proposta de traballo fin de grao · de las asignaturas ”estructuras algebraicas”, “ecuaciones...

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Avda. Lope Gómez de Marzoa, s/n. Campus Universitario Sur

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PROPOSTAS DE TRABALLOS FIN DE GRAO CURSO 2015-2016

Código AL01_16

Área de coñecemento Álxebra

Título Intersección de curvas algebraicas planas: Del algoritmo de Euclides al teorema de Bezout.

Titor/a Ana Jeremías López

Breve descrición do contido

Una muestra de las primeras ventajas de considerar el plano proyectivo en lugar del plano afín es el teorema de Bezout: dos curvas planas proyectivas sin componentes en común definidas por ecuaciones polinómicas homogéneas de grados n y m se cortan exactamente nm veces. Este enunciado que parece fácil de entender debe ser establecido de forma precisa. Tanto en el enunciado como en su demostración los manuales sobre curvas algebraicas hacen uso de resultados de álgebra conmutativa. Es posible utilizar el algoritmo de Euclides para determinar los puntos de intersección de dos curvas proyectivas planas junto con sus multiplicidades, y dar una demostración alternativa del teorema de Bezout. Este es precisamente el objetivo de este trabajo.

Seguiremos la exposición de Jan Hilmar and Chris Smyth (2010) revisada por R. P. Hulst (2011). Estudiaremos

también algunas de las aplicaciones del teorema de Bezout.

Recomendacións (non vinculantes)

Se recomienda haber cursado las asignaturas “Ecuaciones Algebraicas”, “Estructuras Algébraicas”, y estar cursando paralelamente la asignatura “Álgebra, Números y Geometría”.

Código AL02_16

Área de coñecemento Alxebra

Título Infinitésimos y Lógica : Análisis no estandar

Titor/a Javier Barja Pérez


El "análisis no estándar" que fue desarrollado por A. Robinson en la mitad del pasado siglo, permite entroncar con la tradición del uso de infinitésimos por Euler y Leibnitz. Los infinitésimos fueron considerados inadmisibles por Gauss, y excluidos por Cauchy y Weierstrass quienes fundamentaron el cálculo diferencial sobre el concepto de infinito potencial (base de la usual definición de límite). Las bases de la construccion del análisis no estándar son la teoría de modelos y el uso de ultrapotencias del modelo estandar de R, usando un ultrafiltro no principal de N. Dentro de esa teoría pueden probarse algunos de los clásicos teoremas del análisis de una forma sencilla, pero rigurosa. Se trataría de ver algunos de esos resultados formulados con este nuevo lenguaje.


Este es un tema clásico de Lógica Matemática y las referencias remiten a libros de teoría de Modelos Robinson, A. Non standard analysis (1966),1974 2ª ed. Nord Holland Barnes D.W ; Mack, J. M. An Algebraic Inroduction to Mathematical Logic. Springer. 1975 N.Y. Chang, C. C. ; Keisler, H. J. Model Theory. North-Holland Amsterdam, Bell, J.L.; Machover M.. A-course-in-mathematical-logic (1977), North Holland N.Y CHAP 11. Enderton, H. A Mathematical Introduction to Logic, 2thEd 2001/1972 Harcourt/ Acad. Press. Chap Two. Stroyan,_ K..D._; _Luxemburg. W._A._J._Introduction to the theory of infinitesimals. Acad Press 1976 NY Keisler, H. J Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Creative Commons

Código AL03_16


Título A Álxebra Xeométrica dos Elementos de Euclides

Titor/a Celso Rodríguez Fernández


Estudarase o método que seguen os Elementos de Euclides nos Libros I e II, facendo unha versión de máis fácil lectura das demostracións.


Código AL04_16


Título Métodos alxebráicos na cinemática de robots

Titor/a Felipe Gago Couso


O espacio de posibles configuracións dunha articulación mecánica pode ser descrito mediante variedades alxebraicas. Usando bases de Gröbner pódense resolver os problemas cinemáticos de certos tipos de robots.


Cursar a materia Álxebra, Números e Xeometría.

Código AL05_16

Área de coñecemento Alxebra

Título Los teoremas de las unidades de Dirichlet y de finitud del número de clase de los cuerpos globales

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(demostración idélica).

Titor/a Leoncio Franco Fernández


Se comienza con una introducción a los cuerpos de números y sus divisores primos. Luego se exponen la llamada “geometría de números” y la teoría de Minkowski, que llevan a teoremas clásicos de teoría de números algebraicos como los citados en el título de este trabajo. 1. Cuerpos de números algebraicos y de funciones algebraicas [4, 5, 56 2. Adeles. Geometría de números. Teoría de Minkowski [3,4,5] 3. Ideles. Finitud del número de clase [1,2,4,5,6] 4. Teorema de las unidades de Dirichlet [1,5, 6]


[1] Adams-Goldstein, Introduction to Number Theory, Prentice Hall 1976 [2] Cassels-Fröhlich, Algebraic Number Theory, AP 1967 [3] Childress, Class field theory, Springer 2009 [4] Lang, Algebraic number theory, Addison-Wesley 1970 [5] Neukirch, Algebraic number theory, Springer 1999 [6] Weiss, Algebraic number theory, MacGraw-Hill 1963 Se recomienda tener superadas todas las materias del tercer curso de Grao en Matematicas, así como haber cursado o estar matriculado en Códigos e criptografía y en Alxebra, números e xeometría.

Código AL06_16

Área de coñecemento ÁLXEBRA

Título Aneis primitivos e o teorema de densidade de Jacobson.

Titor/a José Manuel Fernández Vilaboa


Trátase de introducir a teoría de aneis primitivos e de estudar a estrutura de estes aneis que serán caracterizados mediante o teorema de densidade de Jacobson. Ademais este teorema utilizarase para dar unha proba do teorema de estrutura para aneis artinianos simples.


Código AL07_16


Título Cifrado homomórfico

Titor/a José Luis Gómez Pardo


O cifrado homomórfico permite realizar computacións con datos cifrados sen necesidade de descifralos previamente, de modo que ó aplicarlles unha certa operación e logo descifrar o resultado produce a mesma resposta que se se aplica a operación análoga ós datos sen cifrar. O obxectivo do proxecto é o estudo deste tipo de cifrado, que adquiriu gran importancia últimamento debido ó desenvolvemento da "computación na nube" (cloud computing). En particular, estudaranse os esquemas de cifrado de Goldwasser-Micali e de Paillier, que son homomórficos no senso de que a función de descifrado é un homomorfismo de grupos e analizarase a súa aplicación ós esquemas de votación electrónica.


É recomendable cursar as materias “Códigos correctores e criptografía” e “Álxebra, números e xeometría”.

Código AL08_16


Título Probas automáticas de teoremas xeométricos

Titor/a Manuel Ladra González


O obxectivo deste TFG é aplicar a técnica das bases de Gröbner no estudo das probas automáticas de teoremas xeométricos. Xa que as hipóteses dun teorema xeométrico se poden expresar como ecuacións polinómicas relacionando as coordenadas cartesianas de puntos no plano euclidiano, entón os teoremas xeométricos poden ser expresados como polinomios no ideal xerado polas hipóteses.


É recomendable cursar a materia "Álxebra, Números e Xeometría".

Código AL09_16


Título Visualizando superficies alxébricas

Titor/a Manuel Ladra González


Surfex e Surfer son dous excelentes ferramentas de software libre para a visualización de curvas e superficies alxébricas. Surfer foi utilizada para construír as belas imaxes expostas na exposición RSME-Imaginary-Santiago celebrada en Santiago de Compostela no ano 2013. O obxectivo deste TFG é que o alumno aprenda a manexar o devandito software e poida representar as

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devanditas imaxes.


É recomendable cursar a materia "Álxebra, Números e Xeometría".

Código AL10_16


Título Módulos proyectivos sobre anillos de polinomios.

Titor/a Leovigildo Alonso Tarrío


El objetivo de este trabajo es edstudiar las demostraciones elmentales del celebrado teorema de Quillen-Suslin según el cual todo módulo proyectivo (i.e. sumando directo de un módulo libre) sobre un anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo es libre, hecho sencillo cuando el número de variables es 1 y conjeturado por Serre en general. Referencia básica: Lam, T. Y.; Serre's problem on projective modules. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2006.


Haber superado y comprendido los contenidos de la asignatura “Estructuras algebraicas”, en especial las propiedades básicas de los módulos sobre un anillo conmutativo unitario.

Código AL11_16

Área de coñecemento Álgebra

Título Formas cuadráticas

Titor/a Javier Majadas Soto


Formas cuadráticas sobre cuerpos, estudiando especialmente el caso de cuerpos finitos, p-adicos y racionales, y sus anillos de Witt. Será necesario estudiar: W. Scharlau, Quadratic and Hermitian Forms, capítulos 1 y 2. J.-P. Serre, Cours d’arithmétique / A course in arithmetic, capítulos I a IV. Más detalles sobre esta propuesta de TFG pueden verse en: http://webspersoais.usc.es/persoais/j.majadas/


Una buena formación en Álgebra es muy recomendable. En particular se recomienda soltura con los contenidos de las asignaturas ”Estructuras Algebraicas”, “Ecuaciones Algebraicas” y “Álgebra, Números y Geometría” (pudiendo cursar esta última simultáneamente).

Código AL12_16

Área de coñecemento Álgebra

Título Teoremas Fundamentales de la Geometría Afín y Proyectiva

Titor/a María Jesús Vale Gonsalves


El propósito de este trabajo es estudiar los teoremas fundamentales de la geometría afín y proyectiva que afirman que dados dos espacios afines (proyectivos) de igual dimensión finita n”maior”2, sobre dos cuerpos K y K’ con mas de dos elementos, toda biyección entre ellos que lleve tres puntos alineados en tres puntos no alineados, es un isomorfismo semi-afín (semilineal proyectivo). Se introducirán previamente nociones tales como aplicación semilineal, aplicación semi-afín, espacio proyectivo, aplicación semilineal proyectiva y encaje de un espacio afín en un espacio proyectivo.


Código AL13_16


Título Los códigos de Reed-Solomon y el disco compacto

Titor/a Nieves Rodríguez González


Se hace un estudio de los códigos de Reed-Solomon y de las diferentes técnicas que entran en juego en la codificación de los discos compactos.


Haber cursado “Ecuacións alxébricas” y cursar “Códigos Correctores e Criptografía”.

Código AL14_16

http://www.ams.org/mathscinet/search/author.html?mrauthid=109495

http://www.ams.org/mathscinet/search/series.html?cn=Springer_Monographs_in_Mathematics

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Área de coñecemento ALXEBRA

Título Superficies algebraicas racionales: la superficie de Veronese y sus proyecciones.

Titor/a Manuel PEDREIRA PÉREZ


Los ejemplos más habituales de curvas y superficies manejados por un estudiante en el estudio de la geometría (diferencial mayoritariamente) e incluso en ciertas partes del Análisis Matemático dentro del Grado de Matemáticas, son curvas y superficies parametrizadas. Estos ejemplos corresponden a lo que se llaman curvas y superficies racionales. En la literatura matemática de finales del siglo XIX y principios del XX, la mayoría de los trabajos clásicos sobre esta disciplina se centraron en describir ejemplos de tales curvas y superficies y, por razones obvias de calcular explícitamente sus ecuaciones, se estudió el caso algebraico. En este trabajo se estudian tales ejemplos poniendo mayor énfasis en el caso 2-dimensional de superficies algebraicas racionales. A principio del siglo XX, E. Bertini estableció un punto de vista que ha llegado hasta nuestros dias. Una superficie racional se corresponde con una imagen homeomorfa de un abierto en el plano proyectivo, trabajando con la topología en donde los cerrados vienen definidos por ecuaciones polinómicas homogéneas. La manera explícita de construir estas superficies dió lugar al concepto de “sistema lineal de curvas” y mediante él se generalizaron las llamadas superficies de Veronese que son las realizaciones proyectivas del sistema lineal y completo de las cónicas del plano proyectivo en un espacio proyectivo de dimensión superior y sus sucesivas proyecciones. Este trabajo de fín de grado introduce al estudiante en el mundo de la Geometría Proyeciva haciéndole manejar no sólo conceptos de Algebra Lineal que se aplican para comprender esa disciplina, sino también para ilustrar conceptos de geometría diferencial como inmersión, diferencial de una aplicación entre superficies, que surgen al estudiar las realizaciones proyectivas del plano proyectivo como superficies racional en un espacio proyectivo de dimensión superior. Después de estudiar algunas consideraciones generales, el trabajo se centra en el estudio de la superficie de Veronese V_2 en el espacio proyectivo P^5, y sus proyecciones a P^4 y P^3. El estudio de la variedad secante de V_2, permite un criterio geométrico interesante para decidir cuando una proyección es una inmersión; es decir, un homeomorfismo en su imagen y siendo sus diferenciales en todo punto isomorfismos. Se ilustra el concepto de sistema lineal de curvas planas de grado dado y la manera en que éste da información sobre la inmersión, e incluso la forma en que aparecen elementos singulares en la superficie proyectada.


Código AL15_16


Título Módulos de cocientes

Titor/a María Purificación López López


Se trata del estudio de la localización de módulos sobre anillos arbitrarios y de obtener como caso particular la localización de módulos sobre anillos conmutativos. Para alcanzar este objetivo se comenzará con el estudio de la localización en el caso conmutativo analizando sus principales propiedades. A continuación se estudiarán los módulos inyectivos que son la herramienta que permitirá abordar el caso general.


Código AL16_16


Título Módulos planos. Teorema de Lazard

Titor/a Antonio García Rodicio


Estudio de los módulos planos, comenzando por el producto tensorial, requisito indispansable para la definición de tales módulos, y llegando hasta el teorema de Lazard, que afirma que los módulos planos son exactamente los límites directos de módulos libres de tipo finito.


Tener un buen dominio del contenido de la asignatura Estructuras Algebraicas.

Código AL17_16


Título O problema da extensión en módulos

Titor/a Rosa María Fernández Rodríguez


Introdución ás nocións e propiedades básicas de módulos e á linguaxe de categorías, estudando os conceptos e construcións necesarios para aborda-lo problema da extensión en módulos.


Ter superada-las materias Estruturas Alxebraicas e Ecuacións Alxebraicas.

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Código AN01_16

Área de coñecemento Análise Matemática

Título Medidas de Borel. Teorema de representación de Riesz.

Titor/a Miguel Antonio del Río Vázquez


Trátase dunha introdución á integración dende o punto de vista funcional, no contexto dos espazos topolóxicos localmente compactos.


Código AN02_16


Título Introdución á diferenciación en espacios normados: Os teoremas da aplicación inversa e da aplicación implícita.

Titor/a Miguel Antonio del Río Vázquez


No grao de Matemáticas considérase a diferenciación en espazos euclídeos, como primeira aproximación ós conceptos do calculo diferencial. A proposta que facemos consiste en considerar unha breve introdución do cálculo diferencial ós espazos de dimensión infinita, centrándose nos teoremas da inversa e da implícita


Código AN03_16


Título Do teorema de Bolzano ao teorema de Schauder: unha incursión na Teoría do Grao Topolóxico

Titor/a Rubén Figueroa Sestelo


Desde o bacharelato é ben coñecido por todos o teorema de Bolzano, que permite garantir a existencia de raíces dunha ecuación nun determinado intervalo. Moitos problemas matemáticos poden reducirse en último termo á busqueda de raíces de ecuacións, pero o teorema de Bolzano non ten sentido cando traballamos en espazos de varias dimensións ou, incluso, de dimensión infinita. O propósito deste traballo será buscar ferramentas que xeneralicen este teorema ao conexto finito dimensional e infinito dimensional, o que nos levará a falar sobre os graos topolóxicos de Brower e de Leray – Schauder.


Serán necesarios os contidos relativos á materia “Diferenciación de funcións de varias variables reais”. Tamén é recomendable, mais non necesario, ter algunhas nocións de Análise Funcional.

Código AN04_16


Título Funcións de variación acotada e funcións absolutamente continuas

Titor/a Rubén Figueroa Sestelo


O obxectivo deste traballo será realizar unha introdución ás funcións de variación acotada e absolutamente continuas, coñecer as súas principais propiedades e chegar á demostración do Teorema Fundamental do Cálculo para a integral de Lebesgue.


Ter superadas as materias “Series funcionais e integración de Riemann en varias variables reais” e “Cálculo vectorial e integración de Lebesgue”.

Código AN05_16


Título Curiosidades en Teoría da Medida

Titor/a Alberto Cabada Fernández


Trátase de obter conxuntos e funcións que verifican propiedades moi particulares relacionadas coa teoría da medida. Definiranse funcións e conxuntos que porán de manifesto a relación da teoría da medida coa continuidade de funcións, así como entre as integrais de Riemann e Lebesgue.


Bos coñecementos de teoría da medida e da integración.

Código AN06_16


Título Solucións de EDO por medio de series de potencias: Funcións especiais da Física Matemática.

Titor/a Alberto Cabada Fernández

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Trátase de estudar a resolución ecuacións diferenciais ordinarias con coeficientes polinomiais. Aplicarase a teoría desenrolada a ecuacións particulares da Física Matemática (Hermite, Euler, Chebyshev,....).


Bos coñecementos de teoría de series de potencias e de EDO.

Código AN07_16


Título A integral de Lebesgue según Riesz

Titor/a Rodrigo López Pouso


A opción máis extendida no ensino da integral de Lebesgue é a orixinal do propio Lebesgue: comézase introducindo a medida de Lebesgue e defínese, a partir dela, o concepto de integral no sentido de Lebesgue. Probablemente a opción máis simple para definir dita integral sexa a debida a Frederic Riesz, que comeza coa integración directa das funcións escalonadas (constantes en intervalos) e na que o concepto de medida de Lebesgue pode definirse facilmente ao final, cando xa dispoñemos da integral. Neste traballo farase unha descrición da teoría da integración de Lebesgue seguindo as ideas de Riesz.


Bos coñecementos de Integración de Lebesgue.

Código AN08_16


Título A integral de Lebesgue según Lax

Titor/a Rodrigo López Pouso


A opción máis extendida no ensino da integral de Lebesgue é a orixinal do propio Lebesgue: comézase introducindo a medida de Lebesgue e defínese, a partir dela, o concepto de integral no sentido de Lebesgue. Neste traballo levarase a cabo a construción da integral de Lebesgue recentemente descrita por Lax (Premio Abel no 2005) que consiste en completar topolóxicamente espazos de funcións continuas con normas dadas por integrais de Riemann.


Bos coñecementos de Integración de Lebesgue e Topoloxía.

Código AN09_16


Título Elaboración de recursos co ordenador para a comprensión de conceptos e resultados relativos á Análise Matemática

Titor/a Rosa Mª Trinchet Soria


O obxectivo principal deste traballo, cunha importante compoñente didáctica, é a elaboración de procedementos informáticos que ilustren, principalmente (mais, se cadra, non unicamente) a través da visualización, algúns dos principais conceptos e/ou resultados da Análise Real e/ou Complexa, preferentemente os referidos a Funcións, Diferenciación, Integración e distintas nocións de Converxencia de Sucesións e Series funcionais, etc.). Naturalmente, as tarefas de programación conlevarán unha análise previa das principais propiedades e resultados que se intenten ilustrar cos programas realizados, así como unha reflexión sobre aqueles aspectos que poidan ser máis significativos para a ilustración. Cando proceda, compaxinaranse as competencias propias do desenvolvemento dos contidos do traballo con algunhas outras competencias da Memoria de Grao (principalmente, coa relacionada co coñecemento da evolución histórica dos conceptos).


Os procedementos informáticos mencionados elaboraranse co programa MAPLE.

Código AN10_16


Título Introdución á Teoría da Medida e Integración abstractas

Titor/a Rosa Mª Trinchet Soria


Segundo o propio H. Lebesgue indicaba hai máis ou menos un século, a Física leva, de xeito natural, á consideración de funcións de conxunto, como, por exemplo, masa, cantidade de calor, cantidade de electricidade, etcétera. As medidas abstractas (positivas, reais, …) sirven para dar forma a estas funcións de conxunto. O obxectivo do traballo é iniciar o estudo da Teoría da Medida e Integración en abstracto, que se desenvolve nos denominados espazos de medida, que poden ser considerados en distintos contextos.Trala introdución das nocións e estruturas básicas apropiadas (medida, espazo de medida, integral respecto dunha medida,...) e a consideración dalgúns dos principais resultados, prestaremos atención ás medidas definidas a través de “integrais respecto a medidas”, ás que fan referencia as distintas versións dun dos resultados fundamentais da teoría.


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Código AN11_16


Título Unha introdución á teoría das inclusións diferenciais

Titor/a Rosana Rodríguez López


Trátase de realizar unha primeira aproximación á teoría das inclusións diferenciais en espazos vectoriais de dimensión finita. Con esta finalidade, será preciso manexar a noción de solución, o concepto de viabilidade, así como estudar resultados relativos á existencia de solución e ás principais propiedades da aplicación solución. Presentaranse algúns exemplos concretos, como o caso das inclusións diferenciais lineais.


Ter superadas as materias Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias Series Funcionales e Integración de Riemann en Varias Variables Reales Ecuacións Diferenciais Ordinarias Ter coñecementos de programas de cálculo simbólico

Código AN12_16


Título Semigrupos de operadores lineais e aplicacións

Titor/a Rosana Rodríguez López


O traballo pretende realizar un percorrido por algunhas cuestións básicas sobre a teoría dos semigrupos de operadores lineais, así como a súa aplicación á resolución de ecuacións diferenciais. Considerarase a motivación da propiedade de semigrupo, as nocións de semigrupo fortemente continuo e uniformemente continuo, e a relación entre o semigrupo e o operador lineal, presentando algúns exemplos relacionados coa resolución de ecuacións en derivadas parciais.


Ter superadas as materias Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias Ecuacións Diferenciais Ordinarias Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais

Código AN13_16


Título Algunhas aplicacións en Análise Matemática de Teoremas de punto fixo.

Titor/a Fernando Costal Pereira


A actual configuración do plan de estudos do Grado en Matemáticas fai que, por falta de tempo, algúns dos resultados que son básicos non soamente na Análise Matemática senón tamén noutras áreas das matemáticas, sexan vistos e utilizados con frecuencia ao longo dos estudos do grado pero non demostrados (teorema das funcións. implícitas, teorema da inversa, regularidade do fluxo asociado a un campo de vectores, etc.). O obxectivo de leste traballo fin de grado é o de completar este estudo. Para iso, comezarase por ver algún dos distintos teoremas de punto fixo, técnica usada habitualmente na proba de moitos teoremas de existencia, e facendo uso desa ferramenta demostrar algúns deses resultados esenciais en matemáticas.


Coñecer e manexar con soltura, os diferentes temas estudados nas materias de Análise matemática do grado en matemáticas.

Código AN14_16


Título Algunhas aplicacións das Ecuacións Diferenciais.

Titor/a Fernando Costal Pereira


Moitos modelos matemáticos que permiten obter información sobre a evolución de diferentes problemas da vida real inclúen ecuacións diferenciais. O obxectivo deste traballo consiste en estudar a dinámica dalgúns procesos, modelados por medio de ecuacións diferenciais, vinculados a distintas ramas do saber. Preténdese, facendo uso de ferramentas matemáticas vistas nas materias de ecuacións diferenciais do grado en matemáticas (existencia e unicidade de solución, dependencia dos datos iniciais, estabilidade, diagramas de fases, etc.) obter información, a partires do modelo, sobre o proceso considerado co fin de poder predicir o posible comportamento do sistema en estudo.


Coñecer e manexar con soltura, os diferentes temas estudados nas materias de Ecuacións Diferenciais do grado en matemáticas.

Código AN15_16


Título Introdución á dinámica discreta unidimensional

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Titor/a M. Victoria Otero Espinar


A teoría de sistemas dinámicos discretos espertou gran interese na segunda metade do século XX motivada, en parte, pola dinámica complicada e pouco predicible que presentan modelos relativamente sinxelos. O obxectivo deste traballo é realizar unha introdución aos sistemas dinámicos discretos definidos a partir de aplicacións continuas do intervalo. O traballo centrarase principalmente en certos aspectos de estabilidade local e global dos seus puntos fixos e órbitas periódicas. Completarase o traballo coa presentación dalgún exemplo.

Recomendacións (Non vinculantes)

Código AN16_16


Título Diferenciabilidade en espacios de Banach

Titor/a Juan José Nieto Roig


Concepto de espacio normado. Espacios de Banach. Algúns espacios de Banach notables. Cálculo en espacios de Banach.


Ter cursado a materia de “Análise Funcional en Espacios de Hilbert” do grao en Matemáticas.

Código AN17_16


Título O Teorema do punto fixo de Brouwer para funcións holomorfas

Titor/a Juan José Nieto Roig


E ben coñecido que toda función continua dun intervalo compacto da recta real en si mesmo ten un punto fixo. A extensión deste resultado a dimensións superiores é o famoso Teorema de Brouwer. Probarase dito resultado para á bola unidade do plano complexo e para funcións diferenciables.


Código AST01_16

Área de coñecemento Astronomía e Astrofísica

Título Cálculo de órbitas no Sistema Solar. Método de Gauss

Titor/a José Ángel Docobo Durántez


Logo de expoñer tanto a versión orixinal de Gauss coma unha nova, trátase de programar este método clásico para aplicalo a casos concretos e mesmo estudar a operatividade do mesmo utilizando distintos conxuntos de datos de observación


Código AST02_16


Título Cálculo de órbitas no Sistema Solar. Método de Laplace

Titor/a José Angel Docobo Durántez


O método de Laplace é un dos clásicos para o calculo de órbitas a partires de tres observacións angulares. Logo de describir os elementos orbitais e os escenarios de aplicación, trátase de desenvolver polo miúdo e mesmo programar este método co obxecto de poder aplicalo a casos concretos e analizar os resultados tendo en conta distintos datos de observación.


Código AST03_16


Título Calendarios

Titor/a Josefina F. Ling


A humanidade necesita referir cronoloxicamente os seus acontecementos. O calendario constitúe unha referencia indispensable para ordenalos. Estudarase a xéneses e a evolución destas estruturas a partir dos fenómenos astronómicos que rexen a nosa vida civil.

- Tipos de calendarios: lunares, solares, lunisolares

- Análise histórico do calendario gregoriano.

- Calendarios noutras culturas

- Escalas continuas de tempo.Transformacións.

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Haber cursado a materia de Fundamentos de Astronomía

Código AST04_16


Título Precesión e Nutación

Titor/a Josefina F. Ling


Causas e consecuencias destes fenómenos astronómicos. Analizarase a formulación necesaria para corrixir as perturbacións que provocan nos planos fundamentais dos sistemas de coordenadas astronómicas. Un percorrido do seu tratamento ao longo da historia, dende o século II a.c. ata o último modelo de precesión-nutación adoptado pola Unión Astronómica Internacional, será levado a cabo.


Haber cursado a materia de Fundamentos de Astronomía

Código EST01_16

Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa

Título Modelización matemática en problemas de logística usando AMPL

Titora Balbina Virginia Casas Méndez


Se propone un trabajo de naturaleza fundamentalmente aplicada. En primer lugar, se realizará una introducción al lenguaje AMPL, de utilidad en el modelado y resolución de problemas de optimización. A continuación, se presentarán algunos problemas tomados de la logística agraria, que serán enmarcados teoricamente junto con posibles algoritmos de resolución, para después ser modelados haciendo uso del lenguaje presentado en la primera parte. Finalmente, se resolverán algunos casos de los problemas, haciendo uso de herramientas de uso gratuíto y que son accesibles desde el servidor NEOS de optimización.


Código EST02_16


Título Modelos de investigación operativa en problemas de gestión de inventarios

Titora Balbina Virginia Casas Méndez


Se plantea el problema de decisión de una empresa que debe de gestionar cuándo y cómo reabastecer su inventario con el objetivo de minimizar costes. Se presentan diversos modelos, tanto determinísticos como probabilísticos, y los resultados principales que permiten dar respuesta a la cuestión planteada. Se revisará también la librería de R SCperf que implementa diferentes modelos de inventario. Finalmente, se introducen los llamados juegos de inventario, que aparecen cuando varias empresas se plantean cooperar al efectuar pedidos y en consecuencia se generan ahorros.


Código EST03_16

Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa

Título Correlación estatística

Titor/a Rosa M. Crujeiras Casais


Neste traballo preténdese que a/o alumna/o afonde no concepto de “correlación” estatística, en distintos contextos. En concreto, o traballo incluirá:

1. Unha revisión do concepto de correlación. Correlación e asociación. Correlación e independencia. Estimación e contrastes sobre a correlación.

2. Correlación e regresión. Coeficientes de correlación en regresión múltiple. 3. Correlación secuencial. Estimación e contrastes. Tests de Portmanteau. 4. Correlación espacial. Estimación e contrastes. I de Moran e C de Geary.

Nas distintas seccións, realizarase unha revisión dos conceptos teóricos, aplicaranse as técnicas de estimación e contrastes sobre datos simulados e empregaranse exemplos de datos reais para ilustrar as ferramentas introducidas. Para a parte de simulación e de datos reais utilizarase R.


Código EST04_16


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Título Regresión segmentada

Titor/a Rosa M. Crujeiras Casais


A regresión segmentada (ou regresión por anacos) é un método de regresión no que a variable (ou variables) independente segméntase en intervalos sobre os cales se axustan distintas rectas de regresión. Este método é de utilidade cando o patrón de crecemento da variable explicativa con respecto á resposta ten distinta velocidade dependendo dos valores da variable explicativa. En concreto, neste traballo a/o alumna/o revisará os seguintes aspectos:

1. Introdución á regresión segmentada. 2. Correlación en regresión segmentada. 3. Estimación e contrastes en regresión segmentada. 4. Detección de puntos de ruptura.

Ademais dos conceptos teóricos, realizarase un estudo de simulación para ver o funcionamento dos estimadores por mínimos cadrados adaptados a este contexto (utilizando o paquete segmented de R). O traballo complementarase cunha ilustración con datos reais.


Código EST05_16


Título Modelización estatística espacial: Kriging

Titor/a Manuel Febrero Bande


O obxectivo deste traballo é desenvolver a creación de mapas de predicción espacial a partires de datos xeoestadísticos. O traballo consistirá nunha introducción amigable aos procedementos de estatística espacial e a súa aplicación a datos do entorno galego.


Soltura co paquete estatístico R

Código EST06_16


Título Modelización financeira: Estimación de Portfolio

Titor/a Manuel Febrero Bande


O obxectivo deste traballo é presentar e aplicar a metodoloxía para a creación de Portfolios de inversión óptimos. O traballo consistirá nunha introdución amigable ás técnicas financeiras e de optimización lineal para a súa aplicación á datos do IBEX35.


Programación Lineal e Enteira e soltura co paquete estatístico R.

Código EST07_16


Título El Análisis Discriminante no paramétrico

Titor/a Wenceslao González Manteiga


Se trata de revisar las reglas discriminantes tipo Bayes y aplicadas al caso de poblaciones normales, para luego extenderlas al caso en el que las distribuciones de las poblaciones sean totalmente desconocidas. Guión aproximado del estudio: 1) Optimalidad en el Análisis Discriminante 2)Reglas discriminantes lineales y cuadráticas 3)Reglas no paramétricas: Vecinos mas cercanos y SVMs 4)Estudio comparativo de simulación 5)Ilustración en bases de datos reales


Haber cursado la asignatura optativa de Modelos de regresión y Análisis Multivariante de cuarto curso

Código EST08_16


Título Técnicas de aprendizaje estadístico en el contexto de "Big Data".

Titor/a Wenceslao González Manteiga


Se trata de estudiar las técnicas de aprendizaje estadístico mas importantes y de referencia,tanto para variables de respuesta continua como de respuesta discreta y el papel que juegan dichas técnicas en el moderno contexto del "Big Data".

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Guión aproximado: 1) Técnicas de aprendizaje para respuesta discreta. 2) Técnicas de aprendizaje para respuesta continua. 3) Análisis del papel que juegan estas técnicas en el contexto actual del llamado "Big Data". 4)Ilustración en bases de datos reales


Haber cursado la asignatura optativa de Modelos de regresión y Análisis Multivariante de cuarto curso

Código EST09_16


Título Técnicas de aprendizaxe estatística: clasificación mediante regresión loxística

Titor/a Beatriz Pateiro López


Nos últimos anos, fenómenos como a dixitalización dos negocios ou a proliferación das redes sociais, están a facer que se xeren grandes cantidades de datos (un novo concepto que deu en denominarse Big Data). As dificultades máis habituais nestes casos céntranse en distintos aspectos como son a captura, o almacenamento e a análise e visualización deses datos masivos. Estes fenómenos requiren unha formación ampla en técnicas de aprendizaxe estatística. Neste traballo preténdese que o alumno profunde en técnicas predictivas que sexan eficientes en problemas de alta dimensionalidade. En concreto, un dos métodos habituais para tratar problemas de clasificación é a regresión loxística. En regresión loxística, se modeliza a probabilidade dun proceso binomial como a función loxística dunha combinación lineal dunha ou varias variables dependentes. Neste traballo se pretende que o alumno faga unha revisión exhaustiva deste modelo, das súas propiedades e aplicacións Textos básicos: G. James, D. Witten, T. Hastie, y R. Tibshirani, An Introduction to Statistical Learning with Applications in R. Springer, 2013. T. Hastie, R. Tibshirani, y J. Friedman, The elements of statistical learning. Springer, 2009.


Código EST10_16


Título Métodos de regresión lineal regularizada: Regresión lineal Ridge

Titor/a Beatriz Pateiro López


Os modelos de regresión intentan describir e predecir o comportamento dunha variable a partir dun conxunto de variables que, a priori, poderían estar asociadas con ela. O modelo de regresión lineal é un dos enfoques máis sinxelos e habituais e a súa estimación usual é polo método de mínimos cadrados. Estes estimadores non resultan adecuados, por exemplo, en situacións de alta dimensionalidade. Entre as solucións plantexadas a este problema están os métodos de regresión lineal regularizada. Neste traballo se pretende que o alumno faga unha revisión deste tipo de métodos, en particular do método de regresión lineal Ridge, das súas propiedades e aplicacións. Textos básicos: G. James, D. Witten, T. Hastie, y R. Tibshirani, An Introduction to Statistical Learning with Applications in R. Springer, 2013. T. Hastie, R. Tibshirani, y J. Friedman, The elements of statistical learning. Springer, 2009.


Código EST11_16


Título Implementación del método de las submatrices

Titor/a José Manuel Prada Sánchez


Se trata de presentar una breve introducción a la Teoría de Juegos, deteniéndose en el análisis de los juegos matriciales, para describir sobre ellos el método de las submatrices (que se basa en la caracterización de los puntos extremos de los conjuntos de estrategias óptimas de los jugadores), y realizar su implementación con el software estadístico R. Puede ilustrarse todo con ejemplos basados en datos reales, y comprobar que la programación lineal proporciona una solución sólo parcial al problema de dicha caracterización.


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Código EST12_16


Título Juegos Estocásticos

Titor/a José Manuel Prada Sánchez


Se trata de presentar una breve introducción a la Teoría de Juegos, resumiendo el análisis de juegos en forma estratégica, para abordar la presentación de los juegos estocásticos. Éste es un tema de carácter fundamentalmente teórico del que se pretende que el alumno haga una aproximación conceptual e ilustrativa con ejemplos adecuados.


Código EST13_16


Título Mixturas de distribucións

Titor/a Alberto Rodríguez Casal


Unha mixtura de varias distribucións defínese como a combinación lineal convexa destas distribucións . As mixturas proporcionan un modelo natural para poboacións que presentan varios grupos diferenciados. Por exemplo na variable altura teríamos os grupos muller e home y é natural presentar un modelo que combine as distribucións en cada grupo. Estes traballo centraríase en ofrecer unha revisión do tema, incluíndo aplicacións prácticas, aspectos computacionais, abordando o problema de estimación dos parámetros. Referencia: Titterington, D. M., Smith, A. F. M. y Makov, U. E. (1985). Statistical analysis of finite mixture distributions. Wiley.


Código EST14_16


Título Os segredos da normal

Titor/a Alberto Rodríguez Casal


Neste traballo descubrirás todo o que sempre quixeches saber sobre a normal e nunca te atreviches a preguntar. É unha distribución de probabilidade que pola súa importancia xa se introduce no primeiro curso do grao. Sen embargo moitas das súas propiedades non son presentadas ao longo dos estudos de grao. Neste traballo preténdese facer unha revisión sobre a orixe histórica desta distribución, as razóns do seu papel protagonista dentro da estatística e as súas principais características. Abordaranse tamén diferentes posibilidades de obtención de datos normais e a súa aplicabilidade en diversos ámbitos científicos. Bibliografía Bryc W. (1995) The normal distribution. Characterization with applications. Lecture Notes in Statistics, 100. Springer. Mathai, A.M. y Pederzoli G. (1977) Characterizations of the normal probability law. Wiley Eastern Limited.


Código EST15_16


Título Inferencia sobre cuantís

Titor/a César Sánchez Sellero, Mercedes Conde Amboage


Os cuantís veñen acadando cada día unha maior atención na Estatística, como consecuencia da súa capacidade para describir de maneira máis completa a distribución dunha variable, tanto nas súas posicións centrais como en posicións superiores ou inferiores. Ademais, mentres que a media é moi sensible a datos atípicos, os cuantís son medidas robustas, que se adaptan a toda clase de situacións, sen necesidade de supoñer que os datos proveñen dunha distribución normal. Neste traballo imos completar o estudo dos cuantís, non só como medidas descritivas, senón estudando tamén as tarefas básicas de Inferencia, como son a estimación, os intervalos de confianza e os contrastes de hipóteses. A título orientativo, o traballo podería estruturarse nas seguintes seccións: 1) O cuantil como medida descritiva e as súas propiedades principais. 2) Distribución exacta e asintótica do cuantil mostral. 3) Estimación do erro típico do cuantil mostral. 4) Intervalos de confianza para cuantís.

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5) Contrastes de hipóteses sobre cuantís. En cada sección ilustraranse os métodos con representacións gráficas, ou táboas coas propiedades dos métodos, obtidas con datos simulados ou reais, todo elo mediante o software R.


Código EST16_16


Título Estimación del error típico en contrastes de hipótesis

Director/a César Sánchez Sellero


En el problema de contraste de una proporción, lo más habitual es estimar el error típico, que aparece en el denominador, utilizando la proporción conjeturada. En este trabajo, analizaremos qué es mejor: estimar el error típico utilizando la proporción conjeturada o utilizando la proporción muestral. Debemos observar que para el contraste de la media de una población normal, el error típico se estima sin tener en cuenta la media conjeturada. Análogamente, para la comparación de dos proporciones, la estimación del error típico puede realizarse asumiendo que las dos proporciones son iguales o sin asumir esta condición. Esta cuestión se puede extender al problema de estimación de la información de Fisher en un test de razón de verosimilitudes (¿bajo la nula o bajo la alternativa?), o en general a la estimación de la varianza del estadístico de contraste, por ejemplo en tests no paramétricos de bondad de ajuste. Nos centraremos en las situaciones más sencillas e intentaremos dar una respuesta a través de la revisión bibliográfica y de estudios de simulación.


Código EST17_16


Título Estimación con datos censurados por intervalos

Titor/a César Sánchez Sellero


Los datos censurados por intervalos surgen cuando no conocemos el valor exacto de la variable de interés, sino únicamente que pertenece a cierto intervalo. Este problema es bastante frecuente en estudios de tiempos de vida, por ejemplo, tiempos desde el nacimiento hasta la muerte, desde la infección a la enfermedad, desde la instalación de un aparato hasta que deja de funcionar. Al estudiar tiempos de vida, necesitamos registrar un instante inicial y un instante final. Para ello, sería necesario hacer un seguimiento continuo de la vida del individuo. Como eso no siempre es posible, es habitual que se hagan observaciones puntuales del individuo (detección de anticuerpos, en el caso de una enfermedad infecciosa) en intervalos prefijados. Como resultado, el observador sólo llega a conocer que la enfermedad se ha desarrollado en cierto intervalo. Para estimar la función de distribución con este tipo de datos, se emplea el método de máxima verosimilitud. Sin embargo, el estimador de máxima verosimilitud con datos censurados por intervalos no tiene forma explícita, sino que se calcula aplicando un algoritmo EM, que está implementado en varios paquetes de R. Estudiaremos este estimador y sus propiedades principales, acompañándolo de ejemplos simulados y datos reales.


Código MA01_16

Área de coñecemento Matemática Aplicada

Título Resolución de modelos de fluxo de gas nun conducto

Titor/a Alfredo Bermúdez de Castro


Trátase de analizar e resolver analítica ou numericamente os modelos que rexen o fluxo de gas nun conducto en réximes estacionario e transitorio. Trátase de ecuacións diferenciais ou en derivadas parciais cunha dimensión. Estudiaranse tamén os casos particulares isotermo e isentrópico


Código MA02_16


Título Modelos electromagnéticos de parámetros concentrados: análise matemática e numérica

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Titor/a Alfredo Bermúdez de Castro


Introdución de modelos lineares ou non lineares de parámetros concentrados para unha rede eléctrica. Análise e resolución numérica de diferentes formulacións.


Código MA03_16


Título Unha introdución á interpolación por funcións spline

Titor/a Carmen Rodríguez Iglesias


No terceiro tema da materia de Cálculo numérico nunha variable faise unha introdución á interpolación e, en particular, ao problema de interpolación polinómina de Lagrange. Debido ás oscilacións que manifestan os polinomios ao ir aumentando o seu grao (comportamento nada desexable na aproximación de funcións razoablemente regulares), en vez de interpolar unha función f nun intervalo [a b] onde están os nodos mediante un polinomio de alto grao (n grande), é mellor dividir dito intervalo en subintervalos e interpolar f en cada un deses subintervalos por polinomios de baixo grao. Así, a función resultante é continua e interpola tódolos datos. Isto é o que se chama interpolación polinómica a trozos. O caso máis sinxelo de interpolación polinónica a trozos é a interpolación linear a trozos: búscase unha función q continua en [a, b] de forma que q(xi)=f(xi) , i=0,...,n e tal que restrinxida a cada subintervalo [xi,xi+1] sexa un polinomio de grao menor ou igual que 1. Graficamente, a función q é o resultado de unir mediante segmentos os puntos (xi,f(xi)), i=0,..,n. Na interpolación polinómica a trozos os polinomios únense con continuidade, de modo que a función q resultante é continua, aínda que pode non ter derivadas continuas nalgúns puntos. Isto corríxese coa interpolación con funcións spline, que é en certo modo un procedemento intermedio entre os dous casos anteriores (interpolación con n grande e interpolación a trozos) e que pode ademais mellorar a aproximación, xa que permite obter unha función interpolante globalmente regular O obxectivo deste traballo é, previa enmarcación do tema, realizar unha introdución ao estudo da interpolación con splines e deterse nos splines cúbicos.


Código MA04_16


Título Resolución de ecuacións numéricas non lineares. Unha introdución aos métodos híbridos.

Titor/a Carmen Rodríguez Iglesias


No segundo tema da materia Cálculo numérico nunha variable preséntanse os métodos clásicos de dicotomía, iteración funcional simple e o método de Newton-Raphson para aproximar as raíces dunha ecuación numérica non linear. Neste traballo trátase de recoller, ademais, os métodos clásicos de Secante, Regula-Falsi e o método de Müller. Non obstante, estes métodos clásicos nunca se usan de forma aillada debido ás súas debilidades, senón que son acompañados doutros métodos que lles aportan robustez e eficacia. Neste traballo trátase de realizar unha introdución a este tipo de métodos. Ademais, o alumno poderá ter que elaborar algún código en Matlab ao respecto e aplicalo a diversos exemplos.


Código MA05_16


Título Inclusión dunha librería de resolución directa de sistemas nun paquete de resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais

Titor/a Francisco José Pena Brage


As librerías de resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais (EDP) dependen habitualmente de librerías externas para a resolución dos sistemas lineares que aparecen nos algoritmos numéricos empregados. Neste traballo preténdese conectar a librería de resolución directa MUMPS cun paquete de resolución de EDP desenvolvido no departamento de Matemática Aplicada. O traballo consistirá en familiarizarse coa programación do paquete propio, coñecer as opcións de uso do resolvedor de sistemas lineares MUMPS e integrar na programación do paquete propio as chamadas a MUMPS.


O traballo está relacionado cos contidos de Análise Numérica Matricial adquiridos no Grao de Matemáticas. Son importantes os coñecementos sobre a linguaxe de programación Fortran.

Código MA06_16


Título Métodos de Newton y Muller para la aproximación de raíces complejas de ecuaciones

Titor/a José A. Alvarez Dios

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Se estudiará desde el punto de vista teórico los métodos mencionados para el cálculo numérico de raíces complejas de ecuaciones polinómicas o no, con coeficientes reales o no, y también desde el punto de vista práctico elaborando códigos para el cálculo efectivo de las raíces que permitan valorar la eficacia de dichos métodos.


Dominio de los métodos clásicos de cálculo de raíces reales, teoría de variable compleja, un paquete de cálculo simbólico, y un lenguaje de programación

Código MA07_16


Título Métodos numéricos de cálculo de raíces reales o complejas de polinomios con coeficientes reales o complejos

Titor/a José A. Alvarez Dios


Se estudiará desde el punto de vista teórico los métodos mencionados para la aproximación de raíces reales o complejas de polinomios con coeficientes reales o complejos, y también desde el punto de vista práctico elaborando códigos para el cálculo efectivo de las raíces que permitan valorar la eficacia de dichos métodos.


Dominio de los métodos clásicos de cálculo de raíces reales, teoría de variable compleja, un paquete de cálculo simbólico, y un lenguaje de programación

Código MA-08_16


Título Generación de mallados en 2D: Triangulación de Delaunay combinada con una optimización de los nodos.

Director/a Jerónimo Rodríguez García


De cara a la resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales mediante el método de los elementos finitos es fundamental el poder obtener una triangulación de buena calidad del dominio de cálculo. En el presente trabajo, el alumno estudiará un método de generación de mallados para dominios en dos dimensiones. El método se basará en dos ingredientes fundamentales: i) la triangulación de Delaunay asociada a una nube de puntos contenida dentro del dominio que queremos mallar, ii) un algoritmo de optimización de la posición de los nodos del mallado [1]. En primer lugar el estudiante tendrá que documentarse sobre las propiedades de la triangulación de Delaunay así como seleccionar y programar un algoritmo que proporcione dicha triangulación para una nube de puntos dada. Durante la segunda parte del proyecto se estudiará e implementará la técnica de optimización de nodos presentada en [1]. [1] P.-O. Persson and G. Strang, A simple mesh generator in matlab, SIAM Review, 46 (2004), pp. 329–345


Se recomienda tener conocimentos básicos de Fortran90.

Código MA09_16


Título Aproximación numérica de integrales de convolución mediante el método de cuadratura de convolución.

Titor/a Jerónimo Rodríguez García


En múltiples aplicaciones se necesita calcular integrales de convolución de dos funciones El objetivo de este trabajo es la comprensión y programación del método de cuadratura de convolución de cara a aproximar numéricamente este tipo de integrales. La aproximación de la convolución entre dos funciones f y g sobre una malla equiespaciada x = 0, h, 2h, ..., Nh se obtiene mediante la convolución discreta con los valores de g sobre la misma malla. Los pesos de cuadratura se determinan mediante la transformada de Laplace de la función f (función llamada con frecuencia el núcleo de convolución) y un método lineal multipaso. Una vez se haya comprendido y programado el método para ejemplos sencillos, se tratará de aplicar a la resolución de EDO y EDP. Asimismo se estudiará la convergencia del tal aproximación. [1] C. Lubich. Convolution Quadrature and Discretized Operational Calculus. I and II. Numerische Mathematik (52) 1988.

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[2] C. Lubich. Convolution Quadrature Revisited. BIT Numerical Mathematics (44) 2004.


Se recomienda que el alumno tenga conocimientos básicos de variable compleja y de métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias.

Código MA10_16

Área de coñecemento Matématica Aplicada Título Estrategias de pivoteo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales Titor/a María Luisa Seoane Martínez


Se trata de elaborar una biblioteca documentada de programas en Fortran 90 para la resolución con métodos de factorización de sistemas de ecuaciones lineales y sus aplicaciones, con especial atención a los aspectos de estabilida numérica. La memoria incluirá la descripción de los métodos de factorización LU con estrategias de pivote parcial y total, factorizaciones de Crout y Cholesky con elección de pivote en la diagonal y factorización AP=QR, y, entre las aplicaciones, la determinación del rango de una matriz, el cálculo de determinantes y de inversas de matrices cuadradas y la resolución de sistemas sobre y subdeterminados.


Buen nivel de programación en Fortran 90. Haber superado las asignaturas de Análisis Numérico Matricial y Métodos Numéricos en Optimización y Ecuaciones Diferenciales.

Código MA11_16

Área de coñecemento

Matemática Aplicada

Título Experimentos numéricos con la ecuación de Fokker-Planck en geometría de laja unidimensional.

Titor/a Óscar López Pouso


1. Ecuación de Fokker-Planck. 2. Simplificación en el caso de geometría de laja unidimensional. 3. Propagación de luz en tejidos biológicos. 4. Programación de un esquema de orden dos. 5. Experimentos numéricos. Orden numérico. Regularidad numérica.

En el TFG se desarrollará de forma especial el punto 5 del programa anterior. Sin descuidar el resto de sus obligaciones, el tutor se encargará de proporcionar al estudiante la bibliografía necesaria, que está escrita en lengua inglesa.


Código MA12_16


Título Sistemas lineales. Avances fundamentales durante la segunda mitad del s. XX.

Titor/a Óscar López Pouso


Muchos de los métodos numéricos para sistemas lineales que se emplean actualmente tomaron su forma actual tras la publicación de trabajos fundamentales que vieron la luz durante la segunda mitad del s. XX. El alumno deberá estudiar una selección de esos trabajos. De la siguiente lista, propuesta por el profesor Golub, saldrá el núcleo del TFG (la lista no está cerrada; no será necesario estudiar todos los artículos de la lista):

(1) S. P. Frankel. Convergence rates of iterative treatments of partial differential equations, Math. Tables Aids Comput. 4 (1950) 65-75.

(2) M. R. Hestenes and E. Stiefel. Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems. Journal of Research of the National Bureau of Standards Vol. 49, No.6, December 1952 Research Paper 2379.

(3) D. Young. Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic Type. Transactions of

the American Mathematical Society. Vol. 76, No. 1 (Jan., 1954), pp. 92-111.

(4) A. S. Householder. Unitary triangularization of a nonsymmetric matrix. Journal of the ACM (JACM),

1958. (5) J. H. Wilkinson. Error analysis of direct methods of matrix inversion. Journal of the ACM (JACM),

1961.

http://dl.acm.org/citation.cfm?id=320947

http://dl.acm.org/citation.cfm?id=321076

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(6) G. H. Golub. Numerical methods for solving linear least squares problems. Numerische Mathematik, 1965.

(7) V. Strassen. Gaussian elimination is not optimal. Numerische Mathematik, 1969. (8) A. George. Nested Dissection of a Regular Finite Element Mesh. SIAM Journal on Numerical

Analysis, 1973. (9) P. E. Gill, G. H. Golub, W. Murray and M. A. Saunders. Methods for Modifying Matrix Factorizations.

Mathematics of Computation, 1974. (10) P. Concus, G. H. Golub, and D. P. O'Leary (1976) "A Generalized Conjugate Gradient Method for the

Numerical Solution of Elliptic Partial Differential Equations," in Sparse Matrix Computations, ed. James R. Bunch and Donald J. Rose, Academic Press, New York, pp. 309-332.

(11) J. A. Meijerink and H. A. van der Vorst. An Iterative Solution Method for Linear Systems of Which the Coefficient Matrix is a Symmetric M-Matrix. Mathematics of Computation, 1977.

(12) R. D. Skeel. Iterative refinement implies numerical stability for Gaussian elimination. Mathematics of Computation, 1980.

(13) Y. Saad and M. H. Schultz. GMRES: A Generalized Minimal Residual Algorithm for Solving Nonsymmetric Linear Sytems. SIAM J. Sci. Stat. Comput., 1986.


Código MA13_16


Título Modelado e simulación numérica do comportamento termo-mecánico de aceiros

Director/a Peregrina Quintela Estévez


Trátase de realizar a modelización matemática, e a correspondente simulación numérica do comportamento termo-mecánico dunha estrutura de aceiro incorporando o cambio de fase de austenización, a partir da bibliografía existente. En particular, farase a simulación numérica dalgún sub-proceso involucrado, ben utilizando software existente ou desenrolando un código propio.


Haber cursado as materias de Modelización Matemática e Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais.

Código MA14_16


Título Descomposición en valores singulares de una matriz

Titor/a Pilar Mato Eiroa


La descomposición en valores singulares (DVS) de una matriz, generalización natural a matrices arbitrarias de la diagonalización unitaria de matrices normales, es una de las herramientas más importantes del Álgebra Lineal Numérica actual. Además de aplicaciones tradicionales como el cálculo de normas, números de condición o rango de una matriz, existen otras aplicaciones más novedosas entre las que se encuentra, por ejemplo, la compresión de imágenes digitales de modo que puedan ser transmitidas de manera eficiente por medios electrónicos. En este trabajo se pretende:

Analizar la DVS de una matriz.

Proponer algún algoritmo para calcularla numéricamente e implementarlo en FORTRAN 90 o MATLAB.

Aplicar la DVS en algún ejemplo.

Bibliografía básica: J. W. Demmel. Applied Numerical Linear Algebra.SIAM, 1997. G.H. Golub y C.F. Van Loan. Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press, 1996. G. W. Stewart. On the Early History of the Singular Value Decomposition. SIAM Review, 35:551-566, 1993.


Código MA15_16


Título La matriz inversa de Moore-Penrose

Titor/a Pilar Mato Eiroa


La matriz inversa de Moore-Penrose, que existe para cualquier matriz rectangular, supone una generalización muy interesante de la matriz inversa usual, sólo posible para matrices cuadradas no singulares. La introdujo E.

http://link.springer.com/article/10.1007/BF01436075

http://www.ams.org/mcom/1980-35-151/S0025-5718-1980-0572859-4/

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H. Moore en 1920 y fue redescubierta por A. Bjerhammar en 1951 y R. Penrose en 1955. Una de sus aplicaciones más interesantes se refiere a la solución de un sistema lineal en el sentido de mínimos cuadrados. En este trabajo se pretende:

Analizar la matriz inversa de Moore-Penrose.

Proponer algún algoritmo para calcularla numéricamente e implementarlo en FORTRAN 90 o MATLAB.

Aplicar la matriz inversa de Moore-Penrose en algún ejemplo.

Bibliografía básica: G.H. Golub y C.F. Van Loan. Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press, 1996. R. Penrose, A generalized inverse for matrices, Proc. Cambridge Philos. Soc., 51 (1955), pp. 406-413. J. Stoer y R. Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlag, 2002.


Código MA16_16


Título Una introducción a los polinomios de Bernstein.

Titor/a Rafael Muñoz Sola


Los polinomios de Bernstein permiten construir una aproximación polinómica de una función continua f en un intervalo [a,b] a partir de los valores de la función en un conjunto de puntos uniformemente espaciados.Tal aproximación, además de converger uniformemente a f cuando el número de puntos ( y por tanto el grado del polinomio) tiende a infinito, posee ciertas propiedades interesantes: p. e. si f es creciente (resp. convexa) en [a,b], la aproximación es creciente (resp. convexa) en [a,b]. El trabajo constaría de dos partes. La primera estaría dedicada a la recopilación de las propiedades principales de los polinomios de Bernstein y de la aproximación polinómica basada en los mismos. La segunda parte consistiría en una breve introducción a las curvas de Bézier, las cuales se basan en los polinomios de Bersnstein y se aplican en la CAD.


Código MA17_16

Área de coñecemento Matemática aplicada

Título Convergencia del proceso de interpolación polinómica de funciones.

Titor/a Rafael Muñoz Sola


Dado un conjunto de n+1 nodos situados en un intervalo [a,b], podemos asociar a cada función continua f definida en [a, b] el polinomio de interpolación de Lagrange de f relativo a dichos nodos. Resulta natural plantearse si, cuando hacemos tender a infinito el número de puntos de interpolación, el polinomio de interpolación converge a f en [a,b] en algún sentido ( uniformememente, puntualmente, en media cuadrática,etc.) Se sabe que la respuesta depende de la manera en que se elija, para cada valor de n, el conjunto de puntos de interpolación, así como de las propiedades de la función interpolada f. El objetivo del trabajo es efectuar una búsqueda bibliográfica y presentar de forma estructurada algunos resultados clásicos relativos a la convergencia del proceso interpolatorio así como algunos contraejemplos conocidos en los que no hay convergencia.


Código XT01_16

Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía

Título Dinámica evolutiva en poboacións finitas: os modelos de Moran e Fisher-Wright

Titor/a Fernando Alcalde Cuesta


Descrición dos fenómenos de deriva neutral e selección natural en poboacións homoxéneas finitas usando os modelos de Moran e Fisher-Wright. Calculo das probabilidades de fixación e dos tempos medios de absorción/fixación.


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Código XT02_16

Área de coñecemento Xeometría e TopoloxíA

Título Imposibilidade de clasificar as variedades compactas de dimensión 4

Director/a Jesús Antonio Álvarez López


O primeiro obxetivo é probar que existe unha variedade compacta con grupo fundamental isomorfo a calquer grupo finitamente presentado dado. O que reduce a inexistencia de clasificación de 4-variedades á inexistencia de clasificación de grupos finitamente presentados. Unha boa parte desta fase do traballo vai ser desenrolar e entender ben as técnicas que se van usar: ciruxía de variedades, veciñanzas tubulares, presentacións de grupos e, sobre todo, o teorema de Van Kampen. Un obxetivo segundo é adentrarse na demostración de que non existe un algoritmo que permita decidir se dúas presentacións finitas de grupos representan grupos isomorfos. Para facer este traballo, seguirase a línea indicada na Capítulo IV do libro “Algebraic Topology: An Introduction”, por W.S. Massey, tendo que consultar as referencias que se dan ahí.


Código XT03_16


Título Espazos de revestimento ramificado

Director/a Jesús Antonio Álvarez López


Trátase de expoñer a teoría de espazos de revestimento ramificado, xurdidos como xeralizacións das superficies de Riemann definidas por funcións analíticas con múltiples valores. Para facer este traballo, seguiranse as seguintes referencias:

- R.H. Fox, Covering spaces with singularities, no libro Algebraic Geometry and Topology: A symposium in Honor of S. Lefschetz, Princeton University Press, 1957, Princeton, N.J., pp. 243-257.

- E. Michael, Completing a spread (in the sense of R. H. Fox) without local connectedness, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 66 (Indag. Math. 25) (1963), 629–633.

- J.M. Montesinos-Amilibia, Branched coverings after Fox, Bol. Soc. Mat. Mexicana (3) Vol. 11, 2005.


Código XT04_16

Área de coñecemento Xeometría e TopoloxíA

Título As disquisitiones de Gauss

Director/a José Carlos Díaz Ramos


O obxectivo deste traballo é traducir a linguaxe moderno o traballo de Gauss “Disquisitiones generales circa superficies curvas”, que é o fundamento das asignaturas de xeometría diferencial de superficies do grao. Bibliografía: M. Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry Vol. II, Third edition, Publish or Perish, 1999. (capítulo 3)


Ter cursadas as materias “Curvas e superficies”, “Teoría global de superficies”

Código XT05_16


Título O teorema de Gauss-Bonnet mediante a teoría do índice

Director/a José Carlos Díaz Ramos


Trátase de presentar unha demostración do teorema clásico de Gauss-Bonnet, visto polo alumno na asignatura de Teoría global de superfices, empregando o concepto de índice dun campo de vectores sobre unha superficie. Bibliografía: S. Montiel y A. Ros, Curvas y Superficies, Proyecto Sur de Ediciones, Granada, 1997 (capítulo 8)


Ter cursadas as materias “Curvas e superficies”, “Teoría global de superficies”

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Código XT06_16


Título Complexidade topolóxica na robótica

Titor/a Enrique Macías Virgós


O problema de planificar o movemento dun robot autónomo consiste en darlle unha descripción das tarefas a realizar para que as execute sen intervención humana. As inestabilidades que aparecen nos algoritmos necesarios e as peculiaridades no comportamento do sistema dependen das propiedades homotópicas e topolóxicas do espazo de configuración do robot. Neste traballo darase unha introducción á "robótica topolóxica", co estudo dun invariante, a "complexidade topolóxica", introducido por M. Farber en 2003 e que está relacionado con outro invariante clásico, a "categoría de Lusternik-Schnirelmann".


É recomendable cursar ou ter cursado materias de Topoloxía como Topoloxía xeral, Topoloxía de superficies ou Topoloxía alxébrica.

Código XT07_16


Título GEOMETRIA DIFERENCIAL DEL FIBRADO DE LAS k1-VELOCIDADES

Titor/a Modesto Salgado Seco


- Estructura diferenciable de dicho fibrado. - Prolongación de funciones - Prolongacion de campos de vectores y de formas diferenciales. - Prolongaciones de campos de tensores de tipo (1,1) - Conexiones de Ereshman.


Cursar a materia de Variedades diferenciables

Código XT08_16

Área de coñecemento XEOMETRIA E TOPOLOXIA

Título Un estudo das superficies con curvatura de Gauss constante

Director/a Luis Angel Cordero Rego


O traballo consistirá nuha aproximación ao estudo das superficies con curvatura de Gauss constante, e mais en particular das superficies de revolución con curvatura de Gauss constante. Para elo o alumno guiarase polo contido do capítulo 19 do libro de L.A.Cordero, M. Fernández e A. Gray. “Geometría Diferencial de Curvas y Superficies con Mathematica”, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995. Polo tanto, a memoria do traballo deberá incluir alomenos unha breve descripción das integrales elípticas de segunda especie e das suas propiedades mais relevantes, asi como representacións gráficas dalguns exemplos de ditas superficies.

Recomendacións (Non vinculante)

O alumno deberá estar familiarizado cos (e recordar os) elementos xerais da teoría básica de curvas e superficies, e da teoría global de superficies.

Outras observacións O coñecemento e o manexo do programa informático Mathematica será un elemento esencial para o desenrolo do traballo.

Código XT09_16


Título A xeometria diferencial do espazo fibrado das referencias lineais dunha variedade diferenciable



Na Memoria describirase a estructura de variedade diferenciable do espacio fibrado principal FM das referencias lineais dunha variedade diferenciable M, e farase unha introdución somera ao estudo das propiedades xeométricas de FM e da construcción de estructuras xeométricas en FM a partir das estructuras que existan na variedade base M. Bibliografía: L.A. Cordero, C.T.J Dodson, M. de León, Differential Geometry of Frame Bundles, Mathematics and Its Appl., Kluwer Acad. Publ.Dordrech, Holanda, 1989. S.Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, vol. I, Interscience Publ., New York 1963.


Recomendase que o alumno teña cursada a materia “Variedades diferenciables” do cuarto curso do Grao en Matemáticas.

Código XT10_16


Título Dende a regra e o cartabón ao fibrado das referencias lineais


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Na Memoria describirase, co debido rigor matemático, o proceso conceptual que conduce dende a noción de paralelismo euclideo no plano ata a definición formal de conexión lineal nunha variedade diferenciable no espacio fibrado das súas referencias lineais; as nocións de curvatura e holonomía da conexión lineal deberan ser tamén abordadas na memoria. Bibliografía: I.M. Singer, John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, 67, Springer-Verlag, New York, 1976. S.Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, vol. I, Interscience Publ., New York 1963.


Recomendase que o alumno teña cursada a materia “Variedades diferenciables” do cuarto curso do Grao en Matemáticas.

Código XT11_16


Título Matemáticas para el diseño racional de planes de tratamiento con antibióticos

Titor/a Antonio Gómez Tato


El alumno deberá leer, comprender y explicar con el máximo detalle posible, lo que se expone en el artículo,” Rational Design of Antibiotic Treatment Plans: A Treatment Strategy for Managing Evolution and Reversing Resistance” publicado el 6 de mayo de 2105 en la revista PLOS-ONE.


Antes de escoger este trabajo se sugiere al alumno que descargue, de la página web de la revista, una copia del artículo propuesto y a la vista del mismo, reflexione sobre su respuesta a las siguientes cuestiones:

a) ¿Me gusta la Biología? b) ¿El tema me parece interesante? c) ¿Podré leer el artículo en un tiempo razonable? d) Después de todo lo que ya he estudiado y trabajado, ¿estoy dispuesto a estudiar aún más, en

particular un poco de Teoría de grafos y programación? Si la respuesta a todas las preguntas anteriores fuese afirmativa, el trabajo no debería presentar grandes dificultades.

Código XT12_16


Título Superficies regradas. Aplicacións

Director/a Luis Mª Hervella Torrón


En xeometría diferencial , un encóntrase cun número considerable de casos particulares que poden resultar interesantes por si mesmos ou por constituir un exemplo do poder e as limitacións dos métodos xeométricos. Aquí preténdese que o estudante aborde un destes exemplos aplicando tódolos seus coñecementos para chegar a aplicacións importantes destas superficies.


Outras observacións Con este traballo preténdese estimular a aplicación de estudos feitos anteriormente a exemplos concretos.

Código XT13_16


Título Hipersuperficies de Rn

Director/a Luis Mª Hervella Torrón


O alumno/a comezará estudando conceptos elementais como as aplicacións esfera e de Weingarten e as ecuacións de Gauss a partir da conexión estándar do espazo real Euclideo n-dimensional.Para elo deberá ter claros os conceptos de subvariedades diferenciables. Recoméndase o libro de Noel J. Hicks “Notas sobre geometría diferencial” para unha facil lectura do tema.


Cursar a materia de “Variedades Diferenciables” do 4º curso do Grao.

Outras observacións Con este traballo preténdese estimular a intuición xeométrica do alumno/a de tal xeito que xeneralizacións que se fagan posteriormente resulten naturais.

Código XT14_16


Título Espazos topolóxicos homoxéneos

Director/a Xosé M. Masa Vázquez


Na primeira parte introdúcense as nocións de Grupo topolóxico e de accións continuas de grupos sobre espazos topolóxicos, estudándose as súas propiedades máis relevantes. Na segunda parte descríbese a topoloxía dos grupos clásicos; especialmente, grupos de matrices.

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A terceira parte consiste na aplicación da teoría desenvolvida ao caso particular de accións de subgrupos sobre grupos topolóxicos e estudo dos espazos cocientes resultantes.


Código XT15_16


Título Topoloxía de Espazos de Funcións

Director/a Xosé M. Masa Vázquez


Os espazos de funcións xogan un papel primordial en Análise Matemática, en Topoloxía e en Xeometría. Trátase de estudar algúns dos principais espazos de funcións, especialmente as topoloxías denominadas admisibles. Segundo o contexto, máis analítico ou máis xeométrico, tratarase do estudo da topoloxía da converxencia uniforme ou da topoloxía compacto-aberto.


Código XT16_16


Título Redes en espazos topolóxicos

Titor/a Xosé Manuel Carballés Vázquez


Constatación da insuficiencia das sucesións para describi-la topoloxía en espazos topolóxicos xerais, análise sumario dalgunhas posibles alternativas e estudo detallado da solución baseada no concepto de rede.


Ter superadas “Topoloxía xeral" e “Topoloxía de superficies", e cursar "Topoloxía alxébrica”.

Código XT17_16


Título Grupos discretos de isometrías

Tito/a Juan Francisco Torres Lopera


Los grupos discretos de isometrías euclidianas (entre los que se cuentan los grupos de Coxeter) sintetizan la simetría y estructura de los poliedros, de los frisos, de los mosaicos, de las redes cristalinas y de los sistemas de raices de las álgebras de Lie semisimples. Sus propiedades son más sencillas cuando poseen un punto fijo. En caso contrario, su estudio es laborioso. Se trata de desarrollar algunos métodos e ideas simples, necesarios para clasificarlos, y de mostrar (en algunos casos) como se manifiestan las propiedades del grupo en las simetrías del objeto.


proposta de traballo fin de grao · de las asignaturas ”estructuras algebraicas”, “ecuaciones...

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