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Física. 2º BACH. PROPAGACIÓN DE ONDAS Movimiento ondulatorio

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Propagación de ondas. Definiciones previas:

Frente de ondas: Es la superficie constituida por todos los puntos de un medio transmisor de ondas que en un momento dado vibran en concordancia de fase (se encuentran todos en el mismo estado de vibración).

Rayo: Es la recta que indica la dirección de propagación del movimiento ondulatorio. Es perpendicular al frente de ondas. Si el medio en el que se propaga la onda es homogéneo e isótropo, los rayos son rectilíneos.

Principio de Huygens:

Las ondas avanzan de tal forma que cada punto de un frente de ondas se convierte en un foco emisor de una onda de las mismas características.

Los fenómenos ondulatorios que se pueden explicar con el principio de Huygens son la reflexión, la refracción, la polarización y la difracción.

1- Reflexión:

La reflexión de una onda se define como el cambio de dirección dentro del mismo medio que experimentan las ondas al incidir sobre la superficie de separación de dos medios.


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La reflexión de las ondas cumple las siguientes leyes:

a. El ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión son iguales (𝑖̂ = �̂�)

b. Los rayos incidente y reflejado están en el mismo plano.

Reflexión total. Ángulo límite:

En el caso de ondas de luz puede tener lugar la reflexión total si el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite.

Se denomina ángulo límite o crítico (𝜃𝑐) al mayor ángulo que puede formar un rayo incidente con la normal para que se produzca refracción.

El ángulo límite es el ángulo que debe formar el rayo incidente para que el rayo refractado forme un ángulo de 90º con la normal.

Para que suceda este fenómeno, el rayo de luz debe pasar de un medio más refringente a otro menos refringente; por ejemplo, del agua al aire.

2- Refracción:

La refracción se produce cuando una onda llega a la superficie que separa dos medios distintos y avanza por el segundo medio. En cada uno de ellos la onda se moverá con velocidad distinta, por lo que cambiará la dirección en la que se propaga (salvo en cado de incidencia perpendicular).

La refracción de rayos de luz cumple la llamada ley de Snell, que matemáticamente se expresa como:

𝑛1 · 𝑆𝑒𝑛 𝑖̂ = 𝑛2 · 𝑆𝑒𝑛 �̂�

𝑛1 · 𝑆𝑒𝑛 𝜃�̂� = 𝑛2 · 𝑆𝑒𝑛 90º 𝑆𝑒𝑛 𝜃𝑐 =𝑛2

𝑛1

𝑆𝑒𝑛 𝑖̂

𝑆𝑒𝑛 �̂�=

𝑛2

𝑛1=

𝑐𝑣2𝑐

𝑣1

=𝑣1

𝑣2

𝑆𝑒𝑛 𝑖̂

𝑣1=

𝑆𝑒𝑛 �̂�

𝑣2


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Donde:

- 𝑖̂ es el ángulo incidente y �̂� el ángulo de refracción.

- 𝑛1 es el índice de refracción del medio 1 y 𝑛2 el índice de refracción del medio 2.

- 𝑣1 es la velocidad de la luz en el medio 1 y 𝑣2 la velocidad de la luz en el medio 2.

Se denomina índice de refracción de un medio (𝑛) a la relación entre la velocidad de la luz en el vacío (c) y la velocidad de la luz en cualquier otro medio (v):

𝑛 =𝑐

𝑣

La frecuencia de una onda depende del foco emisor, no del medio, por lo tanto si la velocidad de una onda disminuye al pasar de un medio a otro, su longitud de onda también disminuirá (ya que la frecuencia es constante).

𝑣𝑝 =𝜆

𝑇= 𝜆 · 𝑓

En el caso de la refracción la energía que se transmite es la misma, por tanto la amplitud de la onda no cambia.

3- Polarización:

Se trata de un fenómeno que sólo se produce en las ondas transversales. En principio las direcciones transversales en las que puede vibrar el foco emisor de ondas son infinitas.

Se dice que una onda transversal está linealmente polarizada cuando las partículas que conforman la onda sólo pueden vibrar en una sola dirección (de todas las posibles). Para conseguir polarizar una onda se utiliza un polarizador, un dispositivo que sólo permite el paso de las ondas que vibran en una dirección determinada.


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4- Difracción:

Un frente de onda se puede visualizar como una sucesión de emisores puntuales, que remiten la onda al oscilar en respuesta a ella y contribuyen así a su propagación. Aunque cada oscilador individual genera una onda esférica, la interferencia de todas ellas da lugar a una onda plana que viaja en la misma dirección que la onda inicial. Cuando el frente de onda encuentra un obstáculo, los emisores correspondientes al extremo del frente de onda obstruido no tendrán otros emisores que interfieran con las ondas que ellos generan, y éstas se aproximarán a ondas esféricas o cilíndricas. Como consecuencia, al adoptar el frente de onda una forma redondeada en donde fue recortado, la dirección de propagación de la onda cambia, girando hacia el obstáculo.

Cuando las ondas que se propagan encuentran una abertura pueden ocurrir dos cosas:

- Si la abertura es mayor que la longitud de onda, entonces no existirá difracción.

- Si la abertura es menor o igual que la longitud de onda, entonces sí existirá difracción.

La difracción es la desviación en la propagación rectilínea de las ondas cuando atraviesan una abertura o pasan próximas a un obstáculo.

Las ondas se propagan como si el orificio se convirtiera en un nuevo foco emisor de ondas. La onda difractada tiene la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda que la onda incidente.

Ver vídeo sobre el experimento de la doble rendija:

https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=SzX-R38dZQw

Ejercicios sobre propagación de ondas:

1- La nota musical “la” tiene una frecuencia, por convenio internacional, de 440 Hz. Si en el aire se propaga a una velocidad de 340 m/s y en el agua lo hace a 1400 m/s, calcula su longitud de onda en esos medios.

Sol. 𝜆𝑎𝑖𝑟𝑒 = 0,78 𝑚; 𝜆𝑎𝑔𝑢𝑎 = 3,2 𝑚.

https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=SzX-R38dZQw


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2- (Aragón. Septiembre, 2000). Una onda de frecuencia 4 Hz se propaga por un medio con una velocidad de 2 m/s e incide sobre la frontera con otro medio diferente con un ángulo de incidencia de 30º. En el segundo medio la velocidad de propagación de la onda es de 2,5 m/s. Calcula el ángulo de refracción y la longitud de onda en este segundo medio.

Sol. �̂� = 38,7º; 𝜆𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 = 0,5 𝑚; 𝜆𝑟𝑒𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑎𝑑𝑜 = 0,625 𝑚.

3- Una onda de 40 Hz, que se propaga a 20 m/s, llega al límite con otro medio formando un ángulo de 45º. La onda avanza en el nuevo medio formando un ángulo de 60º con la perpendicular a la frontera entre ambos. Calcula la velocidad a la que se propaga la onda en el nuevo medio y la frecuencia y longitud de la onda en cada medio.

Sol. 𝑣𝑝,2 = 24,5𝑚

𝑠; 𝜆𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 = 5 𝑚; 𝜆𝑟𝑒𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑎𝑑𝑜 = 6,1 𝑚; 𝑓1 = 𝑓2 = 𝑓 = 4 𝐻𝑧.

4- Un rayo luminoso incide desde el aire sobre un líquido formando con la normal un ángulo de 45º. Si el ángulo de refracción es de 30º, calcula:

a. El índice de refracción del líquido.

b. La velocidad de la luz dentro de ese líquido.

Sol. 𝑛𝑠 = 1,41; 𝑣𝑠 = 212.766𝑘𝑚

ℎ.

5- Un haz compuesto por luces de colores rojo y azul incide desde el aire sobre una de las caras de un prisma de vidrio con un ángulo de incidencia de 40º.

a. Dibuje la trayectoria de los rayos en el aire y tras penetrar en el prisma. Además calcule el ángulo que forman con la normal los rayos en el interior del prisma si los índices de refracción son 𝑛𝑟𝑜𝑗𝑜 = 1,612 𝑦 𝑛𝑎𝑧𝑢𝑙 = 1,671.

b. Si la frecuencia de la luz roja es de 4,2 · 1014 𝐻𝑧 calcule su longitud de onda dentro del prisma.

Datos: 𝑐 = 3 ·108𝑚

𝑠; 𝑛𝑟𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑙𝑢𝑧 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑖𝑟𝑒 = 1.

Sol. �̂�𝑎𝑧𝑢𝑙 = 22,6º; �̂�𝑟𝑜𝑗𝑜 = 23,5º; 𝜆𝑟𝑜𝑗𝑜 = 4,43 · 10−7 𝑚 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑟𝑜𝑗𝑜 = 1,86 ·108𝑚

𝑠)

6- Una onda cuya longitud de onda es 4 cm se propaga por un medio con una velocidad de 20 cm/s. En un instante dado el frente de ondas accede a otro medio formando un ángulo de 30º respecto a la superficie de la recta horizontal que separa los dos medios. Si la longitud de onda en este segundo medio es de 6 cm, deduce el ángulo de incidencia.

Sol. 𝑖̂ = 35,3º

7- (La Rioja. Junio, 2006) ¿Cuál es el ángulo límite para la reflexión total interna en el agua de un lago? El índice de refracción del agua es 1,33.

Sol. 𝜃�̂� = 48,75º

8- (Andalucía, 2008). Un haz de luz que viaja por el aire incide sobre un bloque de vidrio. Los haces reflejado y refractado forman ángulos de 30º y 20º, respectivamente, con la normal a la superficie del bloque.

a. Calcule la velocidad de la luz en el vidrio y el índice de refracción de dicho material.

b. Explique qué es el ángulo límite y determine su valor para el caso descrito.

Datos: 𝑐 = 3 ·108𝑚

𝑠

Sol. 𝑣𝑠 = 2,05 · 108 𝑚

𝑠; 𝑛𝑠 = 1,46; 𝜃𝑐 = 43,2º


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Interferencias:

En ocasiones se propagan en un mismo medio varias ondas. Estas ondas pueden llegar a coincidir en un determinado punto de ese medio. En el caso de que coincidan se producirá una interferencia que hará que se sumen ambas ondas (principio de superposición) dando lugar a una onda resultante. A continuación cada movimiento ondulatorio seguirá su camino de forma independiente.

Matemáticamente la onda resultante se obtiene como suma de las ecuaciones de las ondas incidentes:

𝑦1 = 𝐴1 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔1𝑡 ± 𝑘1𝑥 + 𝜑1)

𝑦2 = 𝐴2 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔2𝑡 ± 𝑘2𝑥 + 𝜑2)

𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝐴1 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔1𝑡 ± 𝑘1𝑥 + 𝜑1) + 𝐴2 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔2𝑡 ± 𝑘2𝑥 + 𝜑2)

La ecuación de onda resultante puede ser complicada, por lo que sólo vamos a estudiar el caso simplificado de ondas coherentes.

Ondas coherentes (misma frecuencia y longitud de onda):

Las ondas están en la misma fase

⇒ Interferencia constructiva

⇒ Las amplitudes de ambas ondas se suman

⇓

Ocurre cuando: ∆𝜑 = 2𝑛 · 𝜋 (𝑛 = 0, 1, 2, … )

∆𝑥 = 𝑛 · 𝜆 (𝑛 = 1, 2, … )

Las ondas están en oposición de fase ⇒

Interferencia destructiva ⇒ Las amplitudes de ambas ondas se restan

⇓

Ocurre cuando: ∆𝜑 = (2𝑛 + 1) · 𝜋 (𝑛 = 0, 1, 2, … )

∆𝑥 = (2𝑛 + 1) ·𝜆

2 (𝑛 = 0, 1, 2, … )


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Ondas estacionarias:

Las ondas estacionarias resultan de la superposición de dos ondas idénticas (misma amplitud, frecuencia y longitud de onda) que se propagan en el mismo medio en sentidos opuestos.

Cada punto de la onda vibra en torno a la posición de equilibrio con una amplitud que depende de su distancia al origen. La onda estacionaria presenta vientres (puntos que oscilan con la mayor amplitud posible) y nodos (puntos que no vibran y se encuentran, por tanto, siempre en la posición de equilibrio).

Por ejemplo, si en una cuerda con un extremo fijo y el otro libre generamos una onda en el extremo libre, éste se propaga hasta el extremo fijo y se refleja volviendo por la cuerda hasta el extremo libre. La onda incidente y la reflejada tienen las mismas características:

Las ondas estacionarias se producen en instrumentos musicales como guitarras o violines. También se forman ondas estacionarias en tubos sonoros, como la flauta.

Matemáticamente la onda estacionaria se expresa como:

𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥) + 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)

Aplicando las oportunas relaciones trigonométricas, la ecuación de una onda estacionaria se puede simplificar:

𝑦 = 2 · 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) · 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)

Ecuación estándar de una onda estacionaria


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La ecuación de la onda estacionaria depende de la posición y del tiempo separadamente. Si llamamos

amplitud resultante a 𝐴𝑟 = 2𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥), entonces:

𝑦 = 𝐴𝑟 · 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)

Como vemos en la ecuación, una onda estacionaria tiene la misma frecuencia y longitud de onda originales y su amplitud depende de la localización de la partícula en la cuerda y no del tiempo. Además vemos que se trata de la ecuación del M.A.S. con la particularidad de que, dependiendo de la partícula que se trate, así será la amplitud de dicho M.A.S.

Dependiendo de la función de onda incidente y reflejada que se utilice, se obtienen diferentes formas de la función de onda estacionaria, tal y como se observa en la siguiente tabla:

Onda incidente y onda reflejada Onda estacionaria

𝑦𝑖 = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)

𝑦𝑟 = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜋) 𝑦 = 2 · 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) · 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)

𝑦𝑖 = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)

𝑦𝑟 = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 ) 𝑦 = 2 · 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥) · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)

𝑦𝑖 = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)

𝑦𝑟 = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) 𝑦 = 2 · 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)

𝑦𝑖 = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)

𝑦𝑟 = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜋) 𝑦 = 2 · 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)

Por tanto, la ecuación de la onda estacionaria depende de las ecuaciones de las ondas incidente y reflejada que se elijan.

Posición de nodos y vientres en ondas estacionarias:

Utilizando la ecuación estándar de una onda estacionaria, 𝑦 = 2𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) = 𝐴𝑟cos (𝜔𝑡), tenemos

que:

La amplitud resultante es máxima cuando 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) = ±1, en este caso ocurre que;

𝑘𝑥 = (2𝑛 + 1)𝜋

2 ⇒ 𝑥 = (2𝑛 + 1)

𝜆

4 , 𝑛 = 0, 1, 2, …

Todos los puntos que distan un número impar de cuartos de longitudes de onda del extremo fijo son vientres. La distancia entre vientres consecutivos será de media longitud de onda.


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La amplitud resultante es mínima cuando 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) = 0, en este caso ocurre que;

𝑘𝑥 = 𝑛 · 𝜋 ⇒ 𝑥 = 𝑛𝜆

2 , 𝑛 = 0, 1, 2, …

Todos los puntos que distan un número entero de veces la mitad de la longitud de onda son nodos. La distancia entre nodos consecutivos será de media longitud de onda.

Ejercicios sobre ondas estacionarias:

1- (La Rioja. Junio, 2006). La ecuación de una onda estacionaria es:

𝑦 = 10 · 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

6𝑥) · 𝑐𝑜𝑠(10𝜋𝑡)

Donde 𝑥 e 𝑦 se miden en centímetros y 𝑡 en segundos. Calcular:

a) La amplitud y velocidad de las ondas componentes. Sol. 𝐴 = 5 𝑐𝑚; 𝑣𝑝 = 0,6𝑚

𝑠

b) La distancia entre dos nodos y entre un nodo y un vientre. Sol. 6 cm entre dos nodos y 3 cm entre un nodo y un vientre.

c) La velocidad de una partícula situada en el punto x = 3 cm en cualquier instante. Sol 0 m/s.

2- (Andalucía, 2006). La ecuación de una onda (medida en unidades del S.I.) en una cuerda es:

𝑦 = 4 · 10−3 · 𝑠𝑒𝑛(8𝜋𝑥) · 𝑐𝑜𝑠(30𝜋𝑡)

a) Indique qué tipo de onda es y calcule su periodo y su longitud de onda.

b) Explique cuál es la velocidad de propagación de la onda y cuál es la velocidad de los puntos de la cuerda.

c) Calcule la velocidad máxima del punto x = 0,5 m.

3- (La Rioja. Junio, 2007). Dos ondas que se mueven por una cuerda en la misma dirección y sentido tienen la misma frecuencia de 100 Hz, una longitud de onda de 2 cm y una amplitud de 0,02 metros. Determina la ecuación de la onda resultante y su amplitud si las dos ondas difieren en fase:

a. En 𝜋

6.

b. En 𝜋

3.

4- (Castilla-La Mancha. Junio, 2006). Una onda estacionaria en una cuerda se puede describir por la ecuación:

𝑦 = 0,02 · 𝑠𝑒𝑛 (10𝜋𝑥

3) · 𝑐𝑜𝑠(40𝜋𝑡)

Donde y, x, t se expresan en unidades del SI. Calcula:

a) La velocidad y la amplitud de las ondas que, por superposición, pueden dar lugar a esta onda estacionaria.

b) La distancia entre dos nodos consecutivos de la cuerda.

c) La velocidad máxima que presenta el punto medio entre dos nodos consecutivos.


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Análisis de casos característicos para ondas estacionarias:

Ondas estacionarias en una cuerda fija por sus dos extremos y en tubos con los dos extremos abiertos:

Para que se produzca una onda estacionaria, la onda originaria debe tener una longitud de onda tal que desde el origen donde se produce hasta el extremo en que tiene lugar su reflexión pueda entrar un número entero de semilongitudes de onda.

Esto nos permite determinar las longitudes de onda que pueden dar lugar a una onda estacionaria. Supongamos que tenemos un tubo con los dos extremos abiertos o una cuerda fija por sus dos extremos, ambos de longitud L.

La condición de nodo en una onda estacionaria es, según hemos visto:

𝑘𝑥 = 𝑛 · 𝜋 ⇒ 𝑥 = 𝑛𝜆

2 , 𝑛 = 0, 1, 2, …

Si aplicamos la condición de nodo a uno de los extremos, hacemos x = L

𝐿 = 𝑛𝜆

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Despejamos la longitud de onda:

𝜆 =2𝐿

𝑛

Cuando trabajamos con ondas de luz o de sonido es habitual utilizar el dato de la frecuencia:

𝑣𝑝

𝑓=

2𝐿

𝑛 ⇒ 𝑓 =

𝑛 · 𝑣𝑝

2𝐿

Podemos determinar la frecuencia de las distintas ondas estacionarias que se pueden formar en el tubo abierto o en la cuerda. Cada una de ellas se llama armónico. El primer armónico será aquel cuya frecuencia se obtiene haciendo n = 1; el segundo con n = 2, etc.

Las frecuencias de los sucesivos armónicos se suelen expresar en función de la del primer armónico, 𝑓0, también llamada frecuencia fundamental:

Para el caso de la cuerda fija por sus dos extremos se obtienen los siguientes armónicos:


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Estamos diciendo que en función de la longitud de la cuerda o tamaño del tubo, cambiará la longitud de onda. Si cambia la longitud de onda y la velocidad de propagación no cambia, necesariamente tiene que cambiar la frecuencia de vibración, por eso aparecen distintos modos de vibración (ARMÓNICOS):

n Modo de vibración Longitud de onda Frecuencia Descripción (cuerda)

1 Fundamental

(primer armónico) 𝜆1 = 2𝐿 𝑓1 =

𝑣

2𝐿

2 nodos

1 vientre

2 Segundo armónico 𝜆2 =2𝐿

2 𝑓2 = 2

𝑣

2𝐿= 2𝑓1

3 nodos

2 vientres

3 Tercer armónico 𝜆3 =2𝐿

3 𝑓3 = 3

𝑣

2𝐿= 3𝑓1

4 nodos

3 vientres

4 Cuarto armónico 𝜆4 =2𝐿

4 𝑓4 = 4

𝑣

2𝐿= 4𝑓1

5 nodos

4 vientres

Para el caso del tubo abierto (por ejemplo la flauta) se obtienen los siguientes armónicos:

Ondas estacionarias en una cuerda fija por un extremo y en un tubo con un extremo abierto:

Sea una cuerda, de longitud L, con un extremo fijo y otro libre. En el extremo fijo debe existir un nodo y en el libre, un vientre.

La condición de vientre en una onda estacionaria es, según hemos visto:

𝑘𝑥 = (2𝑛 + 1)𝜋

2 ⇒ 𝑥 = (2𝑛 + 1)

𝜆

4 , 𝑛 = 0, 1, 2, …

Si aplicamos la condición de vientre al extremo libre, hacemos x = L

𝐿 = (2𝑛 + 1)𝜆

4

Despejando la longitud de onda:

𝜆 =4𝐿

(2𝑛 + 1)


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Cuando trabajamos con ondas de luz o de sonido es habitual utilizar el dato de la frecuencia:

𝑣𝑝

𝑓=

4𝐿

(2𝑛 + 1) ⇒ 𝑓 =

(2𝑛 + 1) · 𝑣𝑝

4𝐿

Esta condición es la que deben cumplir todas las ondas estacionarias que se creen en esta cuerda y que vienen descritos en la tabla y figuras siguientes:

Para este caso se obtienen los siguientes armónicos:

n Modo de vibración Longitud de onda Frecuencia Descripción (ambos)

0 Fundamental

(primer armónico) 𝜆1 = 4𝐿 𝑓1 =

𝑣

4𝐿

1 nodo

1 vientre

1 Tercer armónico 𝜆2 =4𝐿

3 𝑓3 = 3

𝑣

4𝐿= 3𝑓1

2 nodos

2 vientres

2 Quinto armónico 𝜆3 =4𝐿

5 𝑓5 = 5

𝑣

4𝐿= 5𝑓1

3 nodos

3 vientres

3 Séptimo armónico 𝜆4 =4𝐿

7 𝑓7 = 7

𝑣

4𝐿= 7𝑓1

4 nodos

4 vientres

En este caso el modo de vibración fundamental se da para n = 0.

En el caso del tubo con un extremo abierto (por ejemplo el clarinete) se obtienen los mismos armónicos:


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Para producir una onda estacionaria en un instrumento tenemos que provocar una vibración que se propague a una velocidad tal que su longitud de onda cumpla la condición de uno de los armónicos.

En los instrumentos de cuerda esto se consigue modificando la tensión a la que está sometida; y en los de viento, impulsando aire a su interior con mayor o menor energía. Los instrumentos también permiten modificar la longitud de la cuerda (pulsando en distintos puntos del mango) o del tubo (tapando orificios o alargándolo, como en el trombón), lo que puede dar lugar a otra serie de ondas armónicas.

La propagación de energía y las ondas estacionarias:

Las ondas estacionarias no son propiamente ondas, ya que no propagan la energía en el medio como lo hacen las ondas armónicas. Cada punto del medio que se ve sometido a una onda estacionaria vibra con

una amplitud que depende de su posición [2𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)].

En consecuencia, la energía de vibración en cada punto es diferente, existiendo puntos, los nodos, en los que es nula. Diremos, por tanto, que las ondas estacionarias no son ondas de propagación.

Ejercicios sobre armónicos en ondas armónicas:

1- (Aragón. Septiembre, 2006). a) Un tubo de longitud L = 34 cm tiene sus dos extremos abiertos a la atmósfera, donde el sonido se propaga con una velocidad de 340 m/s. Calcula la menor frecuencia de excitación sonora para la que se formará una onda estacionaria en el interior del tubo. Representa esta onda estacionaria, indicando la posición de nodos y vientres. Sol. f = 500 Hz.

b) Contesta las mismas cuestiones del apartado anterior, suponiendo ahora que el tubo tiene un extremo abierto y otro cerrado. Sol. f = 250 Hz.

2- (R. Murcia. Junio, 2006). En la primera cuerda de una guitarra las ondas se propaga a 422 m/s. La cuerda mide 64 cm entre sus extremos fijos. ¿Cuánto vale la frecuencia de vibración (en el modo fundamental)? Sol. f = 329,7 Hz.

3- (Aragon. Junio, 2005). Una cuerda de una guitarra de longitud L = 65 cm vibra estacionariamente en su modo fundamental a una frecuencia de 440 Hz. Representa gráficamente el perfil de esta onda, indicando la posición de nodos y vientres, y calcula la velocidad de propagación de ondas

transversales en esta cuerda. Sol. 𝑣𝑝 = 572 m/s

4- Calcula la longitud de un tubo de órgano cerrado por un extremo para que la frecuencia fundamental del sonido que emite sea de 262 Hz. ¿Cuál es la frecuencia de cada uno de los dos siguientes armónicos? Sol. L = 0,32 m. 𝑓3 = 786 𝐻𝑧 𝑦 𝑓5 = 1310 𝐻𝑧.

5- En una cuerda tensa, sujeta por sus extremos, se tiene una onda de ecuación:

𝑦 = 0,02 · 𝑠𝑒𝑛(4𝜋𝑥) · cos(200𝜋𝑡) (𝑆. 𝐼. )

Indicar el tipo de onda de que se trata y calcular razonadamente la longitud mínima de la cuerda que puede contener esa onda. ¿Podría existir esa onda en una cuerda más larga? Sol. L = 0,25 m.


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6- Realice un dibujo del cuarto armónico de una onda estacionaria en una cuerda de piano sujeta por ambos extremos.

a. Si la longitud de la cuerda es de 100 cm, ¿cuánto vale la longitud de onda? Sol. 0,5 m.

b. Si la frecuencia generada por este cuarto armónico es de 925 Hz, ¿cuánto vale la velocidad de propagación? Sol. 𝑣𝑝 = 462,5 𝑚/𝑠

c. ¿Cuánto vale la frecuencia del primer armónico? Sol. f = 231 Hz.

7- Sea un tubo de un metro de longitud, abierto por un extremo y cerrado por el otro. Produciendo mediante un sistema apropiado ondas estacionarias dentro del tubo, oímos un sonido de 84 Hz, que corresponde a la frecuencia fundamental o primer armónico. Calcula la velocidad del sonido y

determina la frecuencia del siguiente armónico. Sol. 𝑣𝑝 = 336𝑚

𝑠; 𝑓3 = 252 𝐻𝑧.

8- Considera dos tubos de la misma longitud, de 68 cm, el primero con sus dos extremos abiertos a la atmósfera y el segundo con uno abierto y el otro cerrado.

a) Calcula, para cada tubo, la menor frecuencia de excitación sonora para la que se formarán ondas estacionarias en su interior. Calcula la longitud de onda correspondiente en cada caso.

b) Representa la onda estacionaria que se forma dentro de cada tubo, indicando la posición de nodos y vientres.

Sol. Tubo abierto (𝑓 = 250 𝐻𝑧; 𝜆 = 1,36 𝑚) y tubo semi-abierto (𝑓 = 125 𝐻𝑧; 𝜆 = 2,72 𝑚).

Datos: 𝑣𝑝(𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑖𝑟𝑒) = 340 𝑚/𝑠

9- Una cuerda tensa, fija por sus dos extremos, tiene una longitud de 1,2 metros. Cuando esta cuerda se excita transversalmente a una frecuencia de 80 Hz, se forma una onda estacionaria con dos vientres.

a. Calcula la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas en esta cuerda.

b. ¿Para qué frecuencia inferior a la dada se formará otra onda estacionaria en la cuerda?

Sol. 𝜆 = 1,2 𝑚 𝑦 𝑣𝑝 = 96𝑚

𝑠; 𝑓0 = 40 𝐻𝑧.

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