programación lineal

programación lineal La programación l inea l da respues ta a s i tuac iones en las que se ex ige maximizar o min imizar funciones que se encuent ran su je tas a de te rminadas l im i tac iones , que l l amaremos rest r icc iones . Su emp leo es f r ecuente en ap l i cac iones de la indus t r ia , l a economía , l a es t ra teg ia mi l i ta r , e tc .

Función objet ivo En esencia la programación l inea l cons iste en op t im izar (max imizar o min imizar ) una f unc ión ob je t ivo , que es una f unc ión l inea l de var ias var iables : f (x ,y ) = ax + by .

Restr icc iones La función objet ivo está sujeta a una ser ie de rest r i c c iones , expresadas por i necuac iones l i nea les :

a1x + b1y ≤ c 1

a2x + b2y ≤c 2

. . . . . . . . .

anx + bny ≤c n

Cada des igua ldad de l s i s tema de res tr i c c iones de te rmina un semip lano .

So luc ión fact ib le E l conjunto intersecc ión , de todos los semip lanos formados por las rest r icc iones , determina un rec into , acotado o no, que rec ibe e l nombre de r eg ión de va l idez o zona de so luc iones f ac t ib les .

Soluc ión ópt ima E l conjunto de los vért ices del rec into se denomina conjunto de so luc iones f ac t ib les bás i cas y e l vért ice donde se presenta la so luc ión óp t ima se l lama so luc ión máx ima (o mín ima según e l caso) .

Va lor del programa l inea l E l va lo r que toma la f unc ión ob je t ivo en e l vér t i ce de so luc ión óp t ima se l lama va lo r de l programa l inea l .

Pasos para resolver un problema de programación lineal

1. E leg i r l as incógnitas .

2. Esc r ib i r l a función objet ivo en func ión de lo s da tos de l p rob lema.

3. Esc r ib i r l as rest r icciones en f orma de s i s tema de inecuac iones .

4. Aver iguar e l con junto de so luc iones fact ib les r epresentando g ráf i camente las

r es t r i cc iones .

5. Ca lcu la r l as coordenadas de lo s vér t i ces de l rec in to de so luc iones f ac t ib les (s i son

pocos) .

6. Ca lcu la r e l valor de la función objet ivo en cada uno de lo s vér t i ces para ve r en cuá l

de e l l o s presenta e l va lor máximo o mín imo según nos p ida e l prob lema (hay que tener en cuenta aqu í l a pos ib le no ex i s tenc ia de so luc ión s i e l r ec in to no es tá aco tado) .

Ejemplos de programación lineal Unos g randes a lmacenes encargan a un f abr i cante panta lones y chaquetas depor t ivas . E l f ab r i cante d i spone para la con fecc ión de 750 m de te j ido de a lgodón y 1000 m de te j ido

de po l i és ter . Cada panta lón p rec i sa 1 m de a lgodón y 2 m de po l i és te r . Para cada chaqueta se neces i tan 1 .5 m de a lgodón y 1 m de po l i és ter .

E l p rec io de l panta lón se f i j a en 50 € y e l de la chaqueta en 40 € . ¿Qué número de panta lones y chaquetas debe sumin i s t ra r e l f abr i cante a lo s a lmacenes

para que és tos cons igan una venta máx ima? 1E lecc ión de las incógni tas . x = número de panta lones y = número de chaquetas 2Func ión ob je t ivo f (x ,y )= 50x + 40y 3Res t r i c c iones Para esc r ib i r l as r es t r i cc iones vamos a ayudarnos de una tab la:

pantalones chaquetas disponible

algodón 1 1,5 750

poliéster 2 1 1000

x + 1 .5y ≤ 750 2x+3y≤1500 2x + y ≤ 1000 Como e l número de panta lones y chaquetas son números natura les , tendremos dos

res t r i cc iones más: x ≥ 0 y ≥ 0 4 Ha l la r e l con junto de so luc iones f ac t ib les Tenemos que representar g ráf i camente las rest r i c c iones . A l ser x ≥ 0 e y ≥ 0 , t raba ja remos en e l pr imer cuadrante . Representamos las r ec tas , a par t i r de sus puntos de cor te con lo s e jes .

Reso lvemos g ráf i camente la inecuac ión: 2x +3y ≤ 1500 , para e l l o tomamos un punto de l

p lano , po r e jemp lo e l (0 ,0 ) . 2 ·0 + 3 ·0 ≤ 1 500 Como 0 ≤ 1 500 entonces e l punto (0 ,0 ) se encuent ra en e l semip lano donde se cump le la

des igua ldad . De modo aná logo reso lvemos 2x + y ≤ 1000 . 2 ·0 + 0 ≤ 1 000 La zona de in te r secc ión de las so luc iones de las inecuac iones se r ía l a so luc ión a l s i s tema

de inecuac iones , que cons t i tuye e l con junto de las so luc iones f ac t ib les .

5 Ca lcu la r l as coordenadas de lo s vér t i ces de l r ec in to de las so luc iones f ac t ib les .

La so luc ión ópt ima , s i es ún i ca , se encuent ra en un vér t i ce de l r ec in to . Es tas son las so luc iones a los s i s temas:

2x + 3y = 1500; x = 0 (0 , 500) 2x + y = 1000; y = 0 (500 , 0 ) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375 , 250)

6 Ca l cu la r e l va lor de la f unc ión ob je t ivo En la f unc ión obje t ivo sus t i tu imos cada uno de lo s vé r t i ces . f (x , y ) = 50x + 40y f (0 , 500) = 50•0 + 40•500 = 20000 € f (500 , 0 ) = 50•500 + 40•0 = 25000 € f (375 , 250) = 50•375 + 40•250 = 28750 € Máx imo La so luc ión óp t ima es fab r i ca r 375 panta lones y 250 chaquetas para ob tener un bene f i c io

de 28750 € . La so luc ión no s iempre es ún i ca , tamb ién podemos encont ra rnos con una so luc ión

múl t ip le . E jemp lo S i l a f unc ión ob je t ivo de l e jer c i c io ante r io r hub iese s ido : f (x ,y )= 20x + 30y f (0 ,500) = 20•0 + 30•500 = 15000 € Máx imo f (500 , 0 ) = 20•500 + 30•0 = 10000 € f (375 , 250) = 20•375 + 30•250 = 15000 € Máx imo En es te caso todos los pares , con so luc iones ente ras , de l segmento t razado en negro

se r ían máx imos .

f (300 , 300)= 20 ·300 + 30 ·300 = 15000 € Máximo

Problemas de programación lineal 1Una empresa de t ranspor tes t i ene dos t ipos de camiones , l o s de l t ipo A con un espac io

r e f r igerado de 20 m 3 y un espac io no re f r igerado de 40 m 3 . Los de l t ipo B , con igua l cub ica je to ta l , a l 50% de re f r ige rado y no re f r ige rado. La cont ra tan para e l t r anspor te de 3 000 m 3 de p roduc to que neces i ta r e f r ige rac ión y 4 000 m 3 de o t ro que no la neces i ta . E l cos te por k i lómetro de un camión de l t ipo A es de 30 € y e l B de 40 € . ¿Cuántos camiones de cada t ipo ha de ut i l i za r para que e l cos te to ta l sea mín imo?

1E lecc ión de las incógni tas .

x = camiones de t ipo A y = camiones de t ipo B

2Función objet ivo

f(x ,y) = 30x + 40y

3Restr icc iones

A B To ta l Re f r igerado 20 30 3 000 No re f r ige rado 40 30 4 000 20x + 30y ≥ 3 000 40x + 30y ≥ 4 000 x ≥ 0 y ≥ 0

4 Ha l la r e l con junto de so luc iones fact ib les


6 Ca lcu la r e l va lor de la función objet ivo

f (0 , 400/3) = 30 · 0 + 40 · 400/3 = 5 333 .332 f (150 , 0 ) = 30 · 150 + 40 · 0 = 4 500 Como x e y han de ser números natura les r edondeamos e l va lor de y . f (50 , 67) = 30 · 50 + 40 ·67 = 4180 Mínimo El coste mín imo son 4 180 € para A = 50 yz B = 67 .

2Una escue la p repara una excurs ión para 400 a lumnos . La empresa de t ranspor te t i ene 8

autobuses de 40 p lazas y 10 de 50 p lazas , pero só lo d i spone de 9 conduc to res . E l a lqu i l e r de un autocar g rande cues ta 800 € y e l de uno pequeño 600 € . Ca l cu la r cuántos autobuses de cada t ipo hay que u t i l i za r para que la excur s ión resu l te lo más económica pos ib le para la escue la .


x = autobuses pequeños y = autobuses grandes

2Función objet ivo

f(x , y) = 600x + 800y

3Restr icc iones

40x + 50y ≥ 400 x + y ≤ 9

x ≥ 0 y ≥ 0




f (0 , 8 ) = 600 · 0 + 800 · 8 = 6 400 € f (0 , 9 ) = 600 · 0 + 800 · 9 = 7 200 € f (5 , 4 ) = 6 00 · 5 + 800 · 4 = 6 200 € Mínimo E l cos te mín imo es de 6 200 € , y se cons igue 4 autobuses grandes y 5 pequeños .

Los datos están cambiados solo en la pregunta 1, en la 3 y 4 en vez de euros son soles

Ejercicios resueltos de programación lineal1 Una compañ ía f abr i ca y venden dos mode los de lámpara L 1 y L 2 . Para su f abr i cac ión se

neces i ta un t raba jo manua l de 20 minutos para e l mode lo L 1 y de 50 minutos para e l L 2 ; y un t raba jo de máqu ina de 40 min para L 1 y de 10 minutos para L 2 . Se d i spone para e l t r aba jo manua l de 100 horas a l mes y para la máqu ina 80 horas a l mes . Sab iendo que e l benef i c i o por un idad es de 15 y 10 so les para L 1 y L 2 , r espec t ivamente , p lan i f i ca r l a p roducc ión para ob tener e l máx imo benef i c io .

Ejercicios resueltos de programación lineal3 En una g ran ja de po l los se da una d ie ta , para engordar , con una compos i c ión mín ima de

15 un idades de una sus tanc ia A y o t ras 15 de una sus tanc ia B . En e l mercado só lo se encuent ra dos c lases de compues tos : e l t i po X con una compos i c ión de una un idad de A y 5 de B , y e l o tro t ipo , Y , con una compos i c ión de c inco un idades de A y una de B . E l p rec io de l t ipo X es de 10 so les y de l t ipo Y es de 30 € . ¿Qué cant idades se han de comprar de cada t ipo para cubr i r l as neces idades con un coste mín imo?

Ejercicios resueltos de programación lineal4 Se d i spone de 600 g de un de terminado f á rmaco para e labo rar pas t i l l as grandes y pequeñas .

Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g . Se neces i tan a l menos tres pas t i l l as g randes , y a l menos e l dob le de pequeñas que de las grandes . Cada pas t i l l a g rande proporc iona un bene f i c io de 2 s / . y l a pequeña de 1 s / . ¿Cuántas pas t i l l as se han de e laborar de cada c lase para que e l

bene f i c io sea máx imo?

Ejercicios resueltos de programación lineal 1 Una compañ ía f abr i ca y venden dos mode los de lámpara L 1 y L 2 . Para su f abr i cac ión se

neces i ta un t raba jo manua l de 20 minutos para e l mode lo L 1 y de 30 minutos para e l L 2 ; y un t raba jo de máqu ina para L 1 y de 10 minutos para L 2 . Se d i spone para e l t r aba jo manua l de 100 ho ras a l mes y para la máqu ina 80 horas a l mes . Sab iendo que e l bene f i c io por un idad es de 15 y 10 euros para L 1 y L 2 , respec t ivamente , p lan i f i ca r l a p roducc ión para ob tener e l máx imo bene f i c io .

1E lecc ión de las incógni tas . x = nº de lámparas L 1

y = nº de lámparas L 2

2Función objet ivo f(x , y) = 15x + 10y

3Restr icc iones Pasamos lo s t i empos a horas

20 min = 1 /3 h 30 min = 1 /2 h 10 min = 1 /6 h Para esc r ib i r l as r es t r i cc iones vamos a ayudarnos de una tab la: L1 L2 T iempo Manua l 1 /3 1 /2 100 Máqu ina 1 /3 1 /6 80 1/3x + 1/2y ≤ 100 1/3x + 1/6y ≤ 80 Como e l número de lámparas son números natura les , tendremos dos res t r i cc iones más: x ≥ 0 y ≥ 0


Tenemos que representar g ráf i camente las rest r i c c iones . A l ser x ≥ 0 e y ≥ 0 , t raba ja remos en e l pr imer cuadrante . Representamos las r ec tas , a par t i r de sus puntos de cor te con lo s e jes . Reso lvemos g ráf i camente la inecuac ión: 1 /3 x + 1 /2 y ≤ 100; para e l l o tomamos un punto

de l p lano , po r e jemp lo e l (0 ,0 ) . 1/3 ·0 + 1 /2 ·0 ≤ 100 1/3 ·0 + 1 /6 ·0 ≤ 80 La zona de in te r secc ión de las so luc iones de las inecuac iones se r ía l a so luc ión a l s i s te ma

de inecuac iones , que cons t i tuye e l con junto de las so luc iones f ac t ib les .


En la f unc ión obje t ivo sus t i tu imos cada uno de lo s vé r t i ces . f (x , y ) = 15x + 10y f (0 , 200) = 15 ·0 + 10 ·200 = 2 000 € f (240 , 0 ) = 15 ·240 + 10 ·0 = 3 600 € f (210 , 60) = 15 ·210 + 10 ·60 = 3 750 € Máximo La so luc ión óp t ima es f abr i ca r 210 del modelo L 1 y 60 del modelo L 1 para ob tener un

bene f i c io de 3 750 € .

5 Ca lcu la r l as coo rdenadas de lo s vé r t i ces de l r ec in to

de las so luc iones f ac t ib les . La so luc ión óp t ima s i es ún i ca se encuent ra en

un vé r t i ce de l r ec in to . és tos son las so luc iones a lo s s i s temas:

1 /3x + 1 /2y = 100; x = 0 (0 , 200) 1 /3x + 1 /6y = 80; y = 0 (240 , 0 ) 1 /3x + 1 /2y = 100; 1 /3x + 1 /6y = 80(210 , 60)

Ejercicios resueltos de programación lineal 3 En una g ran ja de po l los se da una d ie ta , para engordar , con una compos i c ión mín ima de

15 un idades de una sus tanc ia A y o t ras 15 de una sus tanc ia B . En e l mercado só lo se encuent ra dos c lases de compues tos : e l t i po X con una compos i c ión de una un idad de A y 5 de B , y e l o tro t ipo , Y , con una compos i c ión de c inco un idades de A y una de B . E l p rec io de l t ipo X es de 10 euros y de l t ipo Y es de 30 € . ¿Qué cant idades se han de comprar de cada t ipo para cubr i r l as neces idades con un coste mín imo?


x = X y = Y

2Función objet ivo

f(x ,y) = 10x + 30y

3Restr icc iones

X Y M ín imo A 1 5 15 B 5 1 15 x + 5y ≥ 15 5x + y ≥ 15 x ≥ 0 y ≥ 0




f (0 , 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450 f (15 , 0 ) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150 f (5 /2 , 5 /2 ) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100 Mínimo El coste mín imo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2.

Ejercicios resueltos de programación lineal 4 Se d i spone de 600 g de un de te rminado f á rmaco para e laborar pas t i l l as g randes y

pequeñas . Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g . Se neces i tan a l menos tr es pas t i l l as g randes , y a l menos e l dob le de pequeñas que de las g randes . Cada pas t i l l a g rande p ro porc iona un bene f i c io de 2 € y la pequeña de 1 € . ¿Cuántas pas t i l l as se han de e labo rar de cada c lase para que e l benef i c io sea máx imo?


x = Pas t i l l as grandes y = Pas t i l l as pequeñas

2Función objet ivo

f(x , y) = 2x + y

3Restr icc iones

40x + 30y ≤ 600 x ≥ 3 y ≥ 2x x ≥ 0 y ≥ 0




f (x , y )= 2 · 3 + 16 = 22 € f (x , y )= 2 · 3 + 6 = 12 € f (x , y )= 2 · 6 + 12 = 24 € Máx imo E l máx imo benef i c io es de 24 € , y se ob t iene f ab r i cando 6 past i l las grandes y 12

pequeñas .

Ejercicios resueltos de programación lineal2 Con e l comienzo de l cur so se va a lanzar unas o fe r tas de mate r ia l esco lar . Unos

a lmacenes qu ieren o f rece r 600 cuadernos , 500 carpe tas y 400 bo l íg rafos para la o fe r ta , empaquetándo lo de dos f ormas d i s t in tas ; en e l p r imer b loque pondrá 2 cuadernos , 1 carpe ta y 2 bo l íg rafos ; en e l segundo , pondrán 3 cuadernos , 1 carpe ta y 1 bo l íg ra fo . Los p rec ios de cada paquete se rán 6 .5 y 7 € , r espec t ivamente . ¿Cuántos paquetes le conv iene poner de cada t ipo para ob tener e l máx imo bene f i c io?


x = P1 y = P 2

2Función objet ivo

f(x , y) = 6 .5x + 7y

3Restr icc iones

P1 P2 D ispon ib les Cuadernos 2 3 600 Carpe tas 1 1 500 Bo l íg rafos 2 1 400 2x + 3y ≤ 600 x + y ≤ 500 2x + y ≤ 400 x ≥ 0 y ≥ 0




f (x ,y )= 6 .5 · 200 + 7 · 0 = 1300 € f (x ,y )= 6 .5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 € f (x ,y )= 6 .5 · 150 + 7 · 100 = 1 675 € Máx imo La so luc ión óp t ima son 150 P1 y 100 P 2 con la que se ob t ienen 1 675 €

Ejercicios resueltos de programación lineal

5 Unos grandes a lmacenes desean l i qu idar 200 camisas y 100 panta lones de la temporada

ante r io r . Para e l l o l anzan, dos o fer tas , A y B . La o fe r ta A cons i s te en un lo te de una camisa y un panta lón , que se venden a 30 € ; l a o fer ta B cons i s te en un lo te de t res c amisas y un panta lón , que se vende a 50 € . No se desea o f rece r menos de 20 lo tes de la o fe r ta A n i menos de 10 de la B . ¿Cuántos lo tes ha de vender de cada t ipo para max imizar l a gananc ia?


x = nº de lo tes de A y = nº de lo tes de B

2Función objet ivo

f(x , y) = 30x + 50y

3Restr icc iones

A B Mínimo

Camisas 1 3 200

Pantalones 1 1 100

x + 3y ≤ 200 x + y ≤ 100 x ≥ 20 y ≥ 10




f (x , y ) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 € f (x , y ) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 € f (x , y ) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 € f (x , y ) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 € Máximo Con 50 lotes de cada t ipo se ob t iene una ganancia máxima de 4000 € .

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