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APLICACIN DEL CLCULO VECTORIAL: DETERMINAR LAS DIMENSIONES DE UN CONTENEDORUniversidad de la costa, CUC

Ingeniera industrial1 Ingeniera Civil2 RESUMEN: Muchas son las aplicaciones del clculo vectorial, a travs de este proyecto se le dar la solucin para determinacin de las dimensiones de un contenedor por medio de la aplicacin de los multiplicadores de La grange. Por medio de la optimizacin se logr obtener el coste mnimo posible del contenedor, primero se plante la funcin que se tena que minimizar para luego plantear la ecuacin que relacionaba las distintas variables del problema, despus de lo hecho despejamos la variable, para luego hacer la derivada, y gracias a los dems procesos se obtuvo el resultado que buscbamos, es decir, las dimensiones de tal manera que el coste fuera el mnimo posible.PALABRAS CLAVE: Derivadas parciales, Multiplicadores de la grange, sistemas de ecuaciones lineales, volumen del paraleleppedo.1 INTRODUCCIN

Las grandes ideas de produccin se basan en la reduccin de costos y optimizacin de los productos, nosotros como ingenieros en formacin debemos dar soluciones ptimas a los problemas que se nos presenten y nos competan en nuestros diferentes campos de trabajo.La optimizacin consiste en maximizar o minimizar una funcin real, estaincluye el descubrimiento de los "mejores valores" de alguna funcin objetivo dado un dominio definido, incluyendo una variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios.El principal objetivo de este artculo es aplicar los conocimientos del clculo vectorial y el teorema de Lagrange para resolver problemas de optimizacin.2 CALCULO VECTORIALEl clculo vectorial es un campo de las matemticas referidas al anlisis real multivariable de vectores en 2 o ms dimensiones. Consiste en una serie de frmulas y tcnicas para solucionar problemas muy tiles para la ingeniera y la fsica.2.2 OPTIMIZACIN 2.2.1 QU ES OPTIMIZACIN?La definicin de optimizacin es "mejorar el rendimiento de algo." Por lo tanto, la optimizacin con funciones que se emplea en Matemticas es exactamente eso: mejorar el resultado que se busca.

La optimizacin matemtica es parte del clculo diferencial. Se trata de una serie de pasos que nos llevan a resolver planteamientos en los que se busca mejorar aspectos como un costo, una dimensin, produccin, etc.

2.2.2 PARA QU SIRVE LA OPTIMIZACIN?Es aplicable principalmente para reas como la Economa, pero aun cuando no estemos interesados en estudiar eso, nos es til porque en nuestra vida diaria nos encontramos con situaciones en las cules elegir algo puede no resultar muy conveniente y costarnos ms de lo que podra haber sido de realizar una simple operacin.

2.2.3 MXIMOS Y MNIMOSSirven para determinar a partir de la derivada si una funcin es creciente o decreciente en ciertos intervalos definidos a partir de unos puntos llamados puntos crticos, los cuales sirven para darse una idea de cmo es una funcin especfica.2.2.4 COMO SE RESUELVE UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIN?Hemos definido los siguientes pasos para hacer ms fcil resolver manualmente un problema de optimizacin, puesto que pueden surgir dificultades al tratar de comprender los enunciados y hacer su planteamiento matemtico.

Resolver por medio de derivadas ayuda con los problemas anteriormente mencionados. Resolver de manera algebraica y grfica a la par ayuda a comprender ms fcilmente el problema y los resultados:

2.2.4.1. PASOS:1. Hacer un dibujo representativo. (Esto es opcional pero ayuda mucho a no confundirse al asignar valores y otras cosas.)

2. Hacer el planteamiento del problema. (Es decir, quin es X, Y, qu datos tenemos, qu buscamos, etc.)

3. Dejar una sola variable en el problema. (Para facilitar las operaciones, es necesaria y es usual que se despeje Y)

4. Simplificar (Hace ms fcil el resto del problema, simplificar todo lo posible.)

5. Derivar (Sacar f'(x) y f''(x) si es posible)

6. Igualar a cero para despejar x

7. Sustituir

8. Escribir solucin para tener en cuenta el resultado. [1]2.3 MULTIPLICADORES DE LA GRANGEEn los problemas de optimizacin, el mtodo de los multiplicadores de Lagrange, llamados as en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los mximos y mnimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este mtodo reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al nmero de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas ms fcilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restriccin, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El mtodo dice que los puntos donde la funcin tiene un extremo condicionado con k restricciones, estn entre los puntos estacionarios de una nueva funcin sin restricciones construida como una combinacin lineal de la funcin y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.[2]2.4 DERIVADAS

La derivada es la pendiente de la recta tangente delgrfico en el punto x.Es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera. [3]2.4.1 DERIVADAS PARCIALESUnaderivada parcialde unafuncinde diversas variables, es suderivadarespecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son tiles enclculo vectorialygeometra diferencial.La derivada parcial de una funcinfrespecto a la variablexse representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Dondees la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitudAes funcin de diversasvariables(X, Y, Z,), es decir:. [4]2.5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Unsistema de ecuaciones lineales, tambin conocido comosistema lineal de ecuacioneso simplementesistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales(es decir, unsistema de ecuacionesen donde cada ecuacin es de primer grado), definidas sobre uncuerpoo unanillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sera el siguiente:

Elproblemaconsiste en encontrar los valores desconocidos de las variablesx1,x2yx3que satisfacen las tres ecuaciones.

2.6 MTODOS DE SOLUCIN A SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES2.6.1 SUSTITUCIN

El mtodo de sustitucin consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incgnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuacin, sustituirla en otra ecuacin por su valor.

En caso de sistemas con ms de dos incgnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado..2.6.2 IGUALACIN

El mtodo de igualacin se puede entender como un caso particular del mtodo de sustitucin en el que se despeja la misma incgnita en dos ecuaciones y a continuacin se igualan entre s la parte derecha de ambas ecuaciones.

2.6.3 REDUCCINEste mtodo suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseado para sistemas con dos ecuaciones e incgnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, medianteproductos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incgnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuacin, se suman ambas ecuaciones producindose as la reduccin o cancelacin de dicha incgnita, obteniendo as una ecuacin con una sola incgnita, donde el mtodo de resolucin es simple. [5]2.7 VOLUMEN DEL PARALELEPPEDO

Elvolumende un paraleleppedo se calcula multiplicando elreade cualquiera de sus caras por la altura respecto de dicha cara. La altura debe medirse en la perpendicular levantada respecto del plano que contiene la cara que se considera como base, como muestra la figura adjunta.

En el caso ms sencillo de que todas las caras sean perpendiculares entre s, el volumen se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes en cualquier vrtice. Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vrtice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a travs de la frmula:

Por ejemplo, si las aristas de un paraleleppedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen se obtiene multiplicando 2 3 6 = 36 cm3.En el caso particular del cubo, en el que todas las aristas tienen la misma dimensin, el volumen es el lado elevado al cubo:

En general, si,a, b, c yson vectores que definen aristas concurrentes en un vrtice, el volumen del paraleleppedo es igual al valor absoluto del producto mixto:

La ecuacin es equivalente al valor absoluto deldeterminantede la matriz tridimensional formada por los vectoresa,byccomo filas o columnas:

[6]2 ANALISIS DE DATOS 2.1 PROBLEMA:

Un contenedor, en forma de paraleleppedo rectangular, ha de tener un volumen de 480 pies cbicos. Usar multiplicadores de La grange para determinar sus dimensiones de manera que su coste sea el mnimo posible, sabiendo que la base cuesta $5 por pie cuadrado y las caras laterales $3 por pie cuadrado.

Primero hallamos la funcin con valores extremos:

(1)

Y la restriccin:

(2)Aplicamos el teorema de Lagrange para las dos funciones y tenemos:(3)(4)(5)Para determinar las dimensiones del contenedor resolvemos el sistema ecuaciones y hallando los valores de x, y, z.

Dividimos la Ec. 3 y Ec. 4

(6)Dividimos la Ec. 4 y Ec. 5

Remplazamos Ec. 6 y Ec. 7 en la Ec. 2, y de este modo hallamos el valor de y.

(8)Remplazamos Ec. 8 en la Ec. 6 y hallamos el valor de x.

(9)Remplazamos Ec. 8 en la Ec. 7 y hallamos el valor de z.

Dimensiones del contenedor

Ahora que tenemos los valores de x (Ec. 9), y (Ec. 8), z (Ec. 10) reemplazamos en la Ec. 1 para hallar costo mnimo.

3.2 MATLAB:3.2.1 DERIVADAS PARCIALES:

Utilizamos matlab para resolver las derivadas parciales de la funcin con valores extremos (f) y la restriccin (g).

>>syms x y z

>> f = 5*x*y + 6*x*z + 6*y*z;

>>diff(f,x)

ans =

5*y + 6*z

>>diff(f,y)

ans =

5*x + 6*z

>>diff(f,z)

ans =

6*x + 6*y

>> g = x*y*z;

>>diff(g,x)

ans =

y*z

>>diff(g,y)

ans =

x*z

>>diff(g,z)

ans =

x*y

3.2.2 GRAFICAS:Grafica de la derivada parcial de la funcin respecto a x

5*y + 6*z

>> [Y,Z] = meshgrid(-5:.05:5);

>> X = 5*Y + 6*Z;

>>meshc(X,Y,Z);

Grafica 1Grafica de la derivada parcial de la funcin respecto a y

5*x + 6*z

>> [X,Z] = meshgrid(-5:.05:5);

>> Y = 5*X + 6*Z;

>>meshc(X,Y,Z);

Grafica 2Grafica de la derivada parcial de la funcin respecto a z

6*x + 6*y

>> [X,Y] = meshgrid(-5:.05:5);

>> Z = 6*X + 6*Y;

>>meshc(X,Y,Z);

Grafica 33 CONCLUSIONESDespus de haber realizado nuestras investigaciones y el desarrollo del problema planteado, podemos concluir que gracias a la optimizacin y a los multiplicadores de Lagrange, pudimos darle la mejor solucin al problema, que era determinar las dimensiones de un contenedor en forma de paraleleppedo rectangular. Y a travs de los procesos obtuvimos el resultado esperado el cual era lograr la reduccin al mximo del costo total del contenedor, el cual fue de $1038.42. En la elaboracin de este trabajo se nos fue de gran ayuda los temas que ya habamos visto a lo largo de nuestro curso de clculo vectorial como optimizacin, mximo y mnimo, multiplicadores de Lagrange, derivas, entre otras.4 REFERENCIAS

[1] Optimizacion: (08-04-2013).

[2] Multiplicadores de la grange:< http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange>(08-04-2013).

[3] Derivadas:< http://es.slideshare.net/y355y/definicion-de-derivada> (08-04-2013).

[4] Derivadas Parciales: (08-04-2013).

[5] Sistemas de ecuaciones lineales:(08-04-12).[6] Volumen del paralelepipedo: ( 08-04-2013).5