L6

L1

L2

L3 L4L5

Región Factible

LECTURA

MOTIVACIÓN

CONOCIMIENTOS PREVIOS

EJEMPLOS BÁSICOS

NOTAS SUGERIDAS

¿PRACTICAS UN POCO MAS?

AUTOEVALUACION

EVALUACION

ACTIVIDADES

CONCEPTO

FUNCIÓN OBJETIVO

RESTRICCIONES

SISTEMA DE RESTRICCIONES

SOLUCIÓN FACTIBLE

PROBLEMASEJEMPLOS

SISTEMA

INECUACIONES

INECUACIONES

ECUACIONES

SISTEMA

ECUACIONES

Ejemplo 1.- x+5=9

x=9-5

x=4

Representación gráfica:

4

Ejemplo 2.- x+y=3X Y

-2 5

0 3

2 1

Representación gráfica

X

Y

4 x=4

x+0y=4

Ejemplo 1.- -x-3<4

-x<4+3

-x<7

x>-7

Ejemplo 2.- x-y>2

Suponemos. x-y=2 X Y

0 -2

2 0

Representación gráfica

Comprobamos la veracidad del semiplano:

para (1;1) en la inecuación x-y>2

1-1>2

0>2 (F)

para (3;0) en la inecuación x-y>2

3-0>2

3>2 (V)

Representación gráfica:

-7

X

Y

-7

METODOS DE RESOLUCION

POR SUSTITUCION

POR IGUALACIONPOR REDUCCION

GRAFICANDOTABULACION

POR MATRICES

REGRESAR

4x-3y =152x+y =5

X Y

-3 -9

0 -5

3 -1

6 3

4x-3y =15

X Y

0 5

1 3

2 1

3 -1

2x+y =5

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

(x;y)=(3;-1)

(3;-1)

El conjunto solución es el punto de intersección de las rectas

4x-3

y =1

5

2x+y =5X

Y

METODO DE ELIMINACION POR IGUALACION

4x-3y =152x+y =5

4x-3y =15

4x=15+3y

2x+y = 5

2x = 5 - y

4315 y

x 2

5 yx

25

4315 yy

2(15+3y)=4(5-y)

30+6y=20-4y

6y+4y=20-30

10y=-10

y=-1

3262152)1(5

x

x

x

x25 y

x

(3;-1)

(x;y)=(3;-1)

X

Y

2x+y =5

4x-3

y =1

5

METODO DE ELIMINACION POR SUSTITUCION

4x-3y =15

2x+y =5

4x-3y =15

4x=15+3y

2x+y =5

4315 y

x

1

55

15105

102315

52315

54315

2

y

y

y

yy

yy

yy

4315 y

x

341243154

)1(315

x

x

x

x

(3;-1)

(x;y)=(3;-1)

X

Y

4x-3

y =1

5

2x+y =5

METODO DE ELIMINACION POR REDUCCION

4x-3y =15

2x+y =5

4x-3y =15

(3) 2x+y=5

4x-3y=15

6x+3y=15

10x / =30

x=30/10

x=3

Reemplazando: 2x+y =5

2(3)+y = 5

6+y =5

Y =5-6

y =-1 (3;-1)

(x;y)=(3;-1)

X

Y

2x+y =5

4x-3

y =1

5

MÉTODO DE GAUSS O MATRICIAL:

2x+y =54x-3y =15

4 -3

2 1

15

5 ?(1era)+(2da)

?(4)+2=0

?(4)=-2

?=-2/4

?=-1/2

-2 3/2 -15/2

2 1 5

0 5/2 -5/2

4 -3 15

0 5/2 -5/2

4x-3y=15

5/2y=-5/2

4x-3y=15

5/2y=-5/2 y=(-5/2).(2/5)

y=-1

4x-3(-1)=15 4x+3 = 15

4x = 15-3

4x = 12

x = 12/4

x = 3

(x;y)=(3;-1)

VIDEO: GAUSS

Sea el sistema de inecuaciones:

6x+3y-4<0

013 yx

Las analizaremos por separado para luego concluir en su conjunto solución.

Sea la inecuación: 6x+3y-4<0

6x+3y<4

3y<4-6x

y<4-6x

3

Condideramos: y = 4-6x

3

X Y

-2 16/3

0 4/3

2 -8/3

Si x=-2 y= 4-6(-2)

3

y=(4+12)/3

y= 16/3

Si x=0 y= 4-6(0)

3

y= 4/ 3

Si x=2 y= 4-6(2)

3

y=-8/3

Por lo tanto:

6x+3y<4 entonces comprobamos:

Para ( 3;0)

6(3)+3(0)<4

18+0<4

18<4 (F)

Para (-1;0)6(-1)+3(0)<4-6<4 (V)

013 yx

13 xy

13 xy

X Y

-2 7

0 -1

2 5

Suponemos la igualdad: y=3x-1

Comprobamos en la desigualdad

para (3;0)

para (-1;0)

013 yx

)(08

019

001)3(3

v

)(04

013

001)1(3

f

Sea la segunda inecuación del sistema

SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES

Sea el sistema de inecuaciones:

6x+3y-4<0

013 yx

6x+3y-4<

0

01

3

y

x

C.S.

Compruébalo utilizando PROLIN

Digita

6x+3y<=4

3x-y>=1

1. PROBLEMA DE REGIÓN FACTIBLE2. PROBLEMA MAXIMIZAR

3. OPTIMIZAR EL RENDIMIENTO

4. BENEFICIO MAXIMO

Dibuja la región factible asociada a las restricciones:x + y >= 4 y<= 4 y >= xLas rectas asociadas son : r : x + y = 4 ; s : y = 4 , t: y = x

                                       

Ejemplo Ejemplo 1:1:

COMPRUEBALO

Ejemplo Básico 2:Ejemplo Básico 2: Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere fabricar bicicletas de paseo y de montaña , que quiere vender, respectivamente, a 2000 y 1500 nuevos soles, para obtener el máximo beneficio. En la elaboración de la bicicleta de paseo empleará un Kg. de acero y 3 Kg. de aluminio, y en la de montaña 2 Kg. de cada metal. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá el herrero para obtener el máximo beneficio?

Solución:

Planteamos según los datos la

función objetivo:

X: número de bicicletas de paseo

Y: número de bicicletas de montaña

F(x;y)= 2000x + 1500y

0x

0y

802 yx

12023 yx

entonces x=0 (L1)

entonces y=0 (L2)

entonces x+2y=80 (L3)

entonces 3x+2y=120 (L4)

x y

0 40

80 0

x y

0 60

40 0Se grafican las rectas y se determina el semiplano del conjunto

solución de cada una de las restricciones

Según las condiciones del problema se plantean las restricciones:

COMPRUEBALO

L1

L2

L3

L4

Determinamos los vértices de la región factible, que son los puntos de intersección entre: L1 y L3; L4 y L3; L4 y L2; L1 y L2

)0;0(

)0;40(

)30;20(

)40;0(

21

24

34

31

DLL

CLL

BLL

ALL

Determinemos el beneficio obtenido en la función objetivo:

F(x;y)= 2000x + 1500y

F(A)=2000(0)+1500(40)

F(A)=60000 nuevos soles

F(B)=2000(20)+1500(30)

F(B)=85000 nuevos soles

F(C)=2000(40)+1500(0)

F(C)=80000 nuevos soles

Observando los beneficios

deducimos que:el herrero

debe vender 20 bicicletas de

paseo y 30 bicicletas de montaña

para obtener el máximo beneficio de 85000 nuevos soles.

AB

CD

COMPRUEBALO

Región Factible

Ejemplo básico 3.-Ejemplo básico 3.- Blanca dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión(A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones, y quiere destinar a esta opción, como mínimo tanta cantidad de dinero como a la B. sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9% en la opción A y del 12% en la B ¿Qué cantidad debe invertir en cada una de las dos opciones para optimizar el rendimiento global? ¿A cuánto ascenderá? Función objetivo:

F(x;y)= 0,09x + 0,12y

x: inversión en A

y: inversión en BRestricciones:

10

7

2

0

0

yx

yx

x

x

y

x x=0 y=0 2=x x=7 x=y x+y=10

L1: eje y

L2: eje x

L3

L4

L5

L6

X Y

2 0

2 3

X Y

0 7

3 7

X Y

0 0

10 10

X Y

0 10

10 0

L6

L1

L2

L3 L4L5

Región Factible

COMPRUEBALO

L6

L1

L2

L3 L4L5

Región Factible

Soluciones factiblesA(2;2) B(5;5) C(7;3) D(7;0) E(2;0)

F(A)=0,09(2)+0,12(2)

F(A)=0,18+0,24=0,42

F(B)=0,09(5)+0,12(5)

F(B)=0,45+0,60=1,05

F(C)=0,09(7)+0,12(3)

F(C)=0,63+0,36=0.99

F(D)=0,09(7)+0,12(0)

F(D)=0,63+0=0,63

F(E)=0,09(2)+0,12(0)=0,18

Respuesta: Se debe invertir 5 millones en A y 5 en B para obtener un beneficio máximo de 1,05 millones

COMPRUEBALO

A(2;2)

B(5;5)

C(7;3)

D(7;0)E(2;0)

4.4. Alfonso es un estudiante que dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 soles por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 soles por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea el máximo?Solución:X: nº de impresos diarios tipo A Y: nº de impresos diarios tipo B Función objetivo: F (x,y)= 5 x + 7 yRestricciones:

;0

;0

y

x

120

100

Vértices de la región factible:

A(0;100)

B(50;100)

C(120;30)

D(120;0)

Valores en la función objetivo:

f(A)=7(100)=700

F(B)=5(50)+7(100)=950

F(C)=5(120)+7(30)=810

F(D)=5(120)=600

Respuesta: Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B,

para una ganancia máxima diaria de 950 nuevos soles.

150

150

A B

C

Zona de soluciones factibles

COMPRUEBALO

X

Y

150

100

120

yx

y

x

Región

factible D

Taller 1: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.

Taller 2: Sistema de Ecuaciones e Inecuaciones.

Taller 3: Programación Lineal

http://descartes.cnice.mec.es/http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/materiales_didacticos/Programacion_lineal/index.htmProgramacion_lineal/index.htm

http://thales.cica.es/rd/Recursos/http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/29/matematicas-rd98/Matematicas/29/matematicas-29.html29.html

Es recomendable que visites estas direcciones, te van ayudar de

mucho.