propuestos de calculo de integrales dobles y triples
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Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agradoTRANSCRIPT
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
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5. EJERCICIOS PROPUESTOS
A continuación se presentan los ejercicios propuestos de los capítulos anteriores.
5.1 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 1
1. Estime el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie definida por la ecuación
x y z a+ + = y sobre el rectángulo [ ] [ ]0 0D ,a ,a= × , donde a +∈ , considerando una partición de 9
subcuadrados iguales y tomando como punto de muestra:
a. Al punto medio de cada subcuadrado.
b. Al extremo superior derecho de cada subcuadrado.
2. Estime el volumen del sólido acotado superiormente por la superficie 2 216z x y= − − e inferiormente
por el cuadrado [ ] [ ]2 2 2 2D , ,= − × − , tomando como punto de muestra al centro de cada
subrectángulo y considerando:
a. 4n = y 2m = b. 6n = y 3m =
3. Resuelva la integral iterada ( )Df x, y dA∫∫ , donde:
a. ( )f x, y a x y= − − y [ ] [ ]0 0D ,a ,a= × b. ( ) 2 216f x, y x y= − − y [ ] [ ]2 2 2 2D , ,= − × −
c. ( ) 2f x, y x y= − y [ ] [ ]0 2 0 1D , ,= × d. ( ) 2
2yf x, y x= + y [ ] [ ]4 3 2 1D , ,= − × − −
e. ( ) ( )2 3f x, y x y= + y [ ]20 1 53
D , , = × f. ( ) 2 2f x, y x y= + y [ ] [ ]0 1 0 1D , ,= ×
4. Calcule la integral doble ( )Df x, y dxdy∫∫ , y plantee la integral iterada en el orden de integración
inverso. Además, dibuje la región D , donde:
a. ( ) 2f x, y x y= − y ( ){ }1 4 0D x, y x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
b. ( )f x, y x y= + y ( ){ }0 1 0D x, y x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
c. ( )f x, y xy= y ( ){ }1 0 1D x, y y x y y= ≤ ≤ + ∧ ≤ ≤
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d. ( ) ( )32 3f x, y x y= + + y ( ) 0 4 42xD x, y x y x = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
e. ( ) 32f x, y x y= − y ( ){ }2 40 1D x, y x x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
f. ( ) xyf x, y e−= y ( ){ }2 20 0 1D x, y x y x y= ≥ ∧ ≥ ∧ + ≤
g. ( ) 2 2f x, y x y= + y ( ){ }2 2 2 20 1 2 0D x, y y x y x y x= ≥ ∧ + ≥ ∧ + − ≤
h. ( ) 2 32f x, y x y= + y ( ){ }24 0 6 3D x, y y x x y y x= ≤ − ∧ ≥ ∧ ≥ −
i. ( )f x, y x y= + y ( ){ }2 4D x, y y x y x= ≤ ∧ ≥ −
j ( ) 2yf x, y xe= y ( ){ }20 9D x, y x x y= ≥ ∧ ≤ ≤
h. ( ) 3 2f x, y x y= + + y ( ){ }23 2D x, y y x x y x= ≤ − − ∧ ≥
5. Calcule la integral doble Dxdxdy∫∫ , siendo D el paralelogramo de vértices: 2 1
3 3, − −
, 2 1
3 3,
,
4 13 3,
y ( )0 1,− .
6. Calcule la integral doble 2
2 2D
x dxdyx y+∫∫ , siendo D el triángulo cuyos lados están definidos por
las rectas y x= , y x= − y 1x = .
7. Calcule la integral doble ( ) ( )2 2
Dx y sen x y dxdy− +∫∫ , siendo D el triángulo cuyos vértices son:
( )0,π , ( )2 ,π π y ( )2,π π .
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5.2 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 2
1. Calcule ( )122
Bx y z dxdydz−+ + +∫∫∫ donde [ ] [ ] [ ]0 2 0 1 1 3B , , ,= × × − .
2. Calcule Bzdxdydz∫∫∫ donde ( )
2 2 2
2 2 20 0 0 1x y zB x, y,z x y za b c
= ≥ ∧ ≥ ∧ ≥ ∧ + + ≤
.
3. Calcule ( )Bx y dxdydz+∫∫∫ donde ( ) ( ){ }2 24 16B x, y,z x y z= + ≤ ≤ .
4. Calcule ( )23Bx y dxdydz−∫∫∫ donde ( ){ }2 2 24B x, y,z y z x y= ≤ ≤ − − .
5. Calcule Bdxdydz∫∫∫ donde ( ){ }2 2 22 0B x, y,z x y x z y= + ≤ ∧ ≤ ≤ .
6. Calcule 2B
x yz dxdydz+∫∫∫ donde B es el sólido limitado por las superficies: y x= ,
2y x= , ( ){ }2 2 22 0B x, y,z x y x z y= + ≤ ∧ ≤ ≤ .
7. Calcule 2 3
Bx yz dxdydz∫∫∫ donde B es el sólido limitado por las superficies: 2 2y x= y
2 8z x= .
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5.3 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 3
1. Calcule el área entre las circunferencias 2 21 4 0C : x y y+ − = y 2 2
2 2 0C : x y y+ − =
2. Plantee el volumen del sólido ( )2 2 2
2 2 20 0 0 1x y zB x, y,z x y za b c
= ≥ ∧ ≥ ∧ ≥ ∧ + + ≤
,
empleando integrales dobles y triples.
3. Calcule el volumen del tetraedro acotado por los planos: 0x = , 0y = , 4z = y 2z x y= + .
4. Para el sólido B . Calcule: masa, momentos estáticos, centro de masa y momentos de inercia,
siendo ( ){ }0 0 4 2B x, y,z x y z z x y= ≥ ∧ ≥ ∧ ≤ ∧ ≥ + .
5. Demuestra que los momentos estáticos para el sólido B son: ( )2 2
3xMM b c= + ,
( )2 2
3yMM a c= + y ( )2 2
3zMM a b= + , donde M es la masa del sólido y B está definido
como: ( ){ }0 0 0B x, y,z x a y b z c= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ .
6. Plantee el volumen del sólido acotado por el cilindro 2 2 2x y x+ = , sobre el plano 0z = y bajo el
paraboloide 2 2z x y= + .
7. Calcule el centro de masa y los momentos de inercia del sólido definido como:
( ){ }2 2 22 0B x, y,z x y x z y= + ≤ ∧ ≤ ≤ .
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5.4 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 4
1. Calcule la integral ( )
32 2 2
1
1Ddxdy
x y+ +∫∫ donde ( ){ }0 1 0D x, y x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ,
empleando un cambio de variable adecuado.
2. Calcule la integral doble Dxdxdy∫∫ , siendo D el paralelogramo de vértices: 2 1
3 3, − −
, 2 1
3 3,
,
4 13 3,
y ( )0 1,− , empleando un cambio de variable, de manera que los nuevos vértices sean: ( )0 0, ,
( )1 0, , ( )11, y ( )0 1,
3. Calcule la integral 2
2 2D
x dxdyx y+∫∫ donde ( ){ }2 20 1 2D x, y x x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − ,
empleando el cambio de variable: x v u= − y y u v= + .
4. Calcule el volumen del sólido acotado por el cilindro 2 2 2x y x+ = , sobre el plano 0z = y bajo el
paraboloide 2 2z x y= + , empleando un cambio de variable adecuado.
5. Dibuje el sólido acotado por la superficie cerrada 1r cosφ= − , definida en coordenadas esféricas.
Además, calcule el volumen de dicho sólido, empleando coordenadas esféricas.
6. Determine el centro de masa para el sólido limitado por las superficies: 2 2 2z x y= + ,
2 2 2 2x y z+ + = , donde 0z ≥ y la densidad es proporcional a la distancia en cada punto,
empleando un cambio de variable adecuado.
7. Determine momento de inercia de un sólido acotado por la superficie 2 2 2 25x y z+ + = , cuya
densidad viene dada ( ) ( )2 2 2x y zx, y,z eρ− + +
= , empleando un cambio de variable adecuado.
8. Calcule el volumen del sólido ( ){ }2 2 22 0B x, y,z x y x z y= + ≤ ∧ ≤ ≤ , empleando coordenadas
cilíndricas.