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S.E.P. S.E.S. D.G.E.S.T.

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO

cenidet DIAGNÓSTICO Y RECONFIGURACIÓN DE FALLAS EN

EL MOTOR DE INDUCCIÓN UTILIZANDO OBSERVADORES NO LINEALES

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA

P R E S E N T A:

ING. ERNESTO ELÍAS VIDAL ROSAS

DIRECTORES DE TESIS:

DR. GERARDO VICENTE GUERRERO RAMÍREZ

DR. CARLOS MANUEL ASTORGA ZARAGOZA

Cuernavaca, Morelos Enero 2006

Dedicatoria A Dios, por mostrarme siempre el camino cuando no había luz. A mis padres, Apolinar L. E. Vidal Castro y J. Gloria Rosas Rosete por su infinito e incondicional amor, Dios los colme de bendiciones. A mis hermanitos: Carmen, Ale, Gloria y Beto, por apoyarme siempre, gracias, los quiero mucho.

Con todo mi cariño y amor, para ustedes

Agradecimientos Al Dr. Gerardo V. Guerrero Ramírez, por su amistad y por confiar en mi, siempre estaré en deuda. Al Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza, por la amistad y comprensión brindadas. A los miembros del comité revisor de tesis: Dr. Carlos Daniel García Beltrán, Dr. Gerardo Vela Valdés y al Dr. Enrique Quintero-Marmol por los valiosos comentarios que enriquecieron este trabajo. A mis profesores: Dr. Alejandro Rodríguez, Dra. Patricia Caratozzolo, Dr. Hugo Calleja, Dr. Víctor Alvarado y al Dr. Marco Oliver. Al Lic. Agustín Díaz Mateos, por su valiosa ayuda y comprensión sin la cual no hubiera sido posible lograr esta meta. A mis compañeros de generación: Max Méndez, Edson López, José Luis Rullán, Luis A. Sorcia, Israel Uribe, Gerardo Vázquez, Abraham Cortés y Javier Molina, por su amistad y apoyo. A todas aquellas personas muy especiales que conocí y que llenaron de alegría mi vida, gracias Feliz, Sra. Isabel, Anita, Pedro, Lázaro y Sol. Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) y a la Secretaría de Educación Pública (SEP) por el apoyo económico brindado que permitió este logro.

Diagnóstico y Reconfiguración de Fallas en el Motor de Inducción Utilizando Observadores No Lineales

Ernesto Elías Vidal Rosas

Resumen

Los motores de inducción son ampliamente utilizados en la industria y paulatinamente están desplazando a los motores de corriente continua en aplicaciones de alto desempeño. Aunado a lo anterior, el motor de inducción presenta otras ventajas sobre otros motores como costo reducido, simplicidad de operación, robustez y necesidad casi nula de mantenimiento. Sin embargo, el motor de inducción no se encuentra exento de fallas, causadas por esfuerzos eléctricos, mecánicos, térmicos o ambientales. Debido a esto, es necesario contar con una unidad de detección y localización de fallas, con objeto de prevenir o evitar daños al motor o al proceso y de esta forma considerar acciones de mantenimiento, reconfiguración o acomodación al sistema en caso de ser posible. Este trabajo de tesis aborda dos problemas: diagnóstico de fallas multiplicativas (parámetros) y reconfiguración de fallas en sensores de corriente. El enfoque utilizado en ambos casos es el basado en el modelo. El diagnóstico de fallas multiplicativas se realiza con observadores no lineales de entrada desconocida, también denominados observadores de perturbación desacoplada. La acción de reconfiguración de fallas se lleva a cabo en sensores de corriente, utilizando el enfoque del observador generalizado.

Una aportación importante es el desarrollo de un modelo del motor de inducción que no se encuentra reportado en la literatura. El modelo permite detectar y localizar específicamente la fase en que ocurrió la falla, lo cual no es posible de llevar a cabo utilizando el modelo bifásico equivalente de uso común.

Las pruebas de simulación demuestran que los esquemas de diagnóstico y

reconfiguración propuestos son válidos y factibles de ser utilizadas en el motor de inducción.

Fault Diagnosis and Reconfiguration in the Induction Motor Using Nonlinear Observers

Ernesto Elías Vidal Rosas

Abstract

Induction motors are widely used in the industry and gradually are displacing direct current motor for high performance application. In addition, induction motors have other advantages over other motors as reduced cost, simplicity in the operation, robustness and low maintenance necessity. However, induction motors can present faults caused by electrical, mechanical, thermal or environmental stresses. Due to such stresses, fault detection and isolation unit is necessary to prevent or to avoid damage to the motor or the process and consider maintenance, reconfiguration or accommodation actions to the system if it is possible. This thesis deals with two problems: multiplicative fault diagnosis (parameters) and fault reconfiguration in current sensors. Based-model approach is used in both cases. Fault diagnosis is carried out using nonlinear unknown input observers, also called disturbance decoupled observers. Fault reconfiguration action is carried out over current sensors using the generalized observer scheme. An important contribution is the development of an induction motor model which is not reported in the literature. The induction motor model allows detecting and isolating the specific phase where the fault was produced, which is not possible with the equivalent biphasic motor model of common use. Simulation results demonstrate that diagnosis and reconfiguration schemes are valid and feasible to implement in the induction motor.

I

TABLA DE CONTENIDO

LISTA DE FIGURAS VLISTA DE TABLAS IXLISTA DE SÍMBOLOS XI CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN 1 1.1 Planteamiento del problema 21.2 Justificación 21.3 Hipótesis 31.4 Objetivos 4

1.4.1 Objetivo general 41.4.2 Objetivos particulares 4

1.5 Metodología 5 1.6 Alcances y limitaciones 51.7 Aportaciones 51.8 Antecedentes 6

1.8.1 Utilización de los motores en la industria 61.8.2 Clasificación de las fallas presentes en los motores de

inducción 6

1.8.3 Estudio de las fallas en los motores de inducción en la industria petrolera, química, refinerías y terminales de gas

7

1.8.4 Diagnóstico de fallas 101.8.5 Diagnóstico de fallas basado en señales y basado en el modelo

aplicado al motor de inducción 12

1.9 Organización del trabajo 13 CAPITULO 2 ANÁLISIS DEL MOTOR DEL INDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO

15

2.1 Producción del par en el motor de inducción 152.2 Concepto de deslizamiento del rotor 182.3 Circuito equivalente de un motor de inducción 19 CAPITULO 3 ANÁLISIS DINÁMICO DEL MOTOR DEL INDUCCIÓN 25 3.1 Modelo trifásico del motor de inducción 253.2 Modelo del motor de inducción bajo la teoría del marco de referencia 29

3.2.1 Cálculo de las variables del motor de inducción en estado estable

35

3.3 Modelo del motor de inducción en función de corrientes y flujos en el marco de referencia fijo al estator

38

TABLA DE CONTENIDO

II

3.4 Modelo del motor de inducción en función de corrientes y flujos en el marco de referencia fijo al rotor

45

3.5 Modelo bilineal del motor de inducción 493.6 Modelo del motor de inducción con resistencias explícitas 503.7 Simulación de fallas en el motor de inducción utilizando el modelo con

resistencias explícitas 53

CAPÍTULO 4 CONTROL VECTORIAL DEL MOTOR DE INDUCCIÓN 55 4.1 Control del motor de inducción por campo orientado 554.2 Observador de flujo en el marco de referencia fijo al estator 584.3 Observador de flujo en el marco de referencia fijo al rotor 624.4 Control del motor de inducción con observadores de estado 64 CAPÍTULO 5 DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN LOS PARÁMETROS DEL MOTOR DE INDUCCIÓN

67

5.1 Metodología de diagnóstico de fallas 675.2 Observadores no lineales de perturbación desacoplada 695.3 Diagnóstico de fallas en el motor de inducción utilizando el modelo

con resistencias implícitas 72

5.3.1 Modelado de fallas 725.3.2 Estrategia de diagnóstico de fallas 755.3.3 Diseño de observadores de perturbación desacoplada

aplicados al motor de inducción 76

5.4 Diagnóstico de fallas en el motor de inducción utilizando el modelo con resistencias explícitas

83

5.4.1 Modelado de fallas 835.4.2 Estrategia de diagnóstico de fallas 855.4.3 Diseño de observadores de perturbación desacoplada

aplicados al motor de inducción 86

5.5 Diagnóstico de fallas en el motor de inducción utilizando el modelo con resistencias explícitas y la teoría del marco de referencia

89

5.6 Control del motor de inducción y diagnóstico de fallas utilizando el modelo con resistencias implícitas

95

CAPÍTULO 6 RECONFIGURACIÓN DE FALLAS EN EL MOTOR DE INDUCCIÓN

101

6.1 Reconfiguración de fallas en sensores de corriente en el motor de

inducción 101

6.2 Simulación de reconfiguración de fallas en sensores basado en el esquema del observador generalizado

106

TABLA DE CONTENIDO

III

CAPÍTULO 7 CONCLUSIONES 111 7.1 Conclusiones generales 1117.2 Trabajos futuros 114 REFERENCIAS 117 APÉNDICE A DESACOPLAMIENTO DE PERTURBACIONES UTILIZANDO EL TEOREMA DE FROBENIUS

A-1

A.1 Desacoplamiento de sR en el modelo con fases implícitas A-1A.2 Desacoplamiento de saR en el modelo con fases explícitas A-10 APÉNDICE B MANUAL DEL USUARIO SOBRE EL USO DE LOS PROGRAMAS DE SIMULACIÓN

B-1

B.1 Modelo trifásico del motor de inducción B-1B.2 Modelo del motor de inducción bajo la teoría del marco de referencia B-1B.3 Cálculo de las variables del motor de inducción en estado estable B-2B.4 Generación de distintos modelos basados en corriente B-3B.5 Modelo en el marco de referencia fijo al estator B-4B.6 Modelo en el marco de referencia fijo al rotor B-4B.7 Modelo bilineal B-4B.8 Modelo del motor de inducción con fases explícitas B-4B.9 Determinación de las funciones que desacoplan perturbaciones B-4B.10 Diagnóstico de fallas en parámetros utilizando el modelo del motor

con resistencias implícitas B-8

B.11 Diagnóstico de fallas en parámetros utilizando el modelo del motor con resistencias explícitas

B-8

B.12 Reconfiguración de fallas en sensores en el motor de inducción B-9

TABLA DE CONTENIDO

IV

V

LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 Motor de inducción 1Figura 1.2 Consumo de energía eléctrica en México 2Figura 1.3 Distribución de las fallas en el motor de inducción 6Figura 1.4 Excentricidad estática 7Figura 1.5 Excentricidad dinámica 7Figura 1.6 Esquema de un sistema tolerante a fallas con un subsistema

de supervisión 11

Figura 1.7 Clasificación de los métodos de diagnóstico de fallas 11Figura 1.8 Termografía IR 12Figura 1.9 Enfoque basado en el modelo 12Figura 1.10 Falsas alarmas vs. Detectabilidad [29] 13 Figura 2.1 Campo magnético giratorio en el estator 16Figura 2.2 Voltaje inducido en el rotor 16Figura 2.3 (a) Regla de la mano derecha. (b) Generación del voltaje

inducido en el rotor 16

Figura 2.4 Corriente producida en el rotor 17Figura 2.5 (a) Regla de la mano derecha. (b) Generación del campo

magnético en el rotor 17

Figura 2.6 Campo magnético neto 18Figura 2.7 (a) Devanados en el motor de inducción (b) Campo

magnético debido a un devanando 19

Figura 2.8 Flujos en el estator 20Figura 2.9 Relación entre la fuerza magnetomotriz en el núcleo y la

corriente requerida. (a) Flujo en el núcleo del estator. (b) Curva de magnetización del núcleo. (c) Corriente requerida para mantener el flujo en el núcleo

22

Figura 2.10 Circuito equivalente del motor de inducción 22Figura 2.11 Circuito equivalente del rotor 23Figura 2.12 Circuito equivalente del rotor con los efectos de la

frecuencia expresados en la resistencia 24

Figura 2.13 Circuito equivalente del motor de inducción con el circuito del rotor referido al circuito del estator

24

Figura 3.1 Modelo de un motor de inducción trifásico 25Figura 3.2 (a) Corrientes de estator y rotor (b) curva par-velocidad 29Figura 3.3 Transformación de tres a dos fases 30Figura 3.4 Esquema de simulación de la ecuación (3.30) 34Figura 3.5 Voltajes de alimentación al estator en el marco de

referencia fijo al estator 34

Figura 3.6 Corrientes del estator y rotor en el marco de referencia fijo al estator

34

Figura 3.7 Voltajes de alimentación al estator en el marco de referencia fijo al rotor

34

Figura 3.8 Corrientes del estator y rotor en el marco de referencia fijo al rotor

34

Figura 3.9 Voltajes de alimentación al estator en el marco de referencia síncrono

35

LISTA DE FIGURAS

VI

Figura 3.10 Corrientes del estator y rotor en el marco de referencia síncrono

35

Figura 3.11 Respuesta dinámica y estacionaria de las corrientes del estator en el marco de referencia fijo al estator

38

Figura 3.12 Respuesta dinámica y estacionaria de las corrientes del estator en el marco de referencia fijo al rotor

38

Figura 3.13 Respuesta dinámica y estacionaria de las corrientes del estator en el marco de referencia síncrono

38

Figura 3.14 Transformación de coordenadas 39Figura 3.15 (a) Velocidad y par alcanzado por el rotor (b) Corrientes

en los devanados de estator y flujos en el rotor 44

Figura 3.16 Proyección de los ejes del marco de referencia fijo al estator sobre el marco de referencia fijo al rotor

45

Figura 3.17 Magnitud del flujo del rotor 46Figura 3.18 Orientación del eje d con la magnitud del flujo del rotor 46Figura 3.19 Esquema de simulación del modelo del motor en el marco

de referencia fijo al rotor 47

Figura 3.20 Voltajes de estator en diferentes marcos de referencia 47Figura 3.21 Corrientes de estator y magnitud de flujo en el rotor 47Figura 3.22 Curva par-velocidad 50Figura 3.23 Voltajes de alimentación en tres y dos fases 50Figura 3.24 Par generado por el motor y velocidad de rotación

alcanzada por el eje 50


50

Figura 3.26 Velocidad y par en el motor de inducción 53Figura 3.27 Acercamiento a la velocidad y al par del motor de

inducción al ocurrir la falla 53

Figura 3.28 Corrientes de estator y rotor en el motor de inducción 54Figura 3.29 Acercamiento al comportamiento de las corrientes al

momento de ocurrir la falla 54

Figura 4.1 Esquema de control basado en campo orientado 56Figura 4.2 Velocidad del rotor 57Figura 4.3 Par generado por el motor 57Figura 4.4 Corrientes en los devanados del estator 57Figura 4.5 Magnitud del flujo del rotor

57

Figura 4.6 Error de convergencia para diversos valores de 1p y 2p (a) 1 2p = , 2 10p = . (b) 1 4p = , 2 10p = . (c) 1 2p = , 2 20p = . (d) 1 4p = , 2 20p =

61

Figura 4.7 Esquema de control vectorial utilizando observadores no lineales

64

Figura 4.8 Velocidad del rotor 64Figura 4.9 Par alcanzado por el motor 64Figura 4.10 Flujo del rotor 65Figura 4.11 Acercamiento al flujo del rotor 65 Figura 5.1 Estructura del diagnóstico de fallas basado en el modelo 67Figura 5.2 Transformación de las variables del motor de inducción de 72

LISTA DE FIGURAS

VII

tres fases a su equivalente en dos fases Figura 5.3 Falla en la resistencia del devanado del estator 73Figura 5.4 Falla en la resistencia del devanado del rotor 73Figura 5.5 Falla en la inductancia mutua 74Figura 5.6 (a) Esquema del modelo paralelo para diagnosticar fallas

(b) Esquema del observador para diagnosticar fallas 79

Figura 5.7 Falla en la resistencia de estator 83Figura 5.8 Falla en la resistencia de rotor 83Figura 5.9 Perturbación debida a una variación en el par de carga 83Figura 5.10 Falla en la inductancia mutua 83Figura 5.11 Transformación de las variables del motor de inducción de

tres fases a su equivalente en dos fases 84

Figura 5.12 Esquema de diagnóstico de fallas en el motor de inducción 87Figura 5.13 Falla en la resistencia del devanado de la fase A 87Figura 5.14 Falla en la resistencia del devanado de la fase B 88Figura 5.15 Falla en la resistencia del devanado de la fase C 88Figura 5.16 Diagnóstico de fallas en los devanados de las fases del

estator 89

Figura 5.17 Orientación del observador 1 con los devanados de las fases B y C

89

Figura 5.18 Observador que desacopla las fallas en el devanado de la fase B

90

Figura 5.19 Esquema de diagnóstico de fallas utilizando la teoría del marco de referencia

91

Figura 5.20 Falla de circuito abierto en la fase A del estator 92Figura 5.21 Falla de circuito abierto en la fase B del estator 92Figura 5.22 Falla de circuito abierto en la fase C del estator 92Figura 5.23 Falla de circuito abierto en la fase A del rotor 92Figura 5.24 Falla de circuito abierto en la fase B del rotor 93Figura 5.25 Falla de circuito abierto en la fase C del rotor 93Figura 5.26 Falla de corto circuito en la fase A del estator 93Figura 5.27 Falla de corto circuito en la fase B del estator 93Figura 5.28 Falla de corto circuito en la fase C del estator 94Figura 5.29 Falla de corto circuito en la fase A del rotor 94Figura 5.30 Falla de corto circuito en la fase B del rotor 94Figura 5.31 Falla de corto circuito en la fase C del rotor 94Figura 5.32 Falla de excentricidad 95Figura 5.33 Perturbación debida a una variación del 30% del par de

carga 95

Figura 5.34 Velocidad del motor 96Figura 5.35 Residuos en condiciones normales de operación 96Figura 5.36 Residuos al producirse la falla 96Figura 5.37 Filtrado de la señal del observador 2 96Figura 5.38 Residuos con falla en Rs al ser reducido el valor nominal

30% 97

Figura 5.39 Residuos con falla en Rr al ser reducido el valor nominal 10%

97

Figura 5.40 Residuos al ocurrir una falla de Rr al ser reducida 40% 97Figura 5.41 Comportamiento de la velocidad con una falla en Rr 97Figura 5.42 Falla de la inductancia mutua 1% 98Figura 5.43 Falla de la inductancia mutua 2% 98Figura 5.44 Perturbación debida al par de carga con residuo 2 filtrado 98

LISTA DE FIGURAS

VIII

Figura 5.45 Perturbación debida al par de carga con residuo 2 sin filtrar 98 Figura 6.1 Esquema de control vectorial 101Figura 6.2 Esquema de reconfiguración de fallas en sensores de

corriente 102

Figura 6.3 Bloque generador de fallas 103Figura 6.4 Corrientes obtenidas de los sensores en presencia de falla 105Figura 6.5 Corrientes obtenidas de los bloques A, B y C 105Figura 6.6 Velocidad del rotor 107Figura 6.7 Magnitud del flujo del rotor 107Figura 6.8 Detección de falla en sensores de corriente 107Figura 6.9 Flujos estimados al momento de producirse la desconexión 108Figura 6.10 Flujos estimados después de realizada la desconexión 108Figura 6.11 Velocidades estimadas por los observadores después de

producirse la falla 108

Figura 6.12 Velocidad del rotor 108Figura 6.13 Señal de detección de falla 109Figura 6.14 Flujos estimados por los observadores 109 Figura A.1 Programa para desacoplar perturbaciones. (a) Interfaz de

Usuario (b) Resultados obtenidos en el ambiente de trabajo A-10

Figura B-1 Menú que muestra los parámetros de los motores utilizados B-2Figura B-2 Menú del programa estado_estable.m B-2Figura B-3 Menú del programa modelo_corrientes.m donde se deben

seleccionar las características del modelo del motor de inducción

B-3

Figura B-4 Selección del parámetro a desacoplar B-5Figura B-5 Selección de la matriz de perturbaciones. Ejemplo 1 B-5Figura B-6 Selección de la matriz de perturbaciones. Ejemplo 2 B-6Figura B-7 Selección de vectores elementales B-6Figura B-8 Selección del estado estable B-7Figura B-9 Transformación que desacopla la perturbación B-7Figura B-10 Diagnóstico de fallas en parámetros. (a) Archivo

motor_NUIO.mdl. (b) Pantalla de definición de fallas B-8

Figura B-11 Pantalla donde se define la falla B-8Figura B-12 Selección del sensor con falla B-9

IX

LISTA DE TABLAS Tabla 1.1 Distribución del número de motores jaula de ardilla en 4

tipos de plantas 8

Tabla 1.2 Distribución de fallas en componentes 8Tabla 1.3 Causas de fallas en cojinetes 9Tabla 1.4 Causas de fallas en los devanados del rotor 9 Tabla 2.1 Variables del motor referidas al estator 24 Tabla 3.1 Parámetros del motor de inducción 28 Tabla 5.1 Estrategia de diagnóstico de fallas en parámetros en el

motor de inducción 76

Tabla 5.2 Valores de las ganancias de los observadores 82Tabla 5.3 Estrategia de detección y localización de fallas 86Tabla 5.4 Tabla de residuos 88Tabla 5.5 Estrategia de detección y localización de fallas 90Tabla 5.6 Resumen de resultados de simulación 99 Tabla 6.1 Salidas de los bloques en operación normal 104Tabla 6.2 Desconexión del sensor de corriente de la fase B 104 Tabla 7.1 Resumen de características de los enfoques utilizados 113

LISTA DE TABLAS

X

XI

LISTA DE SÍMBOLOS Bs, Br Vector de densidad de flujo magnético en el estator y rotor,

respectivamente l Vector que representa la posición de la barra del rotor v Vector de velocidad relativa de las barras del rotor con respecto al

campo magnético sω Velocidad de los campos magnéticos en rad/s rω Velocidad mecánica del eje del motor en rad/s

Y ls Y lr Fuerza magnetomotriz debida al flujo disperso del estator y rotor, respectivamente

e Reluctancia del medio

lsφ , lrφ Flujo disperso del estator y rotor, respectivamente ,s rN N Número de vueltas de las bobinas del estator y rotor, respectivamente

,s rI I Corrientes del estator y rotor, respectivamente , ,as bs csI I I Corrientes de los devanados del estator , ,ar br crI I I Corrientes de los devanados del rotor , ,as bs csv v v Voltajes de alimentación trifásicos en los devanados de estator , ,as bs csλ λ λ Enlaces de flujo de los devanados del estator , ,ar br crλ λ λ Enlaces de flujo de los devanados del rotor

sR , rR Resistencias de los devanados de estator y rotor, respectivamente

lrls LL , Inductancias de dispersión de los devanados de estator y rotor, respectivamente

rrss L,L Autoinductancias o inductancias propias de los devanados de estator y rotor, respectivamente

rmsm L,L Inductancias mutuas entre los devanados de estator y rotor, respectivamente

srL Valor pico de las inductancias mutuas estator – rotor

rθ Desplazamiento angular del rotor J Inercia del rotor B Coeficiente de fricción viscosa en N⋅m⋅s / rad

Lτ Par de la carga

cθ Desplazamiento angular del marco de referencia , ,a b c Variables trifásicas ,q d Variables bifásicas

f Variable que puede representar corrientes, flujos o voltajes M Inductancia de magnetización


0, ,qs ds sI I I Corrientes de los devanados del estator en el marco de referencia arbitrario

0, ,qr dr rI I I Corrientes de los devanados del rotor en el marco de referencia arbitrario

0, ,qs ds sλ λ λ Enlaces de flujo de los devanados del estator en el marco de referencia arbitrario

0, ,qr dr rλ λ λ Enlaces de flujo de los devanados del rotor en el marco de referencia arbitrario

LISTA DE SÌMBOLOS

XII

cω Velocidad de rotación del marco de referencia

pn Número de pares de polos p

Operador diferencial ddt

( )E x Matriz de distribución de entradas desconocidas o perturbaciones ( ),K x u Matriz de distribución de fallas ( )d t Señal de entrada desconocida ( )f t Señal de falla

1

Figura 1.1 Motor de inducción

Capítulo 1 INTRODUCCIÓN

El motor de inducción (Figura 1.1) es una de las

formas más convenientes de obtener energía mecánica a partir de energía eléctrica. Por ello son ampliamente utilizados en la industria.

Entre las ventajas que presentan los motores de inducción se encuentran: velocidad de funcionamiento prácticamente constante, simplicidad de operación, robustez, necesidad casi nula de mantenimiento y costo reducido de operación en comparación con otros motores eléctricos.

Actualmente en el mundo, el 60% de la producción mundial de energía es consumida

por los motores eléctricos. Se tienen incontables ejemplos de su aplicación en la industria, el comercio, los servicios y el hogar. Los motores de inducción trifásicos son los más utilizados, pues representan el 90% de los motores eléctricos existentes. La situación en México es muy parecida pues el uso de los motores eléctricos consume de igual forma el 60% de la energía eléctrica generada [10]. Ver Figura 1.2.

Diagnóstico y reconfiguración de fallas en el motor de inducción utilizando observadores no lineales

2

Figura 1.2 Consumo de energía eléctrica en México.

El motor de inducción es ampliamente utilizado en la industria petrolera, petroquímica,

terminales de gas, refinerías, las cuales representan la base económica de México. Además se usan en industrias de transformación como papeleras, cerveceras, cementeras, industrias textiles, etcétera, así como también en servicios vitales para las grandes ciudades como por ejemplo, el bombeo de agua potable a la ciudad de México desde el sistema Cutzamala.

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA La presencia del motor de inducción en la industria o en servicios es vital para el

funcionamiento de la economía, por ello es deseable mantener al motor en condiciones óptimas de operación a fin de obtener alta eficiencia, larga vida útil, calidad en la producción y disminución de los gastos de operación. Sin embargo, esto no siempre es posible pues a pesar de las grandes ventajas del motor, también es susceptible a la ocurrencia de fallas.

La falla de un motor de inducción en la industria obliga a realizar el mantenimiento

correctivo, detener líneas de producción, sistemas de bombeo, extracción, ventilación, compresión, etcétera, y finalmente representa pérdidas en tiempo y dinero. En el caso de los servicios, por ejemplo, la suspensión del servicio de agua potable a comunidades, lo que provoca incluso daños a la salud.

No importando el lugar de presencia del motor de inducción, la ocurrencia de fallas

provoca graves consecuencias; por ello es de suma importancia detectar a tiempo síntomas de falla antes de que el motor se deteriore por completo y no pueda seguir funcionando.

1.2 JUSTIFICACIÓN La detección de fallas de manera oportuna, permite aplicar un plan de mantenimiento

preventivo sin detener el funcionamiento del motor de inducción o preparar un plan de mantenimiento correctivo para su posterior revisión, es decir, si se logra detectar los síntomas, es posible contar con el tiempo necesario, para planear su mantenimiento, sin necesidad de parar las líneas de producción o suspender el bombeo de agua a las comunidades porque el motor se ha averiado.

Más aún, es conveniente conocer la parte específica en donde se presenta la falla, pues

agilizaría su reparación en caso de ser posible y mejoraría el ambiente de operación del motor.

CAPITULO 1

3

Por ello es necesario contar con una solución metodológica, que permita conocer la existencia de fallas, que concluirían en una incipiente avería mayor, a fin de tomar en cuenta las medidas pertinentes y sin repercutir gravemente en el funcionamiento de las entidades que lo utilizan y todo este planteamiento en beneficio mismo de las industrias y la sociedad.

En este trabajo se consideran los siguientes casos

a) Las fallas que ocurren en el motor de inducción se deben a los esfuerzos a que es

sometido. Los esfuerzos pueden ser mecánicos, eléctricos, térmicos y ambientales [11] y pueden provocar fallas en los devanados de estator y rotor en el caso de motores de inducción de rotor devanado, fallas en las barras y anillos terminales del rotor en el caso de los motores jaula de ardilla, fallas en los cojinetes, fractura del eje, etc.

b) Otro problema de gran consideración que ocurre en el motor de inducción es la

presencia de fallas en sensores, ya sea de voltaje, corriente o velocidad. Los problemas que se pueden presentar son problemas de desplazamiento de la señal real a un valor distinto (off-set), también la multiplicación por un escalar de la señal medida o en caso extremo, la repentina desconexión, ya sea permanente o intermitente. Los problemas causados por fallas en los sensores pueden provocar perturbaciones al control pudiéndolo llevar a la inestabilidad o también pueden repercutir en el daño del actuador o la máquina de inducción. Por ello es conveniente la existencia de una estrategia que permita la corrección de tales fallas en caso de ser posible y continuar con la operación más próxima a la normal.

Los enfoques desarrollados para las fallas en sensores cuentan con una base teórica

sólida en el caso de utilización de observadores, a partir de la cual es posible desarrollar esquemas robustos. Ejemplo de ello son los esquemas del observador dedicado (DOS- Dedicated Observer Scheme) y el esquema del observador generalizado (GOS- Generalized Observer Scheme) [30].

De acuerdo a la trascendencia de las ventajas que ocasionaría el diagnóstico y reconfiguración de fallas en el motor de inducción, es de suma importancia contar con una metodología que permita el desarrollo de tales estrategias y en virtud del conocimiento que se tiene en la utilización de observadores para la detección y reconfiguración de fallas, se plantea el uso de observadores, sin embargo, puesto que el motor de inducción es un sistema altamente no lineal debido al acoplamiento de sus parámetros, el tema de tesis se denomina:

“Diagnóstico y reconfiguración de fallas en el motor de inducción utilizando

observadores no lineales”

1.3 HIPÓTESIS

La avería o daño significativo del motor de inducción tiene como consecuencia el

impacto negativo económico y social en las entidades en que es utilizado. Por ello es necesaria la existencia de un método de detección, tal que sea capaz de detectar fallas siempre que éstas se presenten (propiedad de detectabilidad), evitando incurrir en falsas alarmas y que además sea capaz de localizar todas las fallas para las que fue diseñado (propiedad de localización), por ello, la hipótesis de trabajo sobre la cual se basa la tesis es:


4

El diagnóstico de fallas en parámetros del motor de inducción utilizando observadores no lineales, satisface las propiedades de detectabilidad y localización.

Aunado a la anterior hipótesis, también se desarrolla un control tolerante a fallas

provocadas por la desconexión de sensores. El tipo de fallas a considerar es la desconexión de sensores de corriente, ya sea que se produzcan de manera permanente o intermitente. Por lo tanto la hipótesis propuesta es:

El esquema del observador generalizado aplicado al motor de inducción, permite la

reconfiguración de fallas debidas a la desconexión de sensores de corriente de manera satisfactoria, sin repercutir de manera considerable en el desempeño global del sistema.

1.4 OBJETIVOS 1.4.1 Objetivo general

En la teoría sobre el diagnóstico y reconfiguración de fallas utilizando observadores no

lineales, se han desarrollado distintos enfoques y esquemas. De los esquemas existentes se pretende estudiar su aplicación al motor de inducción y posteriormente analizar el desempeño, por lo tanto, el objetivo general que guía el desarrollo de la tesis es:

Analizar y evaluar el desempeño de observadores no lineales como estrategia de

diagnóstico y reconfiguración de fallas en el motor de inducción. 1.4.2 Objetivos particulares Los objetivos particulares que guían el desarrollo del tema de investigación se basan en primer lugar en un estudio detallado del motor de inducción y una revisión exhaustiva del estado del arte sobre el diagnóstico y la reconfiguración de fallas utilizando observadores. Posteriormente los esquemas analizados se aplican al motor de inducción. Los objetivos son los siguientes:

1. Estudio, análisis, modelado y simulación de la operación de la máquina de inducción trifásica.

2. Revisión del estado del arte de los diferentes esquemas de diagnóstico y reconfiguración de fallas basados en observadores.

3. Aplicar esquemas de diagnóstico de fallas factibles de ser utilizados en el motor de inducción.

4. Simular los esquemas de diagnóstico elegidos a fin de evaluar su desempeño en la detección y localización de fallas.

5. Desarrollar esquemas de reconfiguración de fallas en sensores basados en los enfoques del observador dedicado y observador generalizado.

6. Analizar el desempeño y factibilidad de los enfoques de reconfiguración utilizados.

CAPITULO 1

5

1.5 METODOLOGÍA El procedimiento para lograr los objetivos propuestos comprende las siguientes etapas:

• Análisis del motor de inducción en estado estacionario y dinámico. • Estudio de las metodologías existentes en el diseño de observadores para

diagnóstico y reconfiguración de fallas. • Investigación de los métodos de control en el motor de inducción. • Implementación de esquemas de diagnóstico y reconfiguración en el motor de

inducción. • Análisis de los resultados obtenidos de las técnicas de diagnóstico y

reconfiguración utilizadas. 1.6 ALCANCES Y LIMITACIONES

El estudio del motor de inducción, observadores no lineales, diagnóstico y

reconfiguración de fallas, son campos de conocimiento muy amplios. Por ello en la tesis se proponen los siguientes alcances:

• La investigación abarca el desarrollo de distintos modelos del motor de

inducción para su posterior análisis y simulación. • Diseño de observadores no lineales para realizar el control por enfoque vectorial,

puesto que es un método de control moderno y acorde a las necesidades actuales. • Diagnóstico de fallas en los parámetros del motor de inducción utilizando

observadores no lineales de entrada desconocida. • Reconfiguración de fallas, solo en sensores de corrientes, utilizando el enfoque

del observador generalizado.

1.7 APORTACIONES En este trabajo de tesis se desarrollan distintos modelos del motor inducción, estos son:

• Modelo trifásico • Modelo bifásico en función de corrientes en tres marcos de referencia: fijo al

estator, fijo al rotor y síncrono. • Modelo bifásico en función de corrientes y flujos • Modelo bilineal • Se desarrolla un modelo bifásico nuevo que contempla la expresión de las

resistencias del estator y rotor en función de las resistencias originales

Sobre el diseño de observadores aplicados al diagnóstico de fallas, se desarrolla por completo la metodología basada en el desacoplamiento de perturbaciones utilizando el teorema de Frobenius.

En cuanto al esquema de reconfiguración, se expone la aplicación del enfoque del

observador generalizado al control del motor de inducción, para obtener un control tolerante a fallas debidas a la desconexión de sensores de corriente.


6

Rotor10%

Estator37%Cojinetes

41%

Otros12%

Figura 1.3 Distribución de las fallas en el motor de inducción

1.8 ANTECEDENTES

1.8.1 Utilización de los motores en la industria

En la industria de la transformación, el motor de inducción es utilizado en bombas, ventiladores, compresores, elevadores, máquinas centrifugadoras, bandas transportadoras, etcétera y en la industria petrolera, se agregan las perforadoras, trituradoras y bombas de extracción.

En cuanto a los servicios públicos, tiene una amplia aplicación en bombas de agua para

suministrar de agua potable a comunidades, abastecer de riego a los campos de cultivo, extraer agua en pozos perforados, etcétera.

En resumen, son incontables las aplicaciones y el aprovechamiento que se hace de los

motores de inducción en beneficio de la sociedad en general.

1.8.2 Clasificación de las fallas presentes en los motores de inducción

Las fallas en el motor de inducción se agrupan en [5] a) Cojinetes d) Eje b) Estator e) Dispositivos c) Rotor externos

De manera porcentual, la distribución

de las fallas se muestra en la figura 1.3, en donde otras concentra los incisos d) y e).

Las fallas presentes en el estator se deben normalmente a una combinación de esfuerzos a que son sometidos sus componentes. En el estator los esfuerzos se clasifican en:

a) Térmicos c) Mecánicos

1. Envejecimiento térmico 2. Sobrecarga térmica 3. Arranque continuo

1. Movimiento de los devanados 2. Golpeteo del rotor 3. Misceláneos

b) Eléctricos d) Ambientales 1. Dieléctrico 2. Efecto corona 3. Transitorios

1. Humedad 2. Químicos 3. Desgaste por fricción (abrasión) 4. Objetos extraños

Los esfuerzos a que es sometido el rotor se agrupan en:

a) Térmicos b) Dinámicos c) Electromagnéticos d) Mecánicos e) Residuales f) Ambientales

Los esfuerzos presentes en el rotor son el resultado de las siguientes condiciones:

• Par de trabajo

CAPITULO 1

7

• Esfuerzo dinámico no balanceado • Vibración y transitorios en el par • Fundido, soldado, maquinado y ajuste de piezas del rotor (axial, radial, etc.) • Fuerza magnética causada por los enlaces de flujo de dispersión de las ranuras

las cuales vibran al doble de la frecuencia de las corrientes del rotor • Fuerza magnética causada por la excentricidad del entrehierro • Fuerza centrífuga • Esfuerzo térmico causado por el calentamiento del anillo terminal • Esfuerzo térmico causado por la temperatura diferencial en las barras del rotor

durante el encendido (efecto piel) En cuanto a las fallas en cojinetes, se deben principalmente a rupturas mecánicas y

sobrecalentamiento térmico por fricción. Las consecuencias de esta falla son múltiples, pero las más severas son la excentricidad del eje y variación del campo magnético. El campo magnético desigual provoca fallas en la localización. La excentricidad puede incluso provocar roces o choques entre el estator y el rotor.

En referencia al problema de la excentricidad, existen básicamente dos tipos, la

estática, en la cual el rotor está descentrado pero fijo en un lugar, como se aprecia en la figura 1.4. Generalmente este tipo de problema se produce cuando los alojamientos de los cojinetes están desalineados, ya sea por una inadecuada colocación o por que la carcaza del motor fue torcida cuando se instaló en su base [16]. El otro tipo de excentricidad es la dinámica, y como resultado, el rotor se balancea dentro del estator, como se muestra en la figura 1.5, por lo tanto, la inductancia mutua varía constantemente. La excentricidad dinámica es producida por una deflexión en el eje.

1.8.3 Estudio de las fallas en los motores de inducción en la industria petrolera, química

refinerías y terminales de gas En el año de 1995, en Europa se realizó un estudio sobre las fallas que presentan los

motores de inducción en el ámbito petrolero [39]. El estudio contempló 60 plantas que incluían terminales de gas, petroquímicas, plataformas y refinerías. En la tabla 1.1 se muestra el número de motores utilizados en dicha investigación.

El estudio se realizó en 2596 motores de inducción de un total de 25620, abarcando a 8

empresas europeas dedicadas al sector petrolero.

Figura 1.5 Excentricidad dinámica Figura 1.4 Excentricidad estática


8

Tabla 1.1. Distribución del número de motores jaula de ardilla en 4 tipos de plantas [29] Potencia KW 11-50 51-100 101-200 201-500 501-1000 1001-

Petroquímica 141 31 47 13 2 8 Refinería 134 22 27 25 1 1 Terminal de gas 77 5 22 8 1 12 Plataforma 231 25 15 2 3 3

El estudio consistió en realizar un seguimiento muy detallado de la fallas en los

motores. Al final se obtuvieron 1637 fallas. Las conclusiones fueron las siguientes: • Potencia: Los motores cuyo requerimiento sobrepasa 501-1000 KW presentan

mayor número de fallas. • Voltaje: conforme se incrementa el voltaje de alimentación, igualmente se

incrementa la ocurrencia de fallas. • Velocidad: El incremento de la velocidad produce mayor número de fallas. • Protección eléctrica: Los motores con mejor protección registraron muy pocas fallas. • Ciclo de operación: Lo motores que operan en forma ininterrumpida presentaron

menor número de fallas que aquellos que se arrancan continuamente. • Ciclo de mantenimiento: El mantenimiento se clasificó en: cada 12 meses o menos,

de 13 a 24 meses y por último, de 25 meses o más. Se concluyó que conforme se incrementa el periodo de mantenimiento se incrementa el número de fallas.

• Calidad del mantenimiento: Un mejor mantenimiento ofrece menor número de fallas • Fallas en componentes: El 51% de las fallas se debe a fallas en los cojinetes. Las

fallas en el estator y dispositivos externos representan el 31.34%, de manera que en conjunto representan más del 80% del total de fallas.

En la tabla 1.2 se muestra la distribución de fallas en componentes del motor de

inducción [39].

Tabla 1.2. Distribución de fallas en componentes Componente en falla Número de fallas Porcentaje

Cojinetes 836 51.07 Bobinas del estator 258 15.76 Barras del rotor/ anillos del rotor 77 4.70 Eje 40 2.44 Dispositivos externos 255 15.58 No especificado 171 10.45 Total 1637 100.00

En el estudio se definió iniciador de falla a la causa principal de la falla, contribuidor

de falla a las condiciones que se vieron involucradas en la falla al momento de presentarse y causas adyacentes a las condiciones en las que el motor fue transportado, manipulado e instalado. En la tabla 1.3 se muestran las causas de falla en los cojinetes del rotor y en la tabla 1.4 se presentan las causas de falla en los devanados del rotor [39].

CAPITULO 1

9

Tabla 1.3. Causas de fallas en cojinetes

Causas de falla de cojinetes Número de fallas Porcentaje

Distribución de la clasificación no especificado

Iniciador de la falla 1. Sobrevoltaje transitorio 0 0 02. Sobrecalentamiento 21 2.51 22.113. Ruptura del aislamiento 2 0.24 2.114. Rupturas mecánicas 67 8.01 70.535. Fallas eléctricas o malfuncionamiento 4 0.48 4.216. Calado del Motor 1 0.12 1.057. No especificado 741 88.64Contribuidores a la falla 1. Sobrecarga persistente 23 2.63 22.772. Temperatura ambiental alta 1 0.12 0.993. Humedad anormal 9 1.08 8.914. Voltaje anormal 1 0.12 0.995. Frecuencia anormal 1 0.12 0.996. Alta vibración 51 6.10 50.507. Químicos agresivos 1 0.12 0.998. Lubricación deficiente 13 1.56 12.879. Ventilación deficiente 1 0.12 0.9910. Deterioro normal por el tiempo 0 0.00 0011. No especificado 735 87.92Causas adyacentes a la falla 1. Componentes defectuosos 22 2.63 27.502. Deficiente instalación / prueba 3 0.36 3.753. Inadecuado mantenimiento 9 1.08 11.254. Operación inapropiada 30 3.59 37.505. Manejo inapropiado 4 0.48 5.006. Protección física inadecuada 5 0.60 6.257. Protección eléctrica inadecuada 2 0.24 2.508. Error del personal 0 0.00 0.009. Transporte de la agencia 3 0.36 3.7510. Equipo de manejo del motor 2 0.24 2.5011. No especificado 756 90.43

Tabla 1.4. Causas de fallas en los devanados del rotor

Causas de falla en las bobinas del rotor

Número de fallas

Porcentaje Distribución de la clasificación no

especificado Iniciador de la falla 1. Sobrevoltaje transitorio 9 3.49 7.032. Sobrecalentamiento 25 9.69 19.533. Ruptura del aislamiento 58 22.48 45.314. Rupturas mecánicas 19 7.36 14.845. Fallas eléctricas o malfuncionamiento 14 5.43 10.94


10

6. Calado del Motor 3 1.16 2.347. No especificado 130 50.39Contribuidores a la falla 1. Sobrecarga persistente 26 10.08 52.002. Temperatura ambiental alta 4 1.55 8.003. Humedad anormal 8 3.10 16.004. Voltaje anormal 2 0.78 4.005. Frecuencia anormal 0 0.00 0.006. Alta vibración 3 1.16 6.007. Químicos agresivos 1 0.39 2.008. Lubricación deficiente 0 0.00 0.009. Ventilación deficiente 2 0.78 4.0010. Deterioro normal por el tiempo 4 1.55 8.0011. No especificado 208 80.62Causas adyacentes a la falla 1. Componentes defectuosos 12 4.65 22.642. Deficiente instalación / prueba 3 1.16 5.663. Inadecuado mantenimiento 1 0.39 1.894. Operación inapropiada 18 6.98 33.965. Manejo inapropiado 0 0.00 0.006. Protección física inadecuada 5 1.94 9.437. Protección eléctrica inadecuada 12 4.65 22.648. Error del personal 0 0.00 0.009. Transporte de la agencia 2 0.78 3.7710. Equipo de manejo del motor 0 0.00 0.0011. No especificado 205 79.46

De acuerdo con dichos resultados, se tiene que:

1. Los daños de ruptura mecánica (62.52%) y el sobrecalentamiento (19.60%) son las causas más frecuentes que inician las fallas en cojinetes, mientras que la alta vibración es la causa que más contribuye. La operación inapropiada y los componentes defectuosos son las principales causas adyacentes a la falla.

2. El sobrecalentamiento y otras rupturas del aislamiento son los principales iniciadores de falla en las bobinas del estator. La principal contribución a la falla se debe a sobrecargas persistentes; por último, las causas adyacentes a la falla más frecuentes son la operación inapropiada, los componentes defectuosos y la inadecuada protección eléctrica.

1.8.4 Diagnóstico de fallas En la figura 1.6 se muestra el esquema general de un sistema de control tolerante a fallas. El esquema tiene cuatro componentes principales: La planta, en la que se incluyen los sensores y actuadores, una unidad de Detección y Localización de Fallas (FDI-Fault Detection and Isolation), un controlador de retroalimentación y un subsistema de supervisión. Las líneas continuas representan las señales de flujo y las líneas punteadas representan adaptación (sintonización, reconfiguración o reestructuración) [31]

CAPITULO 1

11

Figura 1.6 Esquema de un sistema tolerante a fallas con un subsistema de supervisión

Figura 1.7 Clasificación de los métodos de diagnóstico de fallas

Se considera que la planta presenta fallas potenciales en los sensores y actuadores

(fallas aditivas) o en su configuración interna (fallas multiplicativas). Dentro de este esquema es de suma importancia la unidad FDI, la cual es responsable de determinar la falla, su localización y gravedad, así como proveer de información al subsistema de supervisión, a fin de que pueda tomar acciones correctivas, tales como reconfigurar a un conjunto de sensores o actuadores para aislar la falla, sintonizar o adaptar al controlador para acomodar los efectos de la falla.

Existen diversos enfoques para desempeñar las funciones de la unidad FDI, entre los cuales podemos mencionar los basados en el modelo y los basados en señales. La clasificación de los métodos de diagnóstico de fallas basados en el modelo se muestra en la figura 1.7 [40].

También existen otros esquemas como por ejemplo, el basado en termografías IR la cuál es una técnica utilizada para detectar falsos contactos [16]. (Figura 1.8)

Los esquemas de detección y localización de fallas intentan proveer señales de fallas

incipientes, de manera que acciones correctivas deban ser tomadas en cuenta sin interrupción perjudicial del proceso, llevando a una mayor disponibilidad de la planta, extensión de vida útil, calidad en los productos y operación más segura.

Controlador Actuador Planta Sensores

Unidad FDI

Sistema supervisor

FallaFalla Falla


12

Un sistema de diagnóstico de fallas debe poseer dos propiedades, a saber, detectabilidad y localización. La primera se refiere a la posibilidad de detectar fallas, siempre que éstas ocurran, y la segunda se refiere a la posibilidad de localizar todas las fallas para las cuales fue diseñada la unidad de detección y localización de fallas [31].

Se dice que el sistema de detección y

localización de fallas se desempeña correctamente si presenta alta probabilidad de detectar fallas y baja probabilidad de falsas alarmas [14]. Si la unidad de detección de fallas no es demasiado sensible para captarlas, entonces se están perdiendo anomalías que pueden conducir a fallas. Las fallas no detectadas conducen a fallas aún más críticas, las cuales provocan el deterioro total del sistema, quedando fuera de operación. En tanto que si el sistema de detección es demasiado sensible, pueden ocurrir falsas alarmas.

Cualquier alarma generada fuerza al operador a decidir si pone fuera de

funcionamiento al sistema o no. La ocurrencia frecuente de falsas alarmas lleva al operador a cuestionar la efectividad del sistema de detección de fallas, incrementando la posibilidad de ignorar alarmas que indiquen una falla real del sistema. Por lo tanto, en el diseño de un sistema de detección de fallas existe un compromiso entre la sensibilidad a fallas y la insensibilidad a falsas alarmas.

1.8.5 Diagnóstico de fallas basado en señales y basado en el modelo aplicado al motor de inducción El enfoque basado en análisis y

tratamiento de señales aplicado al motor de inducción, consiste en la medición de la secuencia negativa de corriente para detectar fallas en el estator y en el análisis espectral de la corriente del estator para detectar fallas en el rotor. El análisis de tales señales conforma lo que se conoce como Análisis de las Firmas de Corriente del Motor (MCSA – Motor Current Signature Analysis). [14].

El enfoque basado en el

modelo trata principalmente con el diagnóstico de fallas en línea. Se define como la detección, localización y caracterización de fallas de un sistema a partir de la comparación de las mediciones disponibles del sistema contra la información representada por el modelo matemático del sistema [31].

Figura 1.8 Termografía IR

Actuador

Sensor de valocidad

Banco de observadores no

lineales

Sensores de corriente

Sensores de voltaje

Residuos

Figura 1.9 Enfoque basado en el modelo

CAPITULO 1

13

Aplicado al motor, el enfoque basado en el modelo utilizando observadores, consiste en la medición de las señales de corriente, voltaje y velocidad, las cuales son alimentadas a un modelo matemático, el cual representa al motor sin fallas. Las señales producidas son comparadas con las del motor en funcionamiento, generando señales de falla denominadas residuos. Ver figura 1.9

Se ha demostrado que el enfoque

basado en el modelo supera al basado en señal, pues presenta menor probabilidad de generar falsas alarmas y satisface la condición de detectabilidad. [14]

Harahari [14] sometió a la

presencia de 56 fallas ambos enfoques, 31 de las cuales eran falsas alarmas. Entre las pruebas más contundentes se encuentra que las variaciones en la carga, la fricción, los armónicos de la corriente del estator y el desbalance de los voltajes producen falsas alarmas en el enfoque basado en señal, mientras que el enfoque basado en el modelo compensa tales perturbaciones.

El estudio resultó en una gráfica de probabilidad de detección de fallas en función de la

probabilidad de falsas alarmas. La figura 1.10 muestra que en el caso del enfoque basado en señal, si se desea tolerar un mínimo de 50% de falsas alarmas, se podrá obtener un porcentaje cercano al 50% de detectabilidad de fallas, lo cual no es recomendable, pues el volado de una moneda tiene la misma probabilidad.

En cambio el enfoque basado en el modelo, considerando 0% de incidencia de falsas

alarmas, se tendrá por lo menos el 89% de detectabilidad de fallas. Por lo tanto, el hecho de utilizar el enfoque basado en el modelo, es una alternativa de solución recomendable para el diagnóstico de fallas en el motor de inducción.

1.9 ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO Los resultados principales del trabajo de tesis consisten en el diagnóstico de fallas en

los parámetros del motor de inducción y en la reconfiguración de fallas en sensores de corriente.

Para llegar a la comprensión de las soluciones propuestas es necesario tener

conocimiento de las ecuaciones que describen al motor de inducción, la forma de llevar a cabo el control y más importante, el diseño de observadores para diagnóstico y reconfiguración. Por ello la tesis se organiza de la siguiente forma:

Probabilidad de falsas alarmas

–+– Basado en el modelo -o- Basado en señal ---- Probabilidad de una moneda

Figura 1.10 Falsas alarmas vs. Detectabilidad [29]


14

El capítulo dos trata sobre el análisis del motor de inducción en estado estable, partiendo de las leyes básicas que fundamentan el comportamiento hasta la obtención del circuito equivalente en estado estacionario.

En el capítulo tres se presentan los modelos dinámicos del motor de inducción. Se

muestra el desarrollo de los modelos en tres y dos fases, tanto en función de corrientes como de flujos y en diferentes marcos de referencia. Todos los desarrollos se realizan en la representación qd. Posteriormente se presenta el modelo bilineal del motor de inducción como un caso particular del marco de referencia arbitrario. Por último, se desarrolla un modelo del motor de inducción que mantiene explícitos los valores de las tres resistencias de los devanados del estator a través de la transformación de tres a dos fases. Sobre el desarrollo de este modelo, no se tiene referencia en la bibliografía sobre su obtención.

La técnica de control vectorial basado en la orientación de campo se expone en el

capítulo cuatro. Así mismo, se incluye el desarrollo de observadores para estimar los estados necesarios en el control vectorial.

En el capítulo cinco se presenta el diagnóstico de fallas en los parámetros del motor de

inducción. Este objetivo se logró utilizando tres esquemas de diagnóstico diferentes. El primer esquema se basa en la representación común del motor de inducción. Debido a las desventajas presentes en dicho modelo, se utiliza una representación más completa, el modelo con resistencias explícitas, a partir del cual surgen dos esquemas más. El desarrollo de ambos esquemas se expone en el mismo capítulo mostrando sus desventajas y ventajas.

En el capitulo seis se aborda la reconfiguración del sistema debida a fallas en sensores

de corriente. Las fallas estudiadas corresponden a desconexiones súbitas y permanentes. Se muestra la aplicación del enfoque del observador generalizado como estrategia de reconfiguración del sistema.

En el apéndice A se proporcionan los desarrollos completos para desacoplar

perturbaciones utilizando el teorema Frobenius, el cual es la herramienta más importante para iniciar la aplicación del esquema de diagnóstico de fallas en parámetros utilizado.

Por último, en el apéndice B se proporciona un manual que explica la forma de ejecutar

los programas que se desarrollaron durante la realización de la tesis.

15

Capítulo 2 ANÁLISIS DEL MOTOR DE INDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO

2.1 PRODUCCIÓN DEL PAR EN EL MOTOR DE INDUCCIÓN

El motor de inducción consiste principalmente de un estator, de un rotor y de las tapas o escudos. El estator contiene varias bobinas por cada fase, distribuidas en ranuras alrededor de él. Cada bobina es una unidad independiente y aislada de las demás y de la carcaza del estator. El rotor puede ser de dos tipos: tipo jaula de ardilla y de rotor devanando. El primero consiste de una serie de barras conductoras colocadas dentro de ranuras hechas en el rotor y cortocircuitadas por anillos terminales. El segundo está construido con un arrollamiento trifásico. Las tres fases generalmente se conecta en Y (estrella) y sus extremos se conectan a anillos rozantes montados sobre el eje, debido a esto, es posible tener acceso a la corrientes de rotor [6].

Si por los devanados del estator del motor circula un conjunto trifásico de corrientes de igual magnitud y defasadas 120°, se produce un campo magnético Bs giratorio de magnitud constante, que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj y a una velocidad de rotación de:

2s sfω π= (2.1)

donde sf es la frecuencia del sistema de alimentación en hertz.


16

BS

v

v×BS

Bs

ω

(a)

Figura 2.1 Campo magnético giratorio en el estator

Bs

ω

(b)

E

El campo magnético generado, interacciona con las barras de rotor e induce voltaje en ellas. El voltaje inducido se determina por la ecuación:

( )ind se l= × •v B (2.2)

donde: v Vector de velocidad relativa de las barras del rotor con respecto al campo magnético B Vector de densidad de flujo magnético en el estator l Vector que representa la posición de la barra del rotor

Para determinar la orientación del voltaje inducido en la barras se hace uso de la regla de la mano derecha que se muestra en la figura 2.3a. Usando la mano derecha, se pone el pulgar perpendicular a los restantes de la mano, se hace coincidir la dirección de los cuatro dedos con el vector v de tal modo que cerrando la mano, ésta pueda encontrar en su recorrido al vector BS. La dirección hacia donde apunta el pulgar, es la dirección del vector v×B. Así tenemos que para la figura 2.3b la orientación del voltaje inducido en las barras superiores del rotor es hacia adentro de la página y en las barras inferiores es hacia afuera.

Figura 2.3 (a) Regla de la mano derecha. (b) Generación del voltaje inducido en el rotor

Figura 2.2 Voltaje inducido en el rotor

BS v×BS

l

v

CAPITULO 2

17

(a) (b)

Debido a la orientación del voltaje inducido y a la resistencia del rotor, circula una corriente IR en la misma dirección, sin embargo, debido a que el rotor es un circuito inductivo, el valor pico de la corriente está en atraso con el valor pico del voltaje (figura 2.4). La circulación de corriente por los devanados del rotor, produce un campo magnético Br, el cual tiene la dirección dada por la regla de la mano derecha: si se rodea una bobina con la mano derecha, de tal manera que los dedos queden en la dirección en que circula la corriente, entonces el dedo pulgar indicará la dirección del campo magnético resultante.

Figura 2.5 (a) Regla de la mano derecha. (b) Generación del campo magnético en el rotor

En condiciones normales de operación están presentes dos campos magnéticos en las máquinas de corriente alterna: un campo magnético en el circuito del rotor y otro campo magnético en el circuito del estator. La interacción de estos dos campos magnéticos produce el par electromagnético de la máquina, así como la cercanía de dos imanes permanentes ocasiona un par que los alinea. El par en la máquina está dado por:

ind R Skτ = ×B B (2.3) donde Kk µ= , K es una constante que depende de la construcción de la máquina y µ es la permeabilidad de la máquina. En la figura 2.6 se observa el campo magnético neto Bnet y la dirección del par sigue la regla de la mano derecha.

La dirección del par resultante va en dirección contraria a las manecillas del reloj y por lo tanto el rotor se acelera en esa dirección.

Bs

ω

IR

Figura 2.4 Corriente producida en el rotor

Circulación de la corriente por los devanados

Dirección del campo magnético

Br

Bs

ω

IR


18

Figura 2.6 Campo magnético neto

Bnet

Br

Bs

ω

θ

eind IR Existe un límite finito para la velocidad del

motor. Si el rotor del motor de inducción estuviera rotando a la velocidad síncrona, las barras del rotor estarían estacionarias con respecto al campo magnético y no habría voltaje inducido. Si eind fuera igual a 0, no habría corriente en el rotor ni tampoco campo magnético rotórico. Sin campo magnético rotórico, el par inducido sería cero y el rotor se frenaría como resultado de las pérdidas por rozamiento. En consecuencia, un motor de inducción puede acelerar hasta una velocidad cercana a la de sincronismo pero nunca puede alcanzarla por completo. 2.2 CONCEPTO DE DESLIZAMIENTO DEL ROTOR El voltaje inducido en el rotor depende de la velocidad del rotor con respecto a los campos magnéticos. En general se utilizan dos términos para definir el movimiento relativo del rotor con respecto a los campos magnéticos: la velocidad de deslizamiento y el deslizamiento. La velocidad de deslizamiento slω se define como la diferencia entre la velocidad síncrona y la velocidad del rotor, esto es:

sl s rω ω ω= − (2.4) donde:

sω Velocidad de los campos magnéticos en rad/s rω Velocidad mecánica del eje del motor en rad/s

El deslizamiento es la velocidad relativa expresada en una base por unidad o porcentaje y se define de la siguiente manera:

( ) ( )% 100%s r

s

s ω ωω−

= × (2.5)

Es posible expresar la velocidad mecánica del rotor en términos de la velocidad

sincrónica y del deslizamiento como: ( )1r ssω ω= − (2.6)

La frecuencia del rotor es directamente proporcional a la diferencia entre la velocidad

del campo magnético sω y la velocidad del rotor rω . Debido a que la velocidad síncrona se define de acuerdo con la ecuación (2.6), la frecuencia del rotor puede ser expresada como:

r sf sf= (2.7)

donde sf es la frecuencia del sistema de alimentación en hertz.

CAPITULO 2

19

Figura 2.7 (a) Devanados en el motor de inducción (b) Campo magnético debido a un devanando

2.3 CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN MOTOR DE INDUCCIÓN El circuito equivalente de un motor de inducción se desarrolla de manera similar al de un transformador, es decir existe un circuito primario y uno secundario acoplados por una relación efectiva de vueltas aeff y por el deslizamiento. A fin de obtener el modelo del motor de inducción se deben de tener en cuenta las pérdidas que ocurren en el motor real. Los principales aspectos que deben considerarse para la construcción del modelo son:

1. Pérdidas en el cobre. Son pérdidas por calentamiento resistivo en los devanados del estator y del rotor. Son proporcionales al cuadrado de la corriente respectiva en los devanados

2. Pérdidas por corrientes parásitas. Pérdidas por calentamiento resistivo en el núcleo

del estator. Son proporcionales al cuadrado del voltaje aplicado al motor. 3. Pérdidas por histéresis. Están relacionadas con los reordenamientos de los dominios

magnéticos en el núcleo durante cada semiciclo. 4. Flujo disperso. Son los flujos que escapan del núcleo y del rotor y pasan únicamente a

través de uno de los devanados del estator. Esta fuga de flujos produce autoinductancia en las bobinas del estator y del rotor.

El modelado de las pérdidas en el cobre son pérdidas resistivas tanto en el estator como

en el rotor. Se modelan disponiendo una resistencia Rs en el circuito del primario o del estator y una resistencia Rr en el circuito del secundario o del rotor.

El flujo magnético en el estator y en el rotor tiene dos componentes: flujo mutuo mφ y

de dispersión lsφ . Considérese el caso de un motor de dos polos y tres fases (figura 2.7a) y selecciónese sólo un devanado (figura 2.7b). Al circular corriente por dicho devanado, se producirá flujo magnético en el núcleo el cual tendrá una dirección contra horaria.

(a) (b)


20

Figura 2.8 Flujos en el estator

Sin embargo, no todo el flujo producido por la bobina recorre el núcleo pues algunas líneas de flujo abandonan el núcleo de hierro y pasan a través del aire. Así el flujo que atraviesa la bobina pero a las otras no se llama flujo disperso en cambio el flujo que atraviesa el núcleo y liga a los demás devanados se llama flujo mutuo. Esto se muestra en la figura 2.8 para una bobina. De acuerdo a la ley de Faraday, la variación de un campo magnético origina un voltaje inducido. Así, se tiene que el flujo de dispersión lsφ del devanado del estator produce un voltaje ( )lse t dado por:

( ) lsls s

de t Ndtφ

= (2.8)

De igual manera para el rotor, el flujo disperso lrφ

produce un voltaje inducido ( )lre t dado por:

( ) lrlr r

de t Ndtφ

= (2.9)

Puesto que la mayoría del recorrido de flujo

disperso es a través del aire y dado que la reluctancia del aire es constante, se puede utilizar la ecuación de la fuerza magnetomotriz que relaciona la reluctancia del medio y la corriente.

Así, se tiene para el estator:

Y ls = e ⋅ ls s sN Iφ = (2.10) y para el rotor :

Y lr = e ⋅ lr r rN Iφ = (2.11) donde:

Y ls, Y lr Fuerza magnetomotriz debida al flujo disperso del estator y rotor respectivamente

e Reluctancia del medio lsφ , lrφ Flujo disperso del estator y rotor, respectivamente

,s rN N Número de vueltas de la bobina del estator y rotor, respectivamente ,s rI I Corrientes del estator y rotor, respectivamente

Despejando los flujos de dispersión:

ls s sN Iφ = c (2.12)

lr r rN Iφ = c (2.13)

donde c = 1Be es la permeancia del camino del flujo.

Sustituyendo las ecuaciones (2.12) y (2.13) en (2.8) y (2.9) se obtiene:

Flujo disperso

Flujo disperso

CAPITULO 2

21

( ) 2lsls s s

de t N Ndtφ

= = c s ss

dI dILdt dt

= (2.14)

( ) 2lrlr r r

de t N Ndtφ

= = c r rr

dI dILdt dt

= (2.15)

donde sL y rL son las autoinductancias del estator y del rotor. Por consiguiente, el flujo disperso es modelado por una inductancia en el estator y otra en el rotor. La corriente de magnetización del núcleo también debe modelarse, pero para ello se debe analizar su efecto. De acuerdo a la ley de Faraday, el voltaje inducido en un campo magnético es descrito por:

( ) mind r

de t Ndtφ

= (2.16)

Si la ecuación (2.16) se soluciona para el flujo medio presente en el devanado del

estator, se obtiene:

1 ( )m ss

v t dtN

φ = ∫ (2.17)

Si el voltaje aplicado al estator esta dado por coss pv V tω= V, el flujo resultante es:

1 cos sinpm p

s s

VV t dt t

N Nφ ω ω

ω= =

⋅∫ (2.18)

Puesto que la curva de magnetización del núcleo relaciona el flujo y la fuerza

magnetomotriz, a partir de la ecuación (2.10), es posible conocer la corriente de magnetización. Esto se describe en la figura 2.9, donde se observa que fuera de la región lineal del núcleo, un pequeño flujo requiere mayor corriente de magnetización.

A partir del análisis de la curva de observa que la componente fundamental de la

corriente de magnetización se atrasa con respecto del voltaje aplicado a los devanados del estator en 90°, por lo tanto la corriente de magnetización puede modelarse por una reactancia XM conectada a través de la fuente de voltaje de estator.

El modelado de las pérdidas en el núcleo debidas al fenómeno de histéresis y corrientes

parásitas, se basa en el hecho de que estas pérdidas son proporcionales a dtdφ . Suponiendo que

el flujo en el núcleo es sinusoidal, al calcular la derivada se obtiene que las pérdidas en el núcleo están en fase con el voltaje aplicado al estator, por lo tanto, pueden ser modeladas por una resistencia RC.


22

Figura 2.9 Relación entre la fuerza magnetomotriz en el núcleo y la corriente requerida. (a) Flujo en el núcleo del estator. (b) Curva de magnetización del núcleo. (c) Corriente requerida

para mantener el flujo en el núcleo. El voltaje primario interno del estator Es está acoplado al secundario Er por un

transformador con relación efectiva de vueltas aeff. La relación efectiva de vueltas es fácil de determinar en un motor de rotor devanado. En el caso de un motor jaula de ardilla es difícil ver la relación efectiva de vueltas puesto que no hay devanados en el rotor. En este caso existe una relación efectiva de vueltas para el motor. El modelo final del motor de inducción se muestra en la figura 2.10.

Figura 2.10 Circuito equivalente del motor de inducción

Para obtener el circuito del rotor, se observa que en el motor de inducción, al aplicar voltaje a la bobinas del estator, se inducen voltajes en los devanados del rotor de la máquina. El voltaje generado depende del movimiento relativo entre los campos del estator y del rotor.

(a) (b)

(c)

jXs

RC

jXr

jXM Rr Es Er

Is

IM

Ir I2

+ +

– –

Rs

vs

CAPITULO 2

23

jXr = jsXr0 Ir

Er = sEr0 Rr

Figura 2.11 Circuito equivalente del rotor

El mayor movimiento relativo ocurre cuando el rotor se encuentra en estado estacionario (rotor detenido o bloqueado), de modo que en esta condición se induce el mayor voltaje y la mayor frecuencia. El mínimo voltaje y la mínima frecuencia ocurren cuando no hay movimiento relativo entre los campos, esto es cuando el rotor se mueve a la misma velocidad que el campo magnético del estator. La magnitud y frecuencia del voltaje inducido en el rotor a cualquier velocidad entre estos extremos es directamente proporcional al deslizamiento del rotor.

Si la magnitud del voltaje inducido en condiciones de rotor bloqueado es Er0, entonces

la magnitud del voltaje inducido a cualquier deslizamiento estará dada por la ecuación: 0r rE sE= (2.19)

y la frecuencia del voltaje inducido para cualquier valor de deslizamiento es:

0r rf sf= (2.20) donde 0rf es la frecuencia del voltaje del rotor cuando se encuentra bloqueado.

El rotor tiene tanto reactancia como resistencia. La resistencia no se ve afectada por el

deslizamiento. La reactancia depende de la inductancia del rotor, de la frecuencia del voltaje y de la corriente del rotor. Si la inductancia del rotor es Lr, la reactancia del rotor está dada por:

0

22(2 )

r r r r r

r

r

r

X L f LsfL

s fLsX

ω πππ

= ====

(2.21)

donde 0rX es la reactancia del rotor en condición de rotor bloqueado.

El circuito equivalente del rotor se muestra en la figura 2.11. El flujo de corriente se calcula como:

0

0

0

rr

r r

r

r r

r

rr

EIR jX

ER jsX

ER jXs

=+

=+

=+

(2.22)

De manera que es posible tratar todos los efectos del rotor debidos a la variación de la

velocidad del rotor como ocasionados por una impedancia variable alimentada por una fuente de voltaje constante Er0. Esto se muestra en la figura 2.12


24

jXs

RC jXM Es

Is I2= I’r +

–

Rs

'rRs

vs

'rjX

IC IM

Figura 2.12 Circuito equivalente del rotor con los efectos de la frecuencia expresados en la resistencia

En la práctica es más fácil trabajar con un modelo que represente los valores del rotor

referidos al estator. En un transformador normal los voltajes, las corrientes y las impedancias del lado secundario pueden ser referidas al lado primario mediante la relación efectiva de vueltas. La misma transformación puede ser realizada para el rotor del motor de inducción. La analogía del circuito del transformador con el circuito del motor se presenta en la tabla 2.1.

Tabla 2.1 Variables del motor referidas al estator

Transformador Motor de inducción Voltajes '

p s sV V aV= = '0r eff rE a E=

Corrientes ' sp s

II Ia

= = ' rr

eff

IIa

=

Impedancias ' 2s sZ a Z= ' 2

0r

r eff rRZ a jXs

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

De esta manera se define 2'r eff rR a R= y 2'r eff rX a X= . El circuito equivalente final por fase del motor de inducción corresponde a la figura 2.13.

Figura 2.13 Circuito equivalente del motor de inducción con el circuito del rotor referido al circuito del estator

En este capítulo se ha desarrollado un circuito equivalente del motor de inducción, el cual es útil para describir su desempeño en estado estable. Sin embargo, se tiene el inconveniente de que no es posible describir los transitorios eléctricos debidos a cambios en el par de carga, variaciones en la frecuencia o aplicar control vectorial, el cual es uno de los objetivos de la tesis. El modelado dinámico del motor de inducción se realizará en el siguiente capítulo.

jXR =Ir

ER = sER0 RrRs

0rjX

0rE

25

Figura 3.1 Modelo de un motor de inducción trifásico

Capítulo 3 ANÁLISIS DINÁMICO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN Con objeto de realizar un estudio exhaustivo del motor de inducción, es necesario conocer su comportamiento dinámico, por lo tanto, a continuación se abordará el análisis y desarrollo de los modelos dinámicos del motor de inducción más utilizados. Se finaliza con el desarrollo de un modelo que no se encuentra presente en la literatura, el cual es utilizado en el capitulo cinco para realizar las acciones de detección y localización de fallas en el motor de inducción. 3.1 MODELO TRIFÁSICO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN

Las ecuaciones de voltaje del motor de inducción tipo jaula de ardilla mostrado en la figura 3.1 son las siguientes [21]

Ecuaciones de voltaje en el estator

asas as s

bsbs bs s

cscs cs s

dv I Rdt

dv I Rdt

dv I Rdt

λ

λ

λ

= +

= +

= +

(3.1)

Ecuaciones de voltaje en el rotor

0

0

0

arar r

brbr r

crcr r

dI Rdt

dI Rdt

dI Rdt

λ

λ

λ

= +

= +

= +

(3.2)

eje cs

eje br

eje ar

eje bs

eje cr

eje as

as

bs

as'

cs

bs'

cr'

cs'

brar’

cr

br'ar

ωr

θr


26

donde: , ,as bs csI I I Corrientes de los devanados de las fases del estator , ,ar br crI I I Corrientes de los devanados de las fases del rotor , ,as bs csv v v Voltajes de alimentación aplicados a los devanados de estator , ,as bs csλ λ λ Enlaces de flujo de los devanados del estator , ,ar br crλ λ λ Enlaces de flujo de los devanados del rotor

sR , rR Resistencias de los devanados de estator y rotor, respectivamente Los enlaces de flujo es forma matricial se expresan por:

2 2cos cos cos

3 32 2

cos cos cos3 3

2 2cos cos

3 3

sm sm

sm smas

bs

sm smcs

ar

br

cr

L L L L Lss sr r sr r sr rls

L L L L Lss sr r sr r sr rls

L L L Lss sr r sr rls

L L

L L

L L

π πθ θ θ

π πθ θ θ

π πθ θ

λλλλλλ

+ + −

+ − +

+ + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

cos

2 2cos cos cos

3 32 2

cos cos cos3 3

2 2cos cos cos

3 3

rm rm

rm rm

rm rm

Lsr r

L L L L Lsr r sr r sr r rrlr



L L

L L

L L

θ

π πθ θ θ

π πθ θ θ

π πθ θ θ

− + +

+ − +

− + +

⎡ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎟

⎠⎢⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

as

bs

cs

ar

br

cr

IIIIII

⎥⎥⎥ ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎥⎥⎥⎥

(3.3) donde:


rrss L,L Autoinductancias o inductancias propias de los devanados de estator y rotor, respectivamente

rmsm L,L Inductancias mutuas entre los devanados de estator y rotor, respectivamente

srL Valor pico de las inductancias mutuas estator – rotor

rθ Desplazamiento angular del rotor Sin embargo, al referir las variables del rotor con respecto al estator en función de la

inductancia de magnetización del estator, la matriz de inductancias de la ecuación (3.3) resultante es:

1 12 2

1 12 2

1 12 2

2 2´ ' ' ' cos ' cos ' cos

3 32 2

' ' ' ' cos ' cos ' cos3 3

2 2' ' ' ' ' cos ' cos

3 3

L L L L L L Lms ms ms ms r ms r ms rls

L L L L L L Lms ms ms ms r ms r ms rls

L L L L L Lms ms ms ms r ms rlsL

π πθ θ θ

π πθ θ θ

π πθ θ

+ − − + −

− + − − +

− − + + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

1 12 2

1 12 2

12

' cos

2 2' cos ' cos ' cos ' ' ' '

3 32 2

' cos ' cos ' cos ' ' ' '3 3

2 2' cos ' cos ' cos

3 3

L ms r

L L L L L L Lms r ms r ms r ms ms mslr

L L L L L L Lms r ms r ms r ms ms mslr

L L Lms r ms r ms r

θ

π πθ θ θ

π πθ θ θ

π πθ θ θ

− + + − −

+ − − + −

− + −

⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

12

' ' ' 'L L L Lms ms mslr− +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.4)

CAPITULO 3

27

donde 'msL es la inductancia de magnetización y 'lrL es la inductancia de dispersión del rotor, ambas referidas al estator.

La ecuación para el subsistema mecánico en términos del par electromecánico eτ es:

re r L

dJ Bdtωτ ω τ= + + (3.5)

donde: J Inercia del rotor B Coeficiente de fricción viscosa en N⋅m⋅s / rad

rω Velocidad mecánica angular del rotor en rad / s

Lτ Par de la carga Las ecuaciones (3.1) y (3.2) se pueden escribir como:

dv RIdtλ

= + (3.6)

donde: [ ]Tcsbsas vvvv 000=

[ ]Tas bs cs ar br crλ λ λ λ λ λ λ=

[ ]Tas bs cs ar ar arI I I I I I I= 0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

s

s

s

r

r

r

RR

RR

RR

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R

Es decir, I es el vector de corrientes de los devanados del estator y del rotor, R es la

matriz de resistencias de los devanados del estator y del rotor y v es el vector de voltajes del estator y rotor, donde los voltajes correspondientes al rotor son iguales a cero debido a que se considera un motor jaula de ardilla.

A fin de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales para la corriente, se obtiene la

derivada de los enlaces de flujo dados por la ecuación: LIλ = (3.7)

esto es:

d dL dII Ldt dt dtλ= + (3.8)

Sustituyendo la ecuación (3.8) en (3.6) y despejando dILdt

se obtiene:

dI dLL RI I vdt dt

= − − + (3.9)


28

El término dLdt

se puede expresar como:

rp r

r r

dL dL d dL ndt d dt d

θ ωθ θ

= ⋅ = ⋅ (3.10)

donde pn representa el número de pares de polos del motor y rω es la velocidad mecánica del rotor. De esta forma la ecuación (3.9) se expresa como:

p rr

dI dLL R n I vdt d

ωθ

⎡ ⎤= − + ⋅ +⎢ ⎥

⎣ ⎦ (3.11)

es decir: 2 2

sen sen sen3 3

2 2sen sen sen

3 32 2

sen sen sen3 3

sen sen

0 0

0 0

0 0

as

bs

cs

ar

br

cr

R K K Ks r r r

R K K Ks r r r

R K K Ks r r r

K Kr r

III

LIII

ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω

ω ω

π πθ θ θ

π πθ θ θ

π πθ θ θ

θ θ

− + −

− − +

− + −

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⋅ =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2sen

3 32 2

sen sen sen3 3

2 2sen sen sen

3 3

0 0

0 0

0 0

as

bs

cs

ar

br

cr

as

K Rr r

K K K Rr r r r

K K K Rr r r r

IIIIII

vv

ω

ω ω ω

ω ω ω

π πθ

π πθ θ θ

π πθ θ θ

+ −

+ − −

− + −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

+000

bs

csv

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.12) donde L está dada por la ecuación (3.4) y 'r msK n p Lω ω=

Al despejar la derivada de las corrientes, es posible resolver la ecuación (3.12)

numéricamente. Se simuló el motor de inducción con los parámetros dados en la tabla 3.1.

Tabla 3.1 Parámetros del motor de inducción PARÁMETRO VALOR UNIDADES

Número de polos 4 - Frecuencia 60 Hertz Voltaje de entrada 220 Volts Resistencia del estator 0.435 Ohms Resistencia del rotor 0.816 Ohms Reactancia del estator 0.754 Ohms Reactancia del rotor 0.754 Ohms Reactancia mutua 26.13 Ohms Par de la carga 11.9 N⋅m Inercia del motor 0.089 Kg⋅m2

CAPITULO 3

29

Figura 3.2 (a) Corrientes en el estator y rotor (b) curva par-velocidad

En la figura 3.2a se muestra el comportamiento de las corrientes y en la figura 3.2b la curva par-velocidad.

3.2 MODELO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN BAJO LA TEORÍA DEL MARCO DE

REFERENCIA La teoría del marco de referencia simplifica el modelo del motor de inducción. Se trata

de una transformación de variables que permite expresar las tres fases del motor de inducción en su equivalente a dos fases.

La transformación de variables de tres a dos fases de los elementos de un circuito

estacionario a un marco de referencia que gira a una velocidad arbitraria se expresa como: [21] ( )0qd c abcf T fθ= (3.13)

donde: ( )0 0

Tqd q df f f f= ⎡ ⎤⎣ ⎦ (3.14)

( ) [ ]Tabc a b cf f f f= (3.15)

( )

2 2cos cos cos3 3

2 2 2sen sen sen3 3 3

1 1 12 2 2

c c c

c c c cT

π πθ θ θ

π πθ θ θ θ

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.16)

cθ Desplazamiento angular del marco de referencia , ,a b c Variables trifásicas ,q d Variables bifásicas

f Variable que puede representar corrientes, flujos o voltajes

(a) (b)


30

El factor 2/3 se integra en la transformación para que las cantidades trifásicas y bifásicas tengan la misma magnitud. La transformación se representa geométricamente en la figura 3.3.

Figura 3.3Transformación de tres a dos fases

La velocidad de rotación del marco de referencia está dada por cω y se relaciona con el

desplazamiento cθ mediante:

( )0c c cdtθ ω θ= +∫ (3.17)

Al aplicar la transformación a la matriz de inductancias de la ecuación (3.4) se obtiene:

0 0

0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0

qs qs

ds ds

s s

qr qr

dr dr

r r

LlsLls

LlsLlr

LlrLlr

IM MIM MI

M M IM M I

I

λλλλλλ

+

+

+

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.18)

donde: M Inductancia de magnetización

lrls LL , Inductancias de dispersión de los devanados de estator y rotor respectivamente

0, ,qs ds sI I I Corrientes de los devanados del estator en el marco de referencia arbitrario

0, ,qr dr rI I I Corrientes de los devanados del rotor en el marco de referencia arbitrario

0, ,qs ds sλ λ λ Enlaces de flujo de los devanados del estator en el marco de referencia arbitrario

0, ,qr dr rλ λ λ Enlaces de flujo de los devanados del rotor en el marco de referencia arbitrario

Se observa que al aplicar la transformación, la matriz de inductancias se convierte en una matriz constante, lo que simplifica la ecuación del motor. La matriz de resistencias, al ser diagonal, permanece sin cambio.

Las variables del motor, es decir, enlaces de flujo, corrientes y voltajes, están dadas en

función del desplazamiento angular eléctrico eθ , el cual es distinto del desplazamiento angular mecánico rθ . Ambos desplazamientos se relacionan mediante la ecuación:

CAPITULO 3

31

e p rnθ θ= (3.19) donde pn es el número de pares de polos.

La ecuación del par se expresa en términos de la velocidad mecánica como:

re r L

dJ Bdtωτ ω τ= + + (3.20)

y en términos de la velocidad eléctrica como:

2 2ee e L

dJ BP dt P

ωτ ω τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.21)

A partir de las dos últimas ecuaciones se despeja la derivada de la velocidad y se

obtiene:

( )e r Lr Bddt J

τ ω τω − −= (3.22)

12 2

ee e L

d P PBdt Jω τ ω τ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

(3.23)

El hecho de seleccionar una u otra expresión dará lugar a modelos distintos pero

equivalentes. Esto es, si se resuelve la ecuación de la velocidad del rotor en términos mecánicos, para ser congruente con las ecuaciones eléctricas, debe de ser convertida a su equivalente eléctrico multiplicándola por el número de pares de polos, sin embargo, si se resuelve en términos eléctricos, no es necesaria la conversión.

Al aplicar la transformación (3.16) al modelo del motor dado por (3.1) y (3.2) se obtiene:

( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

0 00 0

0 0 0 0 00 00 0

0 0 0 0 0

qs s s c s c qs

qs p c s s s c qs

s s ls s

qr c p r r r c p r r qr

dr c p r c p r r r r dr

r ls r

v R L p L Mp M Iv n L R L p M Mp Iv R L p Iv Mp n M R L p n L Iv n M Mp n L R L p Iv L p I

ω ωω ω

ω ω ω ωω ω ω ω

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

(3.24)

donde:

cω Velocidad de rotación del marco de referencia

rω Velocidad de rotación del eje del motor

pn Número de pares de polos

p Operador diferencial ddt

A continuación, se resuelve el modelo del motor de inducción dado por la ecuación

(3.24) en función de las corrientes. El procedimiento es el siguiente:


32

La matriz de impedancias de la ecuación (3.24) se puede descomponer en dos matrices, una matriz cuyos elementos son los afectados por el operador diferencial p y otra cuyos elementos son los restantes, entonces la ecuación (3.24) se convierte en:

( ) ( )

00

00

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0

0 0 00 0 0

0 0 0 0 00 0

s qsqs

s dsds

ls ss

r qrqr

r drdr

lr rr

s p c s p c

p c s s p c

s

p c r r p c r

L M IvL M Iv

L Ivp

M L IvM L Iv

L IvR n L n M

n L R n MR

n M R n

ω ωω ω

ω ω ω ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

− −

+− −

( ) ( )

0

0

00 0 0

0 0 0 0 0

qs

ds

s

qrr

drp c r p c r r r

rr

IIIILIn M n L RIR

ω ω ω ω

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.25)

En forma matricial se expresa como:

p= +

= +

u P X QXu PX QX

(3.26)

despejando X resulta:

( )1

1 1

−

− −

= − +

= − +

= − +

PX QX uX P QX u

X P QX P u

(3.27)

La matriz P se define como:

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

s ls

s ls

ls ls

r lr

r lr

lr lr

L M L M ML M L M M

L LM L M L M

M L M L ML L

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

P (3.28)

donde: sL Inductancia de los devanados del estator

rL Inductancia de los devanados del rotor

Los demás términos ya fueron definidos. La inversa de P está dada por:

CAPITULO 3

33

1 2

1

1 2

1 2

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

r lr

r lr

ls ls

s ls

s ls

lr lr

L M L M ML M L M M

D DL L

M L M L MD DM L M L M

D DL L

−

− + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

P (3.29)

donde: 2

1 s rD L L M= − ( )( ) 2

2 ls lrD L M L M M= + + −

Sustituyendo la ecuación (3.29) en la ecuación (3.27), tomando 1D D= y desarrollando resulta:

( )( )

00

00

2

2

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0 01

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

1

r

qsqs r

dsds

ls ss

qrsqr

drsdr

rr

lr

s p c r p r r

p c r s

L MII L MII D

L IIIM LDIIM LIIDI

L

R n D M n L Mn D M R

D

ω ω ωω ω

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

− − −+

+( )

( )

0

0

0

0 00 0

0 0 00 00 0 0 0 0 1

0 0 00 0

0 0 00 0

0 0 0 0 00 0 0

rqs

rdsp r r

qsss

ls dsqrp r s r p c r s r

sdrp r s p c r s r s

rs

LI

LIn L M

vDIR L vI Dn L M R n D L L

M vIn L M n D L L R

MIR

ω

ω ω ωω ω ω

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎥

(3.30)

Si se hace 0cω = , es decir, se elige el marco de referencia fijo al estator y se prescinde

de la secuencia cero, la ecuación (3.30) se reduce a la expresada en (3.31), en donde se ha incluido la ecuación mecánica.

( )( )( )

2

2

/

/

/

r s qs p r ds r qr p r r dr r sq

qsp r qs r s ds p r r qr r dr r sd

ds

s qs p r s ds s r qr p r s r dr sqqr

p r s qs s ds p r s r qr sdr

r

L R I n M I MR I n L MI L v DI n M I L R I n L MI MR I L v DI

MR I n L MI L R I n L L I Mv DIn L MI MR I n L L I LI

ω ω

ω ω

ω ω

ω ωω

− − + − +⎡ ⎤ − + + +⎢ ⎥⎢ ⎥

+ − + −⎢ ⎥ =⎢ ⎥

− + − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) /r dr sd

p p Lqs dr ds qr

R I Mv D

n M n M B TI I I IJ J J J

ω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.31)

Una vez resuelto el sistema en función de corrientes, se simuló en MATLAB/Simulink.

El esquema de simulación se muestra en la figura 3.4. Se observa que al elegir la velocidad del marco de referencia fijo al rotor, la velocidad mecánica debe de ser convertida a su equivalente eléctrico en rad/s.


34

Figura 3.4 Esquema de simulación de la ecuación (3.30)

En las figuras 3.5 a 3.10 se presentan los voltajes de alimentación y las corrientes del

estator y rotor en los distintos marcos de referencia. Los voltajes trifásicos de alimentación solo se muestran en la figura 3.5 puesto que son iguales para todos los marcos de referencia.


Figura 3.5 Voltajes de alimentación al estator en el marco de referencia fijo al estator

Figura 3.7 Voltajes de alimentación al estator en el marco de referencia fijo al rotor

Figura 3.8 Corrientes del estator y rotor en el marco de referencia fijo al rotor

CAPITULO 3

35

3.2.1 Cálculo de las variables del motor de inducción en estado estable El cálculo de los valores de las variables del motor de inducción en estado estable es

necesario, pues al estabilizar los observadores utilizados en el diagnóstico, parte del diseño incluye la selección de un punto de operación. La obtención de las corrientes en estado estable parte de la ecuación (3.24) que a continuación se vuelve a presentar

( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

0 00 0

0 0 0 0 00 00 0

0 0 0 0 0

qs s s c s c qs

qs p c s s s c qs

s s ls s

qr c p r r r c p r r qr

dr c p r c p r r r r dr

r ls r

v R L p L Mp M Iv n L R L p M Mp Iv R L p Iv Mp n M R L p n L Iv n M Mp n L R L p Iv L p I

ω ωω ω


+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Puesto que se considera el motor de inducción simétrico, la secuencia cero es

despreciada. Se consideran los voltajes de alimentación senoidales y cosenoidales dados por las ecuaciones (3.32) y (3.33) [22]:

sen2sen3

2sen3

p s

abc p s

p s

V t

V V t

V t

ωπω

πω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎝ ⎠⎦

(3.32)

cos2cos3

2cos3

p s

abc p s

p s

V t

V V t

V t

ωπω

πω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎝ ⎠⎦

(3.33)

donde abcV es el vector de voltajes de fase, pV es el voltaje pico y sω es la frecuencia de la línea de alimentación.

Figura 3.10 Corrientes del estator y rotor en el marco de referencia síncrono

Figura 3.9 Voltajes de alimentación al estator en el marco de referencia síncrono


36

A continuación se lleva a cabo la transformación de tres a dos fases equivalentes en las variables del marco de referencia de acuerdo a la ecuación (3.13). En el marco de referencia fijo al estator, los voltajes transformados resultantes son:

0

sencos

0

p s

qd p s

V tV V t

ωω

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.34) 0

cossen0

p s

qd p s

V tV V t

ωω

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.35)

respectivamente para cada una de las alimentaciones y cω es igual a cero.

Puesto que el eje q de las nuevas variables se orienta con la fase a del sistema trifásico,

se tiene en fasores: sen 0qs as p s p pv v V t V Vω= = = ∠ ° = (3.36) cos 90ds p s p pv V t V jVω= = ∠ ° = (3.37)

En estado estable, la frecuencia de las corrientes es la frecuencia de la fuente de

alimentación al estator sω , por lo tanto, el operador diferencial es equivalente a: sp jω= (3.38)

y los voltajes en el rotor son cero, esto es: 0qr drv v= = (3.39)

Sustituyendo las ecuaciones (3.36) a (3.39) en la ecuación (3.24) y prescindiendo de la

secuencia cero se tiene:

0 00 0

00

s s s s qsp

s s s s dsp

s r r s r r r qr

r s r r r s r dr

R j L j M IVR j L j M IjV

j M M R j L L IM j M L R j L I

ω ωω ω


+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =

− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.40)

Las anteriores consideraciones producen el mismo resultado si se consideran voltajes de

alimentación cosenoidales. Así también, es posible determinar el estado estable de las corrientes en los demás

marcos de referencia, por ejemplo, al realizar los cálculos en el marco de referencia síncrono, los voltajes de alimentación transformados son:

0

0

0qd pV V

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.41) 0 00

p

qd

VV

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.42)

para las alimentaciones senoidal y cosenoidal respectivamente.

CAPITULO 3

37

Debido a que los voltajes de estator son cantidades constantes, la respuesta dinámica del sistema también lo será, esto es:

0qs ds qr drpI pI pI pI= = = = (3.43) Al sustituir las relaciones anteriores en la ecuación (3.24) se tiene:

( ) ( )

( ) ( )

000

0000

s s s s qs

s s s s dsp

s r r s r r qr

s r s r r r dr

R L M IL R M IV

M R L IM L R I

ω ωω ω


⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =

− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(3.44)

Por último, en el marco de referencia fijo al rotor, la frecuencia de los voltajes de

alimentación está dada por la frecuencia de deslizamiento que es s rω ω− . Al aplicar la transformación a los voltajes de alimentación senoidal y cosenoidal se obtiene:

( )( )

0

sencos

0 0

q p s r p

d p s r p

v V t jVv V t Vv

ω ωω ω

− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(3.45) ( )( )

0

cossen

0 0

q p s r p

d p s r p

v V t jVv V t Vv

ω ωω ω− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(3.46)

En el marco de referencia fijo al rotor los voltajes de estator aparecen a la frecuencia de

deslizamiento, por lo tanto las corrientes están a la frecuencia de deslizamiento en estado estable. Al sustituir ( )s rp j ω ω= − y (3.45) en el sistema de ecuaciones (3.24) se obtiene:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )0 00

0 00

s s r s r s s r s r qsp

r s s s r s r s r s dsp

s r r s r r qr

r r s r r dr

R j L L j L M M IjVL R j L M j L M IV

j M R j L Ij M R j L I

ω ω ω ω ω ωω ω ω ω ω ω

ω ω ω ωω ω ω

+ − −− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − + − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =

− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(3.47)

Para resolver las ecuaciones (3.40), (3.44) y (3.47) en función de las corrientes de

estator y rotor, se invierte la matriz de impedancias de cada ecuación y se premultiplica por el vector de voltajes de entrada, es decir:

1I v−= Z (3.48)

Al simular los modelos obtenidos mediante el procedimiento descrito en el párrafo

anterior, se obtiene la misma respuesta que el modelo dinámico cuando éste alcanza el estado estacionario. En la figura 3.11 se muestran las corrientes de estator de la respuesta dinámica y estacionaria en el marco de referencia fijo al estator. En la figura 3.12 se presenta la correspondiente evolución de las corrientes de estator en el marco de referencia fijo al rotor y por último en la figura 3.13 se muestran las corrientes de estator en el marco de referencia sincrónico.


38

3.3 MODELO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN EN FUNCIÓN DE CORRIENTES Y

FLUJOS EN EL MARCO DE REFERENCIA FIJO AL ESTATOR

Los ejes de coordenadas en el marco de referencia fijo al rotor qd se muestran en la figura 3.14. Los ejes giran a una velocidad p rn ω donde pn es el número de pares de polos de la máquina y rω es la velocidad angular mecánica del rotor. Los ejes fijos ab corresponden al marco de referencia fijo al estator [23].

Las ecuaciones de transformación entre el sistema de ejes fijos y el sistema de ejes

giratorios están dadas por:

cos sensen cos

a qb d

δ δδ δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.49)

Figura 3.13 Respuesta dinámica y estacionaria de las corrientes del estator en el marco de referencia síncrono

Figura 3.11 Respuesta dinámica y estacionaria de las corrientes del estator en el marco de

referencia fijo al estator

Figura 3.12 Respuesta dinámica y estacionaria de las corrientes del estator en el marco de

referencia fijo al rotor

CAPITULO 3

39

Figura 3.14 Transformación de coordenadas Las ecuaciones dinámicas del motor de inducción en el marco de referencia fijo al

estator son:

sas sa sa

dR I vdtλ

+ = (3.50)

sbs sa sb

dR I vdtλ

+ = (3.51)

0rdr rd

dR Idtλ

+ = (3.52)

0rqr rq

dR Idtλ

+ = (3.53)

En donde R, I,λ y v representan resistencia, corriente, enlaces de flujo y voltaje de

entrada al estator. Los subíndices r y s indican variables de rotor y estator respectivamente. Los subíndices a y b se refieren a las componentes del vector en el marco de referencia fijo al estator y los subíndices d y q se refieren a las componentes del vector en el marco de referencia fijo al rotor.

Para transformar las variables del rotor al marco de referencia fijo al estator se resuelve

la ecuación (3.49) para los ejes qd, dando como resultado:

cos sensen cos

q ad b

δ δδ δ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.54)

Aplicando la ecuación (3.54) a las corrientes del motor:

cos sensen cos

q a

d b

I II I

δ δδ δ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.55)

y para los enlaces de flujo:

cos sensen cos

q a

d b

λ δ δ λλ δ δ λ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.56)

δ

δ

a

b

q

dp rnω


40

Sustituyendo las ecuaciones (3.55) y (3.56) en la ecuación (3.52) se obtiene:

( ) ( )

( ) ( )

cos sen cos sen 0

cos sen cos sen 0

cos sen cos cos sen sen 0

cos sen sen cos cos

r ar br ar br

r ar r br ar br

ar brr ar r br ar br

arr ar r br p r ar p r br

dR I Idtd dR I R Idt dt

d d d dR I R Idt dt dt dt

dR I R I n ndt

δ δ λ δ λ δ

δ δ λ δ λ δ

λ λδ δ λ δ δ λ δ δ

λδ δ ω λ δ δ ω λ δ

− + − =

− + − =

− + + − − =

− − + − sen 0brddtλδ− =

(3.57)

Sustituyendo ahora (3.55) y (3.56) en (3.53) se obtiene:

( ) ( )

( ) ( )

sen cos sen cos 0

sen cos sen cos 0

sen cos sen sen cos cos 0

sen cos cos sen sen

r ar br ar br

r ar r br ar br

ar brr ar r br ar br

arr ar r br p r ar p r br

dR I Idtd dR I R Idt dt

d d d dR I R Idt dt dt dt

dR I R I n ndt

δ δ λ δ λ δ

δ δ λ δ λ δ

λ λδ δ λ δ δ λ δ δ

λδ δ ω λ δ δ ω λ δ

+ + + =

+ + + =

+ + + + + =

+ + + − cos 0brddtλδ+ =

(3.58)

Multiplicando la ecuación (3.57) por δcos , la ecuación (3.58) por senδ y sumando

ambas ecuaciones resulta:

2 2 2

2 2 2

cos sen cos sen cos cos cos sen cos 0

sen sen cos sen cos sen sen sen cos 0

0

r

ar brr ar r br p r ar p br

ar brr ar r br p r ar p r br

arr ar p r br

d dR I R I n ndt dt

d dR I R I n ndt dt

dR I ndt

λ λδ δ δ ω λ δ δ δ ω λ δ δ δ


λ ω λ

− − + − − =

+ + + − + =

+ − =

(3.59) Multiplicando la ecuación (3.57) por senδ− , la ecuación (3.58) por cosδ y sumando

ambas ecuaciones se tiene:

2 2 2

2 2 2

sen cos sen sen sen cos sen cos sen 0

sen cos cos cos sen cos sen cos cos 0

0



brr br p r ar

d dR I R I n ndt dt

d dR I R I n ndt dt

dR I ndt



λ ω λ

− + + − + + =

+ + + − + =

+ + =

(3.60)

Al aplicar la transformación, las ecuaciones dinámicas del rotor ya no están referidas al sistema de ejes giratorios qd, sino que ahora están referidas a los ejes fijos ab del estator.

CAPITULO 3

41

En un circuito magnético lineal los enlaces de flujo y las corrientes están relacionados por:

0 00 0

0 00 0

as s as

bs s bs

ar r ar

br r br

L M IL M I

M L IM L I

λλλλ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.61)

Esta condición de linealidad será forzada por una acción de control, la cual mantendrá

el valor absoluto del flujo en un determinado valor dado como referencia. El propósito de introducir la transformación (3.49) es precisamente para obtener (3.61) la cual es independiente de δ .

De acuerdo a (3.61) se tiene:

ar asar

r

MIIL

λ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.62)

br bsbr

r

MIIL

λ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.63)

Sustituyendo arI en asλ de (3.61)

2

as s as ar

ar ass as

r

s as arr r

L I MIMIL I M

LM ML IL L

λλ

λ

= +−⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.64)

Sustituyendo brI en bsλ de (3.61)

2

bs s bs br

br bss bs

r

s bs brr r

L I MIMIL I M

LM ML IL L

λλ

λ

= +−⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.65)

Sustituyendo (3.64) en la ecuación (3.50)

2

2

s as s as ar asr r

as ars as s as

r r

d M MR I L I vdt L L

M dI M dR I L vL dt L dt

λ

λ

⎡⎛ ⎞ ⎤+ − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣⎝ ⎠ ⎦⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.66)

Sustituyendo (3.65) en la ecuación (3.51)


42

2

2

s bs s bs br bsr r

bs brs bs s bs

r r

d M MR I L I vdt L L

M dI M dR I L vL dt L dt

λ

λ

⎡⎛ ⎞ ⎤+ − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣⎝ ⎠ ⎦⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.67)

Sustituyendo arI en (3.59)

0

0

ar as arr p r br

r

r r arar as p r br

r r

MI dR nL dt

R R M dI nL L dt

λ λ ω λ

λλ ω λ

−⎛ ⎞ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

− + − = (3.68)

Sustituyendo rbI en (3.60)

0

0

br bs brr p r ar

r

r r brbr bs p r ar

r r

MI dR nL dt

R R M dI nL L dt

λ λ ω λ

λλ ω λ

−⎛ ⎞ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

− + + = (3.69)

Despejando arddtλ y brd

dtλ de (3.68) y (3.69)

ar r rar as p r br

r r

d R R M I ndt L Lλ λ ω λ= − + + (3.70)

br r rbr bs p r ar

r r

d R R M I ndt L Lλ λ ω λ= − + − (3.71)

Despejando asdIdt

en (3.66) y sustituyendo (3.70)

2

2 2

2

2 2

2 2

1

11

as r rs s as ar as p r br as

r r r r

pas r rs s as ar as r br as

s r r r r

p ras s r ras ar as br

s r s s r s r s r s

dIM M R R ML R I I n vL dt L L L

MndIM R M R ML R I I vL L dt L L L

MndI RM R M R MI IL L dt L L L L L L L L

λ ω λ

λ ω λ

ωλ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − − − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞− = − + − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞− = − + − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠asv

(3.72)

haciendo2

1s r

ML L

σ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ y dividiendo ambos miembros entre este término se tiene:

CAPITULO 3

43

2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

1

1

1

as s r r p ras ar as br as

s s r s r s r s

r s r p rar as br as

s r s s r s r s

r s r r par as r br as

s r s r s r s

dI R R M R M MnI I vdt L L L L L L L L

R M R R M MnI vL L L L L L L L

R M R L R M MnI vL L L L L L L

ωλ λσ σ σ σ σ

ωλ λσ σ σ σ σ

λ ω λσ σ σ σ

= − + − − +

⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

+⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.73)

Despejando bsdIdt

de (3.67), sustituyendo (3.71) y realizando un procedimiento similar

se obtiene:

2

2 2

1bs r s r r pbr bs r ar bs

s r s r s r s

dI R M R L R M MnI vdt L L L L L L L

λ ω λσ σ σ σ

+⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.74)

A fin de determinar el par desarrollado por el motor se determina la potencia total

instantánea [29]:

( )' ' ' ' ' '0 0 0 0

3 2 22

in as as bs bs s s ar ar br br r rv i v i v i v i v i v i= + + + + +P (3.75)

De la anterior ecuación se obtiene el par electromagnético desarrollado por la máquina,

el cual está dado por:

( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( )[ ]

( )[ ]

( )

( )

3232323232

pe as bs bs as r ar br br ar

r

pas bs bs as r bs as as bs

r

pr as bs bs as

r

p as bs bs as

p ar bs br as

nT I I I I

n I I I I

n I I

n I I

n M I I I I

ω λ λ ω ω λ λω

ω λ λ ω ω λ λω

ω λ λω

λ λ

= − + − −

= − + − −

= −

= −

= −

(3.76)

Sustituyendo (3.62) y (3.63) en (3.76)

( )

( )

323232

ar as br bse p bs as

r r

p ar bs as bs br as bs asr

p ar bs br asr

MI MIT n M I IL L

Mn I MI I I MI ILMn I IL

λ λ

λ λ

λ λ

− −⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞= −⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

= − − +

= −

(3.77)


44

Sustituyendo la ecuación (3.77) en (3.22) se obtiene la ecuación dinámica de la velocidad. Agrupando las ecuaciones (3.70), (3.71), (3.73), (3.74) junto con la ecuación de la velocidad se obtiene el modelo del motor de inducción en función de corrientes de estator y flujos de rotor. Puesto que no queda ambigüedad alguna sobre las variables obtenidas, los subíndices s y r que indican variables de estator y rotor se desprecian, quedando una ecuación de la forma:

( )r La b b a r

d B TI Idt J Jω µ λ λ ω= − − − (3.78)

aa p r b a

d n MIdtλ αλ ω λ α= − + + (3.79)

bp r a b b

d n MIdtλ ω λ αλ α= − − + (3.80)

1aa p r b a a

s

dI n I vdt L

αβλ β ω λ γσ

= − − + (3.81)

1bp r a b b b

s

dI n I vdt L

β ω λ αβλ γσ

= + − + (3.82)

donde:

2 2

2

32

r s r rp

r r s r s r

M R M R L R MnJL L L L L L

µ α β γσ σ

+= = = = (3.83)

El modelo del motor de inducción dado en las ecuaciones anteriores se simuló en

MATLAB/Simulink con los parámetros del motor dados en la tabla 3.1. En la figura 3.15a se muestra la velocidad alcanzada y el par generado por el rotor. En la figura 3.15b se muestra la evolución de las corrientes en los devanados del estator y la dinámica de los flujos del rotor.

(a)

Figura 3.15 (a) Velocidad y par alcanzado por el rotor (b) Corrientes en los devanados de estator y flujos en el rotor

(b)

CAPITULO 3

45

3.4 MODELO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN EN FUNCIÓN DE CORRIENTES Y

FLUJOS EN EL MARCO DE REFERENCIA FIJO AL ROTOR

A partir del modelo fijo al estator es posible obtener el modelo fijo al rotor por medio de una transformación de coordenadas. La transformación se obtiene de las proyecciones de los ejes fijos al estator sobre un marco de referencia que gira a la velocidad del campo magnético del rotor [18]. Esto se observa en la figura 3.16.

Figura 3.16 Proyección de los ejes del marco de referencia fijo al estator sobre el marco de

referencia fijo al rotor

Suponiendo que se trata de corrientes, se tiene que:

cos cos

2cos sen

a bq

a b

I II

I I

πρ ρ

ρ ρ

⎛ ⎞− −= ⎜ ⎟⎝ ⎠

= − (3.84)

cos cos

2sen cos

d a b

a b

I I I

I I

π ρ ρ

ρ ρ

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + (3.85)

En forma matricial se tiene: qd qd abI T I= (3.86)

donde: q

qdd

II

I⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

aab

b

II

I⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

cos sensen cosdqT

ρ ρρ ρ

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

La transformación dqT obtenida también es válida para voltajes y flujos.

La magnitud de las variables es independiente dentro de la transformación, por

ejemplo, si se trata del flujo del rotor, se tiene:

2 2 2 2a b d qλ λ λ λ λ= + = + (3.87)

La relación anterior se puede observar en la figura 3.17.


46

Si el eje d se orienta con la magnitud del flujo, como se aprecia en la figura 3.18, se

obtienen las siguientes relaciones:

2 2

0d a b

q

λ λ λ λλ

= = +

= (3.88)

1tan a

b

λρλ

− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.89)

cos bλρλ

= (3.90)

sen aλρλ

= (3.91)

De esta manera, las ecuaciones (3.84) y (3.85) adquieren una nueva expresión dada por:

b a a bq

I II λ λλ−

= (3.92)

a a b bq

I II λ λλ+

= (3.93)

Para obtener la ecuación dinámica de la velocidad referida al nuevo marco de

referencia, se expresa la ecuación de la velocidad de (3.78) en función de las nuevas variables.

( )323232

r Lp a b b a r

r

Lp q r

r

Lp d q r

r

d M B Tn I Idt JL J J

M B Tn IJL J JM B Tn IJL J J

ω λ λ ω

λ ω

λ ω

= − − −

= − −

= − −

(3.94)

La ecuación dinámica de la magnitud del flujo del rotor se obtiene al derivar la

ecuación (3.88).

Figura 3.17 Magnitud del flujo del rotor Figura 3.18 Orientación del eje d con la magnitud del flujo del rotor

CAPITULO 3

47

2 2

1d a ba b

a b

d d ddt dt dtλ λ λλ λ

λ λ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠+

(3.95)

A continuación se sustituyen las ecuaciones (3.79) y (3.80) en (3.95) y resulta:

( ) ( )( )2 21d

a b a a b b

d d

d M I Idt

MI

λ α λ λ α λ λλαλ α

= − + + +

= − + (3.96)

Para obtener la ecuación dinámica del desplazamiento del vector de flujo magnético se deriva la ecuación (3.89) donde se tiene:

2 2

a bb a

a b

d dd dt dtdt

λ λλ λρ

λ λ

−=

+ (3.97)

Sustituyendo (3.79) y (3.80) resulta la ecuación:

( ) ( )( )2 2

2

1p r a b a b b a

qp r

d

d n M I Idt

In M

ρ ω λ λ α λ λλ

ω αλ

= + + −

= + (3.98)

Las ecuaciones de las corrientes de estator referidas al marco de referencia fijo al rotor

se obtienen al derivar las ecuaciones (3.84) y (3.85).

( ) ( )

( )

cos cos sen sen

sen cos cos sen

q a ba b

a ba b

dI d dI d dII Idt dt dt dt dt

d dI dII Idt dt dt

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρ ρ ρ

= + − −

= − + + − (3.99)

Sustituyendo las ecuaciones (3.81), (3.82) y (3.98) en (3.99) se obtiene:

1q q dp r d p r d q q

d s

dI I In I n I M v

dt Lω ω βλ γ α

λ σ= − − − − + (3.100)

Se procede de la misma forma para calcular la ecuación de la derivada de la corriente

del eje d.

2 1qd

p r q d d dd s

IdI n I I M vdt L

ω αβλ γ αλ σ

= − − + + (3.101)

De esta forma se obtiene el modelo del motor de inducción en el marco de referencia

fijo al rotor.


48

Figura 3.20 Voltajes de estator en diferentes marcos de referencia

Figura 3.21 Corrientes de estator y magnitud en el flujo en el rotor

2

1

1

r Ld q

dd d

q q dq p r d p r d q

d s

qdd d p r q d

d s

qp

d

d TIdt J

d MIdt

dI I II n n I M v

dt L

IdI I n I M vdt L

Id n Mdt

ω µλ

λ αλ α

γ ω βλ ω αλ σ

γ αβλ ω αλ σ

ρ ω αλ

= −

= − +

= − − − − +

= − + + + +

= +

(3.102)

El esquema de simulación se muestra en la figura 3.19. La transformación de los

voltajes de alimentación trifásicos al marco de referencia fijo al rotor se puede realizar en dos partes. Primero transformar los voltajes al marco de referencia fijo al estator y posteriormente al marco de referencia fijo rotor. Este proceso se presenta en la figura 3.20. En la figura 3.21 se muestran las corrientes del estator y el flujo en el rotor.

Figura 3.19 Esquema de simulación del modelo del motor en el marco de referencia

fijo al rotor

CAPITULO 3

49

3.5 MODELO BILINEAL DEL MOTOR DE INDUCCIÓN

El modelo bilineal surge de la ecuación (3.30) al seleccionar el marco de referencia fijo al estator y designar a la velocidad de rotación del eje como la entrada bilineal para obtener un sistema de la forma [4]:

rx Ax Nx Buω= + + (3.103)

donde las matrices A, N y B son lineales. La ecuación (3.103) es un sistema no lineal, sin embargo tiene la característica de ser lineal cuando la entrada bilineal es constante. Aplicado al motor de inducción, el modelo bilineal es:

2

2

00

00

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

0 00 0 0 0 0

1 10 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

s r r

qsqs rs r r

dsds rs

ss lsr

s r s qrqr

s r s drdr

r rr

lr

R L R MII M L MR L R MII M L MR DII L

R M R L ID DIR M R L II

R D IIL

ω

−⎡ ⎤⎢ ⎥ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

0

0

0

0 00 0 0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 00 0

0 01

0 00 00 0 0

qs

ds

s

qrs s r

drs s r

r

r

r

qs

dsls

s

IIIIL M L LIL M L LI

LL

vDvL

D M vM

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.104) donde:

0, ,qs ds sv v v Voltajes de los devanados del estator

0, ,qs ds sI I L Corrientes de los devanados del estator

0, ,qr dr rI I L Corrientes de los devanados del rotor M Inductancia mutua entre los devanados del estator y rotor

,s rL L Inductancias de los devanados del estator y rotor respectivamente ,S rR R Resistencias de los devanados del estator y rotor respectivamente

rω Velocidad de rotación del eje del motor ( )21/ s rD L L M= −

La ecuación (3.104) se simuló utilizando el motor de inducción con los parámetros dados en la tabla 3.1. Como se observa, el comportamiento es idéntico al modelo obtenido del marco de referencia fijo al estator. El modelo bilineal es un caso particular que se obtiene solo si la velocidad del marco de referencia es cero, es decir, el marco de referencia fijo al estator.


50

3. 6 MODELO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN CON RESISTENCIAS EXPLÍCITAS

El modelo del motor utilizado parte del hecho de mantener explícitos los valores de las resistencias de los devanados del motor al llevarse a cabo la transformación de variables en el marco de referencia fijo al estator.

El modelo del motor de inducción en notación matricial se expresa por [38]:

abc abc abc abcs s s sabc abc abc abcr r r r

v R I p

v R I p

λ

λ

= +

= + (3.105)

donde:

Figura 3.23 Voltajes de alimentación en tres y dos fases

Figura 3.24 Par generado por el motor y velocidad de rotación alcanzada por el eje

Figura 3.22 Curva par-velocidad


CAPITULO 3

51

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

' '

' '

' '

abc abcs as bs cs r ar br cr



v v v v v v v v

I I I I I I I I

λ λ λ λ λ λ λ λ

= =

= =

= =

0 0

0 00 0

sabcs s

s

RR R

R

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0

0 00 0

rabcr r

r

RR R

R

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Al transformar el modelo (3.105) en el marco de referencia arbitrario se convierte en:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 10 0 0 0 0 0 0

1 10 0 0 0 0 0 0

abc abc abc abcqd s qd s qd qd s qd qd qd s

abc abc abc abcqd r r qd r r qd r qd r r qd r qd r qd r r

T v T R T T I T p T T

T v T R T T I T p T T

θ θ θ θ θ θ θ λ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ λ

− −

− −

= + ⎡ ⎤⎣ ⎦− = − − − + − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

(3.106) donde:

( )( ) ( )( ) ( )0

cos cos 2 /3 cos 2 /32 sen sen 2 /3 sen 2 /33

1/ 2 1/ 2 1/ 2qdT

θ θ π θ πθ θ θ π θ π

− +⎡ ⎤⎢ ⎥= − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

La ecuación (3.106) se reduce a:

( ) ( )0 1 0 0 00 0

0 1 01 0 0

0 0 0

dq abc qd qd qds qd s qd s s sv T R T I pθ θ ω λ λ−

⎡ ⎤⎢ ⎥= + − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.107)

( ) ( ) ( )0 1 0 0 00 0

0 1 01 0 0

0 0 0

dq abc qd qd qdr qd r r qd r r r r rv T R T I pθ θ θ θ ω ω λ λ−

⎡ ⎤⎢ ⎥= − − + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.108)

Si las resistencias de los devanados del estator son iguales ( )sa sb sc sR R R R= = =

entonces resulta:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 00 0 0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

s sabc dq

qd s qd qd s qd s s

s s

R RT R T T R T R R

R Rθ θ θ θ− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.109)

es decir, la transformación en invariante para los elementos estáticos, de igual forma, si las resistencias de los devanados del rotor son iguales ( )ra rb rc rR R R R= = = , se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 00 0 0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

r rabc qd

qd r s qd r qd r r qd r r r

r r

R RT R T T R T R R

R Rθ θ θ θ θ θ θ θ− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − = − − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.110)


52

Sin embargo, al considerar resistencias desiguales, resulta:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 10 0 0 0

11 12 13

2

0 00 00 0

2 1 1 3 2 1 13 6 6 6 3 3 3

1 1 36 2 3

1 1 1 3 13 6 6 6 3

saabc

qd s qd qd sb qd

sc

sa sb sc sb sc sa sb sc

sb sc sb sc sb sc

sa sb sc sb sc sa sb sc

s s s

s

RT R T T R T

R

R R R R R R R R

R R R R R R

R R R R R R R R

R R RR

θ θ θ θ− −

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + − − −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

= − + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

= 1 22 23

31 32 33

s s

s s s

R RR R R

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.111)

de igual manera, para el rotor se tiene:

( ) ( )11 12 13

10 0 21 22 23

31 32 33

r r rabc

qd r qd r r r

r r r

R R RT r T R R R

R R Rθ θ−

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.112)

Sustituyendo (3.111) y (3.112) en (3.106) se tiene:

( )( )

11 12 13

21 22 23

0 31 32

0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0

qs s s s s

ds s s s s

s ls s s

qr rr

dr rr

r lr

V L M R R RV L M R R RV L R RV M LV M LV L

ωω

ω ωω ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

33 0

11 12 13

21 22 23

31 23 33 0

0

0 0 00 0 00 0 00 0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0

qs

ds

s s

r r r qr

r r r dr

r r r r

s qs

s ds

ls s

r qr

r

lr

II

R IR R R IR R R IR R R I

L M IL M I

L Ip

M L IM L

L

⎧ ⎡ ⎤⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎩ ⎣ ⎦⎭ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

+ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 0

dr

r

II

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.113) en notación matricial:

( )V W L R I L pI= ⋅ + ⋅ + ⋅ (3.114) Al despejar la derivada de la corriente se obtiene: ( )1 1pI L W R I L V− −= − ⋅ + (3.115)

El modelo del motor de inducción en el marco de referencia fijo al estator, considerando los

efectos de resistencias distintas es:

CAPITULO 3

53

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

211 12 11 12

221 22 21 22

11 12 11 12

r s qs r s p r ds r qr r p r r dr r qsqs

r s p r qs r s qs r p r r qr r dr r dsds

s qs s p r s ds s r qr r p rqr

dr

r

L R I L R n M I MR I R n L MI L VI

L R n M I L R I R n L MI MR I L VI

MR I MR n L M I L R I R nII

ξ ω ωξ ω ωξ ω ω

ω

− − + + + − +⎡ ⎤

− + − + − + +⎢ ⎥⎢ ⎥ + + − − −⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )( ) ( )( )

( )21 22 21 22

32

r s dr qs

s p r s qs s ds r p r r s qr s r qr ds

p Lqs ds qr ds r

L L I MVMR n L M I MR I R n L L I L R I MV

n M B TI I I IJ J J

ξ ω ω

ω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

+ + − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

(3.116)

donde: ,sij rijR R Resistencias del estator y rotor respectivamente para , :1...3i j de acuerdo con las

ecuaciones (3.111) y (3.112) ,s rL L Inductancias de los devanados del estator y rotor respectivamente

M Inductancia mutua pn Número de pares de polos del motor

LT Par de carga B Coeficiente de fricción viscosa J Inercia total

rω Velocidad mecánica de rotación , , ,ds qs dr qrI I I I Corrientes de estator y rotor en el marco de referencia fijo al estator ,ds qsV V Voltajes de alimentación en el marco de referencia fijo al estator

3.7 SIMULACIÓN DE FALLAS EN EL MOTOR DE INDUCCIÓN UTILIZANDO EL

MODELO CON RESISTENCIAS EXPLÍCITAS

La ventaja que presenta el modelo dado en la ecuación (3.116) es la posibilidad de provocar fallas de corto circuito y circuito abierto en cualquiera de las tres fases, ya sea del estator o rotor, lo cual no es posible de realizar con el modelo bifásico de uso común dado en la ecuación (3.31), puesto que expresa las tres fases del estator y rotor agrupadas en un solo término.

Como prueba, se realizó la simulación del modelo (3.116) utilizando los parámetros del

motor de inducción dados en la tabla 3.1. En 0.7t s= se produjo una falla de circuito abierto en el devanado de la fase A del estator, asignando un valor de 200 veces el valor nominal. En

1.0t s= se produjo una falla de circuito abierto en la fase B, y en este instante el motor empezó a desacelerar y el par disminuyó a cero, lo cual se corresponde con el comportamiento real del motor, es decir, el motor puede funcionar incluso con sólo dos devanados conectados, sin embargo, al desconectar un devanado más, el motor detiene su funcionamiento.

En la figura 3.26 se muestra el desarrollo de la velocidad y el par generado y en la

figura 3.27 un acercamiento al momento de ocurrir las fallas En la figura 3.28 se muestra el comportamiento de las corrientes del estator y rotor respectivamente. En la figura 3.29 se muestra un acercamiento.

Se concluye que el modelo (3.116) exhibe un comportamiento más cercano al de un

motor de inducción real, debido a que existe una correspondencia física entre las resistencias de los devanados del modelo matemático y las fases físicas del motor, lo que no obtiene con el modelo bifásico común.


54

Figura 3.28 Corrientes de estator y rotor en el motor de inducción

Figura 3.29 Acercamiento al comportamiento de las corrientes al momento de ocurrir la falla

Figura 3.26 Velocidad y par en el motor de inducción

Figura 3.27 Acercamiento a la velocidad y al par del motor de inducción al ocurrir la falla

55

Capítulo 4 CONTROL VECTORIAL DEL MOTOR DE INDUCCIÓN 4.1. CONTROL DEL MOTOR DE INDUCCIÓN POR CAMPO ORIENTADO

El control vectorial por campo orientado consiste en expresar las ecuaciones del motor

de inducción en un marco de referencia que gire con el vector de flujo del rotor. En estas nuevas coordenadas se observa que si se mantiene constante la magnitud del flujo del rotor, entonces existirá una relación lineal entre las variables de salida.

El modelo del motor de inducción en el marco de referencia fijo al rotor está dado por

la ecuación [23]:

2

1

1

r Ld q

dd d


d s

qdd d p r q d

d s

qp

d

d TIdt J

d MIdt

dI I II n n I M v

dt L

IdI I n I M vdt L

Id n Mdt

ω µλ

λ αλ α



ρ ω αλ

= −

= − +

= − − − − +

= − + + + +

= +

(4.1)

Las ecuaciones de corriente son modificadas a:


56

refω

q q q

d d d

I I u

I I u

γ

γ

+ =

+ = (4.2)

donde:

2

1

1

q dq d p r p d d

d s

qd q p r d d

d s

I Iu I n M n v

L

Iu I n M v

L

ω α ωβλλ σ

ω α αβλλ σ

= − − − +

= + + +

(4.3)

Los términos du y qu son variables auxiliares en función de voltajes y corrientes, las

cuales al ser aplicadas como entradas, permiten la linealización del modelo del motor. Es decir, las entradas deben de ser:

2

q dq s q d p r p d

d

qd s d p r q d

d

I Iv L u I n M n

Iv L u n I M

σ ω α ωβλλ

σ ω α αβλλ

⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.4)

Las ecuaciones (4.4) son realimentadas al motor de inducción, obteniendo un modelo

linealizado, con lo que se obtienen dinámicas de la corriente y del flujo desacopladas, de esta forma es posible controlar cada una por separado con un control PI. El esquema de control se muestra en la figura 4.1

Figura 4.1 Esquema de control basado en campo orientado

Las señales dv y qv se eligen como:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2

3 4

d d dref d d dref d

q q ref e q ref e

ref q ref q ref

v K K dt

v K T T K T T dt

T K K dt

λ λ λ λ

ω ω ω ω

= − + −

= − + −

= − + −

∫∫∫

(4.5)

Se observa que qv tiene un PI anidado. Los valores de 1 2 1 2 3 4, , , , yd d q q q qK K K K K K son las

ganancias del controlador.

dλ

rωeT

ρrefT

Transformación de vqd a uqd

Modelo del motor de inducción fijo al rotor

drefλ

CAPITULO 4

57

Las simulaciones se realizaron utilizando MATLAB/Simulink para los parámetros del motor dados en la tabla 3.1. Se estableció una velocidad de referencia igual a 130 /ref rad sω = y el flujo del rotor se estableció en 0.4dλ = Wb. El controlador se sintonizó de manera heurística. Los valores de las ganancias son:

1 2

2 3

1 4

50,000 20

500,000 4

30 8

d q

d q

q q

K K

K K

K K

= =

= =

= =

A continuación se muestran las gráficas correspondientes a la velocidad del rotor, par

de carga, corrientes dI e qI de los devanados del estator y la magnitud del vector de flujo del rotor ante un cambio escalón de la referencia.

A fin de implementar la ley de control propuesta es necesario conocer las corrientes del

devanando del estator en el marco de referencia fijo al rotor qI e dI , así como también la magnitud del vector de flujo del rotor dλ y su desplazamiento ρ .

Figura 4.4 Corrientes en los devanados del estator

Figura 4.5 Magnitud del flujo del rotor

Figura 4.2 Velocidad del rotor Figura 4.3 Par generado por el motor


58

Las variables mencionadas se pueden calcular a partir del modelo del motor de inducción dado en la ecuación (3.50) y (3.51) que a continuación se vuelven a presentar:

sas sa sa

dR I vdtλ

+ =

sbs sa sb

dR I vdtλ

+ =

Despejando los enlaces de flujo de ambas ecuaciones resulta:

( )( )

as as s as

bs bs s bs

v R I dt

v R I dt

λ

λ

= −

= −

∫∫

(4.6)

La magnitud del flujo y su desplazamiento se calcula como:

( ) ( )2 2

arctan

d as bs

as

bs

λ λ λ ρ

λρλ

= + ∠

= (4.7)

Las corrientes qI e dI se obtienen de la transformación siguiente:

cos sensen cos

q sa

d sb

I II I

δ δδ δ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.8)

4.2 OBSERVADOR DE FLUJO EN EL MARCO DE REFERENCIA FIJO AL ESTATOR

Las variables necesarias para realizar el control del motor de inducción se pueden

calcular utilizando un observador de flujo. La dinámica de un motor de inducción en el marco de referencia fijo al estator,

suponiendo un circuito magnético lineal, se define por la ecuación:

( )

2

2 2

2

2 2

32

1

1

r Lp a b b a r

r

pa r s r ra r b a a

s r s r s r s

pb r s r rr a b b b

s r s r s r s

a r ra a p r b

r r

b r rb

r

d M B Tn I Idt JL J J

MndI R M R L R M I vdt L L L L L L L

MndI R M R L R M I vdt L L L L L L Ld R R M I ndt L L

d R R Mdt L L

ω λ λ ω

λ ω λσ σ σ σ

ω λ λσ σ σ σ

λ λ ω λ

λ λ

= − − −

+⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠+⎛ ⎞

= + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + +

= − + b p r ar

I n ω λ−

(4.9)

CAPITULO 4

59

donde I ,λ y v denotan corrientes, enlaces de flujo y voltajes de entrada al estator. Los subíndices s y r hacen referencia a variables del estator y rotor, respectivamente; a y b representan las componentes del vector del marco de referencia fijo al estator y

2

1s r

ML L

σ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Las ecuaciones de corrientes y flujos del modelo dado por la ecuación (4.9) se puede expresar como [37]:

1

1

ra a a p r b a

r

rb b b p r a b

r

a a a p r br r

b b b p r br r

M M LI aI n vbT b bM M LI aI n vbT b b

M I nT TM I nT T

λ ω λ

λ ω λ

λ λ ω λ

λ λ ω λ

= − + − +

= − + + +

= − +

= − −

(4.10)

donde:

2 2 2

1r r s rr s r

r s r r

L M L R M RT b L L aR L L bL

σ σ += = − = = (4.11)

En forma matricial:

0 0

0 0 0 00 0

0 0 0 010 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 010 0

r r

aa

r a rap r

aa

r r aa

r r

MabT M L

IMI b baT I vM LI

nb bM

T TMT T

ωλλλλ

⎡⎛ ⎞ ⎤−⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎡ ⎤− ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥−⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦

−⎜ ⎟⎢ ⎥⎣⎝ ⎠ ⎦

a

bv⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.12)

Definiendo:

[ ] [ ] [ ]1 0 0 1

' ' '0 1 1 0 s a b s a b s a bI J I I I v v vλ λ λ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.13)

resulta:

1

rss

p r srr

r r

Ma M LbTr IIn b b

MT T

ωλλ

⎛ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎞− ⎜ ⎟ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎠

I I0 J I

vI I 0 J 0

(4.14)


60

Se propone un observador de la forma:

( )1 2

3 4

ˆ ˆˆ

ˆ1ˆ

rp rs s

p r s s sp rrr

r r

Ma M L k k nbTrI In I Ib b k k nM

T T

ωω

ωλλ

⎧⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎫− ⎜ ⎟ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪⎢ ⎥ ⎪⎡ ⎤ +⎡ ⎤⎝ ⎠ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ = + + + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎣ ⎦⎣ ⎦ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎩⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎭

I II J0 J I

vI J

I I 0 J 0 (4.15)

La dinámica del error del observador está definida por:

( )1

2

43

'1r

p r

r r

Mk a MkbTe n eb

M kkT T

ω

⎧⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎫− ⎜ ⎟ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎪⎢ ⎥ ⎪

⎪ ⎝ ⎠ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥= + ⎝ ⎠⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞⎪ ⎪−+ − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎩⎣⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎦ ⎭

I IJ J

J JI I (4.16)

Si k1 y k3 se eligen tal que:

21

43

r

r r

kk aT

M kkT T

− =

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.17)

El error se convierte en: ( )´ re eω= AQ (4.18)

Donde:

2

4

1

1

p rr

p rr

Mkb

k

nT

nT

ω

ω

⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎢ ⎥= ⎝ ⎠⎢ ⎥−⎣ ⎦⎡⎛ ⎞ ⎤− −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥=⎢ ⎥⎛ ⎞

− −⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎝ ⎠ ⎦

I IA

I I

I J 0Q

0 I J

(4.19)

La matriz A depende k2 y k4, de ahí que es posible colocar los valores propios de A en posiciones arbitrarias. El polinomio característico de A es:

( )2

22 2 41 0Mp k p k k

b⎡ ⎤− − − − =⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.20)

Las raíces del polinomio se eligen reales y repetidas, p1 para las primeras y p2 las

segundas. Entonces los valores propios de (4.18) son:

1

2

1

1

p rr

p rr

jn pT

jn pT

ω

ω

⎡⎛ ⎞ ⎤− ±⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣⎝ ⎠ ⎦⎡⎛ ⎞ ⎤− ±⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣⎝ ⎠ ⎦

(4.21)

CAPITULO 4

61

Se observa que el error decae exponencialmente a cero con una constante de tiempo igual a min/rT p donde { }min 1 2min ,p p p= .

Los valores 2k y 4k se calculan a partir del siguiente sistema de ecuaciones derivado de (4.20):

( )

( )

212 1 1

24 2 2

2

1

1

MP k p pbkM p pP

b

⎡ ⎤− −⎢ ⎥ − +⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.22)

Los valores de 1k y 3k se calculan de la ecuación (4.17).

Se llevó a cabo la simulación del observador propuesto en (4.15) para los parámetros

del motor de inducción dados en la tabla 3.1. Se establecieron condiciones iniciales de +5 y -5 para las corrientes aI e bI . En las siguientes gráficas se muestran los errores de convergencia para diversos valores de 1p y 2p

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.6 Error de convergencia para diversos valores de 1p y 2p (a) 1 2p = , 2 10p = . (b) 1 4p = , 2 10p = . (c) 1 2p = , 2 20p = . (d) 1 4p = , 2 20p =


62

4.3 OBSERVADOR DE FLUJO EN EL MARCO DE REFERENCIA FIJO AL ROTOR

Considérese un sistema no lineal de la forma:

( )( )

,x f x uy h x=

= (4.23)

Se propone un observador de la forma: ( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ ˆ ˆ ˆ, ,ex f x u K x u h x h x= + − (4.24) La ecuación del error esta dada por ˆe x x= − y su dinámica se calcula como: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ ˆ ˆ, , ,ee f x u f x u K x u h x h x= − + − (4.25) Para calcular el término ( ) ( )ˆ, ,f x u f x u− se observa que:

( ) ( )

( ) ( )ˆ, ,

ˆ,ˆ,ˆ

f x u f x e uf x uf x u e

x

= +

∂= +

∂

(4.26)

por lo tanto:

( ) ( ) ( )ˆ,ˆ, ,ˆ

f x uf x u f x u ex

∂− =

∂ (4.27)

De la misma forma:

( ) ( ) ( )ˆˆˆ

h xh x h x e

x∂

− =∂

(4.28)

Al sustituir (4.27) y (4.28) en la ecuación (4.25) se tiene:

( ) ( ) ( )ˆ ˆ, ˆ,ˆ ˆe

f x u h xe K x u ex x

∂ ∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ (4.29)

La matriz ( )ˆ,eK x u debe seleccionarse para que el error se aproxime asintóticamente a

cero y puede ser suficiente la selección de una matriz constante. El observador expuesto se denomina observador no lineal identidad [26].

Aplicado al motor de inducción, el diseño se basa en la ecuación (3.102) de la página

48, que a continuación se vuelve a presentar para facilitar su lectura

CAPITULO 4

63

2

1

1

r Ld q

dd d


d s

qdd d p r q d

d s

qp

d

d TIdt J

d MIdt

dI I II n n I M v

dt L

IdI I n I M vdt L

Id n Mdt

ω µλ

λ αλ α



ρ ω αλ

= −

= − +

= − − − − +

= − + + + +

= +

(4.30)

El observador propuesto solo contempla las ecuaciones de la magnitud del vector de

flujo del rotor y su desplazamiento. El observador es el siguiente:

( ) ( ) ( )( )

ˆˆ

ˆ ˆ ˆ,ˆ

ˆ ˆ

qp r

ed

dd d

In M

K x u h x h x

MI

ρ ω αλ

λαλ α

⎡ ⎤⎡ ⎤ +⎢ ⎥

= + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ − +⎣ ⎦

(4.31)

Sin embargo se observa que es necesario conocer las corrientes qI e dI y además hallar

la función ( )h x para formar el término de corrección del observador. Las corrientes qI e dI se calculan a partir de la ecuación (3.55) en función de aI , bI y del desplazamiento ρ .

cos sensen cos

q a

d b

I II I

ρ ρρ ρ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.32)

No se tiene disponible bajo medición la función ( )h x del término de corrección, sin

embargo, puesto que el observador propuesto será utilizado en el control del motor de inducción, se puede elegir ( ) drefh x λ= , es decir, se utiliza el valor de la magnitud del flujo dado como referencia para corregir el error del observador.

La forma final del observador es:

( )( )ˆ ˆcos sen

ˆ ˆ ˆˆ,ˆ ˆ ˆ ˆsen cos

a bp r

d e dref d

dd a b

I In MK x u

MI I

ρ ρω αρ

λ λ λλ αλ α ρ ρ

−⎡ ⎤+⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥− + +⎣ ⎦

(4.33)

La matriz de retroalimentación ( )ˆ,eK x u se calcula tal que la ecuación dinámica del

error dada en (4.29) converja asintóticamente a cero.


64

4.4 CONTROL DEL MOTOR DE INDUCCIÓN CON OBSERVADORES DE ESTADO Los observadores diseñados en las secciones anteriores se aplicaron al control del motor de inducción. El esquema es el mostrado en la figura 4.7.

Figura 4.7 Esquema de control vectorial utilizando observadores no lineales

Se observa que se tienen dos observadores en cascada. El observador 1 está dado por la ecuación (4.15), el cual estima los estados en el marco de referencia fijo al estator y también es utilizado para estimar el par generado por el motor y realimentarlo al control. Las señales que se obtienen del observador 1 son introducidas al observador 2 dado por la ecuación (4.33) el cual estima las corrientes qI , dI y dλ para ser alimentadas al control.

El esquema de control se simuló para el motor de inducción dado en la tabla 3.1, para una velocidad de referencia de 130 ras/s y un flujo de 0.4 Wb. De acuerdo a lo obtenido, los objetivos de control se lograron.

Figura 4.8 Velocidad del rotor Figura 4.9 Par alcanzado por el motor

CAPITULO 4

65

Sin embargo, se observa que en el establecimiento del flujo del rotor, se presenta una oscilación, debida al error de convergencia de los observadores. Un acercamiento se muestra en la figura 4.11.

Figura 4.10 Flujo del rotor Figura 4.11 Acercamiento al flujo del rotor


66

67

Capítulo 5 DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN EL MOTOR DE INDUCCIÓN 5.1 METODOLOGÍA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS

El diagnóstico de fallas basado en el modelo se define como la detección, localización y caracterización de fallas en un sistema a partir de la comparación de las mediciones disponibles del sistema contra información proveniente de un modelo matemático del sistema.

Las fallas son detectadas estableciendo umbrales (fijos o variables) sobre una cantidad

denominada residuo, la cual es obtenida por medio de la diferencia entre las mediciones reales y las estimadas de esas mediciones utilizando modelos matemáticos [31].

La estructura general de diagnóstico de fallas basado en el modelo se muestra en la

figura 5.1

Figura 5.1 Estructura del diagnóstico de fallas basado en el modelo

La función del bloque generador de residuos es obtener señales de indicación de falla a

partir de la información disponible de entradas y salidas del sistema monitoreado. Los residuos


68

obtenidos deben de ser cero o cercanos a cero en ausencia de falla y distinguibles de cero en presencia de falla. El bloque de decisión examina los residuos obtenidos con base en una regla de decisión para determinar si ha ocurrido una falla o no. Cabe mencionar que éste último bloque no se programó, es decir, no existe un programa que directamente proporcione el parámetro donde se produjo la falla. La localización de la falla se realiza por la lectura de una tabla de residuos establecida como estrategia de localización de fallas.

En este trabajo de tesis, la generación de residuos se realiza por medio de observadores

no lineales de entrada desconocida o perturbación desacoplada, los cuales serán abordados en las siguientes secciones.

La estrategia de diagnóstico de fallas utilizando observadores consiste en diseñar un

banco de observadores sensibles a determinadas fallas o perturbaciones y a otras no. Las señales obtenidas de los observadores se comparan con la planta a fin de obtener residuos. Con base en el análisis de los residuos se detectan y localizan las fallas.

El diagnóstico de fallas en el motor de inducción se realizó en parámetros y se logró

con tres esquemas diferentes: 1. Diagnóstico de fallas en el motor de inducción utilizando el modelo con

resistencias implícitas. 2. Diagnóstico de fallas en el motor de inducción utilizando el modelo con

resistencias explícitas. 3. Diagnóstico de fallas en el motor de inducción utilizando el modelo con

resistencias explícitas y además haciendo uso de la teoría del marco de referencia En los tres casos, el modelo del motor de inducción corresponde un modelo bifásico.

Cabe mencionar que se prefiere utilizar el modelo bifásico en oposición al modelo trifásico en virtud de que la complejidad del análisis y simulación se reduce en gran medida con el modelo bifásico.

El modelo bifásico es obtenido por medio de una transformación de variables. Al ser

aplicada la transformación a las tres resistencias de los devanados, todas quedan englobadas en un solo término (resistencia implícita), lo que dificulta localizar específicamente el devanado que falló. Sin embargo, cabe la posibilidad de mantener explícitos los valores de las resistencias de las tres fases a través de la transformación. Esto permite localizar exactamente la fase en que se produjo una falla. Por ello se han diferenciado los modelos con los nombres implícito y explícito.

La metodología utilizada para realizar el diagnóstico de fallas en los parámetros del

motor de inducción es la siguiente: 1. Modelar las fallas y perturbaciones 2. Establecer una estrategia de localización de fallas por medio de una tabla de

residuos 3. Diseñar los observadores de perturbación desacoplada En la última sección se muestra el comportamiento del control del motor y el esquema

de diagnóstico de fallas con el modelo de resistencias implícitas.

CAPITULO 5

69

5.2 OBSERVADORES NO LINEALES DE PERTURBACIÓN DESACOPLADA Considérese el sistema no lineal dado por la siguiente ecuación [1]:

( )( )

,x f x uy h x=

= (5.1)

Se propone un observador no lineal de la forma:

( ) ( )( )ˆ ˆ ˆ ˆ, ,x f x u x u y y= + −eK (5.2)

La ecuación dinámica del error se puede expresar como:

( ) ( ) ( )ˆ ˆ, ˆ,ˆ ˆ

f x u h xe x u ex x

∂ ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠eK (5.3)

donde la matriz ( )ˆ,x ueK se selecciona tal que el error se aproxime asintóticamente a cero. Básicamente el diseño se basa en una linealización de la ecuación dinámica que gobierna el error de estimación. Como se mencionó anteriormente se denomina observador no lineal identidad. El análisis de este observador se abordó en el capítulo 5. Sin embargo ahora se analizará el efecto de las fallas en el observador propuesto.

Considere que el sistema de ecuaciones dado por (5.1) se complementa con el modelado de fallas y perturbaciones, es decir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

, , ax f x u E x d t K x u f ty h x= + +

= (5.4)

donde: ( )E x Matriz de distribución de entradas desconocidas o perturbaciones ( ),K x u Matriz de distribución de fallas ( )d t Señal de entrada desconocida ( )f t Señal de falla

Para el observador propuesto, la ecuación dinámica del error se convierte en:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ, ˆ, ,ˆ ˆ a

f x u h xe x u e E x d t K x u f tx x

∂ ∂⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦eK (5.5)

Lo anterior muestra que la aproximación asintótica del error se ve afectada por la

ocurrencia de fallas y perturbaciones. Suponiendo que existe la posibilidad de desacoplar las fallas o perturbaciones del

modelo, el observador diseñado a partir del modelo desacoplado será insensible a dichas fallas o perturbaciones.


70

El desacoplamiento de perturbaciones, se realiza por medio de un cambio de variables dado por la transformación de estados siguiente:

( )z T x= (5.6)

El modelo transformado está descrito por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , aT x

T x f x u E x d t K x u f tx

∂= + +

∂ (5.7)

La transformación debe seleccionarse tal que el sistema transformado se mantenga

insensible a la presencia de perturbaciones. Es decir, el problema se reduce a resolver la ecuación diferencial parcial

( ) ( ) 0T x E xx

∂=

∂ (5.8)

La ecuación se resuelve al aplicar el teorema de Frobenius, siempre y cuando se

cumplan las condiciones que el teorema exige [17]. Si se logra hallar ( )T x , el sistema transformado resultante es [34]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , aT x

T x f x u K x u f tx

∂= +

∂ (5.9)

Se dice que es de perturbación desacoplada puesto que ya no depende de la entrada

desconocida ( )d t . Suponga ahora que: ( )( )rango E x q= (5.10)

A partir del teorema de Frobenius, condiciones suficientes y necesarias para la

existencia de n q− soluciones independientes ( ) , 1...i iz T x i n q= = − (5.11)

de la ecuación (5.8) pueden ser establecidas. Se hace referencia a soluciones independientes, en el sentido de que los vectores columna de:

( )

( )

( )

1

n q

T xxT x

xT x

x−

∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂⎢ ⎥∂

= ⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎣ ⎦∂

(5.12)

son linealmente independientes. La transformación requerida se expresa por:

CAPITULO 5

71

( )( )

( )

1

n q

T xz T x

T x−

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.13)

Se observa que:

( )rangoT x

nx

∂⎛ ⎞ <⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (5.14)

donde n denota el orden del sistema monitoreado. Por lo tanto, el modelo obtenido de la transformación será un sistema de orden reducido. Si se toma como modelo base, el dado por la ecuación (5.9), es posible diseñar un observador no lineal de orden reducido que es robusto a la entrada desconocida ( )d t . Sin embargo, puesto que el observador es de orden reducido, no todas las variables originales pueden ser expresadas en función de las nuevas, por ello es necesario completar la transformación con variables auxiliares [25]. Estas variables se eligen de las disponibles en la medición para formar un subconjunto

( )* *y C y= (5.15) el cual debe cumplir la condición:

( ) ( )dim * dimy y< (5.16)

La selección de las variables no es arbitraria, puesto que está sujeta a otra condición:

( )

( )rango

*

T xx n

C yx

∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ =⎜ ⎟∂⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∂

(5.17)

De esta forma, todas la variables originales x pueden expresadas por las nuevas variables z y por un subconjunto y* de las variables disponibles en la medición, es decir:

( ), *x z yψ= (5.18)

El observador propuesto para el modelo desacoplado (5.9) es:

( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ ˆ, *

ˆ ˆ ˆ ˆˆ , , ,ˆ x z y

T xz f x u x u y xx ψ=

∂= +

∂ eK R (5.19)

donde la existencia de la función ( )ˆ ˆ, *x z yψ= se asegura por la ecuación (5.17). El término ( )ˆ,y xR expresa el residuo.

La ecuación dinámica del error es:


72

Rsa

Rsb

ωr ωr

Rs

Rsb

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

ˆ ˆ, *

ˆˆ ˆ, * , *ˆ ˆ, , * ,ˆˆ ˆ

ˆ, * ˆ, * ,ˆ

x z y

T z y R z yT xe f x u z y u ez x z

T z yK z y u f t

z

ψ

ψ ψψ

ψψ

=

⎛ ⎛ ⎞ ⎞∂ ∂∂= −⎜ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎠∂

+∂

eK (5.20)

La matriz ( )( )ˆ, * ,z y uψeK se elige tal que el error se aproxime asintóticamente a cero.

5.3 DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN EL MOTOR DE INDUCCIÓN UTILIZANDO EL MODELO CON RESISTENCIAS IMPLÍCITAS.

5.3.1 MODELADO DE FALLAS

Al utilizar la teoría del marco de referencia, los parámetros del motor se consideran simétricos, esto es, las resistencias y las inductancias de los tres devanados son considerados iguales. Esto ocasiona que al producirse una falla, el efecto queda expresado implícitamente en un solo término. Por ejemplo, si se produce una falla en la resistencia del devanado de la fase A ( saR ) el efecto no se puede aislar, pues las resistencia de los tres devanados fue sustituida por una sola que es sR .

Figura 5.2 Transformación de las variables del motor de inducción de tres fases a su equivalente en dos fases

El modelo del motor de inducción en función de corrientes es el siguiente:

( )( )( )

2

2


qsp r qs r s ds p r r qr r dr r sd

ds

s qs p r s ds s r qr p r s r dr sqqr

p r s qs s ds p r s r qr s rdr

r

L R I n M I MR I n L MI L vI n M I L R I n L MI MR I L vI

MR I n L MI L R I n L L I MvIn L MI MR I n L L I L RI

ξ ω ω

ξ ω ω

ξ ω ω

ξ ω ωω

− − + − +⎡ ⎤ − + + +⎢ ⎥⎢ ⎥

+ − + −⎢ ⎥ =⎢ ⎥

− + − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( )dr sd

p p Lqs dr ds qr

I Mv

n M n M B TI I I IJ J J J

ω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.21)

donde se ha hecho ( )21/ s rL L Mξ = − .

CAPITULO 5

73

En el motor de inducción, se consideran fallas a las variaciones en los valores nominales de la resistencia del devanado del estator, de la resistencia del devanado del rotor y de la inductancia mutua [15]. Los parámetros considerados perturbaciones son las variaciones del par de carga, el coeficiente de fricción viscosa y la inercia total. Designando por fθ y dθ los vectores de fallas y perturbaciones respectivamente, se tiene:

( )f s rR R Mθ = ∆ ∆ ∆ (5.22)

( )d LT B Jθ = ∆ ∆ ∆ (5.23)

Se simuló el modelo del motor de inducción en lazo abierto y una vez alcanzado el estado estable se produjeron fallas en los parámetros. En la figura 5.3 se muestra el efecto que provoca en la velocidad, en el par generado y en las corrientes de estator y rotor, una falla de corto circuito en la resistencia del devanado del estator. La falla se produjo en el t = 0.7s y consistió en disminuir el valor de la resistencia hasta un 50% del nominal. De la misma forma se produjo una falla en el rotor, disminuyendo el valor de la resistencia del devanado del rotor hasta un 50% del valor nominal. Las gráficas correspondientes se muestran en la figura 5.4. También se produjo una falla de excentricidad, la cual se ve reflejada en una variación de la inductancia mutua. La falla consistió en una disminución del 10% del valor de la inductancia mutua. En la figura 5.5 se muestran las gráficas correspondientes a la velocidad, al par y a las corrientes de estator y rotor.

Figura 5.3 Falla en la resistencia del devanado del estator

Figura 5.4 Falla en la resistencia del devanado del rotor


74

Figura 5.5 Falla en la inductancia mutua

De acuerdo con la posibilidad de desacoplar fallas, es necesario modelar el efecto de

los parámetros que se consideran fallas, así como también los que se consideran perturbaciones. Si asociamos las fallas y perturbaciones con los vectores fθ y dθ , respectivamente, el modelo considerado tiene la forma [25]:

( ), , ,f df x u θ θ (5.24) Asumiendo que los parámetros tienen valores nominales conocidos 0fθ y 0dθ , el

modelo expresado en (5.24) puede ser aproximado utilizando la expansión en series de Taylor alrededor de los parámetros nominales hasta el término lineal.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 00 0

, , , , , ,, , , , f d f d

f d d d f fd f

f x u f x uf x u f x u

θ θ θ θθ θ θ θ θ θ

θ θ

∂ ∂≈ + − + −

∂ ∂ (5.25)

de manera que es posible obtener una representación aproximada de la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( , ) ax t f x u E x d t K x u f t= + + (5.26) donde d(t) es el vector de entrada desconocida, ( )af x es el vector de fallas a detectar, E(x) es la matriz de distribución de perturbaciones y K(x,u) es la matriz de distribución de fallas

La matriz de perturbación que modela el efecto de las variaciones en la resistencia del

devanado del estator se calcula como sigue:

CAPITULO 5

75

( )

( )( )( )( )

2

2

,

32


p r qs r s ds p r r qr r dr r sd

s qs p r s ds s r qr p r s r dr sq

s sp r s qs s ds p r s r qr s r dr sd

pqs dr d

L R I n M I MR I n L MI L v

n M I L R I n L MI MR I L v

f x u MR I n L MI L R I n L L I MvR R

n L MI MR I n L L I L R I Mv

n MI I I

J

ξ ω ω

ξ ω ω

ξ ω ω

ξ ω ω

− − + − +

− + + +

∂ ∂ + − + −=∂ ∂

− + − − −

−( )0

r qs

r ds

qs

ds

Ls qr

L IL I

MIMI

B TIJ J

ξξξξ

ω

⎡ ⎤⎢ ⎥ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

− −⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.27)

De la misma forma se obtienen las matrices de perturbación con respecto a la resistencia del devanado del rotor y a las variaciones del par de carga, el coeficiente de fricción viscosa y la inercia total.

( ),

0

qr

dr

s qrr

s dr

MIMI

f x uL I

RL I

ξξξξ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎢ ⎥= −

∂ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.28)

( ) ( ) ( ) ( )

( )2 2 2

0 0 00 0 00 0 0, , , ,0 0 0

1d L

p qs dr qr dsr r L

f x u f x u f x u f x uT B J

n M I I I I B TJ J J J J

θ

ω ω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎢ ⎥− − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.29)

La matriz de perturbación debida a las variaciones de la inductancia mutua no se

considera puesto que no será utilizada ni desacoplada debido a su complejidad.

5.3.2 ESTRATEGIA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS Las transformaciones que desacoplan las matrices de perturbaciones (5.27), (5.28) y

(5.29) se obtienen de la aplicación del teorema de Frobenius y son las siguientes

( )1

qs r qr

ds r dr

r

MI L IT x MI L I

ω

+⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.30) ( )2

ds r dr

qs r qr

r

MI L IT x MI L I

ω

+⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.31) ( )3

qs

ds

qr

dr

II

T xII

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.32)

El desarrollo completo se presenta en el apéndice A.

Debido a la complejidad para hallar las transformaciones que desacoplan

perturbaciones utilizando el teorema de Frobenius, solo se desacopla una perturbación. Por lo tanto, la estrategia de detección y localización de fallas consiste en hacer sensible cada observador a todas las fallas menos a una. El esquema propuesto es el mostrado en la tabla 5.1


76

Tabla 5.1 Estrategia de diagnóstico de fallas en parámetros en el motor de inducción Falla Observador

Rs Rr M TL B J

1 X X X X X 2 X X X X X 3 X X X

El observador uno desacopla los efectos debidos a las fallas en la resistencia del estator. El observador dos los debidos a la resistencia del rotor y el observador tres desacopla los efectos debidos a las variaciones del par de carga, el coeficiente de fricción viscosa y la inercia total. Para realizar la localización se deben leer las columnas.

La ventaja que se obtiene con la estrategia mostrada en la tabla 5.1 es que la

localización de las fallas es robusta ante la presencia de falsas alarmas. Se dice que un sistema de detección y localización de fallas se desempeña

correctamente si presenta alta probabilidad de detectar fallas y baja probabilidad de falsas alarmas [14]. Hasta este punto, se cumple sólo la segunda propiedad. La alta probabilidad de detectar fallas estará en función de la sensibilidad del observador.

5.3.3 DISEÑO DE OBSERVADORES DE PERTURBACIÓN DESACOPLADA APLICADOS AL MOTOR DE INDUCCIÓN

La transformación que desacopla la matriz de perturbaciones debida a las variaciones de

la resistencia del estator es:

( )1 1

qs r qr

ds r dr

r

MI L Iz T x MI L I

ω

+⎡ ⎤⎢ ⎥= = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.33)

El sistema transformado está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11

1 1 1

1 1

, ,

, ,

, ,

a

a

a

T xz f x u E x d t K x u f t

xT x T x T x

f x u E x d t K x u f tx x x

T x T xf x u K x u f t

x x

∂= + +

∂∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

∂ ∂= +

∂ ∂

(5.34)

y el observador propuesto es de la forma:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

11

ˆ ˆ, *

1

ˆ ˆ, *

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ, , ,ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , ,

ˆ

x z y

x z y

T xz f x u E x d t x u R z yx

T x f x u x u R z yx

ψ

ψ

=

=

∂= + +

∂

∂= +

∂

e

e

K

K (5.35)

CAPITULO 5

77

entonces, para el sistema desacoplado se tiene que:

( ) ( )

( )( )( )

2

2

1 ,


p r qs r s ds p r r qr r dr r sdqs r qr

s qs p r s ds s r qr p r s r dr sqds r dr

p r s qs s ds p r sr

L R I n M I MR I n L MI L vn M I L R I n L MI MR I L vMI L I

T x MR I n L MI L R I n L L I Mvf x u MI L Ix x n L MI MR I n L

ξ ω ωξ ω ωξ ω ωξ ω ωω

− − + − +− + + ++⎡ ⎤

∂ ∂ + − + −⎢ ⎥= +⎢ ⎥∂ ∂ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦( )

( )

( )

32

32

r qr s r dr sd

p Lqs dr ds qr

p r r dr p r ds r qr

p r r qr p r qs r dr

p qs dr qr ds Lr

L I L R I Mvn M B TI I I I

J J J

n L I n MI R In L I n MI R I

n M I I I I B TJ J J

ω

ω ωω ω

ω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥

= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.36)

A continuación se sustituyen las variables , , , yqs ds qr dr rI I I I ω por las nuevas

variables 11z , 12z y 13z , esto es, se debe encontrar una transformación que exprese las variables originales en función de nuevas. Sin embargo, puesto que la transformación T(x) produce un sistema de orden reducido, no es posible expresar todas las variables originales en función de las nuevas. Para lograrlo, se debe disponer de un subconjunto y* de las variables medidas y, es decir:

( ) ( )dim * dimy y< (5.37)

y tratar de expresar las variables restantes en función de z y y*. Las variables medibles que no pertenecen a y* son utilizadas para generar los residuos, por lo tanto, siempre debe de quedar al menos una variable medible sin asignar al subconjunto y*. En el motor de inducción las variables medidas son:

( ), ,qs ds ry I I ω= (5.38) Si la transformación de coordenadas es:

11

12

13

qs r qr

ds r dr

r

z MI L I

z MI L Iz ω

= +

= +

=

(5.39)

y elegimos el subconjunto de mediciones ( )* ,qs dsy I I= de manera que:

1

2

qs

ds

I y

I y

=

= (5.40)

entonces es posible calcular eqr drI I en función de z y y* a partir de (5.39), esto es:


78

( )

( )

11

11 1

1

1

qr qsr

r

I z MIL

z MyL

= −

= − (5.41)

( )

( )

12

12 2

1

1

dr dsr

r

I z MIL

z MyL

= −

= − (5.42)

La última variable 13z es utilizada para generar el residuo junto con la variable de y que no pertenece a y* y esta variable es la velocidad del rotor.

13r zω = (5.43)

De manera que la transformación que expresa las variables originales en función de las nuevas variables y de un subconjunto de las variables medibles es:

( ) ( )

( )

1

2

11 1

12 2

13

1, *

1

qs

ds

qr r

dr

rr

yI yI

z Myz y I LI z My

Lz

ψ

ω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.44)

Al sustituir los valores dados por la transformación inversa (5.44) en (5.36) se obtiene:

( )

( )

13 12 11 1

13 11 12 2

1 12 2 11 12

, *

32

r rp

r r

r rp

r r

p L

r

R Rn z z z MyL LR Rf z y n z z z MyL L

n M B Ty z y z zJL J J

⎡ ⎤− +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

= − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.45)

El observador propuesto es el siguiente:

( )

( ) ( )

13 12 11 1

11

12 13 11 12 2 13

13

1 12 2 11 12

ˆ

ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ 32

r rp

r r

r rp

r r

p L

r

R Rn z z z MyL LzR Rz n z z z My z u R z yL L

z n M B Ty z y z zJL J J

⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

eK (5.46)

Para obtener la dinámica linealizada del error de estimación, se calcula la ecuación

(5.3) para el observador (5.46), esto es:

CAPITULO 5

79

Figura 5.6 (a) Esquema del modelo paralelo para diagnosticar fallas. (b) Esquema del observador para diagnosticar fallas

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

ˆ ˆ, *

13 12

13 11

2 2

ˆˆ ˆ, * , *ˆ ˆ, , * ,ˆˆ ˆ

ˆ, *ˆ, * ,ˆ

3 32 2

x z y

rp p

r

rp p

r

p p

r r

T z y R z yT xe f x u z y u e

z x z

R n z n zL

R z yRn z n z z y u eL z

n M n M By yJL JL J

ψ

ψ ψψ

ψψ

=

⎛ ⎛ ⎞ ⎞∂ ∂∂= −⎜ ⎜ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎛⎛ ⎞ ⎞

−⎜⎜ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎟∂

= − − − −⎜⎜ ⎟ ⎟∂⎜⎜ ⎟ ⎟

⎜⎜ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎟− − −⎜⎜ ⎟ ⎟⎝⎝ ⎠ ⎠

e

e

K

K (5.47)

donde

( )( ) ( ) [ ]ˆ ˆ, *

0 0 1 'ˆ

R z y h zz z

ψ∂ ∂= =

∂ ∂ (5.48)

El término ( )( )ˆ, * ,z y uψeK se elige tal que el error se aproxime asintóticamente a cero

en algún punto de operación. La ecuación (5.47) se calcula para los parámetros del motor dados en la tabla 3.1. Asignando una velocidad de operación igual a 180 rad/s, los valores propios del motor son:

11.4 362.311.4 362.3

0.09

ii

− +⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.49)

Los valores propios pueden ser modificados mediante una matriz ( )( )ˆ, * ,z y uψeK que puede ser constante.

El primer modelo que puede ser utilizado en la detección de fallas es el modelo paralelo el cual no tiene término de corrección como el observador. Este primer enfoque puede servir para detectar y localizar fallas, sin embargo, presenta el inconveniente que el modelo desacoplado puede ser inestable. Este esquema se muestra en la figura 5.6a. El esquema del observador se muestra en la figura 5.6b.

Voltajes de alimentación

Residuo

Voltajes de alimentación

Residuo

(a) (b)


80

De la misma forma se procedió en el diseño del observador que desacopla los efectos de rR .

La transformación que desacopla el efecto de rR está dada por:

( )2 2

ds r dr

qs r qr

r

MI L Iz T x MI L I

ω

+⎡ ⎤⎢ ⎥= = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.50)

El sistema desacoplado de las perturbaciones es:

( ) ( )

( )

2 ,s qs qr s qs qs

s ds dr s ds ds

r p Lqs dr qr ds r

L I MI R I vT x f x u L I MI R I v

xn M B TI I I I

J J Jω ω

⎡ ⎤⎢ ⎥+ − +⎡ ⎤

∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥= + = − +⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.51)

Eligiendo el subconjunto ( )* ,qs dsy I I= , la transformación que expresa las variables

originales en función nuevas es:

( ) ( )

( )

1

2

21 1

22 2

23

1, *

1

qs

dss

qr

drs

r

yI yI

z L yz y I MI z L y

Mz

ψ

ω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.52)

El sistema transformado en las nuevas coordenadas se establece como:

( )

( )( ) ( )( ) ( )21 1

22 2

231 22 21 2 23

ˆ, * ˆ, * ,ˆ

32

s qs

s ds

p L

z R y vT z yz R y v K z y u f t

zz n M B Ty z z y z

J J J

ψψ

⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎡ ⎤

∂⎢ ⎥⎢ ⎥ = − + +⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.53)

Se propone el siguiente observador para el modelo desacoplado (5.53):

( )

( ) ( )21 1

22 2 23

231 22 21 2 23

ˆ

ˆˆ ˆ, ,3ˆ2

s qs

s ds e

p L

z R y vz R y v K x u R z y

n M B Tz y z z y zJ J J

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ − − −⎢ ⎥

⎣ ⎦

(5.54)

En el residuo, será utilizada la medición que no pertenece al subconjunto y*. La

medición restante es la velocidad, de manera que el residuo estará formado por:

CAPITULO 5

81

( )3 3, rR z y z ω= − (5.55) Como se puede notar, en el observador la ecuación dinámica de la velocidad

permaneció invariable en la transformación. La matriz de retroalimentación se selecciona tal que el error converja asintóticamente

estable a cero. La matriz se calcula de acuerdo a lo expresado en la ecuación (5.20).

( )

2 2

0 0 0ˆ,

0 0 0ˆ

3 32 2

p p

f z uz

n n By yJ J J

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∂

= ⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

(5.56)

Los tres valores propios de la ecuación (5.56) son iguales a cero. Al obtener la matriz de observabilidad se tiene que dos estados son observables y el tercero es detectable.

Para el diseño de observador que desacopla las perturbaciones debidas a las variaciones del par de carga, el coeficiente de fricción viscosa y la inercia total, la matriz de transformación hallada utilizando el teorema de Frobenius es la siguiente:

( )3 3

qs

ds

qr

dr

II

z T xII

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.57)

El sistema desacoplado esta dado por la ecuación:

( )( )( )( )

( ) ( )

2

2

,


p r qs r s ds p r r qr r dr r sd

s qs p r s ds s r qr p r s r dr sq

p r s qs s ds p r s r qr s r dr sd

L R I n M I MR I n L MI L vn M I L R I n L MI MR I L v

z K x u f tMR I n L MI L R I n L L I Mvn L MI MR I n L L I L R I Mv

ξ ω ωξ ω ωξ ω ωξ ω ω

− − + − +⎡ ⎤⎢ ⎥− + + +⎢ ⎥= +⎢ ⎥+ − + −⎢ ⎥

− + − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.58)

La transformación de las variables originales a las nuevas es:

( )

31

32

33

34

3

, *

qs

ds

qr

dr

r

I zI z

z y I zI z

y

ψ

ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(5.59)

donde se ha elegido que el subconjunto y* de las variables medibles es igual a:

3* ry y ω= = (5.60)


82

Entonces el sistema transformado se expresa como:

( )( )( )

231 31 3 32 33 3 34

232 3 31 32 3 33 34

31 3 32 33 3 3433

3 31 32 3 3334

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

r s p r p r r sq

p r s p r r r sd

s p s s r p s r sq

p s s p s r s r

z L R z n y M z MR z n y L Mz L vz n y M z L R z n y L Mz MR z L v

MR z n y L Mz L R z n y L L z Mvzn y L Mz MR z n y L L z L R zz

ξξξξ

⎡ ⎤ − − + − +⎢ ⎥

− + + +⎢ ⎥ =⎢ ⎥ + − + −⎢ ⎥− + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )

( )( ) ( )( ) ( )

34

ˆ, * ˆ, * ,ˆ

sd

T z yK z y u f t

zMv

ψψ

⎡ ⎤⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.61)

El observador propuesto está dado por :

( )( )( )

231 31 3 32 33 3 34

232 3 31 32 3 33 34

31 3 32 33 3 3433

3 31 32 3 3334

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

r s p r p r r sq

p r s p r r r sd

s p s s r p s r sq

p s s p s r s r

z L R z n y M z MR z n y L Mz L vz n y M z L R z n y L Mz MR z L v

MR z n y L Mz L R z n y L L z Mvzn y L Mz MR z n y L L z L R zz

ξξξξ

⎡ ⎤ − − + − +⎢ ⎥

− + + +⎢ ⎥ =⎢ ⎥ + − + −⎢ ⎥− + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )

( ) ( )

34

ˆ ˆ, ,e

sd

K x u R z y

Mv

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.62)

donde los residuos están dados por las variables que no pertenecen a y*.

( ) 31 1

32 2

ˆˆ,

ˆz y

R z yz y

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ (5.63)

Para obtener la dinámica del error del observador (5.62) dada por la ecuación (5.3) se

debe calcular:

( )

23 3

23 3

3 3

3 3

ˆ, *ˆ

r s p r p r

p r s p r r

s p s s r p s r

p s s p s r s r

L R n y M MR n y MLn y M L R n y ML MRf z y

z MR n y L M L R n y L Ln y L M MR n y L L L R

ξ ξ ξ ξξ ξ ξ ξξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −∂ ⎢ ⎥=⎢ ⎥∂ −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

(5.64)

En el punto de operación designado, los valores propios son:

( )232.09 299232.09 299ˆ, *

ˆ 85.11 61.8485.11 51.84

iif z yeigizi

− +⎡ ⎤⎢ ⎥− −∂⎛ ⎞ ⎢ ⎥=⎜ ⎟ − +⎢ ⎥∂⎝ ⎠⎢ ⎥− −⎣ ⎦

(5.65)

Para cada observador se asignaron valores propios y se obtuvieron determinadas

matrices de ganancias Ke. Los resultados se muestran en la tabla 5.2.

Tabla 5.2 Valores de las ganancias de los observadores OBSERVADOR NUEVO VALOR PROPIO GANANCIA

1 [-20 -10 0] [-0.7438 0 30.0000] 2 [-30 -20 -10] [268.5932 -233.1472 37.1147] 3 [-300 -200 -100 -50] [-43.0164 -404.1077 36.9957 413.5113

297.6234 58.6350 -302.2275 -65.0411]

CAPITULO 5

83

Se llevo a cabo la simulación en MATLAB/Simulink con los parámetros del motor de inducción dados en la tabla 3.1. Las fallas se produjeron en el primer segundo de simulación y consistieron en provocar un corto circuito en los devanados de estator y rotor. Los parámetros

sR y rR del motor se redujeron 10% del valor nominal. Los residuos se muestran en las figuras 5.7 y 5.8. También, se produjo una variación en el par de carga del 10% por encima del valor nominal. Los residuos se muestran en la figura 5.9. Por último, se provocó una falla en la inductancia mutua, reduciendo su valor nominal 10%. Los correspondientes residuos se muestran en la figura 5.10. A partir de los resultados de simulación mostrados, se comprueba la validez de la matriz de residuos dada en la tabla 5.1.

5.4 DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN EL MOTOR DE INDUCCIÓN UTILIZANDO

EL MODELO CON RESISTENCIAS EXPLÍCITAS 5.4.1 MODELADO DE FALLAS

El modelo bifásico del motor de inducción con resistencias trifásicas explícitas dado en la sección dos, presenta la conveniencia de expresar la resistencia de los devanados en el marco de referencia, como función de las resistencias de los devanados físicos originales, esto se muestra en la figura 5.11. Por lo tanto una falla en determinado devanado trifásico contribuirá de manera específica a una variación de la resistencia del devanado en el marco de

Figura 5.9 Perturbación debida a una variación en el par de carga

Figura 5.7 Falla en la resistencia de estator Figura 5.8 Falla en la resistencia de rotor

Figura 5.10 Falla en la inductancia mutua


84

referencia. De manera que si se modelan los efectos debidos a las fallas en los devanados, es posible detectar y aislar exactamente la fase que falló [28].

Figura 5.11 Transformación de las variables del motor de inducción de tres fases a su

equivalente en dos fases

Un corto circuito en una fase del estator puede ser interpretado como una variación de la correspondiente resistencia del estator, del mismo modo, si un corto circuito ocurre en una fase del rotor, se puede considerar como una variación de cualquier resistencia del rotor por debajo de su valor nominal. Además una excentricidad del rotor puede ser interpretada como una variación en la inductancia mutua M. Puesto que el modelo del motor de inducción incluye la representación explícita de las resistencias del estator y rotor, el vector de fallas es:

( ), , , , , ,sa sb sa ra rb rcR R R R R R M∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ (5.66) y el vector de perturbaciones es:

( ), ,LT J B∆ ∆ ∆ (5.67) Al modelar el efecto las perturbaciones, los sistemas tiene la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,i i a ix f x u k x u f t E x d t= + + (5.68)

para 1 7i = … . Para las matrices de perturbaciones ( )iE x se tiene:

( ) ( )1

23

0,

23

00

r qs

qssa

L I

f x uE x MIR

ξ

ξ

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.69) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2

1 361 3 36,1 361 3 36

0

r qs ds

r qs ds

qs dssb

qs ds

L I I

L I If x uE x M I IR

M I I

ξ

ξ

ξ

ξ

⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥

∂ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥+∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ + ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.70)

ω ω

Rsa

Rsb Rsb

Rsdq(Rsa,Rsb,Rsc)

Rr

CAPITULO 5

85

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

3

1 36

1 3 36,1 361 3 36

0

r qs ds

r qs ds

qs dssc

qs ds

L I I

L I If x uE x

M I IR

M I I

ξ

ξ

ξ

ξ

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

∂ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥−∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎢− − ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.71) ( ) ( )4

23

0,

23

00

qr

s qrra

MI

f x uE xL IR

ξ

ξ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥= =−⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.72)

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

5

1 361 3 36,

1 361 3 36

0

qr dr

qr dr

s qr drrb

s qr dr

M I I

M I If x uE x

L I IR

L I I

ξ

ξ

ξ

ξ

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥

∂ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥− +∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎢− + ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.73) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

6

1 361 3 36,1 36

1 3 36

0

qr dr

qr dr

s qr drrc

s qr dr

M I I

M I If x uE x

L I IR

L I I

ξ

ξ

ξ

ξ

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥

∂ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥− −∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ − ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.74)

( )

( )7

2 2 2

0 0 00 0 00 0 00 0 0

1 32

p ds qr dr dsr

E x

n M I I I I B TLJ J J J J

ω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥− − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.75)

Se considera que el modelo dinámico corresponde a un motor de inducción jaula de

ardilla, en el cual sólo es posible medir las variables correspondientes al estator y no se tiene acceso a las del rotor.

5.4.2 ESTRATEGIA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS La estrategia de detección y localización de fallas consiste en diseñar seis

observadores, sensibles a todas las fallas menos a una. Un séptimo observador desacopla las perturbaciones del motor. No se diseña ningún observador para desacoplar las fallas en la inductancia mutua, debido a la complejidad de su matriz de perturbaciones. La tabla de residuos es la siguiente.


86

Tabla 5.3 Estrategia de detección y localización de fallas Falla

Observador saR sbR scR raR rbR rcR M TL J B

1 0 X X X X X X X X X 2 X 0 X X X X X X X X 3 X X 0 X X X X X X X 4 X X X 0 X X X X X X 5 X X X X 0 X X X X X 6 X X X X X 0 X X X X 7 X X X X X X X 0 0 0

La localización de las fallas se realiza leyendo las columnas de la tabla. Debido a la forma de la tabla de residuos 5.3, se tiene un sistema de detección y localización de fallas robusto ante la presencia de falsas alarmas. 5.4.3 DISEÑO DE OBSERVADORES DE PERTURBACIÓN DESACOPLADA

APLICADOS AL MOTOR DE INDUCCIÓN

Las transformaciones halladas para desacoplar los efectos de las matrices de entradas desconocidas son las siguientes:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 2

3 4

5 6

7

3 3 3

3 3 3

TT

ds qs r qr dr ds r qr qs r dr

T T

qs r qr ds r dr s qs qr ds dr

T T

s qs dr s ds qr s qs qr s ds dr

T

sq sd qr dr

T x I MI L I I T x MI L I MI L I

T x MI L I MI L I T x L I MI I I

T x L I MI L I MI T x L I MI L I MI

T x I I I I

ω ω

ω ω

ω ω

⎡ ⎤⎡ ⎤= + = + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = + +⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (5.76)

Utilizando cada una de las transformaciones correspondientes se obtienen modelos

desacoplados de determinado parámetro. A partir de cada modelo desacoplado se diseñan observadores siguiendo el método descrito anteriormente. El esquema obtenido se muestra en la figura 5.12.

Se realizaron en MATLAB/ Simulink las simulaciones correspondientes a cada una de

las fallas dadas por la tabla 5.2 para un motor de 3hp y 4 polos cuyos parámetros están dados en la tabla 3.1. Los resultados para la detección y localización de las fallas en el estator se muestran en las siguientes figuras

CAPITULO 5

87

Figura 5.13 Falla en la resistencia del devanado de la fase A

Figura 5.12 Esquema de diagnóstico de fallas en el motor de inducción


88

Figura 5.15. Falla en la resistencia del devanado de la fase C

Se observa que el tercer observador es insensible ante cualquier falla en el estator y esto se debe a que la transformación correspondiente no solo desacopla el efecto de las fallas en la resistencia scR , sino también las fallas en saR y sbR . En el caso del diagnóstico de las fallas en el rotor, la situación es la misma. La tabla de residuos establecida se modificó a la mostrada a continuación:

Tabla 5.4 Tabla de residuos Falla

Observador saR sbR scR raR rbR rcR M TL J B

1 0 X X X X X X X X X 2 X 0 X X X X X X X X 3 0 0 0 X X X X X X X 4 X X X 0 X X X X X X 5 X X X X 0 X X X X X 6 X X X 0 0 0 X X X X 7 X X X X X X X 0 0 0

A pesar de la situación presentada, la localización de fallas en los devanados de estator y rotor es posible de realizar.

Figura 5.14 Falla en la resistencia del devanado de la fase B

CAPITULO 5

89

5.5 DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN EL MOTOR DE INDUCCIÓN UTILIZANDO EL MODELO CON RESISTENCIAS EXPLÍCITAS Y LA TEORÍA DEL MARCO DE REFERENCIA

El diagnóstico de fallas en los devanados de estator utilizando el esquema expuesto en la sección anterior, se realiza diseñando tres observadores. Esto implica el cálculo de tres transformaciones y por lo tanto, los tres observadores tendrán dinámicas distintas. Este enfoque se muestra en la figura 5.16.

Figura 5.16 Diagnóstico de fallas en los devanados de las fases del estator

Los devanados del motor de inducción están desplazados 120° entre sí. Si se diseña un observador para diagnosticar las fallas en determinada fase, por ejemplo, el observador 1 para la fase A, cabe la posibilidad de rotar el marco de referencia en que está orientado dicho observador y alinearlo con las otras fases [28]. Si se rota 120° en dirección opuesta al movimiento de las manecillas del reloj, estará orientado a la fase B y -120° estará orientado con la fase C. Esto se muestra en la figura 5.17.

Figura 5.17. Orientación del observador 1 con los devanados de las fases B y C

Observador 2

qs

ds

dr

qr

ωr=0Ias

Ibs

Ics

Observador 1

Observador 3

d

q

qr dr Ias Ibs

Ics

Observador 1120°

dq

qr dr

Ias Ibs

Ics

Observador 1

-120°


90

Las ventajas de este enfoque radican en que solo es necesario diseñar y estabilizar un solo observador [4], los demás observadores se obtienen de la rotación del marco de referencia del observador que se selecciona como base. Además el comportamiento dinámico de los tres observadores es el mismo.

El proceso para diseñar el observador base es el mismo que se utilizó en las secciones

anteriores. La diferencia radica en el diseño de los demás. La metodología es la siguiente: Se inicia seleccionando un observador, por ejemplo, el

observador 2 que desacopla las fallas en el devanado de la fase B. El esquema se muestra en la figura 5.18. El observador es alimentado con los mismos voltajes que el motor de inducción y también por las corrientes de estator y velocidad del rotor para lograr la aproximación asintótica de los estados mediante un término de corrección de error.

Figura 5.18. Observador que desacopla las fallas en el devanado de la fase B

Para diseñar los observadores de los devanados de las fases A y C restantes, las señales

de corriente y voltaje del observador base se rotan 120° y 240° en dirección opuesta al movimiento de las manecillas del reloj, esto se muestra en la figura 5.19.

La tabla de residuos se muestra en la tabla 5.5. Se observa que se obtiene una matriz

diagonal de ceros, la cual tiene la característica de ser robusta ante falsas alarmas. Aunado a esta característica, se observa que con la estrategia establecida se supera el problema presente en la sección anterior, en la cual no se obtenía una matriz diagonal de ceros y restaba confiabilidad a la localización de las fallas.

Tabla 5.5 Estrategia de detección y localización de fallas

Falla Observador

saR sbR scR raR rbR rcR M TL J B 1 0 X X X X X X X X X 2 X 0 X X X X X X X X 3 X X 0 X X X X X X X 4 X X X 0 X X X X X X 5 X X X X 0 X X X X X 6 X X X X X 0 X X X X 7 X X X X X X X 0 0 0

CAPITULO 5

91

Figura 5.19 Esquema de diagnóstico de fallas utilizando la teoría del marco de referencia La aplicación del esquema expuesto amplia la detección y localización de fallas, puesto

que es posible seleccionar el observador que sea más fácil de diseñar y estabilizar, el más sensible a fallas o el que mejor desempeño dinámico muestre y en seguida se obtienen los demás observadores mediante la rotación del marco de referencia.

Las fallas que se produjeron en el motor de inducción fueron las siguientes: fallas de

circuito abierto y corto circuito en las resistencias de los devanados de estator y rotor y fallas de excentricidad. También se produjeron perturbaciones debidas al par de carga.

Las fallas de circuito abierto consistieron en incrementar el valor de las resistencias

hasta un valor de 200 veces el valor nominal. Los resultados se muestran en las figuras 5.20 a 5.26. Las fallas de corto circuito consistieron en disminuir el valor de las resistencias de los devanados del estator y del rotor hasta un valor del 5% del valor nominal. Los resultados se muestran en las figuras 5.26 a 2.31.

Las fallas de excentricidad se ven reflejadas en las variaciones de la inductancia mutua.

Debido a la complejidad de la matriz de perturbaciones de la inductancia mutua, no se diseñó ningún observador que desacoplara las fallas correspondientes. Por lo tanto, una falla de excentricidad provoca que todos los residuos sean distintos de cero. En la figura 2.32 se muestra el comportamiento de los residuos ante una variación del 10% de valor de la inductancia mutua.

Rotación de corrientes y voltajes 120°

Rotación de corrientes y voltajes 240°


92

En cuanto a las perturbaciones debidas a variaciones del par de carga, el coeficiente de fricción viscosa e inercia total, todas son desacopladas por el séptimo observador. En la figura 5.33 se muestra el comportamiento de los residuos ante una variación del 30% del par de carga.

Figura 5.22 Falla de circuito abierto en la fase C del estator

Figura 5.23 Falla de circuito abierto en la fase A del rotor

Figura 5.20 Falla de circuito abierto en la fase A del estator

Figura 5.21 Falla de circuito abierto en la fase B del estator

(s) (s)

(s) (s)

CAPITULO 5

93

Figura 5.26 Falla de corto circuito en la fase A del estator

Figura 5.27 Falla de corto circuito en la fase B del estator

Figura 5.24 Falla de circuito abierto en la fase B del rotor

Figura 5.25 Falla de circuito abierto en la fase C del rotor

(s) (s)

(s) (s)


94

Figura 5.29 Falla de corto circuito en la fase A del rotor

Figura 5.28 Falla de corto circuito en la fase C del estator

(s)

(s) (s)

(s)

Figura 5.31 Falla de corto circuito en la fase C del rotor

Figura 5.30 Falla de corto circuito en la fase B del rotor

CAPITULO 5

95

5.6 CONTROL DEL MOTOR DE INDUCCIÓN Y DIAGNÓSTICO DE FALLAS

UTILIZANDO EL MODELO CON RESISTENCIAS IMPLÍCITAS

El control vectorial presentado en el capítulo cuatro, se simuló en conjunto con el esquema de diagnóstico de fallas utilizando el modelo con resistencias implícitas. Los resultados obtenidos en comparación con el diagnóstico aplicado al motor sin realizar control, son muy diferentes.

En las pruebas realizadas, se establece una señal de referencia variable para la

velocidad y una referencia fija para el flujo. Se elige un flujo de referencia igual a 0.4 Wb. La señal de referencia para la velocidad es una señal cuadrada de magnitud 5 voltios y frecuencia de 0.2 hertz, montada sobre una señal constante 130 V.

Las fallas se provocaron variando los valores de los parámetros sR , rR y M. Las

pruebas de perturbaciones consistieron en un aumento repentino del par de carga. En condiciones normales de operación (sin fallas) el motor se desempeña

correctamente. En la figura 5.34 se muestra la velocidad del motor de inducción y los residuos en la figura 5.35. Los residuos de los observadores 1 y 3 correspondientes a las fallas en Rs y perturbaciones, respectivamente, son cero, sin embargo el residuo correspondiente al observador 2, en cada cambio de la velocidad de referencia, deja de ser cero hasta que el transitorio transcurre. Esta condición no está presente en la tabla 5.1 y no representa indicación de falla alguna.

Figura 5.33 Perturbación debida a una variación del 30% del par de carga

Figura 5.32 Falla de excentricidad (s) (s)


96

Figura 5.34 Velocidad del motor Se simuló una falla en la resistencia del estator a los 5 segundos de iniciada la

simulación, reduciendo su valor sólo 10 %. En este caso, el observador 1 es insensible a dichas fallas y permanece en cero. El residuo correspondiente al observador 3 es diferente de cero al provocarse la falla, sin embargo, en el observador 2 se observa una señal senoidal de magnitud relativamente pequeña, esto se muestra en la figura 3.36. La señal tiene la frecuencia de la alimentación al estator la cual es ( )/ 1 271.4 rad/ss p rn sω ω= − = . Por lo tanto el residuo 2 es filtrado a esa frecuencia. El resultado se muestra en la figura 3.37 y se observa que el residuo no es más grande que el transitorio.

Sin embargo, al reducir la resistencia de estator al 70% de su valor nominal, la diferencia ya es notable y el residuo se encuentra fuera de una banda definida por 0.027± que son los límites del transitorio. Esto se muestra en la figura 3.38. Por lo tanto, solo será posible localizar fallas en el estator cuando la resistencia disminuya por debajo del 70% del valor nominal. Solo bajo estas condiciones se está en la certeza de que la falla ha ocurrido en el estator. El valor de la resistencia del estator puede reducirse hasta un 10% y la localización

Figura 5.37 Filtrado de la señal del observador 2

Figura 5.35 Residuos en condiciones normales de operación

Figura 5.36 Residuos al producirse la falla

CAPITULO 5

97

Figura 5.38 Residuos con falla en Rs al ser reducido el valor nominal 30%

Figura 5.39 Residuos con falla en Rr al ser reducido el valor nominal 10%

siempre es posible. No puede reducirse más el valor de la resistencia porque el control es inestable.

De la misma forma se realizaron las correspondientes pruebas para fallas en la

resistencia de rotor e inductancia mutua. En cuanto a fallas en rR , se redujo el valor de la resistencia 10% y los residuos 1 y 3 dejaron de ser cero y el residuo 2 se mantuvo dentro de los límites establecidos. La localización de la falla se realiza comparando los residuos con la tabla 5.1 y de acuerdo con esto, se tiene que la falla ocurrió en la resistencia rR . La gráfica correspondiente es la figura 5.39. Sin embargo, existe un límite para la falla. En la figura 5.40, se muestra la falla de Rr al ser reducida 40% del valor nominal. Se observa que el residuo 2 sale de la banda y el seguimiento de la señal de velocidad se encuentra muy degradado (figura 5.41), además, de acuerdo a la estrategia de diagnóstico dada en la tabla 5.1, ya no es posible diferenciar entre una falla de la resistencia de rotor y falla de inductancia mutua puesto que en este caso se trata de una falla en la resistencias de rotor y los residuos concuerdan con una falla de la inductancia mutua.

Figura 5.40 Residuos al ocurrir una falla de rR al ser reducida 40%

Figura 5.41 Comportamiento de la velocidad con una falla en Rr


98

En cuanto a fallas en la inductancia mutua, se produjo una reducción del 1% y 2% en

su valor nominal. El comportamiento de los residuos se muestra en las figuras 5.42 y 5.43 respectivamente. El residuo 2 continua siendo filtrado y se observa que existe un periodo en el cual no sale de la banda aún en condición de falla y esta situación se confunde con el caso de falla en Rr. A partir de variaciones mayores del 2%, ya es posible la localización de la falla en la inductancia mutua de acuerdo a la tabla 5.1, sin embargo el valor límite es 5% pues si se reduce más, el control se degrada y posteriormente se vuelve inestable.

El comportamiento de los residuos cuando ocurren perturbaciones también presenta características especiales. Se produjo un aumento del 30% del par de carga. En la figura 5.44 observa que el residuo 1 es diferente de cero al momento de ocurrir la perturbación, el residuo 2 que se encuentra filtrado no sale de la banda y el residuo 3 continúa en cero. Esta condición no está presente en la tabla 5.1. Inspeccionando los residuos pero ahora con el residuos 2 sin filtrar, se obtiene la figura 5.45, donde la forma de los residuos concuerda con la tabla 5.1. Cabe recordar, que siendo sólo el residuo 2 diferente de cero no es indicación de falla. Los resultados anteriores se condensan en la tabla 5.6.

Figura 5.42 Falla de la inductancia mutua 1%

Figura 5.43 Falla de la inductancia mutua 2%

Figura 5.44 Perturbación debida al par de carga con el residuo 2 filtrado

Figura 5.45 Perturbación debida al par de carga con residuo 2 sin filtrar

CAPITULO 5

99

Tabla 5.6 Resumen de resultados de simulación

Falla Característica Rs (%) Rr (%) M (%) TL (%) No es posible la localización de la falla de acuerdo a la tabla 5.1 99-70 - 99-98 -

Es posible la localización de la falla de acuerdo a la tabla 5.1 70-10 99-60 98-95 101-900

El controlador es inestable 10-0 60-0 95-0 900-en adelante

Se puede concluir que para cumplir con la estrategia presente en a tabla 5.1, el residuo

dos se filtra para fallas en la resistencia de estator, en la resistencia de rotor y fallas en la inductancia mutua. En el caso de las perturbaciones debidas a las variaciones del par de carga, el coeficiente de fricción viscosa o la inercia, el residuo 2 no se filtra.


100

101

Capítulo 6 RECONFIGURACIÓN DE FALLAS EN EL MOTOR DE INDUCCIÓN 6.1 RECONFIGURACIÓN DE FALLAS EN SENSORES DE CORRIENTE EN EL

MOTOR DE INDUCCIÓN

Se realizó el control del motor de inducción utilizando el control por campo orientado presentado en el capítulo tres. Sin embargo para que dicho enfoque pueda funcionar, es necesario conocer la magnitud del vector de flujo del rotor dλ y el desplazamiento ρ de dicho vector. En la práctica es difícil la medición de las cantidades mencionadas, de manera que se utilizan relaciones analíticas entre las variables o también se pueden utilizar observadores.

El control se realizó utilizando observadores bajo el esquema mostrado a continuación:

Figura 6.1 Esquema de control vectorial


102

Sin embargo, de acuerdo a la posibilidad de ocurrencia de fallas, es deseable contar con un sistema que permita la detección y localización de fallas en sensores o parámetros y además realizar acciones de reconfiguración, acomodación o reestructuración del sistema en caso de ser posible.

En el capítulo seis se abordó el diseño de observadores que permiten realizar el

diagnóstico de fallas en parámetros. En el presente capítulo se abordará el diseño de un sistema que permite la reconfiguración del sistema de control.

En referencia a [4], se denomina reconfiguración al cambio de las relaciones entrada-

salida entre el controlador y la planta, es decir, ocurre un cambio en la estructura interna del sistema en caso de ocurrir una falla.

Se considera el caso de desconexión de sensores de corriente. Analizando la figura 6.1,

se tiene que el observador 1 requiere del conocimiento de las corrientes de las tres fases, para ser transformadas al marco de referencia fijo al estator y poder funcionar. En caso de ocurrir una desconexión, las señales obtenidas del observador, que después son alimentadas al control, no son válidas y por lo tanto no es posible cumplir los objetivos de control propuestos.

Se utiliza el esquema del observador generalizado [22] (GOS- Generalized Observer

Scheme) para realizar la reconfiguración. El esquema propuesto se presenta en la figura 6.2.

Motor de InducciónJaula de Ardilla

r

I dsI qs

dref

rref

d

Corrientesde estator

Control

Observador 1

Observador 2

Observador 3

r

r

r

Selector

Voltajesde estator

Voltajesde estator

Voltajesde estator

Bloque de estimación de la fase C

Bloque de estimación de la fase B

Bloque de estimación de la fase A

Figura 6.2 Esquema de reconfiguración de fallas en sensores de corriente

Para realizar el control se desarrolló un observador no lineal tipo identidad, con una

matriz de retroalimentación de ganancia constante [1], esto es:

( ) ( ) ( )( )ˆ ˆ ˆ,x f x u h x h x= + −eK (6.1)

CAPITULO 6

103

La ecuación dinámica del error está definida como:

( ) ( ),f x u h xx x

∂⎛ ⎞−⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠eK (6.2)

y la matriz eK se elige tal que el error converja asintóticamente a cero.

El modelo del observador se basa en la ecuación del motor de inducción fijo al rotor.

2

1

1

r Ld q

dd d


d s

qdd d p r q d

d s

qp

d

d TIdt J

d MIdt

dI I II n n I M v

dt L

IdI I n I M vdt L

Id n Mdt

ω µλ

λ αλ α



ρ ω αλ

= −

= − +

= − − − − +

= − + + + +

= +

(6.3)

El modelo del observador sólo contempla los flujos y corrientes.

( ) ( )( )

2ˆˆ 1ˆ ˆˆ

ˆ ˆ ˆ 1ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆˆ

qdq p r d d d

d s

q q dd p r p r d q q

d s

dd d

IdI I n M I uLdt

dI I II n M n I u x y h xdt L

d MIdt

ω α αβψ γψ σ

ω α ω βψ γψ σ

ψ αψ α

⎛ ⎞⎛ ⎞ + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= − − − − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ke (6.4)

La ecuación de salida del observador que se utiliza en el término de corrección se

define como: ( )ˆ dh x I= (6.5)

con objeto de hacerlo sensible sólo las variaciones de la corriente dI .

Este observador se desarrolló para estimar los estados del motor de inducción necesarios para el control y además detectar y aislar las fallas en sensores de corriente por medio de la sensibilidad del observador.

A partir del esquema mostrado en la figura 6.2, se tiene que cada observador es

alimentado con dos corrientes medidas y una estimada a partir de la relación:

0as bs csI I I+ + = (6.6)


104

donde asI , bsI e csI denotan las corrientes medidas de los tres devanados del estator. Por ejemplo, si se conocen asI e bsI , es posible estimar csI como:

cs as bsI I I= − − (6.7) De la misma forma, es posible estimar las demás corrientes. La desconexión de un sensor de corriente es simulada por un generador de fallas, el cual

desconecta la alimentación de una fase al banco de observadores. La desconexión se realiza transformando las corrientes del marco de referencia fijo al rotor a su equivalente trifásico. Una vez obtenidas las corrientes trifásicas, se hace cero la línea seleccionada en el instante programado de ocurrencia de falla.

Figura 6.3 Bloque generador de fallas Las señales de salida del bloque generador de falla son alimentadas a los bloques de

estimación A, B y C (ver figura 6.2). Cada bloque recibe sólo dos señales y la tercera es estimada bajo la ecuación (6.6). Así por ejemplo, el bloque A recibe las señales provenientes de los sensores A y B y estima C a partir de la ecuación (6.7).

En operación normal, las salidas de los tres bloques se presentan en la tabla 6.1. En caso

de ocurrir una desconexión, por ejemplo el sensor de la corriente de la fase B del estator, las salidas se modifican a las mostradas en la tabla 6.2.

Tabla 6.1 Salidas de los bloques en operación normal

Bloque Salidas A asI bsI cs as bsI I I= − − B asI bs as csI I I= − − csI C as cs bsI I I= − − bsI csI

Tabla 6.2 Desconexión del sensor de corriente de la fase B

Bloque Salidas A asI 0 cs asI I= − B asI bs as csI I I= − − csI C as csI I= − 0 csI

Transformación a difásica Transformación a Trifásica

Bloque generador de

falla

CAPITULO 6

105

La desconexión del sensor de corriente de la fase B se muestra en la figura 6.4 y las señales generadas por los bloques de estimación se muestran en la figura 6.5

Las salidas de los bloques generadores son alimentadas a los observadores. De manera

que cada observador es insensible a la ocurrencia de fallas en un sensor. Es decir, al momento de ocurrir una falla, dos observadores modificarán su dinámica y el restante será insensible.

De esta forma, es posible obtener señales estimadas de los estados del motor sin

alteraciones debidas a la desconexión súbita de algún sensor de corriente, no obstante sólo es posible la reconfiguración de la falla en un sensor de corriente

El proceso de reconfiguración se realiza en dos etapas, primero mediante una etapa de

detección y localización de fallas (FDI- Fault Detection and Isolation) se determina el observador que no se encuentra afectado por la desconexión y después, a partir de este resultado, los estados estimados por dicho observador se alimentan al control por una etapa de selección.

El proceso de detección de fallas se realiza de acuerdo a la validez de la ecuación (6.6)

la cual es cierta en ausencia de falla. Al momento de ocurrir una desconexión en determinado sensor, dicha relación adquiere un valor distinto de cero.

El proceso de localización de falla se realiza al comparar señales de referencia

conocidas de antemano con las estimadas por los observadores, en este caso se tienen dos variables de referencia dadas por el esquema de control, la velocidad de rotación del eje del rotor y la magnitud del flujo del rotor. De estas dos variables, es más importante estabilizar la magnitud del flujo del rotor antes que la velocidad, puesto que esta variable al permanecer en un estado constante permite la linealización del modelo del motor de inducción al desacoplar los flujos dλ y qλ . Una vez controlado el flujo y permanecer en estado constante, es posible controlar la velocidad como un sistema lineal.

Figura 6.4. Corrientes obtenidas de los sensores en presencia de falla

Figura 6.5. Corrientes obtenidas de los bloques A, B y C


106

De manera que la magnitud del flujo del rotor estimado por los observadores, es comparado con la magnitud del flujo del rotor que se ha tomado como referencia. Los observadores que difieren del valor de referencia, son los observadores que dependen del sensor desconectado, en cambio, existe un observador que no depende de dicho sensor y por lo tanto los estados obtenidos de dicho observador no se encuentran alterados por la ocurrencia la falla.

En condiciones normales de operación los tres observadores convergen a dicho flujo de

referencia, de manera que al principio de la operación del sistema, un observador se debe seleccionar como predeterminado para la operación normal. En cambio en condición de falla, solo un observador se encuentra más próximo al valor de referencia de la magnitud del flujo y este observador es aquel que no depende del sensor desconectado.

La reconstrucción de la señal alterada por la falla se realiza con el observador

insensible. El cual es ahora el observador designado para continuar aportando los valores de los estados al control.

La etapa de selección solo realiza la función cambiar el observador predeterminado por

el observador insensible a la falla. 6.2 SIMULACIÓN DE RECONFIGURACIÓN DE FALLAS EN SENSORES BASADO

EN EL ESQUEMA DEL OBSERVADOR GENERALIZADO

El control se realiza estableciendo una señal de referencia variable para la velocidad y una referencia fija para el flujo. El flujo debe mantenerse constante para lograr la linealización del modelo. Se elige un flujo de referencia igual a 0.4 wb. La señal de referencia para la velocidad es una señal cuadrada de magnitud 5 voltios y frecuencia de 0.2 hertz, montada sobre una señal constante de 130 V.

Los valores de las ganancias del controlador son:

1 2

2 3

1 4

50,000 150

500,000 4

60 10

d q

d q

q q

K K

K K

K K

= =

= =

= =

En la figura 6.6 se muestra el seguimiento de la velocidad del rotor. En la figura 6.7 se

muestra el establecimiento del flujo al valor dado por referencia

Se realizó la simulación correspondiente a la desconexión permanente de un sensor de corriente, en este caso se desconectó el sensor correspondiente a la fase A después de 10 segundos de iniciada la simulación.

CAPITULO 6

107

Figura 6.6 Velocidad del rotor Figura 6.7 Magnitud del flujo del rotor

La detección se realiza de acuerdo a la condición dada por la ecuación (6.6), la cual deja

de ser válida al instante de producirse la falla (ver figura 6.8). En este momento, las variables estimadas por los observadores que dependen del sensor desconectado se ven alteradas.

Figura 6.8 Detección de falla en sensores de corriente

Para realizar la localización del sensor desconectado, se evalúan los flujos estimados por

los tres observadores de acuerdo a bandas de seguridad establecidas dentro de límites que no degradan el desempeño del controlador. Los límites establecidos son:

0.399 0.401dλ< < (6.8)

Las bandas se eligieron por prueba y error y específicamente para las condiciones presentes, es decir, aún cuando la señal de flujo estimado se encuentre en el límite de la banda, el efecto en el seguimiento de la velocidad no es notable, fuera de este límite, el control empieza a degradarse. En la figura 6.9 se muestran los flujos estimados al momento de ocurrir la desconexión. Es notable como el observador que no depende del sensor desconectado se mantiene dentro de la banda de seguridad, en este caso, se trata del observador 3. En la figura 6.10 se muestra el comportamiento de los flujos estimados por los observadores después de efectuada la desconexión.

(s)


108

En la figura 6.11 se muestra la velocidad estimada por los tres observadores y en la

figura 6.12 la señal de velocidad del rotor una vez realizada la reconfiguración.

No se degrada el funcionamiento del controlador, puesto que en condiciones normales de

operación, las corrientes del estator son de igual magnitud y frecuencia y la suma de las tres señales es cero. Al ocurrir una falla de desconexión de sensores de corriente, las salidas de un bloque de estimación de señal continúan cumpliendo las características mencionadas.

En el caso de que ocurra no una desconexión total, sino sólo una modificación de la

señal dada por el sensor, por ejemplo, la multiplicación por una constante, la condición de detección continúa siendo válida y por lo tanto es posible detectar la falla.

Se llevó a cabo la simulación de la falla en el sensor A debida a la multiplicación de la

señal obtenida por una constante, para tal efecto, se incrementó la señal medida en un 20%. La detección se realiza de acuerdo a la validez de la ecuación (6.6). Para la falla presente, la señal de detección es de menor magnitud que la señal de falla por sensor desconectado, como se

Figura 6.9 Flujos estimados al momento de producirse la desconexión

Figura 6.10 Flujos estimados después de realizada la desconexión

Figura 6.11 Velocidades estimadas por los observadores después de producirse la falla

Figura 6.12 Velocidad del rotor

CAPITULO 6

109

puede observar en la figura 6.13 en comparación con la figura 6.8. Por ejemplo, para la falla de sensor completamente desconectado, en t=10.2s la magnitud de la señal es de 12.5± y para el caso actual es de 2.5± .

La localización del sensor dañado tarda más tiempo en realizarse, pues el flujo estimado

por los observadores no se separa de la banda de seguridad con la misma rapidez que la desconexión total del sensor. Cuando ocurrió la desconexión del sensor A, el tiempo máximo para salir de la banda de seguridad es de 0.4 segundos. Para la falla debida a una multiplicación de la señal medida, el tiempo máximo es de 2 segundos como se puede apreciar en la figura 6.14.

Por lo tanto, se puede concluir que el actual esquema de reconfiguración es útil para la

desconexión total de un sensor y también funciona para señales alteradas por el sensor debidas a la multiplicación por una constante de la corriente medida, sin embargo en éste último caso, el tiempo requerido para cambiar al observador insensible a la falla tarda más tiempo en realizarse, puesto que el flujo de los observadores tarda más tiempo en salir de la banda de seguridad. A fin agilizar la estrategia de reconfiguración, es necesario redefinir los límites de la banda para que en un menor tiempo se realice el cambio al observador insensible a la falla.

Figura 6.14 Flujos estimados por los observadores

Figura 6.13 Señal de detección de falla


110

111

Capítulo 7 CONCLUSIONES 7.1 CONCLUSIONES GENERALES

La tesis comprendió principalmente tres campos de estudio para lograr los objetivos,

estos son: control del motor de inducción, diagnóstico de fallas en parámetros y reconfiguración de fallas en sensores. Las conclusiones se organizan en el orden mencionado, sin embargo cabe mencionar que un resultado también importante, fue la obtención de un modelo bifásico del motor de inducción que contempla de manera explícita los valores de las resistencias de los devanados y no englobados en un sólo término como el modelo bifásico de uso común.

El control vectorial utilizado se basa en la orientación de campo magnético del rotor, el

cual presenta algunas ventajas como corto tiempo de simulación y simplicidad de implementación. La desventaja que presenta es que sólo logra un desacoplamiento asíntotico entre las variables de entrada, en este caso la velocidad y el flujo. El uso de observadores hace más complejo el esquema de control llevando a tiempos de simulación más largos e introduciendo errores debido a la convergencia de los observadores.

En cuanto al diagnóstico de fallas, la estrategia empleada se basó en el

desacoplamiento de perturbaciones y para ello se utilizó el teorema de Frobenius. El procedimiento para desacoplar es complicado y tedioso para matrices de perturbación no lineales, sin embargo, en el caso del motor de inducción, todas las matrices de perturbaciones son lineales con respecto a los estados, lo que llevó a desarrollar un programa computacional que realizara todo el proceso. En general, el desacoplo es prácticamente difícil o incluso imposible cuando se desea desacoplar más de una perturbación, por ello sólo se desacopló una función a la vez, dando por resultado observadores sensibles a todas las fallas menos a una. La ventaja de este enfoque radica en la robustez ante falsas alarmas, sin embargo una desventaja es que sólo es posible localizar fallas únicas.

Se obtuvieron tres esquemas de diagnóstico de fallas en el motor de inducción:


112

a) Diagnóstico de fallas utilizando el modelo con resistencias implícitas. Este primer esquema se basa en el modelo de uso común del motor de inducción el cual expresa las resistencias de las tres fases del motor agrupadas en un sólo término. La estrategia de detección y localización consistió en diseñar 3 observadores sensibles a todas las fallas menos a una, con lo que se obtiene un esquema de diagnóstico robusto ante falsas alarmas.

Mediante este esquema es posible detectar y localizar fallas en estator, rotor e

inductancia mutua y además aporta información cuando se presentan variaciones del par de carga, el coeficiente de fricción viscosa y la inercia total. La desventaja de este esquema es que sólo es posible localizar fallas, ya sea en el rotor o estator, pero no es posible localizar el devanado en el cual se produjo la falla.

A partir del modelo del motor de inducción con resistencias explícitas, se desarrollaron

dos esquemas de diagnóstico: Diagnóstico de fallas utilizando el modelo con resistencias explícitas y diagnóstico de fallas utilizando la teoría del marco de referencia.

Al utilizar el modelo del motor con resistencias explícitas, se tiene la ventaja de

detectar y localizar fallas en los devanados del estator y del rotor del motor de inducción de rotor devanando. No es posible con el motor de inducción jaula de ardilla, puesto que tiene barras y no devanados, sin embargo, si se realiza la transformación de fases a barras cabe la posibilidad de localizar fallas en barras, pero este estudio se deja como trabajo futuro.

b) Diagnóstico de fallas utilizando el modelo con resistencias explícitas. Bajo este esquema

se desarrolla un observador por cada fase de estator y rotor. La desventaja encontrada en este esquema, es que al diseñar el observador de la fase C del estator, la transformación correspondiente también desacopla los efectos debidos a las fases A y B. Como consecuencia el observador resultante es insensible ante cualquier falla en el estator. Lo mismo ocurre con la fase C del rotor. A pesar de éste hecho, los residuos encontrados son diferentes para cada falla y permiten su localización. Se hace la aclaración de que la transformación cumple la función de desacoplar las fallas en la fase C, sin embargo no se profundizó en hallar la razón por la cual se desacoplan las demás fallas. Una explicación puede ser la simetría del sistema físico pero este análisis se deja para su posterior estudio.

c) Diagnóstico de fallas utilizando la teoría del marco de referencia. Este otro esquema

desarrollado se basa en el modelo del motor de inducción con resistencias explícitas y la teoría del marco de referencia. Bajo este esquema es posible obtener más observadores a partir de uno que se toma como base. Con este esquema, se supera el problema presente en la estrategia dada en el inciso b), es decir, se logra obtener una matriz de residuos con una diagonal de ceros y por lo tanto la estrategia de diagnóstico es robusta ante falsas alarmas. Otra ventaja que se tiene con este enfoque es la posibilidad de decidir el diseño de los demás observadores, por ejemplo, es posible seleccionar como observador base, aquél que dé residuos más sensibles a las fallas o el que sea más fácil de estabilizar.

En la tabla 7.2 se muestra un resumen de las características de cada esquema de

diagnóstico de fallas utilizado.

CAPITULO 7

113

Tabla 7.1 Resumen de características de los enfoques utilizados Esquema de diagnóstico de fallas Características a) Diagnóstico de fallas utilizando el

modelo con resistencias implícitas • La matriz de residuos es robusta ante

falsas alarmas, pues contiene una diagonal de ceros.

• No es posible localizar específicamente la fase en la cual se produjo la falla, sólo es posible saber si ocurrió ya sea en el estator o rotor.

b) Diagnóstico de fallas utilizando el modelo con resistencias explícitas

• No se obtiene una matriz diagonal de ceros, por lo cual no se puede asegurar que la estrategia de diagnóstico sea robusta ante falsas alarmas.

• Es posible detectar y localizar exactamente la fase en la cual se produjo la falla, es decir, es posible saber si la falla ocurrió en el estator o rotor y además saber en cual de las tres fases

c) Diagnóstico de fallas utilizando la teoría del marco de referencia

• La matriz de residuos es robusta ante falsas alarmas, pues contiene una diagonal de ceros.

• Es posible detectar y localizar exactamente la fase en la cual se produjo la falla

• Existe libertad en la selección del comportamiento de los observadores, es decir, se pueden diseñar observadores muy sensibles a fallas u observadores fáciles de estabilizar, etc.

También se llevó a cabo el control vectorial en conjunto con el esquema de diagnóstico

que utiliza el modelo con resistencias implícitas. El principal resultado es que el diagnóstico de las fallas se realiza sólo en determinados rangos, establecidos por la estabilidad del control vectorial respecto a las fallas. Se tiene que el control es muy sensible a fallas en la resistencia del rotor e inductancia mutua. La inductancia mutua sólo puede tener fallas menores al 5% de su valor nominal y la resistencia del rotor no debe reducirse más del 60%; en ambos casos si no se cumplen las condiciones establecidas, el control se vuelve inestable. Dentro de los límites establecidos, el diagnóstico de fallas se realiza satisfactoriamente. Todas las pruebas realizadas se hicieron con una referencia de velocidad variable y se concluye que el diagnóstico de fallas en parámetros diseñado cumple con las condiciones de detectabilidad y de localización requeridas, pero solo en límites precisos.

En cuanto a la reconfiguración de fallas en sensores de corriente, las pruebas muestran

que la estrategia utilizada logra el seguimiento de la velocidad con respecto a una referencia variable en presencia de falla (sensor desconectado), esto se debe a que la señal obtenida a partir de bloques de estimación, guarda las características principales de la señal faltante, su magnitud y frecuencia, por lo tanto, existe un observador que estima las variables de forma correcta. Las variables estimadas por el observador insensible a la desconexión son introducidas al control.


114

El estudio de reconfiguración trató con desconexiones súbitas y permanentes de sensores. También se realizaron pruebas de falla con sensores que entregan señales alteradas por una ganancia. Se tiene que el esquema de detección de la falla continúa siendo válido, pero la localización tarda más tiempo en realizarse, esto debido a las bandas de seguridad establecidas. Para mejorar el cambio del observador erróneo al observador insensible a la falla, se debe establecer una nueva banda de seguridad.

7.2 TRABAJOS FUTUROS

El modelo con resistencias explícitas puede mejorarse incluyendo el modelado de las

barras del rotor, para obtener una correspondencia física más cercana entre el modelo y el motor. Esto conduciría a mejorar la estrategia de diagnóstico de fallas, permitiendo la posibilidad de estudiar la localización de fallas en las barras del rotor.

En cuanto al diagnóstico de fallas en parámetros, se propone continuar con el análisis

del diagnóstico de fallas en parámetros en conjunto con el control vectorial, pero ahora utilizando el modelo con resistencias explícitas. Llevar a cabo las pruebas necesarias para establecer los límites dentro de los cuales son válidas las estrategias establecidas por las tablas de residuos.

En cuanto a la reconfiguración de fallas, se debe investigar la aplicación del esquema

del observador dedicado y comparar los resultados con el esquema del observador generalizado. Se propone la siguiente estrategia: suponga que se puede diseñar un observador para la fase A y sensible sólo a la desconexión de la misma fase, a continuación, utilizando la teoría del marco de referencia, se obtienen dos observadores más, orientados con las fases B y C. Si un sensor se desconecta, sólo se verá afectado el observador que esté orientado con esa fase, y los restantes serán insensibles. Bajo este esquema cabe la posibilidad de desconectar incluso dos sensores, pero todo esto debe ser analizado.

Las pruebas realizadas en lo referente a la reconfiguración de fallas abarcan la

desconexión permanente de un sensor, así como también una desconexión parcial, es decir, cuando la señal medida se encuentra multiplicada por un factor constante. Sin embargo, como actividad futura se propone analizar la reconfiguración del sistema, pero no ante una desconexión permanente, sino múltiples desconexiones intermitentes, así como también considerar fallas debidas al desplazamiento de la señal medida (off-set). Este último punto se refiere a que la señal medida puede estar desplazada en una cantidad escalar.

El problema de múltiples desconexiones intermitentes se puede abordar a partir del

tiempo necesario para realizar la reconfiguración, esto es, si la desconexión y reconexión ocurren antes de que los observadores diverjan fuera de los límites de la banda de seguridad, entonces no se estará realizando ninguna acción de reconfiguración del sistema, puesto que no se requirió, sin embargo, es necesario estudiar el efecto que produce la desconexión intermitente de forma continua y no solo en una ocasión. En este caso es necesario analizar los límites de la banda de seguridad y el comportamiento del motor de inducción en general, ya sea para establecer nuevos límites de seguridad o detener el funcionamiento del motor en caso extremo.

CAPITULO 7

115

La reconfiguración de fallas en sensores de voltaje también es una actividad futura. Se propone realizar el diagnóstico utilizando los observadores perturbación desacoplada utilizados en el capítulo cinco. Ahora se considera desacoplar los efectos de las variaciones del voltaje para obtener un modelo insensible y a partir del modelo desacoplado diseñar un observador, el cual aportará las señales correctas.


116

117

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120

A-1

Apéndice A DESACOPLAMIENTO DE PERTURBACIONES UTILIZANDO EL TEOREMA DE FROBENIUS A.1 DESACOPLAMIENTO DE sR EN EL MODELO CON FASES IMPLÍCITAS

A continuación se desacoplará la matriz de perturbación debida a las fallas en la resistencia del devanado del estator.

La matriz de perturbación es:

( ),

0

r qs

r ds

qss

ds

L IL I

f x uMI

RMI

ξξξξ

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥∂⎢ ⎥=

∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.1)

A partir de (A.1), se debe de seleccionar su espacio generador, es decir, el conjunto de

funciones que contiene a la matriz de perturbación. Por ejemplo, tomando el caso de la matriz que modela las variaciones de sR , se tienen los siguientes espacios generadores:

( ) ( )

0

r qs

r ds

qs

ds

L IL I

E x x MIMI

ξξξξ

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ∆ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.2) ( )

00

000 0

r qs

r ds

qs

ds

L IL I

x MIMI

ξξ

ξξ

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

∆ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.3)


A-2

( )

00

000 0

r qs

r ds

qs

ds

L IL I

x MIMI

ξξ

ξξ

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

∆ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.4) ( )

000

00 0

r qs

r ds

qs

ds

L IL I

x MIMI

ξξξ

ξ

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

∆ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.5)

( )

0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0 0

r qs

r ds

qs

ds

L IL I

x MIMI

ξξ

ξξ

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

∆ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.6)

Sin embargo, no cualquier distribución puede ser de utilidad pues para poder aplicar el

teorema de Frobenius la distribución debe ser involutiva, esto es, debe cumplir con la siguiente condición [17]:

( ) ( ) ( )( ),i jrank x x x q∆ ∆ ∆ =⎡ ⎤⎣ ⎦ (A.7)

para i,j=1…q y ( )i x∆ denota la i-ésima columna de ( )x∆ y ( ) ( ),i jx x∆ ∆⎡ ⎤⎣ ⎦ es el llamado paréntesis de Lie definido por:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ), j ii j i j

x xx x x x

x x∂∆ ∂∆

∆ ∆ = ∆ − ∆⎡ ⎤⎣ ⎦ ∂ ∂ (A.8)

Si la condición (A.7) se cumple, entonces por el Teorema de Frobenius, se dice que la

distribución es completamente integrable. La demostración del Teorema de Frobenius implica la resolución de la ecuación

diferencial parcial del tipo:

( ) 0T E xx

∂=

∂ (A.9)

Este tipo especial de ecuación diferencial puede ser interpretado como la transformación

que desacopla un conjunto de funciones, que en este caso pueden ser perturbaciones. La ecuación diferencial (A.9) se resuelve al aplicar la demostración del teorema de

Frobenius. El procedimiento se resume a continuación [2]:

1. Compruebe la integrabilidad de la matriz ( )E x utilizando la condición (A.7).

El rango de ( )E x es q .

2. Encuentre una matriz ( )*E x tan simple como sea posible, de manera que la matriz

( ) ( ) ( )( )*x E x E xε = (A.10) tenga rango n.

APÉNDICE A

A-3

3. Resuelva el conjunto de ecuaciones diferenciales dadas por:

( )( )i ii

dx e x zdz

= (A.11)

donde ie denota la i-ésima columna de ( )xε y la variable iz representa una variable independiente de integración para la i-ésima columna. Formalmente dicha variable es el t (tiempo), sin embargo, para evitar confusión en la notación de los pasos posteriores, se manejaran variables independientes “distintas”, sin olvidar que es la variable t.

4. La solución de (A.11) describe el flujo del campo vectorial ( )xε .Denotando el flujo por ( )0,i ix p z x= se tiene:

( )0,i

i

ez i ip z xΦ = (A.12)

El cual está definido por:

( ) ( )( ),i

i i

i

ez e

i zi

d xe x x

dzΦ

= Φ (A.13)

5. La solución de la ecuación diferencial parcial (A.9) se construye tomando la función compuesta de los flujos asociados al campo vectorial ( )xε en la variable x, esto es:

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 20 , n

n

ee ez z zx z x x xψ = Φ Φ Φ (A.14)

6. La solución deseada esta dada por las últimas n q− columnas del mapeo inverso ( )1

0,x xψ − . Al aplicar el procedimiento anterior al conjunto de espacios generadores de la matriz

de perturbaciones de sR dados por las ecuaciones (A.2) a (A.6), se encuentra que la distribución (A.5) no es involutiva y por lo tanto el procedimiento anterior no puede proseguir.

Se aplicará el procedimiento con la matriz dada por (A.3) 1. El rango de (A.3) es dos y además: ( ) ( ) ( )( ), 2i jrank x x x∆ ∆ ∆ =⎡ ⎤⎣ ⎦ (A.15)

2. A continuación se debe de completar el rango de ( )x∆ hasta que sea igual al

número de variables de estado, que en este caso son cinco variables. Por ejemplo:

( )

0 0 0 00 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 0 1

r qs

r ds

qs

ds

L IL I

x MIMI

ξξ

ε ξξ

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.16)

3. Se resuelve el conjunto de ecuaciones diferenciales dadas por las columnas de

( )xε . En el caso de las matrices generadas, se observa que son lineales con respecto a las variables de estado, así, para la primera columna se tiene:


A-4

1

2

3

4

5

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

qsr qs r r

ds

qrqs

dr

r

xIL I L LxIxIMI M MxIx

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ω

− − − ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(A.17)

más aún, si se define una entrada ( )u t se obtiene para la primera columna la forma:

( )

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

rx xLx xx x u tMx xx x

ξ

ξ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(A.18)

y para la tercera columna:

( )

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

x xx xx x u tx xx x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(A.19)

En general se tiene la ecuación lineal invariante en el tiempo no homogénea: ( ) ( ) ( )x t x t u t= +A B (A.20)

la cual es posible resolver utilizando la transformada de Laplace. Se toma la transformada de Laplace de la última ecuación:

( ) ( ) ( ) ( )0s s x s s− = +X AX BU (A.21) o bien

( ) ( ) ( ) ( )0s s s− = +I A X x BU (A.22)

Premultiplicando ambos miembros de esta ecuación por ( ) 1s −−I A se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10s s s s− −= − + −X I A x I A BU (A.23)

Sin embargo:

( )2 2 3 3

1

2! 3!Att ts t e−− = + + + + =

A AI A I A (A.24)

por lo tanto: ( )s =X L{ } ( )0 +Ate x L { } ( )Ate sBU (A.25)

A continuación se debe hallar la transformada inversa de Laplace por medio de la integral de convolución del modo siguiente:

APÉNDICE A

A-5

L

( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( )0

0

1

0τ τ τ

−

− −

=

= + ∫tA t t A t

t

t X s

e t e d

x

x BU (A.26)

Para la primera columna se tiene:

( )

0 0 0 00 0 0 0

0 0 00 0 0 00 0 0 0

rs Ls

s M ss

s

ξ

ξ

+⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

− = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

I A (A.27)

La inversa es:

( )( )

1

1 0 0 0 0

10 0 0 0

10 0 0

10 0 0 0

10 0 0 0

r

r

s L

sMs

s s L s

s

s

ξ

ξξ

−

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥− = ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

I A (A.28)

La transformada inversa de Laplace es:

( ) ( )11

0 0 0 00 1 0 0 0

1 0 1 0 0L

0 0 0 1 00 0 0 0 1

r

r

L t

L t

r

e

M esL

ξ

ξ

−

− −−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ −− = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

I A (A.29)

Al sustituir (A.29) y B en la ecuación (A.26) se obtiene:


A-6

( ) ( )

( )

( )( ) ( )0

0102030405

01

02

0 0 0 0 0 0 0 00

0 1 0 0 0 0 1 0 0 00

1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 00

0 0 0 1 0 0 0 0 1 00

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

r r

r r

r

L t L t

tL t L t

tr r

L t

r

e exx

M Me et u dxL L

xx

x ex

ML

ξ ξ τ

ξ ξ τ

ξ

τ τ

− − −

− − −

−

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

∫x

( )0 01 3

0405

1 rL tx e x

xx

ξ−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.30) Lo cual representa la solución de la primera columna de ( )xε . De la misma forma se

resuelven las ecuaciones diferenciales dadas por las demás columnas de ( )xε dando por resultado: para la columna 1

( )( )( )

( ) ( )

( )

01 1

02 2

03 3

0 04 2 4

05 5

1

r

r

L t

L t

r

x t x

x t x e

x t xMx t e x xL

x t x

ξ

ξ

−

−

=

=

=

= − +

=

(A.31)

para la columna 3

( )( )( )( )( )

01 1

02 2

03 3

04 4

05 5

x t x

x t x

x t t x

x t x

x t x

=

=

= +

=

=

(A.32)

para la columna 4

( )( )( )( )( )

01 1

02 2

03 3

04 4

05 5

x t x

x t x

x t x

x t t x

x t x

=

=

=

= +

=

(A.33)

para la columna 5

APÉNDICE A

A-7

( )( )( )( )( )

01 1

02 2

03 3

04 4

05 5

x t x

x t x

x t x

x t x

x t t x

=

=

=

=

= +

(A.34)

4. De cada solución encontrada para las filas de la matriz ( )xε se expresan los flujos

vectoriales en función de z’s.

( ) ( )

1

11

1

1

2

1 3

4

5

1

r

r

L z

L zfz

r

x ex

M e x xxL

xx

ξ

ξφ

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

− += ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.35) ( )( )

2

2

2

2

1

2

3

2 4

5

1

r

r

L z

fz

L z

r

xx e

xx

M e x xL

x

ξ

ξ

φ

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.36)

( )3

3

1

2

3 3

4

5

fz

xx

x z xxx

φ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.37) ( )4

4

1

2

3

4 4

5

fz

xx

x xz x

x

φ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.38) ( )5

5

1

2

3

4

5 5

fz

xx

x xx

z x

φ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(A.39)

5. A continuación se toma la convolución de las funciones sobre el argumento x.

( )54

4 5

1

2

3

4 4

5 5

ffz z

xx

x xz xz x

φ φ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟

+⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(A.40) ( )3 54

3 4 5

1

2

3 3

4 4

5 5

f ffz z z

xx

x z xz xz x

φ φ φ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟

+⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(A.41)

( )( )

2

3 52 4

2 3 4 5

2

1

2

3 3

2 4 4

5 5

1

r

r

L z

f ff fz z z z

L z

r

xx ez x

xM e x z xL

z x

ξ

ξ

φ φ φ φ

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+

= ⎜ ⎟⎜ ⎟− + +⎜ ⎟⎜ ⎟

+⎝ ⎠

(A.42)


A-8

( ) ( )

( )

1

2

1

3 51 2 4

1 2 3 4 5

2

1

2

1 3 3

2 4 4

5 5

1

1

r

r

r

r

L z

L z

L zf ff f f

z z z z z r

L z

r

x ex e

M e x z xx L

M e x z xL

z x

ξ

ξ

ξ

ξ

φ φ φ φ φ

−

−

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

− + +⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟

− + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(A.43)

Se evalúa en un punto de equilibrio 0x .

( ) ( )

( )

1

2

1

3 51 2 4

1 2 3 4 5

2

0102

0 01 3 30

0 02 4 4

05 5

1

1

r

r

r

r

L z

L z

L zf ff f f

z z z z z r

L z

r

x ex e

M e x z xx L

M e x z xL

z x

ξ

ξ

ξ

ξ

φ φ φ φ φ

−

−

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

− + +⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟

− + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(A.44)

Dicho punto de equilibrio no debe anular renglones o variables z´s de la función

compuesta encontrada. En el caso de la ecuación (A.44) el punto de equilibrio [ ]0 1 1 0 0 0x = es factible de ser utilizado. De manera que se obtiene una función

vectorial ( )zΨ definida por

( ) ( )

( )

1

2

1

2

1

23

3

44

5

5

1

1

r

r

r

r

L z

L z

L z

r

L z

r

ex ex M e zx z Lx M e zx L

z

ξ

ξ

ξ

ξ

−

−

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ − +⎜ ⎟= Ψ =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.45)

A partir de la última ecuación, se debe obtener la función inversa, es decir, despejar las

variables z y expresarlas en función de x . Esto se puede hacer primero despejando 1z y 2z de las dos primeras columnas:

1 1

2 2

1 ln

1 ln

r

r

z xL

z xL

ξ

ξ

= −

= − (A.46)

Ahora se sustituye 1z y 2z en la tercera y cuarta fila respectivamente y se despejan las variables 3z y 4z dando por resultado:

APÉNDICE A

A-9

3 1 3

4 2 4

r r

r r

M Mz x xL LM Mz x xL L

= + −

= + − (A.47)

La solución de la fila cinco se encuentra explícita, de manera que la transformación inversa buscada es:

( )

1

12

2

31 3

4

52 4

5

1 ln

1 ln

r

r

r r

r r

xL

zx

Lzz x M Mx x

L LzM Mz x xL L

x

ξ

ξ

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟= Ψ =⎢ ⎥

+ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.48)

6. Por último se seleccionan las últimas n q− columnas de la función inversa, las

cuales representan la solución buscada a la ecuación diferencial parcial (A.9), esto es:

( )

1 3

1 2 4

5

qs qrr r r r

ds drr r r r

r

M M M Mx x I IL L L LM M M MT x x x I IL L L L

x ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= + − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(A.49)

Con objeto de verificar el resultado obtenido se realiza la comprobación:

( ) ( )1

0 1 0 00

0 0 1 0 00

0 0 0 0 10

r qsr

r ds

qsr

ds

M L IL

L IT x ME x MI

x LMI

ξξξξ

⎛ ⎞ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(A.50)

A fin de facilitar el cálculo de las transformaciones, se desarrollo en MATLAB un

programa que desarrolla todo el proceso anteriormente descrito por medio de una interfaz gráfica, la cual se muestra en la figura 2.1a. Los resultados son mostrados en el ambiente de trabajo de MATLAB como se puede apreciar en la figura 2.1b.


A-10

(a) (b) Figura A.1 Programa de desacoplamiento de perturbaciones. (a) Interfaz de Usuario (b)

Resultados obtenidos en el ambiente de trabajo

A.2 DESACOPLAMIENTO DE saR EN EL MODELO CON FASES EXPLÍCITAS

A continuación se desacopla la matriz de perturbaciones debidas a las fallas en la resistencia de la bobina de la fase A del estator del modelo del motor de inducción con fases explícitas.

Se selecciona el espacio generador de la matriz de perturbación ( )1E x como:

( )

23

023

00

r qs

qs

L I

x MI

ξ

ξ

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∆ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A.51)

Se completa el rango hasta cinco con vectores columna elementales, esto es, con

vectores [0 1 0]ie = ’, que contiene un 1 en la i-ésima posición, así tenemos:

APÉNDICE A

A-11

( ) ( )( )2 3 4 5

2 0 0 0 03

0 1 0 0 02 0 1 0 03

0 0 0 1 00 0 0 0 1

r qs

ds

L I

x x e e e eMI

ξ

εξ

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ∆ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.52)

Se resuelven las ecuaciones diferenciales dadas por las columnas de ( )xε dando por

resultado: para columna 1

( )( )

( )

( )( )

20 3

1 1

02 2

20 03

3 1 3

04 4

05 5

1

r

r

L t

L t

r

x t x e

x t t x

Mx t x e xL

x t x

x t x

ξ

ξ

−

−

=

= +

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠=

=

(A.53)

para columna 2

( )( )( )( )( )

01 1

02 2

03 3

04 4

05 5

x t x

x t t x

x t x

x t x

x t x

=

= +

=

=

=

(A.54)

para la columna 3

( )( )( )( )( )

01 1

02 2

03 3

04 4

05 5

x t x

x t x

x t t x

x t x

x t x

=

=

= +

=

=

(A.55)

para la columna 4

( )( )( )( )( )

01 1

02 2

03 3

04 4

05 5

x t x

x t x

x t x

x t t x

x t x

=

=

=

= +

=

(A.56)

para la columna 5


A-12

( )( )( )( )( )

01 1

02 2

03 3

04 4

05 5

x t x

x t x

x t x

x t x

x t t x

=

=

=

=

= +

(A.57)

5. De cada solución encontrada para las filas de la matriz ( )xε se expresan los flujos

vectoriales, en función de z’s.

( )

1

1 11

23

1

223

1 3

4

5

1

r

r

L z

f L zz

r

x ex

Mx e x xL

xx

ξ

ξφ

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.58) ( )2

2

1

2 2

3

4

5

fz

xz x

x xxx

φ

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.59)

( )3

3

1

2

3 3

4

5

fz

xx

x z xxx

φ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.60) ( )4

4

1

2

3

4 4

5

fz

xx

x xz x

x

φ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.61) ( )5

5

1

2

3

4

5 5

fz

xx

x xx

z x

φ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(A.62)

5. A continuación se toma la convolución de las funciones sobre el argumento x.

( )54

4 5

1

2

3

4 4

5 5

ffz z

xx

x xz xz x

φ φ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟

+⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(A.63) ( )3 54

3 4 5

1

2

3 3

4 4

5 5

f ffz z z

xx

x z xz xz x

φ φ φ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟

+⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(A.64)

( )3 52 4

2 3 4 5

1

2 2

3 3

4 4

5 5

f ff fz z z z

xz x

x z xz xz x

φ φ φ φ

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟

+⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(A.65)

APÉNDICE A

A-13

( ) ( )

1

13 51 2 4

1 2 3 4 5

1

2 2

1 3 3

4 4

5 5

1

r

r

L z

L zf ff f fz z z z z

r

x ez x

M e x z xxL

z xz x

ξ

ξφ φ φ φ φ

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟

− + += ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟

+⎝ ⎠

(A.66)

Se evalúa en un punto de equilibrio 0x .

( ) ( )

1

13 51 2 4

1 2 3 4 5

01

02 2

0 001 3 3

04 4

05 5

1

r

r

L z

L zf ff f fz z z z z

r

x ez x

M e x z xxL

z xz x

ξ

ξφ φ φ φ φ

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟

− + += ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟

+⎝ ⎠

(A.67)

Dicho punto de equilibrio no debe anular renglones o variables z´s de la función

compuesta encontrada. En el caso de la ecuación (A.67) el punto de equilibrio [ ]0 1 0 0 0 0x = es válido, de esta forma se obtiene una función vectorial ( )zΨ definida

por

( ) ( )

1

1

12

2

33

44

55

1

r

r

L z

L z

r

ex

zx

M e zx zL

xz

xz

ξ

ξ

−

−

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟

− += Ψ =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

(A.68)

La transformación inversa se obtiene despejando 1z de la primera ecuación.

1 12 1 log3 r

z xLξ

= − (A.69)

Sustituyendo la ecuación (A.69)en la tercera ecuación de (A.68) se obtiene:

3 1 3r r

M Mz x xL L

= + − (A.70)

El despeje de las ecuaciones restantes se encuentra explícito, por lo tanto la

transformación inversa es:


A-14

( )

11

2 2

31 3

4

45

5

3 1 ln2 r

r r

xLz

z xz x M Mx x

L Lzxzx

ξ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = Ψ = ⎜ ⎟+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.71)

La solución está dada por las ultimas cuatro ecuaciones, puesto que el rango de la matriz

de perturbaciones es uno (q=1) y el número de variables es cinco (n=5), de manera que con base en el teorema de Frobenius, existen n-q=4 funciones que desacoplan la matriz de perturbación. La transformación es:

( )

2

1 31

4

5

ds

qs qrr r r r

dr

r

x IM M M Mx x I IL L L LT x

x Ix ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(A.72)

Se puede elegir una transformación más sencilla a partir de la obtenida en (A.72), por

ejemplo:

( )1

ds

qs r qr

dr

r

IMI L I

T xIω

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.73)

B-1

Apéndice B MANUAL DEL USUARIO SOBRE EL USO DE LOS PROGRAMAS DE SIMULACIÓN

B.1 MODELO TRIFÁSICO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN Carpeta: \Motor de inducción\Modelo trifásico\Simulación en función S

Simula el motor de inducción modelado en tres fases. Se debe ejecutar el programa principal.m para obtener las gráficas correspondientes a los voltajes de alimentación trifásicos, el par generado, la velocidad y las corrientes de estator y rotor. B.2 MODELO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN BAJO LA TEORÍA DEL MARCO DE

REFERENCIA Carpeta: \Motor de inducción\Según Krausse y Ong

El programa principal_MI.m al ejecutarse despliega un menú que contiene los distintos tipos de motores utilizados durante la tesis. El menú se muestra en la figura B-1.

Se deben seleccionar los parámetros del motor de inducción que se desea simular y a continuación elegir el marco de referencia. El programa ejecuta el modelo desarrollado en Simulink y una vez terminado el proceso, muestra las gráficas correspondientes al voltaje de alimentación trifásico y su equivalente bifásico en el marco de referencia seleccionado, la velocidad, el par generado, las corrientes de estator y rotor.

Diagnóstico y acomodación de fallas en el motor de inducción utilizando observadores no lineales

B-2

Figura B-1 Menú que muestra los parámetros de los motores utilizados

B.3 CÁLCULO DE LAS VARIABLES DEL MOTOR DE INDUCCIÓN EN ESTADO

ESTABLE A partir de los procedimientos mostrados en el capítulo tres de la tesis, se crea un programa que calcula el valor de las corrientes del estator y rotor en estado estable. El nombre de programa es estado_estable.m.

El programa puede calcular el valor de las corrientes en estado estable de cualquier motor, siempre que se encuentren sus parámetros en el archivo valores.m. El programa cuenta con una colección de archivos de extensión mat que guardan el desarrollo dinámico de las variables de los motores listados en valores.m. Esto con el fin de comparar las corrientes obtenidas en las simulaciones dinámica y estática.

Figura B-2 Menú del programa estado_estable.m

APÉNDICE B

B-3

B.4 GENERACIÓN DE DISTINTOS MODELOS BASADOS EN CORRIENTE Se ejecuta el programa modelo_corrientes.m para generar distintos modelos del motor de inducción. Es posible seleccionar el marco de referencia, también es posible obtener un modelo que exprese de manera explícita los valores de las resistencias de las bobinas del motor. El menú que aparece al ejecutar el programa es el siguiente:

Figura B-3 Menú del programa modelo_corrientes.m donde se deben seleccionar las

características del modelo del motor de inducción

Conforme el programa solicita al usuario las especificaciones, se va a avanzando hasta que al final se despliega el modelo solicitado La nomenclatura utilizada corresponde a la siguiente: Iqs, Ids, I0s Corrientes de los devanados del estator Iqr, Idr, I0r Corrientes de los devanados del rotor Rs, Rr Valor de la resistencia del devanado del estator y rotor respectivamente Rsa, Rsb, Rsb Valor de la resistencia de los devanados de las fases a, b y c del estator Rra, Rrb, Rb Valor de la resistencia de los devanados de las fases a, b y c del rotor Ls, Lr Valor de la inductancia del devanado del estator y rotor respectivamente M Inductancia mutua np Número de pares de polos wr Velocidad del eje del motor en rpm J Inercia del rotor


B-4

TL Par de carga B Coeficiente de fricción viscosa vqs, vds Voltajes bifásicos de alimentación B.5 MODELO EN EL MARCO DE REFERENCIA FIJO AL ESTATOR (Marino)

Se debe ejecutar el programa principal.m a fin de obtener las dinámicas correspondientes a la velocidad, las corrientes de estator y rotor y el par de carga del modelo del motor de inducción fijo al rotor dado en las ecuaciones (3.78) a (3.82). El programa se encuentra en la carpeta \Según Ricardo Marino\simulación ab0_s_function B.6 MODELO EN EL MARCO DE REFERENCIA FIJO AL ROTOR (Marino)

Al ejecutar el programa principal.m de la carpeta \Según Ricardo Marino\simulación qd0_s_function se simula el modelo del motor de inducción correspondiente al marco de referencia fijo al rotor dado en la ecuación (3.102) B.7 MODELO BILINEAL

El programa principal.m de la carpeta MODELO_BILINEAL simula el modelo correspondiente a la representación bilineal del motor de inducción dada por la ecuación (3.104)

B.8 MODELO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN CON FASES EXPLÍCITAS El programa principal.m de la carpeta \motor_Rabc simula el modelo del motor de inducción con resistencias explícitas. La ventaja de este modelo es que es posible producir fallas en las resistencias de los devanados del motor de inducción y el efecto pasa directamente a la transformación de variables, esto es, de tres fases a su equivalente bifásico. B.9 DETERMINACIÓN DE LAS FUNCIONES QUE DESACOPLAN

PERTURBACIONES A correr el programa GUI1 se resuelve el teorema de Frobenius para desacoplar la matriz de perturbaciones ya sea de la resistencia de estator o rotor. El primer paso consiste en definir el parámetro a desacoplar para obtener la matriz de perturbación. Se puede elegir desacoplar la resistencia del estator o del rotor, esto se muestra en el primer menú que aparece en el workspace de MATLAB, el menú se muestra en la figura B-4.

APÉNDICE B

B-5

Figura B-4 Selección del parámetro a desacoplar

Se debe de elegir el número de la opción. Si se desea desacoplar la matriz de perturbaciones correspondiente a la resistencia del

estator, se debe de elegir 1 (y presionar enter). A continuación aparece una interfaz gráfica donde se define la forma del espacio generador, esto se muestra en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1:

Si la matriz de perturbaciones es la siguiente:

0

r qs

r ds

qs

r qs

L IL IMIL I

ξξξξ

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Se deben seleccionar las opciones marcadas en la figura B-5.

Figura B-5 Selección de la matriz de perturbaciones. Ejemplo 1


B-6

Ejemplo 2: Si la matriz de perturbaciones es:

0

00

00 0

r qs

r ds

qs

r qs

L IL I

MIL I

ξξ

ξξ

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Se deben seleccionar las opciones

marcadas en la figura B-6.

Una vez elegida la distribución, se debe de completar el rango hasta 5 con los vectores elementales dados en la parte inferior de la intefaz.

Por ejemplo, para el siguiente espacio generador:

0 0 0 00 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 0 1

r qs

r ds

qs

r qs

L IL I

MIL I

ξξ

ξξ

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

se eligen las opciones marcadas en la figura B-7.

después de presiona continuar.

Figura B-6 Selección de la matriz de perturbaciones. Ejemplo 2

Figura B-7 Selección de vectores elementales

APÉNDICE B

B-7

En el desarrollo del programa aparece el siguiente mensaje en el workspace donde solicita el punto de equilibrio, el cual debe ser elegido de acuerdo al último resultado obtenido. Ver figura B-8

El último resultado muestra un conjunto de funciones. Se observa que si x10 o x20 son cero, dichas filas se anulan, entonces no es posible obtener una transformación inversa. Se elige para x10 y x20 un valor igual a 1. En cuanto a los valores de las variables x30, x40 y x50 se puede seleccionar cero, de manera que el punto de equilibrio sería

0102030405

11000

xxxxx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

lo cual debe ser introducido como [1 1 0 0 0], se presiona enter y se continua con la ejecución normal del programa hasta obtener la transformación inversa y la comprobación como se muestra en la figura B-9.

Figura B-8 Selección del estado estable

COMPROBACIÓN

TRANSFORMACIÓN

Figura B-9 Transformación que desacopla la perturbación


B-8

B.10 DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN PARÁMETROS UTILIZANDO EL MODELO DEL MOTOR CON RESISTENCIAS IMPLÍCITAS

Se debe correr el programa principal.m de la carpeta \diagnostico\implicito. A continuación se debe abrir el archivo de simulink motor_NUIO.mdl. Para establecer una falla se posiciona el ratón sobre la figura del motor y se presiona dos veces el botón izquierdo (figura B-10a). Aparece una pantalla (figura B-10b) donde se selecciona el tiempo en que ocurre la falla, así como también el valor de la resistencia de estator (Rs), resistencia de rotor (Rr), inductancia mutua (M) y par de carga (TL). Todos los parámetros indican 100% y expresan los valores nominales. La falla se establece variando el valor de este porcentaje, por ejemplo, para establecer una falla en la resistencia del rotor se teclea el porcentaje al momento de ocurrir la falla.

(a) (b)

Figura B-10 Diagnóstico de fallas en parámetros. (a) Archivo motor_NUIO.mdl. (b) Pantalla de definición de fallas

B.11 DIAGNÓSTICO DE FALLAS EN PARÁMETROS UTILIZANDO EL MODELO

DEL MOTOR CON RESISTENCIAS EXPLÍCITAS Se debe correr el programa principal.m de la carpeta \diagnostico\explicito. Se abre el archivo motor_NUIO.mdl. Para definir las fallas se posiciona el ratón sobre la figura del motor y se presiona dos veces el botón izquierdo. Aparece la pantalla dada en la figura B-11 donde se teclea un nuevo valor para el parámetro seleccionado.

Figura B-11 Pantalla donde se define la falla

APÉNDICE B

B-9

B.12 RECONFIGURACIÓN DE FALLAS EN SENSORES EN EL MOTOR DE INDUCCIÓN

Se debe correr el programa principal.m de la carpeta \reconfig para cargar los valores

iniciales y a continuación abrir el archivo MI_GOS.mdl. Para seleccionar el sensor que se desconecta, se posiciona el ratón sobre el bloque generador de falla y se presiona dos veces el botón izquierdo del ratón. Aparece una pantalla en donde se debe seleccionar el tiempo en que la falla ocurre. Un sensor desconectado se selecciona tecleando 1 en la correspondiente casilla (ver figura B-12).

Figura B-12 Selección del sensor con falla

Falla en sensor A

protada de tesis2 - cenidet...1.8.2 clasificación de las fallas presentes en los motores de...

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