PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALESEspacios vectoriales de matrices

El conjunto de las matrices de igual tamao pero de cualquier orden sobre un plano, delimitado con la aplicacin de las proposiciones de los espacios vectoriales respecto a las operaciones de suma de matrices y producto escalar de matrices, establece un espacio vectorial sobre dicho plano.

Sea K un cuerpo y m,n enteros 1, una matriz A A* sobre K de orden 3*2 2*2 respectivamente, son: una tabla de 3 filas y 2 columnas una tabla de 2 filas y 2 columnas, que en cualquiera de los dos casos, dichas entradas pertenecern a K.A= m*n = 3*2 A*=n*n=2*2

Las entradas de la matriz A A* pertenecen a K. La primera fila de A se denota por A1j=[2,8] y puede considerarse como un vector de K m=3, la segunda fila de A se denota por Ai2=[8,10,12] y puede considerarse como un vector de K n=2. Por tanto el cuerpo K se compone por dos tipos de vectores, los cuales se denotan K3 y K2, teniendo que las filas de A (A1j=[2,8], A2j=[4,10] y A3j=[6,12]) son vectores de K3 y las columnas de A (Ai1=[2,4,6] y Ai2=[8,10,12]) son vectores de K2. Las mismas reglas procedern con respecto a la matriz A*.

El conjunto de matrices sobre K, en nuestro caso de tamao 3*2, se denota por Mmn(K), para el conjunto de matrices cuadradas sobre K, en nuestro caso de tamao 2*2, se utiliza la notacin Mn(V). Sea K un cuerpo y Mmn(K) el conjunto de matrices de tamao m*n sobre K. Entonces, Mmn(K) es un espacio vectorial sobre K de dimensin mn, siempre y cuando se cumplan las mismas proposiciones aplicables a los espacios vectoriales, los cuales son:

Propiedades de los espacios vectoriales

1. La suma de dos de los siguientes elementos:

A= B= C= = V=M32(K)

Da lugar a otro elemento de V, que denotamos A+B, y que tiene las siguientes primeras cuatro propiedades de los espacios vectoriales:

1.1. Asociativa: (A+B)+C=A+(B+C) donde A, B y C son matrices de igual dimensin, en este caso de 3*2; y las entradas de cada matriz pertenecen a K formado por los vectores K3 y K2. Por tanto se cumple que .

( + )+ = + ( + )

+ = +

=

1.2. Conmutativa: A+B=B+A donde A y B son matrices de igual dimensin, en este caso de 3*2; y las entradas de cada matriz pertenecen a K formado por los vectores K3 y K2. Por tanto se cumple que

+ = +

=

1.3. Existencia de elemento neutro: tal que +A=A+=A donde A y son matrices de igual dimensin, en este caso de 3*2; y las entradas de cada matriz pertenecen a K formado por los vectores K3 y K2; sin embargo es una matriz nula o matriz cero. Por tanto se cumple que

+ = + =

= =

1.4. Existencia de elemento opuesto: Para existe otro vector tal que A+(-A)=. Donde A es una matriz, en este caso de 3*2; y sus entradas pertenecen a K formado por los vectores K3 , K2 y los nmeros escalares.

+ = =

2. El producto de un escalar, o elemento del cuerpo K, da lugar a otro elemento de V, y se tiene las siguientes cuatro propiedades de los espacios vectoriales:

2.1. a(A+B)=aA+aB para y para Donde A y B son matrices de igual dimensin, en este caso de 3*2; y las entradas de cada matriz, as como el numero escalar, pertenecen a K formado por los vectores K3 , K2 y el nmero escalar.

2 ( + ) = 2 + 2

2 = +

=

2.2. (a+b)A=aA+bA para y para . Donde A es una matriz, en este caso de 3*2; y sus entradas, as como los nmeros escalares, pertenecen a K formado por los vectores K3 , K2 y los nmeros escalares.

(2+3) = 2 + 3

5 = +

=

2.3. a(bA)=(ab)A para y para . Donde A es una matriz, en este caso de 3*2; y sus entradas, as como los nmeros escalares, pertenecen a K formado por los vectores K3 , K2 y los nmeros escalares.

2(3 ) = (2*3)

2 = 6

=

2.4. 1A=A para , donde A es una matriz, en este caso de 3*2; y sus entradas pertenecen a K formado por los vectores K3 y K2. Adems 1 es la unidad para el producto en K.

1 =

Conclusines: Todas las anteriores proposiciones para los espacios escalares, cuando se encuentra formado por matrices que constituyen vectores en un cuerpo K, pueden tambin aplicarse con matrices cuadradas.

As que tenemos que todo grupo de matrices de igual dimensin que forman un cuerpo K y a las cuales se les puede aplicar las anteriores propiedades de los espacios vectoriales, constituir un espacio vectorial.

Pese a que las anteriores propiedades de los espacios vectoriales son las ms reconocidas, de estas mismas propiedades se pueden deducir otras, dichas otras seran:

1. 0A=02. A0=03. (-a)A=a(-A)=-(aA)4. Si aA=0 entonces a=0, A=0, ambos a y A son iguales a 0.5. Si aA=bA y A0 entonces a=b.

Aunque la aplicacin de las recin enunciadas propiedades no son requisito de cumplimiento para que un grupo de matrices de iguales dimensiones constituyan un espacio vectorial, aquel grupo de matrices por lgica tambin cumplirn estas propiedades.