2.4 PROPIEDADES DE LA DERIVADA

En cálculo elemental aprendimos como diferenciar sumas, productos, cocientes yfunciones compuestas. Ahora generalizamos estas ideas a funciones de varias variables,prestando particular atención a la diferenciación de funciones compuestas. La reglapara diferenciación de composiciones, llamada regla de la cadena, adquiere una formamás profunda en el caso de funciones de varias variables que en las de una variable. Así,por ejemplo, si es una función con valores reales en una variable, escrita como0D œ 0 C C B C œ 1 B Da b a b, y es una función de , que escribimos , entonces resulta unafunción de mediante la sustitución, a saber, , y tenemos la conocidaB D œ 0 1 Ba ba bfórmula

.D .D

.B .C .B.C w wœ œ 0 1 B 1 B Þa b a ba b

Si es una función con valores reales en tres variables , y , escrita en la forma0 ? @ AD œ 0 ?ß @ß A ? @ A B ? œ 1 Ba b a b, y las variables , y son cada una funciones de , ,@ œ 2 B A œ 5 B 1 B 2 B 5 B ? @ Aa b a b a b a b a b, y , entonces al sustituir , y por , y , expresamosD B À D œ 0 1 B ß 2 B ß 5 B como función de . En este caso la regla de la cadena es:a ba b a b a b

.D `D .? `D .@ `D .A

.B `? .B `@ .B `A .Bœ Þ

Uno de los objetivos de esta sección es explicar dichas formulas en detalle. Comenzamos con las reglas de diferenciación para sumas, productos y cocientes.

TEOREMA 10

(i) Regla del múltiplo constante. Sea diferenciable en x y sea0 À Y § V Ä V8 7!

- 2 œ -0 un número real. Entonces x x es diferenciable en x ya b a b !

H2 œ -H0a b a bx x (igualdad de matrices).! !

(ii) Regla de la suma. Sean y 0 À Y § V Ä V 1 À Y § V Ä V8 7 8 7

diferenciables en x . Entonces x x x es diferenciable en x y! !2 œ 0 1a b a b a bH2 œ H0 H1a b a b a bx x x (suma de matrices).! ! !

(iii) Regla del producto. Sean y 0 À Y § V Ä V 1 À Y § V Ä V8 7 8 7

diferenciables en x y sea x x x . Entonces es diferenciable!82 œ 1 0 2 À Y § V Ä Va b a b a b

en x y!

H2 œ 1 H0 0 H1 Þa b a b a b a b a bx x x x x! ! ! ! !

(Notar que cada lado de esta ecuación es una matriz de x )" 8

(iv) Regla del cociente. Con las mismas hipótesis que en la regla (iii), sea2 œ 0 Î1 1 Y 2a b a b a bx x x y suponer que nunca es cero en . Entonces es diferenciable enx y!

H2 œ Þa bx!1 H0 0 H1

1

a b a b a b a b’ “a b

x x x x

x

! ! ! !

!

#

EJEMPLO 1 Verificar la fórmula para en la regla (iv) del teorema 10 conH20 Bß Cß D œ B C D 1 Bß Cß D œ B "a b a b# # # # y .

SOLUCIÓN Aquí

2 Bß Cß D œ ßa b B C DB "

# # #

#

de modo que por diferenciación directa

H2 Bß Cß D œ ß ßa b ’ “`2 `2 `2`B `C `D

œ ß ß’ “a b a ba b

B " #B B C D #B

B "

#CB " B "

#D# # # #

# # # #

œ ß ß Þ’ “#B "C D

B "

#CB " B "

#Da ba b

# #

# # # #

Por la regla (iv), obtenemos

H2 œ œ Þ1H00H11

B " #Bß#Cß#D B C D #Bß!ß!D

B "#

# # # #

# #a b a b

a b[ ] [ ]

que es lo mismo que obtuvimos directamente.

Como ya mencionamos anteriormente, es en la diferenciación de funcionescompuestas que encontraremos aparentes alteraciones substanciales de la fórmula delcálculo de una variable. Sin embargo, si usamos la notación D, esto es, notaciónmatricial, la regla de la cadena para funciones de varias variables se parece a la reglapara una variable.

TEOREMA 11: REGLA DE LA CADENA. Sean y abiertos. SeanY § V Z § V8 7

1 À Y § V Ä V 0 À Y § V Ä V 1 Y Z8 7 7 : y funciones dadas tales que manda a en ,de modo que está definida . Suponer que es diferenciable en x y que es0 ‰ 1 1 0!

diferenciable en y x . Entonces es diferenciable en x y! ! !œ 1 0 ‰ 1a b

H 0 ‰ 1 œ H0 H1a ba b a b a bx y x . (1)! ! !

El lado derecho es una matriz producto.

EJEMPLO 2 Calcular un vector tangente a la curva en .- > œ >ß > ß / > œ !a b a b# >

SOLUCIÓN Aquí , de modo que en un vector tangente es- > œ "ß #>ß / > œ !w >a b a ba b"ß !ß " .

La regla de la cadena nos puede ayudar a comprender la relación entre lageometría de una función y la geometría de curvas en . (Se pueden0 À V Ä V V# # #

enunciar afirmaciones similares acerca de o, en general, .) Si es una curva enV V - >$ 8 a bel plano, entonces representa el vector tangente (o velocidad) de la curva ,- > - >wa b a beste vector tangente (o velocidad) se puede considerar como si comenzara en .- >a bAhora bien, sea , donde . La curva representa la imagen5 5a b a ba b> œ 0 - > 0 À V Ä V# #

de la curva bajo la función . El vector tangente a esta dado por la regla de la- > 0a b 5

cadena:5w wa b a b a ba b> œ H0 - > - >

En otras palabras, la matriz derivada de manda al vector tangente (o velocidad) a una0curva, al vector tangente (o velocidad) de la correspondiente curva imagen (ver la figura2.4.1). Así, los puntos son transportados por , mientras que los vectores tangentes a0curvas son transportados por la derivada de , evaluada en el punto base del vector0tangente en el dominio.

Figura 2.4.1 Los vectores tangentes son transportados por la matriz derivada.

EJEMPLO 3 Dada y , calcular la1 Bß C œ B "ß C 0 ?ß @ œ ? @ß ?ß @a b a b a b a b# # #

derivada de en usando la regla de la cadena.0 ‰ 1 "ß "a bSOLUCIÓN Las matrices de derivadas parciales son

H0 ?ß @ œ œ H1 Bß C œ Þ" "" !! #@

#B !! #C

a b a bÔ ×Ö ÙÕ Ø

Ô ×Õ Ø ” •

`0 `0`? `@`0 `0`? `@`0 `0`? `@

" "

# #

$ $

y

Cuando , . Por lo tantoa b a b a b a b a bBß C œ "ß " 1 Bß C œ ?ß @ œ #ß "

H 0 ‰ 1 "ß " œ H0 #ß " H1 "ß " œ Þ œ" " # #" ! # !! # ! %

# !! #

a ba b a b a b Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø” •

es la derivada requerida.

EJEMPLO Sea dada y hacer la sustitución , % 0 Bß C B œ < -9= C œ < =/8a b ) )

(coordenadas polares). Escribir una fórmula para .`0Î`)

SOLUCIÓN Por la regla de la cadena,

`0 `0 `0 `C` `B ` `C `

`B) ) )œ

esto es,`0 `0 `0` `B `C)

œ < =/8 < -9= Þ) )