propulsión problemas
DESCRIPTION
aeroTRANSCRIPT
-
Andrs Zarabozo Martnez
Propulsin. Problemas
Ingeniera Aeronutica
ETSEIAT
2011
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 2 -
Acerca de estos apuntes
Estos apuntes se han realizado para cubrir el temario de la asignatura Propulsin, que se imparte
en el cuarto curso de Ingeniera Aeronutica, en la Escola Tcnica Superior dEnginyeries Industrial i
Aeronutica de Terrassa, de la Universitat Politcnica de Catalunya (ETSEIAT UPC).
Licencia
Esta obra est bajo una licencia Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-SA 3.0) de
Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite:
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es_ES
En lneas generales:
Es libre de:
Compartir Copiar, distribuir y comunicar pblicamente la obra.
Transformar la obra y crear obras derivadas.
Hacer un uso comercial de esta obra.
Bajo las condiciones siguientes:
Reconocimiento Debe reconocer al autor de la obra original (pero no de una manera que
sugiera que tiene su apoyo o apoya el uso que hace de su obra).
Compartir bajo la Misma Licencia Si altera o transforma esta obra, o genera una obra
derivada, slo puede distribuir la obra generada bajo una licencia idntica a sta.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 3 -
0. ndice
0. ndice ............................................................................................................................................... 3
1. Aerorreactores ................................................................................................................................ 4
Problema 1. Consumo especfico respecto al peso del motor ........................................................ 4
Problema 2. Parmetro de flujo de masa en funcin de Mach ....................................................... 7
Problema 3. Variaciones del flujo en funcin del Mach ................................................................ 11
Problema 4. Problema terico ...................................................................................................... 14
Problema 5. Boeing 707 ................................................................................................................ 17
Problema 6. Turbofn para el B707 ............................................................................................... 22
Problema 7. Variaciones del empuje adimensional e impulso especfico .................................... 27
Problema 8. Estatorreactor ........................................................................................................... 33
Problema 9. Resistencia de entrada .............................................................................................. 36
Problema 10. Compresor ............................................................................................................. 39
Problema 11. Turbina .................................................................................................................. 44
Problema 12. Actuaciones de un UAV ......................................................................................... 47
Problema 13. Actuaciones de un caza ......................................................................................... 51
2. Motor cohete ................................................................................................................................ 56
Problema 1. Calculo de empujes y de reas de un motor cohete ................................................. 56
Problema 2. Aplicacin de la segunda ley de Newton .................................................................. 63
Problema 3. Sistema de defensa antiarea basado en misiles ..................................................... 66
Problema 4. Perdidas por efecto de la no uniformidad ................................................................ 70
Problema 5. Tobera aerospike ...................................................................................................... 72
Problema 6. Estudio de tobera utilizando el mtodo de las caractersticas ................................. 76
Problema 7. Cohete de agua ......................................................................................................... 85
Problema 8. Diseo de una tobera ideal bidimensional ............................................................... 88
Problema 9. Efecto de partculas en el flujo .................................................................................. 95
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 4 -
1. Aerorreactores
Problema 1. Consumo especfico respecto al peso del motor
El principal objetivo de los desarrolladores de motores es obtener un consumo especfico de
combustible mnimo. Menos combustible quemado permite ms carga de pago en los aviones. Pero
desafortunadamente la reduccin en el consumo especfico de combustible implica motores ms
grandes y pesados (debido a relaciones de presiones mayores y relaciones de derivacin).
Asumiendo que la masa de la aeronave al principio del vuelo en crucero es , y que tanto la
relacin entre la sustentacin y la resistencia ( ) y el consumo especfico del empuje son
constantes para todo el vuelo de crucero. Se pide lo siguiente
a. Encontrar la masa de combustible en crucero como una funcin de y .
b. Para el caso de un vuelo de corto/medio alcance (con ), simplificar la expresin
anterior, considerando una masa media de la aeronave ( ) .
Asumiendo que el incremento del peso y la reduccin de afectan a y , respectivamente con
factores y , y usando la expresin encontrada en b, se pide
c. Encontrar la relacin entre y , y otros parmetros (segn sea necesario) que impliquen
que una mejora en no sea interesante (el incremento en el peso del motor no implica un
ahorro en combustible).
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 5 -
Resolucin
a. ( )
Se utiliza la ecuacin de Breguet para el caso de turborreactor
Se busca ahora despejar la masa de combustible .
( )
Finalmente
(
)
b.
La ecuacin obtenida puede simplificarse mediante series de Taylor. La serie de Taylor de la funcin
exponente es
En esta serie cuando es muy pequeo ( ) se pueden eliminar trminos. Una primera
simplificacin sera utilizando solo un trmino de la serie para la funcin de la masa de combustible.
(
)
Ahora se simplifica otra vez la funcin pero con dos trminos
(
)
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 6 -
[
(
)
]
(
)
(
)
El trmino que est entre parntesis se puede reemplazar utilizando la simplificacin de un solo
trmino.
(
)
Considerando una masa media de la aeronave ( ) .
c. Ahorro de combustible con motor nuevo
Se utiliza la siguiente simbologa, para el nuevo motor su gasto de combustible es . Se
considera que el nuevo motor tiene un incremento de peso y una disminucin en el consumo
especfico.
( ) ( )
Cogiendo primero la ecuacin del nuevo motor
( ) ( )
( )
( )
El ahorro de combustible es
( )
El incremento de peso tiene que ser menor al ahorro de combustible para que sea til el nuevo
motor.
( )
(
)
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 7 -
Problema 2. Parmetro de flujo de masa en funcin de Mach
Considerando un flujo unidimensional a travs de un conducto con variaciones leves de su rea
transversal ( ), demuestra que el flujo de masa puede expresarse como una funcin del Mach
local , la presin total , la temperatura total y el rea:
( )
La funcin ( ) se denomina parmetro de flujo de masa. Grafica esta funcin y encuentra el
nmero de Mach donde ( ) llega a su mximo.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 8 -
Resolucin
Consideramos un depsito como el que se ve en la Figura 1.1. Las condiciones son estacionarias, se
desprecia la friccin de las paredes y no hay adicin de calor (por lo que las condiciones de remanso
se mantienen constantes).
Figura 1.1. Diagrama de la seccin del flujo
Se busca que condiciones tiene el fluido respecto a las condiciones de remanso.
El flujo msico se define como . De la ecuacin de continuidad se puede afirmar que el
flujo msico es constante para todo el tubo de salida. Suponiendo la teora de gas perfecto.
Se estudia ahora la presin y la temperatura respecto a las condiciones de remanso
[
]
Introducindolo en la ecuacin del flujo
[
]
[
]
( )
Esta ecuacin es general tanto si se conserva o no la presin de remanso. La diferencia es que si se
conserva se puede poner en funcin de la presin de remanso en la condicin (inicial). Con esta
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 9 -
expresin se puede relacionar el nmero de Mach de una seccin con el nmero de Mach en otra
seccin, ya que las nicas variables no constantes seran y .
[
]
( )
[
]
( )
[ (
)
( )
] [ (
)
( )
]
Donde es el parmetro de flujo de masa.
Para un valor dado de , en trminos de nmero de Mach, el parmetro de flujo de masa vara como
se observa en la Figura 0.1 (tabulada para ). La Tabla 0.1 muestra valores de la funcin de
parmetro de flujo de masa y es muy til para otros ejercicios, sobre todo en el estudio de
actuaciones.
Buscando el mximo de la funcin se encuentra que el mximo coincide con condiciones snicas.
(
)
( )
( )(
)
( )
( )
0.00000
0.10000
0.20000
0.30000
0.40000
0.50000
0.60000
0.70000
0.80000
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
Par
me
tro
de
flu
jo d
e m
asa
Nmero de Mach
= 1.4
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 10 -
Figura 1.2. Grfico de en funcin de
Tabla 1.1. Valores de en funcin de
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 11 -
Problema 3. Variaciones del flujo en funcin del Mach
De la ecuacin de continuidad y conservacin de cantidad de movimiento para un flujo casi
unidimensional e isentrpico, obtener una relacin diferencial en trminos de la velocidad , seccin
y nmero de Mach .
- Ecuacin de continuidad:
- Ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento:
- Flujo isentrpico:
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 12 -
Resolucin
De la ecuacin de continuidad se puede hacer una ecuacin diferencial
( )
Se quiere combinar la ecuacin diferencial con la de conservacin de cantidad de movimiento.
Se multiplica la ecuacin de continuidad por
Estas dos ecuaciones se pueden restar.
Se toma ahora la ecuacin del flujo isentrpico y se crea una ecuacin diferencial.
Ya que la velocidad del sonido es . Ahora se junta con la relacin derivada de la resta entre la
ecuacin de continuidad y conservacin de cantidad de movimiento
( )
(
)
( )
Y tambin utilizando
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 13 -
Se obtiene
( )
Utilizando la ecuacin de conservacin de cantidad de movimiento ( ) se tiene
( )
( )
De estas ltimas ecuaciones se puede deducir que si el rgimen es subsnico los signos del
diferencial de densidad y el rea van en paralelo, o sea aumento de rea significa un aumento de
densidad. Tambin se deduce que si el rea aumenta la velocidad disminuye
En cambio si el rgimen es supersnico pasara al revs, un aumento de rea disminuira la densidad,
y tambin un aumento de rea implica un aumento de velocidad.
Tambin se puede llegar a la conclusin que para Mach igual a uno el diferencial de rea es cero. Eso
significa que la condicin snica ocurre en el tramo de rea mnima(o tambin denominado en las
toberas, cuello).
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 14 -
Problema 4. Problema terico
Graficar el ciclo ideal de un motor turborreactor en un diagrama ( ). Encontrar la funcin de la
eficiencia trmica en trminos de las temperaturas de las etapas del turborreactor. Simplificar la
expresin lo mximo posible considerando aplicable las relaciones termodinmicas, e indicando,
para unas condiciones de vuelo dadas, el efecto de y en la eficiencia trmica.
Nota: y deben considerarse independientemente (en el anlisis del diseo), en otras palabras,
no estn relacionados.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 15 -
Resolucin
El diagrama ( ) para un motor ideal es el mismo que el estudiado en el libro Propulsin. Teora.
La Figura 1.3 muestra el ciclo de un motor ideal.
Figura 1.3. Diagrama del ciclo de un motor ideal
El rendimiento trmico es un concepto terico que expresa una relacin entre la energa cintica de
un flujo y la energa calorfica de la combustin. Es una forma de cuantificar la eficiencia del motor
en el cambio de tipo de energa.
( )
( )
Haciendo la hiptesis de que
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
De la igualdad de trabajos compresor-turbina (despreciando el ) establece
( ) ( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 16 -
Volviendo al rendimiento trmico
En el ciclo ideal la entropa solo vara en la combustin. Entre el punto y la isobra es la misma;
pasa lo mismo entre el punto y . Se puede decir que
(
)
(
)
Finalmente el rendimiento trmico queda
Debido a que el hace variar otros rendimientos, la solucin de compromiso es el ( )
desarrollado en los apuntes de teora.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 17 -
Problema 5. Boeing 707
El Boeing 707 fue un avin de pasajeros de finales de los aos . Tiene cuatro turborreactores Pratt
& Whitney JT3C-7 con las siguientes caractersticas en condiciones de nivel de mar
- Ratio de presin
- Temperatura de entrada de la turbina
- Empuje
Asumiendo comportamiento ideal de todos los componentes, tobera convergente y aproximando
, se pide lo siguiente:
a. Flujo de aire
b. Consumo de combustible
Considerando un vuelo a a una altitud de , y considerando que se tiene la
misma relacin de presiones del compresor ( ) y de la turbina ( ) de las operaciones a nivel de
mar, se pide:
c. El empujo unidimensional
d. El consumo especfico de combustible
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 18 -
Resolucin
Las condiciones estticas significan que el avin est quieto en el suelo con los motores puestos en
marcha.
a. Caudal msico
Con la relacin de compresin se puede encontrar .
Como se tienen condiciones ideales de todos los componentes .
Se busca sabiendo que esta en condiciones estticas ( ).
En la cmara de combustin se tiene
Del balance de potencia compresor-turbina se obtiene la relacin de temperaturas y presiones de la
turbina
( )
( )
( ) ( )
Como no se sabe qu tipo de tobera se tiene (solo se sabe que es convergente), se busca la relacin
de presiones (ya simplificado por ser un motor ideal)
Si la tobera fuese adaptada
[( )
( ) ]
[ ( ) ]
Este Mach no puede existir ya que la tobera es convergente, y en una tobera convergente el mximo
Mach posible es . Por lo tanto la tobera es crtica. Como regla general, para toberas convergentes,
se puede verificar que la tobera es crtica si la relacin de presiones es mayor que
(
)
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 19 -
Aunque en exmenes es necesario hacer el procedimiento anterior completo.
Se sabe que la tobera es crtica. Se debe calcular ahora la relacin de presiones de salida y de
temperatura.
(
)
El empuje adimensional es
(
)
(
)
El flujo msico se puede calcular de la siguiente forma
( )
b. Flujo de combustible
El flujo de combustible es
Donde
( )
( )
Si no se especifica otra cosa el valor de es de .
c. Empuje adimensional
Se van a suponer los siguientes valores
-
- se mantiene igual al calculado antes
- y tambin se mantienen (debido a las suposiciones anteriores)
Para saber si la tobera est en condiciones crticas o no, como regla general si la tobera al nivel del
mar es crtica, en vuelo de crucero es an ms crtica.
Tambin se deben calcular y
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 20 -
Del balance de potencia compresor turbina se tiene
( )
( )
( )
La relacin de temperaturas queda
La de presiones (inversa)
(
)
(
)
El empuje adimensional se calcula de forma similar que en los primeros apartados.
(
)
( )
d. Consumo especfico
Sabiendo que para las condiciones de vuelo dadas (ISA)
Se calcula ahora el coeficiente
( )
( )
El impulso especfico es
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 21 -
El consumo especfico es
Otra forma de escribir este consumo especfico pero en otras unidades es
Esto significa que para dar un kilo de fuerza consume de combustible por hora.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 22 -
Problema 6. Turbofn para el B707
Considera un turbofn que reemplace los motores del Boeing 707 del Problema 5, asumiendo:
- el mismo empuje
- los mismos parmetros y operando a nivel del mar en condiciones
estticas
- una relacin de derivacin
- una relaciones de presin del fan
Asumiendo un comportamiento ideal de todos los componentes, toberas convergentes y
aproximando , se pide lo siguiente
a. Flujo msico (flujo primario)
b. Consumo de combustible
Considerando un Mach de vuelo a una altura de , y asumiendo el mismo
ratio de presiones del compresor y turbina de las operaciones a nivel del mar, se pide
c. El consumo especfico de combustible
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 23 -
Resolucin
a. Flujo msico
La relacin de temperaturas es igual que en el caso del turborreactor.
Se recuerda que pese a que se sabe que el motor tiene componentes ideales siempre se debe
escribir la ecuacin completa e indicar que .
La relacin de temperaturas del fn es
Sabiendo que se est en condiciones de nivel del mar y estticas
{
De la relacin de potencias compresor turbina se sabe
[ ( )]
[ ( )]
( )
( )
Las relaciones de presiones son
Se debe verificar que toberas se tienen
(
)
(
)
Tanto la tobera primaria como la secundaria son adaptadas.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 24 -
{
[(
)
]
[
]
[(
)
]
[
]
{
El empuje adimensional queda
{
[
(
)] } {
[
(
)] }
( ) ( )
b. Consumo de combustible
Se calcula primero el coeficiente de presin
( )
( )
c. Consumo especfico de combustible
Se mantienen constantes los siguientes parmetros
Al cambiar de altura se debe calcular la nueva temperatura ambiente y la nueva velocidad del sonido
( ) ( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 25 -
Al cambiar la velocidad de vuelo se cambian los parmetros y .
De la relacin de potencia compresor turbina se obtiene
[ ( )]
[ ( )]
Se calculan las relaciones de presiones de remanso en la tobera.
{
Ambas toberas son crticas ya que ambas relaciones son mayores que .Se calculan las
relaciones de temperatura y presin en la tobera
{
{
(
)
(
)
(
)
(
)
El empuje adimensional es
{
[
(
)] } {
[
(
)] }
{ [
(
)] } { [
( )] }
El factor es
( )
( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 26 -
Finalmente se puede calcular el consumo especfico.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 27 -
Problema 7. Variaciones del empuje adimensional e impulso especfico
Dadas las siguientes condiciones de vuelo
- Altitud de crucero,
- Nmero de Mach de crucero,
Se pide encontrar los valores ptimos (en trminos del mximo impulso especfico para mximo
empuje) de y y los valores de los parmetros adimensionales de y , cuando se
incremente de a (en una grfica).
Usar los siguientes valores
( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 28 -
Resolucin
Se resolver el problema tomando un solo valor de . El problema pide hacer lo mismo para
poder ver grficamente la variacin del impulso especfico y el empuje adimensional en funcin del
parmetro .
Para y
Ahora se busca el valor de sabiendo que el motor es ptimo.
( )( ) ( )
Se reemplaza por
( )( ) ( )
[( )( )]( ) ( )
Esta ecuacin se resuelve de forma iterativa. Dar dos soluciones, pero como se descarta una
de las soluciones. Normalmente se prueba aislando el valor de de mayor potencia.
[( )( )]( )
[( )( )]( )
( )
El vuelo se desarrolla a
La temperatura ambiente a esa altura es
( ) ( )
Se puede sacar la temperatura de entrada de las turbinas
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 29 -
El correspondiente es el ptimo y queda
( )
Se calcula ahora y
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
[ ( )]
[ ( )]
Las toberas en este problema son adaptadas ya que es caso ptimo
La tobera del primario es convergente ya que el valor es menor que la relacin crtica ( ).
La tobera del flujo secundario es convergente divergente. En contrario a lo que dice la teora (aqu
calculada), en la prctica no se empleara una tobera convergente divergente ya que solo servira
para estar en condiciones ptimas en estas condiciones en concreto. Una tobera con geometra
variable tampoco sera una buena solucin. Por compromiso se usa una tobera convergente ya que
la prdida de potencia no es tan significativa en comparacin con los problemas que causara utilizar
el otro tipo de tobera.
Para verificar que lo que se ha hecho est bien se comprueban las velocidades de escape (deben de
ser iguales ya que son ambas adaptadas), se calcula primero el nmero de Mach y luego la velocidad
de escape
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 30 -
[ ]
[
]
[ ]
[
]
( )
( )
Efectivamente ambas velocidades son iguales.
El empuje adimensional es
(
)
[ ( )
( )( ) ] ( )
El impulso especfico es
( )
( )( )
Se han usado los siguientes valores
( )
El impulso especfico adimensional es
( )
( )( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 31 -
Para valores distintos de se sigue el mismo procedimiento obteniendo los siguientes resultados
Tabla 1.2. Valores del problema para distintos
Figura 1.4. Empuje adimensional respecto a
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10 12 14
F
Empuje adimensional
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 32 -
Figura 1.5.Impuslo especfico respecto a
Figura 1.6. Impulso especfico adimensional respecto a
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 2 4 6 8 10 12 14
Isp
Impulso especfico
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 2 4 6 8 10 12 14
sp
Impulso especfico adimensional
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 33 -
Problema 8. Estatorreactor
Se supone un avin equipado con un estatorreactor en vuelo supersnico en la estratosfera. Se le
aade un buen diseo de la entrada de aire con geometra variable para evitar fuertes ondas de
choque. En vez de una onda de choque aparecen muchas ondas de menor potencia, y la velocidad se
reduce hasta el motor a una velocidad subsnica con perdida negligible de la presin de remanso.
Adems, una geometra variable de la tobera permite un flujo de salida adaptado a la presin de
ambiente para cualquier condicin de vuelo.
Considerando conocidos todos los datos relacionados con el motor, comportamiento ideal de los
componentes del motor y una fraccin de flujo de combustible negligible, se pide
a. Representar en un diagrama el ciclo del motor, y encontrar el nmero de Mach de
salida
b. Calcular el rea de captura como una funcin del nmero de Mach de vuelo ( ) y otros
parmetros si fuese necesario
c. Calcular el ratio como funcin de y de otros parmetros si fuese necesario
Figura 1.7. Diagrama de etapas del estatorreactor
Entrada Cmara de combustin Tobera
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 34 -
Resolucin
a. Diagrama
El diagrama ( ) para un motor ideal es parecido que el estudiado en el libro Propulsin. Teora,
pero adaptado a un estatorreactor ideal. La Tabla 1.3 muestra las distintas etapas del
estatorreactor. La Figura 1.8 muestra el ciclo del estatorreactor ideal.
Etapa Proceso caractersticas
Compresin adiabtica sin trabajo aadido crecen, constante Adicin de calor constante, crecen
Expansin adiabtica sin trabajo extrado, cambio de volumen
disminuyen, constante
Tabla 1.3. Etapas de un estatorreactor ideal
Figura 1.8. Diagrama del ciclo de un estatorreactor ideal
b. Calcular el rea de captura
Al ser tobera adaptada .
[(
)
]
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 35 -
[(
)
]
Pese a que los nmeros de Mach sean iguales no significa que las velocidades lo sean
Hay que introducir ahora la condicin de que el flujo de entrada es igual al flujo de salida por las
toberas (ya que se ha despreciado la adicin del combustible). Se elige el punto 8 que es la garganta
de la tobera, en este punto el nmero de Mach es 1.
( )
Se calcula ahora el flujo en la seccin 0. Al ser supersnico se puede elegir ese punto donde se
quiera ya que la informacin del flujo supersnico no viajas aguas arriba. Se decide que el punto est
en la punta.
Los flujos son iguales
( )
( )
( )
( )
Los valores de se obtienen a travs de tablas tabuladas para el .
c. Calcular el ratio
La relacin de reas es igual a la relacin de , ya que
( )
( )
( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 36 -
Problema 9. Resistencia de entrada
Asumiendo un flujo unidimensional, aplicar la ecuacin de conservacin de cantidad de movimiento
en el tune de flujo mostrado en la figura, entre los puntos (0) y (1), y obtener la resistencia de
entrada dada por la integral
( ) ( )
( )
Obtener una expresin asinttica para .
Figura 1.9. Volumen de control utilizado
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 37 -
Resolucin
Se empieza calculando la ecuacin de conservacin de cantidad de movimiento
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )[ ( )
( )[ ( )( )]
( )
El ltimo trmino es cero ya que la superficie 2 se define por unas lneas de corriente donde la
velocidad es perpendicular al vector normal del plano.
( )
Fsicamente la integral de la normal por la superficie en un volumen cerrado es nula.
Volviendo a la ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento
( )
Se multiplica escalarmente por .
( )
(
) (
)
( ) ( )
Esta expresin es siempre positiva aunque ya se fij el signo segn el convenio de signos del empuje.
Ahora se fija el para ver como afecta el flujo de entrada. Se adimensionaliza la expresin
( )
( )
La relacin de presiones se encuentra de la siguiente forma
(
)
(
)
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 38 -
( ( )
( ) )
La relacin de reas es igual a la relacin de (parmetro de flujo de masa), ya que
( )
Se introducen estos valores en el Excel y se obtiene la siguiente grfica mostrando que la resistencia
de entrada es siempre positiva.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 39 -
Problema 10. Compresor
Se quiere realizar un proyecto preliminar de un compresor axial para un turborreactor bajo los
siguientes criterios:
- Relacin de presin:
- Etapas repetidas
- Filas repetidas
- Velocidad axial constante a lo largo del compresor
- Angulo de entrada:
- Temperatura de entrada:
- Nmero de mach de entrada:
La tecnologa accesible permite los siguientes valores:
- Eficiencia politrpica de la etapa:
- Eficiencia politrpica del rotor: ( ) ( )
- Mximo incremento de temperatura por etapa:
Se pide lo siguiente
a. La eficiencia politrpica global (para el compresor entero)
b. La eficiencia isentrpica global
c. El nmero mnimo de etapas
d. La velocidad del compresor
e. La distribucin de presiones totales a lo largo del compresor
f. La distribucin de la presin y temperatura (esttica) a lo largo del compresor
g. La distribucin de reas de paso de las palas a lo largo del compresor
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 40 -
Resolucin
a. Eficiencia politrpica global
En este tipo de problema se suele utilizar la terminologa con subndice que significa inlet (o de
entrada) para la primera etapa.
( )
Se puede encontrar primero
Se hace la suposicin que el compresor tiene etapas. Se define el del motor como la relacin de
presiones de salida de la ltima etapa y la presin de entrada de la primera etapa.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
Estos valores de relacin de presin de cada etapa no son iguales.
( ( ))
( ( ))
( ( ))
( ( )
( ) ( ))
(
( )
( )
( )
( )
( )
( )
)
Obteniendo una demostracin de lo que se estudi en el tema del turborreactor. Es importante
notar que esto no es extrapolable para el rendimiento isentrpico.
b. Eficiencia isentrpica global
Como se sabe
( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 41 -
La eficiencia isentrpica es
c. Nmero mnimo de etapas
Se sabe que el incremento de temperatura total es
( )
( ) ( )
( ) ( )[ ]
Por lo tanto el nmero de etapas es
(
( )[ ]
)
Utilizando valores numricos
( )
( ) (
) (
)
( ) ( ) ( )
Este es el incremento que se tiene que conseguir con la suma de etapas. Como mximo cada etapa
puede producir solo .
(
)
d. Velocidad del compresor
La velocidad se consigue mediante la ecuacin de Euler.
( )
Donde
Adems
Queda una ecuacin lineal de segundo orden. La es la velocidad tangencial a la entrada y se
tienen todos los datos para calcularla.
( )
( )
La ecuacin para encontrar queda
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 42 -
Esta ecuacin tiene dos soluciones pero una ser negativa por lo que directamente se pone la
solucin positiva.
Tambin es interesante calcular la velocidad absoluta a la salida del rotor.
( ) ( )
e. Distribucin de presiones totales a lo largo del compresor
La distribucin se obtiene a partir de la distribucin de temperaturas totales. Como son etapas
repetidas, entre estaciones homlogas de la etapa ( ) y la etapa ( ) se tiene
( )
( ) ( )( ) ( ) (
( ))
Como son filas repetidas, entre estaciones de una misma etapa se tiene
( )
( )
( )
( )
La presin total en la salida del rotor de la etapa ( ) respeto la presin total a la entrada de la etapa
( ) es
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
( )
( )
)
(
( )
( )
)
( )
( ( )
)
(
( ))
f. Distribucin de presiones y temperaturas estticas
La temperatura esttica en la entrada de la etapa ( ) respecto a la temperatura esttica en la entrada
de la etapa ( ) es
( )
( ) ( )( ) ( )
Entre estaciones de una misma etapa
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
Las presiones estticas se obtienen a partir de las presiones totales, Mediante las correcciones por
nmero de Mach. Debido a que las velocidades se repiten de etapa en etapa, y que hay similitud
geomtrica entre labes del rotor y estator, los nmeros de Mach se calculan de la siguiente forma
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 43 -
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
La presin esttica en la entrada de la etapa ( ) respecto la presin esttica a la entrada de la etapa
( ) es
( )
( )
( )
( )
[
(
( ))
( ( ))
]
( )
( )
[
( ( ))
]
La presin esttica en la salida del compresor de la etapa ( ) respecto a la presin esttica en la
entrada de la etapa ( ) es
( )
( )
( )
( )
[
(
( ))
( ( ))
]
( )
( )
[
( ( ))
]
g. Distribucin de reas de paso
De la ecuacin de continuidad se tiene
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
La velocidad axial es constante.
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Utilizando ahora la ecuacin de los gases perfectos, se busca la relacin de densidades.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
Se pueden calcular a partir de las relaciones obtenidas en el apartado anterior. Como la densidad
aumenta a lo largo el compresor, las reas de paso son cada vez ms pequeas. Cuanto ms se
quiera comprimir se tiene que hacer labes (o seccin de paso) cada vez ms pequeos y los efectos
viscosos son ms notables hacindolos menos eficientes.
Cuando el radio medio es el mismo para todas las etapas, las relaciones de alturas de paso
coinciden con la relacin de reas, debido a las siguientes proporcionalidades
( )
( )
( )
( )
( )
( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 44 -
Problema 11. Turbina
Se pide disear una etapa de turbina (encontrar y ) para potencia mxima ( ),
asumiendo las siguientes condiciones:
- Flujo axial en la entrada y la salida
- constante
-
-
-
-
-
Calcular tambin el valor de ( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 45 -
Resolucin
Se calcula el nmero de mach del movimiento del rotor.
De la ecuacin del grado de reaccin
( ) ( )
Se multiplica la ecuacin de por , obteniendo
(
)
Utilizando ahora la igualdad derivada de la optimizacin del parmetro
(
)
(
)
Se obtiene
(
)
(
)
Esto es un polinomio de orden dos, por lo que se obtienen dos soluciones para , pero se descarta
una por ser negativa.
Se puede encontrar el ngulo
Se busca ahora partiendo de la siguiente ecuacin
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 46 -
(
)
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
Haciendo un cambio de variable
( )
(
)
( )
( )
( )
Este polinomio tiene seis ecuaciones pero se toman solo la solucin real
Se calcula la temperatura de remanso en el punto entre el estator y el rotor.
El ratio se determina mediante su definicin como
(
)
(
)
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 47 -
Problema 12. Actuaciones de un UAV
Para propulsar un UAV de reconocimiento se considera la posibilidad de utilizar como planta
propulsora un turborreactor de flujo simple. Los requisitos de diseo en operacin esttica a nivel
del mar ISA son:
- Empuje
- Relacin de compresin
- Temperatura de entrada a turbina
- Toberas convergentes
De acuerdo con estos requisitos y suponiendo componentes ideales, se pide:
a. Comprobar que la tobera es crtica y calcular el caudal msico de aire
b. Determinar la temperatura por debajo de la cual, operando en esttico a nivel del mar
ISA, la tobera deja de ser crtica.
Solo para el apartado siguiente, suponer que para cada etapa completa del compresor el
rendimiento politrpico vale , con una configuracin de etapas repetidas, filas repetidas y
velocidad axial constante. Suponiendo tambin que el incremento mximo de temperatura total por
etapa es ( ) , y el flujo de entrada a cada etapa es axial, y a la entrada del comresor es
, calcular:
Nmero mnimo de etapas necesarias para conseguir la relacin de compresin de diseo y rea de
entrada al compresor, teniendo en cuenta el caudal msico encontrado en el apartad a. (si no se ha
calculado, tomar ).
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 48 -
Resolucin
a. Comprobacin de la tobera y caudal msico
Lo primero que se busca es
Sabiendo la temperatura en la entrada del compresor
De la ecuacin de la relacin de potencia compresor turbina (sabiendo que en operacin esttica
.
( )
( )
Se comprueba que tobera se tiene
Se tiene tobera crtica.
(
)
(
)
El empuje adimensional para tobera crtica queda
(
) (
)
Se obtiene el flujo msico
b. Temperatura
Se sabe que la tobera es crtica
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 49 -
(
)
(
)
Por otro lado, sabiendo que es constante, y como hay condiciones estticas ( ), se tiene que
Si la tobera fuese adaptada
( ) (
)
Utilizando la ecuacin del balance de potencia
Obteniendo, multiplicando por la temperatura ambiente
c. Nmero mnimo de etapas y rea de entrada
Ahora se tiene que considerar un rendimiento por lo que los clculos se tienen que hacer desde el
principio.
(
) (
)
La temperatura en la salida del compresor (tomando ) es
Obteniendo una diferencia de temperaturas entre la entrada y la salida del compresor de
El nmero de etapas por lo tanto queda
[ ( )
] [
] [ ]
El caudal msico se obtiene como
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 50 -
( )
En el problema 2, se obtiene una tabla con los valores de la funcin parmetro de flujo de masa
tabulados para
( )
( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 51 -
Problema 13. Actuaciones de un caza
Un caza de combate est propulsado por un motor turbofn, con una geometra variable
convergente divergente, teniendo siempre condiciones de tobera adaptada. Inicialmente la
aeronave vuela a con las siguientes caractersticas
Asumiendo comportamiento ideal en todos los componentes y despreciando el flujo de masa de
combustible con respecto al flujo de aire, se pide lo siguiente
a. Calcular el consumo de combustible en las condiciones de operacin descritas
b. Obtener la relacin de reas
El piloto precede a interceptar un avin enemigo que vuela a una altitud de y avanza la
palanca de potencia para obtener potencia mxima (con ). La operacin consiste en dos
fases: ascender con Mach constante ( ) hasta la altitud final ( ), seguido de una
aceleracin horizontal hasta llegar a un Mach de . Se pide lo siguiente
c. El empuje del motor a y con
El flujo de aire a y con
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 52 -
Resolucin
a. Consumo de combustible
Se utiliza el modelo ISA para encontrar la presin y la temperatura ambiental.
( )
( ) ( ( )
)
(
)
El coeficiente de presin se obtiene de la siguiente forma
( )
Tambin se calcula y
( )
(
)
La fraccin de combustible se calcula de la siguiente forma
( )
( )
Recordar que en esta frmula no es la altitud sino que es el poder calorfico, si no se dice lo
contrario .
De la ecuacin del balance de potencia se asla
( )
( )
( )
Al ser tobera adaptada
[(
)
]
[( )
]
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 53 -
La relacin es
Donde
El flujo de masa se calcula utilizando la frmula del empuje adimensional
[(
) ]
[ ]
Por lo tanto el consumo de combustible
( )
b. Relacin de reas
Debido a la conservacin de masa se puede utilizar la ecuacin de continuidad (por lo tanto flujo de
masa entrante igual a saliente)
( )
( )
La relacin de reas queda
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
c. Empuje del motor a
Debido a que se ha empujado la palanca de gas para dar ms potencia, se han cambiado las
condiciones de vuelo. Generalmente lo que cambia la palanca de gas es la temperatura en la salida
de la combustin. Ahora se tiene
La fuerza a con el nuevo ajuste de temperatura se denomina , este tipo de connotacin
se utilizara para otras variables con el nuevo ajuste.
(
)
Debido a que se han cambiado las condiciones, la relacin de compresin del compresor tambin
habr cambiado. Hay que recordar que solo se mantiene constante la relacin de presiones de la
turbina.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 54 -
( )
( )
(
)
Para el clculo del flujo msico se suele utilizar el parmetro de flujo para ya que este es la
unidad.
( )
( )
Al ser tobera adaptada
(
)
[(
)
]
[( )
]
(
)
La relacin es
(
)
Se calcula el empuje adimensional (teniendo tobera adaptada)
(
)
(
)
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 55 -
Finalmente el empuje es
(
)
d. Flujo msico a
En este apartado se vuelven a cambiar las condiciones de vuelo. Como tambin se cambia la altura
se debe volver a calcular la presin y la temperatura ambiente. Hay que tener cuidado ya que la
altura en la que se desarrolla este apartado es y se est por encima del lmite de la
troposfera.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
Se vuelven a calcular ya que ahora se tiene y
(
)
( )
La nueva relacin de compresin del compresor se calcula otra vez utilizando el balance de
potencias
( )
( )
(
)
Se calcula ahora el flujo msico de forma similar al apartado anterior
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 56 -
2. Motor cohete
Problema 1. Calculo de empujes y de reas de un motor cohete
Un motor cohete para un lanzador orbital tiene las siguientes caractersticas:
-
-
-
-
-
Se pide
a. Calcular la velocidad caracterstica y el gasto por unidad de rea de garganta
b. Calcular el coeficiente de empuje al despegue. Nota: verificar que existe desprendimiento
del flujo en esta condicin
c. Dimensionar las reas y tal que el empuje al despegue sea . Calcular el
flujo msico y el impulso especfico correspondientes.
d. Determina a qu altitud (atmsfera ISA) dejar de desprenderse el flujo, y calcular el empuje
y el impulso especfico en este punto.
e. Determinar a qu altitud estar adaptada la tobera, y calcular el empuje y el impulso
especfico en este punto
f. Determinar el empuje y el impulso especfico en el vaco
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 57 -
Resolucin
a. Velocidad caracterstica y gasto
Se calcula primero el factor ( ), sabiendo que
( ) (
)
( )
(
)
( )
La constante del gas se calcula a partir de la constante universal
Nota: son ms eficientes los propulsantes con una constante alta, y por lo tanto son mejores los
propulsantes con peso molar bajo.
La velocidad caracterstica se obtiene a partir de la siguiente ecuacin
( )
El gasto es
b. Coeficiente de empuje al despegue
Cuando las toberas estn demasiado sobre expansionadas (se asume que en este punto la tobera
est sobre expansionada ya que se est lanzando el cohete al nivel del mar) aparece un
desprendimiento de flujo en la tobera.
El coeficiente de empuje es
( ) ( ( ))
Todos los parmetros del coeficiente de empuje dependen del nmero de Mach (como se ha
demostrado en la teora), por lo tanto es lo primero que se debe calcular.
La relacin de reas es un dato del enunciado . Como se sabe que la relacin de
reas solo depende del Mach y de se tiene una expresin para obtener el nmero Mach.
(
)
( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 58 -
Para resolver el valor del nmero de Mach se pueden utilizar mtodos numricos iterativos o utilizar
los valores tabulados de las tablas del parmetro de flujo, ya que tambin esta expresin es igual a la
relacin del parmetro de fulo de masa. Para casos de motores cohete es muy til utilizar tablas
tabuladas del parmetro del flujo de masa para valores de y .
Se sabe que el parmetro ( ) coincide con el valor de parmetro de flujo de masa para el caso
snico. En la garganta se tienen esas condiciones.
( )
De las tablas tabuladas para se obtiene que el Mach de salida es
Si se resolviese de forma iterativa
(
)
( )
(
)
( ) (
)
Empezando por un valor supersnico de por ejemplo , se obtienen los siguientes valores en
las iteraciones
Por lo que la solucin coincide con la obtenida en las tablas, .
Calculando el coeficiente de empuje en el vaco se obtiene
(
)
( )
(
)
( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 59 -
Obteniendo finalmente el coeficiente de empuje
( )
Pero como se dijo antes la tobera est sobreexpansionada y es posible que haya desprendimiento de
flujo. Si hubiese desprendimiento de flujo este valor del coeficiente de empuje no sera el correcto.
Se debe comprobar que no haya desprendimiento y si lo hubiese recalcular el coeficiente de empuje.
La relacin de presiones entre la salida y la cmara es
(
)
(
)
Debido a que la presin de salida es menor a veces la presin ambiente ( ), , se
tiene desprendimiento de flujo y por lo tanto el coeficiente de empuje es incorrecto.
Se debe buscar la relacin de reas , donde
es la seccin de salida donde se genera la onda
de choque y empieza el desprendimiento.
Se sabe que en esta seccin , por lo tanto
Utilizando la expresin de la relacin de presiones se obtiene el Mach de salida (corregido debido al
desprendimiento).
(
)
[(
)
]
[(
)
]
El coeficiente de empuje en vaco cambia ya que el nmero de Mach se ha modificado
(
)
( )
(
)
( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 60 -
La relacin de reas es
( )
(
)
( )
(
)
( )
Finalmente se puede recalcular el coeficiente de empuje
( ) (
)
c. Dimensionar las reas, calcular el flujo msico y el impulso especfico
El empuje es seiscientas toneladas.
Adems se puede definir el empuje como
Donde
Por lo tanto
(
)
Fsicamente el rea de salida es la que da el enunciado (con la relacin de reas), el rea efectiva
solo se utiliza para encontrar el empuje.
El flujo msico Queda
(
)
El impulso especfico queda
Con este impulso especfico se podra afirmar que el cohete utiliza combustible lquido.
d. Altitud, empuje e impulso, cuando deja de haber desprendimiento
Se debe calcular la altura en la cual la presin de salida (en la seccin del final de la tobera) sea
. En el apartado b se obtuvo el nmero de Mach y la relacin de presiones . Se debe
calcular la altura donde la presin ambiente es . En el apartado de b se obtuvo que
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 61 -
( [ ]) ( )
De las ecuaciones ISA se sabe
( )
(
)
(
)
El coeficiente de empuje en el vaco que se obtuvo en el apartado b sin la correccin de
desprendimiento coincide con el coeficiente a esta altura.
[
] (
)
En toneladas
( )
El empuje ha aumentado debido a que se reduce el efecto de estar sobreexpansionada a medida
que aumenta la altura y disminuye la presin. El impulso especfico aumentar tambin en la misma
proporcin ya que el flujo msico y la aceleracin de la gravedad se mantienen constantes
( ) ( ) ( )
( )
e. Altitud para tener tobera adaptada, calcular empuje e impulso especfico
Se sabe que . De las ecuaciones ISA se debe encontrar el punto en el que la presin
atmosfrica es igual a esta presin
( ) (
)
Se hace una hiptesis: suponer que la altura no excede los ya que si no habra que utilizar
otra ecuacin de la ISA.
( )
(
)
El coeficiente de empuje cuando se tiene tobera adaptada es igual a
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 62 -
( ) (
)
( )
(
)
( )
El empuje queda
( )
El impulso especfico queda (nota: el parmetro de flujo de masa se mantiene constante y el impulso
especfico es proporcional al empuje).
( ) ( ) ( )
( )
f. Empuje e Impulso especfico en el vaco
El impulso especfico queda
( ) ( )
( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 63 -
Problema 2. Aplicacin de la segunda ley de Newton
Aplicar la segunda ley de Newton a un vehculo lanzador propulsado por un motor cohete y obtener
la ecuacin dinmica que rige su movimiento.
Nota: Considerar el sistema formado por el vehculo y el motor
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 64 -
Resolucin
Se considera un vehculo como el representado en la siguiente figura
Figura 2.1. Vehculo del problema
En un instante la cantidad de movimiento que tiene el vehculo es
( ) ( ) ( )
Se debe encontrar cual es la cantidad de movimiento al pasar un diferencial de tiempo .
El vehculo pierde masa pero gana velocidad. Al sistema se le debe de sumar un trmino que incluye
la cantidad de movimiento que tiene el combustible cuando es expulsado.
( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )
Segn el principio fundamental del clculo de Newton, la derivada es
( ) ( )
( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )
[
]
Los trminos como por ejemplo se aproximan a cero ya que son infinitesimales de rdenes
superiores.
Se consideran ahora las fuerzas externas al vehculo
Esto podra considerarse como la causa del movimiento donde el efecto, el cambio de cantidad de
movimiento (segunda ley de Newton), es lo que se ha obtenido antes.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 65 -
La ecuacin de la segunda ley de newton queda
Donde es la fuerza propulsiva y es igual a la expresin obtenida en los apuntes
( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 66 -
Problema 3. Sistema de defensa antiarea basado en misiles
El nuevo sistema de defensa antiarea basado en misiles tierra aire basado en misiles tierra aire
lanzados oblicuamente. Los requisitos de diseo son:
- Masa mxima en lanzamiento
- Masa al final del tramo acelerado
- Tiempo del tramo acelerado
- Velocidad final del tramo acelerado
Se pide
a. Plantear la ecuacin del movimiento, despreciando el peso y la resistencia aerodinmica, y
bajo la hiptesis preliminar que el impulso especfico se mantiene constante as como ,
determinar el valor del impulso especfico. Determinar tambin la velocidad en funcin del
tiempo.
Suponiendo que inicialmente la presin en la cmara de combustin es de , la
temperatura de combustin es , el coeficiente adabtico es con
( ) . Se pide
b. Obtener el impulso especfico en el momento de lanzamiento, considerando que se
pretende optimizar las prestaciones a baja altura.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 67 -
Resolucin
a. Plantear las ecuaciones del movimiento
La ecuacin del movimiento para motores cohetes es
Se recuerda que esta ecuacin es vlida siempre y cuando se introduzcan las fuerzas propulsivas en
el termino . Adems se desprecia el peso, por lo que la contribucin de las fuerzas msicas son
nulas.
( )
[ ( )
]
En este punto no se puede an resolver la ecuacin, por ejemplo utilizando una masa media (no se
indica nada parecido en el enunciado).
La ecuacin tambin se puede escribir como
(
)
Queda una EDO inmediata que se puede resolver.
Esta es la ecuacin de Tsiokovsky, muy utilizada en el estudio de maniobras espaciales.
El impulso especfico queda
Sabiendo que ( ) , y volviendo a la ecuacin de Tsiokovsky
( ) ( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 68 -
( ( ) )
Se sabe que el tramo acelerado tiene una duracin de y que la velocidad final es de .
(
)
La velocidad queda entonces
( ) (
)
Figura 2.2. Velocidad respecto al tiempo
b. Impulso especfico en el lanzamiento
La ecuacin de la velocidad en funcin de Mach es
Se busca primero el nmero de Mach, al estar optimizada a baja altura, la presin de salida es igual a
la presin atmosfrica al nivel del mar (tobera adaptada).
[(
)
]
[( )
]
La temperatura de salida es
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 0.5 1 1.5 2
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 69 -
La velocidad de salida queda
El impulso especfico se puede definir como la velocidad de salida partido por la gravedad.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 70 -
Problema 4. Perdidas por efecto de la no uniformidad
Evaluar las perdidas por el efecto de las no uniformidades en la tobera axisimtrica de la figura, de
acuerdo con la configuracin de flujos indicada.
Figura 2.3. Figura del problema
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 71 -
Resolucin
Es recomendable hacer un par de comprobaciones primero para ver que no haya errores en el
enunciado. Hay que comprobar que las facciones de flujo msico cumplen la ecuacin de
continuidad.
Hay que comprobar tambin que la media de la entalpia media coincide con la media de las
entalpias del flujo
( )
Dividiendo ahora ambos lados por el flujo msico se obtiene
El problema est bien planteado.
Se calcula ahora el rendimiento por la no uniformidad
( )
( )
( )
( ) [( )
]
( )
( )
Este es el tipo de no uniformidad debido a lo variacin de la entalpia en el flujo de salida. Otro tipo
de no uniformidad es la no uniformidad debido a distribuciones de presiones y temperatura en la
salida.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 72 -
Problema 5. Tobera aerospike
Calcular el coeficiente de fuerza de la tobera bidimensional de tipo Aerospike que se observa en
la siguiente figura. La relacin de calores especficos . Encontrar tambin las relaciones
y .
Nota: Se recomienda considerar previamente el funcionamiento en diseo.
Figura 2.4. Esquema de la tobera Aerospike
Velocidad del flujo al final de la expansin
Plano de simetra
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 73 -
Resolucin
Se puede observar que hay una desviacin de flujo de . Esto significa que la tobera est
trabajando fuera de las condiciones de diseo. Como dice el enunciado, es recomendable estudiar
primero las condiciones de diseo.
Como se conserva el invariante se tiene
( ) ( )
Hay que recordar que ( ) y .
( )
Conociendo se tiene
Adems se tiene la siguiente expresin que depende del nmero de Mach.
( )
Utilizando las tablas de ( ) se obtiene el nmero de Mach
Conociendo el nmero de Mach se puede obtener y posteriormente .
El ngulo se obtiene observando la siguiente figura
Figura 2.5. Diagrama de la tobera con los ngulos
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 74 -
De la figura
Pudiendo ahora encontrar .
( )
(
)
La altura final es entonces
Por lo tanto la relacin de reas de la tobera es
Se puede utilizar el parmetro de flujo para comprobar el resultado anterior
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
Se plantea ahora de nuevo el problema pero considerando ahora que ( ) . Cuando se tiene
esta condicin el flujo se expande ms de lo deseado. Como el flujo es supersnico, la informacin
solo viaja en una direccin y por lo tanto la informacin en la pared es la misma que en la condicin
de diseo (por ejemplo la presin en la pared de la tobera).
Se genera una variacin en el coeficiente de empuje.
( ) (( )
)
Esta expresin se puede demostrar aplicando la conservacin de la cantidad de movimiento e los
dos casos.
( )
Como las condiciones en la pared son las mismas ya que se tiene flujo supersnico y haciendo la
resta entre el caso de diseo y fuera se obtiene
( )
( )
Hay que tener cuidado ya que en el caso de que la presin sea mayor que la de diseo esto no se
podra usar. Eso es debido a que la distribucin de presiones en la pared es distinta al caso de diseo
(a partir de cierto punto, en el principio de la tobera si que es la misma).
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 75 -
Como regla general el coeficiente de empuje aumenta cuando la presin exterior aumenta.
Considerando expansin isentrpica
(
)
(
)
Cuando se tiene ( ) el invariante se mantiene igual que en condicin de diseo.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Obteniendo una un Mach para esta a partir de las tablas.
La relacin de presiones para el caso de estudio se puede ahora calcular
(
)
(
)
El coeficiente de empuje de diseo es
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
Finalmente se obtiene el coeficiente de empuje
( ) (( )
)
( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 76 -
Problema 6. Estudio de tobera utilizando el mtodo de las caractersticas
Cuando una tobera, que ha sido diseada para tener condiciones uniformes y flujo axial a la salida,
opera con presin ambiente inferior de la de diseo (para la cual sera igual a la ambiente), el flujo
aguas abajo experimenta una sucesin de expansiones y compresiones, dando lugar a una
configuracin de flujo que comnmente se conoce con el nombre de diamantes. Todo ello, hasta
que, a suficiente distancia aguas abajo, el flujo se estabiliza en unas condiciones transversales
uniformes de presin (realmente, no est tan claro que la velocidad sea tambin exactamente
uniforme, si las ondas de choque presentan una curvatura apreciable, ya que el incremento de
entropa ser distinto para cada lnea de corriente).
a) Haciendo uso de la ecuacin de la cantidad de movimiento (formulacin integral), obtener la
velocidad suficientemente aguas debajo de la tobera, donde puede suponerse uniformidad
tanto de presin como de velocidad en funcin de las variables del flujo en la seccin de
salida de la tobera.
Considrese una tobera bidimensional diseada para que a la salida el flujo se axial y uniforme, con
.
b) Indicar la Figura 2.6 la configuracin de lneas caractersticas en el chorro de salida en
condiciones de diseo.
Figura 2.6. Diagrama de la tobera
Supngase ahora que la presin ambiente es ( ) y que .
c) Indicar qu fenmeno va a tener lugar a la salida, as como las condiciones de contorno que
deben considerarse. Justificar razonadamente que, a partir de la seccin de salida , la
configuracin del flujo hasta cierta distancia equivaldra a la impuesta por una placa plana de
cierta longitud, deflectada cierto ngulo , tal como se muestra en la Figura 2.7.
d) Encontrar el ngulo .
Figura 2.7.tobera con plano en la salida
Plano de simetra
Plano de simetra
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 77 -
e) Dibujar las lneas caractersticas, e indicar cules de ellas son rectas. Puede tener lugar
algn tipo de incompatibilidad en alguna zona del flujo? Justificarlo. Fsicamente, en qu se
traducira esta incompatibilidad?
Recomendacin: en caso de recurrir a una solucin numrica, generar la malla a partir de slo 2
caractersticas, numerado las caractersticas de una familia, con nmeros, y los de la otra, con letras.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 78 -
Resolucin
a) Condicin en el infinito
Se utiliza el teorema de conservacin de la cantidad de movimiento. El volumen de control utilizado
se puede observar en la Figura 2.8.
Figura 2.8. Volumen de control utilizado para la formulacin integral
La formulacin integral queda
( )
( )
( )
( )
Viendo la Figura 2.8 se pueden desarrollar las integrales
( )
( )
( )
La presin sobre la superficie lateral es siempre la presin ambiente
Si se tiene una integral cerrada se debe cumplir que
Obteniendo
Plano de simetra
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 79 -
( )
b) Configuracin de las lneas caractersticas para la condicin de diseo
Si las condiciones uniformes se mantienen (y se considera mezcla turbulenta, dominio uniforme), las
lneas caractersticas y son rectas y las propiedades del flujo son uniformes.
Figura 2.9.Lineas caractersticas para la condicin de diseo
c) Operacin con presin ambiente por debajo de la presin de ambiente de diseo
Como la presin ambiente es menor que la de diseo, hay una expansin de Prandtl Meyer. El
abanico de expansin empieza con (es decir ) correspondiendo a una relacin
de presiones
(
)
(
)
Al final de la expansin se tiene presin ambiente (igual a ).
[(
)
]
[(
)
]
[(
)
]
Figura 2.10. Tobera equivalente con plano inclinado
Plano de simetra
Plano de simetra
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 80 -
Dado que en las expansiones de Prandtl Meyer bidimensionales la presin es constante a lo largo
de las lneas caractersticas, el problema a efectos prcticos equivale a considerar la configuracin de
la Figura 2.10.
d) ngulo
Se calcula la variable que solo depende de
Siguiendo el invariante se tiene (ver Figura 2.10)
( )
(
) (
)
Mirando el invariante se tiene
( )
Adems al ser una zona uniforme
( )
( ) ( )
Se encuentra fcilmente el valor de ( )
(
) (
)
( )
Finalmente el ngulo es
e) Dibujar las lneas caractersticas, buscar incompatibilidades en alguna zona del flujo
El proceso de clculo se basa en ir buscando los parmetros de los puntos de cruce entre las lneas
caractersticas como se observa en la Figura 2.11. Se toman una serie de lneas y puntos en sus
cruces. Cuantas ms lneas se tomen ms precisin se tiene.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 81 -
Figura 2.11. Seleccin de putos en los cruces de las lneas caractersticas
Ya se conocen las propiedades de las primeras lneas caractersticas, como por ejemplo
Adems siguiendo las lneas caractersticas se sabe que
Lo ms simple es confeccionar una tabla con los distintos puntos e ir calculando los distintos
parmetros que se van obteniendo.
Se calcula para los dos primeros casos
Como el punto viene de un invariante negativo salido directamente de (sin cruzarse con otra
lnea caracterstica) se puede ver fcilmente que los valores son iguales, hay que recordar que el
nmero de Mach se mantiene constante en la lnea de corriente divisoria.
En el punto al estar en la lnea de simetra se conoce el ngulo que es igual al ngulo que tiene
esa lnea (nulo).Se miran primero los datos que se tienen
Punto
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Tabla 2.1. Valores iniciales de los puntos conocidos
Lnea de
corriente
divisoria
Plano de
simetra
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 82 -
Se escoge ahora El punto con ms informacin (punto ). Se conoce tanto el invariante como el
ngulo por lo que se puede obtener y a su vez .
Obteniendo segn las tablas
Los otros valores ya son triviales
Se actualiza ahora la tabla, hay que recordar que adems se conserva el invariante encontrado en las
otros puntos.
Punto
- - - - - - - - - -
Tabla 2.2. Tabla con primera actualizacin
Se podran ahora resolver tanto el punto como el punto ya que se tienen dos datos en cada
punto. Se muestra a continuacin la resolucin del punto que consiste en el punto donde se
cruzan dos invariantes conocidos. Se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas
{
{
Como y son iguales que en el punto , todos los valores restantes son tambin los mismos.
Para el caso del punto la resolucin es casi idntica a la resolucin del punto .
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 83 -
Se muestran todos los resultados en la tabla ya acabada.
Punto
Tabla 2.3. Tabla finalizada
Si se hiciese con mayor precisin al aumentar el nmero de caractersticas se obtendra un resultado
parecido al siguiente.
Figura 2.12. Resultado del anlisis ms intensivo
Se puede ver como las lneas caractersticas se entrecruzan. Esto es una irregularidad
caracterizada por la aparicin de una onda de choque oblicua, situada en el cruce que est ms a la
izquierda. La onda de choque tiene la pendiente de la primera caracterstica afectada.
A partir de ese punto es necesario recurrir a las ecuaciones de ondas de choque oblicuas para
conocer las condiciones del flujo inmediatamente despus de la onda de choque. La generacin de
entropa a travs de la onda de choque dificulta la utilizacin del mtodo de las caractersticas, ya
que se tiene que aplicar por zonas y naturalmente solo donde el flujo sea supersnico. La siguiente
figura muestra el desarrollo de las lneas caractersticas.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 84 -
Figura 2.13. Aparicin de ondas de choque en la expansin
Dependiendo de las condiciones particulares ( y ), se podra dar el caso de que las ondas
de choque oblicuas no lleguen al eje de simetra, sino que apareciese una onda de choque normal,
dando lugar a una configuracin en Y. Esto pasa cuando el ngulo que forma la onda de choque
oblicua con el eje de simetra sea demasiado grande.
Figura 2.14. Configuracin de onda de choque en Y
En el caso de tobera con flujo sobre expansionado tambin se puede tener una configuracin tipo
diamante. Esto pasa cuando la presin de salida sea ligeramente inferior al ambiente de manera que
tambin se forme una onda de choque en Y justo a la salida.
Figura 2.15. Configuracin de onda de choque de tipo diamante
Si la relacin de presiones fuese tal que se produjese una onda de choque normal en la salida, el
flujo posterior a la onda de choque sera subsnico y no se tendra configuracin de diamante. Se
tendra una tobera crtica.
Figura 2.16. Tobera crtica
Plano de simetra
Expansin
Lnea de corriente divisoria
Ondas de
choque oblicuas
Expansin
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 85 -
Problema 7. Cohete de agua
La figura adjunto representa un cohete propulsado por agua a presin utilizando botellas de 2 litros
de plstico. Inicialmente, el volumen de agua es y el resto es aire. Mediante una bomba
de aire se eleva la presin dentro de la botella hasta con , a partir de la cual
el tapn cede y sale disparado y comienza a salir el agua a presin. Se considera que el cohete deja
de propulsar cuando se acaba el agua de su interior.
Se pueden usar las siguientes hiptesis:
- En todo momento dentro de la botella la presin de aire y de agua es uniforme (gradiente de
presin por fuerzas de gravedad y de inercia negligible)
- El gas experimenta una expansin adiabtica y sin degradacin de energa (proceso
isentrpico)
- El agua es un fluido incompresible
- La presin de estancamiento del agua se mantiene constante hasta la salida (teorema de
Bernouilli)
Se pide encontrar el empuje y razonar que efectos tendra sobre las actuaciones del cohete la
utilizacin de un lquido con mayor densidad. Adems se pide encontrar la variacin del impulso
especfico en funcin de la masa de propulsante
Nota: el lquido siempre descarga a la atmosfera con una presin esttica igual a la presin ambiente
Figura 2.17. Cohete de agua
Agua
Aire
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 86 -
Resolucin
La ecuacin del empuje es tambin valida para fluidos lquidos
( )
Todos los lquidos (al ser incompresibles) se descargan a la atmosfera a presin atmosfrica.
La velocidad de escape se obtiene utilizando el teorema de Bernouilli. Se evala la presin de
estancamiento en el lmite superior del agua (condicin , con presin igual del gas interior) y en el
tapn (condicin de salida).
( )
El flujo msico de salida es
Se han despreciado los efectos viscosos en el agujero de la botella ( ).
Obteniendo el empuje
( )
El impulso especfico queda
( )
Se observa que el empuje no es funcin de la densidad del fluido. Se utiliza agua ya que se consigue
un flujo msico pequeo obteniendo mayor duracin de tiempo de empuje. En el caso de poner por
ejemplo solo aire, todo el flujo se expulsara de golpe y el cohete apenas obtendra un impulso.
Mirando ahora la variacin de la velocidad de salida respecto al tiempo
( )
Se puede relacionar la presin del gas con su volumen.
( ) (
( ))
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 87 -
( (
( ))
)
Como se obtuvo antes el impulso especfico es igual a la velocidad
( (
( )
)
)
El volumen vara en el tiempo de la siguiente forma
Esta integral se debe resolver numricamente. Se puede ver como la integral es el flujo msico
partido por la densidad.
El hecho de utilizar un fluido con mayor densidad, aumenta el tiempo de descarga para una
velocidad de escape igual. Es obvio que tambin aumenta drsticamente el peso. Adems hasta que
el lquido que sale adquiere la velocidad de escape se obtiene un transitorio con un bajo.
El hecho de tener un rea de salida mayor aumenta el empuje per tambin aumenta el flujo de
salida por lo que disminuye el tiempo de impulso.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 88 -
Problema 8. Diseo de una tobera ideal bidimensional
Se pide disear una tobera ideal bidimensional para expandir el fluido desde unas condiciones
cercanas a las snicas, desde hasta . Utilizad cuatro lneas caractersticas con
.
Figura 2.18. Tobera con las cuatro lneas caractersticas
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 89 -
Resolucin
Segn la numeracin de la Figura 2.18, se identifican las diferentes regiones
uniforme
simple
simple
no simple
uniforme si el panel es recto, aunque an no se ha determinado la geometra
Como clculo preliminar al conocer se puede encontrar .
Siguiendo las lneas caractersticas, se pueden identificar los puntos con invariantes iguales
Y tambin
Adems se conoce el ngulo en los puntos de la pared inferior
El punto con mayor informacin es el punto . Se empieza buscando la informacin de ese punto.
Como se conoce el nmero de Mach se pueden encontrar fcilmente y .
(
) (
)
Tambin se pueden obtener fcilmente los invariantes y las direcciones
( )
( )
Al conocer el Mach de salida se pueden calcular valores para el punto y .
(
) (
)
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 90 -
Tambin se pueden obtener fcilmente los invariantes
( )
( )
Y de forma similar a antes, las direcciones
Es muy til en este tipo de ejercicio utilizar tablas para ir almacenando la informacin e ir pudiendo
elegir los siguientes puntos que se deben calcular. En la primera tabla se pueden ver los valores
obtenidos hasta ahora y as como las igualdades debidas a los invariantes.
Punto
0
Tabla 2.4. Primeros datos obtenidos
Se debe ahora buscar un punto donde se tengan suficientes datos. Por ejemplo el punto , se
conocen los dos invariantes.
{
{
A partir de este nmero y utilizando tablas se puede obtener el nmero de Mach y a partir de ese
nmero se puede encontrar . Finalmente se obtienen las direcciones y
.
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 91 -
Punto
0
Tabla 2.5. Datos actualizados de la segunda iteracin
Mirando la lnea caracterstica que va des hasta
, se observan cuatro puntos. Se obtiene
primero la diferencia entre y
y se divide por la cantidad de puntos en la lnea menos uno.
A partir de este valor se pueden obtener los invariantes de los otros dos puntos de la lnea
Al tener ahora los dos invariantes de esos puntos se pueden obtener el resto de parmetros de esos
puntos.
{
{
Similarmente para el punto .
{
{
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 92 -
Se vuelve a actualizar la tabla.
Punto
0
Tabla 2.6. Datos actualizados de la tercera iteracin
Como se tiene que
y adems se sabe que y se tienen dos variables para resolver el
sistema de dos ecuaciones y cuatro incgnitas para el punto .
{
{
( )
De forma similar se encuentra el punto
{
{
( )
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 93 -
Punto
0
Tabla 2.7. Actualizado el punto 5 y y los invariantes iguales
Se pueden encontrar ahora el resto de puntos ya que se conocen todos los invariantes. Se empieza
por el punto .
{
{
Se continua con el punto .
{
{
-
Andrs Zarabozo Martnez Propulsin. Problemas
- 94 -
Finalmente se obtiene el punto .
{
{
Se muestra a continuacin la tabla finalizada.
Punto