Proporcionalidade

Algunhas magnitudes

• Lonxitude• Superficie• Volume• Densidade• Tempo• Temperatura• Masa• Forza• Presión

• Lonxitude lado e superficie dun cadrado

• Velocidade dun tren e tempo que tarda en facer un traxecto• Tempo que temos un coche nun aparcamento e custe• Espacio recorrido e a velocidade a que imos• Temperatura e lonxitude dunha barra de ferro• Peso colgado dun múelle e lonxitude do múelle• Número entradas do cine e prezo• Os kg de touciño e a velocidade• Altura dunha persoa e intelixencia• Temperatura da aula e peso do alumnado

• A idade dunha persoa e o seu peso• Os kg de froita mercados e o prezo total que pagas

Di cales destas magnitudes están relacionadas e cales non:

.

Exemplo 1Na seguinte táboa relacionase a superficie dunha valla a pintar e a pintura empregada

m2 de valla a pintar 1 1'5 2 4

Litros de pintura empregada 0'33 0'495 0'66 1'32

Ao dobre m2 de valla corresponde dobre de litros de pintura.Ao triple de m2 de valla corresponde triple de litros de pintura.A metade de m2 de valla corresponde metade de litros de pintura.

A superficie de valla é directamente proporcional ao volume de pintura

Proporcionalidade directa

Cando podemos utilizar este tipo de expresións:dobre .............. dobre,

metade.............. metade,triple ............. triple,

un tercio.....un tercio,.......

Ou sexa, cando a porcentaxe de variación dunha magnitude corresponde a mesma porcentaxe de variación na outra magnitude, dicimos que as dúas magnitudes son directamente proporcionais.

Proporcionalidade directa

• Dúas magnitudes son directamente proporcionais se ao multiplicar unha delas por un número a outra queda multiplicada por ese mesmo número.

• Dúas magnitudes son directamente proporcionais se ao dividir unha delas por un número a outra queda dividida por ese mesmo número.

• O resultado de dividir un valor da segunda magnitude entre un valor da primeira recibe o nome de razón de proporcionalidade

Hai relación entre velocidade e distancia de frenado? É unha relación proporcional?

Exemplo 2Desde que un conductor ve un obstáculo, reacciona, pisa o freno, o coche detense, a distancia recorrida depende da velocidade:

Velocidade do coche (Km/h) 20 40 60 80 100

Distancia total ata a detención (m)

7 20'5 39'5 64 95

As lonxitudes das bases son directamente

proporcionais ás lonxitudes das alturas

Exemplo 3• Observa o debuxo, relaciona a

altura de cada rectángulo coa súa base.

A dobre base corresponde dobre altura.A triple base corresponde triple altura.A cuádruple base corresponde .... altura.

Son directamente proporcionais as magnitudes

diámetro e peso?

Exemplo 4 Un estudiante pesa algunhas bolas de aceiro. Obtén estes resultados

Diámetro 8 mm 11 mm 16mm 21mm 25mm

Peso 2'1 g 5'5 g 17g 38'4g 64'9g

É o volume directamente proporcional á

altura ?

Exemplo 5 Vertemos diferentes cantidades de auga nun vaso cónico. En cada vertido medimos a altura da auga e o seu volume

Exemplo 6Queremos transportar 1.200.000 Kg. de patacas dun almacén a distintas tendas. Nun determinado tipo de camión caben 8.000 Kg. Cántos viaxes terá que facer para transportar as patacas?. e se tiveramos 3 camións?

Nº de camións 1 2 3 5 8

Nº de viaxes 150 75 50

ao dobre nº de camións, metade de viaxes.a triple nº de camións, terceira parte de viaxes.

O número de viaxes é inversamente proporcional ao número de camións

Exemplo 7 Catro palas escavadoras fan un traballo de movemento de terras en 14 días. Cánto se tardaría en facer ese mesmo traballo si se dispuxera de 7 palas escavadoras?

ao dobre nº de escavadoras, metade de días.a triple nº de escavadoras, terceira parte de días.

O número de escavadoras é inversamente proporcional ao número de días

Proporcionalidade inversa

Cando podemos utilizar este tipo de expresións:

dobre ................... metade

metade................... dobre,

triple ................ un tercio,

un tercio................... triple

etc .........................

dicimos que as dúas magnitudes

son inversamente proporcionais.

Proporcionalidade inversa

• Dúas magnitudes son inversamente proporcionais se ao multiplicar unha delas por un número a outra queda dividida por ese mesmo número.

• Dúas magnitudes son inversamente proporcionais se ao dividir unha delas por un número a outra queda multiplicada por ese mesmo número.

• O resultado de dividir un valor da segunda magnitude entre un valor da primeira recibe o nome de razón de proporcionalidade

Teorema de Thales

Considera dúas rectas d e d' que se cortan. Consideramos tres puntos calquera A, B e C sobre d e trazamos rectas paralelas que corten a d' en A', B' e C'

"Dúas rectas secantes cortadas por paralelas dan lugar a segmentos proporcionais"

Aplicación teorema Thales e a proporcionalidade

calcular a altura da árbore sabendo MN = 1'17 m AB =12'45 m NO= 0'9 m.

MAGNITUDES RELACIONADAS, PROPORCIONAIS?:

• Lonxitude lado e superficie dun cadrado NON• Velocidade dun tren e tempo que tarda en facer un traxecto INVERSA• Tempo que temos un coche nun aparcamento e custe NON• Espacio recorrido e a velocidade a que imos DIRECTA

• Temperatura e lonxitude dunha barra de ferro NON• Peso colgado dun múelle e lonxitude do múelle DIRECTA• Número entradas do cine e prezo DIRECTA

MAGNITUDES NON RELACIONADAS• O touciño e a velocidade• Altura dunha persoa e intelixencia• Temperatura da aula e peso do alumnado

EXERCICIOS1. Unha persoa percorre 12 km. en 3 horas. Calcula o tempo que tardaría en percorrer

27 km.2. Unha piscina olímpica que ten un volume de 1600000 litros tarda en encherse 4

horas. Canto tempo tardará en encherse ata a quinta parte?3. Un automóbil consume 56 litros de gasolina ao percorrer 800 quilómetros. Cantos

litros de gasolina consumirá ao percorrer 500 quilómetros?4. Unha máquina produce 800 parafusos en 4 horas. Canto tardará en facer 1000

parafusos?5. Se vou a 120 km/h. tardo en chegar a Ferrol 2,5 h. canto tardaría indo a 100 km/h?6. Se 3 albaneis realizan un traballo en 6 días. Cantos se necesitarán para rematar o

traballo en 2 días? 7. Se unha caldeira consome 300 litros de gas cada 6 horas e un quentador 180 litros en

4 horas, cal consome máis gas?8. Un grupo de 20 alumnos realizan unha viaxe de estudios. Teñen que pagar o autobús

entre todos, pagando cada un 75€. Por outra parte os gastos totais de aloxamento son 240 €. Cal sería o prezo total e o prezo individual se fosen 30 persoas?

9. Para imprimir uns folletos publicitarios, 12 impresoras funcionaron 6 horas ao día e tardaron 7 días. Cantos días tardarán 3 impresoras funcionando 8 horas diarias?

10. Nunha cadea de producción, 3 persoas traballando 4 horas diarias fabrican 240 pezas. Cantas pezas fabricarán 9 persoas traballando 5 horas diarias?

11. Para alimentar a 8 polos durante 5 días, fan falta 4 quilos de penso. Cantos quilos de penso farán falta para alimentar a 12 polos en 7 días?

12. Se 4 obreiros traballando 8 horas diarias tardan en facer un traballo 12 días. Cantos días tardarán en facer o mesmo traballo 6 obreiros traballando 4 horas diarias?

13. Unha disolución contén 176 gr. dun composto químico por cada 0,8 litros de auga. Se se utilizaron 0,5 litros de auga, cantos gramos do composto químico haberá que engadir?

14. Se 10 albaneis realizan un traballo en 30 días, cantos se necesitarán para rematar o traballo en 25 días?

15. Un grupo de 43 alumnos realizan unha viaxe de estudos. Teñen que custear o autobús entre todos, pagando cada un 90 €. Por outra parte, os gastos totais de aloxamento son 12427 €. Cal sería o prezo total e o prezo individual se fosen 46 persoas?

16. Para alimentar 11 polos durante 16 días, fan falta 88 quilos de penso. Cantos quilos de penso farán falta para alimentar 18 polos en 8 días?

17. Se 10 obreiros traballando 9 horas diarias tardan en facer un traballo 7 días, cantos días tardarán en facer o mesmo traballo 5 obreiros traballando 6 horas diarias?

18. Tres camareiros dun bar repártense 238 € das propinas dun mes de forma inversamente proporcional ao número de días que faltaron, que foi 1, 4 e 6 días respectivamente. Canto corresponde a cada un?

19. No meu instituto hai 450 estudiantes. O número de alumnas representa o 52% do total. Cantas alumnas hai?

20. O 28% dos alumnos dun instituto aprobou todas as materias. Sabendo que aprobaron 196 persoas. Cantos alumnos hai no instituto?

21. A poboación dunha localidade costeira pasou de 44500 a 61410 habitantes. Que % aumentou?

22. Un bosque ten 30900 árbores. Nun incendio ardeu o 18% das árbores. Cantas árbores quedan?