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Pronostico de Secuencias Individuales Predicciones Ponderadas Aplicacion en Quantil Referencias

Pronosticos con Recomendaciones deExpertos

Quantil S.A.S.

Adrian Visbal - Quantil S.A.S.

Abril - 2015


Pronosticos con Recomendaciones de Expertos


1 Pronostico de Secuencias Individuales

Ejemplo Basico - Caso General

Formalizacion - Decisiones Secuenciales

2 Predicciones Ponderadas

Predicciones Basadas en un Potencial

Potencial polinomial

Potencial exponencial

Potencial variable en el tiempo

3 Aplicacion en Quantil

4 Referencias




Introduccion

Problema: predecir secuencias individuales {y1, y2, ...} que son elresultado de algun mecanismo desconocido que puede ser:

Determinıstico.

Estocastico.

Resultado de una reaccion o adaptacion al comportamientodel individuo que esta prediciendo la secuencia.

Este analisis se aleja de la aproximacion tradicional en la que lasecuencia observada es la realizacion de un proceso estocastico. Notengo una distribucion de probabilidad para la secuencia.





Descripcion problema:

Predecir secuencia {y1, y2, ...} de bits yt ∈ {0, 1}.En cada momento t, N expertos hacen sus pronosticos: vectorbinario (f1,t, ..., fN,t), donde fi,t ∈ {0, 1}.En cada momento t, el jugador hace su pronostico pt ∈ {0, 1},basado en las recomendaciones de los N expertos.Objetivo: acotar el numero de errores del jugador pt 6= yt.

Suponemos que hay un experto i que no comete errores:fi,t = yi, ∀i, t. No sabemos cual experto es.

El jugador empieza asignando un peso wj = 1 a cada expertoj = 1, ..., N .

En cada momento t, el jugador predice pt = 1 si el numero deexpertos j con wj = 1 y fj,t = 1 es mayor que el de aquelloscon wj = 1 y fj,t = 0.





Al ser revelado yt: si pt 6= yt, entonces el jugador asigna elpeso wk ←− 0 a todos aquellos expertos k tales que fk,t 6= yt.El jugador predice teniendo en cuenta los expertos que, hastael momento t, nunca se han equivocado.

Sea Wm la suma de los pesos de los expertos despues de queel jugador ha cometido m errores. En t = 0: m = 0 yW0 = N .

Cuando el jugador comete su error mth, al menos la mitad delos expertos que no se habıan equivocado, cometen su primererror. Por lo tanto: Wm ≤Wm−1/2.

Esta desigualdad se mantiene ∀m ≥ 1⇒Wm ≤W0/2m.





Experto i no comete errores (wi = 1)⇒Wm ≥ 1.

W0 = N ⇒ 1 ≤ N/2m.

Solucionando para m se obtiene: m ≤ log2N .

Se obtiene una cota superior para el numero de errores, la cualdepende del numero de expertos N que se consideren parahacer las pronosticos.





Caso General

Mismo problema pero sin el supuesto de tener un experto queno cometa errores.

Nuevo objetivo: relacionar el numero de errores que comete eljugador con el numero de errores que comete el mejorexperto. Y acotar errores.

Ya no tiene sentido asignar un peso wk ←− 0 al experto k quecometa un error (no tengo la certeza de que hay uno quenunca se equivocara).

Cambio: wk ←− βwk, cada vez que el experto k cometa unerror, donde 0 < β < 1 (parametro libre). Cada vez que unexperto cometa un error, se reduce su peso en un factorconstante β.





En cada momento t, el jugador predice pt = 1 si el pesoasignado a los expertos j con fj,t = 1 es mayor que el deaquellos con fj,t = 0.

Cuando el jugador comete su error mth, el peso de losexpertos incorrectos es al menos Wm−1/2; mientras que el delos expertos correctos es como maximo Wm−1/2.

El peso de los expertos incorrectos es multiplicado por β,mientras que el de los correctos permanece igual. Por lo tanto:Wm ≤Wm−1/2 + βWm−1/2.

Esta desigualdad se mantiene ∀m ≥ 1, por lo tanto:Wm ≤W0(1 + β)m/2m.





Sea l el experto que ha cometido la menor cantidad de errorescuando el jugador comete su error mth. Su numero mınimo deerrores se denota por m∗ y, por lo tanto, su peso actual eswl = βm

∗. Entonces, Wm ≥ βm

∗.

Esto lleva a la desigualdad βm∗ ≤W0(1 + β)m/2m. Con

W0 = N y resolviendo para m, se obtiene:

m ≤ log2N +m∗log2(1/β)

log2(2/(1 + β))

Para un valor dado de β, esta desigualdad establece unarelacion lineal entre el numero de errores m cometidos por eljugador, despues de cierta cantidad de pronosticos, y elnumero de errores cometidos por el mejor experto despues deesa misma cantidad de pronosticos.





Parametros:

D: espacio de decision convexo.Y: espacio de resultados .l : D×Y → R: funcion de perdida (no negativa).E : conjunto de expertos. Numero finito de expertos (1, ..., N).

Para cada perıodo t = 1, 2, ...:

1 Los expertos hacen sus pronosticos {fE,t ∈ D : E ∈ E} y sonrevelados al jugador (agente).

2 El jugador hace su predicion pt ∈ D una vez conocidos lospronosticos de los expertos.

3 La naturaleza (adversario) escoge el proximo resultado yt ∈ Y.4 El jugador incurre en una perdida l(pt, yt) y cada experto E en

una perdida l(fE,t, yt).





La perdida acumulada del experto E hasta el perıodo n(LE,n) se define como:

LE,n =

n∑t=1

l(fE,t, yt)

Analogamente, la perdida acumulada del jugador es: Ln.

El arrepentimiento (acumulado) o regret RE,n del jugador conrespecto al experto E, hasta el perıodo n, se define como:

RE,n = Ln − LE,n

Y el arrepentimiento instantaneo se define como:

rE,n = l(pt, yt)− l(fE,t, yt)⇒ RE,n =

n∑t=1

rE,t





Objetivo del jugador: minimizar el arrepentimiento acumuladoRE,n respecto a cada experto E, para toda realizacion posiblede resultados.

Por ejemplo: el objetivo podrıa ser que para toda secuencia deresultados:

lımn→∞

maxi=1,...N

Ri,nn

= 0

O de forma equivalente:

lımn→∞

1

n

(Ln −mın

E∈ELE,n

)→ 0




Predicciones Ponderadas

Una estrategia natural del jugador para hacer sus predicciones esasignar un promedio ponderado a los pronosticos de los expertos:

pt =

N∑i=1wi,t−1fi,t

N∑i=1wi,t−1

donde wi,t−1 ≥ 0 son los pesos que se le asocian a cada experto enel momento t. La notacion hace referencia a que los pesos debenescogerse con base en la informacion revelada hasta t− 1.pt ∈ D: combinacion de fi,t ∈ D.




Si Ri,t−1 es grande entonces el experto i tiene una perdida acumula-da pequena, por lo tanto, su peso asignado (wi,t−1) debe ser grande.En particular (por conveniencia), vamos a suponer que:

wi,t−1 = φ′(Ri,t−1)

donde φ : R→ R es una funcion no negativa, convexa y creciente.

⇒ pt =

N∑i=1φ′(Ri,t−1)fi,t

N∑i=1φ′(Ri,t−1)

Alternativamente, se definiran cierto tipo de predicciones basadasen una funcion potencial.





Definicion (Predicciones Basadas en un Potencial)

Definamos la funcion potencial Φ : RN → R de la forma:

Φ (u) = ψ

(N∑i=1

φ(ui)

)

donde φ : R→ R es una funcion no negativa, convexa, creciente ydos veces diferenciable y ψ : R→ R es una funcion no negativa,estrictamente creciente, concava y dos veces diferenciable. Unaprediccion basada en el potencial Φ es una prediccion de la forma:

pt =∇Φ (Rt−1) · ftN∑i=1∇Φ (Rt−1)i

,donde Rt−1 = (R1,t−1, ..., RN,t−1) .





Φ(Rt−1) = ψ

(N∑i=1

φ(Ri,t−1)

)

⇒ ∇Φ (Rt−1)j =∂Φ(Rt−1)

∂Rj,t−1

∇Φ (Rt−1)i = ψ′

(N∑i=1

φ(Ri,t−1)

)φ′(Rj,t−1)

⇒ pt =

N∑i=1φ′(Ri,t−1)fi,t

N∑i=1φ′(Ri,t−1)

→ Independiente de ψ





Lema (Condicion de Blackwell)

Si la funcion de perdida es convexa en el primer argumentoentonces:

supyt∈Y

rt · ∇Φ (Rt−1) ≤ 0

Prueba.

supyt∈Y

rt · ∇Φ (Rt−1) ≤ 0⇔ supyt∈Y

N∑i=1

ri,tφ′(Ri,t−1) ≤ 0

Usar desigualdad de Jensen para llegar a la segunda expresion.





El siguiente teorema aplica a cualquier tipo de pronostico que sa-tisfaga la condicion de Blackwell y no unicamente a pronosticosponderados. No requiere que φ sea convexa.Sea rt = (r1,t, ..., rN,t) el vector de arrepentimiento instantaneo.

Teorema

Supongamos que los pronosticos de un jugador satisfacen lacondicion de Blackwell para cierto potencial Φ, entonces:

Φ (Rn) ≤ Φ(0) +1

2

n∑i=1

C(rt)

donde,

C(rt) = supu∈RN

ψ′

(N∑i=1

φ(ui)

)N∑i=1

φ′′(ui)r2i,t





Una aplicacion del Teorema 1 es: Supongamos que φ es invertible.Entonces, como ψ es invertible por definicion de funcion potencial,entonces:

ψ

(φ

(max

i=1,...,NRi,n

))≤ ψ

(N∑i=1

φ (Ri,n)

)= Φ(Rn)

⇒max

i=1,...,NRi,n ≤ φ−1

(ψ−1(Φ(Rn))

)y Φ(Rn) se puede limitar por la cota que arroja el teorema.





Ejemplo (Potencial Polinomial)

Considere el siguiente potencial denominado el potencialpolinomial:

Φp(u) =

(N∑i=1

(ui)p+

)2/p

= ‖u‖p+

donde p ≥ 0. Si calculamos los pesos, podemos ver que laprediccion satisface:

pt =

N∑i=1

(Ri,t−1)p−1+ fi,t

N∑i=1

(Ri,t−1)p−1+





Corolario (Cotas para predictor polinomial)

Supongamos que la funcion de perdida l es convexa en su primerargumento y toma valores en [0, 1]. Entonces para todo n ≥ 1,p ≥ 2 y realizacion y1, ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento del predictorpolinomial satisface:

Ln − mıni=1,...N

Li,n ≤√n(p− 1)N2/p

Si p = 2⇒ Ln − mıni=1,...N

Li,n ≤√nN

Optimizar esta cota superior para el predictor polinomial, sugiereusar p = 2ln(N)

⇒ Ln − mıni=1,...N

Li,n ≤√n(2ln(N)− 1)e





Ejemplo (Potencial Exponencial)

Considere el siguiente potencial denominado el potencialexponencial:

Φη(u) =1

ηln

(N∑i=1

eηµi

)donde η > 0. Si calculamos los pesos, podemos ver que laprediccion satisface:

pt =

N∑i=1e−ηLi,t−1fi,t

N∑i=1e−ηLi,t−1





Ventajas:

La prediccion solo depende del rendimiento pasado de losexpertos y no de las predicciones pasadas del jugador comosı es el caso con predictores basados en otro potenciales.Los pesos satisfacen una recursion simple.

wi,t =wi,t−1e

−ηl(fi,t,yi,t)

N∑i=1

wi,t−1e−ηl(fi,t,yi,t)

Desventajas:

La eleccion optima del parametro η depende de n (numerototal de rondas de prediccion).





Corolario (Cotas para predictor exponencial)

Supongamos que la funcion de perdida l es convexa en su primerargumento y toma valores en [0, 1]. Entonces para todo n ≥ 1,η > 0 y realizacion y1, ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento del predictorexponencial satisface:

Ln − mıni=1,...N

Li,n ≤ln(N)

η+nη

2

Optimizar esta cota superior para el predictor exponencial, sugiere

usar η =

√2 ln(N)n

⇒ Ln − mıni=1,...N

Li,n ≤√

2n ln(N)





La cota optima encontrada para el predictor exponencial, puede sermejorada a traves del siguiente teorema:

Teorema

Supongamos que la funcion de perdida l es convexa en su primerargumento y toma valores en [0, 1]. Entonces para todo n ≥ 1,η > 0 y realizacion y1, ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento del predictorexponencial satisface:

Ln − mıni=1,...N

Li,n ≤ln(N)

η+nη

8

Si η =

√8 ln(N)

n⇒ Ln − mın

i=1,...NLi,n ≤

√n

2ln(N)





“Double-tricking”La cota del predictor exponencial depende del parametro η, por lotanto no se mantiene uniforme para secuencias de resultados decualquier longitud, sino para una longitud determinada n. Esta des-ventaja puede solucionarse a traves de una tecnica conocida como“double-tricking”:

Dividir el tiempo en perıodos cuyas longitudes sean crecientesexponencialmente. Dentro de cada perıodo se tienen variasrondas de prediccion.

En cada perıodo se optimiza η para la longitudcorrespondiente.

Los pesos pueden hallarse recursivamente dentro de cadaperıodo. Al finalizar el perıodo, se reinician los pesos y sevuelve a optimizar η para el intervalo correspondiente.





Usando la tecnica de “double-tricking”, para todo n ≥ 1 y reali-zacion y1, ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento del predictor exponencialsatisface:

Ln − mıni=1,...N

Li,n ≤√

2√2− 1

√n

2ln(N)

Esta cota es mayor que la cota optima encontrada en el Teorema 2,

por el factor√2√

2−1 ≈ 3,41.

Para mejorar esta cota, se evita la tecnica de “double-tricking”, yse recurre a funciones potenciales cuyos parametros varıan en eltiempo.






Cuando η =

√8 ln(N)n obtengo la mejor cota no-uniforme para el

predictor exponencial. Por lo tanto, una forma de escoger el potencialexponencial con parametro variable en el tiempo es:

ηt =

√8 ln(N)

t

donde t es el numero de la ronda de prediccion en que nos encon-tramos. La cota optima esta dada por el siguiente teorema:





Teorema

Supongamos que la funcion de perdida l es convexa en su primerargumento y toma valores en [0, 1]. Entonces para todo n ≥ 1,

ηt =

√8 ln(N)

t y realizacion y1, ..., yn ∈ Y, el arrepentiemiento delpredictor exponencial satisface:

Ln − mıni=1,...N

Li,n ≤ 2

√n

2ln(N) +

√ln(N)

8

Esta cota es menor que la encontrada a traves de la tecnica de“double-tricking”.




Aplicacion en Quantil

Modelo de optimizacion de portafolio (CARM): generacion de viewscomo uno de los inputs fundamentales del modelo.

Variable a pronosticar: precio objetivo de cada accion (view).

Expertos: analistas (empresas) que reportan precios objetivospara cada accion.

Por definir:

Tipo de predictor.

Funcion de perdida para evaluar precision de los pronosticos.

Horizonte de evaluacion de los pronosticos (¿Precio objetivo acuanto tiempo?).




Tipo de predictorPredictor exponencial con parametro variable en el tiempo:El precio objetivo en cada ronda de prediccion (pt) estara dado por:

pt =

N∑i=1e−ηtLi,t−1fi,t

N∑i=1e−ηtLi,t−1

, ηt =

√8 ln(N)

t

Donde,

N : numero total de analistas (empresas) por accion.

fi,t: precio objetivo del analista i en cada ronda de prediccion.

Li,t−1: perdida acumulada del analista i hasta la ronda deprediccion t− 1.




Funcion de perdida

Segun revision de literatura, algunas medidas propuestas para de-terminar la precision en los precios objetivos de los analistas son:

Bilinski et al.(2012) - Target Price Accuracy: InternationalEvidence.

Met−Any: variable indicadora que es igual a 1 si el precio dela accion toca el precio objetivo en cualquier momento hastaun perıodo de 12 meses.

aTPE = |TP−Prev|P0

,donde TP :precio objetivo, P12:precio de cierre en 12 meses,P0:precio de cierre en fecha de emision del precio objetivo.




Met−Any − rev: variable indicadora que es igual a 1 si elprecio de la accion toca el precio objetivo desde la emision delprecio objetivo hasta el momento de la actualizacion.

aTPE − rev = |TP−P12|P0

,donde TP :precio objetivo, Prev:precio de cierre en fecha deactualizacion, P0:precio de cierre en fecha de emision delprecio objetivo.




Bradshaw et al.(2012) - Analyst Target Prices and ForecastAccuracy around the World.

Clasifican los pronosticos de precio objetivo en: compra (siTP > P0) y venta (si TP ≤ P0).Acc12: porcentaje de dıas, entre la fecha de emision del precioobjetivo y la fecha en la que se cumpla el horizonte de 12meses, en los que el precio de la accion es mayor que el precioobjetivo si es senal de compra (o menor si es senal de venta).Tambien lo analizan para un horizonte de 3 y de 6 meses (paratener en cuenta las actualizaciones del precio objetivo).TPMet = Met−Any.




Kerl (2010) - Target Price Accuracy.

AM = |TP−P12|TP

AM −Adj = 1−|TP−P12|

TP

V olatilityEstas medidas pueden ajustarse en caso de una actualizaciondel precio objetivo del analista, segun lo propuesto por Bilinskiet al.(2012).

Sugerencia: realizar ejercicio de pronostico con las medidas:aTPE(Bilinski), AM y AM − Adj (Kerl), teniendo en cuenta elajuste en caso de actualizacion del precio objetivo antes del horizontede 12 meses, propuesto en Bilinski (2012).




Cesa-Bianchi N., Lugosi G., (2006). Prediction, Learning, and Games.

Bilinski P., Lyssimachou D., Walker M., (2012). Target Price Accuracy:International Evidence.

Kerl A., (2010) - Target Price Accuracy

Bradshaw M., Huang A., Tan H., (2012) - Analyst Target Prices and Forecast

Accuracy around the World



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