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Proporcionalidad aritmética: de la investigación didáctica al aula de secundaria

SERGIO MARTÍNEZ JUSTE

UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

IES LEONARDO DE CHABACIER

Estructura de la charla

CONTEXTUALIZACIÓN

LA PROPORCIONALIDAD COMO PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

ANÁLISIS DIDÁCTICO DE LA PROPORCIONALIDAD

LA PROPUESTA

EXPERIMENTACIÓN Y RESULTADOS

CONTEXTUALIZACIÓN MI HISTORIA

NUESTRA FILOSOFÍA

¿QUÉ QUEDA POR HACER?

Mi historia Proyecto de tesis doctoral dirigida por: José María Muñoz

Escolano, Antonio M. Oller Marcén y Tomás Ortega del Rincón.

Toma el relevo del trabajo de tesis de Antonio M. Oller Marcén:

“Proporcionalidad Aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria”.

Evolución natural del trabajo iniciado por Rafael Escolano y José María Gairín en la didáctica del número racional.

Líneas de trabajo en INNOVACIÓN CURRICULAR.

Nuestra filosofía (Oller, 2012)

“Si la matemática encierra – o pretende encerrar – aquello que de verdadero tiene nuestro cambiante mundo, no vemos el motivo para que el lenguaje que utilice sea complicado y difícil de entender. Sin embargo, a menudo, encontramos que los textos de Matemáticas, incluso los escolares, parecen perseguir un objetivo distinto; añadiendo a la relativa dificultad de los conceptos que se manejan, la necesidad de memorizar nombres, técnicas y procedimientos que para los alumnos son poco menos que trucos de magia.

Estamos convencidos de que esto no debe ser así. Pensamos que gran parte de la Matemática escolar puede fundamentarse en base a ideas claras y sencillas. En el caso de la Proporcionalidad aritmética esas ideas son las estructuras multiplicativas de los naturales y racionales positivos y el manejo de las magnitudes. A partir de ahí podremos construir todos los conceptos importantes relativos a la Proporcionalidad. Esta es, concretamente, la tarea que pretendemos iniciar con este trabajo.”

¿Qué queda por hacer?

Revisar, modificar, completar, seguir experimentando y cerrar una propuesta concreta para 1º de ESO.

Realizar y experimentar una propuesta concreta para 2º de ESO que complete la anterior.

Profundizar en el marco teórico de la investigación completando algunos aspectos poco trabajados en la bibliografía.

LA PROPORCIONALIDAD COMO PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ¿POR QUÉ LA PROPORCIONALIDAD?

FOCO DE INVESTIGACIÓN ACTIVO

UN POCO DE HISTORIA

¿Por qué la proporcionalidad?

Es uno de los objetos de enseñanza “clásicos” en Educación Matemática.

Presente en todos los niveles de la Educación Obligatoria (Ed. Primaria y Secundaria) y por tanto, también en la Formación inicial de maestros y profesores.

Culmina la formación aritmética de los estudiantes.

Posee numerosas aplicaciones prácticas.

PERO…


Los estudiantes de todos los niveles presentan muchas dificultades a la hora de resolver situaciones de proporcionalidad relativamente sencillas:

4º Ed. Primaria

(TIMSS, 2011)

20% éxito



Estudiantes de 15 años

(PISA, 2012)

62,1% éxito



Maestros en formación (Valverde, 2008) 57% éxito

Foco de investigación activo

Su importancia curricular y práctica, las dificultades que siguen planteando los alumnos y las deficiencias detectadas en la enseñanza, hacen que sea un tema activo en la investigación didáctica.

Se desarrollan trabajos desde múltiples enfoques teóricos

Diferentes campos de investigación: Análisis de libros de texto, estrategias utilizadas por los alumnos, dificultades en el aprendizaje, propuestas de enseñanza, clasificación de problemas,…

Diferentes niveles: primaria, secundaria, maestros en formación.

Diferentes conceptos: directa, inversa, compuesta, repartos,..

Un poco de historia

60’s – ESCUELA DE PIAGET: Se estudian tareas relacionadas con la proporcionalidad y se relacionan con las etapas del desarrollo cognitivo. En concreto, los problemas que relacionan 4 cantidades se sitúan en la etapa de operaciones formales (12->).

Las teoría Piagetianas mantienen su influencia en la investigación hasta mediados de los 80.

80’s: Los estudios se alejan de los fundamentos teóricos Piagetianos y se dirigen hacia estudios más empíricos y basados en cuestiones obtenidas de los resultados.

THE RATIONAL NUMBER PROJECT

Tourniaire y Pulos (1985): Proportional reasoning: A review of the literature

Lesh, Post y Berh (1988): Proportional reasoning

Cramer y Post (1993): Connecting Research to Teaching Proportional Reasoning

Vergnaud (1990): Teoría de Campos Conceptuales. En ella, las situaciones de proporcionalidad forman parte de las estructuras multiplicativas.

Lamon (1993): Ratio and proportion: Connecting content and children‘s thinking

BOLEA, BOSCH(94), GASCÓN

ESCOLANO, GAIRÍN, MARTÍNEZ, MUÑOZ, OLLER(12)

BLANCO

FERNÁNDEZ(01), GÓMEZ, PUIG, CERDÁN

FERNÁNDEZ, LLINARES

CASTRO, GODINO, RIVAS(13), VALVERDE(12)

ORTEGA

GARCÍA(05), RUIZ

ANÁLISIS DIDÁCTICO DE LA PROPORCIONALIDAD ANÁLISIS CONCEPTUAL

ANÁLISIS DE CONTENIDO

ANÁLISIS COGNITIVO

ANÁLISIS DE INSTRUCCIÓN

ANÁLISIS DEL CONTENIDO • Estructuras y análisis formal • Sistemas de representación • Análisis fenomenológico

Focos prioritarios

ANÁLISIS CONCEPTUAL • Conceptos y términos básicos • Aproximación histórico-crítica • Génesis epistemológica

Conceptos y red de significados que articulan un tema

ANÁLISIS DE INSTRUCCIÓN • Funciones y secuencias de

las tareas • Materiales y recursos • Gestión del aula Diseño de la unidad didáctica

ANÁLISIS COGNITIVO • Expectativas de aprendizaje • Limitaciones en el

aprendizaje • Demandas cognitivas

Organización de los aprendizajes

ANÁLISIS EVALUATIVO • Criterios o instrumentos de evaluación • Rendimiento, resultados e

interpretación • Toma de decisiones

Revisión del proceso

Análisis Didáctico (Luis Rico y Antonio Fernández-Cano, 2012)

Análisis conceptual Desde un punto de vista epistémico existen dos enfoques diferentes

de la proporcionalidad:

Ambos enfoques pueden integrarse interpretando la razón externa como tanto por uno y relacionándolo con la constante de proporcionalidad (Karplus, Pulos y Stage, 1983).

En la génesis histórica de la proporcionalidad predomina el enfoque aritmético.

ARITMÉTICO Conceptos principales: • Razón • Proporción

FUNCIONAL Conceptos principales: • Covarianza • Función de proporcionalidad • Constante de proporcionalidad

Razón

EXTERNA • Compara cantidades de dos

magnitudes diferentes (en sentido extendido)

• Reparto • Magnitud intensiva

INTERNA • Compara cantidades de la

misma magnitud (expresadas en las mismas unidades)

• Comparación multiplicativa • Escalar

PARTE – PARTE Hay 3 chicos por cada 4 chicas

PARTE – TODO De cada 7 personas, 3 son chicos

¿Es un par ordenado? ¿Es una clase de equivalencia?

¿Es una cantidad?

Relación de proporcionalidad

RAZÓN EXTERNA CONSTANTE CONSTANCIA: A cada unidad de M1 le corresponden las mismas

unidades de M2

RAZÓN INTERNA CONSTANTE INVARIANZA: A “doble” de M1

“doble” de M2

¿Caracterización de la proporcionalidad inversa?

¿Caracterización de la proporcionalidad compuesta?

Análisis de contenido

TAREAS SEGÚN EL TIPO DE RELACIÓN PROPORCIONAL

P. DIRECTA P. INVERSA P. COMPUESTA

TIPOS DE TAREAS DE RAZONAMIENTO PROPORCIONAL

COMPARACIÓN

CUALITATIVA

CUANTITAVA

VALOR PERDIDO

Tipos de tareas definidos por Cramer y Post (1993) para proporcionalidad simple directa, pueden generalizarse

a cualquier tipo de relación (Martínez, Muñoz, Oller, Ortega,

2015)

Problemas de valor perdido

Problemas de comparación

Para alimentar a sus 4 gatos durante 5 días, Miguel, necesita 40 vasos de leche. María, sin embargo, gasta 35 vasos de leche para alimentar a sus 3 gatos durante 7 días. ¿Qué gatos comen más los de María o los de Miguel?

Miguel y María han ido a comprar leche para sus gatos. Miguel tiene menos gatos que María, ha comprado más leche que ella y, además, sabe que le va a durar menos tiempo. ¿Qué gatos comen más los de María o los de Miguel?

Tipos de magnitudes involucradas (González y Gómez, 2011)

Distinción entre magnitudes extensivas (aditivas, como el peso, la cardinalidad o la superficie) e intensivas (razones no aditivas, como la velocidad, el precio unitario, la densidad o la temperatura). Dentro de las intensivas podemos encontrar magnitudes “bien compactadas” (Lamon, 2007) que son aquellas que tienen entidad propia.

Distinción entre magnitudes continuas (longitud) y discretas (valor monetario).

Distinción entre magnitudes fundamentales (longitud) y derivadas (superficie).

Distinción entre magnitudes escalares (masa) y vectoriales (fuerza).

Fenomenología Tipos de situaciones - contextos según estudio PISA (OCDE, 2004):

personales, educativas o laborales, públicas y científicas.

Estudio fenomenológico histórico centrado en la proporcionalidad (Oller, 2012):

1. Problemas relacionados con intercambios

Intercambios de mercancías.

Compra-ventas.

Cambios de divisas.

2. Problemas relacionados con repartos.

3. Problemas relacionados con préstamos.

4. Problemas relacionados con mezclas y aleaciones.

5. Otros: Grifos, persecuciones, “de adivinación”, descomposición números, problemas diversos proporcionalidad compuesta,…

Sistemas de representación (Valverde, 2012)

Análisis cognitivo

Una de las principales focos de atención del análisis cognitivo es clasificar a los resolutores según su nivel de pensamiento proporcional.

Los intentos para dar una clasificación de estos perfiles suelen centrarse en las estrategias correctas e incorrectas que utilizan los alumnos para resolver tareas de proporcionalidad.

Otro de los puntos fundamentales en este análisis es determinar las dificultades y obstáculos que encuentran los alumnos y qué factores determinan dicha dificultad.

Estrategias correctas de resolución

P. SIMPLE (Cramer y Post, Lamon) • Razón unitaria • Factor de cambio • Building up • Proporciones • Regla de tres

P. COMPUESTA (Bosch, Oller, Martínez…)

• Amalgamación • Paso a paso pasando por la unidad • Paso a paso sin pasar por la unidad • Proporciones • Aplicación de una fórmula

Por 6 metros de tela me han cobrado 5€. ¿Cuántos

metros de tela podré comprar con 12,5€?

Estrategias correctas de resolución

Estrategias incorrectas de resolución Operaciones sin sentido. Razonamiento aditivo.

Trabajo con las dos magnitudes independientes por separado: Consiste en resolver por separado dos problemas de valor perdido de PS.

Omisión de una de las magnitudes independientes: Consiste en resolver un único problema de valor perdido de PS obviando una de las magnitudes independientes.

Mal uso de una fórmula: Consiste en no aplicar correctamente la fórmula para

la resolución de un problema de valor perdido de PC.

Estructura numérica y naturaleza de las magnitudes

La estructura numérica de los problemas influye en la tasa de éxito y en la estrategia utilizada (Steinthorsdottir, 2006)

Algunos trabajos indican que los problemas con magnitudes intensivas son más complicados que los que solo contienen extensivas.

Menos consenso existe sobre la importancia de que las magnitudes sean discretas o continuas en la dificultad del problema ya que hay estudios apuntando en ambos sentidos (Spinillo y Bryan, 1999; Tournaire y Pulos, 1985).

Ilusión de linealidad

Freudenthal (1983): “La linealidad es una propiedad tan sugerente de las relaciones que uno se ve en la tentación de tratar cualquier relación como si lo fuera”.

De Bock, Van Dooren, Janssens y Verschaffel (2007): The illusion of linearity: From analysis to improvement: “La tendencia de los estudiantes a aplicar propiedades de las relaciones lineales en cualquier sitio ha sido llamada “ilusión de linealidad” u “obstáculo lineal”. Ha sido analizada en diversos estudios prácticos, […] con estudiantes de diferentes edades…”

Entre los trabajos en este sentido realizados en España con estudiantes de secundaria cabe destacar los de Fernández y Llinares (2011).

Análisis de la instrucción Schubring (1987): “la práctica docente no está tan determinada por

los decretos ministeriales como lo está por los libros utilizados para la enseñanza”.

Los docentes utilizan el libro de texto para decidir qué tareas implementar y también cómo hacerlo (Tarr, Chávez, Reys & Reys, 2006).

Maz y Rico (2015): “el análisis de textos escolares proporciona información sobre los contenidos, los conocimientos tratados y también sobre aspectos pedagógicos, curriculares o sociales”.

El análisis de libros de texto es un interesante tema de estudio para la Educación Matemática.

Problemas detectados en algunos estudios de libros de texto en el tema de la

Proporcionalidad Artimética.

Predominio de conocimientos

procedimentales frente a los de tipo

conceptual.

Presentación de técnicas orientadas

a la aplicación automática (regla de

tres).

Escaso interés por la correcta

caracterización de los diferentes

conceptos.

Poca preocupación por la manipulación

significativa de magnitudes.

Homogeneidad en los tipos de problemas.

Desconexión entre las técnicas

presentadas en diferentes tipos de

problemas.

Se presentan, en general, pocos tipos de magnitudes y de

contextos.

Secuenciación discutible de los

diferentes contenidos.

LA PROPUESTA IDEAS CLAVE

JUSTIFICACIÓN

TRATAMIENTO

SECUENCIACIÓN Y TEMPORALIZACIÓN

Ideas clave

Identificación y manipulación de magnitudes.

Concepto de razón (externa) como tanto por 1.

Caracterización de la proporcionalidad simple directa e inversa.

Ampliación de la tipología de problemas.

Posponer relación inversa, adelantar relaciones compuestas.

Aplicaciones de la proporcionalidad: porcentajes, repartos proporcionales.

Ideas clave - Justificación

Nos decantamos por el enfoque aritmético ya que surge de manera natural en los alumnos y permite reconstruir la red de conceptos de proporcionalidad a partir de ideas sencillas.

Nos decantamos por la utilización de razones externas ya que las acciones que las dotan de significado y permiten trabajar con ellas son más naturales. División como reparto (también como agrupación) y significado de la multiplicación como suma reiterada.

Caracterizamos la proporcionalidad a partir de condiciones de regularidad que dan sentido al reparto (también al producto).

Ampliamos la tipología usual de problemas a cualquier tipo de relación de proporcionalidad para mejorar el desarrollo del razonamiento proporcional.

Ideas clave - Justificación

Posponemos la proporcionalidad inversa ya que su epistemología y fenomenología está separada de la relación directa. Además, históricamente, se evidencian dificultades en su comprensión.

Adelantamos la proporcionalidad compuesta ya que permite trabajar la manipulación de magnitudes en contextos realistas y con fines prácticos.

Trabajamos las aplicaciones prácticas de la proporcionalidad, en especial los porcentajes, siguiendo las ideas básicas introducidas, para: o Trabajar el significado de los conceptos implicados.

o Dar coherencia a la propuesta.

o Reducir el número de técnicas.

Tratamiento de las ideas clave

Trabajo con magnitudes Reconocimiento de magnitudes y vocabulario asociado:

Trabajo con magnitudes Operativa con magnitudes, razón externa, condición de

regularidad, constante de proporcionalidad, razón externa, amalgamación:

Condición de regularidad: Requisitos para que tenga sentido calcular la razón entre dos magnitudes.

Trabajo con magnitudes Operativa con magnitudes, razón externa, condición de

regularidad, constante de proporcionalidad, razón externa, amalgamación:

Cálculo de razones externas Secuenciación basada en el análisis fenomenológico, la estructura

numérica y tipología de magnitudes:

SITUACIÓN INTRODUCTORIA: Hemos ido de compras al supermercado y hemos comprado 30 productos y nos han cobrado 15€ ¿Cuánto cuesta 1 producto? ¿Cuántos productos puedo comprar con 1 €?

TAREA

Situación 1: Un pintor hace 28 retratos en 7 horas.

Situación 2: En un restaurante se mezclan, para hacer arroz con leche, 2 kg de arroz con 5 litros de leche.

Situación 3: En el año 2000 había 6.000 millones de personas en el mundo.

Situación 4: Entre 3 personas se han comido 2 kilogramos de guisantes.

Situación 5: Un grupo de 5 amigas ha realizado 25 pulseras para un mercadillo solidario.

Justificación de las relaciones de proporcionalidad

Problemas de comparación cualitativa

Problemas de comparación cuantitativa

Problemas de valor perdido

Aplicaciones: Repartos proporcionales

Aplicaciones: Porcentajes

Secuenciación y temporalización

1º ESO

1ª SESIÓN MAGNITUDES

2ª SESIÓN RAZÓN COMO TANTO POR 1

3ª SESIÓN RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

4ª Y 5ª SESIÓN PROBLEMAS DE COMPARACIÓN

6ª Y 7ª SESIÓN PROBLEMAS DE VALOR PERDIDO

8ª SESIÓN PROBLEMAS DE P. COMPUESTA DIR.-DIR.

9ª, 10ª Y 11ª SESIÓN PORCENTAJES

12ª SESIÓN REPASO

13ª SESIÓN PRUEBA ESCRITA

Secuenciación y temporalización

2º ESO (Ciclo exploratorio)

1ª SESIÓN MAGNITUDES, C.R., RAZÓN COMO TANTO POR 1, RELACIÓN P. DIRECTA

2ª SESIÓN RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

SESIONES 3ª A 7ª PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD

8ª SESIÓN REPARTOS PROPORCIONALES

9ª, 10ª Y 11ª SESIÓN PORCENTAJES

12ª SESIÓN REPASO

13ª SESIÓN PRUEBA ESCRITA

EXPERIMENTACIÓN Y RESULTADOS METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN

ACCIÓN / OBSERVACIÓN / REFLEXIÓN

PUNTOS FUERTES

PUNTOS DÉBILES

Metodología de investigación

Implementación en Institutos de Secundaria: IES Avempace, IES Leonardo de Chabacier.

Investigación mediante la metodología de Investigación-Acción (Elliot, 1990; McNiff, 1992; Kemmis y McTaggart, 1992)

Acción

Planificación

Obser-vación

Refle-xión

Acción

Planificación

Obser-vación

Refle-xión

…

Fase de acción

2009-10 2 grupos (1º ESO) IES Avempace (Zaragoza)

2013-14 3 grupos (1º ESO) IES Leonardo Chabacier (Calatayud)

2014-15 1 grupo (2º ESO) IES Leonardo Chabacier (Calatayud)



…

Se procuran minimizar los tiempos de explicación e

institucionalización por parte del profesor.

La mayor parte del tiempo se dedicada al trabajo de los

alumnos, agrupados en parejas.

Los conceptos se introducen a partir de situaciones

introductorias (SI) propuestas a los alumnos sin que éstos hayan

recibido instrucción previa sobre ellos.

Posteriormente se produce una puesta en común e

institucionalización.

Una vez institucionalizados los conceptos se lleva a cabo un

trabajo de refuerzo y consolidación.

Metodología en el aula

Fase de observación Se lleva un registro escrito de lo que sucede en cada sesión: Diario

de clase. 1ª SESIÓN: MAGNITUDES

GRUPO: 1ºB FECHA: 20/2/2013

Plan previsto Aspectos relacionados con la comprensión

Ejecución

Valoración

Aspectos actitudinales y asistencia de los alumnos

Toma de decisiones

Fase de observación Se escanean todas las producciones de los alumnos antes de ser

corregidas.

Se graban las sesiones de clase que son revisadas y valoradas por un observador experto externo.

Fase de observación Se crean categorías a observar en cada una de las tareas.

Se analiza la tasa de aparición de dichas categorías en las producciones de los alumnos.

Fase de observación Se realizan entrevistas semiestructuradas de pequeña duración a

algunos alumnos.

Fase de reflexión

Se analiza, cruza y compara la información obtenida de: Diario de clases.

Observador externo.

Producciones de los alumnos.

Entrevistas semiestructuradas.

Producciones en la Prueba Escrita del Grupo de Control.

Se proponen cambios y mejoras para el siguiente ciclo.

Puntos fuertes

La implementación en el aula es viable.

Los alumnos emplean y amplían sus conocimientos previos sobre el significado de las operaciones con naturales y racionales.

Se evita el recurso a técnicas algorítmicas y surgen de manera espontánea otros procedimientos.

Los alumnos resuelven con éxito tipos de problemas distintos a los de valor perdido.

Puntos fuertes

Mejoran (en cantidad y calidad) los procesos de argumentación.

Los resultados en problemas de valor perdido en el grupo de control no son mucho mejores que los resultados de nuestros grupos.

Se implica el profesorado del Departamento del IES fomentando discusión y debates.

Puntos débiles

Dificultades al operar con fracciones provocan que los alumnos escojan la representación decimal.

Aunque se sigue un procedimiento adecuado, se obtiene resultado inexacto al aproximar.

Incidir en la fracción y sus operaciones desde significados de medida y cociente

Puntos débiles

Trabajo complejo con porcentajes debido a la instrucción previa recibida (Ed. Primaria).

Trabajo previo con los maestros de Primaria en ejercicio y en formación en la misma línea que seguimos

Difícil incorporar nuevas técnicas sobre algo cuando ya se poseen otras.

Puntos débiles

“Ayudas” externas (familias, profesores de apoyo, etc.) basadas en la enseñanza tradicional de la proporcionalidad.

Entrevistas y circulares a las familias para hacerles partícipes de la experiencia y pedir colaboración. Cuadernillo con las ideas clave de la propuesta.

Puntos débiles

Cambios en la metodología de trabajo en el aula trabajo en parejas, ausencia de libros de texto, institucionalización posterior a la realización de problemas

Aspectos de la propia naturaleza investigadora del proceso uso de la cámara digital recogida diaria de fichas

El transcurso de las sesiones supone la normalización de estas situaciones

¡Muchas gracias!

proporcionalidad aritmética: de la investigación didáctica ... · para alimentar a sus 4 gatos...

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