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Propiedades no clásicas en la fase por violación de cotas clásicas a la estadística

Trabajo Académicamente dirigido Curso 2009/2010

Alumno: Daniel Martín Jiménez Tutor: Alfredo Luís Aina

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ÍNDICE

Introducción Campo electromagnético cuántico

♦ Operadores: � Operador número de fotones � Operadores de cuadratura � Operador de fase

♦ Estados: � Estados coherentes � Estados número � Estados de fase

Estados clásicos y no clásicos. Criterios de clasicidad

♦ Criterios de clasicidad

♦ Cotas clásicas a la probabilidad Cotas a la estadística de fase con estados de fase

♦ Interpretación gráfica

♦ Comprobación de la aproximación Cotas a la proyección sobre estados coherentes de fase

♦ Comprobación de la aproximación � Comprobación aproximación número continuo y Gaussiana para 1>>α � Comprobación de la aproximación 1→ζ

Ejemplos

� Ejemplo1: Estado número � Ejemplo2: Estado comprimido � Ejemplo3: Estado gato Schrödinger coherente � Ejemplo4: Estado de fase normalizado

Conclusiones Bibliografía

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INTRODUCCIÓN

A principios del siglo XX tuvo lugar el descubrimiento de una nueva rama de la física que rompía con los conceptos tradicionales de la época. Esa nueva rama fue la física cuántica, nacida de la mano de Max Planck en 1900, y posteriormente desarrollada por Albert Einstein, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg… para explicar fenómenos que desde la física clásica no eran comprensibles.

Actualmente, una de las áreas en las que mayoritariamente se aplican los conceptos de la física cuántica es para explicar fenómenos relacionados con la luz. En particular, en este trabajo nos vamos a fijar en propiedades no clásicas relacionadas con la fase del campo electromagnético. Nos centramos en la fase porque en óptica clásica es una variable que desempeña un papel muy importante. Por ejemplo, la fase relativa entre dos ondas que interfieren determina si la interferencia es constructiva o destructiva, y las fluctuaciones de esa misma fase establecen la coherencia entre estas dos ondas.

En el dominio cuántico, nos encontramos que existen estados de luz no clásicos que proporcionan medidas interferométricas más precisas que los estados clásicos. Este hecho puede ser debido a que tales estados tienen su fase mejor definida, es decir, menos fluctuante, que la luz clásica. Por tanto, las propiedades no clásicas de fase podrían estar ligadas a aplicaciones prácticas interesantes en metrología.

En este trabajo vamos a construir y aplicar criterios extraordinariamente sencillos para descubrir propiedades no clásicas en la fase. Para ello buscaremos cotas superiores a la estadística de la fase que son satisfechas por todos los estados clásicos. Por tanto, los estados que incumplan tales cotas serán automáticamente estados no clásicos. Ilustraremos estos tests de no clasicidad con algunos ejemplos.

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CAMPO ELECTRÓMAGNÉTICO CUÁNTICO

Una onda luminosa puede ser estudiada con un modelo de onda armónica plana entendida como una base de ondas (llamadas modos) con la que se expresa cualquier otra onda. Esta onda viene caracterizada por su frecuencia, su dirección de propagación, su polarización, su intensidad y una fase. Una onda armónica plana se puede expresar de la misma forma tanto en la óptica clásica como en la óptica cuántica con la siguiente representación compleja:

)(),( trkieatrE ωε

−⋅=

r

r

rr

r ,

donde εr es un vector constante que contiene las unidades y la polarización, y a es la amplitud compleja adimensional, también llamada operador destrucción de fotones. En el caso clásico, la amplitud es un número complejo α , mientras que en el caso cuántico a es el operador de amplitud compleja. a es un operador no Hermítico. Su transpuesto conjugado +a es el operador creación de fotones. Estos dos operadores tienen la propiedad de que no conmutan entre ellos:

1],[ =+aa .

Los estados de luz vienen descritos por vectores ψ (suponiendo por sencillez que son estados puros). Los observables (es decir, las propiedades de la luz) son funciones más o menos complejas de +aa, , ( )+= aaAA ,ˆ . La descripción estadística usual de cualquier observable A consiste en la evaluación de los valores medios de sus potencias

ψψ ll AA ˆ= ,

siendo l un número entero.

Si el operador A es Hermítico también es muy usual describir su estadística mediante la distribución de probabilidad de sus autovalores en el estado ψ

∑==

λλλψψ )(ˆ pAA lll 2)( ψλλ =p ,

donde λ son los autoestados de A y λ sus autovalores

λλλ =A ,

y se ha supuesto por sencillez que los autovalores forma un conjunto numerable.

Operadores Los operadores necesarios para una fácil comprensión de este trabajo son el operador número de fotones, el operador cuadratura y el operador fase.

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Operador número de fotones N El producto del operador creación por el operador destrucción da lugar a un nuevo operador que es el de número de fotones:

aaN += .

Cuantifica la energía del campo electromagnético de la siguiente forma:

ωω

ω hh

h

+=+= +

21

2NaaH .

Por tanto, el operador número de fotones es un observable medible, y que además, toma valores enteros de cero hasta infinito. Operadores cuadratura X, Y Los operadores creación y destrucción se pueden expresar mediante otros dos nuevos operadores Hermíticos que llamaremos de cuadratura X e Y . Se relacionan de la siguiente forma:

iYXa += iYXa −=+ ,

de tal forma que X e Y constituyen la parte real e imaginaria de la amplitud compleja respectivamente. Los operadores cuadratura en función de los de creación y destrucción se expresan como: ( )++= aaX

21 ( )aaiY −=

+

2

y cumplen la siguientes relaciones:

XX =+ , +

=YY , 2],[ iYX = .

Se puede definir una cuadratura general dependiente de un parámetro real θ en la forma

( )θθθ

ii eaaeX +− += 21 ,

de modo que 0XX = , 2/πXY = . Observamos que θX constituye esencialmente la parte real del campo eléctrico para rkt r

r

⋅−= ωθ .

Además, si aplicamos el principio de incertidumbre de Heisenberg para los operadores cuadratura obtenemos

41≥∆∆ YX ,

donde 22 AAA −=∆ .

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Operador de fase E

Si en óptica clásica la amplitud compleja α se puede escribir como el producto del módulo por la exponencial de la fase φαα ie= , cuánticamente podemos hacer lo mismo donde el módulo será aa +→α y la exponencial de fase el operador E . La amplitud compleja expresada en función del operador de fase queda como:

aaEa += .

El operador de fase debería ser un operador unitario como traducción cuántica de la exponencial compleja, sin embargo sólo cumple media unitariedad, es decir

IEE =+ , pero IEE ≠+ (por ejemplo, 0=vacíoE ). Por ello se suele decir que no

hay un operador sencillo de fase con todas las propiedades deseables. No obstante los autoestados de E (estados de fase) permiten una descripción correcta de la fase cuántica. Estados Estados relevantes ligados a las propiedades de la luz representadas por los operadores anteriores son los estados número, estados de incertidumbre mínima en las cuadraturas (coherentes y comprimidos) y estados de fase. Estados número de fotones n

Son los autoestados de operador número de fotones

nnnN = ,

con n entero ∞= L,1,0n . Los operadores creación y destrucción aplicados al estado número crean y destruyen fotones de tal manera que:

11 ++=+ nnna , 1−= nnna .

Un caso singular de estado número de fotones es el estado de cero fotones 0 , llamado estado de vacío. Si aplicamos el operador destrucción sobre 0 , se obtiene:

00 =a . Estados de incertidumbre mínima en las cuadraturas X,Y

Los estados de incertidumbre mínima de las cuadraturas serán aquellos en los que 4/1=∆⋅∆ YX , que corresponden a estados ψ que verifican la siguiente ecuación de autovalores:

( ) ψξψµ =+ YiX

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siendo YiX µξ += un número complejo y µ un número real. Los estados de incertidumbre mínima cumplen:

2µ

=∆X , µ21=∆Y .

Podemos encontrarnos dos clases diferenciadas de estados con incertidumbres mínimas en cuadraturas: los estados coherentes y los estados comprimidos. � Estado coherente α : es un autoestado de la amplitud compleja: ( ) αααα =+= iYXa .

Cumple 1=µ , lo que implica que las incertidumbres de las dos cuadraturas X e Y son iguales:

2/1=∆=∆ YX .

Podemos ilustrar gráficamente un estado coherente como un disco de incertidumbre en el plano amplitud compleja. Se trata de un círculo ya que tanto la parte real como la parte imaginaría de la amplitud compleja fluctúan de igual forma ( 2/1=∆=∆ YX ), lo que implica que 2/1=∆ θX para cualquier θ . Esta es la representación del estado coherente:

Figura 1: Representación de un estado coherente en el espacio de cuadraturas

El estado coherente expresado en la base formada por los estados números se representa como:

∑∞

=

−=

0

2/2

!n

n

nn

eα

αα .

El número medio de fotones de este estado es

2ααα ==

+aan

y la incertidumbre:

ααααα =−=∆=∆ ++++ 2aaaaaaaan siendo 24

αααα +=++ aaaa ,

de tal forma que en un estado coherente se cumple:

nn =∆ .

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Si calculamos la distribución en número de un estado coherente obtenemos la expresión de una Poissionana:

222

!)( ααα

−== e

nnnp

n

.

A efectos de cálculo, para 1>>α la distribución )(np puede aproximarse por una Gaussiana considerando que la variable n es continua en lugar de discreta

( )

∆−−∆≈= 2

22

2)(exp2

1)(nnn

nnnp

πα ,

con 2α=n y α=∆n . Equivalentemente el estado coherente con aproximación

Gaussiana lo podemos expresar como:

( )∑

∆−−

∆≈

n

in nn

nne

n2

2

4)(exp

21 θ

πα ,

donde αθ arg= . � Estado comprimido ξ : es un estado de incertidumbre mínima en las cuadraturas, que cumple 1≠µ , es decir, las incertidumbres en las cuadraturas son distintas YX ∆≠∆ . Se pueden dar dos casos:

1- YX ∆>>∆21

2- XY ∆>>∆21

Esto pone de manifiesto que una de las incertidumbres de cuadratura fluctúa con un valor menor que un 2/1 (incertidumbre del caso coherente) a costa que la otra fluctúe con un valor mayor. La cuadratura que fluctúa con un valor más pequeño, se le conoce como cuadratura comprimida.

Podemos ilustrar gráficamente un estado comprimido como una elipse de incertidumbre en el plano amplitud compleja. Se trata de una elipse ya que la incertidumbre de la cuadratura X es distinta a la de la cuadratura Y, lo que implica que ya no se da que 2/1=∆ θX para cualquier θ . La representación es la siguiente:

Figura 2: Representación de un estado comprimido con YX ∆>∆ en el espacio de cuadraturas

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Para compresiones pequeñas µ≈ 1 es de esperar que el estado comprimido sea similar a uno coherente, por lo que puede funcionar la misma aproximación Gaussiana en la base número, de tal forma que:

( )∑

∆−−

∆≈

n

nnnnin

n2

2

4)(exp

21 θ

πξ , ( )

∆−−∆≈ 2

2

2)(exp2

1)(nnn

nnp

π ,

donde ahora se cumplirá que nn ≠∆ .

Estados de fase

Podemos definir los estados de fase como los autoestados de E . Existen dos tipos, los normalizables (llamados simplemente estados de fase) y los no normalizables (también llamados estados coherentes de fase). � Normalizables ζ : definidos por la ecuación de autovalores ζζζ =E con 1<ζ que en la base número se expresan como

∑∞

=

−=

0

21n

n nζζζ .

Son estados normalizables puesto que 1ζ ζ = . � No normalizables φ : definidos por la ecuación de autovalores φφ φieE = que en la base número se expresan como

∑∞

=

=

021

n

in ne φπφ ,

Son estados no normalizables ya que φ φ → ∞ . Son estos estados los que se utilizan para definir una distribución de probabilidad para la fase )(φp para cualquier estado de luz ψ por proyección 2)( ψφφ =p . La falta de normalización de este estado no supone ningún problema para definir )(φp . De la misma forma, se puede ver que tampoco son normalizables los autoestados de la posición y el momento de una partícula.

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ESTADOS CLÁSICOS Y NO CLÁSICOS CRITERIOS DE CLASICIDAD

En óptica estadística clásica los observables son funciones )(αA de la amplitud compleja α y de su conjugada ∗α . Los estados de luz pueden especificarse por una distribución de probabilidad para la amplitud compleja )(αP de modo que

)()(2 ααα PAdA ll ∫= ,

donde dxdyd =α2 siendo yx, la parte real e imaginaria de α , es decir, iyx +=α . Como )(αP es una distribución de probabilidad, tiene que ser positiva y normalizada:

0)( ≥αP , 1)(2=∫ ααPd .

En el caso cuántico vale una expresión similar donde el papel de α lo juegan los estados coherentes α (esencialmente es el llamado teorema de equivalencia óptica). Para cada estado ψ existe una )(αP tal que

)(ˆˆ 2 ααααψψ PAdA ll ∫= ,

donde )(αP se llama función P del estado ψ y siempre está normalizada. No obstante hay diferencias fundamentales entre el caso clásico y el cuántico:

i) Las propiedades de αα lA suelen ser muy distintas de las de )(αlA . Por ejemplo 22 ˆˆ αααα AA ≠ mientras que trivialmente [ ]22 )()( αα AA = .

ii) En óptica cuántica no está garantizado que )(αP sea positiva o que sea incluso una función (es decir, puede ser más singular que la delta de Dirac).

Esta última patología sirve para distinguir estados clásicos de cuánticos. De esta

forma podemos definir estados que no son clásicos como aquellos en los que )(αP no es positiva o no es una función. Algunos estados no clásicos típicos son los estados número, los estados comprimidos, el estado gato de Schrödinger coherente y los estados de fase. Criterios de clasicidad

La determinación experimental de la función P es complicada. Puede obtenerse indirectamente a través de una serie compleja de medidas homodinas y cálculos matemáticos (tomografía cuántica) lo que la hace sensible a errores prácticos. Sin embargo, existen otras formas más sencillas que nos revelan la no clasicidad de los estados. Por ejemplo, podemos medir algún observable del que sabemos que valores no

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están permitidos para estado clásicos. Dos criterios típicos que involucran ambos la varianza de la estadística de un observable son: � Estadística de número sub-Poissoniana: Si la incertidumbre en el número de fotones aa+∆ es menor que la raíz cuadrada del número medio aaaa ++ <∆ la función P es singular y el estado es no clásico. Se dice que el estado presenta estadística sub-Posissoniana. � Compresión de cuadraturas: Si la incertidumbre en una cuadratura es menor que la del vacío la función P es singular y el estado es no clásico. Se dice que el estado presenta compresión de las cuadraturas o que es un estado comprimido. En nuestro caso, utilizaremos unos tests de no clasicidad que son mucho más sencillos, flexibles y robustos que la tomografía o la varianza. Utilizaremos las cotas clásicas de la probabilidad. Cotas clásicas de la probabilidad

El método consiste en encontrar la cota superior para la probabilidad de cualquier suceso satisfecha por todos los estados clásicos (es decir, por todos los estados con función P positiva y no más singular que la delta). Si algún estado viola esa cota, es necesariamente un estado no clásico.

Derivamos la cota. Sea )(λp la probabilidad del resultado λ de cierta medida realizada en el estado ψ

2)( ψλλ =p .

Reemplazando lA por λλ en la fórmula )(ˆˆ 2 ααααψψ PAdA ll ∫= tenemos que

)()( 222 ααλαψλλ Pdp ∫== .

Llamamos maxα al valor de α que hace máximo 2αλ , es decir que

2max

2 αλαλ ≤ .

Para estados clásicos )(αP es una función positiva por lo que

)()( 2max

2 ααλααλ PP ≤ ,

y

2max

22max

22 )()()( αλαααλααλαλ =≤= ∫∫ PdPdp .

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El resultado final es que para estados clásicos la probabilidad del suceso λ nunca puede superar el valor máximo clásico )(λmcp

)()( λλ mcpp ≤ con 2max)( αλλ =mcp .

Si un estado viola esa cota, es decir si )()( λλ mcpp > sólo puede ser debido a que su función P no es positiva o es más singular que la delta y por lo tanto se trata necesariamente de un estado no clásico. Las ventajas de este criterio frente a otros criterios son principalmente tres: � Sencillez. Desde un punto de vista experimental este método no requiere ningún cálculo ni tratamiento de datos. Sólo hay que hacer la medida correspondiente y contar el número de veces que aparece el resultado λ para determinar )(λp y comparar con

)(λmcp . Los criterios de estadística sub-Poissoniana o compresión requieren cálculos más complejos como el cálculo de la varianza, que depende de la probabilidad de todos los resultados λ , no de uno solo. � Flexibilidad. Este criterio puede aplicarse de forma igual de sencilla para la medida de cualquier suceso. Es mucho más difícil decir cuándo la varianza de un observable será incompatible con la óptica clásica. � Robustez. Debido a su sencillez este método es muy poco sensible a imperfecciones experimentales comparado con la tomografía o la varianza. Al depender la varianza del valor medio de 2λ se sobreestiman mucho los valores de λ altos que normalmente tienen poca probabilidad y por lo tanto deberían ser poco importantes. Probabilidades pequeñas se determinan experimentalmente con mayor error por lo que el cálculo de la varianza amplifica errores experimentales.

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COTAS A LA ESTADÍSTICA DE FASE CON ESTADOS DE FASE φ

En este apartado se particularizan las cotas clásicas a la probabilidad presentadas

en la sección anterior a la estadística de fase obtenida por proyección sobre los estados de fase φ (esto es φλ = , en la nomenclatura de la sección anterior). El objetivo es calcular el máximo valor de 2)( αφφ =p para cada φ variando α con

)exp( θαα i= . Calculamos la distribución de los estados clásicos coherentes sobre los estados de fase:

( )[ ]2

0

22 exp!2exp2

1)( ∑∞=

−−⋅

−==

n

n

nin

p θφααπαφφ .

)(φp no tiene una solución analítica sencilla. Sin embargo, para 1>>α podemos realizar una doble aproximación: (i) tratar n como una variable continua reemplazando el sumatorio por una integral, (ii) aproximar la distribución Poissoniana de número de fotones en el estado coherente por una Gaussiana, de esta manera la distribución que obtenemos es:

[ ] ( )2

2

2

4)(exp)(exp22

1)(

∆−−⋅−−∆≈ ∫∞

∞− nnnnidnnp θφππφ ,

con 2α=n y α==∆ nn , que sí es resoluble de una forma analítica. El resultado

es:

[ ]222 )()(2exp2)( θφπαφφ −∆−⋅∆⋅== nnp ,

que es una distribución Gaussiana en fase:

∆−−⋅∆== 2

22

2)(exp2

1)(φθφ

φπαφφp , n21=∆φ .

Comprobamos que el valor máximo de la distribución se cumple para φθ = ya que se nos anula el término de la exponencial. El resultado es la siguiente cota superior a la probabilidad para estados coherentes de un número medio de fotones n :

πφ np 2)( ≤ .

Así, podemos concluir que (i) la cota es la misma para todo φ , (ii) es proporcional a α=n . Por ello, cuando variamos n resulta que no hay cota superior para el valor de )(φp valida para todos los estados coherentes a la vez y no podemos

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encontrar la cota que nos proponíamos en un principio (en la siguiente sección discutimos una explicación gráfica de este resultado). No obstante, podemos soslayar esta dificultad definiendo una cota condicionada al número medio de fotones n del estado cuya clasicidad esté bajo examen,

π

nnpmc2)( = ,

en lugar de una cota absoluta. La demostración de que esta cota condicionada funciona se basa esencialmente en que para una variable aleatoria 2xx ≤ aplicado a α=x , se cumple

( ) παααπαφααφ nPdPdp 2)(2)( 222 ≤⋅≤⋅⋅= ∫∫ ,

donde 0)( ≥αP y n representa el número medio de fotones en el estado ψ cuyas propiedades de fase se están examinando.

Interpretación gráfica

En este apartado ofrecemos una ilustración gráfica muy sencilla de los resultados de la sección precedente. Como vimos en apartados anteriores, un estado coherente se puede ilustrar gráficamente como un disco en el plano de la amplitud compleja. La incertidumbre de la parte real y de la parte imaginaria fluctúan con el mismo valor igual a ½. La representación es:

Figura 3: Representación de un estado coherente en el espacio de cuadraturas

donde el módulo de la amplitud compleja representa la distancia del centro del estado coherente al origen y la fase θ representa el ángulo que forma el estado coherente con el eje X . Una representación de la incertidumbre en la fase nos lleva a la siguiente figura:

Figura 4: Representación de la incertidumbre de fase de un estado coherente en el espacio de cuadraturas

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Comprobamos que la incertidumbre en la fase (generalmente un valor pequeño para los casos de interés) es la anchura del disco de incertidumbre (que en este caso, por ser coherente vale ½) dividido por el módulo de la amplitud compleja, es decir,

nX

21

21 ==∆=∆ ααφ θ .

que coincide exactamente con la anchura de la distribución Gaussina en fase obtenida en la sección precedente. Como la distribución está normalizada, cuanto mayor es el número de fotones más estrecha se hace la Gaussiana, alcanzado ésta un valor mayor en su máximo

. )(2121)( npnp mc==

∆== πφπθφ .

Es decir, que con un estado coherente podemos tener una fase tan bien definida como queramos aumentando su número medio de fotones n (este es esencialmente el límite clásico) de modo que 0→∆φ y ∞→= )( θφp . Por lo tanto no existe cota superior a

)(φp válida para todo estado. No obstante existe una cota superior )(npmc si fijamos el número medio de fotones, siendo la cota distinta para cada n .

Figura 5: Distribución Gaussiana en fase. El máximo es la cota mcp

Por lo tanto, los estados con un número medio de fotones n cuyas distribuciones de fase sobrepasen la línea mcp , es decir, que cumplan que )()( npp mc>φ para algún valor de φ , serán indiscutiblemente estados no clásicos en la fase.

Comprobación de la aproximación

Los resultados a los que hemos llegado son bastantes consistentes. Sin embargo, hemos llegado a ellos aproximando la distribución de probabilidad como si el número de fotones fuera continuo en vez de discreto y aproximando la Poissoniana en número por una Gaussiana. Aunque analíticamente no se puede obtener la solución de la distribución de probabilidad )(φp exacta, sí podemos representar su evaluación numérica y comprobar en mayor o menor medida el error que cometemos al realizar las aproximaciones comentadas.

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El valor máximo de la cota se obtiene para θφ = . Sustituimos en la distribución de tal manera que obtenemos la cota exacta

2

0

2

!2exp21 ∑∞

=

⋅

−=

n

n

mc np

αα

π, n=α ,

Podemos comparar una evolución numérica de esta expresión con la cota πnpmc 2= que hemos calculado con las aproximaciones Gaussiana y número continuo. Representamos ambas distribuciones en la misma gráfica y obtenemos la siguiente figura:

Figura 6: Distribución de la cota exacta y con aproximación Gaussiana y número de fotones continuo

Se observan que ambas distribuciones prácticamente se superponen. Podemos afirmar que la cota aproximada es una buena aproximación de la cota exacta. Además, para 14>n la cotas difieren un valor menor del 1%. Cabe la posibilidad que para valores pequeños del número medio de fotones, nuestra cota no sea una buena aproximación. Hacemos una representación de la gráfica anterior, pero ampliada en un rango de número medio de fotones menor que 0,7. Obtenemos la siguiente figura:

Figura 7: Zoom de la figura 6

Mientras que la cota aproximada corta en el origen, la exacta alcanza un valor de probabilidad cercano a 0,2. Este pequeño error es un dato relevante que habrá que tener en cuenta cuando estudiemos casos prácticos con número de fotones próximos a cero.

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COTAS CLÁSICAS A LA PROYECCIÓN SOBRE ESTADOS COHERENTES DE FASE ζ

Por completitud vamos a investigar las posibles cotas clásicas a la proyección

sobre los estados de fase normalizables ζ :

( )2

0

2/22

!1

2 ∑∞=

−−==

n

nn

nep ζαζαζζ α .

Con la aproximación de número de fotones continuo, y aproximando la distribución de número del estado coherente en forma de Gaussiana (con

)exp( θαα i= y α==∆ nn ) obtenemos:

( ) [ ] ( )

∆−−−−∆

−= ∫∞∞−

2

22

4)(exp)(exp2

1nnnindnnp nζθφπ

ζζ ,

que es resoluble de una forma analítica. El resultado es:

( ) [ ] [ ]ζθφζζπζ 222222 ln2)()(2exp1)(22 nnnp n ∆+∆−−⋅−⋅∆⋅= .

Podemos calcular la cota clásica a )(ζp hallando el valor en el que el número medio de fotones n y la fase θ maximizan 2)( αζζ =p . El valor máximo se obtiene para una fase φθ = . Para el número de fotones tenemos en cuenta la relación

nn =∆ . Derivando ( )ζp con respecto a n obtenemos un valor máximo para:

)ln1(1ln41

ζζ +

=n .

Si se sustituye estos valores en la distribución, llegamos a la cota:

+−⋅ −⋅

+

⋅=

+

ζζζζζζ

πζζζ ln)ln1(2

1exp||1)ln1(1ln

12)()ln1(1ln2

1

2mcp

.

Alternativamente, la cota la podemos expresar como una función del número de fotones ζζ aaN +

= en el estado de fase ζ teniendo en cuenta que:

NN+

=1

2ζ

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Con esta expresión es fácil comprobar que para número de fotones en fase alto ( ∞→N ) implica 1→ζ . Podemos aproximar de nuevo la cota clásica y el resultado final al que se llega es:

Neepmc

⋅=

⋅

−=

πζζπζ 2)1(2)( 21

2

En principio, los estados ζ tienden a ser los estados φ (es decir, a describir mejor la variable fase) en el límite ∞→N . No obstante, la diferente normalización de estos estados hace que el comportamiento de las cotas clásicas sea muy distinto. Por ejemplo, hemos comprobado que para el caso ζ hay una cota general que tiende a cero 0)( →ζmcp cuanto mejor estado de fase es ζ . A diferencia de la cota obtenida para )(φp , ésta es universal en el sentido de no estar condicionada a ningún número medio de fotones para el estado cuya clasicidad se examina. Vale para todos los estados a la vez. Comprobación de las aproximaciones

Comprobación aproximación número continuo y Gaussiana para 1>>α En este apartado comprobamos numérica y gráficamente la validez de las aproximaciones realizas comparando los valores aproximados y numéricos para

2)( αζζ =p .

Las distribuciones exacta es

( )2

0

2/22

!1

2 ∑∞=

−−==

n

nn

nep ζαζαζζ α ,

y la aproximada a una Gaussiana con número de fotones continuo es

( ) [ ] [ ]ζθφζζπζ 222222 ln2)()(2exp1)(22 nnnp n ∆+∆−−⋅−⋅∆⋅= .

La siguiente figura muestra 2)( αζζ =p en función del número medio de fotones en el estado coherente 2

α=n para φθ = y 50=N :

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Figura 8: Distribución exacta y distribución con aproximación Gaussiana. El máximo es la cota )(ζmcp

En este caso, el error que se comete en la aproximación es menor del 2% para 15>n . Comprobamos numéricamente que se obtiene un máximo en torno a

25)50( ==Nn y con una probabilidad 3,0)50( ≈=Npmc , mientras que los valores que dan las fórmulas aproximadas para estos valores son 5,25)50( ==Nn y

304,0)50( ==Npmc que se aproximan bastante bien a los valores numéricos. En vista de los resultados, podemos afirmar que incluso para valores de N relativamente bajos prácticamente no se cometen errores al hacer la aproximación. Comprobación de la aproximación 1→ζ

Para llegar a la cota Nepmc ⋅= πζ 2)( hemos considerado la aproximación de 1→ζ para un número de fotones en el estado de fase ζ alto. Si representamos la

cota sin aproximación 1→ζ y la cota con la aproximación de N grandes, llegamos a la siguiente figura:

Figura 9: Cota sin aproximación y cota con aproximación 1→ζ

Para N pequeños la aproximación no se ajusta muy bien, pero para número de fotones altos, las dos cotas se superponen. Nos encontramos que para 50>N el error que se comete es menor del 1% por lo que la aproximación funciona correctamente para los casos de interés.

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EJEMPLOS

En este último apartado vamos a estudiar si estados no clásicos notables cumplen la condición de clasicidad en fase. Ejemplo 1: Estado número n • Calculamos la distribución de fase de los estados número por proyección sobre

los estados de fase φ :

( ) πφφ212

== npn .

El resultado es una constante independiente del número de fotones n. Esto indica que en este estado la fase es completamente aleatoria, lo que es consistente con que la incertidumbre en número sea nula (implica máxima incertidumbre en fase) siendo número y fase variables complementarias. Si lo comparamos con la cota correspondiente nos damos cuenta que:

( ) πφ nnpp mcn

2)( =< ,

excepto para el caso que 0=n . Sin embargo, como vimos en apartados anteriores, para un número medio de fotones tendiendo a cero, la expresión aproximada para la cota no es válida puesto que sólo es una buena aproximación para un número medio de fotones elevado. Además, para 0=n , el estado es el vacío, que es un estado coherente y por lo tanto clásico. Puede verse que si evaluamos numéricamente la cota exacta, sin aproximaciones, el criterio de clasicidad se cumple siempre. Por tanto, concluimos que n es un estado clásico en fase por proyección sobre estados de fase no normalizables. • El caso de proyección sobre un estado de fase normalizable la probabilidad es:

( ) n

n np 222 1 ζζζζ ⋅−== ,

siendo N

N+

=1

2ζ , con lo que el resultado es dependiente del número de fotones n. Si lo comparamos con la cota clásica correspondiente obtenemos: ( ) )(ζζ mcn pp < ,

indistintamente del número de fotones n. Por lo tanto, el estado número también es clásico en fase por proyección en estados de fase normalizables. Ejemplo 2: Estado comprimido

Los estados de compresión débil satisfacen las aproximaciones Gaussiana y número continuo como un estado coherente pero con nn ≠∆ . Esto conduce a una

21

distribución en fase Gaussiana cuya varianza es inversamente proporcional a la incertidumbre en número:

[ ]222 )()(2exp2)( θφπξφφξ −∆−⋅∆== nnp .

Según la relación entre el número medio de fotones con su incertidumbre podemos encontrar dos situaciones:

� Caso Subpoissoniano en número: nn <∆

� Caso Superpoissoniano en número: nn >∆

Hacemos una representación de ambos estados:

Figura 10: a) Distribución de fase del estado comprimido Subpoissoniano en número por proyección sobre los estados de fase no normalizables. La distribución está siempre por debajo de la cota. El estado es clásico en fase b) Representación en el espacio de cuadraturas de un estado comprimido Subpoissoniano en número c) Distribución de fase del estado comprimido Superpoissoniano en número por proyección sobre los estados de fase no normalizables. La distribución sobrepasa la cota. El estado es no clásico en la fase. d) Representación en el espacio de cuadraturas de un estado comprimido Superpoissoniano en número

La incertidumbre en número de un estado comprimido Subpoissoniano es menor

que la de un estado coherente por lo que la incertidumbre en fase es mayor, y por ser Gaussiana, el valor máximo de )(φp será menor. Esto implica que su distribución de fase está por debajo de la cota mcp para todo φ , por lo tanto el estado comprimido Subpoissoniano en número es clásico en fase.

Por el contrario, la incertidumbre en número de un estado comprimido Superpoissoniano es mayor que la de un estado coherente, la incertidumbre en fase es menor, con lo que la Gaussiana en fase )(φp es más estrecha y más alta que la de un estado coherente. La distribución sobrepasa la cota mcp para algunos valores de φ en el entorno de θφ = . El estado comprimido Superpoissoniano en número es no clásico en fase.

22

Un caso particular de estado comprimido es el vacío comprimido r para el cual no valen las aproximaciones de Gaussiana y número continuo. Su expresión exacta es:

( ) nren

n

rr nin

nn

θ22

02 tanh!4

)!2(cosh1 ∑∞

=

= ,

con un número medio de fotones rn 2sinh= . La distribución de probabilidad del vacío comprimido como proyección del estado de fase es:

( )2

2

02

)(22 tanh!4

)!2(cosh1

21

)( rnne

rrpn

nn

ni

r∑∞=

−

==

θφπφφ

Se denomina vacío por tener un valor medio nulo de la amplitud compleja 0=a . Si hacemos una representación conjunta del máximo de )(φrp (que se obtiene para θφ = ) y de la cota clásica sin aproximaciones )(npmc en función del número medio de fotones obtenemos las siguientes gráficas:

Figura 3: a) Máxima probabilidad de fase del estado vacio comprimido y de la cota exacta (sin aproximaciones) en función del número medio de fotones. b) Zoom de la imagen a) para número medio de fotones pequeño.

Comprobamos que el estado vacío comprimido es un estado de fase no clásico para número medio de fotones superiores a 1.8, porque presenta probabilidades por encima de la cota. Solamente es de fase clásica para un número medio de fotones tal que

8,10 << n .

Ejemplo 3: Estado gato Schrödinger coherente ( )αα σ −+ ieS • La proyección sobre el estado de fase no normalizable es:

( ) ( ) ( )δσαφαφαφαφαφαφφ σ −−⋅+−+=−+=∗ cos2 222222 SSSeSp igs

23

donde ( )∗−⋅= αφαφδ arg . Para 1>>α el término interferencial ∗−⋅ αφαφ

es despreciable y la constante de normalización es aproximadamente 21=S . Puede verse que en este límite )(φp consta de dos picos de la misma altura centrados en αarg y )arg( πα + y de la mitad de altura del pico del estado coherente α , por lo que: ( ) mcgs pp ≤φ . • La probabilidad para la proyección sobre el estado de fase normalizable

( ) ( ) ( )δσαζαζαζαζαζαζζ σ −−⋅+−+=−+=∗ cos2 222222 SSSeSp igs

donde ( )∗−⋅= αζαζδ arg . Para 1>>α sucede exactamente lo mismo que en el caso anterior. El término interferencial es despreciable y la constante de normalización es aproximadamente 21=S por lo que )(φp consta de dos picos de la misma altura centrados en αarg y )arg( πα + y de la mitad de altura del pico del estado coherente α , y se cumple que:

( ) ( )ζζ mcgs pp ≤ .

Concluimos que el estado gato de Schrödinger es siempre clásico en fase independientemente si proyectamos sobre estados de fase o coherentes de fase. Ejemplo 4: Estado de fase normalizable ζ

Calculamos la distribución de fase de un estado coherente de fase ζ para ζφ arg= :

( ) ( )( )ζπ

ζζφφζ−

+==

1212

p .

Comparamos con la cota clásica correspondiente con 2

2

1 ζζ−

=n :

( )22

12

ζζ

π −

=mcp .

No obstante, para mayor exactitud, representamos en la siguiente figura para número medio de fotones pequeño una evaluación numérica de la expresión exacta para ( )ζφζ arg=p y la cota en función de ζ . Obtenemos las siguientes gráficas:

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Figura 11: a) Distribución de probabilidad de ( )φζp y mcp en función de ζ . b) Zoom de la imagen a) para ζ

pequeños.

Observamos que ( )ζφζ arg=p está siempre por encima de la cota, es decir, se cumple que: ( ) mcpp >φς .

Concluimos que ζ es un estado no clásico para la fase φ .

25

CONCLUSIONES

En este trabajo hemos querido buscar un límite que nos separe los estados clásicos de aquellos que no lo son. Para ello, hemos utilizado las cotas clásicas a la probabilidad. Este criterio se diferencia de otros por su sencillez, flexibilidad y robustez. Para ello calculamos el máximo de la probabilidad de fase de un estado coherente clásico mcp para proyección sobre estados de fase y coherentes de fase. Aquellos estados Ψ que cumplan que ( ) mcpp <φ para algún valor de φ son estados clásicos en fase, mientras que aquellos que cumplan ( ) mcpp >φ son inevitablemente estados no clásicos en fase (y análogamente para la proyección sobre estados coherentes de fase).

Hemos calculado las cotas clásicas a la estadística por proyección en estados de

fase. Con una aproximación Gaussiana y número continuo, el resultado obtenido es:

π

nnpmc

2)( =

que depende del número medio de fotones de Ψ .

Por completitud, hemos calculado las cotas clásicas a la proyección sobre estados coherentes de fase. Con aproximación Gausssiana, número de fotones continuo y 1→ζ , el resultado obtenido es:

21

2 )1(2)(ζζπζ

⋅

−=

epmc

que a diferencia del caso anterior, tiene carácter universal ya que es independiente del numero de fotones de Ψ . Hemos comprobado que las aproximaciones realizadas funcionan correctamente para los casos de mayor interés. Hemos mostrado que los resultados son consistentes y pueden ser utilizados para futuros estudios y aplicaciones sobre las propiedades no clásicas en la fase.

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