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5/10/2018 Proyecto Algebra - slidepdf.com

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ANALISIS DE LA VIGA PRINCIPAL DE UN PUENTEISOSTATICA EMPLEANDO MATRICES DE REGIDEZ

1 INTRODUCCION

1.1 ANTECEDENTES1.2 PLANTAMIENTO DEL PROBLEMA1.3 OBJETIVOS1.4 JUSTIFICACIONES1.5 ALCANCES

2 MARCO TEORICO2.1 CONCEPTOS GENERALES2.2 CLASIFICACION DE PUENTES2.3 PARTES DE UN PUENTE2.4 CARGAS2.5 ALGEBRA MATRICIAL PARA EL ANALISIS ESTRUCTURAL

DE UNA VIGA ISOSTATICA



1. INTRODUCCION

Los puentes son tan antiguos como la civilización misma, desde el momento que alguien cruzó

el tronco de árbol para cruzar una zanja o un río empezó su historia. A lo largo de la misma ha

habido realizaciones de todas las civilizaciones, pero los Romanos fueron los grandes

ingenieros históricos, no habiéndose superado su técnica y realizaciones hasta los últimos dos

siglos. Los puentes de Alcántara, Mérida, Córdoba o el Acueducto de Segovia son solamente

algunas muestras de su arte e ingeniería que ha llegado hasta nuestros días.

La aparición de nuevos materiales de construcción, principalmente el acero, dio paso a un

replanteamiento de la situación. La teoría de estructuras elaboró los modelos de cálculo para

la comprobación de los diseños cada vez más atrevidos de los ingenieros, como arcos y

armaduras para salvar grandes claros.

El ferrocarril, como nuevo medio de transporte y como uno de los pilares fundamentales del

mundo moderno, vino a acelerar todavía más el desarrollo de los puentes cada vez másgrandes, de diseño más elaborado y con técnicas de construcción cada vez más desarrolladas y

avanzadas.

Ya en el siglo XX el concreto armado y más tarde el concreto reesforzado contribuyó todavía

más al desarrollo de esta técnica, abaratando costos, facilitando técnicas, y en definitiva

"popularizando" su construcción.

Este trabajo surge de la necesidad de hacer una revisión general de la condición actual de los

puentes, debido a que actualmente, circulan cargas mayores a las de proyecto por la red

nacional; ocasionando que las funciones estructurales se vean afectadas y se requiera de una

supervisión constante para su conservación.

Además es de vital importancia para el país el traslado de personas y mercancías, a los centros

de producción económica y centros de consumo. Por lo tanto conservar el buen estado del

funcionamiento vial es de suma importancia, ya que permite alcanzar los grandes objetivos

fijados en los planes de desarrollo y que se traduce en última instancia en elevar la calidad de

vida de los habitantes.

2. ANTECEDENTES

La ingeniería civil es la rama de la ingeniería que aplica los conocimientos de física, química y

geología a la elaboración de infraestructura, obras hidráulicas y de transporte. La

denominación "civil" se debe a su origen diferenciado de la ingeniería militar.

3. JUSTIFICACION.

Este tema fue escogido para hacer notar a las personas lo importante que es la aplicación de

las matrices ya que es un tema que se aplica



4. OBJETIVOS:

4.1. OBJETIVO GENERAL.

- Dar a conocer la importancia de la aplicación de matrices en las vigas de construcción

4.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS:

4.2.1. Determinar la matriz de rigidez

2 MARCO TEORICO

2.1 CONCEPTOS GENERALES

Definición de un puente

Un puente es una estructura destinada a salvar obstáculos naturales, como ríoslagos o brazos de mar; y obstáculos artificiales, como vías férreas o carreteras,con el fin de unir caminos de viajeros, animales y mercancías.

Importancia de un puente

El puente va adquiriendo cada vez más importancia, a medida que crece la luzdel puente, llegando a ser casi decisivo en las grandes luces. Actualmente lospuentes de luces mayores que se construyen son los colgantes y atirantados,entre otras razones porque sus procedimientos de construcción son más fácilesde llevar a cabo y requieren menos medios, que los de otras estructuras.

2.2 CLASIFICACION DE LOS PUENTES

Clasificación.- Debido a la gran variedad, son muchas las formas en que sepuede clasificar los puentes, siendo las más destacables las que se detallan acontinuación:

a) Por su longitud:

Puentes mayores (Luces de vano mayores a los 50 m.). Puentes menores (Luces entre 6 y 50 m.). Alcantarillas (Luces menores a 6 m.).

b) Por su objeto o servicio que presta:



Puentes camineros. Puentes ferroviarios. Puentes aeroportuarios. Puentes acueducto (para el paso de agua solamente). Puentes canal (para vías de navegación).

Puentes para oleoductos. Puentes grúa (en edificaciones industriales). Pasarelas (o puentes peatonales). Puentes mixtos (resultado de la combinación de casos).

c) Según el material que compone la superestructura:

Puentes de madera. Puentes de mampostería de ladrillo. Puentes de mampostería de piedra. Puentes de hormigón ciclópeo. Puentes de hormigón simple. Puentes de hormigón armado. Puentes de hormigón pretensado. Puentes de sección mixta. Puentes metálicos.

d) Según la ubicación del tablero:

Puentes de tablero superior. Puentes de tablero inferior. Puentes de tablero intermedio. Puentes de varios tableros.

e) Según transmisión de cargas a la infraestructura:

Puentes de vigas. Puentes aporticados. Puentes de arco. Puentes en volados sucesivos. Puentes obenque (atirantados). Puentes colgantes.

f) Según sus condiciones estáticas:Isostáticos: Puentes simplemente apoyados.

Puentes continuos con articulaciones (Gerber). Hiperestáticos: Puentes continuos. Puentes en arco. Puentes aporticados. Puentes isotrópicos o espaciales. Transición: Puentes en volados sucesivos (pasan de isostáticos a

hiperestáticos).



g) Según el ángulo que forma el eje del puente con el del paso inferior (o de lacorriente de agua):

Puentes rectos (Angulo de esviaje 90°). Puentes esviajados (Angulo de esviaje menor a 90°).

Puentes curvos (Angulo variable a lo largo del eje).

h) Según su duración:

Puentes definitivos. Puentes temporales (muchas veces permanecen por tiempo

prolongado).

2.3 PARTES DE UN PUENTE

Partes Constitutivas de un Puente.- Fundamentalmente se distinguen lasuperestructura y la infraestructura.a) Superestructura.- Constituida en términos generales por las vigas de

puente, diafragmas, tablero, aceras, postes, pasamanos, capa derodadura ó durmientes, rieles, etc.

b) Infraestructura.- Todo el conjunto de pilas (columnas intermedias) yestribos (muros de contención en los costados) que soportan a lasuperestructura.Como elementos intermedios entre la superestructura y la infraestructura setienen los aparatos de apoyo.

Se consideran también como partes accesorias de los puentes, lasprolongaciones de los aleros de los estribos, los defensivos, lospedraplenes y protecciones, especialmente en casos de ríos caudalosos,así como también las alcantarillas de desfogue en los terraplenes deacceso.Se pueden observar en líneas generales las partes constitutivas de unpuente, tanto en la superestructura como en lainfraestructura, complementándose con la figura 2 en la que se muestra lasección transversal de la superestructura.

Vigas Principales.- Reciben esta denominación por ser los elementos que

permiten salvar el vano, pudiendo tener una gran variedad de formas comeson las vigas rectas, arcos, pórticos, reticulares, vigas Vierendeel, etc.Las vigas secundarias paralelas a las principales, se denominanlonguerinas



Diafragmas.- Son vigas transversales a las anteriores y sirven para suarriostramiento. En algunos casos pasan a ser vigas secundarias cuando vandestinadas a transmitir cargas del tablero a las vigas principales.Estas vigas perpendiculares pueden recibir otras denominaciones como serviguetas o en ciertos casos vigas de puente.

Definiciones Complementarias.- se muestran los puntos a partir de los cualesse toma o mide la longitud, luz y abertura en los casos más frecuentes



.

Se aclara también, que tramo es cada una de las partes del puente que quedancomprendidas entre dos apoyos.

Tablero.- Es la parte estructural que queda a nivel de subrasante y quetransmite tanto cargas como sobrecargas a las viguetas y vigas principales.

El tablero, preferentemente es construido en hormigóó1 armado cuando setrata de luces menores, en metal para alivianar el peso muerto en puentesmayores, es denominado también con el nombre de losa y suele ser ejecutadoen madera u otros materiales.Sobre el tablero y para dar continuidad a la rasante de la vía viene la capa derodadura que en el caso de los puentes se constituye en la carpeta dedesgaste y que en su momento deberá ser repuesta. Naturalmente, que en elcaso de puentes ferroviarios estos elementos van sustituidos por losdurmientes y sus rieles.Los tableros van complementados por los bordillos que son el límite del ancholibre de calzada y su misión es la de evitar que los vehículos suban a las

aceras que van destinadas al paso peatonal y finalmente al borde van lospostes y pasamanos.

Pilas.- Corresponden a las columnas intermedias y están constituidas de lassiguientes partes:El coronamiento que es la parte superior donde se alojan los pedestales de losaparatos de apoyo y en consecuencia está sometido a cargas concentradas,luego viene la elevación que es el cuerpo propiamente de la pila y que en elcaso de puentes sobre ríos recibe el embate de las aguas, luego viene lafundación que debe quedar enterrada debiendo garantizar la transmisión de lascargas al terreno de fundación.



Estribos.- A diferencia de las pilas los estribos reciben además de lasuperestructura el empuje de las tierras de los terraplenes de acceso al puente,en consecuencia trabajan también como muros de contención. Estánconstituidos por el coronamiento, la elevación y su fundación y con lacaracterística de que normalmente llevan aleros tanto aguas arriba como abajo,

para proteger el terraplén de acceso.

Localización.- Previamente se deberá realizar un estudio prolijo del rio odepresión que se va a atravesar, tomando en cuenta para su ubicacióndiferentes factores que son funciones del aspecto económico sin apartarsesubstancialmente del trazado general del camino, para lo que se debe tomar encuenta las siguientes condiciones:Se debe buscar el menor ancho del rio.El subsuelo debe ser favorable para fundar.El ataque del agua a las barrancas debe ser mínimo porque con ello se puedeeconomizar la construcción de defensivos.

La profundidad de las aguas no debe ser excesiva. La velocidad de las aguastampoco debe ser excesiva.Se deben evitar curvas o variantes que perjudiquen el trazado de la carretera ovía férrea.Naturalmente que entre los casos anteriormente enunciados existensituaciones contradictorias por lo que habrá que compatibilizar.Tratándose de localizar un puente en la proximidad de una población deberácuidarse de que en lo posible su eje coincida con el de una de sus callesprincipales para así conducir por el camino más corto al centro del comercio.Acá es necesario aclarar que si se trata de carreteras troncales con tráfico

intenso más bien conviene alejarse un tanto a manera de circunvalación.

2.4 CARGAS

Conceptos y Normas para las Cargas.- Entre las diversas solicitacionesQue se deben considerar en el diseño de los puentes, se tiene: El pesoPropio, la carga viva, el impacto, el frenado, el viento, la fuerza de laCorriente de agua, la subpresión, la fuerza centrifuga, el sismo y otrasParticulares como ser el choque de los hielos etc.Las magnitudes de estas solicitaciones están basadas en datos empíricos yEstán definidas en normas o reglamentos para el diseño de los puentes.

En el presente texto se usan las normas A.A.S.H. T.O. (American AsociationOf State Highway and Transportation Officials) cuya aplicación fundamentalEs para puentes camineros.= Peso total del Camión

TIPOS DE CARGAS EN PUENTES:Los puentes y viaductos son diseñados para soportar una diversidad de cargas,entre lasque se cuentan:

Carga Permanente: Constituida por el peso propio de la estructura, el

peso de la capa de rodadura, el peso de los pasamanos, el peso de lasinstalaciones.



Carga Viva Móvil: Generalmente especificada mediante camiones ytrenes de carga idealizados, o cargas distribuidas equivalentes con ejede cargas concentradas; además existen las cargas vivas provenientesde la presencia de peatones.



Durante el proceso constructivo existen cargas vivas ocasionales cuyo efecto,enalgunos casos, puede ser más importante que el de las cargas vivas deservicio.

Carga Sísmica: Modelada como equivalente estático y como efectodinámico.

>

Carga de Viento: Modelada como equivalente estático en ciertos tiposde puentes y como efecto dinámico en otros tipos de puentes.



Empuje de Tierras: Generalmente concebido como solicitacionesestáticas que actúan sobre los elementos que contienen al suelo, y quepuede convertirse en Solicitaciones dinámica cuando está acompañadode la acción de los sismos.

Empuje Hidrodinámico del Agua: Proveniente de la velocidad con quecircula el agua por los cauces de río o de la velocidad con que impactael agua de mar. Su acción se produce sobre los elementos sumergidosen el flujo de agua.

Flotación: Generada por el empuje vertical provocado por elsumergimiento en agua de parte de los componentes del puente, comolas pilas centrales.

Cambios de Temperatura: Proveniente de los cambios climáticos y dela diferencia de temperatura entre el día y la noche.



Impacto o Efecto Dinámico de las Cargas Vivas Móviles: Debido a laVelocidad con que circulan los vehículos sobre el puente, la

transferencia de carga gravitacional se produce a corto plazo (décimas desegundo), lo que define un efecto dinámico.

Fuerzas de Frenado: Concebidas como fuerzas longitudinales queactúan sobre los tableros de los puentes, cuando los vehículos detienenrápidamente su movimiento.

Palizadas: Provocadas por la acumulación de restos vegetales enépocas de máximo caudal, las que actúan sobre determinadoscomponentes del puente como pilas y estribos.

Fuerza Centrífuga: Presente en puentes con curvatura en planta. Lacirculación de vehículos sobre tales puentes genera una fuerza radialdesde el centro de curvatura.



Flujo Plástico de los Materiales, y otras propiedades reológicas(propiedades que cambian con el tiempo) de los materiales, etc.Los estados de carga críticos dependen del tipo de puente diseñado, de

su geometría, delos materiales de construcción y del sitio en que se va a construir la

estructura, pues notodas las cargas son importantes para todos los puentes, así:Las cargas dinámicas de viento son importantes en puentes de gran

longitud conPoca rigidez, como los puentes colgantes, mientras la presión estática

equivalente alViento es importante en ciertos puentes metálicos que ofrecen resistencia alpaso delViento.El flujo plástico y las propiedades reológicas de los materiales (hormigón y

acero)Son importantes en puentes preesforzados por el creep del hormigón y larelajacióndel acero de alta resistencia.La fuerza centrífuga es importante en puentes de eje curvo.La presión hidrodinámica es importante en puentes sobre ríos correntosos, con

pilasintermedias.La flotación es importante en pilas sumergidas de puente.

Las palizadas son importantes en puentes con pilas intermedias ubicadas aDistancias pequeñas entre sí, en puentes de poco gálibo, etc.En Ecuador no existe un código de diseño de puentes propio, pero el MTOP(Ministerio deTransporte y Obras Públicas) ha adoptado el código de diseño norteamericanoAASHTOLRFR, el mismo que fija las cargas que actúan sobre los elementos de lospuentes.

A continuación se presentan las cargas establecidas en el código AASHTOLRFD



[AASHTO 3.3.3], con su simbología: Cargas Permanentes:

DD: arrastre hacia abajo / downdragDL: carga muerta de los componentes estructurales y los elementos noestructurales

Sujetos a la estructura / dead load of structural components and nonstructuralattachmentsDW: carga muerta de la capa de rodadura y servicios públicos / dead load ofwearingSurfaces and utilities EH: presión lateral de tierra / horizontal earth pressureLoad EL: efecto acumulado de fuerzas ancladas resultantes de losProcesos deconstrucción, incluyendo fuerzas secundarias de postensado / accumulatedlocked-in force effects resulting from the construction process, including theSecundary torces from post-tensioning ES: carga sobre la tierra que escontenida por elementos estructurales / earth

surcharge load EV: presión vertical de carga muerta correspondiente a rellenoDe tierra / verticalpressure from dead load of earth fill

Cargas Transitorias:BR: fuerza vehicular de frenado / vehicular breaking forcéEV: fuerza vehicular centrífuga / vehicular centrifugal forcéCR: flujo plástico de los materiales / creepCT: fuerza de colisión vehicular / vehicular collision forcéCV: fuerza de colisión de embarcaciones / vessel collision forceEQ: sismo / earthquakeFR: fricción / frictionIC: carga de hielo o de palizadas / ice loadIM: carga dinámica vehicular / vehicular dynamic load allowanceLL: carga viva vehicular / vehicular live loadLS: sobrecarga viva / live load surchargePL: cargas vivas peatonales / pedestrian live loadSE: asentamientos / settlementSH: retracción de fraguado / shrinkageTG: gradiente de temperatura / temperature gradientTU: temperatura uniforme / uniform temperatureWA: carga de agua y presión de la corriente / water load and stream pressure

WL: viento sobre la carga viva / wind on live loadWS: carga de viento sobre la estructura /wind load on structure.COMBINACIONES DE CARGAS:Los puentes deberán diseñarse para resistir diferentes combinaciones decargas conniveles de seguridad apropiados para cada caso, que se basan en laprobabilidad deocurrencia de acciones simultáneas correspondientes a cada tipo de carga.Las combinaciones de carga para el diseño de los elementos estructurales delos puentesson mayoradas en LRFD (load-and-resistance factor design), y se comparan

con lacapacidad última resistente.



Las cargas factoradas combinadas, y las solicitaciones de diseño último secalculan con lasiguiente expresión [AASHTO 3.3.1-1]:Q= S(r|i.Yi.Qi)Las combinaciones de carga se definen con la siguientes tabla:

57Escuela Militar de IngenieriaEscuela Militar de IngenieriaEl Código AASHTO fija 4 categorías de combinaciones de carga:> Combinaciones de Carga de Servicio (SERVICE I, II, III y IV): Contienencargaspermanentes (carga muerta estructural, capa de rodadura, etc.) y cargastransitoriasde alta probabilidad de ocurrencia (carga viva máxima, carga viva dinámica,frenado, etc.), fundamentalmente sin mayoración, utilizadas en el diseño bajo elparadigma de esfuerzos admisibles como en los elementos de hormigón

preesforzado.> Combinaciones de Carga de Resistencia Última (STRENGTH I, II, III, IV yV):Contienen cargas permanentes y cargas transitorias de alta probabilidad deocurrencia, con factores de mayoración, utilizadas en el diseño bajo elparadigmade cargas últimas resistentes como en los elementos de hormigón armado o deaceroal carbono.

Combinaciones de Carga de Eventos Extremos (EXTREME EVENT Iy II):

Contienen cargas permanentes de alta probabilidad de ocurrencia y cargasocasionales de muy baja probabilidad de ocurrencia (sismos severos,socavaciónextrema, etc.). Las cargas permanentes y ocasionales son afectadas porfactores demayoración, y las acciones extremas no son mayoradas.

Combinación de Carga de Fatiga y Fractura (FATIGUE): Permiteincluir el

efecto dinámico de las cargas vivas de alta probabilidad de ocurrenciarepetitiva.

Fundamentalmente se utiliza en elementos de acero.A continuación se presenta una tabla que define el factor yP que afecta a lascargasgravitacionales en las combinaciones de carga.Por su parte, el factor que afecta a las cargas provenientes del gradiente detemperaturaYTG se debe determinar en función del proyecto específico que se estádiseñando. Encaso de no disponer de tal información se pueden utilizar los siguientes valores:> YTG = 0.00, para las Combinaciones de Carga de Resistencia Última y deEventos

Extremos



> YTG = 1.00, para las Combinaciones de Carga de Servicio cuando no seincluye laCarga Viva> YTG = 0.50, para las Combinaciones de Carga de Servicio cuando se incluyela

Carga VivaEl factor que afecta a las cargas provenientes de los asentamientos de suelosYSE tambiénse debe determinar en función del proyecto específico que se está diseñando.En caso deno disponer de esa información se pueden utilizar un valor de YSE = 1.00.El factor que afecta a las cargas vivas como producto de los sismos YEQ sedebedeterminar en función de la carga viva más probable durante la ocurrencia delsismo dediseño. Generalmente se considera como una pequeña fracción de la carga

viva (YEQ *0.15-0.25), excepto en puentes ubicados en zonas urbanas de alta densidad enque lafracción es más alta (YEQ * 0.25-0.50).De acuerdo a las tablas anteriores las dos combinaciones de cargagravitacional básicasson:1.25 DC + 1.50 DW + 1.75 ( LL + IM)0.90 DC + 0.65 DW + 1.75 ( LL + IM)59 Febrero-2009 Escuela Militar de IngenieriaLa primera combinación de carga se utiliza cuando el efecto del peso propio delaestructura y de la capa de rodadura tiene el mismo signo que el efecto de lacarga vivavehicular. La segunda combinación de carga se utiliza cuando el efecto delpeso propio dela estructura y de la capa de rodadura tiene signo opuesto al efecto de la cargavivavehicular.Los estados de carga básicos que incluyen como evento extremo al sismo son:

1.25 DC + 1.50 DW + 1.00 WA + 1.00 FR + EQ0.90 DC + 0.65 DW + 1.00 WA + 1.00 FR + EQLa primera combinación de carga se utiliza cuando el efecto del peso propio delaestructura y de la capa de rodadura tiene el mismo signo que el efecto de lacarga sísmica.La segunda combinación de carga se utiliza cuando el efecto del peso propiode laestructura y de la capa de rodadura tiene signo opuesto al efecto de la cargasísmica, conlo que podría producirse una reversibilidad de solicitaciones.

Combinaciones de Carga de Servicio (SERVICE I, II, III y IV):Contienen cargas



permanentes (carga muerta estructural, capa de rodadura, etc.) y cargastransitoriasde alta probabilidad de ocurrencia (carga viva máxima, carga viva dinámica,frenado, etc.), fundamentalmente sin mayoración, utilizadas en el diseño bajo elparadigma de esfuerzos admisibles como en los elementos de hormigón

preesforzado. Combinaciones de Carga de Resistencia Última (STRENGTH I, II, III,

IV y V):Contienen cargas permanentes y cargas transitorias de alta probabilidad deocurrencia, con factores de mayoración, utilizadas en el diseño bajo elparadigmade cargas últimas resistentes como en los elementos de hormigón armado o deaceroal carbono.

Combinaciones de Carga de Eventos Extremos (EXTREME EVENT Iy II):

Contienen cargas permanentes de alta probabilidad de ocurrencia y cargasocasionales de muy baja probabilidad de ocurrencia (sismos severos,socavaciónextrema, etc.). Las cargas permanentes y ocasionales son afectadas porfactores demayoración, y las acciones extremas no son mayoradas.

Combinación de Carga de Fatiga y Fractura (FATIGUE): Permiteincluir el

efecto dinámico de las cargas vivas de alta probabilidad de ocurrenciarepetitiva.Fundamentalmente se utiliza en elementos de acero.A continuación se presenta una tabla que define el factor yP que afecta a lascargasgravitacionales en las combinaciones de carga.

CARGA VIVA MÓVIL EN PUENTES:El código AASHTO LRFD define diversos tipos de cargas móviles que actúansobre losdiferentes componentes de los puentes: camiones de 3 ejes, camiones tándemde 2 ejes ycargas distribuidas equivalentes al flujo vehicular.Mientras los camiones de carga idealizados simulan el efecto de la presencia

de vehículossumamente pesados de 2 y 3 ejes, la carga distribuida equivalente simula elefecto de uncongestionamiento vehicular sobre el puente.El MOP recomienda añadir un camión propio de 3 ejes (HS-MOP).



En ambos tipos de carga se presupone que actúan sobre 1 carril del puentecon un ancho de3 pies (3.60 m). Los restantes carriles deberán ser sometidos a cargas

similares.

Carga Distribuida de Carril:La carga de diseño de carril consiste de una carga uniformemente distribuidade0.95 T/m colocados en dirección longitudinal, ubicados en un ancho de 3 m(comoen los camiones, existe un sobreancho de 0.30 m a cada lado para cubrir el

carril).La carga distribuida no está sujeta a efecto dinámico de impacto.De acuerdo a AASHTO, cada carril del puente estará sometido a la acción deuno de loscamiones (de 3 ejes o de 2 ejes) combinado con la carga distribuida de carril,ubicandodichas cargas en los sitios que produzcan las máximas solicitaciones y losmáximosesfuerzos. La carga distribuida se puede ubicar también en el sector dondeactúan lascargas concentradas de los camiones.



La combinación de los camiones de 2 o 3 ejes, y la carga distribuida seidentifica comocarga vehicular HL-93 (en versiones anteriores del código se utilizaban lacargaconcentrada y la carga distribuida como condiciones de carga independientes).El camión tándem con la carga distribuida complementaria es usualmentecríticopara puentes de luces extremadamente pequeñas (menores a 6 m); elcamión de 3.

ejes con su carga distribuida es crítico para luces medianas y grandes(mayores a15 m).Para el cálculo de momentos flectores negativos máximos en apoyosintermedios, y para ladeterminación de reacciones máximas en pilas intermedias, como un estado decargaadicional también se cargará la estructura con el 90% de 2 camiones de 3ejes con el90 % de la carga distribuida. Los 2 camiones se considerarán movilizándoseen

caravana (uno tras otro en la misma dirección), separados al menos 15 m entreellos.

Ciertas solicitaciones de diseño requieren que simultáneamente se carguen

varios o todoslos carriles de un puente (v.g.r. reacciones máximas en estribos, reaccionesmáximas enpilas). Mientras mayor es el número de carriles cargados, menor es laprobabilidad de quetodos ellos tengan simultáneamente las cargas máximas.

Algebra Matricial

1.1 INTRODUCCIÓN



En muchos análisis se supone que las variables que intervienen están relacionadas mediante unconjunto de ecuaciones lineales. El álgebra matricial proporciona una notación concisa y clara para la formulación y resolución de tales problemas, muchos de los cuales serían casiimposibles de plantear con la notación algebraica ordinaria.

En este capítulo, se definen los vectores y las matrices, así como las operacionescorrespondientes. Se consideran tipos especiales de matrices, la transpuesta de una matriz, lasmatrices subdivididas y el determinante de una matriz. También se tratan y aplican a laresolución de ecuaciones lineales simultáneas, la dependencia lineal de un conjunto de vectores,y el rango y la inversa de una matriz. Así mismo, se define e ilustra la diferenciación vectorial.

1.2 DEFINICIÓN DE MATRIZ

Una matriz es una disposición (o “arreglo”) rectangular de números en la forma

Las letras representan números reales, que son los elementos de la matriz. Nótese

que designa al elemento en la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz A; la matriz A se

denota también a veces por ( ) o por { }. Una matriz que tiene m filas y n columnas sedice que es una matriz m x n (“m por n”), o bien, una matriz de orden m x n. Si m = n, se

expresa que la matriz es cuadrada. Cuando han de realizarse varias operaciones en matrices, suorden suele denotarse mediante subíndices, por ejemplo, , o bien, .

EJEMPLO

Se dice que dos matrices del mismo orden son iguales solamente si todos sus elementoscorrespondientes son también iguales, es decir, si las matrices son idénticas. Observemos que, por definición, las matrices que son de diferente orden no pueden ser iguales.



EJEMPLO

Si

DEFINICIÓN DE VECTOR (EN ÁLGEBRA MATRICIAL)

Una matriz que consta de una sola columna, es decir, una matriz m x l se conoce como vector columna, y se expresa como

Las letras son números reales: los componentes del vector; es el i-ésimo componente

del vector u. Un vector columna que tiene m filas se dice que es un vector de m componentes, oque es m-dimensional .

Análogamente, una matriz que contiene una sola fila, es decir, una matriz 1 x n, se dice quees un vector fila y se expresa como

v = v =

Las letras son números reales: los componentes del vector; es el j-ésimo componentedel vector v. Un vector fila con n columnas se dice que es un vector de n componentes, o quees n-dimensional .

EJEMPLO

es una matriz 2 x 1, o sea, un vector columna de 2 dimensiones (o bidimensional)



es una matriz 5 x 1, o sea, un vector columna de 5 dimensiones (o pentadimensional)

es una matriz 1 x 3, o sea, un vector fila de 3 dimensiones (otridimensional)

es una matriz 1 x 4, o sea, un vector fila de 4 dimensiones (otetradimensional)

Dos vectores fila que tienen el mismo número de columnas, o dos vectores columna quetienen el mismo número de filas, se dice que son iguales solamente si todos los elementoscorrespondientes son también iguales, es decir, si los vectores son idénticos.

EJEMPLO

u = v = w = x =

u = w, pero u ≠ v, u ≠ x, y v ≠ w, v ≠ x, y w ≠ x.

NOTA: Con frecuencia es útil considerar a una matriz como compuesta de una serie devectores fila o de vectores columna; por ejemplo, la matriz

se puede considerar constituida por los dos vectores

columna

o bien. compuesta de los tres vectores fila

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

Un solo número real (que equivale a una matriz 1 x 1) se denomina escalar en las operacionesdel álgebra matricial. Cuando una matriz se multiplica por un escalar, cada elemento de lamatriz queda multiplicado por ese escalar (que es una constante); por lo tanto, si



y k es cualquier escalar (o constante)

entonces

EJEMPLO

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Dos matrices se pueden multiplicar entre sí sólo si el número de columnas en una de ellas esigual al número de filas en la otra. En particular, la matriz producto AB está definida solamentesi el número de columnas en A es el mismo que el número de filas en B; en este caso se diceque las matrices A y B son compatibles ante la multiplicación, y la matriz producto tiene elmismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B. Así, una matriz m x n se puede multiplicar con una matriz n x p para obtener una matriz m x p.

DEFINICIÓN: Cuando un vector fila 1 x n multiplica a un vector columna n x 1, el resultadoes un escalar al que se le denomina producto interior de los dos vectores, y su valor es la sumade los productos de los componentes de los vectores. Por lo tanto si

u = y v =



entonces u1xn vnx1 = w (un escalar), en donde .

Cuando se multiplican dos matrices, el elemento en la i-ésima fila y en la j-ésima columna dela matriz producto, es el producto interior del i-ésimo vector fila de la primera matriz con el j-ésimo vector columna de la segunda. De acuerdo con lo anterior, el producto de dos matrices

puede expresarse como una matriz de sus productos interiores: Si y ,entonces AB = C, en donde

es decir, .

EJEMPLO

en donde

en donde



En la multiplicación de matrices, el orden (o sucesión) según el cual se efectúa lamultiplicación es muy importante. Si A es m x n y B es n x m, entonces es posible obtener lasmatrices producto AB, y BA; sin embargo, en general AB ≠ BA. En el producto matricial AB,se dice que A premultiplica a B, o alternativamente, que B posmultiplica a A. Como, en general,la premultiplicación y la posmultiplicación dan resultados diferentes, aun cuando ambos estándefinidos, se debe tener cuidado en mantener el orden apropiado en todas las multiplicacionesde matrices. Esta precaución no es necesaria en la multiplicación de números, como serecordará.



EJEMPLO

(a) Si yentonces

(b) Si y

entonces

(c) Si y



entonces

NOTA: Cuando un vector fila premultiplica a un vector columna, el resultado es un productointerior, es decir, un escalar cuyo valor es la suma de los productos de los elementos de los dosvectores. Cuando un vector columnan x 1 premultiplica a un vector fila 1 x n, el resultado esuna matriz cuadrada n x n cuyos elementos son los productos interiores de los vectores dados; por tanto, si

u = y v =

entonces, como se indicó anteriormente, u1xn vnx1 = w (un escalar), en donde ,y vnx1 u1xn = xnxn (una matriz cuadrada), siendo .

EJEMPLO



.

Aunque el orden según el cual se multiplican dos matrices afecta al resultado, el orden en elque se multiplican tres o más matrices no influye en el resultado, siempre y cuando se conservela secuencia de las operaciones, Es decir,

Amxn Bnx p C pxq = Amxn(Bnx p C pxq) = (Amxn Bnx p)C pxq

Una propiedad correspondiente se tiene en el caso de la multiplicación de números. Enresumen, la adición de matrices es conmutativa, o sea, A + B = B + A, y tanto la adición comola sustracción son asociativas, es decir,A ± B ± C = A ± (B ± C) = (A ± B) ± C; lamultiplicación de dos matrices no es conmutativa (es decir, AB ≠ BA) pero la de tres o más esasociativa, es decir ABC = A(BC) = (AB)C. Tratándose de números, la adición, la sustracción yla multiplicación son asociativas y conmutativas.

EJEMPLOS

A.

O por asociatividad,



B.

O bien por asociatividad,

C.

O por asociatividad,

D.



Alternativamente, por asociatividad,

PROBLEMAS

Obtener la matriz resultante de cada una de las siguientes operaciones:

Respuestas a los Problemas de Número Impar



Método matricial de la rigidezEl método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de

barras que se comportan elástica y lineal.

Contenido

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1 Introducción

2 Fundamento teórico

3 Descripción del método

o 3.1 Matrices de rigidez elementales

3.1.1 Barra recta bidimensional de nudos rígidos

3.1.2 Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido

3.1.3 Barra recta bidimensional con dos nudos articulados

3.1.4 Arco circular bidimensional de nudos rígidos

3.1.5 Barra recta tridimensional de nudos rígidos

o 3.2 Fuerzas nodales

3.2.1 Ejemplo

o 3.3 Cálculo de desplazamientos

o 3.4 Cálculo de reacciones

o 3.5 Cálculo de esfuerzos

4 Referencia

o 4.1 Enlaces externos

o 4.2 Programas

[editar]Introducción

El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de

rigidez, relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos,

con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las

componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos

generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos

sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuación:

(1)

http://es.wikipedia.org/wiki/Hiperest%C3%A1tico



http://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)



http://es.wikipedia.org/wiki/No_linealidad



http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez



http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Introducci.C3.B3n


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Fundamento_te.C3.B3rico


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Descripci.C3.B3n_del_m.C3.A9todo


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Matrices_de_rigidez_elementales


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Barra_recta_bidimensional_de_nudos_r.C3.ADgidos


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Barra_recta_bidimensional_con_un_nudo_articulado_y_otro_r.C3.ADgido


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Barra_recta_bidimensional_con_dos_nudos_articulados


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Arco_circular_bidimensional_de_nudos_r.C3.ADgidos


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Barra_recta_tridimensional_de_nudos_r.C3.ADgidos


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Fuerzas_nodales


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Ejemplo


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#C.C3.A1lculo_de_desplazamientos


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#C.C3.A1lculo_de_reacciones


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#C.C3.A1lculo_de_esfuerzos


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Referencia


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Enlaces_externos


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Programas


http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez&action=edit&section=1



http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Eqnref_1




























Donde: son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores aplicadas sobre

la estructura; son las reacciones hiperestáticas inicialmente desconocidas sobre la estructura;

los desplazamientos nodales incógnita de la estructura y el número de grados de libertad de

la estructura.

La energía de deformación elástica también puede expresarse en términos de la matriz de rigidez

mediante la relación:

Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidez debe ser simétrica y por tanto:

[editar

]Fundamento teórico

En general, un sólido deformable real, como cualquier medio continuo es un sistema físico con un

número infinito de grados de libertad. Así sucede que en general para describir la deformación de un

sólido necesitándose explicitar un campo vectorial de desplazamientos sobre cada uno de sus

puntos. Este campo de desplazamientos en general no es reductible a un número finito de

parámetros, y por tanto un sólido deformable de forma totalmente general no tiene un número finito

de grados de libertad.

Sin embargo, para barras largas elásticas o prismas mecánicos de longitud grande comparada con

el área de su sección transversal, el campo de desplazamientos viene dado por la llamada curva

elástica cuya deformación siempre es reductible a un conjunto finito de parámetros. En concreto,

fijados los desplazamientos y giros de las secciones extremas de una barra elástica, queda

completamente determinada su forma. Así, para una estructura formada por barras largas elásticas,

fijados los desplazamientos de los nudos, queda completamente determinada la forma deformada

de dicha estructura. Esto hace que las estructuras de barras largas puedan ser tratadas muy

aproximadamente mediante un número finito de grados de libertad y que puedan ser calculadas

resolviendo un número finito de ecuaciones algebráicas. El método matricial proporciona esasecuaciones en forma de sistema matricial que relaciona los desplazamientos de los extremos de la

barras con variables dependientes de las fuerzas exteriores.

Esto contrasta con la situación general de los sólidos elásticos, donde el cálculo de sus tensiones

internas y deformaciones involucra la resolución de complejos sistemas de ecuaciones

diferenciales en derivadas parciales.

[editar

]Descripción del método

El método matricial requiere asignar a cada barra elástica de la estructura una matriz de rigidez,llamada matriz de rigidez elemental que dependerá de sus condiciones de enlace extremo

http://es.wikipedia.org/wiki/Grados_de_libertad_(ingenier%C3%ADa)



http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_de_deformaci%C3%B3n



http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Maxwell-Betti






http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformables



http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuos



http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_de_libertad



http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial



http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_mec%C3%A1nico



http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica




http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial




http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial

























(articulación, nudo rígido,...), la forma de la barra (recta, curvada, ...) y las constantes elásticas del

material de la barra (módulo de elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad transversal). A partir

del conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene

en cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global, que

relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos.

Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de

fuerzas nodales equivalentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto

con estas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus

apoyos o enlaces exteriores (cuyos valores son incógnitas).

Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los desplazamientos y las incógnitas.

El número de reacciones incógnita y desplazamientos incógnita depende del número de nodos: es

igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un problema tridimensional. Estesistema siempre puede ser dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen:

Subsistema 1. Que agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que sólo contienen

desplazamientos incógnita.

Subsistema 2. Que agrupa al resto de ecuaciones, y que una vez resuelto el subsistema 1 y

substituido sus valores en el subsistema 2 perimte encontrar los valores de las reacciones

incógnita.

Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, se substituye el valor de estos en elsubsistema 2 que es trivial de resolver. Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodales

equivalentes y desplazamientos se encuentran los esfuerzos en los nudos o uniones de las barras a

partir de los cuales pueden conocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por tanto

sus tensiones máximas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la

estructura.

[editar]Matrices de rigidez elementales

Para construir la matriz de rigidez de la estructura es necesario asignar previamente a cada barra

individual (elemento) una matriz de rigidez elemental. Esta matriz depende exclusivamente de:

1. Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-empotrada, barra empotrada-

articulada, barra biarticulada).

2. Las características de la sección transversal de la barra: área, momentos de

área (momentos de inercia de la sección) y las características geométricas generales como

la longitud de la barra, curvatura, etc.

3. El número de grados de libertad por nodo, que depende de si se trata de problemas

bidimensionales (planos) o tridimensionales.

http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzos_internos






http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea



http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_%C3%A1rea












La matriz elemental relaciona las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas aplicadas sobre la barra

con los desplazamientos y giros sufridos por los extremos de la barra (lo cual a su vez determina la

deformada de la barra).

[editar]Barra recta bidimensional de nudos rígidosUn nudo donde se unen dos barras se llama rígido o empotrado si el ángulo formado por las dos

barras después de la deformación no cambia respecto al ángulo que formaban antes de la

deformación. Aún estando imposibilitado para cambiar el ángulo entre barras las dos barras en

conjunto, pueden girar respecto al nodo, pero manteniendo el ángulo que forman en su extremo. En

la realidad las uniones rígidas soldadas o atornilladas rígidamente se pueden tratar como nudos

rígidos. Para barra unida rígidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez elemental que

representa adecuadamente su comportamiento viene dada por:

Donde:

son las magnitudes geométricas (longitud, área y momento de inercia).

la constante de elasticidad longitudinal (módulo de Young).

Alternativamente la matriz de rigidez de una barra biempotrada recta puede escribirse más

abreviadamente, introduciendo la esbeltez mecánica característica:

Donde: es la es esbeltez mecánica característica.

[editar

]Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido

En este caso cuando se imponen giros en el nudo articulado no se transmiten esfuerzos

hacia el nudo no articulado. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notaciónque en la sección anterior, viene dada por:




http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_Young



http://es.wikipedia.org/wiki/Esbeltez_mec%C3%A1nica












Donde se ha supuesto que el nudo articulado es el segundo. Si fuera el primero, habría

que permutar los elmentos de la matriz anterior para obtener:

[editar]Barra recta bidimensional con dos nudos articulados

Puesto que una barra recta de nudos articulados sólo puede transmitir esfuerzos a lo

largo de su eje, la correpondiente matriz de rigidez de esa barra sólo tiene componentes

diferentes para los grados de libertad longitudinales. En ese caso la matriz de rigidez,

usando la misma notación que en la sección anterior, viene dada por:

[editar]Arco circular bidimensional de nudos rígidos

[editar]Barra recta tridimensional de nudos rígidos

Una barra recta tridimensional tiene 6 grados de libertad por nudo (3 de traslación y 3

de orientación), como la barra tiene dos nudos la matriz de rigidez es una matriz de 12 x

12. Además una barra tridimensional puede transmitir torsiones, y también flexión y

esfuerzo cortante en dos direcciones diferentes, esa mayor complejida de

comportamiento estructural es lo que hace que una barra tridimensional requiera más

grados de libertad y un matriz de rigidez más compleja para describir su comportamiento,

esta matriz está compuesta de 3 submatrices:










http://es.wikipedia.org/wiki/Orientaci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)









Donde las submatrices son:

Y las magntiudes geométricas y mecánicas asociadas a la barra son:

son las magnitudes geométricas: longitud de la barra y su área

transversal, momentos de área en las direcciones y y z y módulo de torsión,

respectivamente.la el módulo de elasticidad longitudinal y el módulo de elasticidad transversal.

son signos relativos.

[editar

]Fuerzas nodales

Para cada barra se define un vector elemental de

fuerzas nodales generalizadas, que sea estáticamente

equivalente, a las fuerzas aplicadas sobre la barra. El

tamaño del vector de fuerzas nodales depende de la

dimensionalidad de la barra:

Las componentes de este vector conforman un

sistema de fuerzas y momentos de fuerza, tal

que la fuerza resultante y el momento resultante

de las mismas coinciden con la fuerza y

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_torsi%C3%B3n



http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad_longitudinal



http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad_transversal






http://es.wikipedia.org/wiki/Equivalencia_est%C3%A1tica




http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza













momento del sistema de fuerzas original sobre la

barra.

[editar]Ejemplo

Ejemplo de carga sobre una viga, P es una carga

puntual, y q representa una carga por unidad de

longitud.

Para las cargas mostradas en la figura adjunta

sobre una barra o viga bidimensional el vector de

fuerzas nodales consiste en dos fuerzas

verticales (F Vd, F Vi) aplicadas en cada uno de los

dos extremos, dos fuerzas horizontales (F Hd, F Hi)

aplicadas en cada uno de los extremos y dos

momentos de fuerza (M d, M i) aplicados en cada

uno de los extremos. Esas seis componentes

forman el vector de fuerzas nodales. Es sencillo

comprobar que la fuerza y el momento

resultantes de estas seis componentes son

estáticamente equivalentes al sistema de fuerzas

original formado por P y q si se toman los

siguientes valores:

[editar]Cálculo dedesplazamientos







http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Nodal_force.png

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Nodal_force.png





Una vez encontrada la matriz de rigidez

global y el vector de fuerzas nodales global

se construye un sistema de ecuaciones

como (1). Este sistema tiene la propiedad

de que puede descomponerse en dos

subsistemas de ecuaciones:

1. El primero de estos sistemas

relaciona únicamente los

desplazamientos incógnita con

algunas de las componentes del

vector de fuerzas nodales global y

constituye siempre un sistemacompatible determinado

2. El segundo subsistema contiene

también las reacciones incógnita y

una vez resuelto el primer

subsistema es de resolución

trivial.

Resolviendo el primer subsistema

compatible determinado, se conocen losdesplazamientos incógnita de todos los

nudos de la estructura. Insertando la

solución del primer subsistema en el

segundo resultan las reacciones.

Podemos ilustrar el cálculo de

desplazamientos con un ejemplo. Por

ejemplo si consideramos la flexión en el

plano XY de la viga recta de la sección

anterior considerando que se trata de una

viga biarticulada unida en sus extremos a

dos rótulas fijas tendríamos que el sistema

general (1) tendría la forma para este caso

particular:

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez#Equation_1



http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones#Tipos_de_sistemas














Las filas 3 y 6 contienen los giros

(desplazamientos) incógnita de los

extremos de la viga y tomadas en conjunto

conforman el primer subsistema para los

desplazamientos. Ignorando los términos

nulos y reescrito en forma matricial elsubsistema de ecuaciones para los

desplazamientos es simplemente:

Cuya solución nos da el valor del ángulo

girado por el extremo derecho e izquierdo

de la viga bajo esas cargas:

Una vez conocidos estos valores e

insertados en la matriz las filas 1, 2, 4 y 5

nos proporcionan en valor de las cuatro

reacciones hiperestáticas desconocidas

previamente.

[editar]Cálculo de reacciones

Una vez calculados los desplazamientos

resolviendo un sistema de ecuaciones, el

cálculo de las reacciones es sencillo. A

partir de la ecuación (1) tenemos

simplemente:




http://es.wikipedia.org/wiki/Reacci%C3%B3n_mec%C3%A1nica











Tomando el mismo ejemplo que en la

última sección el cálculo de reacciones

sobre la viga biarticulada con

carga P y q sería:

Introduciendo los valores de los giros en los

extremos y multiplicando la matriz de

rigidez por el vector de desplazamientos se

tiene finalmente que:

Esto completa el cálculo de reacciones.

[editar]Cálculo de esfuerzos

El cálculo de esfuerzos se realizaexaminando en coordenadas locales de las

barras el esfuerzo axial, los esfuerzos

cortantes, los momentos flectores y

el momento torsor generados en cada una

de las barras, conocidos los

desplazamientos de todos los nudos de la

estructura. Esto puede hacerse usando las

matrices de rigidez expresadas en

coordenadas locales y los desplazamientos




http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_axial



http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortante




http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_flector



http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_torsor












nodales expresados también en

coordenadas locales.

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