propiedades de sistemas de redes de petri.pdf

Tcnicas de Anlisis para Redes de Petri

Ulises Martinez Araiza

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www.ulisesmartinez.com


2 Ulises Martinez Araiza

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Contenido Contenido ............................................................................................................................... 2

1. Las redes y sus propiedades ............................................................................................... 3

1.1 Definiciones bsicas sobre redes: ................................................................................. 3

1.2 La matriz de incidencia de una red ............................................................................... 5

1.3 El lema del intercambio ................................................................................................ 6

2. Sistemas de redes de Petri y sus propiedades ..................................................................... 7

2.1 Vivacidad ...................................................................................................................... 7

2.2 Acotamiento .................................................................................................................. 7

2.3 Redes bien formadas ..................................................................................................... 8

3. P-invariantes y T-invariantes .............................................................................................. 9

3.1 P-invariantes ................................................................................................................. 9

3.2 T-Invariantes ............................................................................................................... 10

3.3 Invariantes semi-positivos y mnimos ........................................................................ 11

4. Referencias ....................................................................................................................... 12



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1. Las redes y sus propiedades 1.1 Definiciones bsicas sobre redes:

Definicin 1.4 Redes, pre-conjuntos, post-conjuntos y subredes

Una red es una tripleta (, , ), donde y son dos conjuntos disjuntos y finitos, y es una relacin en tal que ( ) = ( ) = .

Los elementos de son llamados lugares y se representan grficamente como crculos. Los elementos en son llamados transiciones, y son representadas por cajas. es la relacin de flujo de la red, representada por flechas desde los lugares a las transiciones

o desde las transiciones a los lugares. es el conjunto de nodos o elementos de .

Dado un nodo de , el conjunto = {|(, ) } es el pre-conjunto de , y el conjunto = {|(, ) } es el post-conjunto de . El pre-conjunto (post-conjunto) de un lugar son sus transiciones de entrada (salida). El pre-conjunto (post-conjunto) de

una transicin son sus lugares de entrada (salida).

Dado un conjunto de nodos de , definimos = y = . Una tripleta (, , ) es una subred de si , y

= (( ) (( ))

Si es un conjunto de elementos de , entonces la tripleta ( , , ( ) es una subred de , llamada la subred de generada por .

Usaremos la siguiente convencin: si es una subred de una red y es un nodo de , entonces y deotan el pre-conjunto y post-conjunto de en la red .

Ilustracin 1: Ejemplo de una red de Petri1

1 Ilustracin tomada de [1].



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Definicin 1.5 Caminos y Circuitos

Un camino de una red (, , ) es una secuencia no vaca 12 de nodos la cual satisface (1, 2), , (1, ) . Un camino 12 se die que lleva de 1 a .

Un camino que lleva de un nodo a un nodo es un circuto si ningn elemento ocurre ms de una vez en el mismo y (, ) .

Una red (, , ) se dice que es dbilmente conexa (o conexa) si cada dos nodos , satisfacen (, ) ( 1).

(, , ) es fuertemente conexa si (, ) , esto es, cada par de nodos , existe un camino que lleve desde hasta .

Proposicin 1.6 Caracterizacin de conexidad y fuerte conexidad

(1) una red (, , ) es conexa si y solo si esta no cae dentro de partes desconectadas, esto es, si y solo si no hay dos subredes (1, 1, 1) y (2, 2, 2) con conjuntos disjuntos no vacios que satisfagan 1 2 = , 1 2 = y 1 2 = .

(2) Una red es fuertemente conexa si y solo si por cada arco (, ) existe un camino que lleve desde hasta (este camino es un circuito por definicin).

Definicin 1.7 Marcados y reglas de ocurrencia

Un marcado de una red (, , ) es un mapeo : . Un marcado se representa por un vector ((1) . . . ()), donde 1, 2, , es una enumeracin arbitraria y fija de .

Un lugar esta marcado en el marcado si () > 0. Un conjunto de lugares esta marcado alguno de sus lugares est marcado.

El nmero total de marcas en un conjunto de lugares es denotado por (), esto es, () es la suma de todas las () para .

La restriccin de un marcado a un conjunto de lugares se denota como |.

El marcado nulo es el marcado el cual mapea cada lugar a 0.

Un marcado habilita una transicin si el marca cada lugar en . Si esta habilitada en , entonces esta puede ocurrir, y su ocurrencia lleva a un marcado

sucesor (escrito como ) el cual esta definido para cada lugar como:

() = {

() () 1

() + 1



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Una marca es removida por cada lugar en el pre-conjunto de y se agrega una marca a cada lugar en el post-conjunto de .

Un marcado se dice que est muerto si no habilita transiciones en la red.

Definicin 1.8 Secuencias de ocurrencia y marcados alcanzables.

Sea un marcado de . Si 11

2

son ocurrencias de transiciones

entonces = 12 es una secuencia de ocurrencias que llevan desde hasta

y se escribe como . Esta nocin incluye secuencias vacas ; tenemos que

para todo marcado .

Escribimos , y llamamos a un marcado alcanzable desde , si

para algn marcado (si es finito) o (si es infinito).

Proposicin 1.9 Habilitacin de secuencias de ocurrencia

Una secuencia (finita o infinita) de transiciones est habilitada en el marcado si y solo si cada prefijo finito de est habilitado en .

1.2 La matriz de incidencia de una red

Definicin 1.10 Matriz de incidencia

Sea una red (, , ) . La matriz de incidencia : ( ) {1,0,1} de se define por:

(, ) = {

0 (, ) (, ) (, ) (, ) 1 (, ) (, ) 1 (, ) (, )

La matriz de representacin de la matriz de incidencia depende de la enumeracin

{1, , } de lugares y {1, , } de transiciones. La entrada de la -esima fila y la -esima columna de la matriz es entonces ( , ).

El vector columna {1,0,1} de asociada a la transicin es denotada por . De manera similar, el vector fila {1,0,1} asociado a un lugar se denota como .

Definicin 1.11 Vectores de Parikh de secuencias de transiciones

Sea (, , ) una red u sea una secuencia de transiciones finita. El vector de Parikh : de mapea cada transicin de al numero de ocurrencias de en .



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Lema 1.12 Lema de la ecuacin del marcado

Para cada secuencia finita de ocurrencias de una red , se mantiene la

siguiente ecuacin:

= +

Lema 1.13 Lema de monotona

Sea y marcados de una red:

(1) Si para una secuencia finita entonces ( + )

( + L)

(2) Si para una secuencia infinita entonces ( + )

1.3 El lema del intercambio

Lema 1.14 Lema del intercambio

Sea y conjuntos disjuntos de transiciones de una red que satisfacen = . Sea una secuencia (finita o infinita) de transiciones tal que () .

(1) Si es una secuencia finita, entonces

|| .

(2) Si es una secuencia infinita y | es finita, entonces

|| .

(3) Si es una secuencia infinita y | es infinita, entonces

| .



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2. Sistemas de redes de Petri y sus

propiedades

Definicin 1.15: Sistema de red, marcado inicial y marcado alcanzable

Un sistema de red (o sistema) es un par (,0) donde:

es una red conexa que tiene al menos un lugar y una transicin, y 0 es un marcado para que es llamado marcado inicial.

Un marcado es llamado alcanzable en un sistema si este es alcanzable desde el marcado

inicial.

2.1 Vivacidad

Definicin 1.16 Vivacidad y propiedades relacionadas

Un sistema es vivo si, para cada marcado alcanzable y cada transicin , entonces existe un marcado [ en cual habilita . Si (,0) es un sistema vivo, entonces decimos tambin que 0 es un marcado vivo de .

Un sistema es vivo en lugares si, para todo marcado alcanzable en cada lugar , existe un marcado [ el cual marque .

Un sistema es libre de bloqueos si cada marcado alcanzable habilita al menos una

transicin; en otras palabras, si no hay marcado muerto que pueda ser alcanzado desde

el marcado inicial.

Proposicin 1.17 Vivacidad implica vivacidad en lugares

Un sistema vivo es vivo en lugares.

Proposicin 1.18 Vivacidad implica libertad de bloqueos

Un sistema vivo es libre de bloqueos.

Definicin 1.19 Vivacidad estructural

Una red es viva estructuralmente si existe un marcado 0 de tal que (,0) sea un sistema vivo.

2.2 Acotamiento

Definicin 1.20 Sistemas acotados y cota de un lugar

Un sistema es acotado si para cada lugar existe un nmero natural tal que () para cada marcado alcanzable . Si (,0) es un sistema acotado, decimos tambin que 0 es un marcado acotado de .



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La cota de un lugar en un sistema acotado (,0) es definido como:

max {()| [0}

Un sistema se dice que es -acotado si no tiene lugares que tengan una cota mayor a .

Proposicin 1.21 Propiedades elementales de los sistemas acotados

(1) Cada sistema acotado es -acotado para algn .

(2) Cada sistema acotado tiene un numero finito de marcados alcanzables.

Lema 1.22 El lema de acotamiento

Sea (,0) un sistema acotado y 1 un marcado alcanzable. Si 1 0, entonces 1 = 0.

2.3 Redes bien formadas

Definicin 1.23

Una red es bien formada si existe un marcado 0 de tal que (,0) sea un sistema vivo y acotado.

Lema 1.24

Cada sistema vivo y acotado (,0) tiene un marcado alcanzable y una secuencia

de ocurrencias tal que todas las transiciones de ocurran en .

Teorema 1.25 Teorema de la fuerte conexidad

Las redes bien formadas son fuertemente conexas.



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3. P-invariantes y T-invariantes 3.1 P-invariantes

Definicin 1.26 P-invariantes

Un P-invariante de una red es la solucin valuada racionalmente de la ecuacin:

= 0

Proposicin 1.27 Propiedad fundamental de los P-invariantes

Sea (,0) un sistema, y sea un P-invariante de . Si 0, entonces

= 0

Ilustracin 2: ( 1 0 1 ) es un P-invariante2

Proposicin 1.28 Definicin alternativa de P-invariante

Sea (P, T, F) una red. Un mapeo : es un P-invariante si y solo si para cada transicin se mantiene que:

()

= ()

2 Ilustracin tomada de [1].



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Definicin 1.29 Algunas definiciones sobre P-invariantes

Un P-invariante de una red es llamado semi-positivo si 0 y 0. El soporte de un P-invariante semi-positivo , denotado por , es el conjunto de lugares que satisfacen () > 0 ( debido a que 0).

Un P-invariante es llamado positivo si > 0, esto es, () > 0 para cada lugar .

Teorema 1.30 Una condicin necesaria para vivacidad

Si (,0) es un sistema vivo, entonces cada P-invariante semi-positivo de satisface 0 > 0.

Teorema 1.31 Una condicin suficiente para acotamiento

Sea (,0) un sistema. Si tiene un P-ivnariante positivo , entonces (,0) es acotado.

Definicin 1.32 Marcados que concuerdan en todos los P-invariantes

Dos marcados y de una red se dice que concuerdan en todos los P-invariantes si = para cada P-invariante de la red.

Teorema 1.33 Una condicin necesaria para la alcanzabilidad

Sea (,0) un sistema, y sea [0. Entonces y 0 concuerdan en todos los P-invariantes.

Teorema 1.34 Caracterizacin de marcados que concuerdan en todos los P-invariantes

Dos marcados y de una red concuerdan en todos los P-invariantes si y solo si la ecuacin:

+ =

Tiene una solucin valuada racionalmente para .

3.2 T-Invariantes

Definicin 1.35 T-invariantes

Un T-invariante de una red es una solucin valuada racionalmente de la ecuacin

= 0

Proposicin 1.36 Definicin alternativa de T-invariante

Sea (P, T, F) una red. Un mapeo : es un T-invariante si y solo si para cada lugar se mantiene que:



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()

= ()

Proposicin 1.37 Propiedad fundamental de los T-invariantes

Sea una secuencia finita de transiciones de una red la cual se habilita en un

marcado . Entonces el vector de Parikh es un T-invariante si y solo si (esto

es, si y solo si la ocurrencia de reproduce el marcado ).

Teorema 1.38

Cada red bien formada tiene un T-invariante positivo.

Lema 1.39 Lema de reproduccin

Sea (,0) un sistema acotado y sea 0 una secuencia infinita de ocurrencias.

Existe una secuencia 1, 2, 3 tal que = 123, donde 2 no es vaca y

01

2

3 para algn marcado .

Existe un T-invariante semi-positivo tal que ().

Teorema 1.40 P y T-invariantes positivos implican fuerte conexidad

Toda red conectada con un P-invariante positivo y un T-invariante positivo es

fuertemente conexa.

3.3 Invariantes semi-positivos y mnimos

Proposicin 1.41 Pre-conjuntos de los soportes son iguales a los Post-conjuntos de los

soportes

Cada invariante semi-positivo satisface que = .

Definicin 1.42 Invariantes mnimos

Un invariante semi-positivo es minimo si no existe un invariante semi-positivo que satisfaga .

Teorema 1.43 Propiedad fundamental de los invariantes mnimos

Cada invariante semi-positivo es la suma de invariantes mnimos.

Si una red tiene un invariante positivo, entonces cada invariante es una combinacin lineal de invariantes mnimos.



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4. Referencias [1] Jrg Desel and Javier Esparza. 1995. Free Choice Petri Nets. Cambridge University

Press, New York, NY, USA.

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