝛿∗ 𝑦 𝜃 a lo
largo de la cuerda del perfil y su estela. Estos valores son los correspondientes a un
ángulo de incidencia α=4.3∘ correspondiente a un numero de Reynolds Re=223310 y un
Numero de Mach Me=0.0252.
Figura III-5
En el grafico siguiente se visualizan los valores del Factor de Interferencia obtenidos
mediante la siguiente expresión:
𝑎𝑖(𝜃) = 1 − 𝛿∗
r
Figura 2.1
142
Como puede observarse en el grafico siguiente los valores correspondientes a 𝜆 = 1.5
muestran que a bajas velocidades de rotacion el cálculo del Factor de Interferencia (𝑎)
no debe ser realizado con el metodo que incluye el Espesor de Desplazamiento (𝛿∗), mediante la siguiente expresion:
𝑎𝑖(𝜃) = 1 − 𝛿∗
Por lo expuesto se utiliza en este trabajo el segundo método, para valores a partir de λ=2
y el del Método DMST para valores de λ ≤2.
Este impacto en la velocidad incidente sobre el perfil (𝑉𝑟𝑒𝑙) del Factor de Interferencia
puede ser fácilmente observado en el siguiente gráfico, para λ=2.5:
Grafico III-1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00
Fact
or
Inte
rfe
ren
cia
a
theta (rad)
a(1.6c)(λ=1.5)
a(1.6c)(λ=2.0)
a(1.6 c)(λ=2.5)
a(1.6 c)(λ=3.0)
a(1.6 c)(λ=3.5)
143
Grafico III-2
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
a
θ (rad.)
a(λ=2)
a(λ=2.5)
a(λ=3)
a(λ=3.5)
a(λ=4)
144
Grafico III-3
En Grafico III-1 al incorporarse el Factor de Interferencia para 𝜆 = 1.5 se observa un
comportamiento diferente de este factor, el cual está directamente relacionado con la
separación total de la Capa Limite por los elevados ángulos de ataque a que se someten
las palas del generador a esta velocidad de rotación (−41° ≤ 𝛼 ≤ +41°). En las Figuras III- 4 y 5 está representada la variación del mismo Factor de
Interferencia pero para dos velocidades diferentes el viento 4 y 10 (m/s).Esto implica
variaciones significativas del Número de Reynolds.
En el primer caso: 323.000 ≤ 𝑅𝑒𝑐 ≤ 420.000,
Mientras que para una velocidad de 10 (m/s) el Número de Reynolds es
significativamente mayor: 550.000 ≤ 𝑅𝑒𝑐 ≤ 1.470.000.
Resulta evidente que a mayor Número de Reynolds el flujo barre el perfil alar de una
manera mucho más efectiva y por lo tanto el espesor de la Capa Limite (𝛿) se reduce y
de la misma manera el Espesor de Desplazamiento (𝛿∗)
Tomándose este valor de 𝛿∗ aproximadamente a 1.6 c del borde de fuga del perfil.
Como puede apreciarse comparando con los obtenidos por medio del Método de los
Tubos Múltiples Dobles de Corriente existe cierta coherencia en la forma de las curvas,
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
1-δ٭
θ (rad.)
a(λ=2)
a(λ=2.5)
a(λ=3)
a(λ=3.5)
a(λ=4)
a(λ=4.5)
a(λ=5)
a(λ=5.5)
145
pero resulta razonable entender que el flujo de aire que impacta sobre las palas de un
Generador Eólico de Eje Vertical de múltiples palas es predominantemente el
representado por la velocidad relativa (𝑉𝑟𝑒𝑙 ) Que es la resultante de la suma vectorial de
la velocidad del viento al infinito (𝑈∞ ) y el proveniente de la rotación de las palas ω.r
sobre todo a valores de λ mayores que 2.
Además es de destacar que con este valor de la Velocidad Relativa se calcula el Número
de Reynolds para el cálculo de los Coeficientes aerodinámicos.
Como el análisis de las Figuras anteriores los valores correspondientes a 𝜆 = 1.5
muestran que a bajas velocidades de rotacion el calculo del Factor de Interferencia (𝑎)
no debe ser realizado con el metodo que incluye el Espesor de Desplazamiento (𝛿∗) Por lo expuesto se utiliza en este trabajo el segundo método, para valores a partir de λ=2
y el del Método combinado DMST / Cascada y para valores de λ ≤2.
Este impacto en la velocidad incidente sobre el perfil (𝑉𝑟𝑒𝑙) del Factor de Interferencia
puede ser fácilmente observado en el siguiente gráfico, para λ=2.5:
Grafico III-4
En el grafico anterior se aprecian los resultados obtenidos en el trabajo de Gregory
Homicz (Ref. 4) con el Método DMST para un Generador de Eje Vertical con dos palas
del tipo Troposkien .El Factor de Interferencia resulta ser mucho más bajo que el
obtenido en este trabajo, debido fundamentalmente a la baja solidez de la turbina eólica
analizada(𝜎 ≈ 0.06).
146
Grafico III-5
Resulta por lo tanto claro que el Factor de Interferencia en este tipo de generadores
eólicos tiene un impacto muy importante en el cálculo de las performances de los
mismos.
En la figura siguiente se puede verificar como influye este factor sobre la velocidad
relativa que ataca al perfil(𝑉𝑟𝑒𝑙):
147
Figura III-10
En este trabajo no se emplea este último método ya que requiere un análisis mucho más
profundo y que queda relegado a un trabajo posterior.
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00
Vre
l
θ (rad.)
vrel(a=1)
vrel(a=1-δ*)
148
ANEXO IV
CALCULO DE LOS COEFICIENTES AERODINÁMICOS ENTRE
ÁNGULOS DE ATAQUE ±900
Como se ha podido apreciar a valores bajos de λ (0 ≤ λ ≤ 1.5) las variaciones del
ángulo α son tales que es prácticamente imposible calcular los Coeficientes con el
Modelo Numérico elegido para tal fin. El fenómeno que se produce al someter a
un perfil aerodinámico a ángulos de ataque superiores a 15° se denomina pérdida
o stall. Esto es debido a que en esas condiciones el flujo sobre el perfil es totalmente
turbulento con la separación total de la Capa Limite. En las siguientes figuras que
siguen puede apreciarse el desarrollo de este fenómeno:
Figura IV.1
Por lo tanto sin la utilización de un túnel de viento no podrían ser determinadas las
condiciones de arranque de la turbina eólica.
Para resolver tal problema en este trabajo se han extrapolado los datos de los
coeficientes aerodinámicos entregados por el programa XFOIL utilizando con
algunas modificaciones el Método de Viterna-Janetzke (Ref.12 -13), de Tangler –
Ostowari (Ref.14) y del trabajo realizado por Bjorn Montgomerie (Ref.15).Hay
que tomar en cuenta que todas estas investigaciones han sido realizadas para
turbinas eólicas de eje horizontal (HAWT).
El problema de cálculo de los generadores eólicos de eje vertical es muy
complejo por los efectos no estacionarios del flujo sobre las palas, pero permite
considerar al mismo como bidimensional (2D) al despreciarse por ejemplo la
149
componente tridimensional causada por la fuerza centrífuga que aparece en las
turbinas de eje horizontal.
En el siguiente grafico se muestra la variación del ángulo de ataque (𝛼) en funcion
del angulo azimutal de giro (𝜃) en el rango 0≤ 𝜆 ≤ 1.25:
Grafico IV.1
A continuación un breve análisis del método de estimación de los coeficientes
aerodinámicos en la zona post stall.
Como se ha visto anteriormente el Torque producido por cada pala puede
expresarse de la siguiente manera:
𝑇 ≈ 𝐶𝑇𝑉𝑟𝑒𝑙2 (IV-1)
150
Para una velocidad constante de rotación podemos dividir la expresión anterior
por:
𝑉𝛺2 = 𝜔. 𝑟:
𝑇 ≈𝐶𝑇𝑉𝑟𝑒𝑙
2
𝑉𝛺2
Como:
cos 𝛼 =𝑉𝛺
𝑉𝑟𝑒𝑙
𝑇 ≈𝐶𝑇
𝑐𝑜𝑠2𝛼 (IV-2)
Teniendo en cuenta que:
𝐶𝑇 = 𝐶𝐿 sin ∝ − 𝐶𝐷 cos ∝
𝑇 ≈𝐶𝐿 sin∝
𝑐𝑜𝑠2𝛼−
𝐶𝐷
cos∝ (IV-3)
Viterna propone las siguientes expresiones empíricas que representan de forma
conveniente los coeficientes de sustentación y resistencia en la zona de perdida, es
decir cuando el flujo está totalmente separado del perfil:
𝐶𝐿 = 𝐴1 sin2 ∝ + 𝐴2𝑐𝑜𝑠2𝛼
sin∝ (IV-4)
151
𝐶𝐷 = 𝐵1𝑠𝑖𝑛2 ∝ +𝐵2 cos ∝ (IV-5)
Como:
sin 2𝛼 = 2 sin𝛼 cos 𝛼
Introduciendo estas expresiones en la Ec. IV-2 y luego de algunas manipulaciones
algebraicas se obtiene una nueva ecuación para el Torque (T):
𝑇 = (2𝐴1 sin² 𝛼 cos 𝛼 + 𝐴2sin𝛼 cos²𝛼
sin𝛼)
1
cos²𝛼− (𝐵1 sin² 𝛼 + 𝐵2 cos𝛼)
1
cos𝛼
𝑇 = 2𝐴1 tan𝛼 sin 𝛼 + 𝐴2 − 𝐵1 tan𝛼 sin 𝛼 − 𝐵2
𝑇 = (2𝐴1 − 𝐵1) tan𝛼 sin 𝛼 + 𝐴2 − 𝐵2 (IV-6 )
Teniendo en cuenta que en la zona post stall y con una velocidad de rotación
constante, el torque puede considerarse independiente de la velocidad del viento y
de los ángulos de ataque; se concluye que la derivada del torque con respecto al
ángulo de ataque α debe anularse:
152
𝑑𝑇
𝑑𝛼= 0
Esto implica entonces de la Ec. IV-6 que:
2𝐴1 − 𝐵1 = 0
Por lo tanto:
𝐴1 =𝐵1
2
A un ángulo de ataque de 90° se obtiene la máxima resistencia aerodinámica de un
perfil, por lo que:
Α=90° 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝐵1 sin² 90° + 𝐵2 cos 90°
𝐵1 = 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 𝐴1 =
𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥
2 (IV-7)
𝐶𝑙 =𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥
22sin 𝛼 cos 𝛼 + 𝐴2
cos²𝛼
sin𝛼= 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 sin 𝛼 cos𝛼 + 𝐴2
cos²𝛼
sin𝛼
𝐴2 = (𝐶𝑙 − 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥sin 𝛼 cos𝛼)
sin𝛼
cos²𝛼 (IV-8)
De las ecuaciones IV-5 y IV-7 se obtiene:
153
𝐵2 =𝐶𝑑−𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 sin² 𝛼
cos𝛼 (IV-9)
Como estamos en la zona de post stall en las ecuaciones anteriores para 𝐴2 𝑦 𝐵2,
los ángulos y coeficientes aerodinámicos deben ser relacionados a esa zona, es decir
𝛼𝑠 , 𝐶𝑙𝑠 𝑦 𝐶𝑑𝑠 :
𝐴2 = (𝐶𝑙𝑠 − 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥sin 𝛼𝑠 cos 𝛼𝑠)
sin𝛼𝑠
cos²𝛼𝑠 (IV-10)
𝐵2 = 𝐶𝑑𝑠−
𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 sin² 𝛼𝑠
cos𝛼𝑠 (IV-11)
El subíndice s simboliza la condición de stall con el valor en que se calculan el
ángulo y los coeficientes aerodinámicos.
Por último la expresión para el máximo Coeficiente de Resistencia que se obtiene
para un ángulo de ataque α=90° propuesta por Viterna-Janetzke es:
𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥= 1.11 + 0.18𝐴𝑅 (𝛼 = 90°) (IV-12)
Con esta última expresión se completa un set de ecuaciones que permiten predecir
los coeficientes de sustentación, resistencia y momento para ángulos de ataque que
estén en el siguiente rango:
−90° < 𝛼 < 90°
154
No obstante y después de pruebas en el túnel de viento de la Universidad de
Texas-Austin (AT), Tangler Y Ostowari construyeron una base de datos con
mediciones realizadas en alas sin rotación y con los resultados obtenidos de
cálculos numéricos utilizando el Método Viterna.
Se tomaron como variables que influencian las características aerodinámicas, la
relación de aspecto (Aspect Ratio AR), espesor del perfil (t/c) del ala y el Número
de Reynolds (Re).Los perfiles probados son los de la serie NACA 44XX y los
parámetros mencionados son los siguientes:
𝐴𝑅 =𝑙2
𝑆 = 6,9,12 𝑦 ∞
𝑡
𝑐= 9,12,15 𝑦 18%
𝑅𝑒 = 2.5𝑥105, 5𝑥105, 7.5𝑥105𝑦 10𝑥105
En ese trabajo se trataba de mostrar la influencia de la relación de aspecto del ala
en los Coeficientes de sustentación (𝐶𝐿) y de resistencia (𝐶𝐷).Con el proposito de
profundizar el estudio, los gráficos se han dividido tres distintas zonas de ángulos
de ataque:
a) La primera zona corresponde a ángulos de ataque hasta 15°, es decir previo a la
condición de perdida para la mayoría de los perfiles aerodinámicos.
b) Una segunda región comprendida en el siguiente rango: 15°<α<27.5° cuya
principal característica es que no pueden discernirse los efectos en los cambios de
la relación de aspecto (AR).En este caso a la mayor resistencia inducida al reducirse
la relación de aspecto se contrapone con una menor resistencia de presión por la
misma causa.
c) La tercer zona de ángulos de ataque es en la α>27.5° y donde la influencia de los
parámetros AR, 𝑡
𝑐 y Re tienden a manifestarse mas claramente.
155
En los siguientes gráficos presentados por los mencionados autores, se pueden
observar los resultados obtenidos en un amplio rango de ángulos de ataque y su
influencia en los coeficientes aerodinámicos en función del Número de Reynolds:
Grafico IV.2
156
Grafico IV.3
157
Cabe acotar que en los gráficos anteriores los valores obtenidos tanto del coeficiente
de sustentación como el de resistencia son para el caso de un flujo estrictamente
bidimensional, es decir que el alargamiento es infinito (𝐴𝑅 = ∞) y por lo tanto no
hay efectos tridimensionales.
Luego de este estudio los autores recomiendan el uso de las siguientes expresiones
que permiten predecir mejor los Coeficientes de Sustentación, Resistencia y
Momento:
𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥=
1.0+0.065𝐴𝑅
(0.9+𝑡
𝑐)
@ (𝛼 = 90°) (IV-13)
𝐶𝑑 = 𝐵1 sin 𝛼 + 𝐵2 cos 𝛼 , 27.5° ≤ 𝛼 ≤ 90° (IV-14)
Donde:
𝐵1 = 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 IV-7
𝐵2 =𝐶𝑑𝑠−𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 sin𝛼𝑠
cos𝛼𝑠 (IV-15)
Para el Coeficiente de Sustentación (CL) no utilizan el valor encontrado en la Ec.
IV-4 y es reemplazado en el rango de ángulos de ataque entre 27.5° ≤ 𝛼 ≤ 90°
por la expresion siguiente:
𝐶𝑙 = 𝐶𝑑cos𝛼
sin𝛼 (IV-16)
Para el cálculo del coeficiente de resistencia en la primer zona post stall
(15°<α<27.5°) se emplea la expresión propuesta por Viterna – Janetzke:
158
𝐶𝑑 = 𝐵1𝑠𝑖𝑛2 ∝ +𝐵2 cos ∝
𝐶𝑑 =𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥
2𝑠𝑖𝑛2 +
𝐶𝑑𝑠−𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 sin𝛼𝑠
cos𝛼𝑠cos 𝛼 (IV- 17)
Para ángulos de ataque en la segunda zona post stall (27.5° ≤α≤ 90°) se
emplearara la recomendada por Tangler-Ostowari:
𝐶𝑑 = 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥sin 𝛼 +
𝐶𝑑𝑠−𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 sin𝛼𝑠
cos𝛼𝑠cos 𝛼 (IV-18)
Para el cálculo del coeficiente de sustentación ambos Métodos emplean la Ec. IV-
4 con los valores de ángulos y coeficientes en la zona de stall.
Para predecir los coeficientes en una zona más extendida y para ángulos negativos
-90°≤ 𝛼 ≤ 90°) ,que son las condiciones que se presentan en un Generador Eólico
de eje Vertical en las condiciones de arranque o start up ,se hace necesario recurrir
a un trabajo realizado por Bjorn Montgomerie (15).
Es decir en el proceso de arranque del generador eólico que es la parte más crítica
del funcionamiento de este tipo de máquinas. En estas condiciones se comporta
como una máquina de resistencia y a partir de ahí paulatinamente como una de
sustentación.
Tanto Viterna-Janetze como Tangler-Ostowari no han tenido en cuenta dos
factores que permiten calcular con mayor precisión el valor del máximo Coeficiente
de Resistencia (𝐶𝐷𝑚𝑎𝑥 ≈ 𝐶𝐷90), estos son: el radio del borde de ataque ( 𝑟𝑙𝑒) y la
diferencia entre la combadura del extrados y el intradós (blg).Cuando el perfil se
encuentra con el vector representativo del viento con una incidencia de 90º, no es
lo mismo que el sentido sea en una dirección que en la otra. Este es el concepto de
"bulge" Es decir que el incremento de la combadura y/o el radio del borde ataque
159
contribuyen a reducir el máximo Coeficiente de Resistencia en una cantidad
denominada ∆𝐶𝐷,𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑 .
Montgomerie propone la siguiente expresión para incorporar los efectos
anteriormente mencionados:
∆𝐶𝑑,𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑 = −0.83𝑟𝑙𝑒
𝑐− 1.46. 𝑏𝑙𝑔 (IV-19)
Siendo:
𝑏𝑙𝑔 = ±ℎ
𝑐+
𝑡
2𝑐 (IV-20)
Estos conceptos pueden verse gráficamente representados en la siguiente figura:
Figura IV1
Entonces para el cálculo del valor de 𝐶𝐷𝑚𝑎𝑥 hay adicionarle el termino de
∆𝐶𝑑,𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑 para tener en cuenta el impacto de las caracteristicas geométricas del
perfil.
Es decir:
𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥=
1.0+0.065𝐴𝑅
(0.9+𝑡
𝑐)
− 0.83𝑟𝑙𝑒
𝑐− 1.46 ∗ (±
ℎ
𝑐+
𝑡
2𝑐 ) (IV-21)
En el programa de cálculo de esta última expresión el signo + en el primer término
del "bulge" se emplea para la condición en que el flujo de aire proveniente del
vector velocidad relativa (velocidad del viento +⃑⃑ velocidad tangencial de rotacion)
cuando 𝛼 = 90º impacta desde el lado de succión del perfil. Lo inverso se aplica
cuando el aire sopla sobre el lado de alta presión positiva.
160
Para el rango de ángulos de ataque más allá de los ± 90° en este trabajo también se
sigue los lineamientos propuestos por Bjorn Montgomerie con algún cambio en la
nomenclatura original.
Montgomerie emplea la siguiente expresión debida a Hoerner (17) para el cálculo
del coeficiente de sustentación:
𝐶𝑙 = 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 sin α cos 𝛼 (IV-22)
Pero reemplaza el ángulo de ataque α por 𝛽 que responde a la siguiente definicion:
𝛽 = 𝛼 − 𝛿1 − 𝛿2 (IV-23)
Donde:
𝛿1 = 57.6 ∗ 𝐶𝐿90 sin 𝛼 (IV-24)
𝛿2 = 𝑎0 cos 𝛼 (IV-25)
𝛿1 representa el efecto del radio de curvatura de la narriz o borde de ataque del
perfil, mientras que 𝛿2 corresponde al impacto que tiene la combadura del perfil.
𝑎0 : ángulo de ataque de sustentación nula en grados sexagesimales
𝐶𝐿90 : Coeficiente de sustentación a 𝛼 = 90° (𝐶𝐿90 ≈ 0.08)
De esta manera la expresión final para el Coeficiente de Sustentación para ángulos
de ataque superiores a ± 90º queda entonces:
𝐶𝑙 = 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 sin 𝛽 cos 𝛽 (IV-26)
𝐶𝑑 = 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛2𝛼 (IV-27)
Cabe ahora sumarizar las expresiones utilizadas en los distintos rangos de variación
del ángulo de ataque α que se emplean en este trabajo:
0° ≤ 𝛼 ≤ 15°
𝐶𝑙 = 𝐶𝑙𝑋𝐹𝑂𝐼𝐿
161
𝐶𝑑 = 𝐶𝑑𝑋𝐹𝑂𝐼𝐿
16° ≤ 𝛼 ≤ 35°
𝐶𝑙 =𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 sin 2𝛼
2+ (𝐶𝑙𝑠 − 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 sin 𝛼𝑠 cos 𝛼𝑠)
sin𝛼𝑠
𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑠
𝑐𝑜𝑠2𝛼
sin𝛼
𝐶𝑑 = 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛2𝛼 +
𝐶𝑑𝑠−𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑠
cos𝛼𝑠cos 𝛼
35° ≤ 𝛼 ≤ 90°
𝐶𝑑 = 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 sin 𝛼 +𝐶𝑑𝑠−𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 sin𝛼𝑠
cos𝛼𝑠
𝐶𝑙 = 𝐶𝑑cos𝛼
sin𝛼
𝛼 > ±90°
𝐶𝑙 = 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 sin 𝛽 cos 𝛽
𝐶𝑑 = 𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛2𝛼
En conclusión para el cálculo de los coeficientes en el siguiente rango: -0°≤ 𝛼 ≤
15° este autor emplea los datos provenientes del Software XFOIL
En el rango: 16° ≤ 𝛼 ≤ 35° se emplean un promedio entre los valores obtenidos
de la expresiones propuestas por Viterna y una combinación con los resultados
del software XFOIL (XFLR5).Esto resulta de tratar de obtener una mejor
162
aproximación a los resultados de las mediciones el túnel de viento mencionado para
el perfil NACA 4418.
Entre: 35° ≤ 𝛼 ≤ 90° se utilizan las expresiones del Método de Viterna-Janetze
con las modificaciones propuestas por Tangler-Ostowari.
Se aclara que a los efectos de adaptar los valores obtenidos en esta simulación se
ha modificado el valor estipulado por Viterna-Janetze para el coeficiente de
resistencia máximo (𝐶𝐷𝑚𝑎𝑥) y asi considerar al flujo bidimensional:
𝐶𝑑𝑚𝑎𝑥 =1.0+0.185𝐴𝑅
(0.9+𝑡
𝑐)
La comparación entre las pruebas en túnel de viento y el proceso de simulación aquí
adoptado puede observarse con mayor claridad para el perfil alar NACA 4418 en
los siguientes gráficos:
163
Grafico IV.4
0.000000
0.200000
0.400000
0.600000
0.800000
1.000000
1.200000
1.400000
1.600000
1.800000
0.00000 10.00000 20.00000 30.00000 40.00000 50.00000
Cls
tps
αº
CL(Xfoil)
CL(Viterna)
CL(Viterna-Xfoil)
CL(WT)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
CL
αº
NACA 4418-Re=250000
CL(XFOIL-Viterna)
CL(WT)
164
Grafico IV.5
Grafico IV.6
Nota: CL (WT) significa que son los datos experimentales obtenidos por Ostowari-
Tangler en el túnel de viento de la Universidad de Texas (17).Este trabajo fue
presentado en Workshop Wind Turbine Technology auspiciado por el
Departamento de Energía de USA y la NASA, realizado en Cleveland-Ohio en
Mayo de 1984.Recien han sido publicados en Junio de 1991 por el Instituto de
Investigación de la Energía Solar (SERI).
Como los datos presentados en ese trabajo de investigación no se encuentran
tabulados, sino que se presentan en forma gráfica y nada más que para algunos
valores bastante espaciados de ángulos de ataque, se ha ajustado la curva original
mediante el Método de Splines Cúbicos empleando el Software TableCurve2D.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 20 40 60 80 100
Cd
stp
s
αº
NACA 4418-Re=250000
cdstps(Viterna)
Cd(WT)
165
En el siguiente grafico se puede observar para λ =0 los valores de los Coeficientes
de Sustentación y Resistencia para ángulos de ataque en el rango −180° ≤ 𝛼 ≤
+180° :
Grafico IV.7
Los siguientes gráficos han sido logrados mediante la utilización de un software
propio desarrollado en el lenguaje de programación FORTRAN 77 denominado
Polar 360.for.
166
Grafico IV.8
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-200 -100 0 100 200
CL-
CD
αº
CL(Viterna-Xfoil)
CD(Viterna-Xfoil)
167
Grafico IV.9
En el siguiente grafico se puede observar las polares comparativas de un perfil
NACA 4418 y el Selig S1210 empleado en el Generador Eolico:
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
CL-
CD
αº
NACA 4418-Re=250000
CL(NACA4418)
CD(NACA4418)
168
Grafico IV.10
Con estos datos obtenidos es posible ahora calcular el torque total que entregan las
palas del Generador Eolico.
Para el calculo de los coeficientes 𝐶𝑙 y 𝐶𝑑 se ha empleado ademas como
comparacion el software QBLADE promediando los resultados de los Metodos de
Viterna y Montgomerie.El siguiente grafico muestra los resultados obtenidos para
el perfil S1210:
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00
Cl-
Cd
θ (rad.)
POLAR 360º
CL(NACA4418)
CD(NACA4418)
CL(VTA 1)
CD(VTA 1)
169
Grafico IV.11
En este último gráfico de puede visualizar una comparación del perfil S1210 y su
evolución: el vpc0129 para las condiciones de arranque y bajos números de Reynolds.
170
Grafico IV.12
Como complemento y además a los efectos de comparar los resultados obtenidos
anteriormente por Programas propios y QBLADE, se ha utilizado también el Software
Airfoilprep.py obtenido de NREL.
171
ANEXO V
DISEÑO DE UN GENERADOR ELÉCTRICO DE IMANES PERMANENTES
DE FLUJO AXIAL
Introducción
Durante años los generadores de imanes permanentes de flujo axial se han desarrollado
con diferentes topologías:
a) Máquinas de un solo rotor y estator
b) “ con dos estatores externos y un rotor interno
c) “ “ “ rotores externos y un estator interno
Cabe acotar que el tipo de máquinas que se tratan en este estudio prescinden de un
núcleo de hierro, el que es reemplazado por uno de aire.
En el primer caso la maquina es más simple y no existen fuerzas atractivas provocadas
por los imanes entre el rotor y el estator. Cuando se trata de un rotor interno y dos
estatores externos se tiene como desventaja la gran separación entre los imanes y las
bobinas. El tercer caso tiene como desventajas en primer lugar por las fuerzas
provocadas por los imanes de diferente polaridad magnética por lo que los discos deben
ser calculados para evitar las deformaciones de flexión de los mismos, lo que
obviamente redunda en un mayor peso del sistema. Pero la principal desventaja es el
costo asociado a la mayor cantidad de imanes necesarios. No obstante es el más
adecuado para la utilización en la producción de energía eléctrica en generadores eólicos
principalmente en los de eje vertical, dada la posibilidad de un acoplamiento directo al
eje de la turbina y por lo tanto sin necesidad de multiplicación alguna.
Un típico generador eléctrico de imanes permanentes y de flujo axial está compuesto por
dos discos de acero en los que se montaran los imanes permanentes y asociados a un eje
de giro, más un estator con las correspondientes bobinas de inducción. Esto puede
apreciarse en la Figura 1.
172
Figura V.1
Es evidente que los imanes están colocados en la parte externa de los discos y en su
superficie interna. Aquí aparecen dos posibilidades principales del montaje de los
imanes. La primera de ellas es la de embeberlos en el disco, lo que implica trabajos de
maquinado que elevan el costo de producción o bien simplemente pegarlos a los
mismos. Esta última resulta la manera constructiva más lógica ya que las fuerzas
centrifugas a las que estarán sometidos serán relativamente bajas por el rango de
velocidades de rotación que las turbinas de eje vertical presentan como se verá más
adelante y que permite el empleo de pegamentos de uso comercial.
Además como ventaja adicional y dado que estos imanes de tierras raras tienen que
trabajar en un rango de temperaturas relativamente bajas, el hecho de que los imanes
sobresalgan de la superficie del disco, genera un flujo de aire turbulento que contribuye
a su enfriamiento.
Bobinado Estator
Imanes Permanentes
Disco Rotor
Separación de
Imanes
Espesor Estator
R2
R1
173
En la siguiente figura puede apreciarse ambas alternativas.
La primera representa un rotor con imanes pegados y la segunda con los mismos imanes
embebidos en el disco
Figura V.2
Como las pérdidas eléctricas en el acero de los discos son muy bajas no se necesita
utilizar láminas para su construcción como en las máquinas de flujo radial
convencionales.
No obstante el problema principal consiste en lograr un elevado flujo magnético en el
espacio entre ambos imanes de cada disco ocupado por las correspondientes bobinas del
estator, por lo que se requiere de imanes permanentes del mayor volumen posible.
Otra desventaja que no ha sido mencionada hasta ahora es que a los efectos de lograr un
acoplamiento directo del generador al eje de la turbina con el objetivo de reducir los
posteriores costos de operación, se requiere el empleo de muchos imanes por disco,
como se verá posteriormente y eso incrementa el riesgo de pérdidas de flujo magnético
entre los imanes vecinos al reducirse el paso polar.
Debido a que se utilizara un estator con núcleo de aire, se pueden emplear bobinas de
forma trapezoidal (Figura 3) que luego de unirlas de acuerdo a un layout definido
(bobinas y fases) se construye un molde que se rellena por lo general con una resina
epoxi y fibra de vidrio, que otorga al mismo la rigidez necesaria.
174
Figura V.3
En el layout del bobinado de un estator en los generadores de flujo axial de imanes
permanentes y con núcleo de aire existen por lo general dos tipos diferentes:
a) Distribuido
b) Concentrado
Esto se relaciona con lo que sucede en las máquinas de flujo radial (RFPM) que en
general y hasta el presente son construidas con un estator del primer tipo mediante el
solapamiento de las bobinas. Recientes estudios han mostrado la conveniencia de usar el
segundo tipo de layout para las máquinas de flujo radial, lo que redunda en una
reducción del costo por la reducción de las bobinas necesarias. En las figuras siguientes
se muestran detallas del primer tipo de bobinado del primer tipo y con un solapamiento
de las bobinas:
175
Figura V.4
Figura V.5
176
Figura V.6
En la figura 4 se muestra un solapamiento de las bobinas sobre una sola “ranura
ficticia” donde hay una sola ranura por polo magnético en donde existe un factor de
bobinado ideal igual a la unidad. Es decir que el paso de la bobina (𝜏𝑐) y el paso polar
(𝜏𝑝) son iguales.
La otra manera de distribuir el bobinado del estator es el del segundo tipo:
concentrado y sin solapamiento como se puede observar en las siguientes figuras:
177
Figura V.7
Figura V.8
Figura V.9
178
En la figura 7 se puede observar que los pasos de las bobinas y el de los imanes son
distintos. En general se emplea la siguiente relación:
𝜏𝑐 =2
3𝜏𝑝 (V-1)
Esto como se verá más adelante permite lograr un factor de bobinado de 0.866.Un
factor de bobinado menor que la unidad cuando la suma geométrica de los fasores de
fem es menor que la suma aritmética. Al obtenerse con esta distribución sin
solapamiento factores de bobinado menores que la unidad, se requiere mejorar este
factor, lo que puede lograrse mediante una óptima combinación entre el número de
polos y bobinas.
En este estudio se empleara un layout con bobinas agrupadas por fase, lo que se
muestra esquemáticamente en la siguiente figura:
Figura V.10
179
1.-Premisas Básicas
Se parte de una premisa inicial de construir un Generador de Flujo Axial de Imanes
Permanentes con una Potencia de 1Kw (eléctricos), a ser acoplado a una Turbina Eólica
de Eje Vertical ya probada durante más de un año en la Localidad de Sinsacate-
Provincia de Córdoba.
El mismo deberá comenzar a entregar potencia en corriente alterna con vientos de más
de 2.5 m/s y con una variación de frecuencia en el rango de 6 a 25 Hz.
Se parte de un diseño que a priori está constituido por dos Rotores y un Estator ubicado
entre ellos.
Los parámetros básicos de diseño son los que a continuación se detallan:
a) Numero de Pares de Polos
b) Numero de Bobinas
c) Tensión inducida en las Bobinas
d) Tipo de Imanes
e) Tamaño de las Bobinas
f) Tipo de Devanado del Estator
g) Dimensiones del conjunto Rotor-Estator
2.-Calculo del Número de Polos
Considerando que de acuerdo a las mediciones realizadas en las pruebas de campo con
la Turbina Eólica mencionada anteriormente, el rango útil de las velocidades de rotación
se encuentran entre las 50 y las 280 (rpm), para velocidades de viento entre los 3 y 10
180
(m/s) y un radio del mismo de 1 metro y entre 50 y 190 (rpm) si el radio es llevado a 1.5
metros. Esto puede apreciarse en la tabla y grafico siguientes:
λ v= 3(m/s) (r=1 m) v= 3(m/s) (r=1.5 m) v= 10(m/s) (r=1 m) v= 10(m/s) (r=1.5 m)
0.25 7 5 24 16
0.5 14 10 48 32
0.75 21 14 72 48
1 29 19 95 64
1.25 36 24 119 80
1.5 43 29 143 95
1.75 50 33 167 111
2 57 38 191 127
2.25 64 43 215 143
2.5 72 48 239 159
2.75 79 53 263 175
3 86 57 286 191 TABLA V.1
GRAFICO V.1
2448
7295
119143
167191
215239
263286
310334
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 1 2 3 4
RP
M
λ
ω (RPM)-λ (r=1 m)
ω (RPM) (r=1 m) (3m/s)
ω (RPM) (r=1 m) (4m/s)
ω (RPM) (r=1 m)(5m/s)
ω (RPM) (r=1 m)(6m/s)
ω (RPM) (r=1 m)(7m/s)
181
GRAFICO V.2
Partiendo de la siguiente expresión para el cálculo de las velocidades de rotación
𝜆 =𝜔.𝑟
𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 (V.2)
Siendo:
λ = TSR - Relación entre la Velocidad de rotación de las palas y la del viento (Tip
Speed Ratio)
ω - Velocidad de rotación en rad/s
r - Radio de la Turbina
𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 - Velocidad del viento
Para trabajar con rpm en lugar de Hz, podemos expresar la Ecuación (V.2) como:
16
32
48
64
80
95
111
127
143
159
175
191
207
223
0
50
100
150
200
250
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00
RP
M
λ
ω (RPM)- λ - (r=1.5 m)
ω (RPM) (r=1.5 m) (3m/s)
ω (RPM) (r=1.5 m) (4m/s)
ω (RPM) (r=1.5m)(5m/s)
ω (RPM) (r=1.5 m)(6m/s)
ω (RPM) (r=1.5 m)(7m/s)
ω (RPM) (r=1.5 m)(8m/s)
ω (RPM) (r=1 .5m)(9m/s)
ω (RPM) (r=1.5 m)(10m/s)
182
λ=TSR=2𝜋.𝑓𝑚.𝑟
𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑
𝑓𝑚 =𝜆𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑
2𝜋𝑟 (V.3)
𝑓𝑚 Frecuencia mecánica
Entonces si consideramos la velocidad de rotación en rpm en lugar de Hz o ciclos por
segundo:
𝑛 = 60𝑓𝑚 =𝜆.60𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑
2𝜋.𝑟 [𝑟𝑝𝑚] (V.4)
Donde:
n - rpm
Por lo tanto la relación entre la velocidad de giro y la del viento será una función de λ,
𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 y r.
Como se van a analizar en este trabajo dos modelos de generadores eólicos que difieren
solamente en la longitud de los brazos, las expresiones de la velocidad de rotación para
r=0.866 m y r=1.096 m se tiene:
r=0.87 m 𝑛 = 10.98𝜆𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 (V-5)
r=1.1 m 𝑛 = 8.68𝜆𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑
Como ya se ha medido el funcionamiento de la Turbina Eólica (r =0.87 m) en el
arranque (primeros minutos) y para una velocidad de viento de 3 (m/s) y un λ=1.75:
𝑛 = 19.22 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 (r=0.87m)
𝑛 = 15.19 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 (r=1.1m)
Para el cálculo del número de polos de los generadores necesario encontrar la relación
entre la frecuencia eléctrica y la velocidad de rotación del campo magnético giratorio.
Si partimos de una maquina constituida por dos polos (imanes) que completan una
rotación mecánica alrededor de la superficie de un estator, la velocidad de rotación
(mecánica) del campo magnético en revoluciones por segundo es igual a la frecuencia
eléctrica en Hertz:
183
𝑓𝑒𝑙𝑒𝑐 = 𝑓𝑚𝑒𝑐
(V.6)
𝜔𝑒𝑙𝑒𝑐 = 𝜔𝑚𝑒𝑐
Donde 𝑓𝑚𝑒𝑐 y 𝜔𝑚𝑒𝑐 son las velocidades de rotación mecánicas en revoluciones y
radianes por segundo respectivamente, mientras que 𝑓𝑒𝑙𝑒𝑐 y 𝜔𝑒𝑙𝑒𝑐 son las velocidades
electricas en Hertz y radianes por segundo.
Si este modelo se repitiera dos veces y se empleara un sistema trifásico de corrientes
sobre el estator se producirían dos polos nortes y dos sur. En este tipo de bobinado un
polo se mueve solo medio camino alrededor del estator en un ciclo eléctrico.
Como un ciclo tiene 360 grados eléctricos y el movimiento mecánico 180 grados
mecánicos, la relación entre el ángulo eléctrico 𝜃𝑒𝑙𝑒𝑐 y el angulo mecanico 𝜃𝑚𝑒𝑐 sera
entonces:
𝜃𝑒𝑙𝑒𝑐 = 2𝜃𝑚𝑒𝑐 (Cuatro polos) (V.7)
Para el bobinado del estator con cuatro polos, la frecuencia eléctrica de la corriente será
el doble de la frecuencia mecánica de rotación:
𝑓𝑒𝑙𝑒𝑐 = 2𝑓𝑚𝑒𝑐
(V.8)
𝜔𝑒𝑒𝑙𝑒𝑐 = 2𝜔𝑚𝑒𝑐
En general si el número de polos magnéticos en una máquina de corriente alterna es p
hay 2 repeticiones en el bobinado del estator y las magnitudes eléctricas y mecánicas
seguirán las siguientes relaciones:
184
𝜃𝑒𝑙𝑒𝑐 =𝑝
2𝜃𝑚𝑒𝑐
𝑓𝑒𝑙𝑒𝑐 =𝑝
2𝑓𝑚𝑒𝑐 (V.9)
𝜔𝑒𝑙𝑒𝑐 =𝑝
2𝜔𝑚𝑒𝑐
Además como 𝑓𝑚𝑒𝑐 =𝑛
60 es posible entonces establecer ahora una relación entre la
frecuencia eléctrica expresada en Hertz con la mecánica resultante de la rotación de los
campos magnéticos en revoluciones por minuto:
𝑓𝑒𝑙𝑒𝑐 =𝑝.𝑛
120 (V.10)
La expresión que establece la relación entre la velocidad de rotación y el Número de
Polos es la siguiente:
𝑛 =120.𝑓𝑒𝑙𝑒𝑐
𝑝 (V.11)
Siendo:
p – Numero de polos
𝒇𝒆- Frecuencia eléctrica (Hz)
n- rpm
Si ahora igualamos las expresiones (V.5) y (V.11) para n primero para la turbina con
r=0.87 m y r= 1.1 m respectivamente:
19.22 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 =120.𝑓𝑒𝑙𝑒𝑐
𝑝 , 15.19 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 =
120𝑓𝑒𝑙𝑒𝑐
𝑝 (V.12)
𝑝 =120.𝑓𝑒𝑙𝑒𝑐
19.22 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 , 𝑝 =
120 𝑓𝑒𝑙𝑒𝑐
15.19 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 (V.13)
185
Considerando que en la condición más desfavorable que se da en los instantes previos
desde el arranque de la Turbina a un minuto de funcionamiento para una velocidad del
viento de 3 (m/s), deberíamos obtener un mínimo de 10 a 20 Hz (eléctricos en el
generador), podemos con la Ecuación (V.13) y un valor intermedio de 20 Hz obtener el
número de polos necesarios:
𝑝 =120∗20
19.22∗3≈ 42 𝑝 =
120∗20
15.19∗3≈ 52
Como se decidió generar potencia de forma trifásica, debemos tener un numero de
polos par y múltiplo de 3.Es decir que necesitaríamos 42 imanes (21 pares de polos) por
cada rotor para el primer caso y 52 para el segundo (26 pares de polos).Para el diseño de
este prototipo se considera entonces un valor intermedio y que sea múltiplo de 3.En este
caso se decidido optar por 18 pares de polos y por lo tanto un total de 36 imanes.
Todo esto si consideramos como premisa inicial que el mismo está constituido por
dos rotores y un estator.
Si introducimos ahora los valores mínimos y máximos de la velocidad del viento, (3 y
12 m/s) de la expresión (V.13) se despeja la frecuencia (𝑓𝑒):
𝑓𝑒 =19.22∗𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑.𝑝
120=
19.22∗3∗24
120= 11.5 [𝐻𝑧] y 𝑓𝑒 =
15.19∗3∗24
120= 9.1[𝐻𝑧]
(V.14)
Como se ha estimado que en condiciones de régimen se alcanza una relación entre la
velocidad de rotación de las palas de aproximadamente 3 (λ=3) para la turbina con un
radio r=0.87 m, tendríamos para una velocidad del viento de 12m/s, teniendo en cuanta
la ecuación V-5 la siguiente expresión para el número de revoluciones:
𝑛 = 10.98 ∗ 3 ∗ 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 = 32.94 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 (V.15)
𝑓𝑚𝑎𝑥 =32.94∗12∗18
120≅ 59.3 (Hz) (V.16)
186
Si ahora consideramos una turbina eólica con un radio de 1.1 m:
𝑛 = 8.68 ∗ 3 ∗ 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 = 26.04 ∗ 𝑉𝑤𝑖𝑛𝑑 (V.17)
𝑓𝑚𝑎𝑥 =26.04∗12∗24
120≅ 46.9 (𝐻𝑧)
Vwind (m/s) n (rpm) (r=0.87 m) n (rpm) (r=1.1 m)
2 66 52
3 99 78
4 132 104
5 165 130
6 198 156
7 231 182
8 264 208
9 296 234
10 329 260
11 362 286
12 395 312
Tabla V.2
A la vista de estos resultados podemos concluir que el alternador 24 polos por rotor y
dada la configuración a usar, de rotor delantero y trasero se requieren 48 imanes para el
desarrollo del alternador.
Esto es independiente del número de fases del generador nΦ. Al respecto cabe recordar
que cada fase del generador corresponde a una bobina o un arreglo de bobinas para p
polos, que enlazan el flujo magnético del rotor de la máquina. Las fases son idénticas en
su configuración, están aisladas eléctricamente entre sí y desplazadas angularmente en el
espacio a una distancia α (geométricos) (exceptuando el caso bifásico, en que 𝑛𝜙 = 2
y 𝛼 = 901𝑝
2
Cuando se consideran más fases la expresión es:
𝛼 =360
𝑛𝜙
1𝑝
2
(V.18)
187
De esta forma se obtiene una generación equilibrada que permita la utilización de todas
las fases en un mismo sistema eléctrico, de lo contrario, la generación obtenida en cada
fase no podría suministrarse al mismo sistema sin que esto conlleve problemas a los
equipos.
Hoy en día se utilizan principalmente sistemas de generación trifásicos, es decir, que
constan de tres grupos de bobinas aisladas eléctricamente, colocadas en forma equi
espaciada a lo largo del estator de acuerdo a la ecuación (V.18).
Por ello se seguirá de ahora en adelante con el diseño de un equipo de generación
trifásica.
Las variables que se pueden manipular son el número de polos o la velocidad de
rotación mecánica. Como el proyecto consiste en suministrar energía a un hogar aislado
de la red mediante generación eólica, las formas de controlar la frecuencia serían dos:
a) Controlar la velocidad de giro del eje del generador ya que ésta depende
de la velocidad instantánea del viento.
b) Rectificar el voltaje generado para luego invertirlo en forma controlada
logrando la magnitud y frecuencia deseadas.
Considerando las diferentes complejidades que ofrecen ambas alternativas, se decide
optar por la segunda, ya que el control de velocidad del eje del aerogenerador implica
utilizar equipos de control en línea de alta sofisticación, que no se justifican para una
máquina de poco tamaño y el requerimiento básico de un bajo costo como lo que se
plantea aquí.
En este caso, al llevar el alternador un estator sin núcleo de hierro, no aparecerán
problemas de pares pulsantes, por lo tanto no es necesario igualar el número de polos y
el de bobinas.
En una máquina eléctrica trifásica, para que sus voltajes y corrientes resulten
equilibradas, sus bobinas deben, además de ser del mismo número de vueltas y del
mismo tipo de cable. Además las fases estar separadas por 120º eléctricos, lo que
corresponde a una separación física o geométrica entre cada bobina de una fase con la de
la otra fase de:
𝛼𝑔𝑒𝑜𝑚 =120º
𝑝
2
188
Para el estator se ha elegido una distribución de bobinas menor que el de imanes
permanentes y sin solapado entre ellas. Además se elige inicialmente una distribución
agrupada de bobinas por fase (figura V.10).Esto es necesario para aprovechar al máximo
el espacio del mismo, teniendo en cuenta la elección inicial del diámetro del rotor de
0.40 m.
En este caso se ha elegido una relación entre polos y bobinas dado por la siguiente
expresión (Ref. 5):
𝑁𝑏 = 0.875 𝑝 (V.19)
Como se ha visto anteriormente el número de polos elegido para cada rotor es de 24 y
por ende el número de bobinas en el estator (𝑁𝑏) será de 21.
Además se ha elegido un bobinado con no solapamiento como se muestra en la figura
V.10.
3.-Calculo de la Fuerza Electromotriz Inducida
Se calculará la fuerza electromotriz inducida (FEM) en las bobinas del generador
mediante tres enfoques diferentes:
La (FEM) en cada una de las bobinas de este generador, se puede obtener a partir de la
expresión teórica de Lorentz, (f.e.m. inducida en un conductor móvil en el seno de un
campo magnético) puesto que aunque, son los imanes los que se mueven realmente por
delante de las bobinas, puede considerarse que éstos están en reposo y son las bobinas
las que giran en el sentido contrario, enfrente de los imanes.
En primer lugar obtendremos la f.e.m. inducida en un segmento conductor que se mueve
con un movimiento circular en el seno de un campo magnético paralelo al eje de giro
(perpendicular al disco del rotor) como se muestra en la figura 11:
189
FIGURA V.11
Como los imanes se mueven realmente con movimiento circular uniforme, y el número
de imanes es siempre par y con los polos magnéticos alternados, en este caso la fem
inducida en una espira será justo el doble de la que induciría un solo imán, puesto que
cada lado de la espira está siendo atacado por dos imanes de polos opuestos.
Al aplicar la expresión a la configuración de un rotor con un grupo de
imanes, alternados en sus polos magnéticos, la fem inducida en una espira será justo el
doble de la que induciría un solo imán, puesto que cada lado de la espira está siendo
atacada continuamente por dos imanes de polos opuestos.
190
Figura V.12
Además, al ser una configuración de doble rotor, las bobinas están enfrentadas a dos
imanes cada vez, cuya inducción magnética se suma, por lo tanto la fem total sería 4
veces la que se induciría en un rotor homopolar con imanes solo en un lado de la espira.
Por tanto la fem inducida total en una espira será:
휀 = ∮(𝑣𝐵)𝑑𝑙 = ∮𝜔𝑟𝐵𝑑𝑙 = 𝜔𝐵 ∫ 𝑟𝑑𝑟 = 𝜔𝐵𝑅2
2−𝑅12
2
𝑅2
𝑅1= 𝜔𝐵
(𝑅2−𝑅1)(𝑅2+𝑟1)
2
(V.19) Donde: 𝑙 = 𝑅2 − 𝑅1 Por lo tanto:
191
휀 = 𝜔.𝐵(𝑅2+𝑅1)
2. 𝑙 (V.20)
La expresión (V.20) corresponde a la f.e.m. “alterna” máxima, o de pico, inducida en la
bobina. Además, al ser una configuración de doble rotor, las bobinas están enfrentadas a
dos imanes cada vez, cuya inducción magnética se suma, por lo tanto la fem total sería 4
veces la que se induciría en un rotor homopolar con imanes solo en un lado de la espira.
La f.e.m. “eficaz” considerando los dos polos enfrentados de ambos rotores será:
휀 =2
√2𝜔. 𝐵(𝑅2 + 𝑅1). 𝑙
Se puede considerar que una bobina de 𝑁𝑒espiras (como las que se muestran en la figura
anterior) está formada por N segmentos conductores en cada uno de los lados “radiales”
de la misma. Por tanto, la fuerza electromotriz generada en la bobina, será 𝑁𝑒 veces la
generada en una de sus espiras:
𝑉𝑏 =2
√2𝜔. 𝐵. (𝑅2 + 𝑅1). 𝑁𝑒 . 𝑙
Si empleamos como velocidad de giro las rpm en lugar de los ciclos por segundo y
siendo:
𝜔 = 2𝜋𝑓 Teniendo en cuenta la ecuación (V.3) en que:
𝑓 =𝑛
60
𝑉𝑏 =4𝜋
60√2𝑛. 𝐵(𝑅2 + 𝑅1). 𝑁𝑒 . 𝑙
𝑉𝑏 = 0.148. 𝑛. 𝐵(𝑅2 + 𝑅1)𝑁𝑒. 𝑙 (V.21)
192
La expresión (V.21) es la f.e.m. inducida en una bobina cuando se mueve enfrente de un
imán con su campo magnético perpendicular al disco del rotor. Si el campo magnético
es vertical hacia arriba, la polaridad de la f.e.m. es la indicada en la figura V.3.
Supongamos una espira como la que se muestra en la Figura V.13, con dos lados en la
dirección del radio de la circunferencia, L1 y L3, y los otros dos perpendiculares a dicho
radio, L2 y L4. Solo en los lados L1 y L3 se puede generar f.e.m. inducida, cuando se
muevan (giren) enfrente de un imán. Si la espira gira enfrente de un imán de un tamaño
muy parecido al de la espira, solo uno de los lados estará enfrentado al imán, por lo que
se generará f.e.m. en un lado solo, y luego en el otro, pero no en ambos a la vez. Si en
vez de tener un solo imán, se tiene un grupo de imanes, alternados en sus polos
magnéticos, como los que se muestran en la figura, al girar la espira enfrente de estos
imanes, los lados L1 y L2 estarán, casi todo el tiempo, enfrentados a imanes de polos
opuestos por lo que la f.e.m. generada en ellos serán opuestas también, y la f.e.m. total
generada en la espira será el doble de la generada en un solo lado:
FIGURA V. 13
193
Otra manera de obtener la f.e.m. en una bobina que se encuentra en la literatura consultada es la siguiente (32 , 34):
휀 =2𝜋
√2𝑓𝐵𝐴𝑖𝑚𝑎𝑛 = 4.44𝑓𝐵𝐴𝑖𝑚𝑎𝑛 (V.22)
Es necesario para empezar el dimensionamiento de las bobinas elegir el imán que se va a
utilizar en este prototipo. Se ha elegido dentro de los imanes permanentes disponibles en
el mercado uno con las siguientes dimensiones en mm: 50x20x3 mm
Si calculamos ahora el área de los imanes:
𝐴𝑖𝑚𝑎𝑛 = 𝑙𝑖𝑚𝑎𝑛 . 𝑎𝑖𝑚𝑎𝑛 = 0.05𝑥0.02 = 0.001 [𝑚2]
Para calcular la cantidad de espiras que debe tener cada bobina es necesario conocer el
flujo de inducción B en Teslas que abrazan cada bobina en función de la separación de
los imanes con las mismas.
Considerando que la tecnología disponible no permite una separación (δ) menor a los
2.5 (mm) se realiza mediante el Método de los Elementos Finitos a través del Software
Femm 4.2 (33) la estimación del flujo de inducción B (Tesla) y cuyos resultados se
muestran a continuación:
194
Figura V.5
Figura V.6
195
Grafico V.3
Para el cálculo del número de espiras necesario por bobina y teniendo en cuenta que el
proyecto consiste en diseñar y construir un generador eléctrico trifásico para proveer
energía a un banco de baterías, se requiere calcular el número de espiras totales
necesarias para obtener a bajas velocidades una tensión inducida por fase que supere la
tensión propia de la batería. Es decir que el objetivo es dimensionar la máquina para que
cuando la misma alcance unos 60 rpm empiece a entregar 14 V.
Para poder dimensionar el cuerpo del generador, es necesario especificar la forma que
tendrán las bobinas, y de qué forma se hará el arreglo de 15 bobinas en el estator.
El imán elegido entre las posibilidades que existen comercialmente tiene las siguientes
dimensiones en mm: 50x20x3.
En el siguiente paso es necesario calcular el voltaje por fase de un generador trifásico.
Para ello se emplea la siguiente expresión V.21:
𝐸𝑚𝑎𝑥 = 𝑁𝑓 . 휀 = 0.148. 𝑛. 𝐵(𝑅2 + 𝑅1)𝑁𝑒 . 𝑙 (V.22)
Siendo 𝑁𝑓 el número de fases (como si se tratara de una sola bobina por fase) 𝐸𝑚𝑎𝑥 la
tension maxima o pico de la onda.
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000
B (
TESL
A)
δ (cm)
B (T)
196
Pero la tensión efectiva o rms de cualquier fase (raíz cuadrática media) es la anterior
dividida por √2.
Una de las maneras más comunes de especificar una magnitud de una forma de onda
sinusoidal consiste en proporcionar su valor para un ángulo de 45º, el cual es igual a 70.7
% del valor pico. Este valor toma el nombre de raíz cuadrática media (r m s).
V rms= 0.707 x Tensión pico.
Entonces:
𝐸𝑟𝑚𝑠 =0.148
√2. 𝑛. 𝐵. (𝑅2 + 𝑅1). 𝑁𝑓 . 𝑙 (V.23)
1
√2≅ 0.707
Si la conexión es en estrella, que es la topología adoptada para obtener la mayor tensión,
debemos multiplicar la tensión de fase por √3.
𝐸𝑚𝑎𝑥 = 0.148.√3
√2. 𝑛. 𝐵. (𝑅2 + 𝑅1)𝑁𝑓 . 𝑙 (V.24)
Para hacer un dimensionamiento preliminar del disco rotor se toma como punto de
partida el ancho del imán elegido (20 mm) y se considera a priori una separación entre
ellos de 15 mm. El círculo máximo del rotor luego de la rectificación será:
𝐿𝑟𝑜𝑡 = 24 ∗ 0.02 + 23 ∗ 0.015 =0.810
𝑟 =𝐿𝑟𝑜𝑡
2𝜋=0.129 (m)
Pero como todo el disco no está repleto de imanes, sino que hay una separación entre
ellos, hay que introducir un factor corrector para representar esta situación. El factor
geométrico corrector es la superficie de todos los imanes dividido por la superficie total
de la corona circular donde están colocados los imanes:
197
𝑓𝑐 =𝑆𝑖
𝑆𝑐
Donde:
𝑓𝑐 Factor de Correccion
𝑆𝑖 Superficie ocupada por los imanes
𝑆𝑐 Superficie total de la corona circular
𝑑𝑐 = 2𝑟 − 𝑙 = 0.260 − 0.05 = 0.21 (m)
𝑑𝑟 = 2. 𝑟 = 0.260 (m)
𝑆𝑐 =𝜋𝑑𝑟
2
4−
𝜋𝑑𝑐2
4=0.053-0.034=0.01845 (m)
𝑓𝑐 =0.01
0.01845= 0.541
De este modo la expresión final para el cálculo de la tensión de fase podrá escribirse
como:
𝐸𝑟𝑚𝑠 = 0.148.1
√2. 𝑛. 𝑓𝑐 . 𝐵. (𝑅2 + 𝑅1). 𝑁𝑒 . 𝑙
(V.25)
𝐸𝑟𝑚𝑠 = 0.10465. 𝑛. 𝑓𝑐 . 𝐵. (𝑅2 + 𝑅1).𝑁𝑒 . 𝑙
De la expresión (V.25) puede ahora despejarse 𝑁𝑒 :
𝑁𝑒 =𝐸𝑟𝑚𝑠
0..10465.𝑛.𝑓𝑐.𝐵.(𝑅1+𝑅2).𝑙 (V.26)
No obstante para aproximarse más a la realidad y teniendo en cuenta el factor de
bobinado y las diferentes formas de los imanes y las bobinas (rectangular y trapezoidal)
se empleara un análisis propuesto en trabajos de Kamper y Rossouw (32,34).
De acuerdo con estas referencias el Valor Medio Cuadrático (RMS) de la tensión de fase
se puede estimar con la siguiente expresión:
𝑉𝜙 =𝑞2√2
𝑝𝜔𝑒𝐵𝑝𝑁𝑒𝑟𝑒𝑙𝑎𝑘𝑝𝑐𝑘𝑑
198
Donde:
Q Número total de bobinas
q Numero de bobinas por fase ( 𝑄
3)
p Número de pares de polos
𝜔𝑒 Velocidad de rotación eléctrica (rad/s)
𝐵𝑝 Valor pico del flujo en el núcleo de aire del estator (Tesla)
𝑁𝑒 Número de espiras por bobina
𝑟𝑒 Radio promedio del bobinado
𝑙𝑎 Longitud de la parte activa de cada bobina
𝑘𝑝𝑐 Paso polar de una bobina
𝑘𝑑 Factor de distribución (𝑓𝑐)
𝑁𝑒 Numero de bobinas por fase
𝜔𝑒 =𝑝
2𝜔𝑚
𝑟𝑒 =𝑟𝑖+𝑟0
2
𝑘𝑝𝑐 =sin(𝜃𝑚
(1−𝜅)
2).sin(
𝜅𝜃𝑚2
)
𝜅𝜃𝑚2
𝜃𝑚 =𝜋𝑝
𝑄
𝜅 =𝜃𝑟𝑒
𝜃𝑚
𝑘𝑑 =sin(𝑛
(𝜃𝑚−𝜋)
2)
𝑛 sin(𝜃𝑚−𝜋)
2
Las condiciones impuestas al generador son que entregue una tensión de fase-neutro (𝐸𝑟𝑚𝑠) de 14 Volts a una velocidad de rotación de 60 rpm y una potencia eléctrica de 1 KW a una velocidad del viento de 10 𝑚 𝑠⁄ . Para ello debe determinarse una curva ideal de potencia. Para este caso se ha tomado
como punto de partida la siguiente expresión para la variación de la potencia trifásica en
función de la velocidad de rotación del generador:
199
𝑃𝑡𝑟𝑖𝑓 = 0.013𝑛2- 0.56n (V27)
Esto puede verse reflejado en el siguiente gráfico:
Grafico V.4
Unos factores importantes en el dimensionamiento de la maquina eléctrica consiste en
definir el espesor del disco del estator y la separación mínima a lograr entre los imanes y
el estator. Para tal fin se han realizado varias simulaciones con Femm 4.2, en donde la
variable es el espesor del estator. Los valores elegidos son los siguientes:
1) δ=1.0 (cm)
2) δ=1.2 (cm) 3) δ=1.5 (cm)
Los resultados se muestran en el siguiente Grafico:
y = 0.0135x2 - 0.56x + 2E-12
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 100 200 300 400
Po
ten
cia
(Wat
ts)
n (rpm)
P (W)
Polinómica (P (W))
200
Grafico V.5
Como puede apreciarse para lograr los mejores valores del campo sobre las bobinas es
necesario reducir el espesor del disco del estator y de la distancia de los imanes al
mismo.
Como distancias posibles se han tomado las siguientes alternativas que se muestran en la
siguiente Tabla:
L (cm) B (Tesla) δ=1.2 cm B(Tesla)δ=1.5 cm B(Tesla)δ=1.0 cm
0.1037 0.3881 0.2407 0.4449
0.1509 0.3350 0.1952 0.3806
0.2028 0.2924 0.1624 0.3281
Tabla V.3
Para el dimensionamiento de las bobinas (Numero de vueltas y diámetro del alambre)
entonces debe realizarse con estas condiciones de borde. Es decir que el número de
vueltas o espiras de cada bobina se calcula partiendo de la primera condición.
Se toma como objetivo lograr una distancia entre imanes y estator de 1.5 mm y un
espesor del disco rotor de 12 mm. Por lo tanto se podría considerar un valor de campo de
B=0.33Tesla.
En cuanto a la elección de la sección del alambre a utilizar en el bobinado se realiza
teniendo en cuenta la máxima corriente que circulara por ellas para una velocidad de 12 𝑚
𝑠⁄ .
0.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000
1.4000
0.0000 0.5000 1.0000 1.5000
B (
Tesl
a)
L (cm)
B (Tesla) δ=1.2 cm
B(Tesla)δ=1.5 cm
B(Tesla)δ=1.0 cm
201
Si ahora ponemos valores a las variables de la ecuación V.26, tendremos:
𝑁𝑒 =14
0.181𝑥60𝑥0.541𝑥0.24𝑥0.01039≈954
Es decir que tendríamos un total de 954 espiras por fase. Como hemos previsto
dimensionar el rotor con 15 bobinas totales y entonces 5 bobinas por fase con 190
espiras por bobina.
El primer problema que se presenta con este dimensionamiento del generador mediante
una solución trifásica es que no habría lugar en el estator para el alojamiento de las
bobinas con ese número de espiras.
Por lo tanto tendremos que adoptar una generación monofásica.
Las opciones que se presentan para el devanado del rotor con 5 bobinas por fase son las
siguientes:
1.-Las 9 bobinas en serie
2.-Agrupamiento de 3 ramas en paralelo con 3 bobinas cada una
Por lo tanto las opciones son:
a) Para 9 bobinas en serie 𝑁𝑒𝑏 ≅ 106
b) Para 3 ramas en paralelo con 3 bobinas cada una 𝑁𝑒 ≅ 347
Se elige en primer instancia una distribución de 9 bobinas en serie, o sea la alternativa a
Tenemos ahora la primer parte del dimensionado del estator con un total de 27 bobinas,
9 bobinas por fase y un total de vueltas por cada bobina de 106.
Es necesario calcular la corriente que circulara por las bobinas en cada fase del estator.
Para ello se necesita definir el circuito equivalente del generador:
Como se trata de un circuito de corriente alterna es necesario calcular tanto la
impedancia total del circuito del generador (en este caso una fase).La misma está
compuesta por una reactancia resistiva que depende del alambre elegido como de la
longitud total utilizada en cada bobina y del número de bobinas por fase y de una
reactancia inductiva cuya expresión matemática se desarrolla a continuación.
Utilizando la Ley de Ampere se tiene que:
202
∫𝐻 𝑑𝑙⃑⃑ ⃑ = 𝑁𝑒.I
𝑁𝑒𝐼 =𝜙.𝑙
𝜇0.𝐴 𝐼 =
𝜙.𝑙
𝜇0.𝐴.𝑁𝑒
𝑁𝑒 . 𝜙 = 𝐿. 𝐼 𝐼 =𝑁𝑒.𝜙
𝐿
𝜙.𝑙
𝜇0.𝐴.𝑁𝑒=
𝑁𝑒.𝜙
𝐿
𝐿 =𝜇0.𝐴.𝑁𝑒
2
𝑙
L Impedancia Inductiva (Henrios)
𝜇0 = 4.10−7 (H/m) Permeabilidad Magnetica en el vacio
l Distancia que recorre el flujo (distancia entre imanes)
𝑁𝑒 Numero total de espiras por fase
A Área que atraviesa el flujo
Para el cálculo, es necesario considerar todas las espiras de una fase, lo que
corresponde a 950 espiras. Sin embargo, no es posible considerarlas todas
como una sola gran bobina, sino que se deben calcular las espiras por cada polo y luego
multiplicar este valor por el número de polos, ya que de esta forma se suman
inductancias que están en cuadratura magnética y no tienen interacciones que produzcan
inductancias mutuas.
𝐿 = 𝑝(𝑁𝑒𝑝
)2𝜇0𝐴
𝑙
𝐿 =18∗(
950
18)2∗4.10−7∗0.0104
0.015=13.9 (mH)
Resta ahora definir la sección del conductor a utilizar en la construcción de las bobinas.
Un problema no menor a resolver en este tipo de máquinas es el de lograr un
calentamiento por efecto Joule que este debajo de los 140 º Celsius para que los imanes
permanentes de NeBoFe no disminuyan su rendimiento. Por lo tanto es necesario
reducir la corriente que circulara por el bobinado. Además es conveniente minimizar las
perdidas eléctricas en el bobinado y además contar con el espacio suficiente para poder
instalar las bobinas en el plato del estator .El próximo paso entonces es la elección del
203
calibre del alambre a utilizar y la distribución de las bobinas. Para la primera alternativa
de instalar en cada fase 9 bobinas en serie.
La corriente máxima que va a circular por el devanado corresponde a la mayor velocidad
del viento a la cual va a trabajar el alternador, en este caso 12 m/s. Cómo la conexión
elegida es en estrella, la corriente de fase y la de línea van a ser la misma
Como puede verse en la Tabla 3 para una velocidad del viento de 12 𝑚 𝑠⁄ la maxima
corriente de fase es de 4.9 Amperes. De la tabla 4 el calibre que cumple con estas
condiciones es el 15 AWG.
No obstante como este prototipo va a ser probado en un área geográfica que presenta la
distribución estadística de vientos que se muestra en el Grafico 4 podemos dimensionar
como máxima corriente la correspondiente a un viento de 7 (m/s) y que equivale a una
potencia eléctrica de aproximadamente 400 Watts y por lo tanto una corriente de fase de
3 (A).Según Norma IRAM 2183 la corriente máxima soportada por 𝑚𝑚2 es de 11.7
(A) para consuctores sin aislacion y con correccion por temperatura (30°𝐶). Por lo tanto
el alambre a emplearse seria el AWG 23 (d=0.574 mm) de la Tabla V.4
La Impedancia Inductiva puede ahora calcularse como:
𝑋 = 2. 𝜋. 𝑓𝑒 . 𝐿
Para una velocidad del viento de 8(m/s) tendremos de acuerdo a la expresión (V.10)
𝑓𝑒 =𝑛.𝑝
120=
210∗18
120= 31.5 𝐻𝑧
𝑋 =6.2832∗31.5∗13.9
1000= 2.75 (Ω)
Calcularemos ahora la resistencia Óhmica del alambre total empleado en una fase. Para
ello hay que considerar el diámetro del disco de los rotores, el espesor de los imanes y el
espesor del rotor.
Como hemos tomado como distancia máxima de recorrido del flujo magnético 15 mm y
una distancia de los imanes al disco del rotor de 1 mm nos quedaría por razones
constructivas con la tecnología disponible 13 mm para el rotor que estaría fabricado con
resina reforzada con dos capas de fibra de vidrio en la parte superior e inferior del
mismo. Esto nos estaría dejando un espacio para el alojamiento de las bobinas de 11
mm. Es decir que en ese espacio y empleando un alambre calibre 23 AWG de 0.574 mm
tendríamos la posibilidad de alojar 6 capas de 19 alambres por capa.
204
Las 6 capas de 0.574 mm requerirían de un espacio de aproximadamente 3.5 mm que es
lo que deberíamos agregar al radio del rotor para determinar el espacio de alojamiento
de las bobinas.
Esto nos estaría dando un radio de 𝑟𝑒𝑒 =132.5 mm que equivalen a una longitud luego de
rectificada la circunferencia de 832 .5 mm.
A estos 832.5 mm habría que sustraerles 52 mm para la separación entre cada una de las
bobinas, con lo que el espacio máximo para el alojamiento de estas será de 780.5.Por
razones obvias la bobina son de forma trapezoidal con una cara superior de 27 mm. Para
calcular la cara inferior se requiere calcular el radio interno del estator. Para ello
debemos restar del diámetro externo del mismo la longitud de los imanes las el espacio
ocupado por las seis capas de alambre. Lo que nos daría:
𝑟𝑖𝑒 = 75.7 mm De la rectificación de esta circunferencia nos quedarían aproximadamente 474 mm para
el alojamiento de la parte inferior de las bobinas. Considerando una separación ahora de
1 mm entre bobinas el espacio se reduciría a 448 mm. Es decir que la cara inferior de
cada bobina sería de unos 16.6 mm.
Por lo tanto las dimensiones finales de cada bobina seria como la que muestra la figura
siguiente:
Figura V.7
57 mm
27 mm
16 mm
205
La longitud promedio de cada espira sería de 144 mm. Entonces como cada bobina
consta de 105 espiras, se requiere 15.12 m y un total de 136.8 m por fase.
De la tabla 4 se sabe que el alambre elegido tiene una resistencia de 66.8 Ω
𝐾𝑚.Por lo
tanto la resistencia Ohimica sera de 9.09 𝞨.
Por lo tanto la impedancia total de cada fase se calcula por la siguiente expresión:
𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋𝐿
y la magnitud de la misma:
|𝑍| = √𝑅2 + 𝑋𝐿2
Si reemplazamos los valores tanto de R como de 𝑋𝐿 tendremos:
|𝑍| = √82 + 2.752=9.497 𝞨.
n (rpm) V(Volts) - δ=2 (mm) I (Amps) P Watts)
10 2.06 0.22 0.45
20 4.12 0.43 1.79
30 6.18 0.65 4.02
40 8.24 0.87 7.15
50 10.30 1.08 11.17
60 12.36 1.30 16.09
70 14.42 1.52 21.89
80 16.48 1.74 28.60
90 18.54 1.95 36.19
100 20.60 2.17 44.68
110 22.66 2.39 54.07
120 24.72 2.60 64.34
130 26.78 2.82 75.52
140 28.84 3.04 87.58
150 30.90 3.25 100.54
160 32.96 3.47 114.39
206
170 35.02 3.69 129.14
180 37.08 3.90 144.77
190 39.14 4.12 161.31
200 41.20 4.34 178.73
210 43.26 4.56 197.05
220 45.32 4.77 216.27
230 47.38 4.99 236.38
240 49.44 5.21 257.38
250 51.50 5.42 279.27
260 53.56 5.64 302.06
270 55.62 5.86 325.74
280 57.68 6.07 350.32
290 59.74 6.29 375.79
300 61.80 6.51 402.15
Tabla V.4
La potencia trifásica puede ser calculada con la siguiente expresión:
𝑃𝑡𝑟𝑖𝑓 = √3𝑥𝐸𝑟𝑚𝑠𝑥𝐼𝑓 cos𝜙 (V.28)
Como todavía no se ha calculado el circuito equivalente del generador, se puede
considerar como valor aceptable de cos𝜙 = 0.93.
Consideremos ahora la condición de una velocidad de viento de 12 𝑚 𝑠⁄ y con esta
velocidad para λ= 2.75 utilizando la expresion V.4 y V.27se puede construir la siguiente
tabla:
Vwind (m/s) n (rpm) Efase (V) Ifase (A) Ptrifasica(W)
3 79 18.4 0.6 30
4 105 24.5 1.1 74
5 131 30.6 1.6 133
6 158 36.8 2.0 210
7 184 42.9 2.5 303
8 210 49.0 3.0 412
9 236 55.1 3.5 538
207
10 263 61.3 4.0 680
11 289 67.4 4.5 840
12 315 73.5 4.9 1015
13 341 79.7 5.4 1207
14 368 85.8 5.9 1416
15 394 91.9 6.4 1641
Tabla V.5
Tabla V.6
208
Con este pre dimensionamiento nos queda ahora ver cómo se pueden distribuir las 27
bobinas en el disco del estator y estimar el espesor que tendría el mismo en estas
condiciones iniciales prefijadas.
En las siguientes figuras se muestra el conexionado elegido de las 27 bobinas:
Figura V.8
Como las bobinas deben abrazar el mayor número de líneas de flujo del campo
magnético de los imanes permanentes, es necesario que cada bobina cubra con su parte
más interna la superficie del imán. Resulta evidente de la Figura 2 que la forma de las
bobinas no será rectangular como los imanes sino trapezoidal.
209
La distribución de los 18 imanes da como resultado que entre ellos existe un ángulo de
15º.
Mientras que en el caso de las bobinas (27) el ángulo será de 13.33º.
Si especificamos un espesor del estator de 0.015 m es posible colocar 10 alambres de
0.0014 de diámetro en cada vuelta de la bobina y esto nos dará 10 vueltas para obtener
las 103 espiras necesarias para obtener la tensión de fase de 14 Volts a 60 rpm como se
ha visto anteriormente. Esto significa que deben agregarse 0.0288 m al diámetro del
rotor para el dimensionamiento del estator. Por lo tanto tendremos las siguientes
dimensiones para rotor y estator:
𝐷𝑅 = 0.26 𝑚
𝐷𝑒 = 0.29 𝑚
Si el espacio útil para ubicar las bobinas en el estator es dado por la siguiente expresión:
𝑙𝑒 = 𝜋.𝐷𝑒=0.91 m
Como tenemos que ubicar 27 bobinas en el disco del estator con una separación mínima
de 0.002 m entre ellas el espacio aprovechable será ahora de:
𝑙𝑒 = 0.864 𝑚
Si dividimos esta longitud en 27 el espacio máximo disponible para cada bobina será:
𝑙𝑒𝑏 = 0.032 𝑚
En 0.016 m de espesor del estator pueden alojarse 11 espiras. Como se necesitan ubicar
103 espiras se requieren entonces 10 capas de 11 espiras por capa lo que nos daría un
ancho máximo (base mayor del trapecio) de cada bobina de 0.0488.
La base mayor del trapecio que forma cada bobina
210
Figura V.9
211
Figura V.10
Φ
258
212
ANEXO IV FOTOGRAFÍAS
Fotografía 1: Vista general del Generador TEV-1 en las inmediaciones de la
Ciudad de Jesús María
213
Fotografía 2: En esta fotografía puede observarse el Generador TEV-1 en
movimiento a unas 60 RPM luego de hacerlo pasar la “Zona Muerta” mediante
impulso externo.
214
Fotografía 3: Vista desde arriba del Generador TEV-1 donde puede apreciarse las
uniones de los brazos al eje y la placa soporte y su unión a la torre.
215
Fotografía 4: Vista parcial del sistema de transmisión mediante poleas y correas.
216
Fotografía 5: Vista del encastre del eje de transmisión al conjunto de poleas y
correas.
217
Fotografía 6: Etapa 2 del diseño (TEV 2X) con el agregado de un rotor Savonius
218
Figura 7: Otra perspectiva del prototipo TEV-2X
219
Fotografía 9: Prototipo TEV 2X instalado en el campo el Huayra en inmediaciones
del paraje Barranca Yaco.
220
Fotografía 9: Caída y destrucción del prototipo TEV 2-X por un viento huracanado
con ráfagas de más de 30 m/s al cortarse uno de los tensores.
221
Fotografía 10: El nuevo modelo de 5 palas TEV 3X instalado en la localidad de
Sinsacate, Departamento Colon, Provincia de Córdoba.
222
Fotografia 11-Construccion del modelo del ala
223
Fotografía 11 Armado del estator del Generador de Flujo axial con 27 bobinas
224
Fotografía 12 Rotor con 18 imanes permanentes de NeBoFe
225
Fotografía 13 Armado para pruebas de laboratorio del Generador de Flujo Axial
226
Fotografía 14 Conjunto de Discos del Generador de Imanes permanentes sin
Estator
227
228