UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICODIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA

PROPORCIÓN Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

1. Explica con tus propias palabras el teorema de Tales

De acuerdo con la historia, Tales de Mileto halló una forma para saber la altura de las pirámides de Guiza. Colocó un bastón de forma que los rayos del sol incidieran con el mismo ángulo que en las pirámides. Así, encontró la altura de las pirámides estableciendo relaciones de semejanza y proporcionalidad entre los triángulos rectángulos formados por la altura de las pirámides o el bastón, los rayos del sol y la sombra proyectada. De allí surge el Primer Teorema de Tales o Teorema fundamental de la semejanza de triángulos, y que ha tenido dos interpretaciones, aunque la segunda se puede deducir de la primera:

Primer Teorema de TalesInterpretación 1:Si un triángulo es cortado por una recta paralela a cualquiera de sus lados, los segmentos formados en cada lado del triángulo serán proporcionales, y se obtendrán dos triángulos semejantes:

QSSP

=QTTR

Por lo tanto, ∆PQR ∆SQT (el triángulo PQR es semejante al triángulo SQT).

Interpretación 2:Si dos rectas cualesquiera son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra recta:

ABBC

=DEEF

T1T2

A

B

C

D

E

F

R1

R2

R3

Q

P R

S TR1

Q

P R

S T

Q

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El segundo teorema de Tales implica a la circunferencia, el triángulo rectángulo y los ángulos inscritos. De acuerdo con este teorema, sea una

circunferencia de diámetro AB y un punto C distinto de AB, el ángulo ACB siempre es recto.

2. Explica con tus propias palabras en qué consiste la semejanza de polígonos

Dos o más polígonos son semejantes cuando tienen la misma cantidad de lados, las medidas de sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales:

aa '

= bb '

= cc '

= dd '

= ee '

∢A ≡ ∢A'∢B ≡ ∢B'∢C ≡ ∢C'∢D ≡ ∢D'∢E ≡ ∢E'

C

BA

a

b

c

d

eA

E B

D C

a'

b'

c'

d'

e'A'

B'E'

D' C'

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3. Indica la diferencia entre proporciones y semejanzas

Semejanza es cuando las características de dos cuerpos ya sean triángulos o cualquier polígono guardan cierta relación, pero no son iguales; es decir, tienen la misma cantidad de lados y éstos son proporcionales y sus ángulos correspondientes miden lo mismo.

Por otra parte, cuando se habla de proporciones se refiere a la igualdad entre dos o más razones, es decir a la igualdad entre dos magnitudes que están relacionadas de alguna forma.

Una razón se representa como una fracción aa'

y una proporción es la igualdad entre dos razones

aa'

= bb'

donde el resultado es una constante k que indica cuántas veces contiene una a otra o bien

la parte que ocupa una respecto a otra.

Por ejemplo, sea el triángulo ABC y el triángulo DEF, su razón de proporcionalidad es:

ABDE

= BCEF

= ACDF 42=10

5=63 2 = 2 = 2

La razón es 2, por lo tanto el triángulo ABC es el doble del triángulo DEF, o bien, DEF corresponde a la mitad del triángulo ABC.

4. Explica la importancia del Teorema de Tales en la Geometría.

La importancia de este teorema radica en que establece las bases de la semejanza y proporcionalidad entre cuerpos geométricos, principalmente los triángulos, cuyas aplicaciones principales están en la obtención de distancias de objetos difíciles de medir a partir de la comparación con objetos semejantes más cercanos. Tal es el caso de la astronomía, para conocer la distancia entre planetas o en construcción con edificios muy altos.

Fuentes-Ramos, P. (s.f). Tema 4: Dos teoremas básicos. Pitágoras y Tales. Universidad de Alcalá-Dpto. de Matemáticas. España. Disponible en http://www3.uah.es/pramos/docencia/Mat-II/Teoria/Tema-4-Pitagoras-Tales-print.pdf-Ecured (s.f) Teorema de Tales. [Página web] En https://www.ecured.cu/Teorema_de_Tales-Gervafernandez (2016, enero 16). 1.- PROPORCIONALIDAD ARITMÉTICA: Razón y proporción [Archivo de video]. Disponible en https://youtu.be/6DPa8VcT4Ec

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5

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10

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CB

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- Gervafernandez (2016, febrero 28). 4. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA Y SEMEJANZA: Polígonos semejantes. Perímetros y áreas. [Archivo

de video]. Disponible en https://youtu.be/3BdvFynfm7E