propiedades de las figuras geometricas
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Las figuras planas.
El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas,
abarca a los polígonos en general
irregulares — como así también al círculo, que puede ser
considerado un caso especial de polígono.
Dicho estudio comprende:
Las relaciones referentes a las líneas, puntos y ángulos de los
polígonos regulares;
Los métodos para el dibujo de los polígonos regulares;
Los métodos para el cálculo de la superficie de los polígonos
regulares e irregulares.
Ir al principio
Líneas y puntos en los polígonos.
El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas,
abarca a los polígonos en general — tanto regulares como
como así también al círculo, que puede ser
considerado un caso especial de polígono.
comprende:
Las relaciones referentes a las líneas, puntos y ángulos de los
Los métodos para el dibujo de los polígonos regulares;
Los métodos para el cálculo de la superficie de los polígonos
regulares e irregulares.
Líneas y puntos en los polígonos.
El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas,
tanto regulares como
Las relaciones referentes a las líneas, puntos y ángulos de los
Los métodos para el cálculo de la superficie de los polígonos
Ir al principio
Líneas y puntos en el círculo.
En los polígonos regulares, se consideran
las propiedades geométricas de las
siguientes líneas y puntos:
El perímetro — que está formado por la
continuidad, o la suma, de todos sus lados.
La diagonal — que es la línea que une dos
ángulos no consecutivos.
El centro — que es el punto que se
encuentra a una misma distancia de todos
sus vértices.
El radio — que es la línea que une el cen
con uno de sus vértices; por lo cual un
polígono regular tiene tantos radios como
ángulos.
El apotema — que es la línea perpendicular
que une el centro con cualquiera de sus
lados; por lo cual un polígono regular tiene
tantos apotemas como lados.
Líneas y puntos en el círculo.
En los polígonos regulares, se consideran
las propiedades geométricas de las
ormado por la
continuidad, o la suma, de todos sus lados.
que es la línea que une dos
encuentra a una misma distancia de todos
que es la línea que une el centro
con uno de sus vértices; por lo cual un
polígono regular tiene tantos radios como
que es la línea perpendicular
que une el centro con cualquiera de sus
lados; por lo cual un polígono regular tiene
El círculo es la figura plana delimitada por la circunferencia; por
lo que a los efectos geométricos equivale a un polígon
infinitos lados.
El círculo es la figura plana delimitada por la circunferencia; por
lo que a los efectos geométricos equivale a un polígono regular con
En el círculo se consideran las propiedades
geométricas de las siguientes líneas y
puntos:
La circunferencia — que lo delimita, y que es
el equivalente al perímetro.
El centro — es el punto del cual equidistan
todos los puntos de la circunferencia.
El radio — es la medida de distancia entre el
centro y la circunferencia, es el equivalente
al radio de los polígonos regulares, y
también al apotema.
El diámetro — que es la línea que pasando
por el centro une dos puntos opuestos de la
circunferencia, y por lo tanto mide el doble
del radio, es el equivalente a la diagonal.
La secante — que es la línea que incluye dos
puntos de la circunferencia, sin pasar por el
centro. El tramo entre esos puntos, es la
cuerda.
La tangente — que es la una línea recta que
toca solamente un punto de la
circunferencia.
El círculo es la figura plana delimitada por la circunferencia; por
o regular con
En el círculo se consideran las propiedades
geométricas de las siguientes líneas y
que lo delimita, y que es
es el punto del cual equidistan
s los puntos de la circunferencia.
es la medida de distancia entre el
centro y la circunferencia, es el equivalente
al radio de los polígonos regulares, y
que es la línea que pasando
opuestos de la
circunferencia, y por lo tanto mide el doble
del radio, es el equivalente a la diagonal.
que es la línea que incluye dos
puntos de la circunferencia, sin pasar por el
centro. El tramo entre esos puntos, es la
que es la una línea recta que
Ir al principio
Los ángulos en los polígonos.
En los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos:
El arco — que es el tramo de la
circunferencia comprendido entre dos
puntos distintos de la misma.
La flecha — que es la una línea
perpendicular al punto medio de la secante,
que lo une con la circunferencia.
El sector — que es la superficie comprendida
entre dos radios y el arco que delimitan.
Los ángulos en los polígonos.
los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos:
Los ángulos interiores — que son los
que se forman en el vértice entre los
lados.
Los ángulos centrales — que son los
que se forman con vértice en el centro
del polígono, y cuyos lados son los
radios que unen ese centro a dos
vértices consecutivos. Por lo tanto, un
circunferencia comprendido entre dos
perpendicular al punto medio de la secante,
que es la superficie comprendida
entre dos radios y el arco que delimitan.
los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos:
que son los
que se forman en el vértice entre los
que son los
que se forman con vértice en el centro
del polígono, y cuyos lados son los
radios que unen ese centro a dos
vértices consecutivos. Por lo tanto, un
Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los ángulos que
pueden formarse alrededor de un punto, es de 360° la medida del
ángulo central de un polígono regular es igual a 360 dividido por la
cantidad de lados.
Ángulo central del triángulo
Ángulo central del cuadrado: 360° ÷ 4 = 90°.
Ángulo central del pentágono: 360° ÷ 5 = 72°.
Ángulo central del exágono: 360° ÷ 6 = 60°.
Ángulo central del octógono: 360° ÷ 8 = 45°.
Ángulo central del decágono: 360° ÷ 10 = 36°.
Ir al principio
Polígonos inscriptos y circunscriptos.
polígono regular tiene tantos ángulos
centrales, todos iguales, como lad
Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los ángulos que
pueden formarse alrededor de un punto, es de 360° la medida del
ángulo central de un polígono regular es igual a 360 dividido por la
Ángulo central del triángulo equilátero: 360° ÷ 3 = 120°.
Ángulo central del cuadrado: 360° ÷ 4 = 90°.
Ángulo central del pentágono: 360° ÷ 5 = 72°.
Ángulo central del exágono: 360° ÷ 6 = 60°.
Ángulo central del octógono: 360° ÷ 8 = 45°.
Ángulo central del decágono: 360° ÷ 10 = 36°.
Polígonos inscriptos y circunscriptos.
polígono regular tiene tantos ángulos
centrales, todos iguales, como lados.
Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los ángulos que
pueden formarse alrededor de un punto, es de 360° la medida del
ángulo central de un polígono regular es igual a 360 dividido por la
Ir al principio
Construcción de polígonos mediante el compás.
Mediante la aplicación de los conceptos referentes a los ángulos de
los polígonos, es posible servirse del instrumento de dibujo que es el
compás, para construir graficamente diversos polígo
El compás es un instrumento básicamente aplicable en el trazado de
circunferencias, que delimitan una figura plana que es el círculo; el
cual puede ser considerado un tipo especial de polígono regular, en
el cual todos sus lados están constituídos sol
cuya dimensión está determinada por la longitud del radio, que es
Se dice que un polígono está inscripto
en un círculo, cuando todos los vértices
coinciden con puntos de su
circunsferencia.
Se dice que un polígono está
circunscripto en un círculo, cuando los
puntos medios de todos sus lados
coinciden con puntos de su
circunsferencia.
Construcción de polígonos mediante el compás.
Mediante la aplicación de los conceptos referentes a los ángulos de
los polígonos, es posible servirse del instrumento de dibujo que es el
compás, para construir graficamente diversos polígonos.
El compás es un instrumento básicamente aplicable en el trazado de
circunferencias, que delimitan una figura plana que es el círculo; el
cual puede ser considerado un tipo especial de polígono regular, en
el cual todos sus lados están constituídos solamente por un punto, y
cuya dimensión está determinada por la longitud del radio, que es
Se dice que un polígono está inscripto
en un círculo, cuando todos los vértices
circunscripto en un círculo, cuando los
puntos medios de todos sus lados
Mediante la aplicación de los conceptos referentes a los ángulos de
los polígonos, es posible servirse del instrumento de dibujo que es el
El compás es un instrumento básicamente aplicable en el trazado de
circunferencias, que delimitan una figura plana que es el círculo; el
cual puede ser considerado un tipo especial de polígono regular, en
amente por un punto, y
cuya dimensión está determinada por la longitud del radio, que es
equivalente a la abertura del compás.
El método a utilizar para construir polígonos mediante el uso del
compás, se basa en determinar los vértices de los lados del pol
estableciendo en qué puntos de la circunsferencia deben situarse
para que el polígono resulte inscripto en ella.
Esa determinación se realiza a partir del conocimiento de los
valores de los ángulos centrales del polígono que se desea construir.
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equivalente a la abertura del compás.
El método a utilizar para construir polígonos mediante el uso del
compás, se basa en determinar los vértices de los lados del pol
estableciendo en qué puntos de la circunsferencia deben situarse
para que el polígono resulte inscripto en ella.
Esa determinación se realiza a partir del conocimiento de los
valores de los ángulos centrales del polígono que se desea construir.
Para trazar un triángulo equilátero
inscripto en un círculo, manteniendo el
radio (abertura del compás) empleado para
trazar el círculo, se determina un punto de
la circunferencia (preferiblemente en la
vertical inferior de su centro), y centrando
en ese punto se traza un arco con extremos
en la circunsferencia.
Los puntos de intersección (A y B)
determinan un lado del triángulo
equilátero; por lo cual tomando la medida
de ese segmento con el compás y
trasladándola sobre la parte superior de la
circunferencia, se determinará el vértice (C)
de unión de los otros dos lados.
El método a utilizar para construir polígonos mediante el uso del
compás, se basa en determinar los vértices de los lados del polígono,
estableciendo en qué puntos de la circunsferencia deben situarse
Esa determinación se realiza a partir del conocimiento de los
valores de los ángulos centrales del polígono que se desea construir.
Para trazar un triángulo equilátero
inscripto en un círculo, manteniendo el
radio (abertura del compás) empleado para
trazar el círculo, se determina un punto de
la circunferencia (preferiblemente en la
vertical inferior de su centro), y centrando
se punto se traza un arco con extremos
equilátero; por lo cual tomando la medida
trasladándola sobre la parte superior de la
rencia, se determinará el vértice (C)
Ir al principio
Para trazar un cuadrado inscripto en un
círculo, se traza una recta que pasando
por el centro llegue a la circunsferencia en
sus extremos (diámetro AB).
Con una abertura del compás mayor a la
empleada para trazar el círculo,
centrando en los puntos extremos del
diámetro, se marcan puntos en la
circunferencia; lo que determinar
nuevos puntos (C y D). Uniéndolos
mediante una recta, resultará un nuevo
diámetro perpendicular al anterior; cuyos
puntos de contacto con la circunferencia
serán los vértices del cuadrado inscripto.
Como el cuadrado inscripto queda en
posición transversal, puede trazarse otro
con los lados en posición horizontal y
vertical, simplemente trazando las
medianas del cuadrado anterior, para
determinar los vértices A', B', C' y D', de un
nuevo cuadrado inscripto en el mismo
círculo.
Para trazar un cuadrado inscripto en un
pasando
por el centro llegue a la circunsferencia en
Con una abertura del compás mayor a la
centrando en los puntos extremos del
diámetro, se marcan puntos en la
circunferencia; lo que determinará dos
nuevos puntos (C y D). Uniéndolos
mediante una recta, resultará un nuevo
diámetro perpendicular al anterior; cuyos
puntos de contacto con la circunferencia
serán los vértices del cuadrado inscripto.
Como el cuadrado inscripto queda en
ersal, puede trazarse otro
con los lados en posición horizontal y
vertical, simplemente trazando las
medianas del cuadrado anterior, para
determinar los vértices A', B', C' y D', de un
nuevo cuadrado inscripto en el mismo
Ir al principio
Cálculo de la superficie de las figuras planas.
La medida de la superficie de las figuras planas, se designa
corrientemente en geometría con el nombre de área. Ella se expresa
en unidades de medida de superficie, que se basan en la
cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o centímetros
cuadrados.
El punto de partida para la determinación del método aritmético de
cálculo de la medida de la superficie comprendida en las figuras
geométricas planas, es el estudio del
Para trazar un exágono inscripto en un
círculo, se fija un punto sobre la
circunferencia, y con la misma abertura
del compás, se marcan puntos haciendo
centro primero en ese punto y luego
sucesivamente en los nuevos puntos.
Ello determinará que se marquen sobre la
circunferencia los seis puntos que
corresponden a los vértices del exágono.
Cálculo de la superficie de las figuras planas.
La medida de la superficie de las figuras planas, se designa
corrientemente en geometría con el nombre de área. Ella se expresa
en unidades de medida de superficie, que se basan en la figura del
cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o centímetros
El punto de partida para la determinación del método aritmético de
cálculo de la medida de la superficie comprendida en las figuras
geométricas planas, es el estudio del cuadrado.
Para trazar un exágono inscripto en un
circunferencia, y con la misma abertura
del compás, se marcan puntos haciendo
ese punto y luego
sucesivamente en los nuevos puntos.
Ello determinará que se marquen sobre la
corresponden a los vértices del exágono.
La medida de la superficie de las figuras planas, se designa
corrientemente en geometría con el nombre de área. Ella se expresa
figura del
cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o centímetros
El punto de partida para la determinación del método aritmético de
cálculo de la medida de la superficie comprendida en las figuras
cuadrados cuyo lado sea una parte del
cuadrado original, resulta fácil apreciar que
la cantidad de cuadrados menores
pueden considerarse como unidad de medida
—
cuadrados contenidos en dos de los lados del
cuadrado originario: 5 × 5 = 25.
Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado
original, y altura el vertical; el procedimiento de cálculo de la
superficie del cuadro puede expresarse en
SUPERFICIE DEL CUADRADO = BASE × ALTURA
SUPERFICIE DEL RECTÁNGULO = BASE ×
Subdividiendo un cuadrado en varios
cuadrados cuyo lado sea una parte del
cuadrado original, resulta fácil apreciar que
la cantidad de cuadrados menores —
pueden considerarse como unidad de medida
— es igual a la multiplicación del núme
cuadrados contenidos en dos de los lados del
cuadrado originario: 5 × 5 = 25.
Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado
original, y altura el vertical; el procedimiento de cálculo de la
superficie del cuadro puede expresarse en la fórmula:
SUPERFICIE DEL CUADRADO = BASE × ALTURA
En el caso del rectángulo, el mismo
procedimiento permite establecer que el
procedimiento de cálculo de su superficie es
igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40.
SUPERFICIE DEL RECTÁNGULO = BASE × ALTURA
Subdividiendo un cuadrado en varios
cuadrados cuyo lado sea una parte del
cuadrado original, resulta fácil apreciar que
que
pueden considerarse como unidad de medida
es igual a la multiplicación del número de
cuadrados contenidos en dos de los lados del
Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado
original, y altura el vertical; el procedimiento de cálculo de la
En el caso del rectángulo, el mismo
procedimiento permite establecer que el
procedimiento de cálculo de su superficie es
es una derivación de las anteriores,
atendiendo a que la diagonal de rectángulos
lo divide en dos triángulos; por lo cual la
superficie de todo triángulo es igual a la mitad
de la del polígono
tomando uno de sus lados como eje de
simetría: 5 × 8 = 40 ÷ 2 = 20.
En el trapecio, se denomina base mayor al mayor de sus lados
paralelos, y base menor al otro lado paralelo. De tal manera, la base
mayor resulta ser la base de uno de los triángulos, y la base menor
resulta ser la base del otro; en tanto que la altura del
altura de ambos triángulos. Puede obtenerse la suma de ambas
superficies en una única operación, sumando ambas bases,
dividiendo el resultado entre 2, y multiplicando por la altura: 9 + 6 =
La fórmula de cálculo del área del triángulo,
es una derivación de las anteriores,
atendiendo a que la diagonal de rectángulos
lo divide en dos triángulos; por lo cual la
superficie de todo triángulo es igual a la mitad
de la del polígono que resultaría de duplicarlo
tomando uno de sus lados como eje de
simetría: 5 × 8 = 40 ÷ 2 = 20.
Si se observa un trapecio, se percibe que
cada una de sus diagonales lo convierte en
la suma de dos triángulos.
Por lo tanto, la superficie de un trapecio es
la suma de las superficies de uno de los dos
pares de triángulos que se forman al
trazar una diagonal.
En el trapecio, se denomina base mayor al mayor de sus lados
paralelos, y base menor al otro lado paralelo. De tal manera, la base
mayor resulta ser la base de uno de los triángulos, y la base menor
resulta ser la base del otro; en tanto que la altura del trapecio es la
altura de ambos triángulos. Puede obtenerse la suma de ambas
superficies en una única operación, sumando ambas bases,
dividiendo el resultado entre 2, y multiplicando por la altura: 9 + 6 =
La fórmula de cálculo del área del triángulo,
atendiendo a que la diagonal de rectángulos
lo divide en dos triángulos; por lo cual la
superficie de todo triángulo es igual a la mitad
que resultaría de duplicarlo
tomando uno de sus lados como eje de
Si se observa un trapecio, se percibe que
cada una de sus diagonales lo convierte en
trapecio es
la suma de las superficies de uno de los dos
pares de triángulos que se forman al
En el trapecio, se denomina base mayor al mayor de sus lados
paralelos, y base menor al otro lado paralelo. De tal manera, la base
mayor resulta ser la base de uno de los triángulos, y la base menor
trapecio es la
altura de ambos triángulos. Puede obtenerse la suma de ambas
superficies en una única operación, sumando ambas bases,
dividiendo el resultado entre 2, y multiplicando por la altura: 9 + 6 =
15 ÷ 2 = 7,5 × 5 = 37,5.
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Propiedad fundamental de los polígonos regulares.
Observando las resultantes del estudio de las líneas de los
polígonos regulares se detecta la siguiente
15 ÷ 2 = 7,5 × 5 = 37,5.
Propiedad fundamental de los polígonos regulares.
Observando las resultantes del estudio de las líneas de los
polígonos regulares se detecta la siguiente propiedad fundamental:
En todos los polígonos regulares, el
trazado de sus radios los divide en
tantos triángulos como lados posean;
cuyas alturas son iguales al apotema
del polígono, y cuyas bases sumadas
son iguales al perímetro del polígono.
En consecuencia, la superficie de un
polígono regular será igual a la suma de
las superficies de los triángulos que lo
forman. Extendiendo la fórmula de cálculo
de la superficie del triángulo, se deduce:
Observando las resultantes del estudio de las líneas de los
propiedad fundamental:
En todos los polígonos regulares, el
trazado de sus radios los divide en
tantos triángulos como lados posean;
cuyas alturas son iguales al apotema
del polígono, y cuyas bases sumadas
son iguales al perímetro del polígono.
En consecuencia, la superficie de un
polígono regular será igual a la suma de
las superficies de los triángulos que lo
forman. Extendiendo la fórmula de cálculo
de la superficie del triángulo, se deduce:
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Superficie del círculo.
Considerando el círculo como un polígono regular cuyos lados son
cada uno de los puntos que componen su circunferencia, ésta resu
ser su perímetro; y el radio es a la vez el apotema respecto de cada
uno de esos puntos.
La circunferencia es una línea difícil de medir; pero puede calcularse
a partir de la medida del radio, aplicando la propiedad fundamental
del círculo.
La propiedad fundamental del círculo, consiste en que
existe una relación permanente entre su radio y la medida de
su circunferencia, que es un valor constante de 3,1416; el
cual se designa con la letra griega PI.
En consecuencia, aplicando al círculo la regla
cálculo de la superficie de un polígono regular, se concluye:
Ir al principio
Superficie de los polígonos irregulares.
Considerando el círculo como un polígono regular cuyos lados son
cada uno de los puntos que componen su circunferencia, ésta resu
ser su perímetro; y el radio es a la vez el apotema respecto de cada
La circunferencia es una línea difícil de medir; pero puede calcularse
a partir de la medida del radio, aplicando la propiedad fundamental
ad fundamental del círculo, consiste en que
existe una relación permanente entre su radio y la medida de
su circunferencia, que es un valor constante de 3,1416; el
cual se designa con la letra griega PI.
En consecuencia, aplicando al círculo la regla general para el
cálculo de la superficie de un polígono regular, se concluye:
Superficie de los polígonos irregulares.
Considerando el círculo como un polígono regular cuyos lados son
cada uno de los puntos que componen su circunferencia, ésta resulta
ser su perímetro; y el radio es a la vez el apotema respecto de cada
La circunferencia es una línea difícil de medir; pero puede calcularse
a partir de la medida del radio, aplicando la propiedad fundamental
ad fundamental del círculo, consiste en que
existe una relación permanente entre su radio y la medida de
su circunferencia, que es un valor constante de 3,1416; el
general para el
cálculo de la superficie de un polígono regular, se concluye:
Cualquier polígono irregular, puede
descomponerse en triágulos, mediante el
trazado de sus diagonales; o
complementando éstas con
perpendiculares desde un vértice a una
diagonal.
Por lo tanto, conociendo la medida de las
líneas que conformen las bases y alturas
de esos triángulos, será posible calcular
su superficie; y sumarla para obtener la
superficie total del polígono irregular.
irregular, puede
descomponerse en triágulos, mediante el
perpendiculares desde un vértice a una
Por lo tanto, conociendo la medida de las
líneas que conformen las bases y alturas
gulos, será posible calcular
su superficie; y sumarla para obtener la
superficie total del polígono irregular.