programación por metas
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Programación por metasInvestigación de operacions avanzadaTRANSCRIPT
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SEPI - UPIICSA – IPN Investigación de operaciones Avanzada
Maestría en Ingeniería Industrial
Sesión 7
Programación por metas
Introducción Se ha visto que un modelo de programación lineal está constituido de una o más restricciones,
pero de una sola función objetivo. Sin embargo, en muchas de sus aplicaciones pueden existir
objetivos múltiples. En estos casos no se deben aplicar los modelos lineales de la forma que
hemos revisado. Además en muchas ocasiones no se obtiene la solución óptima, sino la más
factible. Lo anterior se debe a que los objetivos múltiples pueden ser opuestos y por consiguiente
sería sumamente difícil que una solución que resulta óptima en la minimización de recursos sea la
misma para el caso de maximización de recursos. Por tales razones sólo se habla de soluciones eficientes.
Se puede decir que la programación por metas es una técnica de la investigación de
operaciones y una herramienta de toma de decisiones dentro de la organización. La programación
por metas sirve para tratar problemas de decisión gerencial que comprenden metas múltiples de
acuerdo a la importancia que se les asigne a éstas. El generador de decisiones (directivo) debe ser
capaz de establecer al menos una importancia, para clasificar dichas metas.
Programar por metas es realizar un modelo de programación lineal donde se tenga una
función objetivo que optimizar y sujeta a una o varias restricciones. Sin embargo, se caracteriza
por dos conceptos nuevos. El primero es el de las restricciones de meta en lugar de las
restricciones de recurso o disponibilidad y el segundo concepto es el de rango de prioridad entre
las funciones de objetivo.
Ventajas de la programación por metas:
• Una ventaja de la programación por metas es su flexibilidad en el sentido de que permite
al directivo que toma las decisiones, experimentar con una multitud de variaciones de las
restricciones y de prioridades de las metas cuando se involucra con un problema de
decisión de objetivos múltiples.
• Permite tomar decisiones más estudiadas, no decisiones arbitrarias que lo único que
pueden ocasionar es la inestabilidad económica de la empresa.
PASOS EN LA FORMULACIÓN DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN POR METAS:
• Fijar los atributos que se consideran relevantes para el problema que se está analizando.
Este concepto se refiere a valores de la gerencia relacionados con una realidad que se
pueda alcanzar. Estos valores pueden medirse independientemente de los deseos del
centro decisor, siendo usualmente susceptibles de expresarse como una función
matemática de las variables de decisión.
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
2
• Determinar el nivel de aspiración (meta) que corresponde a cada atributo, es decir, el
nivel de logro que la gerencia desea alcanzar. Definir si se quiere maximizar o minimizar
el atributo.
• Conectar el atributo con el nivel de aspiración, por medio de la introducción de las
variables de déficit y exceso. Las variables de déficit cuantifican la falta de logro de una
meta con respecto a su nivel de aspiración, mientras que las variables de exceso
cuantifican lo que sobrepaso el logro de una meta con respecto a su nivel de aspiración.
• Establecer el concepto de variable de decisión no deseada. Una variable de decisión se
dice que no es deseada cuando al gerente de la empresa le interesa que la variable en
cuestión alcance su valor más pequeño (esto es cero). Cuando la meta u objetivo es
maximizar, la variable no deseada es minimizar. Finalmente, cuando se desea alcanzar
exactamente el nivel de aspiración tanto la variable de déficit como la de exceso son
variables no deseadas y por tanto variables a minimizar.
FUNCIÓN OBJETIVO
La función objetivo para un problema de programación por meta siempre es minimizar alguna
combinación de variables de déficit. Desde un punto de vista de toma de decisiones
administrativa, esto significa que se está buscando la combinación de variables reales por
ejemplo (mesas y sillas) que cumplan mejor con todos los objetivos. Esto podría llamarse
optimizar un conjunto de objetivos "satisfactorios" o a satisfacer.
La forma exacta de la función objetivo varia según la respuesta a estas dos preguntas:
1. ¿Son conmensurables o proporcionales los objetivos?
2. ¿Cuál es la importancia relativa de cada objetivo?
• Objetivos conmensurables de igual importancia: este es el caso más sencillo, aunque muy
pocas veces se encuentra en la práctica. Aquí los objetivos se miden en una escala común
y tienen la misma importancia.
• Ponderación preferente de los objetivos: las ponderaciones de preferencia pueden
aplicarse a cualquier grupo de objetivos conmensurables. Las ponderaciones deben
reflejar la utilidad o el valor de los objetivos.
• Rango de prioridad de los objetivos: ¿qué pasa cuando los objetivos no son
conmensurables, cuando no hay una escala común para comparar las desviaciones de los
diferentes objetivos?. Este es un caso importante, al que se enfrentan con frecuencia los
administradores. Si el administrador puede ordenar o dar un rango para sus metas
entonces la solución es posible.
Quizás no sea una tarea fácil dar un rango a los objetivos de acuerdo con su importancia
pero es algo que la mayoría de las personas entienden y pueden lograr. En la programación por
objetivos se le asigna la prioridad P1 al objetivo más importante, siguiendo P2 a una prioridad
más baja. No existe límite en el número de niveles de prioridad pero debe asignarse una prioridad
para cada variable de déficit o exceso. Se permiten empates o prioridades iguales.
Los problemas de programación por meta se resuelven en orden de prioridad. Es decir, se
prueba la optimización en el nivel de prioridad más alto ignorando las prioridades más bajas hasta
optimizar este nivel.
Investigación de Operaciones Avanzada. Sesión 7
3
En esta sesión revisaremos los métodos más comunes de soluciones eficientes, cuando
tenemos un problema con objetivos múltiples.
1.- MÉTODO DE UN SÓLO OBJETIVO
Este método se utiliza cuando dos o más objetivos están en conflicto y consiste en proponer un
objetivo como la función objetivo y los demás objetivos plantearlos como restricciones.
EJEMPLO 1
Considere la problemática de un administrador forestal. La ley especifica que debe administrar el
bosque de manera de estimular el crecimiento de árboles, aumentando los refugios para los animales
y que lo haga a costo mínimo. Suponga que existen dos actividades básicas: limpiar el bosque (cortar
arbustos) y abrir brechas contra incendio. Cada una de estas actividades tiene un costo y requiere
mano de obra. También produce beneficios y daños. En la tabla de abajo se muestran los parámetros
asociados a una hectárea de bosque limpiada y un kilómetro de brecha para incendio.
Concepto
Actividad forestal Limpieza Abrir brecha
Costos Costo um 500 500
Mano de obra (horas) 150 50
Beneficios Crecimiento árboles 10 5−
Refugio para animales 10− 60
Los recursos que dispone el administrador son: 90,000 horas de trabajo, las condiciones del bosque
limitan los kilómetros de brecha contra incendio a 300 y el presupuesto disponible es de 350,000um.
El problema del administrador consiste en determinar el número de hectáreas limpias ( 1x ) y los
kilómetros de brecha abiertos ( 2x ), para que proporcione el máximo crecimiento de los árboles y
todo el refugio posible para los animales.
Solución
Vemos que tenemos dos objetivos
Crecimiento de árboles: 21 510max xxZ −=
Refugio de animales: 21 6010max xxZ +−=
Las restricciones son:
≤+
≤
≤+
350000500500
300
9000050150
21
2
21
xx
x
xx
Para resolver el problema buscamos la frontera eficiente, la misma que obtenemos al
proponer una de las funciones objetivo como restricción.
En este caso tenemos dos objetivos el crecimiento de árboles y la cantidad de refugios, para
ejemplificar proponemos a los refugios como una nueva restricción, pero para esto requerimos
una acotación de los refugios en este caso debe ser una cantidad mínima que se quiera satisfacer.
Vamos a determinar la frontera eficiente, dando valores mínimos a los refugios, desde cero hasta
16,500 con saltos de 500 refugios. Es decir, el problema a resolver será:
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
4
21 510max xxZ −=
≥+−
≤+
≤
≤+
cxx
xx
x
xx
21
21
2
21
6010
350000500500
300
9000050150
En donde, c representa los requerimientos mínimos de refugio a satisfacer y le daremos los
valores de: 500, 1000, 1500, 2000, etc. sus resultados se muestran en la siguiente tabla.
Refugio Árboles X1 X2 Refugio Árboles X1 X2
0 5211 568 95 8500 3679 479 221
500 5145 566 103 9000 3571 471 229
1000 5079 563 111 9500 3464 464 236
1500 5013 561 118 10000 3357 457 243
2000 4947 558 126 10500 3250 450 250
2500 4882 555 134 11000 3143 443 257
3000 4816 553 142 11500 3036 436 264
3500 4750 550 150 12000 2929 429 271
4000 4643 543 157 12500 2821 421 279
4500 4536 536 164 13000 2714 414 286
5000 4429 529 171 13500 2607 407 293
5500 4321 521 179 14000 2500 400 300
6000 4214 514 186 14500 2000 350 300
6500 4107 507 193 15000 1500 300 300
7000 4000 500 200 15500 1000 250 300
7500 3893 493 207 16000 500 200 300
8000 3786 486 214 16500 0 150 300
Gráficamente la frontera eficiente se muestra a continuación.
Curva de la frontera eficiente para el objetivo de árboles
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
0
10
00
20
00
30
00
40
00
50
00
60
00
70
00
80
00
90
00
10
00
0
11
00
0
12
00
0
13
00
0
14
00
0
15
00
0
16
00
0
Cantidad de refugios
Can
tid
ad d
e Á
rbo
les
Ahora la elección de cuántos refugios pedir se debe cumplir y con ello tendremos la
maximización de los árboles.
Investigación de Operaciones Avanzada. Sesión 7
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2.- MÉTODO PONDERACIÓN DE OBJETIVOS
Este método se utiliza cuando se tienen dos o más objetivos que son del mismo tipo, ya sea
maximizar o minimizar. El método consiste en ponderar los objetivos y sumarlos.
EJEMPLO 2
En el ejemplo anterior tenemos dos objetivos similares de maximización, por tales razones si es
posible ponderar las unidades de árboles y las de refugio, podemos establecer un problema de
ponderación de objetivos.
Solución
En este caso se puede apreciar que una ponderación factible se puede hacer con el dinero.
Supóngase que una unidad de crecimiento de árbol es equivalente a 600um y una unidad de
refugio para animales es equivalente a 100um. De la tabla anterior tenemos dos actividades
forestales y cada una de ellas la vamos a ponderar.
Limpieza: Por cada hectárea que se limpie se producen 10 unidades de árboles y se eliminan 10
unidades de refugio para animales con un costo de 500um.
4500500)100(10)600(10 =−− um.
Abrir brecha: Por cada kilómetro abierto de brecha contra incendio se producen 60 unidades de
refugio y se eliminan 5 árboles con un costo de 500um, de donde el beneficio neto
2500500)100(60)600(5 =−+− um.
Por lo tanto, el problema a resolver estará dado por:
21 25004500max xxZ +=
Las restricciones son:
≤+
≤
≤+
350000500500
300
9000050150
21
2
21
xx
x
xx
Ejemplo 2 X1 X2 Horas de trab. 150 50 90000 <= 90000 Km de brecha 1 150 <= 300 Presupuesto 500 500 350000 <= 350000 Max árboles 4500 2500 2850000 Solución 550 150
Luego, cuando se limpian 550 hectáreas y abriendo 150 kilómetros de brecha se tiene la
utilidad máxima de 2,850,000um.
3.- MÉTODO PROGRAMACIÓN CON METAS Este método se utiliza cuando el decisor especifica las metas deseables en cada objetivo. Para que
sea factible alcanzar una meta se tiene que introducir dos tipos de variables en cada objetivo, una
para que tome valores en caso de no alcanzar la meta (déficit, iD ) y la otra para que tome valores
en caso de pasar la meta (exceso, iE ). Así, al problema original se le agregan las restricciones de
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
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cada objetivo, mientras que la función objetivo estará formada por la minimización de los déficit
y excesos que se agregaron a cada objetivo si es que son ponderados con algún costo.
EJEMPLO 3
En el ejemplo 1 suponga que el decisor especifica metas deseables para cada uno de los dos
objetivos, que consisten en 5000 unidades de árboles y 6000 unidades de refugio. Además de
tener como meta el no sobrepasar el presupuesto, en caso de sobrepasarlo se penaliza cada unidad
que sobrepase con 5um.
Solución En este caso denotamos los déficits por iD y los excesos por iE , de tal forma que las
restricciones son:
=−++−
=−+−
=−++
≤
≤+
60006010
5000510
350000500500
300
9000050150
2221
1121
3321
2
21
EDxx
EDxx
EDxx
x
xx
Para poder establecer una función objetivo requerimos ponderar las variables de déficit y
las de exceso para que estén en las mismas unidades y se puedan comparar.
Así, la carencia de una unidad de árbol vale 600um y la de refugio 100um, mientras que si
los excesos se penalizan (no siempre ocurre), por ejemplo un exceso en una unidad de árbol es
50um y la de refugio de 25um, tendremos:
321321 52550100600min EEEDDDZ +−−−+=
Sujeta a
=−++−
=−+−
=−++
≤
≤+
60006010
5000510
350000500500
300
9000050150
2221
1121
3321
2
21
EDxx
EDxx
EDxx
x
xx
X1 X2 D1 D2 D3 E1 E2 E3 Horas de trabajo. 150 50 90000 <= 90000 Km de brecha 1 150 <= 300
Presupuesto 500 500 1 -1 350000 = 350000
10 -5 1 -1 5000 = 5000
-10 60 1 -1 6000 = 6000
MIN-DEFICIT 600 100 -1 -50 -25 5 $400,000
Solución 550 150 250 2500 0 0 0 0
Investigación de Operaciones Avanzada. Sesión 7
7
En estas condiciones sobre la optimización de metas, obtenemos la solución más eficiente
cuando se limpian 550 hectáreas y se abre brecha en 150 kilómetros. Con los siguientes déficit en
árboles y unidades de refugio de 250 y 2,500, respectivamente (sus metas eran 5000 y 6000).
4.- MÉTODO PROGRAMACIÓN CON PRIORIDADES
Este método es casi idéntico al anterior, pero en lugar de una sola función objetivo con todas las
variables de déficit y exceso, se va resolviendo un problema simplex para cada variable, según
sea su prioridad establecida por el decisor. El proceso de pruebas termina cuando una de estas
variables toma valores diferentes de cero y las demás prioridades no se consideran.
EJEMPLO 4
En el ejemplo anterior suponga las siguientes prioridades:
1. Minimizar el déficit de árboles, 1D .
2. Minimizar el déficit de refugio, 2D .
3. Minimizar el exceso de presupuesto, 3E .
4. Maximizar el exceso de refugio, 2E .
5. Maximizar el exceso en árboles, 1E .
6. Maximizar el déficit de presupuesto, 3D .
Solución
1min DZ =
Sujeta a
=−++−
=−+−
=−++
≤
≤+
60006010
5000510
350000500500
300
9000050150
2221
1121
3321
2
21
EDxx
EDxx
EDxx
x
xx
2min DZ =
Sujeto a
=−++−
=−−
=−++
≤
≤+
60006010
5000510
350000500500
300
9000050150
2221
121
3321
2
21
EDxx
Exx
EDxx
x
xx
D1 X1 X2 D1 D2 D3 E1 E2 E3 Horas de trab. 150 50 90000 <= 90000 Km de brecha 1 120 <= 300 Presupuesto 500 500 1 -1 350000 = 350000 10 -5 1 -1 5000 = 5000 -10 60 1 -1 6000 = 6000 MIN-DEFICIT 1 $0 Solución 560 120 0 4400 10000 0 0 0
Eliminamos el primer déficit de las restricciones (resultó cero) y resolvemos para la
segunda prioridad: 2min DZ =
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
8
D2 X1 X2 D2 D3 E1 E2 E3 Horas de trab. 150 50 90000 <= 90000 Km de brecha 1 120 <= 300 Presupuesto 500 500 1 -1 350000 = 350000 10 -5 -1 5000 = 5000 -10 60 1 -1 6000 = 6000 MIN-DEFICIT 1 $4,400 Solución 560 120 4400 10000 0 0 0
En esta parte terminamos con una solución eficiente de 560 hectáreas limpiadas y 120 kilómetros
para abrir brecha, sin cumplimiento de la segunda prioridad existe un déficit de 4400 refugios de
6000 que se requerían como meta.
EJEMPLO 5
La administración de Alfred Franko Co; estableció las metas de participación de mercado que
quiere que cada uno de los dos productos capte en sus respectivos mercados. En particular, la
administración quiere que el producto 1 capte al menos el 15% de su mercado y que el producto 2
capte al menos 10% de su mercado. Se planean tres campañas publicitarias para tratar de lograr
estas participaciones de mercado. Una está dirigida en forma directa al primer producto. La
segunda se dirige al segundo producto. La tercera está pensada para reforzar la reputación general
de la compañía y sus productos. Sean 21 , xx y 3x las cantidades de dinero asignadas (en millones
de um) a estas campañas, respectivamente. La participación de mercado resultante (expresada
como un porcentaje) de los dos productos se estima como:
Porcentaje de mercado para el producto 31 2.05.01 xx +=
Porcentaje de mercado para el producto 32 2.03.02 xx +=
Un total de 55 millones de um está disponible para las tres compañías publicitarias, pero la
administración quiere que al menos 10 millones de um se dediquen a la tercera campaña. Si no se
pueden lograr ambas metas de porcentaje de mercado, la administración considera que cada
disminución de 1% en la participación de mercado de la meta es igualmente seria para los dos
productos. Con esto, la administración quiere saber de qué modo asignar con mayor efectividad
el dinero disponible en las tres campañas.
a) Describa porqué éste problema es uno de programación lineal por metas y proporcione las
expresiones cuantitativas para las metas y el objetivo global.
b) Formule y resuelva éste problema.
c) Interprete la solución de éste problema en el lenguaje de la administración.
Solución
Planteamiento del modelo.
Paso 1. Definición de variables.
=ix Cantidades de dinero asignadas a la campaña i ( 3,2,1=i )
Paso 2. Metas
Investigación de Operaciones Avanzada. Sesión 7
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%152.05.0 31 ≥+ xx Porcentaje de mercado para el producto 1
%102.03.0 31 ≥+ xx Porcentaje de mercado para el producto 2
Paso 3. Restricciones
55321 ≤++ xxx um (millones) Total disponible
103 ≥x um (millones) disponible para la campaña 3
Agregando los déficit y excesos por restricción
10
55
102.03.0
152.05.0
3
321
2231
1131
≥
≤++
=−++
=−++
x
xxx
EDxx
EDxx
Paso 4. Función Objetivo
21min DDZ += Paso 5. Cálculos
X1 X2 X3 D1 D2 E1 E2
Porcentaje mercado 1 0.5 0.2 1 -1 15 = 15 Porcentaje mercado 2 0.3 0.2 1 -1 10 = 10 Presupuesto 1 1 1 55 <= 55
Pres. campaña 3 1 41.6667 >= 10
min= 1 1 1.66667 Solución 13.333 0 41.667 0 1.667 0 0 Paso 6. Conclusiones La mejor solución se obtiene al dedicar 13.333 um (millones) a la campaña 1 y 41.667 um
(millones) a la campaña 3. Para lo anterior se dispone de todo el capital 55 millones de um y se
pasa en 31.6667 millones um para la campaña 3
EJEMPLO 6
Una fábrica elabora cuatro productos etiquetados como A, B, C y D. El comité ejecutivo está
reunido para decidir sobre la mezcla de los productos. El director desea la mezcla que alcance la
mayor utilidad; el gerente de ventas desea obtener la mayor participación del mercado, y el
gerente de producción desea que las instalaciones de producción funcionen en equilibrio. El
presidente debe mediar entre estos objetivos potencialmente conflictivos. La información sobre
los cuatro productos aparece en la tabla siguiente, que muestra las horas necesarias por unidad
para cada producto en ensamble y en ensayo, y el tiempo de maquinado, así como el tiempo en
los departamentos 1 y 2.
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
10
Concepto Producto
A B C D
Recursos:
Tiempo de ensamble (horas) 4 15 5 2
Tiempo de ensayo (horas) 2 2 2 1
Tiempo de maquinado (horas) 6 2 10 12
Departamento 1 (horas) 1 2 1 *1
Departamento 2 (horas) 1/2 1 2 *
Metas:
Utilidad (UM) 10 50 20 5
Participación en el mercado (puntos) 1 1 1 1
La utilidad por unidad para cada producto también se muestra en la tabla anterior. El
director piensa que la fábrica debería enfatizar en los productos B y C, ya que éstos producen la
mayor utilidad por unidad, su aspiración sería obtener una utilidad de 10,000 um.
El gerente de mercadotecnia considera cada producto como una venta y, por consiguiente,
cuenta como un punto en la participación de mercado, es decir, que equivale a una participación
de 0.01 %, su meta es de 800 puntos de participación (es decir, 8% del mercado total).
El gerente de producción anota que la fábrica dispone de 3,000 horas de ensamble, 1,000 de
tiempo de ensayo, y 7,500 de tiempo de maquinado. No existen límites de horas para los
departamentos 1 y 2. Sin embargo, es el equilibrio de las horas trabajadas en estos departamentos
lo que preocupa. Al gerente de producción le gustaría que la cantidad de horas trabajadas en los
departamentos 1 y 2 fuera igual o lo más cercana posible.
El presidente decidió que debe darse un peso a cada objetivo. Una utilidad de una um vale
lo mismo, sin tener en cuenta sí está por encima o por debajo de la meta de 10,000 um del
director. Un punto en la participación de mercado vale 10 um por debajo de la meta de 800, pero
sólo 5um por encima de ésta. Una hora de desbalance de los tiempos de los departamentos de
producción tiene un costo de 10 um.
Formule esta situación como un problema de programación de metas.
Solución.
Planteamiento del modelo.
Paso 1.Definición de variables.
=ix Cantidad de producto manufacturado i ( 2,1,,, DDCBAi = ), para la D son dos
departamentos.
Paso 2. Metas
1000055205010 21 ≥++++ DDCBA xxxxx Utilidades
80021 ≥++++ DDCBA xxxxx Participación en el Mercado
=−+−+
=+++−+++
0225.0
0)225.0(22
21
21
DDCBA
DCBADCBA
xxxxx
xxxxxxxx Tiempo balanceo de la producción
1 El producto D requiere de dos horas, pero puede fabricarse en el departamento 1 o en el departamento 2, o dividirlo
entre ellos como se desee.
Investigación de Operaciones Avanzada. Sesión 7
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Paso 3. Restricciones
3000225154 21 ≤++++ DDCBA xxxxx Ensamble
1000222 21 ≤++++ DDCBA xxxxx Ensayo
750012121026 21 ≤++++ DDCBA xxxxx Maquinado
Agregando las variables de déficit y exceso
750012121026
1000222
3000225154
0225.0
800
1000055205010
21
21
21
3321
22211
1121
≤++++
≤++++
≤++++
=−+−+−+
=−++++++
=−+++++
DDCBA
DDCBA
DDCBA
DDCBA
DDDCBA
DDCBA
xxxxx
xxxxx
xxxxx
EDxxxxx
EDxxxxxx
EDxxxxx
Paso 4. Función Objetivo: 321321 1051010min EEEDDDZ +−−−+=
Paso 5. Cálculos XA XB XC XD1 XD2 D1 D2 D3 E1 E2 E3
utilidad 10 50 20 5 5 1 -1 10000 = 10000 participación 1 1 1 1 1 1 -1 800 = 800 balanceo 0.5 1 -1 2 -2 1 -1 0 = 0 ENSAMBLE 4 15 5 2 2 3000 <= 3000 ENSAYO 2 2 2 1 1 1000 <= 1000 MAQUINADO 6 2 10 12 12 7500 <= 7500
MIN= 1 10 -10 -1 -5 10 -9311 SOLUCIÓN 0 72 208 0 439 37.9 80.3 1015 0 0 0
Paso 6. Conclusiones En base a los resultados se puede concluir que la opción más satisfactoria es cuando se producen
72 unidades del producto B, 208 unidades de C y 439 unidades del producto D en el
departamento 2. Logrando balancear el tiempo en los dos departamentos, ya que no se tiene
ningún déficit o exceso en esa parte.
Con un déficit de 647 para alcanzar la meta de 10 000 y de 57.1 para alcanzar la meta de 800.
EJERCICIOS 1.- Un inversionista tiene 80,000um que puede invertir en dos tipos de acciones cuyas
características son:
Acciones Precio(um) Rendimiento anual estimado (um)
Índice de riesgo
1 25 3 0.50
2 50 5 0.25
El inversionista desea tener un portafolio que satisfaga:
Prioridad 1: El índice de riesgo del portafolio es menor o igual a 700.
Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González
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Prioridad 2: El portafolio produce un rendimiento anual no menor de 9000um.
Considerando las variables de decisión :ix cantidad de acciones i compradas, para 2,1=i .
Formule y resuelva un problema lineal para resolver la problemática de acuerdo a la primera
prioridad.
2.- Una empresa desea desarrollar un portafolio de inversión para uno de sus nuevos clientes.
Suponga que el cliente desea restringir la inversión a dos títulos-valor
Titulo Precio acción
Rendimiento anual estimado
1 50 6%
2 100 10%
El cliente tiene 50,000um para invertir y ha establecido las siguientes metas:
Prioridad 1: Obtener por lo menos 9% de rendimiento anual.
Prioridad 2: Limitar la inversión en acciones del titulo 2 a no más de 60%.
Formule y resuelva un problema lineal para resolver la problemática.
3.- Una fábrica elabora dos productos A y B. A continuación se muestra la contribución a la
utilidad y el uso de recursos para una unidad de cada producto.
Concepto Producto A Producto B
Contribución a la utilidad (um por unidad 15 10
Uso de recursos: Tiempo de la máquina (horas por unidad) 4 5 Materia prima (toneladas por unidad) 5 4 Mano de obra calificada (horas por unidad) 1 5 Mano de obra no calificada (horas por unidad) 2 0
La fábrica dispone de un máximo de 100 horas de maquinado y 30 de mano de obra no
calificado. Existe un faltante de materia prima. La fábrica recibió una asignación de 100
toneladas de su planta principal aunque con instrucciones de utilizar lo menos posible de
devolver el excedente para que otras secciones puedan utilizarlo. Podría obtenerse más de las
100 toneladas asignadas, pero sólo si fuera absolutamente necesario.
La fábrica tiene una fuerza calificada de 75 horas disponibles en horario normal. Estos
trabajadores calificados están renuentes a trabajar tiempo extra, pero lo harán si es necesario. La
gerencia desea utilizar los trabajadores capacitados durante el tiempo normal tanto como sea
posible. La fábrica tiene una meta de utilidad de 300um que espera cumplir o superar.
• Defina las variables de decisión y las restricciones sobre el tiempo de maquinado y de
mano de obra no calificada.
• Formule las restricciones de la meta (nivel de déficit y excedente), respecto a mano de
obra calificada, materia prima y utilidad.
Investigación de Operaciones Avanzada. Sesión 7
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• Resuelva el problema suponiendo que la gerencia agrega costos de 15um por tonelada a
la materia prima utilizada que excede la asignación, 10um por hora extra para trabajadores
calificados y 5um por hora de tiempo ocioso de esos trabajadores. Además, la materia
prima no utilizada (por debajo de la asignación) tiene un valor de 5um por tonelada. Una
um de utilidad tiene el mismo valor, sin tener en cuenta si excede o no la meta de utilidad.
4.- Un país en vías de desarrollo que cuenta con 15,000,000 de acres de tierra agrícola de control
público en uso activo. Su gobierno está planeando una forma de dividir estas tierras el año
entrante entre tres cultivos básicos (etiquetados 1, 2 y 3). Cierto porcentaje de cada cultivo se
exporta para obtener capital extranjero necesario, y el resto de cada uno de estos cultivos se usa
para alimentar a la población. La cosecha de estos cultivos también da empleo a una parte
importante de la población. Por ello, los tres factores principales a considerar en la asignación de
tierra a estos cultivos son:
1. La cantidad de capital extranjero generado en um.
2. El número de ciudadanos alimentados.
3. El número de ciudadanos empleados en cosechar estos cultivos.
La siguiente tabla muestra cuánto contribuyen cada 1,000 acres de cada cultivo a estos
factores y la última columna proporciona la meta establecida por el gobierno para cada uno de
estos factores.
Contribución por cada 1,000 acres de cultivo
Factor 1 2 3 Meta
Capital extranjero (um) 3,000 5,000 4,000 ≥70,000,000
Ciudadanos alimentados 150 75 100 ≥ 1,750,000
Ciudadanos empleados 10 15 12 = 200,000
Al evaluar la seriedad relativa de no lograr estas metas, el gobierno concluyó que las
siguientes desviaciones de las metas deben tomarse como igualmente indeseables:
1. Cada 100um debajo de la meta de capital extranjero.
2. Cada persona debajo de la meta de ciudadanos alimentados.
3. Cada desviación de uno (en cualquier dirección) de la meta de ciudadanos empleados.
a) Describa porqué el problema es uno de programación por metas y proporciones las
expresiones cuantitativas para las metas y el objetivo global.
b) Formule y resuelva este problema como un modelo de programación de metas.
c) Formule y resuelva este problema como un modelo de programación lineal.