Propiedades del estado de actividad espontánea

Buscamos reproducir un conjunto de propiedades:

• IRREGULARIDAD DEL DISPARO NEURONAL

• CORRELACIONES ENTRE PARES DE NEURONAS

• EL RATE DEL ESTADO DE ACTIVIDAD ESPONTANEA ES BAJO

• EL ESTADO DEBE SER ESTACIONARIO, el rate no depende del tiempo

TEORIA DE CAMPO MEDIO

¿Cómo estudiar matemáticamente el comportamiento de una red?

Ante todo queremos predecir el rate de una población homogénea de neuronas

Pero también la variabilidad de la respuesta en espigas (CV) y las correlaciones entre pares de neuronas

problemas con las simulaciones.

Los valores de los parámetros de una red de neuronas no son bien conocidos. En simulaciones se buscan valores tales que reproduzcan el fenómeno deseado y se encuentren dentro del “rango fisiológico”.

Dado el número de parámetros la búsqueda de sus valores para ser usados en simulaciones es laboriosa. Una técnica analítica proporciona información sobre la zona en el espacio de los parámetros donde se produce el fenómeno que se desea describir.

Por otra parte, en simulaciones no es posible considerar redes con un número de neuronas comparable a las de, por ejemplo, una columna cortical . Al incrementar su número en la red, los requerimientos de memoria aumentan según el número de conexiones, por ejemplo como el cuadrado del número de neuronas.

Por estos motivos es deseable disponer de una herramienta teórica fiable que nos permita predecir sus valores. Los resultados obtenidos con esa técnica deberían reproducir las observaciones experimentales. La teoría de campo medio es la técnica que se ha desarrollado para este fin.

Esta teoría considera el límite de redes muy grandes (N infinito)

POR QUÉ NECESITAMOS UNA SOLUCIÓN MATEMÁTICA

Modelo de integración y disparo (LIF), en versión CUBA (CUrrent-BAsed):

Con una corriente:

La acción de una espiga sobre una neurona en reposo produce un EPSP:

0 si t<0

1 si t>0

Las neuronas

Hipótesis sobre la corriente recurrente

Cada neurona recibe entradas sinápticas de una población excitadora y otra inhibidora

La validez de estas hipótesis debe ser verificada: no es evidente que se cumplan si las neuronas son parte de una red recurrente

Suponemos que: • cada célula dispara según un proceso de Poisson,

• las neuronas disparan en modo independiente.

Media y correlación de la corriente

poblaciones homogéneas

Dinámica del potencial de membrana

Ante todo recordemos que:

A) Por unidad de tiempo una neurona recibe, en media,

espigas de la población E y de la I.

B) Cada espiga produce un PSP pequeño, por ejemplo:

~ 0.2 mV

Para facilitar el tratamiento matemático del problema cambiamos el proceso puntual por otro continuo, con la misma estadística de primer y segundo orden (media y varianza).

Dado que la ecuación para V es estocástica, nos interesará conocer la probabilidad de que, en una población de neuronas independientes, V(t) tome un cierto valor.

Inicialmente:

Consideramos una población de neuronas idénticas. La fracción de ellas que luego de un tiempo dt toma un valor la indicamos con:

Coeficiente de difusión

Ecuación de Fokker-Planck

Valor estacionario del potencial en ausencia de fluctuaciones

Varianza del potencial en ausencia de umbral

Luego de un cierto desarrollo matemático y de introducir la aproximación de difusión, llegaremos a la ecuación diferencial:

por un proceso de Ornstein-Uhlenbeck:

continuo

(ruido blanco)

A esta misma ecuación:

se llega a partir del sistema:

que es más fácil de estudiar analíticamente

La derivación del resultado está planteada en una serie de ejercicios.

Ahora vemos los pasos más relevantes para llegar del sistema original a la ecuación de Fokker-Planck

Dado que el sistema no tiene memoria (proceso markoviano)

Si dt es muy pequeño, la neurona no recibe más de una espiga:

Si en dt no hay espigas

Si hay una espiga E

Si hay una espiga I

, dondeUsamos

todo en la primer ecuación, desarrollamos en dt/τ _m pequeño e integramos

. Reemplazamos

Si dt 0

Los argumentos de la densidad de probabilidad están desplazados de V en cantidadespequeñas. Desarrollando en Taylor:

Los “momentos infinitesimales”:

Si los PSP son pequeños necesitamos muy pocos términos

Volviendo a poner no nulo:

Valor estacionario del potencial en ausencia de fluctuaciones

Varianza del potencial en ausencia de umbral

Los “momentos infinitesimales”:

donde, como veremos en un ejercicio:

APROXIMACIÓN DE DIFUSIÓN

Nos quedamos sólo con los dos primeros momentos. Se supone que:

y

son pequeños

son grandes

En modo tal que los momentos superiores al segundo se puedan despreciar

Ecuación de Fokker-Planck

¿Para qué problema esta ecuación resulta ser exacta?

La ecuación de Fokker-Planck es exacta si se reemplaza la ecuación estocástica original:

puntual

Notar que también puede escribirse:

por un proceso de Ornstein-Uhlenbeck:

continuo

(ruido blanco)

Solución de la ecuación de FP sin umbrales

Una gaussiana, cuya media y varianza en el estado estacionario son:

y

En una red recurrente en el estado estacionario las propiedades estadísticas de las neuronas pre-sinápticas deben ser idénticas a las de la respuesta de la neurona, ya que todas son parte de una misma red.

Para poder utilizar las ecuaciones de la respuesta neuronal obtenidas, el estado estacionario de la red debe satisfacer las hipótesis con las que se derivaron esas ecuaciones.

AUTO-CONSISTENCIA

Una idea básica:

Hipótesis presentes en la mayoría de los modelos

• las espigas que produce una neurona siguen una estadística de Poisson

• las fluctuaciones de las entradas a diferentes neuronas deben ser independientes

• la probabilidad de que se produzca una espiga en la red debe ser independiente del tiempo. El estado estacionario será estable, por ejemplo con respecto a la aparición de oscilaciones en la red.

Primero veremos algunos casos que han sido estudiados por varios grupos, luego discutiremos la consistencia de las hipótesis.

A. Discutiremos varios casos,

A1. Red totalmente conectada pero con acoplamientos débiles. Ecuación de auto-consistencia A2. Red con conectividad esparsa pero con acoplamientos fuertes. Noción de balance. A3. Red con C y J´s finitos.

B. Notaremos que en ninguno aparece un estado de actividad persistente irregular.

C. Notaremos que las correlaciones entre pares son pequeñas, tanto para la respuesta en espigas como para las corrientes (por hipótesis …)

D. Veremos posibles caminos para resolver estas cuestiones, ésto nos llevará a un tratamiento que integra algunos de los casos mencionados en A.

Cuál es el régimen interesante ?

El análisis en cada caso procederá teniendo en cuenta que la media de la corriente debe ser finita, y que el ruido (varianza de la corriente) puede venir de fuera y/o ser generado por la misma actividad de la red recurrente.

¡Todas las neuronas de una misma población reciben la misma entrada!(suponemos que el valor del acoplo sólo depende del tipo de poblaciones )

Caso 1: red totalmente conectada,

Queremos que la media de la corriente (“campo medio”) sea finita PSP ~

(los otros momentos son aun más pequeños)

Entonces ~ la corriente recurrente es determinista

Auto-consistencia para una población con conectividad completa

Relación f-I

Estado estacionario

Ecuación de auto-consistencia:

Curva f/I

Caso 2: red balanceada

Sólo una población?: la neurona está o en saturación o en silencio.

Veamos qué ocurre si el ruido depende de la actividad de la red. Entonces la varianza de la corriente debe ser finita

Ahora la media crece con C !!:

Entonces consideramos un sistema con dos poblaciones, una excitadora y otra inhibidora, y vemos si es posible obtener una media finita.

(diverge a + o a – infinito, según el tipo de acoplo)

La red no genera correlaciones

Definimos:

Los momentos infinitesimales son:

n=3) Los momentos con n>2 se anulan, y la ecuación de FP es exacta:

n=1) La neurona puede estar activa y fuera de saturación si la excitación y la inhibición están en balance

L

n=2) La red genera su propio ruido

Veamos esto con mas detalle. Cada población de la red también recibe del exterior

trenes Poisson con rate . Definimos:

Medias de las corrientes:

Sistema lineal. Solución única para los rates de la red recurrente:

Para que sean finitas:

No hay biestabilidad

RESUMEN DEL CASO 2:

La red es un generador de ruido, de modo que le estado es irregular, pero sólo tiene una solución (e.g. el estado de actividad espontánea)

Caso 3: conectividad y acoplos finitos

Pero suponemos que se cumple:

La aproximación de difusión no es exacta, pero podría ser bastante buena

En este caso el segundo momento no es nulo y depende de la actividad de la red

Ecuación de auto-consistencia:

HIPOTESIS:(1) las neuronas disparan según Poisson (2) son independientes.

dos poblaciones: aproxima una red balanceada

En este caso no podemos decir que , pero si los acoplos son pequeños

esta red podría aproximar a una red balanceada.

Ecuaciones de auto-consistencia

Poisson

Los estados de esta red han sido estudiados en :

D Amit & N Brunel (1997) Cerebral Cortex 7: 237

N Brunel (2000) J Comput Neurosci 8: 183

Muy brevemente, vemos la red tratada en N Brunel (2000) J Comput Neurosci 8: 183

dinámica

conectividad

acoplos

Media y varianza de la corriente total:

Debido al atraso en la transmisión de la espiga el rate aparece en un tiempo anterior.

ejemplo que toma las entradas a la inhibición y la excitación idénticas

Es posible un estado de esta red con rates bajos (~ 5 Hz) y CV alto (~ 1) ?

• La inhibición recurrente domina a la excitación recurrente• las entradas externas superan el umbral

(recordar que en este modelo no hay tiempos sinápticos)

Debe cumplirse:

fin