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PROGRAMACIÓN LINEAL
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Objetivos Conocer la utilidad de la
programación lineal en problemas de optimización.
Dominar el lenguaje propio de la programación lineal.
Encontrar y representar regiones factibles y soluciones óptimas mediante el método gráfico.
Utilizar el comando solver para la resolución de problemas de programación lineal.
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Conocimientos Previos
Las clases estarán dirigidas a alumnos correspondientes al 5to año de educación media o 1er año universitario con orientación en Administración de empresas, que contengan los siguientes saberes previos:
Representación gráfica de rectas y de desigualdades en el plano cartesiano.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante regla de Cramer.
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CLASE 1
CLASE 2
Introducción a la programación lineal, método
gráfico de optimización
Método del punto esquina, comando
Solver.
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Contenidos:
Introducción a la Programación Lineal
Lenguaje de Programación
Situación Inicial
Método Gráfico
CLASE 1
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¿De dónde proviene el término Programación
Lineal?La parte de “programación” del nombre proviene de la terminología militar de la era de la segunda guerra mundial. Cada programa era una solución a un problema de asignación de recursos, como por ejemplo ¿Qué programa de distribución de combustible contribuirá mejor a la victoria global?La programación entendida de esta manera es una gran herramienta de investigación de operaciones y el término “lineal” hace referencia a que un problema se pueda describir utilizando ecuaciones y desigualdades lineales.
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¿Para que sirve la programación lineal?
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Lenguaje de ProgramaciónFunción Objetivo
Restricciones
Soluciones Factibles
Solución Óptima
Es la función por maximizar o minimizar
Son las limitaciones existentes sobre las variables. Constituyen un sistema de desigualdades.
Son las infinitas soluciones para el sistema de restricciones.
Es una de las soluciones factibles que le da valor máximo o mínimo a la función objetivo.
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... Recordemos un poco …
¿Cuál de los siguientes regiones
coloreadas en el gráfico corresponde a
la desigualdad ?15 3
x y
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¿Cuál es la opción correcta?
Región Celeste
Región Violeta
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INCORRECTO!!!
Debés revisar algunos conceptos previos antes de continuar…Volvé a pensarlo…
CONTINUAR
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MUY BIEN!!!
Ya estás en condiciones de comenzar a ver de qué se trata la programación lineal …
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SITUACIÓN INICIALUn fabricante produce dos tipos de corbatas, Old Smokey y Blaze Away. Para su producción, las corbatas requieren del uso de dos máquinas de coser A y B. El número de horas necesarias para ambas esta indicado en la siguiente tabla:
Máquina A
Máquina B
Old Smokey
2 h 4 h
Blaze Away
4 h 2 h
Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las utilidades en los modelos son de $4 y $6 respectivamente. ¿Cuántas corbatas de cada tipo deben producirse por día para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?
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Planteo del problema
Función Objetivo
Restricciones
4 6Z x y
2 4 24
4 2 24
0
0
x y
x y
x
y
Es la función de utilidades que debo maximizar
Limitaciones horarias de las máquinas A y B
Condiciones de no negatividad
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Pasos a seguir para encontrar la cantidad de artículos que deben venderse, de ambos modelos, para que la utilidad sea máxima:
1. Graficar las desigualdades que indican las restricciones del problema en el plano cartesiano.
2. Indicar la intersección de dichas regiones, o sea, la solución al sistema de inecuaciones planteado (Región de soluciones factibles).
3. Encontrar en el interior de esa región, cuál es el punto para en el cual la función de utilidades (Función objetivo) es máxima.
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¿Cómo encontramos la región de soluciones factibles?
A continuación graficaremos paso a paso las restricciones del problema.
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Condición de no negatividad: 0, 0x y
Región excluida
Solución
Recta incluida en la solución
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Primera Restricción: 2 4 24x y
Recta excluida de la solución
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Segunda Restricción:4 2 24x y
Región de soluciones factibles
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Para encontrar la solución
óptima podemos utilizar
Método gráfico
Método del punto esquina
Comando Solver
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Método Gráfico
La recta se llama recta de isoutilidad debido a que todos sus puntos tienen la misma utilidad, su pendiente es -2/3 y su ordenada al origen varía según el valor de la utilidad Z. El método gráfico consiste en buscar cuál de estas rectas de isoutilidad cumple con dos condiciones:
Tiene puntos en común con la región de soluciones factibles.
Tiene ordenada al origen máxima.
24 6
3 6
ZZ x y y x
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Buscá la recta de isoutilidad máxima en
Excel dándole diferentes valores a la variable Z
(Utilidad):
Microsoft Excel
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¿En qué punto de la región de soluciones factibles la utilidad es máxima?
A
D
B
Ninguno de los anteriores
C
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INCORRECTO!!!
Volvé a excel e intentalo de nuevo …
Microsoft ExcelVOLVER
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MUY BIEN!!!
Veamos entonces el gráfico que contiene a la región de soluciones factibles y a la recta de utilidad máxima …
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Recta de Utilidad Máxima
AB
CD
Cualquier recta de isoutilidad con una utilidad mayor no contendrá puntos en la región factible.
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Encontremos las coordenadas del punto B …
Resolvé el sistema de ecuaciones
en excel mediante la regla de Cramer utilizando determinantes
2 4 24
4 2 24
x y
x y
Microsoft Excel
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Interpretemos el resultado …¿Cuál de las siguientes conclusiones sería la correcta?
Cuando se produzcan 40 unidades de cada producto la utilidad será máxima y será de $4 por unidad.
Cuando se produzcan 4 unidades de corbatas Old Smokey y 4 unidades de corbatas Blaze Away la utilidad será máxima y será de $40.
Cuando se produzcan 40 unidades de cada marca a un precio unitario de $4 la utilidad será máxima.
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INCORRECTO!!!
Volvé a pensarlo …
VOLVER
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MUY BIEN!!!
B
Las ganancias serán
máximas y serán de $40
cuando se produzcan 4 corbatas Old Smokey y 4
corbatas Blaze Away.
FIN
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CLASE 2
Contenidos:
Método del punto esquina.
Minimización en una región factible no acotada.
Comando Solver.
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Método del Punto Esquina
Como pudimos observar en el método gráfico la recta de utilidad máxima encontrada contiene a un vértice de la región factible (punto esquina). Por lo tanto podemos deducir que:
Una función lineal definida sobre una región factible acotada no vacía, tiene un valor máximo (mínimo) que puede hallarse en un vértice (punto extremo, esquina)
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Para mostrarlo recurriremos a la situación problemática de la clase anterior, te invito a Excel a buscar el valor máximo en los cuatro puntos esquina: A, B, C y D.
Microsoft Excel
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A
D
B
Ninguno de los anteriores
C
¿En cuál de los puntos la función objetivo encuentra su máximo valor?
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INCORRECTO!!!
Volvé a pensarlo …
VOLVER
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MUY BIEN!!!
BEl resultado
coincide con el obtenido
en la clase anterior.
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Veamos otro ejemplo …
… Pero esta vez en una región factible no acotada.
Es decir que la región no estará encerrada por una figura como en el ejemplo anterior …
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Costo MínimoUn agricultor va a comprar fertilizante que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los mínimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80 unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizantes en el mercado. Crece Rápido cuesta $8 la bolsa, contiene 3 unidades de A, 5 unidades de B y 1 unidad de C. Crece Fácil cuesta $6 cada bolsa y contiene 2 unidades de cada nutrimento. Si el cultivador desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrimentos, ¿Cuántas bolsas de cada marca debe comprar?
A B C Costo / Bolsa
Crece Rápido 3 u 5 u 1 u $ 8
Crece Fácil 2 u 2 u 2 u $ 6
Unidades Requeridas
160 200 80
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Planteo del Problema
8 6C x y
3 2 160
5 2 200
2 80
0
0
x y
x y
x y
x
y
Es la función de costo que debo minimizar
Condiciones de no negatividad
Función Objetivo
Restricciones
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Región de Soluciones Factibles
5 2 200x y
2 80x y
3 2 160x y
A
B
C
D
Región de soluciones factibles
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Para poder aplicar el método del punto esquina debemos encontrar todos los vértices, observando el gráfico:
A = (0,100) y D = (80,0)
Te invito a Excel a resolver los siguientes sistemas de ecuaciones mediante la regla de Cramer:
Punto B
Punto C
3 2 160
5 2 200
x y
x y
3 2 160
2 80
x y
x y
Microsoft Excel
Encontremos los puntos Esquina …
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Ahora vamos nuevamente a Excel a reemplazar los cuatro puntos esquina en la función objetivo:
A = (0,100) B = (20,50) C = (40,20) y D = (80,0)
Microsoft Excel
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A
D
B
Ninguno de los anteriores
C
¿En cuál de los puntos la función objetivo encuentra su mínimo valor?
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INCORRECTO!!!
Volvé a Excel e intentalo de nuevo …
Microsoft ExcelVOLVER
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MUY BIEN!!!
Veamos entonces el gráfico que contiene a la región de soluciones factibles y a la recta de costo mínimo …
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A
B
C
D
Recta de
isocosto mínimo
Respuesta al Problema de Minimización de Costos
El agricultor deberá comprar 40 bolsas de la marca “Crece Rápido” y 20 bolsas de la
marca “Crece Fácil” para
lograr minimizar los costos en
$440.
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Otro método para resolver problemas de programación lineal
utilizando Excel
“Comando Solver”
Microsoft Excel
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Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio como se muestra en la siguiente tabla:
La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 500 unidades de plástico y 1450 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y sillón se vende en $21, $24 y $36, respectivamente. Suponiendo que todos los mubles pueden venderse determine, utilizando el método simplex, la producción para que el ingreso total sea máximo. ¿Cuál es el ingreso máximo?
Madera Plástico Aluminio
Silla 1 u 1 u 2 u
Mecedora 1 u 1 u 3 u
Sillón 1 u 2 u 5 u
Situación a Resolver
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Planteo del problemaFunción Objetivo
Restricciones
21 24 36Z x y z
400
2 500
2 3 5 1450
0
0
x y z
x y z
x y z
x
y
Vamos a Excel a
ingresar estos datos
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¿Cuáles de los siguientes resultados es el correcto?
) 200 300 100 540b x y z Z
) 0 300 100 10.800c x y z Z
) 300 100 100 0a x y z Z
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INCORRECTO!!!
Volvé a Excel e intentalo de nuevo …
Microsoft ExcelVOLVER
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MUY BIEN!!!
Has alcanzado los objetivos de esta
unidad!!!!
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Integración y Fijación
Una compañía de cargas maneja envíos para dos compañías A y B. La empresa A envía cajas que pesan 3 kg cada una y tienen un volumen de 2 m3, mientras qie la B envía cajas de 1 m3 con un peso de 5 kg. Tanto A como B hacen envíos a los mismos destinos y el costo de transporte de la caja de A es $ 0,75 y para B de $ 0,50. La compañía transportadora tiene un camión con espacio de carga para 2.400 m3 y capacidad máxima de 9.200 kg. En un viaje, ¿Cuántas cajas de cada empresa debe transportar el camión para que la compañía de transportes obtenga el máximo de ingresos? ¿Cuál es este máximo?
Resolveremos el mismo problema de optimización mediante todos los métodos aprendidos …
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¿Cuál de los siguientes planteos es correcto?
Función Objetivo:
0,75 0,50
Restricciones:
2 2400
3 5 9200
Z x y
x y
x y
Función Objetivo:
2400 9200
Restricciones:
2 3 0,75
5 0,50
Z x y
x y
x y
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INCORRECTO!!!
Volvé a leer el problema y pensá bien cuáles son las variables principales …
Volvé a pensarlo
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¡¡¡Muy Bien!!!!
Ahora debemos graficar el problema para ver que tipo de región de soluciones factibles obtenemos
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Región de soluciones factibles
¿Es una región acotada? SI NO
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INCORRECTO!!!
Recordá que …
Ahora volvé a pensarlo …
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¡¡¡Muy Bien!!!!
Ahora debemos encontrar los cuatro vértices de esa región …
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B = (0,1840)
A = (0,0)
C = ¿?
D = (1200,0)
Puntos Esquina
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Coordenadas del punto C
Vamos a Excel a resolver el correspondiente sistema de ecuaciones para encontrar las coordenadas de C y luego a buscar en cuál de los puntos es máxima la función objetivo …
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Ahora verifiquemos si esa solución coincide con la que nos brinda el comando Solver …
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¿Cuál de las siguientes respuestas es correcta?
El camión debe transportar 1100 cajas de la empresa A y 1600 cajas de la empresa B para que los ingresos sean máximos, y el máximo es de $ 400.
El ingreso máximo es de 1100 + 400 + 1600 = 3100.
El camión debe transportar 400 cajas de la empresa A y 1600 cajas de la empresa B para que los ingresos sean máximos, y el máximo es de $ 1100.
Ninguna de las anteriores.
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INCORRECTO!!!
Volvé a pensarlo …
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¡¡¡Muy Bien!!!¡¡Has finalizado las clases de
Programación Lineal con éxito, Felicitaciones!!
FIN