PROYECTO 3 Título. Derivada de funciones exponenciales. Planteamiento Determinación de fórmulas para calcular la derivada de funciones exponenciales de la forma f(x) = ax con a > 0 y a ≠ 0. El tratamiento deberá utilizar la definición de derivada. Información solamente para el profesor Características El proyecto está propuesto para reforzar y extender el conocimiento de la derivada a funciones exponenciales, proporciona una continuación del estudio de propiedades de las funciones exponenciales, se usan algunos conceptos de cálculo y de derivadas que ya se mostraron en funciones trigonométricas. En consecuencia, conviene enfatizar algunos resultados que se obtendrán en este problema, por su semejanza con procedimientos parecidos a los que se efectuaron con funciones trigonométricas. Conocimiento y habilidades previas Será necesario que los alumnos tengan alguna experiencia en la graficación de funciones exponenciales, el cálculo de derivadas con la definición de la derivada, la regla de la cadena, la derivación implícita, el uso de tabulación para aproximar límites y el uso de algunas propiedades de exponentes y de logaritmos. Recursos didácticos Se sugiere usar algún software graficador para facilitar la obtención de gráficas de funciones exponenciales. Con ejercicios se puede mostrar que la base de una función exponencial debe ser mayor que cero y distinta de la unidad. Conviene revisar las prácticas 5, 8 y 9 del Paquete didáctico para Cálculo Integral y Diferencial II realizadas por los profesores que elaboraron esta guía, para tener un elemento que permita tener una idea más clara de la forma que se sugiere el tratamiento de este tema. Ejemplo de una aproximación aceptable El inicio del desarrollo del proyecto es la indicación de obtener la derivada de una función exponencial de la forma f(x) = ax con a > 0 y a ≠ 0, usando la definición de derivada (límites). Es necesario que el alumno recuerde las propiedades de los límites y las leyes de exponentes, previamente a la obtención de la derivada. Esta

preparación puede hacerse en la primer hora de clase, lo que permitirá agilizar la

obtención de la expresión de la derivada en la forma .

Se sugiere que la primera derivada que solicite el profesor sea la de la función f(x) = 2x.

El siguiente paso consiste en solicitar a los alumnos el cálculo del límite .

Una vez que los estudiantes hayan obtenido la aproximación correcta (con al menos cinco decimales) se les solicita que obtengan la derivada de la función f(x) = 3x. Es conveniente invitar al alumno a que calcule la derivada de las funciones 4x y 5x. Con los resultados obtenidos es importante inducir al alumno a determinar el valor de

a tal que . Una vez obtenido dicho valor lo que se habrá determinado es

la base de la función exponencial que tiene la propiedad de que su derivada es igual a ella, es decir la derivada de la función exponencial natural. En consecuencia, expresando la función exponencial f(x) = ax mediante la función exponencial natural y usando la regla de la cadena se obtiene la derivada de ax. Conjeturas que se espera que el alumno realice

Se espera que el estudiante escriba la derivada como para los

valores de a = 2, 3, 4 y 5 (según se hayan calculado). También se espera que use propiedades de exponentes y propiedades de los límites y que obtenga la expresión

en los mismos casos.

De las conjeturas importantes que se esperan del alumno es que la derivada de una

función exponencial es ella misma multiplicada por , donde a es la base de

dicha exponencial. Una conjetura esperada del estudiante es la de proponer la construcción de una tabla

para calcular el límite para las bases a = 2, 3, 4 y 5.

El estudiante concluye que la base que cumple la condición es el

número e.

Preguntas que sugieren exploración adicional Preguntas sobre la función exponencial y su gráfica Se sugiere solicitar al estudiante que obtenga los valores de la tabla para f(x) = (–2)x que se presenta a continuación.

x 1 2 3 4 5

f(x) = (–2)x

Con base en los resultados obtenidos, plantear a los alumnos las siguientes preguntas: 1. ¿Puede calcularse el valor de f(x) = (–2)x para cualquier valor de x? 2. ¿Para que valores de x no existe el valor f(x)? 3. ¿Qué sucede con la gráfica de esta función? 4. ¿Se puede hacer la gráfica de la función de un sólo trazo? 5. ¿Por qué es conveniente que las funciones exponenciales tengan como base un

número positivo? Preguntas para la derivada de la función exponencial 1. ¿Cuál es la fórmula para calcular la derivada de una función exponencial? 2. ¿Cuál es la fórmula que expresa el uso de la regla de la cadena para calcular la

derivada de una función exponencial? 3. ¿Cuál es la fórmula para calcular la derivada de la función exponencial natural? Sugerencias para implementar el problema Se sugiere asignar como tarea la graficación de funciones exponenciales de la forma f(x) = AaBx + C + D, donde a es la base de la función exponencial, A, B, C y D son constantes, usando software adecuado (los alumnos pueden usar el que gusten, algunos se pueden obtener en Internet de manera gratuita – software libre –). Se sugiere iniciar con un resumen (repaso) de algunas propiedades de límites, propiedades de los exponentes (leyes de exponentes), el logaritmo como operación inversa a la del cálculo de potencias y algunas de sus propiedades. Resolver en clase algunos ejercicios de aplicación de propiedades del límite usando polinomios y también algunos ejercicios de derivación implícita. Estas funciones permiten una explicación más sencilla de dichas propiedades. Es común que no todos los alumnos manejen y comprendan las propiedades tanto del límite, como de exponentes y de logaritmos, razón que sugiere que se deben dejar ejercicios de tarea (previos a la presentación del proyecto). Una vez obtenidas las fórmulas para calcular la derivada de funciones exponenciales es importante proporcionar ejemplos de funciones exponenciales para que los alumnos las deriven (siempre con la supervisión del profesor).

Sugerencias de evaluación Puesto que la finalidad del proyecto es la obtención de las fórmulas con las que se calculan derivadas de funciones exponenciales, la tarea más importante a evaluar es el uso de dichas fórmulas, por lo que la única sugerencia de evaluación es verificar que el alumno las utilice de manera adecuada, obteniendo las derivadas correctas. Bibliografía Bleau, Barbara Lee. Forgotten Calculus. Barron’s. Hughes-Hallett, Deborah, et. al. Cálculo. CECSA. Stewart, James. Cálculo. Conceptos y contextos. Thomson. Calete Jácome, José, et. al. Cálculo Diferencial e Integral II. Paquete didáctico. (Material inédito)