propuestas para la adaptacion curricular 2eso

La gua de Matemticas para 2. de ESOes una obra colectiva concebida, diseada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educacin, S. L., dirigido por Enrique Juan Redal.

En su realizacin ha participado el siguiente equipo:

M. Dolores lvarez Yolanda Gonzlez Miguel Marqus Ana Yolanda Miranda Francisco Morillo Susana Parra Manuela Redondo Raquel Redondo M. Teresa Snchez Teresa Santos

EDICINAnglica Escoredo Yolanda Gonzlez Carlos Prez

DIRECCIN DEL PROYECTODomingo Snchez Figueroa

Matemticas 2ESOBiblioteca del profesoradoGUA Y RECURSOS

277995_Portadilla.indd 1 01/07/11 13:37277995 _ 0001-0017.indd 1 11/07/11 13:09

2Presentacin del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Nmeros enterosProgramacin de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Lectura inicial: El ao cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Matemticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22En la vida cotidiana: Rascacielos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Estrategias de resolucin de problemas: Buscar regularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Adaptacin curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Propuestas de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2. FraccionesProgramacin de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Lectura inicial: Alejandro Magno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Matemticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58En la vida cotidiana: El agua de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Estrategias de resolucin de problemas: Hacer un dibujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Adaptacin curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Propuestas de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3. Nmeros decimales Programacin de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Lectura inicial: A lomos del viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Matemticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88En la vida cotidiana: Marcas olmpicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Estrategias de resolucin de problemas: Hacer un dibujo a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Adaptacin curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Propuestas de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4. Sistema sexagesimalProgramacin de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Lectura inicial: El amo de la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Matemticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118En la vida cotidiana: Relojes y ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Estrategias de resolucin de problemas: Dibujar ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Adaptacin curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Propuestas de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5. Expresiones algebraicasProgramacin de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Lectura inicial: El templo de Apis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Matemticas con ordenador: WIRIS/DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146En la vida cotidiana: lgebra y calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Estrategias de resolucin de problemas: Hacer un esquema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Adaptacin curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Propuestas de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6. Ecuaciones de primer y segundo gradoProgramacin de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Lectura inicial: Pars bien vale una misa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Matemticas con ordenador: WIRIS/DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178En la vida cotidiana: Resolucin de ecuaciones de forma geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Estrategias de resolucin de problemas: Expresar relaciones en forma algebraica . . . . . . . . . . . . . 184Adaptacin curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Propuestas de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

7. Sistemas de ecuacionesProgramacin de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Lectura inicial: Gabriel & Giovanni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207Matemticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208En la vida cotidiana: Los Juegos Olmpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Estrategias de resolucin de problemas: Distintos planteamientos mediante ecuaciones . . . . . . . 214Adaptacin curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Propuestas de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

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3 8. Proporcionalidad numricaProgramacin de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Lectura inicial: Cuando el verde es rojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Matemticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236En la vida cotidiana: Medio ambiente y reciclado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Estrategias de resolucin de problemas: Empezar por el final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Adaptacin curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Propuestas de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

9. Proporcionalidad geomtricaProgramacin de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262Lectura inicial: La llave de la Ciudad Prohibida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265Matemticas con ordenador: Geogebra/CABRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266En la vida cotidiana: Construcciones cbicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Estrategias de resolucin de problemas: Imaginar el problema resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Adaptacin curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Propuestas de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

10. Figuras planas. reasProgramacin de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Lectura inicial: El regalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294Curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Matemticas con ordenador: Geogebra/CABRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296En la vida cotidiana: Diseo y movimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300Estrategias de resolucin de problemas: Hacer o completar un dibujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302Adaptacin curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Propuestas de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

11. Cuerpos geomtricosProgramacin de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324Lectura inicial: El centro del universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327Matemticas con ordenador: Geogebra/CABRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328En la vida cotidiana: Tomografas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332Estrategias de resolucin de problemas: Hacer un diagrama de rbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334Adaptacin curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335Propuestas de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

12. Volumen de cuerpos geomtricosProgramacin de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354Lectura inicial: El saqueo de Siracusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356Curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357Matemticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358En la vida cotidiana: Obras y reformas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362Estrategias de resolucin de problemas: Utilizar tablas, grficas y ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 364Adaptacin curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365Propuestas de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

13. FuncionesProgramacin de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Lectura inicial: El ingenio y la espada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386Curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387Matemticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388En la vida cotidiana: Grficas en las Ciencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392Estrategias de resolucin de problemas: Interpretar grficas y dibujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394Adaptacin curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395Propuestas de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

14. EstadsticaProgramacin de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416Lectura inicial: La Pax Augusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418Curiosidades matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419Matemticas con ordenador: OpenOffice. CALC/Microsoft Office. EXCEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420En la vida cotidiana: Encuesta sobre la enseanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424Estrategias de resolucin de problemas: Pasar de una tabla a un grfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426Adaptacin curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Propuestas de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

Libromedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446Desarrollo de cuerpos geomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454Y ahora... practica (Soluciones) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

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4El porqu de . . .El significado del nombre

Hace cuatro aos construimos un proyecto editorial, La Casa del Saber, que intentaba hacer frente a los cambios que propiciaba la nueva Ley de Educacin, una casa donde los profesionales de la educacin y los escolares encontraran rigor, seguridad y confianza curricular y metodolgica.

Ahora, despus de evaluar con minuciosidad todos los materiales editados a lo largo de los ltimos aos, hemos construido el nuevo proyecto editorial: Los Caminos del Saber. Con su edicin buscamos abrir nuevos caminos educativos que nos ayuden a entender que la educacin es un devenir, es un cambio permanente, es una mejora continua

Abrir caminos es nuestro compromisoAbrir caminos a la enseanza y el aprendizaje de las diferentes materias que imparten profesores y profesoras con un alto nivel de cualificacin es nuestro principal objetivo. Por eso, en nuestro nuevo proyecto editorial incorporamos cuantas novedades conceptuales e innovaciones tecnolgicas se han generado en los ltimos aos.

Hay muchos caminosConsideramos que la educacin debe ofrecer el mayor nmero posible de caminos de aprendizaje. Por eso, en nuestro proyecto editorial hemos cuidado con gran delicadeza las formas de aprender de los alumnos diversificando las experiencias y los materiales. Tenemos un objetivo: que los alumnos adquieran las competencias bsicas que hagan posible su realizacin personal y profesional.

Los caminos significan descubrimientoLos Caminos del Saber nos ayudan a entender que la educacin es aprender a descubrir qu hay ms all, a seguir nuevos itinerarios, a crear nuevos caminos Las nuevas tecnologas facilitan la aventura de conocer nuevos contenidos; por eso, nuestro proyecto editorial proporciona ideas y sugerencias para buscar y ordenar la informacin al tiempo que ofrece formacin para la realidad digital que comenzamos a descubrir y vivir.

Los caminos unenEl camino es un espacio para el encuentro con los dems. En cada recodo, en cada refugio hay profesores y profesoras que orientan, que acercan y facilitan al alumno el conocimiento. Por eso, en nuestro proyecto tiene tanta importancia el desarrollo de la materia que el profesor imparte y los muchos recursos que la complementan como la especial programacin y secuenciacin de los materiales del alumno. A lo largo del camino escolar, los buenos libros y cuadernos nos ayudan a educar y a aprender.

As pues, tenemos mucho gusto en presentar un nuevo proyecto editorial con vocacin de apoyo a los alumnos y alumnas, de contribucin al xito escolar, de servicio al profesorado. Los Caminos del Saber estn abiertos por editores, por profesores y profesoras, por eruditos e intelectuales, por ilustradores, documentalistas, fotgrafos, maquetistas e informticos; todos ellos son conscientes de que el viaje por Los Caminos del Saber no concluye nunca, porque caminar es aprender y aprender es seguir caminando

Las claves de nuestro proyecto editorial

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5En qu se concreta el proyectoCuatro principios bsicos continan inspirando el contenido, la orientacin y la estructura de Los Caminos del Saber: la adecuacin al marco legislativo (la LOE), mejorar la comprensin de los alumnos, prepararles para la sociedad de la informacin y aportar una gran diversidad de materiales para facilitar la labor del profesorado.

LOS LIBROS PARA LOS ALUMNOS Y ALUMNAS

Libros con un cuidado especial del texto: lenguaje claro y sencillo, vocabulario acorde con el nivel de los alumnos y una tipografa especialmente seleccionada para mejorar la comprensin.

Libros con nuevas y mejoradas ilustraciones inteligibles para los alumnos y alumnas, que no se limitan a confirmar lo redactado, ilustraciones que son instrumentos de gran potencia para desarrollar capacidades como la observacin, el anlisis, la relacin, el planteamiento de interrogantes, la expresin oral

Libros con actividades coherentes con los objetivos, graduadas por su dificultad, orientadas a que los alumnos desarrollen hbitos y destrezas, elaboren y construyan significados, contextualicen y generalicen lo aprendido.

Libros divididos en volmenes para disminuir el peso de los libros de texto. El proyecto Mochila ligera es nuestra aportacin responsable a la prevencin de las dolencias de espalda entre los escolares.

Adems, en Los Caminos del Saber hemos continuado dando gran valor a la elegancia de los libros, a su formato, a su diseo, a la belleza de las imgenes, a la textura del papel. Todo ello para ofrecer un trabajo bien hecho y para transmitir la importancia de la educacin y la cultura.

GUAS CON GRAN CANTIDAD DE RECURSOS PARA EL TRABAJO EN EL AULA

Guiones didcticos asociados a las unidades de los libros: con programaciones de aula que contienen los objetivos, contenidos, competencias que se trabajan en cada unidad y criterios de evaluacin, sugerencias didcticas y soluciones de las actividades.Propuestas para trabajar la diversidad: fichas de ampliacin y refuerzo, recursos para las adaptaciones curriculares.Leer noticias de prensa es una nueva propuesta para ensear y aprender. La prensa, situada en el cruce de caminos donde convergen la lectura, el conocimiento y la actualidad, se presenta como un recurso pedaggico valioso, atractivo e innovador. Adems, la utilizacin de los textos periodsticos contribuye a desarrollar una competencia esencial, la de la lectura comprensiva.Recursos complementarios: bancos de datos, fichas de trabajo prctico, sugerencias de lectura Cientos de propuestas para facilitar la labor docente.

UN COMPLETO MATERIAL MULTIMEDIA

Libromedia. Es un material didctico pensado para introducir las TIC en el aula de una forma sencilla y eficaz. Su principal objetivo es acompaar al profesor paso a paso hacia la integracin de los recursos digitales en la prctica docente, convirtindolos en una parte natural de la transmisin de conocimientos, la ejercitacin y la evaluacin.

En el Libromedia encontramos una gran cantidad de recursos para utilizar en el aula: vdeos, presentaciones, esquemas interactivos, galeras de imgenes y actividades. Todos ellos, relacionados con los contenidos del libro del alumno, se pueden utilizar en las clases sea cual sea su equipamiento informtico: pizarras digitales, ordenadores aislados, etc.

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6La adecuacin a la LOE: asegurar las competencias bsicas

1. PRINCIPIOS DEL CURRCULO DE LA EDUCACIN SECUNDARIA OBLIGATORIA

La Educacin Secundaria Obligatoria pretende asegurar una formacin comn a todo el alumnado dentro del sistema educativo espaol. Su finalidad es lograr que los alumnos y las alumnas adquieran los elementos bsicos de la cultura; desarrollar y consolidar en ellos hbitos de estudio y de trabajo; prepararlos para su incorporacin a estudios posteriores y para su insercin laboral; y formarlos para el ejercicio de sus derechos y obligaciones como ciudadanos.

2. OBJETIVOS DE LA ETAPALa Educacin Secundaria Obligatoria debe contribuir a desarrollar en los alumnos y las alumnas capacidades que les permitan:

a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a los dems, practicar la tolerancia, la cooperacin y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse en el dilogo, afianzando los derechos humanos como valores comunes de una sociedad plural, y prepararse para el ejercicio de la ciudadana democrtica.

b) Desarrollar y consolidar hbitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condicin necesaria para una realizacin eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal.

c) Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y oportunidades entre ellos. Rechazar los estereotipos que supongan discriminacin entre hombres y mujeres.

d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los mbitos de la personalidad y en sus relaciones con los dems, as como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacficamente los conflictos.

e) Desarrollar destrezas bsicas en la utilizacin de las fuentes de informacin para, con sentido crtico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparacin bsica en el campo de las tecnologas, especialmente las de la informacin y la comunicacin.

f) Concebir el conocimiento cientfico como un saber integrado, que se estructura en distintas disciplinas, as como conocer y aplicar los mtodos para identificar los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia.

g) Desarrollar el espritu emprendedor y la confianza en s mismos, la participacin, el sentido crtico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades.

h) Comprender y expresar con correccin, oralmente y por escrito, en la lengua castellana y, si la hubiere, en la lengua cooficial de la Comunidad, textos y mensajes complejos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el estudio de la literatura.

i) Comprender y expresarse en una o ms lenguas extranjeras de manera apropiada.

j) Conocer, valorar y respetar los aspectos bsicos de la cultura y la historia propias y de los dems, as como el patrimonio artstico y cultural.

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7k) Conocer y aceptar el funcionamiento del propio cuerpo y el de los otros, respetar las diferencias, afianzar los hbitos de cuidado y salud corporales e incorporar la educacin fsica y la prctica del deporte para favorecer el desarrollo personal y social. Conocer y valorar la dimensin humana de la sexualidad en toda su diversidad. Valorar crticamente los hbitos sociales relacionados con la salud, el consumo, el cuidado de los seres vivos y el medio ambiente, contribuyendo a su conservacin y mejora.

l) Apreciar la creacin artstica y comprender el lenguaje de las distintas manifestaciones artsticas, utilizando diversos medios de expresin y representacin.

3. LAS COMPETENCIAS BSICAS COMO NOVEDAD CURRICULARLa nueva Ley de Educacin (LOE) presenta una novedad de especial relevancia: la definicin de las competencias bsicas que se deben alcanzar al finalizar la Educacin Secundaria Obligatoria. Esas competencias permiten identificar aquellos aprendizajes que se consideran imprescindibles desde un planteamiento integrador y orientado a la aplicacin de los saberes adquiridos. Su logro deber capacitar a los alumnos y las alumnas para su realizacin personal, el ejercicio de la ciudadana activa, la incorporacin a la vida adulta y el desarrollo de un aprendizaje permanente a lo largo de la vida.

El concepto de competencia bsica ha recorrido un largo camino hasta llegar al sistema educativo. En 1995, la Comisin Europea trat por primera vez las competencias bsicas o clave en su Libro Blanco sobre la educacin y la formacin. Y desde ese ao, diferentes grupos de expertos de la Unin Europea trabajaron para identificar y definir las competencias, analizar la mejor manera de integrarlas en el currculo y determinar cmo desarrollarlas e incrementarlas a lo largo de la vida en un proceso de aprendizaje continuo.

Entre los trabajos ms relevantes en el campo de las competencias cabe citar tres: el proyecto de la OCDE, Definicin y seleccin de competencias (DeSeCo), que estableci cules de ban ser las competencias clave para una vida prspera y el buen funcionamiento de la sociedad; la iniciativa ASEM, que estudi las competencias esenciales en el contexto del aprendizaje a lo largo de la vida y la integracin entre las capacidades y los objetivos sociales de un individuo; y el informe EURYDICE, que mostr un gran inters por competencias consideradas vitales para una participacin exitosa en la sociedad.

Tambin en el marco de los estudios internacionales dirigidos a evaluar el rendimiento del alumnado y la eficiencia de los sistemas educativos se pone el acento en las competencias. As, el proyecto PISA enfatiza la importancia de la adquisicin de competencias para consolidar el aprendizaje. Y el proyecto TUNING, cuyo fin es armonizar el sistema universitario en el entorno de la UE, declara que la educacin deber centrarse en la adquisicin de competencias.

4. EL CONCEPTO DE COMPETENCIA BSICASe entiende por competencia la capacidad de poner en prctica de forma integrada, en contextos y situaciones diferentes, los conocimientos, las habilidades y las actitudes personales adquiridos. Las competencias tienen tres componentes: un saber (un contenido), un saber hacer (un procedimiento, una habilidad, una destreza) y un saber ser o saber estar (una actitud determinada).

Las competencias bsicas o clave tienen las caractersticas siguientes:

Promueven el desarrollo de capacidades ms que la asimilacin de contenidos, aunque estos siempre estn presentes a la hora de concretarse los aprendizajes.

Tienen en cuenta el carcter aplicativo de los aprendizajes, ya que se entiende que una persona competente es aquella capaz de resolver los problemas propios de su mbito de actuacin.

Se basan en su carcter dinmico, puesto que se desarrollan de manera progresiva y pueden ser adquiridas en situaciones e instituciones formativas diferentes.

Tienen un carcter interdisciplinar y transversal, puesto que integran aprendizajes procedentes de distintas disciplinas.

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8 Son un punto de encuentro entre la calidad y la equidad, por cuanto que pretenden garantizar una educacin que d respuesta a las necesidades reales de nuestra poca (calidad) y que sirva de base comn a todos los ciudadanos y ciudadanas (equidad).

Las competencias clave o bsicas, es decir, aquellos conocimientos, destrezas y actitudes que todos los individuos necesitan para su desarrollo personal y su adecuada insercin en la sociedad y en el mundo laboral, deberan haber sido desarrolladas al acabar la enseanza obligatoria y servir de base para un aprendizaje a lo largo de la vida.

5. LAS COMPETENCIAS BSICAS EN EL CURRCULO DE SECUNDARIALa inclusin de las competencias bsicas en el currculo tiene tres finalidades:

Integrar los diferentes aprendizajes, tanto los formales (correspondientes a las diferentes reas del currculo) como los informales.

Hacer que los estudiantes pongan sus aprendizajes en relacin con distintos tipos de contenidos y los utilicen de manera efectiva en diferentes situaciones y contextos.

Orientar la enseanza, al permitir identificar los contenidos y los criterios de evaluacin imprescindibles, e inspirar las decisiones relativas al proceso de enseanza y de aprendizaje.

Aunque las reas y materias del currculo contribuyen a la adquisicin de las competencias bsicas, no hay una relacin unvoca entre la enseanza de determinadas reas o materias y el desarrollo de ciertas competencias. Cada rea contribuye al desarrollo de diferentes competencias y, a su vez, cada competencia se alcanza a travs del trabajo en varias reas o materias.

6. LAS OCHO COMPETENCIAS BSICASLa LOE define ocho competencias bsicas que se consideran necesarias para todas las personas en la sociedad del conocimiento y que se deben trabajar en todas las materias del currculo:

Competencia en comunicacin lingstica

Se refiere a la utilizacin del lenguaje como instrumento de comunicacin oral y escrita.

Competencia matemtica Consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los nmeros, sus operaciones bsicas, los smbolos y las formas de razonamiento matemtico.

Competencia en el conocimiento y la interaccin con el mundo fsico

Tratamiento de la informacin y competencia digital

Competencia social y ciudadana

Competencia cultural y artstica

Competencia para aprender a aprender

Autonoma e iniciativa personal

Es la habilidad para interactuar con el mundo fsico, tanto en sus aspectos naturales como en los generados por la accin humana. Tambin se relaciona con el uso del mtodo cientfico.

Comprende las habilidades para buscar, obtener, procesar y comunicar informacin, y la utilizacin de las nuevas tecnologas para esta labor.

Hace posible comprender la realidad social en que se vive, cooperar, convivir y ejercer la ciudadana democrtica en una sociedad plural, as como participar en su mejora.

Supone comprender, apreciar y valorar crticamente diferentes manifestaciones culturales y artsticas.

Implica disponer de habilidades para iniciarse en el aprendizaje y ser capaz de continuar aprendiendo de manera cada vez ms eficaz y autnoma, de acuerdo a los propios objetivos y necesidades.

Supone ser capaz de imaginar, emprender, desarrollar y evaluar acciones o proyectos individuales o colectivos con creatividad, confianza, responsabilidad y sentido crtico.

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97. CONTRIBUCIN DE LAS MATEMTICAS A LA ADQUISICIN DE LAS COMPETENCIAS BSICAS

Puede entenderse que todo el currculo de la materia contribuye a la adquisicin de la competencia matemtica, puesto que la capacidad para utilizar distintas formas de pensamiento matemtico, con objeto de interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, forma parte del propio objeto de aprendizaje. Todos los bloques de contenidos estn orientados a aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemticamente, comprender una argumentacin matemtica, y expresarse y comunicarse en el lenguaje matemtico, utilizando las herramientas adecuadas, e integrando el conocimiento matemtico con otros tipos de conocimiento para obtener conclusiones, reducir la incertidumbre y para enfrentarse a situaciones cotidianas de diferente grado de complejidad.

La discriminacin de formas, relaciones y estructuras geomtricas, especialmente con el desarrollo de la visin espacial y la capacidad para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio, contribuye a profundizar la competencia en conocimiento e interaccin con el mundo fsico. La modelizacin constituye otro referente en esta direccin. Elaborar modelos exige identificar y seleccionar las caractersticas relevantes de una situacin real, representarla simblicamente y determinar pautas de comportamiento, regularidades e invariantes, a partir de las que hacer predicciones sobre la evolucin, la precisin y las limitaciones del modelo.

Por su parte, la incorporacin de herramientas tecnolgicas como recurso didctico para el aprendizaje y para la resolucin de problemas contribuye a mejorar la competencia en tratamiento de la informacin y competencia digital de los estudiantes, del mismo modo que la utilizacin de los lenguajes grfico y estadstico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de comunicacin. No menos importante resulta la interaccin entre los distintos tipos de lenguaje: natural, numrico, grfico, geomtrico y algebraico, como forma de ligar el tratamiento de la informacin con la experiencia de los alumnos.

Las Matemticas contribuyen a la competencia en comunicacin lingstica, ya que son concebidas como un rea de expresin que utiliza continuamente la expresin oral y escrita en la formulacin y expresin de las ideas. Por ello, en todas las relaciones de enseanza y aprendizaje de las Matemticas y, en particular, en la resolucin de problemas, adquiere especial importancia la expresin tanto oral como escrita de los procesos realizados y de los razonamientos seguidos, puesto que ayudan a formalizar el pensamiento. El propio lenguaje matemtico es, en s mismo, un vehculo de comunicacin de ideas que destaca por la precisin en sus trminos y por su gran capacidad para transmitir conjeturas gracias a un lxico de carcter sinttico, simblico y abstracto.

Las Matemticas contribuyen a la competencia en expresin cultural y artstica porque el mismo conocimiento matemtico es expresin universal de la cultura, siendo, en particular, la Geometra parte integral de la expresin artstica de la humanidad al ofrecer medios para describir y comprender el mundo que nos rodea y apreciar la belleza de las estructuras que ha creado. Cultivar la sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonoma y el apasionamiento esttico son objetivos de esta materia.

Los propios procesos de resolucin de problemas contribuyen, de forma especial, a fomentar la autonoma e iniciativa personal porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Tambin las tcnicas heursticas que desarrolla constituyen modelos generales de tratamiento de la informacin y de razonamiento, y consolidan la adquisicin de destrezas involucradas en la competencia de aprender a aprender, tales como la autonoma, la perseverancia, la sistematizacin, la reflexin crtica y la habilidad para comunicar los resultados.

La aportacin a la competencia social y ciudadana desde la consideracin de la utilizacin de las Matemticas para describir fenmenos sociales. Las Matemticas, fundamentalmente a travs del anlisis funcional y de la Estadstica, aportan criterios cientficos para predecir y tomar decisiones. Tambin se contribuye a esta competencia enfocando los errores cometidos en los procesos de resolucin de problemas con espritu constructivo, lo que permite de paso valorar los puntos de vista ajenos en plano de igualdad con los propios.

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10

31

2 Antes de empezar la unidad...

1. Busca informacin sobre Alejandro Magno y la poca en que vivi.

2. Explica la organizacin de la falange macedonia utilizando las fracciones.

3. Averigua cmo se han utilizado las fracciones a lo largo de la historia.

DESCUBRE LA HISTORIA... En esta unidad

aprenders a

Hallar fracciones equivalentes y calcular la fraccin irreducible de una dada.

Reducir fracciones a comn denominador.

Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

Realizar operaciones combinadas con fracciones.

PLAN DE TRABAJO

Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo

1. Calcula el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo de:

a) 24 y 12 b) 45, 14 y 7 c) 6, 24 y 72

Representacin de fracciones

2. Representa las siguientes fracciones.

a) 83

b) 52

c) 27

d) 59

Fracciones propias e impropias

3. Razona si estas fracciones son propias, impropias o iguales a la unidad.

a) 75

b) 719

c) 33

d) 513

EVALUACIN INICIAL

CONVIENE QUERecuerdes cmo se calcula el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo.

PORQUELos utilizaremos para hallar fracciones irreducibles y reducir fracciones a comn denominador.

Mximo comn divisor

El mximo comn divisor de dos o ms nmeros es el mayor de sus divisores comunes.

2 3 530?? ?5220 2=

="3 m.c.d. (20, 30) = 2 ? 5 = 10

Mnimo comn mltiplo

El mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros es el menor de sus mltiplos comunes.

?? ?520 2

30 2 3 5

2==

"3 m.c.m. (20, 30) = 22 ? 3 ? 5 = 60

CONVIENE QUESepas representar fracciones con grficos.

PORQUENos ayudar a comprender algunas propiedades de las fracciones.

Representacin de fracciones

Para representar fracciones se suelen utilizar figuras geomtricas:Se dividen en tantas partes iguales como indique el denominador, y despus, se marcan las partes que seale el numerador.

CONVIENE QUESepas identificar fracciones propias e impropias.

PORQUELo usaremos para comparar fracciones.

Fracciones propias e impropias

Una fraccin es propia cuando el numerador es menor que el denominador, y es impropia si tiene el numerador mayor que el denominador.

83

< 1 88

= 1 810

> 1

Alejandro MagnoEn una ocasin, Roxana, la esposa de Alejandro Magno, le pregunt a su marido:

A qu dios le agradeces la conquista del mundo?

A lo que Alejandro le contest:

Mi primer agradecimiento va dirigido a m mismo; y el segundo, al legado de mi padre: su invencible ejrcito, la falange macedonia.

Pero los imperios conquistados tenan un ejrcito, generalmente, ms numeroso que el tuyo replic Roxana.

La fuerza de mi ejrcito explic Alejandro reside en su organizacin, no en su nmero: cada fila de 16hoplitas es la cuarta parte de una tetrarquia, que a su vez es la cuarta parte de un syntagma, y 64 de estas unidades de infantera forman la falange. Su simple presencia infunde respeto a los ejrcitos enemigos.

Fracciones

Numerador < Denominador Numerador > DenominadorNumerador = Denominador

31

56

Para dividir fracciones podemos multiplicar

en cruz.ab

: cd

= a ? db ? cF

F

REFLEXIONA

21 Los 3/4 del agua de una localidad son reciclados, y de ese agua reciclada los 2/5 se utilizan para riego. Qu fraccin del total de agua se utiliza para riego?

22 Una vela se consume en 1/4 parte cada hora. Si nos queda 1/2 de vela, cuntas horas la podremos tener encendida?

EJERCICIOSPRACTICA

19 Haz estas operaciones.

a) ? ?53

52

61

b) 74

65

59

? ?

APLICA

20 Calcula.

a) 32

de 60 b) 53

de 90

APLICA

17 Realiza estas operaciones.

a) 152

187

125

+ + -e o b) 152

187

125

+ - -e oREFLEXIONA

18 Halla el valor de a.

73

21

1445a

+ - =

EJERCICIOSPRACTICA

16 Calcula y simplifica el resultado, si se puede.

a) 3 3

4312

+ + d) 74

42

21

+ -

b) 23

51

101

+ - e) 59

71

21

--

c) 43

27

31

- - f) 57

38

109

- +

3736

4.1 Suma y resta de fracciones

Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador se suman (o restan) los numeradores y se mantiene el mismo denominador.

Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador se reducen las fracciones a comn denominador y, despus, se suman (o restan) los numeradores y se mantiene el nuevo denominador.

Operaciones con fracciones4

4.2 Fraccin opuesta

10 Cul es la opuesta de 37

? Es 37-

, porque: ( )

37

37

37 7

30

0+-=

+ -= =

EJEMPLO

Dos fracciones son opuestas cuando la suma de ambas es cero.

Una fraccin, ba

, tiene siempre una fraccin opuesta del tipo ba-

.

SE ESCRIBE AS

Las fracciones del tipo:

ba-

y ba-

las escribimos como ba

- .

72

27

72-

=-

=-

Son fracciones negativas.

Las fracciones del tipo:

ba

-

-

las escribimos como ba

.

72

72

-

-=

Son fracciones positivas.

4.4 Divisin de fracciones

Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fraccin por la inver-sa de la segunda fraccin.

: ??

?

ba

dc

ba

cd

b ca d

= =

4.3 Multiplicacin de fracciones

El producto de dos o ms fracciones es otra fraccin que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el pro-ducto de los denominadores.

??

?

ba

dc

b da c

=

Dos fracciones son inversas cuando su producto es la unidad.

Toda fraccin, ba

, distinta de cero tiene una fraccin inversa que es ab

.

11 Calcula.

a) 53

92

47

?? ? ?

? ?

5 9 43 2 7

18042

307

= = =

F

Simplificamos: m.c.d. (42, 180) = 6

b) ?41

1000 ??

?

41

11000

4 11 1000

41000

250= = = =

EJEMPLO

9 Calcula: 61

42

83

127

+ + - 24

4 12 9 142411

=+ + -

=

Denominador comn: m.c.m. (6, 4, 8, 12) = 24

EJEMPLO

F

8 Calcula.

a) 1518

1519

+ 15

18 191537

=+

= b) 38

37

- 3

8 731

=-

=

c) 64

67

61

613

67

+ - + - 6

4 7 1 13 7616

38

=+ - + -

= =

EJEMPLO

F

Simplificamos: m.c.d. (16, 6) = 2

EJEMPLO

F F

12 Calcula.

a) :38

95

??

?

38

59

3 58 9

1572

524

= = = = b) :512

7 ??

?

512

71

5 712 1

3512

= = =

Inversa de 95

F 59

Simplificamos Inversa de 17

F 71

F

Esquema de la unidad didctica del libro del alumno

Lectura inicial.Muestra la importancia

de lo que vas a estudiar atravs de

episodios relacionados con la historia de las

Matemticas. Seproponen

actividades que teinvitan a investigar sobre elpersonaje de

la lectura ylaimportancia de

sus aportaciones.

Antes de empezar la unidad Aparecen loscontenidos pertenecientes acursos o unidades anteriores, que te van a ser necesarios para comprender lo que vas a estudiar. Adems, mediante laevaluacin inicial, podrs afianzar loscontenidos repasados.

Pginas de contenidos. En ellas encontrars los contenidos y procedimientos bsicos apoyados engran cantidad de ejemplos resueltos. Alfinal decada pgina se proponen ejercicios clasificados en tres niveles:

PRACTICA. Son actividades para que repitas de forma prcticamente exacta elprocedimiento que has estudiado.

APLICA. Son actividades en las que tendrs que aplicar ese procedimiento.

REFLEXIONA. Una vez que seas capaz de repetirlo y aplicarlo, teproponemos que hagas unareflexin sobre l.

La estructura de las unidades didcticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar lalocalizacin de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos.

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11

81

4. RestaR en el sistema sexagesimal

Calcula: 6 24' 28" - 52' 47"

Primero. Agrupamos las medidas por unidades.SeGUNDo. Si el nmero de segundos del sustraendo es menor que el del minuendo, se transforma un minuto en segundos.

6 24' 28"- 52' 47"

24' = 23' + 60"

" 6 23' 88"- 52' 47"

TerCero. Si el nmero de minutos del sustraendo es menor que el del minuendo, se transforma un grado (u hora) en minutos.

6 23' 88"- 52' 47"

6 = 5 + 60'

" 5 83' 88"- 52' 47"

5 31' 41"

5. multiplicaR en el sistema sexagesimal

Calcula: (2 h 36 min 49 s) ? 2

Primero. Multiplicamos cada unidad de la medida por el nmero.

SeGUNDo. Si en el resultado de la multiplicacin los segundos o los minutos sobrepasan 60, los transformamos en la unidad superior.

(2 h 36 min 49 s) ? 2 = 4 h 72 min 98 s

4 h 73 min 38 s

5 h 13 min 38 s

2 h 36 min 49 s# 2

4 h 72 min 98 s

80

Lo esencialcOmpRenDe estas palaBRas

unidades de medida de ngulos unidades de medida de tiempo

Unidad Smbolo equivalencia

Grado

Minuto

Segundo

'

"

1 = 60'

1' = 60"

1 = 3 600"

Grado (hora) Minuto Segundo

? 3 600

? 60 ? 60

F

F

F

Grado (hora) Minuto Segundo

: 3 600

: 60 : 60

F

F

F

Unidad Smbolo equivalencia

Hora

Minuto

Segundo

h

min

s

1 h = 60 min

1 min = 60 s

1 h = 3 600 s

4083" 60 483 68' 03"

68' 60 8' 1

6. DiviDiR en el sistema sexagesimalefecta esta operacin: (25 13' 27") : 12

Primero. Dividimos los grados. El resto lo pasamos a minutos y se lo sumamos a los minutos del dividendo.

SeGUNDo. Dividimos el total de minutos y los restantes minutos los pasamos a segundos.

TerCero. Dividimos el total de segundos.

98 s = 1 min + 38 s

73 min = 1 h + 13 min

FFFF

25 13' 27" 121 1 = 60'" 60' 2 6' 7"

73' 1' 1' = 60"" 60" 87" 3"

3. sumaR en el sistema sexagesimalCalcula:

6 h 24 min 28 s + 52 min 47 s

Primero. Colocamos los sumandos, agrupados por unidades, y realizamos la suma.

6 h 24 min 28 s+ 52 min 47 s

6 h 76 min 75 s

SeGUNDo. Si en el resultado sobrepasan 60: Los segundos, los transformamos en minutos. Los minutos, los transformamos en horas.

6 h 24 min 28 s + 52 min 47 s = 6 h 76 min 75 s

6 h 77 min 15 s

7 h 17 min 15 s

75 s = 1 min + 15 s

77 min = 1 h + 17 min

FFFF

w

comprende estas palabras

1. Expresa en la unidad indicada.a) 133 200" en grados.b) 17 h en segundos.

transformar de forma compleja a incompleja

2. Expresa en segundos el ngulo 40 40' 40".

transformar de forma incompleja a compleja

3. Cul es la expresin compleja de 3 620 s?

sumar en el sistema sexagesimal

4. Halla la suma de los ngulos 20 30' 25"y 40 40' 40".

Restar en el sistema sexagesimal

5. Cul es el resultado de 7 25' 30" - 4 27' 40"?

multiplicar en el sistema sexagesimal

6. Calcula el triple de 10 26' 20".

Dividir en el sistema sexagesimal

7. Halla la mitad del ngulo 9 20' 8".

Y aHORa pRactica

G Cociente

G Resto

2. tRansfORmaR meDiDas De ngulOs Y tiempO expResaDas en fORma incOmpleja a cOmpleja

expresa 4 083" de forma compleja.

Primero. Dividimos los segundos entre 60: el cociente son minutos, y el resto, segundos.

SeGUNDo. Dividimos los minutos entre 60: el cociente son grados, y el resto, minutos.

G 4 083" = 1 8' 3" G Forma compleja

Forma incompleja

6 24' 28"- 52' 47"

1. tRansfORmaR meDiDas De ngulOs Y tiempO expResaDas en fORma cOmpleja a incOmpleja

expresa 3 45' 54" en minutos.

Primero. Transformamos en la unidad que se pide.

3 = 3 ? 60 = 180'45' = 45'54" = 54 : 60 = 0,9'

SeGUNDo. Sumamos los resultados.

G 3 45' 54" " 180' 45'

+ 0,9' 225,9'

HaZlO De esta maneRa

G

Forma compleja

Forma incompleja

62

ActividadesNmeros decimales

28. Expresa numricamente las siguientes cantidades.

a) Cuatro centsimas.b) Seis dcimas.c) Trece milsimas.d) Ciento ocho unidades cuatro milsimas.e) Mil una unidades siete diezmilsimas.f) Catorce unidades dos centsimas.

29. Escribe cmo se leen estos nmeros.

a) 3,24 e) 102,04b) 49,3 f) 1 800,556c) 0,001 g) 2,00005d) 1,03 h) 25,5759

30. Copia en tu cuaderno y completa la tabla de descomposicin de nmeros.

31. Copia y completa.

a) Dos unidades son d milsimas.b) Una dcima es d centsimas.c) Tres unidades y dos dcimas son d milsimas.d) Veinte milsimas son d centsimas.

32. Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas.

a) 1,05 unidades equivalen a ciento cinco centsimas.

b) Cuatro unidades y tres dcimas son cuatro unidades y treinta centsimas.

c) Entre 2,452 y 2,453 no existe ningn nmero.

d) 3,005 es mayor que 3,05.

e) Tres unidades con dos dcimas equivalen a treinta y dos mil milsimas.

Nmero C D U d c m

12,59 1 2 5 9

385,075

0 0 1 0 0 0

0,0023

0 0 0 1 0 0

105,426

2,359

comparaciN de Nmeros decimales

33. Ordena los siguientes nmeros decimales exactos, de menor a mayor.

a) 0,75; 0,57; 0,507; 0,705b) 0,102; 0,05; 0,105; 0,501; 0,251

34. Copia y completa con un nmero decimal exacto.

a) 14,065 > d > 13,95b) 14,065 > d > 14,06c) 14,065 > d > 14,061d) 14,065 > d > 14,0651

35. Escribe tres decimales entre cada par.

a) 2,3 y 3,6 c) 2,31 y 2,32b) 2,3 y 2,4 d) 2,31 y 2,311

36. Ordena, de menor a mayor, estos nmeros:

0,25 0,025 0,25 0,205 0,205

cmo se deTermiNa UN Nmero decimal peridico compreNdido eNTre oTros dos?

37. Determina un nmero decimal peridico comprendido entre 5,7 y 5,8.

PRIMERO. Se escriben los nmeros con la misma cantidad de decimales.

5,7 " 5,777 5,8 " 5,888

SEGUNDO. Se aaden al nmero menor ms cifras decimales que sean mayores que el ltimo decimal. Estas cifras y el perodo forman el nuevo perodo.

5,7 < 5,780 < 5,781 < 5,782 < 5,783 < < 5,8

! !

! !

! # # # # !

HaZlo as

38. Copia y completa en tu cuaderno con un nmero decimal peridico puro.

a) 4,375 < d < 4,376 c) 5,6 < d < 5,7b) 1,25 < d < 1,26 d) 0,06 < d < 0,07

39. Copia y completa en tu cuaderno conun nmero decimal peridico mixto.

a) 2,375 < d < 2,376 c) 6,3283 < d < 6,3283b) 0,12 < d < 1,13 d) 0,061 < d < 0,062

40. Existe un nmero decimal exacto, otro peridico puro y otro mixto entre 7,4595 y 7,4596?

! # # #

% % ! !# # # #

% % % !! ! # #

# #

67

192. Un barril americano contiene 158,98 .a) Cuntos barriles podemos llenar con 317 960

de petrleo? Y con 1 000 000 ?b) Cuntos litros son 250 barriles?

193. Una tira de papel mide 29 cm de largo. Cuntas tiras necesitamos para obtener una tira de 2,4 m de largo?

194. Sabiendo que una milla terrestre es 1,6093km, cuntos metros y kilmetros son 2,35 millas? Y 0,6 millas?

195. Un nudo es una milla marina/h y una milla marina es 1,852 km. La velocidad de un barco es de 60 nudos. Cuntos kilmetros recorre en tres horas?

196. Un glaciar retrocede 2,8 cm al ao por el deshielo. Cunto tardar en retroceder 5 m?

197. Calcula el peso total, en gramos, de 241libros si cada uno de ellos pesa 2 hg y 653 mg.

198. El permetro de un rectngulo es 5,85 m. Si un lado mide el doble que el otro, cunto mide cada lado?

199. Gastamos 0,75 m de papel para envolver paquetes pequeos y 1,8 m para los paquetes

grandes. Disponemos de 25 m de papel. Cuntos paquetes de cada tipo podemos envolver?

100. En un jardn hay un pozo y un rbol a 27,5 m de distancia. Entre ellos se han

colocado 10macetas a intervalos iguales.

a) A qu distancia de cada maceta est el pozo?b) Qu distancia se recorre para regarlas,

si cada dos macetas hay que volver al pozo?

INVESTIGA

101. Encuentra un nmero decimal comprendido entre:

a) 1,9 y 2 d) 2,9999 y 3b) 2,99 y 3 e) 2,999999 y 3c) 2,999 y 3 f) 2,9999999999 y 3

Puedes encontrar un nmero comprendido entre 2,9 = 2,9999 y 3? Qu conclusin obtienes?

102. Investiga por qu son vlidos estos mtodos para resolver algunas operaciones.

a) Multiplicar por 0,25 es igual que dividir entre4.

b) Multiplicar por 0,75 es lo mismo que multiplicar por 3 y luego dividir entre 4.

c) Multiplicar un nmero por 1,5 es igual que sumar al nmero su mitad.

d) Dividir un nmero entre 0,5 equivale a calcular el doble del nmero.

e) Dividir un nmero entre 0,75 es lo mismo que multiplicarlo por 4 y dividirlo entre 3.

103. Utilizando la calculadora, explica cmo puedes realizar estos clculos sin utilizar la tecla de la coma decimal.

a) 1,23 ? 34,567 c) 12 : 345,67b) 98,765 : 432 d) 9,87 : 65,432

104. Indica cul de los dos personajes tiene razn, y explica por qu.

105. Investiga por qu la raz cuadrada de: 200 720 072 007 200 720 072

no es un nmero entero.Cul debe ser la ltima cifra de un nmero para que no tenga raz cuadrada exacta?

!

La raz cuadrada de un nmero positivo siempre es menor

que el nmero. Eso no siempre es cierto

8786

74. Mariano comienza hoy a trabajar en una fbrica de muebles.

Segn las condiciones del contrato que ha firmado, trabajar 8 horas diarias, de lunes a viernes. Por ese trabajo recibir un sueldo fijo mensual de 600 , al que habr que aadir:

Por cada silla terminada, 2,75 . Por cada mesa, 4,50 .

ErEs capaz dE comprEndEr

a) Si monta 3 sillas en un da, cunto dinero cobrar por el montaje de las sillas? Y si monta 4 sillas y 1 mesa?

ErEs capaz dE rEsolvEr

Tardo 1 h 20 min en montar una silla y 2 h 15 min

en terminar una mesa.

b) El encargado le ha dicho que puede fabricar mesas o sillas segn su eleccin, pero que no podr ampliar su horario de trabajo, pues las mquinas de montaje solo funcionan 8 horas. Cuntas sillas como mximo puede fabricar al da? Y mesas?

ErEs capaz dE dEcidir

c) Cuntas mesas y sillas deber terminar diariamente para que su trabajo sea lo ms rentable posible, y cul ser su sueldo mensual?

75. En mi DVD, grabando con una calidad normal, un CD tiene capacidad para 5 horas de grabacin.

Tengo un CD en el que he grabado dos pelculas. La primera, Las nueces de primavera, segn el men de grabacin dura 93 min 52 s, y la otra, Al caer las nueces, 73 min 39 s.

ErEs capaz dE comprEndEr

a) Cunto tiempo duran las dos pelculas? Cunto espacio queda libre en el CD?

ErEs capaz dE rEsolvEr

b) El espacio que queda libre en el CD lo quiero completar grabando todos los captulos que pueda de mi serie favorita, Contando nueces.

Un captulo dura 35 minutos, a lo que hay que aadir la publicidad, 18 anuncios de 20 segundos cada uno. Cuntos captulos caben en el CD?

c) Cunto tiempo de grabacin sobra?

ErEs capaz dE dEcidir

d) La serie tiene 14 captulos, el resto de los captulos los voy a grabar en CD de 5 horas y DVD, que son ms caros, pero tienen una duracin de 8 horas. Cuntos tendr que comprar de cada tipo para que el coste sea lo menor posible?

5.Seleccionamos la primera fila calculada y arrastramos hasta la ltima cantidad. As, obtenemos todas las medidas en forma compleja.

Matemticas con ordenador OpenOffice. CALCes.openoffice.org

Expresa las siguientes medidas en forma compleja.

a) 52 348 s b) 2 378 s c) 126 s d) 47 s

4. Utilizamos la funcin =RESIDUO() para determinar los segundos como el resto de dividir los segundos iniciales por 60.

3. Hallamos los minutos dividiendo el resto de la divisin anterior por 60. Para calcular este resto utilizamos la funcin RESIDUO().

2. Con la funcin =COCIENTE() calculamoslas horas dividiendo los segundos entre 3 600.

1. Escribimos el significado de cada columna en la primera fila.

PRACTICA

1. Escribe estas medidas en forma compleja.

a) 43 256 s c) 2 580 sb) 12 003 s d) 1 573 s

INVESTIGA

2. Expresa en forma incompleja las siguientes medidas.

a) 2 h 3 min 32 sb) 7 h 52 min 3 s

ACTIVIDADES

Pon a prueba tus capacidades

En esta fbrica nos dedicamos a hacer sillas y mesas. Aqu tienes las piezas y tu trabajo

ser montarlas.

Lo esencial. Esta doble pgina es de resumen y autoevaluacin.

COMPRENDE ESTAS PALABRAS. Es el vocabulario matemtico trabajado en esa unidad.

HAZLO DE ESTA MANERA. Son los procedimientos bsicos de la unidad. Cada procedimiento se introduce mediante la resolucin de una actividad en la que se muestra, paso a paso, unmtodo general de resolucin.

Y AHORA PRACTICA. Son actividades quete permitirn comprobar si dominas los contenidos esenciales de esta unidad.

Actividades de la unidad. Ejercicios y problemas organizados por contenidos. Todos los enunciados van precedidos por un icono que indica sugrado de dificultad.

Investiga. Actividades en las que tendrs que aplicar todo tu ingenio para descubrir regularidades y propiedades de los contenidos que acabas de estudiar.

Pon a prueba tus capacidades. Seanalizan situaciones problemticas reales que te permitirn poner aprueba tus capacidades matemticas. Estosproblemas temostrarn la utilidad prctica de todo lo aprendido, que te puede ayudar en tu vida cotidiana.

Matemticas conordenador. La ltima pgina de launidad sededica a la resolucin deactividades con la ayuda deprogramas informticos.

Antes de empezar la unidad Aparecen loscontenidos pertenecientes acursos o unidades anteriores, que te van a ser necesarios para comprender lo que vas a estudiar. Adems, mediante laevaluacin inicial, podrs afianzar loscontenidos repasados.

277995 _ 0001-0017.indd 11 11/07/11 13:09

12

1. PROGRAMACIN DE AULA

Esta seccin proporciona guiones orientativos para la elaboracin de las programaciones de aula por parte del profesorado. Nuestra intencin no es sustituir la labor del profesor, pues la programacin del curso debe ser elaborada por el propio educador, en funcin de las caractersticas especficas tanto del centro como del alumnado. Desde Santillana solo intentamos ofrecerles recursos que faciliten esta tarea.

Los recursos para el profesorSomos conscientes de que cada profesor se encuentra con situaciones distintas en el aula. Y para poder realizar su labor con eficacia, es preciso que cuente con una gran diversidad de recursos entre los que elegir. Con la Gua para el profesor intentamos dotar al profesorado de una variedad de recursos que lo ayudarn en su trabajo en el aula.

Pretendemos tambin que el formato de las distintas secciones y fichas incluidas en la Gua se adecue a los materiales utilizados por los profesores. Estas fichas pueden fotocopiarse, pero, para facilitar su reproduccin y consulta, se proporciona la totalidad de la Gua en un CD, por lo que las fichas podrn imprimirse sin dificultad.

Nuestra Gua para el profesor est dividida en 14 unidades, correspondientes a cada una delas unidades del libro del alumno, y consta de cuatro grandes secciones: Programacin de aula, Recursos para trabajar en el aula, Adaptacin curricular y Propuestas de evaluacin decada unidad. Adems, hemos aadido una seccin dedicada a la utilizacin de las nuevas tecnologas y otra que permite trabajar de forma manipulativa con los cuerpos geomtricos.

DESARROLLO DE LAS UNIDADES

1. PROGRAMACIN DE AULA

Esta seccin proporciona guiones orientativos para la elaboracin de las programaciones de aula por parte delprofesorado. Nuestra intencin no es sustituir la labor del profesor, pues la programacin del curso debe ser elaborada por el propio educador, en funcin de las caractersticas especficas tanto del centro como del alumnado. Desde Santillana solo intentamos ofrecerles recursos que faciliten esta tarea.

54 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.

Fracciones

Reconoceryutilizarlasdistintasinterpretacionesdeunafraccin.

Hallarlafraccindeunnmero.

Distinguirsidosfraccionessonequivalentesycalcularfraccionesequivalentesaunadada.

Amplificarfracciones.

Simplificarunafraccinhastaobtenersufraccinirreducible.

Reducirfraccionesacomndenominador.

Compararfracciones.

Sumaryrestarfracciones.

Multiplicarfracciones,aplicarlapropiedaddistributivaysacarfactorcomn.

Comprobarsidosfraccionessoninversasyobtenerlafraccininversadeunadada.

Dividirdosfracciones.

Calcularlapotenciaylarazcuadradadeunafraccin.

Resolverproblemasdelavidacotidianadondeaparezcanfracciones.

ObjETIvOS

Interpretacinyutilizacindelasfraccionesendiferentescontextos. Obtencindefraccionesequivalentesydelafraccinirreducibledeunafraccin. Reduccindefraccionesacomndenominador. Ordenacindefracciones. Utilizacindelosalgoritmosdesuma,resta,multiplicacinydivisindefracciones

enlaresolucindeproblemasdelavidacotidiana. Clculodepotenciasyracescuadradasexactasdefracciones.

Valoracindelaprecisinylautilidaddellenguajenumricopararepresentar,comunicaryresolversituacionescotidianas.

Fraccincomopartedelaunidad,comococienteycomooperador. Fraccionesequivalentes.Amplificacinysimplificacin. Sumayrestadefracciones. Multiplicacinydivisindefracciones. Potenciayrazcuadradadeunafraccin. Jerarquadelasoperaciones.

CONCEPTOS

CONTENIDOS

PROCEDIMIENTOS, DESTREzaS y habIlIDaDES

aCTITUDES

2PROGRAMACIN DE AULA


UNIDAD 2

PR

OG

RA

MA

CI

N D

E A

ULA

Utilizar,demaneraadecuada,lasdistintasinterpretacionesdeunafraccin.

Determinarsidosfraccionessononoequivalentes. Amplificarysimplificarfracciones. Obtenerlafraccinirreducibledeunadada. Reducirfraccionesacomndenominador.

Ordenarunconjuntodefracciones. Sumar,restar,multiplicarydividirfracciones.

Calcularlapotenciaylarazcuadradadeunafraccin.

Obtenerlafraccininversadeunafraccindada. Aplicarcorrectamentelapropiedaddistributiva

ysacarfactorcomn. Realizaroperacionescombinadasconfracciones,

respetandolajerarquadelasoperaciones. Resolverproblemasrealesdondeaparezcan

fracciones.

CRITERIOS DE EVALUACIN

COMPETENCIAS QUE SE TRABAJAN Interpretarcrticamenteinformacinprovenientedediversoscontextosquecontengadistintostipos

denmeros;relacionarlosyutilizarlos,eligiendolarepresentacinadecuadaencadacaso.

Reconocerycalcularelresultadodelasoperacionesbsicasconnmerosnaturales,enterosyfracciones,aplicandoelmododeclculomspertinente(mental,algoritmosdelpizypapelocalculadora).

Utilizar,demaneraautnomayrazonada,estrategiasparaabordarsituaciones-problemayproblemas-tipo,planificandoelprocesoderesolucin,desarrollndolodemaneraclarayordenadaymostrandoconfianzaenlaspropiascapacidades.

FRACCIONESUnafraccinesunaexpresindeltipo

ba,conb!0,dondeayb

sonnmerosenteros.

Fracciones equivalentes

Dosfraccionesbay

dcsonequivalentessia ? d = b ? c.

Suma y restaParasumar(orestar)fraccionessereducenacomndenominadorysesuman(orestan)losnumeradores.

32

25

64

615

64 15

619

+ = + =+

=

MultiplicacinElproductodedosfraccionesesotrafraccinquetienepornumeradorelproductodelosnumeradores,ypordenominador,elproductodelosdenominadores.

??

??

?

?

32

45

3 42 5

1210

65

ba

dc

b da c

= = = =

DivisinParadividirdosfraccionessemultiplicalaprimerafraccinporlainversadelasegunda.

:: ??

??

32

45

32

54

158

ba

dc

ba

cd

b ca d

= = = =

Operaciones

ESQUEMA DE LA UNIDAD

277995 _ 0001-0017.indd 12 11/07/11 13:09

13

Paso a paso. Desarrollo pormenorizado delproceso a seguir para resolver la actividad propuesta en ellibro del alumno mediante lautilizacin de software libre (WIRIS, OpenOffice y GeoGebra).

Paso a paso. Desarrollo pormenorizado delproceso a seguir para resolver la actividad propuesta en ellibro del alumno mediante la utilizacin de software para el que se necesita licencia (DERIVE, EXCEL yCABRI).

Matemticas con ordenador. En esta pgina se muestra

la actividad resuelta en el libro del

alumno con software libre

(WIRIS, OpenOffice yGeoGebra), y se

han aadido sugerencias para

resolver las actividades propuestas.

Matemticas con ordenador. En esta pgina se muestra la resolucin de la

actividad propuesta en el libro del

alumno utilizando software para el que se necesita licencia

(DERIVE, EXCEL yCABRI).

58 59 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.

UNIDAD 2

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LA

5. Seleccionamoselnuevonumeradoryarrastramosparaconseguirlosnuevosnumeradoresdelrestodefracciones.Asobtenemoslasfraccionescondenominadorcomn.

MATEMTICAS CON ORDENADOR

UNIDAD 2

PASO A PASO

Escribimos los rtulos en la columna A. A continuacin escribimos las fracciones: anotamos los numeradores en las celdas B1, C1 y D1, y los denominadores en las celdas de la siguiente fila, B2, C2 y D2. De esta forma tenemos las fracciones en las columnas B, C y D.

Utilizamos la funcin M.C.M(Nmero 1; Nmero 2; ...) para calcular el mnimo comn mltiplo de los denominadores.

En B4 copiamos =M.C.M(B2:D2), que da 180.

Copiamos de nuevo los rtulos en la primera columna, en las celdas A6 y A7. A continuacin escribimos el nuevo denominador en las celdas B7, C7 y D7, en este caso, 180.

Hallamos el numerador de la primera fraccin equivalente.

En la celda B6 copiamos la frmula =B7/B2*B1 que da como resultado 45.

Copiamos la celda B6 y pegamos su contenido en las celdas C6 y D6 donde aparecen los numeradores de las otras dos fracciones, 50 y 48.

1

2

3

4

5

Reduce a comn denominador las fracciones ,123

185

154

y .

OpenOffice. CALC OpenOffice. CALCes.openoffice.org es.openoffice.org

SUGERENCIAS PARA RESOLVER LAS ACTIVIDADES

1 Para resolver esta actividad basta con seguir, las instrucciones dadas en el ejemplo.

2 Tenemos que encontrar una fraccin equivalente

a 7

3 y 7

4 con denominador 35, que es el m.c.m.

de los tres denominadores. Debemos recordar que el numerador de la

fraccin equivalente que estamos buscando tiene que ser mltiplo de 5.

3 El comn denominador de las tres primeras fracciones es 12, en el segundo caso el comn denominador es 18.

Podemos probar con ms fracciones, por ejemplo se puede buscar el comn denominador

de 4

1, 8

1 y

12

1 o de

5

1, 10

1 y

15

1.

Hay que tener en cuenta que el numerador b, no afecta a la hora de buscar el denominador comn de las fracciones.

4. Calculamos el nuevo numerador de la primera fraccin.

3. Escribimos en una fila el nuevo denominador comn tantas veces como fracciones tengamos.

2. Utilizamos la funcin M.C.M() seleccionando todos los denominadores para calcular su mnimo comn mltiplo.

1. Copiamos en una fila todos los numeradores de las fracciones, y en la siguiente fila, los denominadores.

60 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L. 61 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.

UNIDAD 2

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LAMATEMTICAS CON ORDENADOR

UNIDAD 2

Reduce a comn denominador las fracciones ,123

185

154

y .

4. Calculamos el nuevo numerador de la primera fraccin.

3. Escribimos en una fila el nuevo denominador comn tantas veces como fracciones tengamos.

2. Utilizamos la funcin M.C.M() seleccionando todos los denominadores para calcular su mnimo comn mltiplo.

1. Copiamos en una fila todos los numeradores de las fracciones, y en la siguiente fila, los denominadores.

5. Seleccionamoselnuevonumeradoryarrastramosparaconseguirlosnuevosnumeradoresdelrestodefracciones.Asobtenemoslasfraccionescondenominadorcomn.

PASO A PASO

Escribimos los rtulos en la columna A. A continuacin escribimos las fracciones: anotamos los numeradores en las celdas B1, C1 y D1, y los denominadores en las celdas de la siguiente fila, B2, C2 y D2. De esta forma tenemos las fracciones en las columnas B, C y D.

Utilizamos la funcin M.C.M(Nmero 1; Nmero 2; ...) para calcular el mnimo comn mltiplo de los denominadores.

En B4 copiamos =M.C.M(B2:D2), que da 180.

Copiamos de nuevo los rtulos en la primera columna, en las celdas A6 y A7. A continuacin escribimos el nuevo denominador en las celdas B7, C7 y D7, en este caso, 180.

Hallamos el numerador de la primera fraccin equivalente.

En la celda B6 copiamos la frmula =B7/B2*B1 que da como resultado 45.

Copiamos la celda B6 y pegamos su contenido en las celdas C6 y D6 donde aparecen los numeradores de las otras dos fracciones, 50 y 48.

1

2

3

4

5

PRACTICA

1. Escribe fracciones con el mismo denominador.

a) , ,57

1118

1517 b) , ,

98

119

1310

2. Calcula el nmero que verifica la siguiente desigualdad:

73

5 74

< )y menor que(

33

UNIDAD 1

MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.

COMPRENDER El SIGNIFICaDO DE lOS NMEROS POSITIVOS y NEGaTIVOS

7 Ordena.

8 Escribe el signo que corresponda entre cada par de nmeros enteros: < o >.

a) +5 -2 c) -1 0 e) +11 +15 g) -7 -4

b)+0 +8 d)-4 +1 f) +10 -9 h)+5 -11

DE MENOR A MAYOR ()

+11,-2,+8,0,-1,+5,-6,+3,-3,+7,-4,-9,+17

-8,-16,+5,-2,+13,+3,-4,-9,+9,0,+18,-10

vALOR AbSOLUTO DE UN NMERO ENTERO

Elvalorabsolutodeunnmeroenteroesladistancia,enunidades,queleseparadelceroenlarectanumrica.

Enlaprcticaseescribeentredosbarrasquyresultaelmismonmerosinsusigno:Valorabsolutode-5seescribeq-5uyes5. Valorabsolutode+5seescribeq+5uyes5.

Losnmerosenteros+5y-5estnalamismadistanciadelcero:5unidades.

Observaque:q+5u =5u q-5u =5

Sediceque+5y-5sonnmerosopuestosyseescribeas:Op(+5)=-5 Op (-5)=+5

Dosnmerosopuestostienenelmismovalorabsoluto.

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

F F

vALOR AbSOLUTO RESULTADO SE LEE

q+10u

q-8u

q-9u

10

7

Elvalorabsolutode+10es10.

Elvalorabsolutode-15es15.

9 Completa la siguiente tabla:

10 Para cada nmero entero, halla su nmero opuesto y represntalos en una recta numrica.

a) -3 b)+9 c) -12 d)+8

AD

AP

TAC

IN

CU

RR

ICU

LAR

277995 _ 0018-0053.indd 33 11/07/11 14:18


(+5)+(-1)"q+5u=5 q-1u=1

5-1=43 (+5)+(-1)=+4

(-6)+(+5)"q-6u=6 q+5u=5

6-5=13 (-6)+(+5)=-1

(+3)+(+2)" q+3u=3 q+2u=23+2=5

3(+3)+(+2)=+5

(-4) +(-1)" q-4u=4 q-1u=14+1=5

3(-4)+(-1)=-5

NOMBRE: CURSO: FECHA:

OBJETIVO 2

REalIzaR OPERaCIONES aRITMTICaS CON NMEROS ENTEROS

Parasumardos nmeros enteros delmismo signo,sesumansusvaloresabsolutosyalresultadoseleponeelsignodelossumandos.

Parasumardos nmeros enteros dedistinto signo,serestansusvaloresabsolutosyalresultadoseleponeelsignodelsumandoconmayorvalorabsoluto.

Pararestardosnmerosenterossesumaalprimeroelopuestodelsegundo.Seaplicaacontinuacinlaregladelasumadenmerosenteros.

1 Realiza y representa en la recta numrica las siguientes sumas.

a) (-3)+(-1) b) (+4)+(+4) c) (+5)+(-2) d) (-2)+(-5) e) (+4)+(-4)

(+3)+(+2)=+5

+2

F F

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

EjEMPLO

(+5)+(-1)=+4

-1

F

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

EjEMPLO

(+5)-(+2)=(+5)+(-2) =+3

Op (+2) = -2 q+5u=5q-2u=23 5-2=3

EjEMPLO

(-6)-(-1)=(-6)+(+1)=-5

Op (-1) = +1 q-6u=6q+1u=13 6- 1=5

EjEMPLO

277995 _ 0018-0053.indd 34 11/07/11 14:18

35

UNIDAD 1



OPERACIONES COMbINADAS DE SUMAS Y RESTAS DE NMEROS ENTEROS

Losnmerosenterospuedencombinarsemediantesumasyrestas.Hayquetenerencuentaunaseriedereglas:

Cuandoelprimersumandoespositivoseescribesinsigno.

Aleliminarlosparntesis,elsignoqueleprecedeafectaatodoslosnmeros:Elsigno+mantienelossignosdetodoslosnmeros:+(-7+2-1+8)=-7+2-1+8Elsigno-cambialossignosdetodoslosnmeros:-(-7+2-1+8)=+7-2+1-8

Podemosoperardedosformas: Sumarporseparadolosenterospositivos,losenterosnegativosyhallarlarestaentreambos.

Realizarlasoperacionesenelordenenqueaparecen.

2 Realiza las siguientes operaciones, utilizando las reglas anteriores.

Ejemplo:(+11) + (-2) = 11 - 2 = 9

a) (+7)+ (+1)= d) (+10)- (+2)=

b) (-15)+ (-4)= e) (-11)-(-10)=

c) (+9)- (-5)= f) (-7)+ (+1)=

3 Haz las operaciones.

a) 7-5= d)-3+ 8=

b) 11-4+ 5= e) -1+ 8+ 9=

c) -9- 7= f) -10+ 3+ 7=

4 Calcula.

a) 5 - 7+ 19 - 20+ 4 - 3+ 10=

b)-(8+ 9-11)=

c) 9 - 11+ 13+ 2 - 4 - 5+ 9=

d)-(20+ 17) - 16+ 7 - 15+ 3=

Haz estas operaciones.

a) (+7)+(+2)=7+ 2=9

b) (-4)+(-1)=-4-1=-5

c) Primeraforma:+(-5+ 3- 2+ 7)=-5+3-2+7=-7+10=+3 Segundaforma:+(-5+ 3- 2+ 7)=-5+3-2+7= -2-2+7=-4+7=+3

d) Primeraforma:-(-5+ 3- 2+ 7)=+5-3+2-7=7- 10=-3 Segundaforma:-(-5+ 3- 2+ 7)=+5-3+2-7=+2+2-7=+4-7=-3

EjEMPLO

AD

AP

TAC

IN

CU

RR

ICU

LAR

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MULTIPLICACIN DE NMEROS ENTEROSParamultiplicardosnmerosenterossesiguenestospasos:1. Multiplicamossusvaloresabsolutos(enlaprctica,losnmerosentres).2. Alresultadolecolocamoselsigno+siambosnmerossonde igual signo,yelsigno-sison

designos diferentes.

DIvISIN DE NMEROS ENTEROSParadividirdosnmerosenterossesiguenestospasos:1. Dividimossusvaloresabsolutos(enlaprctica,losnmerosentresysiemprequeladivisinseaexacta).2. Alresultadolecolocamoselsigno+siambosnmerossondeigual signo,yelsigno-sison

designos diferentes.

5 Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas.

a) 8- (4- 7)=

b)-4- (5- 7)- (4+ 5)=

c) -(-1- 2- 3)- (5- 5+ 4+ 6+ 8)=

d) (-1+ 2- 9)- (5- 5)- 4+ 5=

e) (-1- 9)- (5- 4+ 6+ 8)- (8- 7)=

f) -4- (4+ 5)- (8- 9)+ 1+ 6=

(+5)?(-3)" 31. 5?3=152. -15,yaquesondedistintosigno 3 (+5)?(-3)=-15

(-5)?(+3)" 31. 5?3=152. -15,yaquesondedistintosigno 3 (-5)?(+3)=-15

(-5)?(-3)" 31. 5?3=152. +15,yaquesondeigualsigno 3 (-5)?(-3)=+15

(+5)?(+3)" 31. 5?3=152. +15,yaquesondeigualsigno 3 (+5)?(+3)=+15

EjEMPLO

(+20) : (-4)" 31. 20:4=52. -5,yaquesondedistintosigno 3 (+20):(-4)=-5

(-20) : (+4)" 31. 20:4=52. -5,yaquesondedistintosigno 3 (-20):(+4)=-5

(-20) : (-4)" 31. 20:4=52. +5,yaquesondeigualsigno 3 (-20):(-4)=+5

(+20) : (+4)" 31. 20:4=52. +5,yaquesondeigualsigno 3 (+20):(+4)=+5

EjEMPLO

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37

UNIDAD 1



Enlasoperacionesdemultiplicacinydivisindenmerosenteros,seutilizalaregla de los signos.

6 Realiza las siguientes operaciones.

a) (+7) ? (+2)= d) (-5)?(+8)=

b) (+12)?(-3)= e) (-1)?(-1)=

c) (-10)?(+10)= f) (+5)?(+20)=

7 Efecta las divisiones.

a) (+16):(+2)= c) (-25):(+5)= e) (+12):(-3)=

b) (-8):(-1)= d) (-100):(+10)= f) (+45):(+9)=

8 Calcula las siguientes operaciones, aplicando la regla de los signos.

a) (+12)?(-3)= e) (-9):(-3)= i) (+10)?(+4)=

b) (-20):(-10)= f) (-100):(+25)= j) (-9)?(+8)=

c) (+6)?(-6)= g) (-1)?(-18)= k) (+35):(+5)=

d) (+80):(-8)= h) (-77):(-11)= l) (-12)?(+5)=

9 Completa los huecos con los nmeros enteros correspondientes.

a) (+9)?=-36 d) (-7)?=+21 g) ?(-8)=-40

b) ?(+10)=-100 e) (-30)?=+30 h) (+6)?=0

c) (+3)?=-15 f) (-8)?=+16 i) ?(-5)=+25

10 Completa los huecos con los nmeros enteros correspondientes.

a) (+42):=-7 d) (-8):=+1 g) :(-9)=+6

b) (-20):=-20 e) :(-6)=+5 h) (+9):=-9

c) (+12):=-4 f) (-64):=+8 i) (-8):=-2

(+) ? (+) = +

(-) ? (-) = +

(+) ? (-) = -

(-) ? (+) = -

(+) : (+) = +

(-) : (-) = +

(+) : (-) = -

(-) : (+) = -

MULTIPLICACIN DIvISIN

AD

AP

TAC

IN

CU

RR

ICU

LAR

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NOMBRE: CURSO: FECHA:

OBJETIVO 3

REalIzaR OPERaCIONES CON POTENCIaS

22 ? 23=2?2?2?2?2=25 Enlaprctica:22 ? 23 = 22+3 = 25

EjEMPLO

2=21 (-3)=(-3)1 10=101 16=161 (-20)=(-20)1

EjEMPLO

? ?

? ? ? ?

? ?

? ??

?? ? ?

22

2 2 22 2 2 2 2

2 2 22 2 2

12 2

22

2 2 1 2 235

3

32 2= = = = = Enlaprctica:

22

2 235

5 3 2= =-

EjEMPLO

PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA bASEParamultiplicarpotenciasdelamismabasesedejalamismabaseysesumanlosexponentes.

1 Expresa con una sola potencia.

a) 22?24?23=22+4+3= c) 52?53= e) 64?6?63?62=

b) (-4)4?(-4)4= d) (-5)5?(-5)2= f) (-10)3?(-10)3?(-10)4=

2 Expresa como producto de factores las siguientes potencias.

3 Coloca los exponentes que faltan de modo que se cumpla la igualdad. (Puede haber varias soluciones en cada caso.)

a) 22?2....?2....=26 d) 5....?5....=55 g) (-2)4?(-2)....?(-2)....=(-2)8

b) 42?4....?4....?4....=47 e) (-7)....?(-7)....=(-7)5 h) 106?10....?10....=109

c) 3....?3....?3....=35 f) 10....?10....=105 i) 6....?6....?6....=66

POTENCIA N. DE FACTORES

55 2

4

5

3

4

52?53

PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA bASE

(-6)6

29

(-10)6

49

Todonmerosepuedeexpresarcomopotenciadeexponente1.

COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA bASE

Paradividirpotenciasdelamismabasesedejalamismabaseyserestanlosexponentes.

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39

UNIDAD 1



a)33

3 326

6 2 4= =- c)443

4

= e)553

5

=

b)( 4)( 4)

2

6

-

-= d)

( 7)( 7)3

-

-= f)

( 6)( 6)

6

8

-

-=

REalIzaR OPERaCIONES CON POTENCIaS

[(2)3]2=23?23=23+3=26 Enlaprctica:[(2)3]2=(2)3?2=26

[(-3)4]3=(-3)4?(-3)4?(-3)4=(-3)4+4+4=(-3)12 Enlaprctica:[(-3)4]3=(-3)4?3=(-3)12

EjEMPLO

POTENCIA DE EXPONENTE CERO

Unapotenciadeexponentecerovalesiempreuno.

? ?

? ?

22

2 2 22 2 2

88

1

22

2 2

3

3

3

33 3 0

= = =

= =-4 20 = 1

5 Coloca los exponentes que faltan, de modo que se cumpla la igualdad. (Puede haber varias soluciones en cada caso.)

a)22

2 2

5= = c)33

3 3........

.... 3= = e) .........44

4........

2= =

b) .......... 101010

....

....4= = d) ..........

( 5)( 5)

5........

2

-

-= = f) .........

66

1........

= =

POTENCIA DE UNA POTENCIA

Paraelevarunapotenciaaotrasemantienelamismabaseysemultiplicanlosexponentes.


a) [(4)5]2=(4)5 ? 2 =4.... d) [(5)2]4=

b) [(-3)3]3= e) [(6)0]2=

c) [(-8)2]3= f) [(10)3]4=

7 Coloca los exponentes que faltan, de modo que se cumpla la igualdad. (Puede haber varias soluciones en cada caso.)

a) [2....]....=28 c) [3....]....=310 e) [(-5)....]....=(-5)6

b) [6....]....=612 d) [4....]....=1 f) [10....]....=102

AD

AP

TAC

IN

CU

RR

ICU

LAR

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40 MATEMTICAS 2. ESO MATERIAL

propuestas para la adaptacion curricular 2eso

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