proyecciones ortogonales

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

CARACAS – DISTRITO CAPITAL

INTEGRANTE:

ELIEZER RODRIGUEZ

C.I. 19.939.033

ENERO, 2.013

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INDICE

Pág.

Introducción............................................................................................ 2

PROYECCIONES ORTOGONALES:

Definición................................................................................................ 3

Naturaleza de la proyección ortogonal................................................... 4

Teoría de la proyección.......................................................................... 5

Casos de proyección ortogonal en el plano............................................ 9

Tipos de proyección ortogonal................................................................ 11

Conclusión.............................................................................................. 14

Bibliografía1............................................................................................ 15

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INTRODUCCIÓN

Puede decirse que la Geometría Descriptiva como ciencia se inicia en 1790

con Gaspar Monge, Matemático e Ingeniero Militar francés; quien ideó la manera

de determinar los ángulos de corte en las piedras utilizadas para construir

fortificaciones mediante un análisis gráfico, las que deberían ser trabajadas con

precisión para unirlas entre sí, de modo que la torre o muro pudiera soportar su

propio peso y con la rigidez necesaria para soportar el bombardeo.

Dichos ángulos se determinaban con cálculos aritméticos muy laboriosos,

mientras con el análisis de Monge esto se realizó en un tiempo sin precedentes.

Dicho análisis originó la teoría de la Geometría Descriptiva como una nueva rama

de la ciencia. Debido al significado militar de los estudios de Monge; debieron

mantenerse en secreto varios años y hasta en 1795 se comenzó a publicar en

forma de artículos en revistas de las escuelas normales, ya en 1798 se publicó el

libro Geometrie Descriptive; con la teoría completa del análisis gráfico, propuesto

por Monge.

Para representar un objeto tridimensional en una hoja de papel, es

necesario que “dividamos” en varias vistas el objeto. Por ejemplo en caso de un

edificio dividimos las vistas en varios alzados o fachadas para que podamos

apreciar las dimensiones y proporciones del edificio ya terminado. Esta situación

es practicada por nosotros de manera natural, sin necesidad de ningún

adiestramiento especial. Nuestra primera reacción ante un objeto nuevo, como el

caso de un nuevo modelo de automóvil, nuestra primera reacción es caminar

alrededor de este para darnos una mejor idea de cómo son sus proporciones y en

todos sus lados, ya que consideramos que una sola vista es insuficiente.

En el presente trabajo se plateara lo relacionado a los sistemas de

proyecciones ortogonales.

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PROYECCIONES ORTOGONALES

DEFINICIÓN

Se denomina proyección ortogonal al sistema de representación que nos

permite dibujar en diferentes planos un objeto situado en el espacio.

Entenderemos la proyección ortogonal de un punto “p” sobre un plano al pie

“p1” de la perpendicular conducida desde el punto al plano pp1 y pp2 son las

rectas proyectantes del punto “p”.

Los elementos que intervienen en el sistema son los siguientes:

Planos de proyección: Son planos ortogonales entre sí -vertical y horizontal-

sobre los cuales se realizan las proyecciones. Su intersección se llama

Línea de Tierra -LT-. Se usan dos planos como mínimo para determinar una

forma.

Fig. 1. Planos de Proyección ortogonales.

Elaborado por: Alexander Villaroel (Arquetipos21.com)

Líneas de referencia: Las líneas pp1 y pp2 determinan un plano que se

corta con los de proyección en p2p0 y p1p0. Estas rectas son

perpendiculares a la línea de tierra.

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Al rebatir el plano vertical los puntos p1 y p2 quedan sobre una misma

perpendicular a la línea de tierra. A esta perpendicular se la llama “Línea de

referencia”.

Fig. 2. Línea de Referencia

Elaborado por: Alexander Villaroel (Arquetipos21.com)

NATURALEZA DE LA PROYECCIÓN ORTOGONAL

Uno de los principales objetivos del Dibujo Técnico (específicamente el

llamado “dibujo mecánico”) es la confección de planos de fabricación de piezas

mecánicas de las más variadas formas. Para lograrlo se necesita representar

gráficamente las distintas formas que dichas piezas presenten.

Una fotografía o un dibujo pictórico muestra al objeto tal como aparece ante

nosotros como observadores, pero no como es, pues la imagen es afectada por la

perspectiva. Una representación gráfica así no puede describir completamente el

objeto, sin que importe desde que dirección se le mire, ya que no muestra las

formas ni los tamaños exactos de las distintas partes. Las fotografías no siempre

son realizables porque el objeto debe hacerse antes que se le pueda fotografiar.

Además, tanto en la fotografía como en un dibujo pictórico, no se puede ver los

detalles internos del objeto.

En la industria se necesita una descripción completa y clara de la forma y el

tamaño del objeto que se pretenda fabricar, para poder tener la certeza de que el

objeto será manufacturado exactamente como lo propuso el diseñador. Con el fin

de proporcionar esta información clara y precisa, se usan varias vistas

sistemáticamente dispuestas. Este sistema de vistas recibe el nombre de

proyección ortogonal o proyección de vistas múltiples.

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TEORÍA DE LA PROYECCIÓN

Si situamos un observador según las seis direcciones indicadas por las

flechas, obtendríamos las seis vistas posibles de un objeto.

Fig. 3. Vistas de un objeto.

Elaborado Por: Daniel Montoya. Ditbutec.

Estas vistas reciben las siguientes denominaciones:

Vista A: Vista frontal o alzado

Vista B: Vista superior o planta

Vista C: Vista derecha o lateral derecha

Vista D: Vista izquierda o lateral izquierda

Vista E: Vista inferior

Vista F: Vista posterior

Hay tres planos principales de proyección: horizontal, vertical y de perfil.

Estos planos se intersecan uno a otro en ángulo recto formando el primero,

segundo, tercero y cuarto ángulos o cuadrantes. Técnicamente se puede

proyectar un objeto en cualquiera de estos cuadrantes.

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Fig. 4. Planos de Proyección horizontal, vertical y de perfil


Para la disposición de las diferentes vistas sobre el papel, se pueden utilizar

dos variantes de proyección ortogonal de la misma importancia:

El método de proyección del primer diedro, también denominado Europeo

(antiguamente, método E)

El método de proyección del tercer diedro, también denominado Americano

(antiguamente, método A)

En ambos métodos, el objeto se supone dispuesto dentro de un cubo, sobre

cuyas seis caras, se realizarán las correspondientes proyecciones ortogonales del

mismo.

La diferencia esta en que, mientras en el sistema Europeo, el objeto se

encuentra entre el observador y el plano de proyección, en el sistema Americano,

es el plano de proyección el que se encuentra entre el observador y el objeto.

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Fig. 5. Diferencia entre sistema Europeo y Sistema Americano


Una vez realizadas las seis proyecciones ortogonales sobre las caras del

cubo, y manteniendo fija la cara de la proyección del alzado (A), se procede a

obtener el desarrollo del cubo, que como puede apreciarse en las figuras, es

diferente según el sistema utilizado.

Fig.6. Desarrollo del cubo en los sistema Europeo y Sistema Americano


El desarrollo del cubo de proyección, nos proporciona sobre un único plano

de dibujo, las seis vistas principales de un objeto, en sus posiciones relativas.

Con el objeto de identificar, en que sistema se ha representado el objeto, se

debe añadir el símbolo que se puede apreciar en las figuras, y que representa el

alzado y vista lateral izquierda, de un cono truncado, en cada uno de los sistemas.

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Fig.6. Vistas del objeto en los sistema Europeo y Sistema Americano


La proyección de primer cuadrante se usa principalmente en Europa. En

EE.UU., como es el caso del sistema ASA (American Standard Asociation), hacen

más práctica la proyección de tercer cuadrante, esto debido a que cuando las

vistas de un objeto proyectado en el tercer cuadrante se abaten sobre el plano

vertical, todas las vistas aparecen en su posición natural.

En esta unidad trabajaremos en el sistema americano ASA; esto no

significa que le restemos importancia al sistema europeo DIN (Deutche Industric

Normen), la razón estriba en que la gran mayoría de textos de dibujo técnico que

encontramos en nuestro medio, manejan el sistema americano, no obstante el

sistema europeo se ha venido trabajando ampliamente en nuestro país.

Cuando se desea indicar el método de proyección, se debe colocar, en la

esquina inferior derecha del dibujo, el símbolo de proyección ISO (International

Standards Organization)

Fig.7. Símbolos de Proyección ISO


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CASOS DE PROYECCIÓN ORTOGONAL EN EL PLANO

Proyección ortogonal de un punto:

La proyección ortogonal de un punto P en una recta L es otro punto A que

se obtiene trazando una línea auxiliar perpendicular a L desde el punto A tal que

esta línea pase por P. Lógicamente, si el punto P pertenece a la recta L, coinciden:

P = A .

Fig.7. Proyección ortogonal de un punto

Elaborado por: Wikipedia.

Proyección ortogonal de un segmento:

Caso general: si el segmento dado AB no es paralelo a la recta L, la

proyección ortogonal es un segmento PQ que se obtiene trazando líneas

perpendiculares a L desde los puntos extremos de AB. La magnitud de la

proyección siempre es menor que la del segmento dado.

Fig.8.1. Proyección ortogonal de un segmento


Si el segmento PQ y la recta L son paralelos, la proyección será: AB = PQ,

que se obtiene de forma análoga.

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http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Proyec2.JPG

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Proyeccion.JPG



Si el segmento AB tiene un punto común con la recta L, la proyección se

obtiene de modo similar.



Si el segmento AB corta a la recta L, la proyección se obtiene de forma

análoga.



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TIPOS DE PROYECCIÓN ORTOGONAL

a) Proyección en vistas múltiples. Cada vista es una proyección ortográfica.

Para obtener una vista se coloca el plano de proyección

preferentemente paralelo a una de las caras principales del objeto fig.9.

Fig.9. Vista ortográfica

Elaborado por: www.geometriadescriptiva.com

Los objetos se representan generalmente en tres vistas ortográficas. Los

métodos utilizados para determinar estas vistas son:

b) Proyección en el séptimo triedro (séptimo octante). Usado en los Estados

Unidos y Canadá. fig.10.

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Fig.10. Proyección en vistas múltiples en el séptimo triedro


c) Proyección en el primer triedro (primer octante). Usado en todo el mundo,

excepto en los Estados Unidos y Canadá. fig.11.

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Fig.11. Proyección en vistas múltiples en el primer triedro


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CONCLUSIÓN

Considerando un punto cualquiera en el espacio tal como a y del mismo

modo, un plano arbitrario que le llamamos P.

Si trazamos por a una perpendicular al plano dado y lo interceptamos con

el, obtenemos el punto aP que viene a ser el pie de la perpendicular al plano.

Por lo tanto se llama Proyección Ortogonal de un punto sobre un plano, el

pie de la perpendicular trazada por el punto al plano.

Quiere decir que en nuestro caso, ap es la proyección ortogonal del punto a

del espacio, en el plano P.

La proyección ortogonal abarcará los diversos trazos y normas para una

buena representación en el sistema ortogonal. El conocimiento de las

proyecciones, tanto ortogonales como oblicuas y cónicas son de importancia,

porque al dominarlas perfectamente se poseerá una base sólida para una

comprensión mejor de la geometría descriptiva.

También, los diversos tipos de proyecciones como la del punto en el

espacio y sus diversas posiciones con sus respectivos ejercicios, la proyección de

la recta y sus diversas posiciones con las actividades que ayudan a comprender

mejor la proyección.

El rebatimiento de los planos trata sobre la rotación de los planos sobre sus

ejes de forma tal que coincidan en un plano único el cual ayuda a representar

fácilmente las vistas principales de un modelo sin que sufra deformaciones

ópticas.

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BIBLIOGRAFÍA

Textos:

Rodríguez, A. Elementos de geometría descriptiva. España: Murcia Ed.,1992.

Giombini, Adrián. Geometría descriptiva. México: Ed. Porrua. 1981

De la Torre, Miguel. Geometría descriptiva. México: UNAM, 1980

Arana Ibarra, L. Geometría Descriptiva.

González, M. et alt. Geometría Descriptiva.

Izquierdo Asensi, F. Geometría Descriptiva. Ed.

Dossat.Leighton Wellman, B. Geometría Descriptiva. Ed.

Reverté.Taibo, A. Geometría Descriptiva y sus aplicaciones.

Ed. Tebar Flores.Zubiaurre, E. Dibujo Técnico y Geometría Descriptiva

Referencias electrónicas:

http://arquetipos21.blogspot.com/2010/11/proyecciones-ortogonales-metodo-

monge.html

http://ditbutec.es.tl/PROYECCION-ORTOGONAL.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3n_ortogonal

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http://ditbutec.es.tl/PROYECCION-ORTOGONAL.htm

proyecciones ortogonales

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